Matemática Básica
Professor: André Gustavo
Matemática Básica Olá, graduandos: O Complemento de Matemática Básica tem o objetivo de oferecer, além de uma revisão dos conteúdos principais que servem ser vem de suporte para a disci- plina, uma breve apresentação das fórmulas mais importantes para esse pri- meiro momento. É objetivo também desse compêndio levar a você, estudante, uma quan- tidade razoável de exercícios resolvidos, para que, assim, possa acompanhar passo a passo a resolução de cada um deles, tendo-os como referência para solução de problemas. Nesse complemento, você também vai encontrar algumas dicas para o enfrentamento dos problemas problemas e um pouco de teoria teori a para facilitar a compreen- são de cada um deles. Para um melhor acompanhamento dos exercícios resolvidos, tenha uma calculadora científica à mão. Saiba que a maioria das questões necessita de conceitos básicos de matemática, portanto, é natural sentir dificuldades em um ou outro problema. A ideia é que, sempre que ocorrer tal dificuldade, você recorra aos fundamentos da matemática elementar ou aos conceitos que sus- tentam determinado assunto, ou, se preferir, entre em contato com os tutores virtuais. Antes de acompanhar os exercícios resolvidos, tente realizar a revisão sugerida, pois a maioria dos exercícios tem como base o conteúdo dessa re- visão; caso não encontre aqui, recorra a outras fontes de pesquisa. Cuidado, este material não substitui o livro, portanto, o estudo programado nos encon- tros terá como principal referência o livro da disciplina. Não deixe para organizar o material estudado na última hora, pois isso pode levar mais tempo do que você prevê, e esse tempo terá de ser subtraído das preciosas horas destinadas ao estudo. Separar com ante- cedência todo o material necessário, dirigir-se a bibliotecas, consultar co- legas, ler revistas e jornais, tirar dúvidas com os tutores virtuais e colher o máximo de material são as formas corretas de se preparar com antece- dência e de utilizar todo o tempo previsto somente para o estudo. Não en- gane a si mesmo, dizendo-se pouco inteligente ou que a matéria é difícil, isto é um truque da mente para se livrar da responsabilidade de estudar. Enfrente as dificuldades e faça o que puder... Boa sorte e força, sempre.
Conjunto dos números naturais Chama-se conjunto dos números naturais – símbolo N – o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3,...}
Conjunto dos números inteiros Chama-se conjunto dos números inteiros – símbolo Z – o seguinte conjunto: Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
operações Com números inteiros 1) Adição de inteiros A soma de dois ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores abso- lutos e conservando-se o sinal comum. A soma de dois ou mais números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os seus valores absolutos e repetindo-se o sinal de maior valor absoluto. Exemplos: a) (+3) + (+6) = +9 b) (–1) + (–4) = –5 c) (+2) + (–7) = –5 d) (+4) + (–4) = 0 1
2) Números inteiros opostos ou simétricos Números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários são opostos ou simétricos . Exemplos: a) O valor absoluto de –1 é igual a 1, e o valor absoluto de +1 é igual a 1; logo, o oposto de –1 é +1. b) O valor absoluto de +3 é igual a 3, e o valor absoluto de –3 é igual a 3; logo, o oposto de +3 é –3.
3) Subtração de números inteiros Vejamos agora como efetuar uma subtração de dois números inteiros. Para isso, vamos considerar a subtração (+3) – (–2). Note que – (–2) é o oposto de –2 e vale +2. Então, Então, podemos perceber que (+3) – (–2) é o mesmo que (+3) + 2. Assim, podemos efetuar essa subtração da seguinte forma: (+3) – (–2) = +3 + 2 = +5 1 O valor absoluto (ou módulo) de um número pode ser entendido como a distância de um ponto de uma reta r à origem. Por exemplo: em uma reta cujo ponto O é a origem e o ponto B é igual a – 4, temos que a distância do ponto O ao ponto B é de 4 unidades. Portanto, o valor absoluto de –4 é igual a 4 (distância do ponto B à origem O ).).
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Observe que o que fizemos foi somar o primeiro número ao oposto do segundo. Exemplos: a) (+5) – (–4) = (+5) + (+4) = + 9 = 9 b) (–48) – (+50) = (–48) + (–50) = –98 Assim, a subtração de dois números é calculada somando-se o primeiro número ao oposto do segundo.
4) Multiplicação de números inteiros Lembre-se de que a multiplicação pode ser vista como uma adição de parcelas iguais. Exemplo: 5 . 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Agora, observe as seguintes multiplicações: a) (+2) . (+4) = 2 . (+4) = (+4) + (+4) = +8 = 8
Portanto, (+2) . (+4) = 8. Multiplicamos dois números positivos, e o resultado foi um número positivo. b) (+2) . (–4) = 2 . (–4) = (–4) + (–4) = –8
Portanto, (+2) . (–4) = –8. Multiplicamos um número positivo por um número negativo, e o resultado foi um número negativo. c) O produto (–2) . (+4) pode ser representado por – (+2) . (+4)
Como (+2) . (+4) = 8, temos – [(+2) . (+4)] = –8 Portanto, (–2) . (+4) = –8. Multiplicamos um número negativo por um número positivo e o resultado foi um número negativo. d) O produto (–2) . (–4) pode ser representado por – (+2) . (–4).
Como (+2) . (–4) = –8, temos – [(+2) . (–4)] = – (–8) = +8 = 8. Portanto, (–2) . (–4) = 8. Multiplicamos dois números negativos, e o resultado foi um número positivo. Em qualquer multiplicação de números inteiros, temos que: o produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo ; o produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo . Em síntese, temos: (+) . (+) = + (+) . (–) = – (–) . (+) = – (–) . (–) = +
5. Divisão de números inteiros Lembre-se de que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Assim, 18 : 3 = 6, porque 6 . 3 = 18. Exemplos: a) (+60) : (–15) = –4, porque (–4) . (–15) = +60. b) (–30) : (+10) = –3, porque (–3) . (+10) = –30. 5
c) (–65) : (–13) = +5, porque (+3) . (–13) = –65.
Em uma divisão entre dois números inteiros, com o divisor diferente de zero, temos: Quociente positivo quando dividendo e divisor são números de mesmo sinal. Quociente negativo quando dividendo e divisor são números de sinais diferentes .
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expressões numériCas Vamos Vamos resolver inicialmente a expressão: 1 2 + (−1) . 3
5 : 100 − 5 . ( −1)3 + 1 − ( 81) : 3 1 ) ( 2
Atenção: Observe que a expressão contém potenciação, radiciação, multiplicação, divisão, adição e
subtração, além de chaves, colchetes e parênteses. Para resolver uma expressão desse tipo, você deve recorrer às prioridades . Procure não se esquecer das prioridades, pois falhar em uma delas significa errar o resultado final. Então, vamos a elas:
Prioridades nas operações 1) Potenciação ou radiciação. 2) Multiplicação ou divisão. 3) Adição ou subtração. (Na ordem em que aparecerem.)
Ordem dos sinais de associação: 1) Parênteses ( ). 2) Colchetes [ ]. 3) Chaves { }. Vamos Vamos resolver a seguinte expressão: 1 2 1 + (−1) . 5 : ( 100 − 5 ) . ( −1)3 + − ( 81) : 3 1 3 2 Resolvendo as potências e as radiciações, temos: 1 1 + 1 . 5 : (10 − 5 ) . ( −1) + − 9 : 1 3 2 Eliminamos os parênteses, resolvendo as operações que aparecem dentro deles: 1 + 1 . 3
5 : 5 . ( −1) + 1 − 9 : 1 2
Agora, fazemos as operações de divisão ou de multiplicação na ordem em que aparecerem: 1 + 1 . 3 2 O quociente é o resultado da da divisão entre o dividendo e o divisor. divisor.
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1 . ( −1) + 1 − 9 2
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Em seguida, realizamos as operações que estão dentro dos colchetes: 1 + 1 . 3
(−1) + 1 − 9 2
Assim, obtemos a seguinte expressão: 1 + 1 . 3
− 1 − 9 2
Ao realizar a operação dentro dos colchetes, você pode eliminá-lo, se preferir. Nesta expressão que estamos resolvendo, porém, é interessante mantê-lo por causa do sinal negativo. Dessa forma, multiplique o número que está na frente dos colchetes pelo número que está dentro, aplicando a regra dos sinais: 1 1 + − − 9 3 2 Estamos chegando ao final da nossa expressão. É hora de realizar a operação dentro das chaves. Proceda da seguinte forma: 1) Lembre-se de que todo número inteiro é um número racional; portanto, –9 = 9 . 1 2) Para fazer a adição entre duas frações com denominadores diferentes, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os denominadores. No caso, devemos calcular o MMC entre 2 e 1. Como o MMC (2,1) = 2, esse será o novo denominador. 3) Divida o MMC encontrado pelos denominadores das frações 3 e multiplique o resultado pelos nume-
radores das frações. 4) Registre os resultados da multiplicação e faça a operação indicada na parte de cima da fração. 1
1 1 9 1 −1− 18 1 −19 + − − ⇒ + ⇒ + 3 2 1 3 2 3 2 1 19 1 19 Observe que + − = − , pois + (– a a) = – a a. 3 2 3 2 Daí, temos que 1 − 19 = − 55 . 3 2 6 Logo, o resultado de nossa expressão é − 55 . 6
propriedades da potenCiação Da definição de “potência”, temos que, dado um número natural n , com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o número a n que é o produto de n fatores iguais a a . a n = a. a . a... a. .. . a n fatores
3 Representa-se uma fração pelo símbolo a , em que a e b são números inteiros, com b ≠ 0. Chamamos a de numerador e b de denominador. b
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Lembre-se de que 3 4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81. Nota: É comum entre os estudantes confundir a operação de potenciação com a de multiplicação entre dois números, por isso fique atento. Jamais faça: 3 4 = 3 . 4 = 12. Isto está errado . O expoente 4 indica quantas vezes você irá multiplicar a base da potência por ela mesma, no caso, multiplique 3 . 3 . 3 . 3 (quatro vezes).
1) Propriedade: Produto de potências de mesma base Para calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os ex- poentes: a m . a n = a m + n
Exemplo: 2 5 . 2 3 = 2 5 + 3 = 2 8
2) Propriedade: Quociente de potências de mesma base Para calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os ex- poentes: a : a = m
n
a m n
a
= a m −n
Exemplo: 5
2
a : a
=
a 5 2
a
= a 5 − 2 = a 3
3) Propriedade: Potência de um produto ( a a . b )n = a n . a n Exemplo: (2 . 5)3 = 2 3 . 5 3
4. Propriedade: Potência de um quociente n
a = a n , b ≠ 0 b b n Exemplo: 3
2 = 2 3 5 5 3
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5. Propriedade: Potência de uma potência
(a ) m
n
= a m . n
Exemplo: 5
( 23 ) = 23 . 5 = 2 15
potênCias Com expoentes negativos Observe que, pela segunda propriedade, temos a 2 : a 5 = a 2 − 5 = a −3 . 2 1 a . a 2 5 a Pela definição, temos a : a = 5 = = 3 . Portanto, a −3 =
1 a 3
a . a . a . a . a a
a
.
De uma forma geral, temos a −n =
1 a n
.
Exemplos:
a) 5 −2 = 1 = 1 2
5 25 Observe que o resultado de 5 –2 é o inverso multiplicativo de 5 2 , ou seja, 1 . 25 −3
3
3 2 2 3 8 b) = = 3 = 2 3 3 27 3 2 Aplicamos o inverso de , que é , depois aplicamos a propriedade 4. 2 3 Lembre-se de que quando invertemos a fração, o expoente negativo torna-se positivo.
potênCia Com expoente fraCionário Antes de falarmos sobre potência com expoente fracionário, vamos ver o que significa n a = b . O primeiro passo é reconhecer cada um dos elementos envolvidos na operação: n = índice a = radicando ( a a ∈ R, e a ≥ 0) b = raiz = radical
Nota: Quando não aparecer o índice no radical, devemos considerar nesses casos que o índice é igual
a dois. Exemplos: a)
3
8 = 2 9
Lê-se: raiz cúbica de 8 é igual a 2. O índice é igual a 3. O radicando é igual a 8. A raiz é igual a 2.
b)
81 = 9 Lê-se: raiz quadrada de 81 é igual a 9. O índice é igual a 2. O radicando é igual a 81. A raiz é igual a 9.
Agora, você já está pronto para entender o próximo assunto. n
Dado um número racional n e um número real a, podemos dizer que a m = m a n . m Exemplos: a)
3 2 5
= 5 23 = 5 8
1
b) 7 3 = 3 71
= 3 7
c)
7 3 2
= 2 37 = 2.187
d)
2 9 2
= 9 2 = 81 = 9
números raCionais Todo número que representa o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero, é chamado número racional. a , a e b inteiros, b ≠ 0 b
Como o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero, pode ser representado por uma fração, sempre que pudermos representar um número por fração ele será racional. Exemplos:
–5
10
9 2
–0,75
−
1 3
3,2
−
20 5
7 10
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números deCimais Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal. Exemplos: 1 10
1 100
1 . 1000
Observe que: 10 = 10 1 100 = 10 2 1 000 = 10 3
Agora, veja os seguintes exemplos: 1 5 = 0, 5 = 2 10 1 25 b) = 0, 25 = 4 100 c) − 14 = −7 = − 70 2 10 d) 1 = 0, 333 ... = 3, 333 ... 3 10 a)
O número decimal pode ser: um decimal exato; um número inteiro; uma dízima periódica.
Exemplos: 5 50 500 . (decimal exato) , etc = = 10 100 1000 . 70 −700 −7000 . ,etc . (número inteiro) = = b) −7 = 10 100 1000 . 3, 333 ... 33, 33 ... , etc . (dízima periódica) = c) 0, 3333 ... = 10 100 a) 0, 5 =
razão e proporção Razão Dados dois números a e b , com b ≠ 0, chamamos de razão de a para b , ou razão entre a e b , nessa ordem, ao quociente a , que também pode ser indicado por a : b . b
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O número a é chamado de antecedente , e o b é denominado consequente . Quando a e b forem me- didas de uma mesma grandeza, eles devem ser expressos na mesma unidade de medida. Exemplo: A cada 500 leitores de jornais, 130 leem o Jornal Notícias de Hoje . A razão entre a quantidade total de leitores de jornais e os que leem o Jornal Notícias de Hoje é de 500 para 130, ou seja, 500 . Simplifi- 130 cando, obtemos 50 . Podemos dizer, dizer, então, que a razão entre a quantidade de leitores de jornal e a de 13 leitores de Jornal Notícias de Hoje é de 50 (50 está para 13). Isso significa que para cada 50 jornais 13 lidos, 13 são do Jornal Notícias de Hoje .
Proporção Proporção é a igualdade entre duas razões. Exemplo: Suponha que, no ano de 2001, as vendas de uma empresa foram de R$ 300.000,00, e as do ano de 2002 foram de R$ 450.000,00. Suponha, ainda, que, nos anos de 2003 e de 2004, as vendas dessa empresa foram de R$ 600.000,00 e de R$ 900.000,00, respectivamente. Dessa forma, a razão das vendas do ano de 2004 para o ano de 2003 é 900.000 : 600.000 = 1,5. Como a razão de vendas do ano de 2002 para o ano de 2001 é igual (450.000 : 300.000 = 1,5), dizemos que as razões são equivalentes, assim, podemos representá-las da seguinte forma: 900 900.000 000 450 450.000 000 9 45 = ⇒ = 600 600.000 000 300 300.000 000 6 30 Essa igualdade de duas razões é chamada de proporção . Ela pode ser lida da seguinte forma: “45 está para 30, assim como 9 está para 6”. De uma forma geral, dadas as razões a e c , chamamos de proporção a sentença de igualdade a = c . b d Os valores a e d são chamados de extremos ; e os valores b e c , de meios .
b d
Propriedade da proporção Se a = c , então a . d = b . c . Isto é, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao b d produto dos meios .
Exemplo: Uma empresa pretende alocar 200 mil reais entre pesquisa e propaganda, de modo que a razão entre as quantias seja 2 : 3. Quais os valores alocados para pesquisa e propaganda? Solução: Seja x o valor alocado para pesquisa. O valor alocado para propaganda será 200 – x . Portanto,
devemos ter
12
x
2 = .
200 − x 3
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Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos: 3 x x = 2 (200 – x ) 3 x x = 400 – 2 x x 3 x x + 2 x x = 400 5 x x = 400 400 x = 5 x = 80 200 – x = 200 = 200 – 80 = 120 Portanto, o valor alocado para pesquisa é 80 mil reais; para a propaganda, 120 mil reais.
porCentagem Denomina-se razão centesimal ou percentual toda razão cujo consequente é igual a 100. Uma razão comum, como, por exemplo, 3 pode ser transformada em uma razão percentual, procedendo-se 4 da seguinte forma: 3 = 3 : 4 = 0, 75 = 75 = 75 % . 4 100 Exemplos: a) Uma geladeira é vendida por R$ 1.200,00, se seu preço sofrer um acréscimo igual a 8% desse valor, valor, quanto passará a custar? Solução:
8 . 1.200 = 0, 08 08 . 1.200 = 96 100 Dessa forma, o preço (em reais) após o acréscimo será de R$ 1.200,00 + R$ 96,00 = R$ 1.296,00. b) Calcule 20% de 50%. Solução:
Nesses casos, há um método fácil e rápido: desfaça a primeira porcentagem e multiplique pela segunda (conserve a segunda), da seguinte forma: 20 . 50% = 0, 2 . 50% = 1 0 100
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c) Calcule 10% de 30% de 70%. Solução:
Nesses casos, desfaça a primeira e a segunda porcentagens e multiplique-as pela terceira (conser- ve a terceira), desse modo : 4 1
10 30 . . 70% = 0,1 . 0, 3 . 70% = 2,1% 100 100
equações exponenCiais Às vezes, encontramos equações cuja incógnita aparece no expoente de um número. A essas equa- ções damos o nome de equações exponenciais . Vamos abordar o tipo mais comum que aparece em matemática financeira e mostraremos a técnica necessária para resolvê-la.
Equações redutíveis a uma única base Potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais: m a
= a n , se, e somente se, m = n ( a a > 0 e a ≠ 0)
Exemplos: Resolver as seguintes equações exponenciais: a) 5 x = 25. b) 2 2 x x = 64 x – 2 . Soluções: a) Observe que 25 = 5 2 , daí temos 5 x = 5 2 . Pela regra, temos que, se a m = a n então m = n . Logo, x = 2. b) Como 64 = 2 6 , substituindo na equação, temos:
2 2 x x = (2 6 )x – 2 2 2 x x = 2 6 x x – 12 Pela regra, temos que potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais. Cancelamos, então, as bases da potência. 12 x ∴ 3 = x. Daí, 2 x x = 6 x x – 12 ⇒ 12 = 6 x x – 2 x x ⇒ 12 = 4 x x ⇒ = 4 Nota: Nem sempre é possível resolver equações exponenciais reduzindo a mesma base, como no caso 2 x = 3. Sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 2 1 < 2 x = 3 < 2 2 . Até o momento, portanto, não sabemos qual é esse valor nem o processo para determiná-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas semelhantes, vamos inserir no contexto deste complemento o estudo de logaritmos. 4 Observe que as primeiras porcentagens você sempre transforma transforma em frações (ou em números decimais), mas a última porcentagem sempre é mantida.
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Logaritmos Logaritmo é um instrumento matemático utilizado para relacionar dois elementos ( a e b , por exemplo) e obter um terceiro ( x x) pela combinação destes. Definimos o mesmo assim: Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b . Em símbolos, temos: log a b = x ⇔ a x = b
a = base
b = logaritmando
x = logaritmo
Exemplos: a) log 2 8 = 3, pois 2 3 = 8. b) log 5 5 = 1, pois 5 1 = 5. c) log100 = 2, pois 10 2 = 100. Observação: Indica-se o logaritmo decimal por log 10 x ou, simplesmente log x . Em matemática financei- ra, a maioria dos logaritmos aparecem na forma log x .1 2
Considerações Consideraç ões importantes 1) Para somar e subtrair números n úmeros representados na forma decimal, procedemos assim:
Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros. Colocamos as unidades de mesma ordem em uma coluna, pondo vírgula debaixo de vírgula. Efetuamos a operação indicada.
2) Para multiplicar números representados na forma decimal, procedemos assim:
Multiplicamos os números como se fossem naturais 5 e damos ao produto 6 um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Para multiplicar multiplicar números na forma decimal por 10, 100, 1000, 1 000, 10 000, etc., ou vice-versa, basta deslocar a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, quatro, etc. casas deci- mais. Para dividir um número na forma forma decimal por 10, 100, 1 000, 10 000, etc., deslocamos a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, quatro, etc. casas decimais.
5 Ver conjunto conjunto dos números naturais naturais no início deste material. 6 Resultado da multiplicação de dois dois números.
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Calculadora científica: ações importantes Cálculo da raiz quadrada de um número:
u k k r a M i s k e l A / k c o t s r e t t u h S
Digite um número qualquer, por exemplo, exemplo, 1 024. Digite a tecla . O resultado obtido (32) é a raiz quadrada de 1024.
Cálculo de potências:
Digite um número qualquer, por exemplo, exemplo, 9 (base). Digite a tecla . Digite outro número, por exemplo, exemplo, 3. Digite a tecla . O resultado obtido (729) é a potência desejada. 7
Cálculo de logaritmos:
Digite um número qualquer, por exemplo, exemplo, 2. Digite a tecla . O resultado obtido será o logaritmo de 2 na base 10.
probLemas resoLvidos de matemátiCa finanCeira Porcentagem Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? Solução:
3% de R$ 3.600,00 = 3/100 . 3600 = 0,03 . 3600 = 108 Logo, a comissão será de R$ 108,00. Taxa unitária: É a representação da taxa percentual em número decimal. No problema anterior, por exemplo, exemplo, 0,03 é a taxa unitária, 3% é a taxa percentual.
Vendas com lucros Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00. Solução:
O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e de funcionamento da empresa. 1
7 Algumas calculadoras calculadoras podem apresentar apresentar o botão y x para o cálculo de potências.
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Seja:
V = preço de venda C = preço de custo L = lucro i = taxa
Vamos obter o preço de venda, usando a fórmula V = = C (1 + i ) . V = 500 (1 + 0,08) V = 1,08 . 500 V = 540 Logo, o preço de venda é de R$ 540,00. Observação: Se no problema acima, as mercadorias fossem vendidas com prejuízo , usaríamos a fórmula V = C (1 – i ).
Juros simples No regime de juros simples de cada período, os cálculos são feitos sempre sobre o mesmo principal. Fique atento, pois não existe capitalização de juros nesse regime. Os juros de cada período não são incorporados ao principal para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. A aplicação de juros simples no mercado financeiro só tem algum sentido para aplicações de curtíssimo cur tíssimo prazo. Para calcular os juros, usamos a seguinte fórmula: J = P . i . n ; em que P é o capital principal, i é a taxa e n é o período (tempo). Exemplo: Calcular o valor dos juros totais correspondentes à aplicação do principal de R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, no prazo de três meses. Solução:
Dados: J =? P = R$ 10.000 i = 1,5% n = 3 meses Não esqueça: O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessá-
rio colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros. Portanto, Portanto, 1,5% = 0,015. J = P . i . n ⇒ J = 10000 . 0,015 . 3 ∴ J = R$ 450,00
Logo, o juro para esta aplicação é de R$ 450,00.
Taxas proporcionais (juros simples) Algumas vezes, o período de investimento é somente uma fração do período expresso na alta de juros. Nestes casos em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. Este ajuste é chamado de taxas proporcionais .
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Exemplos: a) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses à taxa de 25% ao ano (a.a.), determine o juro obtido. Solução:
Inicialmente, separamos as informações dadas no problema: C = 2.400 (capital) n = 10 meses (tempo) i = 25% (taxa percentual) Como o tempo foi dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula, devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada. Observe que: 0, 25 12) a .m. = a.m. i = 0, 25 a.a. = (0, 25 : 12 12 0, 25 600 . 10 ⇒ J = . 10 ⇒ J = 50 . 10 ⇒ J = 500 Logo, J = 2.400 . 12 12
O juro obtido, portanto é de R$ 500,00. b) Uma pequena empresa aplica um capital de R$ 15.000,00 por um mês, a uma taxa simples de 36%
ao mês (a.m.). Calcule o rendimento dessa aplicação, em 14 dias. Solução:
Inicialmente, separe as informações dadas no problema. C = 15.000 (capital) n = 14 dias (tempo) i = 36% a.m. (taxa percentual) J = ? Observe que a taxa dada foi expressa em meses e o tempo em dias; logo, temos que: taxa perce ercent ntuual tra transfo nsforrmad mada em taxa taxa unit unitá ria ) 0, 36 (taxa = 30 ( quantida d de de dias do mê s ) 0, 36 000 . . 14 ⇒ J = R $ 2.520, 00 J = 15.000 30
Taxas equivalentes (juros simples) Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro. Exemplos: a) Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa 18% ao trimestre. Solução:
Para responder a essa questão, vamos utilizar a fórmula I
taxa equivalente equivalente
A relação de equivalência que queremos obter é: 18% ao trimestre
18
=
(
Dias Dias dados dados
1+ i
)
Dias desejados desejados
− 1 .
? ao quadrimestre.
Matemática Básica
Sabemos que: o trimestre = 90 dias = dias dados; o quadrimestre = 120 dias = dias desejados. Substituindo na fórmula, temos:
90 1+ 18% − 1 = 90 1 + 0,18 − 1 = ( ) ( ) 120
I taxa equivale equivalente nte =
120
1 120 120 1,18 90 − 1 = 1,18 90 − 1 =
3 4 , ... = 1,18 − 1 = 1,181333 = 24,7% (aproximadamente) 247 ∴ I taxa equivalente − 1 = [1, 247 − 1] = 0, 24 valente Observação: O resultado deve ser dado em taxa percentual, para isso, multiplique-o por 100. b) Calcule a taxa para 63 dias equivalente à taxa anual de 280%. Solução:
280% ao ano 63 dias. Daí, temos que: 1 ano = 360 dias = dias dados; 63 dias = dias desejados. Substituindo na fórmula, temos:
1 63 63 63 63 , − 1 = I = ( 360 1+ 280% ) − 1 = ( 30 1+ 2, 8 ) − 1 = 3, 8 360 − 1 = 3, 8 360 − 1 = 3, 80175 = [1, 263 − 1] = [0, 263 ] = 26, 3%
Valor atual comercial ou valor descontado comercial (juros simples) O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. Exemplo: Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada, antes de seu vencimento, por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Solução:
O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto.
A = valor atual N = valor do título i = taxa n = período
⇒
A = 6.072 N = 6.900 i = 4% a.m. → 0, 04 a.m . n = ?
Temos que: A = N (1 – i . n ) 6072 = 6900 (1 – 0,04 n n) 0,88 = 1 – 0,04 n n – 0,12 = – 0,04 n n 3 = n Portanto, n = 3. 19
Equivalência de capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (capitais cujos vencimentos têm datas diferentes) são equivalentes em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Exemplo: Quero substituir um título de R$ 5.000,00 vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 me- ses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Solução:
Nos problemas de equivalência de capitais, geralmente, deseja-se substituir um título (ou mais) por outro(s) com vencimento(s) diferente(s), ou saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Por isso, consideremos: N’ = capital equivalente N = valor nominal n = período inicial n’ = período subsequente (posterior) i = taxa de juros N (1 − in ) . A fórmula que vamos usar para resolver problemas de equivalência de capitais é N ’ = 1− in ’ N’ = ? N = 5000 n = 3 meses n’ = 5 meses i = 3,5% a.m. → 0,035% a.m.
N ’ =
5.000 . (1 − 0, 035 . 3) 1 − 0, 035 . 5
N ’ =
4.475 = 5.424, 24 0, 825
Portanto, o valor nominal comercial do novo título é de R$ 5.424,24.
Juros compostos O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do cálculo eco- nômico. Nesse regime, os juros de cada período são incorporados ao principal, para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o processo de incorporação de juros ao capital. Para obter o montante de uma determinada aplicação nesse regime, vamos utilizar a fórmula M = C (1 + i )n , que nos dá o valor que se deseja obter no final do período. O fator (1 + i )n é chamado de fator de capitalização ou valor futuro. Para calcular o valor presente, usaremos a fórmula C = M (1 + i )– n n , que nos permite realizar o cálculo do valor presente de um montante ou de pagamento único. Exemplos: a) Calcule qual o capital inicial que no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.
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Matemática Básica Solução: C = ? n = 5 4 058 8 M = 405 i = 3% a.m.
058 (1 + 0, 03 03) −5 C = 4.05 058 . (1, 03) −5 C = 4.05 C = 4.058 . 0, 8626
0, 47 C = 3.50 0 Logo, o capital procurado é de R$ 3.500,47. b) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado, a juros compostos e à taxa de
1,5% ao mês, para gerar um montante de R$ 2.236,28? Solução: M = 2236,28 2 000 0 C = 200 i = 1,5% a.m.
= C (1+ i )n 2.23 236,28 2 8 = 2.00 000 (1 + 0,01 015) n 1,118 = (1, 01 015) n log1,118 = log1015 , n 0, 048 = n log1, 015 0, 048 = 0, 006n ∴ 8 = n M
Portanto, o capital deve ser aplicado durante 8 meses. c) Um agiota empresta dinheiro com taxas diferenciadas por períodos. Carlos pediu R$ 500,00 para
esse agiota por um período de 10 meses. Sabendo que as condições para esse empréstimo eram de 5% ao mês durante os 4 primeiros meses, de 12% ao mês durante os 5 meses seguintes e de 15% ao mês no último mês, calcule o montante e a taxa média taxa média paga por Carlos nesse empréstimo. empréstimo. Solução: O montante pago por Carlos é dado por:
= C (1+ i1)m (1+ i 2 )n M = 500 (1+ 0, 05 )4 (1 + 0,12 )5 (1 + 0,15)1 M = 500 . 1, 22 . 1, 76 . 1,15 M = 1.234, 64 M
Para calcular a taxa média, substituímos o valor do montante: 1.275 = 500 (1 + i )10 2, 55 = (1+ i )10 = 10 2, 55 = 1 + i 1 2, 55 10
− 1 = i 0, 098 = i ∴ 9, 8 % = i 21
Nota: Quando usamos juros simples e juros compostos no cotidiano? Essa pergunta é feita pela maioria
dos estudantes e a resposta é a seguinte: a maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros com- postos. Estão incluídas compras a médio e a longos lon gos prazos, compras com cartão de crédito; empréstimos bancários; aplicações financeiras usuais, como caderneta de poupança, e aplicações em fundos fun dos de renda fixa; etc. Raramente, encontramos uso para o regime de juros simples, exceto nos casos das operações de curtíssimo prazo e em processo de desconto simples de duplicatas.
Montante de rendas imediatas O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, du- rante n períodos, a uma taxa i de juros. R ⋅ [(1+ i )n − 1] Para obter o montante de uma renda imediata, use a fórmula M = , em que R é a renda i ou prestação.
Exemplo: Se quisermos ter R$ 2.000,00 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente, sabendo que a taxa de juros é de 15% ao mês? Solução: M = 2.000,00 n = 12 meses i = 15% a.m. R = ?
2000 = .
R ⋅ [(1 + 0,15)12 − 1]
0,15
300 = 4, 350R ∴R = 68, 97 Portanto, devemos devemos depositar mensalmente o valor de R$ 68,97.
Rendas imediata e rendas antecipadas Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período; e, dos demais, no final dos seus respectivos períodos. Nas rendas antecipadas, o primeiro pagamento ocorre no instante zero (no ato) e os demais, no início de cada período. sér ie antecipada ocorresse ao final do primeiro período, automatica- Nota: Caso o primeiro pagamento da série mente, a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada). 1) Renda imediata
(1+ i )n − 1 Para calcular a renda imediata, usaremos a fórmula M = R I . n + ( 1 i ) . i
Exemplo: Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 250.000,00 em 5 parcelas, a uma taxa de 5% ao mês?
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Matemática Básica Solução:
O valor atual (ou presente) de uma renda equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em prestações. M = 250.000,00 n = 5 meses i = 5% a.m. R = ?
(1+ 0, 05)5 − 1 250 250.000 000 = R I . 5 ( 1 0 , 0 5 ) . 0 , 0 5 + 127 12 , 76281− 1 250000 = R I . . 12 , 76281 . 0, 05 127 0 , 276281 250000 = R I . . 063814 1405 05 0, 0638 250.00 000 = 4, 329R I R I = 57.750, 06 Logo, o valor das prestações mensais será de R$ 57.750,00. 2) Renda antecipada
Para calcular a renda antecipada basta dividirmos a renda imediata por (1 + i ). Daí, temos que R Antecipada
=
R Imediata . (1+ i )
Exemplo: Um apartamento é vendido à vista por R$ 100.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 19 presta- ções mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, qual o valor da prestação? Solução:
Observe que, se vendido a prazo, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra (instante zero). Logo, Logo, o problema é de renda antecipada. Como, para calcular a renda antecipada, precisamos da fórmula R Antecipada =
R Imediata , devemos cal- (1+ i )
cular inicialmente a renda imediata. A renda imediata será dada por:
(1+ i )n − 1 M = R I . n ( 1 ) . + i i M = 100.000,00 n = 19 meses i = 2% a.m. R = ? I
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(1+ 0, 02)19 − 1 100 100.000 000 = R I . 19 ( 1 0 , 0 2 ) . 0 , 0 2 + 0, 4569 100 100.000 000 = R I . 02914 4 0, 0291 100.000 = 15, 679RI ∴R I = 6.377, 96 Calculando a renda antecipada, temos: R A
=
R I
(1 + i ) 6.377, 96 = 6.252, 90 R A = (1+ 0, 2 ) 6.377, 96 252, 90 = 6.252 R A = 1, 02 Portanto, R A = 6.252, 90 .
Referências CRESPO, Antonio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil . 13. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANN JÚNIOR, José Ruy. A nova conquista da matemática . São Paulo: FTD, 2002. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGNSZAJN, David. Fundamentos de matemática elementar : matemática comercial, matemática financeira, estatística descritiva. São Paulo: Atual, 2004. v.v. 11. _____; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos: Fundamentos de matemática elementar : logaritmos. São Paulo: Atual, 2004. v. 2. FREE FILE SHARING. Resumão de matemática financeira. Disponível em: . Acesso em: 28 mar. 2009. RODRIGUES, José Antonio do Amaral; MENDES, José de Melo. Manual de aplicação de matemática financeira: temas básicos, questões-chave, formulário e glossários, problemas destacados. São Paulo: FGV, 2007. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira : aplicações à análise de investimentos. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
Anotações
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