236487168 8 Cocientes Notables

n

n

n

n

n

n

n

n

x y x y x y x y " " " x y x y x y x y n

n

x y x y

CASO I: Es

cociente notable cualquier valor entero positivo n. Llamaremos cocientes notables a ciertas divisiones algebraicas que cumplen reglas fjas y cuyo resulta esultado do puede puede ser escri escrito to por por simp simple le insp inspec ecci ción ón,, es deci decirr sin sin necesidad de eectuar la operación. Estos casos especiales son de la orma general. n

n

x y  , n x y

n

n

x y x y

x

n #

%

%

x y x y

&

!. Las bases del dividendo y divisor deben ser iguales.

n #

y

$ $

'

x y x y

n

&

xy

y

n

x y x y

Es cociente notable para todo n entero positivo posit ivo impar. n

x y x y

x

n #

x

n $

n $

n #

y ... xy

y

Ejemplo: %

%

x y x y

!!. Los Los expon exponent entes es del del divid dividend endo o deben ser iguales.

Se pres presen enta tan n 4 caso casos s de la forma:

n $

y ... xy

'

x

CASO II:

n

Todo cocien cociente te notabl notable e debe debe de cumpli plir las siguientes condiciones

n $

Ejemplo:

¥

Donde x, y  son las bases.

x

para

CASO III:

&

'

x

$ $

x y x y

n

'

xy

&

y

n

x y x y

Es cociente notable para todo n entero positivo par.

225

n

x y x y

buscado.

n

x

n #

x

n $

n $

n #

y ... xy

y

$E-*A .A$A E* SI-%O:

Ejemplo: x

&

&

y x y

CASO IV:

x

n

'

$

x y xy

$

'

y

n

x y x y

Sea n! par o impar cociente notable"

no es

/i el divisor es de la orma x a los signos de sus t*rminos en su desarrollo son todos .OSITIVOS /i el divisor es de la orma x a los signos de sus t*rminos en su desarrollo son A*TE$%A+OS. Los t*rminos del lugar par son negati/os y los t*rminos del lugar impar son positi/os"

Ejemplo: O#SE$VACIO%ES

01 Dado el cociente notable

 (odo cociente notable es un polinomio )omog*neo. El desarrollo del cociente notable tiene +n t*rminos.

&'$()*A -E%E$A*  (-

+E*

T,$(I%O

x

signo x

a

#$2

y

%

'

x y 3allar el cuarto t*rmino.

Solucin:

4n cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales. x

n -

$22

43

%

y %

x

- #

43

'

y

'

De acuerdo a la órmula Donde  (-

 (-  (*rmino de lugar +- x  rimera base. y  /egunda base. n  01mero de t*rminos del cociente notable. -  Lugar que ocupa el t*rmino

22

signo x

n -

a

- #

El cuarto t*rmino ser5  (&  (&

% &2 &

x

%

x

'6

' & #

y

'

y

'

 (&

#72

x

8

y

(;

.$O.IE+A+: El n1mero de t*rminos de su desarrollo est5 dado por la siguiente relación /i

x

m

x

p

T,$(I%O CO%TA%+O &I%A*  (-

n

y

(n

# $

+E*

/igno x

- #

-E%E$A* ET$E(O

a

n -

es un cociente

q

y

notable,

$ECO(E%+ACI'%

Entonces se cumple

/i nos dan un cociente notable, examinar los signos de los t*rminos, comparar los exponentes de las variables, descubre una relación que permita +construir la división notable que la origino.

m p

9 (*rminos

n q

I(.O$TA%TE: El

desarrollo

de

un

cociente n

n

notable de la orma x a es x a un polinomio )omog*neo de grado de )omogeneidad :n #: " es un polinomio de +n t*rminos completo y ordenado con respecto a ambas variables.

30" En el cociente

/e puede determinar el t*rmino central de un cociente notable siguiendo estas consideraciones

Solucin:

.rimero:

/i el t*rminos es par.  (;#

(n

"

n1mero (; $

$

(n

de

E6E$CICIOS $ES)E*TOS

/i el t*rminos es impar.

n1mero

de

'

&'$

y

p

3aciendo cumplir la propiedad para )allar el n1mero de t*rminos

p p

Segundo:

p

x y )allar el valor de +p sabiendo que es un ;.0. <= #6 >= $% ;= '6 D= &8 E= 6&

p '

$ $

x

$

p

&'$ p ' &'$

#$86

227

p

desarrollo es

#$86 p

$pta"

'6

x

32" /i el cociente

6n #

 (-

y

$n '

n

es

x y exacto )allar el valor de +n, donde n ¥ <= $ >= ' ;= & D= % E= 6

x

 (-

%n

x

%n

6n # $n '

n

n

$pta"

el desarrollo del cociente notable. $22

y

%

$-

?

Solucin:

4n cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales. &2

%

x 4n

229

t*rmino

%

?

y

&2

$pta"

notable

x

a

x

$

y

b

y

'

es

Solucin:

a $

b '

n

$n , b

'n

or propiedad De donde a Luego

a b %n

4n cociente notable debe tener bases iguales y exponentes iguales. a $ $ x

x

$

b ' ' y

n

$

x

'

y

x

$

y y

'

n

'

Luego el t*rmino del lugar #$ es

?

y

cualquiera

$#'

$2

#2

$72

x y el termino que tiene como grado absoluto igual a $#'. <= #2 >= $2 ;= '2 D= &2 E= %2

x

$#'

$ '' x y  el valor de + a b  es <= &% >= %% ;= 6% D= 6% E= ?2

38" 3allar el lugar que ocupa en x

y

$22 %- ?- ?

cociente

&n &

y

34" /i el t*rmino del lugar #$ del

6n # #2n #% #6

- #

?

$22 %- ?- ?

@< (-

Luego

Solucin:

or propiedad

&2 -

%

del

 (#$

x

$

n #$

'

y

#$ #

 (#$

x

$n $&

''

$ ''

y

x y

De donde $n $&

$

Adato=

n #'

x

'

x

%

35" /i E

b

>= '' E= '6

n

%

y

#2

y

'

n

x n $ y y x Es un cociente notable. 3allar +n <= $ >= ' ;= & D= % E= 6

x

E

'

%n

y

n #

y

' %n

y

x x

E

x

x

n #

%n

y

eemplaando +m y +n en el cociente notable tenemos x

#&

$

x

n $

 (&

en

el

cociente notable.

$

y

x

n $

y

Luego

@<

x

$

82

<=

x

x

'

8'

del

?m

y y

&

&

)ay

#& t*rminos 3allar el grado absoluto del t*rmino que ocupa el lugar

(&

n

& #

&

y

$2 #$

x y

$2 #$

$pta"

'$

37" Eectuar x

desarrollo n 'm

@<

82

%n '2 n $

x

#&

&

#& &

$

 (&

D= /i

y

%n '2

esolviendo n ' $pta"

3"

&

<)ora calculamos el  (m

'2

;omo es un cociente notable, )acemos cumplir la propiedad para )allar el n1mero de t*rminos ' %n n #

?m #& &

De donde m 7 , n

Solucin: Cperando

;= '&

n 'm $

or propiedad

$pta"

6%

n

<= '$ D= '%

Solucin:

Binalmente a b %n a

m n

x

x

'

x

#

7?

x

7&

8'

>=

x

#

8'

#

'

#

x

#

x

#

Solucin:

#

'

#

E=

... x

x

6

x

;=

'

# 82

#

'

#

x

x

0ote que los exponentes disminuyen de ' en ', entonces el grado del denominador es ' o sea x' . Luego el polinomio es de grado

22

82 entonces t*rminos es

el

n1mero

de

x a 82 # '# '

Entonces ser5

el

x

x

cociente

'#

'

notable

Solucin:

8'

#

'

#

x

x

#

$pta"

x

x

#7

<=

x

x

#

$

$

x

x

x

$2

#

$2

#

$

#

#

x

E=

#

x

Solucin:

L

x

$

$

;=

x

x

$

n

$n $#

x a 2a;& &' # & &$

$

2a;

 (.;. n

$n $#

x a

x a

#

$ax

$

$ax

or propiedad n $

9 (*rminos

Luego

9 (*rminos

#7 # #2 $

Cbserve que los signos de t*rminos del polinomio intercalados entonces t*rminos del denominador positivos. x

x

$

#2

# #

$2

#

$

#

x

x

#& $

9 (*rminos

los son los son

$pta"

3" 3allar el n1mero de t*rminos que tiene el siguiente cociente

283

$n $# #

esolviendo n #&

Luego el n1mero de t*rminos del

$

$

;= ?

$

#

;omo los exponentes van disminuyendo de $ en $ entonces el grado del denominador es 2. polinomio es

a

$n $#

$ax

x a

#

#6

#

$

x

x

x

#$

#

#7

D=

#&

>=

$ax

notable.

que dio origen al desarrollo #6

x >= 6 E= 8

<= % D= 7

39" Encontrar el cociente notable #7

n

Dando la orma a un cociente

#

'

notable.

?

03" En el cociente notable

$pta" 7

#

m

#

x x

El cuarto t*rmino tiene como grado absoluto &m . ;alcular E m8 m7 m? ... m ' <= #$ >= #' ;= #& D= #% E= #6

Solucin:

Dando orma notable

a

un

cociente

7 m m x

x

x y

#

m

x y

#

 (&

Dato

@<

x

&

%$x y

&

x y

&

/e observa que el cociente notable tiene $% t*rminos y el termino central ser5 el termino #'.

3allando el  (& 7 & m m x

&

%$7 &m

&m

 (#'

x y

& $% #'

x y

& #' #

7 &m &m

De donde

 (#'

m #

Luego E #8 #7 #? ... # ' E

#$

&7

x y  (#'

x

$pta"  (#'

$ ?

$

x y

y

$

$ &7

' '

00" ;alcular el valor num*rico del t*rmino central del desarrollo de x y

#22

x y

 (#'

#22

7xy x$ y$ ara x <= # D= ?

$ ?  , y >= ' E= 8 #22

&x Fy leyendre

x y

' '

%x #

;= %

$

$pta"

88

%x #

88

x

#22

a $%x

$ x$ y$ #&$&' x y

#22 $

$

#

b

3allar el valor de + a b  <= '# >= '' ;= '% D= '? E= '8

leyendre

$

#

&7

Crigina un cociente notable en el cual un t*rmino tiene la orma x y

#22

$7 $?

$ &7

02" /i la división

Solucin:

x y

 (#'

&7

Solucin: $

x y x y x y x y # & & & & & & & && $ & & & & & & & & &'

ara dar orma a un cociente notable el denominador debe ser

diferencia de cuadrados

%x #

%x #

#2x

Entonces

280

%x #

#2

4n

88

%x #

%x #

El t*rmino independiente del cociente notable esta dada por la siguiente ormula

88

%x #

t*rmino

cualquiera

desarrollo es  (a $%x

$

a %x #

04" 88 -

#2 %x # # b

%x #

Del notable

- #

88 -

#2 %x #

%x #

b

#2 %x #

%x #

88 -

%x #

- #

- #

88 -

- #

-

%2

orma

 (-

Entonces a Binalmente

a

b

08"

3allar independiente n

x b x

t*rmino cociente

n

>= n # bn D= n bn #

6

6

' '

 (.!

n bn #

 (.!

6 '

 (.!

b

#

cociente

De acuerdo a la ormula del t*rmino independiente

$pta"

el del

un

x '

b &8

'8

a

xG'

negativo

#2 y

?$8

notable

;omo +- es un lugar par

#

6 #

#&%7

$pta"

05" 3allar la cuarta potencia de

#

+n si el pen1ltimo termino del cociente notable es xy% $y6

orma

x $y y x y

#

n

Solucin: a

un

cociente

notable n

x b x b

n

b b

<= $$28 D= $'22

Solucin: Dando notable

282

6

cociente

x 3allar el t*rmino independiente. <= #$'# >= #''' ;= #&'% D= #&'? E= #&%7

Dando

Dando

siguiente

Solucin:

;omparando b 88 - - #

<= n # bn ;= n # bn E= n $ bn

n b

xG '

b

notable

n #

 (.!

del

n

>= $$76 E= $&2#

orma

a

;= $'8$ un

cociente

n

x $y x $y

y y

n

El pen1ltimo termino ser5 el  (n  (n #

n

x $y %

$y

6

%

$y

xy

y

x $y y

6

xy

n #

xy

n $

$&

D=

E=

b

a

$'

8

b

38" 3allar el n1mero de t*rminos #

del x

n # #

cociente

&n #$

y

n 7

y

n #

notable

&n '

n 8

x <= #$ #7 D= #%

n $

$y

7

a

>= #'

;=

E= #2

or simetrHa

n $ %

34" 3allar el d*cimo t*rmino de

De donde

n

x

?

Luego la cuarta potencia de +n ser5 &

n n

&

&

?

%n #7

y $

8

x y ;.0. <= x#' y%#

, sabiendo que es un

>= x$& y6&

D= x#6 y7#

$pta"

$&2#

n

E= Kx#6 y7#

35" Dados los cocientes notables x

30"  3allar

el coefciente del cuarto t*rmino del desarrollo de %

'$x $&'y $x 'y >=%$

<=$& '& D='&

%

;=I

E=%&

32" 3allar el d*cimo t*rmino del ''

cociente notable a <= a$& b7 a



%$?

b

''

b a b

>= a$' b8

;= x7# y#6

;=

n

n

a de la orma ;u5l o x a cuales de las siguientes proposiciones son verdaderasM != x

n

n

a es un cociente notable x a para todo +n entero positivo par. !!= x

n

n

a es un cociente notable x a para cualquier valor entero positivo +n x

n

n

x

n

n

a es !!!= un cociente x a notable para cualquier valor entero positivo n. !N=

a es x a

un

cociente

288

notable para todo +n entero positivo par. <= solo ! >= !,!!,!!! ;= !!,!!!,!N D= ! y !! E= solo !!

38"

3allar :n:, si el grado absoluto del t*rmino '' en el cociente notable x

%n

?n

y

%

x y >= %2

<= &# '7 D= ''

;=

que tiene el siguiente cociente notable.

<= ' D= #?

n

$n $#

$ax $

a

$

;= ##

35" 3allar el coefciente de x$&

<= 7 D= K8

x

&%

x

'

>= 8 E= K7

<= 'y$

$&'

x y <= #' ## D= #?

284

y

;=

E= y&

%x #

'

' ;= ?

es xy%

>= ? E= $#

88

%x #

88

x Crigina un cociente notable en el cual un t*rmino tiene la orma $

#

b

el valor de +aGb es.

<= '8 #8 D= #?

>= ?8

;=

E= $#

3" /i el octavo termino del cociente notable es el monomio a 86 #& x y , )allar la suma de los exponentes de los t*rminos centrales.

n

y

n

>= $y%

D= &y&

x

<= ##& D= #&&

6

$y

;=

a b

termino del cociente notable n

y

8 n

/iendo  ( #2 n

3" 3allar +n si el pen1ltimo x $y

n

x

a $%x

>= ? E= $#

en el cociente de

y

39" /i la división

34" )allar el n1mero de t*rminos

x

x

6y

E= 62

x a

3allar el t*rmino independiente de +x del cociente notable indicado

$

, es '28

?

37"

$&

y

c

x y >= #$& E= #%&

03" En el siguiente notable

;= #'& cociente

x

'n 8

y

&

%

04" /implifcar

'n

6n '

x

'n '

x

x

6n 6

x

6n 8

... x

6

x

'

#

'n 6

x

'n 8

... x

6

x

'

#

x y El valor num*rico del tercer t*rmino de su desarrollo para x $ , y & # es <= # >= '$ ;= 6& D= 7 E= #6

<= x'n I#

00" Dado el cociente notable

05" ;alcular

x

mn m

al siguiente desarrollo #$

#6

<=

x

x

$

&

x

&

>=

x

#

x

x

7 #6

#

#$

D=

x

x

#

E=

#

#

&

#

x

x

;=

#

#6

8

8

8

8 <= 2,7 D= #,8

7

8

?

L

8

7

8 L >= 2,# E= 8,#

8

?

$

8 #

$

8 # ;= 2,8

0" /implifcar ?7

x

'7

x

x x

?6

x

'6

x

<= x&2 # D= x$ #

?&

L

x

&

x

'&

L

x

&

x

>= x&2 # E= x72 #

$

#

$

#

;= x$ #

07"  /implifcar

#

#

 E= x$n #

8

8

02" 3allar el ;. 0. Oue dio origen

;=

n

,

p

>= x'n G#

x # D= x$n #

np

y

x y /e sabe que el quinto termino de su desarrollo tiene por grado absoluto &$, el octavo termino tiene por grado absoluto &% y por grado relativo a +y $#, )allar el valor de +m. <= # >= $ ;= & D= 7 E= #2

x

x

#6

#

&

#

x

x

#?8

#?7

x

78

x

x

#??

x 77

x

x 7?

<= x#72 #

x

76

#?6

x

L

L

x # $ x # x #

>= x82 #

;=

82

08" educir x

72

x

&2

&2 # x <= x # &# # x D= x #

?7

x

x

'8

?6

x

x

'7

&2 # x >= x # &# # x E= x #

L L

x

$

#

x # &2 # x ;= x #

x # D= x78 #

E= x#2# #

09" educir #&

E <= x6G# D= x?G#

x

x

6

#$

x

L

&

x

x L x >= x6 #

$

$

# # ;= x%G#

E= x7 #

285

0" Encontrar el cociente notable que dio origen al desarrollo #7

#6

x

x

<=

x

D=

$

#

# >= x x #

#

$

E=

#

23"

x

L

x

#8

#

$2

x

#$

x

$2

x

#&

x

x

$2

educir

x

$

x

;=

#

$2

#

$

#

x

# $

la

siguiente

:n:ciras

<= #2

8n

8 n #

#2

;=

>= #2

#2

#2

n #

E= #2

D=

# #2 8n 8

n %

>= '$

;= #7

E= '&

generado

x

por

%m #2

y

$n 8

y

x

¥ " m '$ >= #'

%m %2 $n %

;=

E= #6

25" 3allar el n1mero de t*rminos x

m

'

n

$

#

y

raccionarios de cociente notable

n

$

m

'

?%

x #

22" /i un t*rmino del cociente 28

$

x y <=

%$m,n <= #$ #& D= #%

x y /e obtiene como segundo t*rmino en su cociente a x#6y7 . ;u5ntos t*rminos tiene su cociente notableM <= & >= ' ;= % D= ? E= 6 notable

%n #

y

8

#

20" /i al dividir

'n $

que tendrHa el cociente notable

8n #2 n

n p

24" 3allar el n1mero de t*rminos

#2n

8 n $

y

D= '2

8 88 888 ...888...888 # & $ &' n #

n

" ' n ' n $ x y y es x#7 , )allar n p <= #6 >= 8 ;= #2 D= ## E= #? 28"  3allar el grado absoluto del d*cimo t*rmino en el cociente notable que se obtiene al dividir x

expresión

n #

x

generado

por

x

#

%$'

x x >= #%

<= #7 #? D= #8

%

;=

E= #&

2"/i el desarrollo del cociente notable x

a

'

a

x a a b

tiene

&%

t*rminos

b

&

"

)allar el valor de

<= '62 D= '$2

>= '#2 E= '

%$;= '#%

27"  3allar el lugar que ocupa el t*rmino de grado #2# en el #72



8



x

desarrollo de

x

72

&

<= ## >= #& ;= #% D= #? E= #8 29" /i el t*rmino #? de cociente notable

x

m

n

y

%

?

es x##%y##$

x y 3allar n m <= $2 >= &2 62 D= 72 E= #22

;=

enteros del cociente notable $%2

x

%

x x >=

%$<= '7 $? D= #%

#%2

;=

n #

Del notable

#

'

;=

n

D= na n # E= na n $ 88" /i < es el pen1ltimo t*rmino del cociente notable generado por &2 &

#2

y

y

" )allar el t*rmino <.

<= x8y7

& 7

>=

x y

E=

x y

;=

& 7

D= x7y8

7 8

84"  3allar x y  , si el t*rmino

% n 6

y

?%

n $

siguiente

n

x a a x >= na n

notable

n # a

t*rmino cociente

x y

x y es un cociente notable, indicar cu5ntos t*rminos tiene su desarrollo. <= #2 >= ## ;= 7 D= 8 E= #'

80"

el del n

x

'

83" /i la expresión %n '

3allar independiente

x

E= '#

x

82"

<= na n

2" 3allar el n1mero de t*rminos x

%

xG $ '$ " x 3allar el t*rmino independiente del desarrollo del cociente. <= #6 >= 7# ;= 6& D= 72 E= '$

cociente

central de

y

a



b

es ax b$&

$

a

b >= 78

<= 82 87 D= 77

;=

E= 8$

85" En el desarrollo de x

&2

x

$

y

$2

y

,

287

qu* lugar ocupa el t*rmino que contiene como grado absoluto '&M <= 'P >= %P ;= #?P D= #'P E= 8P

8" Encontrar el t*rmino del lugar $6 del siguiente cociente notable x

6$

8'

y

$

<= x#2 y?% y&% D= Kx#2 y?%

;= x#%

E= 0. <.

87" 3allar el d*cimo t*rmino de n

%n #7

y

" $ 8 x y /abiendo que es un cociente notable <= x#' y%# >= Kx#6 y7# ;= x7# y#6 D= x#6 y7# E= 0. <. 89" 3allar el t*rmino &6 del x

cociente notable <= x#72 a&$ a&$ D= Kx&6 a#72

m

a

$

>= x&%

$&2 '

x a a#?7 ;= Kx#62

E= 0. <.

8" ;alcular el valor num*rico de ?

E

x

x

6

x

%

x

'

x

x

ara x <= & D= $

289

&

!ndicar

cuantos

t*rminos

tiene el desarrollo de

%n x&n y " & x y%

sabiendo que el  ( %   tiene como grado absoluto '$ <= % >= 6 ;= ? D= 7 E= 8

$

x y >= Kx?% y#2

x

43"

&

x

'

$

x #

$

x

x #

$ >= ' E= 7

;= #

40"

/i

la

expresión

%AnG6= x%nG' y es un cociente nG$ xn # y notable. indicar cu5ntos t*rminos tiene su desarrollo. <= % >= 6 ;= ? D= 7 E= 8

42" El grado absoluto del t*rmino de lugar 6 del siguiente cociente notable 'n x 'n G 8 G y  es ' G y$ x <= 8 >= #2 ;= #7 D= #8 E= $# 48" En el cociente notable m xn y se sabe que el desarrollo ' x G y& tiene #& t*rminos. El valor de AmGn= es <= %6 >= 87 ;= %& D= 78 E= 7&

8'

x#%%G y 44" En el desarrollo de ' x% G y existe un t*rmino cuyo grado absoluto es #$$. La dierencia de los exponentes de :x: e :y: en este t*rmino es <= '8 >= '& ;= &2 D= '6 E= &$

45" El n1mero de t*rminos que tiene x

&'

el y

& &

7 x$ y <= '$ D= #6

4" En el

siguiente

cociente

n

x mn y van m y x dos en dos, absoluto del n1mero de desarrollo es <= 7 #$ D= ##

disminuyendo de adem5s el grado  ( & es $#, el t*rminos de su >= #2

;=

E= 8

4" Oue lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable $2

es >= 6& E= &

;= '

cociente notable

'2 x $2 y ' x$ y Determinar el lugar que ocupa el t*rmino que contiene a x #2. <= % >= ? ;= 8 D= ' E= 6

47" /i la siguiente división $2m I %? x$2m G '% y mI ' xmG # y Da lugar a un cociente notable !ndicar el 9 de t*rminos del desarrollo <= $2 >= $% ;= '$ D= $$ E= $'

49" /i los grados absolutos de los t*rminos del siguiente cociente

x &2 y el t*rmino que tiene $ y x como grado absoluto '& <= ' >= 8 ;= % D= 7 E= #&

53" En el cociente notable x 'n G 8

y'n $

x' y ;alcular el valor num*rico del t*rmino central, para x Q #, y Q $ <= 6& >= #$7 ;= '$ D= $%6 E= #6

50" 3allar AmGn= si el t*rmino %$ del desarrollo de x#$8m a76n es x$?2 a$77 'm $n x a <= #2 >= #$ #' D= ## E= 0<

;=

52" En el siguiente cociente 28

notable

8$ D= '$

&

xG ' $7 x # la suma de coefcientes desarrollo del cociente, es <= #$7 >= $%6 6& D= '$ E= %#$

del ;=

/i en el desarrollo del siguiente cociente notable n

x'n y el t*rmino del lugar 7 ' x y contado a partir del extremo fnal tiene por grado absoluto '7. El n1mero de t*rminos del desarrollo es <= 7 >= $2 ;= #% D= $% E= '% #6

$ApK6=

x y  (*rminos equidistantes en el desarrollo del siguiente cociente notable n xm y " & ? x y

AmGnGp= <= #'% ##8 D= %

>= $'%

0otable

x

n

#

'

es #$"

x # n1mero de t*rminos desarrollo es <= #$ >= '6 7 D= #2 E= $8

el

de

su ;=

59" 3allar el valor de +a si se sabe

que el pen1ltimo t*rmino x

a

x

$

a

y y

$

es "

$ 7$

;=

x y <= '6 D= #$7

>= &# E= 76

;= 7&

5"

del siguiente cociente notable

243

para x $ ?  , y ' ' <= # >= $ ;= #6 D= #$7 E= 6& 57" /i el grado absoluto del octavo t*rmino del ;ociente

3allar

E= #2%

x # " si se cumple que x #  (A%2=  (A#22= Q x$'6 <= #'$ >= #2$

del t*rmino central del desarrollo de Ax y =#22 Ax y =#22

de la expansión de

55" 3allar el n1mero de t*rminos m

5" ;alcular el valor num*rico

7xy Ax$ y$ =

58"

54" /iendo xp y$7

E= 6&

;alcular el n1mero de t*rminos enteros en el desarrollo de

( A#2= ;=

<= #% D= #6

x$%2 x #%2 x% x ' >= '2 E= '#

;= '$

4" /abiendo que el t*rmino 3" En el desarrollo de

x

&8

?

y

x' x y Oue exponente posee :y: en el t*rmino noveno. <= & >= % ;= 6 D= ? E= 7

0" 3allar α β  en el cociente notable

x

α

x

'

quinto del desarrollo del siguiente cociente notable x

%y

y

,

&

si

D= a$

$#

en el notable

a #  ;= a$ K #

>= a K # E= a$ K %

'

8" ;alcular a b  para que en la siguiente división exista un solo t*rmino que toma la orma a x

$

#

b

en

el

notable x G # <= %# &8 D= &7

el

en el siguiente cociente notable

$

<= a K $

8

5" 3allar la relación entre a y b a b ab

y

;= &7

;alcular el  ( siguiente cociente $2

es a#?6 b6& "

a b n1mero de t*rminos que tiene su desarrollo es <= 7 >= 8 ;= #% D= '$ E= #6

x

2"

#

%y

8

88

$x >= %2 E= &?

x #

cociente 88

;=

'

y

a

y

a b E= ab

b

$

ab

$

b

a # b

>=

b # #

;=

'

a

ab

xy <= a

a

b&

β

y

t6.t8 #$ $7 x y t? <= $2 >= 7& D= '6 E= ?$

$a

x

a&

D= ab #

#

"
%2

a b

$

$

%2

$a $b que valor adquiere el t*rmino central para x

a

$&

' $

<= '#$ D= '6

" b

x

$&

'

$ ;= '%

>= '8 E= '&

7" !ndique la división que dio origen al cociente notable x

&n $

x

&n &

&n 6

x

L

x

$

#

240

<=

x

&n

x

;=

x

E=

x

&n

#

D=

#

&

# #

$

&n

x

&

x

>=

x

#

&n

x x

$

#

#

&n

x

#

$

#

#

9" 3allar el ;. 0. Oue dio origen al siguiente desarrollo #&2n

x

#'?n

x

#&'n

<=

x

n

x

#&'n

;=

x

x

'n

#'&n

E=

x

x

242

n

# # # #

# #

... x

6n

>=

'n

#

#&'n

#

x x

n

x

#

#&#n

D= x

x #

#