Teoria Autovalores y Autovectores

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL DELTA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

El tema que nos ocupa hoy es autovalores y autovectores. Pero antes vamos a mencionar algunos problemas que se presentan en matemática, en otras ciencias, en ingeniería, que para ser resueltos fue necesario la definición de nuevos conceptos que permiten hallar una respuesta viable a los mismos. A saber entre otros:

La necesidad de obtener una fórmula explícita de las sucesiones que se definen por recursión. Sea ∑ = {a, b} alfabeto se quiere calcular las palabras de cierta longitud

n que no contengan aes consecutivas. An ⊆ ∑ n , A0={ ε }, A1={a,b}, A2={ab, ba,bb}… se deduce que es sn= sn-1 +sn-2. Pero se necesita su expresión explícita

En el análisis de la conducta de los sistemas que modelizan el mundo real, uno de los enfoques más poderosos es determinar el denominado eigensistema de matrices involucradas en el modelado del sistema:

El estudio de los eigenvalores (autovalores, valores propios) y eigenvectores (autovectores, vectores propios) de matrices y TL es de fundamental importancia en matemática aplicada. Una de las razones es que esos conceptos surgen cuando los modelos se estudian desde diversos puntos de vista. Algunos a tener en cuenta: a) la singularidad de A - λ I, siendo λ es un parámetro, b) subespacios invariantes, c) representaciones sencillas de matrices, d) descomposición de matrices.

a) En los fenómenos oscilatorios (alas de un avión bajo fuerzas aerodinámicas, los vaivenes de la economía bajo las fuerzas del mercado, entre otros). Sea el siguiente ejemplo de dos masas suspendidas y acopladas, esa situación, como hemos vistos anteriormente responde a una matriz de 2x2 , M- ω 2 P, con M y P conocidas y se debe hallar el valor de ω tal que M- ω 2 P sea singular. Esto responde al modelo de hallar λ para que A - λ I sea singular.

b) Cuando dimos ejemplos de las cadenas de Markov con respecto a cómo se comportaba el mercado a lo largo del tiempo vimos que efectuábamos xi+1=Axi En situaciones reales los p elementos del vector xi pueden tener valores extremadamente grandes. Una técnica consiste en intentar partir el sistema que se está modelando en un conjunto de subsistemas más pequeños para manejarlos más fácilmente. Algebraicamente esto es encontrar un subespacio V0 de IRp de menor dimensión tal que Ax está en V0 si x lo está. Esto se llama subespacio invariante de A y TL. La dimensión más sencilla de V0 es uno, para que sea generado por un solo vector x no nulo, con lo que Ax es un múltiplo de x, es decir Ax= λ x para algún λ . Esto significa (A- λ I)x= 0 con x ≠ 0 y así A - λ I es singular. λ es un eigenvalor de A y los vectores x ≠ 0 asociados a λ se llaman

eigenvectores. c) A través de los eigenvalores y eigenvectores de matrices de pxp se encuentran representaciones más sencillas de TL, basándonos en el teorema de cambio de base y la idea de matriz diagonal.

Algebra y Geometría Analítica

Autovalores y autovectores

d) Utilizar los eigenvalores y eigenvectores de matrices de pxp para la factorización de las mismas. Ahora si definimos los conceptos de eigenvalores y eigenvectores , que tienen sentido para cualquier TL de Ven V, nos restringimos a espacios de dimensión finita

Eigenvalores y polinomios característicos. característicos. Los eigenvalores de una matriz A real o compleja de pxp, son los números reales o complejos λ para los que hay un x ≠ 0 tal que Ax = λ x. Observemos que Ax = λ x

⇔

λx = λI p x

Ax - λ Ip x = 0 ⇔ (A- λ Ip) x = 0 sistema parametrizado

homogéneo. Como x ≠ 0 entonces det (A- λ Ip) = 0 (ecuación o polinomio característico) pues, (A- λ Ip) es una matriz singular. ¿Por qué sabemos que es un polinomio? ¿De qué grado es?

¿Cómo determinamos si dados vectores son autovectores asociados a una matriz dada?

1 6  − 6  3 , u =  , v =   . Debe existir un λ tal que Au = λ u. 5 2  5   2  1 6   − 6   24   − 6  − 6 .  =   = −4  = -4   , o sea λ =-4 Procedamos al cálculo de Au =   5 2   5   − 20   5   5  u es autovector de A. Procedemos análogamente con v : Por ejemplo A = 

 1 6   3  15   3  .  =   ≠ λ   , v no es autovector de A  5 2   2  19   2

¿Cómo determinamos si dado un escalar éste es un autovalor asociado a una matriz dada?

1 6 , λ = 7 . Armamos A-7I2 y calculamos su determinante, si da 0, 7 5 2

Por ejemplo A = 

es autovalor sino, no.

−6 6 , que da 0. Si resolvemos la ecuación homogénea (A5 −5  − 6 6 0  1 −1 0  ≈   . La solución general tiene la 7I2) x=0 se forma la matriz   5 − 5 0  0 0 0  1 forma x2   . Cada vector de esta forma con x2 no nulo es un autovector para λ = 7.  1 El determinante queda

2



El conjunto de todas las soluciones de (A- λ I)x=0 es el espacio nulo de la matriz A- λ I, o sea que es un subespacio de IRn y se llama espacio propio de A correspondiente a λ

También nos va a interesar hallar los autovalores y autovectores asociados a una matriz dada:

5 1  hallar λ y x. 6 0

Por ejemplo Sea A = 

Ax = λ x

 5 1  x1  x     = λ  1   6 0  x 2   x2  Como sabemos que sólo ve afectada la diagonal principal, determinamos los valores de λ que anulan al determinante

5−λ 6

1 λ = −1 = 0 ⇒ λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒  1 −λ  λ2 = 6

Calculamos los autovectores asociados, o sea hallamos el conjunto solución de: (A- λ Ip) x = 0, para cada autovalor:

6 10  − 6  . Análogamente o sea 6x1+ x2= 0 ⇒ x2= -6x1 ⇒ E λ1 =  6 10  1   1 con λ 2 = 6, obetenemos E λ2 =    1

λ 1 = -1, nos queda

El conjunto de esos autovectores forman una base de IR2 (¿por qué?)

Resumiendo el procedimiento para calcular valores y vectores propios: •

Se encuentra p( λ )= det(A - λ I).

•

Se encuentra las raíces λ 1, λ 2,…, λ r de p( λ ) = 0

•

Se resuelve el sistema homogéneo (A - λ iI) v = 0 correspondiente a cada valor de λ i

¿Importa el orden en que se establecen los valores propios?¿En qué influye el orden?

Teorema Suponga A pxp Entonces a) det(A- λ I) es un polinomio de grado p en λ , llamado polinomio característico de A b) El coeficiente λ p en f( λ ) es igual a (-1) pc) El coeficiente λ p-1 en f( λ ) es igual a (-1) p-1trA d) el término constante de f( λ ) es el det (A) Demuestre.

¿Qué ocurre si calculamos los autovalores de una matriz triangular, ya sea superior o inferior?

3



... a1n   a11 − λ   .. a 2 n   0  − λI =  ...    0 ... a nn  

a1n   a 2n   y su determinante es el  0 0 ... a nn − λ  producto de su diagonal principal , o sea (a11 - λ ) (a22 - λ )…(ann - λ ) . Con lo cual los  a11   0  ...   0 

a12 a 22

a12 ... a 22 − λ ...

autovalores coinciden con los valores de los elementos de su diagonal principal, pues anulan al determinante (A- λ I). Teniendo en cuenta que el det(A- λ I) es un polinomio de grado n, si A es de n.n , nos queda det(A- λ I)= (λ1 − λ )

que

m1

(λ2 − λ )m ...(λr − λ )m , r ≤ n 2

r

m1 + m2+ … + mr= n

¿Entonces qué significa que una matriz tenga un valor propio 0?

Esto es que A x = 0x tiene una solución no trivial. Pero es equivalente a afirmar que Ax = 0 es un sistema compatible indeterminado, o lo que es lo mismo a decir que el det(A)= 0. Entonces si la matriz A tiene un autovalor igual a cero es singular.

Teorema. Teorema. Si v1,v2,…,vr son los vectores propios que corresponden a distintos valores propios λ 1, λ 2,..., λ r de una matriz A de n x n entonces el conjunto de los vectores propios es li. H) v1,v2,…,vr son los vectores propios que corresponden a distintos valores propios λ 1, λ λ r de una matriz A de n x n

2,...,

T) {v1,v2,…,vr} es li d) Supongamos que {v1,v2,…,vr} es ld entonces hay un índice mínimo p tal que vp+1 es combinación lineal de los vectores (li) precedentes y existen escalares α1, …, αp tales que α1v1 + α2v2+… + αpvp = vp+1

(1)

m.m.a.m por A y utilizando que Avk = λ kvk

α1Av1 + α2A v2+… + αPAvp = Avp+1 α1 λ 1v1 + α2 λ 2 v2+… + αP λ P vp = λ p+1vp+1 m.m.a.m la igualdad (1) por λ p+1 y restársela a la anterior tenemos: α1 ( λ 1- λ p+1 )v1 + α2 ( λ 2 - λ p+1 )v2+… + αp ( λ P - λ p+1 )vp = 0 (2) como {v1, v2,…, vp} es un conjunto li todos los pesos, o sea los escalares de (2) son todos ceros. Pero ninguno de esos factores λ i - λ p+1 son cero, porque los valores propios son distintos. De ahí que αi = 0 para i= 1, 2, .., p . Pero entonces de (1) vp+1 =0, lo que es imposible. Por lo tanto {v1,v2,…,vr} es li

4


2  0 A = 0  0  0


Observemos la siguiente matriz y calculemos sus autovalores y autovectores.

0 0 0 0  1 1 0 0 0 1 0 0  como A es una matriz diagonal sus autovalores son los elementos  0 0 2 0  0 0 0 1

de su diagonal principal y el polinomio característico es : det(A- λ I)= (2- λ )2(1- λ )3 Calculemos los autovectores asociados. Para λ =2

0 0 0  0 −1 1 0 0 −1  0 0 0 0 0 0 

0 0  0 0 0 0 ⇒  0 0 0 − 1

1  0 0  0 0 

0  0 0 ⇒  0 0 

x1 x2 x3 x4 x5

=h  1   0      =0  0   0  = 0 ⇒ E λ =2 =  0 ,  0      0   1  =k     =0  0   0 

Para λ =1

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

x1 x2 x3 x4 x5

=0  0   0      =h  1   0  = 0 ⇒ E λ =1 =  0 ,  0      0   0  =0     =k  0   1 

¿Qué es lo que ocurrió? Los valores propios en este ejemplo, son múltiples, y la dimensión del espacio propio correspondiente a λ 2 (nulidad de A- λ I) no coincide con la multiplicidad algebraica de su valor propio. Por ende, el conjunto de vectores propios en este ejemplo no es una base de IR5, sino de un subespacio en IR5. Entonces el número de vectores propios li no necesariamente es igual a la multiplicidad algebraica del valor propio correspondiente. Así que se define el concepto de multiplicidad geométrica como la dimensión del espacio propio correspondiente a λ , siendo λ un valor propio de de una matriz A, o sea es la nulidad de la matriz A- λ I. Esto es: Multiplicidad geométrica de λ = dim E λ = v (A- λ I)

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Multiplicidad geométrica de λ ≤ Multiplicidad aritmética de λ

¿Cuándo una matriz nxn tiene n vectores propios li?

Cuando la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a la multiplicidad algebraica. En particular, si los n valores propios son diferentes la matriz A tiene n vectores li (ya que…???)(ver teorema página 3)

 3 − 1  calcular los eigenvalores y eigenvectores. 1 3 

Dada la matriz A = 

 3 − 1 3 − λ −1    − λI =   ⇒ (3 − λ ) 2 + 1 = 0 ⇒ λ1 = 3 + i, λ 2 = 3 − i λ 1 3 1 3 −     Calculamos los eigenvectores.

− i −1 0 1 −i 0 − − − −

Para λ = 3 + i

1 −i 1 −i

O sea x1=i x2

 i  ⇒ E3+i =   1 i −1 0 1 i 0 − − − −

Para λ = 3 - i

1 i 1 i

O sea x1=-i x2

0 0

0 0

 − i  ⇒ E3−i =    1 

Entonces si la matriz es real y sus valores propios son complejos éstos son……

Ejercicios

 0,5 − 0.6   encuentre los valores propios y una base para cada espacio  0,75 1,1 

1. Sea A =  propio.

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 2

Además ver cómo afecta la multiplicación de A por ejemplo al vector   y 0 graficar las imágenes sucesivas de este punto bajo respectivas multiplicaciones por A. ¿Qué determina la transformación de x → Ax ? 2. Si x es un vector propio de A para un cierto λ , ¿proponga una expresión que permita calcular Anx. Demuestre por IC.

En el campo de la investigación, en muchas ocasiones se necesita modelizar matemáticamente sistemas dinámicos que varían en el tiempo.

Algunas características del sistema se miden a intervalos de tiempo discretos, produciéndose una secuencia de vectores x0, x1, x2,…Las entradas xk proporcionan información acerca del estado del sistema en el momento de la k-ésima medición. Si existe una matriz A tal que x1= Ax0 , x2= Ax1 en general xk+1 = Axk (1)para k =0, 1, 2, … entonces dicha expresión general se llama ecuación lineal en diferencias ( o relación de recurrencia). Si A es una matriz de nxn entonces (1) es una descripción recursiva de una sucesión de {xk} en IRn. Una solución de (1) es una descripción explícita de {xk } cuya fórmula para cada xk no depende directamente de A ni de los términos precedentes en la sucesión excepto el término inicial x0. La manera más sencilla de construir una solución de (1) es tomar un vector propio x0 y su valor correspondiente λ y hacer xk = λ kx0 (k = 1, 2, …) 1 Esta sucesión funciona, pues, Axk= A( λ kx0) = λ k(Ax0) = λ k( λ xo) = λ k+1x0 = xk+1

Ejemplo En los bosques de secuoyas de California, las ratas pie –pardo de bosque constituyen hasta el 80% de las lechuzas moteadas (depredador de la rata de bosque. Denótese a la

 Ok 

población de lechuzas y ratas de bosque en un tiempo k por x k =   donde k es el  Rk  tiempo en meses, Ok el número de lechuzas en la región estudiada y Rk el número de ratas medidas en miles. Suponga que

Ok+1 = 0,5Ok + 0,4 Rk RK+1 = -pOk + 1,1Rk p es un parámetro positivo por especificar. El 0,5 Ok dice que sin ratas de bosque para alimentarse, sólo sobrevivirá la mitad de las lechuzas cada mes, mientras que el 1,1 Rk de la segunda ecuación dice que sin lechuzas como depredadoras, la población de ratas aumentará en un 10% cada mes. Si hay abundancia de ratas, el 0,4Rk tenderá a hacer que la población de lechuzas aumente, mientras que el término negativo -pOk mide las muertes de ratas debidas a la depredación de las lechuzas. Determinar la evolución de este sistema cuando el parámetro de depredación es p=0,104.

1

Las combinaciones lineales de soluciones de esta forma también soluciones

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Verificar que los valores propios de la situación precedente para p= 0,104 son λ 1= 1,02 y

10   5 λ 2= 0,58 y sus respectivos vectores propios v1 =  , v 2 =   . Se puede escribir una x0 13  1 inicial como x0= c1v1+c2v2, por ser λ 1 ≠ λ 2 entonces v1 y v2 son base de IR2,Por otra parte x1= Ax0= c1 Av1+c2 Av2= c1 λ 1v1+c2 λ 2v2, …en general xk = c1 λ1k v1+c2 λk2 v2 (k= 0, 1, 2,…) 10   5 xk = c1 1,02 k   + c 2 0,58 k   13  1 Observamos que si k es un número suficientemente grande 0,58k tiende a cero, entonces xk

10  ≈ c11,02 k   (2). Así que esta aproximación mejora para k→∞ (suficientemente grande) 13  10  xk+1 ≈ c11,02 k +1   ≈ 1,02 x k 13  Indica que mensualmente el índice de crecimiento es del 2%. Por (2) xk es aproximadamente un múltiplo de

10    , esto es por cada 10 lechuzas hay 13 

aproximadamente 13000 ratas. Podemos generalizar que en un sistema dinámico xk+1 = Axk en el cual A es nxn y sus valores propios satisfacen que λ1 ≥ 1 y λ j < 1 , con j= 2,3,…,n y v1 es un vector propio de

λ1 . Si x0 está dado por la combinación lineal de los vectores propios (c1 ≠ 0 ) entonces para toda k suficientemente grande xk+1 ≈ λ1 x k y xk ≈ c1 λ1k v1 .Estas aproximaciones se pueden hacer tan cercanas como se quiera tomando k suficientemente grande. Además que las entradas de xk es casi igual a la proporción de las entradas correspondientes en v1 . Dejamos por un momento este tema y definamos: matrices semejantes y diagonalización Dos matrices A y B de nxn son semejantes semejantes si y sólo sí existe una matriz no singular C de -1 nxn tal que B = C AC. Esta función se llama transformación de semejanza (demuestre que es una TL) (T(A) = C1AC) Una definición alternativa es que A y B son semejantes si y sólo sí existe una matriz invertible C tal que CB = AC

2 1   4 − 2  2 − 1 , B =  , C =    0 − 1  5 − 3 −1 1 

Ejemplo muestre que A = 

A y B son semejantes. Teorema Si A y B son matrices semejantes de nxn, entonces tienen el mismo polinomio característico y por ende los mismos valores propios.

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Demostración det(B - λ I ) = det( C-1AC - λ I ) = det(C-1AC- C-1 ( λ I) C)= det(C-1(A- λ I)C) = det (C-1) det(A- λ I) det (C-1) = …..complete…. Definición Una matriz A de nxn se dice diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. (Tener en cuenta que si es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de su diagonal principal ¿por qué?)

Teorema Una matriz A de nxn es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios li En tal caso la matriz diagonal D semejante a A está dada por una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A . Siendo C la matriz cuyas columnas son los vectores propios li de A que cumple que D = C-1AC ¿Cuándo una matriz A n xn es diagonalizable? ¿Muchas matrices son diagonalizables?

Ejercicios. Ejercicios. 3. Diagonalice

 4 2    3 3 1 −1 4    b.  3 2 − 1  2 1 − 1    3 2 4   c.  2 0 2   4 2 3  

a.

d.

4 1   0 4  0 1

 4. Demuestre que si A es diagonalizable An= CDn C-1. Calcule A10, si A =   2 1  0,7 0,2   y vector de estado  0,3 0,8 

5. Sea una cadena de Markov de matriz de transición 

 0,6   muestre que los vectores de transición xk (Ak x0=xk) convergen al 0 , 4   vector de estado estacionario x0

inicial x0= 

6. En una caja se coloca una rata con tres compartimientos. La rata fue entrenada para seleccionar una puerta aleatoriamente siempre que se haga sonar una campana y pasar a través de ella hacia el siguiente compartimento

9



a. Si la rata se encuentra en el compartimento 1,¿cuál es la probabilidad de que se encontrará en el compartimento 2 después de que la campana suene dos veces?¿y tres veces? b. A la larga, ¿qué porcentaje de su tiempo pasará la rata en cada compartimento? c. Las potencias de la matriz de transición a qué matriz se aproximan2 7. Cierta especie de escarabajo alemán vive hasta tres años. Dividimos las hembras de los escarabajos en tres: menores (de 0 a1), jóvenes (de 1 a 2) y adultas (de 2 a 3). Las menores no producen huevos, cada joven un promedio de cuatro hembras y las adultas, de tres. 8. La tasa de supervivencia de las menores es de 50%, la de las jóvenes de 25% . Supongamos que comenzamos con una población de 100 hembras, 40 menores, 40 jóvenes y el resto adultas. Prediga la población dentro de 5 años.Encuentre la tasa de estado estacionario y las razones correspondientes entre las clases de edad de la matriz de Leslie3

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con bases B1 y B2. Sea la TL de V→V , con AT la representación matricial de la TL respecto de la base B1 y CT la representación matricial de la TL respecto de la base B2, entonces A y C son semejantes. Teorema Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces los valores propios son reales . Teorema Sea A una matriz simétrica real de nxn, si λ1 y λ 2 son valores propios diferentes con vectores reales correspondientes v1 y v2 entonces v1 y v2 son ortogonales. Demostración (A v1 ) v2 = ( λ1 v1 ) v2 = λ1 (v1 v2) (*) (A v1 ) v2 = (A v1 )t v2 = v1tAt v2 = v1tA v2 = v1 λ 2 v2 = λ 2 (v1 v2) (**) (*) y (**) son iguales y como λ1 ≠ λ 2 , v1 v2 = 0 Entonces v1 y v2 son ortogonales. (Justifique cada paso)

Teorema Sea A una matriz simétrica real de nxn, entonces A tiene n vectores propios reales ortonormales.

Definición Se dice que una matriz A de nxn es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que QtAQ =D, donde D es la matriz diagonal de A, donde los elementos de su diagonal principal son los valores propios de A ( Q es ortogonal si Qt = Q1)

2 3

Ver solución en apéndice I Er solución en apéndice II

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Teorema Sea A una matriz real de nxn, entonces es diagonalizable ortogonalmente si A es simétrica.

Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante Q Encuentre una base para cada espacio propio de A Encuentre una base ortonormal para cada espacio propio de A(proce4so de GramSchmidt) Escriba Q como la matriz cuyas columnas son los vectores propios ortonormales obtenidos en el paso anterior

Ejercicios .

 5 4 2    1 − 2  , B =  4 5 2  9. Diagonalice A =  − 2 3   2 2 2   La ecuación característica de A es det( A − λI ) = siendo sus raíces

1− λ

−2

−2

3−λ

= λ 2 − 4λ − 1 ,

2 ± 5 . El autovector asociado a λ1 = 2 − 5 , es

 2   , siendo v1 =  −1+ 5   2  1   u1 = − 1 + 5   10 − 2 5

su

módulo

10 − 2 5 .

Por

lo

tanto

1 − 5   (verifique v1v2= 0)  2  

Después para λ 2 = 2 + 5 , v 2 =  

1 − 5     2  10 − 2 5    2 1 −1+ 5    Qt = 1 − 5  2 10 − 2 5  

Su módulo 10 − 2 5 de manera que u12 =

Q=

 2 1− 5    −1+ 5  2 10 − 2 5   1

1

2 − 5  0

0   (verifique) 2 + 5  Calculamos la ecuación característica de B y sus raíces obteniendo λ1 = 1 (doble)  − 1  − 1     y λ 2 = 10. Los autovectores de λ1 son v1 =  1  y v 2 =  0  , para λ 2 es 0 2     Si efectuamos Q t AQ =  

11



 2   v3 =  2  . Aplicamos el proceso de Gram Schmidt a {v1, v2}. Como v1 = 2 , 1    −1     2  1  u1 =  2  0       −1  −1     3  2  −1 −1  Después v´2 = v 2 − (v 2 u1 )u1 = y normalizamos u 2 =   3  2   4  2        3 2   3 v3  2  Se verifica que u1u2 = 0. Entonces u 3 = = v3  3  1   3 −1 2 2  −1  3 3 2  1 − 1 2 2  calculemos Qt y efectuando Q= 3 3 2  4 2 1   0 3 3  1 0 0     0 1 0  (verifique)  0 0 10   

 2  2.   2  

QtBQ llegamos a

Formas cuadráticas y secciones cónicas. cónicas. Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es ax2+bxy+cy2= d con al menos uno de los coeficientes a,b o c distintos de cero. Una forma cuadrática en dos variables sin términos lineales es ax2+bxy+cy2=F (x,y) con al menos uno de los coeficientes a,b o c distintos de cero. Así por ejemplo: F (x,y) = x2-4xy+3y2

 1 − 2  x  x     = Avv  − 2 3  y  y 

F (x,y) = 

12



Se puede representar a F (x,y) por muchas matrices pero sola una simétrica. En nuestro

1 − 7   3 3 

ejemplo a11= 1, a22= 3 y a12 +a21=-4. Puede ser 

 a b / 2  , entonces Avv = b / 2 c  

Si ax2+bxy+cy2=F (x,y) es una forma cuadrática sea A =  F(x,y)

Para escribir la ecuación cuadrática es suficiente escribir Avv = d donde A es una matriz simétrica. Entonces va existir una matriz ortogonal Q tal que QtAQ=D siendo D lamatriz diagonal de los autovalores de A. Entonces A=QDQt Podemos escribir (QDQtv)v=d . Pero por propiedad del producto escalar (Av u = v Atu)

Q(DQtv)v= DQtv Qtv= d Entonces como Qtv es un vector de dos componentes : Dv´v´=d. Efectuando este producto, se obtiene una forma cuadrática en x´y y´sin término rectangular. En realidad x´y y´ son los ejes obtenidos al rotar los x y y un ángulo α en el sentido antihorario.

Ejemplos Sea la ecuación cuadrática x2-4xy+3y2= 6 Su ecuación es Ax x = 6 donde

 1 − 2  . En la página 9 en el ejercicio pedido, se la diagonalizó A =  − 2 3   2 1 1− 5    Q= 2 − 5 0    Entonces  con D =  − 1 + 5 2 10 − 2 5    2 + 5  0

 x′  1 x ′ =   = Q t x =  y′ 10 − 2 5

 2 − 1 + 5  x     y para las nuevas variables la 1 − 5 2  y   ecuación se puede escribir como 2 − 5 x ′ 2 + 2 + 5 y ′ 2 = 6 que corresponde a la

(

)

(

)

ecuación de una hipérbola. (por qué???????). Pues 2 − 5 es negativo. Repetir el procedimiento para 5x2-2xy+5y2=4. Idem para -5x2+2xy-5y2=4.

 a b / 2  entonces la ecuación cuadrática ax2+bxy+cy2= d es la Teorema Si A =  b / 2 c   ecuación de: 1. Una hipérbola si d no es cero y det(A)<0

13



2. Una elipse, circunferencia o sección cónica degenerada si d no es cero y det(A)>0 3. Un par de rectas u otra cónica degenerada d no es cero y det(A)=0 4. Dos rectas si d = 0 y det(A) no nulo y una recta si d= det(A) = 0 Análogamente para ecuaciones cuadráticas de más de dos variables.

Ejemplos 5x2+8xy+5y2+4xz+4yz+2z2= 100

 5 4 2  x     B =  4 5 2 , v =  y  entonces se puede escribir Bv v = 100. Esta matriz también fue  2 2 2 z     −1 2 2  −1  3 3 1 0 0  2    1 −1 2 2  diagonalizada D=  0 1 0  donde Q =  3 3 2  0 0 10   4 2 1     0 3 3   x′    Sea v ′ =  y ′  = Q t v . Entonces B= QDQt y Bv v QDQtv v= DQtv Qtv= Dv´v´= 100 en  z′    términos de las nuevas variables : x´2+y´2+10z´2 = 100. ¿Qué resultó ser? Idem proceder con x2-2xy+2y2-2yz+z2= 4 Idem 5x2 + 16xy+11y2+20xz-4yz+2z2= 36

Definición Una dorma cuadrática f(x)=xtAx se clasifica como uno de los siguientes tipos: 1. Definida positiva si f(x)>0 para toda x no nula 2. Semidefinida positiva si f ( x) ≥ 0 para toda x 3. Definida negativa si f(x<0 para toda x no nula 4. Semidefinida negativa si f ( x) ≤ 0 para toda x 5. Indefinida si f(x) toma cualquier valor Teorema Sea A una matriz simétrica de nxn, la forma cuadrática f(x)=xtAx es a. Definida positiva si y sólo si todos los valores propios de A son positivos b. Semidefinida positiva si y sólo si todos los valores propios de A son no negativos

14



c. Definida negativa si y sólo si todos los valores propios de A son negativos d. Semidefinida negativa si y sólo si todos los valores propios de A son no positivos e. Indefinida si y sólo si todos los valores propios de A son tanto positivos como negativos Si una forma cuadrática f(x)=xtAx es definida positiva (negativa)y como f(0)=0, el valor mínimo (máximo) de f(x) es 0 y se presenta en el origen. Entonces teniendo en cuenta el teorema anterior, se nos permite resolver problemas de máximos y mínimos (optimización con restricciones) con facilidad sin recurrir al cálculo.

Proceso de Gram ram--Schmidt y la factorización QR Para encontrar una base ortonormal de un subespacio de IRn se puede utilizar el método de Gram-Schmidt. Se comienza con una base arbitraria {v1,v2,…vk}del subespacio y ortogonalizar un vector a la vez.

1  − 2     Para ello partimos de un ejemplo: base: {x1,x2} con x1 =  1  y x 2 =  0  , construiremos 0  1      una base ortogonal A partir de x1 obtenemos un segundo vector ortogonal a él tomando la componente de x2 ortogonal a x1(v2)

x1=v1

y

 − 2  1   − 1    − 2     x1 .x 2 v2 = perp x1 ( x 2 ) = x 2 − proy x1 ( x 2 ) = x 2 − x1 =  0  −   1  =  1  x 2 .x 2  1   2  0   1        { v1, v2}es li y base del subespacio en IR3 de dimensión dos.

Teorema Sea {v1, v2, …, vk} una base del subespacio W de IRn y definimos v1= x1

base de W1={x1}

15


v2= x2-

v1 .x 2 v1 v1 .v1

v3= x3-

v1 .x3 v .x v1 − 2 3 v 2 v1 .v1 v 2 .v 2


base de W2={x1, x2}

base de W3={x1, x2, x3}

…

vk= xk-

v1 .x k v .x v .x v1 − 2 k v 2 − ... − k −1 k v k −1 base de Wk={x1, x2, x3…xk} v1 .v1 v 2 .v 2 v k −1 .v k −1

Entonces {v1, v2,…,vk} es una base ortogonal de W

Ejercicios 10. Encuentre una base ortonormal para el subespacio de IR4

generado por

 1   2   2         − 1  1   2   ,  ,   y una base ortogonal de IR 3 que contenga el vector  − 1  0   1   11   1   2 

1    3  2  

Factorización QR Si A es una matriz de mxn con columnas li (para lo cual se requiere que m ≥ n ) entonces la aplicación del proceso de Gram-Schmidt a estas columnas nos lleva a una muy útil factorización de A como el producto de una matriz Q con columnas ortonormales, con una matriz triangular superior (factorización QR) A los vectores columnas li de A ,{a1,a2,…,an} se le aplica el proceso de Gram-Schmidt con normalizaciones, obteniendo {q1,q2,…qn}. Para cada i= 1,…,n la base de Wi={ a1,a2,…,ai } = {q1,q2,…qi} . Por lo tanto existen escalares r1i, r2i,…,rii tales que

ai=r1iq1+r2iq2+…+riiqi para i= 1,2,…,n que en forma matricial se expresa

A = [a1

a2

... a n ] = [q1

q2

r11 0 ... q n ]  ...  0

r12 r22 ... 0

... r1n  ... r2 n  = QR ... ...   ... rnn 

Teorema Si A es una matriz de mxn con columnas li. Entonces A puede ser factorizada como A=QR donde Q es una matriz de mxn con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior invertible nxn

16



Como A=QR y Q una matriz ortogonal, R =QtA

1  −1 Ejercicio Ejercicio Factoree A =  −1  1 

2 2  1 2 de la forma QR 0 1  1 2 

Diagonalización ortoganal de matrices simétricas Las matrices simétricas reales tienen autovalores reales y siempre es diagonalizable

1 2   calculamos las raíces de su ecuación característica y luego los  2 − 2

Sea la matriz A = 

autovectores asociados.

 1 

− 3 0  2 

 2

 y v 2 =   . Obteniendo D =  Se obtiene v1 =   − 2 1  0

Pero se puede resolver mejor. Teniendo en cuenta que v1 y v2 son ortogonales, los

 1

normalizamos y obtenemos Q =  − 2 

5 2 5 1

5  . Así D= Q-1AQ=QtAQ 5 

Definición Una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que QtAQ=D Ejercicios

2 1 1   11. Diagonalice ortogonalmente A =  1 2 1   1 1 2   12. Pruebe que si A es ortogonalmente diagonalizable es simétrica. 13. Demuestre que las matrices simétricas reales tienen autovalores reales 14. Si A es una matriz simétrica, entonces cualesquiera dos autovectorews correspondientes distintos de A son ortogonales.

Forma matricial de ecuaciones diferenciales. diferenciales. Sabemos que una ecuación diferencial es una ecuación que incluye al menos una derivada x´(t) = ax(t). Se puede demostrar que las soluciones son de la forma x(t)=ceat, siendo c=x0=x (0) ¿por qué?¿qué interpretación física tiene? Con frecuencia existen varias funciones ligadas por varias ecuaciones diferenciales. Sea el siguiente sistema de n ecuaciones diferenciales con n funciones desconocidas:

17



x1′ (t ) = a11 x1 (t ) + a12 x 2 (t ) + ... + a1n x n (t ) x 2′ (t ) = a 21 x1 (t ) + a 22 x 2 (t ) + ... + a 2 n x n (t )

... x n′ (t ) = a n1 x1 (t ) + a n 2 x 2 (t ) + ... + a nn x n (t ) Este sistema se llama sistema de ecuaciones diferenciales diferenciales lineales de primer orden de nxn.

Sea

 x1 (t )     x 2 (t )  x(t ) =  ...     x (t )   n 

 a11  a A =  21 ...  a  n1

a12 a 22 an2

se

llama

función

vectorial.

Se

define

 x1′ (t )     x 2′ (t )  x ′(t ) =  ...     x ′ (t )   n 

y

... a1n   ... a 2 n   , el sistema nos queda x´(t)=Ax(t) (Ç)  ... a nn 

Para resolver (Ç) se puede esperar que la solución tenga la forma e At Recordemos que e t = 1 + t +

t2 t3 + + ... 2! 3!

(at ) 2 (at ) 3 Como converge para todo valor de t en particular e = 1 + at + + + ... 2! 3! at

Definición e At e A = I + A +

∞ A2 A3 Ak + + ... = ∑ 2! 3! k = 0 k!

Teorema Para cualquier vector constante c, x(t) = eAtc es una solución de (Ç) siendo c=x(0)=x0. eAt se llama matriz solución principal del sistema x´=Ax Ejemplos Calcular eA

 1 0 0   A =  0 2 0  0 0 3  

12  A2 =  0 0 

0 2

2 0

0  0 3 2 

13  A3 =  0 0 

0 3

2 0

1m 0   0 ... A m =  0 0 33  

0 m

2 0

0  0 3 m 

18


e

At


 t2   1 0 0   t 0 0   2!      =  0 1 0  +  0 2t 0  +  0  0 0 1   0 0 3t        0 

0 22 t 2 2! 0

  t3 0     3!   0 + 0   32 t 2   0 2!  

0 23 t t 3! 0

 0    0  + .. = .  33 t 3  3! 

  t 2 t3 1 + t + + + ...  0 0 2! 3!   (2t )2 (2t )3   0 1 + 2t + + + ... 0  = 2! 3!   (3t ) 2 (3t )3   0 0 1 + 3 t + + + ...   2! 3!  

 et  0 0 

0 e 2t 0

0  0 e3t 

Acá fue fácil calcular e At pues A es una matriz diagonal. Entonces lo que conviene es diagonalizar. Pero y si no se puede. Existe una matriz semejante más sencilla aunque no diagonal que va a simplicar las operacines

0  0 Definimos N k =  ...  0  0

1 0 ... 0   0 1 ... 0   , o sea con 1 arriba de la diagonal principal y ceros en  0 0 ... 1   0 0 ... 0 

la otra parte Para

un

escalar

λ

λ  0 B (λ ) = λI + N k =  ...  0  0

se

1

define

0 ... 0

λ 1 ... 0 0 0 ... λ 0 0 ... 0

matriz de bloques de Jordan B(λ) por 0  0   1 λ 

la

Una matriz de Jordan J tiene la forma

19



0 ... 0   B1 (λ1 )   0  B2 (λ 2 ) ...  0 J =  o sea es una matriz que en su diagonal principal ...    0 0 ... Br (λ r )   tiene matrices de bloques de Jordan y en el resto ceros.

 3 1 0   Por ejemplo  0 3 0  0 0 8  

7  0 0  0  0

0 0 0 7 1 0 0 7 1 0 0 7 0 0 0

0   0  0  Ahora marque las matrices de bloques de  0   − 9

Jordan

Ejercicio 15. Ejemplifique todas las posibles matrices de Jordan de 2x2 y de 3x3

Teorema Sea una matriz A de nxn, entonces existe una matriz C invertible de nxn tal que C= J donde J es una matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A. (Esta matriz J se llama forma canónica de Jordan de A

1AC

Observaciones Observaciones Si A es diagonalizable J = D y cada elemento de la diagonal es una matriz de bloques de Jordan de 1x1. Si una matriz A de 2x2 tiene un valor propio λ de multiplicidad algebraica 2 y geométrica 1, existe un vector v2 que satisface la ecuación (A-λI)v2= v1 siendo v1 el autovector asociado a λ. A v2 se lo llama vector propio generalizado Ejercicios

3 − 2  ¿Por qué “un” y no “el”? 8 − 5

16. Encuentre un vector propio generalizado de A = 

Halle, ahora la forma canónica de Jordan. 17. Si el polinomio característico de A es (λ-5)3(λ+4), dé todas las posibles formas canónicas de Jordan y señale la multiplicidad geométrica en cada caso.

h 1  , utilizando la forma canónica de Jordan de A 0 h

18. Ahora sí calcule e At si A = 

20



Teorema Sea J la forma canónica de Jordan de una matriz A y J=C-1AC, entonces A=CJC-1 y eAt= CeJtC-1 Aplicaciones varias En estos problemas armar A, calcular la forma canónica de Jordan de A y aplicar teorema anterior. 19. Sea el sistema

x1′ (t ) = 3 x1 (t ) − x 2 (t ) . Se observa que el aumento en la x ′2 (t ) = − 2 x1 (t ) + 2 x 2 (t )

población de una especie causa disminución en la tasa de crecimiento de la otra. Suponer x1(0)=90, x2(0)=150 . Encuentre las poblaciones de ambas especies. (t>0) 20. En este sistema la especie 1 es la presa y la 2, el depredador.

x1′ (t ) = 2 x1 (t ) − x 2 (t ) Encuentre las poblaciones de ambas especies, si x ′2 (t ) = x1 (t ) + 4 x 2 (t ) x1(0)=500, x2(0)=100(t>0) x1′ (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) 21. Sea el sistema . Suponer x1(0)=x2(0)=1000. Encuentre x 2′ (t ) = − x1 (t ) + x 2 (t ) las poblaciones de ambas especies. (t>0) 22. Considere

x1′ (t ) = x ′2 (t ) =

el

modelo

−1 x1 (t ) + 2 1 x1 (t ) − 4

de

cooperación

de

especies

dado

por

x 2 (t )

1 x 2 (t ) 2

supóngase x1(0)=200, x2(0)=500(t>0). Determine

la población de cada especie.

Ecuaciones diferenciales lineales lineales homogéneas. homogéneas. Teorema Dada y´´+ay´+by=0 y λ1 y λ2 las raíces de la ecuación característica λ2 + a λ + b = 0. Si a. λ1 ≠ λ 2 , entonces e λ1t , e λ2t es una base del conjunto solución

{

{

}

}

b. λ1 = λ 2 , entonces e λt , te λt es una base del conjunto solución O sea que las soluciones son de la forma :a. y = c1e λ1t + c 2 e λ2t b. y = c1 e λt + c 2 te λt

21



Ejercicios 23. Encuentre todas las soluciones de:

y´´-4y´++3y=0; y´´+4y´+4y=0, y(0) = 1, y´(0)=0; y´´-2y´+4y=0

22



APÉNDICE I La matriz de transición para esta cadena de Markov es P=(pij). Entonces p21=p31=1/2, p13=p13= 1/3, p11=p22=p33=0 siendo pij la probabilidad de moverse de j a i. Nos queda

 0  1 P= 2 1  2

1 3 0 2 3

1  3 1   2 y el vector inicial x0 =  0  3 0    0 

1 2      0  3 9   1 7 Después del tañido de campana x1 = Px0 =  0,5  x 2 = Px1 =   y x3 = Px 2 =   . 3  18   0,5  1 7       3  18  Por lo tanto la probabilidad de que se encuentre en el comportimento 2 es de 1/3 después de dos campanazos, y 7/18, después de tres.

2   t 3  b) x debe pertenecer al espacio nulo de I – P. Resolvemos el sistema x =  t  . Puesto que  t      3 x es un vector de probabilidad necesitamos que x1 + x2 + x3 = 1, de este modo t = y 8 1   4 3 x =   . O sea que la rata a la larga se va a pasar ¼ de su tiempo en el compartimento 1 y 8 3   8 3/8 en cada uno de los otros dos compartimentos.

1  4 3 c) Las potencias de P se aproximan a  8 3  8

1 4 3 8 3 8

1  4 3 la rata pasará 25% de su tiempo en el 8 3  8

compartimiento 1 y 37,5% en cada uno de los dos compartimentos.

23



APÉNDICE II Después de un año el número de menores será de 40x4 + 20x3 = 220 El de jóvenes las que hayan sobrevivido 40x0,5 = 20 Lo mismo para las adultas 40 x 0,25 = 10 Podríamos haber obtenido estos resultados a partir de una ecuación matricial

4 3  40   220   0      0 0  40  =  20   0,5  0 0,25 0  20   10        40   220      O Lx0= x1 , donde x0 =  40  es el vector de distribución de población inicial, x1 =  20   20   10      es la distribución después de un año. Así hay que seguir para llegar hasta los 5 años x5= Lx4= L(Lx3)=…= L5 x0

24

Teoria Autovalores y Autovectores

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