´ lgebra:Cocientes Notables Ases As esor´ or´ ıa de A
Prof. Carlos Torres
Donde α : n´ ume ro de t´erminos umero ermi nos
Solucionario
⇒ m2 − 18 18m m + 81 = (m ( m − 9)2 = 0 ⇒ m = 9 Entonces α = 6.
Pregunta 16
Hallar el t´ermino ermino central del C.N.: x3n+9 + y 6n+11 xn−1 + y 2n−3 a) x9 y 15 d)
−x15y9 e) −x9 y 15
x8 y17
−
N´ umero de t´erminos umero erminos = 6
Pregunta 18
c) x15 y9
b)
∴
Determine el grado del t´ermino ermino central del C.N.: x6α−3 xα−1
Resoluci´ on:
a) 24
b) 21
Como genera C.N., se cumple:
d) 23
e) 25
3n + 9 6n + 11 = n 1 2n 3
α=
−
−
Donde α : n´ ume ro de t´erminos umero ermi nos (2n n − 3)(3 3)(3n n + 9) = (6n (6n + 1)(n 1)(n − 1) ⇒ (2 6n2 + 18n 18n − 9n − 27 = 6n 6n2 − 6n + 11n 11n − 11 ⇒ n = 4 Entonces α = 7.
α
α
c ) 22
Resoluci´ on
Como genera C.N., se cumple: n=
6α 3 8α + 3 = α 1 α+1
− −
∈ Z+
Donde n: n´ ume ro de t´erminos umero ermi nos.. Luego, 6α2 + 3α 3α
− 3 = 8α2 − 5α − 3 2α2 − 8α = 0 ⇒ α(α − 4) = 0
Luego, por f´ormula ormula para hallar el t´ermino ermino central: t(central) = t(
α+1
2
3 7−4 5 4−1 ) = t4 = (x ) (y )
= ( 1)4+1 x9 y15
− = −x9 y 15 ∴
− y8 +3 − y +1
t(central) =
−x9y15
De esta ultima u ´ ltima ecuaci´on, on, se desprende que α = 0 Considerando α = 4, entonces: n=7
Ahora, por la f´ormula ormula para hallar el t´ermino ermino central:
Pregunta 17
t(central) = t(
Si la siguiente divisi´on: on: m2 +81
x
x27
∨ α = 4.
n+1
2
3 3 5 3 ) = t4 = (x ) (y )
= x9 y 15 y 2m
− − y3
genera un cociente notable. Hallar el n´umero umer o de t´erminos erm inos
∴
de dicho cociente notable.
grado t(central) = 24
Pregunta 19
a) 6
b) 15
d) 13
e ) 27
c) 12
Dado el cociente notable: x120 x3
Resoluci´ on:
− y40 −y
Adem´ as: T p = x90 y m . Hallar: mp as:
Como genera C.N., se cumple: m2 + 81 2m α= = 27 3 www.edumate.wordpress.com
∈ Z+
a) 72
b) 110
d) 56
e) 90
c ) 132
P´ ag.1 ag.1
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Resoluci´ on:
a) 68
b) 66
Se observa que el n´umero umero de t´erminos erminos que genera el C.N. C.N .
d) 62
e) 60
es 40. Ahora, como el dato es:
Resoluci´ on
T p = x90 y m
Como genera C.N. se cumple α=
hallamos hallam os el e l t´ermino ermino de posi posici´ ci´on on p: T p = (x3 )40− p y p−1 = x90y m
∈ Z+ (∗)
Donde α :n´umero ume ro de t´erminos ermi nos..
Factorizando por aspa simple:
− p = 30 ∧ p − 1 = m ⇒ p = 10 ∧ m = 9 ∴
16n + 19 16n 35n 35 n + 15 = n+1 2n + 1
32n n2 + 54 54n n +19 = 35n 35n2 + 50 50n n + 15 ⇒ 3n2 − 4n − 4 = 0 ⇒ 32
De esta ultima u ´ ltima igualdad se desprende que: 40
c ) 64
mp = 90
(3n (3 n + 2)(n 2)(n
− 2) = 0 ⇒ n = −2/3 ∨ n = 2 Evaluamos estos valores en (∗) y se observa que el ´unico unico valor v´alido alido es n = 2. Adem´as, as, se desprende que α = 17. Ahora, para hallar el und´ecimo ecimo t´ermino ermino aplicam aplicamos os f´ormula: ormula:
Pregunta 20
t11 = (x3 )6 (y 5 )10 = x18 .y 50
Indicar el lugar que ocupa el t´ermino ermino independiente indep endiente del desarrollo del C.N.:
∴
x27 x3 a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
El grado absoluto de t11 es 68.
−45
−x − x−5
Pregunta 22
Halle el cociente de la divisi´on: on: c) 5
x95 + x90 + x85 + x80 + . . . + x5 + 1 x80 + x60 + x40 + x20 + 1 a) x15
Resoluci´ on
− x10 + x5 − 1
b) x15 + 1
Se observa que el n´ umero de t´erminos umero erminos es 9. Luego, por f´ormula: ormula:
c) x15 + x10 + x5 + 1 d) x15
tk = (x3 )9−k (x−5 )k−1 = x27−3k x5−5k 32−8k
− x5 + 1 e) x15 − 1 Resoluci´ on:
=x
Llevando a cocientes notables: Como nos piden el t´ermino ermino independiente, entonces: 32 ∴
− 8k = 0 ⇒ k = 4
El lugar que ocupa el t´ermino ermino independiente indep endiente es 4
x95 + x90 + x85 + x80 + . . . + x5 + 1 = x80 + x60 + x40 + x20 + 1 De esta ultima u ´ ltima igualdad se desprende que: x100 −1 x5 −1 x100 −1 x20 −1
Pregunta 21
En el cociente notable generado por la divisi´on: on: x16n+19 xn+1
y5(7n+3)
− − y2 +1
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=
x20 x5
=
(x10 + 1)(x 1)(x5 + 1)(x 1)(x5 x5 1
−1 −1
−
− 1)
= (x ( x10 + 1)(x 1)(x5 + 1)
n
el grado absolut absolutoo del t´ermino ermino de lugar und´ecimo ecimo es:
x100 −1 x5 −1 x100 −1 x20 −1
Finalmente: P´ ag.2 ag.2
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De la ultima u ´ ltima igualdad, tenemos que 25 k = ˚ 2 y k 1 =˚ 3 ya
−
(x10 + 1)(x 1)(x5 + 1) = x15 + x10 + x5 + 1
que nos piden el n´ umero de umero d e t´erminos erminos racional racionales, es, esto es to impliimp lica que en dichos t´erminos erminos no debe estar presente el s´ımbolo
Pregunta 23
1 2
radical. Luego,
tercerr t´ ermino del C.N. generado por ermino p or la divis divisi´ i´on on Si el terce toma el valor num´erico erico de 1024 1 024 cuando c uando x = 2; (x+2)n −xn x+1
calcule el valor de
−
25
√n + 2.
k a)7
b) 5
d) 3
c) 4
1 , 4, 7, 10 10,..., ,..., 22 22,, 25 − 1 = ˚3 ⇒ k = 1,
Enton En tonces ces,, se obs observ ervaa que los valo alores res com comune uness a k son
√
e)
,..,23 23,, 25 − k = ˚2 ⇒ k = 1, 3, 5, 7,..,
5
1, 7, 13 13,, 19 19,, 25.
Resoluci´ on: ∴
Transformando la divisi´on: on:
El n´ umero de t´erminos umero erminos racionales que genera el desarrollo de C.N. es 5.
1 (x + 2)n xn (x + 2)n xn (x + 2)n xn = = 2 2x + 2 (x + 2) + x x+1
−
−
−
Por el dato t3 toma el valor n´ um´erico um´ eric o 1024 cuan cuando do x = 2, entonces aplicando f´ormula ormula y evaluando para x = 2:
Pregunta 25
Simplifique la expresi´on: on: x + x3 + x5 + . . . + x2n−1 1 + x13 + x15 + . . . + x2 1−1 x
t3 = ( 1)4 (x + 2)n−3 (x)2
−
n
= 4n−3 22 = 1024 = 210
⇒ 22
n−4
= 2 10
Entonces, de la ultima u ´ ltima igualdad n = 7 ∴
√
n+2 =
√
a) x2n−1
b) x4n−2
d) x4n+2
e) x4n
c) x2n
9 =3 Resoluci´ on:
Pregunta 24
Halle el n´ umero de t´erminos umero erminos racionales de desarrollo de
De la expresi´on: on: x + x3 + x5 + . . . + x2n−1 ( ) 1 + x13 + x15 + . . . + x2 1−1 x
C.N. generado por la divisi´on: on:
√
√ 25 25 3 − 2 √ √ 3− 2 3 3
a) 1
b) 3
d) 7
e) 4
∗
n
multiplicamos al denominador por
n
x2 , x2n
1
1 1 1 + 3 + 5 + . . . + 2n−1 x x x x
c) 5
as´ı:
2n
× xx2
n
Ahora, distribuyendo convenientemente: Resoluci´ on:
Aplicamos Aplic amos f´ ormula para el t´ermino ormula ermino general k del desarrollo del C.N.Es Importante que se tome en cuenta que k
∈
Z+
adem´ as 1 as
≤ k ≤ 25 √
25−k
tk = ( 3) =3
25−k 2
2
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√ 3
k−1
( 2)
2n−1
x
+ x2n−3 + x2n−5 + . . . + x3 + x
×
1 x2n
Luego, reemplazando esta ultima u ´ ltima expresi´on on en ( ):
∗
x + x3 + x5 + . . . + x2n−1 (x2n−1 + x2n−3 + x2n−5 + . . . + x3 + x)
×
1
x2n
=
1 1
= x2n
x2n
k−1
3
∴
La expresi´on on simplificada es x2n
P´ ag.3 ag.3
