TRABAJO AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.docx

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL CIVIL

Autovalores y Autovectores Curso: Algebra Lineal Docente: Lic. German Huarca Alumno: V. Seba!i"n Pe#ra$a Ram%re$ •

Cusco–Perú Semestre 2!"–II

Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal

Dedicatoria

Para familia

Dios, y

nuestra nuestros

amigos, a quienes les agradecemos

su

presencia y su apoyo. Gracias a todos

Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal Presentac#$n

El +reen!e !raba,' #e!alla l' -ue e la a+licacin #el cur' a la ingenier%a ci&il/ +ue!' -ue n''!r' c'm' ingenier'/ 'm' -uiene a+licam' !0cnicamen!e l' c'n'cimien!' -ue a#-uirim' en clae. Gracia a ell' el !raba,' -ue reali$am' a-u% en el cur' #e Algebra Lineal n' e im+'r!an!e +ara eguir me,'ran#' n' 'l' n''!r'/ in' nue!r' #eem+e1' +r'2ei'nal.

ÍNDICE Introducción…………………………………………………………………... Pág.6 Objetivos………………………………………………………………….…… Pág.7 Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal Resumen Ejecutivo………………………………………………………….. Pág.8 Marco Teórico…………………………………………………………....…... Pág.7 Conclusiones y recomendaciones……………………..………..……….. Pág.15 BIBLIOR!"I!………………………………………………………..…….…Pág.16 !ne#os …………………………………………………………………………..Pág.17

Intro%ucc#$n

El mun#' #e la ingenier%a/ re-uiere iem+re inn'&acin/ crea!i&i#a# ) 'bre !'#' el ingeni' 4uman'/ e' !an 'l' e c'm+ara c'n la creacin -ue ca#a un' #e n''!r' Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal ingenier'/ +'#em' u!ili$ar a 2a&'r #e nue!r' +r')ec!' ) #ee'. Per' in embarg' n''!r' c'm' ingenier'/ n' #ebem' 'l&i#ar ,am" en #'n#e !raba,am' ) en c'm' l' 4acem'. E +'r e'/ -ue el !ema #e au!'&ec!'re ) au!'&al're en ingenier%a ci&il e im+'r!an!e en el l' -ue e +lan!ea m" -ue na#a en nue!ra carrera/ a!ribu)en#' c'm+r'mi' ) c'n'cimien!' +ara +lanear me,'re 'bra.

O&'et#vos


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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal El +reen!e !raba,' !iene +'r 7nali#a# in2'rmar ) e!u#iar acerca #e la a+licacin #e l' au!'&al're ) au!'&ec!'re en la ingenier%a. La a+licacin #el !ema en nue!r' cam+' lab'ral/ en!re l' #i&er' !ema e +ue#en enc'n!rar +r'blema #e la ma!em"!ica )a ea en e!ruc!ura +'r e,em+l' ) a%/ +'#er c'm+r'me!ern' en en!i#' c'n el !raba,'.

Resumen e'ecut#vo: Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal El !ema e #e igni7ca!i&a im+'r!ancia en #i&era rama #e la ciencia ) #e la ingenier%a/ cai #ir%a en a+licaci'ne a&an$a#a #e la ma!em"!ica a +r'blema #e la ingenier%a. Vibraci'ne/ ine!abili#a# #el e-uilibri' +'r e,em+l'. A%/ e &er"n m0!'#' -ue +ermi!en enc'n!rar el +'lin'mi' carac!er%!ic' #e una ma!ri$ cua#ra#a/ cu)a ra%ce 'n +reciamen!e l' au!'&al're #e la ma!ri$ -ue reul!an er au!'&al're ) au!'&ec!'re #e e!a.


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Marco teórico

1. Autovalores y autovectores. 1.1.

Definición y propiedades.

Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar 

: ! es un auto"alores de A si e#iste un "ector " : ! m$ "

6% & tal que A" % "$ en cu'o caso se dice que " es un auto"ectores de A asociado al auto"alor . ()"iamente$ si tenemos un auto"ectores " de A asociado a un auto"alor $ cualquier m*lti+lo no nulo de ,"- tam)in es un auto"ectores de A asociado al mismo auto"alor . /l conce+to de auto"alor ' auto"ectores no es e#clusi"o de los es+acios de coordenadas$ ni de los es+acios "ectoriales de dimensión finita. Por e0em+lo$ siendo  el es+acio "ectorial de las funciones 23 4  4 indefinidamente deri"a)les ' siendo 3    la a+licación lineal /0em+lo. Además de los e0em+los considerados anteriormente$ "eamos el siguiente e0em+lo en el que la matriz A "iene dada. !onsideremos la matriz

Autovalores: Para cualquier escalar ,- se tiene que


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Autovectores: Asociados a ,1- %  son los "ectores no nulos en el es+acio no nulo de A  9

Asociados a ,:% ;1- son los "ectores no;nulos que están en el

es+acio nulo de A < 9.

istos estos e0em+los$ +odemos +roceder a la a+licación que estos tienen.

2. APLICACIÓN DE AU!"EC!#E$ % AU!"AL!#E$& =a' +ocas >erramientas tan e#tremadamente *tiles como el cálculo de auto"alores ?los $@ ' auto"ectores ?los v @ de una matriz. e atre"erBa a decir que >a' +ocas ramas cientBficas ' tcnicas en las que el análisis de auto"alores no tenga una a+licación en un tema fundamental$ directa o indirectamente ' a continuación "eremos un e0em+lo de ello

Cn im+ortante con0unto de +ro)lemas matemáticos ' de a+licación en ciencias e ingenierBa tienen relación directa con el cálculo de los denominados auto"alores '


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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal sus corres+ondientes auto"ectores de una matriz cuadrada A de n filas ' n columnas. Para sealar sólo algunos de esos +ro)lemas$ se mencionan los sistemas de ecuaciones diferenciales ?/stos 'a "istos en nuestro caso en el curso de !álculo 999 que a*n no tomaremos@

Se "e un e0em+lo de una figura que esquematiza los : modos normales de "i)ración de un modelo de estructura de dos +isos$ Ea flec>a )a0o el +iso +odrBa estar marcando la acción "i)ratoria +roducida +or un sismo. Ante un terremoto$ si la onda sBsmica tiene la misma frecuencia que la de uno de esos modos de "i)ración$ +uede +roducirse el fenómeno de resonancia +udiendo llegarse inclusi"e al cola+so de la estructura. /sto sólo es argumento más que suficiente +ara a+reciar la im+ortancia del tema en tratamiento3 auto"alores ' auto"ectores. si A es la matriz cuadrada mencionada ' F es un "ector no nulo de n elementos$ los auto"alores  son los n*meros reales o com+le0os; que satisfacen la siguiente ecuación

!% & $% !omo el "ector F no es el "ector nulo$ la determinación de los auto"alores  e#ige resol"er el sistema

! ' $I & ( Para +oder com+render el tra)a0o a realizar$ se "erá el desarrollo de la matriz +ara o)tener los auto"alores ' se escri)e a continuación de manera no sim)ólica


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Gaturalmente$ el desarrollo del determinante det?A H 9@ da lugar a una ecuación de grado n en la "aria)le . Dado que los elementos de la matriz A son n*meros$ la ecuación mencionada es una ecuación +olinómica$ del ti+o

/l +olinomio Pn ? @  se denomina +olinomio caracterBstico de la matriz A. ' escri)indole de una manera mónica se re+resentarBa3

Euego de ello$ se +uede a+licar las ecuaciones diferenciales requeridas.


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Conclusiones y #eco'endaciones& /n general los auto"alores ' auto"ectores son esenciales en el tema de estructuras +ues nos +uede indicar cada mo"imiento de "i)ración que +uede tener nuestra estructura$ Gos +ermite +redecir con gran +recisión cómo "i)rará$ ' a qu frecuencias$ cualquier o)0eto sólido. (+erando$ ' llamando I a las frecuencias$ tenemos3

AsB llegamos a una 0usta ' clara a+licación de lo que sim)oliza el tema de auto"ectores ' auto"alores en la ingenierBa$ dando uso al Alge)ra Eineal. Se recomienda su mero conocimiento ' su sa)er +ara +oder a+licarlo en las o)ras a tra)a0ar.

(#&l#o)ra*+a •

Dec'n'ci#'. ?@. Au!'&al're ) Au!'&ec!'re. =3 #e Buli' / #e Dec'n'ci#a Si!i' eb 7leCUerUerPic!ureau!'&al're.+#2


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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal •

Annim'. ?@. An"lii e!"!ic' #e e!ruc!ura +'r el m0!'#' ma!ricial. >6 #e a)'/ #e #ec'n'ci#a Si!i' eb 4!!+ingmec.ual.e,lblanc'+a+erblanc'*>=*calcul' ma!riciale!ruc!ura.+#2

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La ,eneros#%a% Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

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Curso: Algebra Lineal Docente: Lic. German Huarca Alumno: V. Seba!i"n Pe#ra$a Ram%re$ •

Cusco–Perú Semestre 2!"–II

Dedicatoria

Para familia

Dios, y

nuestra nuestros

amigos, a quienes les agradecemos

su

presencia y su apoyo. Au!'&al're ) Au!'&ec!'re

Gracias a todos

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LA CON-IAN.A

/n sociologBa ' +sicologBa social$ la confianza es la creencia en que una +ersona o gru+o será ca+az ' deseará actuar de manera adecuada en una determinada situación ' +ensamientos. Ea confianza se "erá más o menos reforzada en función de las acciones AsB se llega a definir que la confianza es la seguridad >acia una +ersona firme que alguien tiene >acia otra +ersona$ cosa o situación. 2a sea en la familiaridad en el trato de una +ersona o tener la )ase de "alor ' control so)re una circunstancia. /n lo social$ se refiere a la o+inión fa"ora)le en la que una +ersona o gru+o +uede sentirse "alorado ' sin instintos$ 'a que al ser algo que se >ace


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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal conscientemente

'

"oluntariamente$

su+one

tra)a0o

'

esfuerzo

en

conseguirla.

,Es la esperanza firme que una persona tiene en algo que suceda, sea o funcione de una forma determinada o que otra persona actué como ella desea -

C'nclui'ne Ea confianza es la )ase en la que construimos nuestras relaciones$ 'a que si no confiamos en la otra +ersona$ no +odremos esta)lecer amistad$ com+aerismo ni amor. Si logramos ser sinceros ' creB)les +ara los demás$ ellos serán igual con nosotros ?reci+rocidad@ ' conseguiremos una ma'or confianza. Además de la confianza en los demás$ la autoconfianza es +rimordial en cada uno de nosotros$ +ara sentirnos me0or con nosotros mismos. Aunque cueste muc>o esfuerzo conseguirla$ creemos que los )eneficios que a+ortan son ma'ores ' merece la +ena creer en uno mismo +ara seguir creciendo$ +ros+erando ' >acer del mundo un lugar me0or. 4es+ecto a los diferentes grados que conforman la confianza$ de)emos tener en cuenta que no serBa correcto +oseer ning*n e#tremismo$ 'a sea tener un e#ceso de confianza o ser desconfiado$ no de)emos engaarnos ni mentirnos los unos a los otros sino que de)emos ser más autnticos +ara +oder reci)ir ' dar confianza.


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Uni&eri#a# An#ina #el Cuc' ( Algebra Lineal Gecesitamos sentirnos seguros en lo que +ensamos$ sentimos ' >acemos +ara +oder tener con"icción ' e#+oner nuestros +ensamientos ' sueos a todo el mundo.


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