KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu Fisika yang membahas gera gerak k bend benda a tanp tanpa a memp memper erha hati tik kan peny penyeb ebab ab gera gerak k benda benda terseb tersebut. ut. Penyebab gerak yang sering ditinjau adalah gaya atau momentum.
Pergerakan suatu benda itu dapat berupa translasi atau atau vibrasi. Da Dalam bab ini, di dibahas perpindahan, rotasi, at mengenai gerak translasi dan rotasi saja. Sedangkan gerak vibrasi akan dibahas pada bab selanjutnya yang berkaitan dengan gerak harmo rmonik.
FISIKA I
KINEMATIKA Ada 3 besaran fisis yang digunakan untuk mengetahui gerak sebuah partikel yaitu : 1.
Posisi (r ), ), satu satuan anny nya a mete meter r pos posisi isi rela relati tif, f, perp perpin inda dah han (∆r ), ), jara jarak k tem tempuh puh
2.
Kecepatan ( v ), satua atuann nny ya m/s m/s kece kecepa pata tan n rata rata-r -rat ata a (v rata-rata) dan sesaat ( v )
3.
Percepatan ( a ), sat satuann uannya ya m/s2 perc percep epata atan n rata rata-ra -rata ta (arata-rata) dan sesaat (a) FISIKA I
KINEMATIKA Ada 3 besaran fisis yang digunakan untuk mengetahui gerak sebuah partikel yaitu : 1.
Posisi (r ), ), satu satuan anny nya a mete meter r pos posisi isi rela relati tif, f, perp perpin inda dah han (∆r ), ), jara jarak k tem tempuh puh
2.
Kecepatan ( v ), satua atuann nny ya m/s m/s kece kecepa pata tan n rata rata-r -rat ata a (v rata-rata) dan sesaat ( v )
3.
Percepatan ( a ), sat satuann uannya ya m/s2 perc percep epata atan n rata rata-ra -rata ta (arata-rata) dan sesaat (a) FISIKA I
GERAK TRANSLASI Contoh dari gerak translasi : menggeser meja dari suatu tempat ke tempat yang lain, mobil bergerak dari kota A ke kota B, da dan sebagainya. Contoh dari gerak rotasi : pl planet Me Merkurius mengelilingi Matahari, elektron mengelilingi inti atom, putaran balingbaling baling heli helikop kopter ter,, dan lain-l lain-lain ain..
POSISI Suatu perpindahan benda dicirikan oleh perubahan posisi dari benda tersebut. Perubahan posisi benda selalu dinyatakan dalam parameter waktu. Sebagai contoh, perjalanan sebuah bis dari Bandung ke Jakarta. Oleh karena itu posisi benda adalah fungsi dari waktu. Posi Posisi si : X = f(t f(t)) FISIKA I
GERAK TRANSLASI Gambar di bawah ini menyatakan kordinat dari posisi bis pada waktu tertentu. Dari gambar diperoleh pada jam 7.00 posisi bis masih di Bandung. Satu jam kemudian posisinya berada di Ciranjang. Ja Jam 9. 9.00 be berada di kota Cian Cianju jur. r. Dan Dan jam jam 10.0 10.00 0 suda sudah h bera berada da di Jaka Jakart rta. a. Jakarta
Cianjur Ciranjang Bandung
7.00
8.00
9.00
FISIKA I
10.00
waktu
GERAK TRANSLASI Contoh fungsi posisi terhadap waktu: X(t) = 2t2 +2t – 1 X(t) = ln(t2) untuk t ≥ 1 Persamaan posisi sebagai fungsi waktu di atas adalah dalam kerangka satu dimensi, karena benda hanya bergerak dalam arah koordinat X saja. Untuk kerangka dua dimensi atau tiga dimensi posisi tersebut harus dinyatakan dalam bentuk vektor dalam komponen arah sumbu koordinat X, komponen sumbu koordinat Y, dan komponen sumbu koordinat Z. FISIKA I
GERAK 2D DAN 3D y
Dua dimensi : R(t) = X(t) i + Y(t) j
Contoh : j 1 )
R(t) = t i + (t + 1) j
5
R(t) = r(cos ωt i + sin ωt j ) 3
Tiga dimensi : R(t) = X(t) i + Y(t) j + Z(t) k
Contoh : R(t) = t i + (t + 1) j
k
R(t) = r(cos ωt i + sin ωt j ) + k
FISIKA I
t ( + t i = t ) R (
−
1 0
2
4
t=0
t=2
t=4
x
KECEPATAN Besaran lain dalam gerak translasi yang menyatakan perubahan posisi terhadap waktu adalah kecepatan. Umumnya posisi dinyatakan dalam bentuk vektor (kecuali untuk gerak satu dimensi), maka kecepatan juga merupakan besaran vektor. Kecepatan sebuah benda sama dengan turunan pertama dari posisi terhadap waktu. Kecepatan :
v (t ) =
dr ( t ) dt
Contoh : Posisi : r (t) = t i + (t – 1)2 j – k kecepatan : v (t) = i + (t − 1) j FISIKA I
KECEPATAN Kecepatan rata-rata :
v=
∆r
(t)
∆t
=
r ( t ) − r ( t 0 )
t − t0
Sehingga persamaan posisi dapat dinyatakan : r (t) = r 0 + v .∆t
Untuk persamaan posisi dalam satu dimensi : X(t) = X0 + v.∆t r (t0) dan X(t0) menyatakan posisi pada keadaan awal FISIKA I
GERAK LURUS BERATURAN (GLB) Gerak lurus beraturan adalah gerak perpindahan benda pada garis lurus dan mempunyai kecepatan konstan. Persamaan gerak lurus beraturan dinyatakan oleh : x(t) = xo + vt
xo : posisi awal v : kecepatan
X
Jika sebuah benda mengalami GLB, maka grafik X – T berupa garis lurus. Kemiringan fungsi x(t) dinyatakan oleh :
Xo t
dx(t) = v(t) = kons tan dt FISIKA I
CONTOH Sebuah benda bergerak dalam bidang XY yang dinyatakan oleh : x(t) = 2t3 − t2 ; y(t) = 3t2 – 2t + 1 Tentukan : a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arah b. Besar kecepatan pada t = 1 detik Jawab : dx dy = 6t2 – 2t m/s a. vx = = 6t – 2 m/s vy = dt dt b. vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s, maka besar kecepatan : v = FISIKA I
4 2 + 4 2 = 4 2 m/s
PERCEPATAN Percepatan adalah perubahan kecepatan terhadap waktu dan merupakan besaran vektor. Percepatan sebuah benda adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu, atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu.
Percepatan:
Percepatan rata-rata :
a (t ) =
a=
dv( t)
∆v
dt
(t )
∆t
FISIKA I
=
=
d 2 r ( t ) dt 2
v (t ) − v (t 0 )
t − t0
GLBB Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah gerak translasi/perpindahan benda pada garis lurus dan mempunyai percepatan konstan. Persamaan gerak lurus berubah oleh : x(t) = xo + vot + ½at2 xo
: posisi awal
vo
: kecepatan awal
a
: percepatan
FISIKA I
beraturan dinyatakan
GLBB Percepatan a bernilai negatif
X
X
t
o
X Percepatan a bernilai positif
X o
t FISIKA I
KINEMATIKA Secara umum ada 3 kasus kinematika yaitu : 1. Posisi diketahui, kecepatan dan percepatan dicari dengan cara posisi diturunkan. 2. Kecepatan diketahui, ada informasi posisi pada t tertentu. Percepatan dicari dengan cara mendeferensialkan v dan posisi dicari melalui integrasi v. 3. Percepatan diketahui, ada informasi posisi dan kecepatan pada t tertentu. Kecepatan dan posisi diperoleh melalui integrasi a. FISIKA I
CONTOH Sebuah partikel bergerak pada garis lurus (sumbu X). Percepatan gerak berubah dengan waktu sebagai a(t) = 12 t2 ms-2. a. Hitung v pada t = 2 s, jika pada t = 0 benda diam. b. Tentukan x(t) jika diketahui pada saat t = 2 s benda ada pada posisi x = 1 m. c. Tentukan laju benda ketika benda tepat menempuh jarak 66 m. Jawab : 2 3 a(t) dt 12t dt 4t = = + vo a. Kecepatan v(t) = ∫ ∫
FISIKA I
CONTOH Nilai vo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 0 kecepatan v = 0. v(0) = 4(0)3 + vo = 0. Sehingga diperoleh vo = 0. Dengan demikian v(t) = 4t3 m/s. Pada t = 2 detik nilai kecepatan v(2) = 4.2 3 = 32 m/s b. Posisi x(t) = ∫ v(t) dt = ∫ 4t dt = t + x o Nilai xo dapat ditentukan dari syarat awal pada t = 2 detik posisi benda pada x = 1 m. Nilai x(2) = 2 4 + xo = 1. Sehingga diperoleh xo = -15. Dengan demikian diperoleh x(t) = t4 – 15. 3
4
c. x(t) = 66 = t4 – 15 t4 – 81 = 0 atau t = 3 detik Kecepatan pada t = 3 detik adalah v(3) = 4.3 3 = 108 m/s FISIKA I
GERAK DUA DIMENSI Contoh dari gerak dua dimensi adalah gerak peluru dan gerak melingkar. Gerak peluru adalah gerak benda pada bidang XY di bawah pengaruh gravitasi (pada sumbu-y) dan gesekan udara (sumbu-x). Gerak pada sumbu X : x = xo + voxt Gerak pada sumbu Y : y = yo + voyt - ½gt2 vox = vo cos θ voy = vo sin θ Dengan (xo, yo) adalah posisi awal, (vox, voy) kecepatan awal, dan g adalah percepatan gravitasi. FISIKA I
GERAK PELURU Y
vo
θ Yo X
Xo
Titik tertinggi terjadi pada saat kecepatan v y(t) = vo sin θ gt = 0. Dengan demikian titik tertinggi terjadi pada saat :
t=
v osinθ g
FISIKA I
CONTOH Sebuah bola golf dipukul sehingga memiliki kecepatan awal 150 m/s pada sudut 45o dengan horizontal. Tentukan : a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebut dari permukaan tanah b. Lama waktu bola berada di udara c. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah Jawab : a.
Tinggi maksimum diperoleh pada saat v y(t) = 0, yaitu pada : 75 2 75 2 − gt = 0. Diperoleh t = = 75 2 = 7,5 2 s max g 10 FISIKA I
CONTOH Ketinggian ymax = vo sin θ.tmax − ½ g tmax2 2 = 150. ½ 2 .7,5 2 − ½.10.(7,5 2 ) = 1125 – 562,5 = 562,5 m b. Lama waktu bola di udara adalah waktu t pada saat bola jatuh ke tanah, yaitu pada y = 0. y = 75 2 t - ½gt 2 = 0. Diperoleh t = 15 2 detik c. Jarak tempuh bola sampai ke tanah sama dengan x = vocosθ. t. Dengan t menyatakan selang waktu bola golf sejak di lempar sampai kembali ke tanah. Diperoleh x = 75 2 .15 2 = 2250 m
FISIKA I
CONTOH Sebuah bola golf dipukul dari ketinggian 2 meter sehingga memiliki kecepatan awal 150 m/s pada sudut 45 o dengan horizontal. Tentukan : a. Tinggi maksimum yang dapat dialami bola golf tersebut dari permukaan tanah b. Lama waktu bola berada di udara c. Jarak dari saat bola dipukul sampai kembali ke tanah
FISIKA I
Contoh
Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal v o = (3 i + 4 j )m/s dari ketinggian 10 m. Tentukan : a. Posisi tinggi maksimum b. Lama peluru di udara c. Posisi saat peluru sampai tanah d. Kecepatan peluru saat sampai tanah
FISIKA I
SOAL 1. Sebuah benda titik bergerak disumbu X. Kecepatan sebagai fungsi dari waktu terlihat pada grafik di bawah ini. 10 v(m/s)
6 1
3
5
8
t(s)
-5
a. Gambarkan grafik a(t) dalam selang t = 0 dan t = 8 detik ! b. Berapakah x8 – x0 ? c. Berapakah panjang lintasan yang ditempuh selama selang t = 0 sampai t = 8 detik ? FISIKA I
SOAL 2. Sebuah benda bergerak dalam bidang XY sebagai fungsi t : x(t) = 2t3 − t2 m dan y(t) = 3t2 – 2t + 1 m Waktu t dalam detik. Tentukan : a. Komponen kecepatan untuk masing-masing arah b. Besar kecepatan pada t = 1 detik c. Waktu ketika kecepatan nol d. a(t) e. Waktu ketika arah a sejajar dengan sumbu Y 3. Sebuah bom dijatuhkan dari sebuah pesawat yang bergerak horizontal dengan kecepatan 10 3 km/jam. Pesawat berada pada ketinggian 180 m. Tentukan jarak horizontal dari titik awal dijatuhkan bom dengan posisi di mana bom mendarat ! FISIKA I
SOLUSI 10
v(m/s)
6 1
3
5
8
t(s)
-5
1. a. Kecepatan :
⎧10t ⎪ 10 ⎪ v=⎨ ⎪ − 5t + 25 ⎪⎩− 5
0 < t <1 1< t < 3 3
FISIKA I
SOLUSI Untuk selang 0 < t < 1, v(t) = 10t. Percepatan :
dv( t ) d a( t ) = = (10t ) = 10 dt dt Untuk selang 1 < t < 3, v(t) = 10. Percepatan : dv( t ) d a( t ) = = (10 ) = 0 dt dt Untuk selang 3 < t < 6, v(t) = -5t + 25. Percepatan :
a( t ) =
dv( t ) dt
=
d dt
(− 5t + 25 ) = −5
FISIKA I
SOLUSI Untuk selang 6 < t < 8, v(t) = -5. Percepatan :
dv( t ) d a( t ) = = (− 5 ) = 0 dt dt Dengan demikian, grafik a(t) : 10
a(m/s)
6 1
3
8
5
-5
FISIKA I
t(s)
SOLUSI 1. b. Untuk menentukan selisih jarak x 8 – x0 dengan menghitung luas dari daerah yang dibentuk oleh fungsi v(t) dan sumbu t. Untuk daerah pada harga v(t) positif, artinya terjadi pertambahan jarak. Sedangkan untuk harga v(t) negatif, terjadi pengurangan jarak. Dengan demikian selisih jarak x 8 – x0 dapat ditentukan dengan mengurangi luas daerah A dikurangi daerah B di bawah ini : v(m/s) Luas A = ½.(2 + 5).10 = 35 10 A
Luas B = ½.(2 + 3).5 = 12,5 6
1
3
5
8
B
t(s)
-5 FISIKA I
SOLUSI Luas A – luas B = 22,5. Dengan demikian selisih jarak x8 – x0 = 22,5 m 1. c. Untuk menentukan panjang lintasan dari t = 0 sampai t = 8 detik dapat dicari dengan menghitung luas total yang dibentuk fungsi v(t) dan sumbu t dari t = 0 sampai dengan t = 8 yang besarnya sama dengan Luas A + luas B = 47,5. Dengan demikian panjang lintasan sama dengan 47,5 m.
FISIKA I
SOLUSI 2. a. vx =
dx = 6t2 – 2t dt
vy =
2. b. vx(1) = 6.12 – 2.1 = 4 m/s maka besar kecepatan : 2
dy = 6t – 2 dt
vy(1) = 6.1 – 2 = 4 m/s,
2
v = v x + v y = 4 2 m/s 2. c. Waktu pada kecepatan sama dengan nol, berarti waktu pada vx = vy = 0, yaitu pada t = 31 detik 2. d. a(t) =
dv x dt
i+
dv y dt
j = (12t – 2)i + 6 j m/s
2. e. Arah a sejajar sumbu Y berarti ax = 12t – 2 = 0, yaitu pada t = 61 detik FISIKA I
SOLUSI 3.
Bom tersebut bergerak dengan kecepatan horizontal konstan vx = 1000 km/jam, dan kecepatan vertikal v y = -gt. Konstanta g menyatakan percepatan gravitasi yang besarnya g = 10 m/s2 = 12960 km/jam2. Kecepatan vertikal vy = -12960t km/jam. Ketinggian awal yo = 0,18 km. Diperoleh : y(t) = 0,18 – 6480t 2 km. Benda jatuh ke tanah berarti y(t) = 0 yang terjadi pada saat : 0,18 = 5,27.10-3 jam t= 6480 Maka jarak horizontal sampa bom jatuh ke tanah adalah x = vxt = 1000. 5,27.10 -3 = 5,27 km. FISIKA I
Soal
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dengan kecepatan v = 4t2 m/s. Jika pada t = 1 s partikel berada di x = 2 m, maka cari : a. Posisi saat t = 0 dan t = 2 s b. Kecepatan rata-rata saat pindah dari t = 0 s ke t = 2 s c. Kecepatan saat t = 0 dan t = 2 s d. Percepatan rata-rata saat pindah dari t = 0 ke t = 2 s. FISIKA I
Gerak Melingkar Gerak melingkar adalah gerak pada bidang dengan lintasan berupa lingkaran. Posisi benda dari gerak pada bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor : r (t) = r [cos(ωt + θo)i + sin(ωt + θo) j ] r (t) = r r
Konstanta ω menyatakan kecepatan sudut, θo menyatakan sudut awal, dan r menyatakan vektor satuan dari r (t). r menyatakan jari-jari lintasan yang besarnya konstan. Pada saat = 0, berlaku : r o (t) = r [cos θo i + sin θo j ] FISIKA I
Koordinat Polar xo = r cos θo yo = r sin θo Dengan (xo, yo) adalah posisi awal. y r Arah putaran berlawanan arah jarum jam. θ Untuk memudahkan perhitungan x dalam mencari persamaan gerak rotasi, suatu posisi dapat dinyatakan dalam koordinat polar. Berbeda dengan koordinat Kartesius, posisi dari suatu titik dinyatakan oleh jarak dari titik tersebut dengan titik pusat dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif. Berlaku :
o
o
o
FISIKA I
Koordinat Polar Vektor posisi dalam koordinat polar dinyatakan dalam : r (t) = r(t) ar Dengan r(t) menyatakan jarak titik pusat ke titik posisi sebagai fungsi waktu dan vektor satuan r r menyatakan arah dari vektor r (t) yang arahnya berubah terhadap waktu. Untuk gerak melingkar, jarak ar y r r(t) besarnya konstan yang θ dinyatakan sebagai jari-jari x lintasan r. o
o
o
FISIKA I
Gerak Melingkar Kecepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh : de r dR(t ) =R v (t ) =
dt
dt
Karena R konstan, maka yang berubah terhadap waktu adalah arah vektor/vektor satuan. Diketahui dari slide sebelumnya : er = cos(ωt + θo)i + sin(ωt + θo) j
Jika θo = 0, diperoleh : er = cos ωt i + sin ωt j
Maka : de r
dt
= ω(-sin ωt i + cos
t j )
ω
FISIKA I
Gerak Melingkar Atau : de r
dt
= ω[cos(ωt + 90o)i + sin(ωt + 90o) j ] = ωe e yo
er
R θo
xo
Vektor satuan e menyatakan arah tegak lurus dengan vektor satuan er seperti pada gambar samping. Dengan demikian kecepatan dalam gerak melingkar sama dengan : v (t) = ωR e
FISIKA I
Gerak Melingkar Dengan demikian besar kecepatan v = ωr dengan arah tegak lurus vektor posisi. Arah dari kecepatan merupakan garis singgung dari lintasan lingkaran. Vektor satuan a menyatakan a ar arah tegak lurus dengan vektor y r satuan ar seperti pada gambar θ samping. o
o
xo
Percepatan dari gerak melingkar dinyatakan oleh : a (t) =
FISIKA I
dv ( t ) dt
=r
d(ωaθ ) dt
Gerak Melingkar Beraturan Gerak melingkar beraturan terjadi jika ω yang menyatakan kecepatan sudut konstan. Kecepatan sudut adalah turunan sudut terhadap waktu.
dθ(t ) dt
=
d dt
(ωt + θ o ) = ω
Jika ω konstan maka percepatan : a(t) = daθ dt
dv ( t ) dt
= ωr
daθ dt
= -ω(cos ωt i + sin ωt j ) = -ωar
Dengan demikian besar percepatan a = ω2r dengan arah berlawanan vektor posisi (- ar ). FISIKA I
Gerak Melingkar Percepatan yang demikian disebut percepatan sentripetal, yang dicirikan arahnya menuju titik pusat. Jika ω tidak konstan, maka percepatan menjadi : a (t) =
dv ( t ) dt
= ωr
deθ dt
+
dω
dt
raθ = −ω2rar + rαa θ
Dengan α menyatakan percepatan sudut yang merupakan turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu. Percepatan yang searah dengan arah kecepatan ( aθ) disebut percepatan tangensial.
FISIKA I
CONTOH Sebuah roda berotasi murni mengelilingi porosnya. Sebuah titik P yang berjarak 0,2 m dari sumbu rotasi menempuh sudut (dalam radian) sebagai berikut : θ = (πt3)/3 – (πt2)/2 − 2πt (t dalam sekon) Tentukan : a. Kecepatan dan percepatan sudut titik P pada t = 2 s b. Laju titik P pada t = 2 s c. Percepatan tangensial dan sentripetal titik P pada t = 2s
FISIKA I
