Bab 1 Satu Variabel

Misalkan pada sebuah eksperimen, seseorang memilih secara acak sebuah titik dari selang tertutup [a; b]; a < b ;   pada sebuah garis real. Jadi ruang sampel  adalah [a; b]: Misalkan variabel acak X   adalah fungsi identitas yang terde…nisi pada : Maka ruang  dari X  adalah = :  Misalkan diasumsikan bahwa jika sebuah interval A adalah subset dari ; maka peluang dari kejadian A  adalah sebanding dengan panjang A: Oleh sebab itu, jika A   adalah selang [a; x]; x b; maka

 B

 B

 A

 A B A



P (A) = P (X 

 2 A) =  P (a  X   x) =  c(x  a);

di mana c  adalah konstanta proporsionalitas. Pada ekspresi di atas, jika diambil  x = b; maka 1 =  P (a

 X   b) =  c(b  a);

sehingga c = 1=(b a): Jadi akan ada sebuah model peluang jika diambil fungsi distribusi dari X  adalah F (x) =  P (X  x); menjadi



 

8< : 8< :

F (x) =

0; x a b a;

 

1;

x
 

Dengan demikian, p.d.f dari  X; f (x) =  F 0 (x); dapat ditulis f (x) =

1 b a;

a



0;

 x  b;

yang lainnya.

Turunan dari F (x) tidak ada di  x = a  ataupun di x = b; tetapi himpunan x :  x  =  a; b  adalah himpunan dari peluang berukuran nol, dan kita memilih untuk mende…nisikan f (x) sama dengan 1=(b a) pada dua titik, untuk kenyamanan. P.d.f ini konstan pada :   Jika p.d.f. dari satu atau lebih variabel bertipe kontinu atau bertipe diskrit adalah konstan pada ruang ;  dikatakan bahwa peluang terdistribusi secara  seragam atas : Jadi dalam contoh di atas, dikatakan bahwa X   mempunyai   distribusi seragam  atas selang [a; b]: Berikut ini adalah contoh distribusi yang bukan bertipe kontinu atauppun diskrit.

f

g



 A

 A

A

Example 20 :

Misalkan diketahui fungsi distribusi F (x) = Sebagai contoh, P 



3 < X 

 

1 2

8< :

0; x+1 2 ;

1;

x <  0; 0 x <  1; 1 x:



   = F 

1 2

14



F  ( 3) =



3 4

  0 = 34

dan P  (X   = 0) = F (0)

 F (0) = 12  0 = 12 :

Kita lihat bahwa F (x)   tidak selalu merupakan fungsi kontinu, ataupun fungsi diskrit. Dengan demikian, distribusi yang berkaitan juga bukan distribusi bertipe kontinu ataupun diskrit, tapi dapat digambarkan sebagai campuran dari kedua tipe. Distribusi yang merupakan campuran dari tipe kontinu dan diskrit kenyataannya sering dijumpai dalam praktek. Sebagai ilustrasi, dalam uji kehidupan, misalnya diketahui bahwa lama hidup, sebut saja X;   melebihi bilangan b;   tetapi nilai tepatnya tidak diketahui. Hal ini disebut ’ censoring ’. Sebagai contoh, hal ini dapat terjadi jika sebuah subyek dalam suatu penelitian kanker menghilang; peneliti tahu bahwa subyek tersebut hidup beberapa bulan, tetapi waktu tepatnya tidak diketahui. Example 21 :

Perusahaan reasuransi menaruh perhatian pada kerugian besar karena mereka setuju, sebagai ilustrasi, untuk menutup kerugian diakibatkan kerusakan angin, yaitu antara 2 juta dolar dan 10 juta dolar. Sebut saja  X  sama dengan ukuran kerugian akibat angin dalam jutaan dolar, dan misalkan X  mempunyai fungsi distribusi 0; < x < 0;

8>< 1 >:     8><   1  >:   h i

F (x) =

1

10 10+x

3

; 0

x<

1:

Jika kerugiannya di antara 10 juta dolar dilaporkan hanya sebagai 10, maka fungsi distribusi dari distribusi   censor  ini adalah 0;

F (x) =

1 1;

< x < 0;

10 10+x

3

;

0 x <  10; 10 x < ;

1

3

10 yang mempunyai loncatan (10+10) = 81 di x = 10: Misalkan X  menyatakan variabel acak dengan ruang sampel :  Pandang fungsi Y  = u(X )  dari variabel acak X:  Karena X  adalah sebuah fungsi yang terde…nisi pada sebuah ruang sampel maka Y  = u(X ) adalah fungsi komposit yang terde…nisi pada :   Yaitu Y  = u(X )   sendiri adalah variabel acak yang mempunyai ruang sampel sendiri  = y : y = u(x); x  dan mempunyai fungsi himpunan peluang sendiri. Jika y ;  maka kejadian Y  = u(X ) y muncul jika dan hanya jika kejadian  X  A ; di mana A  = x : u(x) y : Distribusi fungsi dari  Y   adalah

 B

G(y) =  P (Y 

B  C f  2 C  2  A

 A

 2 Ag

f

   g

 y) =  P [u(X )  y] =  P (A):

Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan sebuah metode pencarian fungsi distribusi dan p.d.f dari suatu fungsi variabel acak. Metode ini disebut  teknik fungsi distribusi.

15

Example 22 :

Misalkan f (x) =

8< :

1 2 ;   untuk

 1 < x < 1;

0;   untuk x  yang lain.

adalah p.d.f. dari variabel acak  X: De…nisikan variabel acak  Y   dengan Y  = X 2 : Jika y 0; peluang P (Y  y) adalah sama dengan

 



P (X 2

 y) = P (p y  X   p y):

Dengan demikian, fungsi distribusi dari Y , yaitu G(y) = P (Y  oleh 0; y < 0;

8> < R  >: p  y

G(y) =

p  y

1 2

dx =

1;

  y );  diberikan

p  y ; 0  y < 1; 1  y:

Karena Y  adalah variabel acak bertipe kontinu, p.d.f. dari Y   adalah g(y) = G0 (y) di semua titik kontinuitas dari  g (y): Jadi dapat dituliskan g(y) = Exercise 23 :

8< :

p 1 y ;

0 < y < 1;

2

0;

 

untuk y lainnya.

1. Diketahui fungsi distribusi F (x) =

8< :

0;

8< :

1;

x+2 4 ;

1;

x < 1; 1  x <  1; 1  x:

Gambarkan gra…k F (x) dan kemudian hitung

 12 < X   21 )

(a) P (

(b) P (X  = 0) (c) P (X  = 1) (d) P (2 < X 

  3):

2. Misalkan f (x) = =

0 < x <  1;

0;   untuk x  lainnya,

adalah p.d.f. dari X;  Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari  Y  = Petunjuk: P (Y  y) =  P ( X  y) =  P (X  y 2 ); 0 < y < 1:



p   

 

16

p X:

3. Misalkan f (x) = adalah p.d.f. dari  X:

8< :

4 x 16 ;



2 < x <  2;

0;   untuk x  lainnya,

(a) Gambarkan fungsi distribusinya dan p.d.f. dari X   pada himpunan sumbu yang sama. (b) Jika Y  = X  ; hitung P (Y  1): (c) Jika Z  =  X 2 ; hitung P  Z  41 :

j j

    8< :

4. Misalkan X  mempunyai p.d.f.

4x3 ;

f (x) =

0 < x <  1;

0;   untuk x  lainnya.

Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f dari  Y  = 5. Misalkan f (x) =

8< :

1 3;

2 ln X 4:

1 < x <  2

;

0;   untuk x  lainnya,

adalah p.d.f dari X:  Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari Y  = X 2 : Petunjuk: Perhatikan P (X 2 y)   untuk dua kasus: 0 y < 1 dan 1 y < 4:







6. Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun, berbentuk peubah acak kontinu X  dengan fungsi padat f (x) =

8< :

x; 0 < x <  1; 2 x; 1 x <  2; 0;   untuk x  lainnya.





Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin penghisap debu (a) kurang dari 120 jam, (b) antara 50 dan 100 jam. 7. Umur penyimpanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk peubah acak dengan fungsi padat f (x) =

8< :

20:000 ; (x+100) 3

x >  0;

0;   untuk x  lainnya.

Cari peluangnya bahwa suatu botol akan tahan disimpan 17

(a) paling sedikit 200 hari, (b) antara 80 sampai 120 hari.

18

5

Ekspektasi Variabel Acak

Misalkan X  variabel acak yang mempunyai fungsi kepadatan peluang ( p.d.f  ) f (x) sehingga mempunyai konvergensi absolut yang tertentu, sebut saja,

Xj j

x f  (x)

ada

x

untuk kasus diskrit atau

1

Z  j j

x f (x) ada

1

untuk kasus kontinu. Ekspektasi variabel acaknya adalah  = E (X ) =

X Z 

xf (x);

untuk kasus diskrit, atau

x

1

 = E (X ) =

xf (x);

untuk kasus kontinu.

1

Kadang-kadang ekspektasi E (X )   disebut ekspektasi matematik dari X   atau nilai harapan dari  X:atau rataan X: Example 24 :

Misalkan variabel acak X   yang bertipe diskrit mempunyai p.d.f.seperti ditunjukkan dalam tabel berikut: x f (x)

1

2

3

4

4 10

1 10

3 10

2 10

f (x) = 0;   jika x  tidak sama dengan salah satu dari empat bilangan bulat positif pertama. Hal ini menggambarkan bahwa tidak diperlukan rumus untuk menggambarkan p.d.f. E (X ) = (1)

        4 10

1 10

+ (2)

3 10

+ (3)

+ (4)

2 10

=

Example 25 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. 4x3 ;

8< : Z    Z 

0 < x < 1;

f (x) =

0;   untuk x  lainnya

Maka

1

E (X ) =

1

3

x 4x

dx =

0

0

19

4x5 4x4 dx = 5



1

= 0

4 : 5

23 = 2; 3: 10

Misalkan suatu fungsi variabel acak X  dengan ruang sampel : Sebut saja fungsi ini Y  = u(X ):   Untuk kemudahan, misalkan  X   bertipe kontinu dan y = u(X ) adalah fungsi dari X  yang kontinu naik, dengan fungsi inversnya x = w(y); yang  juga naik. Sehingga Y  adalah variabel acak dan fungsi distribusinya adalah

A

w(y)

G(y) =  P (Y 

 y) =  P (u(X )  y) =  P  [X   w(y)] =

Z 

f (x)dx;

1

dengan f (x) merupakan p.d.f. dari  X: Berdasarkan teorema dasar kalkulus, g(y) =

8< :

G0 (y) =  f  [w(y)] w0 (y); y 0;

 2 B;

untuk yang lainnya,

dengan = y : y = u(x); x : Berdasarkan de…nisi, diketahui konvergensi absolut, maka nilai harapan dari  Y   adalah

B f

2 Ag

1

Z 

E (Y ) =

y g(y)dy:

1 Karena y  = u(x); bagaimana E (Y ) dibandingkan dengan integral

1

I  =

Z 

u(x) f (x)dx:

1 Untuk menjawab itu, ubah variabel integrasi melalui  y = u(x) atau x =  w(y): Karena dy = w 0 y > 0; dx maka 1 1

Z 

Z 

I  = y f  [w (y)] w0 (y)dy = yg(y)dy: 1 1

Dalam kasus ini,

1

E (Y ) =

Z 

1

yg(y)dy =

1

Z 

u(x)f (x)dx:

1

Hal ini secara umum benar dan juga tidak membuat perbedaan apakah X  bertipe diskrit atau kontinu dan Y  = u(x) tidak perlu merupakan fungsi naik dari X: Jika Y  = u(x) mempunyai ekspektasi, maka dapat dicari dari

1

E [u(X )] =

Z 

u(x)f (x)dx;

1 20

(1)

dalam kasus kontinu dan E [u(X )] =

X

u(x)f (x);

(2)

x

dalam kasus diskrit. Dikatakan  E [u(X )] ad.alah ekspektasi (ekspektasi matematik atau nilai harapan) dari u(X ): Remark 26 :

Jika ekspektasi matematik dari  Y  ada, maka integral (atau jumlah) dari

1

Z  j j

 y g(y) dy   atau

X

y g(y)

x

1

ada. Oleh sebab itu, keberadaan  E [u(X )] menyebabkan integral (jumlah) yang berkaitan konvergen absolut. Fakta-fakta yang berguna tentang ekspektasi, jika mereka ada: 1. Jika k  suatu konstanta, maka E (k) = k:  Dengan mengganti u = k; dan mengingat bahwa integral (jumlah) dari suatu konstanta kali sebuah fungsi adalah konstanta kali integral (jumlah) suatu fungsi. Tentu saja, integral (jumlah) dari fungsi  f   adalah 1. 2. Jika k  suatu konstanta dan v  adalah suatu fungsi, maka  E (kv) =  k E (v): Dengan mengganti u = kv  dan menulis kembali ekspresi pada persamaan di atas k  kali integral (jumlah) dari hasil  vf: 3. Jika k1 dan k2   adalah konstanta dan v1 dan v2   adalah fungsi, maka E (k1 v1 + k2 v2 ) =  k 1 E (v1 ) + k2 E (v2 ): Dengan mengganti u = k 1 v1 + k2 v2 ; maka integral (jumlah) dari  (k1 v1 +k2 v2 ) f  sama dengan integral (jumlah) dari k 1 v1 f  plus integral (jumlah) dari  k 2 v2  f : Aplikasi yang berulang dari sifat ini menunjukkan bahwa jika k1 ; k2 ;:::;k m  adalah konstanta dan v1 ; v2 ; ..., v m  adalah fungsi, maka E (k1 v1  + k2 v2  + ::: + km vm ) =  k 1 E (v1 ) + k2 E (v2 ) + ::: + km E (vm ): Sifat ekspektasi ini mengarahkan kita ke simbol  E  sebagai operator linier. Example 27 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. f (x) =



2(1 x);   untuk 0 < x < 1; 0;   untuk x  yang lainnya.



21

Maka 1

1

E (X ) =

Z  Z 

Z 

xf (x)dx =

(x) 2 ( 1

0

1 1

=

2x

0

1

Z  Z 

2

E (X  ) =

2

 2x



2

dx = x

 2 3 x 3

1



1 = ; 3

0

1

Z  

 x) dx

2 dx = x3 3

 1 4 x 2

2

x2 2 (1

x f (x)dx =

0

1 1

=



 x) dx

2

2x

0

3

 2x





sehingga E (6X  + 3X 2 ) = 6

  1 3

+3

1 6

=

1



0

1 = ; 6

5 : 2

Example 28 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. f (x) =



x 6 ;   untuk

x = 1; 2; 3; 0;   untuk x  yang lain.

Maka

3

E (X 3 ) =

X

x3 f (x) =

x

X

x3

x=1

x 1  16  81 98 =  + + = : 6 6 6 6 6

Example 29 :

Misalkan sebuah segmen garis horisontal yang panjangnya 5 dibagai secara acak menjadi 2 bagian. Jika X   adalah panjang sisi yang sebelah kiri, maka masuk akal bila diasumsikan bahwa  X  mempunya p.d.f. f (x) =



1 5;

0 < x < 5 ; 0;   untuk x  yang lain.

Nilai harapan dari panjang  X  adalah 5

1

E (X ) =

Z 

xf (x)dx =

1

Z    x

0

22

1 5

x2 dx = 10

5

 

0

=

25 5 = 10 2

dan nilai harapan dari panjang  5

 X   adalah 5

1

E (5

 X )

=

Z   Z    (5

x) f (x)dx =

=

 x dx = x 5

1

0

(5

0

1 5

Z 



 x 2 10

 x)



=5

5   25 = : 10 2

5



0

1 5

dx

Namun, nilai harapan dari perkalian dua panjang tersebut sama dengan 5

1

E [X (5

 X )]

=

Z   Z    x (5

x) f (x)dx =

=

x

0

=

25 2



 x 2 5

x (5

 x)

 x 3 15

5

0

1 5

Z 

x2 dx = 2





1 dx 5

0

  6

 125 125 25 = = = 15 30 6



5 2

2

:

Jadi secara umum, nilai harapan dari suatu hasil kali tidak sama dengan hasil kali nilai harapan. Example 30 :

Carilah nilai harapan atau ekspektasi dari banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog. Solution 31 :

Misalkan X   menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. Distribusi peluang X  adalah f (x) =

4 x

3 3 x 7 3

   

 ; x = 0; 1; 2; 3:

Dengan perhitungan sederhana diperoleh f ( 0) = 1=35; f (1) = 12=35; f (2) = 18=35 dan  f (3) = 4=35: Jadi nilai harapan dari  X  adalah 1 12 +1 +2 35 35 12 + 36 + 12 12 = = 1; 7: 35 7

 = E (X ) = 0 =

        18 35

+3

4 35

Jadi bila suatu kepanitian beranggotakan 3 orang yang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka ekspektasinya atau rataratanya akan beranggotakan 1,7 kimiawan.

23

Example 32 :

Dalam suatu permainan, seseorang mendapat Rp 5 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp 3 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya? Solution 33 :

Ruang sampel untuk kemungkinan hasil bila 3 uang dilantunkan sekaligus, atau sama saja dengan bila 1 uang dilantun 3 kali, ialah T  = MMM;MMB;MBM;BMM;MBB;BMB;BBM;BBB :

f

g

Dapat dilihat bahwa tiap titik sampel berpeluang sama dan masing-masing terjadi dengan peluang 1/8. Cara lain adalah dengan menggunakan aturan perkalian peluang kejadian bebas pada semua unsur T. Sebagai contoh, P (MBB) =  P (M )P (B)P (B) =

    1 2

1 2

1 2

=

1 : 8

Peubah acak yang menjadi perhatian adalah  Y ; besarnya kemenangan, dan kemungkinan nilai Y  adalah Rp 5 bila kejadian E 1  = MMM;BBB yang muncul dan -Rp3, bila kejadian E 2 = MMB;MBM;BMM;MBB;BMB;BBM  yang muncul. Karena E 1 dan E 2  terjadi masing-masing dengan peluang 1/4 dan 3/4, maka 1 3  = E (Y ) = 5 + ( 3) = 1: 4 4

f

f







g

g



Dalam permainan tersebut, si pemain rata-rata akan kalah Rp 1 per lantunan 3 uang logam. Suatu permainan dianggap ”adil” bila si pemain, rata-ratanya tidak menang atau kalah. Dengan kata lain, nilai harapannya sama dengan nol. Example 34 :

Sebuah mangkok berisi 5 chips, yang tidak dapat dibedakan hanya dengan menyentuh. Tiga chips tersebut masing-masing ditandai dengan $1 dan sisanya ditandai $4. Seorang pemain yang ditutup matanya mengambil dua chip tersebut dari dalam mangkuk secara acak dan tanpa pengembalian. Pemain tersebut dibayar dengan uang yang nilainya sama dengan banyaknya nilai dua chips yang ia ambil dan permainan selesai. Jika untuk memainkan game tersebut biayanya $4,75, apakah kita mau berpartisipasi untuk waktu yang lama? Karena kita tidak dapat membedakan chipsnya dengan sentuhan, kita asumsikan bahwa masing-masing dari 10 pasangan yang dapat diambil tersebut, mempunyai peluang yang sama untuk diambil. Misalkan variabel acak  X  merupakan banyaknya chips dari dua chip yang dipilih, yang ditandai $1, maka berdasarkan asumsi, X  mempunyai distribusi hipergeometrik p.d.f. f (x) =

(

( )( ) ; x = 0; 1; 2 () ; 0;   untuk x  yang lain 3

x

2

2x

5 2

24

Dengan perhitungan sederhana diperoleh f (0) = f (1) = f (2) =

"    #    "    #    "    #    3 0

2 2

5 2

3 1

2 1

5 2

3 2

2 0

5 2

=

1:1 1 = ; 10 10

=

3:2 6 = ; 10 10

=

3:1 3 = : 10 10

Jika X  = x;   maka pemain tersebut menerima u(x) = x + 4(2 dolar. Oleh sebab itu, ekspektasi matematikanya sama dengan 2

E (8

 3x)

=

2 2 x 5 2

X  X            (8

3x) f (x) =

x=0

(8

3x)

x=0

1 +5 10 8 + 30 + 6 = 10

= 8 =

3 x

2

 x) = 8  3x 

6 3 +2 10 10 44 = 4; 4 10

atau sama dengan $4,40. Exercise 35 :

1. Misalkan X   mempunyai p.d.f. f (x) = (x+2)=18; untuk 2 < x <  4; dan 0 untuk x yang lainnya. Tentukan  E (X ); E [(X +2) 3 ] dan E [6x 2(X +2) 3 ]:





2. Misalkan f (x) = 51 ; x = 1; 2; 3; 4; 5; dan 0 untuk x lainnya, adalah p.d.f. dari variabel acak bertipe diskrit. Hitung E (X ) dan E (X 2 ):   Dari hasi 2 tersebut, carilah E [(X + 2)2 ] dengan menuliskan (X  + 2) = X 2 + 4X + 4: 3. Banyaknya mobil X  yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara  jam 13.00-14.00 mempunyai distribusi peluang x P (X  = x)

4

5

6

7

8

9

1 12

1 12

1 4

1 4

1 6

1 6

Misalkan g(X ) = 2X  1  menyatakan upah (dalam ribuan rupiah) para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.

 

4. Misalkan X  suatu peubah acak dengan fungsi kepadatan f (x) =

x2 3  ;

 1 < x <  2

0;   untuk x  yang lain.

Hitunglah nilai harapan dari  g(X ) = 4X  + 3: 25

5. Sebuah mangkuk berisi 10 chips, di mana 8 di antaranya ditandai dengan $2 dan dua sisanya ditandai dengan $5. Misalkan seseorang memilih 3 chips dari dalam mangkuk secara acak tanpa pengembalian, Jika orang tersebut menerima sejumlah uang dari nilai chips yang diperoleh, tentukan ekspektasinya. 6. Misalkan X  peubah acak yang menyatakan umur (jam) sejenis bola lampu. Fungsi kepadatan peluangnya (p.d.f.) diberikan oleh f (x) =



20:000 x3 ;

  jika x > 100 : 0;   untuk x  lainnya.

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi.

26

6

Beberapa Ekspektasi Khusus

Misalkan X  adalah variabel acak bertipe diskrit yang mempunyai fungsi kepadatan peluang (p.d.f.) f (x): Maka E (X ) =

X

xf (x):

x

Jika titik-titik diskrit dari ruang kepadatan peluang positif adalah  a 1 ; a2 ; a3 ; ... maka E (X ) = a 1 f (a1 ) + a2 f (a2 ) + a3 f (a3 ) + ::: Nilai rata-rata ( mean )   (jika ada) dari variabel acak X  bertipe diskrit atau kontinu adalah   = E (X ) : 2 Bila u (X ) = (X  ) ; dengan X  adalah variabel acak bertipe diskrit yang mempunyai p.d.f. f (x), maka





E  (X 

 )2

 X

 )2 f (x)

=

(x

= (a1

 )2 f  (a1) + (a2  )2 f  (a2) + :::

Variansi dari X;  dinyatakan dengan  2 ; dan dide…nisikan dengan  2 (jika ada) adalah 2 = E  (X  )2 = E  X 2 2X  + 2 :





       



Karena E  adalah operator linier, maka 2

= E  X 2

2E (X ) + 2

= E  X 2

22 + 2

= E  X 2

2 :



Akar dari variansi   2 adalah ; dan dinyatakan sebagai deviasi standar dari  X: Bilangan    kadang-kadang dinyatakan sebagai ukuran dispersi dari titik-titik suatu ruang, relatif terhadap nilai rata-rata :  Jika ruangnya hanya memuat satu titik x  di mana f (x) > 0; maka   = 0: Remark 36 :

1. Misalkan variabel acak  X  bertipe kontinu mempunyai p.d.f. f (x) =

p 

8< :

1 2a ;

 a < x < a;

0;   untuk x  lainnya,

maka   = a= 3 adalah deviasi standar dari distribusi  X: 2. Misalkan variabel acak  Y  bertipe kontinu mempunyai p.d.f. g(y) =

p 

8< :

1 4a ;

 2a < y < 2a

0;   untuk x  lainnya,

maka   = 2a= 3; yang merupakan deviasi standar dari distribusi  Y : 27

Perhatikan bahwa deviasi standar dari  Y  lebih besar dari X:  Hal ini menun jukkan bahwa peluang untuk Y  lebih terdistribusi secara luas (relatif terhadap rata-rata nol) daripada peluang untuk  X: Misalkan ada bilangan positif  h, sehingga untuk h < t < h   ekspektasi matematik E (etX ) ada. Jadi

 

tX

E (e

1

)=

Z 

etX f (x)dx;

1  jika X  variabel acak bertipe kontinu atau

X

E (etX ) =

etX f (x);

x

 jika X  variabel acak bertipe diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit moment (m.g.f.) dari  X  dan dinyatakan dengan M (t); yaitu M (t) =  E (etX ): Jika t = 0;  maka M (0) = 1:  Jika dua variabel mempunyai m.g.f. yang sama, maka mereka mempunyai distribusi yang sama. Berikut ini adalah contoh fungsi pembangkit momen (m.g.f.) dari suatu variabel acak X  bertipe diskrit untuk semua bilangan riil  t: M (t) =

1 t 2 3 4 e + e2t + e3t + e4t : 10 10 10 10

Jika dimisalkan  f (x) adalah p.d.f. dari X  dan misalkan   a;b;c;d;:::  merupakan titik-titik diskrit di ruang  X  dengan f (x) > 0; maka M (t) =

X

etx f (x);

x

atau

1 t 2 3 4 e + e2t + e3t + e4t = f (a)eat + f (b)ebt + ::: 10 10 10 10 Dengan membandingkan kedua ruas, dapat diambil a = 1; f (a) =

1 2 3 4 ; b = 2; f (b) = ; c = 3; f (c) = ; d = 4; f (d) = : 10 10 10 10

Atau lebih sederhana, p.d.f. dari  X  adalah f (x) =

8< :

x 10 ;

x = 1; 2; 3; 4;

0;   untuk x  lainnya.

Dengan kata lain, misalkan X  adalah variabel acak bertipe kontinu dan diketahui 1 M (t) = ; t <  1 1 t



28

adalah m.g.f. dari  X: Berdasarkan de…nisi,

1

1

1

Z 

 t = 1e

tx

f (x)dx;

t < 1:

Suatu distribusi dengan p.d.f  f (x) =

8< :

ex ;

0 < x <

1;

0;   untuk x  lainnya

1

mempunyai m.g.f. M (t) = (1 t) ; t < 1: Jadi variabel acak X   mempunyai distribusi dengan p.d.f. ini sesuai dengan penekanan pada ketunggalan m.g.f. Karena distribusi yang mempunyai m.g.f. M (t) ditentukan oleh M (t); maka tidak mengherankan jika memperoleh beberapa sifat dari distribusi langsung dari M (t):   Sebagai contoh, eksistensi M (t)   untuk h < t < h  menyebabkan turunan dari semua orde ada di  t = 0: Jadi dengan menggunakan teorema yang membolehkan kita untuk mengubah orde turunan dan integrasi, diperoleh



 

1

dM (t) = M 0 (t) = dt

Z 

x etx f (x)dx;

1  jika X  bertipe kontinu, atau dM (t) = M 0 (t) = dt

X

xetx f (x);

x

 jika X   bertipe diskrit. Dengan mengambil  t  = 0; diperoleh M 0 (0) = E (X ) =  : Turunan kedua dari M (t) adalah

1

Z   

M 00 (t) =

x2 etx f (x)dx   atau

X

x2 etx f (x);

x

1

sehingga M "(0) = E  X 2 : Dengan demikian, var  (X )  sama dengan 2 = E (X  2 )

 2 = M 00(0)  [M 0 (0)]2: Sebagai contoh, jika M (t) = (1  t)1 ; t < 1;   seperti dijelaskan sebelumnya, maka M 0 (t) = (1  t)2 dan M 00 (t) = 2(1  t)3 : Oleh sebab itu,  = M 0 (0) = 1  dan  M 00 (0) = 2 29

sehingga

 2 = M 00 (0)

 2 = 2  1 = 1:

Cara lain untuk menentukan  dan  2 adalah dengan menghitungnya dari p.d.f., yaitu:

1

 =

Z 

x f (x) dx  dan   2 =

1

1

Z 

x2 f (x) dx

1

 2:

Secara umum, jika  m adalah bilangan bulat positif dan jika  M (m) (t) berarti turunan ke m  dari M (t); diperoleh: M (m) (0) = E (X m ); sehingga E (X m ) =

1

Z 

xm f (x) dx  atau

X

xm f (x)

x

1

Karena M (t)   membangkitkan nilai-nilai dari E (X m );   dengan m = 1; 2; 3;::: maka M (t)   disebut fungsi pembangkit momen (m.g.f. =   moment-generating   function ). Namun kadang-kadang  E (X m ) disebut momen distribusi ke-m atau momen ke-m dari X: Example 37 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. f (x) =

8< :

1 2 (x

0

+ 1);  

 1 < x < 1

untuk x  lainnya.

Maka nilai rata-rata ( mean ) dari X  adalah 1

1

 =

x f (x) dx  =

1

1 = =

1 1 x (x + 1) dx  = 2 2

1

Z  Z  Z               1 2

1 2

1 3  1 2 x + x 3 2 1  1  + 3 2

1

1 = 1 2 1  1  + 3 2

x2 + x dx

1

1  1 3 2  (1) +  (1) 3 2 =

1 2

30

2 3

=

1 : 3

1  1 3 2  ( 1) +  ( 1) 3 2







Variansi dari X  adalah 

2

1

1

=

2

2

x f (x) dx

= = =

1 2 1 2 1 2 1 3

3

2

x +x

 

1 3

1

1

1

(x + 1) x dx 2 2

 =

1 =

2

  Z  Z      Z                          1 1 = 9 2

dx

1  1 4 3  (1) +  (1) 4 3 1  1 1  1  + 4 3 4 3  1 2 = 9 9

1 4  1 3 x + x 4 3

1

 1 9

1

1  1 4 3  ( 1) +  ( 1) 4 3  1 1 2  1 = 9 2 3 9

 1 9

Example 38 :

Jika X  mempunyai p.d.f. f (x) =

1 x2 ;

8< :

1 < x <

1;

0;   untuk x  lainnya.

maka nilai rata-rata dari  X  tidak ada, karena

1

 =

Z 

1

x f (x) dx  =

1 =

lim

b

!1

1

b

1 x 2 dx = x

Z 

1 dx = lim (ln b b!1 x

Z  1

1

1 dx x

Z  1

 ln1) :

Example 39 :

Misalkan X  mempunyai fungsi pembangkit momen m.g.f. 2

M (t) =  e t

=2

;

 1 < t < 1:

Fungsi M (t) ini dapat dinyatakan dengan deret MacLaurin sebagai berikut: t2 =2

e

t2 2

2

3

k

1 t2 1 t2 1 t2 + + + ::: + + ::: 2! 2 3! 2 k! 2 t2 t4 t6 t2k = 1+  +  +  + ::: + + ::: (1!) :2 (2!) :4 (3!) :8 (k!) :(2)k 1  (3)(1) 4  (5) : (3) : (1) 6  (2k 1) ::: (3)(1) 2k = 1 + t2 + t + t + ::: + t + ::: 2! 4! 6! (2k)! 1 = 1+ 1!

  

 

31

Keterangan: t4 (2!) :4 t6 (3!) :8

1 4   (3)(1) 4  (3)(1) 4 t = t = t ; 8 (3) : (8) 4! 1 6   (5)(3) (1) 6  (5)(3) (1) 6 = t = t = t ; 2:4:6 1:2:3:4:5:6 6! dan seterusnya. =

Secara umum, deret MacLaurin untuk  M (t) adalah  M 0 (0)  M 00 (0) 2  M 000 (0) 3  M (m) (0) m M (t) = M (0) + t+ t + t + ::: + t + ::: 1! 2! 3! m!  E  X 2 2  E  X 3 3  E (X )  E (X m ) m = 1+ t+ t + t + ::: + t + ::: 1! 2! 3! m!

 

 

Jadi koe…sien (tm =m!)  dalam representasi deret MacLaurin dari M (t) adalah E (X m ); sehingga E (X 2k ) = (2k

 1)(2k  3) :::(3)(1) = (2k)!  ;   dengan k  = 1; 2; 3;:::dan 2k k!

E (X 2k1 ) = 0;   dengan k  = 1; 2; 3;::: Exercise 40 :

1. Carilah nilai rata-rata (mean) dan variansi (jika ada), dari setiap distribusi berikut ini: (a) f (x) = (b) f (x) = (c) f (x) =

(  

3! x!(3 x)!



0;

1 3 ; 2

  

  untuk x  = 0; 1; 2; 3 untuk xlainnya:

6x(1 x); 0 < x < 1; 0;   untuk x  lainnya.



2=x3 ; 1 < x < ; 0;   untuk x  lainnya.

1

1 x ; 2

 

x = 1; 2; 3;::: merupakan p.d.f dari variabel 0;   untuk x  lainnya acak X: Tentukan m.g.f., nilai rata-rata dan variansi dari  X:

2. Misalkan f (x) =

3. Untuk setiap fungsi kepadatan P ( 2 < X <  + 2):



(a) f (x) = (b) f (x) =

   

6x(1 x); 0 < x < 1; 0;   untuk x  lainnya. 1 x ; x = 2

1; 2; 3;::: 0;   untuk x  lainnya. 32

peluang

berikut,

hitunglah

4. Tunjukkan bahwa m.g.f. dari variabel acak X   yang mempunyai p.d.f. 1=3; 1 < x <  2; f (x) =   adalah 0;   untuk x  lainnya,





M (t) =



e2t e 3t



1;

33

t

;

t = 0; t = 0:

6

7

Ketaksamaan Chebyshev

Theorem 41 :

Misalkan u(X )  adalah fungsi tak negatif dari suatu variabel acak X:   Jika E (u(X )) ada, maka untuk setiap kontanta positif  c;  berlaku )]  c]  E [u(X  : c

P [u(X ) Proof. :

Misalkan A = x : u(x) (p.d.f.) dari  X: Maka

 cg dan f (x) menyatakan fungsi kepadatan peluang

f

1

E [u(x)] =

Z 

Z  Z  

u(x) f (x) dx =

1

u(x) f (x) dx +

A

E [u(x)]

Z 

u(x) f (x) dx

A



u(x) f (x) dx

A

Jika x

2 A; maka u(x)  c; sehingga E [u(x)]

Z  

u(x) f (x) dx

A

Karena

Z 

Z  

c f (x) dx: A

f (x) dx  = P (X 

 2 A) =  P [u(x)  c];

A

maka E [u(x)]

 c P [u(x)  c]:

P [u(x)

 c]  E [u(x)] : c

Jadi terbukti



Theorem 42   : Ketaksamaan Chebyshev 

Misalkan variabel acak X  mempunyai distribusi peluang, dengan variansi   2 dan mean ;  maka untuk setiap k > 0; berlaku

j  j  k)  k12 ;

P  ( X  atau

j  j < k)  1  k12 :

P  ( X 

34

Proof. :

Pada teorema di atas, jika diambil u(X ) = (X  )2 dan c = k2  2 ; maka diperoleh E [(X  )2 ] P [(X  )2 k 2 2 ] : k2  2 Karena (X  )2 k 2 2 X   k dan E [(X  )2 ] =  2 ;   maka ketaksamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk

 

  

   () j  j 



 

2

j  j  k)  k22 = k12 :

P  ( X 

Dari ketaksamaan Chebyshev tersebut terlihat bahwa 1=k2 merupakan batas atas dari peluang P [ X   k:Jadi ketaksamaan Chebyshev di atas terbukti.

j  j



Keterangan: 1 P  ( X   k) = P (X     + k  atau X   k) k : Dengan kata lain, 1=k2 merupakan batas atas dari peluang  P  ( X   k) : Demikian pula untuk P  ( X   < k) = P ( k < X <  + k ) 1 1=k2 :   Dengan demikian, 1 1=k 2  merupakan batas bawah dari peluang  P  ( X   < k).

j  j j  j 

 

     j  j   



 

2

 

j  j

Example 43 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f sebagai berikut:



f (x) =

 p 3 < x < p 3

1 p  ;

2 3

0;   untuk x  lainnya.

Maka

p 3

 = E (X ) =

=

1

2 3 1 (3 4 3

1 2 x 2

p 3

Z   p   p  Z        p  p  p   

x f (x) dx =

p 3

=

p 3

Z     p 

1

x

2 3

p 3

p 3

1 = p   3 4 3

dx =

2

3

3

1

2 3 p 

x dx



3

1 3 x 3

 

2

p   3) = 0:

Dan

p 3 

2

= E (X 

 )

2

2

= E (X  )

2



=

=

3

Z   p    p  Z         p  p  p  p  p    x2

p 3 =

x2 f (x) dx

p 3 p 

p 

3

Z 

1

6 3

1

2 3

dx

0=

1

2 3 p 



3

3

3

3

1

3

x2 dx =

 2

 p  p   1

2 3

p  p 

p 3 p 3

6 3 = 3 3+3 3 = = 1: 6 3 6 3

35

Jika k  = 1=2; maka peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

k) =  P  ( X 

j j  1=2) = 1  P  (jX j < 1=2)

1=2

= 1

1=2

Z  

1

Z  p       p      p  f (x) dx  = 1

1=2

= 1 = 1

1=2

1



1 1 2 2 3 2  1 3 = 0; 711: 6

dx = 1

2 3

1

=1

2 3

p 

1 1=2  2p  (x)j1=2 3

(1) = 1

1  2p  3

Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, peluang di atas mempunyai batas atas 1=k2 = 1= (1=4) = 4: Jadi nilai peluang eksaknya jauh lebih kecil daripada batas atasnya. Jika k  = 1; maka peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

k) =  P  ( X 

j j  1) = 1  P  (jX j < 1)

1

= 1

1

Z  

f (x) dx  = 1

1

1

Z   p  1

2 3

dx = 1

1  2p  (x)j11 3

1 1 1  2p  [1  (1)] = 1  p  (2) = 1  p  3 2 3 3  1 p  1 3 = 0; 423: 3

= 1 =

Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, peluang tersebut di atas mempunyai batas atas 1=k 2 = 1=1 = 1: Jadi nilai peluang di atas masih lebih kecil daripada batas atasnya. Jika diambil  k  = 23 ; maka peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

k) =  P  3=2

= 1

Z  

j

X 

j

3 2



= 1

 P 

3=2

1

3 X  < 2

j

 1

Z  p    p  j       p      p   p  f (x) dx  = 1

3=2

= 1

=1

j

3=2

1



3 3 2 2 3 2 3 = 0; 134: 2

p 

=1

2 3

dx = 1

1

2 3

6 2

2 3

=1

3=2

(x) 3=2 3

2 3

Jadi nilai peluang di atas masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k2 = 1= (9=4) = 94 = 0; 444.

36

dan nilai harapan dari panjang  5

 X   adalah 5

1

E (5

 X )

=

Z   Z    (5

x) f (x)dx =

=

 x dx = x 5

1

0

(5

0

1 5

Z 



 x 2 10

 x)



=5

5   25 = : 10 2

5



0

1 5

dx

Namun, nilai harapan dari perkalian dua panjang tersebut sama dengan 5

1

E [X (5

 X )]

=

Z   Z    x (5

x) f (x)dx =

=

x

0

=

25 2



 x 2 5

x (5

 x)

 x 3 15

5

0

1 5

Z 

x2 dx = 2





1 dx 5

0

  6

 125 125 25 = = = 15 30 6



5 2

2

:

Jadi secara umum, nilai harapan dari suatu hasil kali tidak sama dengan hasil kali nilai harapan. Example 30 :

Carilah nilai harapan atau ekspektasi dari banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog. Solution 31 :

Misalkan X   menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. Distribusi peluang X  adalah f (x) =

4 x

3 3 x 7 3

   

 ; x = 0; 1; 2; 3:

Dengan perhitungan sederhana diperoleh f ( 0) = 1=35; f (1) = 12=35; f (2) = 18=35 dan  f (3) = 4=35: Jadi nilai harapan dari  X  adalah 1 12 +1 +2 35 35 12 + 36 + 12 12 = = 1; 7: 35 7

 = E (X ) = 0 =

        18 35

+3

4 35

Jadi bila suatu kepanitian beranggotakan 3 orang yang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka ekspektasinya atau rataratanya akan beranggotakan 1,7 kimiawan.

23

Jika diambil  k  = 2; maka peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

2) =  P  ( X 

j j  2)

= 1

 P  (jX j < 2) = 1 p 3

= 1

f (x) dx +

= 1 = 1

2 p 3

f (x) dx +

=1

f (x) dx

p 3

1

1

p 3

p 

1

dx = 1

3

2 3 1 = 0:

f (x) dx

p 3 p 3

f (x) dx + 0

2 3 p 3



2

p 3

p 3

0+

p 3

= 1

f (x) dx

0 Z  1 Z  CA B @ 0 Z  1 Z  CA  B @ Z   p   p  j hp   p  i  p   p    p    2

= 1

2

Z   Z 

2 3

3

3 (x) p  3

1

=1

2 3

2 3

Jadi nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k2 = 41 = 0; 25 Jika diambil  k  = 3; maka nilai peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

3) =  P  ( X 

= 1

j j  3)

 P  (jX j < 3) = 1 p 3

= 1

f (x) dx +

= 1 = 1

3 p 3

f (x) dx +

=1

f (x) dx

p 3

1

1

2 3 1 = 0:

f (x) dx

p 3 p 3

f (x) dx + 0

2 3 p 3



3

p 3

p 3

0+

p 3

= 1

f (x) dx

0 Z  1 Z  CA B @ 0 Z  1 Z  CA  B @ Z   p   p  j hp   p  i  p   p    p    3

= 1

3

Z   Z 

p 3

3

p 

1

dx = 1

2 3

3

3 (x) p  3

=1

1

2 3

2 3

Jadi nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 37

1=k2 = 1=9: Dari beberapa nilai k yang diberikan, nilai peluang eksak P ( X   dan batas atas 1=k2 selalu berbeda, berapapun nilai  k  yang diambil.

j  j  k)

Example 44 :

Misalkan variabel acak  X  bertipe diskrit dan mempunyai peluang x f (x)

11 8

0

1

6 8

1 8

Nilai rata-ratanya adalah 1

X

 = E (X ) =

xf (x) = ( 1)



x= 1



   1 8

6 8

+ (0)

+ (1)

1 8

=0

dan variansinya adalah 2

 )2 = E (X 2)  2 2 x2 f (x)  2 = ( 1)

= E (X  1

=

X

x= 1



=

2 1 = : 8 4

         1 8

6 8

+ 02

+ 12

1 8

0

Fungsi distribusinya adalah

F (x) =

8>< >: j

0;

x< 1 1 x < 0 0 x < 1 1 x:

1 8; 7 8;

  

1;





Jika k  = 1; dan standar deviasi   = 1=2; maka peluang eksaknya adalah P ( X 

j  j 

     j j j      j j               

k) =  P  X 

= 1 = 1 = 1

P 



X  <

1 2  6 1 = 8 4 F 

0

1 2

F 

1:

=1

1 2

1 2

= P 

X 

1 2

1 1
P 

Dapat dilihat bahwa nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k 2 = 1.

38

2. F (x) fungsi tak turun dari  x:  Jika x 0  < x00 ; maka

fx : x  x00g = fx : x  x0 g [ fx : x0  < x  x00 g; dan

  x00 ) =  P (X   x0) + P (x0  < X   x00 ): Yaitu F (x00 )  F (x0 ) =  P (x0  X   x00 )  0: 3. F (1) = 1 dan  F (1) = 0; karena himpunan  fx : x  1g  adalah ruang satu dimensi dan himpunan fx : x 1g adalah himpunan kosong. Dari P (X 

bukti sifat 2, jika  a < b;  maka

P (a < X 

  b) =  F (b)  F (a):

Misalkan kita ingin menggunakan  F (x) untuk menghitung peluang P (X  = b): Untuk itu, misalkan  h > 0; lim P (b

 h < X   b) = hlim [F (b)  F (b  h)]: !0 Secara intuitif  lim P (b  h < X   b)   ada dan sama dengan P (X  = b); h!0 karena jika h  menuju nol, limit himpunan  f x : b  h < x   bg  adalah h

!0

himpunan yang memuat titik tunggal  x = b: Fakta bahwa limit ini adalah P (X  = b) merupakan sebuah teorema yang diterima tanpa bukti. Dengan demikian, kita punya P (X  = b) =  F (b)

 F (b);

di mana F (b ) adalah limit kiri dari  F (x) di x = b: Peluang bahwa X  =  b adalah tinggi tangga dari F (x) pada x = b:  Oleh sebab itu, jika fungsi distribusi F (x) adalah kontinu di  x = b;  maka P (X  = b) = 0:



4. F (x) adalah kontinu dari kanan, atau dikatakan kontinu kanan. Untuk membuktikan sifat ini, dengan  h > 0; lim P (a < X 

h

  Xa + h) = hlim [F (a + h)  F (a)]: !0

!0

Pernyataan berikut diterima tanpa bukti teorema, dengan  h > 0; lim P (a < X 

  a + h) =  P ( ) = 0: Jika h  ! 0;   limit himpunan  f s : a < x   a + h g   adalah himpunan kosong. h

?

!0

Dengan demikian kita menulis

0 = F (a+)

 F (a);

di mana F (a+)  adalah limit kanan dari F (x) di x =  a:   Oleh sebab itu, F (x) kontinu kanan di setiap titik  x = a: 13

Misalkan pada sebuah eksperimen, seseorang memilih secara acak sebuah titik dari selang tertutup [a; b]; a < b ;   pada sebuah garis real. Jadi ruang sampel  adalah [a; b]: Misalkan variabel acak X   adalah fungsi identitas yang terde…nisi pada : Maka ruang  dari X  adalah = :  Misalkan diasumsikan bahwa jika sebuah interval A adalah subset dari ; maka peluang dari kejadian A  adalah sebanding dengan panjang A: Oleh sebab itu, jika A   adalah selang [a; x]; x b; maka

 B

 B

 A

 A B A



P (A) = P (X 

 2 A) =  P (a  X   x) =  c(x  a);

di mana c  adalah konstanta proporsionalitas. Pada ekspresi di atas, jika diambil  x = b; maka 1 =  P (a

 X   b) =  c(b  a);

sehingga c = 1=(b a): Jadi akan ada sebuah model peluang jika diambil fungsi distribusi dari X  adalah F (x) =  P (X  x); menjadi



 

8< : 8< :

F (x) =

0; x a b a;

 

1;

x
 

Dengan demikian, p.d.f dari  X; f (x) =  F 0 (x); dapat ditulis f (x) =

1 b a;

a



0;

 x  b;

yang lainnya.

Turunan dari F (x) tidak ada di  x = a  ataupun di x = b; tetapi himpunan x :  x  =  a; b  adalah himpunan dari peluang berukuran nol, dan kita memilih untuk mende…nisikan f (x) sama dengan 1=(b a) pada dua titik, untuk kenyamanan. P.d.f ini konstan pada :   Jika p.d.f. dari satu atau lebih variabel bertipe kontinu atau bertipe diskrit adalah konstan pada ruang ;  dikatakan bahwa peluang terdistribusi secara  seragam atas : Jadi dalam contoh di atas, dikatakan bahwa X   mempunyai   distribusi seragam  atas selang [a; b]: Berikut ini adalah contoh distribusi yang bukan bertipe kontinu atauppun diskrit.

f

g



 A

 A

A

Example 20 :

Misalkan diketahui fungsi distribusi F (x) = Sebagai contoh, P 



3 < X 

 

1 2

8< :

0; x+1 2 ;

1;

x <  0; 0 x <  1; 1 x:



   = F 

1 2

14



F  ( 3) =



3 4

  0 = 34

dan P  (X   = 0) = F (0)

 F (0) = 12  0 = 12 :

Kita lihat bahwa F (x)   tidak selalu merupakan fungsi kontinu, ataupun fungsi diskrit. Dengan demikian, distribusi yang berkaitan juga bukan distribusi bertipe kontinu ataupun diskrit, tapi dapat digambarkan sebagai campuran dari kedua tipe. Distribusi yang merupakan campuran dari tipe kontinu dan diskrit kenyataannya sering dijumpai dalam praktek. Sebagai ilustrasi, dalam uji kehidupan, misalnya diketahui bahwa lama hidup, sebut saja X;   melebihi bilangan b;   tetapi nilai tepatnya tidak diketahui. Hal ini disebut ’ censoring ’. Sebagai contoh, hal ini dapat terjadi jika sebuah subyek dalam suatu penelitian kanker menghilang; peneliti tahu bahwa subyek tersebut hidup beberapa bulan, tetapi waktu tepatnya tidak diketahui. Example 21 :

Perusahaan reasuransi menaruh perhatian pada kerugian besar karena mereka setuju, sebagai ilustrasi, untuk menutup kerugian diakibatkan kerusakan angin, yaitu antara 2 juta dolar dan 10 juta dolar. Sebut saja  X  sama dengan ukuran kerugian akibat angin dalam jutaan dolar, dan misalkan X  mempunyai fungsi distribusi 0; < x < 0;

8>< 1 >:     8><   1  >:   h i

F (x) =

1

10 10+x

3

; 0

x<

1:

Jika kerugiannya di antara 10 juta dolar dilaporkan hanya sebagai 10, maka fungsi distribusi dari distribusi   censor  ini adalah 0;

F (x) =

1 1;

< x < 0;

10 10+x

3

;

0 x <  10; 10 x < ;

1

3

10 yang mempunyai loncatan (10+10) = 81 di x = 10: Misalkan X  menyatakan variabel acak dengan ruang sampel :  Pandang fungsi Y  = u(X )  dari variabel acak X:  Karena X  adalah sebuah fungsi yang terde…nisi pada sebuah ruang sampel maka Y  = u(X ) adalah fungsi komposit yang terde…nisi pada :   Yaitu Y  = u(X )   sendiri adalah variabel acak yang mempunyai ruang sampel sendiri  = y : y = u(x); x  dan mempunyai fungsi himpunan peluang sendiri. Jika y ;  maka kejadian Y  = u(X ) y muncul jika dan hanya jika kejadian  X  A ; di mana A  = x : u(x) y : Distribusi fungsi dari  Y   adalah

 B

G(y) =  P (Y 

B  C f  2 C  2  A

 A

 2 Ag

f

   g

 y) =  P [u(X )  y] =  P (A):

Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan sebuah metode pencarian fungsi distribusi dan p.d.f dari suatu fungsi variabel acak. Metode ini disebut  teknik fungsi distribusi.

15

Example 22 :

Misalkan f (x) =

8< :

1 2 ;   untuk

 1 < x < 1;

0;   untuk x  yang lain.

adalah p.d.f. dari variabel acak  X: De…nisikan variabel acak  Y   dengan Y  = X 2 : Jika y 0; peluang P (Y  y) adalah sama dengan

 



P (X 2

 y) = P (p y  X   p y):

Dengan demikian, fungsi distribusi dari Y , yaitu G(y) = P (Y  oleh 0; y < 0;

8> < R  >: p  y

G(y) =

p  y

1 2

dx =

1;

  y );  diberikan

p  y ; 0  y < 1; 1  y:

Karena Y  adalah variabel acak bertipe kontinu, p.d.f. dari Y   adalah g(y) = G0 (y) di semua titik kontinuitas dari  g (y): Jadi dapat dituliskan g(y) = Exercise 23 :

8< :

p 1 y ;

0 < y < 1;

2

0;

 

untuk y lainnya.

1. Diketahui fungsi distribusi F (x) =

8< :

0;

8< :

1;

x+2 4 ;

1;

x < 1; 1  x <  1; 1  x:

Gambarkan gra…k F (x) dan kemudian hitung

 12 < X   21 )

(a) P (

(b) P (X  = 0) (c) P (X  = 1) (d) P (2 < X 

  3):

2. Misalkan f (x) = =

0 < x <  1;

0;   untuk x  lainnya,

adalah p.d.f. dari X;  Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari  Y  = Petunjuk: P (Y  y) =  P ( X  y) =  P (X  y 2 ); 0 < y < 1:



p   

 

16

p X:

3. Misalkan f (x) = adalah p.d.f. dari  X:

8< :

4 x 16 ;



2 < x <  2;

0;   untuk x  lainnya,

(a) Gambarkan fungsi distribusinya dan p.d.f. dari X   pada himpunan sumbu yang sama. (b) Jika Y  = X  ; hitung P (Y  1): (c) Jika Z  =  X 2 ; hitung P  Z  41 :

j j

    8< :

4. Misalkan X  mempunyai p.d.f.

4x3 ;

f (x) =

0 < x <  1;

0;   untuk x  lainnya.

Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f dari  Y  = 5. Misalkan f (x) =

8< :

1 3;

2 ln X 4:

1 < x <  2

;

0;   untuk x  lainnya,

adalah p.d.f dari X:  Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari Y  = X 2 : Petunjuk: Perhatikan P (X 2 y)   untuk dua kasus: 0 y < 1 dan 1 y < 4:







6. Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun, berbentuk peubah acak kontinu X  dengan fungsi padat f (x) =

8< :

x; 0 < x <  1; 2 x; 1 x <  2; 0;   untuk x  lainnya.





Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin penghisap debu (a) kurang dari 120 jam, (b) antara 50 dan 100 jam. 7. Umur penyimpanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk peubah acak dengan fungsi padat f (x) =

8< :

20:000 ; (x+100) 3

x >  0;

0;   untuk x  lainnya.

Cari peluangnya bahwa suatu botol akan tahan disimpan 17

(a) paling sedikit 200 hari, (b) antara 80 sampai 120 hari.

18

5

Ekspektasi Variabel Acak

Misalkan X  variabel acak yang mempunyai fungsi kepadatan peluang ( p.d.f  ) f (x) sehingga mempunyai konvergensi absolut yang tertentu, sebut saja,

Xj j

x f  (x)

ada

x

untuk kasus diskrit atau

1

Z  j j

x f (x) ada

1

untuk kasus kontinu. Ekspektasi variabel acaknya adalah  = E (X ) =

X Z 

xf (x);

untuk kasus diskrit, atau

x

1

 = E (X ) =

xf (x);

untuk kasus kontinu.

1

Kadang-kadang ekspektasi E (X )   disebut ekspektasi matematik dari X   atau nilai harapan dari  X:atau rataan X: Example 24 :

Misalkan variabel acak X   yang bertipe diskrit mempunyai p.d.f.seperti ditunjukkan dalam tabel berikut: x f (x)

1

2

3

4

4 10

1 10

3 10

2 10

f (x) = 0;   jika x  tidak sama dengan salah satu dari empat bilangan bulat positif pertama. Hal ini menggambarkan bahwa tidak diperlukan rumus untuk menggambarkan p.d.f. E (X ) = (1)

        4 10

1 10

+ (2)

3 10

+ (3)

+ (4)

2 10

=

Example 25 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. 4x3 ;

8< : Z    Z 

0 < x < 1;

f (x) =

0;   untuk x  lainnya

Maka

1

E (X ) =

1

3

x 4x

dx =

0

0

19

4x5 4x4 dx = 5



1

= 0

4 : 5

23 = 2; 3: 10

Misalkan suatu fungsi variabel acak X  dengan ruang sampel : Sebut saja fungsi ini Y  = u(X ):   Untuk kemudahan, misalkan  X   bertipe kontinu dan y = u(X ) adalah fungsi dari X  yang kontinu naik, dengan fungsi inversnya x = w(y); yang  juga naik. Sehingga Y  adalah variabel acak dan fungsi distribusinya adalah

A

w(y)

G(y) =  P (Y 

 y) =  P (u(X )  y) =  P  [X   w(y)] =

Z 

f (x)dx;

1

dengan f (x) merupakan p.d.f. dari  X: Berdasarkan teorema dasar kalkulus, g(y) =

8< :

G0 (y) =  f  [w(y)] w0 (y); y 0;

 2 B;

untuk yang lainnya,

dengan = y : y = u(x); x : Berdasarkan de…nisi, diketahui konvergensi absolut, maka nilai harapan dari  Y   adalah

B f

2 Ag

1

Z 

E (Y ) =

y g(y)dy:

1 Karena y  = u(x); bagaimana E (Y ) dibandingkan dengan integral

1

I  =

Z 

u(x) f (x)dx:

1 Untuk menjawab itu, ubah variabel integrasi melalui  y = u(x) atau x =  w(y): Karena dy = w 0 y > 0; dx maka 1 1

Z 

Z 

I  = y f  [w (y)] w0 (y)dy = yg(y)dy: 1 1

Dalam kasus ini,

1

E (Y ) =

Z 

1

yg(y)dy =

1

Z 

u(x)f (x)dx:

1

Hal ini secara umum benar dan juga tidak membuat perbedaan apakah X  bertipe diskrit atau kontinu dan Y  = u(x) tidak perlu merupakan fungsi naik dari X: Jika Y  = u(x) mempunyai ekspektasi, maka dapat dicari dari

1

E [u(X )] =

Z 

u(x)f (x)dx;

1 20

(1)

dalam kasus kontinu dan E [u(X )] =

X

u(x)f (x);

(2)

x

dalam kasus diskrit. Dikatakan  E [u(X )] ad.alah ekspektasi (ekspektasi matematik atau nilai harapan) dari u(X ): Remark 26 :

Jika ekspektasi matematik dari  Y  ada, maka integral (atau jumlah) dari

1

Z  j j

 y g(y) dy   atau

X

y g(y)

x

1

ada. Oleh sebab itu, keberadaan  E [u(X )] menyebabkan integral (jumlah) yang berkaitan konvergen absolut. Fakta-fakta yang berguna tentang ekspektasi, jika mereka ada: 1. Jika k  suatu konstanta, maka E (k) = k:  Dengan mengganti u = k; dan mengingat bahwa integral (jumlah) dari suatu konstanta kali sebuah fungsi adalah konstanta kali integral (jumlah) suatu fungsi. Tentu saja, integral (jumlah) dari fungsi  f   adalah 1. 2. Jika k  suatu konstanta dan v  adalah suatu fungsi, maka  E (kv) =  k E (v): Dengan mengganti u = kv  dan menulis kembali ekspresi pada persamaan di atas k  kali integral (jumlah) dari hasil  vf: 3. Jika k1 dan k2   adalah konstanta dan v1 dan v2   adalah fungsi, maka E (k1 v1 + k2 v2 ) =  k 1 E (v1 ) + k2 E (v2 ): Dengan mengganti u = k 1 v1 + k2 v2 ; maka integral (jumlah) dari  (k1 v1 +k2 v2 ) f  sama dengan integral (jumlah) dari k 1 v1 f  plus integral (jumlah) dari  k 2 v2  f : Aplikasi yang berulang dari sifat ini menunjukkan bahwa jika k1 ; k2 ;:::;k m  adalah konstanta dan v1 ; v2 ; ..., v m  adalah fungsi, maka E (k1 v1  + k2 v2  + ::: + km vm ) =  k 1 E (v1 ) + k2 E (v2 ) + ::: + km E (vm ): Sifat ekspektasi ini mengarahkan kita ke simbol  E  sebagai operator linier. Example 27 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. f (x) =



2(1 x);   untuk 0 < x < 1; 0;   untuk x  yang lainnya.



21

Maka 1

1

E (X ) =

Z  Z 

Z 

xf (x)dx =

(x) 2 ( 1

0

1 1

=

2x

0

1

Z  Z 

2

E (X  ) =

2

 2x



2

dx = x

 2 3 x 3

1



1 = ; 3

0

1

Z  

 x) dx

2 dx = x3 3

 1 4 x 2

2

x2 2 (1

x f (x)dx =

0

1 1

=



 x) dx

2

2x

0

3

 2x





sehingga E (6X  + 3X 2 ) = 6

  1 3

+3

1 6

=

1



0

1 = ; 6

5 : 2

Example 28 :

Misalkan X  mempunyai p.d.f. f (x) =



x 6 ;   untuk

x = 1; 2; 3; 0;   untuk x  yang lain.

Maka

3

E (X 3 ) =

X

x3 f (x) =

x

X

x3

x=1

x 1  16  81 98 =  + + = : 6 6 6 6 6

Example 29 :

Misalkan sebuah segmen garis horisontal yang panjangnya 5 dibagai secara acak menjadi 2 bagian. Jika X   adalah panjang sisi yang sebelah kiri, maka masuk akal bila diasumsikan bahwa  X  mempunya p.d.f. f (x) =



1 5;

0 < x < 5 ; 0;   untuk x  yang lain.

Nilai harapan dari panjang  X  adalah 5

1

E (X ) =

Z 

xf (x)dx =

1

Z    x

0

22

1 5

x2 dx = 10

5

 

0

=

25 5 = 10 2

Example 32 :

Dalam suatu permainan, seseorang mendapat Rp 5 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp 3 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya? Solution 33 :

Ruang sampel untuk kemungkinan hasil bila 3 uang dilantunkan sekaligus, atau sama saja dengan bila 1 uang dilantun 3 kali, ialah T  = MMM;MMB;MBM;BMM;MBB;BMB;BBM;BBB :

f

g

Dapat dilihat bahwa tiap titik sampel berpeluang sama dan masing-masing terjadi dengan peluang 1/8. Cara lain adalah dengan menggunakan aturan perkalian peluang kejadian bebas pada semua unsur T. Sebagai contoh, P (MBB) =  P (M )P (B)P (B) =

    1 2

1 2

1 2

=

1 : 8

Peubah acak yang menjadi perhatian adalah  Y ; besarnya kemenangan, dan kemungkinan nilai Y  adalah Rp 5 bila kejadian E 1  = MMM;BBB yang muncul dan -Rp3, bila kejadian E 2 = MMB;MBM;BMM;MBB;BMB;BBM  yang muncul. Karena E 1 dan E 2  terjadi masing-masing dengan peluang 1/4 dan 3/4, maka 1 3  = E (Y ) = 5 + ( 3) = 1: 4 4

f

f







g

g



Dalam permainan tersebut, si pemain rata-rata akan kalah Rp 1 per lantunan 3 uang logam. Suatu permainan dianggap ”adil” bila si pemain, rata-ratanya tidak menang atau kalah. Dengan kata lain, nilai harapannya sama dengan nol. Example 34 :

Sebuah mangkok berisi 5 chips, yang tidak dapat dibedakan hanya dengan menyentuh. Tiga chips tersebut masing-masing ditandai dengan $1 dan sisanya ditandai $4. Seorang pemain yang ditutup matanya mengambil dua chip tersebut dari dalam mangkuk secara acak dan tanpa pengembalian. Pemain tersebut dibayar dengan uang yang nilainya sama dengan banyaknya nilai dua chips yang ia ambil dan permainan selesai. Jika untuk memainkan game tersebut biayanya $4,75, apakah kita mau berpartisipasi untuk waktu yang lama? Karena kita tidak dapat membedakan chipsnya dengan sentuhan, kita asumsikan bahwa masing-masing dari 10 pasangan yang dapat diambil tersebut, mempunyai peluang yang sama untuk diambil. Misalkan variabel acak  X  merupakan banyaknya chips dari dua chip yang dipilih, yang ditandai $1, maka berdasarkan asumsi, X  mempunyai distribusi hipergeometrik p.d.f. f (x) =

(

( )( ) ; x = 0; 1; 2 () ; 0;   untuk x  yang lain 3

x

2

2x

5 2

24

Dengan perhitungan sederhana diperoleh f (0) = f (1) = f (2) =

"    #    "    #    "    #    3 0

2 2

5 2

3 1

2 1

5 2

3 2

2 0

5 2

=

1:1 1 = ; 10 10

=

3:2 6 = ; 10 10

=

3:1 3 = : 10 10

Jika X  = x;   maka pemain tersebut menerima u(x) = x + 4(2 dolar. Oleh sebab itu, ekspektasi matematikanya sama dengan 2

E (8

 3x)

=

2 2 x 5 2

X  X            (8

3x) f (x) =

x=0

(8

3x)

x=0

1 +5 10 8 + 30 + 6 = 10

= 8 =

3 x

2

 x) = 8  3x 

6 3 +2 10 10 44 = 4; 4 10

atau sama dengan $4,40. Exercise 35 :

1. Misalkan X   mempunyai p.d.f. f (x) = (x+2)=18; untuk 2 < x <  4; dan 0 untuk x yang lainnya. Tentukan  E (X ); E [(X +2) 3 ] dan E [6x 2(X +2) 3 ]:





2. Misalkan f (x) = 51 ; x = 1; 2; 3; 4; 5; dan 0 untuk x lainnya, adalah p.d.f. dari variabel acak bertipe diskrit. Hitung E (X ) dan E (X 2 ):   Dari hasi 2 tersebut, carilah E [(X + 2)2 ] dengan menuliskan (X  + 2) = X 2 + 4X + 4: 3. Banyaknya mobil X  yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara  jam 13.00-14.00 mempunyai distribusi peluang x P (X  = x)

4

5

6

7

8

9

1 12

1 12

1 4

1 4

1 6

1 6

Misalkan g(X ) = 2X  1  menyatakan upah (dalam ribuan rupiah) para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.

 

4. Misalkan X  suatu peubah acak dengan fungsi kepadatan f (x) =

x2 3  ;

 1 < x <  2

0;   untuk x  yang lain.

Hitunglah nilai harapan dari  g(X ) = 4X  + 3: 25

5. Sebuah mangkuk berisi 10 chips, di mana 8 di antaranya ditandai dengan $2 dan dua sisanya ditandai dengan $5. Misalkan seseorang memilih 3 chips dari dalam mangkuk secara acak tanpa pengembalian, Jika orang tersebut menerima sejumlah uang dari nilai chips yang diperoleh, tentukan ekspektasinya. 6. Misalkan X  peubah acak yang menyatakan umur (jam) sejenis bola lampu. Fungsi kepadatan peluangnya (p.d.f.) diberikan oleh f (x) =



20:000 x3 ;

  jika x > 100 : 0;   untuk x  lainnya.

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi.

26