BAB 3 Kinematika Satu Dimensi

Pemb Pe mbin inaa Olimpiade Fisika davitsipayung.com

3. Kinematika Kinematika s atu dim dimee ns i

Gerak benda sepanjang garis lurus disebut gerak satu dimensi. Kinematika satu dimensi memiliki asumsi benda dipandang sebagai sebaga i partik part ikee l atau ata u benda benda titik titik artinya bentuk dan ukuran ukuran benda diabaikan diabaikan dibandingkan panjang lintasan tempuh, massa benda dikosentrasikan pada satu titik dan benda tidak berotasi. berotasi. Jadi, Jadi, gerak gerak partikel partikel sebagai sebagai titik titik dal da lam ruang. ruang. Kita akan mengaik mengaikan an gaya gaya sebagai se bagai penyebab penyebab gerak gerak pada bab kinematik kinematikaa ini. Kinematik Kinematikaa menjelask menjelaskan an hubungan hubungan antara besaran besaran posis posis i, kecepatan, percepatan dan waktu. 3.1 Besara Bes aran nk kin inee matika 3.1.1 Posisi, perpindahan dan jarak

Kedudukan benda relatif terhadap suatu titik acuan disebut posisi. posisi. Posisi benda biasanya dinyatakan dalam sistem koordinat kartesian. Posisi benda bergerak sepanjang sumbu x x sebagai fungsi waktu dituliskan x(t). Posisi x=0 disebut titik pusat koordinat atau titik asal koordinat. Posisi adalah besaran vektor. Perpindahan Perpindahan adalah besaran vektor, yang menunjukkan panjang dan arah garis lurus yang menghubungkan posisi awal dan akhir benda. Perpindahan menunjukkan perubahan posisi benda. Perpindahan tidak bergantung pada bentuk lintasan, tetapi bergantung posisi awal dan akhir benda. Perpi Pe rpindahan ndahan benda dari posisi awal x 1 ke posisi akhir x2 ditunjukkan oleh:

 x(t )  x2 (t )  x1 (t ) Simbol Yunani  dibaca delta. Tanda posit posit if dan negatif dari ∆x menunjukkan arah ara h perpindahan

(3.1)

benda ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu sumbu x pos pos it if ke kanan, maka ∆x > ∆x > 0 menunjukkan benda berpindah searah sumbu x positif. Sebalinya, ∆x < 0 menunjukkan benda benda berpindah berpindah searah se arah sumbu sumbu x negatif. negatif. Jarak Jarak adalah panjang panjang lintasan lintasan total yang ditempuh ditempuh oleh benda, artinya artinya jarak bergantu bergantung ng pada bentuk bentuk lintasan yang dila dila lui oleh oleh benda. benda. Jarak biasa biasanya nya disimbolk disimbolkan an oleh s. Jarak adalah besaran skalar dan selalu bernilai positif. positif. x

x2 ∆ x x1

∆t

t 1

t 2

t

Gambar 3.1 : Kurva pos isi terhadap terhadap waktu

4.2 Kece Kecepatan patan dan kelajuan Kecepat Kecepatan an rata -rata adalah adalah perbandingan perbandingan perpind per pindahan ahan terhadap te rhadap se lang waktu wa ktu benda telah bergerak.

v



 x x2  x1  t t2  t 1

(3.2)

1


dimana v adalah simbol kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata sama dengan gradien garis yang ata-rata menghubungkan titik (x 1,t1 ) dan (x2 ,t2 ). Kelajuan r ata-rata adalah perbandingan jarak tempuh terhadap selang waktu benda bergerak. vlaju 

 s s2  s1  t t2  t 1

(3.3)

Satuan kecepatan adalah m/s . Kecepatan adalah besaran vektor, sedangkan kelajuan adalah besaran skalar. Benda Be nda dikatakan dikatakan diam terhadap titik acuan ketika kecepatan benda itu sama dengan nol terhadap titik acuan tersebut. ketika ∆t mendekati mendekati nol. K ecepatan ecepatan sesaat esaat adalah kecepatan rata-rata benda ketika v  lim

x  t  t   x  t 

t

t 0



dx dt

(3.4)

Simbol kecepatan sesaat adalah v. Besar kecepatan disebut kelajuan. Kecepatan adalah turunan pertama posisi posisi terhadap waktu. Arah kecepatan benda menunju menunjukk kkan an arah a rah gerak benda. Misalkan Misalkan sumb su mbu u x positif ke kanan, v > 0 menunjukkan benda bergerak ke kanan, v < 0 menunjukkan benda bergerak ke kiri. Kecepatan sesaat sama dengan gradien kurva posisi pada satu titik. x v = 0 v < 0

v > 0

t

Gambar 3.2 : Gradien kurva pos isi terhadap terhadap waktu waktu menunjukkan kecepatan sesaat

3.3 Percepatan dan pe rlajuan

Partikel dikatakan mengalami percepatan ketika kecepatannya berubah. Percepatan adalah besaran vektor. Percepatan adalah perubahan kecepatan adalah kecepatan benda dalam selang waktu benda bergera bergerak. k. Percepatan ra ta-rata

a



v2  v1



v t

t 2  t1 Percep Pe rcepatan atan rata-rata sama dengan gradien garis garis penghubung ti t it ik (v 1,t1) dan titik (v2,t2 ).

(3.5)

v

v2 v1

t1

t2

t

Gambar 3.3 3.3 : Kurva kecepatan terhadap

2


Jika kelajuan benda bertambah, maka benda dikatakan mengalami perlajuan. Ketika kelajuan benda Perl ajuan rata-rata berkurang berkurang,, maka maka benda benda dikatakan dikatakan mengalami mengalami perlambatan. perlambatan. Perl adalah perubahan kelajuan benda dalam selang waktu tertentu. Pecepatan sesaat adalah percepatan rata- rata benda ketika ∆t ∆t mendekati nol. a  lim

v  t  t   v  t 

t

t 0



dv dt

(3.6)

Percepatan sesaat sama dengan turunan pertama kecepatan terhadap waktu. Percepatan dapat dituliskan dalam bentuk: a

dv



d 2x

v

dv

(3.7 ) dt dx dt Dalam kurva kurva kecepatan kece patan sebagai fungs fungs i waktu, v(t), p v(t), perc ercepatan epatan benda pada seti set iap titik sama dengan 2

kemiringan kurva v(t) pada titik tit ik itu. itu. Satuan dari percepatan perce patan adalah m/s2 . Percepatan adalah besaran vektor, sedangkan perlajuan adalah besaran skalar. Percepatan gravitasi di dekat permukaann bumi sekitar 2 g = = 9,8 m/s . Jika arah vektor kecepatan dan percepatan partikel sama, maka kecepatan partikel bertambah atau partikel partikel dipercepat. dipercepa t. Syarat benda benda diperce dipercepat pat adalah a > 0 dan v > 0, atau a < 0 dan v < 0. 0. Jika arah ara h vektor percepatan berlawanan dengan kecepatan, maka kecepatan partikel akan berkurang atau partikel diperlambat. Syarat Sya rat benda diperlambat diper lambat adalah a < 0 dan v > 0, atau a > 0 dan dan v < 0. Contoh 3.1 : Gerak maju-mundur

Posisi dari sebuah se buah partikel begera begerak k lurus sepanjang sumbu x sumbu x diberikan oleh: x  t   t 2  8t  12 , di mana x mana x dalam meter dan t dalam sekon. Partikel bergerak maju-mundur sepanjang sumbu-x. Partikel dikatakan bergerak bergerak maju maju ketika ketika partikel partikel bergerak bergerak ke arah arah sumbu sumbu x x positif. positif. a. Tentukan posisi mula-mula partikel! b. Tentukan perpindahan perpindahan partikel partike l dari t=0 sampai t=5 t= 5 sekon! c. Berapa kali partikel melewati titik asal? d. Gambarkan Gambarkan kurva pos isi parti part ikel ke l sebagai fungsi waktu! wa ktu! e. Kapan partik pa rtikel el bergerak maju, diam sesa at, dan mundur! mundur! Pembahasan: 12  12 12 m . Partikel berada 12 m di kanan titik asal. a. Posisi mula-m mula-mula ula partikel adal ada lah x  0   0 2  8  0  12 12  12 12m dan b. Posisi partikel untuk t = 0 dan t=5sekon berturut-turut adalah x  0   5 2  8  5  12 x  5  5 2  8  5  12  3 m Perpindahan Perpindahan part ikel ke l dari t=0 t=0 sampai sampa i t=5 sekon : 12 m= -15 m  x  x  5  x  0  3m  12

Partikel berpindah sejauh 15 m searah sumbu x negatif. c. Partikel melewati titik asal ketika x(t)=0. x  t   t 2  8t  12   t  2  t  6  0

Partik Pa rtikel el melewa melewati ti titik asal asa l sebanyak dua kali, yaitu pada t = = 2 sekon dan t = 6 sekon. d. Bentuk persamaan posisi partikel adalah parabola. Kurva posisi partikel:

3


x (m) x  t 2

10

 8 x  12

t(s) 2

4

6

-4 Titik balik

e. Partikel bergerak mundur dalam rentang waktu 0  t  4 s , diam sesaat ketika t = 4, dan bergerak maju maju dalam da lam rentang waktu wa ktu t > 4s. Contoh 3.2 :

Sebuah partikel begerak lurus dengan persamaan posisi : x  t   t 3  2t 2  t , dimana x dalam meter dan t dalam sekon.Gunakan sumbu x sumbu x positif positif di kanan titik asal. a. Tentukan kecepatan rata-rata partikel setelah bergerak dari t = 0 sampai t= 2 detik ! b. Tentukan kecepatan partikel saat t = 2 sekon! c. Kapan partikel berhenti sesaat atau berbalik arah? d. Kapan partikel bergerak ke kanan, dan ke kiri? e. Gambarkan Gambarkan lintasan lintas an yang dilalui oleh partik part ikee l! Pembahasan: a. Perpindahan partikel setelah bergerak 2 sekon adalah

 x  x  2   x  0   2 m , arah perpindahan ke kanan. Kecepatan rata-rata partikel setelah bergerak 2 sekon adalah v

 x x  2   x  0  2   m s 1 m s t t 2  t 1 2

b. Kecepatan sesaat partikel : v

dx  t 

 3t 2  4t  1 dt Kecepatan partikel saat t = 2 sekon: v  2   3  2 2  4  2  1  5 m s

c. Partikel berbalik arah ketika kecepatan sesaatnya sama dengan nol. v

dx  t  dt

 3t 2  4t  1   3t  1  t  1  0

Partikel berbalik arah saat t = 1/3 sekon dan t =1 sekon.

 1s . Partikel d. Partikel bergerak ke kanan ketika v > 0, yaitu dalam rentang waktu 0  t  13 s dan t  bergerak bergerak ke kiri kiri ketika ketika v < 0 , yaitu dalam rentang waktu

1 s 3

 t  1s .

e. Pertama, mari kita temukan posisi benda saat t = = 0 sekon, t = = 1/3 sekon, dan t = = 1 sekon berturut-turut ,37m , dan x(1)  0 . Lintasan gerak adalah x(0)  0 , x( 13 )  0,37m gera k maju-mu maju-mundur ndur partikel :

4


x(m) x(0) = x(1)=0

x(1/3) = 0,37 m

Contoh 3.3 : 2 Posisi sebuah partikel mengikuti persamaan x persamaan x = = 8t 8t -3t -3t , dimana x dimana x dalam dalam meter dan t dalam dalam sekon. a. Tentukanlah Tentukanlah percepata perc epatan n partikel partikel setiap waktu! wa ktu! b. Kapam partikel partikel bergerak bergera k searah seara h sumbu sumbu x x positif positif , dan searah sumbu x sumbu x negatif! negatif! c. Kapan partikel partikel dipercepat diperce pat searah sea rah sumbu sumbu x positif? x positif? d. Kapan kecepatan partikel berkurang? berkurang? Pembahasan:

a. Percepatan partikel adalah a  d 2 x dt 2  3 m s 2 . Partikel mengalami percepatan konstan 3 m/s

2

dalam arah sumbu x negatif. b. Pertikel bergerak searah sumbu x positif ketika kecepatan bernilai positif,

dx  8  6t  0 atau 0  t  43 s . dt Pertik Pe rtikel el bergerak bergera k searah sumbu x sumbu x negatif negatif ketika kecepatan bernilai negatif, dx v  8  6t  0 atau t  43 s . dt c. Partikel dipercepat searah sumbu x positif : v > 0 dan a > 0. Karena a selalu searah sumbu x negatif , maka partikel tidak pernah dipercepat searah sumbu sumbu x positif. d. Kecepatan benda berkurang ketika a < 0 dan v > 0, atau a > 0 dan v < 0 , yaitu dalam rentang waktu 0  t  43 s . v

Contoh 3.3 : Analis is kurva posisi pos isi terhadap terhadap waktu

Sebuah benda mulai bergerak dari keadaan diam. Kurva posisi benda terhadap waktu ditunjukkan oleh gambar bawah ini. x (m) Parabola

3 2

Garis lurus

1

Parabola

t (s) 1

a.

2

3

4

5

6

7

8

Gambarkan kurva kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi waktu! 5


b. c. d.

Hitung Hitung besar kecepatan kecepata n maksimum benda! bend a! Hitung Hitung kecepatan sesaat be nda ketika t=4 s! Hitung Hitung perpin perp indaha daha n benda pada t = 1 sekon dan t = 4 seko n!

Pembahasan : a. Kurva kecepatan sebagai fungsi waktu:

v (m/s) 1 1

2

3

4

5

6

7

8

t (s)

-1 Grafik Grafik percepatan seba ga i fungsi fungsi waktu : a (m/s (m/s ) 1 1

2

3

4

5

6

7

8

t (s)

-1 b. Besar kecepatan maksimum maksimum benda adalah 1 m/s. c. Kecepatan Kecepata n sesaat benda ketika ketika perpi pe rpindahannya ndahannya maksimum (t=4s) (t=4s) adalah nol. v

dx

0 dt d. Perpi Pe rpindahan ndahan benda sama dengan luas luas dibawah grafik kecepatan kec epatan terhadap waktu. Perpin Pe rpindahan dahan benda pada t=1 sekon : x(1) = ½ m. m. Perpin Pe rpindahan dahan benda pada t=4 sekon : x(4) = 2,5 m. 3.2 Ge rak lurus be be raturan raturan (GLB (GLB))

Gerak lurus beraturan adalah gerak benda dengan kecepatan konstan, artinya jarak yang ditempuh benda benda sama untuk untuk tiap rentang waktu yang sama. sa ma. Jika Jika benda bergerak lurus lurus beraturan, beraturan, maka percepatan benda benda nol dan dan kecepatan kece patan rata-rata rata-rata benda benda selalu selalu sama dengan dengan kecepat kece patan an sesaatnya. sesaatnya. Seandai Seandainy nyaa pada waktu t=0 posisi benda adalah x adalah x = = x x0 . Posisi benda setiap waktu t adalah x(t). Kecepatan rata-rata benda :

v

v

x(t )  x0 t  0

x(t )  x0  v t

(3.8)

6


x( x(t )

v (t)

a (t )

x(t)  x0  vt

x (t )

v

x0 (a)

t

v(t) = v

t

t (b)

a(t) = 0

t

(c)

Gambar 3.4 : Kurva x(t),v(t) dan a(t) dalam GLB

Contoh 3.4 : Seorang pelari berlari dengan kelajuan konstan v p = 10 km/jam ke kanan. Seorang pejalan berjalan dengan kelajuan konstan vk = 5 km/jam ke kiri, menuju pelari. Ketika pelari dan pejalan berjarak d = 3 km satu sama lain, seekor burung terbang dengan kelajuan konstan v b = 30 km/jam ke kanan melewati pelari. Ketika burung burung mencapai pejalan, peja lan, burung burung berbali berba lik k arah dan terbang kembali menuju pelar pelarii dengan dengan kelajuan yang sama. Ketika burung mencapai pelari, burung berbalik arah lagi dan terbang kembali menuju pelari. Burung terus terbang ke kanan dan ke kiri antara pelari dan pejalan. Ketika pelari dan peja peja lan bertemu, bertemu, berapa jarak jarak total yang ditempuh ditempuh oleh oleh burung? burung? Pembahasan : Pelari mula-mula berada di titik asal, x asal, x0,p = 0, maka pejalan mula-mula berada di titik x 0,k = 30 km. Ambil arah ke kanan sebagai sumbu x positif. Kecepatan pelari dan pejalan berturut-turut adalah v p = 10 km/jam dan vk = - 5 km/jam. Kecepatan pejalan bernilai negatif karena arahnya ke kiri. Persamaan posisi gerak peja peja lan dan pelari: pelari: x p  x 0, p  v p t  15 t x k  x 0,k  v k t  30  5 t

Pelari dan pejalan bertemu ketika posisi mereka sama.

x p

 x k

10 t b  30  5 t b t b  2 jam jam

Mereka bertemu saat t = 2 jam. Kecepatan burung adalah v b = 10 km/jam. Jarak total yang ditempuh oleh burung burung adalah adalah s  vbt b  30km 30km jam jam  2 jam jam =60km 3.3 Ge rak lurus be be rubah beraturan (GLBB (GLBB))

7


Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak benda dengan percepatan konstan atau perubahan kecepatan benda setiap selang waktu yang sama selalu sama. Perhatikan sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x sumbu x dengan dengan percepatan konstan a . Benda memiliki kecepatan v = v0 pada t=0. Setelah benda bergerak selama waktu t waktu t kecepatan kecepatan benda v. Percepatan Percepata n rata-rata benda sama dengan dengan percepatan percepata n sesaatnya. a a

v  v0

(3.9)

t  0

Dari pers.(3.9), kita peroleh kecepatan benda : v  v0  at

(3.10)

Jika posisi benda x0 pada waktu t=0. Posisi benda setelah bergerak dalam waktu t :

x  x0  v t

(3.11)

Kecepatan benda linear terhadap waktu. Kecepatan rata-rata benda: v

1 2

 v0  v   12  v0  v0  at   v0  12 at

Substitusikan pers.(3.12) ke pers. (3.11), kita peroleh x  x0  v0t  12 at 2 Pers.(3.10) dan per.(3.14) memberikan v(t) dan x(t). Dari pers. (3.10), kita peroleh v  v0 t  a Substitusi pers.(3.14) ke pers.(3.13) :

 v  v0 x  x0  v0   a

 1  v  v0    2 a a    

(3.12) (3.13)

(3.14)

2

v 2  v02  2a  x  x0 

(3.15)

Empat Empat persama persa maan an penting penting gerak lurus berubah beraturan : v  v0  at v

1 2

 v0  v 

x  x0  v0t  12 at 2 v 2  v02  2a  x  x0 

Pers.(3.10) menunjukkan bahwa luas kurva percepatan terhadap waktu sama dengan perubahan kecepatan benda. benda. Selanju Selanjutnya, tnya, pers.(3.12) pers.(3.12) menunjukk menunjukkan an bahwa luas kurva kurva percepatan terhadap sama dengan dengan perubahan perubahan kecepatan kecepatan benda benda

8


x(t) x(t)

v (t

v Parabola

a (t) v(t )  v0  at

v

a x 0

x(t)  x0  v0t  12 at 2

a(t) = a = a

v0 t (b)

(a)

t

t

t (c)

Gambar 3.5: Kurva x(t),v(t) x(t),v(t) dan a(t) dala m GLBB GLBB

Contoh 3.5 : Seekor burung terbang sepajang lintasan garis lurus, mula-mula kecepatannya 36 km/jam, kemudian kecepatan burung bertambah menjadi 54 km/jam dalam waktu 5 detik. Hitunglah percepatan dan jarak yang ditempuh burung selama 5 detik sejak mulai bergerak ! Pembahasan : Kecepatan Kecepata n awal burung burung adalah a dalah v0 = 10 m/s, kecepatan akhir burung adalah vt =15 m/s, waktu tempuh t= 5 sekon. Percepatan Per cepatan burung: burung:

a

vt  v0



20  10

 2 m s2

t 5 Jarak yang ditempuh oleh burung:

s  v0t  12 at 2  10  5  12  2  52  75m Contoh 3.6 : Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 15 m/s sepanjang lintasan lurus. Sopir kemudian 2 mengurangi kecepatan mobil dengan perlambatan konstan 2,5 m/s . Hitung jarak yang ditempuh oleh mobil mobil sel se lama menga menga lami perlambatan perlambatan hin h ingga gga akhirnya akhirnya berhenti! berhenti! Pembahasan : Kecepatan awal mobil adalah v0 = 15 m/s dan kecepatan akhir mobil adalah v t =0 m/s. Perlambatan mobil 2 adalah a = -2,5 m/s . Kita gunakan rumus v 2  v02  2as , jarak yang ditempuh oleh mobil adalah s 

v2  v02 2a



02  152 2  2, 5

 45m

Contoh 3.7 : Mobil A dan mobil B bergerak dengan kelajuan seperti ditunjukkan pada grafik ini. Pada t = = 0 , mobil A dan mobil B mula-mula pada posisi sama. Hitung jarak yang ditempuh mobil B sesaat berhasil menyusul mobil A!

9


v (m/s)

8 4

mobil A

mobil B

0

2

t (s) (s)

Pembahasan :

Mobil A bergerak dengan kecepatan konstan v A konstan a B . Percepatan mobil B:

a B



 v0, B

vt , B

 8 m s , sedangkan mobil B bergerak dengan percepatan

 8  4  2 m s2

t 2 Anggap kedua mobil mulai bergerak dari titik asal x asal x = = 0. Jarak tempuh mobil A : x A  v At  4t

Jarak tempuh mobil B: x B  v0, Bt  12 aBt 2  4t  t 2 Mobil B berhas berhas il meny menyu usul mobil A saat saa t jarak jarak temp uh kedua ked ua mob mobil il sama. x A  xB

8t  4t  t 2 Mobil Mob il A berhas ber hasil il me nyusul mob mobil il B dalam da lam wakt waktu u t=4 sekon seko n dan da n jarak temp temp uh mobil mob il adalah ada lah B x B  32m Metode integral menurunkan persamaan GLBB :

Percepatan benda : dv a dt v

t

v0

0

dt  dv  a  dt

v  v0  at Kecepatan benda setiap waktu :

v  v0  at Kecepatan partikel : v x

dx dt t



dx   vdt

x0

0 t

x  x0    v0  at  dt 0

10


Posisi partikel setiap waktu : x  x0  v0t  12 at 2

Percep Pe rcepatan atan benda sebagai fungsi posis posisii : av

dv dx

v

x

v0

x0

 vdv  a  dx 1 2

v 2  12 v02  a  x  x0 

Kecepatan partikel sebagai fungsi posisi: v 2  v02  2a  x  x0 

3.4 Ge Gerak rak jatuh jatuh beba be bass

Setiap benda benda jatuh di dekat permukaan permukaan bumi dipercepat ke bawah karen kare na pengaruh gravitasi gravitasi bumi. Aristoteles (384-322 BC) menyatakan bahwa benda yang lebih berat jatuh lebih cepat. Pernyataan Aristoteles berdasarkan kesimpulan logika. Galileo Galilei (1642-1564) pertama kali berhasil menjelaskan gerak jatuh bebas dengan melakukan melakukan eksperimen benda jatuh bebas dari menara Pisa. Dia menyatakan bahwa: (1) semua benda jatuh bebas di dekat permukaan Bumi, berat atau ringan, jatuh menempuh jarak yang sama dalam waktu yang sama, (2) jarak tempuh benda sebanding dengan kuadrat 2 waktu. Percepatan Pe rcepatan gravitasi gravitasi di d i dekat permukaan bumi adalah g = 9,8 m/s . Perh Pe rhatikan atikan bahwa percepatan perc epatan gravitasi gravitasi untuk gerak jatuh jatuh bebas bebas bernilai be rnilai negatif dengan mengangap arah vertikal ke atas sebagai sumbu y positif. Percepatan benda jatuh bebas adalah a = -g . Misalkan sebuah benda benda dilemp dilemparkan arkan vertikal vertikal ke atas dari posi posiss i mula-mul mula-mulaa y 0 dan kecepatan awal v0 seperti pada Gambar Gambar 3.6a . Tinggi maksimum

v0

0

v0 a

 

g

h

a   g

y y

y 0

Tanah Gambar 3.6a : Gerak vertikal ke atas

Tanah Gb r.3.6b : Benda jatuh beb as

11


Persama Pe rsamaan an kinematika kinematika benda dilemparkan dilemparkan vertikal ke atas diperoleh diperoleh dar dar i pers.(3.10), pers.(3.13) dan pers.(3.15) pers.(3.15) dengan dengan mensub mensubsti stitusik tusikan an a g , kita peroleh,  

v  v0  gt

(3.17)

y  y0  v0 t  12 g t 2

(3.18)

(3.19) v 2  v02  2 g  y  y0  Sekarang, kita perhatikan kasus benda dilemparkan dari permukaan bumi, y 0 = 0 . Kecepatan Kece patan benda benda akan berkurang 9,8 m/s setiap detik saat bergerak vertikal ke atas. Benda akan berhenti saat mecapai titik tertinggi lintasannya dan kemudian kemudian jatuh jatuh bebas. bebas . Pada titik tertinggi tertinggi v  0 dalam waktu t maks.

0  v0  gt maks Waktu tempuh benda mencapai titik tertinggi lintasannya: lintasannya : v t maks  0 g Ketinggian maksimum benda dari permukaan tanah : ymaks  v0tmaks 

1 2

gtm2 aks

(3.20)

2

v02  v0   v0  g    g 2 g g v0

1 2

(3.21)

Benda kembali ke tanah ketika y = 0 dalam waktu t to to t sejak dilemparkan. y  v0 ttot  21 g t t2ot  0

ttot



2v0 g

 2t maks

(3.22)

Dari per.(3.22), kita dapat menyimpulkan bahwa lama benda bergerak naik sama dengan turun. Kecepatan benda benda saat kembali kembali ke pos pos is i semula: semula:

vturun

 2v   v0  gttot  v0  g  0   v0  g 

(3.23)

Tanda kecepatan negatif menunjukkan benda bergerak turun. Kelajuan awal benda sama dengan kelajuan akhir benda kembali ke titik awal pelemparan. vy(t)

y(t) y(t)

a y(t)

H v0 x t maks 2t maks maks

t

t t maks maks

-g

t

Gbr. 3.7 : Kurva y(t),v(t) y(t),v(t) dan a(t) untuk benda dilemparkan dilemparkan vertikal ke atas

Kita perhatikan kasus benda jatuh bebas dari ketinggian y 0 dari atas permukaan tanah, seperti Gbr.3.6b. Percepatan benda adalah a  g  9,8m s 2 . Benda jatuh bebas memiliki kecepatan awal sama dengan nol, v0 = 0. Persama Pe rsamaan an posisi posisi benda benda jatuh atu h bebas bebas diperoleh dari dari pers.(3.10), pers.( 3.10), pers.(3.13) pers.( 3.13) dan pers.(3.15) pers.(3.15) dengan dengan mensub mensubsti stitusik tusikan an y0 =0, a  g dan v0 = 0, kita peroleh v  gt

(3.24) 12


y  h  12 g t 2

(3.25)

(3.26) v2  2g  y  h  Bola menumbuk permukaan tanah ketika y = 0. Waktu yang diperlukan bola tiba di tanah adalah : 2 0  h  12 g t turun

t turun 

2h

(3.27)

g

Kecepatan benda saat mecapai tanah adalah : vturun  gtturun 

(3.28)

2 gh

Contoh 3.8 : Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dengan kecepatan 30 m/s dari permukaan tanah. Abaikan 2 gesekan gese kan udara dan percepatan perce patan gravitasi gravitas i bumi g bumi g =10 =10 m/s . Hitung : a. lama bola bo la bergerak bergera k naik. naik. b. ketinggian maksimum bola! c. lama bola bergerak turun. d. kecepat kecepa tan bola bola membentur tanah. tana h. Pembahasan : a. Waktu yang diperlukan diperlukan benda untuk berger bergerak ak naik mencapai tit tit ik tertinggi adalah t naik 

v0 g



30 10

 3s

b. Ketinggian Ketinggian maksi maks imum bola adalah hmaks 

v02 2 g



302 2  10

 45m

c. Waktu yang diperlukan diperlukan benda untuk turun adalah t turun 

2hmaks g



2  45 10

 3s

Kita dapat menyimpulkan bahwa jika tidak ada gesekan udara, maka lama bola bergerak naik dan turun sama. d. Kecepatan Kecepata n bola bola saat membentur membentur tanah ta nah adalah adalah vt  2 ghmaks 

2  10  45  30 30 m s

Jika tidak ada gesekan udara maka kecepatan awal bola dan kecepatan akhir bola saat kembali ke titik pelemparan sama besar. Contoh 3.9 : Bola A jatuh bebas dari puncak sebuah gedung ketinggiannya H , , bersamaan dengan bola B dilemparkan vertikal ke atas dari permukaan tanah. Ketika bola A dan bola B bertumbukan, kelajuan bola A sama dengan dua kali kelajuan bola B. Tentukan ketinggian h titik ter jadinya tumbukan tumbukan di atas ata s permukaan permukaan tanah.

13


Pembahasan : Mari kita ambil permukaan tanah sebagai titik asal koordinat, y koordinat, y = = 0. Posisi dan kecepatan bola A : y A  H  12 gt 2

 gt

v A

Posisi dan kecepatan bola B: y B  v 0t  12 gt 2

 v0  gt

v B

Ketika te rjadi tumbukan, tumbukan,

y A

 y B dan

v A  2v B

Tumbukan terjadi dalam waktu t c. Kita peroleh hubungan : H  12 gt c2  v 0t c  12 gt c2

H

 v0t c

dan gt c  2  v 0  gt c 

v0 

3 gt c 2

Dari hubungan H t c 

 v0t c dan

v0 

3 gt c , kita kita per peroleh oleh : 2

2 H 3 g

Ketinggian Ketinggian ti t it ik terjadinya terjadinya tumbukan : h  H  12 gt c2  H  13 H 

2 3

H

3.5 Ge rak re latif s atu dime dime ns i

Posisi sebuah benda selalu diukur relatif terhadap sebuah kerangka acuan. Kerangka acuan yang biasa biasa digunakan digunakan adalah adalah bumi atau a tau tanah. Sebuah Sebuah objek objek O bergerak bergerak bergerak relatif relatif terhadap kerangka kerangka acuan A dan kerangka kerangka acuan ac uan B (li (lihat Gambar 3.8). Posisi P osisi objek ob jek relatif relat if terhadap kerangka acuan A ad a dalah

xO, A . Pengamat A berada dalam kerangka acuan A, sedangkan pengamat B berada dalam kerangka acau aca uan B. Posisi objek objek relatif terhadap pengamat B adalah xO, B . Posisi pengamat B relatif terhadap pengamat pengamat A adalah adalah x B, A . Persamaan posisi objek:

xO, A  x B, A  xO, B

(3.29)

14


A

B

x B, A

O

xO,B xO, A

x

x

Gambar 3.8 3.8 : Gerak objek O dia mati oleh pengamat A dan pengamat B

Persama Pe rsamaan an kecepatan kecepata n objek objek diperoleh diperoleh dar i turunan turunan pertama perta ma posisi terhadap waktu.

dxO, A dt



dx B , A dt



dx O , B dt

vO, A  v B, A  vO, B

(3.30)

Kecepatan objek relatif terhadap pengamat A adalah vO, A . Kecepatan pengamat B relatif terhadap pengamat pengamat A adalah adalah v B, A . Kecepatan objek objek relatif terhadap pengamat pengamat B adalah

vO, B

 vO, A  v B, A

(3.31)

Percep Pe rcepatan atan objek objek di d iperoleh dari turunan tur unan pertama pers.(3.30) per s.(3.30) terhadap waktu.

dvO, A dt



dv B , A dt



dv O , B dt

aO, A  a B, A  aO, B

(3.32)

Percepatan objek relatif terhadap pengamat A adalah aO, A . Percepatan pengamat B relatif terhadap pengamat pengamat A adalah adalah a B, A . Percep Perce patan objek objek relatif relatif terhadap pengamat B adalah

aO,B  aO, A  a B, A

(3.33)

Perhatikan contoh kasus gerak sebuah benda diamati oleh pengamat A berapada di tanah(bumi) dan pengamat pengamat B berada berada dalam dalam pesawat. pesawat. Kita Kita dapat menuli menuliskan: skan:

vbenda, pesaw sawat  vbenda , tan ah  v pesaw sawat , tanah

(3.34)

atau disingkat menjadi

vbenda , pesaw sawat  vbenda nda  v pesa pesawa wat t

dengan asumsi bahwa v bend a dan v pesawat diukur dalam kerangka acuan yang sama.

(3.35)

Contoh 3.10 : Mobil A dan B bergerak beriringan, mobil B berada di belakang mobil A. Kecepatan mobil A relatif terhadap tanah adalah 30 m/s dan kecepatan mobil A relatif terhadap mobil B adalah 10 m/s. Hitung kecepatan mobil B relatif terhadap tanah. Pembahasan : Kecepatan mobil A relatif terhadap tanah adalah v A,Tanah  30m s . Kecepatan mobil A relatif terhadap

mobil B adalah v A, B  10 m s . Kecepatan mobil B relatif re latif terhadap tanah adalah v B ,Tanah . v A, B  v A, Tanah  v B ,Tanah 10 m s  30 m s  v B, Tanah

15


Jadi, kec kecepatan epatan mobil mobil B relatif relat if terhadap tanah ta nah adalah adalah v B , Tanah  10 m s . Contoh 3.11 : Seoarang anak mencapai mencapai lantai atas dari lantai lantai bawah bawa h menggu menggunakan nakan sebuah eskalator. Jika Jika dia berjalan di atas sebuah tangga eskalator yang sedang bergerak , maka dia memerlukan waktu 1 menit . Jika dia hanya berdi berdiri di atas tangga tangga eskalator, eskalator, maka maka dia dia membutuhk membutuhkan an waktu 2 menit. menit. Jika tangga tangga eskalator di diam, berapa lama anak tersebut berjalan? Asumsikan kecepatan gerak eskalator dan anak itu selalu tetap. Pembahasan : Misalkan panjang eskalator yang menghubungkan lantai bawah dan lantai atas adalah L. L. Kecepatan eskalator relatif terhadap lantai bawah adalah v eb , sedangkan kecepatan orang relatif terhadap eskalator adalah voe . Kita akan meninjau gerak sistem ini dalam tiga kasus. Kasus pertam pertama a , eskalator bergerak dan anak bergerak membutuhkan waktu t 1 = 1 menit = 60 detik.

 voe  veb  t1  L 60 v oe  60 veb  L Kasus kedua kedua,, eskalator bergerak dan anak diam diam ( voe =0) di atas di atas eskalator eskalator membutuhkan membutuhkan waktu w aktu t 1 = 2 menit = 120 detik.

 v oe  v eb  t 2  L 120 veb

L

Kasus ketiga ketiga,, eskalator diam (v oe =0) dan anak berjalan berjalan di atas ata s eskalator membutuhkan membutuhkan waktu t 3 .

 v oe  v eb  t 2  L v oe t 3

L

Dari kasus pertama dan kedua kita peroleh bahwa voe = veb, sehingga L  120 v oe . Lama waktu t 3 adalah 120 detik atau 2 menit. 3.6 Ge rak lurus tidak be be raturan

Gerak lurus tidak beraturan merupakan gerak benda dengan percepatan tidak konstan. Perpindahan atau kecepatan benda tidak sama tiap selang waktu yang sama. Percepatan benda dapat bergantung waktu, kecepatan atau posisi. Secara umum, luas kurva percepatan benda a(t) dalam selang waktu t 1 sampai t 2 menunjukkan menunjukkan perubahan per ubahan kecepatan kece patan benda. t 2

v  v0   a  t  dt

(3.36)

t 1

Luas kurva kecepatan benda v(t) dalam selang waktu t 1 sampai t 2 menunjukk menunjukkan an perubahan posisi benda. t 2

x  x0   v  t  dt

(3.37)

t 1

Percepatan diperoleh dari posisi dan kecepatan menggunakan metode turunan, sedangkan posisi dan kecepat kecepa tan dipero diperoleh leh dari perc percepata epatan n menggunakan menggunakan metode integra integra l.

Contoh 3.12 : Per Per cepatan cepatan benda berga berga ntu ng wak wak tu, a(t).

16


Sebuah benda mula-mula diam di posisi titik asal. Partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan x dengan perubahan percepatanny percepatannyaa konstan konstan diber diberiikan oleh persamaan a  6t m s 2 . Tentukan posisi dan kecepatan benda setiap waktu. wa ktu. Pembahasan : Bentuk turunan percepatan benda : dv

a

dt

 6t

dv  6t dt dt Kecepatan diperoleh dengan mengintegralkan masing-masing ruas :

 dv   6t dt 2 v  3t  c

Kecepatan v  v0

0

saat t=0, maka c = 0. Kecepatan partikel sebagai fungsi waktu:

v  t   3t 2 m s

Bentuk turunan turunan kecepata kec epatan n benda : v

dx dt

 3t 2

 dx   3t

2

dt

x  t 3  c  Posisi x  x0

 0 saat t=0 , maka

c  0 . Posisi partikel setiap waktu adalah

x  t   t 3 m s ercepatan tan benda bergan bergan tun g ke k ecepa cepatan, tan, a(v). Contoh 3.13 : Percepa Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x as al ( x=0) x memiliki kecepatan awal v0 di titik asal x=0) . Partikel 2 kemudian mengalami percepatan sebagai fungsi percepatan diberikan oleh persamaan a= - kv dimana k adalah suatu konstanta positif. Tentukan persamaan percepatan, kecepatan dan posisi partikel sebagai fungsi waktu.

Pembahasan : Bentuk turunan turunan percepata perc epatan: n: dv   kv 2 dt

dv

 v 2   dt 1

  t  c v

Keepatan v = v0 saat t=0, maka c  1 v0 .

1

v

 t 

1

v0

Kecepatan benda sebagai fungsi waktu : 17


v  t  

v0 1  v0t

Posisi partikel se tiap waktu diperoleh diperoleh dengan mengintegralkan v  t  terhadap waktu.

 v0   dt 1 v t   0 

 dx   

Kita dapat menyelesaikan integral di atas menggunakan metode integral substitusi. Misalkan, u  1  v0t , maka du  v0dt . Karena itu,

 dx  

du u

x  ln u  c  ln 1  v0t   c Posisi x = x = 0 saat t = 0, 0, maka maka c   ln 1  0 . Posisi benda sebagai fungsi waktu:

x  t   ln 1  v0t  Percep Pe rcepatan atan partikel partikel dalam dalam fungsi waktu :

a  t  

dv dt



 v0    v02   dt  1  v0t  1  v0t  2 d

Contoh 3.14 : Percepa ercepatan tan benda benda bergantu ng posisi, a(x) . Sebuah partikel partikel bergerak sepanjang sumbu x den dengan gan perc percepatan epatan sebagai fungs fungsii posisi di d iberi ber ikan oleh oleh 2 persamaan persamaan a = - ω x, x, dimana ω adalah konstanta positif. Benda mula-mula memiliki kecepatan awal v0 = 0 dan posis posis i mula-mula x mula-mula x 0 = A . Tentukan persamaan persamaa n posisi x(t) partikel parti kel ini. ini. Pembahasan: Persama Pe rsamaan an percepatan partikel : av

dv dx

  2 x

 vdv    x dx 2

1 2 v 2

  12  2 x 2  c

Kecepatan v Kecepatan v0=0 saat posisi x posisi x = = A A,, maka c 

2 1  A 2

. Kecepatan partikel dalam fungsi posisi adalah :

v  x    A2  x 2 Kecepatan benda dalam bentuk turunan : v

dx dt

  A2  x 2

dx A  x 2

x



A

2

  dt

dx A 2  x 2

t

   dt 0

Gunakan Gunakan hasil integral inte gral bahwa 

x  sin 1   . Jadi, 2 2  A  A  x dx

18

Pemb Pe mbin inaa Olimpiade Fisika davitsipayung.com x

 x    t   A  A

sin 1 

 x      t   A  2

sin 1 

Persamaan posisi partikel sebagai fungsi waktu adalah x  A sin  t 



2



3.7 Ge rak saling bergantung

Gerak benda biasanya sa ling ling bergantung dengan benda la innya. innya. Gerak sal sa ling ing bergantun ber gantung g diselesaikan menggunakan fungsi kendala (constrain ( constrain function). function ). Fungsi kendala menyatakan hubungan posisi benda dengan benda lainnya selama proses gerak dalam sistem. Kita akan mendapatkan hubungan kecepatan dan percepatan percepatan masing-m masing-masing asing benda benda dari fung fungss i kenda kenda la dengan dengan menemu menemukan kan turunan turunan fungsi fungsi kendala kendala terhadap terhadap waktu. Kita memerlukan kemampuan geometri untuk menggambarkan diagram perpindahan masingmasing benda. Fungsi kendala diperoleh dari geometri gerak benda atau tali yang membatasi gerak benda. Fungs Fungsii kenda kenda la serin se ring g diperlukan dalam menyel menye lesai esa ikan dinamika gerak benda. Dua buah benda bermassa m 1 dan m2 disusun menggunakan tali ringan dan dua katrol licin, lihat Gambar Gambar 3.9. Katrol pertama posisinya posisinya selalu s elalu tetap, sedangkan katrol kedua dapat dapa t bergerak vertikal. vertikal. Ujung Uj ung tali diikatkan pada benda m1 dan atap. Sekarang kita akan mencari hubungan kecepatan dan percepatan antara benda m1 dan m2. Misalkan panjang tali panjang adalah l . Jari-jari silinder pertama dan kedua berturut-t berturut-turu urutt adalah adalah R 1 dan R 2. Posisi benda m1 dari pusat katrol pertama adalah y 1 dan posisi katrol kedua dari atap adalah y 2. Kecepatan dan percepatan katrol kedua dan benda m 2 sel se la lu tetap. te tap. Jara k antara antara pusat pusat katrol pertama pertama dan atap atap adalah adalah c c.. c y 2

y 1 m1 m2

Gambar Gambar 3.9 :Koor :Koor dinat fungsi kendala s istem benda-katrol Fungsi kendala sistem ini adalah

l  y1   R1  y2  c   R1  y2 Panj Pa njang ang tali ta li l selalu tetap sehingga sehingga turunan turunan l terhadap te rhadap waktu wa ktu sama dengan nol. nol. dy dl dy1  2 2 0 dt dt dt Kita peroleh hubungan kecepatan m 1 dan m2 adalah v1 = -2 v2 . Tanda negatif menunjukkan arah gerak m1 berlawanan berlawanan dengan dengan m2 . Hubungan perepatan m1 dan m2 : d 2 y1 dt 2

2

d 2 y2 dt 2



dv1 dv  2 2 atau a1  2a2 . dt dt

19


3.8 Soal dan dan pe mbahas mbahas an

1.

Persamaan posisi sebuah partikel ditunjukkan oleh x  t   At 2  Bt  C

dimana x dimana x dalam dalam meter dan t dalam dalam sekon. a. Tentukanlah Tentukanlah satuan s atuan dari koefisien koef isien A, B dan C! b. Tentukan kecepatan partikel, v(t), dalam fungsi waktu! c. Tentukan percepatan partikel, a(t), dalam fungsi waktu! 2 d. Saat t =0 posisi x posisi x = = 6 m, kecepatan v = - 5 m/s dan percepatan a = 2 m/s . Hitung nilai A, B dan C! 2.

Sebuah benda bergerak dengan persamaan posisi diberikan oleh x(t )  5  12t 2  2t 3 dimana x dimana x dalam dalam meter dan t dalam sekon. a. Tentukan posisi benda saat t = 1 detik. b. Berapa kecepatan benda saat t = 2 detik? c. Hitung jarak tempuh benda sampai sesaat berbalik arah. d. Kapan percepatan perce patan benda benda nol? nol?

3.

Kurva di bawah ini menunjukkan posisi partikel mulai bergerak dari keadaan diam pada t = 0, bergerak bergerak sepanj sepanjang sumbu sumbu x. Antara t = 0 dan t = 8 s , persamaan persamaan posis posis i partike partike l dinyatakan dinyatakan oleh x oleh x = 2 t , dimana x dalam meter dan t dalam sekon. a. Berapa jarak total yang ditempuh oleh partikel setelah bergerak 12 s? b. Berapa kecepatan partikel ketika t = 4 s, t = 10 s dan t = 16s? c. Gambarkan grafik kecepatan partikel terhadap waktu! x ( m) 100 80 60 40 20 0

2

4

6

8

10 12

14 16 18 20

22

t ( s)

4. Sebuah partike partike l bergerak sep se panjang anjang sumbu x menurut persamaan persamaa n x  At  Bt 2

dimana A dan B adalah konstanta numerik. a. Tentukan dimens dimensii konstanta konstanta A dan B! b. Hitung ( dalam A dan B) kecepatan rata-rata partikel setelah 3 detik bergerak ( t=0 sampai t= 3s)! c. Hitung kecepatan sesaat partikel saat t = 3 s! 2 d. Sekarang gunakan nilai konstanta A = 50 m/s dan B = 10 m/s . Gambarkan grafik v(t) untuk gerak benda 3 detik pertama! 20


5. Sebuah benda titik mulai bergerak sepanjang garis lurus dengan percepatan konstan a. Pada waktu t 1 setelah sete lah benda bergerak, arah percepatan mobil diubah , nil n ilaa inya tetap teta p sama. Hitung Hitung waktu T dari dari mulai bergerak bergerak sampai sampai partikel partikel kembali kembali ke ke posisi semula. 6.

Dua mobil mulai bergerak bersama-sama saling mendekati sepanjang lintasan lurus. Mobil 1 mulai bergerak bergerak dari titik titik A dengan dengan kecepat kece patan an v1 ; Mobil 2 mulai bergerak dari titik B dengan kecepatan v2 . Percepatan mobil 1 adalah a 1 ; percepatannya menuju titik A. Percepatan mobil 2 adalah a 2; percepatanny percepatannyaa menuju menuju titik titik B. Dalam proses geraknya,m geraknya,mobil obil A dan mobil B bertemu dua kali; kali; se lang waktu pertemuan perte muan mereka mereka adalah T . Hitung jarak antara A dan B!

7. Sebuah benda dilemparkan secara vertikal ke atas dengan kelajuan 30 m/s, dan ketinggiannya s m setelah t s diberikan oleh h  30t  5t 2 . a. Tentukan kecepatan sesaat benda setiap waktu t . b. Kapan benda be nda menca mencapai pai tit tit ik tertingginy terting ginya? a? c. Hitung ketinggian maksimum benda!

21

BAB 3 Kinematika Satu Dimensi

Recommend Documents