MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN Kompetensi Pendahuluan
Penggunaan Penggunaan Integral Integral
Luas daerah Volume benda putar
2
y = x 9
Latihan Referensi Readme Author Exit
Matematika SMA/MA Kelas XII IPA Semester 1
Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)
Author
Penggunaan Integral
Kompetensi Pendahuluan
NamaKASTOLAN, Nama KASTOLAN, S.Pd.
Luas daerah
Tempat LahirLamongan, LahirLamongan, 20 April 1970
Volume benda putar
Nama SekolahMAN SekolahMAN INSAN CENDEKIA SERPONG
Latihan
Alamat RumahJl. RumahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Referensi
Tangerang – Banten 15310
Readme
HP
Author Exit Home
: 081284042 08128404280 80
E-mail :
[email protected] [email protected] m Alamat SekolahJl. SekolahJl. Cendekia BSD sektor XI Serpong Tangerang – Banten 15310 Telp. (021) 7563578 Fax. (021) 7563582 JabatanGuru Jabatan Guru Matematika
Kompetensi Kompetensi Pendahuluan Luas daerah
Penggunaan Penggunaan Integral Integral Kompetensi Dasar
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.
Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home
Indikator Hasil Belajar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : 1. menggambark menggambarkan an suatu suatu daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh beberapa kurva. 2. menentukan menentukan luas daerah daerah dengan dengan menggunaka menggunakan n limit jumlah. 3. merumuskan merumuskan integ integral ral tentu tentu untuk untuk luas daerah daerah dan menghitungnya. 4. merumuskan merumuskan integral integral tentu tentu untuk volume benda benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.
Referensi
Penggunaan Integral Integral Penggunaan
Kompetensi Pendahuluan
Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005
Luas daerah
Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,
Volume benda putar Latihan
Erlangga, Jakarta 1996 Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII Yudhistira , Jakarta 2005 Program IPA Jilid 3A, Yudhistira,
Referensi
_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004, Readme Author Exit Home
Depdiknas, Jakarta 2004 ________, Tutorial Maple 9.5 ________, Encarta Encyclopedia Encyclopedia www. mathdemos.gcsu.edu www. curvebank.calstatela.edu www. clem.mscd.edu www.mathlearning.nett www.mathlearning.ne
Readme Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi
Penggunaan Integral Integral Penggunaan
Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.
Readme Author Exit Home
Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar . Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.
Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.
Pendahuluan Kompetensi
Penggunaan Penggunaan Integral Integral Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington
Pendahuluan
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada Luas daerah Volume benda putar
1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.
Latihan Referensi Readme Author Exit Home
Back
Next
Pendahuluan
Penggunaan Penggunaan Integral Integral
Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar Latihan Referensi Readme Author Exit Home
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral. Back
Next
Pendahuluan
Penggunaan Penggunaan Integral Integral
Kompetensi Pendahuluan
Bola lampu di samping dapat
Luas daerah
dipandang sebagai benda
Volume benda putar
putar jika kurva di atasnya
Latihan
diputar menurut garis
Referensi
horisontal. Pada pokok
Readme
bahasan ini akan dipelajari
Author Exit Home
juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Pendahuluan
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.
Home
Gb. 4
Back
Next
Volume Benda Putar
Pendahuluan
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y
y
y
4 3 0
x
2 x 1 x 2
Home
1
0
1
Back
2
Next
Metode Cakram
Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h =
x. Sehingga
f ( x )
volumenya dapat diaproksimasi sebagai V
r h atau 2
V
f(x)
2
a
x
x
x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
y h= x
limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V V = lim
f(x)2 f(x)
r = f ( x )
x 2
x
a v =π ∫ [ f ( x )] 2 dx 0 Home
x
0
x Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
y y
Langkah penyelesaian:
y = x 2 + 1
1. Gambarlah daerahnya
x
h= x
2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
1
r = x 2
x 2 + 1 x
2
+
1
x
x
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan,
x
ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
∆V ≈ πr2h y
∆V ≈ π(x + 1) ∆x 2
2
V ≈ ∑ π(x2 + 1)2 ∆x
h= x
V = lim ∑ π(x2 + 1)2 ∆x
r = x 2 + 1
2
V = ∫ π ( x 2 +1) 2 dx
x
0
2 V = ∫ π ( x 4 + 2 x 2 + 1) dx 0
[5
x
]0
2 V = π 1 x 5 + 2 x 3 + x 3
V = π ( 32 + 16 + 2 − 0) = 13 11 π 5
Home
3
15
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y
Jawab
y = x 2
Langkah penyelesaian: 2
1. Gambarlah daerahnya
y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x y
partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang
r =
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home
y
h= y y x Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
∆V ≈ πr2h ∆V ≈ π(√y)2 ∆y
y
V ≈ ∑ π y ∆y 2
V = lim ∑ πy ∆y 2
r = y
V = ∫ y dy π
h= y
0 2
y
V =π ∫ y dy
x
0
V = π [
1 2
y 2 ] 0 2
V = π ( 21 × 4 − 0)
V = 2π Home
Back
Next
Metode Cincin
Volume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.
Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R 2 – r2)h Gb. 5
R r h
Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y = x 2
1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi
y = 2x 4 x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan,
x
2x x2 x
2
x
ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin y
∆V ≈ π(R – r ) h 2
y = x 2
2
y = 2x
∆V ≈ π [ (2x)2 – (x2)2 ] ∆x
4 x
∆V ≈ π (4x2 – x4) ∆x R=2x r=x2
V ≈ ∑ π (4x2 – x4) ∆x x
V = lim ∑ π (4x2 – x4) ∆x 2
2
V = π ∫ (4 x
4
− x ) dx
2
x
y
0
[
V = π
4 x 3 3
]
5 2 1 − x 5 0
V = π ( 32 − 32 ) 3
5
x
V = π ( 160 −96 ) 15
V = 64 Home
15
π
Back
Next
Metode Kulit Tabung
Volume Benda Putar
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.
Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung r
r
h
h
V = 2 rhΔr 2 r Home
Δr
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y = x 2
1. Gambarlah daerahnya 4
2. Buatlah sebuah partisi 3
x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 2
4. Aproksimasi volume partisi yang
x2
1
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home
x 0
x
1
2
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung y
y
2
y = x 4
4
3
x
3
x
r=x 2
2 x2
1
1
h = x2
x 0
x
1
x
2
1
2
0
1
2
2
V
2 rh x
V = 2π ∫ x 3 dx 0
V
2 (x)(x2) x
V
2 x3 x
V = lim Home
[
V = 2π
1 4
4
x
]
2 0
V = 8π
2 x3 x Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. y
∆V ≈ π(R2 – r2)∆y ∆V ≈ π(4 - x2)∆y
y
2
y = x 4
4
3
3
V ≈ ∑ π(4 – y)∆y V = lim ∑ π(4 – y)∆y 4
R=2 2
V = π ∫ ( 4 − y ) dx
2
r=x
0
y
1
[
1 y 2 V = π 4 y − 2
1 x
0
x
1
2
x -2
-1
0
1
2
]
4 0
V =(16 −8)π
V = 8π Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral
Latihan (6 soal)
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk Y
integral sebagai .... A
2
2
∫ x
dx
2
2
D
2
B
∫ y dy
2 2
C
Home
2
E
2
dx
2
2
∫ (2− x
2
∫ x
2
∫ (2− x
y = x 2
) dx 4
2
) dx 0
2
X
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk Y
integral sebagai .... 2
A
2
∫ x
2
dx
∫ (4
D
0
B
∫ (4
E
0 4
C
4
∫ y dy
− x 2 ) dx
0
4
y = x 2
4
− x 2 ) dx
0 2
∫ x
dx
0
0
2
X
Jawaban Anda Benar L
(4 – x2)
x
L
∑ (4 – x2) x
L = lim ∑ (4 – x2)
x
2
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) 0
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk Y
integral sebagai .... 2
A
2
∫ x
2
dx
∫ (4
D
0
B
∫ y dy
∫ (4
E
0 4
C
4
x
− x ) dx 2
0
4
y = x 2
4 4 - x2
− x ) dx 2
0 2
∫ x
dx
0
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah L
(4 – x2)
x
L
∑ (4 – x2) x
L = lim ∑ (4 – x2)
x
2
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) 0
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas y = 4 − x 2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E
10 2/3 satuan luas
X
0
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas y =
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E
2−
x 2
10 2/3 satuan luas
X
0
Jawaban Anda Benar L
(4 – x2)
L
∑ (4 – x2) x
L = lim ∑ (4 – x2) 2
L = [2 x − x
x
L = ∫ (2− x 2) dx
2 2
2
]−
2
2
L = (2− 2 ) − (−2+ 2 ) 2 2 x
L =
3 3
2
( Jawaban E ) =2 22 2
−2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A
4,5 satuan luas
D
Y
9 1/3 satuan luas
x
y = 2− x 2
B
6 satuan luas
C
7,5 satuan luas
E
10 2/3 satuan luas
-2
0
x
2
X
Jawaban Anda Salah L
(4 – x2)
L
∑ (4 – x2) x
L = lim ∑ (4 – x2) 2
L = [2 x − x
x
L = ∫ (2− x 2) dx
2 2
2
]−
2
2
L = (2− 2 ) − (−2+ 2 ) 2 2 x
L =
3 3
2
( Jawaban E ) =2 22 2
−2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y
A 5 satuan luas
D
9 1/3 satuan luas
B
E
10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y = 2 x
C 8 satuan luas 0
Home
X
y =
Back
2−
x 2
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y
A 5 satuan luas
D
9 1/3 satuan luas
B
E
10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y = 2 x
C 8 satuan luas 0
2
X
y =
2−
x 2
Jawaban Anda Benar L
−2 L =2 2− 2 2
(8 – x2 -2x)
2 xL = 2 x ) dx ∫ (2− x − 2 2
L =
2 2 2
2 = 22
( Jawaban D )
2
2 2 L = [2 x − 2 x − x 2] 2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y
A 5 satuan luas
D
9 1/3 satuan luas
B
E
10 1/3 satuan luas
7 2/3 satuan luas
y = 2 x
C 8 satuan luas 0
2
X
y =
2−
x 2
Jawaban Anda Salah L
−2 L =2 2− 2 2
(8 – x2 -2x)
2 xL = 2 x ) dx ∫ (2− x − 2 2
L =
2 2 2
2 = 22
( Jawaban D )
2
2 2 L = [2 x − 2 x − x 2] 2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A
2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas
B
4,5 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
C
6 satuan luas
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A
2,5 satuan luas
B
4,5 satuan luas
D
Y
10 2/3 satuan luas 1
E
20 5/6 satuan luas
X
0
C
6 satuan luas
-2
x = y 2 x = 2− y
Jawaban Anda Benar L = (2−
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y 2
L = ∫ (2− y − x 2) dy
L =
−2
2
2 2
2 −2 ) − (−2− 2+ 2 ) 2
,2 =2
2
( Jawaban B )
2
2 2 2 2 L = [2y − 2 y − 2 y ] −
2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. Y
A
2,5 satuan luas
D
10 2/3 satuan luas 1
B
4,5 satuan luas
C
6 satuan luas
E
20 5/6 satuan luas
X
0 -2
x = y 2 x = 2− y
Jawaban Anda Salah L = (2 −
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y 1
L = ∫ (2 − y − x 2 ) dy
L =
−2
9 2
1 2
− 31) − (−4 − 2 + 83 )
= 4,5
( Jawaban B )
1
L = [2 y − 21 y 2 − 31 y 3 ] −2 Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... 4
4
A
v = π ∫ x dx
B
v = π ∫ x 2 dx
C
Home
0
D
v = 2π ∫ x x dx
E
v = 2π ∫ (16 − y ) dy
4
0
Y
0
y = X
2
2
0
0
X
4
2
v = π ∫ y dy 0
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... 2
2
A
v = π ∫ x dx
B
v = π ∫ x 2dx
C
2
2 2
Y
D
v = 2 π ∫ x x dx
E
v = 2 π ∫ (2 2− y ) dy
2
y = X
2
2
2
0
X
4
2
v = π ∫ y dy 2
Jawaban Anda Benar ∆ V ≈ 2πx√x ∆x 2
V =2 π ∫ x x dx ( Jawaban D ) 2
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A
v = π ∫ x dx 2
Y
2
2
D
v = 2 π ∫ x x dx 2
y = X
2
B C
2
v = π ∫ x dx 2
2
E
2
v = 2 π ∫ (2 2− y ) dy
x
2
0
2
v = π ∫ y dy
x
X
4
2
Jawaban Anda Salah ∆ V ≈ 2πx√x ∆x 4
V = 2π ∫ x x dx ( Jawaban D ) 0
Home
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum
D
Y
12 satuan volum
y = X
2
B C
Home
6 satuan volum 8 satuan volum
E
15 satuan volum 0
X
4
Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum
D
Y
12 satuan volum
y = X
2
B C
6 satuan volum
E
15 satuan volum 0
8 satuan volum
X
4
Jawaban Anda Benar ∆ V ≈ π(√x)2 ∆x 2
V = π ∫ x dx 2
2
2 2 x ] 2 V = π [ 2
V=2 π Home
( Jawaban C ) Back
Next
Latihan
Penggunaan Integral Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. Y
A 4 satuan volum
D
12 satuan volum y = X
2
B
6 satuan volum
E
15 satuan volum
x
0
C
x
X
4
8 satuan volum
Jawaban Anda Salah ∆ V ≈ π(√x)2 ∆x 4
V = π ∫ x dx 0
4
V = π [ 21 x 2 ] 0
V = 8π Home
( Jawaban C ) Back
Next
