INERCIA ROTACIONAL Y MOMENTO DE INERCIA La inercia de rotación es la tendencia de un cuerpo cue rpo que está en movimiento movimiento circular a continuar girando, por lo que un cuerpo que gira alrededor de un eje inercialmente in ercialmente tiende a seguir girando en torno a él. La inercia de rotación (resistencia al cambio de movimiento rotacional), depende de la distribución de la masa en torno al eje de rotación. Por ejemplo si en un cuerpo, su masa se ubica lejana al centro de rotación, la inercia de rotación será muy alta por lo que costará detenerlo y hacerlo girar. Mientras que qu e si en el mismo cuerpo la masa se ubica cerca del centro de rotación la inercia será menor y será más fácil hacerlo girar. La forma en que se distribuye la masa de un cuerpo en relación a su radio d e giro se conoce como MOMENTO DE INERCIA. Cuando toda la masa de un objeto se encuentra concentrada a la misma distancia del eje de rotación, como en el caso de una bolita el momento de inercia es I = R2 m. FÓRMULAS PARA LA INERCIA ROTACIONAL Cuando toda la masa m de un objeto está concentrada a la misma distancia r de un eje de rotación (como en el caso de un disco de péndulo simple que oscila colgado de un cordel alrededor de su punto de giro, o de una rueda delgada que da vueltas alrededor de d e su centro), la inercia dependiendo del objeto se calcula de diferentes formas, a continuación adjuntamos una tabla con algunas fórmulas: Objeto Fórmula Péndulo simple I = m r2 Aro que gira alrededor de su eje normal I = mr2 Alrededor de un diámetro I = ½ m r2 Cilindro sólido I = ½ m r2 Vara que gira alrededor de su centro de gravedad I = ½ m L2 Vara que gira alrededor de uno de sus extremos I = 1/3 m L2 Esfera sólida que gira alrededor de su centro de gravedad I = 2/5 m r2 * L : longitud de la vara. Momento de inercia La cantidad entre paréntesis se conoce como momento de inercia para un conjunto discreto de partículas, I : Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que qu e constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. El momento de inercia es una medida de la resistencia que qu e presentan todos los cuerpos a cambiar cambiar su estado de rotación . Así pues, p ues, un cuerpo que tenga t enga un mayor momento de inercia presentará una mayor resistencia a cambiar su estado de rotación. Si un cuerpo tiene un gran momento de inercia, es difícil ponerlo a girar si está en reposo o es difícil frenarlo si está en movimiento. Por esta razón, I también se denomina inercia rotacional . f ácil girar el aparato? ¿En qué caso es mas fácil En función de I , la energía K total de un cuerpo rígido será. será. Ejemplo 9.7 Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntales ligeros moldeados. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje q ue pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez angular [ = 4,0 rad/s , ¿qué energía cinética tiene? Ejercicio Considere una molécula agua que gira en el plano xy alrededor del eje z . El eje pasa por ese centro de la molécula de oxígeno. Si d = 9,57 x 10 -11 m y cada átomo de hidrógeno hid rógeno tiene una masa de 1,0 u y el de oxígeno 16,0 u , determine la energía cinética de la molécula si se sabe qu e el conjunto rota con una velocidad angular de 4,60 x 10 12 rad/s. Considere que los átomos son puntos materiales. MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIERO S ESTÁTICA FERDINAND P. BEER E. RUSSELL JOHNSTON JR. EDITORIAL: MC GRAW-HILL SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. Por ejemplo, considérese una viga de sección transversa t ransversall uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno u no de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier y
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sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene: La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de u n área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática: Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurrid ero de un gran depósito está sumergida baj o agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hi zo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es
circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de l a fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por: Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área conrespecto del eje x. Ejemplo:
1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, F=Ky A, varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área A y un eje que pasa a través el centroide de la sección. Nota : El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó Eje centroidal. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultante de las fuerzas sobre el eje neutro es cero. En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas F, que actuan en un diferencial de área A, es R áreadelmomentoAY y dA YAes el primer R Ky dA K y dA K e ee
= === En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las F se reduce a un par, cuya magnitud M es la y F = Ky A Mecánica Racional 10 Tema III Momento de Inercia 2do parcial. Semestre A-2004 Universidad de Los Andes Profesora: Nayive Jaramillo S. Facultad de Ingeniería
Escuela Básica. Sección 01 de MR10 suma de los momentos dM=y*F=y2*F de las fuerzas elementales. ===dAykdAKydMM 22 La integral define el segundo momento del área o momento de inercia de la sección de la vi ga con respecto al eje horizontal (x). dAy 2 El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto del área dA por el cuadrado de la distancia yexistente entre el eje (x) y el diferencial d e área. Como cada producto y2dA es positivo la integral dAy 2 será positiva, independientemente del valor y signo de la distancia y. 2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elemento diferencial de área una presión proporcional a la profundidad del elemento P=y. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dA es dM = dF*y =PdAy =(ydA)y = y2dA = (y2dA). El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos los momentos diferenciales dM. b a y P= y === dAydAydMMtotal 22 donde la integral representa la inercia del área A respecto al eje AB, se denota por Iab, siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se toma el momento. y 2dA c El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 ,
