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´ Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matem´ atica atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Tema 11.- Autovalores y Autovectores. Definici´ on, propiedades e interpretaci´ on, on on geom´ etrica. etrica. La ecuaci´ on on caracte cara cterr´ıstica ıst ica.. Matrices diagonalizables. Autovalores y autovectores complejos. A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos tambi´en en ser´an an v´ alidos para el caso de matrices cuadradas complejas). De todos modos, aunque se alidos trabaje con matrices reales, ser´a imprescindi imprescindible ble hacer referencia referencia a los n´umeros umeros complejos puesto que un polinomio con coeficientes reales puede tener ra´ ra´ıces complejas no reales. Autovalores y Autovectores: Definici´ on on y propiedades. Definici´ on. Sea on. Sea A una matriz cuadrada de orden m . Diremos que un escalar λ ∈ K (= R o C) es un autovalor de A si existe un vector v ∈ Km , v = 0 tal que Av = λv , en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al autovalor λ . Proposici´ on. on. Sea λ un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces: 1.
αλ es un autovalor de αA α A con autovector v .
2.
(λ − µ) es un autovalor de A − µI con autovector v.
3.
λk es un autovalor de Ak con autovector v .
4.
Si q (·) es un polinomio, entonces q (λ) es un autovalor de q (A) con autovector v. (Ejemplo: 3λ3 + 5 λ2 − 7λ + 2 es un autovalor de la matriz 3 A3 + 5A2 − 7A + 2I ). ).
5.
Si A tiene inversa, entonces λ = 0 y λ−1 es un autovalor de A−1 con autovector v.
Definici´ on. on. Sea A una matriz m × m y sea λ 0 un autovalor de A. Se llama: (a) Multiplicidad Multiplicidad algebraica algebraica de λ0 , y se denota por ma (λ0 ), a la multiplicidad de λ0 como ra´ ra´ız del polinomio poli nomio caract car acter´ er´ısti ıs tico co p(λ) = det (A − λI ) de A. Es decir, p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (λ − λ0 )m
a
(λ0 )
q (λ),
siendo q (λ) un polinomio (de grado m − ma (λ0 )) que no se anula para λ0 , q (λ0 ) = 0. (b) Multiplicid Multip licidad ad geom´ etrica etrica de λ0 , y se denota por mg (λ0 ), a la dimensi´on on del espacio nulo de A − λ0 I , dim [Nul (A − λ0 I )] )] = m − rango rango [(A − λ0 I )] )] . Es decir, la multiplicidad multip licidad geom´etrica etrica coincide co incide con c on el n´ n umero u ´ mero (m´aximo) aximo) de autovectores autovectores linealmente independientes asociados al autovalor. Lo unico u ´ nico que se puede afirmar en general sobre la relaci´on on entre las multiplicidades algebraica y geom´ etrica etrica de un autovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado. Lema. Sea Lema. Sea λ 0 un autovalor de una matriz A, entonces 1 ≤ mg (λ0 ) ≤ ma (λ0 ). Proposici´ on. Sea on. Sea A una matriz m × m y sean λ 1 , λ2, . . . , λm sus m autovalores (cada uno aparece tantas veces como indique su multiplicidad algebraica) entonces: su polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico es p(λ) = (−1)m (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λm ). el determinante de A coincide con el producto de los autovalores: det(A) = λ 1 λ2 · · · λm . la traza de A coincide con la suma de los autovalores: tr(A) := a 11 + . . . + amm = λ 1 + λ2 + · · · + λm . Proposici´ on. on. Sea A una matriz m × m, entonces:
2
1. At tiene los mismos autovalores que A (en general los autovectores asociados ser´an distintos). 2. Si A es real y v es un autovector de A asociado a λ , entonces ¯v tambi´en es autovector de A asociado al autovalor ¯ coinciden. λ. Adem´as, las multiplicidades algebraicas y geom´ etricas respectivas de λ y λ Matrices diagonalizables. Definici´ on. Se dice que una matriz A m × m es diagonalizable si existe alguna matriz P no singular tal que P −1 AP es una matriz diagonal. Notemos que si d1 0 0 ... 0 0 d2 0 . . . 0 0 0 d3 . . . 0 P −1 AP = D = .. .. .. . . ... . . . .
0
0
0 . ..
dm
entonces cada columna de P es un autovector de P asociado al correspondiente elemento diagonal de D que ser´a un autovalor de A. Adem´ as, puesto que existe la matriz inversa de P , las m columnas de P son linealmente independientes. Teorema. Sea A una matriz m × m. Se verifica: (1) A es diagonalizable si y s´olo si tiene m autovectores linealmente independientes. (2) A autovalores distintos de A le corresponden autovectores linealmente independientes, es decir, si v1 , · · · , vk son autovectores de A asociados respectivamente a los autovalores λ 1 , · · · , λk y estos son distintos dos a dos, entonces v1 , · · · , vk son linealmente independientes. (3) Si A tiene todos sus autovalores simples, entonces es diagonalizable. (4) A es diagonalizable si y s´olo si para cada autovalor λ se verifica que ma (λ) = m g (λ).
Matrices semejantes y aplicaciones lineales. Consideremos una aplicaci´on lineal T : Rm → Rm . Fijada la base can´onica B c = {e1 , . . . , em } de Rm , esta aplicaci´on lineal tiene asociada una matriz A , cuyas columnas son los vectores T (e1 ), T (e2 ), . . . T ( em ). Si fijamos otra base B = {v1 , . . . , vm } de Rm , la aplicaci´on lineal T tiene asociada una matriz B respecto a dicha base, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores T (v1 ), T (v2 ), . . . T ( vm ) respecto a la base B , es decir, [T (v1 )]B , . . . , [T (vm )]B . Las matrices A y B verifican que B = P −1 AP siendo P
=
v1 . . .
vm
.
En general, dicha relaci´on se formaliza mediante la siguiente definici´on. Definici´ on. Se dice que dos matrices m × m A y B son semejantes si existe alguna matriz no singular P tal que B = P −1 AP.
La matriz P se suele denominar matriz de paso. A la vista de la definici´on es obvio que una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Proposici´ on. Si A y B son semejantes, entonces: A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y, por tanto, los mismos autovalores con las mismas multiplicidades algebraicas. Si v es un autovector de A asociado a un autovalor λ, entonces P −1 v es un autovector de B asociado al mismo autovalor λ (siendo P la matriz no singular tal que B = P −1 AP ).
det(A) = det(B ) y tr(A)=tr(B ). Cada autovalor (de A y B ) tiene la misma multiplicidad geom´etrica para ambas matrices, es decir, dim [Nul (A − λI )] = dim [Nul (B − λI )] .
3
Para cada exponente k = 1, 2, . . . se verifica que dim Nul (A − λI )k = dim Nul (B − λI )k
.
Notemos por otra parte que el que dos matrices tengan los mismos autovalores no conlleva, en general, el que sean semejantes; por ejemplo, las matrices A =
0 1
y B =
0 0
0 0 0 0
tienen como u ´ nico autovector a λ = 0 pero no son semejantes. Si V es un espacio vectorial, B = {v1 , . . . , v m } una base del mismo, y f : V → V una aplicaci´on lineal, n´ otese entonces que la matriz de f en B es semejante a la matriz de f en cualquier otra base B = {v1 , . . . , vm } de V . Por lo tanto, a la vista de los resultados anteriores, se pueden definir, los autovalores, la traza y el determinante de f como los autovalores, traza y determinante de f en cualquier base. Lo mismo ocurre con el polinomio caracter´ıstico. Autovalores y autovectores complejos. Ampliamos en estas l´ıneas lo tratado en la secci´on 5.5 del libro (Lay). En dicha secci´on se muestra c´omo una matriz real 2 × 2 diagonalizable en C (es decir, con un par de autovalores complejos conjugados, a ± bi) se puede escribir en una forma no diagonal, pero con una estructura muy sencilla (ver teorema 9 de la p´agina 334)
a −b
b a
.
En el caso de tener una matriz real diagonalizable de mayor dimensi´on con autovalores complejos podemos proceder de un modo similar para obtener una matriz real no diagonal, pero s´ı diagonal por bloques, con una estructura similar a la anterior. As´ı, una matriz diagonalizable pero con alg´ un autovalor complejo no real (con lo cual la matriz de paso tendr´ a algunos elementos no reales) ser´a semejante, a trav´ es de una matriz de paso real, a una matriz diagonal por bloques C 1 0 0 ... 0 0 C 2 0 . . . 0 0 0 C 3 . . . 0 C = .. .. .. .. ... . . . .
0
0
0
...
Ck
donde cada C j es o bien un autovalor real o bien una submatriz 2 × 2 de la forma
a −b
b a
, donde a y b son
respectivamente la parte real e imaginaria de un autovalor complejo (no real) de A . Si λ = a + bi,a,b ∈ R es un autovalor de A (matriz cuadrada real) y v = u 1 + iu2 (u1 , u2 ∈ Rm ) es un autovector ¯ = a − bi y, por tanto, tenemos las igualdades de A asociado a λ , entonces v¯ = u 1 − iu2 es autovector de A asociado a λ
⇒ Au1 + iAu2 = (au1 − bu2 ) + i (bu1 + au2 ) ⇒ Au1 − iAu2 = (au1 − bu2 ) − i (bu1 + au2 )
Av = λv = (a + bi) (u1 + iu2 ) Av¯ = ¯ λv¯ = (a − bi) (u1 − iu2 )
y por tanto, identificando las partes real e imaginaria en cualquiera de las dos igualdades anteriores tenemos, Au1 Au2
= au1 − bu2 = bu1 + au2
.
Expresando estas igualdades de forma matricial tenemos A
u1
u2
=
u1
u2
−
a b
b a
.
As´ı, si multiplicamos A por una matriz en la que los autovectores complejos v y v¯ sean dos vectores columna tenemos
A
· · ·
v
v¯
··· = ···
v
v¯
.. . ···
λ
0
0
¯ λ ..
.
4
mientras que si sustituimos dichas columnas por la parte real y la parte imaginaria de v tendremos
A
· · ·
u1
u2
··· = ···
u1
.. . ···
u2
0 a −b
...
... b a
..
0
...
...
.
con lo cual, si multiplicamos A por una matriz real P cuyas columnas forman una base de Rn y en la que u1 y u2 sean dos vectores columna y los restantes vectores columna sean autovectores reales o vectores obtenidos a partir de la parte real y de la parte imaginaria (por parejas) de un autovector complejo, tendremos
AP
−1
y por tanto P
= ···
u1
u2
··· = ···
u1
.. . ··· 0
u2
0 a −b
0
AP = C , donde la diagonal de la submatriz
a −b
b a
0
0 b a
0 ..
.
=
P C
est´a sobre la de la matriz C que ser´a una
matriz real casi-diagonal (diagonal por cajas). Ve´amoslo con ejemplos. Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz
A
Su ecuaci´ on caracter´ıstica es
−2 −4 = −3
−1 −1 −1 −5 −3
1 0 2 1
3 4 3 6
.
λ4 − 5λ3 + 13λ2 − 19λ + 10 = 0.
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
λ1 = 1, v1
1 0 ; = 0 1
λ2 = 2, v2
1 0 ; = 1
λ3 = 1 − 2i, v3
1
1+ 2 = 1+
i i
2
;
λ4 = 1 + 2 i, v4
1− 2 = 1− 2
i i
.
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1 , v2 , v3 , v4 ], obtenemos:
Q−1 AQ = D
1 0 = 0
0 2 0 0 0
0 0 0 0 1 − 2i 0 0 1 + 2i
,
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real. Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques). Por tanto, construyendo la matriz P = [v1 , v2 , Re (v3 ), Im (v3 )], obtenemos:
C = P −1 AP
1 0 = 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0 1 −2 2 1
.
Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz
A
2 −3 = 0 1
2 1 1 −1 −1 0 2 1 3 −1 −1 −2
.
5
Su ecuaci´on caracter´ıstica es λ4 + 5λ2 + 4 = 0.
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
1− −2 = −1 + 2 − −1 + = −1 i
λ1 = −i, v1
i
i
λ3 = −2i, v3
i
1
; ;
1+ −2 ; = −1 − 2 −1 − = −1 i
λ2 = i, v2
i
i
i
λ4 = 2i, v4
.
1
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1 , v2 , v3 , v4 ], obtenemos:
− 0 = 0
Q−1 AQ = D
0
0 0 i 0 0 0 −2i 0 0 0 2i
i
0
,
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real. Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques). Por tanto, construyendo la matriz P = [Re(v1 ), Im (v1 ), Re (v3 ), Im (v3 )], obtenemos:
C = P −1 AP
0 1 = 0
−1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −2 2 0
.
Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz A
Su ecuaci´on caracter´ıstica es
0 = 2
−2 5 −7 8 5 −8 6
.
λ3 + λ2 + λ − 39 = 0.
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
= 1 + i
λ1 = −2 − 3i, v1
i
− = 1 − ; i
,
λ2 = −2 + 3 i, v2
1
i
1
λ3 = 3, v3
1 = 1
.
1
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v1 , v2 , v3 ], obtenemos: Q−1 AQ = D
−2 − 3 0 =
i
0
0 −2 + 3 i 0
0 0 3
,
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real. Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una matriz diagonal sino diagonal por bloques). Por tanto, construyendo la matriz P = [Re(v1 ), Im (v1 ), v3 ], obtenemos: C = P −1 AP
−2 = 3 0
−3 0 −2 0 0 3
.
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Aplicaci´ on a recurrencias vectoriales. Definici´ on. Sea A una matriz cuadrada de orden m y sea u 1 , u2 , . . . , u n , . . . una sucesi´on de vectores en de manera recurrente por un = Au n−1 , n = 1, 2, . . .
Rm
definidos
a partir de un vector inicial u 0 ∈ Rm . Una relaci´on de recurrencia vectorial de esta forma se llama sistema de ecuaciones en diferencias lineal homog´eneo de primer orden con coeficientes constantes. Si un = Aun−1 es un sistema de ecuaciones en diferencias, se tiene, razonando por inducci´on, que un = An u0 . Con esta expresi´on podemos hallar un para cualquier valor de n. Si A diagonaliza, podemos dar una expresi´ on m´ as simple para u n que nos permitir´a ahorrar tiempo de c´alculo y tambi´ en estudiar el comportamiento a largo plazo de la sucesi´ on un . Proposici´ on. Sea A una matriz cuadrada de orden m diagonalizable y u 0 ∈ Rm . Entonces la soluci´on del sistema de ecuaciones en diferencias un = Au n−1 con vector inicial u0 es un = A n u0 = P D n P −1 u0 ,
n = 1, 2, . . .
siendo P la matriz cuyas columnas forman una base de autovectores de A y D la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los autovalores correspondientes. Observaciones. N´otese que si A no es diagonalizable no es posible, en general, aplicar la t´ ecnica anterior para calcular la soluci´on del sistema de ecuaciones en diferencias asociado. Sin embargo, hay un caso especialmente f´acil de resolver; si u0 es combinaci´ on lineal de autovectores de A, podemos calcular un = An u0 aunque no sepamos calcular An : Siu0 = α 1 v1 + · · · + αk vk y Avj = λ j vj para cada j = 1, . . . , k, entonces n An u0 = α 1 λn 1 v1 + · · · αk λk vk .
Ejercicios propuestos Se sugieren los siguientes ejercicios del cap´ıtulo 5 del texto (Lay): - Secci´ on 5.1: todos los impares hasta el 27, 16, 18, 20, 22, 24. - Secci´ on 5.2: todos los impares hasta el 27, 20, 22, 24. - Secci´ on 5.3: todos los impares hasta el 27, 22, 24, 26. - Secci´ on 5.4: todos los ejercicios hasta el 24. - Secci´ on 5.5: todos los impares hasta el 21. - Secci´ on 5.6: 1, 2, 17. - Ejercicios suplementarios (p´ ag. 364): del 1 al 13. Ejercicio 1 Dada la matriz A
=
3 0 a 3 −1 b −2 0 c
.
1. Calcular A de forma que (2 , 0, −1)t sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es λ = −1. 2. Hallar los dem´ as autovalores y autovectores. Ejercicio 2 Sabiendo que la matriz:
0 1
c
0 1 1
a b
0
es diagonalizable y tiene un autovalor doble, calcular a, b y c .
7
Ejercicio 3 ¿Para qu´e valores de a ∈ R tiene la siguiente matriz A tres autovectores linealmente independientes? (es decir, estudiar cu´ando A es diagonalizable) 1 0 0 A = a 1 0 . 1 1 2
Ejercicio 4 Dada la matriz A
1 =
0 1 a −2 2 3 0 −1
a ∈ R.
,
1. Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable. 2. Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A −1 . 3. Para dichos valores de a, calcular An . Ejercicio 5 Estudiar la diagonalizabilidad de las siguientes matrices en funci´on de los par´ ametros que aparecen.
A
=
a+3
0 a2 − 1
b a c
1 0 a+1
,
B
5 = 0
0
0 −1 b 3 0 a
,
C
−1 = a b c
0 −1 d e
0 0 1
0 0 0 f 1
.
Ejercicio 6 Sea f : R4 → R4 la aplicaci´on lineal dada por f (x) = Ax , donde
0 = −1
A
1 −1 −1 b 0 −3 2 c 1 d 1 0
a
0
.
1. Hallar A sabiendo que f (S 1 ) = S 2 , donde S 1 ≡
x1 − x2 x3 + x4
= =
0 0
S 2 = Gen {(1, −2, 1, 1)t , (0, 3, −1, −2)t }.
y
2. Probar que A no es diagonalizable. Ejercicio 7 Consideremos la matriz A
=
a1
b1 b2 b3
1 0
c1 c2 c3
.
(a) Determinar los elementos de A sabiendo que sus autovalores son λ1 = 2 y λ2 = 3 (doble), que v1 = (1, 2, 1)t es un autovector asociado a λ2 = 3 y v 2 = (2, 1, 0)t satisface que Av2 = 3v2 + v1 . (b) Estudiar si A es diagonalizable. (c) Calcular las soluciones del sistema de ecuaciones en diferencias un = Au n−1
para los vectores iniciales u 0 = (1, 2, 1)t y u0 = (1, 3, 2)t .
Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n−1 , siendo
A
0 = 0
α
0
α
0 0 0
0 0 0
0 0 α
α
0
1. Obtener la expresi´ on general de un , seg´ un los valores de α ∈ R. 2. Calcular u10 , dado el vector inicial u0 = (0, 2, 0, 2)t .
,
