Apuntes de Calculo Integral

1

Inicialmente la teoría del cálculo diferencial y la del cálculo integral se desarrollaron por separado, la primera tratando de resolver el calculo de velocidades y aceleraciones instantáneas y la segunda tratando de resolver el calculo de áreas bajo curvas especiales. Posteriormente se descubrió que el cálculo integral matemáticamente matemáticamen te es el procedimiento inverso al cálculo diferencial . Es decir, ahora se nos plantean diferenciales y al integrarlas determinamos a la función inicial de la cual se obtuvo dicha diferencial, para lograr este objetivo existe una serie de fórmulas básicas las cuales estudiaremos estudiarem os en este tema. NOTA: Así como com o hay formulas formul as para derivar, derivar , también las l as hay para integrar. integ rar. Ejemplo 1.

y = x2 + 2

En Cálculo Diferencial

y’ = 2x

D x(y) 

dy  2x dx

dy = 2x * dx Diferencial de la función

Diferencial de la variable independiente

En Cálculo Integral

 dy   2x dx Integral de un Diferencial 1 1

y

2x

11

C 

y = x2 + C

2x

2

2

C Constante de Integración

Integral Indefinida o Anti derivada

¿Porque al resolver una Integral se le suma la constante de integración? Para garantizar la posible existencia de una constante en la función primitiva, ya que estas se pierden al derivar. Elaboro: I ng. Arq. Vicente Vicente E. Navarro Navarro Barr ios

2

Ejemplo 2.

y = 2x2 + 3x + 5

En Cálculo Diferencial

y’ = 4x + 3 dy  4x  3 dx

D x(y) 

dy = (4x + 3) * dx

En Cálculo Integral

 dy   (4x  3) dx  dy   4x dx   3 dx  dy   4x dx  3  dx y

4x1  1 1 1

 3x  C

y = 2x2 + 3x+ C

Ejemplo 3.

y = x3 - x2 - 1

En cálculo diferencial

2 y’ = 3x - 2x

Dx(y)



dy dx

 3x2 - 2x

dy = (3x2 – 2x) * dx

En cálculo integral

 dy   (3x  dy  3  x y

2

2

2x) dx  2x)



dx  2 x dx

3x2  1 2 1



2x1  1 1 1

C

y = x3 - x2 + C

Elaboro: I ng. Arq. Vicente Vicente E. Navarro Navarro Barr ios

3

 dx  x  C

 a dv  a dv  av  C  3 dx  3  dx  3x  C 2)  - dt  -  dt   t  C 2 2 2 3)  dy   dy  y  C 3 3 3

d   C 2)  dt  t  C 3) dv  v  C 

1)

θ

1)

θ



a x n dx  a

x n1 n 1

C

1)

1 5



2) 2x dx 

1 1 5

1 5  5 5

6 5

6 5

2x 2x 2x 10x 5 5 x6 5x 5 x C  C  C  C  C  C 1 1 5 6 6 3 3 1  5 5 5 5

Nota: Para Integrar raíces de cualquier tipo, se tendrán que convertir a exponentes fraccionarios. fraccionarios. 3



3)

x

3

2

dx 



x

2

1

3 2

5

2 2

x2



3

1 x dx  x dx  * 5 2 2 2 2



2

C 

5

C 

x5 5

C

5 2

 -3

4)

2 x

5

dx 



2 5

- 3x 2

dx  

2 3

x



5 2

 

3

 2 x 2 2 4 4 4 dx   * C  *x 2 C  3 C  C 3 3 3 9 9 x  9x 2 2


4

 f x  gx  hx dx   f x dx   gx dx   hx dx 

1) x

2

 3x  2 dx 

x3 3x 2   2x  C x dx  3 x dx  2 dx  3 2





2



 4 x 2 x  1 1 3 2)  3x  2x    dx  3 x 4 dx  2 x 3 dx   x 2 dx   x dx  C 2 3  2 3  x5

3



3)

 1 2 x    3   dx  x 3   x x





5

4

1

1

3

6

6

5



x2

 x3  x2  C 

x5 

1 2

x4 

1 6

x3 

1 6

x2  C

1

1 2

2

x4



dx  2 x 3 dx 

1 3

x dx 

1

x 2

2

2

2

1

2 x 

x2



1 x2 3 2

C

1

 x2  C 6

2  2   1 2 1 2 1  2  dx   4)  dx  dx  x dx  x 3 dx 2  3x 2 23 x 2  3 2 3 2 3x 2 x  











1



2 x

21

3

1



1

x3

2

1

C

3

2 3

*

1 x



1 2

1

* 3x 3

C

2 3x



3 2

3

x C

1

x  1 x 1  1 5)  2  x   dx   2 dx   x dx   dx   x - 2 dx   x 2 dx   x dx 2  2 2 x  x 1 2



x

- 2 1

- 2 1



x



2 2

3



1 x2 2 2

C

x -1 -1



2 3

3

x

2



x2 4

C

1 x



2 3

x  3

x2 4

2 4  1 3  1 3 1 3 3        6)  dx dx dx x dx x 3 dx 3  3     4 4 3 3 2 2 2x  2x 2 x  2 x 4 3



1 2

 

3 1



1

x 3 x 1 x 3 x 2 3 3  C   C 3  C 4 3 2  3 1 1 2 2 2 4 x 2 2 x    3 3 3 3 3

3

Elaboro: I ng. Arq. Vicente E. Navarro Barr ios

C

5



n

v dv 

v n1 n 1

C

para n  1

Para integrar un diferencial de la forma vn * dv, se debe analizar si el dv esta completo, si lo esta se integra directamente. Si no lo está, se debe completar y posteriormente EQUILIBRAR y

por ultimo se integra.

Ejemplos: 1)

2x  1 1 v 31 1 dx  * C v 4 C C 8 2 4 8 4

1

3

 2x  1 dx  2  v

4

*

1P) Análisis

v  2x  1

Equilibrar :

v'  2

2 ( x )  1 1 x  2

dv  2 dx

2)

 incompleta

  3x  1 

2

3 dx 

v 21 2 1

C 

v

3

3

 3x  1  C 

3

3

C

1P) Análisis

v  3x  1 v'  3 dv  3 dx

 completa

2

 x  3)  1   dx   3 

v

2

*

dx  3 *

v 21

3

 x   C  v  C  1    C 3  3  3

1P) Análisis

v  1 v'  dv 

x 3

1 3 1 3

dx

 incompleta


6

4

4)



 2x    1 dx   3 

 2x    3  1 

 2x    1 3  3  dx 

4

2

5

41

5

 2x    1 5 3  3 3  2x   C   C    1  C 2 5 10  3 

1P) Análisis v

2x



v'  dv

5)

3 dx



 x

1

3 2





3

 1 x dx 

2

incompleta

1 2





1 x2  1 x  1 2 x dx  * 2 4





3

2

3 1

x C

2



1

4

8

C

1P) Análisis

v  x2  1 v'  2x dv 

6)

 x

x dx

 2x

2

 incompleta

 x  1 dx   x 3

2

 2x



3

*

x  1 dx 

1 2

*

x

2

 2x



4

3 1

x C 

2

 2x



4

8

C

1P) Análisis

v  x 2  2x v'  2x - 2 dv  (x

7)



- 1) dx

 incompleta 2

1  3x  2  2   4  

 3x  dx   dx    2    4 



  3x  2  2  2  3x  *  dx   4  4    3 1  4 

1P) Análisis

 

v  2  v'   dv  

3x 



4 

3 4 dx

 incompleta


2 1

C 

4

 3x  3 2    4 

C

7

8)

1



dx 

1  2x

(1

1

 2x)1/2

dx 

 1 2x

-

1 2

 1 2x

dx  

-

1 2

dx  

*

-

2

2



1



2



1 2

1 2x 

*

1 2

1

C  

2 2

*

1 2  2 2

1 1  2x 

1 2

1 2x   C  

C

2

1  2x  C

2

1P) Análisis

v  1  2x  v'  2 dv   dx  incompleta

9)

 x 3

3

 3x

 x 2

2





 1 dx   x 3  3x





 x 2 3

5

1 3 x  3x 3

*



2

3

5

3

 1 dx 



 x

x C 



3

 3x 5

 x

2

x

3



2

3

 3x

3

*

5 3

3

C 

 1 dx 

 3x 5



1 3

*

x

3

 3x



5 3

2 3



3 3

C

5

C

1P) Análisis

v  x 3  3x  v'  3x 2  3 dv 

10)



x

2

 1 dx

2

 

3 2 

3x   2 

3

 incompleta

dx 

2 * 3

 2  3x    3  2  3x  *  dx   4 *  2    2  2 9

1P) Análisis

v 2 v'   dv  

3x 2

3 2 dx

 incompleta


31

C 

2

 

9 2 

3x   2 

2

C

8

n



11) Sen 3x Cos 3x dx  3

3

 Sen 3x

 Sen 3x

3

Cos 3x dx 

Cos 3x dx

*

4



1 Sen 3x 3

4

C 

Sen4 3x 12

C

1P) Análisis

v  Sen 3x v'  Cos 3x * 3 dv 

 incompleta

Cos 3x dx

x  12)  Tan Sec dx   Tan  2 2 2  4

x

2

x

4

Sec

2

x 2

4

dx 

x  Tg   2  *

Sec 2

x 2

dx

5

x  Tan 2  2 x 2 C  Tan5  C 5

5

2

1P) Análisis v  Tg

x 2

v'  Sec 2

x 2

*

1 2 x

1 Sec 2  dx 2 2

dv  

13)



Csc 2 x dx 1 2 Cotx

 incomplet

1

  1 2 Cot x  2 * Csc 2 x dx  

1 2

    1 2 Cot x 



1 1 2 Cot x 2



1 2

1 2

 1 2 Cot x  C v  1 2 Cot x v'  2 Csc 2 x dv  2 Csc 2 x dx

 incompleta




2 2

1 2

1P) Análisis

* 2 Csc 2 x dx



1 2



* 2 1 2 Cotx



1

2

C

9

dv

v 1)

 Ln v  C

dx

1

2 dx

1

 2x  1  2  2x  1  2 * Ln

1

2x  1  C  Ln

2x  1

2

 C  Ln

2x  1  C

1P) Análisis v  2x  1 v'  2 dv  2dx

2)

x dx

 1 x

2

 

 incompleta

1

2

1  2x dx   Ln 1 x 2  C  Ln 1 x 2 2 2 1 x



1 2

 C  Ln

1 1 x 2

C

1P) Análisis v  1 x 2 v'  2x dv  2x dx

 incomplet

3

 x 2 dx x dx 2 2 x3 x3 2     Ln 1  C  Ln 1 3)  x3 3 x3 3 2 2 1 1 2

2

2



2 3

 C  Ln

1

 x 3  1   2 

1P) Análisis v  1 v'  

x3 2

3x 2 2

dv  

3x 2 dx 2

 incompleta


2 3

1

 C  Ln

 x  1   2  3

3

2

C

10

e 1)



v

dv  e v

C

2

e x 2x dx  e x

2



C

1P) Análisis vx

Nota:

2

Realizar el análisis, cuando el coeficiente de la variable y el exponente, sean diferentes a unidad.

v'  2x dv  2x dx

2)

e

1

 completa

x 2



dx  2 e

1

x 2

*-

1 2

dx  2 e

1

x 2 C

1P) Análisis v  1 v'  -

x 2

1

2 1 dv  dx 2 3)

e

x

dx



2 e

x

 incomplet x

*

dx 2 x

2e

x

C

1P) Análisis v

x

v' 

1

dv 

4)

e

2 x 1 2 x

Cos 2x

dx



incompleta

Sen 2x dx  

1 2

e

Cos 2x

* 2 Sen 2x dx  

1 2

e

Cos 2x

C  

1P) Análisis

v  Co s 2x v'  Sen 2x * 2 v'  2 Sen 2x

dv   2 Sen 2x  dx

 incompleta


e Cos 2x 2

C

11

a 1)

a

v

x3

dv 

av Ln a

x dx  2

C

1

a

3

x3

3x dx  2

1 ax

3

C

3 Ln a

1P) Análisis

v  x3 v'  3x 2 dv  3x 2 dx

2)

a

1  x

*  dx

 incompleta



a1  x Ln a

C

1P) Análisis

v  1 x v'  1 dv  dx

 completa

 Sen v dv   Cos v  C 1)

 Sen x

2

x dx 

1 2

 Sen x

2

2x dx 

1 2

*  Cos x  C  2

 Cos x 2 2

C

1P) Análisis

v  x2 v'  2x dv  2x dx

 incompleta


12

2)



Sen

1 dx 1 dx 1 1  * 2   Sen *  2    Cos   C  Cos  C x x x x  x x 



1P) Análisis

v 

1  x 1 x

v'   x  2   dx x2

dv  

1 x2

 incompleta

 Cos v dv  Sen v  C

1)



1

 Cos

x x 3 dx   1 2 2 2



 Cos

1

x 2 * 2x 3 dx   1 * 1 Cos 1 * 2x 3 dx   1 Sen 1  C 2 2 2 4 x2 x2



1P) Análisis

v  x 2 v'  2x -3 dv  2x -3 dx

2)

 Cos e

2x

e

2x

 incompleta

dx 

1 2

 Cos e

2x

2e

2x

dx 

1 2

Sen e

2x

C

Sen e 2x 2

1P) Análisis

v  e 2x v'  2 e 2x dv  2 e 2x dx

 incompleta


C

13

 Tan v dv   Ln 1)





Tan  2x

dx



2x

Cos v  C  Ln Sec v  C

  Tan  2x 

- dx 2x

 Ln Cos (  2x )  C  - Ln Sec ( 2x )  C

1P) Análisis

v   2x v'  

 

Dx 2x

2 ( 2x ) 1

dv  

2x

 Cot v 1)

 incompleta

dx

dv   Ln Sen v  C

 1  dx

 Cot  x 

dx 1  1     Cot   * - 2  Ln Sen C x x x  x  2

1P) Análisis

1  x 1 x v'  1x 11  1x 2 v

dv  

1 dx x2

 Sec v 1)



 incompleta

dv  Ln Sec v  Tan v  C

Sec x 2 x dx 

1 1 Sec x 2 2x dx  Ln Sec x 2  Tan x 2  C  Ln 2 2



1P) Análisis

v  x2 v'  2x dv  2x dx

 incompleta Elaboro: I ng. Arq. Vicente E. Navarro Barr ios

Sec x 2  Tan x 2  C

14

 Csc v dv  Ln 1)



Csc ( x )

dx x

Csc v  Cot v  C

 2  Csc ( x ) * 

1 2 x

dx  2 Ln Csc ( x )  Cot ( x )  C

 Ln Csc ( x )  Cot ( x )

2

 C  Ln

1

Csc (

1P) Análisis

v x v'   dv  

 1)



D x x  2 x 1 2 x



1 2 x

 incompleta

dx

2

Sec v dv  Tan v  C

Sec

2

x b



dx  b Sec 2

x dx b b

 b Tan

x b

C

1P) Análisis

x b 1 v'  b 1 dv  dx b v

 incompleta


x )  Cot ( x )



2

C

15

 Csc v 2

1)



dv   Cot v  C

Csc2 ax dx 

1 1 Csc2 ax a dx   Cot ax  C a a



1P) Análisis

v  ax v'  a dv  a dx

 incompleta

 Sec v Tan v dv  Sec v  C 1)



Sec

ax ax b ax ax a b ax Tan dx  Sec Tan dx  Sec C b b a b b b a b



1P) Análisis

v v' 

ax b a

b a dv  dx b



incompleta


16

 Csc v Ctg v 1)

b

dv   Csc v  C

b dx

 Csc ax Cot ax

x

2



a b

b

b

 Csc ax Cot ax

*

b ax

2

a b a b dx   *  Csc  C  Csc  C b ax b ax

1P) Análisis

v

b

ax b 1  1  b v  * Dx    *  2 a x  x  a dv  

b ax 2

dx



incompleta

Para poder realizarlas es necesario utilizar las identidades trigonométricas

fundamentales. l Sen2 x  Cos2 x  1

Sen2 x  1  Cos2 x

Cos2 x  1  Sen2 x

Sec2 x  Tan2 x  1

Sec2 x  1  Tan2 x

Tan2 x  Sec2 x  1

Csc2 x  Cot2 x  1

Csc2 x  1  Cot2 x

Cot2 x  Csc2 x  1

ll Cot x 

1 Tg x

Sec x 

1 Cos x

Csc x 

lll Tg x 

Sen x Cos x

Cot x 

Cos x Sen x


1 Sen x

17

Existen algunas integrales que de acuerdo a la forma en que se presentan, se necesita de una técnica en especial para poderla desarrollar y llegar al resultado de las cuales sedan algunos ejemplos, del bloque que vimos de las fórmulas (4 – 17). 1)

2)

3)

dx

 Cos x 2





Cos x dx 2

Sen x

1 Cos2 x





dx  Sec 2 x dx  Tan x  C

Cos x

 Sen x

1 Sen x



dx  Cot x Csc x dx   Csc x  C

Sen x  Cos x Sen x Cos x dx  dx  dx Cos x Cos x Cos x



    Tan x dx   dx  Ln Cos x  C

4)

 Tan θ  Cot θ  dθ

  (Tan 2θ  2Tan θ * Cot θ  Cot2 θ) dθ

2

  Tan 2θ dθ  2  Tan θ Cot θ dθ   Cot2 θ dθ





  Sec 2θ  1 dθ  2

Sen θ Cosθ * dθ  Cosθ Sen θ

 Cs c

  Sec 2θ dθ   dθ  2 dθ   Cs c2 dθ   dθ  Tan θ  θ  2θ  Cot θ  θ  Tan θ  Cot θ  C 5)



dx dx  1 - Sen x 1  Sen x 1 - Sen x * 1 1  Sen x





dx

 1 Sen x   1 Sen x



 Sec2x dx 

dx 2

Cos x





1 Sen x 2

Cos x

 1

Sen x 

 Cos x  Cos x  dx

dx  

2

2

1 Sen x Sen x

1

 Cos x Cos x dx  Tg x   Tg x Sec x dx  Tg x  Sec x  C Elaboro: I ng. Arq. Vicente E. Navarro Barr ios

2

θ



 1 dθ

18

6)

1

1

 1 e

x

dx 

1  e x

1  1  e x 0  e x

1P) Análisis

v  1 e x v'  e x dv  e x dx

 incompleta

2P) Solución

 e x  ex  dx   1 dx   dx  x  Ln 1  e x  C   1  x  x 1 e  1  e 

7)





e x Cos e x dx  Cos e x * e x dx  Sen e x  C

1P) Análisis

v  ex v'  e x dv  e x dx

8)

e

3 Cos 2x



completa

1 Sen 2x dx   6

e

3 Cos 2x

e3 Cos 2x * 6 Sen 2x dx   C 6

1P) Análisis

v  3 Cos 2x dv  3 (Sen 2x) D x (2x) dv  6 Sen 2x dx


19

dv 1 v  Arc Tan  C 2 a a a

v 1)

x

2

dx

4

2

1 2

 Arc Tan

x C 2

1P) Análisis

2)

v2  x2

 vx  dv  dx

a2  4

 a2

dx

 4x

2

9



1 2 dx 1 1 2x 1 2x  * Arc Tan  C  Arc Tan C 2 2 4x  9 2 3 3 6 3



1P) Análisis

v 2  4x 2

a2  9

v  2x

a 3

dv  2 dx

v 1)



 incomplet

dv 2

 a2



1 2a

Ln

v-a va

C

x x-3 3 1 3 *1 dx 3  x  3  3 3   C = Ln Ln + C = Ln   +C x x +3 2 *1 2 x  3  x2  1 1 3 3 9

1P) Análisis


20

v  2

x2

 v

9

x 3 1

 dv  dx 3  a 1

a2  1

2)

x

dx 2

4  4 9

2

incompleta

1 dx 1 2 Ln 2* 2 2  x 4  2   4 9  3 

x 2 3x  4 3x  4  6 2 3  C  2 * 3 Ln 6  C  Ln 6  C 2 x 3x  4 3x  4 4 4  3 2 6 6

3 3x  4 3x  4  Ln  C  Ln 2 3x  4 3x  4

3 2

3

 3x  4   C  Ln   C  3x  4 

1P) Análisis

x2 v  4 x v 2 1 dv  dx 2 2



4 9 2  a  3 a2 

Esta técnica en si ya es un método especial para diferenciales, que no se pueden integrar directamente por las formulas básicas y se aplica cuando en el integrando aparecen binomios de la forma ax2 + bx o trinomios de la forma

ax2 + bx + c , ya

sea en el denominador con o sin radical y en el numerador sin radical. La idea consiste en completar el T.C.P.,

sumando o restando el término   b   2 

2

siempre y cuando a = 1 y si a ≠ 1 primero se factoriza, posteriormente se completa el

T.C.P. para llegar al integrando a una de las formas de las ultimas formulas (18 – 26). Ejemplos: Elaboro: I ng. Arq. Vicente E. Navarro Barr ios

21

x

1)

dx 2

 4x



x

dx 2

 4x  4 - 4

dx



 x  2



1 Ln 4

2

4

x  2  2 x  2  2

C

1 x C Ln 4 x4

1

 Ln

x

4

x4

 C  Ln

4

x x4

C

1P) Completar 2

2

 b   4        22  4  2   2  2P) Análisis



2

v2  x  2

a2  4

v  x2

a2

dv  dx

2)

 3x

dx 2

 6x





dx 1  3 [x  2x  1- 1] 3 2

1 1 * Ln 3 2 1 

dx

  x 1

 x  1 1  x 1  1

2

C 

-1 1 x  2  C  Ln Ln 6 x

1P) Factorizar y Completar

2

2

 b    2   12  1      2   2  2P) Análisis 2

v 2   x  1

a2  1

v  x - 1

a 1

dv  dx


6

x  2 C x

22

3)

 2x

dx

 8x  12

2



 2(x

dx 2

 4x  4 - 4  6)

1

dx

2  (x  2)



2

2

1



Arc Tg

x2

2 2

2

C

1P) Factorizar y Completar 2

2

 b   4  2     2 4  2   2  2P) Análisis

v 2  x  2 

2

a2  2

v  x  2 

2

a

2

dv  dx

4)



dx 4x 2  8x



dx 4(x 2  2x  1  1 )





dx 2 (x  1) 2  1

1 2

Ln x  1 



1 2

dx



(x  1) 2  1

x  1

2

1  C


2

 b   2        12  1  2   2  2P) Análisis



2

v 2  x 1

a2  1

v  x 1

a 1

dv  dx

5)



dy y2  y 1



dy y2  y 

1 4



1 4

1



dy 1 3 (y  ) 2  2 4

1P) Análisis

1 v 2  (y  )2 2 v y

1 2

a2 

 a

1 2

 Ln (y  ) 2  y 2  y  1  C

3 4 3 2

 dv  dx


23

6)



 x 2  6x 



6x  x 2 dx 

9

2

 9  dx    x  3 2   9 dx   9  x  3 dx x 3



6x  x 2 

2

9 2

Arc Sen

x 3 3

C

1P) Análisis



2

v  x 3

2

2

a 9

v  x 3

a 3

dv  dx

7)



2

4x  4x  5 dx 

 4 x 2  1x  



1



4

  dx  4 4

 2x  1  2  4    1 dx   2  



 1  2  4  x    1 dx  2  



a

v



5

1



 2x  12  4 1 dx   2  2 




2

 b    1   1      2   2  4 2P) Análisis

 2x  1 v  2x  3 dv  2 dx v

2

2

a

2

a

4 2

3P) Solución







1 2

1 2

 2x  1

2

 2x  1  2

2x  1 4

 4 * 2 dx

2x  1

2

2x  1

2

4 

4 Ln 2x  1  2

 4  Ln 2x  1 

2x  1

2

2x  1

2

 4 C 

4 C


2x  12  4 dx

24

8)



x 2  8x dx 



x 2  8x 16 - 16 dx 



 x  42 16 dx

1P) Completar 2

2

 b   8        4 2  16  2   2  2P) Análisis 2

v 2   x  4

a2  16

v  x  4

a 4

dv  dx 3P) Solución

 

x4

x 2  8x 

2 x4

2

Ln x  4  x 2  8x  C

x 2  8x  8 Ln x  4  x 2  8x  C

2

9) 2x 2 12x  10 dx 

16



2 (x 2  6x  9 - 9  5) dx  2



ab  a

 x  32  4 dx b


2

 b    6   3 2  9      2   2  2P) Análisis 2

v 2   x  3 

a2  4

v  x  3

a 2

dv  dx 3P) Solución

4  x  3  2 2 x  3   4  Ln x  3   x  3  4  2 2  2  x  3  2 2  2 x  3  4  2 Ln x  3   x  3  4  2


   C    C

25

10)



x 2  4x dx 



x 2  4x  4  4 dx 



(x  2)2  4 dx





x + 2 x 2  4x - 2 Ln (x + 2) + x 2  4x + C 2 x + 2 x 2  4x - Ln (x + 2) + x 2  4x 2 + C  2







1P) Análisis

11)

v 2  (x  2)2 v  x  2 dv  dx

a2  4

 a2





6x  x 2 dx 

- (x 2  6x  9  9) dx 

 (x  3)2  9 dx   - (x - 3)2  9 dx



 



9 - (x - 3)2 dx

  a2  v 2 dx

(x - 3) 9 (x - 3) 9 - (x - 3)2 + Arc Sen +C 2 2 9

1P) Análisis

v 2  (x  3)2

a2  9

v  x  3 dv  dx

12)



 a3

12  4x  x 2 dx 





 2  4x  4  4 12 dx  x 2  4x 12 dx    x

  (x  2)

2

16 dx   16 (x  2)2 dx

x - 2 16 x - 2 16 - (x  2)2 + Arc Sen + C 2 2 4 x - 2 x - 2 16 - (x  2)2 + 8 Arc Sen + C  2 4




26

(

(

1)



 2) dx

(x x2

 2x  3





(x x2

) dv

  v n * dv 

)

 2) dx  2x  3





1 (2x

4

2

x2



 T.C.P

) dx

 2x  3

 (2x  2) dx   2 2   x  2x  3 1



  2 x  2x  1 1 3  2 dx



Anal isi s: v  x2 dv (2x

 2x  3



1 2



v n * dv 

2 2

 (x

dx

 1)2  4

 2) dx incompleta 

1



(x

2

1 (x * 2

2

2



 2x  3)

1 2

 2) dx 

*(2x

2 2

 (x

dx

 1)2  4

1



 1

 2x  3) 1

2

1

 * 2 Ln(x  1) (x  1)2  4 2

2



x2

 2x  3  Ln(x  1)  (x  1)2  4 + C


+ C

27

2)



(x

 3) dx

5 - 4x  x 2

-



(x

 3) dx

5 - 4x  x 2

-

1 (-2x

 6  4  ) dx

2

5 - 4x  x 2



1  (-2x

-  2 



 4) dx

5 - 4x  x 2



  2 (x  4x  5)  2 dx



Anal isis: v  5 - 4x  x 2 dv (-2x

-

1



v n * dv 



v n * dv 

2

2



2

dx 2

(x

 4x  4 - 4 - 5)

 4) dx incompleta -

1 2

 (x

dx

 2)2 - 9

1

2

 1

1 (5 - 4x  x ) 1 2

- *

2





dx 9 -(x

 2)2

2

 - 5 - 4x  x 2  Arc Sen

x2 3

+ C


28

3)



(5

- 4x) dx 2



12x  4x  8



2(5

- 4x) dx



2

12x  4x  8

1 (-8x

 10 

2

12x  4x  8



) dx 2

  (-8x  12) dx 1    2 2 12x  4x  8  



  2 dx   9 9  4(x 2  3x    2)  4 4 



Anal isi s1:

  1    v n * dv  2  



2 v  12x  4x  8

dv (12  8x) dx



  4 (x  

  2 dx   3 2 1   )   2 4  

incompleta

  1    v n * dv  2   





   2 dx  (2x  3 )2 1   4   4    2 2  1

2



Anal isi s2 :

 1

1 (12x  4x  8) * 1 2 2

2



1 2



1(2x

 3)2

v  2x  3 dv 

completa



1 2x - 3 2 12x  4x  8  Arc Sen + C 2 1


29

(

( 1)

(x  1) dx

x

2

 4x  8



1 2



) dv  )



dv  v

 T.C.P.

 1) dx 1 2x  2  4  4  dx 2  x 2  4x  8 x 2  4x  8

2 (x



1 2

(2x  4) dx

x

2

 4x  8



1 2

x

6 dx 2

 4x  4  4  8

Analisis : v  x 2  4x  8



1 Ln x 2  4x  8 2



6 2

dx

 (x  2)

2

4

dv  (2x  4) dx 1

 Ln (x  4x  8) 2

2

+ 3

 Ln (x 2  4x  8) 

1 (x - 2) Arc Tan + C 2 2

3 (x - 2) Arc Tan + C 2 2


30

2)

(2x  3) dx

x

2

 6x  13



(2x  3  6  6) x  6x  13 2

dx 

(2x  6  9)

x



2

 6x  13

(2x  6) x 2  6x  13

dx

dx  9

x

dx 3

 6x  9  9  13

Analis is : v  x 2  6x  13

 Ln (x 2  6x  13)  9 

dx (x  3) 2  4

dv  (2x  6) dx x +3  1   Ln (x 2  6x  13)  9   Arc Tan + C 2 2  

 Ln (x 2  6x  13) 

9 2


Arc Tan

x +3 2

+ C

31

3)

(2

 4x

- x) dx 2

 4x  3

-

1 8



Analisi s1:

1 (8x - 16  4 - 4) dx  2) dx  2 2 8 4x  4x  3 4x  4x  3

-8(-x



1

 -

8



[

 4) dx  20 2 4x  4x  3 4(x

(8x



dx 1

2

x

4



1 4

2 v  x  4x  8

dv (2x

 4) dx

Analisi s2 :

1

dv

v

 [ 8

1



8

dv

v

[

 20

 20

dx



 1)2

(2x 4[

2

2

]

 1]

dx

(2x

 1)2 - 4

]

v  2x  1 dv  2 dx incompleta



1 8

[

dv

v



20 2

2 dx

(2x

 1)2 - 4

]

2 a 4

a2

1



8

2 Ln 4x  4x  3 

2

 Ln 4x  4x  3



1

 Ln (4x

 81

2

1 8

5 4

5 16

Ln

 Ln

 4x  3)

1

2x  1 - 2

4

2x  1  2

 Ln

2x - 1 2x  3

2x - 1

C

5 16

2x  3

C

A Ln  Ln A - Ln B B 2

 Ln1- Ln 4x  4x  3  Ln

2x - 1 2x  3

5 16

C

Ln 1  0 8

 2x - 1   Ln    Ln  2x  3  16

8

2 4x  4x  3  C


C



3 4

] )

32

4)

 2) dx 1 9(2x  2) dx 1 (18x  18  12  12)    9x 2 - 12x  8 9  9x 2 - 12x  8 9  9x 2 - 12x  8 dx  1  (18x - 12)   2  30 9  9x - 12x  8 9(x 9(x  (2x

2

  dx  12 4 4 8  x   ) 9 9 9 9 

Analisis 1 :

v  9x 2  12x  8

dv (18x

 12) dx

 4  2    b     3 2  2     1 

2

2

2

4  4   2       9  6   3 

Analisis 2 :

     1  dv dx    30  9 v  2  2 4   9  x -     9    3          1 dv dx    30  9 v  3x - 2  2 4   9      3 9           1  dv dx     30  2 9 v  3x - 2 4     9  9 9        1  dv dx     30 2 9 v  3x - 2  4    9   9     1 30 3 dx  Ln 9x 2  12x  8   9 3  3x - 22  4 

v  3x  2 dv  3 dx

incompleta



1 2 Ln 9x  12x  8  10 9

3 dx

 3x - 2

2

   4

a2  4 a2





1 9 1 9

Ln 9x

2

Ln 9x

2

 12x  8 

10 9

1

3x - 2

2

2

 Arc Tan

5

3x - 2

9

2

 12x  8  Arc Tan


C

C

33

5)

 1) dx  3x 2 - 4x  3  (x

1 (6x - 6   )  1) dx   3x 2 - 4x  3 6  3x 2 - 4x  3 dx (x

 1  (6x - 4)   2  2 6  3x - 4x  3 3(x 3(x 

  dx  4 4 4 2 - x    1) 3 9 9 

Analisis Anali sis 1 :

v

 3x 2 - 4x  3

dv (6x

 4) dx

 4  2    b    3     2   2     1 

2

Analisis Analisi s 2 :

     1  dv dx    2 6 v  2  2 5   3  x -       3  9         1  dv dx    2 6 v  3x - 2  2 5   3      3 9         1   6    1   6  1 6





  dv dx   2 2 v  3x - 2  5     3 9 9      dv dx   2 v 3x - 2 2  5   3 dv v



1 3

3 dx

 3x - 2

2

5

v  3x  2 dv

 3 dx completa

a2

5

a 5

1

1

1

6

3

5

 Ln 3x 2 - 4x  3  

1

1

6

3 5

 Ln 3x 2 - 4x  3 

Arc Tan

Arc Tan

3x - 2 2

3x - 2


5

C

C

34

La integración por partes es un método especial que se utiliza para integrar “El producto de dos Funciones o Diferenciales ”. Principalmente el producto de una

función algebraica y una trascendente (puede ser logarítmicas, exponenciales y trigonométricas), también se empleará para integrar casos especiales, el método consiste en utilizar la fórmula.

 u  dv  u  v   v  du PARTES DE LA FORMULA I)

El u  dv, es un producto de funciones o diferenciales.

II)

Se toma a dv como la función más fácil de integrar.

III)

Se toma a u como la función de mayor grado y se calcula la diferencial de

du reduciendo el grado de dificultad de la parte



v  du

Nota: Cuando se tenga a una integral de la forma. 1)



5)



2)



6)



3)



7)



4)



8)



*

Mayor grado

Menor grado

del exponente

del exponente


35

3 2

3 2 1 x 2  2 1  x dx  x 3 3

x

1)

3

 1 x 

2

3 2 2 1  x 2 2 dx  x 1  x 2  C 5 3 3 2 3 5 2 2 2 1 x 2  C  x 1  x 2  3 3 5 2 4 3 1 x 5  C  x 1  x   3 15



Ana lisis1 :

ux du  dx dv 

1  x dx

 dv   (1 x)

1 2

dx

Ana lisis2 :

v  1 x dv  dx (1  x) v 3 2

2)



x a  bx

1 2  2 2



Completa 3

2  (1 x) 2 3

dx 

 x(a

 bx)



1 2

3



Ana lisis1 :

ux du  dx 

dv (a



 bx)

1 dv  (a b



1 2

dx 

 bx)

1 2

b dx

Ana lisis2 :

v  a  bx dv  b dx



Incompleta

1 2

1(a v b

 bx) 1

 

2 2

2  (a b

1

2 a  bx  2  2 a  bx 2 dx dx  x b b 2x 4 a  bx 3  C  a  bx  2 b 3b

1

 bx)

2

2


36







3) x Sen x dx  x *  Cos x   Cos x dx  x Cos x  Cos x dx

 x Cos x  Sen x  C Anal isi s1 :

ux du  dx

 dv   Sen x dx Anal isi s2 :

vx dv  dx



Completa

v   Cos x

Nota: Si se Toma a u = Sen x , se complica la Integral

4)

 2x Cos 3x dx 

2x 1 Sen 3x  2 3 3

 Sen 3x dx

2x 2 Sen 3x  Sen 3x dx 3 3 2x 2 1 = Sen 3x   Sen 3x 3 dx 3 3 3 2x 2 = Sen 3x  Cos 3x  C 3 9

=





Analisis1: u  2x du  2 dx

 dv   Cos 3x dx Analisis 2 : v  3x dv  3 dx

dv  v

1 3

 Cos 3x 3 dx

1 Sen 3x 3


37



5)

ax * Sec 2 bx dx 

ax b

Tan bx 

a b



Tan bx dx = = =

ax b ax b ax b

Tan bx  Tan bx  Tan bx 

a b a

 Tan bx dx 1 *

b a

b2

Analisis 1: ua x du  a dx

 dv   Sec

2

bxdx Analisis 2 : v  bx dv  dx

dv 

1

 Sec b

v

6)



2

bx b dx

1 Tan bx b

x ebx dx  x

1 bx e  b

1 b



ebx

b

x bx 1 e  2 ebx  C b b x 1   ebx  - 2   C b b 

dx 

ebx  1   C x b  b  Análisis1: u  x du  dx

 dv   e

bx

dx

Analisis 2 :

v  bx dv  b dx



Incompleta

1 e bx b dx b 1 v  e bx b v




b

 Tan bx

*b

dx

 Ln (Cos bx)  C

38

x

7)

8)



2

e

2x

e 2x dx  x2  x 1  C 2





Ln x dx  Ln x * x  x



1 dx  x Ln x - x  C x

 x (Ln x  1)  C Análisis1 : u  Ln x du 

dx x

 dv   dx v x

9)





 2x  dx  x Ln x 2 - 2 dx 2    x 

Ln x 2 dx  x Ln x 2  x 

 x Ln x 2 - 2x + C  x (Ln x 2 - 2) + C Anal isis u  Ln x 2 du 

2x x

2

dx

 dv   dx vx


39



10)

Ln2 x dx 

 Ln x 

2



dx  x Ln2 x  x

2 Ln x dx  x Ln2 x  2 Ln x dx x



 x Ln2 x  2  x Ln x  x



 x Ln2 x  2x Ln x  2x  C





 x Ln2 x  2 Ln x  2  C





 x Ln2 x  2( Ln x 2  1)  C Análisis1: u  Ln x  du 

2 x

2

Ln x dx

 dv   dx vx

11)



x3 x Ln x dx  Ln x 3  3 2

3



x3 3 x3 dx = Ln x 3  x 2 dx 3 x 3



x3 x3 3 = Ln x  C 3 3 x3 = (Ln x 3  1)  C 3 Análisis 1: u  Ln x 3 du 

3x 2 3 dx  dx 3 x x

 dv   x v

2

dx

x3 3


40





12) 2x Ln x 2 dx  Ln x 2  x 2  x 2 

2 dx  Ln x 2  x 2 - 2 x dx x x2 2 2  x Ln x - 2  C 2



 x 2 Ln x 2 - x 2  C Analis is u  Ln x 2 du 

2x

x2 2 du  dx x

 dv   2x dx v  x2





13) Arc Sen x dx  x Arc Sen x  x(1



x ) 2

1 2



dx  x Arc Sen x  (1



1

 x ) x dx 2

2

1

   x Arc Sen x -    (1  x 2 ) 2  

 x Arc Sen x +



1 2 2 22



1 1 x 1 2 2

 x Arc Sen x + 1- x 2  C Analis is 1 :

Analisis 2 : u  Arc Sen x du 

1 1 x 2

 dv   dx

dx

v  1- x 2 dv   x dx

vx




C

x dx

41

3



14) Arc Cos 3x dx  x Arc Cos 3x 

(1



 9x ) 2

1 2

*



x dx

1 2

2

 x Arc Cos 3x 

 

1(1 - 9x ) 1 6 2

2 2

C

1

2 1  x Arc Cos 3x  (1 - 9x 2 )2  C  x Arc Cos 3x  6 3

Analis is 1 :

1 - 9x 2  C

Analisis 2 :

u  Arc Cos 3x du 



3 1 9x

2

dx

v  1  9x 2 dv  



dv  dx

x dx

vx a ax ax ax ax b b  dx  x Arc Cot  x   15) Arc Cot dx x Arc Cot dx 2 2 b b b ax  ax    1  1     b   b 







2ax ax b  x Arc Cot  b 2a



ax b  ax  b2  dx  x Arc Cot Ln 1    2 b 2a  b  ax   1    b 

 x Arc Cot

u  Arc Cot

ax b

a b du  2 ax   1    b 

 dv   dx vx

 ax  v  1    b 

C

ax b a2 x 2  C Ln 1  b 2a b2

Analisis 2 :

Ana lisis 1 :

2

2

a2x 2 v  1 b2 2a 2 x dv  dx b2 2a ax * dv  dx b b


42



1) Arc Tan x dx 

Analisispor Cambio de Variable:





x

 t

2

Donde : x



 t2 

Sustituyendo en la integral original





1) Arc Tan x dx  Arc Tan t * 2t dt u

dv

Analisis1:

Analisis 2 : 1

u  Arc Tan t du 

t2 1

1* dt 1 t 2

t2 - t2 1

 dv   2t dt

1

v  t2

Utilizando la fórmula de Integración por Partes



1) Arc Tan x dx  t

2

* Arc

Tan t 

t 2 * dt

t

2

1    t 2 * Arc Tan t   1 2  dt 1  t  1 

 dt   t 2 * Arc Tan t -  dt    2   t  1  Regreso de Variable :

1

x

1

1

 x Arc Tan x - x  Arc Tg  x  1 Arc Tan x - x  C


C

43

2)

 Sen

2

x dx 

 Sen x * Sen x



dx   Sen x * Cos x  Cos x * Cos x dx

  Sen x * Cos x   Cos 2 x dx   Sen x * Cos x   (1 - Sen 2 x) dx

 Sen   Sen





x dx   Sen x * Cos x  1 dx - Sen 2 x dx

2

2 2 Sen x dx   Sen x * Cos x  x  C

x dx  

2

1 Sen x * Cos x  x   C 2

Análisis 1 :

u  Sen x du  Cos x dx

 dv   Sen x dx v   Cos x

3)

 Cos x dx   Cos x * Cosx dx  Cos x * Sen x   Sen x * - Sen x dx 2

 Sen x * Cos x   Sen 2 x dx  Sen x * Cos x   (1 - Cos 2 x) dx

 Cos x dx  Sen x * Cos x   1 dx   Cos x dx 2

2

 1  Cos x dx  2 Sen x * Cos x  x   C

2 2 Cos x dx  Sen x * Cos x  x  C 2

Análisis 1 :

u  Cos x du  - Sen x dx

 dv   Cos x dx v  Sen x


44

4)

e

x



Sen x dx  e x *  Cos x   Cos x e x dx   e x Cos x 

e

x

Cos x dx

  e x Cos x   e x Sen x   e x Sen x dx 

e

x



Sen x dx   e x Cos x  e x Sen x  e x Sen x dx



x x x 2 e Sen x dx   e Cos x  e Sen x  C



Análisis 2 :

Análisis 1 :

u  ex

u  ex

du  e x dx

du  e x dx

 dv   Sen x

 dv   Co s x

dx

e

x

dx

v  Sen x

v   Cos x

5)

ex  Sen x  Cos x   C e Sen x dx  2 z



Cos x dx  e x Sen x  Sen x e x dx  e x * Sen x 

e

x

Sen x dx

 e x * Sen x   e x Cos x   e x Cos x dx 

e

x



Cosx dx  e x Sen x  e x * Cos x  e x Cos x dx



x x x 2 e Cos x dx  e Sen x  e Cos x  C



Análisis 2 :

Análisis 1 :

u  ex

u  ex

du  e x dx

du  e x dx

 dv   Cos x v  Sen x

ex  Sen x  Cos x   C e Cos x dx  2 z

dx

 dv   Sen x

dx

v  - Cos x


45

6)



2

x 3 e x dx 

Análisis 1: u  x3 du  3x 2 dx 2



dv  e x dx Análisis 2 : v  x2 dv  2

No se puede integrar, se tendra que descompone r la x 3



2

x 3 e x dx 



2

x 2 e x x dx 

1 2

2

x 2 e x -

1

2

1

2

2 1

 x 2 e x 2 1

 x 2 e x 

2 1 2

ex

2

2

1

2 

2

e x 2x dx 2

e x 2x dx

ex

2

C

 x 2 1  C

Análisis1: ux

2

du  2x dx 2



dv  e x x dx

Análisis 2 : vx

2

dv  x dx

dv  v



ex

ex

2

2

x dx x


46

7)

x e

x

 1 x

2

dx 





x

x e * 1 x

 dx  x 2

 

 



x

e *

x ex

1 x  x ex

1 x 

1

1 x 

-



1

1 x 

x

  e x dx

 ex  C

 e x 1  x  C 1 x 

- x ex



-x e



e

x

 ex  x ex C 1 x 

x

1 x 

C

Análisis1: u  x ex du  x e x

 e x  dx du  e x x  1 dx dv 

2

 1 x

dx

Análisis 2 : v  1 x dv  dx

v

1 x 21 -1



1  x 1 -1







e * 1  x dx

1

1 x 


47

INTRODUCCIÓN En este método se plantean integrales de diferenciales trigonométricas no

inmediatas que están elevadas a una potencia mayor que la unidad y en algunos casos a una potencia racional, para resolver adecuadamente estas integrales se hará uso de las identidades trigonométricas básicas y de sus propiedades, de tal forma que se va disminuyendo el grado de dificultad hasta llegar a integrales inmediatas.

NOTA: Para resolver este tipo de integrales hay que tomar en cuenta lo siguiente:

a) Cuando la función trigonométrica tiene exponente par, únicamente el Sen 2 x y Cos 2 x se emplearan las siguientes formulas:

1)

2

Sen x 

1 2

1

 Cos 2x

2)

2

2

Cos x 

1 2

1

 Cos 2x 2

b) Cuando la función trigonométrica sea non y además la Tan 2 x, Cot 2 x, Sec 2 x y Csc 2 x, se emplearan las Identidades pitagóricas.

2

2

2

2

1

2

2

1

3) Sen x  Cos x  1 4) Sec x  Tan x 5) Csc x  Cot x


48

2

1)  Sen x dx   (

1

1



2

Cos 2x) dx 

2



1

 dx 

2 x

1



2

4

1

*

2

 Cos 2x dx

Sen 2x  C

An ál i si s1 : v  2x dv 

dx 2

2)  Cos 3x dx   [

1



2

1 2

 

Cos 2 3x ] dx 



1 2

 dx 

x



2



x

2



2



x

1 1 2



2

1 2

 Cos 6x dx

 Cos 6x dx  Cos 6x dx

*

1 12

Sen 6x  C

Anál isis1 : v  6x dv 

dx 2

2

2

3)  Tan x dx   (Sec x - 1) dx   Sec x dx   dx

 Tan x - x  C 2

2

2

4)  Cot 4x dx   (Csc 4x - 1)dx   Csc 4x dx   dx 2

 

 Csc 4x dx   dx 1

 Cot 4x  x  C

4 1

  Cot 4x  x  C 4

Anál isis1 : v  4x dv 

dx


49

3

2

2

5)  Sen x dx   Sen x Sen x dx   (1  Cos x) Sen x dx 2

  Sen x dx   Cos x Sen x dx 2

  Sen x dx   (Cosx) Sen x dx



 Cos x   Cosx  Cos x 

2  Sen x dx

21 (Cos x)

C

3 3



Cos x

 Cos x  C

3 Análisis 1 : v  Cos x dv  -Sen x dx

3

2

2

6)  Cos 2x dx   Cos 2x Cos 2x dx   (1  Sen 2x)Cos 2x dx 2

  Cos 2x dx   Sen 2x Cos 2x dx 

1 2



2

 Cos2x * 2dx   (Sen2x) Cos2x dx

Sen 2x

2



 (Sen 2x)

2



Sen 2x



2



Sen 2x 2

1 2

Cos 2x dx

3

*

(Sen 2x)

3

C

2



Sen 2x 6

C

Anál isi s1 : v dv

 2x  2 dx

Anál isi s2 : v

 Sen 2x

dv

 Cos 2x

dx


50

3

2

7)  Tan x dx   Tan x * Tan x dx

  (Sec 2 x  1) Tan x dx   Sec 2 x * Tan x dx   Tan x dx   Sec x2 Tan x dx   Tan x dx   Sec x * Sec x * Tan x dx  ( Ln Cos x ) 2



Sec x 2

 Ln Cosx  C

Anál isis1 : v  Sec x dv  Sec x Tan x dx 3

2

2

8)  Cot x dx   Cot x * Cot x dx   (Csc x  1)Cot x dx

  Csc 2 x * Cot x dx   Cot x dx   Csc x 2 * Cot x dx   Cot x dx 11 Csc x   * Csc x * Cot x dx Ln  

2

Sen x  C

2



Csc x 2

 Ln Sen x  C

1ra opcionde resultado

2



Cot x 2

 Ln Sen x  C

2da opcionde resultado

Análi sis1: v  Csc x dv  Csc x Cot x dx


51

Se resuelve por el Método de integración por Partes el 9 y el 10 3 2  Sec x dx   Sec x * Sec x dx

9)

 Sec x Tan x -  Tan2 x Sec x dx 2  Sec x Tan x -  (Sec x  1) Sec x dx

 Sec x Tan x -  Sec 3 x dx   Sec x dx 3

2  Sec x  Sec x Tan x  Ln Sec x  Tan x  C 3  Sec x 

1 2

Sec x

*

 C

Tan x  Ln Sec x  Tan x

Análisis1 : u du

 Sec x  Sec x * Tan x dx

2  dv   Sec x dx v  Tan x

3

10)  Csc x dx 

1 2

- Csc x

*

Cot x  Ln Csc x - Cot x

 C 2

11)

4

2

2

 Sen x dx   (Sen x )

 1 1  dx     Cos 2x  dx  2 2  1  1 1  2     Cos 2x  Cos 2x  dx 4  4 2  

1 4



x

 dx  

4



x



4



x 4



3 8



1

4 1

4 1 4

x

1 2

*

dx 

 Cos 2x

1 4

2  Cos 2x dx

 1  1 1      Cos 2x  dx     4  2 2

Sen 2x   Sen 2x 

1

*

4 Sen 2x 

1 4

x



2 32 1

32

1 8

1



8

Sen 2x 

x

*

 Cos 4x * dx

Sen 4x  C

Sen 4x  C


52

4 2 2  Cos x dx   (Cos x)

12)

 1 1  dx     Cos 2x   2 2  

1 4



 dx 

1

 dx 

4



x

1



4



x

4



4



x

4



4



x 3 8

1 4



4



1

2 1 4

*

Sen 2x  Sen 2x  1 4

1

Sen 2x 

Sen 2x 

4

dx

 Cos 2x * dx 

Sen 2x 

1

x

1

2

1 4 x 4 x 4 x

4

4

2  Cos 2x dx





2  1 - Sen 2x dx

2  dx   Sen 2x dx

-

-

  1 1  dx  Cos 4x      4   2 2   1

1 4



8

Sen 2x 

1

*

x 2 1

32 1 32



1 8

*

1 4

 Cos 4x 4 dx

Sen 4x  C

Sen 4x  C

Anál isis 1 : v  2x dv 

dx

Anál isis2 : v  4x dv 

13)

dx

2

4

2

 Tan x dx   Tan x * Tan x dx  (Sec 

2



x  1)Tan

2

x * dx

2

  Tan x Sec 2 x dx -  Tan2 x dx 

Τan

3

x

3 Tan x 3

dv  Sec x dx

  Sec 2 x dx   dx

3



Tan x 3

v  Tan x 2

3



  (Sec 2 x  1) dx

Anál isi s 1 :

 Tan x  x  C


53

14)

2

4 2  Cot x dx   Cot x * Cot x dx 2

 (Csc

2

x  1) Cot x dx

2

  Cot x * Csc 2 x * dx -  Cot2 x dx 

 Cot3 x 3



 Cot3 x 3



 Cot3 x

Anál isi s

2

 Csc 2 x   Cot x dx

v dv

2

  Csc x dx   dx

1:

 Cot x  -Csc 2 x dx

 Cot x  x  C

3

15)

2

4 2  Sec x dx   Sec x * Sec x dx

 (1  Tan2 x) Sec 2 x dx

Aná li sis 1 :

2

  Sec x dx   Tan2 x * Sec 2 x dx

v

3

 Tan x 

Tan x

dv

C

 Tan x  Sec 2 x dx

3

16)

5

 Sen x dx 

2

2

 (Sen x) * Sen x dx  (1  Cos 2 x)2 * Sen x dx   (1  2Cos2 x  Cos 4 x) Sen x dx 2

4

  Sen x dx  2  Cos x  Sen x dx   Cos x  Sen x dx 2

4

  Sen x dx  ( )2  Cosx  ( )Sen x dx  ( )  Cos x   Cosx 

2 3

3

Cos x 

5

Cos x 5

C

Anál isis1 : v  Cos x dv  Senx dx


* ( )Sen x dx

54

17)

5

2

2

 Cos x dx   (Cos x) * Cos x dx 2 2   (1 Sen x) * Cos x dx

  (1  2Sen2 x  Sen4 x) Cos x dx



  Cos x dx  2  Sen x 3

Sen x 

2 Sen x 3

 2Cos x dx   Sen4 x *Cos x dx 5



Sen x 5

C

Análisi s 1 : v  Sen x dv  Cos x dx

18)

2

5 2  Tan x * dx   (Tan x) * Tan x dx

  (Sec 2 x  1)2 * Tan x dx   (Sec 4 x  2 Sec 2 x  1) Tan x dx   Sec 4 x * Tan dx  2 Sec x * Sec x * Tan x dx   Tan x dx 4



Sec x

2



4

2 4



Sec x 4

2 Sec x

 Ln Cosx  C

1ra opcionde resultado

 Ln Sec x  C

2da opcionde resultado

2



2 Tan x 2

Aná lisis1 :

v  Sec x dv  Sec x * Tan x dx


55

5

2

2

 Cot x dx  ( Cot x) Cot x dx

19)

  (Csc 2 x  1)2 Cot x dx   (Csc 4 x  2Csc 2 x  1) Cot x dx   Csc 4 x * Cot x dx  2 Csc 2 x * Cot x dx   Cot x dx    Csc 3 x * Csc x * Cot x dx   2  Csc x *  Csc x Cot x dx   Cot x dx



 Csc 4 x

2



2Csc x

4

2

 Ln Sen x  C

Anál isis: v dv

 Csc x   Csc x Cot x dx

NOTA: Las Fórmulas de reducción son sacadas de la Integración por Partes.

20)

5

 Sec x dx 

Sec

5 2

x * Tan x

5 1 3



Sec x * Tan x 4



3



Sec x * Tan x 4



3



Sec x * Tan x 4



 3 4 3 4 3 8

5-2 5 -1

 Sec

5 2

x dx

3  Sec x dx

 1 (Sec x * Tan x )  Ln Sec x * Tan x   C  2  Sec x * Tan x  3 Ln Sec x * Tan x   C   4

5

21)  Csc x dx 


56

3

22)



Sen x dx 1  Cos x

2



Sen x * Sen x 1  Cos x

dx

 Cos 2 x)Sen x dx  1  Cos x (1  Cos x)(1  Cos x)Sen x  dx (1  Cos x) (1

Aná lisis1 : v  Sen x dv  Cos x dx

  Sen x dx    Sen x  Cos x dx 2

Sen x

  Cos x 

3

23)



Sen x 4

Cos x

2

C

3

dx 



Sen x * 1 3

dx

Cos x * Cos x

  Tan3 x * Sec x dx   Tan2 x * Tan x * Sec x dx  (Sec

2

x  1)Tan x * Sec x dx

  Sec2 x * Sec x * Tan x dx   Tan x * Sec x dx

utilizandola F  16

3



Sec x 3

 Sec x  C

3



Sec x 3

 Sec x  C

Análisis1 : v dv

 Sec x  Sec x Tan x dx

Análisis2 : v dv

 Cos x  Sec x dx

Nota: Despejes de las funciones trigonométricas Sen

Cos

Tan


Csc

Sec

Cot

57

24)

 Sen 3x * Sen 2x dx   

1 2 1 2

 

 Cos 3x  2x   Cos3x  2x  dx

 Cos 5x

dx   Cos x dx

1 1



 Cos 5x 5 dx   Cos x dx 2 5   1

Sen 5x 

10

25)

Sen x  C

2

4 4 4  Sen x * Cos x dx   (Sen x * Cos x) dx

 1     Sen 2x   2   

1

16

dx

4

16 1

Sen 2x dx

2 2  ( Sen 2x ) dx

 1 1      Cos 4x  16  2 2  

Utilizando una IdentidadTrigonométrica

4

1

26)

1

3x 128



Sen 4x 128



2

Desarrollando el Binomio al Cuadrado

Sen 8x 1024

C

4 7 2 2 7  Csc 2x * Cot 2x dx   Csc 2x * Csc 2x * Cot 2x dx

  (1  Cot2 2x)* Csc 2 2x * Cot7 2x dx 7

  Cot 2x * Csc 2 2x dx   Cot9 2x * Csc 2 2x dx



1 16

8

Cot 2x 

1 20

10

Cot

2x  C


58

5

2

2

2

2

27)  Cos x * Sen x dx   (Cos x) Cos x * Sen x dx

  (1  Sen2 x)2 Sen2 x * Cos x dx   ( 1 - 2 Sen2 x  Sen4 x ) Sen2 x * Cos x dx   Sen2 x Cos x dx - 2  Sen4 x Cos x dx   Sen6 x Cos x dx



2



4



6

  Sen x Cos x dx - 2  Sen x Cos x dx   Sen x Cos x dx



1

3

Sen x 

3

28)

5

3

2

5

Sen x 

5

2

2

1

7

Sen x  C

7

3

 Cot x * Csc x dx   (Cot x ) Cot x * Csc x dx   (Csc 2 x  1)2 Cot x * Csc 3 x dx   (Csc 4 x - 2 Csc 2 x  1) Cot x * Csc 3 x dx   Csc 6 x Csc x Cot x dx - 2 Csc 4 x Csc x Cot x dx -  Csc 2 x Csc x Cot x dx 1 1 2   Csc 7 x  Csc 5 x  Csc 3 x  C 7

5

3


59

INTRODUCCIÓN: Aquí emplearemos un método especial para poder desarrollar integrales que en la estructura de integrando aparecen radicales de la forma: 1) a2  v 2

3) v 2  a2

2) a2  v 2

Que por ningún método básico se pueden desarrollar, el método consiste en hacer un cambio de variable trigonométrico (sustituciones trigonométricas), para transformar la integral inicial “a una forma Trigonométrica” y poder ll egar a

un resultado trigonométrico que posteriormente se cambia la variable original utilizando el regreso de variable y auxiliándose del triángulo rectángulo. Para facilitar el estudio de este método se tiene que recordar lo siguiente: 1° Teorema de Pitágoras

B a2 = c2 - b2 C

c2 = a2 + b2 b2 = c2 - a2

A

2° Posición de los radicales

a2  v 2  v 2  a 2

a

a2  v 2

a

z v

v 2  a2

v

z v


z a

60

3° Definición de las funciones Trigonométricas

1)

Sen z 

cateto opuesto hipotenusa

Cot z 

cateto adyacente cateto opuesto

Cos z 

cateto adyacente hipotenusa

Sec z 

hipotenusa cateto adyacente

Tan z 

cateto opuesto cateto adyacente

Csc z 

hipotenusa cateto opuesto

y

dy 2

y2  7

7 Sec z Tan z dz



2

7 Sec z

1P) Análisis del

7 Tan z

1

dz

1

1

 Cos z dz  Sen z  C 7  Sec z 7  7



y2  7

v2  y2 vy

a2  7 a 

7

2P) Relación 1 

y 7

 Sec z

 x  7 Sec z  dx  7 Sec z Tan z dz

y z

3 elementos necesarios

7

3P) Relación 2 

y2  7 7

 Tan z



y 2  7  7 Tan z

4P) Regreso de variable 

y

dy 2

y 7 2

1

 * 7

y2  7 y

C


61

2)



25  x 2

dx 

x

1P) Análisis del

25  x 2 v2  x2

a 2  25

vx

a 5

2P) Relación 1 v a

5



x 5

 Cosz

 x  5 Cosz  dx  5 Sen z dz

x 3P) Relación 2 25  x 2 5

 Sen z



25  x 2  5 Sen z

4P) Sustitución 

5 Sen z 5 Cos z

 5 

 5 Sen z dz  5 

1 Cos z dz  5 

Sen2 z dz Cos z

  Cos z   Cos z dz  

2

Cos z

Cos2 z

dz

  5  Sec z dz   Cos z dz   5 Ln Sec z  Tg z  5 Sen z  C

5P) Regreso de variable  5 Ln   5 Ln

5 x



25  x

2

5

x

5  25  x x

25  x 5

2

C

2

 25  x  C 2

o

 5 Ln

5  25  x x


2

 25  x 2  C

62

3)

x

dx 2

* 4  x2

4  x2

1P) Análisis del

v2  x2

a2  4

vx

a 2

2P) Relación 1 v a



x 2

 Senz  x  2 Senz  dx  2Cosz * dz

2

x

4  x2

3P) Relación 2

a

4  x2



2

 Cos z

 4  x 2  2 Cos z

4P) Sustitución 

2Cos z * dz

2Sen z  2Cos z  2

dz

 

4Sen2 z 1 dz



4 Sen 2 z 1 2  Csc z dz 4 1  Cot z  C 4



5P) Regreso de variable 

1 4

*

4  x2 x

C


63

4)

x

3

9  x 2 dx 

*

1P) Análisis del 9  x 2 v2  x2

a2  9

vx

a 3

2P) Relación 1 v a



x 3

 Cosz  

3

9  x2

x  3 Cos z dx  3 Sen z * dz

x 3P) Relación 2

a



9 - x2 3

 Senz



9 - x 2  3Senz

4P) Sustitución 3

  3 Cos3 z * 3 Sen z * 3 Sen z dz  3 5  Cos2 z * Cos z * Sen2 z dz





 3 5  1  sen2 z Cos z * Sen2 z dz 4  3 5 (Sen z)2 Cos z dz   Senz Cos z dz  

5P) Regreso de variable 3 5   2 2 2 2 (9  x ) (9  x )  3 5   3 3  3   C 3 5   1 1      (9  x 2 )3 (9  x 2 )5  (9  x 2 )5 5 2 3  3   C   C  3 (9  x )  5 34 5 3 * 5  


64

5)

dx

x

9  4x



2

1P) Análisis del 9  4x2 v 2  4x 2

a2  9

v  2x

a 3

2P) Relación 1 v a



2x 3

 Cotz 9  4x2

x 

3

3Cot z 2

 dx 

2x

3 2

 Csc2 z dz

3P) Relación 2

a



9  4x 2

 Cscz

3

 9  4x 2  3Cscz

4P) Sustitución 3

 Csc2 z * dz 

2

3 2

Cotz * 3Cscz



1 Cscz * dz 3



Cotz



1 3



Secz * dz  

5P) Regreso de variable 1 3  9  4x 2   Ln C 3 2x


1 3

Ln Secz  Tanz  C

65

6)

x

dx 2

4  x2



1P) Análisis del

4  x2 v2  x2

a2  4

vx

a 2

2P) Relación 1 v a



x 2

 Cotz  x  2Cotz

4  x2

 dx  2  Csc2 z dz

2 x

3P) Relación 2

a



4  x2 2

 Csc z



4  x 2  2 Csc z

4P) Sustitución



 2Csc z dz 2

2Cot z 

2

* 2 Csc

z



 Csc z dz 4Cot2 z



1 Csc z dz 1   4 4 Cot 2 z



1 dz Sen z Cos 2 z Sen 2 z



1 Sen z * dz 1 2   Cos z Sen z dz 4 4 Cos 2 z 1    Cos z 2 * Sen z dz 4 1 Cos z 1 1  *  C   Sec z  C 4 1 4







  



Analisis v  Cos z dv  Sen z dz

5P) Regreso de variable 

1 4

*

4  x2 x

C




66

7)



dx 9x 2  1



1P) Análisis del

9x2  1 2

v  9x

2

2

a 1

v  3x

a 1

2P) Relación 1 v



a

3x 1

 Cot z  x  Cot z * 9x 2  1

1

 dx 

1 3

 Csc2 z 3

3x

dz

3P) Relación 2

a



x2 1 1

 Csc z



x 2  1  Csc z

4P) Sustitución 1

 Csc2 z dz

 3

Csc z



1

1 Csc z dz   LnCsc z  Cot z   C 3 3



O



1 3



Sec z dz 

1 3

LnSec z  Tan z   C

5P) Regreso de variable 1

  Ln 9x 2  1  3x  C 3

o

1

 Ln 9x 2  1  3x  C 3


67

8)

 (x

x 2 dx 2

x 2 dx



 8)

3

(x

2

 8)(x 2

2

x 2 dx



 8)

(x

2

 8) x  8 2

  Sec z dz   Cos z dz x2

 Ln

8 x 8

x



2

x

8

C

8 x

2da opción de resultado

   Csc z dz   Sen z dz x2

 Ln

x

8 x 8

x



x

2

8

C

8

9)

x2



5

(4

dx 

x ) 2

2

(

x 2 dx 4x ) 2

5

 

10)



9  4y 2 y

dy  3 

Cos 2 z Sen z

4Sen2 z * 2Cosz dz

1 4

(2Cos

 Tan

dz  3 

2

2

z)

* Sec

Cos 2 z Sen z

5

2

z dz

 

1



4 Cos 2 z * Cos 2 z 1 12

3

12 (4

2

Sen z

z)

dz

 3  Csc z dz  3  Sen z dz  3 Ln Csc z - Cot z  3 Cos z  C

 3 Ln

3  9  4y 2y

x3

Tan z  C 

(1  Sen

dz  3 

Sen2 z dz

2

 9  4y 2  C


x )

2 3

C

68

INTRODUCCIÓN En este tema se realizará un cambio de variable algebraico de la forma: x  tn cuando aparezcan en el integrando varios exponentes racionales, por lo cual no se puede integrar; entonces al realizar el cambio x  tn donde “n” es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de los exponentes enteros con los cuales ya se puede desarrollar la integral. Finalmente se regresa a la variable inicial mediante un despeje sencillo t  n x .

1)



dx x 1



1P) Donde

dx

x 

1 2

1 3P) División

n2

1

x  tn

t 1

x  t2

 

dx  2t dt

- t 1 -1

2P) Sustituyendo a x y dx



2t dt

t 

1

2 2

1

 2

t dt t 1

4P) Solución   1   1  2  1 dt  2 t  2 Ln t  1  C  dt  2 dt  2   t 1 t 1    

1

5P) Regreso de variable 2

t x 2

x  2 Ln

t

t x  x 2

x 1  C


69

2)

dx



x x 4

1P) Donde



dx

x 

1

1

 x 4

2

3P) División

n4 x  tn

t 1 t 1 t2

x  t4

 

dx  4t 3 dt

- t2  t t - t 1 1

2P) Sustituyendo a x y dx 

4t 3 dt

t   t  1 4 2

1 4 4



4t 3 dt 4

4

t2  t4



4t 3 dt t2  t

 4

t * t 2 dt





t t 1

 4

4P) Solución

  1   1  4    t  1 dt  dt  4 t dt  4 dt  4 t - 1   t -1   

4t 2 2

 4t  4 Ln t - 1  C

 2 t 2  4t  4 Ln t - 1  C 1

xt

5P) Regreso de variable

4

x

2

4

 41   41   2 x   4 x   4 Ln      2 x  4 4 x  4 Ln

3)



dx 4

x

 x



dx 1

1

4

t  41  x  1  C    

x 1  C

  2 x  4 4 x  4 Ln 1 4 x  C

x 4  x2


t 2 dt t 1

70

4)

1

 1

1

x

dx 

x

1P) Donde



1 x  2

1

1 x  2

dx

3P) División

n2 x  tn

-t2 - t 1 t2  t

x  t2

 

dx  2t dt

- t2  t 2t - 2t  2 2

2P) Sustituyendo a x y dx 

  1 t  1 t

2

2

2

1 t 1 t

1

2 1

2t dt

2

t dt  2

t  t2

 1 t

dt  2

t2  t

  t  1 dt

4P) Solución 2   - dt      2    t  2  dt   2  t * dt  2  dt   2 1  t   1- t      t2   2  2t  2Ln 1 t   C  2 



2t 2 2

 4t  4Ln 1 t  C 4

 t 2  4t  Ln 1 t  C 1


xt

2

x

 x  4 x  Ln 1 x

5)

1 x

 1

x

dx  x  4 x  Ln 1 x

4

4

2

 t

C

C


71

6)



x  x 1 dx  4 44 x 3

3



x

3 2

x 1 4

(x

1 3

dx

)

1P) Donde n  2, 3 y 4



m.c.m 12

x  tn x  t 12 dx  12 t 11 dt

2P) Sustituyendo a x y dx 3



1 4

1  4

 

1

t   t  t  12

12

2

3

dt

1

12

t 

4

 t 4 

6 3

1

t

3

 3  t 18  t 4 

11

* 12t

dt

t 11 dt t3

 3  t 18  t 4  t 8 dt  3  t 26 dt -  t 12 dt  

3 t 27 3 t 13  C 27 13 1




t

3  x

 



1 12

   

12

x

27



3  x



27 9 4

t  x

13 12

x 3 x  9 13



1 12

   

13

12

13

C

C


72

7)



dx 3

x

x

1P) Donde



dx



1

1

x x 3

2

3P) División

n6

- t2  t -1

 tn x  t6 dx  6t 5 dt x

- t 1

 

t3 - t3  t2 - t2  t t 1 1

2P) Sustituyendo a x y dx 



6t 5 dt 1

t   t  6

6

3

t 5 dt

6

t2  t3

6

t 3 dt 1 t

 6

1

t 5 dt 6

6

t  t2 3

2

6

t 2 t 3 dt t 2(1  t )

4P) Solución

 1   1   dt   6    - t 2  t  1  dt  6  t 2 dt   t dt   dt   1- t   1- t     

6t 3 3

-

6t 2 2

 6t  6 * -Ln 1- t  C

 - 2t 3 - 3t 2  6t  Ln 1- t

6

C 1

t x


t  x

6

3

6

6

2

 61   61   61   61   - 2  x  - 3 x   6 x   Ln 1-  x   C         1

1

 - 2 x - 3 x  6 6 x  Ln 1- 6 x 2

3

6

C  - 2

x -33 x

 6 6 x  Ln 1- 6 x


6

C

73

1)

 3

1 x 1

1P) Donde

dx 

3P) División

n2

1

x  1 tn

t3

x  t -1

 

2

dx  2t dt

-t3 -3




2t dt





1

3  t  1 1 2

2 2

2

t dt

 

3 t t 3t

1 2 2

dt

4P) Solución 3    2  1 dt  3  t  dt    2  dt  3 3  t  





 2 t  3 Ln 3  t  C  2 t  6 Ln 3  t  C 5P) Regreso de variable tn  x  1 t2  x 1 t

t

x 1

 2 x  2  Ln 3  x  1 6  C


74

2)

 1

dx x2

1P) Donde



3P) División

n2

1

x  2  tn

t3

x  t 2

 

2

dx  2t dt

-t3 -3




2t dt



1 t  2 - 2

2 2

2



1

2

t dt

 

1 t

t 1- t

1

2

2

dt

4P) Solución 1    2   - 1  dt  1 - t  - dt    2   dt (- )  1 - t  

 2  - t  Ln 1 - t   C  2 t  2 Ln 1 - t  C 5P) Regreso de variable tn  x  2 t2  x  2 t

t

x 2

 2 x  2  Ln 1 - x  2 2  C


75

3)

 4

1 x2

dx 

1P) Donde: n2

 mc m 2

x  2  tn x  t2  2 dt  2t dt

2P) I Sustituyendo a x y dx



2t dt



4 t

2 2

1

2

 2  22

t dt

 

4  t2 t 4t

1

2

dt

4   2   1  dt  4  t  dt   2   dt  4  4  t  

 2  t  4 Ln 4  t   C  2 t  8 Ln 4  t  C 3P) Regreso de variable tn  x  2 t2  x  2 t

x2

 2 x  2  2 Ln 4  x  2  C


76

4)



x 3 3 x 3 3

1P) Donde

dx 

3P) División

n2 x  3  tn

t6 t 3

x  t2  3

 

dx  2t dt

t 2  3t - t 2  3t 6t - 6t  18 18

2P) Sustitución

t t

  3 - 3  3 t   3 t dt 2 t   3 

1

3-3 3

2

2

1

2

2t dt

2

1

2

2

1 2 2

2

t 3

 t  3 t dt  2 

t 2  3t t 3

dt

4P) Solución 18    2 t  6   dt t 3    dt    2  t dt  6  dt  18  t  3  

2

t

2

2

 12 t  36 Ln t  3  C

 t 2  12 t  36 Ln t  3  C 5P) Regreso de variable tn  x  3 t2  x  3 t

x 3

 x  3  12 x  3  Ln

x 3 3

36

C


77

5)

 y) dy (4  y) y  2  (5

1P) Donde

3P) División

n2

1

y  2  tn

t2  2

y  t2  2

 

dy  2t dt

- t2  2 1

2P) Sustitución

 t 2  2) 2t dt   2 2 (4  t  2) t  2  2 (5  t 2  2) 2 t dt  2  (4  t 2  2) t 2  2  2 (t t2  3 t2  3 2 2 t dt  2  2 dt (t  2) * t t 2 (5

t2  3 2

 2) t 2

t dt

4P) Solución 1   2   1   dt  t 2   dt   2  dt   2 t  2   t C Arc Tan 2 2 2 t C Arc Tan 2 2

2t2 2t

1

5P) Regreso de variable tn  y  2 t2  y  2 t

y2

 2 y2 2

t2  3

2 2

2 Arc Tan 2

 4y  8  2 Arc Tan

y2 2

y2 2

C

C


78

INTRODUCCIÓN Este método es aplicable cuando el integrando presenta una fracción racional, con el denominador factorizable en binomios de primer grado o de segundo grado con sus respectivos casos particulares, cuando alguno de sus elementos estén ausentes. Es decir, cuando se presenta una división de

polinomios que no se pueda efectuar porque el grado del numerador es menor que la del denominador.

El método consiste en escribir el integrando como una suma de quebrados que tiene por denominadores los factores obtenidos de la factorización del denominador, para facilitar el análisis se hace una clasificación en cuatro casos.

Cuando el denominador del integrando se factoriza en binomios de primer grado sin que ninguno de ellos se repita y en este caso la fracción se puede presentar como la suma de fracciones del siguiente tipo:

Polinomio  x  x  a  x  b



A B C      x  x  a  x  b


79

1) 

x4 x

2

x

dx 

1P) Análisis del denominador

 A



B

 x x  1    x  x  1  





 

A x  1  B x





x x 1

Ax  A  Bx







x x 1





x A  B  A





x x 1

2P) Obtención de los valores de las constantes

4 A  B  1 B  1  A B  1 4 B  3 A

3P) Solución

 A B  A B     dx dx  x x  1   x x  1  x  x  1 dx x4

4

dx

3 

x  4 Ln x

 Ln x  Ln

4

dx

x 1  3 Ln x  1

C

3

 Ln x  1  C

x4 (x  1)

3

C


80

2)

 2x  4  x  x2 dx

1P) Análisis del denominador B   A    x 1 x    x 1 x   A 1 x   B x    x 1 x    A  Ax  Bx  x 1 x  x(B - A)  A  x 1 x 

2P) Obtención de los valores de las constantes A  4 B  A  2 B  2  A B  2   4 B  6

3P) Solución

A dx  x



 4

B dx 1 - x





dx (  ) dx (  ) 6 x 1 - x





 6 Ln 1 - x  4 Ln x  C  Ln 1 - x

6

 Ln x

4

C

Análisis v  1 x v´ 1 dv  dx

(1  x )6  Ln C x4


81

3)

x

7x  1 2

 2x  3

dx


(x

B   A    3) (x  1) (x  3) A(x  3)  B(x  1)   3) (x  1)(x Ax  3A  Bx  B  (x  1)(x  3) x(A  B)  3A  B  (x  1)(x  3)

 1)(x

2P) Obtención de los valores de las constantes A  B  7 3A  B  1 4A  8 A 

8 4

2

B  7  A B  72 B5

3P) Solución

5   2     dx (x  1) (x  3) dx dx 5 x 1 x3  2 Ln x  1  5 Ln x  3  C

 2



2

 Ln x  1  Ln x  3

5

C

 Ln(x  1)2(x  3)5  C


82

4)

5x 2  3

x

3

x

dx  Ln x 3(x

2

 1)  C Constantes

A  3 B 1 C 1

x3  x2

10x - 8  x2 (x  2)12  dx    x  4  2  4x  Ln C 5)  2  dx  2 x  3x  2 x  3x  2  (x  1)2 

División de polinomios Constantes B = -2 A = 12

Cuando el denominador del integrando se factoriza y se obtienen binomios, pero uno o más de ellos se repite (quedando elevado a una potencia entera). El desarrollo es similar al del caso anterior, excepto que para el o los binomios repetidos se consideran tantos quebrados como indique la potencia, los denominadores de estos quebrados como indica la potencia, los denominadores de estos quebrados serán el mismo binomio elevado a todas las posibles potencias enteras, comenzando con el mayor exponente y terminando con la potencia unitaria.

Polinomio

  x  a

3



A

 x  a

3



B

 x  a

2



C

 x  a


1

83

1)

x

6x  9 2

 6x  9

dx 

1P) Análisis

 A B      x  32   x  32 x  31  A  B x  3  x  32 A  Bx  3B  x  32 Bx   A  3B  x  32 2P) Obtención de los valores de las constantes B=6 A + B = - 9 A = - 9 - 3(6) A = - 9 – 18 A = - 27 3P) Solución

 27 

dx

x  32

6 

dx

x  3

2  27  x  3 dx  6 

 27

x  321 1

dx

v  x 3

Análisis

x  3

 6 Ln x  3  C

1  27 x  3  6 Ln x  3  C



27

x  3

 Ln x  3

6

C


v´ 1 dv  dx

84

2)



2x 2  2x  2

x  23

dx 

1P) Análisis

2P) Obtención de los valores de las

 A B C       x  22   x  23 x  22 x  2 2 A  B x  2  C x  2  x  23 A  Bx  2B  C x 2  4x  4  x  23 A  Bx  2B  Cx 2  4Cx  4C  x  2 3 Cx 2  x B  4C   A  2B  4C  x  23

constantes C=2 B + 4C = 2 B = 2 - 4C B = -6 A + 2B + 4C = 2 A = 2 - 2B - 4C A = 2 - 2(-6) -4(2) A = 2 + 12 - 8 A = 6

3P) Solución

 A B C     dx 3 2   x 2   x  2 x  2   6  x  23 dx  6  x  22 dx  2 

dx

x  2

Análisis: v  x2 v´ 1 dv  dx

x  23  1 x  22  1 6 6  2 Ln x  2  C 2 1 2  3 x  22  6 x  21  Ln x  2  C 6 3 2 Ln x 2     C 2   x 2  x  2


85

3)

5x 2  4

x

3

 2x 2

dx 

1P) Análisis del denominador C   A B     x 2(x  2)   x 2 x (x  2) A(x  2)  Bx(x  2)  C(x  2 x (x  2) Ax  2A  Bx 2  2Bx  Cx 2  x 2(x  2) x 2(C  B)  x(2B  A)  2A  x 2(x  2)

2

)

2P) Obtención de los valores de las constantes C +B=5 2B + A = 0 2A = -4 A = -

4 2 A

B

2

 2 1

C 5 B 4

3P) Solución

4  - 2 1 dx   2   x (x  2) x

 2

 2

dx x2



dx x

 4

(x

dx

 2)

v  x2

Análisis

v´ 1 dv  dx

x 21

 Ln x  4 Ln x  2  C 1  2 x 1  Ln x(x  2 )4  C 2

  Ln x(x  2 )4  C x


86

 4y 2  8   dy 4)  3 dy    y  2  3 2   y  2y 2 y 2y   y4  8



y2 2

 2y  4

y2  2 y 2(y

 2)

dy

Constantes

A  1 1 2 1 C 2

B

Cuando el denominador del integrando se factoriza como binomios de segundo grado y no existe repetición de los mismos, cada uno de estos factores es denominador de un quebrado independiente con un numerador de la forma (Ax + B), se repite la técnica ya utilizada para determinar los valores de las constantes.



Polinomio  (x 2  a)(x 2  b)

 Ax  B Cx  D    (x 2  a) (x 2  b)

Ejemplos:


87

1)

 6x  10  x 3  5x dx 


 A Bx  C    x(x 2  5)   x  x 2  5  Ax 2  5A  Bx 2  Cx  x(x 2  5) x 2(A  B) Cx  5A  x(x 2  5) 2P) Obtención de los valores de las constantes

 10  A  2 C  6 A  B  0 B   A  B2 5A

3P) Solución 2  2x  6      2 dx  x x  5  dv 2x  6 2  2 dx v x 5

 2 Ln v  

2x x 5 2

 2 Integrales

dx  6

x

dx 2

5

Análisis v  x2

5

v´ 2x dv  2x dx

 2 Ln x  Ln x 2  5   Ln

x

2

x2  5



6 5

6 5

Arc Tan

Arc Tan x 5

x 5

+C

+C


88

2)

3x  6

x

3

 3x

dx 


 A Bx  C    x(x 2  3)   x  x 2  3  Ax 2  3A  Bx 2  Cx  x(x 2  3) x 2(A  B) Cx  3A  x(x 2  3) 2P) Obtención de los valores de las constantes 3A  - 6

 A  2 C3 A  B  0 B   A  B  (- 2)  2 3P) Solución

 - 2 2x  3     2 dx  x x  3  dv 2x  3  2   2 dx v x 3  2 Ln v  

2x x 3 2

v  x2

Análisis



dx  3

x

2 Integrales

dx 2

3

3

v´ 2x dv  2x dx 3

 2 Ln x  Ln x 2  3   Ln x 2  3  2 Ln x   Ln

x2  3 x2

3

Arc Tan

3

3

+C

3 x Arc Tan +C 3 3

3

 3 Arc Tan

x

x 3

+C


89

Cuando el denominador del integrando se factoriza en trinomios o binomios de segundo grado, cuando uno de ellos se repite, en este caso se deberán considerar para dichos factores tantos quebrados como el exponente lo indique. Los denominadores serán los trinomios factorizados considerando el exponente mayor hasta la potencia unitaria, los numeradores serán de la forma (Ax+B).



 Ax  B Polinomio Cx  D Ex  F     ((x2  a)3 (x 2  a)2 (x 2  a)2  (x 2  a)3  



Ejemplos:

1)

x3  x2  2

x

4

 4x 2  4

dx 


x

4

 4x 2  4

 Ax  B Cx  D    2  2 2 1 (x  2) (x  2)  Ax  B  ( Cx  D)( x 2  2)  (x 2  2)2 Ax  B  Cx 3  2 Cx  Dx 2  2D  (x 2  2)2 Cx 3  Dx 2  x(A  2C )  (B  2D)  (x 2  2)2


90


 

C 1 D 1

A  2C  0



A  2C  2

B  2D  2



B  2  2D  0

3P) Solución

 - 2x x 1    2  dx 2 2 1 (x 2) (x 2)      

2x 2

(x

 - (x

 2)

2

dx 

x 1

(x

 2)-2 2x dx  

2

 2)1

2

x dx x2  2

 2 Integrales

dx



dx x2  2

Análisis v  x 2 2

v´ 2x dv  2x dx

 2)-21   2 1

2

(x



2

(x





2

2



1 2

Arc Tan

x 2

+C

1 2 x  2)-1 1  Ln x 2  2  Arc Tan +C 2 1 2 2 2

1 2

x

x dx

x 2

 Ln

x2  2 

2 2

Arc Tan

x 2

+C


91

2)

2x 3  x 2  4

 (x

2

 4)2

dx 


(x

2

 Ax  B Cx  D    2  2 2 1 (x  4) (x  4)  Ax  B  ( Cx  D)( x 2  4)  (x 2  4)2 Ax  B  Cx 3  4 Cx  Dx 2  4D  (x 2  4)2 Cx 3  Dx 2  x(A  4C )  (B  4D)  (x 2  4)2

 4)

2


 

C2 D 1

A  4C  0



A  4C  8

B  4D  4



B  4  4D  0

3P) Solución

 - 8x 2x  1    2  2 dx 2 1   (x 4) (x 4)   8x 2x  1    dx (x 2  4)1 dx (x 2  4)2  - 4(x

 4)-2 2x dx  

2

2x dx x 4 2



 2 Integrales dx x 4 2

Análisis v  x2

4

v´ 2x dv  2x dx

(x  4



 4)-21 1 x  Ln x 2  2  Arc Tan + C  2 1 2 2

2

4 x2  4

 Ln x 2  4 

1 2

Arc Tan

x 2

+C


92

INTRODUCCIÓN El significado geométrico de esta integral ya se a establecido anteriormente, pero sin embargo tenemos que: Análisis Grafico

Recordatorio y  f  x 

y

y '  f '  x  dy  f '  x  dx dy  f '  x  dx

 a

 x

b

x

 dy  f '  x  dx

y  f  x   C y  F  x 

Generalmente nos determina el área bajo la curva f (x) desde “a” hasta “b” matemáticamente esto es:

Límite superior

b

A  f '  x  dx  F  x 



b a

 f b   f a 

a

Límite inferior

Integral definida


93

Donde “a” es el límite inferior y “b” es el límite superior. La F(x) es la función resultante al integrar el diferencial: " f '  x  dx " . 1

1

1 1 1 1  1)  x dx   x 2   (1)2  (0)2   (1)  u 2 2 2  2 0 2 0 0

2)

 3x

0

2

dx  3 x 2 dx   x 3 0  (0)3  (2)3   0  (8)  8 u2

2

4

3)

1



2

dx

 x

  Ln x 10  Ln 4  Ln 2  Ln

2

9 2

4)

 2

1

 dx 1  (2x) 2 2 dx   2x 2x 2



9 2



2

4  Ln 2  0.6931 u2 2

 3 - 2  1 u2

1

 3x 3 2x 2    4x  5)  (3x  2x  4) dx  3  x  2  x  4  dx   2  3 0 0 0 0 0 2

2

2

2

2

2

  x 3  x 2  4x 2

2



1 0

 (2)3  (2)2  4(2) 8  4  8  12 u2

2

2

2

 9x 3 x -1 2  2 2 2 -2   x  6) (9x  2  ) dx  9 x dx  x dx  dx   3 3 3 1 3  -1 x  -1 -1 -1 -1



1

2







2

1 2  3 3 61   3x 3  -  x   27   2  29   u2 3  -1 2 2 2 x  3

3



1

1

3

3

1 1 1  7) (  ) dx  9 dx  dx 2 dx    x 2x x 1 x 2x x 1 2 1 1 1 1 1



1





3

1    Ln x  Ln 2x  Ln x - 1   0.2616   0.0931  0.9547 u2 2  1 1



x 2

8) e 0

1









1 (1) 1 1 1 1 1.718 1 2   0.859 u2 dx   e x   e  e(0)  e  e 0  e1  1  2.718  1  2 2 2 2 2 0 2



2

2




94

 

2



9) Cos  d   Sen  2  Sen 0



2

 Sen 0  Sen90  Sen 0  1 0  1 u2

π

2π

3

π

π

2

2



10)



1

1

 Sen 2  d  2  Sen2  2 d   2  Cos 2  0



0

1

1

2

2

   Cos 2 - Cos 2(0)    1 - 1   0 u2

0

2π

π π

3

2

2

π

11)





2

2







 2 Cos 2 d   Cos 2 2 d   Sen 2 22  Sen 2 2  Sen 2 - 2  Sen  Sen  0 u 





2





2

π



π

π

2

2


2

95





4

12)

  Sen  Cos  1

0

2  1  Sen   4 1    2 2 2     d   Sen Sen 0      Sen 45  Sen 0   4   2  2  0 2 

2



2 1  1 

 1 1 1 2   0      u2  2  2   2  2  4

13) Obtener el área bajo la recta y = x, de 0 a 1 y=x y´ = 1 dy = dx 1

 dy   dx 0

y   x

10

A = 1- 0 = 1 u 2

y

y  x

x

π

2



x  2 1    1     Arc Tan 0.7853   19.07 u2 14) Arc Tan Arc Tan Arc Tan 0 2     2 2 2 4  2 0 x  4



dx

1

Análisis v2  x2 a2  4

 vx  dv  dx  a2


96

A) Calculo de áreas Planas

Si el área bajo la curva es de la forma:

La aplicación es: x 2  b

A

b

f  x  dx   y dx  x  a a 1

x = a

x=b

Si el área bajo la curva es de la forma:

y=b

La aplicación es: y 2 b

A

b

f y  dy   x dy  y a a 1

y=a

Ejemplos:


97

1) Calcular el área bajo la curva y = x2 + 2, limitada por las rectas x 1 = -2 y x2 = 1; el eje “x”. Trazar gráfica.

1P) Tabulando

2P) Grafica y

y

x

y= x2 +2

3P) Calcular el Área X1 = -2 x 1

A 

1

 y * dy   x

x 2

2

X2 = 1



 2 * dx

2

1

1

  x dx  2 dx 2

2

2 1

 x3     2x 3  2 L.S

L.I

 13    21  3 

 - 23    2- 2  3 

L.S.=Límite superior L.I. =Límite inferior

1 8    2    4 3   3  1 6 8 12         3 3   3 3  7 20       3   3 

 

7 20  3 3 27

3  9u 2


x

98

2) Calcular el área bajo la curva x = y 2 + 2, limitada por las rectas y 1 = -2 y y2 = 2 en el eje “y”. Trazar gráfica.

1P) Tabulando x

2P) Grafica y x = y2 +2 y2 = 2

y1 = -2

3P) Calcular el Área y 1 2



A 

2

x * dy 

y 2 2

 y

2



 2 * dy

2

2

  y 2 * dy  2 dy 2

2

 y3     2y 3  2 L.S  2 3  2  2      3 

=

L.i

 - 23    2- 2  3 

8   8     4    4 3   3   20 20     3  3 

40 3

u2


99

3) Calcular el área bajo la curva y = 2 – x – x2 en el eje “x”. Trazar gráfica. 1P) Tabulando

2P) Grafica

x

y X1 = -2

1

2.25

2

x= y2 +2 NOTA: Los límites de integración se obtienen resolviendo la ecuación.

y=0 0 = 2 – x - x2 0 = (x+2)(x-1) x1 = -2 x2 = 1 3P) Cálculo del área 1

1



A  y dy  2

 2  x  x  dx 2

2

1

 x2 x3   2x    2 3  2   12 13    2 2  2 3   21      2 2   2 3 2 3     1 1 8  2      4  2   3  2 3  12  3  2    18  8      3  6  7

 

10

6 3 27  u2 6 9  u2 2


X2 = 1

100

4) Calcular el área bajo la curva x = 2y - y 2, en el eje “y”. Trazar gráfica. 1P) Tabulando

2P) Grafica

y

x

-2 -1 0 1 2

-3 -3 0 1 0

y2 = 2 x= 2y - y2

y1 = 0

NOTA: Los límites de integración se obtienen resolviendo la ecuación.

x = 0 2y - y2 = 0 y (2 – y) y) = 0 y1 = 0 y2 = 2 3P) Cálculo del área 2

A  2y  y 2  dy

 0

2

 2 y3   y   3 0  4

8 3

4 3

 u2


101

5) Hallar el área comprendida entre la curva y = x 3 - 6x2 + 8x , en el eje “ x”. Trazar gráfica.

1P) Tabulando

2P) Grafica

x

y

0 1 2 3 4

0 3 0 -3 0

y= x3 -6x2+8x

x1 = 0

x2 = 2

3P) Cálculo del área de las 2 arcadas 2

 3 - 6x 2 + 8x dy A  2 x

 0

2

 x 4   2  - 2x 3  4x 2  4 0  2 4 - 16  16  2 4   8 u2


102

6) Calcular el área limitada por una curva o circunferencia circunferencia con centro en el origen de radio “ r ” x2 + y2 = r 2 y  r 2  x 2

Límites de integración

Caso I: r



A  2 y dx r

r

-r

Caso II: r



A  4 y dx Se recomienda recomienda porque el el cero simplifica simplifica 0

0

los cálculos.

r

Ejemplos r

A



r 2  x 2 dx

0

r

 x r 2 x   4  r 2  x 2  Arc S en  2 r  0  r  r 2 2 r 2 0 2 r  r 2 0 2  4  r  r  Arc S en  - 4  r  0  Arc S en  2 r  2 r   r  r  r 2   r 2   4  Arc S en 1 - 4  Arc S en 0 2  2   r 2 π   r 2  4   - 4  2 (0) 2 2      r 2   4  r 2 4     r 2 u 2 4  2 2


103

7) Calcular el área limitada por la circunferencia x2 + y2 = 4.

y  4  x 2

r=2u

2

A4



4  x 2 dx

0

2

4 x   x 4  4  x 2  Arc S en  2 2 0 2

0 2 4 2 42 0 2 2 2 4  2  Arc Ar c S en  - 4  r  0  Arc Ar c S en  4  2 2 2 2 2 2  4 2 Arc S en 1 - 4  0      8    2  4 u2


104

8) Calcular el área de una elipse horizontal x 2 y 2  1 a2 b 2

b a

a2  b 2

y2 x 2  1- 2 b2 a

 x 2  y  b 1- 2   a  2

a

A = 4 b a

 0

x 2  y = b 1- 2 a

2

x 2  1  1- 2    dx a  a  Analisis 2

v  v

x 2

a x

2

a 1 dv = dx a

a2 = 1

 a =1

a

a

v x 2 a 2 v Arc S en   4 ba  1- 2  2 a  a  2 0

x   x 2 2   x 1  4 ba  a 1- 2   Arc S en a  2 1 a 2   0

a  2 0 a  a 1 02 1 0 1- 2  Arc S en a   4 ba  1- 2  Arc S en   4 ba  2 (1) (1 ) 2 a  a 1  2a  2a   1 1 1     4 ba  1- 1  Arc S en1  4 ba 0 * 1- 0  Arc S en 0 2 2 2    1   4 ba  Arc S en1   4 ba 0 2   1    4 ba    ab u 2  2 2 


105

9) Calcular el área de una elipse horizontal x 2 y 2  1 9 4 a2  b 2

y2 x 2  14 9

 x 2   y  4 19  

 y=2

2

3



A = 4 23

0

x 2 dx  19 3 Analisis x 2 3 x v 3

v2 

dv =

1 3

a2 = 1

 a =1 dx

3

 x x 2 1 2x   24  1 Arc Sen  9 2 6   6 0

(3) (3)2 1 2(3) 1 24   Arc Sen   24 0 6 9 2 6   1   24  Arc Sen(1)  6 0 2   1   24 2  24     6 u  2 2  4


x 2 19

106

10) Calcular el área definida por una arcada del Senoide y = 1Sen

2π

π

π

2

3 π

2





A  Sen θ dθ 0

π

  Cos θ0

  Cos     Cos 0     1   1  1 1  2 u2


θ

107

11) Calcular el área definida por una arcada del Cosenoide y = 2 Cos

π

π

2π

3 π

2

2

 2



A  2 2 Cos θ dθ 0

 2

 4  Cos θ dθ 0



 4 Sen θ 02   4 Sen   4 Sen 0 2 

 4  1  4  0   4 u2


θ

108

12) Calcular el área definida por una arcada del Senoide y = 3 Sen 2θ

π π

π

3

4

2

4

π

 2



A  3 Sen 2θ dθ 0



1 2 3 Sen 2θ 2 dθ 2 0



 2 3   Cos 2 θ 2 0

3    Cos 2  Cos 0 2 2  3 2

3 2

   1  1   (2)  3 u2


109

Análisis gráfico Se tienen 2 curvas de la forma

y1= f(X)

y2= g(X)

El área entre las curvas se calcula mediante la aplicación: b

A

 y

2

 y1 dx

a

NOTA: Los límites de integración se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones.


110

1) Calcular el área definida por la intersección de las curvas: y1 = x2 - 2 y y2 = - 3x2 + 2 1P) Determinar los límites de integración mediante un sistema de ecuaciones 1.1P) Por igualación y1 = y 2

3P) Tabulación x

y1

y2

x 2  2  3x 2  2 4x 2  4 x 2 1

 x  1  1

2P) Calcular área

1

A

  3x

2

4P) Graficar

 2   x 2  2  dx

1 1

   3x 2  2  x 2  2 dx 1 1

   4x 2  4* dx

y1=x2 -2

1



1

 4  x dx  4  dx 2

1

1

4 4    4    4 3 3  8 24 3 3 16  u2 3

 

y2=-3x2+2


111

2) Hallar el área limitada por la parábola y1 = 2 - x2 y la recta y2 = 2x - 1 1P) Determinar limites

3P) Tabulación

2  x 2  2x 1 x 2  2x  3  0

 x  3  x 1  0  x 1  3  x 2  1

2P) Calcular área

4P) Graficar

1

A

 2x 112  x dx 2

3 1





  x 2  2x  3 dx 3 1

1

1

3

3

  x dx  2  xdx  3  dx 2

3

1

x 3 2x 2    3x 3 2 3 1

x 3   x 2  3x 3 3

 13    33  2   1  31     32  3 3  3   3  1    27     1 3    9  9 3   3   1    27 27 27     2      3 3 3   3  5   27      2  3  39 2 u 6 13   u2 2




112

3) Hallar el área limitada por la parábola y2 = 1 - x y la recta 2y = x + 2 1P) Determinar limites

3P) Tabulación

1 y 2  2y  2 y 2  2y  3  0  x  3  x 1  0

 y1  3 y2 1

2P) Calcular área 1

A

 y

2

4P) Graficar



 2y  3 dx

3

1

1

1

3

3

  y dy  2  y dy  3  dy 2

3

1

y 3 2y 2    3y 3 2 3 1

y3   y 2  3y 3 3 5 3

 



27 2 u 3

32 2 u 3


113

4) Hallar el área limitada por la parábola y2 = 3x - 3 y la recta y = x - 1 1P) Determinar limites

3P) Tabulación

y 2  3  3y  3 y 2 - 3y  0 y  y 3  0  y1  0

 y2  3

2P) Calcular área

 x 1  1  x 2  4

(1,0) (4,3)

4P) Graficar

 y 2  3y  y 1 ( ) dy A    3  3

0

 3y - 3 - y 2  3     dy 3   0 3

3





1 y 2  3y dy  30 3

3

1   y 2 dy  y dy 30 0





 1 y3 y2      3 3 2  9 3

 



3

0

27 2 u 6

9 3 2  u 6 2 Elaboro: I ng. Arq. Vicente E. Navarro Barr ios

114

5) Hallar el área limitada por la parábola y2 = 2x - 2 y la recta y = x - 5 1P) Determinar limites

3P) Tabulación

y 2 - 2y - 8  0  y 2  y 4  0  y1  2

 y2  4

2P) Calcular área

 x 1  3  x 2  9

(3,-2) (9,4)

4P) Graficar

 y2  2  y  5 -( ) dy A    2  4

-2 4

 2y  10 - y 2  2     dy 2  -2  4





1 y 2  2y - 8 dy  2 -20

 1   y 2 dy  2 y dy  8 dy  2 - 2 -2 -2  4



4



 1  y3    y 2  8y  2 3  

4



4

-2

36 2

 18 u2


115

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante es para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución . Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Si la situación es de la forma:

x 1  a

x 2  b

x 2  b

V

 a y

2

dx

x1

Si las situaciones de la forma.

y2  b

y 2 b

V y1

y1  a


  a x

2

dy

116

1) Calcular el volumen del cono generado por la rotación del área limitada por la curva y = x y las rectas x1 = 0 y x2 = 3, respecto al eje “x” trazar gráfica.

Solución

3

3

v   πy * dx  π x 2 * dx 2

0

0 3

π

v  x 3 3 0 v

3 3 π

3

 03



27 2 πu 3 v  9πu 2 v

Comprobación

1 v  h * A B 3 1 v  h * πr 2 3 v

π

* 3r 2

3 v  πr 2

v  π32 v  9πu 2


117

2) Calcular el volumen generado por la rotación del área limitada por la curva y = x + 3 y las rectas x1 = 0 y x2 = 3. En el eje “x”. Trazar gráfica.

1P) Calcular el volumen 3

v

  y

2

dx

0

3



2

v    x  3  dx 0

3





v   x 2  6x  9 dx 0

3

 x 3  v     3x 2  9x  3 0 v   9  27  27 u3 v  63  u3


118

3) Calcular el volumen generado por la rotación del área limitada por la curva y = 2 - x - x 2 en el eje “x”. Trazar gráfica. 1P) Obtener limites x 2  x  2  0  x  2 x  1  0 x 1  2 x 2  1

2P) Calcular volumen 1

v

  y

2

dx

2

1





2

v   2  x  x 2 dx 2 1





1



v   4  4x  3x 2  2x 3  x 4 dx 2



v   x 4  2x 3  3x 2  4x  4 dx 2

1

  v    x 4 dx  2 x 3 dx  3 x 2 dx  4 xdx  4 dx    2 1

 x 5 x 4   x 3  2x 2  4x  v     5 4  2 1 1   32   8  8  8  8 v     1 2  4   3 2   5   1 3 32  v       5 2 5   2  15  64  81 3 v      10  u 10 


119

4) Calcular el volumen generado por la rotación del área limitada por la curva x = 2y - y 2. Trazar gráfica. 1P) Obtener limites y 2  2y  0 yy  2   0 y1  0 y2  2

2P) Calcular volumen 2

v

  x

2

dy

0

2





2

v   2y  y 2 dy 0

2





v   4y 2  4y 3  y 4 dy 0

2

5  4y 3 4 x  y   v    3 5 0 

 32  16  32  5  3

v   

160 - 240  96  v     15  v

16 3  u 15


120

5) Calcular el volumen por el área definida por una circunferencia de radio r en el eje x.

x2 + y2 = r 2 y2 = r 2 - x2 r

-r 



v   r 2  x 2 dx

r





v  2 r 2  x 2 dx 0

Calculo del volumen r



2

v  2 r  x

2

 3 r 3  v  2 r   3 

 dx

0

r

  v  2 r 2  dx   x 2 dx    0 1   v  2 r 2 x  x 3  3   2 r 3  v  2 r * r   3  0 

 2  v  2  r 3   3  v

4 3 3  r u 3


121

2

 x 2  2 y  1 2  b  a 

2

6) x 2  y 2  1 a

2

b

b a

-a

0

a

b 0

 x 2  2 V    1 2  b dx a  a

a

a

1P) Calcular el volumen

 x 2  2 V  2   1 2  b dx a  0 

2P) graficar

 x 2  2 V  2  1 2  b dx a  0  a  x 2  2 V  2b   1 2  dx a  0  a a  1 2 V  2b    dx  2  x 2 dx  a 0 0  a  1 x 3  2 V  2b   x  2   a 3 0   a 3  2  V  2b   a   ( 0 )  2  3a      a V  2b 2  a   3   2a  V  2b 2    3 a

V

4 2 3  a b u 3


122

7) Calcular el volumen generado por una arcada de la Senoide y = 4 Sen . Trazar gráfica. 1P) Calcular el volumen

2P) graficar





V   y 2 d 0

 2 V    4 Sen  d 0





V   16 Sen2 d 0

π

0



1 1  V  16    Cos 2( ) d 2 2  0



  1  1 V  16    d   Cos 2 d  2 0 02 

 1 1   V  16    Cos 2  2 d   2 2 2 0  

 1  V  16    Sen 2  2 4 0

 1  V  16    Sen 2( ) 2 4   1  V  16    Sen 2(0) 2 4   

V  16    2 V  8  2 u3


2π

123

8) Calcular el volumen generado por una arcada de la Senoide y = 2 Sen 2 . Trazar gráfica. 1P) Calcular el volumen

2P) graficar

 2



V   y 2 d 0

 2



2

V   2 Sen 2  d 0

 2



V   4 Sen2 2 d

π

0

0

 2

1 1  V  4    Cos 2(2 ) d 2 2  0 



π

π

3π

4

2

4

  2   1 1   V  4    d   Cos 4 d  2 2 0  0     2 1  1   V  4    Cos 4 4d   2 24 0   

 1 2 V  4   Sen 4  2 8 0    2 1   V  4    Sen 4  2 2 8    1  V  4    Sen 4(0) 4 4   

V  4   4 V   2 u3


124

9) Calcular el volumen generado por una arcada de la Senoide y = 6 Sen3 . Trazar gráfica. 1P) Calcular el volumen

2P) graficar

3



V   y 2 d 0

3



2

V   6 Sen 3  d 0

 3



V   36 Sen2 3 d 0

 3

1 1  V  36    Cos 2(3 ) d 2 2  0 



  3  3 1  1  V  36    d   Cos 6 d  2 0  0 2     11 3    V  36    Cos 6 6d    2 2 6 0 

0

π

3

2π  120 3



1  3 V  36   Sen 6   2 12 0 

    1   V  36   3  Sen 6  3 2 8     1  V  36    Sen 6(0) 6 4    

V  36   6 V  6 2 u 3


125

10) Calcular el volumen generado de una arcada de la Cosenoide y = 5 Cos 1P) Calcular el volumen

2P) graficar



2



2

v  2 5 Cos θ  dθ 0



2



v  2 25 Cos 2

θ dθ

0



1 1  v  50    Cos 2θ  dθ 2 2  0 2





1 1 2 v  50    dθ   Cos2 θ dθ 2 2 0



π

π

2

2

π

3 π

2



 θ 1 Cos2 θos2  2 v  50     2 4 0





θ

1 2 v  50    Sen2θ 2 4 0

   2 1    0 1  v  50    Sen 2     Sen20  2  2 4  2 4     1  v  50    Sen  4 4     v  50    4 v

25 2 3  u 2

11) Calcular el volumen generado de una arcada de la Cosenoide y = 5 Cos 4 v

25 2 3  u 8


126

A) Significado geométrico

Dado : dy  f '( x ) dx

 dy   f '( x ) dx 

y  f ( x )  C  familia de curvas

y=f(x)+C

x=f(y)+C

C=2

C = -4

C=3

C = -3

“C”

Para determinar a una curva en particular se necesita conocer el valor de bajo los datos de un punto P(x ,y) de la curva. y = x2 + 2

P(x,y)

P(x,y)

C=2 C=1

x = y2 + 1

Es decir, geométricamente la constante de integración “C” nos determina el punto de intercepción de la curva f ( x ) con respecto los ejes, según sea su estructura. Ejemplos:


127

1.- Dado el diferencial dy = 2dx , determinar la ecuación de la familia de curvas y la ecuación de la curva que pase por el punto A (1 , 3). Trazar grafica 1. Determinar la Ecuación de la familia de curvas

4. Grafica

 dy =  2 dx  dy = 2  dx y = 2x + C 2. Calcular la constante de integración y = 2x + C 3 = 2(1)+ C



C=1

3. Determinar la ecuación de la curva y = 2x + C = 2x + 1

2.- Dada la derivada

dy  4 x , determinar la ecuación de la familia de curvas y la dx

ecuación de la curva que pase por el punto B(0 ,2). Trazar grafica 1. Determinar la Ecuación de la familia de curvas

f´(x)=



dy = dx dy = dx

4. Grafica

dy Δy y 2 - y1   m dx Δx x 2 - x 1

m

  4 x dx  dy = 4  x dx x 11 y4 C 2 y = 2x 2 + C

2. Calcular la constante de integración y = 2x 2 + C 2 = 2(0) 2 + C C=2 3. Determinar la ecuación de la curva y = 2x 2 + C = 2x2 + 2


128

3.- Dada la pendiente m = 6x - 4 , determinar la ecuación de la familia de curvas y la ecuación de la curva que pase por el punto P (-1 , 8 ) . Trazar grafica 1. Determinar la Ecuación de la familia de curvas

4. Grafica

 m = (6x- 4)

 dy = (6x- 4)dx





y = 6 x dx - 4 dx

x 1 1 y 6 - 4 x  C 2 y = 3x 2 – 4 x + C 2. Calcular la constante de integración y = 3x 2 – 4 x + C 8 = 3 (-1) 2 – 4 (-1) + C 8=3+4+ C 8=7+C C = 8 – 7

C=1 3. Determinar la ecuación de la curva y = 3x 2 – 4 x + C

y = 3x2 – 4 x + 1

B) Significado físico l.- Velocidad inicial

C = Vo

Físicamente la constante de integración nos determina la velocidad inicial de un cuerpo en movimiento, si se conoce la ecuación de velocidad y dos condiciones dadas.


129

Ejemplo: 1.- Determinar la velocidad inicial del móvil, cuyo diferencial de velocidad es dv  (3t2  2t)dt , para v = 20 m/s y cuando t = 2 s .

1. Determinar la Ecuación de la familia de velocidades. 2. Calcular la Velocidad inicial.

C = Vo

dv  (3t  2t)dt 2

v = t 3 - t 2 + Vo





v = 3 t 2 dt  2 t dt

20 = 8 - 4 + Vo

v = t3 - t2 + C

Vo = 20 - 4 = 16 m

s

3. Determinar la ecuación de velocidad.

v = 3 t 3 – t 2 + 16 2.- Determinar la velocidad inicial del móvil, cuyo diferencial de velocidad es dv = (6t2  4t)dt, para v = 30 m/s y cuando t = 3 s . 1. Determinar la Ecuación de la familia de velocidades. 2. Calcular la Velocidad inicial. C = Vo

 dv = (6t  4t)dt v = 6 t dt  4 t dt 2

30  2(3)3  2(3)2  C 30  2(27) 2(9) Vo 30  36  Vo

3

v  2t 3  2t 2  C 3. Determinar la ecuación de velocidad.

v=

2t 3 – 2t 2 -

Vo  6 m

seg

6

ll.- Posición inicial

C = Xo

Físicamente también la constante de integración, nos determina la posición inicial de un cuerpo en movimiento, si se conoce la ecuación de desplazamiento y dos condiciones dadas. Ejemplo:


130

1) Determinar la posición inicial del móvil cuya velocidad inicial es v = t 2 + t , para x = 30

m. y cuando t = 2s. 1. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos



2. Calcular la posición inicial

t3 t2 x =   Xo 3 2 8 30 =  2  Xo 3 14 30  Xo 3 76 = Xo 3 Xo = 25.3 m.

d v= t dx v dt dx  t2  t dt dx  (t2  t)dt

 x  t

2

 dt   t  dt

t3 t2  C x = 3 2 3

Determinar la ecuación de velocidad.

t 3 t 2 76 x =   3 2 3 Xo = 25.3 m 10

20

30 m.

Avanza 4.7 m en 2 seg.

2.- Un electrón se desplaza de acuerdo a la velocidad v = 2 – 6t 2. Calcula su posición inicial en el instante t = 3 s. y x = 50 m. 1. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos

2. Calcular la posición inicial 50 = 2 (3) – 2(3)3 + Xo

v

d t

50 = 6 – 54 + Xo 50 = -48 + Xo

dx  2  6t2 v dt

Xo = 98 m

 dx  (2  6t ) dt 2

x = 2 t – 2 t3 + C


131

3.- Un móvil se desplaza de acuerdo a la velocidad v = 4t – 2 . Calcula su posición inicial en el instante t = 3 s. y x = 60 m. 1. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos

2. Calcular la posición inicial 60 = 2 (3) 2 – 2 (3) + Xo

v v

d t

60 = 18 – 6 + Xo

dx  4t  2 dt

60 = 12 + Xo

 dx   (4t  2) dt

Xo = 48 m

x = 2 t 2 – 2 t + Xo 3

Determinar la ecuación de velocidad. x = 2 t 2 – 2 t + 48

4.- Una partícula se desplaza de acuerdo a la ecuación de aceleración a = 6t 2 + 4t . Calcular la velocidad y posición inicial, para v = 22 m/s . x = 16 m en el instante t = 2 s. 1. Determinar la Ecuación de la familia de velocidades.

a

Se sustituye el t = 2 s. y la v = 22 m/s.

v dv   6t 2  4t t dt dv  (6t2  4t )dt



 v  6  t dt  4  t 2

22  2 (2)3  2 (2)2  Vo 22  16  8  Vo

dt

t3 t2 4 V 3 2 v  2 t 3  2 t 2  Vo v 6

3. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos 3

2. Calcular la velocidad inicial.

22  24  Vo Vo  22 - 24 Vo  2 m / s.

4. Calcular la posición inicial. Se sustituye el t = 2 s. y la x = 16 m.

2

v  2t 2t 2 dx v  2 t3  2 t2  2 dt

 dx  (2 t  2 t  2) dt x  2  t 3 dt  2 t 2 dt  2 dt 3

2

t4 2 3 x   t  2t  Xo 2 3

(2)4 2 3 16   (2)  2(2) Xo 2 3 16 16   4  Xo 16  2 3 16  4  Xo 16  8  3 20 Xo  m. 3


132

5.- Calcular la velocidad y posición inicial de un electrón cuya ecuación de aceleración en un circuito eléctrico es la siguiente: a = 3t 2 + 2t , para un registro de velocidad v = 80 m/s . en un tiempo t = 2 s. y para un registro de desplazamiento x = 145 m.

1. Determinar la Ecuación de la familia de velocidades.

a

80  (2)3  (2)2  Vo

v dv   3t 2  2t t dt dv  (3t2  2t )dt







80  12  Vo



v  3 t 2 dt  2 t dt

Vo  80 - 12

t3 t2 v 3 2 V 3 2 v  t 3  t 2  Vo

Vo  68 m / s.

3. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos

v  t 3  t 2  68

v

dx  t 3  t 2  68 dt

 dx  (t 

3

 t 2  68) dt





x  t 3 dt  t 2 dt  68 dt t4 t3   68t  Xo x  4 3

2. Calcular la velocidad inicial. Se sustituye el t = 2 s. y la v = 80 m/s.

4. Calcular la posición inicial. Se sustituye el t = 2 s. y la x = 145 m.

(2)4 (2)3 14 5    68(2) Xo 4 3 16 8 14 5    136  Xo 4 3 8 14 5  4   136  Xo 3 8 14 5  140   Xo 3 8 5  Xo 3 15 8 7 Xo   m. 3 3 3


133

6.- Una partícula se desplaza de acuerdo a la ecuación de aceleración a = 3 cm/s2. Calcular la velocidad y la posición inicial, si su velocidad es de v = 3 cm/s en el instante t = 4 s. y su posición es de x = 20 cm.

1. Determinar la Ecuación de la familia de velocidades v t dv a 3 dt

3. Determinar la Ecuación de la familia de desplazamientos. v = 3t – 9

a 

v v

 dv   3 dt

dx  3t-9 dt

 dx  (3 t - 9) dt

v = 3t + Vo

x 

2. Calcular su velocidad inicial Se sustituye el t = 4 s. y la v = 3 cm/s. 3 = 3(4) + Vo 3 = 12 + Vo Vo = - 9 cm/s

d t

3 2 t - 9 t  Xo 2

4. Calcular la posición inicial Se sustituye el t = 4 s. y la x = 20 cm/s. 3 (4)2 - 9 (4) X o 2 20  24 - 36  X o 20 

20  - 12  Xo Xo  36 cm


134

FORMULAS BÁSICAS 1 ) dx = x + C 



( a es una constante )

x n + 1 C 2´) x n dx = a





2) a dv = a dv

n +1

3 ) (ds + dt - dw ) = ds + dt - dw     4)

v n+1

C  n +1 5 ) dv  Ln v  C v 6)

v n dv =

e

v



16 )  Sec v Tan v dv = Sec v + C 17 )  Csc v Cot v dv = - Csc v + C 18 ) 19 )

Para n ≠ -1

20 ) v



7 ) av dv 

dv = ev + C

a +C Ln a

8 )  Sen v dv = - Cos v + C 9 )  Cos v dv = Sen v + C

21 ) 22 )

dv 1 v = Arc Tan + C 2 a a a

v

2

v

2

a

dv 1 v-a = Ln +C 2 2a va a dv 1 av = Ln +C 2 2a av v

2

dv



a2 - v 2 dv



v a 2

10 )  Tan v dv = - Ln Cos v + C = Ln Sec v + C 23 ) 11 )  Cot v dv = Ln Sen v + C 24 )

12 )  Sec v dv = Ln Sec v  Tan v + C 13 )  C sc v dv = Ln Csc v - Cot v + C

15 )  Csc v dv = - Cot v + C 2

26)



POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS

( Utilizarlas para





1)  Sen n v dv = - Sen 

2)  Cos n v dv = Cos

+ n  1  Sen n - 2 v dv

n 1



dv a2  v 2

=

-

1 v Arc Sec + C a a 1 a  a2  v 2 C Ln a v

v a2 v a2  v 2  ArcSen  C 2 2 a

a2  v 2 dv =

v 2  a2 dv =

v 2

v 2  a2 

n



a2 Ln v  2

v 2  a2  C

5 ) 

n 1

4)  Cot n v dv = - Cot 



n 1

n



v Senv + Cos n - 2 v dv n n n 1 Tan n v dv = Tan v - Tan n - 2 v dv n 1







3)

v Cosv n

v + v 2  a2  C

= Ln

2

v +C a

 u dv = u v -  v du

INTEGRACIÓN POR PARTES

n1

v a 2

v



14 )  Sec2 v dv = Tan v + C

2

dv

v

25 )

= Arc Sen



v

n 1

-  Cot n - 2 v dv 

n 2

5)  Sec n v dv = - Sec 

v Tanv + n  2 n 1 n 1

 Sec n - 2

v dv



6) Csc n v dv = - Csc

n2

v Cotv + n  2 Csc n - 2 v dv n 1 n1



SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Triángulo:

Relación 1: a

v

z 2

2

a v

a2  v2

v

z

a v

v

2

 a2

z

a

Relación 2:

Procedimiento :

v = a Sen z dv = a Cos z dz

a2  v2 = a Cos z

Una vez obtenidas las relaciones 1 y 2, se sustituyen en la integral original y se simplifica.

v = a Tan z dv = a Sec2 z dz

a2  v2 = a Sec z

Posteriormente auxiliándose de una identidad trigonométrica para la solución de la integral.

v = a Sec z dv = a Sec z Tg z dz

v2  a2 = a Tan z

Por último se procede a un Regreso de variable.


135

ÁREAS

Y

VOLÚMENES

b

A



 y dx

A  x dy

a

  y

a

b

y2

b

2

V

dx



x 2 dy



a

a

ÁREA EN COORDENADAS POLARES

b



A  (y 2  y1 ) dx a

a

b

V

y1

b

Los límites de integración se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones.

LONGITUD DE ARCO

b

L

 a

b

(1 y  2 ) dx

L



(1 x  2 ) dy

a


dL dx

dy

136

PRIMERA EVALUACIÓN Resolver las siguientes integrales, haciendo las trasformaciones algebraicas necesarias para reducir la integral a una forma inmediata.



1) x dx  4

2)

 ( x

3)

 x

4) 5)

3

x

5

 C

5

 4 x  2 x  1)dx  2

dx



2

1

x





dx 3

x

3



4



4

4 x 3

3

 x 2  x  C

 C

z 2 / 3 z 5 / 3  C dz  3 5 3 x

x

2

 C

2

 x x 2 2  2 3 dx   4 x  C x  6)   x   2 3 4 x   7) 8)



3

3t dt 

d 



2

3

(3t ) 4 4

 C

 2  C

9)   2 x 

1 

 

2 2 x

( 2 x  3)  C  dx  3 2 x  4 3 x 7  2 7   2  2 x 2  C 10) x  6 x  4  4  dx  2 x 2 x   x 4 2 x 3 x 2 2    C 11) x ( x  1) dx 

 

12) 13)





4

x ( a  x ) 2 dx 

3 2 3

2

a x 3  x 2 a 

2 5

x 3  C

y  5 y  4 y 4  5 y   C dy  2 y y 2

14)



15)



3

2

4 x 2  2 x

2

dx  2 x 2  4 x  C

x (t  1) (t  2) dt

t



2 5

t 5 

2 3

t 3  4 t  C


137

16) 17)



(a  x) 3 dx 

dx

 ( x  1)

18)



19)

 (2  x

20)



21)



3

1 4

1 2( x  1) 2

a  bx dx 

3b (2  x 2 ) 3



1  y 4 y 3 dy



x 2  2 x  4

 C

2 (a  bx) 3

) 2 x dx

2

( x  1) dx



(a  x) 4  C

6

1 6

 C

 C

(1  y 4 ) 3

 C

 x 2  2 x  4  C

3

4

 1  dx 1  1  22)  1   2  1    C 4  4   x  x 23)

x n  1 dx



x n 1

x n (1  x )

24)



25)

(

x

3

 x n  1     C  3n  x n 

2

dx 

2

2 3

(1  x )

a  x ) dx  ax  2

3

 C

4 x ax 3



x 2 2

 C

Sen 4 x  C Sen x Cosx dx  4 dz  ln ( z  1)  C z  1 t dt  ln 2b (a  bt 2 )  C 2 a  bt ( y  1) dy  ln ( y 2  2 y  2)  C 2 y  2 y  2

26)



27)



28)



29)



30)

 1  Cos x  ln (1  Cos x)  C

Sen x dx

31)



32)



33)

3

x 2  2 x  2 x 2  ln ( x  2) 2  C dx  2 x  2 x  4 x dx   ln 4 (2 x  3)5  C 2 x  3 2

e x  1

e

x

1

dx  ln (e x

 1) 2  x  C


138

34)

a



 x

35) e

a 4 x

dx 

4 x

dx 

x

4 ln a

e x 

 C

x



 C

a

2 x



2 x

36)

 (e

37)



e (  x

38)



eSen x Cos x dx  eSen x  C

39)

e

a

e 2

2)

dx

1

x

) dx 

a 2

(e a

2 1

x dx  

2

e

e ( x

2

 2)

)  2 x  C

a

 C

 x  ln (1  e x )  C

40)



41)



42)



43)



a x e x a e dx   C Ln a  1 1 Sen 2 x dx   Cos 2 x  C 2 x x Cos dx  2 Sen  C 2 2 x  1 1 x   Sen 3 x  Cos 5 x  Sen  dx   Cos 3 x  Sen 5 x  2 Cos  C 2  3 5 2 

44)



Sec 2

x

x



3

d   3 Tg



3

 C

1 3 x dx   Ctg 3x  C 3 1 46) x 2 Sec 2 x 3 dx  Tg x 3  C 3

45)

 Csc

2



dx

47)

 Cos x  Tg x  C

48)



2

b Sec ax Tan ax dx 

b a

Sec ax  C

Cos x dx

 Sen x   Csc x  C 50)  Sec ax dx  Ln a (Sec ax  Tg ax)  C v  51)  Csc v dv  Ln   Tg   C  2  49)

2

 x 2  x 2 52) x Ctg   C dx  Ln  Sen 2 2  



53)

 (Tg   Cot  )

2

d   Tg   Ctg   C


139

 (Sec   Tg  ) d   2 (Tg   Sec  )    C dx x   x 55)   2 Tg  Sec   C x 2   2 2

54)

1  Sen

2

dx

1  Cos 3 x

56)

 1  Cos 3 x

57)



 C 3 Sen 3 x x x a x a x Sec 2 Tg dx  Sec 2  C  T an 2  C a a a a 2 2



Sec 2 3 x dx  Ln 3 (Tg 3 x )  C Tg 3 x

58)



Sec 2 d 

59)



60)



61)



1  2 Tg 

 1  2 Tg   C

eTg 2 x Sec 2 x dx 

Cos 4 x Sen x dx 

1

1 Tg 2 x e 2

Cos x  C 5

5 dx  x  2  62)  x 2  4  Ln4  x  2   C dx 1 x 63) Arc Tan  2 5  x 5 5



64)

dt

 4  9t

2

e 2 x dx

65)

1 e

66)



67)





2

 Ln ( s  s 2  16 )  C  Arc Sen

Sec 2 x dx

 x

71)

2

25  y

69)



1

 Arc T g e 2 x  C

s 2  16 dy



 C

 2  3t   Ln 12    C  2  3t 

ds

68)

70)

4 x

 C

5

 C

1

1  4 T g 2 x

dx

y

 Arc Sen (2 Tg x)  C 2

1

x 4  1

 Arc Sec x 2  C 2

x

1 2 1  4 x  Arc Sen 2 x  C 2 4 x x 2  16 dx  x 2  16  Ln ( x  x 2  16 ) 8  C 2 1  4 x

2

dx 


140

72)



73)

4 x 2  9 dx 

x

x 2

x



4

 1 dx 

9 4 x 2  9  Ln (2 x  4 x 2  9 )  C 4

2

x 2  4  Ln ( x  x 2  4 )  C

4

Resolver las siguientes integrales completando el Trinomio Cuadrado Perfecto  x  1   C    x  3  1 (x  1) 3

dx  Ln  4x  3

74)

x

75)

 3x

76)



77)



78)



dx  Arc Tg C  6x  5 6 2 dx  Ln 2x  1 1 x  x 2  C 2 1 x  x dx  Arc Sen (x  1)  C 2 2x  x x 1 x 1 C 3  2x  x 2 dx  3  2x  x 2  2 ArcSen 2 2

79)



x 2  8x dx 

80)



 x  3   C 27  6x  x 2  3 Arc Sen      6  27  6x  x 2

81)



82)

x

2

2

1 (x  4) 2

x 2  8x  Ln (x  4 

x 2  8x )8  C

x dx

(2x  1) dx 3x  6x  1 2



2 3

3x 2  6x  1 

1 Ln 3

x  1  3x 2  6x  1  C

(4x  3) dx 15  x  3  C  2 Ln (x 2  6x  13)  Arc Tg   2 2  6x  13  2 

SEGUNDA EVALUACIÓN MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

l ) Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la Integración por Partes. 1)

 Ln x

dx  x ( Ln x  1)  C



2 2 2) Ln x dx  x Ln x  2 x Ln x  2 x  C


141

x 3 x 3  C 3) x Ln x dx  ln x  3 9



2



4) x 2-x dx  

x Ln 2  1 x

2

2 Ln 2

 C



5) x Cos x dx  x Sen x  Cos x  C 1 x Tg 3 x  ln ( Sec 3 x )  C 3 9 x e (Sen x  Cos x)  C 7) e x Sen x dx  2



6) x Sec 2 3 x dx 



8)



9)

 t

2



S en (Ln  ) - C os (Ln  )   C 2 2 2 Cos at 2t Sen at t Cos at

S en (Ln  ) d   Sen at dt 

a3 2



10) x 2 1  x dx  

105





a2



 C

a



(1  x) 3 / 2 15 x 2  12 x  8  C

ll ) Integración de diferenciales Trigonométricas no Inmediatas. 

Sen 2

1)



2)

 Sen  d  

3)

 Cos x dx  Sen x 

4)

 Cot x dx  

5)

 Sen

4

6)

 Sec

4

7)

 Csc

8)



9)

Cos 2 d   3

2



4

Cos3 3

 Cos   C

5

3

5

4

2 x dx  2 x dx 

2 Sen3 x

5

 C

 ln (Sen x)  C 2 3 x Sen 4 x Sen 8 x 



8 Tg 2 x

2 x dx  

8 64 Tg 3 2 x   C 2 6 Cot 2 x Cot 3 2 x 2



6

 C

 C

5  5  5 Sen3 x Cos3 x dx  Sen3 x  Sen x  Sen3 x   C 18  8 

Sen3 x dx





3

Sen5 x

Cot 2 x

 1  Cos x  Cos x 

10)

 C

Cos 2 x 2

 C

2 Cos x Sen 2 x dx   Cos 3 x  C 3


142

Cos3 x dx

Cos3 x

11)



12)

 Sen x Cos x

13)



14)



15)

 Cos 4 x Cos 2 x dx 

16)

 Cot x Csc x dx  

17)



 Csc x 

Sen4 x

 C

3

Sen 8 x    3 x  Sen 4 x    C 128  8  x x x Sen 2 x  C Sen 2 Cos 2 dx   2 2 8 16 Sen x Sen 5 x Sen 2 x Sen 3 x dx    C 4

3

1

dx 

4

4

2 Sen 2 x 4

Cot 4 x





4

10 Sen 6 x 12

Cot 6 x 6

 C

 C

Sec x Tg x dx  2 Sec x  C

Sen 2 d  Tg 3   C 18) Cos 4 3



lll ) Integración por Sustitución Trigonométrica. 1)



2)



3)

4) 5)

6)

7)

25  x

x 2 dx ( x

 8)

2

3

a  x x dx 2

dx 9  4 y

 x

a 2 x

2

3

x  9

3

a  x

2

2

9  4 y 2  3 2 y

3



x 2  9 18 x

dx 

2

1 5

x  8

 (a

1 54 2

2

 C

 C

12 (4  x 2 ) 3

  ln

x

 1)  C

 C

x 3

1

dx

2



 25  x 2  C

ln ( x  x 2

2

a 2  x 2



2

(4  x 2 ) 5

 y

1

 ln x 2  8  x 

dx 2

x 2  1 

2

2

x

2





x

x 2  1 dx 

 x

8) x

dx  5 ln

x



5  25  x

2

 C

Arc Sec

 x )  2 5

x 3

a2 3

 C (a

2

 x 2 )3  C


143

9)

dx



 ln

x  4 x  13 2

x  2  x 2  4 x  13 3

 C

lV ) Cambios de Variable. Verificar los siguientes integrales, efectuando un cambio de variable para racionalizar el integrando. 1)



dx  2 x  44 x  ln ( 4 x  1) 4  C 1/ 2 1/ 4 x  x 1  x

2)

 1

3)







dx   x  4 x  ln (1  x ) 4  C

x 3/ 2  y1/ 3 y

4

dy 

1/ 4

y

9

y 9 / 4 

12 13

y13 /12  C

Casos especiales:

4) 5)

ds

 3

s  2

t  1  1



 2 s  2  ln (3  s  2 )6  C

t  1  1

dt  t  1  4 t  1  ln ( t  1  1) 4  C

V ) Integración de Fracciones Racionales por Descomposición de Fracciones Parciales. 1)

x  2

 x

dx

2)

 x

3)

 4 x

4)

5)

6)

dx  ln

 x

2

 x

3

 ln

x

 x 

2

 8 x  3 x

 3 x  2

2 x3  x 2

4

( x 2  4)2

y 4  8

 y

3

 2 y

2

 C

 C 1

(2 x  1)(2 x  3)

2

x 2

  ln

2

3 2 ( x  x ) dx

x  1

x 2  1

(4 x  3) dx 3

x 2



x 2 2

 C

 4 x  ln ( x 1) 2  ln ( x  2)12  C

1 x 4 dx  ln ( x 2  4)  Arc T g  2  C 2 2 x  4

dy 

y 2 2

 2 y 

4

y

 ln ( y 2  2 y ) 2  C


144

7)

x dx

 ( x  1) ( x  1)



2

 x  1   ln 4    C 2( x  1)  x  1  1

Casos especiales:

8)

9)

x 2  8 x  7

 ( x 

2

 3 x 10)

2

dx 

8 49( x  5)



27 49( x  2)



30 343

ln

x  5 x  2

 C

dx 1 x2  x 1 3 2x  1   ln  C Arc Tg 3 2 2 2 3 x x x x 3

TERCERA EVALUACIÓN l)

Integral Definida

a) Verificar las siguientes integrales. 4

1)

dz



z

1



2

2

4)

 Cos  d   1 0



2

2)



( 2  x) dx  6

5)



Cos x Sen x dx 



0

2

10

3)

dy

 y  2

2

 ln 2

6)

6

 t

2

2

dt

4





4

b) Verificar las siguientes integraciones por racionalización. 4

1)

 1 0

4

dx x

 4  2 ln 3

2)

 1

y dy 2  4 y



5 3

2

ll) Aplicaciones de la Integral Definida


1 2

145

a)

Cálculo de Áreas Planas

En los ejercicios siguientes, hallar por integración el área del eje que se indica. Trazar gráfica. Resp. 1) Encontrar el área limitada por la parábola x = 2y - y 2, en el eje oy.

A 

4 3

u2

9 A  u 2 2

2) Calcular el área limitada de la parábola y = 2 – x - x2, en el eje ox. 3) Hallar el área limitada por la parábola y = x2 y las rectas x = 2, x = 5.

A  39 u 2

5 2 u 6

4) Hallar el área limitada por la parábola y = 5 - x 2 y la recta y = x – 1

A  20

5) Hallar el área limitada por las siguientes curvas y2 = 4x y x2 = 6y.

A  8 u 2

6) Hallar el área de una arcada de la cosenoide y = 2 Cos x .

A  4 u 2

7) Encontrar por integración el área de un círculo de radio 3.

A  9 u 2

6)

b)

Cálculo de Sólidos de Revolución

En los ejercicios siguientes, hallar por integración el volumen del sólido haciendo girar la superficie limitada alrededor del eje x. Trazar gráfica. Resp.

1) De un cono recto de radio 3 cm y altura 5 cm.

V  15 cm3

2) De la esfera que se engendra, haciendo girar un círculo de radio 3 cm. V  36 cm3 1 3  u 30

3) De una parábola y = x2 - 5x + 6 .

V 

4) De una elipse 9x2 + 16y2 = 144.

V  48  u 3

5) De una arcada de la senoide y = 2 Sen 3x .

V 

6) De una arcada de la cosenoide y = 4 Cos 2x.

V  4 2 u 3


2 3



2

u3

Apuntes de Calculo Integral

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