Diseños Factoriales 3k
Ahora consideraremos en el experimento factores de interés con tres niveles cada uno, en total tendremos 3k tratamientos. Puede observarse que para muchos factores el diseño requiere muchos tratamientos, sin embargo, para pocos factores es una buena alternativa pues entre sus ventajas es que permite el estudio de curvaturas también resulta !til en el caso en que un factor es categ"rico con tres niveles. #xisten varias notaciones $ nomenclaturas para los puntos del diseño 3 k, las m%s comunes es denotar a los tres niveles como bajo, medio $ alto en algunos libros utili&an los n!meros '(, ) $ ( $ en otros los n!mero (, * $ 3+ ratamiento A - A - ates -ajo -ajo '( '( ( ( )) /edio -ajo ) '( * ( () Alto -ajo ( '( 3 ( *) -ajo /edio '( ) ( * )( /edio /edio ) ) * * (( Alto /edio ( ) 3 * *( -ajo Alto '( ( ( 3 )* /edio Alto ) ( * 3 (* Alto Alto ( ( 3 3 ** * 0iseño 1actorial 3 Diseño factorial 32
Para este diseño consideraremos dos factores A $ - con tres niveles cada uno, el modelo estad2stico es+ 1,2,3; 1,2,3; 1, … , ,
donde es el efecto del factor A, es el efecto del factor -, es el efecto de la interacci"n de ambos, es el n!mero de réplicas en el experimento $ es la componente del error aleatorio tal que ~0 ~0,, ! Podemos descomponer la suma total de cuadrados como sigue+ ""# ""$ ""% ""$% ""&, ""&,
con los respectivos grados de libertad+ 3 ' 1 2 2 ( 3 ' 1!
Ahora creamos la tabla del an%lisis de varian&a+ #fecto A A#rror otal
uma de 5rados de 4uadrados 6ibertad ""$ * ""%
*
""$% ""& ""#
7
3 ' 1
4uadrados /edios
)*
+"$ ""$ 2
+"$
+"% ""% 2
+"& +"%
+"$% ""$% (
+"& +"
%$
+"&
+"& ""&3 ' 1
3 '1
6a desventaja de este an%lisis es que considera los efectos A, - $ A- de forma agrupada, si estamos interesados en estudiar el efecto cuadr%tico, podemos descomponer cada efecto en sus partes lineales $ cuadr%ticas visto como una regresi"n lineal tendr2amos+ -* -. /. - / -.. /. - / -. /. / -../. / -. /. / -.. /. / ,
donde /. representa el valor codificado del efecto A, / representa el valor codificado del efecto -. Aqu2 se ha descompuesto, por ejemplo, el efecto A en /. $ /., una parte lineal $ una parte cuadr%tica cada efecto individual tendr% ( grado de libertad. 6a tabla de an%lisis de varian&a ser% ahora+ #fecto A6 A8
""$
-6
""%
-8
""%
A6-6
4uadrados /edios
)*
+"$ ""$ 1
+"$
(
+"$ ""$ 1
+"& +"$
(
+"% ""% 1
+"& +"%
(
+"% ""% 1
+"& +"%
+"$ % ""$% 1
+"& +"$ %
(
+"$ % ""$ % 1
+"& +"$ %
(
+"$ % ""$% 1
+"& +"$ % +"& +"$ %
uma de 5rados de 4uadrados 6ibertad ""$ (
""$ %
A8-6
""$ %
A6-8
""$ %
(
A8-8
""$ %
(
+"$ % ""$ % 1
#rror otal
""&
3 ' 1
+"& ""&3 ' 1
""#
3 ' 1
0onde el sub2ndice 6 representa el término lineal $ 8 el cuadr%tico.
+"&
Ejemplo.- #n un proceso de fabricaci"n de cajas se utili&a pegamento, con la idea de mejorar el desempeño de las cajas se reali&a un experimento para estudiar la fuer&a de adhesi"n del pegamento en diferentes condiciones de humedad $ temperatura. 6a variable de respuesta es la fuer&a necesaria en libras para despegar la caja. 6os resultados obtenidos son+
9umedad 1r2o :); (.: (.* <); (.7 (.3 =); ).> (.*
emperatura Ambiente 4aliente 3.: 3.* 7.) 7.* *.= *.: 3.> 3.7 (.> *.) *.< 3.)
Anali&aremos el diseño utili&ando /initab. Para crear el diseño factorial en ?#stad2sticas@ seleccionamos ?0#@, después ?1actorial@ $ por !ltimo ?4rear diseño factorial@+
#n el men! de ?4rear diseño factorial@ elegimos la opci"n ?0iseño factorial completo general@, para nuestro ejemplo s"lo requerimos de dos factores+
#n el men! ?0iseños@ elegimos el nombre de las variables $ el n!mero de niveles, en nuestro ejemplo los factores son A+ emperatura $ -+ 9umedad, cada uno con tres nieveles $ dos réplicas+
#n el men! ?1actores@ elegimos los valores en cada nivel $ si es de tipo numérico o texto Bpodemos dejar los valores por defecto+ (, * $ 3C+
#n ?pciones@ no aleatori&aremos las corridas, por !ltimo aceptamos $ se crear% el diseño, al cual s"lo debemos agregarle la variable de respuesta+
6os gr%ficos de efectos principales, as2 como los de interacci"n ser%n siempre !tiles+ Gráfica de efectos principales para Fuerza Medias de datos Temperatura
Humedad
3.5
3.0 a 2.5 i d e M
2.0
1.5
1.0 Frío
Ambiente
Caliente
50
70
90
Gráfica de interacción para Fuerza Medias de datos 4.5
Temperatura Frío A mbiente Caliente
4.0 3.5 3.0
a i d e M2.5
2.0 1.5 1.0 50
70 Humedad
90
#n la primera gr%fica se observa que ambos efectos pueden ser significativos, as2 como que posiblemente no existe curvatura Bambas siguen una tendencia casi linealC. #n la segunda gr%fica tenemos que no ha$ mucha evidencia a favor de la interacci"n $ si existe, no es mu$ fuerte.
Ahora confirmaremos estas observaciones mediante el an%lisis de varian&a. Para el an%lisis de efectos A, - $ A- de forma agrupada s"lo anali&amos el diseño en la secci"n de diseño de experimentos B0#C+
#legimos la fuer&a como respuesta, los términos del modelo ser%n A, - $ A-+
Aceptamos $ obtenemos el an%lisis de varian&a+ Modelo lineal general: Fuerza vs. Temperatura, Humedad Factor Temperatura Humedad
Tipo fijo fijo
Niveles 3 3
Valores Frío, Ambiente, Caliente 50, 70, 90
Análisis de varianza para Fuerza, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Temperatura Humedad Temperatura*Humedad Error Total
S = 0.216025
GL 2 2 4 9 17
SC Sec. 15.9433 3.1633 0.6933 0.4200 20.2200
R-cuad. = 97.92%
SC Ajust. 15.9433 3.1633 0.6933 0.4200
CM Ajust. 7.9717 1.5817 0.1733 0.0467
F 170.82 33.89 3.71
P 0.000 0.000 0.047
R-cuad.(ajustado) = 96.08%
A un nivel de significancia de 0!0 concluimos que los efectos de la emperatura $ la 9umedad son significativos al igual que la interacci"n, aunque por mu$ poco. Para reali&ar el an%lisis de los efectos cuadr%ticos haremos una regresi"n lineal, pero primero es necesario tener los datos en forma codificada+
Ahora el an%lisis lo haremos en la secci"n de regresi"n general+
Decesitamos introducir al modelo todos los factores cuadr%ticos+
#n ?pciones@ seleccionamos que la suma de cuadrados para las pruebas sea secuencial Btipo EC+
Aceptamos $ obtendremos el siguiente resultado+ Análisis de regresión general: Fuerza versus Temperatura, Humedad Ecuación de regresión Fuerza
=
-4.2 + 6.375 Temperatura + 2.725 Humedad - 1.175 Temperatura*Temperatura - 2.825 Temperatura*Humedad - 0.425 Humedad*Humedad + 0.625 Temperatura*Temperatura*Humedad + 0.325 Temperatura*Humedad*Humedad - 0.075 Temperatura*Temperatura*Humedad*Humedad
Coeficientes
Término Constante Temperatura Humedad Temperatura*Humedad Temperatura*Temperatura Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad Temperatura*Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad*Humedad
Coef -4.200 6.375 2.725 -2.825 -1.175 -0.425 0.625 0.325 -0.075
EE del coef. 2.90230 3.29570 3.29570 3.74244 0.81548 0.81548 0.92601 0.92601 0.22913
T -1.44713 1.93434 0.82683 -0.75486 -1.44088 -0.52117 0.67494 0.35097 -0.32733
Resumen del modelo S = 0.216025 PRESS = 1.68
R-cuad. = 97.92% R-cuad.(pred.) = 91.69%
R-cuad.(ajustado) = 96.08%
P 0.182 0.085 0.430 0.470 0.183 0.615 0.517 0.734 0.751
Análisis de varianza Fuente Regresión Temperatura Humedad Temperatura*Humedad Temperatura*Temperatura Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad Temperatura*Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad*Humedad Error Total Fuente Regresión Temperatura Humedad Temperatura*Humedad Temperatura*Temperatura Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad Temperatura*Humedad*Humedad Temperatura*Temperatura*Humedad*Humedad Error Total
GL 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 17
SC Sec. 19.8000 15.6408 3.1008 0.4050 0.3025 0.0625 0.2817 0.0017 0.0050 0.4200 20.2200
F 53.036 335.161 66.446 8.679 6.482 1.339 6.036 0.036 0.107
SC Ajust. 19.8000 0.1746 0.0319 0.0266 0.0969 0.0127 0.0213 0.0057 0.0050 0.4200
CM sec. 2.4750 15.6408 3.1008 0.4050 0.3025 0.0625 0.2817 0.0017 0.0050 0.0467
P 0.000001 0.000000 0.000019 0.016328 0.031400 0.276950 0.036351 0.854300 0.750906
Ajustes y diagnósticos para observaciones poco comunes No hay observaciones poco comunes
e conclu$e que las partes lineales son significativas al igual que la interacci"n $ posiblemente los términos emperatura*, emperatura*F9umedad. A!n ha$ otra forma de verificar si existen curvaturas en el modelo, en el modelo de regresi"n s"lo introducimos los efectos principales $ la interacci"n+
Aceptamos $ obtenemos el siguiente resultado+ Análisis de regresión general: Fuerza versus Temperatura, Humedad Ecuación de regresión Fuerza = 0.3 + 1.59167 Temperatura - 0.0583333 Humedad - 0.225 Temperatura*Humedad Coeficientes Término Constante Temperatura Humedad Temperatura*Humedad
Coef 0.30000 1.59167 -0.05833 -0.22500
EE del coef. 0.456841 0.211476 0.211476 0.097895
T 0.65668 7.52645 -0.27584 -2.29839
P 0.522 0.000 0.787 0.037
Resumen del modelo S = 0.276887 PRESS = 1.84871
R-cuad. = 94.69% R-cuad.(pred.) = 90.86%
R-cuad.(ajustado) = 93.55%
Análisis de varianza Fuente Regresión Temperatura Humedad Temperatura*Humedad Error Falta de ajuste Error puro Total
GL 3 1 1 1 14 5 9 17
SC Sec. 19.1467 15.6408 3.1008 0.4050 1.0733 0.6533 0.4200 20.2200
SC Ajust. 19.1467 4.3430 0.0058 0.4050 1.0733 0.6533 0.4200
CM sec. 6.3822 15.6408 3.1008 0.4050 0.0767 0.1307 0.0467
F 83.246 204.011 40.446 5.283
P 0.0000000 0.0000000 0.0000177 0.0374643
2.800
0.0853066
e observa que la falta de ajuste no es significativa, por lo que un modelo lineal es suficiente. 1inalmente se verifican los supuestos usuales del modelo+ Gráficas de residuos para Fuerza Gráfica de probabilidad normal 99
0.50
90
e j a t n 50 e c r o P
0.25
o u d i 0.00 s e R
0.25
10 1
vs. ajust es
0.50 0.50
0.25
0.00 Residuo
0.25
0.50
1
2 3 Valor aj ustado
Hist orama
vs. orden
4
0.50
a 3 i c n e u 2 c e r F
o u d i s 0.00 e R
0.25
0.25
1 0
4
0.50 0.4
0.2
0.0 0.2 Residuo
0.4
2
4
" ! 10 12 14 Or den de observación
1"
1!
e enfati&a la b!squeda de curvaturas debido a que ser% de mucha utilidad en la metodolog2a de superficie de respuesta. 4on todo lo aprendido hasta ahora es posible anali&ar diseños factoriales, en bloques, con factores fijos o aleatorios $ anali&ar si existen curvaturas. e han hecho an%lisis de dos casos especiales+ diseños *k $ 3k con puntos al centro $ sin réplicas.
Referencias: G(H 0ouglas 4. /ontgomer$, ?0iseño $ An%lisis de #xperimentos@, 5rupo #ditorial Eberoamericana, /éxico (==(. G*H 9umberto 5utiérre& Pulido, ?An%lisis $ 0iseño de #xperimentos@, /c5raI 9ill, /éxico *))7.
