¡Líder indiscutible en enseñanza preuniversitaria! preuniversitaria!
“INTEGRAL”
¡Líder indiscutible en enseñanza
INTEGRAL” INTEGRAL”
preuniversitaria! preuniversitaria!
III. 1-O1IEDDE!
"n#ice
2. El facto factori rial al de un númer número o pued puede e e3presarse en funci/n del factorial de otro número menor.
PROPIEDADES( 2. Tam#i=n convencionalmente, se asume ue( 1 = 1
ALGEBRA 4ALP0A11
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
9.
E+emplo( 4 5) 6 5 3 7 3 8 3 9 3 : 3 2 4 2:) 6 2: 3 22 3 2;)
5) 6 5 3 7)
I. DEFINICION El factorial de un número natural “n” como el producto indicado, desde la unidad en forma consecutiva, hasta el número “n”.
:. 1or 1or conv convenci enci/n( /n(
;)
< por De0nici/n(
2)
=
"a sim#olo$%a a utili&ar ser'( n) * n ; n !e lee( “El factorial del número n” o “n factorial”
E+emplo.
n-2
n1 = n 1
a?
V. RELACION RELACION ENTRE EL COFACTOR COFACTORIAL IAL Y EL FACTORIAL.
=
2
E+emplo(
2n-1
2! = 2 = 1x2 = 2 3! = 3 = 1x2x3 = 6 4! = 4 = 1x2x3x4 = 24 5! = 1 = 1x2x3x4x5 = 120
En $eneral( = 1x2x3x 1x2x3x4x. 4x....x ...x (n -1) x(n) x(n)
O!E-CIONE! "os factoriales s/lo est'n de0nidos para los números naturales. s%(
4
a=b
∀ a,
#
∈ N
n 2 n
n)) ≠ >n)? ) 1or e+emplo( 9)) 6 2 . 9 6 9, en cam#io, >9) ?) 6 5) 6 A:;
n se r
lee( lee(
“coefciente n, r ”< ”< est' de0nida por( ó
n!! =
n = r
n!!
1x3x5x...x n
si "n" es impa
2x4x6x...x n
si "n" es pa
n
E+emplos( A)) 6 239373A 6 2;7 B)) 6 :38353B 6 9B8
:?
9)
A. 5. 7 5
= 97 n = n 2
n = 2 ; TEOREMA DEL COEFICIENTE BINOMIAL
IV. IV. !E@IFCTO-I" O COFCTO-I" n
COEFICIENTE BINOMIAL
notació notación n coefci coefcient ente e binomia binomiall
-3 No exiten
=
Esta importa importante nte notaci/ notaci/n n conocid conocida a como como coe0ciente #inomial, se de0ne de la si$uiente manera( !i n es número real < r un número natural, la
m) m ) ≠ n) n (mn ) ≠ >m)?n
NOTCION( !e de0ne(
− 2?>A −
De0nici/n( !e de0ne ue(
8. "as operacio operaciones nes aritm=tica aritm=ticas, s, dentro dentro de los factoriales factoriales no est'n de0nidas* es decir( 4 >m ± n?) ≠ m) ± n) 4 >m . n?) ≠ m) . n) 4
9 factores
n = 2 n
2n
O#servaciones Importantes(
a = b
A.>A
1ropiedades
x=0 ó x=1
x = 1
A = 9 A = 9
2n = 2n n
De lo anterior, si(
1! = 1 = 1
2
= n
4!i el número es par(
2
9. !i(
1 3
n .
"n#ice "n&eio
4 !i el número es impar(
II. NOTCIONE!
n! = n
n
:.
0 = 1
n! = n (n - 1)! 1)! n! = n(n - 1)(n - 2)! .........., etc etc
$%peio
n
n>n − 2?>n − :?.....>n − r + 2? r)
1uede compro#arse ue el número de factores ue ha< en el numerador numerador de esta relaci/n, relaci/n, coincide coincide con r. simismo se esta#lece ue “n”es el índice superior y r el índice inerior.
El si$uiente teorema, permite evaluar
n de r
otra manera( manera( !i n es un entero positivo positivo r, es un entero no ne$ativo < r ≤ n, se veri0ca ue(
n = r
n) r)>n − r?)
"a e3pres e3presi/n i/n propues propuesta ta es seme+a seme+ante nte al c'lculo edl número número de com#inaciones com#inaciones de n o#+etos o#+etos tomdaso de r en r, ue se estudiar' m's adelante, en el cap%tulo de Combinatoria, por lo ue a este este coe0ci coe0cient ente e #inomi #inomial al n, r tam#i=n se le llama N@E-O CO@INTO-IO n, r. na notaci/n euivalente a la
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preuniversitaria! com#inatorio cu
ase n
n = C
m
'#en
m+2
m
Cn−2+ Cn = Cn
Ejemplo.
1
5)
=
:)>5 − :?)
5) :) . 8)
=
5.7. 8) :.28)
Forma pr'ctica de efectuar un número com#inatorio. 4
B
C9 =
B.A.5
9 factores
2.:.9
4
4
2;
C8
=
n+ 9
C8
+ C7 1ara calcular C 7 * aumentamos en 9 : una unidad a la #ase < anotamos el orden ma
=
7
5
5.7.8
C9 + C : = C9 = 9.:.2 = :; s uma de t od os lo s n úme ro s com#inatorios de i$ual %ndice, cu
2;.E..B.A
m
m
m
m
8.9.:.2
C; + C2 + ....+ Cm = :
>n + 9?>n + :?>n + 2?n
E+m.
8.9.:.2
C8 ;
+ C28 + C 8 + C8 + C8 = :8 = 25 : 9 8
E+m. 2;;
C EB
2;;
= C:
=
2;;.EE 2. :
= 88E7
2a. "a suma de dos números com#inatorios de i$ual #ase, cu
d? A:;
e? 7;8;
A
#1.!eGale verdadero >? o falso >F? en( I. H 9) 6 5 II. > 8?) 6 :8 III. >:) 9)? 6 7) I. ;) 62 . 9 ) 6 5 I.
2 :)
a? FFF d? FF F FF
resulta( a? 2 #? 29
c? 2
d? 2:A e? 2B
#$.!impli0ca(
#2.!impli0car(
e? :2
n + 2 n − 2 n n − 2 + + + r + 2 r − 2 r − 2 r !i( r ≤ n2
B9) 8;)+82) B2)+B:) 8:) a? 2 #? :
c? 9
d? 8
e? 7
#%.Determine el valor de “n” ue veri0ca la i$ualdad(
>n + 7? + >n + 8?) c? A
= 2:) d? B
n + : r + 2 n + : r + : n + 9 d? r + : a?
#?
n + : r
c?
e? N.a.
AUTOEVALUACION
e?
#1.!eGale la a0rmaci/n verdadera en( >:n?)
>:n − :?)
−
n) >n − :?)
= A; ,
el valor
de “n” es(
#(.Calcule( B
a? >mn?) 6 m) n) #? >m . n?) 6 m) . n)
(
n) = n) d? n) 6 >n2?) n e? >m n? 6 m) H n) c?
c? 5
d? A
e? B
#'.allar el valor de “n” sa#iendo ue( n)>n)−9? = 2B n)+8
c? FFF
d? :;
1#.-educir(
a? 8 #? H9 < 8 #? FFF e? F F F
c? 2
= 25
a? 5 #? 2B
25 26 2
a? 8 #? 7
= ;,7
c? 8:8
8
25
a? 7 #? 5
APLICACI"N TEORICA
#? 95 e? N.a.
#).-esolver ( − Cn 7 − Cn B
#&.!i(
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS n úmeros com#in at or ios complementarios, son auellos ue tienen i$ual #ase < la suma de los /rdenes coincide con dicha #ase. !e veri0ca ue los números com#inatorio complementarios son i$uales.
a? 9B8 d? :B
#!.l efectuar la e3presi/n(
>n + 5?)>n + 8?)
En efecto( 2 8 5 8 2 6 25
1ra. "os
c? :8
1 2 3
!ra." a
9)
LM> 2)+ 2?)+ 2K)+ 2J) LM>;)+ ;?) + ;K)+ ;J)
a? ; #? 2
E+m.
5 = :
=
x
c? :8 d? B
, si( B
C3 = C3+ :
e? 7
#2.!impli0car( 9)) 5)+A)+B)
5)+A) a? : #? 2
c? 9
d? 2:
e? 8
#!.Dar el euivalente de la ra%& cuadrada de( n2 n-2
1
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preuniversitaria! a? n2 d? n: n H 2
#? n: H n 2 e? n :n H2
24
c? n H2
β =
a C B Q #$.PEn cu'nto e3cede C B 9 : B a? C2
#? C A :
d? C E :
e? C E 9
24
(
13 15 )
B
a?
c? C B : d?
5
:
#?
29
A
B
:
e?
22
;2.D ;5. E
c? n69
>9n + 7?)−>9n + 8?) c? 9:
d? 99
e? 98
+ 2 : 2B 2A − 7 7 #? 27 c? 97
d?
79
#(.allar el euivalente de( * = 2 2 4 2 6 3 + 4 ...... 2n n a) n -1
b) 2n1
#) 2 n -1
e) 2n n -1
c) 2 n
#).-educir( 3 3)+2>3 − 2?)>3 + 2?) 3)3) >3 − 2?)3>3)? a? 3 #? 3)
1#.!impli0car(
c? 23
d? 32
e? >32?)
;:. ;A.
Cop
=2
#'.-educir( 25 25
a? 29 e? 227
:8 2A
:
CLAVES
9>9n : + 2;n + B?>9n + 7?)>9n + 8?)
a? 9; #? 92
c?
29
#%.-esolver( >n − 2?)+ n)= ;,:>n + 2?) a? n6 2 #? n67 d? n68 e? n62 / 7 #&.Calcular “n” en(
:
27
Centro de Cómputo.
;9.D ;B. D
;8.C ;.
;7. 2;. E
INTEGRAL”
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