Algebra Pre Cocientes Notables Resueltos

Á L G E B R A 

donde:

2.- Hallar el término independiente del cociente: pr = m m r = –– p

∴

(α)

qr = n n r = –– q

∴

(x + a)n - a n –––––––––– x Solución: Dando la forma de C.N. y desarrollando:

(β)

m n Es decir, los cocientes entre –– p y –– q , deben ser enteros e iguales. NÚMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE

(x + a)n - an –––––––––– = (x + a)n-1 + (x + a)n-2a1 (x + a) - a + (x + a)n-3a2 + … + a n-1 El término independiente del C.N. es: P(0) = an-1 + an-2a1 + an-3. a2 + … + a n-1

1444442444443

“n términos”

De (α) y ( β):

= an-1+ an-1+ an-1+...+an-1

m n –– = –– = # de términos del cociente notable. p q

144424443

“n veces”

EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Simplificar:

T.I.C. = nan-1 3.- Simplificar:

1 x x2 x3 xn xn-1 E = –– + –– + –– + –– + … + –––– + –––––––– a a2 a3 a4 an+1 an+1(a - x) Solución: Sumando todos menos el último sumando:

x78 + x76 + x 74 + … + x 4 + x 2 + 1 E = –––––––––––––––––––––––––––– x38 + x 36 + x34 + … + x 4 + x 2 + 1 Solución: Escribiendo el numerador y denominador como C.N.:

1 x x2 xn –– + –– + –– +…+ –––– a a2 a3 an+1

(x2)40 - 140 ––––––––––– (x2) - 1 E = ––––––––––– (x2)20 - 120 ––––––––––– (x2) - 1

an + an-1x + an-2x2 + an-3x3 +…+ xn = ––––––––––––––––––––––––––– an+1 escribiendo el numerador como C.N.: an+1 - xn+1 ––––––––– 1 x x2 xn a-x –– + –– + –– + …+ ––– = ––––––––– a a2 a3 an+1 an+1

efectuando y simplificando: x80 - 1 (x40)2 - 12 E = ––––––– = ––––––––– x40 - 1 x40 - 1

an+1 - xn+1 = ––––––––– an+1(a - x)

(x40 + 1) (x 40- 1)2 40 E = ––––––––––––––– = x + 1 (x40- 1)

Sustituyendo en la expresión: an+1 - xn+1 xn+1 an+1 - xn+1 + xn+1 E = ––––––––– + ––––––––– = ––––––––––––––– an+1(a - x) an+1(a - x) an+1(a - x) simplificando:

4.- Hallar el cociente y el resto en: x34 + x2-1 –––––––––––––––––––––––––––––– x32 + x 30 + x28 + … + x4 + x2 + 1

an+1 1 E = ––––––––– = –––– = (a - x) -1 n+1 a (a - x) a - x

Solución:

Rpta.: E = (a - x) -1

Transformando el divisor a Cociente Notable:

x34 + x2 - 1 (x34 + x2 - 1)(x2 - 1) –––––––––– = ––––––––––––––––– 34 x 1 x34 - 1 –––––– x2 - 1 x36 + x4 - x2 - x34 - x2 + 1 = –––––––––––––––––––––– x34 - 1

6.- Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su desarrollo tiene grado absoluto (G.A.) = 87, hallar el número de términos siendo el C.N.: xnp - a p ––––––– xn - a

Dividiendo por el método normal: Solución: 36

x -x

34

4

2

34

+ x - 2x + 1

x -1 1) Cálculo del t(40):

36

-x

+x

2

2

x -1 t(40) = (x n)p-40 (a)40-1

- x34 + x4 - x2 + 1 Por dato: +x

34

-1 G.A.t(40) = n(p - 40) + 39 = 87

+ x 4 - x2

n(p - 40) = 48 Resto Verdadero Como Resto verdadero = ––––––––––––––– x2 - 1 4

2) Cálculo del t(41): t(41) = (xn)p-41 (a)41-1

2

x -x = –––––– = x2 x2 - 1 Rpta.: El cociente es : q(x) = x 2 - 1 5.- Hallar (m + n) si el t (25) del desarrollo de:

(α)

t(41) = (xn)p-41 (a)40 por ser término consecutivo, y los grados absolutos según el problema disminuyen de 3 en 3, se tiene: G.A.t(41) = n(p - 41) + 40 = 84

x129m - a 86n –––––––––– x3m - a 2n

n(p - 41) = 44

es x 270a288

Dividiendo (α) : ( β):

Solución: n(p - 40) 48 12 –––––––– = ––– = ––– n(p - 41) 44 11

Cálculo de t(25): Escribiendo la división como C.N.: (x3m)43 - (a2n)43 ––––––––––––––– (x3m) - (a 2n)

∴ p = 52

7.- Si el siguiente cociente:

t(25) = + (x3m)43-25 (a2n)25-1 = x54m a48n = x 270a288 Por datos:

x6n+3 + a 6n-22 –––––––––––––– n-6 -8 (–––– ) (n–––– ) 2 2 x + a es notable. Calcular:

identificando los exponentes:

a) El valor de n.

54m = 270

⇒

m=5

b) El número de términos.

48n = 288

⇒

n=6

c) El término 19.

(β)

Á L G E B R A 

Solución:

Luego, el k- ésimo término será:

Si es C.N., por fórmula:

t(k) = (x 3)m-k (y7)k-1

6n + 3 6n - 22 –––––– = ––––––– = # de términos. n-6 n-8 ––––– ––––– 2 2

si hay término central, entonces: (x3)m-k(y7)k-1 = x cy231 identificando exponentes:

a) Simplificando:

3(m - k) = c

6n + 3 6n - 22 –––––– = ––––––– n-6 n-8

(β)

7(k - 1) = 231 ∴

Multiplicando medios y extremos: (6n + 3)(n - 8) = (6n - 22)(n - 6) 6n2- 48n + 3n - 24 = 6n2 - 36n - 22n + 132

k = 34

El lugar del término central es 34, entonces habrá: ……………

34

……………

14424431442443

33

13n = 156

33

14444444244444443

m = 33 + 33 + 1 = 67 términos ∴

n = 12 a b En (α) : –– = –– = m = 67 3 7

b) El número de términos es: 6n + 3 6(12) + 3 75 # = –––––– = ––––––––– = –––– = 25 n-6 12 - 6 3 ––––– –––––– 2 2

a de aquí: –– = 67 b

⇒

a = 201

b = 67 –– 7

⇒

b = 469

3(67 - 34) = c

⇒

c = 99

c) El cociente notable es: En (β):

x75 + a50 (x3)25 + (a2)25 –––––––– = –––––––––––– x3 + a2 (x3) + (a2) Por fórmula:

Luego, el valor pedido es:

t19 = +(x3)25-19 (a2)19-1

E = 201 + 469 + 99 = 769

t19 = x18a36

9.- Sabiendo que el t(5) del cociente notable:

8.- En el cociente notable:

x

xa - yb ––––––– x3 - y7

es: a176 b64. Calcular el número de términos.

hay un término central, que es igual a: c

x y

Solución:

231

Desarrollando el Cociente Notable:

Hallar: E = a + b + c

x

Solución: Si es cociente notable, llamando m al número de términos, se tiene: a b –– = –– = m 3 7

x

a4 - b4 –––––––––––– y y a5 -9 - b5 -9

(α)

x y x y a4 - b4 ––––––––––– = a4 -(5 - 9) + a4 -2(5 - 9) y y a5 -9 - b5 -9 y-9

. b5

x -3(5y -9)

+ a4

. b3(5

y -9)

. b2(5

y -9)

x -5(5y -9)

+ a4

x -4(5y -9)

+ a4

+ b4 (5

y -9)

+…

Por dato:

T(k) = (x5)70-k (y2)k-1 x -5(5y -9)

t(5) = a4

y -9)

b4(5

= a176 b64

G.A.t(k) = 5(70 - k) + 2(k - 1) = 348 - 3k b) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo final.

identificando exponentes de a: 4x- 5(5y - 9) = 176

(α) Sean los términos y sus respectivas posiciones.

exponentes de b: 4(5y - 9) = 64

“n” 644444447444444448

y

5 - 9 = 16

1 , 2 , 3, 4 , … ……, k, …… ……,

n

1442443

5y = 5 2

↑

(n - k)

678

de donde: y = 2

(n - k + 1)

En (α): 4x - 5(16) = 176 x

4

4 = 256 = 4 ∴ x=4

El t(k) contado a partir del extremo final ocupa la posición n - k + 1 contado a partir del extremo inicial. Luego: t(n - k + 1) = t(70 - k + 1) = t(71 - k)

El número de términos es: 4x 44 256 –––––– = –––––– = –––– = 16 5y - 9 52 - 9 16

= (x5)70-(71-k) (y2)71-k-1 t(71 - k) = (x 5)k-1 (y2)70-k

10.- Cuál es el lugar que ocupa un término en el sigueinte C.N.: x350 - y140 –––––––––– x5 - y2

G.A. : t(71 - k) = 5(k - 1) + 2(70 - k) = 3K + 135

contado a partir del primer término sabiendo que la diferencia del grado absoluto (G.A.) de éste con el G.A. del término que ocupa la misma posición contado a partir del extremo final es 9.

Por la condición del problema:

Solución:

de donde: k = 34

a) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo inicial:

El término ocupa el lugar 34.

(348 - 3k) - (3k + 135) = 9