APLIKASI INTEGRAL UNTUK MENENTUKAN VOLUME BOTOL
Disusun oleh:
Nama
: Kuswati
NIM
: 082143293
Prodi
: Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas
: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Purworejo,
Agustus 2012
Dosen Pembimbing,
Mahasiswa,
Teguh Wibowo, M. Pd. NIDN. 0614097401
Kuswati NIM. 082143293
MAKALAH SEMINAR
Dosen: Teguh Wibowo, M. Pd.
Oleh:
Kuwati NIM 082143292
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO 2012
APLIKASI INTEGRAL UNTUK
MENENTUKAN VOLUME BOTOL Kuswati NIM. 082143293 082143293 Email:
[email protected] Fakultas Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak
Integral adalah salah satu operasi perhitungan matematika. Operasi ini dapat digunakan untuk menghitung volume benda putar yang diketahui persamaan kurva dan batas-batasnya. Sedangkan benda putar itu sendiri adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Sehingga operasi integral ini dapat digunakan untuk menghitung volume benda ruang seperti botol . botol . Kata Kunci: aplikasi, integral, volume
Pendahuluan
Dalam pembelajaran matematika, integral merupakan salah satu materi yang cukup sulit. Namun, disamping itu, integral juga merupakan materi yang menakjubkan. Karena aplikasi dari operasi ini cukup banyak. Diantaranya adalah untuk menentukan persamaan garis atau kurva yang diketahui gradien garis singgungnya, menentukan persamaan gerak benda yang diketahui persamaan laju benda, menghitung luas suatu kurva yang diketahui persamaan kurva dan batas batasnya, menghitung volume benda putar dan masih banyak ban yak lagi. Dalam hal ini kita kit a akan membahas tentang penggunaan integral dalam penentuan volume benda putar. Saat duduk di bangku SMA, kita diajarkan untuk menghitung volume benda putar yang diketahui persamaan garis atau kurva dan batas-batasnya. batas-b atasnya. Namun, dalam kenyataannya kita belum mampu menggunakannya dalam kehidupan nyata. Padahal dalam materi tersebut jelas diterangkan bagaimana caranya menghitung volume pada benda putar atau dalam d alam kehidupan nyata disebut benda ruang. Sehingga materi yang kita pelajari dengan susah payah tidak berguna dalam kehidupan nyata. Padahal
berhasil atau tidaknya suatu ilmu terlihat dari seberapa besar kita dapat menggunakannya menggunakannya dalam kehidupan. Atas dasar uraian di atas, penulis tertarik untuk menguraikan bagaimana cara mengaplikasikan operasi integral untuk mengitung volume benda ruang, seperti botol.
Pembahasan
A. Definisi Integral Setiap operasi perhitungan matematika mempunyai invers. Seperti halnya penjumlahan mempunyai invers pengurangan, perkalian mempunyai invers pembagian, perpangkatan mempunyai invers akar pangkat dan logaritma mempunyai invers antilogaritma. Atas dasar itulah para ahli mencari invers dari operasi peritungan diferensial atau sering disebut turunan. Kemudian para ahli, seperti Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz menemukan hubungan antara diferensial dan integral sebagai operasi saling invers. Menurut Wilson Simangunson (1998: 425) mendefinisikan integral
sebagai “kebalikan turunan.
Jika turunan suatu fungsi diintegralkan, maka hasilnya adalah fungsi semula. Integral dinotasikan dengan
∫…dx”. Hubungan ini kemudian dikembangkan oleh
Georg Feiedrick Bernhard Riemann, sehingga ditemukannya definisi integral tentu. Oleh karena inilah integral tentu sering disebut integral Riemann. Wilson Simangunson (1998: (1998 : 5)
integral didefinisikan dengan “misal F(x) F(x) adalah suatu
fungsi umum yang bersifat F’(x) bersifat F’(x) = f(x) atau f(x) atau F(x) F(x) dapat dapat didiferensialkan sehingga F’ (x) (x) = f(x). f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) maka F(x) dinamakan dinamakan sebagai himpunan anti pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi F’(x) = f(x)” B. Integral tak Tentu Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x yang ditulis dalam bentuk
∫ f(x) dx
dinamakan sebagai integral tak tentu dari fungsi f(x) tehadap f(x) tehadap x x.. integral tak tentu dari fungsi f(x) terhadap f(x) terhadap x x adalah adalah sebagai fungsi umum yang ditentukan melalui
∫ .
hubungan
Adapun rumus-rumus integral adalah sebagai berikut (Edwin J. Purcell, Dale Dale Varberg, edisi 5 jilid 2: 505)
∫ ∫ rumus integral ini disebut rumus integral parsial 2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ 5. ∫ 6. ∫ 7. ∫ 8. ∫ 9. ∫ 10. ∫ 11. ∫ 12. ∫ 13. ∫ 14. ∫ 15. ∫ 16. ∫ √ 17. ∫ | | | 18. ∫ || 19. ∫ √ 1.
C. Integral Tentu Berbeda dengan integral tak tentu, integral tentu memiliki batas-batas f(x) dari a ke b). a disebut batas ∫ (dibaca: integral f(x) - bawah dan b batas atas. at as. Jika J ika F’(x) F’(x) = f(x), maka f(x), maka ∫ integral, yaitu
Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menghitung volume benda putar. Dimana, menurut Wilson Simangunson (1998; (1998 ;
85) “benda putar
adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi)”. Untuk memahami rumus dan cara menghitung volume benda putar dari suatu daerah yang diputar terhadap sumbu tertentu, simaklah uraian berikut. 1. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar
y y= f( x )
D 0
a
b
x
Perhatikan gambar di atas, misalkan D D dibatasi oleh kurva y = f(x), f(x), sumbu X, X, garis x = a, dan garis x = b, sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas. Jika daerah D diputar 360° mengelilingi sumbu X , maka diperoleh suatu benda putar. Volume atau isi benda putar ini dapat dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah. Mula-mula diambil elemen daerah persegi panjang dengan
dan
tinggi y= f(x). f(x). jika persegi panjang itu diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X sumbu X , maka diperoleh elemen silinder lingkaran tegak dengan jari-jari y
. Volume dari elemen silinder ini adalah * + .
= f(x) f(x) dan tinggi
Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volume benda putar adalah:
∑ ∑ ∑ * +
Bentuk di atas jika ditulis dengan notasi integral a kan menjadi
* + Begitu juga untuk daerah D daerah D yang yang dibatasi oleh kurva x kurva x = g(y), sumbu g(y), sumbu Y , garis
y = c, c, dan garis y garis y = d , serta daerah D daerah D diputar diputar mengelilingi sumbu Y .
Dengan cara yang sama dengan cara di atas, maka akan kita dapatkan volume benda putar seluruhnya dirumuskan
∑ ∑ ∑*+ Dan jika bentuk limit jumlah di atas ditulis dengan menggunakan notasi integral tentu akan menjadi sebagai berikut:
* * + + 2. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar dari Daerah Dua Kurva Perhatikan gambar di bawah ini
y
D E
y= g(x)
R
C B
A
0
y= f(x)
a
b
x
Misalkan daerah R daerah R dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y kurva y2 = g(x), garis g(x), garis x = a, dan garis x garis x = b sebagaimana b sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas. Jika R R diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X , maka akan diperoleh suatu
benda putar. Volume atau isi benda putar dapat dirumuskan dengan menggunakan analisis sebagai berikut. Misalkan V 1 dan V 2 masing-masing adalah volume benda putar. Jika daerah ABDE dan daerah ABCF masing-masing diputar sejauh 360° terhadap sumbu X . berdasarkan rumus volume benda putar di atas, volume V 1 dan V 2 dirumuskan sebagai berikut.
Jika daerah FCDE daerah FCDE diputar diputar sejauh 360° terhadap sumbu X , maka volume benda putar yang terjadi adalah selisih antara volume V 1 dan V 2.
* +
Dengan demikian rumus integral tentu untuk volume benda putar dari daerah antara dua kurva yang diputar terhadap sumbu X sumbu X adalah adalah
* * +
atau
* +
Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus integral untuk mencari volume daerah antara dua kurva dengan daerah R dibatasi oleh kurva x1 = f(y), kurva x kurva x2 = g(y), garis g(y), garis y y = c, c , dan garis y garis y = d. Jika d. Jika R R diputar diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu Y , maka akan diperoleh suatu benda putar. Sehingga rumus volume benda putar yang didapat adalah sebagai berikut.
* +
Atau
* +
D. Membentuk Fungsi Kuadrat Dalam matematika terdapat beberapa macam jenis persamaan, diantaranya ada persamaan linier, persamaan geometri, persamaan parabola, persamaan hiperbola, persamaan trigonometri, dan masih banyak persamaan-persamaan garis atau kurva yang lainnya. Namun dalam hal ini yang sering kita gunakan adalah persamaan kuadrat yang termasuk persamaan geometri, Untuk menyusun persamaan persamaan kuadrat terdapat tiga rumus yang dapat digunakan. Berikut adalah rumus untuk menyusun persamaan kuadrat (Marwan, 2009: 20). 1. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di (x1 ,0) ,0) dan (x2 ,0), serta melalui titik tertentu 2
Jika suatu grafik fungsi kuadrat y=ax +bx+c +bx+c memotong sumbu X di titik (x1 ,0) dan ,0) dan (x2 ,0), ,0), maka x1 dan x2 disebut disebut pembuat nol fungsi. Dengan demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut Y=a(x-x1 )(x-x2 ) Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dan y dari dari satu titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di ata s. 2. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak (x p ,y p ) ) dan melalui sebuah titik tertentu. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (x p ,y p ), ), maka rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut. Y = a(x – a(x – x x p )2 + y p Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan x dan y y dari dari titik lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut.
3. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik (x1 ,y1 ), (x2 ,y2), dan (x3 ,y3 ) Rumus kuadrat dapat dinyatakan sebagai berikut Y = ax 2 + bx +c Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan x dan y y dari dari titik tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga diperoleh tiga buah persamaan dengn tiga variabel dan melakukan operasi subtitusi dan eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut. E. Menentukan volume botol Untuk mentukan volume sebuah botol, terdapat beberapa langkah. Berikut adalah langkah-langkah tersebut. 1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya atau menggambar dengan skala. 2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y . Letakkan titik (0,0) (0,0) pada perpotongan sumbu simetri botol. 3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan 4. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva 5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva 6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang diperoleh dari masing-masing kurva 7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut. F. Contoh 1. Tentukan volume botol berikut, jika ukurannya dalam satu-satuan cm.
Jawab a. Gambar botol di atas kertas
b. Tentukan sumbu X sumbu X , sumbu Y dan dan titik pusat Y 100 80 70 60 40 20 X
-40
-20
0
20
40
c. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan Y 100
III
80 70 II
60 40 20 X
-40
-20
20
40
d. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva Y 100 80 70 II
60 40 20 X
0
I
20
40
Kurva I melewati titik (0,10) dan (0,10) dan (20,20), (20,20), dibatasi oleh y oleh y = 0 dan 0 dan y y = 10
Kurva II melewati titik (20,20) dan (20,20) dan (20,40), dibatasi (20,40), dibatasi oleh y oleh y = 10 dan 10 dan y y =80
Kurva III melewati titik (20,80) dan (20,80) dan (0,90), dibatasi (0,90), dibatasi oleh y oleh y = 80 dan 80 dan y y = 90
e. Rumuskan masing-masing persamaan kurva
Kurva I Anggap titik (20,10) (20,10) adalah titik puncak, sehingga (x p ,y p ) = (20,10). Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titiknya yaitu (0,0) gunakan (0,0) gunakan rumus kedua. x = a(y – a(y – y y p )2 + x p Dengan (x p ,y p ) = (20,10), x = a(y-10)2 + 20 (x,y) = (0,0) 0 = a(0-10)2 + 20 -100a = 20, 20 , maka a =
Sehingga persamaan kurva I adalah x =
(y – 10)2 +20 (y – 10)
y2 +4y - 20 + 20 x = x = x =
Kurva II Kurva II adalah sebuah garis yang jika diperpanjang akan memotong tegak lurus sumbu X di di titik (20,0). (20,0). Sehingga kurva ini adalah sebuah garis dengan persamaan x persamaan x = 20
X = 20
Kurva III Anggap titik (20,80) (20,80) adalah titik puncak, sehingga (x p ,y p ) = (20,80). Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titiknya yaitu (0,90) gunakan (0,90) gunakan rumus kedua. x = a(y – a(y – y p )2 + x p Dengan (x p ,y p ) = (20,80), x = a(y-80)2 +20 (x,y) = (0,90)
0 = a(90-80) 2 +20 -100a = 20, 20 , maka a =
Sehingga persamaan kurva III adalah
(y – (y – 80) 80)2 +20 x = (y2 - 160y +6400) + 20 x = y2 + 32y -3000 2 x = y + 32y -3000 x =
f.
Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang diperoleh dari masing-masing kurva Volume kurva I
* + ( ) ] [ [ ] Volume kurva II
* +
,- Volume kurva III
* +
( ) [ ] ] [ , [ ]
g. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut
Volume botol = volume kurva I + volume kurva II + volume kurva III
Kesimpulan
Dengan cara menentukan persamaan garis pelukis pada botol, kemudian menggunakan rumus integral, kita dapat menentukan volume botol tersebut. Sehingga tidak perlu mengukurnya dengan alat ukur. Dengan langkah-langkah berikut 1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya. 2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y. Letakkan titik (0,0) pada perpotongan sumbu simetri botol. 3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan 4. Tentukan titik pada masing-masing kurva 5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva 6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang diperoleh dari masing-masing kurva 7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut
Daftar Pustaka
Marwanto. 2009. Mathematics 2009. Mathematics For Senior High School Year X. yudhistira Simangunsong, Wilson. 1998. Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar . Erlangga: Jakarta Purcell, J, Edwin. Dan Varberg, Dale. Edisi lima. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. 2.
