Universidad Marítima Del Caribe. CÁLCULO IV CAL444 UNIDAD 5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.
Estudiaremos ahora un tópico del Álgebra Lineal que es de gran importancia en la solución de problemas de vibraciones en aerodinámica, elasticidad, mecánica e ingeniería química entre otras áreas y también se usa en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.
5.1
Autovalores y autovectores de una matriz nxn.
Def.: Sea A una matriz nxn. nxn. El número λ (real o complejo) es un autovalor (o valor propio o valor característico) de A si existe un vector , no nulo, en (n componentes complejas) tal que (1) Los vectores que satisfacen (1) son los autovectores (o vectores propios o vectores característicos) de A correspondientes o asociados con el autovalor λ . Observación: Aún si la matriz A tiene todos sus elementos reales los autovalores pueden ser complejos
y los autovectores pueden tener componentes complejas, por lo tanto se recomienda una lectura sobre aspectos básicos de números complejos (ej. Apéndice 2 del texto Grossman, S. Álgebra Lineal). Ejemplo: La matriz
tiene autovalores y y los vectores y son autovectores correspondientes respectivamente, podemos entonces verificar la expresión (1):
Observación: De la expresión (1) se deduce, generalizando el resultado geométrico de
y que al multiplicar el autovector por la matriz este se transforma (multiplicar por una matriz es una transformación lineal) en otro vector múltiplo escalar (o paralelo) a él donde el escalar es el autovalor. Esta implicación es de mucha importancia en diversas aplicaciones.
Determinación de los autovalores de una matriz nxn.
De la expresión (1) dada en la definición se obtienen los procedimientos para determinar los autovalores y los autovectores: Para un dado autovalor λ se se deben calcular los autovectores asociados resolviendo
ya que
(2) Para una matriz A nxn la ecuación (2) es un sistema de n ecuaciones homogéneas, con n incógnitas las componentes del vector . Como se desea encontrar soluciones no nulas la matriz de coeficientes del sistema debe ser singular, es decir
(3)
Recíprocamente si la matriz de coeficientes es singular, , entonces el sistema (2) tiene soluciones no nulas y λ es autovalor, por lo tanto la ecuación (3), con incógnita λ, se usa para la determinación de los autovalores. Desarrollando se obtiene un polinomio que denotaremos y llamaremos polinomio característico de A.
Teorema: Sea A matriz nxn. Entonces λ es un autovalor de A si y sólo si
La ecuación (3) se llama ecuación característica de la matriz A, para calcular los autovalores de A se resuelve su ecuación característica o lo que es lo mismo se hallan las raíces de su polinomio característico.
Ejemplo:
. Hallar sus autovalores.
Solución:
.
Observaciones:
(1) Para una matriz 2x2,
se tiene:
Donde la traza de una matriz cuadrada es la suma de sus elementos diagonales, es decir
(2) Para una matriz nxn su polinomio característico es de grado n y por lo tanto se afirma: Contando las multiplicidades, toda matriz nxn tiene n autovalores
Los autovalores de una matriz pueden ser: reales simples (no repetidos), reales múltiples (repetidos dos o más veces), complejos conjugados simples y/o complejos conjugados múltiples. (3) Sabemos que el determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de sus elementos de la diagonal principal por lo tanto en las matrices triangulares y diagonales los autovalores son directamente los elementos de la diagonal principal. Ej.
Determinación de los autovectores de una matriz nxn.
Para cada autovalor λ el autovector correspondiente se obtiene resolviendo el sistema homogéneo , este sistema, es compatible indeterminado, su solución es un subespacio de , que llamaremos espacio propio correspondiente al autovalor λ y denotaremos .
Teorema: Sea λ un autovalor de una matriz A, nxn, entonces el conjunto de los autovectores correspondientes a λ , , esta dado por
Podemos observar que
es el espacio nulo de la matriz
Ejemplo: Para la matriz
.
, hallar los autovectores correspondientes a los autovalores
.
Solución:
Ejemplo: Para la matriz
, hallar sus autovalores y espacios propios correspondientes.
Solución:
Observación: Los autovalores complejos de una matriz de elementos reales ocurren por pares
conjugados sus componentes complejos conjugado.
y los autovectores correspondientes también tienen
Teorema: Sea A matriz nxn. Entonces los autovectores correspondientes a autovalores diferentes son
linealmente independientes. Si una matriz nxn tiene autovalores múltiples es posible que no se puedan determinar n autovectores linealmente independientes, como veremos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo: Calcular para la matriz sus autovalores y correspondientes espacios propios.
(a)
(b)
Solución:
(a)
.
autovalor simple→
autovalor doble→
Para el autovalor con multiplicidad 2 se encontró un solo autovector.
Para esta matriz 3x3 sólo se encontraron dos autovectores linealmente independientes.
(b)
.
autovalor doble→
→
Para el autovalor con multiplicidad 2 se encontraron dos autovectores linealmente independientes. autovalor simple→
Para esta matriz 3x3 se encontraron tres autovectores linealmente independientes. Multiplicidad algebraica de un autovalor
El número de veces que un autovalor se repite en el polinomio característico se llama multiplicidad algebraica del autovalor. Ej.
La multiplicidad algebraica del autovalor es la multiplicidad como raíz del polinomio característico. Multiplicidad geométrica de un autovalor
Para un autovalor λ la dimensión del espacio propio correspondiente geométrica del autovalor. Multiplicidad geométrica de λ
Ej.
, se llama multiplicidad
La multiplicidad geométrica se relaciona con el número de autovectores linealmente independientes que se pueden encontrar para un autovalor. En los ejemplos anteriores se verifican los siguientes resultados:
Teorema: Sea λ un autovalor de una matriz A. Entonces Multiplicidad geométrica de λ Teorema: Sea A una matriz nxn. Entonces
Multiplicidad algebraica de λ.
A tiene n autovectores linealmente independientes si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada
autovalor es igual a su multiplicidad algebraica. Ej.
La matriz 3x3 independientes.
La matriz 3x3 independientes.
no cumple el último teorema y tiene solo dos autovectores linealmente
verifica los dos últimos teoremas y tiene tres autovectores linealmente
5.2
Matrices semejantes. Diagonalización.
Def.: Dos matrices A y B, nxn, son semejantes si existe una matriz C , nxn invertible, tal que
(1)
Teorema: La transformación
, con C una matriz nxn invertible, es una
transformación lineal.
Demostración:
Sean
, entonces
y
Es transformación lineal.
La transformación lineal , para toda matriz C nxn invertible, se llama transformación de semejanza ya que las matrices A y T(A) son matrices semejantes. De la expresión (1) se puede decir también que dos matrices A y B, nxn, son semejantes si existe otra matriz C , nxn, tal que Ejemplo: Para
, tomemos
La matriz
cuya inversa es
es semejante a la matriz
Verificación:
, por lo tanto
.
;
La semejanza entre matrices nxn tiene las siguientes propiedades: i) A es semejante a A. ii) Si B es semejante a A, entonces A es semejante a B.
iii) Si A es semejante a B y B es semejante a C , entonces A es semejante a C . Tomando en cuenta la propiedad ii) se dice A y B son semejantes en lugar de “ B es semejante a A” o “ A es semejante a B”. Teorema: Si A y B son matrices nxn semejantes, entonces tiene el mismo determinante y el mismo
polinomio característico y por lo tanto los mismos autovalores. Demostración:
A y B semejantes → existe C invertible tal que
, por lo tanto se tiene que
sus determinantes son iguales.
Por otra parte se tiene
sus polinomios característicos son iguales.
Por tener sus polinomios característicos iguales los autovalores que son sus raíces también son iguales Ejemplo: Las matrices
y verifiquemos entonces el teorema:
son semejantes como se vio en el ejemplo anterior,
,
→
Los autovalores comunes son Veamos que pasa con los autovectores:
.
Para A:
Para B:
Los autovectores correspondientes son diferentes.
Diagonalización de una matriz nxn:
Def.: Una matriz A, nxn, es diagonalizable si existe una matriz diagonal D, nxn, tal que D y A sean semejantes. Podemos observar que si D y A son semejantes entonces tienen los mismos autovalores y como D es diagonal sus elementos diagonales son sus autovalores que son los mismos de A. Si una matriz A es diagonalizable entonces es semejante a una matriz diagonal D cuyos elementos diagonales son los autovalores de A es decir donde
son los autovalores de A.
Teorema: Una matriz A, nxn, es diagonalizable si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. En ese caso la matriz diagonal D, nxn, semejante a A es
donde son los autovalores de A y la matriz C , nxn invertible, cuyas columnas son los autovectores linealmente independientes de A es tal que
Demostración:
Si la matriz A tiene n autovectores linealmente independientes
Se pueden determinar la matriz C cuyas columnas son los autovectores y la matriz D diagonal de autovalores
Esta matriz C es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes si además se tiene que , entonces D es la matriz diagonal semejante a A.
Recordemos que
por ser el autovector correspondiente al autovalor
.
para alguna matriz C y se llega a la conclusión que C debe ser la matriz de autovectores y deben ser linealmente independientes para que sea invertible. Recíprocamente si A es diagonalizable entonces se verifica
Una matriz A, nxn, puede tener n autovectores linealmente independiente si i)
Todos sus autovalores son diferentes (simples multiplicidad algebraica igual a 1 ó
ii) Para cada autovalor la multiplicidad geométrica es igual a su multiplicidad algebraica.
Ejemplos: Determinar si la matriz A es diagonalizable y en caso afirmativo hallar C y D.
(1)
Se tiene de ejemplos anteriores que , con autovectores respectivamente y respectivamente. Dos autovalores diferentes, dos autovectores
linealmente independientes, por lo tanto la matriz es diagonalizable con
Verificación:
(2)
La matriz no es diagonalizable, solo se encuentran dos autovectores linealmente independientes.
(3)
La matriz es diagonalizable tiene tres autovectores linealmente independientes.
Verificación:
Diagonalización y potencias de matrices
Si una matriz A, nxn, es diagonalizable, se puede usar las matrices D y C para hallar una potencia de A. En este caso se tiene
Como D es una matriz diagonal entonces Ejemplo: Para Solución:
Para A se tiene
es otra matriz diagonal cuyos elementos diagonales
hallar
,
y
, la matriz es diagonalizable con .
