COMPLEMENTO DE CÁLCULO D E P A R T A M E N T O
D E
C I E N C I A S
B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
VIRGINIO GOMEZ
INTRODUCCION
Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.
Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros), transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y mantención en sectores productivos.
Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables.
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INDICE
Pág.
I
II
III
SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... Límite de una sucesión ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geométrica .................................................................................................. Serie p o hipergeométrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razón ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ................................................................................................... FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................
DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales ..................................................................................
Derivación implícita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ demostraciones .............................................................................. Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una función de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................
1
3 4 7 8 9 11 13 16 19 23 26 30
35 36
40 45 48 55 59 62 66 70 73 73 73 77
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IV
INTEGRACION MULTIPLE
V
82 82 86 87 89 91 92 95
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Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide .................................................................................... Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... determinar el valor de la región ‘ ................................................. cálculo de volúmenes ..................................................................... Cálculo de volúmenes ......................................................................................... Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................
98 103 108 116 123 128
CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................
136 137 137 141 141 146
ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... Ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................................
150 151 154 158
VII
AUTOEVALUACIONES
.................................................................................
162
VIII
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................
178
VI
2
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Sucesiones
Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales a œ ™ b
Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − Ejemplo: 1) Si , f (n) =
n entonces: n+2
n
1
2
3
4
5
f (n)
1 3
1 2
3 5
2 3
5 7
Los pares ordenados serán:
1 1 1 2 5 1 , ; 2 , ; 3 , ; 4 , ; 5 , ... 3 2 3 3 7
En el ejemplo =
{ f (n)} =
n = n + 2
2) 0 a8b œ œ
" $
{a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,...,
a n ,...}
n 1 1 3 2 5 , ... , , , , , ..., n 3 2 5 3 7 + 2
si 8 es impar si 8 es par
œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
3
n
...
n n+2
n ; ... n , n+ 2
Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla.
{ f (n)} = {a n }
...
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Concepto de Límite de una Sucesión
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Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por :
{ }
lim a n = L
n→∞
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión + Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con
entonces si lim
{ a n } es una sucesión tal que
f ( x) = L , lim x→∞
f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
an = L
n→∞
Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ
8 8#
0 aB b œ
H970 aBb œ ‘ Ö # ×
B B#
™ © ‘ Ö #× B lim œ lim BÄ_ B# BÄ_ Por lo tanto,
2) œ
B B
B # B B
œ
lim BÄ_
" # " B
8 lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8#
" &8$ #8$ %8
0 aB b œ
" &B$ #B$ %B
H970 aBb œ ‘ Ö! ×
™ © ‘ Ö!×
4
œ"
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" &B$ B$ B$ #B$ %B $ $ B B
" &B lim œ lim B Ä _ #B$ %B B Ä _
Por lo tanto,
" & $ & B œ lim œ % BÄ_ # # # B
" &8$ & lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$ %8 #
1 3) œ8 † =/8Š ‹ 8 1 0 aBb œ B † =/8Š ‹ B
H970 aBb œ ‘ Ö! ×
™ © ‘ Ö!× 1 lim B † =/8Š ‹ BÄ_ B
œ_†!
œ
lim BÄ_
œ
! !
œ Pw L
1 =/8Š ‹ B " B
lim BÄ_
1 1 -9=Š ‹ # B B " # B
1 1 -9=Š ‹ B œ lim BÄ_ " œ1 Por lo tanto,
1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 8Ä_ 8
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$
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Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces: a) La sucesión {c} tiene como límite c lim c ⋅ a n
b)
= c ⋅ lim
n→∞
c)
lim
(a n ± bn ) =
n→∞
d)
an
n→∞
lim
lim a n ± n→∞
a n ⋅ bn
=
an n → ∞ bn
lim
n→∞
an ⋅
lim
n→∞
e)
lim bn
lim
n→∞
=
bn
n→∞
lim a n
n →∞
si
lim bn
n →∞
lim bn ≠ 0
n →∞
Ejercicios Determine si la sucesión CV o DV a) œ
8" #8 "
b) œ
#8# " $8# "
c) œ
8# " 8
d) œ
$8$ #8# 8
e) œ
/8 8
f) œ
È8# " 8
Solución
a) CV
b) CV
c) DV
d) DV
e) DV
f) DV
6
"
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Concepto de Series Infinitas Si {a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ...
n =1
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Series
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales
S1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie
∞
∑ an converge. n =1
Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
_ Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8 la sucesión de sumas parciales. 8œ"
lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8 y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma. 8Ä_ 8
Si
∞
Teorema :
Si la serie
∑ an
es CV, entonces
n =1
Teorema : Si
lim a n ≠ 0
n →∞
lim a n = 0
n →∞
∞
, entonces la serie dada
∑ an n =1
es DV.
Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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La serie Primer término ∞
∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con
a≠0
n =0
razón
Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón
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Serie Geométrica
_ + Teorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ si, y sólo si, "< 8œ! ¸ < ¸ " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸ " Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " _ " 8 +Ñ " 8 œ " Œ # # 8œ! 8œ!
<œ "
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ
" _ & 8 ,Ñ " Œ % 8œ!
<œ
" " #
" #
œ#
& " %
Por lo tanto, la serie DV. _ " 8 -Ñ " Œ # 8œ!
<œ
" " # "
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ _ # 8 .Ñ " # † Œ $ 8œ!
" " # # <œ " $
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ _ ' 8 /Ñ " $ † Œ & 8œ!
<œ
# # " $
' " &
8
œ
# $
œ
' &
Por lo tanto, la serie DV.
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La serie
∞
∑
n =1
1 n
p
= 1+
se llama serie p con
1 2
p
+
1 3
p
+L+
1 np
p>0
Si p = 1 , entonces la serie
∞
∑
n =1
+L
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Serie p o serie Hiperarmónica
1 1 1 1 = 1+ + +L+ +L n n 2 3
se denomina serie armónica.
_ " Teorema À La serie : " es convergente si, y sólo si, : " y es divergente si, y 8: 8œ" sólo si, ! : Ÿ " Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " +Ñ " 8 8œ"
:œ"
Por lo tanto, la serie DV
_ " ,Ñ " 8$ 8œ"
:œ$
Por lo tanto, la serie CV
_ " -Ñ " "Î$ 8 8œ"
:œ
" $
Por lo tanto, la serie DV
_ " .Ñ " 81 8œ"
:œ1
Por lo tanto, la serie CV
_ " /Ñ " $ È8% 8œ"
:œ
% $
Por lo tanto, la serie CV
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I
Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.
_ % "Ñ " 8 # 8œ!
_ ( 8 #Ñ " Œ $ 8œ!
_ $ %Ñ " Ð ""Ñ8 8œ!
_ &Ñ " Ð #&Ñ8 8œ!
II
_ ) 8 $Ñ " #Œ & 8œ!
_ a&'b8 'Ñ " $ 8œ!
Decida si las siguientes series : CV. o DV.
_ " "Ñ " "&8 8œ"
_ $ #Ñ " "& 8 œ "8
_ # %Ñ " & 8 œ "8
_ % &Ñ " &Î) 8 œ "8
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Ejercicios
_ # $Ñ " %Î* 8 œ "8
_ ( 'Ñ " "#Î& 8 œ "8
Solución I 1) < œ
" ß la serie CV #
2) < œ
( , la serie DV $
3) < œ
) ß la serie DV &
4) < œ
" ß la serie CV ""
5) < œ #&ß la serie DV
6) < œ &' ß la serie DV
II 1) : œ " ß la serie DV
2) : œ "& ß la serie CV
3) : œ
% ß la serie DV *
4) : œ &ß la serie CV
5) : œ
& ß la serie DV )
6) : œ
10
"# ß la serie CV &
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Teoremas sobre Series
_ _ Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número 8œ" 8œ" finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV. _ " Ejemplo: Determine si la serie " es CV o DV 8" 8œ" _ " " " " " " " œ ÞÞÞ ÞÞÞ 8" # $ % & 8" 8œ" _ " " " " " " " œ " ÞÞÞ ÞÞÞ 8 # $ % & 8 8œ"
y
_ " La serie " equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como 8" 8œ" _ _ " ! " es DV, entonces " es también DV. 8 8 " 8œ" 8œ" Teorema 2: Sea - una constante no nula:
_ _ _ a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su 8œ" 8œ" 8œ" suma es -WÞ _ _ b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV. 8œ" 8œ" Ejemplo: _ # _ _ " " 1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8 $ $ $ 8œ" 8œ" 8œ" _ " " " 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV. $ $ 8œ" Así,
_ # " 8 es CV. $ 8œ"
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_ _ # # " 2) " œ " † $ È8 $È 8 8œ" 8œ" _ " " " es serie : con : œ y por lo tanto DV. È8 # 8œ" _ # Así, " es DV. È $ 8 8œ"
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_ _ Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B, 8œ" 8œ" entonces: _ a) " a+8 ,8 b es CV y su suma es A B 8œ" _ b) " a+8 ,8 b es CV y su resta es A B 8œ" Ejemplo: _ " $ " Œ 8 8 œ # & 8œ"
_ " _ $ " 8 " 8 # & 8œ" 8œ"
_ " " 8 es CV y su suma es " # 8œ" _ $ $ " 8 es CV y su suma es & % 8œ" _ " $ ( Luego, " Œ 8 8 es CV y su suma es # & % 8œ"
_ _ Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces 8œ" 8œ" _ " a+8 „ ,8 b es DV. 8œ"
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_ _ & _ # & # " Œ 8 œ " 8 " ) *8 ) *8 8œ" 8œ" 8œ" _ & " " 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV ) ) 8œ" _ # " " † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV * 8 8œ" _ & # Luego, " Œ 8 es DV. ) *8 8œ"
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Ejemplo:
Criterios para establecer la convergencia de series infinitas A.-
Criterio de comparación
∞
Sea
∑ an una serie de términos positivos:
n =1
∞
a)
Si
∑ bn n =1
es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces
∞
∑ an es CV. n =1
∞
b)
Si
∑ bn n =1
es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces
∞
∑ an es DV n =1
Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ " "Ñ " &8 " 8œ" &8 " Ÿ '8
a8 −
" " &8 " '8
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_ " _ " " " œ " † serie armónica y por lo tanto DV '8 ' 8 8œ" 8œ" _ " Luego, " es DV &8 " 8œ" _ " #Ñ " 8# % 8œ" 8# % 8#
a8 −
" " Ÿ # 8# % 8 _ " " # serie : con : œ # y por lo tanto CV 8 8œ" _ " Luego, " es CV. # 8 % 8œ"
_ 8 $Ñ " # 8 " 8œ" 8 " # $ % &
8#
" # # & $ "! % "( & #'
8 "
" #8 " # " % " ' " ) " "!
8 " 8# " #8 _ " _ " " " œ " † serie armónica y por lo tanto DV #8 # 8 8œ" 8œ" _ 8 Luego, " # es DV. 8 " 8œ"
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Ejercicios Decida si la serie CV. o DV. _ " "Ñ " $ 8œ" 8 (
_ " #Ñ " 8 % $ 8œ"
_ " $Ñ " 8# 8œ"
_ " %Ñ " #" $8 8œ"
_ " &Ñ " È8 % 8œ" Solución 1) CV
2) CV
3) DV
4) CV
5) DV
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Criterio de la Integral de Cauchy
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B)
Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la +∞
∞
serie
∑ an
es CV si la integral impropia
n=1
es CV y la
1
+∞
∞
serie
∫ f ( x)dx
∑ an
es DV si la integral impropia
n=1
∫ f ( x)dx
es DV .
1
Ejemplos: Determinar si la serie CV o DV. _ "Ñ " 8 † /8 8œ" 0 aB b œ B † / B (
_
0 aBb es decreciente, positiva y definida a B " (
B † /B .B œ lim
,Ä_
"
,
B † /B .B
"
B ( B † / .B
?œB
Ê .? œ .B .@ œ /B .B Ê @ œ / B
B B B ( B † / .B œ B/ ( / .B
œ B/B /B G œ
lim
,Ä_
(
,
B" G /B
B † /B .B œ lim
,Ä_
"
œ œ
," "" /, /
lim
,Ä_
lim
,Ä_
B" , º /B "
," # /, /
œ Pw L Œ lim
,Ä_
œ Por lo tanto, (
_ "
B † /B .B CV a
" # , / /
# /
_ # Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV. / 8œ"
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_ E<->1 8 #Ñ " 8# " 8œ" 0 aB b œ (
_ "
0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
E<->1 B B# "
, E<->1 B E<->1 B .B œ lim ( .B # ,Ä_ B " B# " "
(
E<->1 B .B B# "
(
E<->1 B .B œ ( ? .? B# " œ
lim
,Ä_
(
? œ E<->1 B
Ê .? œ
?# G # œ
aE<->1 Bb# G #
, E<->1 B aE<->1 Bb# , lim .B œ º ,Ä_ B# " # " " œ
œ
lim
,Ä_
_ "
aE<->1 , b# aE<->1 "b# # #
1# 1# ) $# œ
Por lo tanto, (
$1 # $#
E<->1 B .B CV B# "
a
( (
_ "
" aB "bÈ68aB "b
" .B " B#
_ E<->1 8 $1 # es CV. Þ Luego la serie " # $# 8 " 8œ"
_ " $Ñ " È 8 œ " a8 "b 68a8 "b 0 aB b œ
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0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
, " " .B œ lim ( .B ,Ä_ aB "bÈ68aB "b " aB "bÈ68aB "b ? œ 68aB "b
" .B È aB "b 68aB "b
17
Ê .? œ
" .B B"
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(
" " .B œ ( .? È? aB "bÈ68aB "b œ ( ? # .? "
œ # È? G
œ # È68aB "b G
lim
,Ä_
(
, "
, " .B œ lim # È68aB "b º ,Ä_ aB "bÈ68aB "b " œ
lim #È68a, "b #È68#
,Ä_
œ _ #È68# Por lo tanto, ( _ " 8œ"
_ "
œ_ " .B DV Þ Luego la serie aB "bÈ68aB "b
" es DV. È a8 "b 68a8 "b Ejercicios
Determine si la serie CV o DV. _ " "Ñ " #8 " 8œ" _ " $Ñ " # 8 œ # 8 a688b
_ 8# #Ñ " $ 8œ" 8 # _ /"Î8 %Ñ " 8# 8œ"
_ " &Ñ " È8# " 8œ" Solución 1) DV
2) DV
3) CV
4) CV
5) DV
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Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces: ∞
∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an
n =1
y ∞
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Series infinitas de términos positivos y negativos
∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an
n =1
Se denominan series alternas o series alternantes.
Ejemplos:
_ " " " " " " "Ñ " a "b8 † œ ÞÞÞ a "b8 † 8" # $ % & 8" 8œ"
_ " " " " " " #Ñ " a "b8 " † œ " ÞÞÞ a "b8 " † 8 # $ % & 8 8œ"
C.-
Criterio de la serie alterna Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces las series alternas ∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an
convergen si, y sólo si:
n =1
a)
b)
0 < a n +1 < a n ∀ n ∈ lim a n = 0 n→∞
19
∞
∑ (−1) n ⋅ an
n =1
y
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Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ " "Ñ " a "b8 † $8 8œ" " +8 " œ $ a8 " b +Ñ
" " $8 $ $8
,Ñ lim
8Ä_
+8 œ
" $8
a8 −
" œ! $8
Por lo tanto, la serie CV. _ " #Ñ " a "b8 " † # 8 " 8œ" +8 " œ +Ñ
"
a8 " b "
+8 œ
#
" " # 8# #8 # 8 "
8#
" "
a8 −
" œ! 8# " Teorema:
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Por lo tanto, la serie CV.
,Ñ lim
8Ä_
_ a) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
o
_ " a "b8 " † +8 se dice que es 8œ" _ Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. 8œ" _ b) Una serie " a "b8 † +8 8œ"
o
_ " a "b8 " † +8 se dice que es 8œ" _ Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. 8œ"
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_ & "Ñ " a "b8 † 8 % 8œ" & +8 " œ 8 % " +Ñ
& & 8 8 " % %
,Ñ lim
8Ä_
& +8 œ 8 % a8 −
& œ! %8
_ & La serie " a "b8 † 8 es CV. % 8œ"
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Ejemplos:
_ & _ " 8 " " 8 œ " & † Œ es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV % % % 8œ" 8œ" _ & Luego la serie " a "b8 † 8 CVA % 8œ" _ " #Ñ " a "b8 " † È8 8œ" " +8 " œ È8 " +Ñ
" " È8 " È8
,Ñ lim
8Ä_
+8 œ
" È8
a8 −
" œ! È8
_ " La serie " a "b8 " † es CV. È8 8œ" _ " _ " " " œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV È8 # # 8œ" 8œ"8 _ " Luego la serie " a "b8 " † CVC È8 8œ"
21
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Ejercicios
Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, además, si es CVA. o CVC. _ 1 "Ñ " Ð "Ñ8 " † 8" 8œ"
_ 1 #Ñ " Ð "Ñ8 † # 8 " 8œ"
_ 1 $Ñ " Ð "Ñ8 † Ð8 "Ñ# 8œ"
_ 1 %Ñ " Ð "Ñ8 " † $" 8 8œ#
_ 1 &Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 È8 8œ"
_ 1 'Ñ " Ð "Ñ8 " † $8 " 8œ" Solución
1) CVC
2) CVA
3) CVA
4) CVA
5) CVA
6) CVC
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D.-
Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert ∞
∑ an
Sea
an ≠ 0
una serie infinita donde :
n =1
y
a n +1 =ρ n→∞ a n lim
entonces: a) cuando ρ < 1 , la serie CVA. b) cuando ρ > 1 , la serie DV. c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.
Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ $8 " "Ñ " 8! 8œ" â 8# â $ â â a8 " b ! +8 " º º œ ââ +8 â $8 " â â 8! lim
8Ä_
â â â 8 â â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $ â 8 8" â a8 " b † 8 ! $ † $ â â
$ œ!" 8"
_ $8 " Por lo tanto, " CV 8! 8œ" _ a#8b! #Ñ " a "b8 † 8 8œ" â â a#8 #b! â +8 " â 8" œ º º ââ a#8b! +8 â â 8
lim
8Ä_
$
#
%8 '8 #8 œ 8"
â â â a#8 #b † a#8 "b † a#8b! 8 â † ✺ º â a b! #8 8" â â %8$ '8# #8 œ 8"
lim
8Ä_
%
8$ 8# 8 ' # 8 8 8 8 " 8 8
23
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lim
œ
œ
8Ä_
%8# '8 # " " 8
_ "
œ_" _ a#8b! Por lo tanto, " a "b8 † DV. 8 8œ" _ #8 $Ñ " a "b8 † $ 8 8œ"
â â #8 " â â +8 " a8 " b $ º º œ ââ +8 â #8 â â 8$
lim
8Ä_
$
â â â $ 8 â ✺ # †# † 8 º â $ #8 â Š8 "‹ â â #8$ œ $ 8 $8# $8 "
#8 œ 8$ $8# $8 "
#
lim
8$ 8# 8 " $ $ $ $ $ $ 8 8 8 8
8Ä_
œ
lim
8Ä_
# $ $ " " # $ 8 8 8
œ#" _ #8 Por lo tanto, " a "b8 † $ DV. 8 8œ" _ 8# %Ñ " a "b8 † 8 & 8œ" â â â +8 " â º º œ ââ +8 â â
8$ &8 " 8# &8
8$ 8$
â â â 8$ &8 8$ â † œ ✺ 8 º â & †& 8# &8 "! â â
8$ " " œ Pw L lim œ " 8Ä_ &8 "! 8Ä_ & & lim
_ 8# Por lo tanto, " a "b8 † 8 CVA. & 8œ"
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Determine si la serie CV o DV. _ a8 " bx "Ñ " #8 8œ!
_ &8 #Ñ " Ð "Ñ8 a#8b x 8œ"
_ a8bx $Ñ " Ð "Ñ8 8 $8 8œ"
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Ejercicios
_ 8# %Ñ " 8 $ a8 " b 8œ"
_ " &Ñ " Ð "Ñ8 Ð#8 "Ñx 8œ"
Solución
1) DV
2) CVA
4) CV
5) CVA
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3) DV
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Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma : ∞ b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n n =0 bi y a son números , x es variable. Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número ∞ y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes. n =0 Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ 2 3 n n ∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x n =0
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Serie de Potencias
Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. _ Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB +b8 8œ! donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razón y se resuelve la inecuación 3 ", además se debe hacer el análisis de los extremos. Ejemplos:
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ # 8 † aB " b 8 "Ñ " a "b8 " † 8 † $8 8œ"
º
+8 " º +8
œ
œ
â â â â â â â â â â
º
# 8 " † aB " b 8 " a8 " b † $ 8 " # 8 † aB " b 8 8 † $8
â â â â â â â â â â
#8 † # † aB "b8 † aB "b 8 † $8 † 8 º 8 a8 " b † $ † $ # † aB " b 8
# 8 † † ¸ B "¸ $ 8" # 8 # 8 lim † † ¸ B "¸ œ † ¸ B "¸ lim 8Ä_ $ 8 " 8Ä_ 8 " $ œ
# " † ¸ B "¸ lim 8Ä_ " $
œ
Pw L
œ
# † ¸ B "¸ $
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# # † ¸ B "¸ " Í " ÐB "Ñ " $ $ Í
$ $ B" # # Í
& " B # #
Análisis de los extremos Para B œ
& #
$ 8 #8 † Œ _ # " a " b8 " † 8 8†$ 8œ"
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a " b8 a$ 8 b _ #8 † #8 œ " a " b8 " † 8 † $8 8œ" _ " œ " a " b# 8 " † 8 8œ" _ " œ " 8 8œ"
_ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ"
Para B œ
" #
8 8† $ # Œ _ # " a " b8 " † 8 † $8 8œ"
$8 _ #8 † 8 # œ " a " b8 " † 8 † $8 8œ" _ " œ " a " b8 " † 8 8œ"
_ " Pero, " a "b8 " † es una serie alterna que es CVC. 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie _ # 8 † aB " b 8 & " " a " b8 " † es B Ÿ 8 8†$ # # 8œ"
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_ aB $ b 8 #Ñ " a "b8 † 8! 8œ" º
+8 " º +8
lim
8Ä_
œ
â â â â â â â â â
a B $ b 8 † aB $ b 8! † º a 8 " b † 8! aB $ b 8
œ
º
œ
" † ¸ B $¸ 8"
" † ¸ B $¸ 8"
â â â â â â â â â
aB $ b 8 " a8 " b ! aB $ b 8 8!
œ
¸ B $¸ lim
8Ä_
œ
¸ B $¸ † !
œ
!"
" 8"
_ aB $ b 8 Por lo tanto, la serie " a "b8 † 8! 8œ" _ 8! $Ñ " a "b8 † 8 8 "! † B 8œ" º
+8 " º +8
lim a8 "b †
8Ä_
œ
â â â â â â â â
a8 " b ! 8 "! " † B8 " 8! "!8 † B8
º
œ
a8 " b †
" "!¸B¸
es CVA a B − ‘
â â â â â â â â
a 8 " b † 8! "!8 † B8 † º "!8 † "! † B8 † B 8!
œ
" "!¸B¸
œ
" lim Ð8 "Ñ "!¸B¸ 8Ä_
œ
" †_ "!¸B¸
œ
_"
_ aB $ b 8 Por lo tanto, la serie " a "b8 † 8! 8œ"
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es DV a B − ‘
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Ejercicios Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ B 8 "Ñ " Ð#8Ñx † Œ # 8œ!
_ ÐB &Ñ8 #Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † &8 8œ"
_ ÐB #Ñ8 " $Ñ " 8" 8 œ " Ð8 "Ñ † $
_ ÐB (Ñ8 %Ñ " Ð "Ñ8 " † 8 † (8 8œ"
_ B#8 " &Ñ " Ð "Ñ8 " † Ð#8 "Ñ! 8œ"
_ 8x ÐB %Ñ8 'Ñ " Ð "Ñ8 † $8 8œ"
_ 8x † B8 (Ñ " Ð#8Ñx 8œ"
_ 8 8" )Ñ " Œ † Ð #BÑ 8" 8œ"
_ #8 † B8 *Ñ " 8# 8œ"
_ ##8 " † B#8 "!Ñ " Ð "Ñ8 † Ð#8Ñx 8œ"
Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ ! B Ÿ "! $Ñ " Ÿ B & %Ñ ! B Ÿ "% &Ñ ‘ 'Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ )Ñ
" " B # #
*Ñ
" " ŸBŸ # #
"!Ñ ‘
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Serie de Taylor
∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de n! n=0 f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .
f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .
∞ f n ( 0) ⋅ x n que se conoce con el nombre de Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ n! n=0 serie de Maclaurin de f .
Ejemplos 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ 0 ! aB b œ
0 w aB b œ 0 w w aB b œ
Ê 0 ! a"b œ "
" B " œ B# B#
w
0 3@ aBb œ 0 aB b œ
Ê 0 w a"b œ #
# œ #B$ B$
0 w w aB b œ
Ê 0 w a"b œ " w
' œ 'B% B%
#% œ #%B& B&
Ê 0 w a"b œ ' ww
Ê 0 3@ a"b œ #%
" B
" † aB "b! a "b † aB "b # † aB "b# a 'b † aB "b$ #% † aB "b% !! "! #x $! %! 0 aB b œ
aB " b ! aB "b # † aB "b# ' † aB "b$ #% † aB "b% " " # ' #%
0 aBb œ aB "b! aB "b aB "b# aB "b$ aB "b% Por lo tanto, 0 aBb œ
_ " œ " a "b8 † aB "b8 B 8œ!
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0 ! aBb œ -9=B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aBb œ =/8B
Ê 0 w a!b œ !
0 w w aBb œ -9=B
Ê 0 w a!b œ " w
0 w w aBb œ =/8B
Ê 0 w w a!b œ !
w
w
0 3@ aBb œ -9=B
Ê 0 3@ a!b œ "
0 aB b œ
" † B! ! † B a "b † B# ! † B$ " † B% !! "! #x $! %!
0 aB b œ
B! B# B% ! ! !! #! %!
0 aB b œ
B! B# B% !! #! %!
_ B#8 Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a "b8 † a#8b! 8œ!
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2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a" Bb 0 ! aBb œ 68a" Bb 0 w aB b œ
" œ a " Bb" "B
0 w w aB b œ 0 w w aB b œ w
"
a " Bb #
a" B b
0 3@ aBb œ 0 aB b œ
Ê 0 ! a!b œ !
$
'
#
Ê 0 w a!b œ "
œ a" Bb#
Ê 0 w a!b œ " w
œ # a" Bb$
a" B b %
Ê 0 w a!b œ # ww
œ 'a" Bb%
Ê 0 3@ a!b œ '
! † B! " † B " † B# # † B$ ' † B% " " # ' #%
0 aB b œ ! B
B# B$ B% # $ %
_ B8 " Por lo tanto, 0 aBb œ 68a" Bb œ " a "b8 † 8" 8œ!
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º
â â â â œâ â â â
+8 " º +8
lim ¸B¸ † Œ
8Ä_
B8 # 8# B8 " 8"
8" 8#
œ œ œ
¸B¸ " Í " B "
â â â B8 † B # 8 " 8" â † ✺ º œ ¸B¸ † Œ â 8 # B8 † B 8# â â ¸B¸ † lim Œ 8Ä_
8" 8#
Pw L ¸B¸ † lim ¸B ¸
" 8Ä_ "
Análisis de los extremos Para B œ " _ a " b8 " " a " b8 † 8" 8œ!
_ a "b#8 " œ" 8" 8œ! _ " œ" 8" 8œ! _ " œ" 8 8œ"
_ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV 8 8œ" Para B œ " _ a" b 8 " " a " b8 † 8" 8œ!
_ " œ " a " b8 † 8" 8œ!
_ " Pero, " a "b8 † es una serie alterna que CVC 8" 8œ!
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Intervalo de convergencia
_ B8 " Luego el intervalo de convergencia de la serie " a "b8 † es " B Ÿ " 8" 8œ!
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,Ñ 0 aBb œ /B
0 ! aB b œ / B
Ê 0 ! a!b œ "
0 w aB b œ / B
Ê 0 w a!b œ "
0 w w aB b œ / B
Ê 0 w a!b œ "
0 w w aB b œ / B
Ê 0 w w a!b œ " ww
w
0 3@ aBb œ /B
0 aB b œ
Ê 0 3@ a!b œ "
" † B! " † B " † B# " † B$ " † B% !! "! #! $! %!
_ B8 Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ " 8! 8œ! Intervalo de convergencia º
+8" º +8
â â â â œâ â â â
lim ¸B¸ † Œ
8Ä_
B8 " a8 " b ! B8 8!
" 8"
â â â B8 † B 8! " â † ✺ º œ ¸B¸ † Œ â a 8 " b † 8! B 8 8" â â œ
¸B¸ † lim Œ 8Ä_
œ
¸B ¸ † !
œ
!"
" 8"
_ B8 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " es ‘ 8! 8œ! Ejercicios I
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Desarrollar en serie de Taylor
$ B "Ñ 0 ÐBÑ œ È
con + œ "
#Ñ 0 ÐBÑ œ
$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB "b
con + œ "
%Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B
II
" B
con + œ " con + œ
1 $
Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ#
#Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
33
" $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB #
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I "Ñ 0 aBb œ "
B " aB " b # & † aB "b$ & † aB "b% # ' &% )"
_ #Ñ 0 aBb œ " aB "b8 8œ! $Ñ 0 aBb œ 68#
B " aB "b# aB "b$ aB "b% # ) #% '%
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Solución
1 #8 1 #8 " _ ŠB ‹ ŠB ‹ È " _ $ $ $ %Ñ 0 aBb œ † " a "b8 † † " a " b8 " † a#8b! a#8 "b! # # 8œ! 8œ!
II _ B8 "Ñ 0 aBb œ " 8 # † 8! 8œ!
CV a B − ‘
_ $#8 " † B#8 " #Ñ 0 aBb œ " a "b8 † a#8 "b! 8œ!
CV a B − ‘
_ _ " B#8 " B#8 " $Ñ 0 aBb œ -9=Œ † " a "b8 † =/8Œ † " a "b8 " † # a#8b! # a#8 "b! 8œ! 8œ! CV a B − ‘
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Funciones de más de una variable Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma C œ 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B − ‘. Se extenderá ahora este concepto a funciones de más de una variable. Por ejemplo À z = f ( x, y ) = x 2 + y 2
z depende de las variables x e y
w = f ( x, y, z ) = x + yz
w depende de las variables x , y y z
En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos de otros espacios numéricos. Si D œ 0 aBß C b, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real bidimensional a‘# b. Si A œ 0 aBß Cß D b, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real tridimensional a‘$ b. Concepto de función de dos variables
Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un número real 0 aBß C b, entonces se dice que 0 es función de B e CÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß C b es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘# aBß C b
È ‘ È 0 aBß C b œ B# C #
#Ñ 0 À ‘#
È
aBß C b
$Ñ 0 À ‘#
aBß C b
‘
È 0 aBß C b œ
È
‘
È 0 aBß C b œ
B C# BC
/BC BC
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Concepto de función de tres variables Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un número real 0 aBß Cß D b, entonces se dice que 0 es función de Bß Cß DÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cß D b es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘$ aBß Cß D b
È ‘ È 0 aBß Cß D b œ B# C # D #
#Ñ 0 À ‘$ aBß Cß D b
È ‘ BC È 0 aBß Cß D b œ BC D #
$Ñ 0 À ‘$
È
aBß Cß D b
‘
È 0 aBß Cß D b œ
-9=aBC b D 68aC D b B#
Dominio de funciones de dos variables
Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas restricciones que para funciones de una sola variable, es decir, a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la cantidad subradical debe ser mayor que cero. d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero. Ejemplos: Determinar el dominio de las siguientes funciones "Ñ 0 aBß C b œ È#& B# C # #& B# C # ! B# C # #& B# C # Ÿ #&
Î † a "b
B# C # œ #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de radio cinco. B# C # #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la circunferencia de radio cinco.
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H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b se encuentra en y dentro de la circunferencia B# C # œ #&}
#Ñ 0 aBß C b œ
$B &C BC
BC Á! BÁC
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B œ C corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b no está en la recta B œ C ×
$Ñ 0 aBß C b œ 68a#B C b #B C ! #B C
#B œ C corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œ #B #B C corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta C œ #B H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está bajo la recta C œ #B ×
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È*B# #&C # ##& CB#
*B# #&C # ##& ! *B# #&C # ##& B# C# " #& *
Î À ##&
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%Ñ 0 aBß C b œ
B# C# œ " corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse #& * B# C# œ" #& * B# C# " corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la #& * B# C# elipse œ" #& * CB#Á! C ÁB#
C œ B # corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œB#
C Á B # corresponde a todos los puntos del plano que no están en la recta C œB# H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y fuera de la elipse y no están en la recta C œ B # ×
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B# C# œ" #& *
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Determine el dominio de las siguientes funciones À
+Ñ 0 ÐBß CÑ œ
B# C # " È%C &B
,Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68Ð* B# $C # Ñ
-Ñ 0 ÐBß CÑ œ
.Ñ 0 ÐBß CÑ œ
ÈB# C # $' #B# $C
È / C #B 68ÐC BÑ
Solución
+Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre la recta C œ
& B %
,Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en el interior de la elipse
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Ejercicios
B# C# œ " * $
-Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y dentro de la circunferencia
# B# C # œ $' y no pertenece a la parábola C œ B# $
.Ñ H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre las rectas C œ #B e C œ B y está en la recta C œ #B ×
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Conceptos
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Derivadas Parciales
Sea z = f ( x , y ) , una función de dos variables , entonces las derivadas parciales Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones f x , f y definidas por :
∂f ( x , y ) ∂z f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) = = f x ( x , y ) = lim ∆x→ 0 ∂x ∂x ∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ∂f ( x, y ) ∂z = f y ( x, y ) = lim = ∆ → 0 y ∂y ∂y ∆y
siempre que exista el límite.
Es decir, si D œ 0 aBß C bß entonces para determinar 0B se considera constante la variable C y se deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se deriva con respecto a C Ejemplos À Obtener 0B ß 0C en À "Ñ 0 aBß C b œ $B# #C $ (B %C 0C œ 'C # %
0B œ 'B ( #Ñ 0 aBß C b œ #BC *B$ &C % 0B œ #C #(B#
0C œ #B #!C $
$Ñ 0 aBß C b œ a$BC # %Bb
$
0B œ $a$BC # %Bb a$C # %b #
0C œ ")BC a$BC # %Bb
40
#
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%Ñ 0 aBß C b œ
#B &C $ $B #C
0B œ
a$B #C b#
0B œ
#a$B #C b $a#B &C $ b %C "&C $
a$B #C b
#
0C œ
0C œ
&Ñ 0 aBß C b œ BC B# C $ B% C ( 0B œ C #BC $ %B$ C ( 'Ñ 0 aBß C b œ B/BC >1a#B $C b
0B œ /BC BC/BC #=/- # a#B $C b
0C œ
B#
"&C # a$B #C b #a#B &C $ b a$B #C b#
#!C $ %&BC # %B a$B #C b#
0C œ B $B# C # (B% C '
0C œ B# /BC $=/- # a#B $C b
(Ñ 0 aBß C b œ 68aB# C # b =/8aBC b BC -9=aBC b 0B œ
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#B C -9=aBC b C-9=aBC b BC # =/8aBC b C#
#C B -9=aBC b B-9=aBC b B# C=/8aBC b C#
B#
El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables. Sea A œ 0 aBß Cß D b, una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0 con respecto a B, a C y a D están definidas por À `0 aBß Cß D b `A 0 aB ?Bß Cß D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0B aBß Cß D b œ ?B `B `B ?B Ä ! `0 aBß Cß D b `A 0 aBß C ?Cß D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0C aBß Cß D b œ ?C `C `C ?C Ä ! `0 aBß Cß D b `A 0 aBß Cß D ?D b 0 aBß Cß D b lim œ œ 0D aBß C , zb œ ?D `D `D ?D Ä ! siempre que el límite exista
Es decir, si A œ 0 aBß Cß D b para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las variables B y D y se deriva con respecto a la variable C . Por último, por igual camino para calcular 0D se consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D .
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Obtener 0B ß 0C ß 0D en À
"Ñ 0 aBß Cß D b œ #B# %C $ &D % $B %C D 0C œ "#C # %
0B œ %B $
0D œ #!D $ "
#Ñ 0 aBß Cß D b œ BC $CD %BD BCD 0B œ C %D CD
0C œ B $D BD
$Ñ 0 aBß Cß D b œ BC/BD 68aB C D b 0B œ C/BD BCD/BD 0C œ B/BD
" BCD
" BCD
" BCD $B &C %Ñ 0 aBß Cß D b œ #C D 0D œ B# C/BD
0B œ
0C œ
0D œ
$ #C D
&a#C D b #a$B &C b a#C D b
#
œ
&D 'B
a#C D b#
$B &C
a#C D b#
&Ñ 0 aBß Cß D b œ 68aB# C # D # b =/8a$B C b >1a&C %D b 0B œ
#B $ -9=a$B C b B# C # D #
0C œ
#C -9=a$B C b &=/- # a&C %D b B# C # D #
0D œ
#D %=/- # a$B C b B# C # D #
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Ejemplos À
0D œ $C %B BC
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0B œ /BCD BCD/BCD C # D =/8aBCD b
CD # # ÈBCD
0C œ B# D/BCD -9=aBCD b BCD =/8aBCD b 0D œ B# C/BCD BC # =/8aBCD b ÈBCD
BD # # ÈBCD
BCD # ÈBCD
(Ñ 0 aBß Cß D b œ =/8$ a#B $C b >1a$C %D b$ 68# a&D Bb% 0B œ '=/8# a#B $C b -9=a#B $C b )Ò68a&D Bb% Ó †
" a&D Bb
0C œ *=/8# a#B $C b -9=a#B $C b *Ò=/- # a$C %D b$ Óa$C %D b#
0D œ "#Ò=/- # a$C %D b$ Óa$C %D b# %!Ò68a&D Bb% Ó †
" a&D Bb
Ejercicios I Determine 0B y 0C en:
+Ñ 0 aBß C b œ $B %C B# C BC $ ,Ñ 0 aBß C b œ 68a$B 'C b -9=a$BC 'b B >1a#C "!b -Ñ 0 aBß C b œ È$B %C a$B C b) %B( )C ' .Ñ 0 aBß C b œ
(B )C %C *B
II Determine 0B ß 0C y 0D en:
+Ñ 0 aBß Cß D b œ BCD 68a$B %C &D b %B 'C *D $ ,Ñ 0 aBß Cß D b œ È %B% *C % (D (
-Ñ 0 aBß Cß D b œ -9=a$B 'C (D b /-9=aBCD b B$ C % D ' .Ñ 0 aBß Cß D b œ
B68C D=/8C C>1B BC/D
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'Ñ 0 aBß Cß D b œ B/BCD C -9=aBCD b D ÈBCD
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I
+Ñ 0B œ $ #BC C $
$ $C † =/8a$BC 'b >1a#C "!b $B 'C
,Ñ 0B œ
0C œ
' $B † =/8a$BC 'b #B † =/- # a#C "!b $B 'C
$ #%a$B C b( #)B' # È$B %C
-Ñ 0B œ
0C œ
.Ñ 0B œ
II
# )a$B C b( %)C & È$B %C "!!C
a%C *Bb
+Ñ 0B œ CD 0D œ BC
#
0C œ
$ % $B %C &D
"!!B
a%C *Bb#
0C œ BD
% ' $B %C &D
& * $B %C &D "'B$
$ a%B% *C % (D ( b# $É
,Ñ 0B œ
0D œ
0C œ % B# $BC #
0C œ
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Solución
$'C $
$ a%B% *C % (D ( b# $É
%*D '
$ a%B% *C % (D ( b# $É
-Ñ 0B œ $=/8a$B 'C (D b CD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b $B# C % D ' 0C œ '=/8a$B 'C (D b BD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b %B$ C $ D ' 0D œ (=/8a$B 'C (D b BC † =/8aBCD b † /-9=aBCD b 'B$ C % D &
.Ñ 0B œ
0C œ
0D œ
68C aC>1B BC/D b aB68C D=/8C baC=/- # B C/ D b aC>1B BC/D b#
Œ
B D-9=C aC>1B BC/D b aB68C D=/8C ba>1B B/D b C aC>1B BC/D b#
a =/8C baC>1B BC/D b aB68C D=/8C baBC/D b aC>1B BC/D b#
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Derivación implícita Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de derivada implícita. `D Si D œ 0 aBß C b, es decir, D es una función de dos variables que depende de B e C . Para obtener `B se considera constante la variable C y se deriva implícitamente D con respecto a B. `D Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implícitamente D con respecto a `C C. Ejemplo À Obtener
`D `D , en À `B `C
"Ñ B# C # D # œ #& Para
`D `B
#B #D † Para
`D œ! `B
Ê
`D B œ `B D
`D `C
#C #D †
`D `D C œ!Ê œ `C `C D
#Ñ >1aB C b >1aC D b œ " Para
`D `B
=/- # aB C b =/- # aC D b † `D =/- # aB C b œ `B =/- # aC D b
Para
`D œ! `B
`D `C
=/- # aB C b =/- # aC D b † Œ"
`D œ! `C
`D =/- # aB C b =/- # aC D b œ `C =/- # aC D b
$Ñ D † /BD C † /CD /BC œ # Para
`D `B
`D BD `D # CD `D C/BC œ ! † / D † /BD † ŒD B † C †/ † `B `B `B
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`D D # /BD C/BC œ BD `B / BD/BD C # /CD Para
`D `C
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`D BD `D `D BC † / BD † /BD † /CD C † /CD † ŒD C † B/ œ ! `C `C `C `D /CD CD/CD B/BC œ BD `B / BD/BD C # /CD %Ñ /BCD >1aCD b œ 68aBCD b -9=aBD b Para
`D `B
/BCD ŒCD BC `D œ `B
Para
`D `D " `D `D # œ C=/- aCD b ŒCD BC =/8 aBD b † ŒD B `B `B BCD `B `B
" D=/8aBD b CD/BCD B " BC/BCD C=/- # aCD b B=/8aBD b D
`D `C
/BCD ŒBD BC `D œ `B
`D `D " `D `D # =/- aCD bŒD C œ ŒBD BC B=/8 aBD b `C `C BCD `C `C
" D=/- # aCD b BD/BCD C " BC/BCD C=/- # aCD b B=/8aBD b D Ejercicios
Obtener
`D `D y en À `B `C
+Ñ B# %C # *D # œ $'
,Ñ CD BD BC BCD œ !
-Ñ $B% %C $ 'D & œ '!
.Ñ #B C D œ 68D
/Ñ =/8ÐB CÑ -9=ÐC DÑ =/-ÐD BÑ œ "
0 Ñ B/ BC C=/8aCD b œ D>1aBD b
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+Ñ
`D B œ `B *D
`D %C œ `C *D
,Ñ
`D CD D C œ `B C B BC
`D BD D B œ `C C B BC
-Ñ
`D #B$ œ % `B &D
`D #C # œ % `C &D
`D # œ " `B " D
`D " œ " `C " D
.Ñ
`D -9=aB C b =/- aB D b>1aB D b œ `B =/8aC D b =/- aB D b>1aB D b
/Ñ
`D -9=aB C b =/8aC D b œ `C =/8aC D b =/- aB D b>1aB D b
0Ñ
`D D # =/- # aBD b /BC BC/BC œ # `B C -9=aCD b >1aBD b BD =/- # aBD b `D B# /BC =/8aCD b CD -9=aCD b œ `C >1aBD b BD =/- # aBD b C # -9=aCD b
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Solución
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Regla de la cadena Teorema : Supóngase que z = f ( x , y ) , es una función de dos variables y que existen
∂z ∂z y ∂x ∂y
con x = f ( r , s ) e y = f ( r , s ) funciones de r y s para las cuales
existen las derivadas
∂z ∂z ∂x ∂ x ∂y ∂y , , , . Luego, y existen y vienen dadas por: ∂r ∂s ∂r ∂ s ∂r ∂s
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ⋅ + ⋅ = ∂r ∂x ∂r ∂y ∂ r
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂ x ∂s ∂y ∂ s
Ejemplos 1) Determine D œ B# C # B œ =$ <% C œ =<
`D en: `<
`D `D `B `D `C œ † † `< `B `< `C `< `D œ #B `B
`D œ #C `C
`B œ %<$ `<
`C œ= `<
`D œ a#Bbˆ%<$ ‰ a#C ba=b `< 2) Determine
`D en: `=
D œ C $ $B# C B œ <-9=a=b C œ <=/8a=b `D `D `B `D `C œ † † `= `B `= `C `= `D œ 'BC `B
`D `B œ $C # $B# œ <=/8a=b `C `=
`D œ a 'BC ba <=/8a=bb ˆ$C # $B# ‰a<-9=a=bb `=
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`C œ <-9=a=b `=
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3) Determine
`D `D y en: `+ `,
D œ =/8a#B $C b B œ >1a+b /, C œ 68a" +b -9=a$, b
`D `D `B `D `C œ † † `+ `B `+ `C `+ `D œ #-9=a#B $C b `B
`D œ $-9=a#B $C b `C
`B œ =/- # a+b `+
`C " œ `+ "+
`D " œ a#-9=a#B $C bbˆ=/- # a+b‰ a$-9=a#B $C bbŒ `+ "+ `D `D `B `D `C œ † † `, `B `, `C `, `D œ #-9=a#B $C b `B
`D œ $-9=a#B $C b `C
`B œ /, `,
`C œ $=/8a$, b `,
`D œ a#-9=a#B $C bbˆ /, ‰ a$-9=a#B $C bba $=/8a$, bb `+
El teorema también es aplicable para funciones de tres variables Si w = f ( x, y, z ) es una función de tres variables para la cual existen
∂w ∂w ∂w con x = f (r , s ) ; y = f (r , s ) ; z = f (r , s ) . , , ∂x ∂y ∂z Entonces w es función de r y s , luego
∂w ∂w y existen y están definidas por: ∂r ∂s
∂w ∂w ∂x ∂z ∂y ∂w ∂z = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r ∂w ∂x ∂z ∂y ∂w ∂z ∂w ⋅ ⋅ + + ⋅ = ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂s
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1) Obtener
`A en: `<
A œ B# #CD D $ B œ -9=a
1a#=b `A `A `B `A `C `A `D œ † † † `< `B `< `C `< `D `< `A œ #B `B
`A œ #D `C
`B `C œ =/8a
`A œ #C $D # `D
`D " œ `< <
`A " œ a#Bba =/8a
2) Obtener
`A en: `=
A œ -9=aB# C D $ b B œ <$ =% C œ =/8# a$1a%= (b' `A `A `B `A `C `A `D œ † † † `= `B `= `C `= `D `= `A œ #B=/8ˆB# C D $ ‰ `B
`A œ =/8ˆB# C D $ ‰ `C
`A œ $D # =/8ˆB# C D $ ‰ `D `B œ %<$ =$ `=
`C œ! `=
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Ejemplos:
`D œ #%=/- # a%= (b' † a%= (b& `=
`A œ ˆ #B=/8ˆB# C D $ ‰‰ˆ%<$ =$ ‰ ˆ $D # =/8ˆB# C D $ ‰‰ˆ#%=/- # a%= (b' † a%= (b& ‰ `=
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3) Determine
`A en : `+
BC D B œ +-9=a, b =/8a, b C œ 68a+b +=/8a, b D œ #+ $, Aœ
`A `A `B `A `C `A `D œ † † † `+ `B `+ `C `+ `D `+ `A C œ `B D
`A B œ `C D
`B œ -9=a, b `+
`C " œ =/8a, b `+ +
`A C B " BC œ Š ‹a-9=a, bb Š ‹Œ =/8a, b Š # ‹a#b `+ D D + D
Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente:
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`A BC œ # `D D `D œ# `+
∂z ∂z existen, y ∂x ∂y ∂z con x = f (t ) e y = f (t ) , entonces z depende de t y queda definida por: ∂t
1) Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables donde
∂z dx ∂z dy dz = ⋅ + ⋅ ∂x dt ∂y dt dt
∂w ∂w ∂w existen, , y ∂x ∂y ∂z ∂w con x = f (t ) , y = f (t ) y z = f (t ) , entonces w depende de t y queda definida por: ∂t
2) Sea w = f ( x, y, z ) una función de tres variables donde
∂w dx ∂w dy ∂w dz dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x dt ∂y dt ∂z dt dt
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1) Determine
.D en: .>
D œ BC/BC B œ >% È > C œ > † 68$ a> "b .D `D .B `D .C œ † † .> `B .> `C .> `D œ C/BC BC # /BC `B
`D œ `C
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Ejemplos
B/BC B# C/BC
.C " œ 68$ a> "b $> † 68# a> "b † .> >"
.B " œ %>$ .> # È>
.D " " # $ # BC BC œ ˆC/BC BC # /BC ‰%>$ ˆB/ B C/ ‰Œ68 a> "b $> † 68 a> "b † > " È .> # > .A #Ñ Determine en: .> A œ BCD B œ >( $> & Cœ
> ># $
D œ E<-=/8a>b
.A `A .B `A .C `A .D œ † † † .> `B .> `C .> `D .> `A œ CD `B
`A œ BD `C
`A œ BC `D
.B œ (>' $ .>
.C "a># $b >a#>b œ .> a># $b#
.D " œ È " ># .>
.A $ ># " œ aCD bˆ(>' $‰ aBD b aBC b # # È .> a> $ b " >#
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Ejercicios Determine À +Ñ
`A `<
si
A œ 68ÐB # C # Ñ B œ < -9= > C œ < =/8 >
,Ñ
.E .>
si
E œ B $ C $ È#B $C
B œ E<->1a>b -9=> =/8> C œ > † >1 a>b
-Ñ
`? `? `? ß ß `3 `) `9
si
? œ B # #C # #D # B œ 3 -9= ) =/8 9 C œ 3 =/8 ) =/8 9 D œ 3 -9= 9
.Ñ Hallar
`A `B
en el punto Ð"ß "ß "Ñ si
A œ -9=a +, b + œ BCD ,œ
%ÐB#
1 C# Ñ
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+Ñ
`A #B #C œŒ # -9= > Œ # =/8 > # `< B C B C#
,Ñ
`E B " œ $B# =/8# > -9=# > Œ È#B $C `> " ># $C #
$ a>1 > > =/- # >b È # #B $C
`? œ a#Bba-9=) =/89b a%C ba=/8) =/89 b a%D ba-9=9b `3
-Ñ
`? œ a#Bba 3 =/8) =/89b a%C ba3 -9=) =/89 b `) `? œ a#Bba3 -9=) -9=9b a%C ba3 =/8) -9=9 b a%D ba=/89b `9
.Ñ
`A a"ß "ß "b œ ! `B
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Solución
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A) Problemas con enunciado
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Aplicaciones de la regla de la cadena
1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm.. En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese momento?
Z œ 0 a<ß 2b
Z œ 1<# 2 < œ 0 a>b
cm .< œ & seg .>
2 œ 0 a>b
< œ "# cm
cm .2 œ% seg .>
.Z `Z .< `Z .2 œ † † .> `< .> `2 .> .Z .< .2 œ a#1<2b † ˆ1 < # ‰ † .> .> .> .Z œ a)'%1b † a &b a"%%1b † a%b .> .Z œ %$#!1 &('1 .> .Z œ $(%%1 .> El volumen decrece a razón de $(%%1 cm3 /seg
55
2 œ $' cm
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Por teorema del coseno +# œ , # - # #,- † -9=! + œ 0 a,ß -ß !b ;, œ 0 a>b + œ È, # - # #,- † -9=! ! œ '!º
grados .! œ& seg .>
- œ "! cm
; - œ 0 a>b
, œ "' cm
cm .œ" seg .>
.+ `+ . ! `+ ., `+ .œ † † † .> ` ! .> `, .> `- .>
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2) En cierto instante, el ángulo ! de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de "# cm/seg. Hallar la velocidad de variación del lado a.
; ! œ 0 a>b
., " cm œ .> # seg
.+ ,- † =/8! .! , - † -9=! ., - , † -9=! .œ È, # - # #,- † -9=! .> È, # - # #,- † -9=! .> È, # - # #,- † -9=! .> .> .+ " " œ a,- † =/8!ba&b a, - † -9=!bŒ a- , † -9=!ba"b• È, # - # #,- † -9=! ” .> # .+ " "" œ # %!!È$ Œ .> "% # .+ " ( œ Œ %!!È$ .> "% # El lado a crece a razón de
" ( cm Œ %!!È$ "% # seg
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Z œ 0 a+ß 6ß 2 b
+Ñ Z œ 6+2 + œ "!
cm .+ œ # seg .>
2œ)
;
6 œ "&
cm .2 œ" seg .>
.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2 œ † † † .> `+ .> `6 .> `2 .> .Z .+ .6 .2 œ a62b a+2b a6+b .> .> .> .> .Z œ a"#!ba #b a)!ba$b a"&!ba"b .> .Z œ "&! .>
El volumen crece a razón de 150 cm3 /seg.
,Ñ E œ #+6 #+2 #62 .E `E .+ `E .6 `E .2 œ † † † .> `+ .> `6 .> `2 .> .E .+ .6 .2 œ a#6 #2b a#+ #2b a#+ #6b .> .> .> .> .E œ a%'ba #b a$'ba$b a&!ba"b .> .E œ '' .>
El área total crece a razón de 66 cm2 /seg.
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3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es 10 y la altura es 8 cm.? b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?
cm .6 œ$ seg .>
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Ejercicios
"Ñ La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono en ese instante ? #Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son À largo 15 cm., ancho 8 cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del: +Ñ volumen. ,Ñ área total si el sólido es sin tapa. -Ñ área total si el sólido es con tapa.
$Ñ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de cambio del À +Ñ volumen. ,Ñ área total , si el cilindro no tiene tapa. -Ñ área lateral, si el cilindro tiene tapa. Solución
"Ñ El volumen del cono decrece a razón de (#Þ!!! 1 cm3 /min.
#Ñ +Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de $%) cm3 /seg.
,Ñ El área total del sólido rectangular decrece a razón de ( cm# /seg si el sólido es sin tapa.
-Ñ El área total del sólido rectangular crece a razón de cm# /seg si el sólido es con tapa.
$Ñ +Ñ El volumen del cilindro crece a razón de $)%! 1 cm3 /seg. ,Ñ El área total del cilindro crece a razón de #!) cm# /seg . -Ñ El área lateral del cilindro crece a razón de )! cm# /seg .
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B) Demostraciones "Ñ Sea A œ 0 aC B >ß D C >b . Haciendo ? œ C B > à @ œ D C > `A `A `A `A Demostrar que # œ! `B `C `D `> A œ 0 a?ß @b
con
y
?œCB>
@œDC>
`A `A `? `A `@ œ † † `B `? `B `@ `B `A `A `A œ a "b a! b `B `? `@
Ê
`A `A œ `B `?
Ê
`A `A `A œ `C `? `@
`A `A `? `A `@ œ † † `C `? `C `@ `C `A `A `A œ a" b a "b `C `? `@ `A `A `? `A `@ œ † † `D `? `D `@ `D `A `A `A œ a! b a" b `D `? `@
Ê
`A `A œ `D `@
`A `A `? `A `@ œ † † `> `? `> `@ `> `A `A `A œ a "b a" b `> `? `@
Ê
`A `A `A œ `> `? `@
`A `A `A `A `A `A `A `A `A `A # œ # # `B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ `A `A `A `A # œ! `B `C `D `> Por lo tanto,
`A `A `A `A # œ! `B `C `D `>
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`? `? `? œ+† ,† `> `B `C Sea : œ B +> y ; œ C ,> `? `? `: `? `; œ † † `> `: `> `; `> `? `? `? œ a+ b a, b `> `: `;
Ê
`? `? `? œ+ , `> `: `;
Ê
`? `? œ `B `:
Ê
`? `? œ `C `;
`? `? `: `? `; œ † † `B `: `B `; `B `? `? `? œ a" b a! b `B `: `; `? `? `: `? `; œ † † `C `: `C `; `C `? `? `? œ a! b a" b `C `: `; `? `? `? œ+† ,† `> `B `C +
`? `? `? `? , œ+ , `: `; `: `;
Por lo tanto,
`? `? `? œ+† ,† `> `B `C
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2) Suponga que ? œ 0 aB +>ß C ,>b ß donde + y , son constantes. Demostrar que:
3) Para A œ 0 aBß C b con B œ <-9=) e C œ <=/8) , demostrar que: Œ
`A `A `A " `A Œ œŒ Œ # Œ `B `C `< < `) #
#
#
#
`A `A `B `A `C œ † † `< `B `< `C `< `A `A `A œ † a-9=) b † a=/8)b `< `B `C Œ
`A `A `A `A `A # # † -9=)=/8) Œ œŒ -9= ) # =/8 ) `< `B `B `C `C #
#
#
60
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`A `A `B `A `C œ † † `) `B ` ) `C ` ) `A `A `A œ † a <=/8) b † a<-9=)b `) `B `C Œ
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Departamento de Ciencias Básicas
`A `A `A # # # # # `A `A † -9=)=/8) Œ œŒ < =/8 ) #< < -9= ) `) `B `B `C `C #
#
#
" `A `A `A `A `A # # † -9=)=/8) Œ Œ # Œ œŒ =/8 ) # -9= ) < `) `B `B `C `C #
#
#
Œ
`A " `A `A `A # # # # Œ # Œ œŒ a-9= ) =/8 )b Œ a=/8 ) -9= )b `< < `) `B `C
Œ
`A " `A `A `A Œ # Œ œŒ Œ `< < `) `B `C
#
#
#
#
#
Por lo tanto, Œ
#
#
#
`A `A `A " `A Œ œŒ Œ # Œ `B `C `< < `) #
#
#
Ejercicios
#
"Ñ Si A œ 0 ÐB Cß B CÑ tiene derivadas parciales continuas respecto a ? œ B C ß @ œ B CÞ Pruebe que
`A `A `A # `A # † œŒ Œ `B `C `? `@
#Ñ Si + œ 0 ÐBß CÑ y Demuestre que
, œ 1ÐBß CÑ
`a " `, œ `< < `>
y
con B œ < -9= > `, " `+ œ `< < `>
Solución "Ñ Se cumple #Ñ Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones: `+ `, œ `B `C
y
`+ `, œ `C `B
61
à C œ < =/8 >
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Derivada direccional La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con respecto a B puede considerarse como la derivada en la dirección B y la derivada parcial con respecto a C puede considerarse como la derivada en la dirección C .
Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables y sea ? œ -9=) 3 =/8) 4 un vector unitario. p Entonces la derivada direccional de 0 en la dirección de ?, denotada por H? 0 aBß C b es À p
H? 0 aBß C b œ
lim 2Ä!
p
0 aB 2-9=)ß C 2=/8)b 0 aBß C b 2
Si ? œ 3 Ê ) œ ! Ê -9=! œ " H3 0 aBß C b œ Si
p
?œ4Ê)œ
H4 0 aBß C b œ
Así,
lim 2Ä!
si existe el límite
à =/8! œ ! y se obtiene À
0 aB 2ß C b 0 aBß C b `0 œ 2 `B
1 1 1 Ê -9= œ !à =/8 œ " y se obtiene À # # #
lim 2Ä!
0 aBß C 2b 0 aBß C b `0 œ 2 `C
`0 `0 y son casos especiales de la derivada direccional. `B `C
Teorema: Si f ( x, y ) y sus derivadas parciales son continuas y r µ = cosθ i + senθ j , entonces: D µr = f x ( x, y ) cos θ + f y ( x, y ) sen θ
62
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Ejemplos
0B aBß C b œ #B # 0C aBß C b œ #C # ? œ -9=Œ p
Ê 0B a #ß &b œ # Ê 0C a #ß &b œ "#
#1 #1 3 =/8Œ 4 $ $
È$ " p Ê?œ 3 4 # #
È$ " H? 0 a #ß &b œ a #bŒ a "#b # # H? 0 a #ß &b œ " 'È$
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1) Dada la función 0 aBß C b œ B# C # #B #C , hallar la derivada direccional de 0 en la dirección ) œ #1Î$ en el punto a #ß &b
2) Calcular la derivada direccional de 0 aBß C b œ C # -9=#B en a1Î'ß "b en la dirección de @ œ $3 %4 p
0C aBß C b œ #C -9= #B
1 Ê 0B a1Î'ß "b œ #a"b# =/8Š ‹ œ È$ $ 1 Ê 0C a1Î'ß "b œ #a"b -9=Š ‹ œ " $
m@m œ È* "' œ &
ß @ no es unitario, ? œ
0B aBß C b œ #C # =/8 #B
p
p
p
@ p
m@m
p
Ê?œ
$ % 3 4 & &
$ % H? 0 a1Î'ß "b œ Š È$‹Œ a"bŒ & & È $ $% H? 0 a1Î'ß "b œ &
Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En ‘3 , la dirección de un vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À , ? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 Concepto À Sea 0 aBß Cß D b una función de tres variables y ? œ -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 un p vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de ? está dada por À p
límite
H? 0 aBß Cß D b œ
0 aB 2-9=!ß C 2-9=" ß D 2-9=# b 0 aBß Cß D b 2Ä! 2 lim
63
si existe el
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Teorema: Si f ( x, y, z ) es una función de tres variables y r µ = cos α i + cos β j + cos γ k , entonces:
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D µr f ( x, y , z ) = f x ( x, y , z ) cos α + f y ( x, y , z ) cos β + f z ( x, y , z ) cos γ
Ejemplos À
1) Dada la función 0 aBß Cß D b œ B# BC BD C # D # . Encontrar la derivada direccional de p 0 aBß Cß D b en T a "ß #ß "b en la dirección del vector @ œ #3 4 #5 0B aBß Cß D b œ #B C D 0C aBß Cß D b œ B #C
Ê 0B a "ß #ß "b œ "
Ê 0C a "ß #ß "b œ $
0D aBß Cß D b œ B #D
m@m œ È% " % œ $ p
Ê 0D a "ß #ß "b œ " p
ß @ no es unitario, ? œ
@ p
m@m
p
Ê?œ
# " # 3 4 5 $ $ $
# " # H? 0 aBß Cß D b œ a "bŒ a$bŒ a "bŒ $ $ $ H? 0 aBß Cß D b œ "
2) Hallar la derivada direccional si 0 aBß Cß D b œ /C -9= B /D =/8 C en T a!ß !ß #b en la dirección
del vector T U si Ua #ß "ß #b p
0B aBß Cß D b œ /C =/8B
0C aBß Cß D b œ /C -9= B /D -9= C
0D aBß Cß D b œ /D =/8 C
Ê 0B a!ß !ß #b œ !
Ê 0C a!ß !ß #b œ " /# Ê 0D a!ß !ß #b œ !
T U œ U T œ a #ß "ß #b a!ß !ß #b œ a #ß "ß !b Ä
@ # " p p p m@m œ È% " ! œ È& ß @ no es unitario, ? œ p Ê ? œ 3 4 È È & & m@m p
p
H? 0 aBß Cß D b œ a!b H? 0 aBß Cß D b œ
# " a" /# b a!ba!b È& È&
" /# È&
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Ejercicios
Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la dirección o vector. +Ñ 0 aBß C b œ
C $ ß el punto es a"ß #b y la dirección ! œ 1 BC %
,Ñ 0 aBß C b œ B # BC C # ß el punto es a$ß "b y la dirección ! œ
& 1 '
-Ñ 0 aBß C b œ C B-9= ÐBCÑ ß el punto es a!ß !b y la dirección ! œ
# 1 $
.Ñ 0 aBß C b œ #B # $BC C # ß el punto es a"ß "b y el vector @ œ 3 4 p
/Ñ 0 aBß Cß D b œ BE<->1ÐCDÑ ß el punto es a%ß "ß "b y el vector @ œ Ò#ß "ß "Ó p
0 Ñ 0 aBß Cß D b œ
BC p ß el punto es Ð#ß $ß &Ñ y el vector @ œ 5 D
1Ñ 0 aBß Cß D b œ 68ÐB # C D # Ñ ß el punto es a!ß "ß !b y el vector está en la dirección T U Ä
si T a!ß "ß !b y Ua$ß %ß "b 2Ñ 0 aBß Cß D b œ
È B# C # D # 68ÐB C DÑ
ß el punto es a"ß "ß "b y el vector está en la dirección EF
Ä
si Ea#ß "ß "b y F a"ß !ß #b
+Ñ H? 0 a"ß #b œ
È# '
Solución ,Ñ H? 0 a$ß "b œ
& (È $ #
.Ñ H? 0 a"ß "b œ # È#
/Ñ H? 0 a%ß "ß "b œ
1Ñ H? 0 a!ß "ß !b œ
2Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
$ È"*
65
È '1 "#
68$ "
$a68 $b#
-Ñ H? 0 a!ß !b œ
È$ " #
0 Ñ H? 0 a#ß $ß &b œ
' #&
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Gradientes 1) De H? 0 aBß C b œ 0B aBß C b -9=) 0C aBß C b =/8) œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † Ò -9=)ß =/8) Ó p œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † ?
El vector f x ( x, y )i + f y ( x, y ) j se conoce como vector gradiente
grad gradf f( x(,xy, )y)==∇∇f f( x(,xy, )y)==f xf (x x(,xy, )yi)i++f yf y( x(,xy, )y)j j
#Ñ De
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H? 0 aBß Cß D b œ 0B aBß Cß D b -9=! 0C aBß Cß D b -9=" 0D aBß Cß D b -9=# œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D b Ó † Ò -9=!ß -9="ß -9=# Ó p œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D bÓ † ?
El vector f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k se conoce como vector gradiente
grad f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k
Asíß
H? 0 aBß C b œ ? † f0 aBß C b p H? 0 aBß Cß D b œ ? † f0 aBß Cß D b p
p
Sea ! la medida en radianes del ángulo formado por los vectores ? y f0 ß entonces p p p ? † f0 œ m?m † mf0 m † -9=! , pero m?m œ " p ? † f0 œ mf0 m † -9=! Si ! œ !ß entonces -9=! œ " alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su p máximo valor cuando ? está en la misma dirección y sentido que f0 Máx Dµr f ( x, y ) =
∇f ( x, y )
Máx Dµr f ( x, y, z ) =
∇f ( x, y , z )
Si ! œ ")!°ß entonces -9=")!° œ " alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional p alcanza su mínimo valor cuando ? está en la misma dirección, pero sentido contrario con f0
Mín D µr f ( x, y ) = − ∇f ( x, y ) Mín D µr f ( x, y , z ) = − ∇f ( x, y, z )
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Ejemplos À
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1) La temperatura en cualquier punto T aBß C b de una placa rectangular situada en el plano BC es C X aBß C b œ # B C# a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ß %b b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto
+Ñ XB aBß C b œ XC aBß C b œ
aB #
#BC
C # b#
aB# C # b #C #
fX a$ß %b œ ”
aB #
C # b#
Ê XB a$ß %b œ
#% '#&
Ê XC a$ß %b œ
( '#&
#% ( ß • '#& '#&
,Ñ MáxH? X a$ß %b œ mfX a$ß %bm œ ËŒ
p
-Ñ ? œ
fX a$ß %b œ mfX a$ß %bm
”
#% ( " Œ œ '#& '#& #& #
#
#% ( ß • #% ( '#& '#& œ” ß • " #& #& #&
2) Si Z volts es el potencial eléctrico en cualquier punto T aBß Cß D b en ‘3 y Z œ
'! È B# C # D #
Þ Encontrar À a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a "ß "ß "b en la dirección del vector p @ œ $3 '4 #5 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto. +Ñ ZB aBß Cß D b œ ZC aBß Cß D b œ ZD aBß Cß D b œ
'!B
É aB # C #
D # b$
'!C
Ê ZC a "ß "ß "b œ
'!D
Ê ZD a "ß "ß "b œ
É aB # C # D # b $ É aB # C # D # b $
fZ a "ß "ß "b œ ”
Ê ZB a "ß "ß "b œ
p
p
67
'! #! œ È$ $ $È $
'! #! È œ $ $ $È $
#! È #! #! $ß È$ß È$• $ $ $
m@m œ È* $' % œ ( @ no es unitario, ? œ p
'! #! È œ $ È $ $ $
$ ' # 3 4 5 ( ( (
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H? Z a "ß "ß "b œ
#! È #! #! $ ' # $ß È$ß È$• † ” ß 4 ß 5 • $ $ $ ( ( (
##! È $ #"
,Ñ MínH? Z a "ß "ß "b œ mfZ a "ß "ß "bm œ #!
Dirección
fZ a "ß "ß "b p ?œ œ mfZ a "ß "ß "bm
”
VIRGINIO GOMEZ
H? Z a "ß "ß "b œ ”
#! È #! #! $ß È$ß È$• $ $ $ #!
œ”
È$ È$ È$ ß • $ $ $
Ejercicios
"Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß C b œ B # -9=ÐBCÑ T Ð"ß 1Î% Ñ ,Ñ 0 aBß C b œ BÈC B C T Ð$ß %Ñ -Ñ 0 aBß Cß D b œ /BC D # T Ð!ß $ß "Ñ #Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß C b œ B # BC C # T a "ß "b # # # ,Ñ 0 aBß Cß D b œ ÐB CÑ ÐC DÑ ÐD BÑ T a#ß "ß #b $Ñ +Ñ La densidad ÐBß CÑ, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC , es BC HaBß C b œ Þ ÈB # C # $
+Þ"ÑHalle la razón de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la dirección de ! œ &1Î$Þ +Þ#Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese
punto. ,Ñ Suponga que la por À X aBß Cß D b œ B # C CD /BC
temperatura
en
cualquier
punto
aBß Cß D b
está
dada
,Þ"Ñ Determinar la razón de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la dirección del vector OP donde O es el origen del sistema. ,Þ#Ñ ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?. p
-Ñ El potencial eléctrico es Z aBß C b aen voltsb en el plano BC y Z aBß C b œ $B$ C %C # BC p
-Þ"Ñ Determine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD con G a#ß "bà Ha'ß #b en el punto a "ß %bÞ -Þ#Ñ Obtener el vector gradiente en este mismo punto. -Þ$Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en a "ß %bÞ -Þ%Ñ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a "ß %b . Con ese vector calcule la derivada direccional en el mismo punto.
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Solución +Ñ f0 a"ß 1Î%b œ #
È #1 )
ß
È#
È# † É1# "'È#1 "%%
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"Ñ
MáxH? 0 a"ß 1Î%b œ
#
)
È'&
( ,Ñ f0 a$ß %b œ Œ"ß %
MáxH? 0 a$ß %b œ
-Ñ f0 a!ß $ß "b œ a $ß !ß #b
MáxH? 0 a!ß $ß "b œ È"$
#Ñ
%
+Ñ f0 a "ß "b œ a "ß "b
MínH? 0 a "ß "b œ È#
,Ñ f0 a#ß "ß #b œ a"!ß %ß "!b
MínH? 0 a#ß "ß #b œ 'È'
$Ñ
+Þ"Ñ H? 0 a#ß $b œ
") (È$ '%
+Þ#Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ ,Þ"Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
È$($
?œ p
$#
&È$ #È$/ $
") ( ß È$($ È$($
+Þ#Ñ MínH? 0 a#ß $b œ È#/# )/ * ?œ p
È#/# )/ * È#/# )/ * /#
ß
-Þ"Ñ H? 0 a "ß %b œ
/#
"'#È"( "(
ß
È#/# )/ * "
-Þ#Ñ fZ a "ß %b œ a $#ß $%b
-Þ$Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ #È&%&
?œ p
"' "( ß È&%& È&%&
-Þ%Ñ los vectores unitarios ortogonales al gradiente son "( "' ß È È &%& &%&
"( "' ß È È &%& &%&
El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.
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Derivadas Parciales de orden superior
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Si 0 es una función de dos variables, es decir, D œ 0 aBß C b, entonces
`0 `0 y son funciones `B `C también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de segundo orden que se definen como: +Ñ
,Ñ
-Ñ
.Ñ
` a0 B b 0B aB 2ß C b 0B aBß C b ` #0 œ lim œ 0BB œ `B 2 `B# 2Ä!
` a0 C b 0C aBß C 2b 0C aBß C b ` #0 œ lim œ 0CC œ `C 2 `C # 2Ä!
` a0 B b 0B aBß C 2b 0B aBß C b ` #0 œ lim œ 0BC œ `C 2 `C`B 2Ä! ` a0 C b 0C aB 2ß C b 0C aBß C b ` #0 œ lim œ 0CB œ `B 2 `B`C 2Ä!
Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos: Dada la función, obtener 0BB ß 0CC ß 0BC
"Ñ 0 aBß C b œ #B$ $B# C BC # $C # 0B œ 'B# 'BC C #
0C œ $B# #BC 'C
0BB œ "#B 'C
0CC œ #B '
0BC œ 'B #C #Ñ 0 aBß C b œ /BC a-9=B =/8C b
0B œ C/BC a-9=B =/8C b /BC † =/8B
0C œ B/BC a-9=B =/8C b /BC † -9=C
0BB œ C # /BC a-9=B =/8C b C/BC † =/8B C/BC † =/8B /BC † -9=B
0CC œ B# /BC a-9=B =/8C b B/BC † -9=C B/BC † -9=C / BC † =/8C
0BC œ /BC a-9=B =/8C b BC/BC a-9=B =/8C b C/BC † -9=C B/ BC † =/8B Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables `0 `0 `0 Sea A œ 0 aBß Cß D b una función de tres variables con , y funciones también de tres `B `C `D variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:
70
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+Ñ
,Ñ
-Ñ
.Ñ
/Ñ
0Ñ
1Ñ
2Ñ
3Ñ
` a0 B b 0B aB 2ß Cß D b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BB œ `B 2 `B# 2Ä!
` a0 C b 0C aBß C 2ß D b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CC œ `C 2 `C # 2Ä! ` a0 D b 0D aBß Cß D 2b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DD œ `D 2 `D # 2Ä!
` a0 B b 0B aBß C 2ß D b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BC œ `C 2 `C`B 2Ä!
` a0 B b 0B aBß Cß D 2b 0B aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0BD œ `D 2 `D`B 2Ä!
` a0 C b 0C aB 2ß Cß D b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CB œ `B 2 `B`C 2Ä!
` a0 C b 0C aBß Cß D 2b 0C aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0CD œ `D 2 `D`C 2Ä!
` a0 D b 0D aB 2ß Cß D b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DB œ `B 2 `B`D 2Ä!
` a0 D b 0D aBß C 2ß D b 0D aBß Cß D b ` #0 œ lim œ 0DC œ `C 2 `C`D 2Ä!
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Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB ß 0BD œ 0DB ß 0CD œ 0DC . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos Para las siguientes funciones, determinar 0BB ß 0CC ß 0DD ß 0BC ß 0BD ß 0CD
"Ñ 0 aBß Cß D b œ B$ $B# C C $ $C # D D # BD # CD 0B œ $B# 'BC D #
0C œ $B# $C # 'CD D
0D œ $C # #D #BD C 0BB œ 'B 'C
0CC œ 'C 'D
0DD œ # #B
0BC œ 'B
0BD œ #D
0CD œ 'C "
71
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0B œ /B † -9=D /C † -9=B
0C œ /C † =/8B /D † =/- # C
0D œ /B † =/8D /D † >1 C 0BB œ /B † -9=D
/C =/8B
0CC œ /C † =/8B #/D † =/- # C † >1 C
0DD œ /B † -9=D /D † >1 C
0BC œ /C † -9=B
0BD œ /B † =/8D
0CD œ /D † =/- # C
Ejercicios
1) En ‘# la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 œ! `B# `C # Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación +Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68ÐB# C # Ñ C B ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<->1 Š ‹ # B B C# -Ñ 0 ÐBß CÑ œ /B † =/8 C /C † =/8 B .Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<->1 Œ
VIRGINIO GOMEZ
#Ñ 0 aBß Cß D b œ /B † -9=D /C † =/8B /D † >1 C
#BC B# C #
2) En ‘$ la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 ` #0 # œ! # # `B `C `D Demuestre que la función 0 ÐBß Cß DÑ œ
È B#
" cumple con esta ecuación. C# D #
Solución
Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en ‘# como en ‘3 .
72
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Conceptos:
VIRGINIO GOMEZ
Máximos y mínimos para funciones de varias variables
1) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 aB! ß C! b
#) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 aB! ß C! b
$) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b si, y sólo si f0 a+ß , b œ Ò !ß ! Ó %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un máximo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 a+ß , b &Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un mínimo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 a+ß , b %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto de silla de 0 aBß C b si [+ß ,ß 0 a+ß , b] no es máximo ni mínimo.
Hessiano de una función de dos variables
Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables, se define el Hessiano como:
L aBß C b œ Œ
0BB 0CB
0BC 0CC
Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab
Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico, entonces: 1) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si ¸L a+ß , b¸ ! • 0BB a+ß , b !
73
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¸L a+ß , b¸ ! • 0BB a+ß , b !
$Ñ [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto de silla de 0 aBß C b si, y sólo si ¸L a+ß , b¸ !
%Ñ No hay información si ¸L a+ß , b¸ œ ! Ejemplos: Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones: "Ñ 0 aBß C b œ & B# C # 0B œ #B
0C œ #C
0B œ ! 0C œ !
Ê #B œ ! Ê #C œ !
ÊBœ! ÊCœ!
Así, a!ß !ß &b es el punto crítico de 0 aBß C b
0BB œ #
0CC œ #
L aBß C b œ Œ
# !
0BC œ !
! # Ê L a!ß !b œ Œ # !
¸L a!ß !b¸ œ % ! • 0BB a!ß !b œ # !
! #
Por lo tanto, a!ß !ß &b es un máximo relativo de 0 aBß C b
#Ñ 0 aBß C b œ #B$ C $ $B# $C "#B % 0B œ 'B# 'B "#
0C œ $C # $
Ê 'B# 'B "# œ ! Ê $C # $ œ !
0B œ ! 0C œ !
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2) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si
Ê B" œ " • B# œ # Ê C" œ " • C # œ "
Así, a"ß "ß "$b à a"ß "ß *b à a #ß "ß "%b à a #ß "ß ")b son puntos críticos de 0 aBß C b 0BB œ "#B ' L aBß C b œ Œ L a"ß "b œ Œ
0CC œ 'C
"#B ' !
") !
! '
0BC œ !
! 'C
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") !
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Por lo tanto, a"ß "ß "$b es un mínimo relativo de 0 aBß C b ") ! L a"ß "b œ Œ Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) ! ! '
Por lo tanto, a"ß "ß *b es un punto de silla de 0 aBß C b L a #ß "b œ Œ
Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!) !
! '
") !
Por lo tanto, a #ß "ß "%b es un punto de silla de 0 aBß C b L a #ß "b œ Œ
! '
") !
¸L a"ß "b¸ œ "!) ! • 0BB a"ß "b œ ") !
Por lo tanto, a #ß "ß ")b es un máximo relativo de 0 aBß C b
$Ñ 0 aBß C b œ -9= B =/8 C 0B œ =/8B
en el intervalo Ò !ß #1Ó
0C œ -9=C
0B œ !
Ê =/8B œ ! Ê B" œ ! à B# œ 1 • B$ œ #1 $1 1 Ê -9=C œ ! Ê C" œ • C # œ # #
0C œ !
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1 $1 1 $1 1 $1 Así, Š!ß ß #‹ à Œ!ß ß ! à Š1ß ß !‹ à Œ1ß ß # à Š#1 ß ß #‹ à Œ#1 ß ß ! son puntos # # # # # # críticos de 0 aBß C b 0BB œ -9=B L aBß C b œ Œ
0CC œ =/8C -9=B !
1 " L Š!ß ‹ œ Œ ! #
0BC œ !
! =/8C
! "
1 Ê ¸L a"ß "b¸ œ # ! • 0BB Š!ß ‹ œ " ! #
1 Por lo tanto, Š!ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b # L Œ!ß
$1 " œŒ ! #
Por lo tanto, Œ!ß 1 " L Š1ß ‹ œ Œ ! #
! "
Ê ¸L Œ!ß
$1 ¸ œ " ! #
$1 ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b # 1 ! Ê ¸L Š1ß ‹¸ œ " ! " #
1 Por lo tanto, Š1ß ß !‹ es un punto de silla de 0 aBß C b # $1 $1 $1 " ! L Œ1ß œ Œ Ê ¸L Œ1ß ¸ œ " ! • 0BB Œ1ß œ " ! ! " # # #
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Por lo tanto, Œ1ß
$1 ß # es un mínimo relativo de 0 aBß C b #
1 " L Š#1ß ‹ œ Œ ! #
! "
1 1 ¸L Š#1ß ‹¸ œ " ! • 0BB Š#1ß ‹ œ " ! # # 1 Por lo tanto, Š#1ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b # L Œ#1ß
$1 " œŒ ! #
Por lo tanto, Œ#1ß
! "
Ê ¸L Œ#1ß
$1 ¸ œ " ! #
$1 ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b # Ejercicios
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1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À +Ñ 0 ÐBß CÑ œ #B %C B# C # $ ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐB CÑ -Ñ 0 ÐBß CÑ œ %BC B% C % .Ñ 0 aBß C b œ B# BC C # #B #C %
2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercancía A, C unidades de la mercancía B. Si T aBß C b es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aBß C b œ $$B ''C BC B # $C # Þ ¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima utilidad diaria? Solución "Ñ +Ñ a"ß #ß #b es un máximo relativo de 0 aBß C b ,Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b 0 aBß C b
-Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b y a"ß "ß #bà a "ß "ß #b son máximos relativos de .Ñ a #ß #ß )b es un mínimo relativo de 0 aBß C b
#Ñ Deben fabricarse #% unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para maximizar la utilidad diaria.
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Multiplicadores de Lagrange
Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo método se denomina Multiplicadores de Lagrange Sea 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b una función de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos con la condición adicional 1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b œ ! . Para determinar los puntos críticos se forma una nueva función auxiliar J aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 ß -b œ 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b -1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b
Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el mínimo buscado y si el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el máximo buscado. Ejemplos:
1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura.
0 a+ß 6ß 2b œ +6 #+2 #62
Z œ +62 Ê 1a+ß 6ß 2 b œ +62 Z
J a+ß 6ß 2ß -b œ +6 #+2 #62 -a+62 Z b J+ œ 6 #2 -62
Ê J+ œ !
Ê-œ
6 #2 62
J6 œ + #2 -+2
Ê J6 œ !
Ê-œ
+ #2 +2
J2 œ #+ #6 -+6
Ê J2 œ !
Ê-œ
#+ #6 +6
J- œ +62 Z
Ê J- œ !
Ê +62 œ Z
a " b y a $b
6 #2 #+ #6 œ 62 +6
Ê +6# #+62 œ #+62 #6# 2 Ê +6# œ #6# 2 Ê + œ #2
77
a"b
a#b
a$b
a%b
a&b
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+ #2 #+ #6 œ Ê +# 6 #+62 œ #+# 2 #+62 +2 +6 Ê +# 6 œ #+# 2 Ê 6 œ #2
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a # b y a $b
a'b
a& b y a 'b
a(b
+œ6 a%b ß a&b ß a'b y a(b
+ +62 œ Z Ê a+ba+bŠ ‹ œ Z # +$ Ê œZ # Ê +$ œ #Z $ $ Ê+œÈ #Z , 6 œ È #Z ß 2 œ
$ È #Z
#
$ Luego, las dimensiones de la caja son base È #Z ÒudlÓ y altura
$ È #Z
#
[udl].
2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción #B# C # $D # œ #()% . Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad. 0 aBß Cß D b œ #!!B $!!C &!!D 1aBß Cß D b œ #B# C # $D # #()% J aBß Cß Dß -b œ #!!B $!!C &!!D -a#B# C # $D # #()%b JB œ #!! %B-
Ê JB œ !
Ê-œ
&! B
JC œ $!! #C -
Ê JC œ !
Ê-œ
"&! C
JD œ &!! 'D -
Ê JD œ !
Ê-œ
#&! $D
J- œ #B# C # $D # #()% a " b y a #b
Ê J- œ !
a"b
a#b
a$b
Ê - œ #B# C # $D # œ #()%
&! "&! œ Ê &!C œ "&!B Ê C œ $B B C
a " b y a $b
78
a&b
a%b
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a'b
&! #&! & œ Ê "&!D œ #&!B Ê D œ B B $D $
a % b à a & b y a 'b
#B# C # $D # œ #()%
Ê #B# *B# $Œ
#& # B œ #()% *
Ê &)B# œ )$ Ê B# œ "%% Ê B œ "# , C œ $' ß D œ #!
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Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12 unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C. 3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia B# C # œ " . Si X grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X œ #B# C # C , encuentre los puntos más calientes y los puntos más fríos en el disco 0 aBß C b œ #B# C # C 1aBß C b œ B# C # "
J aBß Cß -b œ #B# C # C -aB# C # "b JB œ %B #B-
Ê JB œ !
Ê- œ #
" #C ßC Á ! #C
JC œ #C " #C -
Ê JC œ !
Ê-œ
J- œ B # C # "
Ê J- œ !
Ê B# C # œ "
a " b y a #b #œ
" #C #C
Ê %C œ " #C
a $ b y a %b
B# C # œ "
Ê B#
" œ" %
Ê B" œ
a"b
ßBÁ!
ÊCœ
È$ #
" #
ß B# œ
Si B œ !ß entonces en B# C # œ " , C # œ " Ê C" œ " ß C# œ " Si C œ !ß entonces en B# C # œ " , B# œ " Ê B" œ " ß B# œ " Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son: È$ " # ß #
Ê X
È$ #
" * ß œ # %
È$ È$ " " * # ß # Ê X # ß # œ %
79
a#b
a$b
a%b
È$ #
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a!ß "b
Ê X a!ß "b œ !
a"ß !b
Ê X a!ß "b œ #
a!ß "b Ê X a!ß "b œ #
a "ß !b Ê X a!ß "b œ #
Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son
frío del disco es a!ß "bÞ
Ejercicios
È$
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È$ " " ß , ß y el punto más # # # #
Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À
1Ñ Hallar los valores extremos de 0 aBß C b œ BC sujetos a la restricción 1aBß C b œ B# C # "! 2Ñ El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su máximo volumen posible. 3Ñ Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicas en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible. 4Ñ Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la Fábrica A produce B unidades, la fábrica B produce C unidades y la fábrica C produce D unidades, sus respectivos costos de producción son $B# #!! dólares, C # %!! dólares, #D # #!! dólares. Si se va a surtir un pedido de "Þ"!! unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total. 5Ñ Si se gastan B miles de dólares en trabajo e C miles de dólares en equipamiento, la producción de una cierta fábrica será T ÐBß CÑ œ '! B"Î$ C #Î$ unidades. Si hay "#!Þ!!! dólares disponibles, ¿cómo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?. 6Ñ Hállese los puntos sobre la esfera B# C # D # œ #& donde 0 aBß Cß D b œ B #C $D tiene sus valores máximos y mínimos 7Ñ Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. Determine el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.
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Solución
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"Ñ Los puntos máximos son ŠÈ&ß È&‹à Š È&ß È&‹ y los puntos mínimos son
Š È&ß È&‹à ŠÈ&ß È&‹
#Ñ Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja rectangular es 108 pies3 . $Ñ La altura 2 de cada uno de los conos es #È& unidades y la altura L del cilindro es Z % È& unidades . #&1 $ %Ñ Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total. &Ñ Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la mayor producción posible.
'Ñ El
punto
máximo
es
&È"% "!È"% "&È"% ß ß . "% "% "%
&È"% "!È"% "&È"% "% ß "% ß "%
(Ñ El problema no tiene solución.
81
y
el
punto
mínimo
es
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Gráficos en ‘3
La gráfica de una ecuación en ‘3 se denomina superficie . 1) Plano
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Si D œ 0 aBß C b es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto de ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada.
Su ecuación general es +B ,C -D . œ ! donde [ +ß ,ß - ] es el vector normal al plano. Es posible encontrar varios tipos de planos
a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B ,C -D . œ !b
En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.
Ejemplo: Graficar #B $C %D "# œ ! eje X C œ D œ ! Ê B œ ' eje Y
BœDœ!ÊCœ%
eje Z
BœCœ!ÊDœ$
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b) El plano pasa por el origen a+B ,C -D œ !b En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B œ ! à C œ ! y luego se trazan paralelas a las dos rectas encontradas. Ejemplo: Graficar &B $C "&D œ ! Bœ!
Ê $C "&D œ ! Ê C œ &D
Cœ!
Ê &B "&D œ !
Ê B œ $D
c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados Si es paralelo al eje Xß entonces su ecuación es ,C -D . œ ! Ejemplo: Graficar &C #D "! œ !
Si es paralelo al eje Yß entonces su ecuación es +B -D . œ !
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Si es paralelo al eje Zß entonces su ecuación es +B ,C . œ ! Ejemplo: Graficar *B #C ") œ !
d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados Si es paralelo al plano YZß entonces su ecuación es +B . œ !
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Ejemplo: Graficar $B #D "# œ !
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Si es paralelo al plano XZß entonces su ecuación es ,C . œ ! Ejemplo: Graficar C œ #
Si es paralelo al plano XYß entonces su ecuación es -D . œ !
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Ejemplo: Graficar B œ #
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2) Esfera
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Ejemplo: Graficar D œ #
a) Si el centro es G a!ß !ß !b y su radio < , entonces su ecuación es B# C # D # œ <#
b) Si el centro es G a2 ß 5ß 6b aB 2b# aC 5 b# aD 6b# œ <#
y
86
su
radio
<
,
entonces
su
ecuación
es
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3) Cilindro a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es
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B# C# # œ" # + ,
Si + œ , , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del cilindro es una elipse.
b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es
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B# D# œ" +# -#
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Si + œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del cilindro es una elipse.
c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es
C# D# œ" ,# -#
Si , œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del cilindro es una elipse.
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a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es
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4) Cono B# C# D# # œ # # + , -
Si + œ , , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del cono es una elipse.
b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es
B# D# C# œ +# -# ,#
Si + œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del cono es una elipse.
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C# D# B# œ ,# -# +#
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c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es
Si , œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del cono es una elipse. 5) Paraboloide Elíptico a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es
B# C# œ# +# ,#
Si + œ , , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del paraboloide es una elipse.
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B# D# œ #,C +# -#
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b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es
Si + œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del paraboloide es una elipse.
c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es
C# D# # œ #+B # , -
Si , œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del paraboloide es una elipse.
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Integrales Dobles
Concepto de integral doble
Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables continua tal que 0 aBß C b ! a aBß C b − V , V una región del plano BC. V es el dominio de 0 aBß C b. Se determinará cómo calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficie D œ 0 aBß C b. Para ello se realiza el siguiente proceso: Se subdivide la región V en 8 rectángulos no necesariamente iguales, se enumeran los 8 rectángulos desde <" a <8 . Cada rectángulo tiene área E3 con 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8
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E3 œ ˜ B3 † ˜ C3 8 El área aproximada de la región V será E µ " ˜ B3 † ˜ C3 3œ"
Se elige un punto cualquiera en cada rectángulo a!3 ß "3 b a!3 ß "3 b. Con esto se forma un paralelepípedo
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y se determina su imagen 0
Su volumen es Z3 œ ˜ B3 † ˜ C3 † 0 a!3 ß "3 b
8 Luego, el volumen aproximado total será Z µ " 0 a!3 ß "3 b † ˜ B3 † ˜ C3 3œ"
Pero a medida que los rectángulos son cada vez más pequeños se está aproximando al valor real de Z Así, Z œ
8 lim " 0 a!3 ß "3 b † ˜ B3 † ˜ C3 œ ( ( 0 aBß C b .E 8Ä_ V 3œ"
donde .E œ .C .B o .E œ .B .C
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"Ñ
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Integrales Iteradas
Si C œ 0 aBb e C œ 1aBb son continuas en el intervalo Ò +ß , Ó, entonces (
V
( 0 aBß C b .E œ (
Bœ, Bœ+
(
C œ 1aBb
C œ 0 aBb
0 aBß C b .C .B
#Ñ
Si B œ 0 aC b y B œ 1aC b son continuas en el intervalo Ò -ß . Ó, entonces (
V
( 0 aBß C b .E œ (
Cœ. Cœ-
(
B œ 1aC b
B œ 0 aC b
0 aBß C b .B .C
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1) (
V
( 5 0 aBß C b .E œ 5 (
( 0 aBß C b .E
V
5 es constante.
2) Si 0 aBß C b y 1aBß C b son integrables en V , entonces
( ( Ò0 aBß C b „ 1aBß C bÓ .E œ ( ( 0 aBß C b .E „ ( ( 1aBß C b .E V V V $Ñ Si V œ V" V# y 0 aBß C b es continua en V , entonces ( ( 0 aBß C b .E œ ( ( 0 aBß C b .E ( ( 0 aBß C b .E V V" V#
%Ñ Si los límites de integración son todos constantes, entonces À (
, +
(
. -
0 aBß C b .C .B œ (
. -
(
, +
0 aBß C b .B .C
B varía en el intervalo Ò +ß , Ó e C varía en el intervalo Ò -ß . Ó Ejemplos À "Ñ ( ( #
!
# " " ˆB# #B# C C $ BC ‰.C .B œ ( B# C B# C # C % BC # º .B % # " ! " #
#
œ ( Œ#B# %B# % #B B# B# #
!
œ ( Œ'B# #
!
"& $ B.B % #
œ
' $ "& $ B B B# º $ % % !
œ
#$ #
#
#Ñ (
1 !
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Propiedades de las integrales dobles
(
1Î# !
=/8# B -9=# C .C .B œ ( ( 1
!
1Î# !
=/8# BŒ
" -9=#C .C .B #
œ
" 1 =/8 #C # ( =/8 BC º .B # ! # !
œ
" 1 1 =/8# B .B ( # 0 #
œ
1 1 " -9= #B ( Œ .B % ! #
1Î#
95
" " B.B % #
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œ
1 =/8 #B ŒB º ) # !
œ
1# )
$Ñ (
È$ "
(
B !
B#
C # B# C # œ B# Œ" Š ‹ B
B .C .B C#
VIRGINIO GOMEZ
1
C œ >1 ! Ê C œ B >1 ! Ê .C œ B =/- # ! . ! B Cœ! Ê >1 ! œ ! Ê!œ! 1 C œ B Ê >1 ! œ " Ê!œ % (
È$ "
(
B !
B .C .B œ ( B# C # "
È$
œ( œ
(
1Î% !
È$ "
1 ( % "
!º
È$
B# =/- # ! . ! .B B# a" >1# !b 1Î%
.B !
.B
È$
1 œ Bº % " œ
1 È Š $ "‹ %
Ejercicios Resuelva À +Ñ(
È#
"
,Ñ (
% "
-Ñ (
1 !
.Ñ (
# "
( (
(
B# " È C / .C .B ÈC #
B B
#
Ê
-9=)
C .C .B B
3 =/8) . 3 . )
!
(
B# B #B# #
B .C .B
96
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
/Ñ (
1Î% !
0Ñ (
+Ñ(
$ !
(
B
"
% "
-Ñ (
1 !
.Ñ ( /Ñ (
# "
( (
!
B# /BC .C .B
B# " È C È / .C .B œ / # Š% #È#‹ #/ ( È C #
B
#
Ê
-9=)
C %!$ .C .B œ B #"
3 =/8) . 3 . ) œ
!
(
B# B
(
#
#B #
!
$
3$ -9=# ) . 3 . )
!
Solución
B
1Î%
0Ñ (
>1) =/- )
!
È#
,Ñ (
(
( B
!
B .C .B œ
>1) =/- )
" $
* %
3$ -9=# ) . 3 . ) œ
!
B# /BC .C .B œ
" #!
/* & #
97
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
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1) Cálculo de áreas en el plano ‘2
plano.
En (
V
Así, Eœ(
( 0 aBß C b .E si 0 aBß C b œ " , entonces (
V
(
VIRGINIO GOMEZ
Aplicaciones de la integral doble
.E representa el área de regiones del
C œ 1aBb C œ . B œ 1aC b .C .B œ ( .B .C ( ( B œ + C œ 0 aBb C œ - B œ 0 aC b +œ,
Ejemplos:
1) Hallar el área de la región V situada bajo la parábola C œ %B B# ß sobre el eje X y sobre la recta C œ $B ' Intersección de las curvas %B %B# œ $B ' ! œ B# (B ' ! œ aB "baB 'b B" œ "ß C" œ $ B# œ 'ß C# œ "# ano es solución, por condiciones del problemab C œ %B B# Cœ!
Ê %B B# œ ! Ê B" œ !ß B# œ %
C œ $B ' Cœ!
Ê $B ' œ !
Eœ( (
%BB#
#
"
$B'
E œ ( Cº #
"
%BB# $B'
.C .B ( (
%BB#
%
#
.B ( C º %
#
ÊBœ#
.C .B !
%BB#
.B !
98
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
E œ ( ˆ B# (B '‰.B ( ˆ%B B# ‰ .B %
"
#
B$ (B# %B# B$ 'Bº º $ # # $ # " #
Eœ
Eœ
"$ "' ' $
Eœ
"& [u. de a.] #
%
Por otro lado, C œ %B B# B# %B C œ ! Bœ
Bœ
C œ $B ' $B œ ' C
% „ È"' %C #
Bœ#
% „ È%a% C b #
C $
B œ # „ È% C
Eœ( ( $
!
#È%C # C$
.B .C ( ( %
$
#È%C
#È%C
.B .C
VIRGINIO GOMEZ
#
Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener al integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto, ( ( $
!
#È%C # C$
.B .C ( ( %
$
#È%C
#È%C
.B .C œ
"& [u. de a.] #
99
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Intersección de las curvas
VIRGINIO GOMEZ
2) Determinar el área limitada por C œ B$ e C œ B# B$ œ B# Ê B$ B# œ ! Ê B# aB "b œ ! Ê B" œ !ß C" œ ! à B# œ "ß C# œ "
Eœ( ( "
!
B#
.C .B B$
E œ ( C º .B "
!
B# B$
E œ ( ˆB# B$ ‰.B "
!
Eœ
B$ B% º $ % !
Eœ
" [u. de a] "#
"
Por otro lado, $ C œ B C œ B$ Ê È
Eœ( ( "
!
$ C È
ÈC
.B .C œ
C œ B# Ê È C œ B " [u. de a] "#
100
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VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios
Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje \ y respecto al eje ] . Plantee ambas integrales, pero resuelva sólo una de ellas. +Ñ B œ C #
à
B œ #C C #
,Ñ C œ =/8 B
à
C œ -9= B
-Ñ B œ C C #
à
BC œ!
.Ñ B# œ %C
à
)C œ B# "'
/Ñ B# C # œ "' à
C œ È'B
;
à
Cœ!
Solución +Ñ E œ ( (
ÈB
"
!
Eœ( (
#CC#
"
!
Eœ
.B .C C#
" [ u.de a.] $
,Ñ E œ ( Eœ(
.C .B
"È"B
1Î% !
È#Î# !
(
(
-9= B
.C .B =/8 B
E<- =/8 C !
.B .C (
"
(
E<- -9= C
.B .C
È#Î# !
E œ È# "[ u.de a.]
101
Bœ!
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez "È"%B #
-Ñ E œ ( ( !
# B
Eœ( (
Eœ
.C .B
#
.B .C
% [ u.de a.] $
.Ñ E œ #( ( !
E œ #( ( !
B# "' )
.C .B
B# %
#È C
#
!
.B .C #( (
#È#ÈC#
%
#
#È C
.B .C
$# [ u.de a.] $
/Ñ E œ ( (
È'B
#
!
Eœ( Eœ
( "È"%B
C
%
Eœ
!
"È"%B #
CC#
#
!
.C .B (
"Î%
#È $ !
!
.C .B ( ( #
È"'C#
( C#
È"'B#
%
.C .B
!
.B .C
'
)1 #È $ [ u.de a.] $
102
VIRGINIO GOMEZ
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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Ejemplos
VIRGINIO GOMEZ
2) Conocida una región V del plano BC , determinar el valor de una cierta integral doble ( B .E donde V es la región del plano limitada por C œ È#& B# ß en V el primer cuadrante; $B %C œ ! e C œ ! 1) Obtener el valor de (
Intersección de las curvas È#& B# œ !
È#& B# œ $ B % * # # #& B œ B "'
$B %C œ !ß C œ !
#& B# œ !
%!! "'B# œ *B# %!! œ #&B# "' œ B# % œ Bß C œ $
$B œ !
#& œ B# & œ Bß C œ !
B œ !ß C œ !
Si .E œ .C .B
(
V
( B .E
œ( (
$ %B
%
!
!
B .C .B ( ( %
œ ( BC º .B ( BC º $ %B
%
!
œ(
!
&
%
!
%
B œ % Ê ? œ *ß B œ & Ê ? œ !
V
( B .E
B .C .B
!
È#&B#
.B
!
& $ # B .B ( BÈ#& B# .B % %
? œ #& B# Ê .? œ #B .B Ê
(
È#&B#
&
.? œ B .B #
$ B$ " ! " † º ( ? # .? % $ ! # * %
œ
" # $ † ?# º # $ * !
œ "'
œ "' *
103
œ #&
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(
V
( B .E
œ( ( $
!
È#&C# % $C
È#&C#
B# œ( º ! # %C $
B .B .C
.C
$
œ
" $ "' # # ( Œ#& C C .C # ! *
œ
" $ #& # ( Œ#& C .C # ! *
œ
" #& C$ † º Œ#&C # * $ !
œ
" a(& #&b #
$
œ #&
VIRGINIO GOMEZ
Si .E œ .B .C
Por lo tanto, si se usa el operador .E œ .C .B o .E œ .B .C para un mismo ejercicio el resultado de la integral es el mismo
104
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas # ( B C .E donde V es la región del plano limitada por B œ " à B œ # V à C œ " à C œ $B " ÞPlantee ambas integrales, pero calcule sólo una de ellas.
VIRGINIO GOMEZ
2) Determine el valor de (
Para .E œ .C .B
(
# ( B C .E œ ( ( #
V
"
$B"
BC # .C .B
"
Para .E œ .B .C
105
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas # # # ( B C .E œ ( ( BC .B .C ( ( C" BC .B .C #
V
"
Resolviendo (
V
#
# ( B C .E
&
"
#
œ( ( #
"
$B"
"
$
BC # .C .B
"
œ( B #
#
C$ º $ "
$B"
.B
# # œ ( Œ*B% *B$ $B .B $ "
œ
*B& *B% $B# # Bº & % # $ "
œ
&'" #!
#
Ejercicios
Determine el valor de (
V
( 0 ÐBß CÑ .EÞ Considere .E œ .C .B ß
integral que usted estime más conveniente. +Ñ ( ,Ñ ( -Ñ (
V
(
C " B#
.E
VÀCœ!
V
# # ÐB C Ñ .E ( BC /
V À B# C # œ + #
V
(
VÀ"ŸBŸ#
B .E È B# C #
106
VIRGINIO GOMEZ
(
.E œ .B .C y resuelva la
à C œ ÈB
à
àB œ %
"ŸCŸB
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+Ñ (
ÈB
V
(
.E œ ( ( " B# ! !
V
(
# % C .E œ ( ( .B .C # " B# ! C# " B
V
(
" B#
,Ñ (
V
( BC /
(
V
# # ÐB C Ñ .E œ %( ( BC /
V
# # # ÐB C Ñ .E œ " /+ ˆ+# "‰ ( BC /
( (
(
-Ñ (
V
(
V
(
V
(
(
%
C
C .C .B " B#
C
C
(
.E œ
ÐB
#
68Ð"(Ñ % œ %(
C # Ñ .E + !
(
+ !
(
È+# C#
È+# B#
# # BC /ÐB C Ñ .C .B
!
# # BC /ÐB C Ñ .B .C
!
# B B B .E œ ( ( .C .B # È B# C # È B C# " "
# # B B .E œ ( ( .B .C # È B# C # È B C# C "
VIRGINIO GOMEZ
Solución
È# È& È& È"! " È# B .E œ #68 È B# C # # #
107
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3) Cálculo de volúmenes
Z œ(
Z œ( Z œ(
V
( .Z œ (
V
( 0 aBß C b .E
C œ 1aBb 0 aBß C b .C .B ( B œ + C œ 0 aBb Bœ,
Cœ. Cœ-
(
B œ 1aC b
B œ 0 aC b
0 aBß C b .B .C
Ejemplos
VIRGINIO GOMEZ
( 0 aBß C b .E representa el volumen del sólido comprendido en D œ 0 aBß C b V con .E el área de la base y 0 aBß C b la altura. Por definición (
1) Determinar el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el plano D œ # B #C B #C D œ # Intersección con los ejes eje X Bœ#
eje Y Cœ"
eje Z Dœ#
108
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V es la región en el plano BC D œ ! Ê B #C œ #
Z œ( (
B# "
#
!
!
a# B #C b .C .B
Z œ ( #C BC C º #
#
!
B# "
.B !
Z œ( ŒB#
B# B# B B ".B # %
Z œ( ŒB"
B# .B %
#
!
#
!
B# B$ B º # "# ! #
Z œ
Z œ ## Z œ
) "#
# [u. de v.] $
Si se considera .E œ .B .C se tiene B #C œ # Ê B œ # #C Z œ( ( "
!
##C !
a# B #C b .B .C œ
# [u. de v.] $
109
VIRGINIO GOMEZ
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VIRGINIO GOMEZ
2) Calcular el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el cilindro B# C # œ * y los planos B C œ $ y D œ %
La región V del plano es
Z œ( ( $
!
È*B#
Z œ ( %C º $
!
% .C .B
$B È*B#
.B
$B
Z œ ( Š%È* B# "# %B‹.B $
!
Z œ %( È* B# .B %( aB $b .B $
!
$
!
B Z œ %( È* B# .B %Œ $Bº # ! ! $
#
$
Z œ %( È* B# .B ") $
!
110
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
* B# œ *Œ"
B# B # # Ê * B œ *”" Š ‹ • * $
B œ =/8) Ê B œ $=/8) Ê .B œ $-9=) . ) $ Bœ!Ê)œ!
Bœ$Ê)œ
1 #
$ B # Z œ %( Ë*”" Š ‹ • .B ") $ !
Z œ "#( È" =/8# ) † $-9=) . ) ") 1 #
!
Z œ $'( -9=# ) . ) ") 1 #
!
Z œ $'(
1 #
" -9=#) . ) ") #
!
=/8#) # Z œ ")Œ) º ") # ! 1
Z œ *1 ") [u. de v.] Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
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Usando integrales dobles, calcule el volumen del sólido limitado por las siguientes superficies. +Ñ El cilindro B# C # œ % y los planos D œ ! à D œ ) ,Ñ el cono B# C # œ D # y el paraboloide D œ B# C #
-Ñ El cilindro B# C # œ #& à los planos B C œ & à D œ ) à en el primer octante. Solución +Ñ Z œ %( (
È%B#
#
!
,Ñ Z œ %( (
!
!
Z œ $#1 [u. de v.]
-Ñ Z œ ( ( &
!
È#&B#
È"B#
"
) .C .B
Z œ
) .C .B
&B
Z œ &!1 "!! [u. de v.]
111
!
1 [u. de v.] '
ŠÈB# C # B# C # ‹ .C .B
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Integrales Triples Sea A œ 0 aBß Cß D b una función de tres variables, continua en una cierta región W de ‘$ , entonces 0 aBß Cß D b es integrable en W . Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ 0 aBb hasta C œ 1aBb ß D varía desde D œ 0 aBß C b hasta D œ 1aBß C b , entonces ( ‘$ .
( ( 0 aBß Cß D b .Z œ ( ( ,
W
+
1aBb
0 aBb
(
1aBßCb
0 aBßCb
0 aBß Cß D b .Z
es la integral triple de la región W de
Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ - hasta C œ . ß D varía desde D œ / hasta D œ 0 , entonces son equivalentes: (
W
( ( 0 aBß Cß D b .Z
œ( ( ( ,
+
.
-
œ( ( ( .
-
/
,
+
/
/
,
+
0 aBß Cß D b .D .B .C
0
œ( ( ( 0
0 aBß Cß D b .D .C .B
0
. -
0 aBß Cß D b .C .B .D
y otras más Ejemplos Evaluar "Ñ ( ( ( #
"
B
!
BBC "
œ ( ( BCD º #
BC .D .C .B
B
"
!
BBC
.C .B "
œ ( ( ˆB# C B# C # BC ‰.C .B #
B
"
!
œ( Œ
B# C # B# C $ BC # º .B # $ # !
œ( Œ
B% B& B$ .B # $ #
#
"
#
"
B
œ
B& B' B% º "! ") ) "
œ
")* %!
#
112
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#/
" /
(
1Î$ !
C 68 D >1 B .B .D .C œ ( (
#/
œ( (
#/
!
" / !
" /
C 68 D 68¸=/- B¸º
( ( !
#/
" /
(
1Î$ !
.D .C !
C 68D ˆ68¸=/- a1Î$b¸ 68¸=/- !¸‰ .D .C
œ 68 a#b( ( !
? œ 68 D Ê .? œ
1Î$
#/
C 68D .D .C
" /
" .D D
VIRGINIO GOMEZ
#Ñ ( (
.@ œ .D
Ê@œD
C 68 D >1 B .B .D .C œ 68 a#b( C D 68D º ( !
#/
"
/
#/ /
" D † .D .C D
œ 68 a#b( C D 68 D D º .C !
#/
" !
/
œ 68a#b( Ca#/ 68a#/b #/ / 68a/b /b .C "
œ 68 a#b( Ca#/ 68a#b #/ 68a/b #/ / 68a/b /b .C !
"
œ #/Ò68a#bÓ# ( œ #/Ò68a#bÓ#
!
C .C "
C# º # " !
œ /Ò68a/bÓ# $Ñ ( (
C#
#
"
C
(
68 B !
C /D .D .B .C
œ( (
C#
#
"
œ( (
C C#
#
"
œ( (
C C#
#
"
C
C /D º
68 B
.B .C !
C ˆ/68B /! ‰.B .C aBC C b .B .C
œ( Œ
B# C BC º .C # C
œ( Œ
C& C$ C$ C # .C # #
œ( Œ
C& $C $ C # .C # #
#
"
#
"
#
"
C#
113
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
C' $C % C$ º "# ) $ " #
%Ñ ( ( ( #
!
È$ D
C
!
œ B#
!
B# D # œ D # Œ
D .B .D .C D#
B# B # " Ê B# D # œ D # ”Š ‹ "• # D D
B œ >1) Ê B œ D >1) Ê .B œ D =/- # ) . ) D Bœ!Ê)œ! ( ( ( #
!
È$ D
C
!
!
D .B .D .C B# D #
B œ È$ D Ê ) œ œ( ( ( #
!
!
œ( ( ( #
!
!
1Î$
C
!
œ( ( ( #
!
È$ D
C
!
C
!
!
D D =/- # ) . ) .D .C D # a>1# ) "b . ) .D .C
!
C
!
1Î$
.D .C !
œ
1 # C ( ( .D .C $ ! !
œ
1 # ( D º .C $ ! !
œ
1 # ( C .C $ !
œ
1 C# † º $ # !
œ
# 1 $
C
#
114
%( #%
D .B .D .C # B D # ”Š ‹ "• D
1Î$
œ ( ( )º #
1 $
œ
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Ejercicios
Resuelva las siguientes integrales triples À +Ñ ( ,Ñ (
" !
(
" !
1 Î# !
-Ñ (
# "
.Ñ (
" "
(
(
(
È B# C #
1 Î# !
(
B $
(
#
(
BD !
È$ C !
" B# !
(
BCD .D .C .B
C -9= Š ‹ .C .B .D D
C .D .C .B C# D # ÈB
È B
#C # ÈB .D .C .B
Solución
+Ñ ( ,Ñ (
" !
(
" !
1 Î# !
-Ñ (
# "
.Ñ (
" "
(
( B
$
(
(
#
È B# C #
1 Î# !
(
(
!
È$ C !
" B# !
BD
(
BCD .D .C .B œ
$ )
1# C -9= Š ‹ .C .B .D œ D )
1 C .D .C .B œ C# D # # ÈB
È B
#C # ÈB .D .C .B œ !
115
VIRGINIO GOMEZ
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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
VIRGINIO GOMEZ
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La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma (
usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C Ejemplos:
W
( ( .Z donde .Z se
1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro D # C # œ " y situada entre los planos B C œ " à B C œ $
En el plano BC se observa
BC œ"ÊBœ"C Z œ( ( "
!
Z œ( ( "
!
$C "C $C "C
(
È"C#
BC œ$ÊBœ$C
.D .B .C
!
Dº
È"C#
.B .C
!
116
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Z œ( ( "
!
$C "C
È" C # .B .C
Z œ ( È " C # † Bº "
!
$C
.C "C
Z œ ( È" C # a$ C " C b .C "
!
Z œ #( È" C # .C "
!
C œ =/8) Ê .C œ -9=) . ) Cœ!Ê)œ!
Cœ"Ê)œ
1 #
Z œ #( È" =/8# ) † -9=) . ) 1 #
!
Z œ #( -9=# ) . ) 1 #
!
Z œ #( Œ 1 #
!
Z œ Œ) Z œ
" -9=#) . ) #
=/8#) # º # !
1
1 Ò u. de v.Ó #
Si se considera .Z œ .D .C .B la integral sería Z œ( ( "
!
"
(
"B !
È"C#
.D .C .B ( ( ( #
"
È"C#
"
!
!
.D .C .B ( ( $
#
117
$B !
(
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È"C# !
.D .C .B
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2) Determinar el volumen de la esfera B# C # D # œ +#
En el plano BC
118
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Por simetría Z œ )( (
È+# B#
+
!
Z œ )( (
! È+# B#
+
!
Z œ )( (
! È+# B#
+
!
!
(
È+# B# C#
.D .C .B
!
Dº
È+# B# C#
.C .B
!
È+# B# C # .C .B
a+# B# b C # œ a+# B# bŒ"
+#
a+ B b C œ a+ B b”" #
#
#
#
#
C# B# #
È + # B# • C
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
C œ =/8) Ê C œ È+# B# =/8) Ê .C œ È+# B# -9=) . ) È + # B#
Cœ!Ê)œ! Z œ )( (
Í # C Í # a+ B# b”" .C .B • È + # B# Ì
È+# B# Í
+
!
C œ È + # B# Ê ) œ
!
Z œ )( ( È+# B# † È" =/8# ) † È+# B# -9=) . ) .B 1 #
+
!
!
Z œ )( ( ˆ+# B# ‰-9=# ) . ) .B 1 #
+
!
!
Z œ )( ˆ+# B# ‰(
1 #
+
!
!
" -9=#) . ) .B #
Z œ %( ˆ+# B# ‰ Œ) +
!
=/8#) # º .B # ! 1
+ 1 Z œ %( ˆ+# B# ‰ .B # !
Z œ #1Œ+# B Z œ
B$ º $ !
+
% $ + 1 [u. de v.] $
119
1 #
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3) Determinar el volumen, sobre el plano BC del sólido formado por el cilindro B# C # œ #& y el plano B C D œ )
En el plano BC
Z œ( ( &
È#&B#
& È#&B#
Z œ ( ( &
È#&B#
& È#&B#
(
)BC
.D .C .B !
Dº
)BC
.C .B !
120
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Z œ( ( &
È#&B#
& È#&B#
a) B C b .C .B È#&B#
C# Z œ ( Œ)C BC º .B # È#&B# & &
Z œ ( Š"'È#& B# #BÈ#& B# ‹.B &
&
( "'È#& B# .B &
&
#& B# œ #&Š"
B# #& ‹
B # Ê #& B# œ #&”" Š ‹ • &
B œ =/8) Ê B œ &=/8) Ê .B œ & -9=) . ) & Bœ &Ê) œ
1 #
( "'È#& B# .B &
&
Bœ"Ê)œ & B # œ "'( Ë#&”" Š ‹ • .B & &
œ %!!( œ %!!(
1 #
1# 1 #
1#
-9=# ) . ) " -9=#) .) #
=/8#) # œ #!!Œ) º # 1 1
#
œ #!!1 #( BÈ#& B# .B &
&
? œ #& B# Ê .? œ #B .B Ê ?œ &Ê?œ! #( BÈ#& B# .B &
&
.? œ B .B # ?œ&Ê?œ!
! .? œ #( È ? † # !
œ! Luego, Z œ #!!1 ! Z œ #!!1 [u. de v.]
121
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Departamento de Ciencias Básicas
1 #
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Ejercicios
Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À
+Ñ El cilindro B# C # œ "' ß los planos C D œ % ß C œ # ß D œ ! ß B œ ! ,Ñ El cilindro B# %C # œ % ß los planos D œ ! à D œ B # -Ñ El cono %B# *C # $'D # œ ! y el plano D œ " .Ñ El plano D œ ' #C con ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ # /Ñ Los planos D œ ' B C à C œ B à C œ #
Solución
È"'C#
+Ñ Z œ ( ( %
# !
#
È%B# #
#
È # %B #
,Ñ Z œ ( (
-Ñ Z œ %( ( !
!
!
#
!
/Ñ Z œ ( ( ( #
!
.D .B .C œ !
'% 1 [u. de v.] $
B#
.D .C .B œ %1 [u. de v.] !
( É%B#*C# .D .C .B œ #1 [u. de v.] "
'#C
.D .C .B œ $# [u. de v.] !
#
B
%C
'
.Ñ Z œ ( ( ( %
(
#È*B# $
$
(
'BC
.D .C .B œ ) [u. de v.] !
122
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Transformación de Integrales Triples Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema de coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas Coordenadas Cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada D como en el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son: B œ < -9=) C œ < =/8) DœD
En el plano BC
Z œ(
W
( ( .Z œ (
) œ) # ) œ) "
(
<œ<# <œ<"
(
DœD# a)ß
DœD" a)ß
< .D .< . )
123
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Ejemplos
VIRGINIO GOMEZ
1) Determinar el volumen del sólido limitado por el semicono D œ ÈB # C # y el plano D œ %
En el plano BC sólo existe un punto, pero en un plano paralelo al plano BC , D œ %, se forma la circunferencia B# C # œ "'
B# C # œ "'
Ê a< -9=)b# a< =/8)b# œ "' Ê <# -9=# ) <# =/8# ) œ "' Ê <# a-9=# ) =/8# )b œ "' Ê <# œ "'
Ê<œ% El cono en coordenadas cilíndricas queda: D œ ÈB# C # Ê D œ Éa< -9=)b# a< =/8)b# Ê D œ <
Nota: No es posible reemplazar en D œ < el valor de < œ %ß porque < œ % corresponde a la figura que queda en el plano BC , por lo tanto se está trabajando en ‘# , en cambio D œ < corresponde a la transformación de una superficie, es decir, se está trabajando en ‘3 Þ Luego, los sistemas son incompatibles.
124
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Por simetría Z œ %( ( ( < .D .< . ) 1 #
%
!
!
%
<
Z œ %( (
%
!
!
% <
Z œ %( ( ˆ%< <# ‰.< . ) 1 #
%
!
!
Z œ %( Œ#<# 1 #
!
Z œ %(
1 #
!
<$ º . ) $ ! %
$# .) $
"#) # Z œ º $ !
1
Z œ
'% 1 [u. de v.] $
2) Determinar el volumen del sólido, sobre el plano BC , limitado por el cilindro B# aC $b# œ * y el cono B# C # œ D #
125
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B # aC $ b # œ *
Ê B# C # 'C * œ * Ê <# '< -9=) œ ! Ê
El cono en coordenadas cilíndricas queda: B# C # œ D # Ê < # œ D # Ê < œ D Z œ( ( 1
!
Z œ( (
'=/8) !
1
!
Z œ( ( !
Z œ( Z œ
<
!
'=/8) !
1
( < .D .< . )
!
'=/8)
<# .< . )
!
< º $ !
1 $ '=/8) !
.)
" 1 $ ( #"'=/8 ) . ) $ !
Z œ (#( =/8) =/8# ) . ) 1
!
Z œ (#( =/8) ˆ" -9=# )‰. ) 1
!
Z œ (#( ˆ=/8) =/8) -9=# )‰. ) 1
!
Z œ (#Œ -9=)
-9=$ ) º $ !
1
Z œ *' [u.de v.]
126
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En el plano BC
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Ejercicios
Calcular, en coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido limitado por À +Ñ La esfera B# C # D # œ "' y el cilindro B# C # œ %
,Ñ El plano D œ ! , el cilindro B# C # œ " y el paraboloide D œ B# C # -Ñ El cilindro B# C # œ % y los planos D œ ! ß C D œ %
Solución
+Ñ Z œ #( ,Ñ Z œ (
#1 !
#1 !
-Ñ Z œ (
È"'<#
#
!
( (
< .D .< . ) œ !
( ( #
!
!
< .D .< . ) œ #1Œ
<#
"
!
#1 !
( (
"#) "'È$[ u. de v.] $
1 [ u. de v.] #
%< =/8)
< .D .< . ) œ "'1 [ u. de v.] !
127
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Coordenadas Esféricas Si en la región W una de las superficies es una esfera, conviene trabajar con coordenadas esféricas mediante la transformación B œ 3 -9=) =/89 C œ 3 =/8) =/89
Dœ3 En el plano BC
En el plano DC
128
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) varía desde ) œ ! hasta ) œ #1 9 varía desde 9 œ ! hasta 9 œ 1 3 varía desde 3 œ 3" hasta 3 œ 3# Z œ(
W
( ( .Z œ (
) œ )#
) œ) "
(
9 œ9 # 9 œ9 "
(
3œ 3 #
3# =/89 . 3 . 9 . )
3œ3"
Ejemplos: 1) Determinar el volumen de la esfera B# C # D # œ +#
B# C # D # œ + # Ê a3 -9=) =/89b# a3 =/8) =/89b# a3 -9=9b# œ +# Ê 3# -9=# ) =/8# 9 3# =/8# ) =/8# 9 3 # -9=# 9 œ +# Ê 3# =/8# 9a-9=# ) =/8# )b 3 # -9=# 9 œ +# Ê 3# a=/8# 9 -9=# 9b œ +#
Ê 3# œ +# Ê3œ+ Z œ( Z œ( Z œ
#1 !
1
!
#1 !
( ( (
1 !
+
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
3$ =/89 º . 9 . ) $ ! +
+ $ #1 1 ( ( =/89 . 9 . ) $ ! !
129
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Z œ
+ $ #1 ( -9=9º . ) $ ! !
Z œ
# $ #1 + ( .) $ !
Z œ
# $ + )º $ !
Z œ
% $ 1+ [u. de v.] $
#1
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1
2) Calcular el volumen que se forma en el interior de la esfera B# C # D # œ #+D y el cono B C œ D# #
#
B# C # D # œ #+D Ê B# C # D # #+D œ ! Ê B# C # aD +b# œ + # Intersección de las superficies B# C # D # œ #+D B# C # œ D #
Ê #D # œ #+D Ê #D # #+D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ +
Considerando las simetrías en el plano DC se observa:
130
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Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene: B# C # D # œ #+D Ê 3# œ #+3-9=9
B# C # œ D #
Ê 3# #+3-9=9 œ ! Ê 3" œ ! ß 3# œ #+ -9=9
Ê 3# -9=# )=/8# 9 3# =/8# )=/8# 9 œ 3# -9=# 9 Ê 3# =/8# 9a-9=# ) =/8# )b œ 3# -9=# 9 Ê 3# =/8# 9 œ 3# -9=# 9 Ê =/8# 9 œ -9=# 9 Ê >1# 9 œ " Ê 9 œ
Por simetría Z œ %( ( ( 1 #
1 %
!
!
Z œ %( ( 1 #
!
1 %
!
1 %
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
3$ =/89 º $ !
#+ -9=9
.9 .)
$#+$ # % $ ( ( -9= 9=/89 . 9 . ) $ ! ! 1
Z œ
#+-9=9
1
$#+$ # -9=% 9 % Z œ ( º .) $ ! % ! 1
1
) $ #$ + ( .) $ ! % 1
Z œ
Z œ #+ )º $
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1 #
!
Z œ +$ 1 [u.de v.]
131
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Intersección de las superficies B# C # D # œ %D B# C # œ D
Ê D D # œ %D Ê D # $D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ $
Considerando las simetrías en el plano DC se observa:
Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene: B# C # D # œ %D Ê 3# œ %3-9=9 B# C # œ D
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3) Calcular el volumen que queda en el interior de la esfera B# C # D # œ %D y el paraboloide D œ B C# B# C # D # œ %D Ê B# C # D # %D œ ! Ê B# C # aD #b# œ % #
Ê 3# %3-9=9 œ ! Ê 3" œ ! ß 3# œ % -9=9
Ê 3# -9=# )=/8# 9 3# =/8# )=/8# 9 œ 3 -9= 9 Ê 3# =/8# 9a-9=# ) =/8# )b œ 3 -9= 9 Ê 3# =/8# 9 œ 3 -9= 9 Ê 3# =/8# 9 3-9= 9 œ! -9=9 Ê 3" œ ! ß 3# œ œ -9>19 -9=/- 9 =/8# 9
132
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% -9=9 œ
-9=9 =/8# 9
=/8# 9 œ
" " 1 Ê =/89 œ Ê 9 œ % # '
(se están considerando las simetrías)
Por simetría Z œ %( ( ( 1 #
1 6
!
!
Z œ %( ( 1 #
!
1 '
!
%-9=9 !
3 =/89 . 3 . 9 . ) %( ( ( 1 #
#
1 #
1 6
!
3$ =/89 º $ !
% -9=9
. 9 . ) %( ( 1 #
!
1 # 1 6
-9>19-9=/- 9
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
3$ =/89 º $ !
-9>19-9=/- 9
.9 .)
#&' # ' % # # $ $ # Z œ ( ( -9= 9=/89 . 9 . ) ( ( -9>1 9-9=/- 9. 9 . ) $ ! ! $ ! 16 1
1
1
1
#&' # -9=% 9 ' % # -9>1% 9 # Z œ ( º .) ( º .) $ ! % ! $ ! % 1 1
1
1
1
'
'% # ( " # .) ( * .) ( $ ! "' $ ! 1
Z œ
1
# #) # Z œ ) º $) º $ ! ! 1
Z œ
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Igualando los 3
1
$( 1 [u.de v.] '
133
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I Calcular, en coordenadas esféricas, el volumen del sólido À
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Ejercicios
+Ñ Dentro de la esfera B# C # D # œ %D y arriba del cono B# C # œ D #
,Ñ Comprendido por los conos B# C # œ D # à B# C # œ $D # y bajo la semiesfera D œ È % B# C # -Ñ Dentro de la esfera B# C # D # œ % y sobre D œ "
II Evalue la integral usando coordenadas cilíndricas o esféricas
+Ñ ( ,Ñ (
" !
" !
( (
-Ñ ( (
È " B# !
È" C # !
È% C #
#
!
!
( (
(
È " B# C # !
È# B # C #
È B# C #
È% B # C # !
È B#
D .D .C .B C#
D # .D .B .C
" .D .B .C B# C # D #
III Convierta la siguiente integral a coordenadas esféricas y rectangulares (
#1 !
(
" !
(
È % <#
< .D .< . )
!
134
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+Ñ Z œ ( ,Ñ Z œ (
#1 !
#1 !
(
(
1Î% !
1Î$ !
(
(
%-9=9
3# =/89 . 3 . 9 . ) œ )1 [u. de v.]
!
3# =/89 . 3 . 9 . ) (
# !
#1 !
(
1Î% !
(
#
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
o Z œ(
#1 !
-Ñ Z œ (
,Ñ (
! "
!
( (
-Ñ ( (
!
#1 !
( (
(
!
#1 !
#1 !
( (
(
(
1Î$ !
È% C # !
" !
" !
" !
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
(
È" C #
III #1
#
!
#
!
1Î%
(
È " B#
II "
1Î$
)È # ) [u. de v.] $
Z œ 1
+Ñ (
(
( (
(
# "Î-9= 9
( (
(
È " B# C # !
È# B # C #
È B# C #
1 D .D .C .B œ È B# C # ' D # .D .B .C œ 1
È% B # C # B#
!
È % <# !
!
È % <#
È"B#
"
< .D .< . )
!
œ %(
1Î# !
(
(
È%B# C#
.D .C .B
!
1Î' !
%( < .D .< . ) œ 1Œ
#È # " "&
" .D .B .C œ 1 C# D #
< .D .< . ) œ %( ( !
È % <#
!
& 1 [u. de v.] $
3# =/89 . 3 . 9 . ) œ
(
#
!
3# =/89 . 3 . 9 . )
!
1Î#
(
1Î# 1Î'
(
"' #È$[u. de v.] $
135
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Solución I
"Î=/89 !
3# =/89 . 3 . 9 . )
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Campos Vectoriales Son funciones que asignan a un punto del plano o del espacio un vector. Conceptos:
1) Sean Q œ 0 aBß C b y R œ 0 aBß C b dos funciones de dos variables definidas en una cierta región del plano V . La función J definida por:
F ( x, y ) = M ( x, y )i + N ( x, y ) j se llama campo vectorial sobre VÞ
2) Sean Q œ 0 aBß Cß D b à R œ 0 aBß Cß D b à T aBß Cß D b tres funciones de tres variables definidas en una región W del espacio. La función J definida por:
F ( x, y, z ) = M ( x, y, z )i + N ( x, y, z ) j + P( x, y, z )k se llama campo vectorial sobre W . El gradiente es un ejemplo representativo de campo vectorial pues: +Ñ f0 aBß C b œ 0B aBß C b † 3 0C aBß C b † 4
Haciendo Q œ 0B aBß C b y R œ 0C aBß C b se tiene que f0 aBß C b œ Q 3 R 4 ,Ñ f0 aBß Cß D b œ 0B aBß Cß D b † 3 0C aBß Cß D b † 4 0D aBß Cß D b † 5
Haciendo Q œ 0B aBß Cß D b à R œ 0C aBß Cß D b à T œ 0D aBß Cß D b se f0 aBß Cß D b œ Q 3 R 4 T 5 Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son:
tiene
que
a) Campos de velocidades los cuales se usan para describir el movimiento de un sistema de partículas en el plano o en el espacio como también para describir el flujo de corrientes de aire alrededor de un objeto en movimiento. b) Campos gravitacionales se definen mediante la ley de la gravitación de Newton, que establece que la fuerza de atracción ejercida sobre una partícula de masa 7" localizada en aBß Cß D b por una partícula de masa 7# localizada en a!ß !ß !b es: J aBß Cß D b œ
K 7" 7# p †? B# C # D #
con K la constante gravitatoria y ? un vector unitario en la dirección que va del origen a aBß Cß D b. p
136
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J aBß Cß D b œ
- ;" ;# p †? m
donde < œ B3 C4 D5 , ? œ
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c) Campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercida sobre una partícula con carga eléctrica ;" localizada en aBß Cß D b por una partícula con carga eléctrica ;# localizada en a!ß !ß !b viene dada por:
< y - una constante que depende de la elección de unidades para m
y ;# .
Campo vectorial conservativo
Un campo de vectores J se llama conservativo si existe una función diferenciable tal que J œ f0 . La función 0 se llama función potencial de J .
Los campos gravitacionales, los magnéticos y los de fuerzas eléctricas son conservativos.
Que un campo vectorial sea conservativo significa que cumple con las condiciones de la ley de conservación de la energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula es constante). Campo vectorial conservativo en el plano
Sean Q œ 0 aBß C b y R œ 0 aBß C b dos funciones de dos variables que tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces :
F ( x, y ) = M ( x, y )i + N ( x, y ) j es conservativo ⇔
∂M ∂N = ∂x ∂y
Ejemplos
Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial. "Ñ J aBß C b œ B# C 3 BC 4 Q œ B# C
R œ BC Ê
Ê
`Q œ B# `C
`R œC `B
`Q `R , por lo tanto, el campo vectorial no es conservativo. Á `C `B
137
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Q œ %B$ #C $B# C #
Ê
`Q œ # 'B# C `C
R œ $C # #B #B$ C
Ê
`R œ # 'B# C `B
`Q `R œ , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. `C `B
J œ f0 aBß C b
Q aBß C b 3 R aBß C b 4 œ 0B aBß C b 3 0C aBß C b 4
VIRGINIO GOMEZ
#Ñ J aBß C b œ a%B$ #C $B# C # b3 a$C # #B #B$ C b4
Luego, por igualdad de vectores, Q aBß C b œ 0B aBß C b ß R aBß C b œ 0C aBß C b
Así, 0B aBß C b œ %B$ #C $B# C #
Î( .B
$ # # ( 0B aBß C b .B œ ( ˆ %B #C $B C ‰.B
0 aBß C b œ B% #BC B$ C # G aC b 0C aBß C b œ $C # #B #B$ C
# $ ( 0C aBß C b .C œ ( ˆ $C #B #B C ‰.C
a"b Î( .C
0 aBß C b œ C $ #BC B$ C # G aBb
a#b
De a1b y a2b se tiene
0 aBß C b œ #BC B$ C # B% C $ G , donde G aBb œ B% ß G aC b œ C $
$Ñ J aBß C b œ a/BC BC/BC C # -9=aBC bb3 aB# /BC =/8aBC b BC -9=aBC bb4 Q œ /BC BC/BC C # -9=aBC b
`Q œ B/BC B/BC B# C/BC #C -9=aBC b BC # =/8aBC b `C
R œ B# /BC =/8aBC b BC -9=aBC b
`R œ #B/BC B# C/BC C -9=aBC b C -9=aBC b BC # =/8aBC b `B `Q `R , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. œ `C `B
138
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J œ f0 aBß C b
0B aBß C b œ /BC BC/BC C # -9=aBC b
Î( .B
BC BC # ( 0B aBß C b .B œ ( ˆ/ BC/ C -9=aBC b ‰.B
? œ BC
Ê .? œ C .B
.@ œ /BC .B
Ê@œ
/BC C
0 aBß C b œ
/BC /BC /BC C # =/8aBC b BC † ( † C .B C C C C
0 aBß C b œ
/BC /BC B/BC C =/8aBC b G aC b C C
0 aBß C b œ B/BC C=/8aBC b G aC b
0C aBß C b œ B# /BC =/8aBC b BC -9=aBC b
a"b
Î( .C
# BC ( 0C aBß C b .C œ ( ˆB / =/8aBC b BC -9=aBC b ‰.C
? œ BC
Ê .? œ B .C
.@ œ -9=aBC b .C Ê @ œ 0 aBß C b œ
=/8aBC b B
B# /BC -9=aBC b =/8aBC b =/8aBC b BC † ( † B .C B B B B
0 aBß C b œ B/BC
-9=aBC b -9=aBC b C =/8aBC b G aBb B B
0 aBß C b œ B/BC C =/8aBC b G aBb De a1b y a2b se tiene
0 aBß C b œ B/BC C=/8aBC b G , donde G aBb œ G aC b œ G
139
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a#b
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Ejercicios
Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial. "Ñ J ÐBß CÑ œ Ð#B $CÑ 3 $ÐB C # Ñ 4
#Ñ J ÐBß CÑ œ
#B B# 3 # 4 C C
$Ñ J ÐBß CÑ œ
#B #C 3 # 4 B# C # B C#
%Ñ J ÐBß CÑ œ #BC $ 3 $C # B# 4 &Ñ J ÐBß CÑ œ /B Ò=/8 C 3 Ð-9= C #Ñ 4 Ó 'Ñ J ÐBß CÑ œ B/C 3 C/B 4 Solución "Ñ 0 aBß C b œ $BC B# C $ G
G aBb œ B# à G aC b œ C $
#Ñ 0 aBß C b œ
G aBb œ G aC b œ G
B# G C
$Ñ 0 aBß C b œ 68¸B# C # ¸ G
G aBb œ G aC b œ G
%Ñ 0 aBß C b œ B# C $ G
G aBb œ G aC b œ G
&Ñ No es conservativo
'Ñ No es conservativo
140
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El rotacional de J aBß Cß D b œ Q 3 R 4 T 5 es
rotF ( x, y, z ) = ∇ × F ( x, y, z ) i =
∂ ∂x M
j ∂ ∂y N
k ∂ ∂z P
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Concepto de rotacional de un campo vectorial en el espacio
∂N ∂M ∂P ∂N ∂P ∂M k i − − − = − j + ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z Campo vectorial conservativo en el espacio
Sean Q œ 0 aBß Cß D b ß R œ 0 aBß Cß D b y T œ 0 aBß Cß D b tres funciones de tres variables donde sus primeras derivadas son continuas. El campo vectorial J aBß Cß D b œ Q 3 R 4 T 5 es conservativo si, y sólo si <9>J aBß Cß D b œ Ò !ß !ß ! Ó, es decir,
∂P ∂N ∂P ∂M ∂N ∂M , , = = = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Ejemplos:
Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial. "Ñ J aBß Cß D b œ B$ C # D 3 B# D 4 B# C 5 Q œ B$ C # D
â â 3 â ` â <9>aJ b œ â â `B â $ # âB C D
R œ B# D 4 ` `C B# D
T œ B# C
â 5 â ` ââ â `D â â B# C â
œ 3aB# B# b 4 a#BC B$ C # b 5 a#BD #B$ CD b
<9>aJ b Á Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J no es conservativo. #Ñ J aBß Cß D b œ #BC 3 aB# D # b4 #CD 5 Q œ #BC
R œ B# D #
T œ #CD
141
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â â 3 â ` â <9>aJ b œ â â `B â â #BC
â 5 â ` ââ â `D â â #CD â
4 ` `C B# D #
œ 3a#D #D b 4 a! !b 5 a#B #Bb
<9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J es conservativo.
J aBß Cß D b œ f0 aBß Cß D b
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Q aBß Cß D b 3 R aBß Cß D b 4 T aBß Cß D b 5 œ 0B aBß Cß D b 3 0C aBß Cß D b 4 0D aBß Cß D b 5 Luego, por igualdad T aBß Cß D b œ 0D aBß Cß D b
de
vectores,
Q aBß C ,D b œ 0B aBß Cß D b ß R aBß Cß D b œ 0C aBß Cß D b ß
Así, 0B aBß Cß D b œ #BC
Î( .B
( 0B aBß Cß D b .B œ ( #BC.B 0 aBß Cß D b œ B# C G aCß D b 0C aBß Cß D b œ B# D #
# # ( 0C aBß Cß D b .C œ ( ˆ B D ‰.C
0 aBß Cß D b œ B# C D # C G aBß D b 0D aBß Cß D b œ #CD
a"b
Î( .C
a#b
Î( .D
( 0D aBß Cß D b .D œ ( #CD .D 0 aBß Cß D b œ CD # G aBß C b
a$b
De a"b , a#b y a$b
0 aBß Cß D b œ B# C CD # G dondeG aBß C b œ B# C ß G aCß D b œ CD # ß G aBß D b œ G
142
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œ aC/BC -9=D =/- # B 68aCD bb3 ŒB/BC -9=D Œ /BC =/8D
>1B 5 D
Q œ C/BC -9=D =/- # B 68aCD b R œ B/BC -9=D
>1 B C
T œ /BC =/8D
>1B D
â 3 4 â â ` ` â â <9>aJ b œ â `B `C â >1 B â BC â C/ -9=D =/- # B 68aCD b B/BC -9=D C â
>1 B 4 C
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$Ñ J aBß Cß D b
â â â â â â â >1B â /BC =/8D â D â 5 ` `D
œ 3a B/BC =/8D B/BC =/8D b 4 Œ C/BC =/8D
=/- # B =/- # B C/BC =/8D D D =/- # B =/- # B 5 Œ/BC -9=D BC/BC -9=D /BC -9=D BC/BC -9=D C C <9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J es conservativo.
J œ f0 aBß Cß D b
0B aBß Cß D b œ C/BC -9=D =/- # B 68aCD b
Î( .B
BC # ( 0B aBß Cß D b .B œ ( ˆC/ -9=D =/- B 68aCD b‰.B
0 aBß Cß D b œ
C/BC -9=D >1B 68aCD b G aCß D b C
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D >1B 68aCD b G aCß D b
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D >1B 68C >1B 68D G aCß D b 0C aBß Cß D b œ B/BC -9=D
Î( .C
>1 B C
BC ( 0C aBß Cß D b .C œ ( ŒB/ -9=D
a"b
>1 B .C C
143
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0 aBß Cß D b œ
B/BC -9=D >1B 68 C G aBß D b B
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D >1B 68 C G aBß D b 0D aBß Cß D b œ /BC =/8D
Î( .D
>1B D
BC ( 0D aBß Cß D b .D œ ( Œ / =/8D
a#b
>1B .D D
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D >1B 68D G aBß C b De a"b , a#b y a$b
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D >1B 68D >1B 68C G G aCß D b œ G
a$b
donde G aBß C b œ >1B 68C ß G aBß D b œ >1B 68Dß
Ejercicios I Encontrar el rotacional en el punto indicado "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ BCD 3 C 4 D 5
Ð " ß #ß " Ñ
#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B# D 3 #BD 4 CD 5
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Ð #ß "ß $ Ñ
$Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /B =/8 C 3 /B -9=C 4 5
Ð !ß !ß $ Ñ
%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /BCD Ð 3 4 5 Ñ
Ð $ß #ß ! Ñ
II Encuentre <9>Ð J ‚ K Ñ donde À "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3 #B 4 $C 5
KÐBß Cß DÑ œ B 3 C 4 # 5 KÐBß Cß DÑ œ B# 3 C 4 D # 5
#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B 3 D 5
III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial. "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ C/D 3 B/D 4 /D 5 #Ñ J ÐBß Cß DÑ œ $B# C # D 3 #B$ CD 4 B$ C # 5 $Ñ J ÐBß Cß DÑ œ
" B 3 # 4 Ð#D "Ñ 5 C C
%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ
B C 3 # 45 B# C # B C#
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I "Ñ <9> J a"ß #ß "b œ #4 5
#Ñ <9> J a#ß "ß $b œ (3 %4 '5 $Ñ <9> J a!ß !ß $b œ #5
%Ñ <9> J a$ß #ß !b œ '3 '4 II "Ñ <9> aJ ‚ K b œ 3 %B 4 $C 5
#Ñ <9> aJ ‚ K b œ aB B# #BD b3 a #BD D # D b5 III "Ñ No es conservativo #Ñ 0 aBß Cß D b œ B$ C # D G
G aBß C b œ G aBß D b œ G aCß D b œ G $Ñ 0 aBß Cß D b œ G aBß C b œ
B à C
%Ñ 0 aBß Cß D b œ G aBß C b œ
B D# D G C G aBß D b œ G aCß D b œ D # D " 68¸B# C # ¸ D G #
" 68¸B# C # ¸ à G aBß D b œ G aCß D b œ D #
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Solución
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Conceptos
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Plano tangente y recta normal a una superficie 1) Si D œ 0 aBß C b es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por: ∇f ( a , b ) ⋅ ( x − a , y − b ) − (c − z ) = 0
donde c = f (a, b)
2) Si 0 aBß Cß D b œ ! es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por:
∇f (a, b, c) ⋅ ( x − a, y − b, c − z ) = 0
El vector f0 a+ß ,ß - b es el vector normal a la superficie 0 aBß Cß D b œ !
3) La recta normal a una superficie de la forma D œ 0 aBß C b en el punto a+ß ,ß - b de ella es À x−a y −b z−c = = −1 f x (a, b) f y (a, b)
donde c = f (a, b)
4) La recta normal a una superficie de la forma 0 aBß Cß D b œ ! en el punto a+ß ,ß - b de ella es À x−a y −b z−c = = f x (a, b, c ) f y ( a, b, c ) f z (a, b, c)
Ejemplos:
I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada en el punto dado. "Ñ D œ 68ÈB# C #
en el punto a $ß %ß 68&b
D œ 68È* "'
Ê D œ 68&
Por lo tanto, el punto a $ß %ß 68&b pertenece la la superficie D œ 68ÈB# C #
0B aBß C b œ
0C aBß C b œ
È B#
" #B † # C # È B# C #
œ
" #C † È B# C # # È B # C #
œ
f0 a $ß %b œ Œ
$ % ß #& #&
146
B#
B C#
C B# C #
Ê 0 a $ß %b œ Ê 0 a $ß %b œ
% #&
$ #&
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Œ
$ % ß † aB $ß C %b aD 68&b œ ! #& #&
$ * % "' B C D 68& œ ! #& #& #& #&
Î † #&
$B %C #&D #& #& 68& œ ! $B %C #&D #& #& 68& œ ! Ecuación recta normal B$ C% D 68& œ œ $ % " #& #&
#&aB $b #&aC %b D 68& œ œ $ % " en el punto a#ß $ß "b
#Ñ BC CD BD œ "
a#ba$b a$ba "b a#ba "b œ ' $ # œ "
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Ecuación plano tangente
Por lo tanto, el punto a#ß $ß "b pertenece la la superficie BC CD BD œ "
0B aBß Cß D b œ C D
Ê 0 a#ß $ß "b œ #
0D aBß Cß D b œ B C
Ê 0 a#ß $ß "b œ &
0C aBß Cß D b œ B D
f0 a#ß $ß "b œ a#ß "ß &b
Ê 0 a#ß $ß "b œ "
Ecuación plano tangente a#ß "ß &b † aB #ß C $ß D "b œ ! #B % C $ &D & œ ! #B C &D # œ ! Ecuación recta normal B# C$ D" œ œ # " &
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0 aBß Cß D b œ B# C # D # 0B aBß Cß D b œ #B 0C aBß Cß D b œ #C
0D aBß Cß D b œ #D
f0 aBß Cß D b œ a#Bß #Cß #D b
Sea a+ß ,ß - b un punto del cono, luego +# , # œ - #
f0 a+ß ,ß - b œ a#+ß #,ß #- b Ecuación plano tangente
a#+ß #,ß #- b † aB + ß C , ß D - b œ ! #+B #+# #,C #, # #-D #- # œ !
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II Demuestre que todo plano tangente al cono B# C # œ D # pasa por el origen
Si aBß Cß D b œ a!ß !ß !b ß entonces #+# #, # #- # œ #a+# , # b #- # ß pero +# , # œ - # , así #a+# , # b #- # œ ! Por lo tanto, todo plano tangente al cono B# C # œ D # pasa por el origen.
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Ejercicios
I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. "Ñ $C # #BC BD # œ !
T Ð "ß "ß "Ñ
#Ñ C œ /D -9= B
T Ð!ß "ß !Ñ
$Ñ C/BC D # œ !
T Ð!ß "ß "Ñ
II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. "Ñ B#Î$ C #Î$ D #Î$ œ '
T Ð )ß "ß "Ñ
#Ñ DB# BC # CD # œ "#
T Ð$ß #ß !Ñ
$Ñ D œ Ð+B ,CÑ#
T Ð+ß ,ß -Ñ
Solución
I "Ñ $B %C #D " œ !
#Ñ C D " œ !
$Ñ B C #D " œ !
II "Ñ
$ aB ) b $ aC " b $ aD " b œ œ " # #
#Ñ
B$ C# D œ œ % "# *
$Ñ
B+ C, Dœ œ #+a+# , # b #+a+# , # b "
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Ecuaciones Diferenciales Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar la función que dio origen a la ecuación. Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero no hay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria aEDOb y si sólo contiene derivadas parciales se llama ecuación diferencial parcial aEDPb. Ejemplos de EDO +Ñ 7 ,Ñ
B œ Ba>b
.B œ 5 .>
-Ñ Œ .Ñ
B œ Ba>b
.# B œJ .>#
C œ C aBb
.# C .#B .B # # Œ †Œ B œ! # # .B .C .C
C œ C aBb
.C œ B# $ .B
Ejemplos de EDP +Ñ
` # ? `? `? œ5† `B# `C `>
? œ ?aBß Cß >b
,Ñ
` #? ` #? # œ! `B# `C
? œ ?aBß C b
Orden de una EDO Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación. Grado de una EDO Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada. Ejemplos Ecuación .C œB& .B # .$ C .#C .C # œ -9= B Œ .B$ .B# .B Œ
.# C .C # Œ $C œ B # .B .B #
Orden
Grado
"
"
$
"
#
#
$
150
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Su característica es :
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO: 1) de variables separables 2) exactas
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables aEDVSb
Q aBß C b .B R aBß C b .C œ ! se puede separar, si es posible, y escribirla como: 0" aBb † 1" aC b † .B 0# aBb † 1# aC b † .C œ ! 0 " aB b 1 " aC b † .B œ † .C 0 # aB b 1 # aC b
la cual se resuelve por integración
Ejemplos "Ñ B$ .B aC "b# .C œ ! B$ .B œ aC "b# .C
Î(
# $ ( B .B œ ( aC "b .C
aC " b $ B% œ G % $
#Ñ &Ba" C b .B œ C a" B# b.C &B C .B œ .C # "B "C (
&B C .B œ ( .C # "B "C
(
&B .B " B#
&B .B ( " B#
? œ " B# œ &(
Î(
Ê .? œ #B .B
.? # ?
œ
& 68¸?¸ G #
œ
& 68¸" B# ¸ G #
151
Ê
.? œ B .B #
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(
C .C "C
C À"C
Ê
(
œ ( .C (
C .C "C
C À C"œ " …C„" " " .C "C
œ C 68¸" C ¸ G
Por lo tanto, (
&B C .B œ ( .C # "B "C
& 68¸" B# ¸ œ C 68¸" C ¸ G # $Ñ aC # "b .B #C È" B# .C œ ! È " B# .B
(
œ
Î(
#C .C "
C#
.B #C œ( # .C È " B# C "
E<-=/8 B œ 68¸C # "¸ G
#
#
%Ñ /B C
C .C † œ! B .B
Î .B
#
/B C .C œ ! # .B C B / #
Î(
#
B /B .B œ C /C .C B C ( B / .B œ ( C / .C #
#
#
#
/B /C œ G # #
152
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Resuelva las siguientes ecuaciones À "Ñ
.C B# " œ .B C#
#Ñ
.C œ C Ð# =/8BÑ .B
$Ñ C =/8B /-9=B .B C " .C œ ! %Ñ C È#B# $ .B B È% C # .C œ ! &Ñ Ð$B# %B #Ñ .B Ð#C "Ñ .C œ ! 'Ñ ÈC .B Ð" BÑ .C œ !
Solución
"Ñ B$ C $ $B $G œ ! #Ñ #B -9=B 68¸C ¸ G œ ! $Ñ C /-9=B " C G œ ! %Ñ È$ 68º
È#B# $ È$ B
º # 68º
È% C # # C
&Ñ B$ #B# C # #B C G œ ! 'Ñ 68 ¸" B¸ # ÈC G œ !
153
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Ejercicios
º È#B# $ È% C # G œ !
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Para que M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 sea exacta debe ocurrir que
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Ecuaciones Diferenciales ordinarias exactas aEDEb
∂M ∂N = ∂y ∂x
Para determinar la función se realiza un proceso similar a encontrar la función potencial de un campo vectorial conservativo. Ejemplos "Ñ aB# C b .B aC # Bb.C œ ! Q œ B# C
Ê
`Q œ " `C
R œ C# B
Ê
`R œ " `B
`Q `R œ `C `B
Por lo tanto, es una EDE
0B aBß C b œ B# C
0C aBß C b œ C # B
0B aBß C b œ B# C
Î( .B
# ( 0B aBß C b.B œ ( ˆB C ‰ .B
0 aBß C b œ
B$ BC G aC b $
0C aBß C b œ C # B
a"b Î( .C
# ( 0C aBß C b.C œ ( ˆC B‰.C
0 aBß C b œ
C$ BC G aBb $
a#b
De a"b y a#b 0 aBß C b œ BC
B$ C$ G $ $
con G aBb œ
154
B$ C$ y G aC b œ $ $
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Q œ %B$ C $ #BC
Ê
`Q œ "#B$ C # #B `C
`R œ "#B$ C # #B `B
R œ $B% C # B#
Ê
`Q `R œ `C `B
Por lo tanto, es una EDE
0B aBß C b œ %B$ C $ #BC
0C aBß C b œ $B% C # B#
0B aBß C b œ %B$ C $ #BC
Î( .B
$ $ ( 0B aBß C b.B œ ( ˆ%B C #BC ‰ .B
0 aBß C b œ B% C $ B# C G aC b 0C aBß C b œ $B% C # B#
a"b
Î( .C
% # # ( 0C aBß C b.C œ ( ˆ$B C B ‰.C
0 aBß C b œ B% C $ B# C G aBb De a"b y a#b
0 aBß C b œ B% C $ B# C G
a#b
con G aBb œ G aC b œ G
$Ñ a#B >1 C =/8 #C b .B aB# =/- # C #B -9= #C /C b.C œ !
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#Ñ a%B$ C $ #BC b.B ˆ$B% C # B# ‰.C œ !
Q œ #B >1 C =/8 #C
Ê
`Q œ #B =/- # C # -9= #C `C
R œ B# =/- # C #B -9= #C /C
Ê
`R œ #B =/- # C # -9= #C `B
`Q `R œ `C `B
Por lo tanto, es una EDE
0B aBß C b œ #B >1 C =/8 #C
0B aBß C b œ #B >1 C =/8 #C
0C aBß C b œ B# =/- # C #B -9= #C / C Î( .B
( 0B aBß C b.B œ ( a#B >1 C =/8 #C b .B
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0C aBß C b œ B =/- C #B -9= #C / #
#
C
# # C ( 0C aBß C b.C œ ( ˆB =/- C #B -9= #C / ‰.C
0 aBß C b œ B# >1 C B =/8 #C /C G aBb De a"b y a#b
0 aBß C b œ B# >1 C B =/8 #C /C G
Î( .C
a"b
a#b
con G aBb œ G
y G aC b œ /C
%Ñ ŠC # /BC %B$ ‹.B Š#BC/BC $C # ‹.C #
#
#
Q œ C # /BC %B$ #
R œ #BC/BC $C # `Q `R œ `C `B
Ê
`Q # # œ #C/BC #BC $ /BC `C
Ê
`R # # œ #C/BC #BC $ /BC `B
Por lo tanto, es una EDE
0B aBß C b œ C # /BC %B$
0C aBß C b œ #BC/BC $C #
#
#
0B aBß C b œ C # /BC %B$
Î( .B
#
# BC $ ( 0B aBß C b.B œ ( ŠC / %B ‹ .B #
? œ BC # Ê .? œ C # .B
? $ ( 0B aBß C b.B œ ( / .? ( %B .B
0 aBß C b œ /? B% G aC b
0 aBß C b œ /BC B% G aC b
a"b
#
0C aBß C b œ #BC/BC $C # #
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0 aBß C b œ B# >1 C B =/8 #C G aC b
Î( .C
BC # ( 0C aBß C b.C œ ( Š#BC/ $C ‹.C #
? œ BC # Ê .? œ #BC .B
? # ( 0C aBß C b.B œ ( / .? ( $C .B
0 aBß C b œ /? C $ G aBb
0 aBß C b œ /BC C $ G aBb
a#b
#
De a"b y a#b
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0 aBß C b œ /BC B% C $ G #
con G aBb œ B% y G aC b œ C $ Ejercicios
Encuentre la solución general en À " B "Ñ ŒC/BC .B ŒB/BC # .C œ ! C C #Ñ Ð C # =/8B Ñ .B Œ
$Ñ Ð " 68 CÑ .B
" C .C œ ! B B
B .C œ ! C
%Ñ Ð -9= B -9= C B# Ñ .B Ð=/8 B =/8 C CÑ .C œ ! &Ñ =/- # B .B È" C .C œ ! 'Ñ -9= C .B ÐC =/8 B /C Ñ .C œ ! Solución
"Ñ 0 aBß C b œ /BC
B G C
#Ñ No es una EDE $Ñ 0 aBß C b œ B 68 C B G %Ñ 0 aBß C b œ
B$ C# =/8B-9=C G $ #
&Ñ 0 aBß C b œ >1 B
# a" C b$Î# G $
'Ñ No es un EDE
157
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales
Su forma general es:
a0 ( x)
dny dx
n
+ a1 ( x)
d n−1 y dx
n −1
+ L + a n−1 ( x)
dy + a n ( x) y = g ( x) dx
Ejemplos "Ñ
.C $BC œ =/8B .B
#Ñ P
.# C .C " V C œ I aBb .B# .B -
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Una ecuación diferencial ordinaria es lineal aEDLb si es de primer grado entre la variable dependiente y sus derivadas.
Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal respecto a la función desconocida y a su derivada. Su forma característica es: Su forma característica es :
dy + P( x) ⋅ y = Q( x) dx
donde T aBb y UaBb son funciones continuas.
Si UaBb œ ! , entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal homogénea aEDLHb la cual se resuelve como una EDVS
La solución de la ecuación
dy + P ( x ) ⋅ y = Q ( x) es: dx
y=
[
1 Q( x) ⋅ µ ( x) + C µ ( x) ∫
158
]
con µ ( x) = e ∫
P ( x ) dx
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
"Ñ
.C #BC œ %B .B
T aBb œ #B . aB b œ /
( #B .B
UaBb œ %B Ê . aB b œ / B
Cœ
" B# .B G # Œ( %B/ B /
Cœ
" B# G‹ # Š#/ B /
C œ # G/B
#Ñ
#
.C C -9>1 B œ &/-9=B .B
T aBb œ -9>1 B . aB b œ /
#
( -9>1B .B
UaBb œ &/-9=B Ê . aBb œ /68¸=/8B¸
Cœ
" -9= B † =/8 B .B G Œ( &/ =/8 B
Cœ
" a &/-9= B G b =/8 B
C œ -9=/- Ba &/-9= B G b $Ñ #B .C œ a#B$ C b .B #B
.C œ #B$ C .B
#B
.C C œ #B$ .B
Î .B
Î À #B
.C " C œ B# .B #B T aB b œ
UaBb œ B#
" #B
. aB b œ /
(
" .B #B
Ê . aBb œ / # 68¸B¸ "
159
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos
Ê . aBb œ =/8 B
Ê . aBb œ /68ÈB Ê . aBb œ ÈB
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
" # ( B † ÈB .B G ÈB Œ " # (Î# Cœ B G Œ ÈB ( Cœ
" # $ B GB # (
%Ñ C .B œ =/8 #B .B .C C œ =/8 #B
Î .B
.C .B
.C C œ =/8 #B .B
T aB b œ " . aB b œ / Cœ
UaBb œ =/8 #B
( .B
Ê . aB b œ / B
" B Œ( =/8 #B † / .B G /B
B ( =/8 #B † / .B
? œ /B
VIRGINIO GOMEZ
Cœ
Ê .? œ /B .B .@ œ =/8 #B B / -9= #B " B ( /B -9= #B .B ( =/8 #B † / .B œ # #
Ê@œ
? œ /B
Ê@œ
Ê .? œ /B .B
.@ œ -9= #B
=/8 #B #
B ( =/8 #B † / .B œ
/B -9= #B " /B =/8 #B " Œ ( /B =/8 #B .B # # # #
B ( =/8 #B † / .B œ
/B =/8 #B /B -9= #B /B =/8 #B # % %
& /B -9= #B /B =/8 #B B G ( =/8 #B † / .B œ % # % B ( =/8 #B † / .B œ
#/B -9= #B /B =/8 #B G & &
Por lo tanto, Cœ
" B Œ( =/8 #B † / .B G /B
Cœ
" #/B -9= #B /B =/8 #B G Œ B / & &
160
-9= #B #
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
# " C œ -9= #B =/8 #B G/B & & Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones "Ñ
.C C œ /$B .B
#Ñ
.C C œ #B " .B B
$Ñ
.C œ B# / %B %C .B
%Ñ =/8B
&Ñ
.C C -9= B œ B =/8 B .B
.C C >1 B œ =/- B .B
Solución
"Ñ C œ
/$B G/B #
#Ñ C œ B ˆ#B 68¸B¸ G ‰ " $Ñ C œ /%B Œ B$ G $ %Ñ C œ " B -9>1 B G -9=/- B
&Ñ C œ =/8 B G -9= B
161
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°1 Complemento de Cálculo Nombre: Carrera:
1)
2)
............................................................... ................................... Sección: .............
Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique. a)
_ ! " # 8œ" 8
b)
_ $ "Œ % 8œ"
c)
_ ! # 8 8œ" &
d)
"8
8
_
# $
8œ"
Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À ! a "b8" † _
8œ"
3)
8# 8$ #
Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: #8 _ ! a " b8 B a#8bx 8œ"
4)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ B 0 aB b œ / #
162
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
")
a)
_ ! " # 8œ" 8
b)
!Œ$ 8œ" %
es serie geométrica , r œ
$ , %
por lo tanto
c)
_ ! # 8 8œ" &
es serie geométrica , r œ
" &
, por lo tanto CV
es serie p, p œ #, 8
_
! 8 #$ _
d)
es serie p , p œ
8œ"
2)
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de corrección
# , $
por lo tanto
por lo tanto
Decida si la serie alterna es convergente o divergente À ! a "b8" † _
8œ"
+8 œ
8# 8$ #
a) !
+8" œ
a8 " b #
a8 " b $ #
! +8" +8 a8 " b #
a8 " b #
b) lim +8
8Ä_
8# 8$ #
$
8# #
œ lim
CV
DV
Se cumple primera condición. (1)
8$
lim +8 œ !
8Ä_
CV
8# #
8Ä_ 8$
#8 8Ä_ $8#
regla de L´Hopital
œ lim
# 8Ä_ $8
regla de L´Hopital
œ!
Se cumple segunda condición. (2)
œ lim
De (1) y (2) la serie ! a "b8" † _
8œ"
8# es convergente. #
8$
Consideremos la serie asociada: !
8# $ 8œ" 8 # _
163
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
0 aB b œ (
_ "
B# #
función continua, positiva, decreciente. Así es posible
B$
B# .B B$ #
utilizar el criterio de la integral œ
lim (
,
,Ä_ "
B# .B B$ #
? œ B$ #
.? œ $B# .B
.? lim ( ,Ä_ $?
œ
œ
" $
œ
" $
,Ä_
œ
" $
,Ä_
lim 68?
,Ä_
lim 68ˆB$ #‰‚
, "
lim 68ˆ, $ #‰ 68ˆ"$ #‰
" $ œ_ œ
lim 68a_b 68a$b
,Ä_
De esta forma la serie asociada !
8# es divergente $ 8œ" 8 # _
Por tanto, la serie
! a "b8" † _
8œ"
3)
8# 8$ #
es CVC
Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: #8 _ ! a " b8 B a#8bx 8œ"
+8 œ
+8" +8 lim º
8Ä_
VIRGINIO GOMEZ
Por criterio de la integral
B#8 #8x
;
+8" œ
B#8# a#8 #bx
B#8# B# B# a#8 #bx œ œ œ #8 # a#8 #ba#8 "b %8 $8 # B #8x +8" º +8
œ œ ¸B # ¸
lim º
8Ä_
B# º %8# $8 #
lim º
8Ä_
" º %8# $8 #
164
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
œ! 3œ!"
4)
VIRGINIO GOMEZ
œ ¸B # ¸ † ! _ B#8 a B − ‘ la serie ! a "b8 es CV a#8bx 8œ"
Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ 0 aB b œ / # " "B 0 ´ aB b œ / # # " "B 0 ´´aBb œ / # % " "B 0 ´´´aBb œ / # ) " "# B 0 ´ v aB b œ / "' " " #B 0 v aB b œ / $# "B " 0 v ´ aB b œ /# '%
0 a!b œ "
"B
0 ´a!b œ
" # " 0 ´´a!b œ % " 0 ´´´a!b œ ) " 0 ´v a!b œ "' " v 0 a!b œ $# " v´ 0 a!b œ '%
8 # $ % _ ! 0 8 a!b B œ " " † B " † B " † B " † B ÞÞÞ 8x # "x % #x ) $x "' %x 8œ! _ 8 8 _ ! 0 8 a! b B œ " Œ " B 8x # 8x 8œ! 8œ! 8
165
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°2 Complemento de Cálculo Nombre:............................................................. Carrera:...................................... ..Sección.............
"Ñ
Sea =/8aB C b -9=aC D b œ "
#Ñ
Obtener : +Ñ
#Ñ
`D `B
,Ñ
`D `C
Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado son À largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razón de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À a) Rapidez de cambio del volumen. b) Rapidez de cambio del área total.
$)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
La densidad 4aBß C baen 51Î7# b en cualquier punto de una placa rectangular " situada en el plano BC es 4aBß C b œ Þ # ÈB C # $ La distancia se mide en metros. a1) Obtener la r+zón de cambio de la densidad en el punto a$ß #b en la dirección del vector unitario ? œ -9= #$1 3 =/8 #$1 4.
a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de 4aBß C b en a$ß #b %Ñ
Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible, considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las caras laterales $3000 por pie cuadrado.
166
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
1Ñ
Sea =/8aB C b -9=aC D b œ " Obtener : +Ñ
,Ñ
`D `B
À
`D `C
À
=/8aB C b -9=aC D b œ "
-9=aB C b =/8aC D bŒ
`D œ! `C `D =/8aC D b =/8aC D b œ -9=aB C b `C `D =/8aC D b -9=aB C b œ `B =/8aC D b
2Ñ 6 œ * -7 .6 -7 œ $ .> =/1
`D œ! `B `D -9=aB C b œ `B =/8aC D b
=/8aB C b -9=aC D b œ "
-9=aB C b ˆ "‰ =/8aC D bŒ "
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de Corrección
+ œ ' -7 .+ -7 œ" .> =/1
.2 -7 œ" .> =/1
+Ñ Z œ 6+2 .Z `Z .6 `Z .+ `Z .2 œ † † † .> `6 .> `+ .> `2 .> .Z .6 .+ .2 œ +2 † 62 † 6+ † .> .> .> .> .Z œ ")a $b #(a"b &%a"b .> .Z œ #( .> El volumen crece a razón de #(
2 œ $ -7
-7$ =/1
,Ñ E œ 6+ #+2 #62 .E `E .6 `E .+ `E .2 œ † † † .> `6 .> `+ .> `2 .>
167
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
.E .6 .+ .2 œ a+ #2b a6 #2b a#+ #6b .> .> .> .> .E œ "#a $b "&a"b $!a"b .> .E œ $ .> El área total decrece a razón de $
-7# =/1
3) a1)
p
p
? œ -9= #$ 1 3 =/8 #$ 1 4 Ê ? œ "# 3 4 aBß C b œ
È$ # 4
" "Î# Ê 4 aBß C b œ ˆB# C # $‰ È B# C # $
" B $Î# 4B œ ˆB# C # $‰ a#Bb Ê 4B œ # # aB C # $b$Î# 4B a$ß #b œ
$ '%
" C $Î# 4C œ ˆB# C # $‰ a#C b Ê 4C œ # # aB C # $b$Î# 4C a$ß #b œ
# '%
f4a$ß #b œ Œ
$ # ß '% '%
H? 4 a$ß #b
œ f4 a$ß #b † ? p
$ # " È$ ß ß '% '% # # $ #È $
œŒ œ
a2)
"#) Q +BH? 4 a$ß #b œ mf4 a$ß #bm Q +BH? 4a$ß #b œ Ê Q +BH? 4a$ß #b œ p
?œ
* % # '%# '%
È"$ '%
f4 a$ß #b $ # p Ê?œ ß È"$ È"$ mf4 a$ß #bm
168
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Z œ %)! :3/=$ Z œ BCD
Ê
BCD œ %)!
E œ #BC #CD #BD G œ &!!!a#BC b $!!!a#CD #BD b J aBß Cß Dß -b œ "!!!!BC '!!!CD '!!!BD -aBCD %)!b JB œ "!!!!C '!!!D -CD œ ! Ê
-œ
"!!!!C '!!!D CD
JC œ "!!!!B '!!!D -BD œ ! Ê
-œ
"!!!!B '!!!D BD
JD œ '!!!D '!!!B -BC œ !
-œ
'!!!C '!!!B BC
Ê
J- œ BCD %)! œ !
Ê
BCD œ %)!
& B † B † B œ %)! Ê $
B$ œ %)! †
De a"b y a#b
"!!!!C '!!!D "!!!!B '!!!D œ CD BD BœC
De a"b y a$b
"!!!!C '!!!D '!!!C '!!!B œ CD BC "!BC 'BD œ 'CD 'BD "!B œ 'D
a % b ß a & b y a 'b BCD œ %)!
& BœD $
Ê
VIRGINIO GOMEZ
4)
a"b
a#b
a$b
a%b
$ $ Ê B œÈ #)) &
$ $ Luego, las dimensiones del contenedor serán base B œ È #)) pie à C œ È #)) pie y altura $ &È Dœ #)) pie.
$
169
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°3 Complemento de Cálculo
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Nombre ..............................................Sección..............
1.-
Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: ( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C V
(
1Î#
(
1
(
=/8)
#-9=# 9 3# . 3 . ) . 9
2.-
Integre À
3.-
Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por D œ % C# y los planos B œ C à C œ #
4.-
Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B# C # œ * ß el paraboloide D œ B# C # y el plano D œ !
5.-
Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos B# C # œ D # à B# C # œ $D # y la semiesfera D œ È% B# C #
!
!
!
170
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Pauta de Corrección Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: Para .E œ .C.B ( ( .E œ ( ( !
V
/B
"
V
( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C
.C.B
ÈB
Para .E œ .B.C Intersección entre la curva B œ C # y la recta B œ " B œ C# C# œ " Ê Cœ" Bœ" Ê Ê C œ " Puntos de intersección :
a"ß "b à a"ß "b
Intersección entre la curva C œ /B y la recta B œ ! C œ /B C œ /! Ê Cœ" Bœ! Ê Puntos de intersección : a!ß "b ( ( !
#Þ
(
1Î# !
C#
"
Luego
( (
=/8)
1
!
!
!
.C.B ( ( "
!
#-9=# 93# . 3 . ) . 9 œ (
"
.C.B 68C
1Î# !
(
œ
# 1Î# 1 # $ ( ( -9= 9=/8 ) . ) . 9 $ ! !
œ
# 1Î# 1 # # ( ( -9= 9=/8)ˆ" -9= )‰. ) . 9 $ ! !
œ
# 1Î# # " -9= 9Œ -9=) -9=$ )º . 9 ( $ ! $ !
œ
) 1Î# # -9= 9 . 9 ( * !
1 !
# -9=# 93$ º $ !
1
171
=/8)
.) .9
VIRGINIO GOMEZ
".-
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
œ
) 1Î# " -9=#9 ( Œ . 9 * ! #
œ
% =/8#9 Œ9 º * # !
œ
# 1 *
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
1Î#
$Þ-
Z œ( ( ( #
!
%C#
C
!
.D.B.C !
Z œ ( ( Dº #
!
C
!
%C#
.B .C !
Z œ ( ( Ð% C # Ñ .B .C #
!
C
!
Z œ ( ˆ%B BC # ‰º .C C
#
!
!
Z œ ( ˆ%C C $ ‰ .C #
!
" Z œ #C # C % º % ! #
4.-
Z œ % a?Þ ./ @Þb Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B# C # œ * ß el paraboloide D œ B# C # y el plano D œ !
Z œ %(
1 #
!
( (
<#
$
!
<.D.<. ) !
172
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos B# C # œ D # à B# C # œ $D # y la semiesfera D œ È% B# C #
Z œ %(
1Î# !
(
1Î$ 1Î%
VIRGINIO GOMEZ
&Þ
# ( 3 =/89 . 3 . 9 . ) #
!
173
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Autoevaluación N°4 Complemento de Cálculo
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Nombre:....................................................................... Carrera: .......................................... Sección: ...........
1)
Decida si el siguiente campo vectorial es conservativo en ‘# Þ En caso de serlo determine su función potencial J aBß C b œ
2)
B C 3 # 4 B# C # B C#
Encuentre el rotacional de FaBß Cß D b œ aB/BC D-9=Cß C/BC D=/8Cß " D # b
3)
Dada la superficie D # œ B/BC Þ Obtener la ecuación del plano tangente y de la recta normal en el punto Ð " ß ! ß " Ñ
4)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
aB " b
b)
a/C C-9=Bb.B aB/C =/8Bb.C œ !
.C C œ B# " .B
174
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
1)
J aBß C b œ Qœ
B#
B C 3 # 4 # C B C#
B B# C #
Rœ
Ê
C Ê B# C #
`Q #BC œ # `C aB C # b #
`R #BC œ `B aB # C # b #
VIRGINIO GOMEZ
Pauta de Corrección
`Q `R , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. œ `C `B J œ f0 aBß C b
Q aBß C b 3 R aBß C b 4 œ 0B aBß C b 3 0C aBß C b 4
Luego, por igualdad de vectores, Q aBß C b œ 0B aBß C b ß R aBß C b œ 0C aBß C b Así,
0B aBß C b œ
Î( .B
B B# C #
( 0B aBß C b .B œ (
B .B C#
B#
? œ B# C # .? œ #B.B
.? ( 0B aBß C b .B œ ( #? 0 aBß C b .B œ
" 68¸B# C # ¸ G aC b #
0C aBß C b œ
C B# C #
( 0C aBß C b .C œ (
a"b Î( .C
B#
C .C C#
? œ B# C # .? œ #C.B
.? ( 0C aBß C b .B œ ( #? 0 aBß C b .B œ
" 68¸B# C # ¸ G aBb #
a#b
De a1b y a2b se tiene
175
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
" 68¸B# C # ¸ G , donde G aBb œ G aC b œ G #â â 3 4 5 â â â ` ` ` ââ â <9>aJ b œ â â `B `C `D â â â BC â â B/ D-9=C C/BC D=/8C " D # â 0 aBß C b œ
2)
<9>aJ b œ =/8Cß =/8Cß C # /BC B# /BC D=/8C ‘
3)
D # œ B/BC D # B/BC œ ! 0 aBß Cß D b œ D # B/BC 0 a "ß !ß "b œ " "/! œ !
Así el punto a "ß !ß "b pertenece a la superficie D # œ B/BC
0B aBß Cß D b œ /BC BC/BC 0 a "ß !ß "b œ " 0C aBß Cß D b œ B# /BC 0 a "ß !ß "b œ " 0D aBß Cß D b œ #D 0 a "ß !ß "b œ # Luego
f0 a "ß !ß "b œ a"ß "ß #b
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Recta Normal
Plano tangente a"ß "ß #baB "ß C !ß D "b œ !
B" C! D" œ œ " " #
B " C #D # œ !
B"œC œ
D" #
B C #D " œ !
4)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
aB " b
.C C œ B# " .B
.C " B# " Cœ .B B " B" .C " aB "baB "b Cœ .B B " B"
.œ/
(
" .B B"
. œ /68lB"l
176
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas
.C " C œB" .B B " Cœ
" ( aB "baB "b.B G ‘ B"
Cœ
" ( ˆB # "‰.B G ‘ B"
Cœ
" B$ B G‘ B" $
a/C C-9=Bb.B aB/C =/8Bb.C œ ! Q œ /C C-9=B Ê R œ B/C =/8B Ê
QC œ /C -9=B RB œ /C -9=B
0B aBß C b œ ( a/C C-9=Bb.B 0 aBß C b œ B/C C=/8B G aC b 0C aBß C b œ ( aB/C =/8Bb.C
0 aBß C b œ B/C C=/8B G aBb
De a"b y a#b
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa" b
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa# b
VIRGINIO GOMEZ
b)
.œB"
0 aBß Cb œ B/C C=/8B G con G aBb œ G aC b œ G
177
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Bibliografía
Autor
Título
Thomas/Finney
Cálculo con Geometría Analítica
Ayres Frank
Cálculo Diferencial e Integral
Protter-Morrey
Cálculo con Geometría Analítica
Louis Leithold
El Cálculo con Geometría Analítica
Marsden Jerrold
Cálculo Vectorial
Spiegel murray
Cálculo Superior
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Editorial
178
Adisson-Wesley
Mc Graw -Hill
Adisson-Wesley Harla
Adisson Wesley Mc Graw -Hill