54977454 Complemento de Calculo

COMPLEMENTO DE CÁLCULO D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

VIRGINIO GOMEZ

INTRODUCCION

Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.

Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros), transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y mantención en sectores productivos.

Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables.


I

II

III

VIRGINIO GOMEZ

INDICE

SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... Límite de una sucesión ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geométrica .................................................................................................. Serie p o hipergeométrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razón ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ................................................................................................... FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................

DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales ..................................................................................

Derivación implícita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ demostraciones .............................................................................. Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una función de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................

1

Pág. 3 4 7 8 9 11 13 16 19 23 26 30

35 36

40 45 48 55 59 62 66 70 73 73 73 77


IV

INTEGRACION MULTIPLE 3

: .................................................................................................... planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide .................................................................................... Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... determinar el valor de la región ‘ ................................................. cálculo de volúmenes ..................................................................... Cálculo de volúmenes ......................................................................................... Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................ V

VIRGINIO GOMEZ

Gráfico en ‘

82 82 86 87 89 91 92 95 98 103 108 116 123 128

CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................

136 137 137 141 141 146

ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... Ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................................

150 151 154 158

VII

AUTOEVALUACIONES

.................................................................................

162

VIII

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................

178

VI

2


Sucesiones

Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales a œ ™  b Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 −  Ejemplo: 1) Si , f (n) =

n entonces: n+2

n

1

2

3

4

5

...

n

f (n)

1 3

1 2

3 5

2 3

5 7

...

n n+2

GOMEZ

Los pares ordenados serán:

2 n   1   1  1  ; ... 1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ; 4 ,  ;   n , 5 n + 3 2 3 3 7 2 5 ,           ... Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo

{ f (n)} = {an }

=

{a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5

a n ,...}

,...,

n  1 3 2 5 n , , , , ..., , ... =  n+2   n + 2  3 2 5 3

{ f (n)} =

2) 0 a8b œ œ

" $

si 8 es impar si 8 es par

œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ

VIRGINIO

3


Concepto de Límite de una Sucesión

∑

{ n }es L y se denota por :

se dice que el límite de la sucesión a

lim a n = L

n→∞

VIRGINIO OMEZ

Si para ∑ > 0 existe M > 0 talque a − L < siempre que n > M , entonces n

Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión Sea y = f ( x) una función real definida ∀ x ∈ entonces si lim n →∞

{ a n } es una sucesión tal que

™

+

con

f ( x) = L , lim x →∞

f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que

a =L n

Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ

8  8#

0 aBb œ

B B#

H970 aBb œ ‘  Ö  # ×

™ © ‘  Ö # × B lim œ lim B Ä_ B# BÄ _

Por lo tanto,

2) œ

B B

B #  B B

œ

lim BÄ_

"

#œ" " B

8 lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8#

"  &8$  #8$  %8

0 aBb œ

"  &B$ #B$  %B

™  © ‘  Ö!×

H970 aBb œ ‘  Ö! ×

G

4


"  &B lim œ lim B Ä _ #B$  BÄ_ %B

Por lo tanto,



&B$

"

B$ B$ #B$ %B  $ B$ B

œ

B$

lim BÄ_

#

& "  &8$ lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$  %8 #

1 3) œ8 † =/8Š ‹ 8 1 0 aBb œ B † =/8Š B ‹

H970 aBb œ ‘  Ö! ×

™  © ‘  Ö!× 1 B † =/8Š ‹ lim BÄ_ B

œ _†! =/8Š œ

lim BÄ_

œ

! !

œ

P wL

" B

1 ‹ B

1 1  # -9=Š ‹ B B " Blim Ä_  # B

1 1 -9=Š ‹ B œ lim BÄ_ " œ1 Por lo tanto,

&

1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 8Ä_ 8

%

œ

& #

VIRGINIO GOMEZ

"

$

B#

5


Teorema: Si

{a n } y {bn } y

a) La sucesión lim c ⋅

b)

son sucesiones CV y es c un número, entonces:

{c} tiene como límite

c

= c ⋅ lim a n

an n →∞

lim

(a n ± bn ) =

n →∞

d)

lim

e)

n →∞

lim bn

n →∞

a n ⋅ bn =

n →∞

lim

lim a n ±

n →∞

an ⋅

lim

lim

GOMEZ n →∞

an bn

n →∞

lim a n

=

n→∞

si

lim bn

n→∞

Determine si la sucesión CV o DV



d) œ 

lim b ≠ 0 n

n→∞

Ejercicios

a) œ

bn

8" #8  "

b) œ

$8$ #8#  8

e) œ



#8#  " $8#  "

/8  8

Solución

a) CV

b) CV

c) DV

d) DV

VIRGINIO

c)

n →∞

c) œ

8#  "  8

f) œ

" # È 8  " 8

e) DV

f) DV

6


Series

Concepto de Series Infinitas

Si

{a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞

∑

a n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ...

n=1

se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a 3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales

S1 = a1 S 2 =a1 +a 2

GOMEZ

M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n

∞

Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 ,L, S n } converge, entonces la serie

VIRGINIO

S 3 = a1 + a 2 + a3

n=1

Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas

∑

a n converge.

_ Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8 la sucesión de sumas parciales. 8œ" Si

lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8 8Ä_ ∞

Teorema : Si la serie

∑

es CV, entonces

a n n=1 Teorema : Si

lim a n ≠ n→∞ 0

lim a n = 0

n→∞

, entonces la serie dada

an

∞

∑

es DV.

n=1

Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV.

7


Serie Geométrica La serie Primer término ∞

∑

a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a ≠ 0

n=0

razón

Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón

Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " +Ñ

_ " " 8 " œ Œ #8  # 8œ ! 8œ !

<œ

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ _ & 8 ,Ñ " Œ  % 8œ !

<œ

&

" #

"

" œ# " " #

"

%

Por lo tanto, la serie DV. _ " 8 -Ñ " Œ   # 8œ !

" <œ  " #

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ _ # 8 .Ñ " # † Œ   $ 8œ !

#

#

'

="œ " $ # # <œ  " $

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ _ ' 8 /Ñ " $ † Œ  & 8œ !

"

<œ

=#œ " & $

' " &

G

VIRGINIO

_ + 8 Teorema À La serie geométrica " + † < de razón < converge a W si, y sólo si, "  < œ 8œ! ¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸ "

Por lo tanto, la serie DV.

8


Serie p o serie Hiperarmónica 1

∑ np

=1+

n=1

se llama serie p con

1 2

p

+

1 3

+L+

p

1 n

p

p>0

Si p = 1 , entonces la serie

∞

∑ n=1

+L

VIRGINIO OMEZ

∞

La serie

1 1 1 1 = 1+ + +L+ +L n 2 3 n

se denomina serie armónica.

_ " Teorema À La serie : " es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y 8: 8œ" sólo si, !  : Ÿ "

G

Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " +Ñ " 8 8œ"

: œ"

Por lo tanto, la serie DV

_ " ,Ñ " $ 8 8œ"

: œ$

Por lo tanto, la serie CV

_ " -Ñ " 8"Î$ 8œ"

: œ

" $

Por lo tanto, la serie DV

_ " .Ñ " 81 8œ"

: œ1


_ " /Ñ " È$ 8% 8œ"

: œ

% $


9


I

Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.

_ % "Ñ " #8 8œ ! _ %Ñ " 8œ!

II

_ ( 8 #Ñ " Œ   $ 8œ !

$ Ð ""Ñ8

_ 8 &Ñ " Ð  #&Ñ 8œ!

Decida si las siguientes series : CV. o DV. _ $ " #Ñ "& 8 8œ"

_ # " %Ñ & 8 œ "8

_ % &Ñ " &Î) 8 œ "8

_ ( 'Ñ " "#Î& 8 œ "8

Solución

3) < œ

) &

ß la serie DV

5) < œ  #&ß la serie DV

2) < œ 

( , la serie DV $

4) < œ 

" ß la serie CV ""

6) < œ &' ß la serie DV

II 1) : œ " ß la serie DV

_ 8 a&' b 'Ñ " $

_ # " $Ñ %Î* 8 œ "8

I " ß la serie CV #

_ ) 8 $Ñ " #Œ  & 8œ !

8œ!

_ "Ñ " " "&8 8œ"

1) < œ

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

2) : œ "& ß la serie CV

3) : œ

% ß la serie DV *

4) : œ &ß la serie CV

5) : œ

& ß la serie DV )

6) : œ

"# ß la serie CV &

10


VIRGINIO GOMEZ

Teoremas sobre Series

_ _ Teorema 1: Si " +8 y ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número " 8œ" 8œ" finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV. _ " Ejemplo: Determine si la serie " es CV o DV 8" 8œ" _ " " " " " " " œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ 8" # $ % & 8" 8œ" _ " " " " " " " œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ 8 # $ % & 8 8œ"

y

_ " La serie " equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como 8" 8œ" _ _ " ! " es DV, entonces es también DV. " 8 8  " 8œ" 8œ" Teorema 2: Sea - una constante no nula: _ a) Si " +8 8œ"

_ _ es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 8œ" 8œ"

suma es -W Þ _ _ b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV. 8œ" 8œ" Ejemplo: _ _ _ 1) " #8 œ " # † "8 œ # † " "8 $ $ $ 8œ" 8œ" 8œ" _ " " " 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV. $ $ 8œ" Así,

_ " 8œ"

# es CV. $8

es CV y su

11

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

_ _ # # " 2) " " œ † $ È8 $È 8 8œ" 8œ" _ " " È8 es serie : con : œ 8œ"

" y por lo tanto DV. #

_ # Así, " es DV. È $ 8 8œ"

VIRGINIO GOMEZ

Departamento de Ciencias Básicas

_ _ Teorema3: Si " +8 y ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B, " 8œ" 8œ" entonces: _ a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B 8œ" _ b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B 8œ" Ejemplo: _ " $ " Œ  8 8 # & œ 8œ"

_ _ " $ " "  8 # &8 8œ"

8œ"

_ " " es CV y su suma es " #8 8œ" _ " $ es CV y su suma es $ % &8 8œ" _ " $ ( Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es # & % 8œ"

_ _ Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces 8œ" 8œ" _ " a+8 „ ,8 b es DV. 8œ"

12


_ _ _ & # & # " Œ " "  œ   8 8 ) *8 ) *8 8œ" 8œ" 8œ" _ " & es una serie geométrica con < œ " y por lo tanto CV ) )8 8œ" _ " # † " es una serie : con : œ " y por lo tanto DV * 8 8œ" _ & # Luego, " Œ 8   es DV. ) *8 8œ"

GOMEZ

Ejemplo:

Criterios para establecer la convergencia de series infinitas A.-

Sea

Criterio de comparación

∞

∑

a n una serie de términos positivos:

n=1

a)

Si

bn

∞

∑

es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤

∀ n ∈ , entonces

bn

n=1 ∞

∑

a n es CV.

n=1 ∞

b)

Si

bn

∑

es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥

bn

n=1 ∞

∑

an es DV

n=1

Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ "Ñ " &8" " 8œ" &8  " Ÿ '8 " &8  "

" '8

a8 − 

∀ n ∈ , entonces

13


_ _ " " " " œ" † serie armónica y por lo tanto DV '8 ' 8 8œ" 8œ" _ " Luego, " es DV &8  " 8œ" _ " #Ñ " # 8 % 8œ" 8#  %

8#

a8 − 

" " Ÿ 8 #  % 8# _ " " # serie : con : œ # y por lo tanto CV 8 8œ" _ " Luego, " # es CV. 8  8œ" %

_ $Ñ "

8 8#



" 8œ" 8 " # $ % &

8#

8 8#  " " # # & $ "! % "( & #' 8 "

" #8 " # " % " ' " ) " "!

" #8

_ _ " " " " " œ † serie armónica y por lo tanto DV #8 # 8 8œ" 8œ" _ Luego, " 8œ"

8 es DV. 8#  "

VIRGINIO GOMEZ


14


Ejercicios Decida si la serie CV. o DV. _ "Ñ " $ " 8 ( 8œ"

_ " #Ñ " %8  $ 8œ"

_ " $Ñ " 8 8œ" #

_ " " %Ñ $8#  " 8œ"

_ " &Ñ " È8  8œ" %

Solución 1) CV

2) CV

3) DV

4) CV

5) DV

VIRGINIO GOMEZ


15


B)

Criterio de la Integral de Cauchy

OMEZ


Sea y = f ( x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥

1 ∞

an

∑ n=1

+∞

es CV si la integral impropia

x)dx

an

∑ n=1

f(

es CV y la

f(

es DV .

1

∞

serie

∫

+∞

es DV si la integral impropia

x)dx

∫

1

GOMEZ

Ejemplos:

Determinar si la serie CV o DV. _ "Ñ 8 † /8 " 8œ" 0 aBb œ B † /B  _

(

"

0 aBb es decreciente, positiva y definida a B

, lim ( B † /B .B B † /B .B œ ,Ä_ "

B .B ( B†/

?œB .@ œ /

Ê .? œ .B B

.B

B .B œ  B/B   /B .B ( B†/ (

œ  B/B  /B  G œ

lim

,Ä_

, (

"

B" G /B

B † /B .B œ œ

lim

,Ä_

,Ä_

œ

lim

,Ä_

B" , º /B "

," ""  /, /

lim

," #  / /, œ Pw LŒ lim

,Ä_

#

"

VIRGINIO

serie

, entonces la

" #  /, /

Ê @ œ  /B

œ _

Por lo tanto, ( "

B†/ .B

B

CV a

# /

/ _ Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV. 8œ"

16


_ E<->1 8 #Ñ " # 8œ" 8 " E<->1 B B# 

0 aBb œ


" E<->1 B .B œ B# 

""

, E<->1 B

lim

_

(

(

,Ä_

.B

B#  "

"

E<->1 B B#  .B

(

? œ E<->1 B

" E<->1 B .B œ ( ? .? B#  "

(

œ

?# G # #

œ

lim

,Ä_

(

aE<->1 Bb G #

, E<->1 B "

B#  "

, aE<->1 Bb º # " #

.B œ

lim

,Ä_

#

œ

lim

,Ä_

aE<->1 "b aE<->1 ,b  # #

1# 1#  ) $#

œ

œ

$1# $#

_

Por lo tanto, (

"

E<->1 B .B CV # B  "

a

_ " $Ñ " a8  "bÈ68a8  8œ" "b 0 aBb œ _

(

"

" aB  "bÈ68aB  "b

" .B œ aB  "bÈ68aB  "b "

VIRGINIO GOMEZ


#

"

" Ê .? œ "  B#.B

_ $1# E<->1 8 Þ Luego la serie " # es CV. $# 8  8œ" "


lim

,Ä_

, (

"

" .B aB  "bÈ68aB  "b "

"

? œ 68aB 

( "b aB  "bÈ68aB .B "b

17

Ê .? œ B  ".B


(

" .B œ ( aB  "bÈ68aB  "b

" .? È?

"

œ ( ? # .? œ # È?  G œ # È68aB  "b  G lim

,Ä_

(

, "

" .B œ È aB  "b 68aB  "b œ

lim

,Ä_

, # È68aB  "b º "

lim #È68a,  "b  #È68#

,Ä_

œ _  #È68# œ_ " .B DV Þ Luego la serie aB  "bÈ68aB  "b

_

Por lo tanto, ( _ " 8œ"

"

" es DV. a8  "bÈ68a8  "b

Ejercicios Determine si la serie CV o DV. _ " "Ñ " #8  " 8œ" _ " $Ñ " # 8 a688b 8œ#

_ 8# #Ñ " 8$  # 8œ" _ /"Î8 %Ñ " 8# 8œ"

_ " &Ñ " È 8#  " 8œ" Solución 1) DV

2) DV

3) CV

4) CV

5) DV

18

VIRGINIO GOMEZ



Series infinitas de términos positivos y negativos

Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces: ∞

∑

n

(− 1)

⋅ a n = − a1 + a 2 − a3 + a 4 − a5 + L + ⋅ a n

(− 1) n

n=1

y ∞

∑

n+1

(− 1)

⋅ a n = a1 − a 2 + a3 − a 4 + a5 − L − (− 1)

n+1

⋅ an

n=1

GOMEZ

Se denominan series alternas o series alternantes.

Ejemplos:

_ 8 " 8 † " "Ñ " a  "b † œ  "  "  "  "  ÞÞÞ  a  "b 8" # $ % & 8" 8œ"

C.-

Criterio de la serie alterna Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas ∞

∑ (− 1)

n+1

⋅ an

convergen si, y sólo si:

n=1

a)

b)

0 < a n+1 < a n ∀ n ∈  lim a n = 0 n →∞

∞

∑

n=1

RGINIO

_ " " " " 8" " 8" " #Ñ " a  "b † œ "      ÞÞÞ  a  "b † 8 # $ % & 8 8œ"

n (− 1) ⋅ a n y

VI

19


Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. _ "Ñ " a  "b8 † " $8 8œ" +8  " œ

" $a8 

+8 œ

" $8

+8 œ

" 8#  "

"b +Ñ

" "  $8  $ $8

,Ñ lim

8Ä_

a8− 

" œ! $8

Por lo tanto, la serie CV. _ #Ñ " a  8" "b † 8œ" +8  " œ

+Ñ

" 8#  "

" a8  "b#  "

" "  8#  #8  # 8#  "

,Ñ lim

"

8Ä_ 8#

Teorema:

a8− 

œ! "

_ a) Una serie " a  "b8 † +8 8œ"

Por lo tanto, la serie CV.

o

_ " a  "b8  " †

+8 8œ"

se dice que es

_ Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. 8œ" _ b) Una serie " a  "b8 † +8 8œ"

VIRGINIO GOMEZ


o

_ " a  "b8  " †

+8 8œ"

se dice que es

_ Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. 8œ"

20


_ 8 "Ñ " a  "b † & %8 8œ" +8  " œ

& 8 % "

& &  %8  " % 8

+Ñ

,Ñ lim

8Ä_

& +8 œ 8 % a8− 

& œ! %8

_ La serie " es CV. a  "b8 † & %8 8œ"

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos:

_ _ " 8 " " & œ " &†Œ es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV 8 % % %  8œ" 8œ" _ 8 Luego la serie " a  "b † CVA & %8 8œ" _ " #Ñ " a  "b8  " † È8 8œ" +8  " œ

"

+8 œ

" È8

È8  " " "  È8  " È8

+Ñ

,Ñ lim 8Ä_

a8− 

" œ! È8

_ " La serie " a  8  " † es CV. È8 "b 8œ" _

_ " " " es una serie : con : y por lo tanto, DV " È œ" " 8 # œ 8œ" 8œ"8# _ " Luego la serie " a  8  " † CVC È8 "b 8œ"

21


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, además, si es CVA. o CVC. _ "Ñ " Ð  "Ñ8  " † 1 8 8œ" "

_ 1 " #Ñ Ð  "Ñ8 † # 8 " 8œ"

_ 1 $Ñ " Ð  "Ñ8 † Ð8  "Ñ# 8œ"

_ 1 %Ñ " Ð  "Ñ8  " † $ 8 " 8œ#

_ &Ñ " Ð  "Ñ8  " † 1 8 È8 8œ"

_ 1 'Ñ " Ð  "Ñ8  " † $8  " 8œ" Solución

1) CVC

2) CVA

3) CVA

4) CVA

5) CVA

6) CVC

22


D.-

Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert Sea

an

∞

∑

an ≠ 0

una serie infinita donde :

n=1

y

a n+1 =〉 n→∞ a n lim

entonces: a) cuando 〉 < 1 , la serie CVA. b) cuando 〉 > 1 , la serie DV. c) cuando 〉 = 1 el criterio no da información.

GOMEZ

Ejemplos:

Determine si la serie CV o DV.

â

+8

â â $

lim

8" â 8!

$8 † $ † $ 8" †8 a b !

†

8! 8

ºœ

$ †$

â â

œ!"

8Ä_

8"

_ 8" $ Por lo tanto, " CV 8! 8œ"

_ 8 a#8b! #Ñ " a  "b 8 † 8œ" ! â â a#8  #b + â " º 8  "º œ âââ 8a#8b +8 ! â â 8

â

lim

8Ä_

#

%8  '8  #8 œ 8"

8"

â ââ œ a#8  #b † a#8  "b † a#8b!† 8 º â º a#8b! 8" â â $ '8#  #8 %8 œ  8"

$

$

VIRGINIO

_ 8" $ "Ñ " 8! 8œ" â 8# â â $ â â â +8  " â â â a8  "b!â œ º ºœ º â $ â

lim

8Ä_

%

8$ 8# 8 ' # 8 8 8 8 " 

8

8

23


œ

lim

8Ä_

%8#  '8  # " " 8

_ "

œ_" _ a#8b! Por lo tanto, " a  "b8 † DV. 8 8œ" _ 8 8 # $Ñ " a  "b † $ 8 8œ" â 8" â â # â â â +8  " â $ #8 † # 8$ â a8  "b º º º º â $ âœ œâ † â +8 â â #8 #8 Š 8  " ‹ â â â â 8$ #8$ œ $ 8  $8#  $8  " lim 8Ä_

"

#8$ 8$  $8#  $8

œ

lim

# 8$

8Ä_

8$ œ

lim

8Ä_

8#

8$ 8$

# $ $ " "  #  $ 8 8 8

_ 8 8 Por lo tanto, " a  "b † DV. # 8$ 8œ" _ 8# %Ñ " a  "b8 † 8 & 8œ" â 8$ â â â +8  " ââ 8  "â 8  $ &8 8$ † œ âœº 8 º + º œ ââ & 8# â & † & 8  # º &8  "! 8 â â â &8 â lim

8$ " " œ " œ Pw L lim 8Ä_ & &8  "! &

_ 8# Por lo tanto, " a  "b8 † CVA.

"

$ $ $ $  $ 8 8 8

œ#"

8Ä_

8

VIRGINIO GOMEZ

œ

8œ"

&8

24


Determine si la serie CV o DV. _ a8  "bx "Ñ " #8 8œ !

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

_ &8 #Ñ " Ð  "Ñ8 a#8bx 8œ"

_ $Ñ " Ð  "Ñ8 a8bx 8 $8 8œ"

_ # 8 %Ñ " 8 $ a8  "b 8œ"

_ " &Ñ " Ð  "Ñ8 Ð#8  "Ñx 8œ"

Solución

1) DV

2) CVA

4) CV

5) CVA

25

3) DV


Serie de Potencias

Concepto: Una serie de potencias en

b0 + b1 ( x − a) + b2 ( x − a) n a) = bi

y

2

x− a

+ b3 ( x − a)

3

+ L + bn ( x −

∞ n ∑ bn ( x − a) n=0

a son números , x es variable.

Si x es un número particular, entonces ∞ y

es una serie de la forma :

x− a

se transforma en un número

∑ b ( x − a) n es una serie infinita de términos constantes. n=0 n

Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ ∑ b xn = b +b x+b x2 +b x3 +L +b xn n 0 1 2 3 n=0 n

GOMEZ

Ejemplos:

VIRGINIO

Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. _ Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8 8œ! donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos.

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ 8 # † aB  8 "b "Ñ " a  "b8  " † 8 † $8 8œ"

º

+8  " +8 º

œ

â â â â â â â â â â

œ

º

#8  " † aB  "b8  " a8  "b † $8  " #8 † aB  "b8 8 † $8

â â â â â â â â â â

#8 † # † aB  "b8 † aB  "b 8 † $8 † 8 º 8 a8  "b † $ † $ # † aB  "b8

# 8 † † ¸ B  "¸ $ 8" # 8 # † ¸¸ B  lim † † ¸ B  "¸ œ " 8Ä_ $ 8  " $ œ

lim 8Ä_

8 8"

œ

Pw L #$ † ¸ B  "¸8Ä_ lim ""

œ

# ¸ † B  "¸ $

26


ÐB  "Ñ  "

$ $ Í  #  B  " # & " Í  #  B # Análisis de los extremos Para B œ 

_ " a "b8  " † 8œ"

& # #8 † Œ 

$ 8 # 

8 † $8

_ #8 † 8  " " œ a  "b †

VIRGINIO GOMEZ

# # † ¸ B  "¸  " Í  "  $ $

8 b a  "b8 a$ #8 8 † $8

8œ"

_ #8  " " œ " a  "b † 8 8œ" _ " œ " 8 8œ" _ " Pero, " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ"

Para B œ

" #

$ 8 #8 † Œ  _ # " a  "b8  " † 8 † $8 8œ"

$8 _ #8 † 8 œ " a  "b8  " † #8 8 †$ 8œ"

_ 8" " œ " a  "b † 8 8œ" _ " Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC. 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie _ 8 8 8  " † # † aB  es  &  B Ÿ " " a  "b "b 8 † $8 # # 8œ"

27


_ aB  8$b #Ñ " a  "b8 † 8! 8œ"

º

œ

â â â â â ââ ââ

œ

º

œ

" † ¸ B  $¸ 8"

+8  " º +8

"

lim 8Ä_

† ¸ B  $¸

8"

8" aB  $b a8  "b! aB  $b8 8!

â â â â â â â ââ

aB  $b8 † aB  $b 8! † º a8  "b † 8! aB  $b8

œ $¸

¸B

œ

¸ B  $¸ † !

œ

! "

lim 8Ä_

_ 8 8 aB  Por lo tanto, la serie " a  "b † $b 8! 8œ"

" 8"

es CVA a B − ‘

_ 8! $Ñ " a  8 † 8 8 "! †B "b 8œ" +8  " º º +8

lim a8  "b † 8Ä_

œ

â â a8  "b! ââ 8  " † B8  " ââ â â â "! â 8! âââ ââ 8 8 "! † B

œ

º

œ

a8  "b †

"!8 † B8 a8  "b † 8! † º "!8 † "! † B8 † B 8!

" "!¸B¸

" "! ¸B¸ "

œ

"!¸B¸

lim Ð8  "Ñ 8Ä_

" "!¸B¸ † _

œ

_ 

œ "

_ 8 8 aB  Por lo tanto, la serie " a  "b † $b 8! 8œ"

VIRGINIO GOMEZ


es DV a B − ‘

28


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ B 8 "Ñ " Ð#8Ñx † Œ  # 8œ !

_ ÐB  &Ñ8 #Ñ " Ð  "Ñ8  " † 8 † &8 8œ"

_ $Ñ "

_ ÐB  (Ñ8 %Ñ " Ð  "Ñ8  " † 8 † (8 8œ"

ÐB  #Ñ8  "

Ð8  "Ñ † 8œ" $8  "

_ &Ñ8" Ð "Ñ  " † 8œ"

B#8  " Ð#8  "Ñ!

_ 8x ÐB  %Ñ8 'Ñ " Ð  "Ñ8 † $8 8œ"

_ 8x † B8 " (Ñ 8 œ " Ð#8Ñx

_ 8 8" )Ñ " Œ  † Ð  #BÑ 8" 8œ"

_ # 8 † B8 *Ñ " 8# 8œ"

_ ##8  " † B#8 "!Ñ " Ð  "Ñ8 † Ð#8Ñx 8œ"

Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ !  B Ÿ "! $Ñ  " Ÿ B  & %Ñ !  B Ÿ "% &Ñ ‘ 'Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ " " )Ñ   B  # # " " *Ñ  Ÿ B Ÿ # # "!Ñ ‘

29


Serie de Taylor

∞

f

n

(a) ⋅ ( x − n a) corresponde a la serie de Taylor de n!

Concepto : La expresión f ( x) = ∑ n=0 f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a . n f (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .

∞

f

Si la serie de Taylor toma la forma f ( x) = ∑ n=0 serie de Maclaurin de f .

Ejemplos

n (0) ⋅ x n n!

que se conoce con el nombre de

GOMEZ

" 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ B

" œ  B# B#

0 w aBb œ  w

0 w aBb œ

Ê 0!

Ê 0 w a"b œ  "

# œ #B$ B$

w

Ê 0 w a"b œ #

' ww 0 w aBb œ  % œ  'B% B 0 3@ aBb œ

" † aB  ! "b 0 aBb œ !!

#% œ #%B& B&



Ê 0 3@ a"b œ #%

a  "b † aB  "b "! !

aB  "b 0 aBb œ

w

Ê 0 w a"b œ  '



aB  "b 

"

# † aB  "b

!

"

#x

# † aB  "b 

#

#

#

a  'b † aB  $ "b  $!

' † aB  $ "b  '

#

$

VIRGINIO

" 0 aBb œ a"b œ " B !

#% † aB  "b



#% † aB  "b 

#%

0 aBb œ aB  "b  aB  "b  aB  "b  aB  "b  aB  "b Por lo tanto, 0 aBb œ

_ " œ " a  "b8 † aB  "b8 B 8œ!

%!

%

%

%

30


0 ! aBb œ -9=B

Ê 0 ! a!b œ "

0 w aBb œ  =/8B

Ê 0 w a!b œ ! w

w

Ê 0 w a!b œ  "

0 w aBb œ =/8B

ww

Ê 0 w a!b œ !

0 3@ aBb œ -9=B

Ê 0 3@ a!b œ "

0 w aBb œ  -9=B

ww

0 aBb œ

" † B! ! † B a  "b † B# ! † B$ " † B%     "! $! %! !! #x

0 aBb œ

B# B! B% !  !  !! #! %!

0 aBb œ

B ! B# B %   !! #! %!

_ #8 Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 † B a#8b! 8œ!

VIRGINIO GOMEZ

2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B

3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb

Ê 0 ! a!b œ !

!

0 aBb œ 68a"  Bb 0 w aBb œ " Bb

"

Ê 0 w a!b œ "

œ a" 

"B

" w 0 w aBb œ  œ  a"  # Bb # a"  Bb

w

Ê 0 w a!b œ  "

ww # 0 w aBb œ œ #a"  $ Bb $ a"  Bb

0 3@ aBb œ 

'

ww

Ê 0 w a!b œ #

œ  'a"  Bb

%



Ê 0 3@ a!b œ  '

%

a"  Bb 0 aBb œ

! † B! "



" † B " † B# # † B$ ' † B %    " # ' #%

B# B$ B % 0 aBb œ !  B    # $ % Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ "

_

8" 8 B a  "b †

8"

8œ!

31


Intervalo de convergencia â B8  # â â 8 # 8  # ââ œ B † B † 8  " œ ¸B¸ † 8  " º Œ  º 8  # B8 † B 8# B8  " ââ 8" â

8" lim ¸B¸ † Œ 8# 

8Ä_

œ

¸B¸ † lim Œ 8  "  8Ä_ 8#

œ

Pw L ¸ B¸ †8Ä_ lim

œ

¸B¸

" "

¸B¸  " Í  "  B  " Análisis de los extremos Para B œ  " _ a8" " a  "b8 † "b 8œ!

_ a  "b #8  " œ"

8"

8œ!

GOMEZ

â â â â œâ â â â

+8  " º º +8

8"

_ œ"  8œ"

" 8

_ Pero, "  " es la serie armónica y por lo tanto DV 8 8œ" Para B œ " _ " a  "b8 † a"b 8œ!

8" 8"

_ 8 " œ " a  "b † 8œ!

8"

VIRGINIO

_ " œ"  8" 8œ!

_ " Pero, " a  "b8 es una serie alterna que CVC 8  " † 8œ! _ 8" 8 es  "  B Ÿ " Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b † B 8œ!

8"

32


0 ! aBb œ /B

Ê 0 ! a!b œ "

0 w aBb œ /B

Ê 0 w a!b œ " w

w 0 w aBb œ /B

Ê 0 w a!b œ "

ww 0 w aBb œ /B

Ê 0

0 3@ aBb œ /B

" Ê 0 "

0 aBb œ

" † B! !!



www

3@

a!b œ

a!b œ

" † B " † B# " † B$ " † B %    "! #! $! %!

_ B8 Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ " 8! 8œ ! Intervalo de convergencia â â â +8" º

º

B8  " a8  "b!

â œâ â â â

+8

lim ¸B¸ † Œ

8Ä_



B 8 8!

" 8"

â â â â âœº â â â

8

!

B †B

8

"

VIRGINIO GOMEZ

,Ñ 0 aBb œ /B

† 8 º œ ¸B ¸ † Œ  ! a8  "b † 8 B 8"

œ

¸B¸ † lim Œ "  8Ä_ 8"

œ

¸B ¸ † !

œ

! "

_ B8 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " es ‘ 8! 8œ ! Ejercicios I

Desarrollar en serie de Taylor

"Ñ 0 ÐBÑ œ È$ B

con + œ "

" #Ñ 0 ÐBÑ œ B

con + œ  "

$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB  "b

con + œ "

%Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B

con + œ

II

Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia

1 $

"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ#

#Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B

33

" $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=Œ B   #


Solución

#

B" "Ñ 0 aBb œ " 

#

aB  "b 

'

& † aB  $ "b  &%

& † aB  "b 

)"

_ #Ñ 0 aBb œ  " aB  "b8 8œ! # $ % B" aB  "b aB  "b aB  "b $Ñ 0 aBb œ 68#     # ) #% '%

%

VIRGINIO GOMEZ

I

1 #8 1 #8  " _ ŠB  ‹ ŠB  ‹ È$ _ " $ $ %Ñ 0 aBb œ † " a  8 †  † " a  "b8  "† "b # # a#8b! a#8  "b! 8œ! 8œ!

II _ 8 "Ñ 0 aBb œ " # B† 8! 8œ ! 8 _ $#8  " † B#8  #Ñ 0 aBb œ " a  "b8 " † a#8  "b! 8œ!

CV a B − ‘

CV a B − ‘

_ _ " " B# 8 B#8  " $Ñ 0 aBb œ -9=Œ  † a 8†  =/8Œ  † a  "b8  "† " " "b # # a#8b! a#8  "b! 8œ! 8œ! CV a B − ‘

34


VIRGINIO GOMEZ

Funciones de más de una variable Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma C œ 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B − ‘. Se extenderá ahora este concepto a funciones de más de una variable. Por ejemplo À z = f ( x, y) = x 2 + y

z depende de las variables x e y

w = f ( x, y, z) = x + yz

w depende de las variables x , y y z

2

En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos de otros espacios numéricos. Si D œ 0 aBß Cb, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real bidimensional a‘# b. Si A œ 0 aBß Cß Db, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se está trabajando en el espacio numérico real tridimensional a‘$ b. Concepto de función de dos variables

Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un número real 0 aBß Cb, entonces se dice que 0 es función de B e CÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cb es el recorrido de 0 Ejemplos À "Ñ 0 À ‘# aBß Cb

È ‘ È 0 aBß Cb œ B#  C #

#Ñ 0 À ‘#

È

aBß Cb

$Ñ 0 À ‘# aBß Cb

‘

È 0 aBß Cb œ

È

‘

È 0 aBß Cb œ

B  C# BC

/BC BC

35


Concepto de función de tres variables

Ejemplos À "Ñ 0 À ‘$ aBß Cß Db

È ‘ È 0 aBß Cß Db œ B#  C #  D #

#Ñ 0 À ‘$

È ‘ BC È 0 aBß Cß Db œ BC  D #

aBß Cß Db $Ñ 0 À ‘$ aBß Cß Db

È

‘

È 0 aBß Cß Db œ

-9=aBCb  D 68aC  Db  B#

Dominio de funciones de dos variables

VIRGINIO GOMEZ

Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un número real 0 aBß Cß Db, entonces se dice que 0 es función de Bß Cß DÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aBß Cß Db es el recorrido de 0

Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas restricciones que para funciones de una sola variable, es decir, a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la cantidad subradical debe ser mayor que cero. d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero. Ejemplos: Determinar el dominio de las siguientes funciones "Ñ 0 aBß Cb œ È#&  B#  C # #&  B#  ! C#  #&  B#  C # B#  C# Ÿ #&

Î † a  "b

B#  C# œ #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de radio cinco. B#  C#  #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la circunferencia de radio cinco.

36


#Ñ 0 aBß Cb œ

$B  &C BC

BC Á ! BÁC

VIRGINIO GOMEZ

H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb se encuentra en y dentro de la circunferencia B#  C# œ #&}

B œ C corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb no está en la recta B œ C ×

$Ñ 0 aBß Cb œ 68a#B  Cb #B  C  ! #B  C

#B œ C corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œ #B #B  corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta C œ #B C H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está bajo la recta C œ #B ×

37


È*B#  #&C#  ##& C  B  #

*B#  #&C#  ##& ! *B#  ##& #&C # B# C #  " #& *

GOMEZ

%Ñ 0 aBß Cb œ

Î À ##&

B#

C#  œ " corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse #& * B# C #  œ" #& * B# #&



C# *

 " corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la elipse

B# C #  œ" #& *

CB # Á ! C ÁB#

C œ B  corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta # C œB#

C Á B  # corresponde a todos los puntos del plano que no están en la recta C œB#

y no están en la recta C œ B  # ×

#

#&



C#

œ"

*

IRGINIO

H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está en y fuera de la elipse B

V

38


Determine el dominio de las siguientes funciones À

+Ñ 0 ÐBß CÑ œ

B#  C #  " È%C  &B

,Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68Ð*  B#  $C # Ñ

-Ñ 0 ÐBß CÑ œ

.Ñ 0 ÐBß CÑ œ

È B#  C #  $' #B#  $C È / C  #B 68ÐC  BÑ

Solución

+Ñ H970 œ œaBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está sobre la recta C œ

,Ñ œ H970

œ

& B %

# aBß B Cb − ‘ ÎaBß Cb está en el interior de la elipse

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

#



*

C#

œ"

$



-Ñ H970 œ œaBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está en y dentro de la circunferencia

# # B#  C# œ $' y no pertenece a la parábola C œ  B $

.Ñ H970 œ {aBß Cb − ‘# ÎaBß Cb está sobre las rectas C œ #B e C œ B y está en la recta C œ #B ×

39


Derivadas Parciales Conceptos Sea z = f ( x, y ) , una función de dos variables , entonces las derivadas

parciales

Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones

fx, fy

definidas por :

∂f ( x , y ) f

∂x

=

∂z

=

∂x

x

(x,y) =

lim

f(x+∆ x,y)− f(x,y)

∆ x →0

∆x

∂f ( x, y) ∂z f ( x, y + ∆ y) − f ( x, = = f ( x, y) = lim y) y ∆ y →0 ∂y ∂y ∆y siempre que exista el límite.

Ejemplos À Obtener 0B ß 0C en À "Ñ 0 aBß Cb œ $B#  #C $  (B  %C 0C œ  'C #  %

0B œ 'B  (

#Ñ 0 aBß Cb œ #BC  *B$  &C % 0B œ #C  #(B

0C œ #B  #!C $

#

$Ñ 0 aBß Cb œ a$BC#  %Bb #

$

0B œ $a$BC #  %Bb a$C #  %b

VIRGINIO

Es decir, si D œ 0 aBß Cbß entonces para determinar 0B se considera constante la variable y se C deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se deriva con respecto a C

#

0C œ ")BCa$BC #  %Bb

40


%Ñ 0 aBß Cb œ 0B œ

#B  &C$ $B  #C

#a$B  #Cb  $a#B  &C $ b

0C œ

#

a$B  #Cb 0B œ

0C œ

a$B  #Cb#

&Ñ 0 aBß Cb œ BC  B# C $  B % ( C $

0B œ C  #BC  %B C

 "&C # a$B  #Cb  #a#B  &C $ b #

a$B  #Cb

%C  "&C $

$

VIRGINIO GOMEZ


 #!C $  %&BC #  %B a$B  #Cb#

0C œ B  $B# C #  (B% C '

(

'Ñ 0 aBß Cb œ B/BC  >1a#B  $Cb 0B œ /BC  BC/BC  #=/- # a#B  $Cb

0C œ B# /BC  $=/- # a#B  $Cb

(Ñ 0 aBß Cb œ 68aB#  C # b  =/8aBCb  BC -9=aBCb 0B œ

#B #  C -9=aBCb  C-9=aBCb  BC =/8aBCb B#  C #

0C œ

 #C  B -9=aBCb  B-9=aBCb #B C =/8aBCb B#  C #

El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables. Sea A œ 0 aBß Cß Db, una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0 con respecto a B, a C y a D están definidas por À ` 0 aBß Cß À 0 aB  ?Bß Cß Db  0 aBß Cß Db Db œ œ 0B aBß Cß Db œ lim ?B `B `B ?B Ä ! ` 0 aBß Cß À 0 aBß C  ?Cß Db  0 aBß Cß Db Db œ œ 0C aBß Cß Db œ lim `C `C ?C ?C Ä ! ` 0 aBß Cß Db œ

`D

œ

À

œ D0 aBß C, zb

`D

siempre que el límite exista

lim ?D Ä !

0 aBß Cß D  ?Db  0 aBß Cß Db ?D

Es decir, si A œ 0 aBß Cß Db para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las variables B y D y se deriva con respecto a la variable C. Por último, por igual camino para calcular 0D se consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D.

41


Obtener 0B ß 0C ß 0D en À "Ñ 0 aBß Cß Db œ #B#  %C $  &D %  $B  %C  D 0C œ  "#C #  %

0B œ %B  $

0D œ #!D $  "

#Ñ 0 aBß Cß Db œ BC  $CD  %BD  BCD 0B œ C  %D  CD

0C œ B  $D  BD

$Ñ 0 aBß Cß Db œ BC/BD  68aB  C  Db 0B œ C/BD  BCD/BD  0C œ B/BD 

" BC  D

" BC  D

0D œ B# C/BD 

" BC  D %Ñ 0 aBß Cß Db œ $B  &C #C  D 0B œ

0C œ

0D œ

$ #C  D  &a#C  Db  #a$B  &Cb &D  'B œ a#C  Db# a#C  Db# $B  &C a#C  Db

#

&Ñ 0 aBß Cß Db œ 68aB#  C#  D # b  =/8a$B  Cb  >1a&C  %Db 0B œ

B#

#B  $ -9=a$B  Cb  C#  D #

0C œ

#C #  -9=a$B  Cb  &=/a&C  %Db B#  C #  D #

0D œ

#D  %=/-# a$B  Cb B#  C #  D #

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos À

0D œ  $C  %B  BC

42


'Ñ 0 aBß Cß Db œ B/BCD  C -9=aBCDb  D ÈBCD CD # # ÈBCD

0 œ B# D/BCD  -9=aBCDb  BCD =/8aBCDb  C

BD # # ÈBCD

BCD 0D œ B# C/BCD  BC # =/8aBCDb  ÈBCD # ÈBCD  $

(Ñ 0 aBß Cß Db œ =/8$ a#B  $Cb  >1a$C  %Db  68# a&D  Bb 0B œ '=/8# a#B  $Cb -9=a#B  $Cb  )Ò68a&D  Bb %

Ó†

%

" a&D  Bb $

VIRGINIO GOMEZ

0 œ /BCD  BCD/BCD  C # D =/8aBCDb  B

0C œ  *=/8# a#B  $Cb -9=a#B  $Cb  *Ò=/- # a$C  %Db Óa$C  %Db " $ # 0D œ  "#Ò=/- # a$C  %Db Óa$C  %Db  %!Ò68a&D  Bb a&D  Bb % Ó†

Ejercicios I Determine 0B y 0C en: +Ñ 0 aBß Cb œ $B  %C  B# C  BC $ ,Ñ 0 aBß Cb œ 68a$B  'Cb  -9=a$BC  'b  B >1a#C  "!b ) -Ñ 0 aBß Cb œ È$B  %C  a$B  Cb  %B(  )C '

.Ñ 0 aBß Cb œ

(B  )C %C  *B

II Determine 0B ß 0C y 0D en: +Ñ 0 aBß Cß Db œ BCD  68a$B  %C  &Db  %B  'C  *D ,Ñ 0 aBß Cß Db œ È$ %B%  *C %  (D ( -Ñ 0 aBß Cß Db œ -9=a$B  'C  (Db  /-9=aBCDb  B$ C % D ' .Ñ 0 aBß Cß Db œ

#

B68C  D=/8C

C>1B  BC/D

43


Solución +Ñ 0B œ $  #BC 

$  $C † =/8a$BC  'b  >1a#C  "!b $B  'C

,Ñ 0B œ

0C œ 

'  $B † =/8a$BC  'b  #B † =/- # a#C  "!b $B  'C

$  #%a$B  Cb(  #)B' # È$B  %C

-Ñ 0B œ

0C œ 

.Ñ 0B œ

II 

#  )a$B  Cb(  %)C& È$B  %C

"!!C a%C  *Bb# $ % $B  %C   &D

+Ñ 0B œ CD

0D œ BC 

,Ñ 0B œ

0D œ

0C œ  %  B#  $BC #

VIRGINIO GOMEZ

I C$

"!!B 0C œ  a%C  *Bb#

% ' $B  %C  &D

0C œ BD

& * $B  %C  &D "'B$

$ É a%B%  *C %  # (D ( b $

0C œ

 $'C$

$ É a%B%  *C %  (D ( b $

%*D ' $ É a%B%  *C%  # (D ( b $

-Ñ 0B œ  $=/8a$B  'C  (Db  CD † =/8aBCDb † / -9=aBCDb  $B# C % D ' 0C œ  '=/8a$B  'C  (Db  BD † =/8aBCDb † / -9=aBCDb  %B$ C $ D ' 0D œ (=/8a$B  'C  (Db  BC † =/8aBCDb † /-9=aBCDb  'B$ C % D &

.Ñ 0B œ

68CaC>1B  BC/D b  aB68C  D=/8CbaC=/- # B  # C/ D b aC>1B  BC/D b Œ

0C œ

0D œ

B D D C  D-9=CaC>1B  BC/ b  aB68C  D=/8Cba>1B  B/ b # aC>1B  BC/D b

a  =/8CbaC>1B  BC/D b  aB68C  # D=/8CbaBC/ D b aC>1B  BC/D b

#

44


VIRGINIO GOMEZ

Derivación implícita Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de derivada implícita. `D Si D œ 0 aBß Cb, es decir, D es una función de dos variables que depende de B e C . Para obtener `B se considera constante la variable C y se deriva implícitamente D con respecto a B. `D Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implícitamente D con respecto a `C C. Ejemplo À Obtener

`D `D , en À `B `C

"Ñ B#  C#  D # œ #& Para

`D `B

`D #B  #D † œ! `B Para

Ê

`D B œ  `B D

`D `C

`D `D C #C  #D † œ ! Ê œ  `C `C D #Ñ >1aB  Cb  >1aC  Db œ " `D `B `D =/- # aB  Cb  =/- # aC  Db † œ ! `B Para

`D =/- # aB  Cb œ  `B =/- # aC  Db Para

`D `C

=/- # aB  Cb  =/- # aC  Db † Œ" 

`D œ! `C

`D =/- # aB  Cb  =/- # aC  Db œ  `C =/- # aC  Db $Ñ D † /BD  C † /CD  /BC œ # Para

`D `B

`D BD `D BD # CD `D BC † /  D † / † ŒD  B †  C † / †  C/ œ ! `B `B  `B

45


`D D # /BD  C/BC œ  BD `B /  BD/BD  C # /CD Para

`D `C

VIRGINIO GOMEZ


`D BD `D `D BC † /  BD † /BD †  /CD  C † / CD † ŒD  C † `C `C `C   B/ œ ! `D /CD  CD /CD  B/BC œ BD ` B /  BD/BD  C # /CD %Ñ /BCD  >1aCDb œ 68aBCDb  -9=aBDb Para

`D `B

`D `D /BCD CD  BC`D  C=/- # aCDb `D œ CD  BC  =/8aBDb † D  B " Œ  Œ   Œ `B BCD `B `B `B `D œ `B

Para

"  D=/8aBDb  CD/BCD B " BC/BCD  C=/- # aCDb   B=/8aBDb D

`D `C

/BCD BD  BC`D  =/- # Œ aCDb `C `D œ `B

`D DC Œ `C 

œ

`D `D ŒBD  BC  B=/8aBDb BCD `C `C

" BCD  D=/-# aCDb  BD/ C " BC/BCD  C=/- # aCDb   B=/8aBDb D Ejercicios

Obtener

`D `B

y

`D en À `C

"

+Ñ B#  %C #  *D # œ $'

,Ñ CD  BD  BC  BCD œ !

-Ñ $B%  %C $  'D & œ '!

.Ñ #B  C  D œ 68D

/Ñ =/8ÐB  CÑ  -9=ÐC  DÑ  =/-ÐD  BÑ œ "

0 Ñ B/ BC  C=/8aCD b œ D>1aBD b

46


+Ñ

`D B œ  `B *D

` D %C œ `C *D

,Ñ

` D CD  D  C œ `B C  B  BC

` D BD  D  B œ `C C  B  BC

`D

-Ñ

`B

.Ñ

/Ñ

œ 

#B$ &D %

`D # œ " `B " D `D `B

œ

`D #C # œ  % `C &D `D " œ " `C " D

 -9=aB  Cb  =/-aB  Db>1aB  Db =/8aC  Db  =/-aB  Db>1aB  Db

`D  -9=aB  Cb  =/8aC  Db œ ` C =/8aC  Db  =/-aB  Db>1aB  Db

0Ñ

`D D # =/- # aBDb  /BC  BC/BC œ # `B C -9=aCDb  >1aBDb  BD =/- # aBDb `D B# /BC  =/8aCDb  CD -9=aCDb œ ` C >1aBDb  BD =/- # aBDb  C # -9=aCDb

GOMEZ

Solución

VIRGINIO

47


Regla de la cadena

T eorema : Supóngase que z = f ( x, y ) , es una función de dos variables y que existen

∂z ∂x

y

∂z ∂y

con x = f (r , s) e y = f (r , s) funciones de r y

para las cuales

s

existen las derivadas

∂z ∂r

=

∂x

∂x

,

∂r ∂s ∂z

,

∂y ∂r

,

∂y ∂s

. Luego,

∂z ∂r

y

∂z ∂s

existen y vienen dadas por:

∂z ∂y + ⋅ ∂x ∂r ∂y ∂r ⋅

∂x

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

1) Determine D œ B#  C # B œ =$  <% C œ =<

`D en: `<

`D `D `B `D `C œ †  † `< `B `< `C `< `D œ #B `B

`D œ #C `C

`B œ %< $ `<

`C œ= `<

`D œ a#Bbˆ%<$ ‰  a#Cba=b `< 2) Determine

`D en: `=

D œ C$  $B# C B œ <-9=a=b C œ <=/8a=b `D `D `B `D `C œ †  † `= `B `= `C `= `D œ  'BC `B

`D ` B œ $C#  $B# = œ  <=/8a=b `C `=

`D œ a  'BCba  <=/8a=bb  ˆ$C #  $B# ‰a<-9=a=bb `=

48

VIRGINIO

Ejemplos

GOMEZ

`C œ <-9=a=b `=


3) Determine

`D `D y en: `+ `,

D œ =/8a#B  $Cb B œ >1a+b  /, C œ 68a"  +b  -9=a$,b `D `D `B `D `C œ †  † `+ `B `+ `C `+

IRGINIO GOMEZ


`D œ #-9=a#B  $Cb `B

`D œ $-9=a#B  $Cb `C

`B # œ =/- a+b `+

`C " œ  `+ "+

`D œ a#-9=a#B  $Cbbˆ=/-# a+b‰  a$-9=a#B  $Cbb " + Œ  `+ " `D `D `B `D `C œ †  † `, `B `, `C `, `D œ #-9=a#B  $Cb `B

`D œ $-9=a#B  $Cb `C

`B œ  /, `,

`C œ  $=/8a$,b `,

`D œ a#-9=a#B  $Cbbˆ  / , ‰  a$-9=a#B  $Cbba  $=/8a$,bb `+

El teorema también es aplicable para funciones de tres variables Si w = f ( x, y, z) es una función de tres variables para la cual existen

∂w ∂w ∂w con x = f (r, s) ; y = f (r, s) ; z = f (r, s) . , , ∂x ∂y ∂z Entonces w es función de r y s , luego

∂w ∂r

y

∂w ∂s

∂w ∂z

existen y están definidas por:

=

∂w

⋅

∂x

+

∂z

⋅

∂y

+

∂w

⋅

V

∂w ∂w ∂x ∂z ∂y ∂w ∂z = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

49


1) Obtener

À en: `<

A œ B#  #CD  D $ B œ -9=a1a#=b À À `B À `C À `D œ †  †  † `< `B `< `C `< `D `< À œ #B `B

À œ #D `C

`B `C œ  =/8a
À œ #C  $D# `D

`D " œ `< <

# À `< œ a#Bba  =/8a
2) Obtener

À en: `=

A œ -9=aB#  C  D $ b B œ < $ =% C œ =/8# a$1a%=  (b À À `B À `C À `D œ †  †  † `= `B `= `C `= `D `= À œ  #B=/8ˆB#  C $D ‰ `B

À œ =/8ˆB#  C  D $ ‰ `C

À œ  $D # =/8ˆB#  C  D $ ‰ `D `B œ %<$ =$ `= À

`C œ ! `=

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos:

`D ' & œ #%=/- # a%=  (b † a%=  (b `=

œ ˆ  #B=/8ˆB#  C  D $ ‰‰ˆ%<$ =$ ‰  ˆ  $D # =/8ˆB#  C  D $ ‰‰ˆ#%=/- # a%=  (b' † a%= 

(b& ‰ `=

50


À en : `+

GOMEZ

3) Determine

A œ BC D B œ +-9=a,b  =/8a,b C œ 68a+b  +=/8a,b D œ #+  $, À À `B À `C À `D œ †  †  † `+ `B `+ `C `+ `D `+ À C œ `B D

À B œ `C D

À BC œ  # `D D

`B œ -9=a,b `+

`C " œ  =/8a,b `+ +

`D œ# `+

À

C B " BC œ Š ‹a-9=a,bb  Š ‹Œ  =/8a,b  Š # ‹a#b  `+ D D + D

Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente: 1) Sea z = f ( x, y) una función de dos variables donde

∂z ∂x

y

∂z ∂y

existen,

∂z con x = f (t ) e y = f (t , entonces z depende de t y queda definida por: ∂t ) dz ∂z dx ∂z = ⋅ + ⋅ dy dt ∂x dt ∂y dt

2) Sea w = f ( x, y, z) una función de tres variables donde con x = f (t ) , y = f (t ) y

∂w ∂w ∂w , y existen, ∂x

∂y

∂z

z = f (t ) , entonces w depende de t y queda definida por: ∂w ∂t

dw dt

=

∂w ∂x

⋅

dx ∂w dy ∂w dz + ⋅ + ⋅ dt ∂y dt ∂z dt

VIRGINIO

51


1) Determine

.D en: .>

D œ BC/BC B œ >%  È > C œ > † 68$ a>  "b .D ` D .B ` D .C œ †  † .> ` B .> ` C .>

.D .>

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos

`D œ C/BC  BC# /BC `B

`D œ `C

.B " œ %>$  È .> # >

.C " # œ 68 $ a>  "b  $> † 68 a>  "b † .> >"

B/BC  B# C /BC

" ‰ %>$ "   ˆB/BC  B# C /BCŒ68$ a>  "b  $> † 68# a>  œ ˆC/BC  BC # /BC  È> > " #  "b † ‰ #Ñ Determine

.A en: .>

A œ BCD B œ >(  $>  & Cœ

>#

> $

D œ E<-=/8a>b

.A ` A .B ` A .C ` A .D œ †  †  † .> ` B .> ` C .> ` D .> À œ CD `B

À œ BD `C

.B

.C "a>#  $b  >a#>b œ .> a>#  # $b

.>

'

œ (>  $

À œ BC `D

.D .>

" œ

È"  >#

$  ># " ' œ aCDbˆ(>  $‰  aBDb   aBCb   # È .> a>  "  ># # $b

.A

52


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios Determine À À `<

+Ñ

si

A œ 68ÐB #  C # Ñ B œ < -9= > C œ < =/8 >

,Ñ

.E si .>

E œ B $  C$  È#B  $C B œ E<->1a>b  -9=> =/8> C œ > † >1 a>b

-Ñ

`? `? `? ß ß si `3 `) `9

? œ B #  #C #  #D # B œ 3 -9= ) =/8 9 C œ 3 =/8 ) =/8 9 D œ 3 -9= 9

.Ñ Hallar

À `B

en el punto Ð"ß "ß "Ñ si

A œ -9=a +,b + œ BCD ,œ

1 %ÐB#  C# Ñ

53


+Ñ

À #B #C œŒ # -9= > Œ  # =/8 >   # `< B C B  C#

,Ñ

È B " # œ $B#   =/8# >  -9= > Œ   È `> "  ># #B  $C $    $C# a>1 >  > =/- # >b È # #B  $C 

`? œ a#Bba-9=) =/89b  a%Cba=/8) =/89 b  a%Dba-9=9b `3

-Ñ

`? œ a#Bba  3 =/8) =/89b  a%Cba3 -9=) =/89 b `)

VIRGINIO GOMEZ

Solución

`? œ a#Bba3 -9=) -9=9b  a%Cba3 =/8) -9=9 b  a%Dba=/89b `9

.Ñ

À a"ß "ß "b œ ! `B

54


A) Problemas con enunciado

VIRGINIO GOMEZ

Aplicaciones de la regla de la cadena

1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm.. En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese momento?

Z œ 1<# 2 < œ 0 a>b

Z œ 0 a<ß 2b .< cm œ & .> seg

2 œ 0 a>b

< œ "# cm

.2 cm œ% .> seg

.Z œ ` Z † .<  ` Z † .2 .> ` < .> ` 2 .> # .Z .> œ a#1<2b † .< .>  ˆ1< ‰ † .2 .>

.Z œ a)'%1b † a  &b  a"%%1b † a%b .> .Z œ  %$#!1  &('1 .> .Z œ  $(%%1 .> El volumen decrece a razón de $(%%1 cm3 /seg

55

2 œ $' cm


Por teorema del coseno +# œ , #  - #  #,- † -9=! + œ 0 a,ß -ß !b

;, œ 0 a>b

; - œ 0 a>b

; ! œ 0 a>b

+ œ È, #  - #  #,- † -9=! ! œ '!º

.! grados œ& .> seg

- œ "! cm

, œ "' cm

., " cm œ  .> # seg

.cm œ" .> seg

.+ ` + .! ` + ., ` + .œ †  †  † .> ` ! .> ` , .> ` - .> .+ .> .> .+ .> ”

,- † =/8! œ

.!

È,#  - #  #,- † -9=! 



, -† -9=!

bœ

.,

È, #  - #  #,- † -9=! 

.> "

VIRGINIO GOMEZ

2) En cierto instante, el ángulo ! de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de "# cm/seg. Hallar la velocidad de variación del lado a.

-  , † -9=!



È, #  - #  #,- † -9=! 

.>

" a,- † =/8!ba&b  a,  - † -9=! Œ   a-  , † -9=!ba"b • È, #  - #  #,- † -9=! #

.+ " "" œ   #  %!!È$ Œ .> "% # .+ " ( œ   %!!È$ Œ .> "% # El lado a crece a razón de

cm " ( Œ   %!! $ seg "% #

È

.-

56


+Ñ Z œ 6+2 + œ "!

Z œ 0 a+ß 6ß 2b .+ œ  # cm .> seg

2œ)

;

.2 cm œ" .> seg

.Z œ ` Z † .+  ` Z † .6  ` Z † .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .Z .+ .6 .2 œ a62b  a+2b  a6+b .> .> .> .> .Z œ a"#!ba  #b  a)!ba$b  a"&!ba"b .> .Z œ "&! .>

El volumen crece a razón de 150 cm3 /seg.

,Ñ E œ #+6  #+2  #62 .E œ ` E † .+  ` E † .6  ` E † .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .E

.+ œ a#6  #2b  a#+  #2b .> .>

.6

.2  a#+  #6b .> .>

.E œ a%'ba  #b  a$'ba$b  a&!ba"b .> .E œ '' .>

6 œ "&

VIRGINIO GOMEZ

3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es 10 y la altura es 8 cm.? b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?

El área total crece a razón de 66 cm2 /seg.

57

cm .6 œ$ .> seg


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

"Ñ La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono en ese instante ? #Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son À largo 15 cm., ancho 8 cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del: +Ñ volumen. ,Ñ área total si el sólido es sin tapa. -Ñ área total si el sólido es con tapa.

$Ñ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de cambio del À +Ñ volumen. ,Ñ área total , si el cilindro no tiene tapa. -Ñ área lateral, si el cilindro tiene tapa. Solución

"Ñ El volumen del cono decrece a razón de (#Þ!!! 1 cm3 /min. #Ñ

+Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de $%) cm3 /seg.

,Ñ El área total del sólido rectangular decrece a razón de ( cm# /seg si el sólido es sin tapa.

-Ñ El área total del sólido rectangular crece a razón de &# cm# /seg si el sólido es con tapa. $Ñ +Ñ El volumen del cilindro crece a razón de $)%! 1 cm3 /seg. ,Ñ El área total del cilindro crece a razón de #!) cm# /seg . -Ñ El área lateral del cilindro crece a razón de )! cm# /seg .

58


VIRGINIO GOMEZ

B) Demostraciones "Ñ Sea A œ 0 aC  B  >ß D  C  >b . Haciendo ? œ C  B  > à @ œ D  C  > À À À À #  Demostrar que  œ! `B `C `D `> A œ 0 a?ß @b

? œCB>

con

@œDC>

y

À À `? À `@ œ †  † `B `? `B `@ `B À `B

œ 

À

a  "b

À

`?

a!b

Ê

`@

À

œ 

À

`B

`?

À À `? À `@ œ †  † `C `? `C `@ `C À

œ

`C

À

a"b 

`?

À `@

a "b

Ê

À `C

œ

À



`?

À `@

À À `? À `@ œ †  † `D `? `D `@ `D À À À œ a!b  a"b `D `? `@

Ê

À À œ `D `@

À À `? À `@ œ †  † `> `? `> `@ `> À `>

œ 

À

a  "b

`?

À

a"b

`@

Ê

À `>

œ 

À `?



À `@

À À À À À À À À À À #   œ  # #    `B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ À À À À #   œ! `B `C `D `> Por lo tanto,

À À À À  œ! #  `B `C `D `>

59


`?

`? `? œ+† , † `> `B `C

Sea : œ B  +> y ; œ C  ,> `? `? `: `? `; œ †  † `> `: `> `; `> `? `? `? œ a+b  a,b `> `: `;

Ê

`? `? `? œ+ , `> `: `;

Ê

`? `? œ `B `:

Ê

`? `? œ `C `;

`? `? `: `? `; œ †  † `B `: `B `; `B `? `? `? œ a"b  a!b `B `: `; `? `? `: `? `; œ †  † `C `: `C `; `C `? `? `? œ a!b  a"b `C `: `; `?

`? `? œ+† , † `> `B `C

+

`? `? `? `? , œ+ , `: `; `: `;

Por lo tanto,

`? `? `? œ+† ,† `> `B `C

3) Para A œ 0 aBß Cb con B œ <-9=) e Œ

À

#

À  Œ `B `C 

#

#

œŒ

C œ <=/8) , demostrar que: #

À " À   Œ # Œ  `< < `)

À À `B À `C œ †  † `< `B `< `C `< #

À À À œ † a-9=) b  † a=/8)b `< `B `C Œ

À `<

#

 œŒ

#

VIRGINIO GOMEZ

2) Suponga que ? œ 0 aB  +>ß C  ,>b ß donde + y , son constantes. Demostrar que:

À À ` A # À † -9=)=/8)  Œ=  -9=# )  #  =/8 ) `B `B `C `C

60


À À `B À `C œ †  † `) `B `) `C `) À À À œ † a  <=/8) b  † a<-9=)b `) `B `C À `) 

#

Œ

#

#

GOMEZ


œ Œ À  #< =/8# ) # À † À -9=)=/8)  Œ À  < #-9=# ) `B `C `C `B #< #

À Œ # Œ < `) 

Œ

À `<

#

 Œ

#

#

œŒ

À À ` A # À † -9=)=/8)  Œ=  =/8# )  #  -9= ) `B `B `C `C

#

#

#

#

#

" À À À # # œ Œ  a-9=# )  =/8# )b Œ Œ  a=/8 )  -9= )b # `B `C < `)



Œ

À `<

#

 Œ 

#

" À À À œŒ Œ  Œ  <# `) `B `C

#

À À Por lo tanto, Œ  Œ `B `C 

#

#

#

À œ Œ À   Œ " # Œ  `< < `)

Ejercicios

VIRGINIO

"

"Ñ Si A œ 0 ÐB  Cß B  CÑtiene derivadas parciales continuas respecto a ? œ B  C ß @ œ B  CÞ Pruebe que

À À À # À # œ Œ  Œ  † `B `C `? `@

#Ñ Si + œ 0 ÐBß CÑ y Demuestre que

, œ 1ÐBß CÑ

à " `, œ `< < `>

y

con B œ < -9= > à C œ < =/8 > `, " `+ œ  `< < `>

Solución "Ñ Se cumple #Ñ Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:

`+ `, `B œ `C

y

`+ `, `C œ  `B

61


VIRGINIO GOMEZ

Derivada direccional La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con respecto a B puede considerarse como la derivada en la dirección B y la derivada parcial con respecto a C puede considerarse como la derivada en la dirección C.

p

Sea D œ 0 aBß Cb una función de dos variables y sea ? œ -9=) 3  =/8) 4 un vector unitario. p Entonces la derivada direccional de 0 en la dirección de ?, denotada por H? 0 aBß Cb es À H? 0 aBß Cb œ

lim 2Ä!

0 aB  2-9=)ß C  2=/8)b  0 aBß Cb 2

p

Si ? œ 3 Ê ) œ ! Ê -9=! œ " H3 0 aBß Cb œ Si

2Ä!

p

H4 0 aBß Cb œ

`B

0 aB  2ß Cb  0 aBß Cb

lim

? œ 4Ê ) œ

à =/8! œ ! y se obtiene À

2

œ

`0

`B

1 1 1 Ê -9= œ ! à =/8 œ " y se obtiene À # # #

lim 2Ä!

0 aBß C  2b  0 aBß Cb 2

œ

`0

`C

`C

si existe el límite

Teorema: Si f ( x, y) y sus derivadas parciales son continuas y r ∝ = cos i + sen j , entonces: D ∝r = f x ( x, y) cos  + f y ( x, y)sen 

62


Ejemplos

0B aBß Cb œ #B  # 0C aBß Cb œ #C  # p

? œ -9=Œ

Ê 0B a  #ß  &b œ  # Ê 0C a  #ß  &b œ  "#

#1

#1 3  =/8Œ 4 $ $

Ê p? œ 

È$ " 3 4 # #

È$ " H? 0 a  #ß  &b œ a     a  "#b # # #bŒ  H? 0 a  #ß  &b œ "  'È$

VIRGINIOGOMEZ

1) Dada la función 0 aBß Cb œ B#  C #  #B  #C, hallar la derivada direccional de en la 0 dirección ) œ #1Î$ en el punto a  #ß  &b

2) Calcular la derivada direccional de 0 aBß Cb œ C # -9=#B en a1Î'ß "b en la dirección de @ œ $3  %4 p

1 # 0BaBß Cb œ  #C # =/8 #B Ê 0B a1Î'ß "b œ  #a"b =/8Š ‹ œ  È$ $ 1 0C aBß Cb œ #C -9= #B Ê 0C a1Î'ß "b œ #a"b -9=Š ‹ œ " $ p m@m œ È*  "' œ &

p

@

$ % p Ê ? œ 3 4 & & m@ m p

%  a"bŒ   & & $È $  % &

H ?$‹ 0 a1Î'ß "b œ Š  È H? 0 a1Î'ß "b œ 

p

ß @ no es unitario, ? œ $

Œ

Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En ‘3 , la dirección de un vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À , ? œ -9=! 3  -9=" 4  -9=# 5 p

? œ -9=! 3  -9=" 4  -9=# 5 un vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de ? está dada por À Concepto À Sea 0 aBß Cß Db una función de tres variables y p

H 0 Bß Cß D œ b ? a límite

lim Db 2Ä!

0 aB  2-9=!ß C  2-9="ß D  2-9=#b  0 aBß Cß 2

si existe el

63


r

∝ = cos 〈 i + cos  j + cos  k , entonces:

Ejemplos À

VIRGINIO GOMEZ

Teorema: Si f ( x, y, z) es una función de tres variables y

1) Dada la función 0 aBß Cß Db œ B#  BC  BD  C #  D # . Encontrar la derivada direccional de p 0 aBß Cß Db en T a  "ß #ß "b en la dirección del vector @ œ #3  4  #5 0B aBß Cß Db œ #B  C  D Ê 0B a  "ß #ß "b œ  " 0C aBß Cß Db œ B  #C

Ê 0C a  "ß #ß "b œ $

0D aBß Cß Db œ  B  #D

Ê 0D a  "ß #ß "b œ  "

p m@ m œ È %  "  % œ $

p

ß @ no es unitario, ? œ

# H? 0 aBß Cß Db œ a  Œ   $ "b a$bŒ



@

# " # p Ê ? œ 3 4 5 $ $ $ m@ m p

" #   a  "bŒ   $ $

H? 0 aBß Cß Db œ  "

2) Hallar la derivada direccional si 0 aBß Cß Db œ /C -9= B  /D =/8 C en T a!ß !ß #b en la dirección p

del vector T U si Ua  #ß "ß #b 0B aBß Cß Db œ  /C =/8B

Ê 0B a!ß !ß #b œ !

0C aBß Cß Db œ /C -9= B  /D -9= C

Ê 0C a!ß !ß #b œ "  /#

0D aBß Cß Db œ /D =/8 C

Ê 0D a!ß !ß #b œ !

Ä

T U œ U  T œ a  #ß "ß #b  a!ß !ß #b œ a  #ß "ß !b p

p p p @ m@m œ È%  "  ! œ È& ß @ no es unitario, ? œ

p # " Ê ? œ  3 4 È È & & m@ m

p

# " H? 0 aBß Cß Db œ a!b    a"  /# b   a!ba!b È& È& H? 0 aBß Cß Db œ

"  /# È &

64


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la dirección o vector. +Ñ 0 aBß Cb œ

C $ ß el punto es a"ß #b y la dirección ! œ 1 BC %

,Ñ 0 aBß Cb œ B #  BC  C # ß el punto es a$ß "b y la dirección ! œ '

&

1

# -Ñ 0 aBß Cb œ C  B-9= ÐBCÑ ß el punto es a!ß !b y la dirección ! œ 1 $ p

.Ñ 0 aBß Cb œ #B #  $BC  C # ß el punto es a"ß  "b y el vector @ œ 3  4 p

/Ñ 0 aBß Cß Db œ BE<->1ÐCDÑ ß el punto es a%ß "ß "b y el vector @ œ Ò#ß  "ß "Ó

0 Ñ 0 aBß Cß Db œ

BC p ß el punto es Ð#ß $ß &Ñ y el vector @ œ 5 D

Ä

1Ñ 0 aBß Cß Db œ 68ÐB #  C  D # Ñ ß el punto es a!ß "ß !b y el vector está en la dirección T U si T a!ß "ß !b y Ua$ß %ß "b

2Ñ 0 aBß Cß Db œ

ÈB  C  D #

#

ß el punto es a"ß "ß "b y el vector está en la dirección EF #

68ÐB  C  DÑ si Ea#ß  "ß "b y Fa"ß !ß #b

Solución +Ñ H ? 0 a"ß #b œ

È#

,Ñ H ? 0 a$ß "b œ

'

.Ñ H ? 0 a"ß  "b œ  # È#

1Ñ H? 0 a!ß "ß !b œ È

$ "*

&  (È $ #

/Ñ H ? 0 a%ß "ß "b œ

È'1

2Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ

"# 68$  " $a68 $b#

Ä

-Ñ H ? 0 a!ß !b œ

È$  " #

' 0 Ñ H ? 0 a#ß $ß &b œ  #&

65


Gradientes 1) De H? 0 aBß Cb œ 0B aBß Cb -9=)  0C aBß Cb =/8) œ Ò0B aBß Cbß 0C aBß CbÓ † Ò -9=)ß =/8) Ó p œ Ò0B aBß Cbß 0C aBß CbÓ † ?

El vector f x ( x, y)i

+ f y ( x, y) j

se conoce como vector gradiente

grad f (x, y) = ∇ f (x, y) = f x ( x, y)i + f y (x, y) j grad f (x, y) = ∇ f (x, y) = f x (x, y)i + f y ( x, y) j

H? 0 aBß Cß Db œ 0B aBß Cß Db -9=!  0C aBß Cß Db -9="  0D aBß Cß Db -9=# œ Ò0B aBß Cß Dbß 0C aBß Cß Dbß 0D aBß Cß Db Ó † Ò -9=!ß -9="ß -9=# Ó p œ Ò0B aBß Cß Dbß 0C aBß Cß Dbß 0D aBß Cß DbÓ † ?

El vector f x ( x, y, z)i

GOMEZ + f y ( x, y, z) j + f z ( x, y, z)k

se conoce como vector gradiente

Asíß

p

H ?0 aBß Cb œ ? † f0 aBß Cb p H? 0 aBß Cß Db œ ? † f0 aBß Cß Db

VIRGINIO

#Ñ De

p

Sea ! la medida en radianes del ángulo formado por los vectores ? y f0 ß entonces p p p ? † f0 œ m?m † mf0 m † -9=! , pero m?m œ " p ? † f0 œ mf0 m † -9=! Si ! œ !ß entonces -9=! œ " alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su p máximo valor cuando ? está en la misma dirección y sentido que f0 Máx D∝r f ( x, y)

= ∇ f ( x, y)

Máx D∝r f ( x, y, z) = ∇ f ( x, y, z)

Si ! œ ")!°ß entonces -9=")!° œ  " alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada p direccional alcanza su mínimo valor ? cuando está en la misma dirección, pero sentido contrario con f0 Mín D ∝r f ( x, y) =

∇ f ( x, y)

Mín D ∝r f ( x, y, z) = z)

− ∇ f ( x, y,

66


VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos À 1) La temperatura en cualquier punto T aBß Cb de una placa rectangular situada en el plano BC es C X aBß Cb œ # B  C# a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ß %b b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto #BC #  C# b

+Ñ XB aBß Cb œ

Ê XB a$ß %b œ

aB#

 aB#  C# b  #C # XC aBß Cb œ aB#  C # # b fX a$ß %b œ ”

#% '#& (

Ê XC a$ß %b œ

'#&

#% ( ß • '#& '#& #

#

#% ( " ,Ñ MáxH X a$ß %b œ mfX a$ß %bm œ ËŒ  Œ œ ? '#& '#& #&

fX a$ß %b -Ñ ? œ œ mfX a$ß %bm p

”

#% ( ß • #% ( '#& '#& œ” ß • " #& #& #&

'! 2) Si Z volts es el potencial eléctrico en cualquier punto T aBß Cß Db en ‘3 y Z œ # ÈB  C#  D # Þ Encontrar À a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a  "ß "ß  en la dirección del vector p "b @ œ $3  '4  #5 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto. '!B '! #! È +Ñ ZB aBß Cß Db œ  Ê ZB a  "ß "ß  "b œ œ $ È # # # $ $ $ ÉaB  C  D $ b aBß  Cß Db œ 

ZD aBß Cß Db œ 

'!C '! $Ê ZC a  "ß "ß  "b œ  $È $ ÉaB#  C#  D # $ b '!D ÉaB# b



C#



D#

'! #! È Ê ZD a  "ß "ß  "b œ œ $ È $ $ $

$

#! fZ a  "ß "ß  "b œ ”  $

È$ß #! È$ß #! È$ • $

#!œÈ ZC $

$

p p p m@m œ È *  $'  % œ ( @ no es unitario, ? œ $ 3  ' 4  # 5

(

(

(

67


##! È H? Z a  "ß "ß  "b $ #" œ

VIRGINIO GOMEZ

#! $ ' # a È #! a È #! a ? Z a  "ß "ß  "b œ HÈ ” $ $ß  $ $ß $ $• † ” ( ß  ( 4 ß ( 5 •

,Ñ MínH? Z a  "ß "ß  "b œ  mfZ a  "ß "ß  "bm œ  #!

Dirección

p

?œ

fZ a  "ß "ß  œ "b  mfZ a  "ß "ß  "bm

”

#!È #! #! $ß  È$ß È$• $ $ $  #!

œ ”

È$ È$ È$ ß  • $ $ $

Ejercicios

"Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß Cb œ B #  -9=ÐBCÑ T Ð"ß 1Î% Ñ ,Ñ 0 aBß Cb œ BÈC  B  C T Ð$ß %Ñ -Ñ 0 aBß Cß Db œ /BC  D T Ð!ß  $ß "Ñ #

#Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto indicado À +Ñ 0 aBß Cb œ B #  BC  C # T a  "ß "b # T a#ß  "ß #b ,Ñ 0 aBß Cß Db œ ÐB  CÑ#  ÐC  DÑ  ÐD  # BÑ $Ñ +Ñ La densidad ÐBß CÑ, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC, es BC HaBß Cb œ = ÈB #  C # Þ $

+Þ"ÑHalle la razón de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la dirección de ! œ &1Î$Þ +Þ#Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese punto. ,Ñ Suponga que la temperatura por À X aBß Cß Db œ B # C  CD  /BC

en

cualquier

punto

aBß Cß Db

está

dada p

,Þ"Ñ Determinar la razón de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la dirección del vector OP donde O es el origen del sistema. ,Þ#Ñ ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?. -Ñ El potencial eléctrico es Z aBß Cb aen voltsb en el plano BC y Z aBß Cb œ $B$ C  %C #  BC p

-Þ"Ñ Determine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD con G a#ß "bà Ha'ß #b en el punto a  "ß  %bÞ -Þ#Ñ Obtener el vector gradiente en este mismo punto. -Þ$Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en a  "ß  %bÞ -Þ%Ñ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a  "ß  %b . Con ese vector calcule la derivada direccional en el mismo punto.

68


Solución

+Ñ f0 a"ß 1Î%b œ # 

È#1 )

ß

È#

# 

GOMEZ

"Ñ

MáxH ? 0 a"ß 1Î%b œ

È# † É1#  "'È#1  "%%

( ,Ñ  f0 a$ß %b œ Œ"ß %

MáxH ? 0 a$ß %b œ

-Ñ f0 a!ß  $ß "b œ a  $ß !ß #b

MáxH? 0 a!ß  $ß "b œ È"$

#Ñ

È'& %

+Ñ f0 a  "ß "b œ a  "ß "b

MínH? 0 a  "ß "b œ  È#

,Ñ f0 a#ß  "ß #b œ a"!ß %ß "! b

MínH? 0 a#ß  "ß #b œ  'È'

$Ñ ")  (È$ '%

+Þ#Ñ MáxH ? 0 a#ß $b œ

,Þ"Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ

È$($ $#

") ( p ?œ = ß È$($ È$($ 

&È$  #È$/ $

+Þ#Ñ MínH? 0 a#ß $b œ  È#/#  )/  * p

?œ *

/# È#/#

/ # " ß ß  # # È#/  )/  *   )/  È#/  )/  *

-Þ"Ñ H? 0 a  "ß  %b œ 

"'#È"( "(

-Þ#Ñ fZ a  "ß  %b œ a  $#ß  $%b -Þ$Ñ MáxH ? 0 a#ß $b œ #È&%&

"' "( p ? œ  = ß  È&%& È&%& 

-Þ%Ñ los vectores unitarios ortogonales al gradiente son "( "' È ß  È  &%& &%&

VIRGINIO

+Þ"Ñ H? 0 a#ß $b œ

"( "'  È ß È  &%& &%&

)

El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.

69


VIRGINIO GOMEZ

Derivadas Parciales de orden superior `0 `0 son funciones y `B `C también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de segundo orden que se definen como: Si 0 es una función de dos variables, es decir, D œ 0 aBß Cb, entonces

+Ñ

` a0B b `B

,Ñ

` a0C b `C

-Ñ

` a0B b `C

.Ñ

` a0C b `B

# œ lim 0B aB  2ß Cb  0B aBß œ 0BB œ ` 0 Cb 2 ` B# 2Ä!

0 aBß C  2b  0C aBß ` #0 œ lim C œ 0 œ CC Cb 2 ` C# 2Ä! # œ lim 0B aBß C  2b  0B aBß œ 0BC œ ` 0 Cb 2 ` C` B 2Ä!

0C aB  2ß Cb  0C aBß ` #0 œ 0CB œ Cb 2 ` B` C 2Ä!

œ lim

Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos: Dada la función, obtener 0BB ß 0CC ß 0BC "Ñ 0 aBß Cb œ #B$  $B# C  BC#  $C # #

0B œ 'B  'BC  C

#

0BB œ "#B  'C 0BC œ  'B  #C #Ñ 0 aBß Cb œ /BC a-9=B  =/8Cb 0B œ C/BC a-9=B  =/8Cb  /BC † =/8B 0C œ B/BC a-9=B  =/8Cb  /BC † -9=C

0C œ  $B#  #BC  'C 0CC œ #B  '

0BB œ C# /BC a-9=B  =/8Cb  C/BC † =/8B  C/BC † =/8B  /BC † -9=B 0CC œ B# /BC a-9=B  =/8Cb  B/BC † -9=C  B/ BC † -9=C  /BC † =/8C

0BC œ /BC a-9=B  =/8Cb  BC/BC a-9=B  =/8Cb  C/BC † -9=C  B/ BC † =/8B Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables `0 `0 `0 Sea A œ 0 aBß Cß Db una función de tres variables con , y funciones también de tres `B `C `D variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:

70


` a0B b

# œ lim 0B aB  2ß Cß Db  0B aBß Cß œ 0BB œ ` 0 Db 2 ` B# 2Ä!

`B ` a0C b

,Ñ

0 aBß C  2ß Db  0C aBß Cß ` #0 œ lim C œ 0 œ CC Db 2 ` C# 2Ä!

`C ` a0D b

-Ñ

# œ lim 0D aBß Cß D  2b  0D aBß Cß œ 0DD œ ` 0 Db 2 ` D# 2Ä!

`D ` a0B b

.Ñ

# œ lim 0B aBß C  2ß Db  0B aBß Cß œ 0BC œ ` 0 Db 2 ` C` B 2Ä!

`C ` a0B b

/Ñ

# œ lim 0B aBß Cß D  2b  0B aBß Cß œ 0BD œ ` 0 Db 2 ` D` B 2Ä!

`D ` a0C b

0Ñ

0C aB  2ß Cß Db  0C aBß Cß ` #0 œ 0CB œ Db 2 ` B` C 2Ä!

œ lim

`B ` a0C b

1Ñ

0C aBß Cß D  2b  0C aBß Cß ` #0 œ 0CD œ Db 2 ` D` C 2Ä!

œ lim

`D 2Ñ œ

3Ñ

` a0D b `B

` a0D b `C

0D aB  2ß Cß Db  0D aBß Cß ` #0 œ 0DB œ Db 2 ` B` D 2Ä! lim

# œ lim 0D aBß C  2ß Db  0D aBß Cß œ 0DC œ ` 0 Db 2 ` C` D 2Ä!

VIRGINIO GOMEZ

+Ñ

Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB ß 0BD œ 0DB ß 0CD œ 0DC . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas. Ejemplos

Para las siguientes funciones, determinar 0BB ß 0CC ß 0DD ß 0BC ß 0BD ß 0CD "Ñ 0 aBß Cß Db œ B$  $B# C  C $  $C # D  D #  BD #  C D 0B œ $B#  'BC  D #

0C œ $B#  $C #  'CD  D

0D œ  $C #  #D  #BD C 0BB œ 'B  'C

0CC œ 'C  'D

0DD œ #  #B

0BC œ 'B

0BD œ #D

0CD œ  'C  "

71


0B œ /B † -9=D  /C † -9=B

0C œ /C † =/8B  / D † =/- # C

0D œ  /B † =/8D  /D † >1 C 0BB œ /B † -9=D  /C =/8B

0CC œ /C † =/8B  #/D † =/- # C † >1 C

0DD œ  /B † -9=D  /D † >1 C

0BC œ /C † -9=B

0BD œ  /B † =/8D

0CD œ /D † =/- # C

Ejercicios

1) En ‘# la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0  # œ! `B# `C Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación +Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68ÐB#  C # Ñ C B ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<->1 Š ‹  # # B B C -Ñ 0 ÐBß CÑ œ /B † =/8 C  /C † =/8 B .Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<>1

Œ

VIRGINIO GOMEZ

#Ñ 0 aBß Cß Db œ /B † -9=D  /C † =/8B  /D † >1 C

#BC B#  C # 

2) En ‘$ la ecuación de Laplace es À ` #0 ` #0 ` #0  # #œ! `B# `C `D Demuestre que la función 0 ÐBß Cß DÑ œ

" cumple con esta ecuación. È B#  C #  D#

Solución

Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en ‘# como en ‘3 .

72


Conceptos:

VIRGINIO GOMEZ

Máximos y mínimos para funciones de varias variables

1) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de máximo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb Ÿ 0 aB! ß C! b

#) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b] es un punto de mínimo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb

0 aB! ß C! b

$) Si D œ 0 aBß Cb es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb si, y sólo si f0 a+ß ,b œ Ò !ß ! Ó %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un máximo relativo de 0 aBß Cb si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß Cb Ÿ 0 a+ß ,b &Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un mínimo relativo de 0 aBß Cb si a aBß Cb − H970 aBß Cb ß 0 aBß 0 a+ß ,b Cb %Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico de 0 aBß Cb, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto de silla de 0 aBß Cb si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] no es máximo ni mínimo.

Hessiano de una función de dos variables

Sea D œ 0 aBß Cb una función de dos variables, se define el Hessiano como: L aBß Cb œ Œ

0BB 0CB

0BC 0CC 

Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab Si [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto crítico, entonces: 1) [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un mínimo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si ¸L a+ß ,b¸  ! • 0BB a+ß ,b  !

73


¸L a+ß ,b¸  ! • 0BB a+ß ,b  ! $Ñ [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un punto de silla de 0 aBß Cb si, y sólo si ¸L a+ß ,b¸  ! %Ñ No hay información si ¸L a+ß ,b¸ œ !

Ejemplos: Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones: "Ñ 0 aBß Cb œ &  B#  C # 0B œ  #B

0C œ  #C Ê  #B œ ! Ê  #C œ !

0B œ ! 0C œ !

ÊBœ! Ê Cœ!

Así, a!ß !ß &b es el punto crítico de 0 aBß Cb 0BB œ  #

0CC œ  #

0BC œ !

# ! # ! L aBß Cb œ Œ Ê L a!ß !b œ Œ !  # !  # ¸L a!ß !b¸ œ %  ! • 0BB a!ß !b œ  #  ! Por lo tanto, a!ß !ß &b es un máximo relativo de 0 aBß Cb #Ñ 0 aBß Cb œ #B$  C$  $B#  $C  "#B  % 0B œ 'B#  'B  "#

0C œ $C #  $

VIRGINIO GOMEZ

2) [+ß ,ß 0 a+ß ,b] es un máximo relativo de 0 aBß Cb si, y sólo si

Ê 'B#  'B  "# œ ! Ê B" œ " • B # œ  # # Ê $C  $ œ ! Ê C" œ " • C# œ  "

0B œ ! 0C œ !

Así, a"ß "ß  "$b à a"ß  "ß  *b à a  #ß "ß "%b à a  #ß  "ß ")b son puntos críticos de 0 aBß Cb 0BB œ "#B  ' L aBß Cb œ Œ

0CC œ 'C

0BC œ !

"#B  ' ! ! 'C 

a"ß "b œ Œ ") ! 

!L '

Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!)  ! • 0BB a"ß "b œ ")  !

74


Por lo tanto, a"ß "ß  "$b es un mínimo relativo de 0 aBß Cb !L '

Ê ¸L a"ß  "b¸ œ  "!)  !

Por lo tanto, a"ß  "ß  *b es un punto de silla de 0 aBß Cb a  #ß "b œ Œ  ") ! L ! ' 

Ê ¸L a"ß "b¸ œ  "!)  !

Por lo tanto, a  #ß "ß "%b es un punto de silla de 0 aBß Cb L a  #ß  "b œ Œ ") !  ! ' ¸L a"ß "b¸ œ "!)  ! • 0BB a"ß "b œ  ")  ! Por lo tanto, a  #ß  "ß ")b es un máximo relativo de 0 aBß Cb $Ñ 0 aBß Cb œ -9= B  =/8 C

en el intervalo Ò !ß #1Ó

0B œ  =/8B

VIRGINIO GOMEZ

a"ß  "b œ Œ ") ! 

0C œ -9=C

0B œ ! B#

Ê  =/8B œ ! Ê B" œ ! à

0C œ !

Ê -9=C œ !

œ 1 • B$ œ #1 1 $1 • C# œ # #

Ê C" œ

1 $1 1 $1 1 $1 ß #‹ à Œ!ß ß !à Š1ß ß !‹ àŒ 1ß ß  # à Š#1 ß ß #‹ à Œ#1 ß ß !  son puntos # # # # # # críticos de 0 aBß Cb Así, Š!ß

0BB œ  -9=B L aBß Cb œ Œ

0CC œ  =/8C

 -9=B !

1 " L Š!ß ‹ œ Œ ! # Por lo tanto, Š!ß $1 Œ L !ß

#



Œ

œ

Por lo tanto, Œ!ß L Š1ß 1# ‹ œ Œ"!

0BC œ !

!   =/8C !

 "

Ê ¸L a"ß "b¸ œ #  ! • 0

1 ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß Cb # " ! !

"



¸ Œ Ê L !ß

$1 #

1 Š!ß ‹ œ  "  ! #

BB

¸

œ " !

$1 ß !es un punto de silla de 0 aBß Cb # 1 ! "  Ê ¸L Š1ß ‹¸ œ  "  !  #

1 ß !‹ es un punto de silla de 0 aBß Cb # $1 $1 " ! L Œ1ß # œ Œ ! "  Ê ¸L Œ1ß # ¸ œ "  ! • 0 Por lo tanto, Š1ß

BB Œ1ß

$1 # œ "  !

75


Por lo tanto, Œ1ß

$1 ß  # es un mínimo relativo de 0 aBß Cb #

Š#1ß ‹1 œ Œ #

"  !

¸L Š#1ß

1 1 ‹¸ œ "  ! • BB 0 Š#1ß ‹ œ  "  ! # #

Por lo tanto, Š#1ß $1 Œ L #1ß

!L "

#



Œ

1 ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß Cb # " ! !

"



œ

Por lo tanto, Œ#1ß

¸ Œ

$1 #

Ê L #1ß

¸

VIRGINIO GOMEZ


œ " !

$1 ß !es un punto de silla de 0 aBß Cb # Ejercicios

1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À +Ñ 0 ÐBß CÑ œ #B  %C  B#  C #  $ ,Ñ 0 ÐBß CÑ œ ÐB  CÑÐB  CÑ -Ñ 0 ÐBß CÑ œ %BC  B%  C % .Ñ 0 aBß Cb œ B#  BC  C #  #B  #C  %

2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercancía A, C unidades de la mercancía B. Si T aBß Cb es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aBß Cb œ $$B  ''C  BC  B #  $C # Þ ¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima utilidad diaria? Solución "Ñ +Ñ a"ß #ß #b es un máximo relativo de 0 aBß Cb ,Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß Cb

-Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß Cb a"ß "ß #bà a  "ß  "ß #b son máximos relativos 0 aBß Cb y de .Ñ a  #ß  #ß  )b es un mínimo relativo de 0 aBß Cb

#Ñ Deben fabricarse #% unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para maximizar la utilidad diaria.

76


VIRGINIO GOMEZ

Multiplicadores de Lagrange

Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo método se denomina Multiplicadores de Lagrange Sea 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b una función de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos con la condición adicional 1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b œ ! . Para determinar los puntos críticos se forma una nueva función auxiliar J aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 ß -b œ 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b  -1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b

Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el mínimo buscado y si el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el máximo buscado. Ejemplos:

1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura.

0 a+ß 6ß 2b œ +6  #+2  #62 Z œ +62 Ê 1a+ß 6ß 2b œ +62  Z J a+ß 6ß 2ß -b œ +6  #+2  #62  -a+62  Z b J+ œ 6  #2  -62

Ê J+ œ !

Ê - œ

 J6 œ +  #2  -+2

Ê J6 œ !

Ê - œ



6  #2 62 +  #2 +2 #+  #6 +6

J2 œ #+  #6  -+6 

Ê J2 œ !

Ê - œ

J- œ +62  Z

Ê J- œ !

Ê +62 œ Z

a"b y a$b 

6  #2 #+  #6 # œ  Ê +6#  #+62 œ #+62  #6 2 62 +6 # # Ê +6 œ #6 2 Ê + œ #2

77

a"b a#b a$b

a%b

a&b




+  #2 #+  #6 œ  Ê +# 6  #+62 œ #+# 2  #+62 +2 +6 Ê +# 6 œ #+# 2 Ê 6 œ #2

VIRGINIO GOMEZ

a#b y a$b

a'b

a&b y a'b +œ6

a(b

a%b ß a&b ß a'b y a(b + +62 œ Z Ê a+ba+bŠ ‹ œ Z #$ + Ê œZ # Ê +$ œ #Z È $ $ Ê + œ È #Z , 6 œ È #Z ß 2 $œ #

Luego, las dimensiones de la caja son base È #Z ÒudlÓ y altura $

#Z

È$ [udl]. #Z #

2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción #B#  C#  $D # œ #()% . Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad. 0 aBß Cß Db œ #!!B  $!!C  &!!D 1aBß Cß Db œ #B#  C#  $D #  #()% J aBß Cß Dß -b œ #!!B  $!!C  &!!D  -a#B#  C #  $D #  #()%b Ê - œ 

J œ #!!  %BB

Ê J œ!

J œ $!!  #CC

Ê  JC œ !

Ê - œ

J œ &!!  'DD

Ê J œ!  D

Ê - œ

B

J- œ #B#  C#  $D #  #()% %

B

Ê J- œ !

a"b y a#b &! "&!  $BœB  Ê C &!C œ "&!B Ê C œ a"b y a$b

&!

"&! C #&! $D

a"b

a#b

a$b

Ê - œ #B#  C #  $D # œ #()

a&b

a%b

78


&!

œB $ B

#&!

Ê $D "&!D œ #&!B Ê D œ

&

a'b

a%b à a&b y a'b # #B#  C#  $D œ #()% Ê #B#  *B#  Œ $

#& B # œ #()% *

Ê &)B# œ ) $&# Ê B# œ "% % Ê B œ "# , C œ $' ß D œ #!

VIRGINIO GOMEZ



Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12 unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C. 3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia B#  C# œ " . Si X grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X œ #B#  C#  C , encuentre los puntos más calientes y los puntos más fríos en el disco 0 aBß Cb œ #B#  C #  C 1aBß Cb œ B#  C #  " J aBß Cß -b œ #B#  C #  C  -aB#  C #  "b JB œ %B  #B-

Ê - œ #

Ê JB œ !

J œ #C  "  #CC

Ê J œ!

J - œ B#  C #  " "

Ê J- œ !

C

Ê - œ

ß BÁ ! "  #C

ßC Á !

#C Ê B#  C # œ

a"b y a#b #œ

"  #C #C

Ê  %C œ "  #C

Ê Cœ 

" Ê B#  œ " %

È$

a$b y a%b B#  C # œ "

Ê B" œ

a"b

a$b

" #

È$ ß B# œ  # #

Si B œ !ß entonces en B#  C # œ " , C# œ " Ê C" œ " ß C# œ  " Si C œ !ß entonces en B#  C # œ " , B# œ " Ê B" œ " ß B# œ  " Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son: È$ "  # ß  #

È$

Ê X

#

ß

" * œ # %

È$ È$ " " * ß  Ê X  ß  œ  # # # % #

a#b

a%b

79


Ê X a!ß "b œ !

a!ß  "b Ê X a!ß "b œ # a"ß !b

Ê X a!ß "b œ #

VIRGINIO GOMEZ

a!ß "b

a  "ß !b Ê X a!ß "b œ # È$ È$ " " Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son  ß  y el punto más ß  , # # # #  frío del disco es a!ß "bÞ

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À 1Ñ Hallar los valores extremos de 0 aBß Cb œ BC sujetos a la restricción 1aBß Cb œ B#  C #  "! 2Ñ El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su máximo volumen posible. 3Ñ Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicas en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible. 4Ñ Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la Fábrica A produce B unidades, la fábrica B produce C unidades y la fábrica C produce D unidades, sus respectivos costos de producción son $B#  #!! dólares, C#  %!! dólares, #D #  #!! dólares. Si se va a surtir un pedido de "Þ"!! unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de producción total. 5Ñ Si se gastan B miles de dólares en trabajo e C miles de dólares en equipamiento, la producción de una cierta fábrica será T ÐBß CÑ œ '! B"Î$ C #Î$ unidades. Si hay "#!Þ!!! dólares disponibles, ¿cómo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?. 6Ñ Hállese los puntos sobre la esfera B#  C#  D # œ donde 0 aBß Cß Db œ B  #C  #& $D sus valores máximos y mínimos

tiene

7Ñ Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. Determine el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.

80


Solución

"Ñ Los puntos máximos son ŠÈ&ß È&‹à Š  È&ß  È&‹ Š  È&ß È&‹à ŠÈ&ß  È&‹

VIRGINIO GOMEZ


y los puntos mínimos son

#Ñ Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja rectangular es 108 pies3 .

$Ñ La altura 2 de cada uno de los conos es #È& unidades y la altura L del cilindro es Z % È  & unidades . #&1 $ %Ñ Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total. &Ñ Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la mayor producción posible.

'Ñ El

punto

máximo

es

&È"% "!È"% "&È"%  "% ß "% ß "% 

&È"% "!È"% "&È"%   "% ß  "% ß  "% .

(Ñ El problema no tiene solución.

81

y

el

punto

mínimo

es


VIRGINIO GOMEZ

Gráficos en ‘3 Si D œ 0 aBß Cb es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto de ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada. La gráfica de una ecuación en ‘3 se denomina superficie . 1) Plano

Su ecuación general es +B  ,C  -D  . œ ! donde [ +ß ,ß - ] es el vector normal al plano. Es posible encontrar varios tipos de planos

a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B  ,C  -D  . œ !b

En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.

Ejemplo: Graficar #B  $C  %D  "# œ !  eje X C œ D œ ! Ê B œ '  eje Y

BœDœ!ÊCœ%

 eje Z

BœCœ!ÊDœ$

82


VIRGINIO GOMEZ

b) El plano pasa por el origen a+B  ,C  -D œ !b En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B œ ! à C œ ! y luego se trazan paralelas a las dos rectas encontradas. Ejemplo: Graficar &B  $C  "&D œ ! B œ ! Ê $C  "&D œ ! Ê C œ &D Cœ!

Ê &B  "&D œ !

Ê B œ $D

c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados

Si es paralelo al eje Xß entonces su ecuación es ,C  -D  . œ ! Ejemplo: Graficar &C  #D  "! œ !

Si es paralelo al eje Yß entonces su ecuación es +B  -D  . œ !

83


VIRGINIO GOMEZ

Ejemplo: Graficar $B  #D  "# œ !

Si es paralelo al eje Zß entonces su ecuación es +B  ,C  . œ ! Ejemplo: Graficar *B  #C  ") œ !

d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados Si es paralelo al plano YZß entonces su ecuación es +B  . œ !

84


Si es paralelo al plano XZß entonces su ecuación es ,C  . œ ! Ejemplo: Graficar C œ #

Si es paralelo al plano XYß entonces su ecuación es -D  . œ !

85

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplo: Graficar B œ #


2) Esfera

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplo: Graficar D œ #

a) Si el centro es G a!ß !ß !b y su radio < , entonces su ecuación es B#  C#  D # œ <#

b) Si el centro es G a2 ß 5ß 6b y # # # aB  2b  aC  5b  aD  6b œ # <

86

su

radio

<

,

entonces

su

ecuación

es


GOMEZ VIRGINIO

3) Cilindro

a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es

B#

+#



C# œ" ,#

Si + œ , , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del cilindro es una elipse.

b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es

87

B#

+#



D# œ" -#


VIRGINIO GOMEZ


Si + œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del cilindro es una elipse.

c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es

C#

,#



D# œ" -#

Si , œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del cilindro es una elipse.

88


4) Cono B # C# D#  # œ # # + , -

VIRGINIO OMEZ


G

Si + œ , , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del cono es una elipse.


B # D# C#  # œ # # + ,

Si + œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del cono es una elipse.

89


C # D# B#  # œ # # , +

VIRGINIO GOMEZ


Si , œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del cono es una elipse. 5) Paraboloide Elíptico


B#

+#



C# œ# ,#

Si + œ , , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del paraboloide es una elipse.

90


B# +

 #

D# œ #,C -#

VIRGINIO GOMEZ


Si + œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del paraboloide es una elipse.


C# ,#



D# œ #+B -#

Si , œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del paraboloide es una elipse.

91


VIRGINIO GOMEZ

Integrales Dobles

Concepto de integral doble

Sea D œ 0 aBß Cb una función de dos variables continua tal que 0 aBß ! a aBß Cb − V , V Cb una región del plano BC. V es el dominio de 0 aBß Cb. Se determinará cómo calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficie D œ 0 aBß Cb. Para ello se realiza el siguiente proceso: Se subdivide la región V en 8 rectángulos no necesariamente iguales, se enumeran los 8 rectángulos desde <" a <8 . Cada rectángulo tiene área E3 con 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8

92


E3 œ ˜ B3 † ˜ C3 8 El área aproximada de la región V será E µ " ˜ B3 † ˜ C3 3œ" Se elige un punto cualquiera en cada rectángulo a!3 ß "3 b a!3 ß "3 b. Con esto se forma un paralelepípedo

VIRGINIO GOMEZ


y se determina su imagen 0

Su volumen es Z3 œ ˜ B3 † ˜ C3 † 0 a!3 ß "3 b

8 Luego, el volumen aproximado total será Z µ " 0 a!3 ß "3 b † ˜ B3 † ˜ C3 3œ"

Pero a medida que los rectángulos son cada vez más pequeños se está aproximando al valor real de Z Así, Z œ

8 lim " 0 a!3ß "3 b† ˜ B3 † ˜ 3 C œ ( ( 0 aBß Cb .E 8Ä_ V 3œ"

donde .E œ .C .B o .E œ .B .C

93


"Ñ

VIRGINIO GOMEZ

Integrales Iteradas

Si C œ 0 aBb e C œ 1aBb son continuas en el intervalo Ò +ß , Ó, entonces ( V

B œ , C œ 1aBb 0 aBß Cb .C .B ( 0 aBß Cb .E œ ( ( B œ + C œ 0 aBb

#Ñ

Si B œ 0 aCb y B œ 1aCb son continuas en el intervalo Ò -ß . Ó, entonces ( V

C œ . B œ 1aCb 0 aBß Cb .B .C ( 0 aBß Cb .E œ ( ( C œ - B œ 0 aCb

94


1) ( ( 5 0 aBß Cb .E œ 5 ( ( 0 aBß Cb .E V V

VIRGINIO GOMEZ

Propiedades de las integrales dobles 5 es constante.

2) Si 0 aBß Cb y 1aBß Cb son integrables en V , entonces

( ( Ò0 aBß Cb „ 1aBß CbÓ .E œ ( ( 0 aBß Cb .E „ ( ( 1aBß Cb .E V V V $Ñ Si V œ V"  V# y 0 aBß Cb es continua en V , entonces ( ( 0 aBß Cb .E œ ( ( 0 aBß Cb .E  ( ( 0 aBß Cb .E V V" V# %Ñ Si los límites de integración son todos constantes, entonces À , (

+

. (

-

0 aBß Cb .C .B œ (

.

, ( 0 aBß Cb .B .C - +

B varía en el intervalo Ò +ß , Ó e C varía en el intervalo Ò -ß . Ó Ejemplos À #

#

"

!

#

#

$

ˆ

( ( "Ñ

#

# %

‰

# #

="

"=

#

#

º  % # B C  B C  C  BC " .B

( 

B  #B C  C  BC .C .B œ!

# " " œ ( Œ#B#  %B#  %  #B # B # B   B .B % # ! #

œ(

Œ'B # 

!

='

œ

œ

1

#Ñ (

!

1Î#

(

!

#

$

B 

$

=/8 B -9= C .C .B œ ( ( !

œ

œ

=$

=

# #

"& B B % % ! º

#$ #

1

#

"& $  B.B % #

1Î# !

=/8 # BŒ

"  -9=#C .C .B #

" 1 # =/8 #C 1Î# ( =/8 B C  .B º  # # ! ! 1

="(

#

#

0 1

=/8 # B .B

"  -9= #B œ ( Œ .B % ! # 1

95


1

$Ñ (

B

B .C .B 

( "

C # B#  C# œ B# Œ"  Š ‹  B

B#

!

C#

C

GOMEZ

1# )

œ

È$

1

ŒB  =/8 #B º  ) # !

œ

œ >1 ! Ê C œ B >1 ! Ê .C œ B =/- # ! .! B C œ ! Ê >1 ! œ ! Ê ! œ! 1 C œ B Ê >1 ! œ " Ê ! œ % È$

(

B

( "

!

È$ 1Î% B B# =/- # ! .! ( ( .C .B œ .B B#  B# a"  >1# !b " !

C# È$

œ(

"

1Î%

! º

.B

! È$

œ

1 ( % "

œ

1 Bº % "

œ

1 È Š $  "‹ %

.B È$

Ejercicios Resuelva À È# +Ñ(

(

"

,Ñ (

B

% "

#

ÈC #

"

= ÈC

/

.C .B

B C ( # Ê .C .B B B

1 -9=) -Ñ ( ( 3 =/8) .3 .) !

!

# B

.Ñ ( ( "

B# 

B .C .B

#B#  #

VIRGINIO

96


1Î%

/Ñ (

!

!

+Ñ(

"

% "

-Ñ (

1

!

3$ -9=# ) .3 .)

B# / BC.C .B

!

È#

,Ñ (

>1) =/-)

B

$

0 Ñ( (

(

Solución

(

B# #

" = / ÈC

È ÈC .C .B œ / # Š%  #È#‹  #/

B C %!$ ( # Ê .C .B œ  B #" B

(

-9=)

3 =/8) .3 .) œ

!

!

" $

# B#  B * .Ñ ( ( B .C .B œ # % " #B  #

/Ñ (

1Î%

$ !

>1) =/-)

3$ -9=# ) .3 .) œ

!

!

0 Ñ(

(

" #!

B /* ( B# / BC.C .B œ & # !

97

VIRGINIO GOMEZ



1) Cálculo de áreas en el plano ‘2 En ( plano.

V

( 0 aBß Cb .E si 0 aBß Cb œ " , entonces (

V

(

.E representa el área de regiones del

Así, E œ(

+œ ,

C œ 1aBb C œ . B œ 1aCb .C .B œ ( .B .C ( ( B œ + C œ 0 aBb C œ - B œ 0 aCb

Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ

Aplicaciones de la integral doble

1) Hallar el área de la región V situada bajo la parábola C œ %B  B# ß sobre el eje X y sobre la recta C œ  $B  ' Intersección de las curvas

%B  %B# œ  $B  ' ! œ B#  (B  ' ! œ aB  "baB  'b B" œ "ß C" œ $ B# œ 'ß C# œ  "# ano es solución, por condiciones del problemab C œ %B  B# Cœ!

Ê %B  B# œ ! Ê B" œ !ß B# œ %

C œ  $B  ' Cœ! Ê  $B  ' œ !

%BB#

#

E œ( ( $B'

" #

E œ ( Cº "

%

.C .B  ( ( #

%BB# $B '

%BB#

.C .B

!

%BB#

%

.B  ( C º #

Ê Bœ #

.B !

98

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas %

"

#

Eœ 

B$ $



(B#

#

%

%B# B$  'Bº   º # # $ # "

"' E œ "$ '  $ "& [u. de a.] #

Eœ

Por otro lado, C œ %B  B# B#  %B  C œ !

C œ  $B  ' $B œ '  C

È B œ % „ #"'  %C Bœ

B œ #  C$

% „ È%a%  Cb #

B œ # „ È%  C

#È%C

$

E œ( ( !

# $C

%

.B .C  ( ( $

#È%C

#È%C

.B .C

VIRGINIO GOMEZ

#

E œ ( ˆ  B#  (B  '‰.B  ˆ%B  B# ‰ .B (

Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener al integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto, #È%C

$

( ( !

#$C

%

#È%C

.B .C  ( ( $

#È%C

.B .C œ

"& [u. de a.] #

99


Intersección de las curvas

VIRGINIO GOMEZ

2) Determinar el área limitada por C œ B$ e C œ B#

B$ œ B# Ê B$  B# œ ! Ê B# aB  "b œ ! Ê B" œ !ß C" œ ! à B# œ "ß C# œ "

B#

"

E œ( ( !

.C .B

B$

B#

"

E œ ( C º .B !

B$

"

# $ E œ ( ˆB  B ‰.B !

Eœ

Eœ

B$

% "

B º $ % !

" [u. de a] "#

Por otro lado, C œ B$ Ê È$ C œ B È$ C

"

E œ( ( !

ÈC

.B .C œ

C œ B# Ê ÈC œ B " [u. de a] "#

100


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje \ y respecto al eje ] . Plantee ambas integrales, pero resuelva sólo una de ellas. +Ñ B œ C #

à

B œ #C  C #

,Ñ C œ =/8 B

à

C œ -9= B

-Ñ B œ C  C #

à

BCœ !

.Ñ B# œ %C

à

)C œ B#  "'

/Ñ B#  C # œ "' à

C œ È'B

;

à

Cœ!

Solución ÈB

"

+Ñ E œ ( ( ! B

"È"

"

#CC#

E œ( ( !

Eœ

.B .C

C#

" [ u.de a.] $ 1Î%

,Ñ E œ (

!

-9= B

(

=/8 B

È#Î#

E œ(

.C .B

!

.C .B

E<- =/8 C

(

!

.B .C  (

"

E<- -9= C

.B .C

(

È#Î# !

E œ È#  "[ u.de a.]

101

Bœ!


#

-Ñ E œ ( ( #

.C .B

% [ u.de a.] $

%

.Ñ E œ #( ( !

#

B# "' )

B# %

#ÈC

E œ #( ( !

!

.C .B

.B .C  #( (

#È#ÈC#

%

.B .C

#

#ÈC

$# [ u.de a.] $

#

È'B

/Ñ E œ ( ( !

!

#È$

E œ(

!

Eœ

"È"%B #

!

.B .C

C

!

Eœ

#

(

CC#

#

E œ( (

Eœ

.C .B  (

B

"È"%B

"Î%

%

.C .B  ( ( #

È"'C

(

#

.B .C

C# '

)1  #È$ [ u.de a.] $

!

È"'B #

.C .B

VIRGINIO GOMEZ

"È"%B

!

102


Ejemplos

VIRGINIO GOMEZ

2) Conocida una región V del plano BC, determinar el valor de una cierta integral doble

È ( B .E donde V es la región del plano limitada por C œ #&  B# ß en V el primer cuadrante; $B  %C œ ! e C œ ! 1) Obtener el valor de (

Intersección de las curvas È#&  B# œ $ B % * # # #&  B œ B "'

È#&  B# œ ! $B  %C œ !ß C œ ! #&  B# œ !

%!!  "'B# œ *B# %!! œ #&B# "' œ B# %œBß C œ $

$B œ !

#& œ B# & œ Bß C œ !

Bœ! ßC œ!

Si .E œ .C .B

%

( B .E

(

$ %

œ( (

V

!

B

!

&

œ ( BC º .B  ( BC º !

!

%

(

=$

#

%

%

&

(

B .B 

œ

B .C .B

%

$ %B

%

È#&B#

&

B .C .B  ( (

!

! È#&B#

.B !

È B #&  B# .B

%

.? ? œ #&  B# Ê .? œ  #B .B Ê  œ B .B # B œ % Ê ? œ *ß B œ & Ê ? œ ! %

(

V

( B .E

œ

$ B$ " ! " †  ( ? # .? º % $ ! # *

œ "' 

!

" # $ † ?#º # $ *

œ "'  *

œ #&

103


$

(

V

( B .E

œ( ( ! $

œ( !

È#&C#

B .B .C

% $C

È

#

B# #&C º .C # $ C%

œ

" $ "' ( Œ#&  C# = C #.C # ! *

œ

" $ #& # ( Œ#&  = C  .C # ! * $

" #& C$ œ Œ#&C  † º # * $ ! œ

" a(&  #&b #

œ #&

VIRGINIO GOMEZ

Si .E œ .B .C

Por lo tanto, si se usa el operador .E œ .C .B o .E œ .B .C para un mismo ejercicio el resultado de la integral es el mismo

104


VIRGINIO GOMEZ

2) Determine el valor de ( ( B C# .E donde V es la región del plano limitada por B œ " à B œ # V à C œ " à C œ $B  " ÞPlantee ambas integrales, pero calcule sólo una de ellas. Para .E œ .C .B

#

(

V

# ( B C .E œ ( ( "

$B" #

BC .C .B

"

Para .E œ .B .C

105


V

#

&

# # ( B C .E œ ( ( BC .B .C  ( ( "

"

#

#

BC # .B .C

C" $

Resolviendo (

V

# ( B C .E

$B"

#

BC # .C .B

œ( ( "

"

#

œ( B "

C$ º $ "

$B"

.B

#

# œ ( Œ*B%  *B$  $B  .B $ "

#

*B& *B% $B# # œ    Bº & % # $ " œ &'" #!

Ejercicios

Determine el valor de (

V

( 0 ÐBß CÑ .EÞ Considere .E œ .C .B ß

integral que usted estime más conveniente.

+Ñ (

,Ñ (

-Ñ (

V

V

V

(

C .E "  B#

# # ( BC /ÐB  C Ñ .E

(

B = .E ÈB#  C#

VIRGINIO GOMEZ

#

(

V ÀCœ!

à C œ ÈB

V À B#  C # œ + #

VÀ"ŸBŸ#

106

.E œ .B .C y resuelva la

à

àB œ %

"ŸCŸB


Solución

(

V # B (

V

(

(

.E œ ( (

"

!

C

#

.E œ ( (

"

!

B# (

V

,Ñ (

( (

V V

-Ñ (

(

(

(

V

!

% C#

C .C .B "  B#

C .B .C "  B#

C 68Ð"(Ñ .E œ # % " B

( BC /

( BC /

(

# ÐB

# ÐB

( BC /

V

ÈB

%

C

+

#

C Ñ

.E

œ %( +

#

 C Ñ .E œ % ( ( !

# ÐB

 #C Ñ

!

(

È+# C#

.E œ "  /

# +

#

#

BC /ÐB  C Ñ .C .B

!

# # BC /ÐB  C Ñ .B .C

!

ˆ+ #  " ‰

# B B B = = .E œ ( ( .C .B # È B#  C # È B  C# " "

# # B B .E œ =# ( ( ( È =# # È B C B  " C V C#

V

È+# B#

VIRGINIOGOMEZ

+Ñ

.B .C

B È #  È& È&  È"!  "  È# ( È= # .E œ   B  C# # # #68

107


Por definición (

VIRGINIO GOMEZ

3) Cálculo de volúmenes ( 0 aBß Cb .E representa el volumen del sólido comprendido en D œ 0 aBß Cb V con .E el área de la base y 0 aBß Cb la altura. Z œ(

Z œ(

Z œ(

V

( .Z œ (

Bœ,

V

( 0 aBß Cb .E

C œ 1aBb (

B œ + C œ 0 aBb

0 aBß Cb .C .B

C œ . B œ 1aCb 0 aBß Cb .B .C ( C œ - B œ 0 aCb

Ejemplos

1) Determinar el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el plano D œ #  B  #C B  #C  D œ # Intersección con los ejes eje X Bœ#

eje Y Cœ"

eje Z Dœ#

108


V es la región en el plano BC D œ ! Ê B  #C œ #

#B "

#

a#  B  #Cb .C .B

Z œ( ( !

! #B " #

#

Z œ ( #C  BC  C ! ! º #

Z œ(

!

.B

B# B# " .B Œ B  #   B   B   # %

# B# Z œ ( Œ  B  "  .B % !

#

B$ B# Z œ   B º # "# ! ) Z œ  #  # "# Z œ

# [u. de v.] $

Si se considera .E œ .B .C se tiene B  #C œ # Ê B œ #  #C "

##C

Z œ( ( !

!

# a#  B  #Cb .B .C œ [u. de v.] $

109

VIRGINIO GOMEZ



GOMEZ

2) Calcular el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el cilindro B#  C# œ y los * planos B  C œ $ y D œ %

La región V del plano es

$

Z œ( (

È*B#

$B

! $

Z œ ( %C º !

% .C .B

È*B#

.B $B

$

Z œ ( Š%È*  B#  "#  %B‹.B !

$

$

Z œ %( È*  B# .B  % aB  $b .B ( !

!

$

$ # Z œ %( È*  B# .B  %ŒB  º # ! ! $B $

Z œ %( È*  B# .B  ") !

VIRGINIO

110


*  B# œ *Œ" 

B# B # #  Ê *  B œ * ”"  Š ‹ • * $

B œ =/8) Ê B œ $=/8) Ê .B œ $-9=) .) $ B œ !Ê )œ !

Bœ$Ê)œ

1 #

$ B # Z œ %( Ë* ”"  Š ‹ • .B  ") $ ! 1

# Z œ "#( È"  =/8# ) † $-9=) .)  ")

!

1 #

Z œ $'( -9=# ) .)  ") !

Z œ $'(

1 #

"  -9=#) .)  ") #

!

1

=/8#) # Z œ ")Œ)  º  ") # ! Z œ *1  ") [u. de v.] Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ


Usando integrales dobles, calcule el volumen del sólido limitado por las siguientes superficies. +Ñ El cilindro B#  C # œ y los planos D œ ! à D œ ) % ,Ñ el cono B#  C# œ D # y el paraboloide D œ B#  C #

-Ñ El cilindro B#  C# œ #& à los planos B  C œ & à D œ ) à en el primer octante. Solución

#

È%B# "

È"B

#

+Ñ Z œ %( ( !

) .C .B

,Ñ Z œ %( (

!

!

Z œ $#1 [u. de v.]

&

-Ñ Z œ ( ( !

Z œ

È#&B#

&B

) .C .B

Z œ &!1  "!! [u. de v.]

111

!

1 [u. de v.] '

ŠÈB#  C #  B#  C # ‹ .C .B


VIRGINIO GOMEZ

Integrales Triples Sea A œ 0 aBß Cß Db una función de tres variables, continua en una cierta región W de ‘$ , entonces 0 aBß Cß Db es integrable en W . Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ 0 aBb hasta C œ 1aBb ß D varía desde D œ 0 aBß Cb hasta D œ 1aBß Cb , entonces ,

( ‘$ .

W

1aBb

( ( 0 aBß Cß Db .Z œ ( ( +

1aBßCb

(

0 aBß Cß Db .Z es la integral triple de la región W de

0 aBb 0 aBßCb

Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ - hasta C œ . ß D varía desde D œ / hasta D œ 0 , entonces son equivalentes: ,

(

W

( ( 0 aBß Cß Db .Z

.

0

œ( ( ( +

0 aBß Cß Db .D .C .B

- / .

,

œ( ( ( -

+

0

0

,

œ( ( ( /

+

0 aBß Cß Db .D .B .C

/ .

0 aBß Cß Db .C .B .D

-

y otras más Ejemplos Evaluar #

BBC

B

"Ñ ( ( ( "

!

"

#

BC .D .C .B

B

BBC

œ ( ( BCD º "

!

#

.C .B

" B

# # # œ ( ( ˆB C  B C  BC ‰.C .B "

!

B

#

œ(

B# C # B# C $ BC # Œ º .B   # $ # !

"

# B% B& B$ œ ( Œ   .B # $ # "

œ œ

B& "!



B' ")

")* %!

112

#



B% ) º"

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas #/

1Î$

" /

!

#/

C 68 D >1 B .B .D .C œ ( (

" /

!

!

1Î$

C 68 D 68¸=/- B¸º

!

#/

œ( ( "

C 68D ˆ68¸=/-a1Î$b¸  68¸=/- !¸‰ .D .C

/

!

œ 68 a#b( ( " ? œ 68 D Ê .? œ Ê @ œ D D !

#/

( (

(

" /

1Î$

!

.D .C

VIRGINIO GOMEZ

!

#Ñ ( ( (

"

#/

C 68D .D .C

/

.D

.@ œ .D #/

#/ ! " C 68 D >1 B .B .D .C œ 68 a#b( C D 68D º  D † .D .C D ( " / /

œ 68 a#b(

#/

!

C D 68 D  .C Dº

" !

/

œ 68a#b( Ca#/ 68a#/b  #/  / 68a/b  /b .C "

!

œ 68 a#b( Ca#/ 68a#b  #/ 68a/b  #/  / 68a/b  /b .C "

!

œ #/Ò68a#bÓ# (

"

C .C !

œ #/Ò68a#bÓ#

C# # º"

œ  /Ò68a/bÓ# C#

#

$Ñ ( ( "

C

68 B

(

D

C / .D .B .C !

C#

#

œ( ( "

C C#

"

œ(

"

C#

aBC  Cb .B .C

C C#

B# C Œ  BCº .C # C

# C= œ( Œ "

#

œ( Œ "

Cˆ/68B  /! ‰.B .C

C

#

œ( ( #

.B .C

!

#

œ( (

"

68 B

C /D º

&

C $  C$  =  C# .C # # C& #



$= C$  C .C #

#

113


#

È$ D

C

%Ñ ( ( ( !

!

B#

!

# B#  D # œ D Œ



"#

$C% )

#



C$ $ º"

œ

D .B .D .C  D#

B# B #  " Ê B #  D # œ D # ” Š  " • # D D ‹

B # œ >1) Ê B œ D >1) Ê .B œ D =/- ) .) D B œ È$ D Ê ) œ

B œ !Ê )œ ! #

È$ D

C

( ( ( !

!

!

#

D #

B D

#

.B .D .C

1 $

È$ D

C

D

œ( ( ( !

!

#

!

C

1Î$

œ( ( ( !

!

#

!

C

œ( ( ( !

!

#

!

C

!

!

.) .D .C

1Î$

.D .C !

C

1 œ ( D º .C $ ! ! œ

1 # ( C .C $ !

œ

1 C# † º $ # !

œ

# 1 $

#

114

.B .D .C

D D =/- #) .) .D .C D # a>1# )  "b

1 # C ( ( .D .C $ ! ! #

B # ”Š ‹  "• D

1Î$

œ ( ( )º

œ

D#

%( #%

VIRGINIO GOMEZ

œ

C'


Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales triples À "

"

#

+Ñ ( (

(

! #!

1Î# ,Ñ(

1Î# (

!

-Ñ ( ( "

!

È$ C !

" B

.Ñ ( ( "

C -9= Š ‹ .C .B .D D

C .D .C .B C#  D #

(

$

"

BD

(

!

B

#

= BCD .D .C .B # È B C

#

ÈB

(

ÈB

!

#C# ÈB .D .C .B

Solución

"

+Ñ (

"

#

( !

( !

1Î# ,Ñ(

1Î# (

!

"

$

"

.Ñ ( ( "

BD

(

!

B

#

-Ñ ( (

$ BCD .D .C .B œ È B#  C # )

!

È$ C

(

C#

!

" B !

#

C 1# -9= Š ‹ .C .B .D œ D )

C 1 .D .C .B œ  # D #

ÈB

(

ÈB

#C# ÈB .D .C .B œ !

115

VIRGINIO GOMEZ



VIRGINIO GOMEZ


La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma ( usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C Ejemplos:

W

( ( .Z donde .Z se

1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro D #  C# œ " y situada entre los planos B  C œ " à B  C œ $

En el plano BC se observa

BC œ " Ê B œ " C "

$C

Z œ( ( !

"C

"

È"C#

"C

.D .B .C

!

$C

Z œ( ( !

(

BCœ $ Ê B œ $C

È"C#

.B .C

Dº !

116

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas $C

È"  C# .B .C

!

"C "

$C

Z œ ( È"  C# † Bº

.C "C

!

"

Z œ ( È"  C# a$  C  "  Cb .C !

"

Z œ #( È"  C# .C !

C œ =/8) Ê .C œ -9=) .) Cœ! Ê ) œ! Z œ #(

1 #

Cœ" Ê ) œ

1 #

È"  =/8# ) † -9=) .)

! 1 #

Z œ #( -9=# ) .) !

Z œ #(

1 #

!

"  -9=#) Œ .) # 1

=/8#) # Z œ Œ)  º # ! Z œ

1 Ò u. de v.Ó #

Si se considera .Z œ .D .C .B la integral sería "

"

Z œ( ( !

(

È"C#

"B !

#

"

.D .C .B  ( ( ( "

!

!

È"C#

$

.D .C .B  ( ( #

!

È"C#

$B

(

VIRGINIO GOMEZ

"

Z œ( (

.D .C .B

!

117


2) Determinar el volumen de la esfera B#  C#  D # œ +#

En el plano BC

118

VIRGINIO GOMEZ



Por simetría È+# B#

+

Z œ )( ( !

+ !

! È+# B# C#

È+# !

.D .C .B

(

!

Z œ )( (

È+# B# C#

B#

Dº

.C .B

!

È+# B#

+

È+#  B#  C # .C .B

Z œ )( ( !

!

C#  + #  B#

#  #B b "  a+#  B# b  #C œ a+ Œ

#

#  #B b "  a+#  B# b  #C œ a+ ” 

C • È + #  B# 

VIRGINIO GOMEZ


C œ =/8) Ê C œ È+#  B# =/8) Ê .C œ È+#  B# -9=) .) È + #  B# C œ È + #  B# Ê ) œ

Cœ! Ê ) œ ! Í ÍÍ

È+# B#

+

Z œ )( ( !

a+#  B # b ”"   =

Ì È

!

1

+

#

= +#

B

C .C .B • #

# Z œ )( ( È+#  B# † È"  =/8# ) † È+#  B# -9=) .) .B

!

!

1 #

+

# # # Z œ )( ( ˆ+  B ‰-9= ) .) .B !

!

+

( ˆ

#

1 #

#‰

(

+ B

Z œ) !

! 1

+

( ˆ

#

#‰

+ B

Z œ%

"  -9=#) # .) .B

Œ )

=/8#) # º #

!

.B !

+ 1 Z œ %( ˆ+#  B# ‰ .B # ! +

#

Z œ #1Œ+ B 

B$ º $ !

% Z œ + $1 [u. de v.]

1 #

$

119


VIRGINIO GOMEZ

3) Determinar el volumen, sobre el plano BC del sólido formado por el cilindro B#  C# œ #& y el plano B  C  D œ )

En el plano BC

&

Z œ( (

È#&B#

)BC

(

& È#&B# &

Z œ ( ( &

.D .C .B !

È#&B#

)BC

Dº

È#&B#

.C .B !

120


È#&B#

&

Z œ( ( &

È#&B#

a)  B  Cb .C .B

& C # È#&B# Z œ ( Œ)C  BC  º .B #  È#&B# & &

Z œ ( Š"'È#&  B#  #BÈ#&  B# ‹.B &

&

È ( "' #&  B# .B &

# B # #&  B# œ #&Š" #& B ‹ Ê #&  B# œ #&”"  Š ‹ • &

B œ =/8) Ê B œ &=/8) Ê .B œ & -9=) .) & 1 Bœ &Ê ) œ  # &

È ( "' #&  B# .B &

Bœ" Ê ) œ &

B # Ë#&”"  Š ‹ • .B & &

œ "'(

œ %!!(

1 #

1# 1

œ %!!(

1#

-9=# ) .) #

" -9=#) #

.) 1

œ #!!Œ) 

=/8#) # º #  #1

œ #!!1 &

 #( BÈ#&  B# .B &

.? ? œ #&  B# Ê .? œ #B .B Ê œ B .B # ?œ &Ê?œ! &

 #( BÈ#&  B# .B &

VIRGINIO GOMEZ


?œ&Ê?œ! !

.? œ  #( È? † # !

œ! Luego, Z œ #!!1  ! Z œ #!!1 [u. de v.]

121

1 #


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À

+Ñ El cilindro B#  C # œ "' ß los planos C  D œ % ß C œ  # ß D œ ! ß B œ ! ,Ñ El cilindro B#  %C # œ % ß los planos D œ ! à D œ B  # -Ñ El cono %B#  *C #  $'D # œ ! y el plano D œ " .Ñ El plano D œ '  #C

con ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ #

/Ñ Los planos D œ '  B  C à C œ B à C œ #

Solución

È"'C#

%

+Ñ Z œ ( ( #

!

,Ñ Z œ ( (

È

# !



$

-Ñ Z œ %( ( !

!

%

# !

#

#È*B# $

.D .C .B œ %1 [u. de v.]

"

( É%B#*C# .D .C .B œ #1 [u. de v.] '

'#C !

.D .C .B œ $# [u. de v.]

'BC

# B

'% 1 [u. de v.] $

#

/Ñ Z œ ( ( ( !

B#

(

%B#

.Ñ Z œ ( ( ( !

.D .B .C œ

!

È= %B# #

#

% C

(

!

.D .C .B œ ) [u. de v.]

122


VIRGINIO GOMEZ

Transformación de Integrales Triples Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema de coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada D como en el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son: B œ < -9=) C œ < =/8) DœD

En el plano BC

)œ)#

<œ<#

DœD# a)ß
Z œ ( ( ( .Z œ ( < .D .< .) ( ( )œ)" <œ<" DœD" a)ß
123


VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos 1) Determinar el volumen del sólido limitado por el semicono D œ ÈB #  C# y el plano D œ %

En el plano BC sólo existe un punto, pero en un plano paralelo al plano BC , D œ %, se forma la circunferencia B#  C# œ "'

B#  C# œ "'

#

#

Ê a< -9=)b  a< =/8)b œ "' Ê <# -9=# )  <# =/8# ) œ "' Ê <# a-9=# )  =/8# )b œ "' Ê <# œ "'

Ê<œ% El cono en coordenadas cilíndricas queda: #

#

D œ ÈB#  C # Ê D œ Éa< -9=)b  a< =/8)b Ê D œ <

Nota: No es posible reemplazar en D œ < el valor de < œ %ß porque < œ % corresponde a la figura que queda en el plano BC, por lo tanto se está trabajando en ‘# , en cambio D œ < corresponde a la transformación de una superficie, es decir, se está trabajando en ‘3 Þ Luego, los sistemas son incompatibles.

124


1 #

Z œ %(

!

%

VIRGINIO GOMEZ

Por simetría %

( ( < .D .< .) !

1 #

<

%

%

Z œ %( (
Z œ %(

Z œ %(

Z œ %(

!

1 #

!

%

# ( ˆ%<  < ‰.< .) !

1 #

! 1 #

!

<

%

Œ#<# 

<$ º .) $ !

$# .) $ 1

Z œ

"#) # º $ !

Z œ

'% 1 [u. de v.] $

#

2) Determinar el volumen del sólido, sobre el plano BC, limitado por el cilindro B#  aC  $b œ * y el cono B#  C# œ D #

125


#

B#  aC  $b œ *

Ê B#  C#  'C  * œ * Ê <#  '< -9=) œ ! Ê
El cono en coordenadas cilíndricas queda: B#  C # œ D # Ê < # œ D # Ê < œ D 1

'=/8)

Z œ( ( !

!

1

Z œ( ( !

!

1

Z œ( Z œ

!

<

!

!

'=/8) !

<# .< .)

'=/8)

<$ º $!

.)

1

="

$

< .D .< .)

!

'=/8)

1

Z œ( (

<

(

( #"'=/8 $ ) .) !

1

Z œ (#( =/8) =/8# ) .) !

1

Z œ (#( =/8) ˆ"  -9=# )‰.) !

1

# Z œ (#( ˆ=/8)  =/8) -9= )‰.) !

1

Z œ (#Œ  -9=) 

-9=$ ) º $ !

Z œ *' [u.de v.]

126

VIRGINIO GOMEZ

En el plano BC


GOMEZ

Ejercicios

Calcular, en coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido limitado por À +Ñ La esfera B#  C#  D # œ "' y el cilindro B#  C # œ %

,Ñ El plano D œ ! , el cilindro B#  C# œ " y el paraboloide D œ B#  C # -Ñ El cilindro B#  C# œ % y los planos D œ ! ß C  D œ %

Solución

#1

#

È"'<#

< .D .< .) œ #1 "#)

+Ñ Z œ # (

!

( (

#1

,Ñ Z œ (

!

"

<#

!

#1

-Ñ Z œ (

!

( (

!

Œ

!

!

#

( ( !

< .D .< .) œ

$

 "' $ [ u. de v.] È 

1 [ u. de v.] #

%< =/8)

< .D .< .) œ "'1 [ u. de v.] !

VIRGINIO

127


VIRGINIO GOMEZ

Coordenadas Esféricas Si en la región W una de las superficies es una esfera, conviene trabajar con coordenadas esféricas mediante la transformación B œ 3 -9=) =/89 C œ 3 =/8) =/89

Dœ3 En el plano BC

En el plano DC

128


) varía desde ) œ ! hasta ) œ #1 9 varía desde 9 œ ! hasta 9 œ 1 3 varía desde 3 œ 3" hasta 3 œ 3# )œ)#

9œ9#

3œ3#

Z œ ( ( ( .Z œ ( 3# =/89 .3 .9 .) ( ( )œ)" 9œ9" 3œ3" W Ejemplos: 1) Determinar el volumen de la esfera B#  C#  D # œ +#

B#  C #  D # œ + # #

#

#

Ê a3 -9=) =/89b  a3 =/8) =/89b  a3 -9=9b œ +# Ê 3# -9=# ) =/8# 9  3# =/8# ) =/8# 9  3 # -9=# 9 œ +# Ê 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b  3 # -9=# 9 œ +# Ê 3# a=/8# 9  -9=# 9b œ +# Ê 3# œ + # Ê 3œ+ #1

Z œ(

1

!

!

#1

Z œ(

!

Z œ

+

( (

!

1

( !

3$

3# =/89 .3 .9 .) +

=/89 º .9 .) $ !

+$ #1 1 ( ( =/89 .9 .) $ ! !

VIRGINIO GOMEZ


129


Z œ

1 +$ #1 (  -9=9º .) $ ! !

#1 # Z œ = + $( .) $ ! #1

# Z œ = + $)º $ !

% Z œ 1+$ [u. de v.] $

VIRGINIO GOMEZ


2) Calcular el volumen que se forma en el interior de la esfera B#  C#  D # œ #+D B  C# œ D # #

#

B#  C#  D # œ #+D Ê B#  C #  D #  #+D œ ! Ê B#  C #  aD  +b œ + # Intersección de las superficies B#  C #  D # œ #+D B#  C# œ D #

Ê #D # œ #+D Ê #D #  #+D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ +

Considerando las simetrías en el plano DC se observa:

130

y el cono


Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene: B#  C#  D # œ #+D Ê 3# œ #+39=9

B#  C # œ D#

Ê 3#  #+3-9=9 œ ! Ê 3" œ ! ß 3# œ #+ -9=9

Ê 3# -9=# )=/8# 9  3# =/8# )=/8# 9 œ 3# -9=# 9 Ê 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b œ 3# -9=# 9 Ê 3# =/8# 9 œ 3# -9=# 9 Ê =/8# 9 œ -9=# 9 Ê >1# 9 œ " Ê 9 œ

Por simetría 1 #

1 %

Z œ %( ( ( !

Z œ %(

Z œ

!

1 #

1 %

(

!

#+-9=9 !

1 %

3# =/89 .3 .9 .)

!

#+ -9=9 3$ =/89 º .9 .) $ !

$#+$ 1# 1% $ $ ( ( -9= 9=/89 .9 .) !

!

1

1

Z œ

$#+$ # -9=% 9 % (  % º .) $ ! ! =)

VIRGINIO GOMEZ


$

Z œ + ( $ !

1 #

$ .) %

1 #

Z œ #+$ )º

!

Z œ +$ 1 [u.de v.]

131


Intersección de las superficies B#  C#  D # œ %D B#  C # œ D

Ê D  D # œ %D Ê D #  $D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ $

Considerando las simetrías en el plano DC se observa:

Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene: B#  C#  D # œ %D Ê 3# œ %39=9 B#  C # œ D

VIRGINIO GOMEZ

3) Calcular el volumen que queda en el interior de la esfera B#  C#  D # œ %D y el paraboloide D œ B#  C # # B#  C#  D # œ %D Ê B#  C#  D #  %D œ ! Ê B#  C #  aD  #b œ %

Ê 3#  %3-9=9 œ ! Ê 3" œ ! ß 3# œ % -9=9

3# -9=# )=/8# 9  3# =/8# )=/8# 9 œ 3-9=9 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b œ 3-9=9 3# =/8# 9 œ 3-9=9 3# =/8# 9  3-9=9 œ ! -9=9 Ê 3 " œ ! ß 3# œ œ -9>19 -9=/-9 =/8# 9 Ê Ê Ê Ê

132


% -9=9 œ

-9=9 =/8# 9

=/8# 9 œ

" " 1 Ê =/89 œ Ê 9 œ % # '

(se están considerando las simetrías)

Por simetría 1 #

Z œ %(

1 6

!

! 1 #

Z œ %(

Z œ

3# =/89 .3 .9 .)  %( (

! 1 '

( !

! 1

Z œ

%-9=9

( (

1 #

% -9=9

.9 .)  %( (

=/89 º $ !

1 #

!

1

1

1 #

1 6

3$

1 6

3# =/89 .3 .9 .)

! -9>19-9=/-9

=/89 º $ !

1

#&' $

1 #

( !

1

1

1

-9=% 9 ' % # -9>1% 9 #  º .)  (  º .) % ! $ ! % 1 '

1

'% # ( " # ( .)  ( * .) $ ! $ ! "' 1

1

# #) # Z œ )º  $)º $ ! !

Z œ

-9>19-9=/-9

(

.9 .)

#&' # ' % # # ( ( -9=$ 9=/89 .9 .)  ( ( 1 -9>1 $ 9-9=/-# 9.9 .) $ ! ! $ ! 6

1

Z œ

1 #

!

3$

VIRGINIO GOMEZ

Igualando los 3

$( 1 [u.de v.] '

133


I Calcular, en coordenadas esféricas, el volumen del sólido À +Ñ Dentro de la esfera B#  C #  D # œ %D

y arriba del cono B#  C # œ D #

,Ñ Comprendido por los conos B#  C# œ D # à B#  C# œ $D # D œ È %  B#  C #

y bajo la semiesfera

-Ñ Dentro de la esfera B#  C#  D # œ % y sobre D œ "

II Evalue la integral usando coordenadas cilíndricas o esféricas È" 

"

B#

+Ñ ( ( !

(

!

C#

,Ñ ( ( !

È%  C #

#

-Ñ ( (

È#  B #  C # (

!

!

D

.D .C .B È B#  C #

!

È" 

"

!

È "  B#  C #

(

È B#  C#

D # .D .B .C

È%  B #  C # !

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

" .D .B .C B#  C #  D #

III Convierta la siguiente integral a coordenadas esféricas y rectangulares #1 (

!

È

"

( ( !

!

%  <# < .D .< .)

134


Solución #1

+Ñ Z œ (

1Î%

(

!

!

#1

%-9=9

(

!

1Î$

,Ñ Z œ ( ( !

3# =/89 .3 .9 .) œ )1 [u. de v.]

#

(

!

!

#1

#

3 =/89 .3 .9 .)  ( ( !

1Î%

#

(

!

3# =/89 .3 .9 .)

!

o #1

Z œ(

1Î$

( !

#

3# =/89 .3 .9 .)

( 1Î%

!

)È #  ) Z œ 1  [u. de v.] $

#1

-Ñ Z œ (

II

!

#

(

!

"Î-9= 9

È" 

"

B# +Ñ ( ( !

È#  B #  C

& 1 [u. de v.] $

D

1 .D .C .B œ

È B#  C#

(

( !

È%  C #

#

-Ñ ( (

!

(

È B#  C #

D # .D .B .C œ 1

È%  B #  C # B#

!

'

#È#  "

#

!

!

!

È" 

C#

3# =/89 .3 .9 .) œ

È "  B#  C # (

!

"

,Ñ(

1Î$

(

(

( (

!

!

#1 (

È

"

%  <#

!

" .D .B .C œ 1  C#  D #

È

"

( ( !

!

!

È"B#

"

< .D .< .) œ %( ( !

%  <# < .D .< .)

(

!

1Î#

œ %(

!

È%B# C#

.D .C .B !

1Î'

(

!

#

(

3# =/89 .3 .9 .)

!

1Î#

 %(

!

(

!

#1

È

"

( ( !

!



"&

III #1

VIRGINIOGOMEZ

I

1Î#

(

1Î'

"Î=/89

(

!

%  <# "' < .D .< .) œ 1Œ  #È$[u. de v.] $

3# =/89 .3 .9 .)

135


VIRGINIO GOMEZ

Campos Vectoriales Son funciones que asignan a un punto del plano o del espacio un vector. Conceptos:

1) Sean Q œ 0 aBß Cb y R œ 0 aBß Cb dos funciones de dos variables definidas en una cierta región del plano V . La función J definida por:

F ( x, y) = M ( x, y)i + N ( x, y) j se llama campo vectorial sobre V Þ

2) Sean Q œ 0 aBß Cß Db à R œ 0 aBß Cß Db à T aBß Cß Db tres funciones de tres variables definidas en una región W del espacio. La función J definida por:

F ( x, y, z) = M ( x, y, z)i + N ( x, y, z) j + P( x, y, z)k se llama campo vectorial sobre W .

El gradiente es un ejemplo representativo de campo vectorial pues: +Ñ f0 aBß Cb œ 0B aBß Cb † 3  0C aBß Cb † 4

Haciendo Q œ 0B aBß Cb y R œ 0C aBß Cb se tiene que f0 aBß Cb œ Q 3  R 4 ,Ñ f0 aBß Cß Db œ 0B aBß Cß Db † 3  0C aBß Cß Db † 4  0D aBß Cß Db † 5

Haciendo Q œ 0B aBß Cß Db à R œ 0C aBß Cß Db à T œ 0D aBß Cß Db se f0 aBß Cß Db œ Q 3  R 4  T 5 Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son:

tiene

que

a) Campos de velocidades los cuales se usan para describir el movimiento de un sistema de partículas en el plano o en el espacio como también para describir el flujo de corrientes de aire alrededor de un objeto en movimiento. b) Campos gravitacionales se definen mediante la ley de la gravitación de Newton, que establece que la fuerza de atracción ejercida sobre una partícula de masa 7" localizada en aBß Cß Db por una partícula de masa 7# localizada en a!ß !ß !b es: J aBß Cß Db œ 

K 7 " 7# p † B#  C #  D # ? p

con K la constante gravitatoria y ? un vector unitario en la dirección que va del origen a aBß Cß Db.

136


J aBß Cß Db œ

- ;" ; # p †? m
VIRGINIO GOMEZ

c) Campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercida sobre una partícula con carga eléctrica ;" localizada en aBß Cß Db por una partícula con carga eléctrica ;# localizada en a!ß !ß !b viene dada por:

< p donde < œ B3  C4  D5 , ? y - una constante que depende de la elección de unidades para m
Campo vectorial conservativo

Un campo de vectores J se llama conservativo si existe una función diferenciable tal que J œ f0 . La función 0 se llama función potencial de J .

Los campos gravitacionales, los magnéticos y los de fuerzas eléctricas son conservativos. Que un campo vectorial sea conservativo significa que cumple con las condiciones de la ley de conservación de la energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula es constante). Campo vectorial conservativo en el plano

Sean Q œ 0 aBß Cb y R œ 0 aBß Cb dos funciones de dos variables que tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces :

Ejemplos

Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial. "Ñ J aBß Cb œ B# C 3  BC 4 Q œ B# C R œ BC Ê

Ê

`Q œ B# `C

`R œC `B

`Q `R Á , por lo tanto, el campo vectorial no es conservativo. `C `B

137


Ê

`Q œ #  'B# C `C

R œ $C#  #B  #B$ C Ê

`R œ #  'B# C `B

Q œ %B$  #C  $B# C#

`Q `R œ , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. `C `B J œ f0 aBß Cb Q aBß Cb 3  R aBß Cb 4 œ 0B aBß Cb 3  0C aBß Cb 4

VIRGINIO GOMEZ

#Ñ J aBß Cb œ a%B$  #C  $B# C # b3  a$C #  #B  #B$ Cb4

Luego, por igualdad de vectores, Q aBß Cb œ 0B aBß Cb ß R aBß Cb œ 0C aBß Cb Así, 0B aBß Cb œ %B$  #C  $B# C#

Î( .B

$ # # ( 0B aBß Cb .B œ ( ˆ %B  #C  $B C ‰.B

0 aBß Cb œ B%  #BC  B$ C#  G aCb

a"b

0C aBß Cb œ $C #  #B  #B$ C

Î( .C

# $ ( 0C aBß Cb .C œ ( ˆ $C  #B  #B C ‰.C

0 aBß Cb œ C $  #BC  B$ C#  G aBb

a#b

De a1b y a2b se tiene 0 aBß Cb œ #BC  B$ C#  B%  C $ G

, donde G aBb œ B% ß G aCb œ C $

$Ñ J aBß Cb œ a/BC  BC/BC  C # -9=aBCbb3  aB# /BC  =/8aBCb  BC -9=aBCbb4 Q œ /BC  BC/BC  C# -9=aBCb `Q œ B/BC  B/BC  B# C/BC  #C -9=aBCb  BC # =/8aBCb `C R œ B# /BC  =/8aBCb  BC -9=aBCb

`R œ #B/BC  B# C/BC  C -9=aBCb  C -9=aBCb  BC # =/8aBCb `B `Q `R œ , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. `C `B

138


0B aBß Cb œ /BC  BC/BC  C # -9=aBCb

Î( .B

BC BC # ( 0B aBß Cb .B œ ( ˆ/  BC/  C -9=aBCb ‰.B

? œ BC

Ê .? œ C .B

.@ œ /BC .B

Ê @œ

0 aBß Cb œ 0 aBß Cb œ

/BC C /BC C

 BC †

/BC C

/BC /BC C# =/8aBCb ( † C .B  C C C

 B/BC 

/BC  C =/8aBCb  G aCb C

0 aBß Cb œ B/BC  C=/8aBCb  G aCb

0C aBß Cb œ B# /BC  =/8aBCb  BC -9=aBCb

a"b

Î ( .C

# BC ( 0C aBß Cb .C œ ( ˆB /  =/8aBCb  BC -9=aBCb ‰.C

? œ BC

Ê .? œ B .C

.@ œ -9=aBCb .C Ê @ œ

=/8aBCb B

0 aBß Cb œ

B# /BC B



0 aBß Cb œ B/BC 

VIRGINIO GOMEZ

J œ f0 aBß Cb

-9=aBCb =/8aBCb =/8aBCb  BC † ( † B .C B B B

-9=aBCb -9=aBCb  C =/8aBCb   G aBb B B

0 aBß Cb œ B/BC  C =/8aBCb  G aBb De a1b y a2b se tiene 0 aBß Cb œ B/BC  C=/8aBCb  G , donde G aBb œ G aCb œ G

a#b

139


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial. "Ñ J ÐBß CÑ œ Ð#B  $CÑ 3  $ÐB  C # Ñ 4

#Ñ J ÐBß CÑ œ

#B B# 3 # 4 C C

#B #C $Ñ J ÐBß CÑ œ # 3 # 4 B  C# B  C# %Ñ J ÐBß CÑ œ #BC $ 3  $C # B# 4 &Ñ J ÐBß CÑ œ /B Ò=/8 C 3  Ð-9= C  #Ñ 4 Ó 'Ñ J ÐBß CÑ œ B/C 3  C/B 4 Solución

"Ñ 0 aBß Cb œ  $BC  B#  C $  G

#Ñ 0 aBß Cb œ

G aBb œ B# à G aCb œ C $

B# G C

G aBb œ G aCb œ G

$Ñ 0 aBß Cb œ 68¸B#  C# ¸  G

G aBb œ G aCb œ G

%Ñ 0 aBß Cb œ B# C $  G

G aBb œ G aCb œ G

&Ñ No es conservativo

'Ñ No es conservativo

140


Concepto de rotacional de un campo vectorial en el espacio

rotF ( x, y, z) = ∇ ⋅ F ( x, y, z) i =

∂

j ∂

k ∂

∂x

∂y

∂z

M

N

P

VIRGINIO OMEZ

El rotacional de J aBß Cß Db œ Q 3  R 4  T 5 es

N P M M P  N =  ∂− ∂  i − ∂ ∂  j + ∂ − ∂ k − ∂z ∂y  ∂z   ∂x   ∂y

G

Campo vectorial conservativo en el espacio

Sean Q œ 0 aBß Cß Db ß R œ 0 aBß Cß y T œ 0 aBß Cß Db tres funciones de tres variables donde Db sus primeras derivadas son continuas. El campo vectorial J aBß Cß Db œ Q 3  R 4  T 5 es conservativo si, y sólo si <9>J aBß Cß Db œ Ò !ß !ß ! Ó, es decir,

∂P ∂y

=

∂N ∂P ∂M ∂N ∂M , , = = ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

Ejemplos:

Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial. "Ñ J aBß Cß Db œ B$ C # D 3  B# D 4  B# C 5 Q œ B$ C # D â â 3 4 â ` â ` <9>aJ b œ â â `B `C â $ # â B C D B# D

R œ B# D

T œ B# C

â 5 â â ` â â `D â # â B Câ

œ 3aB#  B# b  4 a#BC  B$ C # b  5 a#BD  #B$ CDb <9>aJ b Á Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J no es conservativo. #Ñ J aBß Cß Db œ #BC 3  aB#  D # b4  #CD 5 Q œ #BC D#

R œ B# 

T œ #CD

141


â â 3 4 â ` ` â <9>aJ b œ â â `B `C â â #BC B#  D#

â 5 â â ` â â `D â â #CD â

œ 3a#D  #Db  4 a!  !b  5 a#B  #Bb <9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J

es conservativo.

J aBß Cß Db œ f0 aBß Cß Db

VIRGINIO GOMEZ


Q aBß Cß Db 3  R aBß Cß Db 4  T aBß Cß Db 5 œ 0B aBß Cß Db 3  0C aBß Cß Db 4  0 D aBß Cß Db 5 Luego, por igualdad T aBß Cß Db œ 0D aBß Cß Db

de

vectores,

Q aBß C,Db œ 0B aBß Cß Db ß R aBß Cß Db œ 0C aBß Cß Db ß

Así, 0B aBß Cß Db œ #BC

Î( .B

( 0B aBß Cß Db .B œ ( #BC.B 0 aBß Cß Db œ B# C  G aCß Db 0C aBß Cß Db œ B#  D#

a"b Î( .C

# # ( 0C aBß Cß Db .C œ ( ˆ B  D ‰.C

0 aBß Cß Db œ B# C  D # C  G aBß Db

0D aBß Cß Db œ #CD

a#b

Î( .D

( 0D aBß Cß Db .D œ ( #CD .D 0 aBß Cß Db œ CD #  G aBß Cb De a"b , a#b y a$b

a$b

0 aBß Cß Db œ B# C  CD #  G dondeG aBß Cb œ B# C ß G aCß Db œ CD # ß G aBß Db œ G

142


>1B Œ  /BC =/8D  5 D Q œ C/BC -9=D  =/- # B 68aCDb R œ B/BC -9=D  T œ  /BC =/8D 

>1 B C >1B D

â â 3 â â ` â <9>aJ b œ â `B â â BC â C/ -9=D  =/- # B â68aCDb

4 ` `C

>1 B B/BC -9=D  C

>1 B 4 C

VIRGINIO GOMEZ

œ aC/BC -9=D  =/- # B 68aCDbb3  ŒB/BC -9=D 

$Ñ J aBß Cß Db

â â â â â â â >1B â  /BC =/8D  â D â 5 ` `D

=/- # B

=/- # B BC  C/BC =/8D    C/ =/8D  D D -# B =/- # B BC =  5Œ /BC -9=D  BC/BC -9=D  BC/ -9=D  BC/ -9=D   C C œ 3a  B/BC =/8D  B/BC =/8Db Œ4

<9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J

es conservativo.

J œ f0 aBß Cß Db 0B aBß Cß Db œ C/BC -9=D  =/- # B 68aCDb

Î ( .B

BC # ( 0B aBß Cß Db .B œ ( ˆC/ -9=D  =/- B 68aCDb‰.B

0 aBß Cß Db œ

C/BC -9=D  >1B 68aCDb  G aCß Db C

0 aBß Cß Db œ /BC -9=D  >1B 68aCDb  G aCß Db 0 aBß Cß Db œ /BC -9=D  >1B 68C  >1B 68D  G aCß Db >1 B 0C aBß Cß Db œ B/BC -9=D  C BC ( 0C aBß Cß Db .C œ ( ŒB/ -9=D 

Î ( .C >1 B .C C

a"b

143


0 aBß Cß Db œ

B/BC -9=D  >1B 68 C  G aBß Db B

0 aBß Cß Db œ /BC -9=D  >1B 68 C  G aBß Db >1B 0D aBß Cß Db œ  /BC =/8D  D BC ( 0D aBß Cß Db .D œ ( Œ  / =/8D 

a#b

Î ( .D >1B  .D D

0 aBß Cß Db œ /BC -9=D  >1B 68D  G aBß Cb

a$b

De a"b , a#b y a$b 0 aBß Cß Db œ /BC -9=D  >1B 68D  >1B 68C  G G aCß Db œ G

VIRGINIO GOMEZ


donde G aBß Cb œ >1B 68C ß G aBß D b œ >1B 68Dß

Ejercicios I Encontrar el rotacional en el punto indicado "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ BCD 3  C 4  D 5

Ð " ß #ß " Ñ

#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B# D 3  #BD 4  CD 5

Ð #ß  "ß $ Ñ

$Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /B =/8 C 3  /B -9=C 4  5

Ð !ß !ß $ Ñ

%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /BCD Ð 3  4  5 Ñ

Ð $ß #ß ! Ñ

II Encuentre <9>Ð J ‚ K Ñ donde À "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3  #B 4  $C 5

KÐBß Cß DÑ œ B 3  C 4  # 5 KÐBß Cß DÑ œ B# 3  C 4  D # 5

#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B 3  D 5

III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial. "Ñ J ÐBß Cß DÑ œ C/D 3  B/D 4  /D 5 #Ñ J ÐBß Cß DÑ œ $B# C # D 3  #B$ CD 4  B$ C # 5 " B $Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3  4  Ð#D  "Ñ 5 # C C B C %Ñ J ÐBß Cß DÑ œ # 3 # 45 B  C# B  C#

144


I "Ñ <9> J a"ß #ß "b œ #4  5 #Ñ <9> J a#ß  "ß $b œ (3  %4  '5 $Ñ <9> J a!ß !ß $b œ  #5 %Ñ <9> J a$ß #ß !b œ '3  '4 II "Ñ <9> aJ ‚ Kb œ  3  %B 4  $C 5 #Ñ <9> aJ ‚ Kb œ aB  B#  #BDb3  a  #BD  D #  D b5 III "Ñ No es conservativo #Ñ 0 aBß Cß Db œ B$ C # D  G G aBß Cb œ G aBß Db œ G aCß Db œ G

$Ñ 0 aBß Cß Db œ G aBß Cb œ

B à C

B  #D  D  G C G aBß Db œ G aCß Db œ D#  D

" %Ñ 0 aBß Cß Db œ 68¸B#  C # ¸  D  G # " G aBß Cb œ 68¸B#  C# ¸ à G aBß Db œ G aCß Db œ D #

145

VIRGINIO GOMEZ

Solución


Conceptos

VIRGINIO GOMEZ

Plano tangente y recta normal a una superficie

1) Si D œ 0 aBß Cb es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por: ∇ f (a, b) ⋅ ( x − a, y − b) − (c − z) = 0

donde c = f (a, b)

2) Si 0 aBß Cß Db œ ! es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está dada por:

∇ f (a, b, c) ⋅ ( x − a, y − b, c − z) = 0 El vector f0 a+ß ,ß -b es el vector normal a la superficie 0 aBß Cß Db œ !

3) La recta normal a una superficie de la forma D œ 0 aBß Cb en el punto a+ß ,ß -b de ella es À x− a

z− c y− = b − = 1 f (a, b) f x (a, b) y

donde c = f (a, b)

4) La recta normal a una superficie de la forma 0 aBß Cß Db œ ! en el punto a+ß ,ß -b de ella es À x− a y− b z− c = = f x (a, b, c) f y (a, b, c) f z (a, b, c)

Ejemplos:

I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada en el punto dado. "Ñ D œ 68ÈB#  C#

en el punto a  $ß %ß 68&b

D œ 68È*  "'

Ê D œ 68&

Por lo tanto, el punto a  $ß %ß 68&b pertenece la la superficie D œ 68ÈB#  C # 0B aBß Cb œ

0C aBß Cb œ

" #B † ÈB#  C# # ÈB#  C# " #C † ÈB#  C # # ÈB#  C#

$ f0 a  $ß %b œ Œ 

% ß  #& #&

œ

B B#  C #

$ Ê 0 a  $ß %b œ  #&

œ

C B#  C #

% Ê 0 a  $ß %b œ #&

146


Œ 

$ % ß  † aB  $ß C  %b  aD  68&b œ ! #& #&

$ * % "' B  C  D  68& œ ! #& #& #& #&

Î † #&

 $B  %C  #&D  #&  #& 68& œ ! $B  %C  #&D  #&  #& 68& œ ! Ecuación recta normal B$ C% D  68& œ œ $ % "  #& #& #&aB  $b $

œ

#&aC  %b D  68& œ % "

#Ñ BC  CD  BD œ "

en el punto a#ß $ß  "b

a#ba$b  a$ba  "b  a#ba  "b œ '  $  # œ "

VIRGINIO GOMEZ

Ecuación plano tangente

Por lo tanto, el punto a#ß $ß  "b pertenece la la superficie BC  CD  BD œ " 0B aBß Cß Db œ C  D

Ê 0 a#ß $ß  "b œ #

0C aBß Cß Db œ B  D

Ê 0 a#ß $ß  "b œ "

0D aBß Cß Db œ B  C

Ê 0 a#ß $ß  "b œ &

f0 a#ß $ß  "b œ a#ß "ß &b Ecuación plano tangente a#ß "ß &b † aB  #ß C  $ß D  "b œ ! #B  %  C  $  &D  & œ ! #B  C  &D  # œ ! Ecuación recta normal B  #" œC  $œ D  # " &

147


0 aBß Cß Db œ B#  C#  D # 0B aBß Cß Db œ #B 0C aBß Cß Db œ #C 0D aBß Cß Db œ  #D f0 aBß Cß Db œ a#Bß #Cß  #Db Sea a+ß ,ß -b un punto del cono, luego +#  , # œ - # f0 a+ß ,ß -b œ a#+ß #,ß  #-b Ecuación plano tangente a#+ß #,ß  #-b † aB  + ß C  , ß D  -b œ ! #+B  #+#  #,C  #, #  #-D  #- # œ ! Si aBß Cß Db œ a!ß !ß !b ß entonces así  #a+#  , # b  #- # œ !

VIRGINIO GOMEZ

II Demuestre que todo plano tangente al cono B#  C# œ D # pasa por el origen

 #+#  #, #  #- # œ  #a+#  , # b  #- # ß +#  , # œ - # , pero

Por lo tanto, todo plano tangente al cono B#  C# œ D # pasa por el origen.

148


VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. "Ñ $C #  #BC  BD # œ !

T Ð  "ß "ß "Ñ

#Ñ C œ /D -9= B

T Ð!ß "ß !Ñ

$Ñ C/BC  D # œ !

T Ð!ß  "ß "Ñ

II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. "Ñ B#Î$  C #Î$  D #Î$ œ '

T Ð  )ß  "ß "Ñ

#Ñ  DB#  BC #  CD # œ "#

T Ð$ß  #ß !Ñ

$Ñ D œ Ð+B  ,CÑ#

T Ð+ß ,ß -Ñ

Solución

I "Ñ $B  %C  #D  " œ ! #Ñ  C  D  " œ ! $Ñ B  C  #D  " œ !

II "Ñ

$aB  )b $aC  "b $aD  "b œ œ " # #

#Ñ

B$ C# D œ œ %  "# *

$Ñ

B+ C, Dœ œ # # # # #+a+  , #+a+  , b " b

149


VIRGINIO GOMEZ

Ecuaciones Diferenciales Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar la función que dio origen a la ecuación. Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero no hay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria aEDOb y si sólo contiene derivadas parciales se llama ecuación diferencial parcial aEDPb. Ejemplos de EDO .# B œJ .>#

B œ Ba>b

.B œ 5 .>

B œ Ba>b

+Ñ 7 ,Ñ

-Ñ Œ

.# C .# B .B #  #  Œ † Œ  B œ ! .B# .C # .C

C œ CaBb

.C .Ñ = œ B#  $ .B

C œ CaBb

Ejemplos de EDP +Ñ

` # ? `? `?  œ5† `B# `C `>

? œ ?aBß Cß >b

,Ñ

` #? ` #?  # œ! `B# `C

? œ ?aBß Cb

Orden de una EDO Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación. Grado de una EDO Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada. Ejemplos Ecuación .C œB& .B # .$ C .# C .C  # œ -9= Œ #  .B$ .B .B B # # $ . C .C # Œ .B#   Œ.B  $C œ B

Orden

Grado

"

"

$

"

#

#

150


Su característica es :

M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO: 1) de variables separables 2) exactas

VIRGINIO GOMEZ

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables aEDVSb

Q aBß Cb .B  R aBß Cb .C œ ! se puede separar, si es posible, y escribirla como: 0" aBb † 1" aCb † .B  0# aBb † 1# aCb † .C œ !

la cual se resuelve por integración

0" aBb 1" aCb † .B œ  † .C 0# aBb 1# aCb Ejemplos #

"Ñ B$ .B  aC  "b .C œ ! #

B$ .B œ  aC  "b .C

Î( #

$ ( B .B œ  ( aC  "b .C

B% aC  "b$ œ  G % $ #Ñ &Ba"  Cb .B œ Ca"  B# b.C &B C .B œ .C # " B " C

Î(

(

&B C .B œ ( "  B# "  C .C

(

&B .B "  B#

&B .B ( "  B#

#

? œ "B œ &(

Ê .? œ #B .B

.? # ?

œ

& 68¸?¸  G #

œ

& ¸ 68 "  B# ¸  G #

151

Ê

.? #

œ B .B


C ( "  C .C CÀ"C

( (

C

CÀ C" œ " … C„ " "

Ê

.C

œ  ( .C 

"C

" "  C .C

œ  C  68¸"  Ç  G Por lo tanto, (

&B C .B œ ( "  B# "  C .C

& 68¸"  B# ¸ œ  C  68¸"  C ¸  G #

$Ñ aC #  "b .B  #C È"  B# .C œ ! .B #C œ .C È"  # C " B# .B ( È=œ ( # "B

#C C#

"

Î(

.C

E<-=/8 B œ 68¸C #  "¸  G

#

%Ñ /B

C

.C # C  Î .B †B .B

œ!

/B .B  C .C œ ! B # /C #

#

#

B /B .B œ  C /C .C B# # ( B / .B œ  ( C /C .C

#

C # /B œ /  G # #

Î(

VIRGINIO GOMEZ


152


Resuelva las siguientes ecuaciones À .C B#  " "Ñ .B œ C #

#Ñ

.C œ C Ð#  =/8BÑ .B

$Ñ C =/8B /-9=B .B  C " .C œ ! %Ñ C È#B#  $ .B  B È%  C # .C œ ! &Ñ Ð$B#  %B  #Ñ .B  Ð#C  "Ñ .C œ ! 'Ñ ÈC .B  Ð"  BÑ .C œ !

Solución

"Ñ B$  C$  $B  $G œ ! #Ñ #B  -9=B  68¸C ¸  G œ ! $Ñ C /-9=B  "  C G œ !

È %Ñ

$ 68

º

È #B#  $ È$ B

º

º  # 68

a %  C È # º C

&Ñ B$  #B#  C#  #B  C  G œ ! 'Ñ 68 ¸"  B¸  # ÈC  G œ !

153

#



È

VIRGINIO GOMEZ

Ejercicios

È

#

#

#B  $  %  C  G œ !


Para que M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 sea exacta debe ocurrir que

VIRGINIO GOMEZ

Ecuaciones Diferenciales ordinarias exactas aEDEb

∂M ∂y

=

∂N ∂x

Para determinar la función se realiza un proceso similar a encontrar la función potencial de un campo vectorial conservativo. Ejemplos "Ñ aB#  Cb .B  aC #  Bb.C œ ! Q œ B#  C

Ê

`Q œ " `C

R œ C#  B

Ê

`R œ " `B

`Q `R œ `C `B

Por lo tanto, es una EDE

0B aBß Cb œ B#  C

0C aBß Cb œ C #  B

0B aBß Cb œ B#  C

Î( .B

# ( 0B aBß Cb.B œ ( ˆB  C ‰ .B

0 aBß Cb œ

B$  BC  G aCb $

0C aBß Cb œ C #  B

a"b Î( .C

# ( 0C aBß Cb.C œ ( ˆC  B‰.C

0 aBß Cb œ

C$  BC  G aBb $

a#b

De a"b y a#b

B$ C$ B$ C$ 0 aBß Cb œ  BC    G con G aBb œ y G aCb œ $ $ $ $

154


Q œ %B$ C$  #BC

Ê

R œ $B% C#  B# `Q `R œ `C `B

Ê

`Q œ "#B$ C#  #B `C

`R œ "#B $C #  #B `B


0B aBß Cb œ %B$ C $  #BC

0C aBß Cb œ $B% C #  B#

0B aBß Cb œ %B$ C $  #BC

Î( .B

$ $ ( 0B aBß Cb.B œ ( ˆ%B C  #BC ‰ .B

0 aBß Cb œ B% C$  B# C  G aCb 0C aBß Cb œ $B% C #  B#

a"b Î( .C

% # # ( 0C aBß Cb.C œ ( ˆ$B C  B ‰.C

0 aBß Cb œ B% C$  B# C  G aBb

a#b

De a"b y a#b 0 aBß Cb œ B% C$  B# C  G

con G aBb œ G aCb œ G

VIRGINIO GOMEZ

#Ñ a%B$ C$  #BCb.B  ˆ$B% C#  B# ‰.C œ !

$Ñ a#B >1 C  =/8 #Cb .B  aB# =/- # C  #B -9= #C  /C b.C œ ! Q œ #B >1 C  =/8 #C

Ê

`Q œ #B =/-# C  # -9= #C `C

R œ B# =/- # C  #B -9= #C  /C

Ê

`R œ #B =/-# C  # -9= #C `B

`Q `R œ `C `B


0B aBß Cb œ #B >1 C  =/8 #C

0C aBß Cb œ B# =/- # C  #B -9= #C  /C

0B aBß Cb œ #B >1 C  =/8 #C

Î( .B

( 0B aBß Cb.B œ ( a#B >1 C  =/8 #Cb .B

155


0 aBß Cb œ B# >1 C  B =/8 #C  G aCb #

0C aBß Cb œ B =/- C  #B -9= #C  /

a"b

C

Î ( .C

# # C ( 0C aBß Cb.C œ ( ˆB =/- C  #B -9= #C  / ‰.C

0 aBß Cb œ B# >1 C  B =/8 #C  /C  G aBb

a#b

De a"b y a#b 0 aBß Cb œ B# >1 C  B =/8 #C  /C G

%Ñ ŠC # /BC#  %B$ ‹.B  Š#BC/BC

#

con G aBb œ G

y G aCb œ /C

 $C # ‹.C

#

Q œ C# /BC  %B$

# # `Q œ #C/ BC  #BC $ /BC `C

Ê

#

R œ #BC/BC  $C #

Ê

GOMEZ

#

# # `R œ #C/ BC  #BC $ /BC `B


`Q `R œ `C `B 0B aBß Cb œ C # /BC  %B$

0C aBß Cb œ #BC/BC  $C #

0B aBß Cb œ C # /BC#  %B$

Î( .B

#

# BC#

( 0B aBß Cb.B œ ( ŠC /

$

# ? œ BC Ê .? œ C # .B

 %B ‹ .B

? $ ( 0B aBß Cb.B œ ( / .?  ( %B .B

0 aBß Cb œ /?  B%  G aCb 0 aBß Cb œ /BC#  B%  G aCb

a"b

0C aBß Cb œ #BC/BC#  $C # ( 0C aBß Cb.C œ ( Š#BC/

BC#

Î( .C #

# ? œ BC Ê .? œ #BC .B

 $C ‹.C

? # ( 0C aBß Cb.B œ ( / .?  ( $C .B

0 aBß Cb œ /?  C$  G aBb 0 aBß Cb œ /BC#  C $  G aBb

VIRGINIO

#

a#b

De a"b y a#b

156


0 aBß Cb œ /BC#  B%  C $ G Encuentre la solución general en À "Ñ ŒC/BC  

"

 .B  ŒB/

BC B

 .C œ !

C#

C

" C .C œ ! #Ñ Ð C# =/8B Ñ .B Œ B B  B $Ñ Ð "  68 CÑ .B  .C œ ! C %Ñ Ð  -9= B -9= C  B# Ñ .B  Ð=/8 B =/8 C  CÑ .C œ !

&Ñ =/- # B .B  È"  C .C œ ! 'Ñ -9= C .B  ÐC =/8 B  /C Ñ .C œ ! Solución

B "Ñ 0 aBß Cb œ /BC   GC #Ñ No es una EDE $Ñ 0 aBß Cb œ B 68 C  B  G

%Ñ 0 aBß Cb œ

B$ C#  =/8B-9=C  G $ #

&Ñ 0 aBß Cb œ >1 B  'Ñ No es un EDE

# a"  Cb$Î#  G $

VIRGINIO GOMEZ

con G aBb œ B% y G aCb œ  C $ Ejercicios

157


GOMEZ

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Una ecuación diferencial ordinaria es lineal aEDLb si es de primer grado entre la variable dependiente y sus derivadas.

Su forma general es:

n− 1 dny d y dy a 0 ( x) n + a1 ( x) n− 1 + L + a n− 1 ( x) + a n ( x) y = g ( x) dx dx dx

Ejemplos "Ñ

.C  $BC œ =/8B .B

#Ñ P

.# C .C " V  C œ I aBb # .B .B -

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal respecto a la función desconocida y a su derivada. Su forma característica es: Su forma característica es :

dy dx

+ P( x) ⋅ y = Q( x)

donde T aBb y UaBb son funciones continuas. Si UaBb œ ! , entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal homogénea aEDLHb la cual se resuelve como una EDVS

La solución de la ecuación

dy

+ P( x) ⋅ y = Q(

es:

x) dx

y=

1 ∝ ( x)

[∫ +C

Q( x) ⋅ ∝ ( x)

]

con ∝ ( x) = e

∫

VIRGINIO

P( x)dx

158


"Ñ

.C  #BC œ %B .B

T aBb œ #B

UaBb œ %B

( #B .B . aBb œ / Cœ Cœ

=

#

" B# .B  G # Œ( %B/ B / " B# G‹ # Š#/ /B

C œ #  G / B

#Ñ &/

Ê . aBb œ /B

.C

#

 C -9>1 B œ

-9=B

.B UaBb œ &/-9=B

T aBb œ -9>1 B ( -9>1B .B . aBb œ / 68¸=/8B¸

Cœ

Ê . aBb œ /

Ê . aBb œ =/8 B

" Œ( &/-9= B † =/8 B .B  G =/8 B

C œ =/8" B a  &/-9= B  G b C œ -9=/- Ba  &/-9= B  G b $Ñ #B .C œ a#B$  Cb .B

Î .B

.C #B = œ #B$  C .B .C #B =  C œ #B$ .B

Î À #B

.C "  C œ B# .B #B T aBb œ

" #B

" .B ( . aBb œ / #B

UaBb œ B#

"

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos

¸ ¸

Ê . aBb œ / # 68 B

159

Ê . aBb œ /68

ÈB

Ê . aBb œ ÈB


" # B † ÈB .B  G ÈB Œ( " (Î# = # Cœ B  G ÈB Œ ( # " C œ = B $ G B # (

%Ñ C .B œ =/8 #B .B  .C

Î .B

.C C œ =/8 #B .B .C  C œ =/8 #B .B T aBb œ "

UaBb œ =/8 #B

( .B . aBb œ /

Ê . aBb œ /B

C œ "B Œ( =/8 #B † /B .B  G  /

B ( =/8 #B † / .B

? œ /B

Ê .? œ /B .B .@ œ =/8 #B B / -9= #B "= B B  ( / -9= #B ( =/8 #B † / .B œ .B  # # B B ?œ/ Ê .? œ / .B .@ œ -9= #B ( =/8 #B † / B .B œ  B

( =/8 #B † / .B œ 

Ê @œ 

Ê @œ

/B -9= #B #



/B =/8 #B %



/B =/8 #B %

#/B -9= #B /B =/8 #B  G & &

Por lo tanto, C œ "B Œ( =/8 #B † /B .B  G  / " #/B -9= #B /B =/8 #B C œ Œ  G /B &  &

160

-9= #B #

=/8 #B

/B -9= #B " /B =/8 #B "= B  ( / =/8 #B .B  Œ # # # #

& /B -9= #B /B =/8 #B  G ( =/8 #B † /B .B œ  % # % ( =/8 #B † / B .B œ 

VIRGINIO GOMEZ

Cœ

#


# " C œ  -9= #B  =/8 #B  G /B & & Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones .C "Ñ =  C œ /$B .B

#Ñ

.C C œ  #B  " .B B

$Ñ

.C # œ B /  %B %C .B

%Ñ =/8B

&Ñ

.C  C -9= B œ B =/8 B .B

.C  C >1 B œ =/- B .B

Solución

"Ñ C œ

/= $B  G /B #

#Ñ C œ B ˆ#B  68¸B¸  G ‰ " $Ñ C œ /%B Œ = B$  G  $ %Ñ C œ "  B -9>1 B  G -9=/- B &Ñ C œ =/8 B  G -9= B

161

VIRGINIO GOMEZ



Autoevaluación N°1 Complemento de Cálculo Nombre: Carrera:

1)

2)

............................................................... ................................... Sección: .............

Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique. 8

a)

b)

"Œ $  % 8œ"

c)

_ ! # 8 8œ" &

d)

"8

_

# $

8œ"

Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À _

8œ"

8# 8$  #

Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: _

! a 8 "b

8œ"

4)

_

_ ! " # 8œ" 8

! a  "b8"†

3)

VIRGINIO GOMEZ


B#8 a#8bx

Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ B # 0 aBb œ /

162


_ ! " # 8œ" 8

") a)

es serie p, p œ #,

CV

b)

! Œ$  % 8œ"

es serie geométrica , r œ

$ , %

por lo tanto

c)

_ ! # 8 8œ" &

es serie geométrica , r œ

" &

, por lo tanto CV

_

d)

! 8 $#

es serie p , p œ

8œ"

2)

por lo tanto

8

_

VIRGINIO GOMEZ

Pauta de corrección

# , $

por lo tanto

Decida si la serie alterna es convergente o divergente À _

! a  "b8"†

8œ"

+8 œ

8# 8$  #

8#

+ 8" œ

8$ 

# a)

#

a8  "b $ a8  "b  #

!  +8"  +8

a8  "b# 8# !   $ $ a8  "b  # 8  # b) lim +8 8Ä_

lim +8 œ ! 8# 8Ä_ 8$  #

œ lim

#8 8Ä_ $8#

regla de L´Hopital

œ lim

8Ä_

#

regla de L´Hopital

$8

Se cumple segunda condición. (2)

œ ! #

_ De (1) y (2) la serie ! a  "b8" † 8 es convergente. 8$  # 8œ"

Consideremos la serie asociada: 8# $ 8œ" 8  # _

!

DV

Se cumple primera condición. (1)

8Ä_

œ lim

CV

163


B# 0 aBb œ B$  #

_

(

B#

B #

"

función continua, positiva, decreciente. Así es posible utilizar el criterio de la integral ,

$

.B œ

lim (

,Ä_ "

œ

œ

œ

B# .B B # lim (

" $

? œ B$  #

$

,Ä_

œ

.? œ $B# .B

.? $?

lim 68?

,Ä_

"

$ lim 68ˆ B ‰# ‚

$

,Ä_

" $

,Ä_

, "

lim 68ˆ,$  #‰  68ˆ"$  #‰

" $ œ_

œ

lim 68a_b  68a$b

,Ä_

8# es divergente $ 8œ" 8  # _

De esta forma la serie asociada !

#

_ 8 ! a  "b8" † $ # 8 8œ"

Por tanto, la serie

3)

es CVC

Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia: _

B#8

! a 8 "b

a#8bx

8œ"

+8

+8 º

;

+8"

B œ a#8  #bx

B#8# B# B# a#8  #bx œ œ œ a#8  #ba#8  %8#  $8  # B#8 "b #8x

+8"

lim

#8#

#8

B #8x

+8 œ

8Ä_

VIRGINIO GOMEZ

Por criterio de la integral

"

+8

º

œ

lim 8Ä_

œ ¸B # ¸

B# º

%8#  $8  #

lim º

8Ä_ %8#

º

" º  $8  #

164


œ!

4)

_

B#8

8œ"

a#8bx

a B − ‘ la serie !8 a  "b

3œ ! "

Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ 0 aBb œ /

" B #

"

0 a!b œ "

" #B

" # " 0 ´á!b œ % " 0 ´´á!b œ ) " v 0 ´ a!b œ "' " v 0 a!b œ $# " v ´ 0 a!b œ '%

0 áBb œ / # " " B 0 ´áBb œ /# % " " B 0 ´´áBb œ /# ) " v " 0 ´ aBb œ / # B "' " "# B v 0 aBb œ / $# " "# B v ´ 0 aBb œ / '% _

8

8œ!

8x

! 0 8 a!b B

0 á!b œ

" B " B# " B$ " B% œ" †  †  †  †  ÞÞÞ #

"x

8 _ _ 8 8 B ! 0 8 a!bB œ " " Œ  8œ! 8x 8œ! # 8x

%

#x

)

$x

"'

%x

VIRGINIO GOMEZ

œ ¸B # ¸ † !

es CV

165


Autoevaluación N°2 Complemento de Cálculo

VIRGINIO GOMEZ


Nombre:............................................................. Carrera:...................................... ..Sección.............

"Ñ

Sea =/8aB  Cb  -9=aC  Db œ "

#Ñ

Obtener : +Ñ

#Ñ

`D `B

,Ñ

`D `C

Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado son À largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razón de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À a) Rapidez de cambio del volumen. b) Rapidez de cambio del área total.

$)

La densidad 4aBß Cbaen 51Î7# b en cualquier punto de una placa rectangular " situada en el plano BC es 4aBß Cb œ È= # Þ B  C#  $ La distancia se mide en metros. a1) Obtener la r+zón de cambio de la densidad en el punto a$ß #b en la dirección del vector unitario ? œ -9= #$1 3  =/8$#1 4.

a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de 4aBß Cb en a$ß #b

%Ñ

Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible, considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las caras laterales $3000 por pie cuadrado.

166


1Ñ

Sea

=/8aB  Cb  -9=aC  Db œ "

Obtener : +Ñ

`D `B

=/8aB  Cb  -9=aC  Db œ "

À

VIRGINIO GOMEZ

Pauta de Corrección

-9=aB  Cb  =/8aC  DbŒ `D œ !  `B  `D -9=aB  Cb œ `B =/8aC  Db ,Ñ

`D `C

À

=/8aB  Cb  -9=aC  Db œ "

-9=aB  Cb ˆ  "‰  =/8aC  DbŒ " `D œ! `C  `D =/8aC  Db  =/8aC  Db œ  -9=aB  Cb `C

`D =/8aC  Db  -9=aB  Cb œ  `B =/8aC  Db

2Ñ 6 œ * -7 .6 -7 .> œ  $ =/1

+ œ ' -7 .+ œ " -7 .> =/1

.2 œ " -7 .> =/1

+Ñ Z œ 6+2 .Z œ ` Z † .6  ` Z † .+  ` Z † .2 .> ` 6 .> ` + .> ` 2 .> .Z œ +2 † .6  62 † .+  6+ † .2 .> .> .> .> .Z œ ")a  $b  #(a"b  &%a"b .> .Z œ #( .> El volumen crece a razón de #(

2 œ $ -7

-7 $ =/1

,Ñ E œ 6+  #+2  #62 .E œ ` E † .6  ` E † .+  ` E † .2 .> ` 6 .> ` + .> ` 2 .>

167


.6 œ a+  #2b  a6  #2b .> .>

.+

.2  a#+  #6b .> .>

.E œ "#a  $b  "&a"b  $!a"b .> .E œ $ .> El área total decrece a razón de $ 3) a1)

p

p

-7# =/1

È

" ? œ -9= #$ 1 3  =/8# $ 1 4 Ê ? œ  3 $ #

4aBß Cb œ

#

4

" ‰ Ê 4aBß Cb œ ˆ# B # C $"Î# = È B#  C #  $

B $Î# =" # # 4B œ  ˆB  C ‰$ a#Bb Ê 4B œ  $Î# # # aB  C#  $b 4B a$ß #b œ 

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$  #È$ "#) Q +BH? 4a$ß #b œ mf4a$ß #bm œ

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VIRGINIO GOMEZ

.E

168


Z œ %)! :3/=$ Z œ BCD

Ê

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VIRGINIO GOMEZ

4)

E œ #BC  #CD  #BD G œ &!!!a#BCb  $!!!a#CD  #BDb J aBß Cß Dß -b œ "!!!!BC  '!!!CD  '!!!BD  -aBCD  %)!b "!!!!C  '!!!D CD

JB œ "!!!!C  '!!!D  -CD œ ! Ê

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J- œ BCD  %)! œ !

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B$ œ %)! †

"!!!!B  '!!!D BD '!!!C  '!!!B BC

De a"b y a#b 

"!!!!C  '!!!D "!!!!B  '!!!D œ  CD BD BœC

De a"b y a$b 

"!!!!C  '!!!D '!!!C  '!!!B œ  CD BC "!BC  'BD œ 'CD  'BD "!B œ 'D

a%bß a&b y a'b BCD œ %)!

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Ê

a"b

a#b

a$b

a%b

$ Ê B œ È$#)) &

$ $ Luego, las dimensiones del contenedor serán base B œ È #)) pie à C œ È #)) pie y altura & È$ Dœ $ pie. #))

169



VIRGINIO GOMEZ


Nombre ..............................................Sección..............

1.-

Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: ( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C V

1Î#

1 =/8) #-9=# 9 3 # .3 .) .9 ( ( ! !

2.-

Integre À

3.-

Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por D œ %  C# y los planos B œ C à C œ #

4.-

Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B#  C# œ * ß el paraboloide D œ B#  y el plano D œ ! C#

5.-

Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos B#  C# œ D # à B#  C # œ $D # y la semiesfera D œ È%  B#  C #

(

!

170


".-

Determine los límites de integración según la región R asombreadab para: ( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C Para .E œ .C.B ( ( .E œ ( ( V

!

V

/B

"

.C.B

ÈB

Para .E œ .B.C Intersección entre la curva B œ C # y la recta B œ " B œ C# Ê C# œ " Ê Cœ" Bœ" Ê Cœ " Puntos de intersección :

a"ß "b à a"ß  "b

Intersección entre la curva C œ /B y la recta B œ ! B Cœ/ Ê C œ /! Ê Cœ" Bœ! Puntos de intersección : a!ß "b

( ( !

1Î#

(

!

œ

1

( ( !

C#

"

Luego

#Þ 

VIRGINIO GOMEZ


!

"

.C.B  ( ( !

!

.C.B

68C

=/8)

#-9= # 93 # .3 .) .9 œ (

"

1

1Î#

( !

!

# 1Î# 1 ( ( -9= # 9=/8$ ) .) .9 $ ! !

# 1Î# 1 œ ( ( -9= # 9=/8)ˆ"  -9=# )‰.) .9 $ ! ! 1

" # 1Î# œ ( -9= # 9Œ  -9=) = -9=$ )º .9 $ ! $ ! œ

=/8)

#= # $ -9= 93 º $ !

)= 1Î# # -9= 9 .9 ( * !

171

.) .9


) *

1Î#

(

Œ

!

"  -9=#9 .9 #

VIRGINIO GOMEZ

œ

1Î#

% =/8#9 œ Œ9  º * # ! œ

$Þ-

# 1 * #

%C#

C

.D.B.C

Z œ( ( ( !

!

#

! %C#

C

Z œ ( ( Dº !

!

#

.B .C !

C

Z œ ( ( Ð%  C # Ñ .B .C !

!

C

#

Z œ ( ˆ%B  BC # ‰º .C !

!

#

$ Z œ ( ˆ%C  C ‰ .C !

#

" Z œ #C #  C %º % !

4.-

Z œ % a?Þ ./ @Þb Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro B#  C# œ * ß el paraboloide D œ B#  y el plano D œ ! C#

1 #

Z œ %( ( ( !

<#

$ !

<.D.<.) !

172


Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos B#  C# œ D # à B#  C # œ $D # y la semiesfera D œ È%  B#  C #

1Î#

Z œ %(

!

1Î$

(

1Î%

VIRGINIO GOMEZ

&Þ 

#

# ( 3 =/89 .3 .9 .) !

173



VIRGINIO GOMEZ


Nombre:....................................................................... Carrera: .......................................... Sección: ...........

1)

Decida si el siguiente campo vectorial es conservativo en ‘# Þ En caso de serlo determine su función potencial J aBß Cb œ

B C 3 # 4 B#  C# B  C#

2)

Encuentre el rotacional de FaBß Cß Db œ aB/BC  D-9=Cß C/BC  D=/8Cß "  D # b

3)

Dada la superficie

D # œ  B/BC Þ Obtener la ecuación del plano tangente y de la recta normal en el punto Ð  " ß ! ß " Ñ

4)

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

.C aB  "b=  C œ B#  " .B

b)

a/C  C-9=Bb.B  aB/C  =/8Bb.C œ !

174


1)

J aBß Cb œ

B C 3 # # C B  C#  4 B#

B # Q œ B#  C

Ê

`Q œ #BC # `C aB#  C# b

C # Ê R œ B#  C

`R œ #BC ` B aB#  C# b#

VIRGINIO GOMEZ


`Q `R œ , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo. `C `B J œ f0 aBß Cb Q aBß Cb 3  R aBß Cb 4 œ 0B aBß Cb 3  0C aBß Cb 4

Luego, por igualdad de vectores, Q aBß Cb œ 0B aBß Cb ß R aBß Cb œ 0C aBß Cb Así, 0BaBß Cb œ

B#

B  C#

( 0B aBß Cb .B œ (

Î( .B

B .B B#  C #

? œ B#  C# .? œ #B.B

.? ( 0B aBß Cb .B œ ( #? " 0 aBß Cb .B œ 68¸B#  C # ¸  G aCb # C 0C aBß Cb œ  # B  C#

a"b

Î( .C

C ( 0C aBß Cb .C œ (  C B#  .C C# ( 0C aBß Cb .B œ (

#

#

?œB  .? œ  #C.B

.? #?

" 0 aBß Cb .B œ 68¸B#  C # ¸  G aBb #

a#b

De a1b y a2b se tiene

175


2)

" 0 aBß Cb œ 68¸B# #â â â â <9>aJ b œ â â â BC â B/

 C# ¸  G , donde G aBb œ G aCb œ G â 3 4 5 â â ` ` ` â â `B `C `D â BC # â  D-9=C C/  D=/8C "  D â

<9>aJ b œ =/8Cß =/8Cß C # /BC  B# /BC  D=/8C ‘

3)

D # œ  B/BC D #  B/BC œ ! 0 aBß Cß Db œ D #  B/BC 0 a  "ß !ß "b œ "  "/! œ !

VIRGINIO GOMEZ


Así el punto a  "ß !ß "b pertenece a la superficie D # œ  B/BC 0B aBß Cß Db œ /BC  BC/BC 0 a  "ß !ß "b œ " 0C aBß Cß Db œ B# /BC 0 a  "ß !ß "b œ " 0D aBß Cß Db œ #D 0 a  "ß !ß "b œ # Luego f0 a  "ß !ß "b œ a"ß "ß #b Plano tangente

Recta Normal

a"ß "ß #baB  "ß C  !ß D  "b œ!

B" C! D" œ œ " " #

B  "  C  #D  # œ !

B"œ C œ

B  C  #D  " œ !

4)

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

.C aB  "b=  C œ B#  " .B .C " B#  "  Cœ .B B" B" .C " aB  "baB  "b  Cœ .B B" B"

D" #

. œ /

(

" .B B"

. œ /68lB"l

176


.B

b)

 "

"

CœB B"

. œB"

Cœ

" ( aB  "baB  "b.B  G ‘ B"

Cœ

" ( ˆB #  "‰.B  G ‘ B"

Cœ

" B$  BG‘ B" $

a/C  C-9=Bb.B  aB/C  =/8Bb.C œ ! Q œ /C  C-9=B Ê QC œ /C  C -9=B R œ B/  =/8B Ê RB œ / C  -9=B

0B aBß Cb œ ( a/C  C-9=Bb.B 0 aBß Cb œ B/C  C=/8B  G aCb

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa"b

0C aBß Cb œ ( aB/C  =/8Bb.C

VIRGINIO GOMEZ

.C

0 aBß Cb œ B/C  C=/8B  G aBb

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa#b

De a"b y a#b

0 aBß Cb œ B/C  C=/8B  con G aBb œ G aCb œ G G

177


Bibliografía

Autor

Título

Thomas/Finney

Cálculo con Geometría Analítica

Ayres Frank

Cálculo Diferencial e Integral

Protter-Morrey

Cálculo con Geometría Analítica

Louis Leithold

El Cálculo con Geometría Analítica

Marsden Jerrold

Cálculo Vectorial

Spiegel murray

Cálculo Superior

VIRGINIO GOMEZ


Editorial

178

Adisson-Wesley Mc Graw -Hill Adisson-Wesley Harla

Adisson Wesley Mc Graw -Hill

54977454 Complemento de Calculo

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