UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO – CEPUNC
COCIENTES NOTABLES CONCEPTO: Llamaremos cocientes notables (C.N.) a los cocientes que se obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad de efectuar la operación de división. Las divisiones indicadas que dan origen a estos cocientes notables son de la forma. x n ± y n x ± y
; n ∈ N ∧ n ≥ 2
CONDICIONES NECESARIAS DE LOS COCIENTES NOTABLES •
El dividendo el divisor deben ser binomios o transformables a un forma equivalente
•
Los t!rminos del dividendo deben estar elevados al mismo e"ponente.
•
Los t!rminos del divisor divisor son las bases de los t!rminos t!rminos del dividendo.
•
El residuo es cero.
#ediante la combinación de los signos se presentar$n % casos. x n − y n x − y
x n − y n
;
x + y
;
x n + y n x + y
x n + y n
;
x − y
Div. Indicada n
x − y
;
Cociente Notable
Resto o Residuo
x n −& + x n −2 y + x n −' y 2 + ... + y n −&
nulo ∀n ∈ N
n
x − y
x n −&
x n − y n
−
x n − 2 y
+
x n −' y 2
+
... − y
n −&
nulo si n par
x n −& − x n − 2 y + x n −' y 2 + ... + y n −&
x + y n
x + y
n
x
x n
x + y n
x + y
n −& −&
n− 2
n −'
n −&
−
x
2
+ ... +
y
−
x n 2 y + x n ' y 2
+ ... −
y n
−
y + x
y
−
2 y
n
2 y
n
si n impar nulo si n impar
−
−&
si n par
n
x n −& + x n −2 y + x n −' y 2 + ... + y n −&
x − y
2 y
n
, ∀n ∈ N
Ejemlos: •
•
x %
− y
x − y
% '
= x + x
2
y + xy
2
+ y
'
x − − y − , No genera cociente notable porque − ( ∉ N x − y
Ing. José Manuel Manuel vilch vilchez ez Jara Jara
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'
'
x − y 2 , No genera cociente notable porque ' ∉ N 2 x − y 2
•
TEORE!A DEL T"R!INO #ENERAL: $inalidad: El teorema tiene por finalidad calcular un t!rmino cualquiera (t ) del cociente sin necesidad de efectuar el desarrollo de dic*a división.
+ado el cociente notable n n x ± y
x ± y
, un t!rmino cualquiera t k es igual a
t k = ( signo) x n−k y k −& , k - &, 2, ', , n /i el divisor es la forma •
x 0 y, 1odos los t!rminos son positivos.
•
x y, 1odos los t!rminos tienen signos alternados () (3) siendo () los t!rminos que ocupan un lugar impar (3) los de lugar par.
Nota: I. El cociente notable de
x n − y n x − y
es un polinomio *omog!neo de grado de *omogeneidad
( n − &) ; es un polinomio de n t!rminos completo ordenado con respecto a ambas variables.
II. si contamos los t!rminos a partir del 4ltimo, para *allar el t!rmino de lugar k sólo ←
intercambiamos los e"ponentes, as5. t k •
=
x k & y n −
−
k
Ejemlo %: & x y 7
&6
es un t!rmino del cociente notable de
x &8 − y &8 9 x − y
:espuesta Como el t!rmino es de grado &7 &7 es el grado de *omogeneidad del cociente notable generado por
•
x&8 − y &8 x − y
⇒ x
7
y
&6
s5 es un t!rmino de su cociente notable.
Ejemlo ': & x y 7
&&
es un t!rmino del cociente notable de
x&; − y &; x − y
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x n ± y m /e tendr$ tambi!n algunas divisiones de la forma generan cocientes notables, siendo la x a ± y b condición suficiente.
n a
=
m b
=
r ; r ∈ N
+onde r representar$ el n4mero de t!rminos del Cociente Notable.
TER!INO CENTRAL DE (N COCIENTE NOTABLE. El cociente notable
•
x n ± y n x ± y
, tendr$
•
+os t!rminos centrales si el e"ponente com4n es par, sus ubicaciones son =rimer t!rmino central TC &
=
n 2
/egundo t!rmino central TC 2 =
n
+&
2
Ejemlo ): &
x
%6
− y
%
x − y
'6 '
* genera cociente notable9
Ejemlo +: &
x
'6
− y
'6
%
− y
%
x
, genera cociente notable9
Ejemlo ,: &>u! lugar ocupa el t!rmino de grado '% en el cociente notable generado por
x %6 − y 26 x 2 − y
9
Ejemlo -: Calcular m si la división
x &'m +& x m +&
− y
?m+ 2
− y
m
genera cociente notable.
PRCTICA
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P/oblema %: +eterminar (m n p) sabiendo que el t!rmino central del cociente notable generado '
por
x m
−&&%
x
m
+ +
yn y
'
− %6
es el noveno t!rmino tiene por valor x p y %6
n
P/oblema ': En el cociente notable generado por la división
x 26 m+'7 + y 26 m −7( x
m +&
+
y
m −'
, determine el valor de
@mA e indicar el n4mero de t!rminos.
P/oblema ... + x
&;7
a
): &%6
− x
Ballar &;6
a
&%(
el
n4mero
de
t!rminos
del
siguiente
cociente
notable
+ ...
x (? − x (8 + x (% − x (2 + .... x 2 − &
P/oblema +: :educir
x '? − x '8 + x '% − x '2 + ... +
( 7 x − &)
P/oblema ,: /i la división
;;
+ ( 7 x + &)
2
x 2 + &
;;
origina un cociente notable en el cual un t!rmino
x tiene la forma !( 27 x 2 − &) , calcular !
P/oblema -: /i la división
( x + y )
&66
(
− ( x − y )
? xy x
2
+
num!rico del t!rmino central para x = ' e y
y
=
P/oblema 0: /abiendo que al dividir
2
2
7n
x 2 − y 2 x
m
' −&
genera un cociente notable, calcular el valor
)
2
7n
&66
+y
m
' −&
se obtiene como segundo t!rmino
−
x &8 y ? +e
cu$ntos t!rminos est$ compuesto su cociente notable9
P/oblema 1: >u! lugar ocupa el t!rmino de la forma " ab ( a + b ) 2
generado por
( a + b)
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− ( ab)
a 2 + 'ab + b 2
n
del cociente notable
&&
9
P/oblema 2: en el cociente notable que se obtiene de
x am − x bn x 2 − x −'
, el d!cimo t!rmino contado a partir
del final, es independiente de " Cu$ntos t!rminos racionales enteros contiene dic*o cociente notable9
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