SECCiÓN 3.1_3. 3.1. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: el número de accidentes automovilísticos por año en Virginia. Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: la cantidad de leche que una vaca particular produce anualmente, N: el número de huevos que pone mensualmente una gallina. P: el número de permisos de construcción que se emiten cada mes en una ciudad, Q: el peso del grano producido por acre. R. NO SE PROPORCIONA RESPUESTA OBTENER GRÁFICA DE “f”, “F”, MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR 3.3. Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral. Calcular
P (−1 ≤ W ≤ 1), P (−1 ≤ W < 1), P (−1 < W ≤ 1), P (−1 < W < 1) P (W = 3), P(W > 3), P(W ≥ 3), P(W < 3) 2 R. μ = 0, σ = 3; 6 / 8; 3 / 8; 3 / 8; 0; 1/ 8; 0; 1/ 8; 7 / 8
3.5. Determine el valor c de modo que cada una de las funciones siguientes puedan servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X: (a) f(x) = c(x2 + 4) para x = 0,1,2,3; (b)
⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ f ( x) = c⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ x ⎠⎝ 3 − x ⎠
R. (a) 1/30; μ = 2, σ Solo para el inciso (b)
2
= 1.133 ;
para x = 0,1,2. (b) 1/10 ;
μ = 1.2,σ 2 = 0.36
P (0 ≤ X ≤ 2), P(0 ≤ X < 2), P(0 < X ≤ 2), P(0 < X < 2) P ( X = 1), P( X > 1), P( X ≥ 1), P( X < 1)
R. 1; 7/10; 9/10; 6/10; 6/10; 3/10; 9/10; 1/10 3.7. El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad f(x) =
x
0 < x <1
2− x
1≤ x < 2
0
otro _ caso
Comprobar que cumple las propiedades de una función de probabilidad Encuentre la probabilidad de que en un periodo de un año, una familia utilice su aspiradora (a) menos de 120 horas; (b) entre 50 y 100 horas, (c) entre 0.5 inclusive y 1.5 inclusive (d) Encuentre F(x) y vuelve a calcular los incisos anteriores con esta función R. μ = 1, σ = 1/ 6 (a) 0.68; (b) 0.375, (c) 0.75; 3.9 La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad 2
f(x) =
2( x + 2) 5 0
0 < x <1 otrocaso
Comprobar que cumple las propiedades de una función de probabilidad Encuentre F(x) Encuentre probabilidad de que más de ¼ pero menos de ½ de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta R. μ = 0.53, σ = 0.082 3.13 La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, esta dada por siguiente tabla. Construir F(x) (Nota: Debe contener 6 renglones x 0 1 2 3 4 f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01 2
R. μ = 0.88, σ = 0.8456 3.25 Se seleccionan aleatoriamente 3 monedas sin reemplazo de una caja que contiene 4 de diez centavos y 2 de cinco centavos. La VA es la cantidad de centavos obtenida. Encuentre f(x), F(x), sus gráficas y media y varianza 2
R. μ = 25, σ = 10 4.7 y 4.33 Al invertir en unas acciones particulares, en un año un individuo puede obtener una ganancia de $4,000 con probabilidad de 0.3, o tener una pérdida de $1,000 con probabilidad de 0.7. ¿Cuál es la ganancia esperada por persona?. También calcular la varianza 2
μ = 500,σ 2 = 5,250,000
SECCION 5.1_5.3 IDENTIFICAR DISTRIBUCIÓN. RESOLVER LAS PREGUNTAS Y ENCONTRAR MEDIA Y VARIANZA. 5.1 Se elige a un empleado de un equipo de 10 para supervisar cierto proyecto, mediante la selección de una etiqueta al azar de una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 a l 10. Encuentre la fórmula para la distribución de probabilidad de X que re presente el número en la etiqueta que se saca. ¿Cuál es la probabilidad de q ue el número que se ex trae sea meno r que 4? R. 0.3; 5.5; 8.25 5.5 De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990) , aproximadamente 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por errores del operador. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías a l menos 10 se deban a un error del operador? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 fallas se deban al error del operador? c) Suponga para una planta específica, que de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas, exactamente 5 sean errores de operación. R. 0.0480; 0.2375; 0.1789; 6;4.2 5.7 Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer pulmonar son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta, a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes con ingreso reciente en un hospital, menos la mitad sean fumadores empedernidos; b) encuentre la probabilidad de que de 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingresado al hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos R. 0.0473; 7; 2.1 0.0171; 14; 4.2 5.9 Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno accidentado, se encuentra que 25% de los camiones no completaban la prueba de recorrido sin ponchaduras. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que a) de 3 a 6, inclusive ambos, tengan ponchaduras; b) menos de 4 tengan ponchaduras; c) más de 5 tengan ponchaduras. R. 0.7073; 0.4613; 0.1484; 3.75;2.8125 5.11 La probabilidad de que un paciente se recupere luego de una delicada operación de corazón es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los siguientes 7 pacientes intervenidos sobrevivan? R. 0.124; 6.3; 0.63 5.13 Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente 70% cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real". De acuerdo con este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esta opinión? R. 0.8369; 3.5; 1.05 5.15 Se sabe que 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que a) ninguno contraiga la enfermedad; b) menos de 2 contraigan la enfermedad; e) más de 3 contraigan la enfermedad. R. 0.0788; 0.3370; 0.0870; 2; 1.2 5.19 Un estudiante que maneja hacia su escuela encuentra un semáforo. Este semáforo permanece verde por 35 segundos, ámbar cinco segundos, y rojo 60 segundos. Suponga que el estudiante va a la escuela toda la semana entre 8:00 y 8:30. Sea X1 el número de veces que encuentra una luz verde, X2 el número de veces que encuentra una luz ámbar y X3 el número de veces que encuentra una luz roja. Encuentre la distribución conjunta de X1, X2 y X3. R.
n ⎛ ⎞ ⎟⎟0.35 x1 0.05 x2 0.60 x3 f ( x1 , x 2 , x3 ) = ⎜⎜ x x x , , ⎝ 1 2 3⎠
5.23 Las probabilidades de que un delegado a cierta convención llegue por avión, autobús, automóvil o tren son, respectivamente, 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados a esta convención seleccionada al azar, 3 lleguen por avión, 3 por autobús, 1 en automóvil y 2 en tren? R. 0.0077; varias 5.25 Suponga que para un embarque muy grande de chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla para cualquier chip es 0.10. Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo más 3 chips fallen en un a muestra aleatoria de 20. 0.8670; 2; 1.8 5.27 Si la probabilidad de que una luz fluorescente tenga una vida útil de al menos 800 horas es 0.9. Encuentre las probabilidades de que entre 20 de tales luces a) exactamente 18 tengan una vida útil de al menos 800 horas; b) al menos 15 tengan una vida útil de al menos 800 horas; e) al menos 2 no tengan una vida útil de al menos 800 horas . R. 0.2852; 0.9887; 0.6083; 1.8, 0.18
SECCION 5.4 IDENTIFICAR DISTRIBUCIÓN. RESOLVER LAS PREGUNTAS. MEDIA Y VARIANZA. 5.29 Si se reparten 7 cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que: a) exactamente 2 de ellas sean mayores a 10 (Nota: El As cuenta como número uno)? b) al menos 1 de ellas sea una reina? R. 0.3246; 0.4496 5.31 El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y cuatro de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipán? R. 5/14 5.33 Se selecciona al azar un comité de 3 personas a partir de 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de doctores en el comité. Encuentre P(2 ≤ X ≤ 3) . R.
⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ x ⎟⎟⎜⎜ 3 − x ⎟⎟ ⎠ , para x = 1,2,3; P (2 ≤ X ≤ 3) = 4 / 5 h( x;6,3,4) = ⎝ ⎠⎝ ⎛6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠
5.35 La compañía está interesada en evaluar su procedimiento de inspección actual en embarques de 50 artículos idénticos. El procedimiento consiste en tomar una muestra de 5 y pasar el embarque si no se encuentran más de 2 defectuosos. ¿Qué proporción de embarques con 20% defectuosos se aceptará? R.0.9517 5.39 Si a una persona se le reparten varias veces 13 cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, ¿cuántas cartas de corazones por mano puede esperar (calcular la media = esperanza matemática)? R.3.25; 1.864 5.41 Una ciudad vecina considera una petición de anexión de 1200 residencias contra una subdivisión del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan la anexión, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 al menos 3 estén a favor de la petición de anexión? R. 0.9453 5.43 Una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a 17,000 estudiantes universitarios de último año revela que casi 70% desaprueba el consumo de mariguana. Si se seleccionan a l azar 18 de tales estudiantes y se les pide su opinión, ¿cuál es la probabilidad de que más de 9 pero menos de 14 desaprueben el consumo de mariguana? R. 0.6077 5.45 Un club de estudiantes extranjeros tiene como miembros a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona al azar un comité de 4, encuentre la probabilidad de que a) todas las nacionalidades estén representadas; b) todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos. R. 4/33; 8/165 5.47 Estudios de población de biología y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos con la finalidad de estimar el tamaño y el grado de ciertas características en la población. Se capturan 10 animales de una población que se piensa extinta (o cerca de la extinción), se etiquetan y se liberan en cierta región. Después de un periodo se selecciona en la región una muestra aleatoria de 15 animales del tipo. ¿Cuál la probabilidad de que 5 de estos seleccionados, sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la región? R. 0.2315 5.49 Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fábricas infringen los reglamentos federales contra la contaminación ambiental en cuanto a descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas no encuentre ninguna infracción? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre a dos que infringen el reglamento? R. 0.3991; 0.1316
SECCION 5.5_5.6 IDENTIFICAR DISTRIBUCIÓN. RESOLVER LAS PREGUNTAS Y ENCONTRAR MEDIA Y VARIANZA. 5.51 La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro. R. 0.0515 5.53 El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo particular en un almacén se realizan 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado se pida este artículo a) más de 5 veces? b) Ninguna vez? R. 0.3840; 0.0067 5,55 Tres personas lanzan un a moneda legal y el disparejo paga los cafés. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. R. 63/64 5.57 La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante aprobará el examen a) en el tercer intento; b) antes del cuarto intento. R. 0.0630; 0.9730 5.59 Una secretaria comete dos errores por página, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? b) ningún error. R. 0.1429; 0.1353 5.61 Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a) la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo? b) la tercera persona en escuchar este rumor sea la primera en creerlo? R. 0.1638; 0.032 5.63 El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, 5 vegetales. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 vegetales a) en un día dado; b) en 3 de los siguientes 4 días; R. 0.3840; 0.1395; 5.65 Suponga que, en promedio, 1 persona en 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. R. 0.2657 5.69 Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5 . a) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran un a catástrofe? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe? R. 0.2650; 0.9596 5.71 El número de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz se supone que sigue una distribución de Poisson con media λ = 7 . a) Calcule la probabilidad de que más de 10 clientes lleguen en un periodo de 2 horas. b) ¿Cuál es el número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? R. 0.8243; 14 5.73 La probabilidad de que una persona muera cuando contrae una infección por virus es 0.001. De los siguientes 4000 infectados con virus, ¿cuál es el número medio que morirá? R. 4 5.75 En el caso de cierto tipo de alambre de cobre se sabe que, en promedio, ocurren 1.5 fallas por milímetro. Suponiendo que el número de fallas es una variable aleatoria de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta porción de alambre con longitud de 5 milímetros? ¿Cuál es el número medio de fallas en una porción de 5 milímetros de longitud?. No usar tablas R. 0.000553; 7.5 5.77 En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por la cuestión del tráfico de personas en las salas de urgencias de los nosocomios Para un hospital específico en una ciudad grande, personal disponible no puede alojar el tráfico de pacientes cuando hay más de 10 casos de emergencia en una hora dada. Se supone que la llegada del paciente sigue un proceso de Poisson y los datos históricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora dada el personal no pueda alojar más al tráfico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 20 emergencias lleguen durante un turno de 3 horas del personal? R. 0.0137; 0.0830
SECCIÓN 6.1_6.4 6.1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está (a) a la izquierda de z = 1.43; (b) a la derecha de z= -0.89; (c) entre z = -2.16 y z= -0.65; (d) a la izquierda de z = -1.39; (e) a la derecha de z = 1.96; (f) entre z = -0.48 y z= 1.74 Sol. 0.9236, 0.8133, 0.2424, 0.0823, 0.0250, 0.6435 6.3. Dada una distribución normal estándar encuentre el valor de k tal que (a) P(Z < k) = 0,0427; (b) P(Z > k) = 0,2946; (c) P(-0,93 < Z < k) = 0,7235 Sol. -1.72, 0.54, 1.28 6.5. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre (a) P(X< 15); (b) el valor de k tal que P(X < k) = 0.2236; (c) el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814; (d) P(17 < X < 21), Sol. 0.1151, 16.1, 20.275, 0.5403 6.7. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva (a) más de 32 meses; (b) menos de 28 meses; (c) entre 37 y 49 meses 0.8980, 0.0287; 0.6080 6.9. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, (a) ¿Qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? (c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? (d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas mas pequeñas. Sol. 0.0548, 0.4514; 23; 189.9 ml 6.13 la vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante remplaza gratis todos los motores que fallen dentro del período de garantía. Si él está dispuesto a reemplazar el 3% de los motores que fallan. ¿Cuánto tiempo de garantía debería ofrecer? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal. R. 6.24 6.15 Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de S1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más cercano, (a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre S13.75 y $16.22 inclusive por hora? (b) ¿el 5% más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad? R. 51%; 18.375 6 .21 La cantidad de café diaria, en litros, que sirve una máquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto es un a variable aleatoria X que tiene una distribución continua uniforme con A = 7 y B = 10. Encuentre la probabilidad de que en un día dado la cantidad de café que sirve esta máquina sea a) a lo más 8.8 litros; b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5 litros; e) al menos 8.5 litros. R. 0.6; 0.7; 0.5
SECCIÓN 6.5 6.23. Evalúe P (1 ≤ X ≤ 4) para una variable binomial con n = 15 y p = 0.2 con el uso de: (a) Tabla binomial (b) Tabla Normal Sol. 0.8006 y 0.7803 6.27 La probabilidad de que un paciente se recupere de. una delicada operación de corazón es 0.9. De los siguientes 100 pacientes que tienen esta operación. ¿Cual es la probabilidad de que: (a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive ambos? (b) Sobrevivan menos de 86? Sol. (a) 0.9514; (b) 0.0668 6.29. Si 20% de los residentes de una ciudad de Estados Unidos prefiere un teléfono blanco sobre cualquier otro color disponible, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esta ciudad (a) entre 170 y 185 inclusive, ambos sean blancos? (b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos? Sol. (a) .01171; (b) 0.2049 6.33. Estadísticas publicadas por la Administración Nacional de Seguridad de Tránsito en Carreteras y el Consejo de Seguridad Nacional muestran que en una noche promedio de fin de semana, uno de cada 10 conductores está ebrio. Si se verifican 400 conductores al azar la siguiente noche de sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea (a) menor que 32? (b) más de 49? (c) al menos 35 pero menos de 47? Sol. (a) 0.0778; (b) 0.0571; (c) 0.6811 6.35 Una compañía produce componentes para un motor. Las especificaciones de las partes sugieren 95% de los artículos cumplen con las especificaciones. Las partes se embarcan en lotes de 100 para los clientes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 artículos estén defectuosos en un lote dado? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 artículos estén defectuosos en un lote? R. 0.8749; 0.0059 6.37 El nivel de colesterol X en chicos de 14 años tiene aproximadamente una distribución normal, con una media de 170 y desviación estándar de 30. (a) Determine la probabilidad de que el nivel de colesterol de un chico de 14 años, elegido al azar, exceda 230 (b) En una escuela secundaria hay 300 chicos de 14 años. Determine la probabilidad de que por lo menos 8 niños tengan un nivel de colesterol que exceda 230 R. 0.0228; 0.3974
SERIE ESTADISTICA. PRIMER PARCIAL 1. Los siguientes datos corresponden a los salarios semanales en dólares de 40 empleados de una empresa: 173 164 142 176 146 128 119 144 156 135 149 152 136 154 140 161 135 140 142 132 148 147 150 146 135 165 138 157 145 163 145 168 126 153 144 150 125 138 147 158 Calcular para datos no-agrupados y datos agrupados: Media, varianza, desviación estándar, mediana, moda, rango, rango medio, coeficiente de variación, sesgo Datos agrupados, El primer intervalo de clase es: [117.5 – 126.5) Llenar la siguiente tabla para datos agrupados y otra tabla para datos no-agrupados Gráfica (histograma) frecuencias no-acumulativas, frecuencias acumulativas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumulativas Polígono de frecuencias para cada caso anterior, incluyendo la Ojiva (Frecuencia acumulativa) Gráfica de tallo y hojas Gráfica de puntos Sol. NO AGRUPADOS Moda: 135; Mediana 146; Media 146.8; Varianza 170.3179; Rango 57; Sol. DATOS AGRUPADOS: Media 146.975; varianza: 188.2744: Mediana: 146.75; Moda: 147.2; Rango: 54; Coef var: 9.34%; Sesgo: Izquierdo 2. Las ventas de motocicletas durante el presente año son: Suzuki 18 Yamaha 27 Harley_Davidson 3 Kawasaki 20 Otras Nacionales 11 Holanda 41 Otras Extranjeras 10 Obtener gráfica de barras, gráfica de Pareto y gráfica de pastel o pie 3. Cuando la rueda de una ruleta se hace girar una vez, hay 38 posibles resultados: 18 rojos, 18 negros y 2 verdes (0 y 00). Si una rueda se hace girar dos veces, los (38)(38) resultados son igualmente probables. Si nos dicen que en dos giros de la rueda por lo menos uno resulta en verde, ¿cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean verdes? Sol: 0.027 4. Una gran tienda de departamentos vende camisas deportivas en tres tallas (pequeña, mediana y grande) y tres modelos (a cuadros, estampadas y de franjas) y dos largos de manga (corta y larga). Las siguientes tablas dan las proporciones de camisas vendidas que caen en varias combinaciones de categorías. Manga corta Manga larga Modelo Modelo Talla: Cuadro Estampado Franjas Talla: Cuadro Estampado Franjas Pequeña 0.04 0.02 0.05 Pequeña 0.03 0.02 0.03 Mediana 0.08 0.07 0.12 Mediana 0.10 0.05 0.07 Grande 0.03 0.07 0.08 Grande 0.04 0.02 0.08 a. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea mediana, de manga larga y estampada? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea mediana y estampada? c. ¿Cual es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? ¿Y de manga larga? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? ¿Y de que el modelo de la siguiente camisa vendida sea estampado? e. Dado que la camisa que se acaba de vender era a cuadros y de manga corta, ¿cuál es la probabilidad de que su talla fuera mediana? f. Dado que la camisa que se acaba de vender era a cuadros y mediana, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de manga corta?. ¿Y de manga larga? Sol. 0.05; 0.12; 0.56 y 0.44; 0.49 y 0.25; 0.5333; 0.44 y 0.56
Serie I
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5. En cierta gasolinera, el 40% de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1), 35% utilizan gasolina extra sin plomo (A2), y 25% utilizan gasolina premium sin plomo (A3). De los clientes que consumen gasolina regular, sólo 30% llenan sus tanques (evento B); de los que consumen gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto que, de los que usan premium, 50% llenan sus tanques. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque ( A2 ∩ B) ? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c. Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular, Extra o Premium?Sol: 0.21; 0.455; 0.264 y 0.462 y 0.275 6. Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos diferentes de congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9 y 19.1 pies cúbicos de espacio de almacenaje, respectivamente. Sea X = la cantidad de espacio de almacenaje comprado por el siguiente cliente que va a comprar un congelador. Supongamos que X tiene la siguiente función de probabilidad: X 13.5 15.9 19.1 p(x) 0.2 0.5 0.3 Calcule E(X), E(X2) y V(X). Sol. 16.38; 272.3; 3.99; 7. El anuncio en la página de un periódico tiene un costo de $40, $80, $100 y $120, dependiendo el número y tipo de letra utilizado. El periódico busca colocar el mismo número de anuncio de cada costo en la sección de anuncios. Identificar distribución y calcular media y varianza Sol. NO SE INDICA TIPO DE DISTRIBUCIÓN; 85; 875 8. Una prueba de resistencia de soldadura consiste en poner carga en uniones soldadas hasta que se dé una ruptura. Para cierto tipo de soldadura, 80% de las rupturas ocurre en la propia soldadura, mientras que otro 20% se da en las vigas. Se prueba cierto número de soldaduras. Sea X el número de pruebas que da como resultado la ruptura de la viga. ¿Cuál es la distribución de X para cada inciso y calcular su media y varianza? a. En la tercera prueba ocurre la ruptura b. En la octava prueba ocurre la tercera ruptura Sol: 0.128 y 5 y 20; 0.05505 y 15 y 60 9. Se piensa que el tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene una distribución uniforme en el intervalo [25,35] a. Escriba la función de distribución de probabilidad de X y trace su gráfica. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda de 33 min? c. Calcule la función acumulada, media y varianza Sol: f(x) = 0.1; 0.20; F(x) = 0.1(x-25) y 30 y 8.333 10. Los Ángeles Times reporta que casi 3 millones de tanques de almacenamiento de gasolina, 1 de cada 4 tiene fugas. Suponga que se seleccionan 50 tanques al azar, (a) Calcular la probabilidad de que a lo sumo 10 tanques, inclusive, seleccionados tengan fugas (b) Entre 5 inclusive y 15 inclusive de los tanques seleccionados tengan fugas Sol: (a) 0.2578; (b) 0.8320 11. Un artículo reporta que de cada 200 personas, una lleva el gene defectuoso que ocasiona cáncer de colon hereditario, En una muestra de 1,000 personas, ¿cuál es la distribución aproximada del número de quienes llevan este gene?. Utilice esta distribución para calcular la probabilidad aproximada de que a. Entre 4 inclusive y 7 inclusive lleven el gene, b. Por lo menos 8 lleven el gene. c. La media y varianza de la distribución Sol: 0.6016; 0.1334; 5 y 5 12. Juego Pick 3 de Illinois En el juego Pick 3 de lllinois, usted paga 50 centavos para seleccionar una secuencia de tres dígitos, como por ejemplo “911”; “000”; “123”, etc.. Si participa en este juego una vez al día, calcule la probabilidad de ganar exactamente una vez en 365 días (un año). Sugerencia: Usa la distribución de Poisson como aproximación. Sol: 0.2534 13. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que el 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificarse como "de segunda". a. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea de segunda? b. Entre seis copas seleccionadas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda? Sol 0.354; 0.1143
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14. El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno traseras de otro vehículo que desacelera es crítico para ayudar a evitar una colisión. El artículo "Fast-Rise Brake Lamp as a CollisionPrevention Device" sugiere que el tiempo de reacción para una respuesta en tránsito, a una señal de frenado de luces de freno estándar, se puede modelar con una distribución normal que tenga un valor medio de 1.25 seg y desviación estándar de 0.46 seg. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre entre 1.00 seg y 1.75 seg? Sol: 0.5675 15. Cada uno de los 12 refrigeradores de cierto tipo ha sido devuelto a un distribuidor debido a la presencia de un ruido oscilante agudo cuando el refrigerador está funcionando. Supongamos que 4 de estos 12 tienen compresores defectuosos y los otros 8 tienen problemas menos serios. Si se examinan al azar, sea X = el número entre los primeros 6 examinados que tienen un compresor defectuoso. Calcule lo siguiente: a. P(X = 1) b. P(X mayor o igual a 4) c. P(entre 1 y 3, inclusive ambos) d. Media y varianza Sol: 0.2424; 0.0303; 0.9392; 2 y 0.72 16. Suponga que p = P(nace niño),= 0.5. Una pareja desea tener exactamente dos niñas en su familia. Tendrán hijos hasta que se satisfaga esta condición. a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de que la familia tenga x hijos (hombres)? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga cuatro hijos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga a lo sumo cuatro hijos (incluye 4)? d. Calcular la media y varianza Sol: ¿Distribución?; 0.1875; 0.6875 17. Si el 90% de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente el formato de solicitud en la primera remisión, ¿cuál es la probabilidad de que entre 15 de estos solicitantes seleccionados al azar a. por lo menos 12 no la llenen a la primera remisión b. entre 10 inclusive y 13 inclusive no la llenen a la primera remisión? c. Media y varianza Sol: 0.944; 0.4487; 13.5 y 1.35 18. Si un editor de libros no técnicos se esmera en asegurar que sus libros están libres de errores tipográficos, de modo que la probabilidad de que cualquier página dada contenga al menos uno de tales errores es 0.005 y los errores son independientes de página a página, (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una de sus 400 páginas contenga exactamente 1 página con errores? (b) ¿A lo sumo tres páginas con errores? Sol. (a) 0.2707; (b) 0.8571 19. Un maestro universitario nunca termina su clase antes que suene la campana, y siempre termina su clase a menos de 1 min después que suena la campana. Sea X = el tiempo que transcurre entre la campana y el término de la clase y suponga que la función de distribución de probabilidad de X es: 2 f(x) = kx para 0 ≤ x ≤ 1 , y 0 en otro caso a. Encuentre el valor de k. b. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de 1/2 min después de que suene la campana? c. ¿Cuál es a probabilidad de que la clase continúe entre 15 y 30 segundos después de que suene la campana? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 40 segundos después que suene la campana? e. Encontrar la función acumulada, media y varianza Sol: 3; 0.125; 0.1094; 0.7037; x3 y ¾ y 3/80 20. Un fabricante de neumáticos para automóvil reporta que entre un cargamento de 5,000 que se manda a un distribuidor local, 1,000 están ligeramente manchados. Si se compran al azar 10 de estos neumáticos al distribuidor, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres estén manchados? Sugerencia: Usar una de las distribuciones de probabilidad como aproximación de otra Sol: 0.2013 21. La probabilidad de nacer niña es aproximadamente la misma de que nazca niño. Una pareja está empeñada en que tener un hijo (niño varón), y cuando lo obtuvo, después de varias niñas, un amigo le dijo a la pareja que la probabilidad de haber obtenido su primer varón después de “x” niñas es de 0.015625. ¿Cuántas hijos tiene ahora?. Calcular media y varianza. Sol. 6; 2; 2
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