BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan
deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks
√
di atas, yang akan terlihat sebagai berikut:
. Terkadang hal itu tak mungkin.
Jika eksponen merupakan bilangan rasional pokok yang dipangkatkan p, sehingga:
hasilnya adalah akar ke- q bilangan
.
Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke- x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional ( x i i), yang limitnya adalah :
1.2 Tujuan Mempelajari serta dapat meramalkan pertumbuhan dan peluruhan eksponen serta bunga majemuk.
1
BAB II Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Seiring berjalannya waktu, di dunia ini akan ada dua hal, yang selalu tumbuh dan yang terus meluruh. Manusia misalnya, selalu tumbuh untuk memperbanyak spesiesnya. Sedangkan karbon, akan terus meluruh menghamburkan zat radioaktifnya. Bagaimanakah kita meramalkannya? 2.1 Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan penduduk
(kelahiran-kematian) dalam jangka waktu pendek
akan
sebanding dengan banyaknya penduduk pada saat awal waktu itu dan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Misalkan persamaan
terhadap ,
adalah banyak penduduk saat . Jadi
. Sehingga kita peroleh
atau,
dalam bentuk limit, persamaan diferensialnya :
atau
Syarat
atau,
pada saat
∫ ∫ akan menghasilkan
2
. Sehingga,
Perubahan ke bentuk eksponen menghasilkan
maka didapatkan,
Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial.
Model eksponensial untuk pertumbuhan populasi tidak sempurna karena proyek tersebut cepat dan semakin cepat bertumbuh jauh melampaui bayangan semula, seperti kurva berikut:
Di hampir semua kasus (termasuk kasus populasi dunia), jumlah yang terbatas akan ruang dan sumber daya akhirnya akan memaksa laju pertumbuhan yang lebih lambat. Hal ini mengacu pada model logistik, diasumsikan bahwa laju pertumbuhan tersebut proporsional baik terhadap besarnya populasi maupun terhadap selisih , dimana adalah populasi maksimum yang dapat di tunjang. Persamaan diferensialnya :
Kurva pertumbuhan logistik:
3
Contoh : Suatu bakteri diketahui berkembang dengan laju yang proporsional dengan jumlah yang ada. Setelah 5 jam bakteri yang semula berjumlah 9.000 berkembang cepat menjadi 63.000. Berapa banyak jumlah bakteri yang terdapat selama 1 hari? Penyelesaian :
Diketahui :
Ditanya :
√
2.2 Peluruhan Radioaktif Selain mengalami pertumbuhan, beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya zat-zat radioaktif yang mengalami peluruhan. Persamaan diferensial untuk peluruhan sama dengan persamaan diferensial pada pertumbuhan eksponen, bedanya pada peluruhan radioaktif nilai .
4
Sehingga menghasilkan kurva :
Contoh : Isotop Karbon 14 berada di dalam makhluk hidup dalam ukuran tertentu. Ketika organisme mati, isotop Karbon 14 meluruh secara eksponen dengan waktu paruh 5730 tahun. Sebuah potongan arang dari kayu bakar ditemukan di sebuah hutan dan diperkirakan hanya mengandung 11% dari isotop Karbon 14 setelah awalnya berbentuk kayu pohon yang kemudian terbakar. Berapa lama waktu yang dibutuhkan dari masa pembakaran sampai terbentuknya arang tersebut? Penyelesaian : Diketahui :
Ditanya :
5
2.3 Bunga Majemuk Merupakan bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode compound atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru (bunga berbunga). Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam tahunan, semesteran, triwulanan, bulanan, dan mingguan. Perhitungan tersebut menggunakan rumus eksponensial sederhana:
Dimana:
: nilai akhir selama waktu : nilai pokok awal (modal)
: tingkat bunga nominal tahunan : frekuensi perhitungan bunga dalam setahun : waktu dalam tahunan
Contoh : Azka menyimpan tabungannya di bank sebesar $220 dengan bunga bulanan majemuk sebesar 12%. Berapakah nilai tabungan Azka yang disimpan pada akhir tahun ketujuh? Penyelesaian : Diketahui :
Ditanya :
( ) 6
Apabila bunga majemuk dijalankan secara kontinu-yaitu apabila bilangan yang menunjukkan periode kemajemukan menuju ke tak hingga. Dalam hal ini diperoleh:
[]
Dalam perhitungan di atas,
dan melihat bahwa
bersesuaian dengan
.
Teorema
Bukti
Maka dari definisi turunan dan sifat-sifat ln, diperoleh
[ ] [ ]
adalah fungsi yang kontinu, maka dalam eksponen argumentasi dapat ditulis sebagai berikut :
7
Contoh : Jika tabungan Azka memberi bunga majemuk secara kontinu, berapakah jumlah tabungan Azka pada akhir tahun kesepuluh? Penyelesaian :
8
BAB III KESIMPULAN
Fungsi eksponensial dapat menggambarkan fenomena pertumbuhan/peluruhan dengan persentase tetap. Pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, pertumbuhan bunga majemuk dengan bunga kontinu dapat diramalkan sebelum waktunya, sehingga kita dapat mempersiapkan hal-hal yang dapat terjadi di masa yang akan datang.
9
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J. Purcell, Kalkulus Jilid 1. Jakarta : Erlangga. 2003 http://id.wikipedia.org http://wordpress.com/2010 http://www.scribd.com
10
