Cocientes Notables

 RUBIÑOS EDICIONES

 ALGEBRA

PREUNIVERSITARIA PREUNIVERSITARI A

COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN

n-1

=x

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de división.

Forma general :

n-2

-x

n-3 2

y+x

y - ........ + xy

n-2

n-1

-y

n es un entero positivo par  Ejemplo : 4

3

2 2

3

4

= x + x y + x y + xy + y donde : x; y : son términos del divisor  + n Z ;n 2 La división división es exacta exacta

2 5

2 2

10

dandole la forma = x del C.N ;

3

2 3

3 2

3 3

2

3 4

3 5

(x ) (y ) + (x )(y ) - (y )

Ejemplos : ;

2 4

= (x ) - (x ) (y ) + (x ) (y ) -

;

8 3

6 6

4 9

2 12

- x y + x y - x y +x y

15

-y

TEOREMAS

NOTA :

Sea la división :

Si:

es un cociente notable

OBS. El grado absoluto de un término general de un C.N es “n - 1” siendo el C.N :

+

donde k

Z y “k” es el número de términos

Término general

Ejemplos :

Contando de izquierda a derecha : n-k k-1

tk = Signo x

: Se obtie obtiene ne un C.N C.N porqu porque e se cumpl cumple e: +

Z :

Contando de derecha a izquierda :

No se se obtie obtiene ne un un C.N C.N porqu porque e no se cump cumple le

k-1 n-k

tk = Signo x

y

+

:

Z

Para determinar el signo :

CASOS QUE SE PRESENTAN EN LOS COCIENTES NOTABLES Siendo dichas divisiones exactas, se tiene los siguientes casos :

A) Caso Caso I : n-1

=x

n-2

+x

n-3 2

y+x

y + ........ + xy

n-2

n-1

+y

n es un entero positivo

OBS : El grado absoluto de un término de un C.N es: # de términos - 1

B) Caso Caso II : n-1

=x

n-2

-x

n-3 2

y+x

n : es un entero positivo impar 

C) Caso Caso III III :

y

y - ........ - xy

n-2

n-1

+y

 A. Si el divisor es “x - y” todos los términos del C.N son positivos B. Si el divisor divisor es “x “x + y” y” se tiene tiene : Contado de izquierda a derecha:

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 ALGEBRA

PREUNIVERSITARIA

I. Término de lugar impar son positivos II. Términos de lugar par son negativos Si es contado de derecha a izquierda, analizar el signo contado dicho lugar de manera inversa Ejemplos : Sea el cociente notable : I. Indique el número de términos II. Indique los términos t 25 y t20 Solución : I.

# términos del C.N =

= 32

II. Si no se indica nada, se asume de izquierda a derecha 7

24

t25 = (x) (y)

12 19

t20 = (x) y

7 24

=x y

12 19

=x y

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Hallar el número de términos del cociente notable que se obtiene al dividir : 270 288

 A) 10 D) 19

B) 12 E) 15

C) 13

es : x  A) 9 D) 13

y

B) 11 E) 15

C) 7

07. Si el octavo término del desarrollo de : 02. Simplificar : a-96

 A) m D) m - 1

B) m + 1 E) m - 2

C) m + 2

03. Indicar cuántos términos tiene el desarrollo del cociente notable :

Si el término quinto tiene como grado absoluto 32  A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 04. Hallar el número de términos del cociente notable que se obtiene al dividir :

14

es : x y hallar : a + b + c  A) 131 B) 146 D) 176 E) 158

C) 97

08. El término central del desarrollo del cociente notable:

p

90

es : z w calcular el valor de m - n  A) 141 B) 111 D) 121 E) 101

C) 151

09. En el cociente notable :

236

sabiendo que : (t10) (t50) (t100) = x  A) 132 B) 136 C) 141 D) 94 E) 147 05. Indicar el término idéntico en ambos desarrollos: ; 15 9

 A) x y 30 40 D) x y

15 8

B) x y 12 12 E) x y

45 36

C) x y

06. Calcular “m + n” si el término de lugar 25 del cociente notable

a a

el séptimo término es de la forma : x y hallar : m + 2n  A) 64 D) 144

B) 72 E) 160

C) 128

10. Si el cociente notable que se obtiene al dividir :

2

n

tiene un término de la forma: m(4x - 1)

 RUBIÑOS EDICIONES  A) 10 D) 13

B) 11 E) 16

 ALGEBRA

C) 12

15. Luego de dividir :

11. Calcular el grado del sexto término del cociente notable que se obtiene al dividir:

 A) 11 D) 36

B) 12 E) 67

PREUNIVERSITARIA

C) 13

se obtiene como cociente : 15 10 15 10 5  A) x - x + 1 B) x + x + x + 1 15 10 5 20 15 10 5 C) x - x + x -1 D) x + x + x + x + 1 20 15 10 5 E) x - x + x - x + 1 16. Luego de simplificar :

12. Calcular el cociente de : se obtiene : 3

2

 A) a + a + a + 1 4 3 2 B) a + a + a + a + 1 5 4 3 2 C) a + a + a + a + a + 1 6 5 4 3 2 D) a + a + a + a + a + a + 1 5 3 E) a + a + 1

B)

D)

E)

C)

17. Calcular el valor numérico del término quinto, del cociente notable que se obtiene al dividir:

13. El término de lugar 10 del cociente notable que se obtiene al dividir

 A)

, contado a partir del final es independiente de

“x”. ¿Cuántos términos racionales enteros contiene dicho cociente notable?  A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Para x = y = 1  A) 1 D) 25

; donde a, b

S=

/ a > b; se sabe que el grado del

término central es 15, calcular el número de términos del C.N  A) 5 B) 7 C) 3 D) 4 E) 6

B)

C)

C) 9

18. En el siguiente cociente notable que se obtiene al dividir :

14. Calcular el valor equivalente de :

 A)

B) 4 E) 81

19. Calcular el lugar que ocupa el término cuyo valor es un número entero, en el desarrollo de :

D)

 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

E) 20. Calcular el resto en :

 A) 3x - 4 D) 4(4x - 3)

B) 4x - 3 C) 8x - 6 E) (x - 1)(4x - 3)

TAREA 01. Dar el equivalente de :

02. Señalar el equivalente de : 6n

a 5

4

3 2

2

3

4

5

 A) x - x y + x y - x y + xy - y 16 12 3 8 6 4 9 12 B) x - x y + x y - x y + y 16 12 3 8 6 4 9 12 C) x + x y + x y + x y + y 16 12 8 2 4 3 4 D) x - x y + x y - x y + y 5 5 E) x + y

 A)

B)

D)

E)

4n

-a

2n 2

3

b+a b - b

03. Para que valor de “n” la división :

C)

 RUBIÑOS EDICIONES n+1

3n - 4

(x -y origina un cociente notable  A) 6 B) 5 D) 2 E) 7

 ALGEBRA 2

) ÷ (x - y ) C) 4

04. En el cociente notable que se obtiene al dividir :

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07. Dar el equivalente de : 3 5 7 2n-1 7 + 7 + 7 + 7 + ..... + 7 2n

 A)

(7

C)

- 7)

B)

n

D)

(49 - 1)

n

(7 - 1) n

(7 - 1)

E) a a

el t7 = x y , hallar : n - m  A) 12 B) 14 D) -18 E) -20

C) -30

08. Indique el grado del décimo término de P(a; b; c). Siendo este el cociente que se obtiene al dividir :

05. Aplicando CN, hallar el valor de : x=  A) 1,11111111 B) 0,11111111 C) 1,1111119 D) 1,111111111 E) 0, 1111111111 06. Halle el término “k” ésimo del desarrollo del C.N :

 A) 56 D) 54

B) 60 E) 58

C) 57

09. Calcular el valor de (a + b + c), si el término central del c

cociente notable generado al dividir :  A) 111 D) 356

B) 391 E) 208

C) 245

10. Hallar el resto en : como función de (y - b) y (x - b) n-k  A) (x - b) n+k k B) (y - b) (x - b) n-k k-1 C) (y - b) (x - b) n-k k-1 D) (b - y) (x - b) n-k E) (y - x)

2

 A) x (x - 1) D) x(x - 1)

3

B) x (x - 1) 2 E) -x (x + 1)

120

es x y

4

C) x (x + 1)