´ XICO, D.F., MAYO 2013 ME
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Tarea 6: Desigualdades y Ejercicio sobre Estabilidad Exponencial Carlo Cort´es es
I.
´ I NTRODUCCION
E
N esta tarea se presentan algunas desigualdades ´utiles utiles en el an´alisis alisis de sistemas con retardos y el estudio de la estabilidad exponencial de un sistema.
I = =
S 11 11
S 12 12
S 21 21
S 22 22
A
B
B T
C
(3)
realizando el producto se tiene la siguiente matriz: II .
C OMPLEMENTO DE S CHUR
Teorema 1: Sea S una matriz cuadrada en bloques de la forma: S 11 11 S 12 12 S = = T S 12 S 22 22
−S 12 + S 12 12 C + 12 C
S 21 21 A − S 21 21 A
−1 −S 21 + S 22 21 S 11 S 12 12 C + 22 C
y finalmente factorizando algunos t´erminos erminos se tiene:
donde S 11 etrica n × n y S 22 11 es una matriz sim´etrica 22 es una matriz sim´etrica etrica m × m. Entonces:
adem´as as
S 11 11 − S 22 22 −
0
0
C −1 C
I 0
=
(4)
0 I
A
B
B T
C
γ
γ
T
ω (β )M ω (β )dβ ≤ ≤ (
0
−1
T −1 A = (S 11 11 − S 12 12 S 22 S 12 ) T −1 −1 C = ( S 22 22 − S 12 S 11 S 12 12 ) −1 −1 B = −S 11 S 12 = −AS 12 12 C = 12 S 22
0 ≤ xT Sx =
x1
T
x2
S 11 11
S 12 12
S 21 21
S 22 22
γ
T
ω (β )dβ ) M (
0
ω (β )dβ )
0
Prueba 2: Tomemos la siguiente desigualdad:
Prueba 1: Necesidad : Suponga que S > 0 y sea el vector x = [x1 x2 ]T donde x 1 ∈ Rn y x 2 ∈ Rm , entonces ∀x = 0 se tiene:
D ESIGUALDAD DE J ENSEN
Teorema 2: Para cualquier matriz constante M ∈ Rm×m , M = M T > 0 , escalar γ > 0 , funci´on on vectorial ω : [0, γ ] → Rm tal que las integrales concernientes est´an an bien definidas, entonces:
γ
A−1 A
I II.
(1)
−1
T S 12 12 S 22 S 12 > 0 T −1 S 12 S 11 S 12 12 > 0
S −1 = donde:
S 11 11 > 0 S 22 22 > 0
x1
ω T (β )M ω (β )
ω T (β )
ω T (β )
M −1
≥0
(5)
Integrando (5) de 0 a γ se tiene:
x2
γ T γ ω (β )M ω (β )dβ 0 γ γ ω (β )dβ 0
Desarrollando los productos se tiene: T T T xT Sx = x T 11 x1 + x1 S 21 21 x2 + x2 S 12 12 x1 + x2 S 22 22 x2 1 S 11
(2)
Suponga que x2 ≡ 0 en la expresi´on on (2),entonces se tiene S x S > 0 < xT 0 . Ahora suponga que lo cual implica que 11 1 11 11 1 11 T x1 ≡ 0 , entonces se tiene 0 < x2 S 22 22 x2 lo cual implica que −1 S 22 22 > 0. Ahora tomemos x1 = −S 11 S 12 12 x2 y sustituyendo −1 T ( − en (2) se tiene 0 < xT S S S S 11 11 12 22 12 )x2 lo cual implica 12 2 −1 T −1 que S 11 11 − S 12 12 S 22 S 12 > 0. Tomando x2 = −S 22 S 21 21 x1 se 1 − T tiene 0 < x2 (S 22 22 − S 21 21 S 11 S 12 12 )x2 lo cual implica que S 22 22 − −1 . S 21 S S > 0 21 11 12 12 Suficiencia: Supongase que las condiciones (1) se satisfacen. Entonces tomando A , B y C se realiza el siguiente producto:
−1 −1 T −1 S 11 − S 12 11 (S 11 11 − S 12 12 S 22 S 12 ) 12 S 22 S 21 21 A
γ T γ ω (β )dβ 0 −1
γM
≥0
(6)
y por el complemento de Schur visto en la secci´on on anterior se tiene: γ
γ
T
ω (β )dβMω(β )dβ −
0
T
1
−1
ω (β ) M γ
0
γ
ω (β )dβ ≥ ≥ 0
0
(7)
finalmente se tiene: γ
γ
0
T
γ
ω (β )M ω(β )dβ ≥ ≥ (
0
T
−1
ω (β )dβ ) M
γ
(
0
ω (β )dβ ) (8)
´ MEXICO, D.F., MAYO 2013
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IV.
D ESIGUALDAD
Para una matriz M ∈ v ∈ Rn se tiene:
n×n R ,
M > 0 y vectores u ∈
n R ,
dv (xt ) + 2βv (xt ) = x T P A0 x + xT A1 P x(t − h)+ dt T T T +xT AT 0 P x + x (t − h)A1 P x + x Qx+
−xT (t − h)e−βh) Qx(t − h) + 2 βx T P x
2uT v ≤ uT M u + v T M −1 v
t xT (ξ )e2β(ξ−t) Qx(ξ )dξ + t−h t +2β t−h xT (ξ )e2β(ξ−t) Qx(ξ )dξ
(9)
−2β
Prueba 3: Partimos de la siguiente desigualdad: 1/2
(M
−1/2
u − M
reduciendo t´erminos, se llega a la siguiente expresi´o n en forma matricial:
2
v) ≥ 0
dv (xt ) +2βv (xt ) = − dt
(M 1/2 u − M −1/2 v )T (M 1/2 u − M −1/2 v ) ≥ 0
T
T
−1
2u v ≤ u M u + v M v V.
E STABILIDAD EXPONENCIAL
Sea el sistema:
x˙ (t) = A 0 x(t) + A1 x(t − h)
(10)
Muestre que con la funcional: 0
T
v (xt ) = x (t)P x(t) +
v (xt ) ≥ λmin (P )xt 2
S 12
T S 12
S 22
x(t)
λmax (P )xt 2h +
t
e2β(ξ−t) xT Qxdξ
S 22 = he −βh Q S 12 = −A1 P T S 12 = −AT 1 P
t
S 22 > 0 −1 T S 11 − S 12 S 22 S 12 > 0
T S −1 S > S 22 − S 12 0 11 12
x(t, φ) ≤ e
−βt
α2 xt h α1
donde α 1 = λ min (P ) y α 2 = λ max (P ) +
e−2βh ]
(16)
1 λmax (Q)[1 − 2β
R EFERENCIAS
e2β(ξ−t) dξ
t−h
1 λmax (Q)xt 2h [1 − e−2βh ] (13) 2β
finalmente se tiene:
1 λmax (Q)[1 − e−2βh ])xt 2h (14) 2β
por lo tanto v (s) = (λmax (P )+
S 11 > 0
t−h
≤ λmax (P )xt 2h +λmax (Q)maxxt 2ξ∈[t−h,t]
1 λmax (Q)[1− e−2βh ])s2 , 2β
Para la condici´on de derivada se tiene:
x(t − h) (15)
La cota exponencial para el sistema est´a dada por:
(12)
entonces u(s) = λmin (P )s , u(s) > 0 y u(0) = 0. Para la cota superior tenemos:
v (s) > 0 y v (0) = 0.
x(t − h)
S 11
S 11 = −P A0 − AT 0 P − Q − 2βP
2
v (xt ) ≤ (λmax (P ) +
T
xT (t + θ)e2βθ Qx(t + θ )dθ (11)
donde P > 0 y Q > 0 se cumple la primera condici´on del teorema de estabilidad exponencial. Encuentre condiciones LM I y la cota exponencial. Para la condici´on de cota por la desigualdad de Rayleigh se tiene para la cota inferior lo siguiente:
≤ λmax (P )xt 2h +
x(t)
entonces la condici´o n de derivada se satisface cuando la ecuaci´on (15) es menor o igual a cero. Las condiciones LMI para que se cumpla la desigualdad se obtienen del complemento de Schur y son:
−h
v (xt ) ≤
donde:
uT M u − 2uT v + v T M −1 v ≥ 0 T
[1] A. S. Poznyak, Advanced Mathematical Tools For Automatic Control Engineers, Elsevier, 2008, 774 pp. [2] V. L. Kharitonov, K.Gu y J. Chen, Stability of Time Delay Systems , Birkh¨auser, 2003, 353 pp.
