$y 6 7 " ; 6 0.01 2 9 2 *<1+ 6 <0.09 slug #t: donde 7 6 masa del peso 6 0.01 slug ; 6 radio del CG del peso 6 <1 #t " 6 altura entre el CG del cilindro y el CG del peso 6 9 #t otese que el (alor de $y es negati(o Conversión de cartesiano a polar Los e!emplos anteriors, eran casos especiales en los que el desequilibrio se locali$aba directamente en los e!es o ;. Cuando esto ocurre, las herramientas matemáticas se simpli#ican, porque el desequilibrio se puede anali$ar como un problema de dos dimensiones sobre un plano. 4n ob!eto real, generalmente contiene un desequilibrio que no cae directamente sobre ningun e!e. o obstante, este desequilibrio se puede con(ertir en componentes cartesianas que caen directamente sobre los e!es, para asi poder simpli#icar los cálculos.
l ob!eto real a probar *primer dibu!o+, tiene un desequilibrio equi(alente que se puede simular mediante un &nico peso en cada uno de los planos *segundo dibu!o+. La di#erencia angular entre planos puede ser cualquiera. Como una ayuda al análisis, cada peso se puede reempla$ar por dos pesos colocados en los e!es e ; *tercer dibu!o+, con lo que hacemos una con(ersi)n a coordenadas cartesianas. Cada plano puede ser anali$ado por separado.
l #inal de los cálculos, $2 y $y pueden (ol(er a con(ertirse a coordenadas polares, si se desea. l proceso para estas trans#ormaciones de cartesiano a polar, se describen en la secci)n del documento que trata del centro de gra(edad. l producto de inercia de las dos componentes en el e!emplo anterior, produce una resultante $r en el plano "=, que pasa por el desequilibrio equi(alente y por el e!e ". $r 6 '>= *$2: ? $y:+ donde '>= 6 =ai$ cuadrada @ngulo entre la resultante y el e!e 6 arcA *$y B $2+
Diferencia entre el offset del CG y el producto de inercia La #igura ilustra la di#erencia entre el desequilibrio estático *o##set del CG+ y el dinámico *producto de inercia+. Los pesos son de lb.
•
$2 6 0 lb in:
•
CG2 6 9 lb in:
•
CG$ 6 0
3adir un peso en el plano del CG 6D Eesequilibrio estático, pero no producto de inercia.
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$2 6 ?F lb
•
CG2 6 ?9 lb
•
CG$ 6 ?1 lb
3adir un peso #uera del plano del CG 6D Eesequilibrio estático y dinámico *producto de inercia di#erente de cero+.
menudo, a esto se le llama desequilibrio cuasiestático, ya que un &nico peso de correcci)n basta para corregir todo el desequilibrio.
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$2 6 lb 2 H in 2 in ? lb 2 *
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CG$ 6 ?1 lb in < 1 lb in 6 0
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CG2 6 ?9 lb in < 9 lb in 6 0
3adir un segundo peso a 180º, en la parte ba!a del cilindro 6D Eesequilibrio dinámico, pero no estático *eliminado+.
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$2 6 ?F lb in: < F lb in: 6 0
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CG$ 6 ?1 ? 1 6 H0 lb in
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CG2 6 ?9 < 9 6 0 lb in
7o(er este peso al plano del primero 6D Eesequilibrio estático y dinámico.
Tipos de desequilibrio en giro 4n ob!eto que gira solo puede tener dos tipos de desequilibrio5 el producto de inercia y el despla$amiento del CG *o##set del CG+. l o##set del CG, se le llama desequilibrio estático, mientras que al producto de inercia, se le llama par desequilibrio. l e#ecto combinado de los dos, se le llama desequilibrio dinámico. lo largo de los a3os, se han utili$ado di#erentes términos para describir el desequilibiro. 4no de ellos es el desequilibrio cuasiestático. ste concepto se ilustra en una de las #iguras anteriores. l un caso especial de desequilibrio dinámico que ocurre cuando tanto el o##set del GC como el producto de inercia, tienen el mismo ángulo, de manera que se puede utili$ar un &nico peso para corregir simultáneamente ambos tipos de desequilibrio. La masa del peso, se elige de tal #orma que el producto resultante de la masa por el radio sea igual al desequilibrio estático. ste peso se situa a una distancia alo largo de la longitud del cilindro, de tal manera que introdu$ca un par de magnitud igual y direcci)n opuesta al del producto de inercia. Iay dudas sobre la utilidad de distinguir estos casos especiales, particularmente porque la correcci)n del desequilibrio se debe limitar, generalmente, a planos de correcci)n espec%#icos de un ob!eto, asi que normalmente no es posible locali$ar un peso de correcci)n a la distancia cr%tica a los largo de la longitud del ob!eto, para poder corregir el par de #uer$as y el despla$amiento del CG, con un &nico peso. n otras palabras, incluso en el caso del llamado desequilibrio cuasiestático, generalmente se requieren dos pesos para compensar el desequilibrio.
Escogiendo la posición de los ejes de referencia Como en el caso del centro de gra(edad, se necesitan tres e!es de re#erencia mutuamente perpendiculares para de#inir el producto de inercia *solo se necesita un e!e en el caso del momento de inercia+. unque se puede elegir cualquier e!e como re#erencia, es aconse!able seleccionar el e!e de rotaci)n del ob!eto como uno de los e!es. 'i el ob!eto se monta sobre soportes, entonces el e!e se de#ine como la linea central de los soportes. 'i el ob!eto (uela en el espacio, entonces este e!e es un e!e principal *los e!es que pasan por el CG y estan orientados de manera que el producto de inercia a su alrededor, sea cero+. 'i el e!e de re#erencia se (a a usar paraq calcular el producto de inercia de una #orma comple!a, debe escoger un e!e de simetria para simpli#icar el cálculo. ste e!e puede trasladarse a otro posteriormente, utili$ando las reglas descritas en Teorema de los ejes paralelos del POI . ara simpli#icar más los cálculos, los otros dos e!es deberian pasar por el CG.
Signo / polaridad del producto de inercia Los (alores del producto de inercia pueden ser positi(os o negati(os, y de hecho, su signo depende de la elecci)n de los e!es de re#erencia. n este aspecto, el / es similas al CG. Los (alores del momento de inercia, solo pueden ser positi(os, ya que la masa s)lo puede ser positi(a. Generalmente, el producto de inercia de un componente, está despla$ado por un producto de inercia negati(o, debido a otro componente, por lo que el
producto de inercia de un ob!eto compuesto, debe ser más peque3o que el producto de inercia de muchos de sus elementos.
nidades del producto de inercia l producto de inercia se e2presa en unidades de masa por distancia al cuadrado. ara el cálculo del CG, se usa el peso del ob!etoJ para el cálculo del /, se usa la masa. Como se e2plic) en la secci)n sobre las unidads, la palabra libra puede signi#icar tanto peso como masa, asi que el ingeniero de ser cauto cuando aplique los (alores de producto de inercia. (eces, los ingenieros se encontraran unidades e2tra3as para el /, como o$ in. unque estas unidades son incorrectas, tienen sentido en el conte2to de la máquina utili$ada para medir el desequilibrio dinámico. sta máquina debe proporcionar (alores de distancia para un plano espec%#ico de correcci)n, que dan el momento requerido en ese plano y a esa distancia para reducir el producto de inercia a cero. stos datos pueden con(ertirse a datos (álidos en cuanto a unidades, multiplicando el momento en o$ in por la distancia entre el plano de correcci)n y el CG *y después, con(irtiendo el peso en on$as a unidades de masa+. sto se e2plica con más detalle en la secci)n sobre correcci)n del desequilibrio dinámico.
Eje principal n cualquier ob!eto, e2isten tres e!es mutuamente perpendiculares que se cru$an en el CG, para los que los productos de inercia seran cero. ara un cilindro per#ecto, estos e!es corresponden a un e!e que pasa por la linea central del cilindro, más dos e!es mutuamente perpendiculares que pasan por el CG en cualquier orientaci)n *esto es as% porque el cilindro tiene una simetria per#ecta+. stos e!es son llamados los e!es principales. l momento de inercia del ob!eto está, como má2imo sobre uno de los e!es principales, y como m%nimo, sobre el otro. 4n (eh%culo que rota de #orma estable, lo hará alrededor de un e!e principal *normalmente el e!e de momento de inercia m%nimo+.
!ngulo de inclinación del ve"#culo de reentrada 4n (eh%culo aeroespacial, generalmente tendrá un e!e de#inido por la resistencia al aire m%nima. ste e!e corresponde al e!e de simetria de la super#icie e2terna del (eh%culo. Como el (eh%culo no es homogéneo, el producto de inercia alrededor de este e!e puede no ser cero, resultando en un e!e principal que #orma un determinado ángulo con el e!e de simetria del (eh%culo. ste ángulo es conocido como el ángulo de inclinaci)n del (eh%culo. Generalmente, es deseable hacer este ángulo tan peque3o como sea posibleJ as%, el (eh%culo (olará recto. (eces, no obstante, este ángulo se a!usta deliberadamente a un (alor espec%#ico, para que el (eh%culo de reentrada tenga un mo(imiento c)nico durante su entrada en la atm)s#era, de manera que la #ricci)n y el arrastre resultantes, #renen la reentrada.
l ángulo de inclinaci)n puede ser calculado utili$ando la siguiente #)rmula5 6 K *arcA **9$2+ *$ < 2+++ !emplo5 •
$2 6 0.009 lb in s:
•
22 6 8.M lb in:
•
$$ 6 9.N0 lb in:
OCual és el ángulo de inclinaci)n en el plano <"P rimero, las unidades del momento de inercia deben con(ertirse a lb in s:, para ser consistentes con las unidades del producto de inercia *o las unidades del producto de inercia se pueden con(ertir a lb in:+ 22 6 8.M lb in: 6 0.09H1 lb in sec: yy 6 9.N0 lb in: 6 0.00Q91Q lb in sec: 'i usamos la #)rmula, tenemos 6 K *arcA **9$2+ *$$ < 22+++ 6 K *arcA **0.00N+ *0.00Q91Q < 0.09H1+++ 6
l e!emplo anterior era para un solo plano. Aambién seria el ángulo de inclinaci)n del ob!eto, si el producto de inercia del plano "<; #uera cero. 'i hubiera un producto de inercia para el plano "<;, la soluci)n combinada para el ob!eto, seria5 6 K *arcA **9$r+ *$$ < rr+++ donde $r es la resultante de $2 y $y. rr es el momento de inercia alrededor del e!e r *resultante+. ara un pro!ectil o (eh%culo de reentrada t%pico, yy 6 22, de modo que 22 puede usarse en lugar de rr. ara un (eh%culo con alas, esto no es aplicable, y rr debe calcularse a partir de los (alores de yy e 22 *Ser la secci)n sobre momento de inercia+. Controlando el ángulo de inclinación Como la cantidad de inclinaci)n del e!e que resulta de un producto de inercia dado, es #unci)n de la di#erencia entre $$ e 22, el e#ecto de un desequilibrio, puede ser a!ustado alterando la di#erencia en el momento de inercia. sto nos lle(a a dos conclusiones5 1. 'i se quiere estabili$ar el (eh%culo y hacerlo resistente a los e#ectos del desequilibrio, se debe hacer la di#erencia en momento de inercia, tan grande como se a posible. sto se consigue dise3ando el (eh%culo de #orma que sea largo y esbelto, y colocando los elementos más pesados cerca del #inal del (eh%culo.
9. 'i se quiere girar el (eh%culo con la menor #uer$a de correcci)n posible, se ha de hacer que la di#erencia de momento de inercia sea tan peque3a como permitan los l%mites de tolerancia. La m%nima di#erencia de momento de inercia, (endrá limitada por la e2actitud con se pueda corregir el desequilibrio por producto de inercia.
Teorema de los ejes paralelos para el $%& Cuando se quiere determinar el producto de inercia de un (eh%culo, será necesari calcular o medir primero el producto de inercia de los componentes del (eh%culo, y entonces trasladar estos (alores al producto e#ecti(o alrededor de los e!es del (eh%culo.
ara trasladar el producto de inercia de un ob!eto relati(o a los e!es T, ;T y "T a los e!es , ;, ", hacemos5 $2 6 $T2T ? 7 $ 2 $y 6 $TyT ? 7 $ y donde 7 6 masa del ob!eto 2, y, $ 6 coordenadas de los e!es , ;, " del CG del ob!eto ste teorema, es más di#%cil de utili$ar que el equi(alente del momento de inercia, porque se requieren dos #)rmulas, y porque cada término tiene una polaridad asociada *signo+. l siguiente e!emplo ilustra este tipo de traslaci)n5 !emplo para la ilustraci)n5 sean $ 6
Comparación entre el '%& y el $%& 2isten algunas seme!an$as y algunas di#erencias entre esta #)rmula de traslaci)n y la #)rmula para trasladar el momento de inercia a un e!e paralelo di#erente5
1. mbas #)rmulas son dimensionalmente similares5 *masa+ *longitud+: 6 *masa+ *longitud+: ? *masa+ *longitud+: o obstante, el signo de los (alores de *masa+ *longitud+:, s)lo pueden ser positi(os para el momento de inercia, mientras que puede ser tanto positi(o como negati(o para el producto de inercia. 9. n el caso del momento de inercia, era posible ignorar el 7/ del ob!eto alrededor del CG, si el término de traslaci)n era grande. sto no es as% para el producto de inercia. 'i el / del ob!eto alrededor del su CG no es cero, no puede ignorarse, incluso si el (alor del término de la traslaci)n, 72y, es grande, ya que (alores peque3os de producto de inercia, pueden ser muy signi#icati(os si un término grande se substrae de otro, de!ando una peque3a di#erencia.
H. n el caso del momento de inercia, el (alor del 7/ a tra(és del CG de un ob!eto. siempre tiene un (alor mayor que cero. s imposible que el producto de inercia de un ob!eto sea ceroJ as% la #)rmula se con(ierte en $2 6 7 $ 2. Ejes y planos de simetria
l producto de inercia de un cuerpo homogéneo, respecto de cualquier par de e!es perpendiculares, es igual a cero si en plano determinado por cualquiera de los e!es y el tercer e!e coordenado, es un plano de simetria del cuerpo. sta regla es di#icil de e2plicar con palabras. Los e!emplos de la derecha, ilustra algunas #ormas simétricas que tiene $2 6 0.
Determinando el producto de inercia de un volumen( La discusi)n pre(ia asumia que los peque3os pesos de desequilibrio eran per#ectamente simétricos, y entonces, el producto de inercia del propio peso, se puede ignorar. n la (ida real, los pesos, estan #ormados por (arios componentes de un cohete o na(e espacial, y sus productos de inercia no suelen ser cero. Como se ha mencionado pre(iamente, incluso si los productos de inercia de los componentes son peque3os, no pueden ser ignorados, ya que el producto de inercial del (eh%culo es, normalmente, muy peque3o, y incluso el más peque3o de los desequilibrios, puede ladear el e!e principal del (eh%culo. l concepto básico para determinar el producto de inercia de un (olumen es idéntico al método pre(io re#erido a ob!etos discretos, e2cepto que los ob!etos son ahora elementos di#erenciales de un s)lido. La #)rmula se con(ierte en5 y2 6 A * y 2 + dS nt 6 ntegral donde) •
7 6 masa total del ob!eto
•
dS 6 di#erencial de (olumen
Como en el caso del moento de inercia y del centro de gra(edad, la soluci)n al problema se puede simpli#icar escogiendo un elemento di#erencial adecuado. or e!emplo, el borde el%ptico de ala mostrado, se puede anali$ar utili$ando un peque3o elemento cuadrado d por d;. stos nos lle(a a una integral doble. or el contrario, si se toma una porci)n rectangular paralela al e!e , entonces el / del elemento es cero, y el producto de inercia de d es5 / ? 0. 1 y da Como d 6 1 dy entonces 2y 6 . A*1 : y+ dy Ee la ecuacic)n de una elipse, tenemos5 1: 6 *a:: < y::+ B 9 Uinalmente5 2y 6 0. A **a::
'i se combinan dos secciones de un cohete, Ocuál es el producto de inercia resultanteP 'i las secciones están per#ectamente alineadas, de manera que el e!e de re#erencia " de la secci)n in#erior coincide e2actamente con el e!e de re#erencia " de la secci)n superior, se puede utili$ar el siguiente método5
1. Arans#ormar el producto de inercia de la secci)n in#erior en (alores para $2 y $y *con(ersi)n de cartesiano a polar+. 'i los e!es e ; de la secci)n superior no se corresponden con los elegidos para la secci)n in#erior, rotar los datos con(irtiendolos temporalmente a #orma polar y luego de nue(o a los e!es cartesianos, para que los e!es in#eriores y superiores esten en la misma posici)n angular. l análisis se reali$a por planos y se puede trans#ormar a #orma polar si se desea, una (e$ acabados los cálculos. 9. 'umar los (alores de $2 superior y $2 in#erior. Iacer lo mismo con $y. ota 5 /bser(ese el signo de los datos. sto implica nue(os (alores de producto de inercia para el (eh%culo compuesto *Los (alores para el total pueden ser mayores o menores que los (alores indi(iduales+.
Efecto del desalineado lateral
O>ué ocurre si las dos secciones no están alineadas, de manera que los e!es son paralelos el uno al otro, pero el e!e de uno no coincide con el e!e del otroP Ie aqu% el método recomendado para anali$ar este tipo de problema5
1. La posici)n de la secci)n superior debe de#inirse en términos de los e!es de re#erencia in#eriores. sto requiere la medida del despla$amiento de la secci)n superior, una (e$ ambas secciones estan ensambladas. sto puede conseguirse colocando el cohete completo en una mesa giratoria y mirar qué indica para las secciones superior e in#erior. 'i esto no es posible, las medidas se pueden reali$ar para cada secci)n indi(idual y el despla$amiento del anillo de acoplamiento, aunque no es un método muy preciso. 9. Calcular las coordenadas , ; y " del CG del cohete completo. Los nue(os e!es de re#erencia del cohete complete, pasarán por el nue(o CG y serán paralalos a los e!es de re#erencia de las dos secciones. La linea central de las dos secciones, su#rirá un peque3o *pero no insigni#icante+ despla$amiento respecto de su e!e. n general, la magnitud del / resultante del desalineado, será mayor que el / de las secciones indi(iduales, de manera que no con(iene ignorar este e#ecto. Las distancias a les e!es o ;, serán peque3as, pero la masa será muy grande, ya que es la masa entera de una secci)n. H. l $2 relati(o al nue(o e!e combinado debido al $2 de la secci)n superior, se puede calcular usando la #)rmula de traslaci)n de e!es paralelos5 $2 6 $T2T ? 7 $ 2 donde $2 6 / relati(o al CG combinado $T2T 6 / relati(o la la secci)n superior 7 6 masa de la secci)n superior $ 6 distancia entre el CG compuesto y el CG de la secci)n superior 2 6 despla$amiento entre la nue(a re#erencia combinada y la re#erencia superior n el grá#ico, tanto 2 como $ son positi(os, de manera que el / debido al despla$amiento superior es positi(o.
N. =epetir los cálculos para la secci)n in#erior. n el grá#ico, tanto $ como 2 son negati(os, por lo que el / debido al despla$amiento de la secci)n in#erior, es también negati(o. . 'umar los (alores de $2 superior y $y in#erior para obtener el $2 total. Q. =epetir los pasos H, N, y para obtener $y . F. 'i se desea, con(ertir $y y $2 en $r, la resultante de la con(ersi)n a polar. Efecto de la inclinación en el '%& y el $%& 'i un cilindro per#ectamente equilibrado se inclina un ángulo a, entonces $2, $ e 2 cabiarán. Cuando el cilindro tiende a un ángulo de M0º, $ se con(ierte en 2, e 2 se con(ierte en $. ara un ángulo de 0º, $2 es un má2imo determinado por los (alores de $ e 2. un ángulo de M0º, $2 es de nue(o cero. sta relaci)n &nica entre el momento de inercia y el producto de inercia, se discute en el documento 'V nº 1NFH, titulado Eeterminin roduct o# nertia 4sing a Aorsion endulum. ste documento describe un método de medici)n del / de los ob!etos utili$ando un instrumento de medida del momento de inercia.
Cuando el 7/ o el / de un ob!eto (iene determinado por su linea central, y el ob!eto estW instalado en un (eh%culo de manera que e2iste un ángulo entre la linea central del ob!eto y la re#erencia del (eh%culo, entonces es muy &til poder con(ertir los (alores calculados del ob!eto, en propiedades de la masa relati(as a la nue(a re#erencia, sin tener que recalcular el ob!eto. sta #)rmulas se dan a continuaci)n.
*órmulas para el '%& en ejes inclinados ara el cilindro equilibrado mostrado anteriormente, el momento de inercia alrededor de un e!e "T despla$ado de la linea central del cilindro por un ángulo a5 $T 6 0. *$ ? 2+ ? 0. *$ < 2+ cos *9a+ )tese que para este e!emplo, $2 es cero. sta #)rmula es (álida &nicamente para la orientaci)n de los e!es mostrada. Iay (arias obser(aciones interesantes que hacer dado el cambio en el 7/5 1. l 7/ a un ángulo de Nº es la (edia de $ e 2.
9. La sensibilidad al ángulo de inclinaci)n es #unci)n de la di#erencia entre 2 e $. 'i hay peque3as di#erencias, el ángulo de inclinaci)n se puede ignorar. 'i el ob!eto es alto y delgado, el ángulo de inclinaci)n es cr%tico. demás de ser &til para el cálculo del 7/, esta #)rmula puede usarse también para determinar la precisi)n requerida al medir el 7/. Cuando se miden cohetes largos y delgados, el error a2ial del 7/, será grande a menos que el cohete sea colocado correctamente. l 7/ trans(erso se puede medir en un peque3o bloque, sin necesidad de a!ustar la posici)n del cohete. ya que la sensibilidad a la inclinaci)n es muy peque3a en este caso. l análisis pre(io asume que los e!es y " son e!es principales y que el / es cero. 'i este no es el caso, la #)rmula se con(ierte en5 $T 6 0. *$ ? 2+ ? 0. *$ < 2+ cos *9a+ ? $2 sin *9a+ 4na #)rmula similar puede escribirse para 2T5 2T 6 0. *$ ? 2+ ? 0. *$ < 2+ cos *9a+ < $2 sin *9a+ sta #)rmula re#le!a el hecho de que el e!e principal no pasa a tra(és de la linea central del cilindro, de modo que el má2imo y m%nimo 7/ no está en los e!es y ". Las #)rmulas presentadas también asumen que no hay inclinaci)n en la direcci)n ;, de modo que el problema puede ser anali$ado desde un punto de (ista bi< dimensional. 'i este no es el caso, entonces el sistema de coordenadas debe trans#ormarse. 7ás a&n, notese que el origen de los dos e!es estan en el CG del ob!eto. 'e pueden escribir ecuaciones para el caso más general. o obstante, es más #ácil manipular los e!es que resol(er las ecuaciones generales.
*órmulas para el $%& en ejes inclinados Como el / y el 7/ están relacionados, deberia poder asumirse que se puede escribir una #)rmula similar para el / de un ob!eto inclinado. n este caso, se con $2 6 0, y (ol(iendo a un (alor cero desde un ángulo de M0º. La #)rmula es5#ormula is5 $T2T 6 0.*2 < $+ sin *9a+ < $2 cos *9a+ 'i los e!es y son e!es principales, la #)rmula se con(ierte en5 $T2T 6 0.*2 < $+ sin *9a+
stas #)rmulas son s)lo (álidas para orientear los e!es mostrados y para la direcci)n y de#inici)n del ángulo positi(o de inclinaci)n *sentido horario desde el e!e "+. C#rculo de 'o"r l ingeniero alemán /tto 7ohr, desarroll) en el siglo una representaci)n grá#ica de la relaci)n entre el 7/ y el /. 4na copia de esta ayuda se reproduce en el manual 'V y se muestra más aba!o. Con la (enta!a de disponer de un C, ya no son necesarias las soluciones grá#icas en los problemas de ingenieria, pero el c%rculo de 7ohr es a&n &til para (isuali$ar el e#ecto de la inclinaci)n.
El c#rculo de 'o"r+s para el momento de inercia
Eados5 1. Los (alores del momento de inercia 2T y de un ob!eto, alrededor de su centro de gra(edad, donde el centro de gra(edad cae sobre el origen de un con!unto de e!e2 <; mutuamente perpendiculares. 9. l (alor correspondiente al producto de inercia, 2yT l c%culo de 7ohr se construye utili$ando el esquema geométrico y la in#ormaci)n siguientes5 1. La locali$aci)n de los e!es principales cuyos momentos de inercia son má2imos y m%nimos con productos de inercia cero. 9. Los (alores má2imo y minimo correspondientes a los (alores del momento de inercia. H. Los momentos y productos de inercia para cualquier otro con!unto de e!es <- mutuamente perpendiculares, cuyos or%genes esten sobre el centro de gra(edad de ob!eto dado, y rotados C grados respecto de los e!es originales <;. N. Los (alores má2imos de los productos de inercia alrededor de los e!es situados a Nº de los e!es principales.
C%rculo de 7ohr Efectos del desalineado angular
'i la secci)n superior está inclinada respecto a la secci)n in#erior, los dos #actores tienden a incrementar el / e#ecti(o de esta secci)n5 la inclinaci)n resulta en un despla$amiento del CG similar al del caso descrito anteriormente, y la inclinaci)n también altera el / de la propia secci)n superior. l método para calcular el / total es5 1. 4sando la linea central de la secci)n in#erior como re#erencia, calcular el despla$amiento en el e!e ; del CG de la secci)n superior, mediante la #)rmula5 ; 6 I sin a donde I es la altura del CG de la secci)n superior a es el ángulo de inclinaci)n en plano ;"
4tili$ando un concepto similar, calcular el despla$amiento de la secci)n superior. 9. Calcular las coordenadas , ; y " del CG del cohete completo. l nue(o e!e de re#erencia del cohete completo pasará a tra(és del nue(o CG y será paralelo a los e!es de re#erencia de la secci)n in#erior. H. =ecalcular la componente $2 de la secci)n superior aplicando la #)rmula de inclinaci)n de los e!es. 'umar este / a la componente $2 de la secci)n superior relati(a a la linea central *obser(ar los signosJ el (alor de $2 puede ser tanto mayor como menor que el (alor sin considerar la inclinaci)n+. N. La componente $2 relati(a al nue(o e!e debida a la componente $2 de la secci)n superior, puede calcularse usando la #)rmula de traslaci)n de los e!es paralelos5 $2 6 2TyT ? 7 $ 2 donde $2 6 / relati(o al CG de los e!es combinados $T2T 6 / relati(o a la secci)n superior despues de que el e#ecto de la inclinaci)n se a3ade 7 6 masa de la secci)n superior $ 6 distancia entre el CG compuesto y el CG de la secci)n superior 2 6 despla$amiento entre la nue(a re#erencia combinada y la re#erencia de la secci)n superior n el grá#ico mostrado, tanto 2 como $ son positi(os, de modo que el / debido al despla$amiento superior es positi(o. . =epetir los cáculos del paso N para la secci)n in#erior. Como esta secci)n no está inclinada, la componente $T2T es el (alor a tra(és de la linea central. n el grá#ico, tanto 2 como $ son negati(os, asi que el / debido al despla$amiento de la secci)n in#erior es también negati(o.
Q. 'umar los (alores de $2 superior y $2 in#erior para obtener $2 total. F. =epetir los pasos H, N y para $y. 8. 'i se desea, con(ertir $2 y $y en $r, la representaci)n polar resultante.
