ANÁLIS V PROEC PROECT T
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Análisis y
pr oy ect o de mecanism os
Análisis y proyecto de ecanisos DEANE LENT
Pofesor de Ingenieía Mecánca del nsttuto de Tecnología de Massachusett
EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Barcelona-BogotáBuenos AiresCaracasMéxico MCMLXXIV
r/o de la oba oigna:
Analysis and Desing of Mechanisms Eón ogna en lengua ingesa pucaa por:
Pentie-Hall, ln., Englewood Ciffs, N. J. Copyght© by Pence-Ha, n. N.J, Vesón españo po e
Dr. Alejandro Rodrigue: de Torres Ingenieo ndustral, Profesor de mecána y esstena de materales de la Esea de Arqetra de Baelona Revsaa po e
Dr. lián Fernánde Ferrer Catedráto de Físia de la Unves Unv esii dad Poléna de Bareona Feow o the lnstte of Mahemats d ts Appatons Popea e
EDITORIAL REVERTÉ, S. A
Encanacón 86 Baceona 12
Ningna pare de matera berto po ese· ese·to de propedad teara podá repodirse en orma agna sn e pevio permiso po esto de edito. os os deehos resevados en en español EDITORIAL REVERTÉ, S A 1974
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3. :619! - ITOCLUB Náples, 0 oarc
Prólogo
Este libro es un libro de texto y está escrito para estudiantes. La presentación es lo bastante elemental como para impartirse en el· el· primer año del plan de estudios de cualquier carrera técnica No presume de conocimientos de cálculo o físicos sno que utiliza con gran rofusión técnicas grácas que faciliten el estudio de esta materia basándose en la Geometría La claidad y simplicidad del estudio gráco, prolonga la capacidad del estudiante más allá de los límits usuales d los cursos de introducción El objetivo del autor es proporcionar una base sólida para la correcta aplicación de los principios cinemáticos en el análisis y proyecto de los mecanismos Ese libro no es un tratado teórico que investigue profundamente para acumlar conocimientos sino que está ensado para proporcionar inmediatamente procedi mientos útiles que permitan abordar problemas reales Creemos que el estímulo de los problemas de proyecto con su consigiente demanda de análsis ropor ciona la motivación más efectiva para los estudios de Ingeniería Por muy com plicadas que sean las técnicas que deban elearse en un momento dado el en foque gráco inicial caacita al estudiante para proyetar en una primera etapa Como quiera que ya se ha escrito mucho sobre esta materia sería difícil y sin duda imprudente intentar hacer un tratado comletamente nuevo Aunque se incluye considerable cantidad de materia que el autor cree que es original tam bién se utilian muchas técnicas clásicas con la intención de meorar su resenta ción o de amliar ss alicaciones Se ha considerado más juicioso sancionar y promover métodos satisfactorios que buscar notoriedad mediante inventos Este libro está escrito ara instruir a los estudiantes no para impresionar a un Claustro En un gran número de eemlos se orecen distintos métodos de análisis per mitiendo de esta manera al profesor seeccionar el rocedimiento que se siga mejor en su clase No se ha surimido casi nada de la rimera edición a n de que los VII
VIII
PRÓLOGO
e hoa lo uticn, no ncsin cambiar ncsariamnt su foma d nsñan o ación d pobmas. El capítuo na qu aa d mcanismos, s nuvo, ofrcindo una cocción e esmos úis paa famiiaiza mjor a sudian con os poyctos xis ene timuar su ingnio para abajo caivo. En todos os scios d sta cas stá dtás d autor, un compañro u eaoraía visa, ogania y a vcs corig, manuscrito. n a prparación e et txto, a dsa dvoción y pacincia d mi sctaria Dian R. Moun n consituy a pincipa contibución a cua agadcmos poundamnt: DEAN LNT
Indice analítico 1
INTRODUCióN
11 12 1.3 1.4 1.5 16 17 18 19 110 2
2 2
3 3 5 7 9 12 15 15
DESPLAZIENTO
19
2.1 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215
19
2.16
3
Proyecto de los mecanismos Técncas de análisis de los meanismos Se pie precisión de dibujo Trabajo lineal de preisión Medidas de precisión Una escala grande en el dibuo, aumenta la precisión Técnica del compás de puntas fias Técnica del trazado de curvas irregulares Combinación inteligente de técnicas Clases de movimiento movimiento en el plano
Desplazamiento lineal Desplazamiento angular Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación Desplazamientos y trayectorias en el movimiento compuesto Mecanismos que producen trayectorias específicas Mecanismos de línea recta Mecanismos para describir arcos de gran radio Mecanismo para describir trayectrias elíptica Mecanismo para describir una parábola Mecnismo para generar una invluta Mecanismo ampliador o reductor Poyecto de mecanismos para desplazamientos dados Proyecto de mecanismos para trayectorias dadas Método de la plantilla fia El método de las levas combinadas Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas
19 21 22
25 25 27
28 29
31 31 32 34
35 35
37 44
VELOCIDAD
31 Veloidad lineal 32 Representación ectorial de las velocidades lineales 33 Velcidad angular 34 Relación entre Ia velocidad lineal y la angular 35 Velocidades de los puntos de cuerpos en rotación 36 Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compuesto 37 Vectores velocidad · 38 Vector suma: componentes y resultantes ne
44 47 47 49 51 � 52 53
X
INDCE ANALfTCO
39 310 311 312 313 314 3.15
316 3 . 17
318 319 320 321 3.22
323
4 24 32
325 326 327 328 329 330 3 .3 1
332 4
Componentes útles Concepto de cuerpo rígido Velocidades en un cuerpo rígido Determnacón de velocidades cuando se desconoce la dirección Dilaacón de un cuerpo rígido Relación entre las velocdades de un cuerpo rígdo Centro nstantáneo de rotación Localzacón del centro instantáneo de roación Velocdad angular de cuerpos en movimento compuesto Veocdades lneales absoluta y relaiva Velocidade relatvas en un cuerpo rígido Uiación de las velocidades relavas para encontrar a velocidad angular Concepo de velocidad reativa: Un Un nstrumento para el análss Consrucción de poígono de velocdades Polígono para velocidades de deccón desconocida Cenros insanáneos y polígonos de velocidades Componentes de traslación-rotación Rodadura pura Polígono de veocidades para la rodadura pura Velocdades en un contaco deslizante Velocidad de deslzamento ¿Rodadura o desizameno? Determinación de la velocidad de deslizamiento Polígonos de d e velocidades para· par a· conacto deslizane de slizane
ACELRACióN 4.1 4.2
4.3 4.4
4.5 4.6 4.7
4.8 4.9 4.10 4.11
4.12 4 .1 3 4.1 .14 4
Aceeración inea Aceleración neal unforme Aceleración lneal variable Aceleración neal sobre rayecorias curvas Aceleracón anguar Aceleración angular uniorme Aceleración anguar variable Aceleraciones en cuerpos en rasación Aceleraciones ineales en cuerpos que gran a velocdad consane Aceleraciones lineales en cuerpos que gran con velocdad angular variable Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido Aceleracones en cuerpos en movimiento compueso Cmponentes útiles de la aceeracón Detemnación de as direccones de las aceleraciones lneales Aceeraciones por el método del polígono vecoral Cnsuccón de un polígono de aceleracones ecua de las aceleracones relatvas ción de vector imagen eaiones sore cuepos en rodadura de métodos para el estudio de la aceleracón a dierencia de velocdades para aceleraciones q cmprenden deslizamento sobre guías móviles "� e
54 55 56
59
60, 60, 62 63
65 67
68 70 71 71 72 74
76 79
81 83
86 90 90
91 92
106 106 107 108 109 110 110 111 112 113 115 118 121 122 125 128 128 137 137 138 43 144 147 153
INDCE ANALTO,
5
NALISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO
5.1 5.2 53 54 5.5 56 57 58 59
!(
6
168 68 169 170 174 177 181 184 186 188
ENGRNJES
193
61 62 63 64 65 66 67 68 69 60 61 62 613 64 65 616 67 6 69 620
195 200 204'' 204 208 208 209 211 214 215 218 220 221 223 227 232 232 235 235 237 239 240 241 242 245 26 250 255 258 260
6.21
6 6 64 65 66 67 6 69
7
Diagramas para representar valores variables Cáculos gráficos Integración gráfica Diferenciación gráfica Método de a tangente Diferenciación gráfica Método de los escalones Diferenciación gráfica Método de «la cuva desplazada» Técnicas de cálcuo gráfco Integración tabular Diferenciación tabuar
X
Terminooga de los engranajes Naturaleza del contacto entre dientes Determinación de la ongitud de a trayectoria de contacto Razón de velocidades de un par de engranajes Formas de dientes para razón de velocidades constante urvas conjugadas Proyecto de curvas conjugadas Aplicaciones de las superficie conjugadas Las involutas de círculo son conjugadas Dientes de engranaje de perfi de involuta Relación entre los crculos primitivos y de base Engranajes normalizados de perfil de involuta razado de engranajes normalizados de perfil de invouta Relaciones geométricas en función del ángulo de presión Limitaciones en la utilización de engranajes normalizados Mínima trayectoria de contacto permisible Razón de contacto omprobación de engranajes en o que respecta al contacto intermitente Remedos para el contacto intermitente raecoria de contacto máxima permisible raecoria de contacto máxima debida a dientes puntiagudos oprobación para dientes puntiagudos raecoria ima de contacto debida a interferencia opbació de inerferencias Remedio para evitar la interferencia mites de la raón de veocidades para un engranaje dado Separaón de o engraaes con dientes de perfi de invouta opbación del compor comportt amiento de los engranajes separados separados plicación de la separación
TRENES E ENGRNJES
275
71 7
276 278
Razón de veocidade veocidadess de un tren tren de engranajes engranajes (razón (razón de dientes dientes - rd) renes de diferentes tipos de engranajes
XII
NDCE AALfTCO
7.3 7
75
7.6 7.7
7.8
7.9 7.10 7.11
7.12 7.13 7 . 14 7.15 7.16
7.17 7.18 7.1 .19 9 7.20 72 21 1 72 7 22 7.23 7.24
25 7.25 7.
Raón de velocidades para diferentes tipos de engranajes Razón de velocidades de un engranae de tornillo sinfín Mecanismos de inversión de marcha Transmisiones de velocidad selectivas Proyecto de trenes de engranaes ordinarios Proyecto de· de· trenes de engranajes de inversión Proyecto de trenes de inversión con engranaes de diferente paso Trenes de engranajes de de planetarios o epicicloidales Razones de velocidades de trenes epicicloidales Análisis de los trenes de engranaes epicicloidales Cambiador de velocidades epicicloidal Mecanismo de inversión epcicloidal Transmisión epiciclodal selectiva de velocidad Mecanismo calculador epicicloidal Tren epicicloidal compuesto Proyecto cinemático de un tren de engranae epicicloidal Procedimiento para proyecto de trenes epicicloidales Trenes epicicloidales simpes Tren epicicloidal básico de res engranajes Proyecto de un ren epicicloidal de tres engranajs Tren epicicloidal básico de cuatro engranajes Proyecto de un tren epiicloidl de cuatro engranaes Proyecto con montaje alrgado (separación)
280 281 282 285 289 293 295 98 299 302 304 306 308 310 312 313 314 315 316 319 321 325 329
t
,
8
SISTEMS TCULAOS
347
81 82 83 84 85 86
348 350
Cuadilátero articulado básico Razón de velocidades angulares de las manivelas Sistema articulado biela-manivela Análisis de velocidades del sistema bielamanivela Velocidades de los puntos del acoplador Cadenas de sistemas articulados 8.7 Análisis de velocidades de las cadenas de sistemas articulados Procedimiento para deducir ecuaciones de elocidad 8.8 89 Sistemas articulados con guías móviles 8.10 Sistemas articulados de retroceso rápido 81 Proycto de un sistema articulado de retroceso rápido 8.12 Ecuaciones de velocidad para todos los mecanismos 813 Ecuación de velocidad para leva y seguidor 84 Ecuación de velocidad para un ten de engranaes epicicoida
353
354 356 360 361 363 364 367 369 372 374
35
393
93 puntual
394
1
ÍNDICE ANACO 9.3 94 9.5 96 97 98 99 9.10 9.11 9.12 9.1 9.14 915 916 917 9.18 919 10
Proyecto de una leva para seguidor de rodillo Proyecto de eva con seguidor circular deslizante Proyecto de leva con seguidor plano con movimiento de raslación Proyecto de leva con seguidor de rodillo oscilante Proyecto de una eva con seguidor plano oscilante Levas de disco acanaado de doble efecto Levas cilndricas de doble efecto Levas de disco de doble efecto Levas compuesas para trayectorias irregulares del seguidor imitacón en el proyecto de una leva Ángulo de presión máximo y círculo base mínimo Movimientos ascensionales paa seguidores de leva Movimiento uniformemene acelerado Movimiento armónico simple Movimiento cicoidal nálsis de la aceleración de las levas nálsis gráfico de las elocidades de las levas
MECANISMOS
01 102 10. 0.4 105 10.6 107 10.8 109 00 1011 0.2 101 10.14 10.15 0.16 1017 018 1019 10.20 0.21 1022 02 1024 10.25 10,26 1027 10.28 10.29 00
Sistema articulado manivela-balancn Biela de acoplamiento Balancn de suspensión de cargas doble Sistema articulado de manivelas paralelas Sistema ariculado de transporte Sisema articulado de palanca acoplada con unión por psador Mecanismo de nea recta Pantógrafo Sistema articuado biela-manivela Sistema articulado de biela deslizante Mecanismo de balancn Horquilla móvil Horqullas móviles modificadas Sisemas deslizantes de articulación acodada Sistema articulado isósceles Manivela rotativa con puntos muertos Manivea oscilante con punto muero Balanc con punto muerto Sistema articulado de biela que da una curva simérica Sistema articuado generador de parábolas Mecansmo de ruz de Malta Sistema articulado que acciona sobre una ruz de Malta Mecansmo de trinquete Trinquete de fricción Mecanismo de movimiento cclico Mecanismo accionado por excéntrica y de retroceso rápido parejo diferencial de cadena Mecanismo epicicloidal de lnea recta Mecanismo planetario de movimiento intermiente Reductor de velocidades de engranae cicloidal
XI
96 98 98 400 402 404 40 406 407 409 40 42 4 4 46 48 48 429 40 4 4 42 4 4 44 4 46 47 48 49 440 440 44 442 44 444 444 44 446 447 448 449 40 40 4 4 4 44
XIV
ÍNDICE AALTÍCO
10.31 1032 1033 1034 15.35 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 10.43 10.44 1045 1046
Mecanismo intermitente de tres engranajes Mecanismo de movimiento movimiento alternativo irregular Amplificador de carrera en traslación Amplificadorr de movimiento rotativo Amplificado Mecanismo para generar un cuadrado Transmisión de velocidad variable de disco y rueda rueda Transmisión Transmisi ón de velocidad variable de cono y anillo Transmisión de velocidad variable conoide-esferoidal Cambiador de velocidad de disco y esera esera Cambiador de velocidad velocidad de anillo y rodillo rodillo Transmisión de velocidad variable de correa trapezoidal Mecanismo alternativo de plato oscilante oscilante Mecanismo Mecanis mo alternativo de de leva y horquilla horquilla Mecanismo indicador de leva de cilindro Transmisión oscilante accionada accionada por leva leva Mecanimo indicador de ees ees paralelos
454 455 455 457 45 7
457 458 45 45 460 461 461 46 463 464 4 464 46
467
ANDICE
Glosario de símbolos de letras Tabla de cuerdas Notas sobre rigonometría Funciones trigonométricas naurales Extacto del catálogo de engranajes cilíndricos de dientes rectos normaliados, de ángulo de presión 14 ½ º
467 468 46 470 47
1
1
!,1,
1 Introducción
l
El mecanismo es e corazón de una máquina Consta de una serie de partes conectadas en movimiento, ue proporcionn el movimiento especíco y as fuer as ue hacen el trabajo para el cu.a a se ha proyectado a máuina Una máuina está normalmente accionada por un motor ue suministra potencia y velocidad consantes Es e mecanismo el ue tranforma este movimiento dado, en la forma pedda para cumpir la msón propuesta El primer miembro de un mecanismo directamente unid a motor, se llama ductor, y el útimo miembro en el conunto el cual suminitra el movmento o ene energ rgaa útil útil se le la lama ma condudo. Algunos mecanismos están fomados sola mente de dos partes, como los de a Figura 1 mientras ue otros tienen mucos
Figura 1.1
miemros como se muestra en a Figura 2 Una máuina comp;ada puede em plear vaios mecanismos para cumplir varias funciones La máua, en su tota lidad, se diseña alrededor de los mecanismos ue realizan el trao Est\ acv e importante pape de los mecanismos en el proyecto de una máuina h!ce este tema interesante y vital LENT LE NT - 1
2
A ÁISIS Y PROECTO D LOS MECNSMOS
Figura 1.2
11. Proyecto de los mecanmos.
Lo prmero para un proyectsta de mecanismos es lo que se reere al mo vmiento. Debe seleccionar o proyecta r mecanismos que produzcan los despla zmientos y velocidades requeridas y determinar las aceleraciones resultantes. El estudo del movimiento de los órganos de una máquina, sin considerar las fuerzas los esfueros que se producen, se llama Cinemática. A esto es a lo que princi pamente se reere este texto. No puede ignorars la existencia de fuerzas Muchos mecanismos tales como grúas y prensas se proyectan más por su capacidad de prucr uerzas qu por las características del movimiento. Todos los componen t del mecanismo deben proyectarse para resistir los esfuerzos producidos por cras y aceleracones El estudo de las fuerzas sobre cuerpos en movimento se ama Dinámia Es muco más complcada que a' a 'Cinemátca y es la segnda fase del proyecto Ya que mucos de los poblemas dnámcos se denen por las carac terístcas del movimiento, es lógco así como convenente estudar prmeramente suinemática su inemática Como esto es lo que se pretende en un prmer lbro del proyecto de una máquna el tratamiento dnámco será lmitado. Para proyectar máqunas se debe tener prmero un "vocabulario de trabajo que dé un conocmento de los mecansmos Debemos poder modcar y adoptar os a los requstos especícos para su eecución. Se debe entonces, analiar es t mecansmos en lo que respecta a sus desplaaientos velocdades y acelera·ones a n de predecr su comportamento y prepararse para el análss dnámco e sigue Éstos son nuestros propósitos en el estudo de los mecansmos. " Técnicas e anáiss e os mecanismos. que gran parte del trabao es de índole geométrica, en el estudo de los
=:ü_ usan los dbuos sn reserva Esta técnca gráca smplica el tra rque os problemas se vsualzan más claramente y las soluco �n n más acldad y segndo porque se evita la dicultad o El aspcto lustrativo de la solucón gráca eplca el pro ,
INTRODUCCÓN
3
ceso y proporciona oportunidad de comparar y comprobar resultados constantemente. Los vectores y las grács proporcionan una comprensión visual que fre cuentemente se oculta al usar métodos uméricos La sustitución por métodos grá cos elimina largas soluciones trigonoétricas y simplica grandemente el cálculo poniendo así más problemas dentro del alcane de aquellos cuya ormación ma temática sea limitada Los cálculos deberán ser usados onde quiera que sean simples y en todos los casos donde las soluciones grácas no ofrezcan ventaja. Así, todos los pro blemas llevarán consigo algún trabajo analítico Uno podría no esorzarse para evitar cálculos pero más bien deben combinarse hábilmente los dos métodos, en provecho del rendimiento y exactitud El método más corto el más simple, es no malmente elmás exacto. 13. Se pide precisión de dibujo
El trabajo gráco puede no justicarse a no ser que su calidad proporcio ne una precisión compatible con los métodos analíticos Los resultados obte nidos mediante dibujos son desdeñados injustamente po algunos como si sólo fueran aproximaciones. Esta actitud errónea es el resultado de la ignorancia o abuso de la precisión de los métodos grácos e indica claramente a responsabi lidad impuesta sobre aquellos que emplean técnicas grácas Es verdad que los cálculos pueden daos más decimales que ls que son posibles obtener con solu ciones grácas pero el trabajo gráco ejecutado con habilidad y juicio puede dar normalmente el grado de precisión que requiere el problema Los errores de proceso son más importantes que los errores inherentes a la elección del método, y los cálculos son más propensos al error que el trabajo grco. Las ventajas de la técnica gráca más rápida más simple puede gustarle solamente a aqueos que dibujan con habilidad y a aplican con inteligencia y respeto Para los detalles, se puede consultar un libro de dibujo si bien presentare mos aqu algunas de las técnicas más importantes de precisión, las cales son in dispensables para lograr una precisión gráca 14 Dibujo
ineal de precsón.
Se piden en este trabajo líneas nas nítidas. Una línea por dención no tie ne anchura ni espesor Nosotros no podemos obtener este concepto ideal con una línea visible de un lápiz pero podemos aproximarnos a ella con mucha exactitud. Se necesita ue la mina del lapicero sea larga alada como se ve en la Figu ra 1.3 Es de vital importancia que la mina siga puntiaguda mientras progresa el dibujo mediante alados recuentes sobre un trozo de papel de lija Los arcos
-
-
·
A ISIS Y PROECTO D LOS MCNSMOS
corre. e. Figura 1.3 - Puntas de mina corr tas ·para dibjo de pecisón
de círculo puedn ser tan nos como otras íneas, pr o qu a mina d compás eesita la msma atnción constante. Ya qu estos bujos se hacn para rsover roblemass y no con el propósto d( coparos, no es ncsaro qu s roblema s reqen en oscuro. Esto nos prmit usar una mina dura, a cua� podrmos man eer fáciment alada durant trazado En a Fga 14 se vn más empos e íne de trabajo de precsón.
Rg 14 Dib lia d precisión
INTRODUCCIÓ
5
15. Medidas de precisión.
La exactitud de las medidas es tan importante como la caliad de la línea para el uso de grácos en el estudio de mecanismos. as medidas lineaes pueden obtenerse dentro de una exactitud de 1/ 4 de milímetro. Tal precisión sólo puede obtenerse mediante el uso de métodos e instrum instrumentos entos correctos Una escala con pulgadas divididas en 50 partes es preferible a una dividida en cetésimas (véase Figura 1.5) Es más fácil identicar la marca deseada, y si se sa un puntero las cincuentavas partes pueden dividirse con exactitud en dos par tes iguales a simple vista na escala con centésimas es difícil de leer sin una lupa.
i
1,37 �.
1,37�-
0 00
·1
dos tipos de escalas de ngeniería. Figura 1.5 - Lecturas sobre dos
n puntero es un instruento simple, pero absoluta mente absoluta mente necesario para la obtención de medidas de precisión Figura 16. No debe usarse nunca la punta del lápiz, relativamente roma para este propósito. Con el puntero se puede mar car un minúsculo agujero en el papel para la obtención permanente y exacta de la distancia deseada. os puntos nos agudos ayudan a leer la escala especiMadera
A c er º (� == = = . ) J - "=
Figua 1.6. - Pu Punz nzón ón..
6
ANÁISIS Y PROYECTO D LOS MAISMOS
mente si se dirige a mirada a a ínea divisora con un ojo cerrado, como se ve en a Figura 1.7 E prmer paso para a consecución de una medida es dbujar una nea de rzado no poco señaada. sta nea puede ser más lara que a dsancia a
Dirgendo endo la miada a puzó Figura 1.7 - Dirg sobe la escala.
medr Se cooca a escaa cerca de esta nea y con e punzón se marcan pequeños aueros exacamene sobre a nea y en os punos exremos de a dsanca deseada. Las medidas deberán hacerse sobre e punto de trazado cuando vaya a utiizarse Se nvia a error y se maasa e esfuerzo rasadando dsancas desde a· escaa a a nea razada con e compás de punas as acer as meddas sin una nea razada, o con punos marcados con randes auero, o con :r de apicero es una cosumbre muy maa Ya que os aueros minúscuos mu dfces de ver se pueden ocazar con más facdad s se razan peque uos a mano azada arededor de aquéos al msmo empo que e dbuo Ado os aueros con e apcero se sacrca oda a precsón (ver 8) Fa 18 Loai Loaiaión aión de as medd meddas as e a í ea taada.
que se use un ransportador de precisón propo para deinean meddas anguares sobre dbujos de pecisón se acen de cuerdas ás que con os pequeños transportadores
INTRODUCCIÓN
7
Los arcos de un radio dado, subtienden ongiudes de cuerda que son únicas para cada ánguo agudo subtendido. Se da en el apéndice una taba de ongi udes de cuerda para arcos de rado unidad para ánguos de hasta 45° En inerés ine rés a a preci precisión sión no deben usarse arcos de menos de 13 cm de d e radio con as ongudes tabuadas de as cuerdas mutipcadas por 13 para adaparse a esa escaa aumentada Los transportadores baraos son demsiado toscos para esta cadad d rabajo y no deberían usarse méodo de a cuerda permi me didas anguares próximas a 1 O minuos y permie e e uso de radios más má s argos y prácticos. Las meddas de precsión pueden hacerse correntemente a sipe vista sn esfuerzo Sin embargo un peueño crsta de aumento unido a punzón como se ve en a Figura 19 aumena a precisión y contrbuye a a comodidad durane pe dos proongados de ese tipo de trazado
3
Punzón n con cristal de aumeno aumeno.. Figura 1.9 - Punzó
1.6. Una escala grande en el dibujo aumenta la precisón precisón
Una saba eeccón de escaa es u facor muy imporante en a adez de a soución gráca Dentro de cieros mes cunto más grande sea e razado,
8
ANÁSS Y PROECTO D LOS MCISMOS
mayor será la preciión en o reulado de a edida. Una línea recta de 5 e ond puede edire con una preciión de 1 / 4 de con igua faciidad qe na lnea reca de 25 de longiud E error periido en una ínea reca e _ - cm e pae en 000, ienra ue e error en una ínea reca de 5 pae en 00 (¡ O vece aor! aor!). ). La pendie pendiene ne de una ínea í nea reca e eena ee na con ucha preciión por puno eparado 5 c ue por pun eparados óo 5 c. Ée e oro argueno para e razado aor Sin ebago si el dibujo lega a er deaiado grande, e neeian inru meno esecae e conue uco iepo en a confeccin del razado. s an dici dibujar una ínea reca u arga coo una cora o edir dian ia con exaciud ue excedan a longiud de la ecaa noral 1 pugada 30,5 eneo. Se pde poner en peigro la exaciud i e dibujo ega a er deaiado ande En a eección de una ecaa adecuada, inuen a calidad de o dao dado a copejidad de anlii la preciión pedida en la oución. e pden cuidado juicio a acer a elección.
il
Figura Fig ura 1. 1.11 O - Com Comps pses es d nts fjs
INTRODUCCÓN
9
1.7. Técnica del compás de punts fjs.
Hay muchos casos e os trazados ciemáticos dode debe dividirse líeas rectas o crvas e u úmero dado de partes iguales. Para hacer esto co preci sió, deben utilizarse os compases de putas jas Este istrumeto tiee tambié ua valiosa fució e e trasporte de medidas de u lugar a otro Normame te se s e usa dos cases de compases de putas jas coo s ve e e la Figura Figur a 11O l grade tiee ua juta de fricció y -u torilo de ajuste maual soamete para el auste o l pequeño está eteramete ajustado por torillo. l uso de este istrumeto etraña tateos pero es u bue método porque e cada tateo se idica el tamaño del error y muestra cuáto y e qué direc ció debe hacerse la correcció No etraña ua suposició a ciegas or ejemplo, supogamos se pide dividir ua líea AB e 3 partes iuales (ver Figura 1.).
1
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Corección
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Figura 1.1. - Divis Divisn n de una línea en tes pates pates igales. igales.
rimero se coloca el compás de putas jas de maera que represete alre dedor de ua tercera parte de la logitud AB. Co esta posició de prueba par timos exactamete del puto A y hacemos "camiar el compás de putas jas a lo largo de la líea balaceado la pata libre primero de u ado y después del otro como si uo camiara sobre la cuerda oja hasta que se haya hecho 3 etapas. So impotates dos cosas: Debe aplicarse ua presión débil para evitar que las putas se hque demasiado e e papel y debe poerse cudado e ue las putas del compás de putas jas quede exactamente obre la línea para cada etapa el dibujate falla ta lastimosamete como el fuámbulo si o observa esta
12
ANÁSIS Y PROYECTO DE LOS MECSMOS
Técn Té cnic ica a del del tra traza zado do de cu curv rvas as irr irreg egu ua aes es..
La representación gráca de canidades variables toma la forma de una curva reglar denida por puntos marcados a través de los cuales se puede dbujar una ca continua uniforme.* En los estudios de cinemática, este trazado o gráca u frecuentemente para presentar datos o denir soluciones El método de ibuar curvas rregulares dire de otras técnicas en que es un proceso de tanteo á que una operación drecta, "certera a curva se forma, tramo a tramo, con a ca orignal de prueba perfecconada y meorada hasta que se obtiene un resltado satisfactorio Como con todo trabao de precisión, e usa un instrumento para giar al lá pz El nstrumento ás común es la "pl¡tilla de curvas que se ve en la i gra 115
Plantila a de curvs. curvs. Figura 1.15. - Plantil
sas plantillas de curvas se utiizan n gran variedad de formas y tamaños o un dibujante generalmente usa sólo una o dos, ya que raramente almacena ntos que realmente se austen a una pare considerable de la cuva que a buarse Supongamos que los punos a, b, d e f, g, h an sdo cuida ene marcados (punón) como se ve en la Fgua 6 vamos a dbuar una ·a conua uniforme que pase por ellos por tanteo; seleccionamos una región palla de curvas la cual pasará exacamente por varos puntos consecuti como o, a y en igura 16 Antes de dibuar una lnea obsérves d a acercarse acia el prómo puno S el borde pasa cerca de �a á la línea que si cambase de dreción aleándose de e ;=J ;=J o q, mo p o fo goo Hmo o myo b
13
INTRODUCCÓN
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Primea etapa
cva por putos. putos. Figura 1.16 - imea etapa en el dibjo de ua cva
marcadamente. En este caso la línea puede dibuarse un poco más allá de b, ya · que la curvatura puede modicarse después de este punto pra que pase por c. Ahora dibjamos una línea de prueba que pase exactamente por o, a y b. Debe se una línea esbozada que sea fácil borrar s fuera modicada (El dibujante deberá colocarse e una posición conveniente para dbujar contra el lo curvado, esto no puede hacerse sentado en el taburete.) Para continuar dibuando la curva debe moverse la plantia a una nueva poscón a n de que su lo pase eactamente por varos puntos más y que tambén se una y solape con el nal de la curva ya dibuada La Figura 17 mues tra el instrumento en tal posción que se une con la curva prmera en el punto b y también pasa por e, d f, g y h. Es muy poco corrente poder unr mediante una plantilla de curvas tantos puntos pero esto nos servrá para acortar la des crpción del proceso y evitar una repetción nnecesaria) Aunque la curva pasa por el punto h nótese que está poco dirigda haca el prómo punto Consecuentemente dbuamos la lnea hasta la mitad entre h e a n de proporconar un cambio de urvatura en h en prevsión de alcanzar i
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14
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Seguda etapa dibujo de ua curva. Figura 1.7 - Segunda eapa e el dibujo
en la próxima unón. La ínea curva se dbuja en esbozo, como antes para fac tar una posble modcacón La tercera etapa en construccón de esta curv se ve en Fgur 18 L plantlla de curvas se h puesto de nuevo en poscón a n de que un út- út- rcón de a curva desde un punto equdstante de g y f, y se proongue p r h e . Luego a nea se proong para trer a curv su na prmera ínea trazad consttuye somente un prueba y debe compro uenemente mejorarse, ntes de que se utce íne n L com cón se hace mejor colocando e ojo cerca de pno de ppe y drgendo rd a o larg de la curva Pueden borrarse y corregirse os saentes cs pana y dscontnudades en a curva ponendo de nuevo pn a a n de que una exactamente as prts exstentes obre cad do rada; así segurmos una curvatura contnu está tazada satsctoramente, se pca un íne n exc �= de ea. La panta de curvas se apc y dpt repetd cmo antes pero no se necest reconstur en este pro ern udas orgnaramente De hecho e resutd
INTRODUCCÓN
15
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Tercera etapa
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eapa en el dibujo de na curva. Figura .18. - Tercera eapa
nal puede aún mejorarse, si las posiciones del instruento son ligeramene di ferentes a las colocaiones originales. 1.9. Combinación inteligente de técnicas.
En el estudio de los mecanismos es esencial para su utilización conocer cuál es el método meor adaptado para cada parte del problema de que se trate Debe evitarse el ser partidarios exclusivamente del método analítico o del gráco sino qe debemos intentar seleccionar y combinar estas técnicas para lograr una solu ción simple, eciente y exacta 0 Clases de movimiento movimiento en el plano
Cuando las trayectorias de todos los puntos en movimiento de un cuerpo están situadas en el mismo plano o en planos paralelos, se dice que el cuerpo tiene movimient plan. El anáisis del movimiento en res dimensiones puede resol
16
ANÁLSIS Y PROYECTO D LOS MCISMOS
vese mediante el estudio de vaios movmntos panos por spaado, así no s mtan nuestas acu\tades si estingims n st txto nsta atnción pn pamente a movmiento pano. Es úti dvdi movmnto pano n as cass s gnts: 1. Traslación:
Un crpo q s mv sn a, s d q tn movmno d tas acón Todos os pntos d n cpo n tasacón tnn ga ov minto Pdn movs a o ago d tayctoas ctas o cvas mas paa cada nstant todos os pntos s mvn n a msma dccón y con a msma vocdad Todas as poscons d na na dada sob cpo pmancn paaas cando s mv E boq q dsza n a Fga 119 tn na tralacón reclínea, psto q os pntos A y B con tayctoas ctas E tfé-
Figura
Tslcón cón 1.9 - Tsl
ectlíne ectlíne
co d a F ga 120 tn na ralacón curvlínea ya q A y B con tayctoas cvas En cada caso a na AB s paaa a A'B n todas as poscons
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Figra 1.20. scón cvlne
de n cero pmanc qto mntas co a pnto e cepo tn movmnto d otacón Las ta
INTRODUCCÓN
17
yectoias de todos os puntos de cuerpo son acos de cículo alededo de punto jo que es e cento. A una ínea imaginaia que pasa po est cento, pependicua a pano de movimiento, se e ama eje de rotacón. En este movimiento todas as íneas de cuepo gian con a misma vocidad. E disco de a Figua 121 gia aededo de punto jo O Los
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Figura. 1 21. - Rot Rotació ación. n.
puntos A, B, C y D desciben tayecoias cicuaes aededo de cento O Cuando e tiánguo OCD gira a a posición OC'D, as nea OC CD y DO gian e mismo ánguo 0 ya que todas están giando con a misma veocidad 3 Movimi Movimieno eno compue compues s (Talac (Talación ión y oación):* oación):*
uando un cuepo se mueve de ta foa que todos os puntos camian de posición y todas as neas gian, ese cueo tiene movimiento co puesto t
Fgur 1 .2 - Tasl Taslacó, acó, otacó otacó y movmeto competo
* También se le llama llama corren correnemen emene e movimento plano. t Es convenene hacer noar aquí ue el movmeno de los punos se lma a la ras lacón. Coo no enen exensón no podemos obserar medr la roacón de los punos Las líneas líneas pueden raslaarse grar o acer acer ambas cosas smuláeam smuláeamene ene como en- un mo meno ompueso LE-2
18
ANÁLISIS Y PROYECTO DE OS MECISMOS
En el mecanismo que se ve en la Figura 1.22, la manivela AB gira alrededor del eje fjo A, el bloque C se traslada a lo largo e las guías y la biela BC tiene movimiento compuesto. El punto se traslada a C', mientras que B lo hace a B' y B gira un ángulo 0 Por tanto la biela CD se traslada y gira al mismo tiempo Es a veces conveniente pensa en l movimiento compuesto como dos movimientos separados que tienen lugar sucesivamente Por ejemplo la bela puede moverse primero a só B a una osición paralela B C' mediante una traslación, después puede girar alreedor de C u ángulo 0 hasta la posición nal B. La traslación y rotación pueden considerarse independientemente aun cuando en realidad tienen lgar simultáneamente. La igura 22 ilustra las tres clases de movimiento: traslación del bloque en C otación de la manivela A y movimiento compuesto de la biela º
2 Desplazamiento
Movimiento es la acc10n de cambiar de pos1c10n. Debemos estudiar primero las propiedades propiedad es del movimiento de maner que podamos defnirlo y medirlo medirlo antes de considerar los mecanismos que lo poducen. Lo prmero es consderar el desplazamiento como la consecuencia o resultado del movimiento El desplazamen desplazamen to es una medida del cambio de posición Para describir completamente un des plazamiento debems conocer la posición inicial, la dirección del movimiento y la distancia o ángulo entre las posiciones inicial y fnal. 2.1. Desplazamiento ineal
(Símbolo: ).
La distancia entre dos posiciones de un punto que se mueve a lo largo d una línea se llama desplazamiento lineal. La trayectoria, o lugar geométrico de las posiciones del punto pued ser curva curva o rect pero el desplazamiento es la distancia lineal recta entre dos posiciones no necesariamente la dstancia reco rida en realidad Aunque normalmente el desplazamiento lineal se aplica al mo vimiento de un punto, también pueden tener desplazamiento lineal un cuerpo o una línea en la traslación Ya que todos los puntos de un cuerpo, en la traslacón se mueven igual distancia para cualquier intervalo dado, el desplazamiento de cuerpo total es igual al desplazamiento de cualquier punto. El' desplazamiento lineal se mide en metros centímetros etc 22. Despazamient anguar
Smbolo
0).
El ángulo entre dos posiciones e una línea en rotación de un cuerpo es e deplazamiento angular para ese intervalo del movimiento Ya qu un puno no 9
2
ANLSIS Y PROECTO D LOS MANSMOS
ene extensión, su desplazamiento angular no tiene signifcado. Para deteminar ángulo l desplazamieno anglar de un cuerpo necesitamos medir solamente el ángulo gado por cualquier línea solidaria al cuerpo puesto qe cuando un cuerpo gira todas las líneas giran el mismo ángulo en un intervalo dado El triángulo OAB (Figra 21) gira alrededor de O hasta l posición OA1B . En este movimiento B A
Figr Figr
21 - Despla Desplazamen zamento to anula anula. .
la línea OA gira un ánglo AOA , gual a 8, y O gira un ángulo BOB 1, que puede demostrarse que también es igual a 0. El ánglo 1 es igal al ángulo 2 ya que son el mismo ángulo del triánglo en cada posición. Cuando el triánglo se des plaza un ánglo 0, el lado OA gira el ánglo 1 más el ánglo 3 El lado OB. gira el áng lo 3 más el ángulo 2. Ya que el ángulo 1 más el ángulo 3 es igual al án glo 3 más el ángulo 2 las líneas OA y 0B se han desplazado el mismo ángulo El mismo triángulo se ve en la Figura 22 y podemos demostrar que los la dos OA y B giran el mismo ánglo cuando se desplaza el tángulo El ángulo
o
Fg Fg 22 22 Todas as ínea íneas s de un cuep an an ánuo ánuos s uae uaes s
4 es igal al ángulo 5 ya que son el mismo ángulo exteior del trángulo para cd posición AB puede desplazarse a la posición A 1B en los tres movimientos 'nt: Girando en setido contrario al de las agujas de un reloj alrededor de A áglo hasta AB0 en línea con OA. G en el sentido de las ag as de un reloj alrededor de O un ángu A1B2 en línea con OA 1 º l ndo de las aguas de un reloj un ángulo 5 hasta AB. _ ,
,
DESPLAZAMIENTO
21
La suma del movimiento levógiro en el ánulo 4 y del dextróiro en el ángulo 5 es ceo, ya que el ánulo 4 es iual al 5. Esto deja el desplazamiento total de AB desde la posición AB a A 1B ial al ángulo 0, el cual es el mismo desplazamiento que el del lado OA. Las unidades del desplazamiento angular son grados o radianes El radián es el ángulo comprendido por un arco de circunferencia igual en lonitud al radio de la misma (ver Figura 2.3). Como la longitud de la circunferencia es ial a
q�
�
J
1 Radián
Figura 2.3 - El radán com como o und undad ad angula angula. .
2J veces el radio, habrán, por tanto, radianes en 360º ún cuano normal mente medimos y contamos ángulos en grados, es a menudo conveniente calcular ángulos en radianes *
2.3. Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación
El disco W de la Fiura 2 ira alrededor de un centro jo O Cualquir punto, tal como A, en este disco, permanece a una distancia constante (r) de O
Tayetoa de A
Despazame zamento nto angar angar y nea Figua 2.4. - Despa
y consecuentemente recore una trayectoria circular cuando el dico gira. Cua do W da una revolución completa, el desplazamiento anlar de la línea OA es ° o 2n radianes Durante este movimiento, el punto A recorre una distancia ual a la lonitud de una circunferencia de radio r, que es 2 La trayectoria de * o 3,4 oí oí o co co. .
22
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MECAISMOS
A será siempre directamente proporcional al desplazamiento angular de W. Si expresos este desplazaiento en radianes podemos estabecer una ecuación simple para la trayectoria de A o para cuaquier punto del disco. En una relovución, la trayectoria de A tiene una longitud igual a 2r, y el desplzamiento de W es igual a 2J radianes Dividiendo una igualdad por la otra Trayectoria de A 2 2 0 impcando 2: Trayectoria de A w
=r
Multipicando por
Trayectoria de
A
=
r0 w
Ya que A es cualquier punto de W, la ecuación genera = r0 da la distancia -ecorrida por cualquier punto a una distancia del eje de ro tación del cuerpo que gira un ángulo de radianes.· radianes. · En la Figura 2.4 notamos que cuando e nguo es muy pqueño el arco que subtiende será prácticamente igual a la cuerda C Por tanto ya que arc cuerda
C
=
r0
cuando se aproxima a cero y se expresa en radianes Por defnición el desplazamiento de A ( ) es igual a la distancia medid en línea recta entre dos osiciones de A uando A recorre un arco este despla zamiento sería la cuerda de dicho arco. Para ángulos muy pequeños (tales que tienda a cero) la cuerda es aproximadamente igual al arco así el desplazamient lega a ser: A
S
=
r0
cuando está en radianes Esta ecuación da una relación entre el desplazamiento ie y angular en cuerpos en rotación ! Desplazamientos y trayectorias en e movimiento ompuesto. er en movimiento compuesto está trsladándose y girando simuá � _ iteresan los espazamientos lineales de los puntos en el cuerpo ento ngular de ismo cuerpo
DESPLAZAMINTO
23
Los desplazamientos lineales pueden obtenerse gráfcamente haciendo un dibujo exacto del cuerpo en las posiciones inicial y nal y midiendo la distancia en tre las dos posiciones el punto en cuestión. E deslazamiento lneal puede cal cularse cuando se conozcan la trayectoria del punto y su velocidad, pero este método quedará más claro después del estudio de la velocidad
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Figura Figur a 2.5- Despl Desplzme zmentos ntos ne y nl en e movento compeso compeso
24
ANISIS Y PROECTO DE LOS MECANISMS
Cundo se deconozca la trayectoa de pt, pe etemise b jd cuepo e ua r e poicoes pa evalo cos y td u a avés de las sucesia ocioe el t. E el movmeno comuesto a oaió e epo e po cmpleo deiete d trasacn La ína AB está ja e e epo M, peado Figu 25 () Cuando M e muev a ua eva poci M l lí AB pa a A B habiendo pas po la tslc y aó paa aca la e va posicin El nguo 0 ete AB y Á e pazmeto agl AB de uep M. Si cniaos a tasa y la oti pamte AB po dá tasadase pime sde a poii AB a A B epés gi ao e A u águ 0 a po A Ya que AB y A B paalelos u l oto el águo 0 igua a Cano do ecas arae oa po a sea lo gos osponient o gale Si e taslad l íea AB pi mo y espé se g ágo a om e g 2.5 el dplazamio iel e AB ha ido fe e ime , ae do sid dsplzamieto a msmo y qe el álo es g ánguo Cado ds ectas palea se a po a eate lo áglo teos iteos o gaes Co slaamiento anua es iepediete e pazameto liel soante es ecsao mi ánuo etre do poio e a ea quea sobe el cpo co objeo de ecota el eslazameo ga e po cnuo Cuando l movimieto e un cpo etá mpueo po s cne de mimbs dutos de un mecanso pud hoa mho tiempo e l tazado e vaas posiioes i s señaa uemticmet o membo com se iust e a igua 6 1,
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Figua 2.6 - Un trazado cnemátco esqema · tado
DESPLAZAMIENTO
25
25. Mecanismos que producen tayectorias específcas
En el poyecto de máquinas se necesita, frecuentemente, guiar o conducir un punto a o largo de una trayectoria dada. Se han ideado un gran número de mecanismos que poducen el movimiento a lo largo de las curvas geométricas comu nes, tale como un círculo, una elipse, una cicloide, una involuta y, desde luego, una ínea recta El arte del diseño incluye e conocimiento de lo que se ha hecho antes, así como de capacidad para crea, por lo que será importante que el estudiante se famiiarice con esto estoss aparatos conocidos y adquiera un "vocabula rio de los mecanismos. Con este n describiremos aquí algunos de los mecanis mos más famiiares 26 Mecansmos de línea ecta
Hoy en día presenta pocos problemas e guiar un punt a lo largo de una ínea recta ya que es una cuestión simple producir supercies planas muy preci sas a lo largo de las cuales pueda deslizar una pieza No era éste el caso antes de que se desarrollran as modernas máquinas de mecanizado. Antes de que James Watt construyera su máquina de vapor, tuvo que pro yectar un sistema ariculado para guiar un pasador a lo largo de una trayectoria en línea recta, puesto que en 1769 no había máquinas de mecanizado capaces de producir guías rectas de metal con precisión suciente Los mecanismos de lnea recta no sólo tienen un interés histórico sino que en algunas máquinas hay imitaciones de espacio que impiden el uso de guías convencionales.
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artculado de Wat de Figura 2.7 - Sistema artculado ínea reta.
ANLISIS Y PROYECTO PROYECT O D LOS MCANSMOS
26
l.
Sistema articulado de Watt de línea recta
(Figura 2.7): Éste es uno de os más sipes de estos aparatos, aparatos, que consiste en dos maniveas AB y CD, de igua ongitud, que pueden pueden girar arededor de pasadores jos en A y D y de una biea BC conectada, dimensionada como se ve en a gra E ·punto medio de BC, e punto E, sigue una trayecto ria apromadamente recta para una distancia imitada, reprsentaa por a ínea ínea de puntos de segmento GH.
2
Sistema articulado de Robert de de línea recta (Figura 28) En este mecanismo as maniveas AB y CD son de iga biea BC tiene un punta saiente, unido rígidamente a 90 ° B
ongitud. ongit ud. La en su punto
C
1 1
\ \ \
1 \ _J _ J @ p
D
Figura 2.8. - Sistema articulado de Rober de de,, línea reca.
medio para formar un miembro miembro en T. a trayectoria de punto P es aproxi madamente mada mente una nea recta en una parte de su recorrido. 3.
Sstema articulado isósceles! o de Scott Russel, de línea recta (Figura 29) En ese mecanismo, as ongitudes AB CB y BF so sonn iguaes, formando 1
IF
e Fg 29 - Sisema ariculado isósceles de lnea ecta
DESPLAZAMINTO
27
dos triángulos isósceles, que dan su nombre a parato. E punto F recorre una ínea recta, exactamente vertica, que pasa por A para todo e intervao de su movimiento. 4 Sistema articulado de Peaucellier de línea recta (Figura 210): Si bien es más compejo, este aparato guía e pasador P en una trayecto ria exactamente recta perpendicuar a AB. Los ejes fjos son A y B, y os miembros nombrados con as mismas etras tienen a misma ongitud 1 1
� Tayectoria : reca de P 1
p
5 Mecanimo epicíclico de lnea ecta (Figura 211 E diámetro de disco W es exactamente iga a raio de anio grand fjo M. Si W rueda arededor de a supercie de M, sin desizar, e punto P sobre W sige una ínea exactamente recta siguendo e diámetro de M.
�M
Figura 2.11. - Meca Mecans nsmo mo epcí clico de lea eca.
2. 7 Mecanismo para describir arcos de gran radio
Ya que cuaquier punto de un cuerp ue gire arededor de un eje fjo si ge una tayectoria circuar no presenta robemas e instrumento para describir ar-
28
NASIS Y PROYECTO DE LOS MECNSMOS
cos de adio pequeño. se desea un aro de rado muy grande, esta soluón smple llega a ser evdentemente, más dfíl e reazar Una modaón del sstema artulado de Peaueller (Fgura 212) en el que AB no es gual a BC, hae segur a P un aro de írulo en vez de una línea
artculado o paa arcos arcos Figura 2.12 - Sistema artculad de ado de gran longtd.
reta S se e BC eo ue AB el entro � aro está a a dereha sobre la polongaón de a ínea AB. BC es mayo que AB e enro enro se enuentra a a zquerda Los otros memros desgnados on las la s msmas msm as etr etras as tenen gua longtud 2.8 Mecanismo para describir trayectorias elípticas
puno E a lo largo na modaón de sstema atuado sóseles guía al puno de una traytora elpta, omo e ve en la ua 3 e hae AB gual a BC
�- -� Elpse
-
atcado para descr descr ga 213 Sstema atcado br na elpse.
DESPLAZAMIENTO
29
y E puede localizarse para calqier pnto sobre CF, o sobre s prolongación (excepto B, C o F). El eje mayor de la elipse es igal a dos veces la sma de AB y BE. El ee menor es igal al doble de CE. El centro de la elipse es A, con el ee mayor sobre la gía. 2.9. Mecanismo para decribir una parábola
Se dene la parábola como el lgar geométrico de los pntos qe eqidis tan de n pnto o llamado foco, y de na recta ja, llamada directriz. En la Figra 2.14 el pasador o F es el foco la línea cetral DD de la ranra ver tical a es la directriz y el pnto P, sobre la biela B, recorre na trayectoria
Figura 2.14 Figura 2.14 - Sstem Sstem tcldo p desb n pábo
parabólica en tanto qe el brazo acanalado M se meve hacia arriba y hacia abajo M desliza en la ranra vertical y es perpendiclar a DD en todo moento El pasador A está sobre M AG GF =FE=EA =FE=EA Los manguitos en E y G deslizan libremene sobre B. Las líneas imaginarias AF y GE son diagonaes del =
30
ANÁSIS Y PROYECTO D LOS MECANSMOS
rombo AGFE. GE es la mediatriz perpendicuar de A. Por lo tanto, AP (perpendiua a DD) es igua a PF en todas las posiiones. p
1
J lnvouta
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/
.
Coexión artcuada L
Figura 2.15
- Man Manismo ismo para dsbi dsbi na nvouta. nvouta.
DESPLAZAMINTO
31
2.10. Mecanismo para generar una involuta.
Una involuta es la curva descrta por el extremo libre de un cordel, tirane inextensible conforme se desenrolla �e un cilindro jo. La Figura 2.15 muestra una cadena que se desenrolla de una rueda dentada ja El extremo de la cadena P describe una involuta Nótese que el radio de curvatur de la involuta para cualquier punto es igal a la longtud de cadena desenrollada (desde P al pun de tagencia T, por ejemplo). También se ve en la Figura un mecanismo para describir una involuta El engranaje G se mantiene quieto mientras que la cremallera R rueda alrededor de él con los dientes engranados para evitar el deslizamiento Se hace girar a la ar ticulación de unión L con rodillos alrededor del centro del engranaje O, produ ciendo el giro de la cremallera y manteniendo los dientes ajustados. na punta de traar en un unto P de cualquier diente traará una involuta. La circunferencia primitiva del engranaje debe tener el mismo diámetro que la circunferencia base desde la que se a generado a involuta La ranura de permite ajustar a di ferentes tamaños de engranajes. 2.11. Mecanimo ampliado o reductor.
Hay un -gran número de sistemas articulados paralelos que pueden usarse para cambiar la escala del dibujo de un modelo o contorno sin aterar sus pro porciones n ejemplo común es el pantógrafo, que se ve en la Figura 2.6. E punto A s jo y los pasadores , E y P están en línea recta. El sistema articulado for ado por CE ED, DB y BC es un paralelogramo Para ampliar un dibujo s
-
32
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MECAISOS
,sigue el contorno dado mediante un estilete en E la gura se repoducirá a pliada ediante un lápiz colocado en P. Para reducir el taaño seguios el di bujo dado en y la gura reducida será descrita por un lápiz colocado en E. La razón entre los taaños de los dibujos. dibujos . orignal y trazado es a isa que la razón de la distancia AE a AP. En este ejeplo dicha razón es 2 a 5 2.12. Proyecto de mecanismos para desplazamienos dados
Ahora estaos en condicones de considerar algunos probleas de diseño ele entales que ipican desplazaientos n los ejeplos que ofreceos a conti nuación sólo se indica una de las uchas soluciones posibles y sólo se consdera el problea de producir el desplazaiento pedido Si se tatase de un pro yecto verdadero las velocidades y aceleraciones deberán ser factores vitales en la elección de un ecaniso pro esto deberá aplzarse hasta ás tarde cuando nuestro estudio esté ás avanzado Ejemplo
U í u ( u ) M N, 4 u A N 6 M. F 17 () mani vela y la articulación de orredera ABC 7 (b). C x N C ( ) AB BC x C AB BC r : BC+AB=AMN=6+4 B+ABO u ' x M C, AB BC B M BC. BC - AB AM BC AB u u A B BC; : R
=
BC AB= 10 B-AB= 6 2BC BC 8
( )
s+ AB
=
0
AB
DESPLAZAMIENO
Así una una manvela y articulación de coredera con AB = 2cm como se ve en la Figura 2.17 () da el desplaz desplazamiento amiento peddo
BC
33
=8 cm
·4 cm r 6 cm -e e - M
A
N
·
(a)
(b) 8
(el
Figura 2.17
dados.
- Proyec Proyecto to dman dmanivela ivela y artc artcuacó uacónn de edea paa desp laza desp lazaenos
Ejemplo Ej emplo 2
Estudar qué mecanismo se se necesita para hacer girar una manivela CD hacia atrás y haca adelante (osclando) un ángulo 0, entre las poscones L D y CRD situadas como indca la Figura 28 (a) con un je onductor en A grando sobre coinetes fos Un cuadrilátero cuadrilátero artculado proporconará el movmiento deseado La manvela A giando alrededor de A está conectada a CD medante el vástago de unión BC. Fgura 218 (b). AB da vueltas completas mentras mentras CD oscla Como en el eemplo anteror, AB y BC deben estar en prolongación prolongación cuando CD está en la posicón extrema de la derecha (R D De esto deducmos que BC + AB = ACR Si medmos medante una regla graduada o calculamos 'a distanca ACR y encontramos que es gual a 8, podemos escrbir BC + AB 8 uand · CD está en la posicón extrema quierda CL D; BC debe supeponerse a AB en cuyo caso BC-AB AC AC mde 4 cm podemos afrmar que BCAB 4 cm =
NT NT -
34
ANISIS Y PROYECTO D LOS MCANISMOS
Ahoa tenemos dos ecuaciones que contienen jar ambas longtudes. B+ AB= 8 B-AB 4 12 2B 6 B
AB
y
BC
podemos despe-
=
(sndo)
Sustituyendo: 6AB 8, o sea AB E mecanismo peddo endá e onces una manvea conductoa AB, de cm de ongiud y una biea B de 6 cm como se ve en a Figua 8 () =
45
°
C,5 c_(a)L _
e
B
I
,
1
\/
\ '
e
.
I
I
/ /
'
(b)
2 cm cm 5 A_ � P o yect o de un cdrmieáeoso ddos. icldo p despz 5
(e)
Figura 2.18
2.13 Proyecto de mecanismo para trayectoras dadas
Si se necesita conducir un puno a lo largo de una trayectoria curva irreguar, se pueden empear varios méodos, dependiendo la seección del espaci dspobe del grado de precsión pedido de las limitaciones de costo. La aproximación más siple desde el punto de vista del roectista podría ser usa una pantilla fja cortada según la curva deseada, la cua podría servir de guía al miemro mvil.
DESPLAZAMIENTO
35
Un segundo método implica dos chap giratoras de contoo especialmente diseñado, llamadas levas. Éstas a través del contacto con una pieza mpulsada moviéndose libremente proporcionan los desplazamientos convenientes horizon al y vertical necesaros para seguir la trayectoria pedida. El tercer método es proectar un sistema artculado e cua guíe e impulse el punto a lo largo de la curva Este método es quizás el más diícl pero el me cansmo resultante podría ser probablemente el más satisfactoro 214. Méodo de la plantilla fja
El mecanismo de manivela y corredera ABC se emplea en la Figura 2.19 para impulsar el pasador C Se obliga a seguir a un rodillo montado sobre el aTrayectoria especfcada B
I
/
'\
I
\
Plana D
A
Figura 2.19 - Pana fja paa ayecoas reguaes cvas.
sador C a lo largo de una acanaladura cortada en la plantilla D. La línea cen(ral de esta acanaladra es la traectoria especicada que seguirá C El meca nismo es simple pero si se pide un alto grado de precisión el mecanizado de precsin necesario para prevenir holguras puede bien ser prohibitvo en cos to La plantilla debe montarse rígidamente sobre la máquina y ocupa un esacio consderable en el área inmediata al movimiento de salida el cual puede no ser utilizable 215 El método de las levas combinadas
La leva seguidor es un mecanismo uy simple y versátil usado recuente mente para obtener una gama irregular de desplazamientos Las levas se hacen de muchas ormas dierentes con varios tipos de seguidores por lo que las es tudiaremos con más detalle más adelante ver apítulo 9) La Figura 220 muestra una excéntrica radial, de doble acción con un seguidor de rodillo Se talla una acanaladura en la supercie de la excéntrica para recbir el rodillo uando la excéntrica C gira en el sentido d las agujas de un reloj alre dedor del eje jo A, el vástago T es conducido de iquierda a derecha a que el radio del centro de la acanaladura aumenta a medida que las líneas radiales 1 2
36
ANÁSIS Y PROYECTO DE LOS MEANSMOS
2
Figura 2.20 - Exc Excént éntrica rica de do dob be e
gua 221 - E Ec cé ér rc ca a
accón con segudor de rodio.
de dsco con segdo plao
3, etc. pasan sucesivamene por la línea de pos1con de referencia. Ya que el odillo está cntenido en todo momeno en el inerior de la acanaladura se le lama excéntrica de doble accón La Figura 2.2 muestra una leva de disco con un seguidor plano el cual se sostiene en contacto peranene con la leva por medio de un muele de compresión. Cuando la leva gira en el senido de las agujas de un reoj alreedor del eje jo B, el seguidor R sube o baja según qu la distancia vertical entr el eje B de la leva y el pun de contacto sobre la supercie de la leva, auente o disminuya. Supongamos que usamos la leva para conducir un vástago horizontal T y la leva E para conducr un vástago veric R el cual está montado en T de ma nera que pueda subir o bajar liremente. Es posible si las levas están proyectadas adecuadamente guiar el punto P sobre el vástago R a lo largo de casi cualquer trayectoria curva como se ve en la Figura 222 Si las levas están sincronizadas, la puede producir el desplazamiento horzontal necesario mientras que la E Trayectora e P .
'",/
P" .-/
Despazameto horta debdo a a eva C
Despaameto vetca debdo a a eva E
Fgua 2.22 Levas combnadas para traec traec
toas rregares.
DESPLAZAMIENTO
37
proporcionaa - simul proporcion simultánea táneamente mente el despl desplazamie azamiento nto vertical vertical correspondien correspondiente te ne cesario para situar P en cualquier punto a lo largo de la curva. El método para proyectar estas levas se describe con detalle en el Capítulo 9 2.16 Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas
El cuadrilátero articulado es el más básico de todos los mecanismos articu lados Todos los demás sistemas articulados pueden señalarse como modicacio nes o combinaciones de varios cuadriláteros articulados La Figura 223 muestra un ejemplo típico Un miembro (AD) es jo y normalmente no e _stá stá en la forma
/
--:_ _
-
/
Á
/
-
Trayectoria de F
1
\ \
/
-
-
-
Traectora de E � - - , / ¿
_,
Artculacones a dstanca fja Figura 2.23. rayectoras
de punts punts en u cuadrlátero artculado.
de barra o articulación, ya que está dendo por dos puntos os sobe la arma dura de la áquina Hay dos manivelas, una conductoa B y otra conducida CD. Como y D son ejes os, estas manvelas tienen rotación pua Los extremos móviles de las manivelas están conectados por una uata barra la biela (llamada de aopamento) la cual tiene un movimiento compuesto de rotación y traslación
-
38
ANÁISIS Y PROYECTO D LOS MCANSMOS
Análiss del cuadrláteo atcula J A Hr V G. G. L N,
�' llA_ . . . . .
B A= 3, = ,s � C 2p
e \
/
/
I
/
I
1
1
'
1
1
1 \
\
' '
.
',
'
. _T/ ,
,/
- -
.
�' ._ .., ·
\
\
'
\. \
Pga de pmuesa de Analysis of the For-Ba Lnkage (Aáis del cuadlá Hnes y Nelsn (P cesía de Jhn Wley & Ss)
Figura 2 24. 1e tcado)
/¡
I
¡;
/
/ I I / /
/ / /
/ /
;/ /
/ / / /
A
2 c \ 3,
5
/
I
I I
; F '
1' ' 1
' 1\�
,.;�
iua 25
Sstea artclado paa descbi ua taectoa cuva
-
DESPLAZAMINTO
39
Este mecanismo simple, es capaz de una gran variedad de movimentos que pueden obtenerse ajustando los tamaños relativos de las cuatro partes del sistema articulado. Según alteremos las dimensiones de las partes del sistema articulado, los diferentes puntos de la barra de acoplamiento, o de su prolongación, trazarán gran número de curvas irregulares Es concebible concebible que si podemos determinar las proporciones adecuadas de las partes del sistema articulado y seleccionar el punto trazador correcto sobre la barra de acoplamiet acoplamieto o podamo podamoss obtener, con este mecanismo simple cuaquier trayectoria del movimiento que pueda pedirse Esta solución puede sr recisa y barata y pude implicar un mínimo de espacio Aun cuano el mecanismo resul tante ·es sencillo, el proceso de diseño de tal dispositivo resulta, desgraciadamen te, difícil Los métodos de tanteo, usando modelos de cartón, son sugestivos e instruc tivos pero lentos e irracionales y n0 ofrecen seguridad de xito En general, la so lución por tanteo no debe descartarse a la ligera si los intentos preliminares sea lan el camno para un buen resultao pero ese acercaminto es descorazonador si degnera en un un puro uego sin indicar caminos para mejorar El Análisis de los mecanismos de cuatro barras, de HRONES y ELSON (Wi ley) es un catálogo que seala las trayectorias de los puntos de la barra de aco plamiento de más de 7 cuariláteros articulados y a las dimensiones relativas de cada una de las partes del mecanismo articulado para cada caso Este liro ofrece una solución directa a este difícil problema Usando este catálogo encon tramos una trayectoria curva que es igual a la curva que nosotros deseamos pro ducir Se obtienen ácilmente la situación del punto sobre la barra de acoplamien to y las dimensiones de las partes del mecanismo articulado que produzcan esta trayectoria en el mecanismo elegio, con lo que sólo queda por austar la escala para el tamaño de curva deseado, completando así a solución a Figura 224 muestra una página característica del catálogo, y la Figu ra 225 u sistema articulado seleccionado para una curva dada Puede añadirse un sistema articulao auxiliar, señalado de puntos, si se esea limitar el movimien o del punto razador a la traectoria pedida
PROBLEMAS
En la l a Figua P2. , se s e muestra el e l mecanismo aproxmado de Tchebche para línea recta A y D son ejes jos, y P es e punto medio de CB. AD = 15 cm, AB = CD 18,7 c¡n (cruzadas en la foma que se india) y CB 12,5 cm Dibujar el mecanismo a tamaño naural y trazar la trayectoia de P para determiar la longitud de su movmiento recto 2.2 En el sistema articuado de la Fgua P22, A y B son ejes jos AB BC 7,5 cm AE =AD 0 cm y DC =CE EF FD 125 cm Dbujar
2.1
-
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS
40
e
p
8
A
Figura P2.1
el mecanismo a tamaño natural y la trayecoria del punto F. ¿A qué sistema articulado se parece éste? 2.3 En la Figura P la barra LM 15 cm, y el punto P está situado a 5 cm de L. Las líneas centrales de las guas son perpendculares Trazar la trayectoria de P y dibujar la curva continua uniforme De qué sistea articulado es éste una modicación? 2.4 En la Figura P4, A es el centro de la supercie circular ja S. El dsco W se mantiene en contacto con S mediante el brazo AB. Cuando AB gia alrededor de A, no hay deslizamiento entre W y S es un punto de la periferia de W que está en contacto con la supercie S en la posición indicada El rado d =
s L
M
Fgua P24
Fgua P2.3
15 cm; AB 0 cm siendo el radio de W 5 cm Traar a trayectoria de P sobr W cuando AB gira en sentido de las agujas de un reloj un ángulo de Dibujar una cua contua uniform uniformee para a trayectoria trayectoria de P Cuál es el nombre correcto de esta curva? Proyectar un mecanismo para llevar un pasador - de un lado a otro de la tra yectoria recta AB de cm de laga El mecanismo· está accionado por un eje situado en O (Figura P5) el cual gira continuamente en la misma dirección Hacer un croquis del mecanismo dando todas las dimensiones S
=
º
25
=
=
41
DESPLAZAMIENTO
4cm-
32 �- � - --- - · · A
B
"
/
.
.-
/
Oº
T�?
m
1t
+- 6 cm ,M
.
-
/
I
i
S
Figura P2.6
Figura P2.5 2.6.
/
,
Poyectar un mecanismo que haga que la manivela ST, de 3 cm de longitud, oscile en un ángulo de 90 situado como se señala en la Figua P2.6. El me canismo está accionado por un eje que gia continuamente situado en M. Ha cer un croquis del mecanismo pedido dando todas las dimensiones La rueda de paletas de Buchanan invenada en los días de los buques de vapo de uedas laterales ea muy ecaz porque las paletas se mantenían en un plano vertical durante todo su movimiento y así podan entrar y sali en el agua sin un chapoteo inútil y eerce una fueza máxima conta el agua mientras estaban su megidas. En la Figura Figur a P27 se ven las posiciones sucesivas de las paletas pal etas.. Poyec ta un sistema aticulado que mantenga una paleta en esta posición vetical mien tas la rueda da revoluciones competas. Especica las dimensiones elativas de todos los miembos º
27.
Figua P27 28
29
2.10
Proyectar un mecanismo que sitúe la mediatiz pependicula de las líneas (asta de 15 cm de longitud). Este dispositivo debe alinea un bode b ode ecto a lo lo lago de la mediatiz perpendicula pedida Poyecta un mecansmo paa gua un punto sobe una trayectoia eactamente elptica El eje mayo de la elipse es 30 cm y el meno 0 cm. Hace un co quis del mecanismo y especicar todas las dimensiones. El seguido plano sube y baja por medio del contacto con una eva que ga alededo del ee A situado como indica la Figua P20. Patiendo de la posi ción indicada sube 37 cm entonces vuelve a la posición inicial Este movi miento tiene luga duante cada evolución de la leva. Poyecta una leva cicu la que poduzca el movimiento edido de -
42
ANSS Y PROYECTO D LOS MCAISMOS
A
�3,8 cm Figura P2.10 2.11
212
60
°
Fgua P2
Proyectar Un sistema articulado que guíe el punto N en uno y otro sentido sobre la trayectoria ABC, que s muestra en la Figura P.1 l . ste mecanismo está accionado por eje que gira continuament La trayectoria es aprximada mente recta desde A a B y un arco circular de ,5 cm de radio, desde B a C. Proyectar un mecanismo para guíar el punto S sobre la trayectoria DEF, que se muestra en la Figura P1 La trayectora desde D a E es un arco circular de 5 cm de radio con centro en O. La trayectoria desde E a F es un arco de 5 cm de radio con centro en P. o
Fgua P22 213.
214
Proyecar un sistema articulado que gúíe un punto sobre una trayectoria total mente recta de 5 cm de longitud por lo menos l sistema articulado está compuesto de barras que están articuladas unas a otras; no deben emplearse ni co rrederas ni rdillos. eb estar acciondo por un ee giratorio que hag girar a una de_ las barras ibuar el sistema· sistema· articulado pedido a escala en una po sición característica. Indicar todos los puntos fjos y dar dimensiones reales de lo miembros Rotular el eje motor y el punto trazador Hacer un odelo a escala en cartón del sistema articulado a fn de poder demostrar la validez del proyecto Proyectar un sistema articulado que gue un punto en uno y otro sentido a lo largo de una trayectoria elptica l ee mayor de la elipse es 5 cm el menor O cm Trazar sólo un u n cuadrante de la l a elipse l sistema articulado está ac cionado por un eje que gira continuamente. ibuar el sistema articulado pe dido a escala indicando todos los puntos o superfcies fjos y dando las dimen siones reales los miembros Rotular el eje del eje motor y l punto traador
DESPLAZAMIENTO
2.15.
43
Hacer un modelo a escala de cartón del sistema articulado n de poder de mostrar la validez del proyecto. Proyectar un sistema articulado mediante pasadores para accionar un brazo oscilante de 1 cm de longitud en uno y otro sentido sobre un ángulo de 75 La razón de tiempos total de l ida a la vuelta es de 2 a El sistema articulado está accionado por un eje que gira con velocidad constante (El desplazamien angular del eje conductor es directamente proporcional al tiempo.) Dibuar escala el sistema articulado pedido, indicando todos los ees s y dando las dimensiones reales de todos los membros y las posiciones relativ·as de los ees jos Rotular la manivela conductora y el brazo oscilante Hacer un modelo en cartón a escala del sistema articulado a n de poer demostrar su validez. Proyectar un sistema articulado que guíe un punto sobre una trayectoria para bólica. El foco estará a 20 cm de la directriz El sistema aticulado debe ser capaz de describir una parábola de al menos 1 cm de longitud aproximadamente El sistema articulado puede accionarse por un miembro con movimiento alter nativo sobre una trayectoria reta o por un ee giratorio unido a una de las partes del sistema articul_ado ado Pueden emplearse miembros deslizantes así como juntas articuladas. Dibuar el sistema articulado a escala indicando todos los puntos y supercies jas y dando ls dimensiones reales de' de ' los miembros Rotular el miembro conductor y el punto que describe la parábola Proyectar UI sistema articulado qe guíe un punto sobre cualquier trayectoria que sea paralela en todo momento y de longitu dos veces y media la de cual quier trayectoria dada pantógro. El punto conductor ha de seguir a ma no una trayectoria dada. sar cualquie triángulo irregular como eemplo de la trayectoria que queremos reproducir a escala mayor Dibuar a escala el sistema articulado pedido, indicando todos los puntos jos y dando las dimen- dimen- siones reales de los miembros. Rotular el unto conducido a mano D y el punto trazador T. Hacer un modelo de cartón a escala del sistema articulado a n de poder demostrar la validez del proyecto º
2.16.
2.17
j
Velocida
.El estudio de la velocidad es quizá la fase más importante· de un curso de mecanismos El desplazamiento y la aceleración están tan estrechamente relacionados a la velocidad que a menudo se determinan más facilmente a través del estudio de la velocidad que por un método directo Por esta razón, nos concentraremos en el desarrollo de una base sólida de análisis de la velocidad como núcleo bá sico alrededor del cual consruiremos Velocidad es el régimen de la vaiación de la poición co repecto al tiepo el deplazaiento por unidad de tipo. Son unidaes comunes de velocidad:
o e e centímetro por segund el radián por segundo el número de revoluciones por inuto y el klómetro por hora No es sólo una expresión de la magnitud sino que denota ambién la dirección del movimieno El término celeridad también se usa a menudo para expresar la magnitud de la veocidad pero este término no incluye la designación de la dirección La velocidad de un punto o de un miem� bro es un valor instantáneo el cual puede permanecer nstante o variar en un período de tiempo 3.1. Velocidad lnal
(Símbolo
V).
Un punto que se mueve sobre una lnea recta tiee ua eocidad inea iua a s desplazamiento lineal por unidad de tiempo Si el punto recorre distancias iguales en sucesivos intervaos de tiempo iguales su velocida es unifore o ontante, y puede determinarse midiendo su desplazamiento S en un tiempo dado T y dividiendo
4
VELOCIDAD
45
Por ejemplo, en la Fi gra 3.1, si el punto P recorre 4 cm de a a b en 2 segndos y cm de b a en los sigientes 2 segundos, etc su velocidad es constante e i gal S
V
P
=
T
4 =
=
cm/s
2s "I, 2s � r P _.,4 cm_ 14 cm _. b
Figura 3.1.
Trayectoi de
e
-Velocia nea costate.
La dirección de esta velocidad es a lo largo de ac hacia la derec en todo momento Si el punto recorre distancias desiguales en sucesivos intervalos de tiempo igales, se dice que su vlocidad es variable y tiene un valor diferente en cada instante En la Figura 32, un punto recorre 4 cm de a a b en 2 segndos y 6 m de b a en los dos segundos sigientes La velocidad media entre a y b es gual Vm
S =
4 =
=
cm/s
Sin embargo esta velocidad media no es la velocidad para todas las posicioes entre a y b, ya que la velocidad cambia continuamente con tinuamente mienras el punto se mueve Éste es sólo un número teórco. Para determinar la elocidad instantánea para un pnto dad e considera mos un pequeñísio desplazamiento desplazamiento * y el orrespondiente inevalo de tiempo pequeño óT que se necesita para recorrr esta distania Cuando estos pequeños incrementos y óT tiendan a cero su razón será igual al valor instantáeo de la velocidad para el punto : V,
=
!f (cuando óT tiende a cero)
Fgura 3.2.·-
Vocda ea vrabe
* La letra letra grega 6 (deta) (deta) se usa usa normamente normamente para expresar expresar u pequeño increme incremeno, no, o un pequeñ ca-1bo, de cuaquer catdad.
46
NAISIS Y PROVECTO D LOS MCNSMOS
En cálculo innitesima, esta relación se expresa por dt ds (derivada primera de desplazamiento lineal cn respecto al tiempo). Si un punto se mueve a lo largo de una rayectoria curva, la dirección de su velocidad para toda posiión dada es la dfrección de la trayectoria curva en dicho punto, que se pede denir mejor por a tangente trazada a la curva.En la Figura 33, un punto que se mueve en el sentido de las agujas de un reloj a lo argo del arco abe tiene inclinaciones dierentes de la velocidad en cada posición, como se ve por las tangentes en a, b y c. Si el punto recorre longitudes iguales de arco en intervalos de tiempo iguales, la magnitud de la velocidad en cada punto es igual a: ar V= �ab (donde es el tiempo necesario para ir de a a b) Ya que la dirección de la velocidad es dierente para cada posición, el despla zamiento S entre a y b la cuerda ab) es distinto al arco ab. Por tanto, la ecuación anterior puede solamente aplicase cuando sea tan pequeño que sea esenciaente ente igual al arco que subtiende En este caso la ecuación general utilizada es V T (cuando T tiende a cero) Un éuerpo que se trasada, puede decirse que tiene velocidad lineal. Ya que el cuerpo no gira y todos los puntos de l tienen el mismo desplazamiento en un intervalo de tiempo dado, la razón / será la misma para todos los puntos, en ualquier instante La velocidad de todo el cuerpo será, por tanto, igual a la velocidad de un punto cuaquiera de =
Arco ab a
(cueda= aco cuando L tiede a ceo) Tayecoa angente t
o
o
Figura 3.3 - Veloc Velocdd dd nea en una tayecoa tayecoa cuva. cuva.
VELOCIDAD
47
3.2. Representación vectorial de las velocidades lineales.
Como la velocidad lleva consigo una direFción, así como una magnitud dremos qe es na magnitud vectorial y puede representarse grácamente por un segmento orientado lamado vector. Supongamos que el punto A sobre n cuerp tiene una velocidad de 3 cm/s en la dirección ascendente hacia la derecha a 45º con el eje de referencia XX. La igura 3.4 muestra el vector que representa esta velocidad. La magnitd se señaa, dibujando el vector a escala de 1 cm igal a cm/s resltando una lnea de 3 cm de ongitd con origen en el pnto A' VA
45
°
_ x
X-
Figura 3. - Vecto velo-
cidad
Hay dos aspectos en la dirección primero la inclinación, que es la línea a lo largo de la cual tiene lugar el moimiento y segndo, el sentido el cual señala de qué manera el movimiento se dirige a lo largo de esta línea. El vector se dibuja para la inclinación pedida, y se añade una punta de echa para señalar e sentido. La notación V es un smbolo identicativo que signica "veocidad del pnto A" Los vectores se san mucho para· para· proporcionar una representación gráca, clara, de las veloidades lineales ya sean dibuados a escala o trazados señalndo la magnitud A
3.3. Velcidad angular
(ímbolo:
w).*
Una línea de un cerpo en movimiento angular (rotación) tene
una velidad angular igual a su desplazamiento angular pr unidad de tiemp. Si gira el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo s velocidad anglar es unifrme
o cons constate tate.. La magnitud magnitud de esta velocidad velocidad angar angar constante constante se determina determina mi diendo el ángulo girado en un intervalo de tiempo dado y dividiéndolo por dicho intervalo de tiempo
*
L letr greg (omeg) se u normlmene pr l veo ngr
48
ANkSIS Y PROYECTO DE LOS MECNISMOS
Figura 3.5 - Velocidad angular costae.
Por ejemplo la Figura 3.5 muestra la ínea AB ja en el cerpo W, la ca gira en el sentido de as agujas de n relo un ánguo de 45 cada 2 s La velocidad angular del cuerpo es : = = 1 = 22,5 /s en el sentido de las agujas de un reloj La velocidad angular se expresa corrientemente en radians por segundo o en re voluciones por minuto más qe en grados por nidad de tiempo Si w está en ra ianes por segundo 0 debe estar en radanes así que la ecuación escrita anterior mente tomará la forma: n/4 1 = 3925 rad/s en el sentido de las agujas de n reloj t 9rad = T 8 Sólo las lneas de n cuerpo pueden tener velociad anglar Ya que un pno no tiene dimensiones el movimiento anguar de un punto no tiene signicado Si naa línea de n cuerp gira ángulos desiguales en iguales intervals de tiempo n se dice que su velocidad anglar es variable. Para cualquier perodo de tiempo dado la velocidad angular media puede encontrarse dvidendo el desplazamien to angular duante ese interval (0) por el intervalo de tiempo (T: °
C ( = = 1 ) = = = = 6 ú = = X = = 6 · = X º
VELOCIDAD
49
Asimismo, esta veocidad media sólo es un vaor teórico, y no a veocida nguar para todas las posiciones de -la línea durante e intervalo de tiempo T. Para determinar a velocidad angular para cualquier instnte deteminado debe usarse un pequeñísimo 0 y su correspondiente T. Cuando estos pequeños incrementos, tienden a O su cociente lega a ser a veocidad anguar instantánea: ( cuando T tienda a cero) = En cálcuo innitesima inni tesima este cociente c ociente se expresa por 0 / (derivada primera de despazamiento angular con respecto a tiepo). 34. Relación entre la velocidad lineal y la angular
En a Figra 36, e disco W gira en sentido de as agujas de un reloj alrede dor de eje jo , con ua veocdad angar igua a La ínea OA tendrá la isma velocidad angular que W, y e punto A recorrerá una trayectoria circular de radio OA Cuando se mueve e punto A no tiene movimento hacia el eje jo , ni aejándose de él y por lo tanto no tiene veocdad a o argo de a nea ra dia OA a veocidad de A es entonces tangencia a su trayectoria circuar perpendicuar a OA) en todo omento Trayectoria de A
- � A . . " I
r/ 6B \,
1 _\ A-:
? /
r w
S=rl8
Figura 3.6 - Veloc Velocdades dades
(cuando tende a ceo)
angar y lnea. lnea.
Es evidente que si W gira rápidamente, e punto A tendrá una velocdad lineal evada, y si W gira entaente la veocidad de será baja De esta observación, podeos esperar que exist aguna reación denida entre a elocidad anguar de un uerpo y la velocidad ineal de os puntos de dicho cuerpo. Para un instante dado, V S fT Artcuo 31 A
LNT ·
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS.
50
(Artículo 3.3)
y
Para aplicarlas en todos los casos estas ecuaciones especcan que T tiende a O lo cual hace S y 0 muy pequeños. En el artículo 23 observamos que durante un desplazamiento angulr 0( en radianes) un punto de un cuerpo en rotación girará un arco circular gual a 0. Para un ángulo muy pequeño tal como 0 en la Figura 36, la trayectoria circular de A es esencialmente gual a la cuerda S la cual es el desplazamiento de durante el desplazamiento angular 0 de W Como 0 y S tienden a cero podemos entonces expresa 1 En la ecuación
=
1
V= 1
1T
pdemos sustitur S por 0 así que
V
=
pero
1 = 1T
luego V= rw
1 1T
(donde w está en radianes por undad de tiempo)
En el ejemplo de la Figura 36 es igual a OA y de W, as:
V
= A
O
X
fi
es la velocidad angula
Ww
Esta fórmula no sólo simplica el cálculo de las velocidades lineales sobre un cuerpo en rotación sino que proporciona un medio e determinar la veloci dad angular de un cuerpo cuando se conocen la velocidad linel de un punto y su dstancia al je de rotación i
V
entonces
=
-
r
(dividiendo ambos miembros de la ecuación por )
En todas las aplicacones de esta fórmula w debe estar en radianes por unidad de tiempo Hemos obsevado (en el artículo 22) que todas las líneas de un cuerpo tienen el mismo desplazaiento angular para cualquier intervalo de tiempo dado Ya que todas las líneas grarán el mismo ángulo en un tiempo dado la razón de 0 (ángulo girado)/ T (tiempo necesario necesari o en el giro) será la misma para pa ra todas ls l s
VELOCIDA
neas del cuerpo en todo instante. Ya que
51
!0
= w, la velocidad angular será /T igualmene, la misma para todas as líneas. Esto justifca el uso de la velocidad linea de cualquier cua lquier pnto de un cuerpo, para encontrar encon trar su velocidad angular
3.5 Velocidades de los puntos de cuerpos en rotacón
En la Figura 3.7 un cuerpo M gira en el sentido de las agujas de un reoj alrededor del eje jo P. Cuando está en a posición indicada la velocidad angu la de M es igual a WM- odos os puntos de cuerpos en rotación tienen veocida-
Relación ción entre entre s velodad velodades es Figura 3.7. - Rela lneales en cuerpos en roacón.
des neales que son perpendiclares a las líneas trazadas de esos puntos al eje de otación Por eso, la velocidad de L en cada instante es perpendicular a PL y (ya que V ) =
VL
=
OM
X L
Análogamene, el punto Q tiene una velocidad linea tangencial: VQ
=
OM
Si deseamos observar la relación entre
X Q VL y VQ,
podemos escribir el cociente
Análogamente
VL - OM V OM N
X X
L - L N N
Así, encontramos que os punos de un cuerpo en rotación tienen veocidades li neales cuyas magnitudes están en la misma razón que (son proporcionales a) sus distancias al eje de rotación
52
ANÁSIS Y PROYECTO DE LOS MECANIMOS
Por ejemplo, s VL 20 cm/s; PL 5 cm y PQ 3 cm, podemos calcu o la velocdad leal de cualquer otro punto del cuerpo, s se cono lar y V ce su stuacón. wM � 5 ° = 4 rad/s =
rM
=
P,
Q x VL 3 x 0 12 cm/s VQ = P Q 5
Como y Q están situados en la msma línea radal, es fácl obten grá camente S V se representa por un vector , dbujado a escala, podemos pre decr que Qq, vector de V termnará sobre la línea lP. Este vector Qq puede ser meddo a la msma escala para determnar el valor de V Esto es váldo ya que los trángulos PLl y PQq son semejantes los ángulos correspondentes son gua les) y sus lados correspondentes proporconales: Q PQ (como antes) P a fórmula V nos permte dtermnar la velocdad lneal de cualquer punto de un cuerpo en rotacón s conocemos la velocdad angular del cuerpo a orma Vr dará la velocdad angular del cuerpo s conocemos la velocdad !neal de un punto En cada caso, esde luego debemos conocer la stuacón del eje de rotacón y el sentdo del movmento Esto es todo lo que necestamos hacer para n análss completo de la velocdad de un cuerpo en rotacón L
VQ
L
Q,
Q·
Q
=
3.6. Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compueto.
No hay una órmula smple para calcular las velocdades lneales de los pun tos de un cuerpo que se mueve con movmento compuesto de traslacón y ro tacón Por esta razón resultan encllos y ecaces los métodos grácos Estos métodos evtan cálculos trgonométrcos largos y laborosos y con una apropada eleccón de escala y técnca de dbujo precsa, no suren una nocva pérdda de precsón os métodos grácos no deben usarse exclusvamente Deben usarse los cálculos donde sean rápdos y smples como complemento de los grácos a clav de la ecaca es una saba combnacón de estos dos métodos. 37. Vectores velocidad
En los análss grácos, los vetores se usarán para represenar velocdades lneales Un vector es un segmento rectlíneo que puede expresar la magntud d
VELOCIDAD
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longitud medida en alguna escala especi cualquier cantidad por medio de su longitud cada. También señaa la incinaci incinación ón en la cual se dirige la cantid cantidad, ad, por la pen diente con que se ha dibujado y el sentido po la punta de echa de un extremo. Los vectores no sólo están limitados a los símbolos de velocidad sino qu pueden usarse para repesentar uaquier cantia que tenga magntud y dirección. Pueden sumare restarse y descoponese en partes componentes. Estas opera cones se efectúan siempre de a misma manea cualquiera que sea la cantidad epresentada En cieto sentdo son los equivalentes grácos de los números usa os en el tabajo analítico. 3.8 Vector suma: cmponenes y esulanes
La Figua 3.8 muesta dos ectoes A y B, los cuales están dibujados con el ogen en el punto O. Vamos a suma estos dos vecores gácmente. Como en el caso con números la suma debe ser equivalente eactamente a las pates oi gnales. La suma e A y B se encuentra grácamente tazando el paralelogamo el cual A y B son lados adyacentes. L diagonal R, trzada desde el origen O, es el vecto suma e A y B y se le llama usualmente su resultante La magnitud e in clnación de R son las dadas po esta construcción y el sentido debe hacese de aedo con el sentido de A y B. .-
A/ J I
I
I
1
/
1
/
o ---� 8
D
1
o
8
Figura 3.8. � Vector suma.
En las soluciones grácas es conveniente usar la construcción más smple po sible en nteés de la pecisión así como de la rapidez Por consiguiente, debe notarse que si se foma un tiángulo trazando A y B sucesivamente (coo lados ayacentes) como se ve en la Figura 3.8 y haciendo R el lado de ciere esta construción poduciá la misma esultante R que el método del paralelgramo e implicará menos tazos. En geneal paa suma vectoes partimos del origen O y trazamos los vec toes sucesivamente poniendo el rgen de cada vecto r en el el etremo del ae ror La esultante es un vecto único tazado desde O hasta el etmo del vec to nal e la construcción. Esta esultante siempe apunta en el sentido de aleja miento el oigen. A los vectoes A y B, que se han sumado para poduci R, se les llaman componentes d R :stos no son el único par de cmponentes que producen la resu-
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ANÁSI Y PROECTO D LO MANMO
0 --1
"
r
/
I
I
"
F'
"
/
I
R
el - _ J D
:\/�-- pz 1 \
L
1 - - H -\
1
:
1
_
- M
r-_
/ N/ / /
I
I
/.
r - -
Figura 3.9. - Componentes de u vector dado.
tante R. Hay innitas combinaciones, algunas de las cuales se muestran en la F gua 3.9 Entre estos paes de componentes las hay que son pependiculaes s tas compoetes ectaules so de especial inteés 3.9 Components útiles (Símboo: e.u).
A menudo es necesaio determina el efecto de un vecto a lo lago de una lea que no está en la dirección de vector en s La Fiua 31 3 1 O muesta un vec tor R con oien en y ongitud Oa. Si se desea medir el eecto de este veto a lo lao de cuaquie nea tal como SS, sustituimos R po un pa de componen tes rectanuaes, una de las cuales E, se encuenta a o lag de SS y la ota, F a o lao de TT perpendicua a SS. A n de que estas componetes puedan juntas equivae a R, se determina su longitud considerando R como la diagonal de paraleoamo del cual E y F so lados adyacentes Po lo tant tazamos una lnea ab paralela a SS hasta enconta a TT y ac paalela a TT hasta encon· r
\
\b¡S
\
--
R
_
\\ \ .s
a
- .
�1
s�
Figra 3.1 O. U pa ospondient ospondiente e de omponetes omponetes útiles
VELOCIDAD
/
í
V, ',
p �
/ / / N
/
55
1
1
-+ / � Q Q- � "C>�o/ / M /
p Componentes entes útil's e dreccnes dreccnes dferentes. dferentes. Figura 3.11. - Compon
trar a SS. En este caso, el paraeogramo es un rectánguo ya que los ángulos b y e son rctos Los sentidos de E y B se muestran po las puntas de echa en b y e, de manera que concuerden con e sentdo de R. Así e efecto tota de E y F a lo largo de SS será igual al efecto de R a lo largo de SS Ya que es perpendicular a SS no tiene efecto en absouto en esa diección. Por tanto a componente será igual a efecto total de R a o largo de SS Las componentes taes como E _pueden lógicamente llamarse componnts útils ya que miden e efecto total de un vector en una dirección dada Para determinar una componente útil necesitamos trazar sóo una ínea des de el nal de la punta de echa del vector dado prpndicular a la lína a lo largo d la cual s mid l fcto El sentid de la coponente útil se determina a par tir del sentido de vector dado por simpe inspección No es necesario dibujar la otra componente ya qu no tiene efecto en la di rección deseada a Figura 311 muestra varias componentes útiles d R L es a eu a lo largo de PP M lo es a lo largo de QQ y N a lo largo de VV 3.10 Concepto de cuerp rígdo
· On cuerpo rígido es aquel que no se alarga contrae curva o deforma de nin guna manera Si el cuerpo de la Figura 3.12 es realmente rígido tdos sus pun tos (tales como el A, B y C permanecerán en todo momento a distancis jas el uno del otro y todas las líneas rectas (como AB y BC) permanecerán rectas sin iportar qué cargas se apliquen o a qué movimiento se someta el cuerpo.
-
56
ANISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura do.
3.12
- Cep po o í í
Esto, desde luego es una condición teórica que realmete no existe en sen tido pleno de la denición. Todos los cuerpos sufren alguna pqueña deforma ción cuando soportan un movimiento o fuerzas aplicadas En la mayoría de los casos estas deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones del cuer po en conjunto y por tanto puedn despreciarse en los estudios cinemáticos don de los efuerzos internos no se consideran sin sacricar por ello la precisión. Nues tro trabajo se siplica grandemente despreciando estas pequeñas deformaciones Por tanto con la excepción de muelles rodetes de caucho y miembros que se pro yectan intencionadamente para exibilidad consideramos todos los miembros e una máuina cuerpos rígidos y así estudiamos su movimiento La propiedades de un cuerpo rígido impone restricciones muy denidas so bre el movimiento de los puntos y líneas de dicho cuerpo así este concepto viene a ser una de las herramientas más útiles en el análisis de la velocidad. 3.1 Velocidades en un cuerpo ígido
La barra AB de la Figura 3 13 está articulada en A y B a bloques que des lizan libremente po guías paralelas. AB, por tanto tiene movimiento de traslación puesto que todas las posiciones son paralelas. La velocidad de A está ada por el vector V Hallemos la velocidad de B. S la barra es un cuerpo rígido la dimensión AB permanece la misma cua quiera que que sea el el movimiento.movimiento.- Si consider consideramos amos el movimiento a lo largo de de la lnea AB sabemos ya que esta distancia permanece constante A nunca se acer cará ni se separará de B prescindiendo del movimiento al que esté sometida la barra. S i A se desplaza 2 cm a lo largo de la línea AB en s el desplazamiento de B a lo largo de la línea AB debe ser asimismo de 2 cm en el mismo sentido /S . durante el msmo segundo Como V ! podemos expresar que dos puno A·
=
T cua]equera obre un cuerpo rígido a lo largo de la línea que los une, tene velodades guales en odo momeo.
VELOCIDAD
57
/ A ' v,
e.u V4
B
Figura 3.13 - Veocd Veocddes des sobe sobe n cepo e tslcó.
La velocidad de A, en la direccón AB es la componente útil de VA a lo lar go de la línea AB Esto se ha encontrado tazando por el extremo del vector VA una perpendcular a AB (ver eu V en la Figura 3.13) El punto B sobre B debe tener la misma componente útil en el mismo sentdo a lo largo de AB (ver B)-- La art artcul culac acón ón B es un punto de a corredera así coo de a barra AB, e.u VB) por lo que la direccón del movmento de está defnia a lo argo de la línea central (CC) de las guías. omo sabemos que eu VB es la proyeccón de Vn a lo largo de AB y que la resultante VB está sobre CC, sólo tenemos que construr una perpendicular a AB en b hasta encontrar la línea CC, y quedará determinada V· El origen del vectr velocdad es semre el punto cuya velocidad dene aí el sentdo de V es hacia la derecha, como se ve Este método se aplca igualmente ben a cuerpos en rotació aunque se re comenda el cálculo, usando V w para encontrar las velocdades en tales casos En la Fgra 34, el membro EFG gra arededor de un pasador jo en E, y se =
Figura 3.14 - Velocdde soe ceo e ocó
58
ANÁLSIS Y PROECTO DE LOS MCANSMOS
da la velocidad de G. Se puede demostrar que V a tiene que ser pependicular a la línea EG po medio del principo del cuerpo rígido Ya que E es o, VE
=
o
así pues e.u. VE a lo largo de EG debe ser igual a O Ya que E y G están sobr el mismo cuerpo rígido, e.u a a lo largo de EG debe se igual e.u. E a lo largo EG, por lo que e.u. V debeá se nula. Si esto es cierto V debe ser perpendicular a EG ya que la componente útil a lo largo de EG es O sólo cuando Va tenga aquella dirección Para encontrar V1 , obsevamos que F y G están en el mism sólido rígido y que po tanto, tienen iguales componentes útiles a lo largo de la línea FG. La e.u. V a lo largo de FG se ve en la Figura 3.14 y e.u. VF, se traza igual a eu. V0. Sabemos de antemano que la dirección de la resultante V está sobre la línea DD perpendicular a la línea EF a magnitud de V se determina por la interseción de la perpendicular a EF trazada por el extremo e eu V y la línea DD Vemos que el sentido de , es hacia abao y a la derecha El pincipio del cuerpo rígido es más efectivo cuando se aplica a un cuerpo en movimento copueso, ta como a baa LM de a gua 5, donde P son ejes jos. Si se da V1 determinemos V Como OL está en rotación pua sabemos que V1 ha de ser erpendicula a OL según se indica Como el pasador es común a O M esta VL está aplicada en el pasador sobre ambos cuer pos Apicando el pincipio del cuerpo rígido a M trazamos eu. M a lo largo de M Como L y M tienen la misma vlocidad a lo lago de la línea LM, ta zamos .u. V.1 sobe LM igual a esta .u V a bara PM es un cuerpo en o tación pua alrededo del ee o P por lo que sabemos que la rsultante VM es pependicuar a la línea PM a longtud de la esultante se deternina por una perpendicula a M desde el extremo de u. J1 • a punta de echa señala el sentdo de se a puesto a simple ista, de acuedo con e .1 ,.
Figura 3.15. - Velocddes sobe n cepo e movmeto compesto
VELOCIDA
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Hemos mostrado que el principio del cuerpo rígido paa determinar velocidades puede aplicarse para cualquier cuerpo rígido en cualquier clase de movi miento. Es verdaderamente una herramienta de usos múltiples 3.12 Determinación de velocidades cuando se desconoce a direccin
En los casos precedentes ue posible predecir la dirección de la velocidad que había que determinar ya que se conocía la trayectoria del punto en cuestión. Consideremos las velocidades de puntos cuya trayectoria no séa evidente Se dan las velocidades de los pasadores R y T en la Figura 3 16 y se desea encontrar la velocdad del pasador S. Sobre la barra RS puede encontrarse la eu VR a lo largo de RS Ya que este cuerpo es rígido e.u. V8, a lo largo de RS puede trazarse igual a eu VR en esa dirección (ver vector SA) Sabemos que el extremo de V8 debe estar en algn lugar de la línea AA, perpendicular a RS, tra zada desde el extremo de esta eu V8 pero ya que no podemos predecir la direc ción de la resultante V8 , esta constrcción no nos dene completamente el vec tor V8 • Examinemos ahora la barra rígida S, ya que se conoce V T y es tam bin un punto de este cuerpo A lo largo de la línea S los puntos S y T tienen la misma velocidad, así podemos predecir que a lo largo de ST e.u V8 es igual a eu V. Trazamos esto en la forma indicada en la Figura 3.16 Como en el caso anterior la resultante V8 terminará en algn lugar de la línea BB que es una perpendicular a S trazada por el extremo de esta eu V8 Ya que sabemos que la resultante V8 debe terminar en AA y tambin en BB, puede satisacer mbas condiciones sólo si termina en la intersección e d AA y BB. La línea SC es por tanto el vector de V y tendrá la magnitud e inclina ción correctas El sentido de este V8 es hcia arriba y a la izquerda de acuerdo con sus componentes tiles ,
componentes tes útiles deer deer Figura 3.16. - Dos componen an una veocdad.
60
ANISIS Y PROYECTO DE LOS MEASMOS
El estudiante debe notar que las compoentes efectivas de V 8 a lo largo de RS y ST o son u par cojugado. La resultante V 8 no se encontró completando un paralelograo sino por la itersección de dos perpendiculares a perpendicu lar a RS representa la cojugada a e.u. V a lo largo de RS, a perpedicular a ST representa la conjugada con eu V 8 a lo largo de ST No podeos determi nar logitud de ninguo de esos vectores cojugados hasta hallar su itersec ció a V8 así determiada pede cosiderarse la resultate de cada par de com poentes útiles conjugadas pero no la resultate de u iebro de cada par Esto explica por qué o se ha usado la construcción del paralelogramo �.13 Dlatacón de un cuepo rígido.
Este cocepto de cuerpo absolutamente rgido es ua hipótesis no un hecho Es una hipótesis que todos los puntos conteidos detro de los cones físicos de un cuerpo permanecen a la isma distacia unos de otros cuado el cuerpo está soetido a fuerzas o movimiento Análogaete, se puede supoer que ciertos putos fuera del cuerpo físico pueden permanecer tambié a distacias jas de putos e el iterior del cuerpo o en otras palabras imaginar que el cuerpo se dilata ás allá de su tamaño origial. Esta dilatació teórica de un cuerpo rgido es una hiótesis a menudo muy útil E el mecanismo de la Fiura 3 17 el disco dis co W gira en el setido de las agu jas de un reloj alrededor del eje jo A co ua velocidad angular dada (e rad/s) Vamos a determinar la velocidad lineal del pasador F. Iiciaos este aálisis co el disco W, deteriando priero la clase de s moviiento Un cerpo con un punto jo sólo puede teer movimieto de rotación por lo que el movimiento de W será una rotació A cotiuación hallaos las e locidades lineales de B y G Usando = wr,
=
Cw
X
AB
y está dirigida perpendicularmente a A B hacia la derecha segú se indica Por la isa órmula 0 =
Cw
X
AG
y es perpendicular a A G apuntando apuntando hacia la izquierda izquierda Podeos determinar deter minar ahora sobre la barra BC la e.u a lo largo de BC y trazar eu igual a ella e la misma dirección empleando el principio del cuerpo rgido Ya qe no podeos predecir la dirección de la velocidad absoluta de C o podemos obtener V direc taente A contiuació cosideremos la barra E A lo largo de la lnea E de eu VE, y ya que E puede overse solamente a lo largo esta barra eu V a de las guías jas sabemos que la resultate VE estará en dicha dirección a perpendicula desde euV¡ determina pues V E· Ahora sobre la barra ED sabeB
=
t
1
61
VELOCIDAD
F
've.u. VF
'
'
�
/
/
Figura 3.17. - Velocidades en un cuerpo cuerpo ígdo datado.
mos que, en la dirección ED, eu eu n, pero ya que no podemos determinar la dirección ·del movimiento de D, no podemos encontrar a resltante V a partir de esta componente útil Sobre a barra CDF sabemos que tine una com ponente úti en C y una en D. En e ejempo anterior encontramos que se necesi tan dos componentes útiles de la velocidad de un solo punto para determinar a velocidad resutante de ese punto cuando se desconoce la dirección del moviiento. Debmos entonces encontra un punto sore CD para el cua podamos es tablecer dos componentes útiles. Si aumentamos el cuerpo CDF en la forma indicada (a trazos) en a Figu ra 3 17 de manera que incuya un punto O, intersección de as prolongaciones de las neas BC y ED, tedremos dicho pnto. Ya que os puntos C y O son de mismo cuerpo rígido, eu V e.u V en la dirección CO. De igual forma D y O son del mismo cuerpo, por lo que e.u V a lo largo largo de DO es igua a eu V · Tenemos ahora dos componentes úties de a velocidad de O y podemos determi nar a veocidad resutante de O, evantando dos perpendiculares a estas componentes qu se cortan en K,_como s v en la Figura 317 Los puntos O y F ambos están en e mismo cuepo rígido diatado, por o que eu V eu V a lo largo de OF omo a dirección de V está determinada por las guías as, una perpen dicuar a e.u V denirá a resultante deseada V V E=
=
V
O
D
=
F
·
F
62
f
ANLISIS Y PROYECTO DE OS MECANISMOS
3.14 Relación entre las velocidades de un cuerpo rígido
La utilidad del principio del cuerpo rígido en el análisi de la velidad e ha explicado en lo etudio precedente. Reumamo eto logro en un ejemplo general La Fira 318 muetra un curpo rígido en movimiento Se conoce la veo cidad de un punto A obre ete cuerpo, y el cuerpo puede etar en tralación, ro tación o en movimiento compueto Sabemo que dos puntos cualesquiea del ms mo cuerpo tenen la msa velocdad a lo lago de la línea que los un. Si conideramo cualquier lnea que pae por A, ta como MM, podemo pre deir que lo punto B C D y aún E (i el cuerpo e dilata) tendrán todo igua le componente útile a lo largo de MM iguale a .u. VA a lo largo de MM. De heco odo eto e cierto para todo lo punto de la línea MM. Por el mimo principio i dibujamo la línea RR que pae por el punto A en la dirección de VA, lo punto F G, H y todo lo demá punto de ta línea tendrán componen te útile a lo largo de RR iguae a VA· ,
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C.U
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e
- G
-
F
Figura 3.18 - Relaci Relaciones ones de veocidad veocidad sobr un cepo gido.
Si conideramo una tercera línea TT trazada por A, perpendicular a VA, decubrimo que lo punto J, K, L y todo lo demá punto de eta línea tendrán velocidad cero en la dirección de TT ya que VA tiene como componente útil cero a lo largo de TT. demá podemo exprear que la velocidade reultante de K, y todo lo demá punto a lo largo de TT, erán como V, perpendicu-
r
VELOCIDAD
63
lares a la línea TT. Esto es cierto ya que un vector sólo puede tener una componente útil nula en la dirección perpendicular a sí mismo. 3.15. Centro instantáneo de rotación (Símbolo: /).
Un cuerpo en rotación pura gira alrededor de un eje fjo, o centro perma nente de rotación que tiene velocidad cero en todo momento Un cuerpo en moviiento copuesto gira y se traslada al mismo tiempo En el aco 24 señaamos qe cando n cuepo se eve de na posición a otra pude suponerse qe gira alrededor un punto conveniente del cuerpo Su des plazaiento angular permanece el mismo pero su desplazaiento lineal varía se gún el cento de rotación escogido Si seleccionáramos como centro de rotación el pno coeco esara qe a taslación qe e acompaña se hara nula de manera qe podría ograse e cambio de posición con na roación solamen Por eempo a barra A B en a Figra 319 (a) pede moverse a la posi ción AB por una rotación alrededor del punto C sta A 0B y después una tras lacón asta A B El miso cambio de posición puede llevarse a cabo ediante un ovimento siple de rotación alrededor del punt D, como se ve en la i gura 3 9 (b) Se supone auentada la barra AB asta incluir el punto D el cual se encntra en la intersección de las mediatrces de las cuerdas AA 1 y B8 Este concepto reduce el movimiento compuesto de AB a una simple rotacón en la que A y B recorren arcos circulares alreddor del centro o D La dirección de ovmiento de A es a o largo de na lnea recta tangente· al arco arc o AA y la di rección del movimiento de B es a lo largo l argo de la tangente al arco B8 Notemos 1
1.
•
1
J . , , � . . Ao'/�
,
¿
-
ª1
_ A 1
A
Figura 3.19 (a). - Rot Rotcón cón y slc slcón ón scesvs.
Fgura 319 (b) Movme Movmeno no peso edcdo ocón
com
64
ANÁSIS Y PROYECTO D LOS MCAISMOS
que el punto D está en la intersección de las dos perpendiculares a esas tangentes desde A y· B. En este momento, nuestros estudios de velocidad atañen sólo a una posición especíca del mecansmo. Las velocidades que determinamos son velocidades instantáneas solamente para esta posición en la que se está observando el mecanismo Se simplicaría grandemente nuestro análisis de la velocidad si pudiéramos en contrar el centro alrededor del cual puede suponerse que gira un cuerpo en mo vimiento compuesto en un instante dado El punto D, descrito anteriormente es dicho centro y puede llamarse centro instantáneo de rotación. Como todos los ejes de rotación es el punto de un cuerpo en movimiento que tiene velocidad cero La Figura 320 muestra un cuerpo W en el que se conocen las velocidades de dos puntos A y B Si dibujamos la línea PP que pasa por A perpendicular a VA, el princiio del cuerpo rígido nos dice que todos los puntos sobre esta línea' en el cuerpo W tienen velocidad nula en la dirección PP Si dibuamos otra línea NN que pase por B perpendicular a VB, de igual modo sabemos que todos los puntos sobre esta línea tienen velocidad O en la drección NN onsderamos el punto / donde se cortan PP y NN I es un punto de W (ampldo) que tiene ve locidad nula a lo largo de PP y también a lo largo de NN La velocidad resultante del punto I será por tanto nula ya que no existe un vector que pueda dibujarse a partir de / en ninguna dirección que tenga componente útil nula en dos direcciones diferentes. Si un cuerpo está en movimiento y uno de sus puntos permanece que-
,l
N� \
\ 1
',
I (V ¡ = O) ' .
\
\ Ap
w
� N
insantáneo neo de roación. Figura 3.20 - Centro insantá
VELOCIDA
65
to, el único movzm1ento posble del mmo e rotaón alrededor del punto fjo.
En este instante, el punto I o tiee velocidad y otros puntos de W la tienen, por lo que el único movimieto posible del cuerpo es ua rotació arededor de /. Consecuentemente podemos llamar a I cetro instatáneo de rotación del cuer o W. Ya que el cuerpo e cojuto W gira en este istante alrededor de /, las velocidades de A B y todos os demás putos de W será perpendiculares a las lneas de unió de eos con el punto , y sus magnitudes directamete proporcio ales a sus distancias a , como en el caso de todos los cueros en rotació Así, localizando el cetro instatáneo de rotación, podemos determinar ls velocidades lineaes de odos los ntos de ese uerpo sn usa as comonentes tle · Este método es simpe y rápido y elimia gan catida de trazados 3.16 Localización del centro instantáneo de rotación
En genera, para ocalizar e cetro instatáeo de rotación de un cuerpo ne cesitamos saber soamete las direccioes de ls velocidades de dos putos de cuerpo Trazamos desde cada puto ua líea perpedicular a vector velocidad del mismo La itersección de estas pepedicuares es el centro instantáeo de rotació del cuerpo Por ejemplo, en la Figura 321, si se da la velocidad aglar de a maive AB, podemos halla la veloidad ineal de E en a barra BCE Sabemos que ya que AB está e rotación pua, V será perpendicular a AB a veocidad de esá drgida a lo argo de la línea central SS de as guías fas El centro istantáeo del cerpo BE estará ocaizado e a intersección de a íea que pasa por B y es erendicua erend icuarr a V (en este caso, proogación de la línea AB) y a ínea que pasa E
A
Relación ón de veoda veodades des para el Figura 3.21 - Relaci ent anáeo. NT NT - 5
66
ANÁSIS Y PROECTO DE LOS MECANSMOS
.por por C y es perpendicular a SS. Esta itersección se ha rotulado J ncE ncE · (El subíndice n se usa para señalar claramente el cuerpo que se considera, ya que en este caso J no cae dentro de los límites de la barra BCE.) Es importante usar los subíndices puesto que cada centro instantáneo se aplica a un solo cuerpo y se pueden pedir para un análisis los centros de varios cuerpos Queda ahora determinada la dirección de V perpendicular a la líne !E, y su magnitud guarda con VB la misma razón que sus disancias respectivas a / pudiendo calculare: V J V J y (multiplicando ambos miembros por VB) J V =V x J Pero VB WAn X AB así J (AB X X E E,
=
=
J
El sentido de V señala una rotación dextógira de BCE alrededor de por lo que el sentido de V debe señalar de igual modo una rotación dextrógira alrede dor de J En algunos casos donde las dos velocidades conocidas son paralelas debe mos saber la magnitud de estas velocidades así como su dirección a fn de encon trar el cetro istantáneo En la Figura 322 se conocen las velocidades de los puntos F y G y se desea encontrar la velocidad del punto omo se ve los puntos F, G y están en la misma línea TT y VF y V son perpendiculares a esta línea
f
T-¡�: 7 ;
Figura 3.22 - Rel Relcón cón de veocdd veocddes es p les l ceto stáneo.
El usar las componentes útiles no nos daría la solución en este caso por lo que localizaremos el cetro instantáneo de la barra Las perpendiculares trazadas a V y V serán la l a mima línea TT, por lo que no habrá intersección para loca lizar el centro instantáneo Sólo sabemo que está en algún lugar de TT Sin em bargo también sabemos que VF y V son proporcionales en magnitud a las dis tancias de F y G desde el centro instantáneo, o sea F
p _ JF G J
Esta relación sugere un método gráco simple para localizar Si dibuja _mos una línea recta que pase por los etremos de V y V (f y se cortará co F
T
VELOCIDA
67
en /. Esta ínea foma dos tiángulos semejantes Ffl y Ggl en os que os ados coespondientes son popocionaes, con que: TT
como se estabeció anteriormente Ya que M está girando aededor de / en este instante podmos deci que V es pependicula a / y calcua a magnitud de V como sigue J
V1 _ IJ
Va
JG
o sea
(Las ongitudes e /G deben medirse a escala del gáco) ácamente po demos deni polongando a ínea fg, po / hasta encontra a pependicu la a TT por . En cualquie caso el sentido de debe ser ta que poduzca una otación dextógira arededo de / Debe queda bien entendido que un cento instanáneo de oación de un cuepo es un punto de mismo tanto si cae dento del contorno físico o fuera de é Nomamente es moesto mosta el cuepo ampiado paa inclui un cento instantáneo peo os subíndices que se añaden paa rotula a / son los adecuados para su identicación Como as situaciones de os puntos de un cuepo cambian de posición cuando e cuepo se mueve y os vectores veocidad cambian de incinación se deduce que a posición de cento instantáneo de otaci6n es diferente paa cada posición sucesiva que toma e cuerpo Como el nombre impica sólo es váido un cent instantáneo paa una posición del cuerpo e moviiento compuesto Puede habérsele ocurido al ecto que a psición de un cento instantáneo de otación puede esta muy aejada a tomar el cuerpo ciertas posiciones Si e cento estuviea a 50 m e mecanismo seía imposible señalarlo en un dibujo de tamaño conveniente. Esto podría imita e uso de este vaioso instrumento bastante seriamente si no hubiera remedio in embago a avanza en el estudio de las veocidades mostraemos varios métodos de salvar esta dicutad y da souciones sustitutivas par os casos especiales No todo instumento s efectivo paa todas as aplicaciones Constantemente se pide ingenio e inventiva en todos os anáisis de ingeniería y poyectos 3.17 Velocdad angular de cuerpos en movimento copueto
Un cuerpo en movimiento compuesto tiene rotación y trasación, pero pode ms medr e movmiento anguar de cuerpo, apate de su trasación Todas as nas de un cuerpo rígido tienen desplazamientos anguares iguales en un inter-
68
ANÁLISIS Y PROECTO DE LOS MECAISMOS
valo de tempo dado y por tanto guales velocdades angulares en todo momento, cualquera que sea el movmento al que estén sometdas. En muchos poblemas es mportante determnar la velocdad angular de los cuerpos en el movimento compuesto. S pudéramos localzar el centro nstantá neo de rotacón de un cuerpo sería muy fácl calcular su velocdad angular En el cuadrlátero arculado de la gra 3.23 la manvela conductora OP gra alrededor del centro jo O con una velocdad angular dada. R tambén es un eje jo Se pde encontrar la velocdad angular de la bela PT. Como OP está en rotacón pura VP es perpendcular a OP Asmsmo RT gra alrededor del cetro jo R, por lo ue VT será perpendcular a RT El centro nstantáneo nstant áneo / de PT está en la nterseccón de las perpendculares a VP y VT, tra adas como se ve desde P y T. La barra PT puede consderarse que gra alrede dor de/ e este nstante y cmo sobre tdos los cuerpos en rotacón = wr, será: V
p
=
X
W
¡p
IP,
o des despej pejand andoo la l a velocdad velocdad angul angular ar V
p
W
¡p =
/ es un punto de velocdad lneal nula en la bela PT amplada y w w (to das las líneas de un cuerpo rígdo tenen velocdades anguares guales) Por tan to, susttyendo 1p
=
PT
- Vp
(PT_
podemos calcular
VP
puesto que
VP
=
Wop
_ O0p
(PT_
IP
OP
Por tanto,
OP
Figura 3.23 - Rot Rotaci ación ón alrededo del del eo eo nsantáneo.
3.18 Velocidades lneales absoluta y relava
Se muestran en la Fgura 324 (a) los coches A y B vajando en la msma d reccón (velocdad de A) es 40 kmh y V es 60 kmh Como estas veloc-
VELOCIDAD
69
�-ª/ 60 • km/h
�mh
m/h
(a)
b)
Figura 3.24. - Velocida Velocidades des reativas sobe tayectoia tayectoias s paaeas.
dades se miden respecto a un punto jo de la carreter se les llaman velocidades absoutas. Se desea encontrar la velocidad relativa de B respecto de A (símbo lo: B;A)Si nos imaginamos montados en el coche A podemos visualizar la velocidad relativa de B respecto de A. Veremos a B pasándonos en la misma dirección y sen tido a 20 km/h ;A ;A es por tanto la diferencia entre las velocidades absolutas y o sea B
L
Si el coche B, estuviera viajando a 60 km/h, en sentido opuesto [Figu ra 3.24 (b] lo veríamos pasar a 100 km/h en sentido opuesto ún puede esto considerarse como la dierencia entre las velocidades absolutas de B y A si se ñlamos el sentido con los signos + o . S las velocidades hacia la derecha se señalan como positivas y hacia la izquierda como negativas en este segundo caso o sea Vn1A
=
-V VA= 00 km/h
Conclumos que cuando ambos cuerpos recorren trayectorias paralelas, su veloci dad relativa es igual a la difereia algebraica de sus velocidades absolutas También es til determinar las velocidades relativas cuando los cuerpos no se mueven en trayectoras paraelas La Figura 325 muestra los coches A y B recorriendo carreteras divergentes. Si uéramos en el coche A podríamos ver el B aljándose en una direccin, en general inclinada hacia nuestra izquierda a BJ sgue siendo la dierencia de las velocdades absolutas pero ya que sus trayecto ras no son paralelas es una difereia vetorial y no algebraica Para sumar dos vectores los traaremos a partir de un orgen O como los lados adyacentes de un paralelogramo lo completamos y dibujmos su diagonal desde O la cual es igual al vector suma. Un método más simple de suma vecto rial recomendado paa el trabajo gráco en el artículo 38 necesita trazar los dos vectores sucesivamente partiendo del origen O. El vector resultante en este caso tene su origen en O y termina en el extremo del segundo vector geométricamen te equivalente a la construcción del paralelogramo (ver Figura 3.8.
ANÁLSIS Y PROYECTO D LOS MANSMOS
70
6,? , k '/ h � A
f 40 m � k h
-v;.z,� O
+Vs
Vwy-:A
,: : O 4 ,
Vs
Figura 3.25 - Veloc Velocddes ddes et etvs vs edn ednee sstccón vecto La sustraccón vecorial se efectúa de la misma manera que la suma, con la diferencia de que el vector a sustraer se traza con su sentido opuesto a su sentido verdadero o sea, con sentido negativo. En otras palabras, para restar, sumamos el vector opuesto. En la Figra 325 se muestra el método del paralelogramo y el del triánglo para restar VA de V- Cuan Cuando do las las velocida velocidades des no sean paral paralelas elas la velocidad relativa será igal al vector diferenca: VB/A
=
V VA
(El símbolo � signica "menos vectorialmente )
3.19. Velocidades relativas en un cuerpo rígido
En la Fig ra 326 pueden verse las velocidades de los puntos A y B sobre el mismo cuerpo rígido Invesiguemos la velocidad relativa de B respecto a A. Si nos imaginamos de pie en A, como la distancia entre A y B no varía B parecerá ue se mueve en una rayectoria circular (con radio AB) alrededor de nosotros Éste es el único movimiento que B puede tener alrededor de A. Por tanto B/A debe ser perpendicular a AB en la dirección del movimiento relativo de B respec
A� --- V< -Veocddes evs de os pn os de n cepo ído Figura 3.26
VELOCIDAD
71
to a A. La magnitud de Vs; e encuentra por utraccón vectora como ucede con toda a velocdade relatva. A
VB/A
=
VB - VA
S umamo - V a + V la reultante erá V que en a Fgura 326, ve que e perpendicuar a AB, como e preveía Como A y B etán obre e mimo cuerpo rígido, a c u V eu Vs obre a lnea AB de donde e deduce que do pnto d un curo rígido no tinn A
B
s;A,
1
=
vlocdad rlativa gún la lína qu lo un
3.20 Utilización de de las velocidades relativas para encontrar la velocidad angular
Hemo eñalado que a veocdad anguar de un cuerpo en movmento com pueto puede obtenere uando el centro ntantáneo de rotacón Ete étoo podría falar, dede luego, e centro ntantáneo de rotacón reultara nacce be, como aguna vez ucede e dpone de otro método que utlza el concepto de veocdad reava. Su pongamo que e deea enontrar la veocdad anguar de cuerpo de a Fgu ra 36 Hemo obervado que B recorre un arco crcular repecto de A. S B recorre un arco circular repecto de A, entonce a ínea AB grará' a rededor de A con una veocdad anguar: VB A (ya ue vr) AB Como la nea AB e ja en e cuerpo, w e gual a la velocidad angular de cuer po Pueto que e movmento anguar de un cuerpo e ndependente de cuaquer movmento de traacón, relativa de A e también a velocdad angular abo uta de cuerpo Por medo de concepto de veocdad reativa, podremo medr a veocdad anguar repecto a cuaquer punto de referenca tomado como eje. (
-
AB
=
wA1
21. Concepto de velocidad elativa: Un instrumento para el análisis
Hata ete puno hemo uado la relacone entre a componente útie, baada obre e prncpo de óldo rgdo, como método de determnación de velocdade ta técnca e ha uado para ntroducr _ ee etudo de a veocdad poque e cree que e la forma má cara e lutratva de abordar u etudio, par tcuarmente cuando e uan la olucone gráca empeand vectore Sin em bargo, aparecen deventaa en el método de la componente tie, cuando aya que dbuar mucho, reptiendo dbuo a ecala de lo vectore etá mitada
ANÁLSIS Y PROYCTO DE LOS MCANISMOS
72
por e tamaño de de mecanismo cuando se dibujen os vectoes en ugar de os d ferentes membros. La notación que debe acomaar estos estudos también ega a ser bastante complicada Una vez ue e estudiante tiene un conocimiento ncia de as reaciones de vector, debe usarse un método un poco más compejo en e ue haya ue dibujar menos haya una notación abreviada y una precisión gráca mayor ue esute de uso de vectores a escaas mayores. Este método nuevo se apoya aún en os víncuos de movimento de cuerpo ígido pero empearemos veo cdade5 reativas en vez de as componntes útes. Tambén combnareos e método vectoia en un poígono simpe separado de mecanismo n suma ay dos ecos ue son tes en a apicación de método de a veocdad reatva 1 Si dos puntos puntos está está en e mismo mismo cuerpo rígdo rígdo su veocdad veocdad eati eativa va es igua a a diferencia vectora de sus veocidades absoutas como se ve en a Fgura 326 Consideando os puntos A y B. Cuando se conozca a veocdad de A se deduce ue: VB
=
VB !A
+-
VA (sumando + A a ambos ados de a ecuación)
n otas paabas e vecto vecto desconocdo VB es a suma de vector VA y · e ;A 2 Si dos puntos están en el mismo cuerpo rígido, su vector elocidad relativa es perpendicular a la recta que los une. - sto esut esutaa de eco eco ue estos puntos no pueden tene veocdad eatva en a deccón ue os une Sus componentes tes en esa dieccón deben se guaes) 3.22 Construcción del polígono de velocidades
Coeremos e eempo de uadáteo atcuado ue se ve en a gu a 27 n e cua a manvea KL ga en e sentdo de as aguas de un eo areded de ee jo K con una veocdad angua dada Se pde detemna a veocda� de pasado M ue une e acopado LM a a ota manvea P Como otacón pua a veocda veocdad d de L seá pependcua a KL e gua a w X KL tee otacón X KL (V wr). ste vecto puede verse en e dbuo de mecanismo (V) Consdeemos as veocdades eatvas sobe e acopado gdo LM S en enton tonce cess - ! s dec s sumamos VM/ a vectoramente obtendemos M Patendo de un oigen conveniente O, trazamos V en una dreccón epen dcua a a manvea KL. ésta debemos suma V,11 ¡ No sabemos a magntud =
=
=
L
VELOCIDAD
1s \
\�
73
T
-
L
Mecasmo
Polígono vectorial
Figura 3.27. - Veloidades e u adrilátero articado.
de V1r;L, pero ya que L y M están en el mismo cuerpo rígido, sabemos que la ve locidad relativa de M respecto de L debe estar en la lnea perpendicular a LM, ta como a SS del dibujo. Como MP es un cuerpo en rotación pura, sabemos que V M debe ser perpendicular a MP, sobre la línea TT en el dibujo. Ahora ya que u es un vector igual a la suma de dos vectores VL y V;L VJ será el lado de cierre del triánguo cuys otros lados son V y V!L · La veocidad de L se conoce, la velocidad reativa de M respecto a está sobre la línea SS y podemos acabar en e punto R, donde la lnea SS corta a a TT, con o que el lado de cierre del trián guo (gual a la velocidad de M) estará sobre T, que es a dirección correcta de V1 1- La ne neaa OR es entonces el vecor de a V buscada y está dirigido de O a . Su magntud puede medirse a escala en el dibjo A este triánguo vectoria se e lama polígono de velocidades. Como es un diagrama de vectores libres, separado de mecanismo puede dibujarse a gran escala para dar resultados precisos. La notación puede simpicarse con la nomenclatura mostrada en a Figura 328 El punto O es e origen de todas las velocidads absolutas, con o que todas se diri girán acia afuera desde el punto O Las letras de los otros extremos de cada vec to designarán la velocdad que representan Por ejemplo, la lnea OL es el vector velocidad de dirigido desde O acia L) y OM es a veocidad de M. La ínea que une L y M es el vector velocidad relativa de M respecto de L dirigido de L hacia M). Cuando se een velocidades relativas, el vector se dirige alejándose del punto para e cua a veocidad es relativa Los puntos jos tales como K y P sobre e mecanismo tienen velocidad nua, por lo que pueden toarse también como origen Pueden considerarse como vectores de ongitud En efecto el vector LK debe leerse V! dirigido hacia abajo a a derecha) y debe ser, por tanto, igual a la V absoluta, puesto que VK Nótese que os 1
L
=
74
ANÁISIS Y PROECTO D LOS MCNISMOS
K
O,K, p
Poígono vectorial gran escala
L Pogoo o de de velocdade velocdade a gra gra Figura 3.28 - Pogo ecaa.
vectores tienen u inclinación elacionada con los miembros del mecanismo, pero podems amplia la escala del polígono de velocidades a fn de aumenar la exactitud de la solución. 3.23 Poígono para velocidades de dirección desconocida
El sistema articulado de la Figura 329 (a) es análogo al de a Figura 3.16. Se dan las velocidades de los bloques en R y T, hay que deteminar la velocidad del pasador S en dirección y magitud Construyamos un polgono de velocidades para este sistema articulado Des de un origen conveniente O, trazamos pimero la velocidad dada de R co una escala adecuada. Está representado por el segmento OR de la Figua 329 b)
75
VELOCIDAD
(a) R
"a
"
"
V s/ R
o
"
R
' R
"
R
(b)
IV s sllT bl 1 1
"
"
"
(e)
" "
�
(d)
e la recció e la velocia el pasaor S. Figura 3.29 - Determinación e
76
ANÁISIS Y PROECTO DE LOS MECASOS
Sobre el cuerpo rígido R, Vs = V + - Vs;, con lo que ara obtener la velo cidad de , debemo umar la velocidad relativa de reecto de R a la velocidad conocida de R No abemo la magnitud de V81, pero conocemo que u inclina ción debe er perendicular a la barra R, ya que no puede tener movimiento relativo repecto de R en la dirección RS. En el diagrama de velocidade de la Fi gura 3.29 (b) e ha trazado una línea de eta inclinación que paa por R. El vector V s; arte del punto R y termina en algún lugar de eta línea Ahora tracemo la velocidad dada de T en ete diagrama Éta e la línea OT que e ve en la Figura 3.29 (c). Sobre el cuerpo rígido T V s V + - V s; con lo que puede obtenere la velocidad de umando a la velocidad relativa de S repeco de T, la velocidad conocida de T De nuevo, no abemo la magnitud de V s;, ero abemo que e perpendicular a la barra Eta inclinación de Vs; e rereenta por una línea que aa por T y e perendicular a T en el dibujo La V s; parte del unto T y termina en algún lugar de eta línea . Si el unto del polígono de velocidade debe etar en la línea a y también en la línea b, deberá er la interección de la línea a y b como e ve en la Fi gura 3.29 (d). Podemo dibujar ahora el vector OS, el cual tiene la magnitud co rrecta y la inclinación exacta de la velocidad del aador Como todo lo vec tore de velocidad aboluta, etá dirigido dede O hacia . Su magnitud uede me dire a ecala en el dibujo 4 Centros instantáneos polígonos de velocidades. Se ha ito previamente (en el artículo 315 que un cuero rgido en movi miento comueto puede coniderare, en cualquir intante, como una rotación ura alrededor de algún unto del cuerpo que, para ee intante, tiene velocidad nula A ete eje de rotación e le llama centro intantáneo, y una vez localizado, implifca la determinación de la magnitud y dirección de la velocidad de cual quier punto del cuerpo. Ete concepto puede verifcare or el método del polí gono de velocidade, y e igualmente útil cuando e e_lee dicha tcnica Supongamo que tenemo un cuerpo rígido W como e ve en la Figura 3.30 y upongamo que abemo la velocidae de do punto, y B Conideremo un tercer punto I, que eté también obre ete mimo cuero W y e halle en la interección de la línea P perpendicular a V por A con a línea NN perpen dicular a VB· Para encontrar la velocidad del unto J debemo trazar un polígono de velocidade Partiendo del orgen O, la línea OA y OB rereentan la velo cidade dada de A y B Sabemo que V =V+ - V_ 4, donde V;. e per pendicular a la línea IA de W, mientra que IA e erpendicular a V y a OA en el olígono. Aí ue, el vector que repreenta a V ;A erá aralelo a V y or tanto e tará obre OA en el polígono No abemo u longitud. A
1
A
1
VELOCIDA
7
A
Figura 3.30 - Cento insaáeo de racón.
También V1 Vs + � V1;B, donde V1¡s es perpendicular a la línea IB, o sea, paralelo a Vs en el cuerpo rígido. Así en el polígono vectorial, el vector IB, que representa a V1s, estará sobre OB, que es e vector de VB· En el polígono, la veloci velocidad dad de / se señalar señalaría ía como un u n vecto vectorr 01 que de acuerdo con la ecuación precedente, sería el lado de cierre de un triángulo com puesto de OA (VA) e /A (V1;)- Esta misma velocidad velocidad de/ de/ (O/) (O/) es el lado lado de cierre de otro triángulo compuesto de OB (V) e (V1) Por tanto, e punto I del po lígono debe estar sobre OA y sobre OB. El punto /, ento entonces nces,, será el O que es el único punto que tienen en común OA y OB es deir, su intersección. Si los puntos y O coinciden, el segmento O/ no tendrá longitud, la velocidad v elocidad de / será cero, e / será se rá el centro instan instantneo tneo del cuerpo c uerpo W Esto es importante porque describe el movimiento de un cuerpo rígido de una nueva forma Si un cuerpo está en movimieno y un puno del cuerpo es fijo, el cuerpo sólo puede eer roación pura alrededor de dicho puno io, como un disco que gira alrededor de un eje. Así, en este ejempo, puede considerarse para este instante que el cuerpo W tiene rotación rotació n pura alrededor de / Esto signica que la velocidad de cualquier punto de W debe ser perpendicular a la línea que lo une con I y que las velocidades de todos los puntos de W deben ser propor cionales a sus distancias a / Los centros instantáneos de rotación, como el /, pueden localizarse si cono cemos la inclinación de las velocidades de dos puntos del cuerpo Soamente es necesario dibujar dos perpendiculares a los vectores velocidad por los puntos El centro instantáneo estará en su intersecciónCuando un cuerpo se mueve con mo vimiento compuesto cambian las inclinaciones de las velocidades de los puntos móviles con lo e los puntos tales como el/ el/ estarán ocalizados en posiciones di ferentes para cada posición del cuerpo Por tanto, se les llama con propiedad cenros insanáneos de rotación =
78
ANISIS Y PROECTO DE LOS MECANSMOS
Paa sabe cómo se utilizan los centos instantáneos paa detemina a di rección de os vectoes vlocidad, examinemos a Figua 3. 31 En e sistema a ticuado que se muesta, la baa BE es un miembo ígido continuo. Se da la velocidad angula de AB y se pide enconta a veocidad del punto E. Podemos calcua a velocidad de B (VB wAn X AB) y taza su veco OB pependicua a a manivela AB. ntonces sabemos que: =
E = B
+ -�
/B
E
l BE
o
E
\ s Poígono o de velocidades velocidades y cen cen Figura 3.31 - Poígon tro nstantáneo.
La diección de VE/B es pependicua a a baa BE, y su vecto pasaá po B en e poígono No sabemos a magnitud de VEB, po lo que sóo podeos señaa que la ínea tiene una longitud indefnida E lado de ciee de iángulo vec-_ toial seía OE peo ya qu no sabemos la inclinación de V, no podos ocai za e pnto E Usando e cento instantáneo de otación de a baa BE encontaemos a �diección de VE· Dicho cento estaá en la intesección de la ínea que pasa po B
VELOCIDAD
79
perpendiclar a VJI o a lea perpedilar a V qe pasa p asa por p or C. El pasador C stá obligado a moverse a o largo de la líea etral de las gías fjas y B e meve perpendilarmete a AB. La loalizaió del tro istatáeo J se ve en la Figra 331 Ahora podemos dibjr JE e impoer qe E sea perpedi lar a E. • E el polígoo vetorial podemos dibjar etones vetor qe pase por O, paralelo a VE omo se determió ateriormete hasta ortar a líea - SS, loa lizando así el pto E El vetor OE represeta la veloidad de E y pede medirse 3.25 Componentes de traslación-rotación
Se ooe las veloidades de los ptos A y B de la barra de la Figra 332 y se pide la veloidad de C E la direió AC; u= u 0. Se eesita la direió de V y ormalmete podría eotrarse loalizado el etro istatá eo de rotaió de la barra Si ebargo e este aso si A y B so prátia mete paralelas eotramos qe las pepedilares a estas veloidades se or tará e pto leao aiedo J iaesible a meos qe el dibo sea my grade
Figura 3.32 - Componentes útiles de trasacón trasacón y otació. otació.
osideremos otros medios de determiar la veloidad de C El movimieto ompesto tiee simltáeamete traslaió y rotaió. Hemos heo otar qe pede osdrarse qe estos movimietos tiee lgar separadamete por ove ieia de aálisis a barra AB (Figra 3.33) pede moverse de la posiió iiial a la 1B 1 girado primero alrededor del pQto O (iterseió de AB y 1B 1 prologada) asta la posiió A0B y trasladádose despés sobre la líea A 0B asta 1B • Examiemos las veloidades de A y B e lo qe se reere a estos movimietos por separado Podemos reemplazar VA por par de ompoetes útiles a lo largo de AB y sobre s pepedilar i pede represetarse aálogamete omo e la igra 332 as ompoetes segú AB se les llama componentes de tralación (símbolo: cu.T ya qe defe las veloidades de A y B ado el 1
80
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MCSMOS
B
Figura 3.33. - Rotació y traslacón traslacón e e movmeto compueo. compueo.
cuerpo se traslada a lo argo de AB. Las omponentes perpendiulares a AB se onoen omo ó (símbolo: .R), porque denen las veloidades de A y B uando gira e uerpo. Se sabe que las omponentes de traslain según AB son iguales en virtud de prinipio del slido rígid9. Las omponentes de rotain también están reaionadas unas on otras de manera denida Ya hemos observado que las ve oidades de los puntos en un uerpo en rotain son proporionales a sus distanias al eje de rotain n el movimiento de AB a A 1B (Figura 333), fue neesaria la rotain del uerpo alrededor del punto jo O Por tanto al girar a barra las veloidades de rotain J de A, B y C serán proporionaes a A OB y OC respetivamente: .R de C e A oc O y de B OB .. de A O Gráamente, si dibujamos una línea desde a hasta enontraremos que . de C termina en C sobre esta línea, omo se ve en la Figura 32. En los riángulos semeantes OAa y OCc así formados, Ce
de C . de A C.UR
oc O
(omo se establei anteriormente)
omo uando / está lejos, también lo está, este método gráo será efeivo ya que no exige la loalizain del punto O ora que hemos determinado . y .' 1 de V las perpendiulares desde este par de omponentes retangulares onugadas denirán la resultante V l eemplo de la Figura 334 ilustrará la utiliain de este método La manivela HL gira alrededor del eje jo H on una veloidad angular onoda Se pide la veloidad del puno S Ya que V= . 0•
VL
=
OH
X
HL
y es perpendiular a HL lo largo de LM ..V¡ = . VM (llamada aquí T) por la regla del uerpo rígido Ya que la resultante V está sobre las guas as podemos determinar fáilmente V por una perpendiular a . de M.
VELOCIDAD
81
Figura 3.34. - Ls componentes componentes de oc ocó ó son popocoles.
Ahoa descomponemos VL y Vu en las componentes de otación y tas ación, .u. y u.r u.r La uT de S u1' de L y de M. La líne lm dene la ongitd d u. de S. La estante Vs se detemna como esante de .uT y .u. de S =
3.26 Rodadura pua
Cando n cepo eda sobe oto sn desliza se dice qe tiene rodadura pura Si los cepos deslizan en el contacto el pnto de contacto de n cepo se moveá con elación al de contacto de oto cepo El ejemplo más conocido es el del contacto ente el nemático y a calzada en el caso de n atomóil La Fga 335 mesta la eda W en ontacto con a specie R de la cae tea. El pnto P· sobe la eda está en contacto con el de a caetea i se podce el deslzamiento o "esbalamiento 11- deslizaá sobe a secie de a caetea con lo qe tendá elocidad mientas qe siendo n pnto de a caetea pemanece qieto En fncón de la elocidad elatia podemos deci qe si hay deslizamiento as elocidades de w y son difeentes mientas qe si no hay deslizamiento las elocidades de esos pntos de contacto son idénti-
R
Ceno o nstnán nstnáneo eo de Figura 3.35. Cen n clndo qe ed LNT L NT - 6
82
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MCANISMOS
Figura 3.36 - Velocida Velocidades des en ro dadura.
W n r
w
F
BC
=
F
v
(D
-
wn
(D
v
F
razó de velocidades
ST
t
VELOCIDA
83
T
Figura 3.37 - Veloc Velocidade idades s en una eva c segudor de odlo.
El punto de contacto P relaciona e moviiento de a eva y del seguidor. La veocidad de P sobre C uede encontrarse fácimente La eva C es un cuerpo que tiene rotación pura alrededor de O, por o que VI' sobre C w X OP y es perpendicuar a OP Ya que no hay desizamiento VP sobre C V sobre e rodilo F. ara determinar a veocidad angular de ST necesitamos saber a veocidad de S. P y S son de mismo cuerpo rígido por o que a o argo de a ínea PS, e u V¡= u. V 8. Se sabe que V 8 es perpendicuar a ST (ya que ST gi ra arededor del eje jo T) por o que una perpendicuar a u V8 denirá V8· V8 8T y e sentido de esta veocidad anguar deberá ser compati be con V 8· ST =
,
3.27 Polígns de velcidades para a rdadura pura.
La apicación del método de poígono de velocidades a los proemas de rodadura orece as mismas ventajas de eciencia y precisión que cuando se apican a os sistemas articulados art iculados conectados con pasadores Los principios de veocidad reatva y a utiización de os centros instantáneos se combinan para pro porcionar otro étodo distinto del de as componentes úties e cua resuta u tanto engorroso En la rodadura pua todos los untos d contacto tinn la mima vlocidad y por tanto no tienen velocidad relativa uno respecto de otro omo he mos visto a velocidad reativa de un punto de un cuerpo rígido respecto de otro punto es perpendicuar a a ínea de unión de estos dos puntos ya que no
'
84
ANÁLSIS Y PROYECTO D LOS MECAISMOS
.puede habr velocidad relativa en la dirección que los une Cuando un cuepo tiene moviminto compuesto, una línea tazada desde cualquier punto del cuerpo a su cento instantáneo debe ser perpendicuar al vector velocidad de ese punto, ya qu e punto no puede tener componente de velocdad sobre esta lnea El centro instantáneo es un punto sobre un cuerpo que tiene velocdad nula, po o que no tendrá componente de veocidad en ninguna dirección Teniendo en cuenta estos hechos, consideremos un ejemplo que encerre odadura pura En la Figura 338 se ve un tren de discos epiciloidal. E disco
I
/s /
T_
Polígono ono de velocidades velocidades para el te eicicl eicicldal. dal. Figura 3.38 - Políg
VELOCIDAD
85,
gira en l sentido de las agujas de un reloj alrdedor del eje jo B. El �razo angular A también gira alreddor de B indepndintente de D y se ha pro ctado para antener el disco J en contacto con los D y G El disco G tabién antien en un contacto continuo con el anillo jo F, que es concéntrico con y aqu se ustra solante n parte Se pide dtrinar la velocidad an lar del brazo A para una velocidad angular dada del disco D, suponiendo que hay deslizainto n inguno d los puntos de contacto de rodadura Podeos calcular la velocidad del punto P, d contacto entr los discos D wD X BP y srá perpendicular a BP . El .punto P so J puesto que n D, VP el disco J tendrá la isa velocidad Podeos dibujar la lnea OP sobre el lgono vctorial reprsntando a · V ,. Es prpndicular a BP en el ca so Ahora, sobre el disco J, l punto R será el punto de contacto entre J y G, la velocidad de R srá la isa en abos discos J y G Apliando de nuevo expresión de la velocidd rlativa, veos que VR VP + VR/P dond / será prpndicular a la lnea R sobr el disco J pero no se conoc su ag ud Heos rprsntado ésta por la lína TT de longitud indenida qu pasa r el punto P del polgono En el triángulo vctorial que representa la presión antrior, un lado será lnea P) un segundo lado será V , y l de cierre será VR (lna R Si dieraos dtrinar la dirección de V podraos copletar st triángulo teos qu R s un punto del anillo G as coo de J El punto I sobre G n la isa vlocidad que su corrspondiente I sobre el anillo o F, o sa ro Un punto de velocidad nula de un cuepo en movimiento es un centro insntáneo de rotación. Por tanto se puede considerar qu el disco G gira alrede r d I en ste instante, establecindo la dirccin de V coo perpendicular la lnea IR dl disco G As, sobre l polgono vectorial, trazaos un vecto sde O perpendicular a IR (en el ecaniso) hasta encontrar la lna TT n Este dene el vector R que s la vlocidad del punto de contacto R sobre y . Para deterinar la vlocidad angular pdida dl brazo A necsitaos sa la velocidad lineal de algú punto de A (que no sa el punto jo B Proba :ente l punto E sa l ás fácil de estudiar Todos los puntos sobre el dis G tinen velocidades proporcionals a sus distancias al cntro instantáneo I podeos calcular la vlocidad de E a partir de la de R _ J _ I y IR - IR =
1
=
pR
E
Esta velocidad de E está rpresentada por l vector OE del polgono, per dicular a IE dl disco G y dirigida de drcha a izquirda tro étodo para rinar la vlocidad d E sra vricar l valor calculado y l sntido del or O
86
ANSIS Y PROYECTO DE LOS MECASMOS
Se conoce la velocidad de R (OR sobre e polígono), por o que a ésta sumaremos la velocidad reativa de E respecto de R Esta VE/R es perpendcular a a ínea RE sobre e dibujo de mecansmo. Por tanto, por e punto R de poí·ono trazamos la ínea de longitud ndefnida, perpendicuar a RE sobre e mecanismo (no sabeos a magnitud de VE;1). Con a drección de a velocidad de E determinada desde e centro instantáneo del disco G arriba, podemos di bujar una ínea por O perpendicuar a /E, que es la dirección correcta de a velocdad de E. Esta línea cortará a en el punto E, cerrando e triángulo vec toria ORE en el polígono. Este punto E de interseccón, hará OE igua al vaor caculado que se usó anteriormente y podremos verifcar que la veocidad de E vector OE) está diigido hacia a izquierda. Como E es un pasaor de brazo A así como del disco G podremos calcu ar a veocidad anguar de A. Coo gira arededor de ee fjo B, (A
VE
=
BE
E sentido será levógiro de acuerdo con la velocidad de E. 3.28 Velocidades en un contaco deslzante
Hemos estudiado mecanismos en los que los boques esaban proyectados para desizar en guías fjas. Cuando as guías permanecen fas, sólo sirven para defnir la dirección del movimiento del miembro deslizante y no presentn present n,, así problemas en el análisis d a veocidad. En algunos mecanisos las guías para os miembros deslizantes deslizantes también están en movmiento. Para determinar determinar el mo vimiento de as guías móvies, debemos estudiar la reación entre e desplaza miento de as guías y correderas. En a Fgura 3.39 una barra acanalada contene una corredera . La co rredera puede moverse ibre y horizontamente por la acanaladura, pero no puede hacero en un movimiento vertca en ela. Si la barra se mueve ascendentemente hasta M1, posición mostrada en a parte superior, y al a l mismo tiempo t iempo la l a corredera se muve sobre a acanaladura hasta la posicón i, el dspazamiento de M será distancia vertical d entre las líneas centrales de a acanaladura acanaladura en as dos posiciones. El despazamiento de es a distancia e medida sobre la dagonal en te las dos posiciones de la corredera y 1 Si consideramos a componente vertca de observamos que es igual al despazamieto d de M Como e cen tro de no puede sairse de a ínea central de la acanaladura, esta igualdad será siempre cierta para cualquier desplazamiento de M y . En un intervao de tiempo dado, serán iguaes os desplazamientos de M y en dirección perpendicular a a ínea centra de a acanaladura Coo V= !S 1T as velocidades de M y en la dirección perpendicular al deslzaiento, sepre serán iguales. Expresado en térmnos más generales, puede apicarse este hecho •
VELOCIDA
87
Desplazamient zamiento o en un conac Figura 3.39. - Despla deszane.
a todos los miembros desizantes como sigue: En la dirección perpendicular al eslizmiento, la velocidde de lo do miembro en conco delizne on igle. Partiendo de este principio, estamos en condciones de analizar las veo-
cidades de cuerpos en contacto deslizante. En la Figura 3.40 se muestra un mecanismo consistente en una horquia acanalada Y que sólo puede moverse en sentido vertical hacia arriba y hacia abao Se conduce a horqula por una manivea que gira arededor de eje fo O cuo punto está aticulado al boque B que desiza ibremente en a acana ladura de Y Se pide determinar a velocidad de Y en la posición señalada conociendo la veocidad angular de OP. E pasador P está unido a a manivela OP, que tiene rotación pura La velocidad de P sobre OP está dada por V w V§ = W X OP =
El pasaor P también está unido a boque B por tanto vi=
W 0p
X
OP
Ahora poemos relacionar la velocidad de P de bloque con a velo cidad de agún punto de Y a fn de determinar la velocidad de . Si a horqui a , está constuida como se ve en la Figura 340 (a), de ta manera que la acanaadura en Y tenga a parte de atrás sóida hay un punto en a parte tra sera de Y sobre la línea central del pasador P directamente detrás de · punto P del boque Comparemos a veocidad de este punto con a veocidad de pun to de bloque En a Figura 340 (b) estos dos puntos estarán e uno sobre e otro La rega de a veocidad de deslizamiento expresa que en a dirección per pendicuar a deslizamiento o sea perpendicuar perpendicuar a la nea centra SS e a aca nadura os puntos tienen a misma velocidad Como vi V§ que es perpendicular a OP a velocidad de en a dirección perpendicuar a es a componente útil de v; sobre la línea T. Y
n
n
ANÁSS Y PROYECTO D LOS MCANISMOS
88
pY
(o)
(b)
Figura 3.40 - Velo Velocd cddes des en n hoql móv. móv.
bre TT sob u. v: so e.u to,, e. tan nto Por ta toss de Y pun nto doss los pu ón,, todo aciión rasllac tras obee TT t sob cal. l. Así, V verti rtica ón ve ción ci ad de toda la ida vellocid de heco, la ve Vy = e.u. v: sobre T y el gura 3.40 (b).
o Y tie omo ien nto de vim mie bree TT Com ne movi tien } sobr V es igu ésttas son de d ec-dades drrec ocidad less y és veloci guaale ieneen vel tien no o P de Y, idad ad resu pun locid dell pu tan anee de es la veloc esut a.** lla. uill horqui
=
sentido será hacia abajo como se ve en la Fi
La igura 31 muesra una maivela AB que gira arededor de un ee o A con una velocidad angular dada. a corredera S está articulada a AB en B y desliza libremente en la acanaladura producida en la barra curvada N, la cual gira alrededor del pasador o Se pide hallar la velocidad angular de la barra N. Ya que AB está girando O x AB (con dirección perpendicular a AB) V pero el pasador B es un pasador del bloque B así como de AB, po tanto B
=
AB
V V� puesto que el pasador es común a ambos miembros Como antes considere mos un segundo punto B, situao en la barra N directamente debao del pun to B de la corredera S. os pntos B de S y B de N tienen velocidades iguaes en dirección perpendicular al deslizamiento (o ( o perperdicular a EE) Ya que N está girando Vf debe ser perpendicular a CB. i Vj ni V son perpendiculares a la línea central EE de la acanaladura pero la regla epresa que las velocidades útiles de B y perpendiculares a EE son iguaes. Como se a obtenido v:, podrá determinarse en la forma indicada la e.u V� perpendicular a EE Esta eu. ! =e.u. V y, conocida la dirección de V%, podemos encontrar Vt evanB
=
8
Cuando la veodad angar de a manivea (OP) es contante, movmiento d a horqula (Y) es un movmento armónio impe. *
" '
·t, �-
VELOCIDAD
89
E
Figura 341
ra giratoria.
- Veloci Velocidades dades sbre sbre ua crrede crrede
tando como se indica una pependicuar a e.u. V hasta a ínea de acc1on de v;. Ahoa se uede enconta a veocidad angula de N mediante w V/r: =
ON
VN
=
CB
con sentido eógio como expesa e sentido de Vf Una ea con seguido pano nos ofece oto ejempo de anáisis de a eocidad de contacto deszante. La ea C ga a izquiedas aededo de eje j A en a Fgua 342, con una eocidad angua dada, conduciendo a seguido
-s
e
F 342. ecdades en a eva c se gid pao
90
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECAISMOS
plano F a través del punto de contacto P. Se desea la velocidad de F paa la po sicón señalada. Como antes, relacionamos las velocidades del punto P de y P de F. La leva está en rotacin de manera que V�= W X AP y es perpendicular a AP. El dslzamento tiene lugar sobre la superce SS de F El seguidor F se traslada en una direccón vertcal mpuesta por los apoyos jos en los que desliza Los puntos e y F tenen la msma vlocidad en la diección NN, perpendicular a SS así eu. V� eu Vf sobre NN El punto P , como todos los puntos de F está obligado a moverse solamente en una trayectora vertical por lo que euv; dene la resultante V� que es igual a V F
=
F·
3.29 Velocidad de deslizamiento
Cuando un cuerpo A desliza sobre otro cuerpo B (Figura 343), A se ueve sobre la supercie B n de que esto ocurra Á debe tener un movmento re lativo a B. Si A y B tuveran velocidades iguales se moveran juntos a la misma velocidad y no habra deslizamento entre ellos S ha de resbalar sobre B, sus velocdades absolutas deben ser de distnta magntud dreccn o sentdo La di ferenca de las velocidades absolutas se ha denido como vlocidad rlatia Esta locidad rlativa d dos curpos n contacto qu mun, s l llama vlocda d dslzamnto Es una velocidad muy importante en muchos problemas de di
seo de máquinas. La velocdad de deslizamiento entre A y B es la velocidad re lativ de A respecto de B o sea A - B Como A y B tienen velocidades para lelas, VÁ/B es en este caso, una diferenia algebraica*
0
VA
'� Figura 343. - Velocdd de deslzmento deslzmento so be epos e scó.
¿Rdadura o deslizamiento?
Cuando dos cuerpos en movimiento están en contacto, o hay rodadura pura o deslzamien deslzamiento to y la prmera etapa en un estudo estudo de la velocidad es identicar identicar la naturaleza de este contacto Se hace fácilmente si examnamos las velocdades de * ,1 V81 y o f o No vo o o o o o lo v y o o o q o oo =
_,
VELOCIDAD
91
punto de contacto. Si ambos cuerpos t e nen l a s vel o ci d ades i g ual e s en el punto deen contacto, están en odadua pua. Si l a s vel o ci d ades de l o s puntos de contacto cada cueo d n po cual q u e mot v o (mani t ud di ecc ó n o sent d o), están en contacto deslzante. 3.1. Determinación de la la velocidad velocidad de deslizamiento
En l a Fi g ua 3. 4 4, el bazo gi a en senti d o dextógi o al ededo del ej e oto C. Elhacicento endodequela elpatecuepociculBagidee alBesededoLadelveleoeciodad dela punto tavés dedelcontacto contac CLasobe el bazo es pependi c ul a a e i g ual a X e vecto vel o c d ad del punto de contacto C sobe el cuepo es pependi c ul a a (ve vecto V). Estas dos vel o ci d ades en el punto de contacto ti e nen di ecci o nes dmifeeentes po l o que, cual e squi e a que sean sus magni t udes tendemos desl i z antoHalenlemosC. la velocidad de deslzamento y tienen la misma componen tedeútiestal sobe pependi c ul a al desl i z ami e nto sobe el di b u o ). A pati componente común, establ e cemos l a magn t ud de en l a foma nomal Laen vel(oocividadcevesa). de deslÉsta izamiesentola es la velocdad elatva ¿ de C en Byaespecto de C que estas ve locidades tienen diecciones difeentes. A
D,
E
A
O. DC
WA
DC
Vt)
B
EC
V
NN,
(e.u.
A
diferencia vectorial,
Velocidad de /T deslizamiento f
B
\
\
�
D
E
Fgur 3.44 -Velocdad de desamieno so be cepos en oacó.
Paa enconta esta vel o ci d ad el a ti v a tazamos l a opuesta de desde el ex temo de (La opuesta de V ti e ne senti d o opuesto al de l a V eal . ) El vecto tazado desde C hasta el extemo de es la velocidad elativa de desliza V
vi.
Vt,
92
ANSIS Y PROYECTO DE LOS MEANISOS
miento. Nótese que como Vt es paralela e igual a - vi, la gura Cabf es un pa raleogramo Por tanto, f está sobre a línea T que es una prolongación de a supercie de contacto de A. TT es tangente al cuerpo B en C por lo que se estabece que la veocidad del deslizamiento está sobre la tangente a las supercies de contacto Esto será siempre cierto, cualquiera que fuere la magnitud de as veocidades de los puntos de contacto. En suma la velocidad de deslizamiento es a velocidad reativa de os pun tos de contacto y está dirigida según la tangente común.
3.32 Polígonos de veloidades para contato desizante
Las ventajas de simpcidad y precisión de una escala grande que nos pro porciona el método del poígono vectorial puede aprovecharse adaptando esta cnica a los poblemas de desizamento. En esta apicación sacaremos partido de la velocidad de deslizamiento Este concepto de velocidad relativa sustituye a a componente útil perpendicular al deslizaminto uando dos cuerpos están en contacto deslizante, los puntos de contacto tie nen velocidades distintas sobre cada cuerpo La velocidad de deslizamiento es la diferencia enre las velocidades e los dos puntos de contacto pero esta diferen cia es igual a la velocidad de un punto de contacto menos la del otro. Si los pun tos de contacto son A y B: VB - VA
y despe despeando ando la velocidad de
=
.
V dslizamento
B
VB
VA + - V za
En a Figua 3.45 una leva gra a a izquierda arededor de ee o A y mantiene contacto contnuo con e seguidor pano F. E segudor resbaa haca arriba y haia abajo sobre las guías jas e pde determinar la veocdad del seguidor F cuando la eva esté en la posición señalada (Este mecansmo es s mar al de la Figura 3.2.) El punto de contacto P sobre la eva C (Pª) tiene una velocidad perpendicu lar a AP e igual a w c X AP Esto se ha representado en e diagrama vectorial por la lnea OPª, trazada desde un origen conveniente O El punto correspondiente P sobre el seguidor ( tiene una velocidad paralela al deslizamiento vertica del seguidor por lo que las velocidades de os puntos de contacto son diferentes y"hay deslizamiento.
.l•
93
VELOCIDAD
_ s
o
·
Figura 3.45 - Polono
1/
.guías de F
voci pr v
La dirección de deslizamiento es tangente a la supercie de la leva en P, sobre la supercie plana del seuidor (vr lnea SS). En este caso, la expresión de veocidad reativa para os dos puntos de contacto (Pº y PF es: vi= V�+ V deszm1ento
La velocidad de deslizamiento etá sobre a tangente común SS que pasa por P Sobre el diagrama vectorial tenemos la vi señaada como OPº, trazada a escala. odemos sumar sumar a ést una lnea que pase por e paraela a S Ésta re resenta la dirección de VcI cuya magnitud aún no está determinada La suma de ests dos velocidades (¡ y Vai) es igua a v;, de acuerdo con a expresión anterior. Así e vector QPF debe ser el tercer ado del triángulo vectorial Como a veocidad de P sobre F es paralela a las guas seguidoras se traza este vector en esta dirección pasando pr O, hasta encontrar el vector Vd en PF (Este tri-· ánguo vectorial se ha representado también sobre e mecanismo para facilitar la expicación pero no es necesario para la soución.) La magnitud de la velocidad de F (V� es igual a la longitud del vector QP F La veocidad de deslizamiento
ANÁISIS Y PROYECTO DE LOS MCANISMOS
94
E
Figura 3.46. - Polígono de velocidades para e contacto desizante.
también· puede medirse a escala en el polígono, midiendo el vecor que es la velocidad relaiva de los dos punos P. Un segundo ejemplo de I mecanismo de conaco deslizane (similar al de la Figura 341) se muesra en la Figura 346. La manivela AB gira en senido conrario a las aguas de un relo con velocidad conocida alrededor del ee o A La corredera S esá ariculada a la manivela en B y desliza en la acanaladura en el brazo curvo N. Ese brazo acanalado gira alrededor del ee o Se pide hallar la velocdad angular del brazo N cuando es N en la posición señalada. Podemos calcular la velocidad del pasador B de la manivela AB, �B X AB . Como ese pasador une la manivela AB a la corredera la veloci dad de B sobre AB es igual a la velocidad de B sobre Ver el vecor OB raza do desde el origen O en dirección perpendicular a la manivela AB (paralela a la línea FF sobre el dibuo del mecanismo) Consideremos ahora la veocidad de un segundo puno B que esé direca mene unido al pasador B sobre la corredera pero que sea un puno del brazo a velocidad del pasaor B de relaiva al puno de coincidencia B de ¡ se le ama velocidad de deslizamieno Es igual a la diferencia de las velocidades de los dos punos B y es paralela a la línea cenal de la acanaladura EE. vi en la orma siguiene: Podemos volver a escribir Vdes1 v: v =vi+ Vdesi, ya que es lo que deseamos hallar hora siguiendo sa expresión en el diagrama vecorial podemos sumar a vecor Vj (vecor OB ) un vecor represenaivo de la velocidad de deslizamieno No sabemos la magniud de Vdes pero sí que es paralela a la línea EE, que s la drección del deslizamieno F
l
=
=
wAB
8,
=
8
-
VELOCIDAD
95
El lado de cirr d st triángulo vctorial srá v_, suma d Vcesi y Vf D nuvo no sabmos la magnitud d st vctor V¡, pro sí su dircción Como todos los puntos d N, la vlocidad d B sobr ' srá prpndicular a la lna d unión d B con l j jo d rotación, . E vctor rprsntativo d V s llamará OB sobr l triángulo vctorial y s trazará_ por O prpndicular a CB (o sa parall parall a TT) sobr l mcanis mcanismo mo Ést cortará cortará al vctor d VdI n l punto B stablcindo as la longitud d OB f{ y d B B (V1). Est vctor OB pud mdirs a scala para dtrminar la vlocidad dl punto B sor l brazo N. Para ncontrar la vlocidad angular pdida d N dividimos v; por la distancia CB N
N
8
N
N
N
N
PROBLEMAS
Muchos d stos problmas s han proyctado para rsolvrlos sin cálculos o por métodos gráco grácos s En todos los casos casos s rcminda rcminda y s más rápida y cor ta la solución gráca La prcisión dl trazado gráco como s stablció n l Captulo 1 dpnd d la prcisión dl dibujo linal d las mdidas y d una sabia lcción d las scalas d los vctors Si s usan los cálculos, la mayora d los triángulos s rsolvrán como triángulos rctángulos y aplicarmos l torma d itágoras * En muchos casos stos st os triángulos comprndn ángulos comuns o azons ntras nt ras d d los lo s lados como s v n la l a Figura 3 47 El studiant db tratar d rconocr y sacar vntaja d sta simplicación S dbrán simpr guiar los cálculos por trazados a mano alada qu indiqun las lacions
1� v · l5 2 1
1
3
8
5
Figura 3.47. - Razones de lados de riángulos ectángulos ectángulos coenes. coenes.
Si s hacn los problmas grácamnt s pudn dibujar los vctors sobr l mcanismo o usars l método dl polgono vctorial Ya Y a qu st último mé todo mpla un diagrama d vctors librs sparado dl mcanismo, s pudn utlizar scalas d vlocidad más grands lo qu contribuy a la xactitud d la solución El prosor pud dsignar la lcción dl método. * Este teorema teorema dice que el uada uadado do de hpoten hpotenusa usa de de un rángulo eánguo eánguo es igua a a uma de os uadrados de os otos dos lados.
96
ANÁSIS Y PROECTO DE LOS MECANISMOS
El autor sugiere que en las asgnaciones iniciales, donde lo mportante e aprender el método, más que el obtener soluciones precisas, es conveniente bosquejar los sistemas de ectores a mano alzada por completo, estableciendo la es cala tamaños relatios e inclinaciones de los ectores a oo. Las respuestas deter minadas mediante un boceto no son práctcamente álidas, pero puede conocerse a fondo el método muy ecientemente si se eliminan los ajustes según la escala y la manipulación de los instrumenos Se pued posponer la precisión del dibuo hasta que el estudiate sea capaz de intentar problemas más ambiciosos. Si se usan nstrumentos de dibujo precisos se puede elminar mucho tiempo de trazado reduciendo a las partes esencales el mecanismo, como se sugirió anteriormente en el texto Un detalle muy importante cuaquera que sea la técnica usada ara a so lución, tan mportante ·para el estudiante que hace el problema como para el pro fesor que lo corrge, es: una nomenclatura cuidadosa y concienzuda e los ecto res, componentes y centros nstantáneos 3.1 Un avión a reacción vuela sin pararse desde Nueva Yok a Madid, 528 km en 6 hoas 48 minutos ¿Cuál es la velocidad media de iaje? El iaje de uela no se hizo por la misma ruta intentando eitar el ma tiempo initiéndose 7 horas 6 mnutos Si la velocidad media en e iaje de uelta se estima en 720 m/h ¿Cuántos Km recorió? 3 El disco W, de 0 cm de diámetro, gira en el sentido de las aguas de un elo alrededo de un ee o O en su centro con velocidad constante (Figua P2) La velocidad del punto C es 20 cmmin ¿Cuál es la elocidad angula de la velocidad tangencial en la circunferencia del disco y la velocidad angula del lado plano AB? Se dan las dimensiones en el dibuo Da las velo cidades anuaes en radianessegundo A
F � _ B _3ü. � °
L_� L_�
w
D
Figura P3.2
Fura P3.3
33 La manivela DE de 5 cm de longitud ga en sentido contaio de las agujas de un eloj alededo de un eje jo D, a 0 rad/s El bloque F desliza libremente en las guías jas ¿Cul es la elocidad de F en la posición señalada en la Figua
VELOCIDAD
3.4.
97
Representar el vector para indcar el sentdo. En el sstema artculado represenado en la Fgura P3.4, A y E son ejes fjs DBC es una barra rígda. AB DB BC BF =FE 7,5 cm. S la velocdad de D en la poscón ndcada es de 100 cm/s, haca A, determnar la velocdad lneal de C y la velocdad angular de FE. =
=
=
Figura P3.4 35.
El sstema artculado de la gura P3.5 está acconado por la manvela OR que gra en sentdo contraro al de las agujas de un reloj arededor del eje fjo O a 7 rad/mn. El membro STL gra alrededor del eje fjo T. Se dan las dmensones en el dbujo Deermnar las velocdades angulares de ST y MP en la poscón ndcada
cm
Figura P3.5
gra en sentdo de las agujas de un reoj alrededor del ej� fjo D a 1 rad/s AD BD 25 cm BC 125 cm, y las nclnacones de AE y CE se mues tran en la Fgura P36 Determnar la velocdad lneal de E en la poscón se ñalada El dsco W gra en sendo de las agujas de un reloj a 10 rad/s alrededor de eje fj O Los puntos L P R y M están todos sobre un cerpo rígdo que está
36 AB
=
37
ENT E NT-- 7
=
=
('
ANÁISIS Y PROYECTO D LOS MANSMOS
98
E
,
L
B Figura P3.6
p
Í·� �
�-
•
45
°
'
M
w
igura 37
articulado a W en L y al bloque desizante en las guías jas en M. OL 3,25 cm, LM 16,25 cm, y las otras dimensiones y ánguos se dan en a Figura P3.7 ncontrar as velocidades lneaes de los untos P y R 8 n el sistema articuado que se ve n la Figura P3, el rao ABC gira en sentido d as agujas de un reo alrededor d ej o A a 0,5 rad/s AB 5 cm, BC 7,5 cm, CD= 7,5 cm, BE 5 cm, F es el unto medio de a arra DE, FG ,75 cm, AG 10,3 cm; G es un eje jo ncontrar a veociad lineal de F y la velocidad angular de GF 9 n la Figura P3, J y M son ejes os, RL s una arra continua, JK 5 cm, LM 7,5 cm, RK 5 cm, KP 7,5 cm, PL 2,5 cm Situar el centro ins tantáneo de rotación e RL ncontrar la velocidad lineal de los untos P y R (en la osicin mostrada) si f veocidad angular de JK s 1 rad/s =
=
C
=
1
99
VELOCIDAD
e
L
Figura P3.8
Fiur P3.9
En la Figura P3.0, ST gira alrededor del eje fo S. RT es perpendicular a T Y W. El bloque W desliza en las uías as perpendiculares a W con una velocidad de 7,5 cm/s, hacia abao, en la posición señalada. ST 2,5 cm TR = 5 cm, y W cm Localiar el centro instantáneo de rotación de W y encontrar la velocidad angular de RW. a) Cando ST gira en sentido de las aguas de u relo a 1 rad/s b) Cuando ST gira en sentido contrario de las aguas de u reloj a rad/s 311 El cuadrilátero articulado de la Figura P3 tiene ejes fjos en K y G HJ 12,5 cm, G 625 cm, y JK 7,5 cm Los ángulos se ven e el dibujo Si la velocidad angular de GH 4 rad/s, encontrar las velocidades angulares de KJ y HJ en la posición mostrada 12 Dos barras rígidas, ABC y CDE, está articuladas etre sí e C y articuladas a los boques desliantes e las guías jas en A, B y E como se ve e la igu-
3.10
=
=
=
=
=
H =- �
G
•<
R w
K
Vw
J Figura P3.10
Fiura P311
100
ANÁISIS Y PROECTO DE LOS MECANISMOS
E
,
p
e
Figa P3.3
Figura P3.12
ra P3.12. AB 13,65 cm, BC 3,75 cm, CD 6,25 cm, DE= 10 cm Los ángulos se dan en el dibujo En la osción señalada, la velocidad de A es igual a 5 cm/s ocalizar el centro instantáneo de rotación de la barra CD y determinar la velocidad del unto D. n la Figura P3.13 MR y ST son barras rígidas M es un ee fo, y el bloque S desliza en las guías as MQ 7,5 cm. Si MR QR SQ QT RP TP gra en sentdo contrario de las aguas de un relo a 1 /3 rad s, hallar la velo ciad relativa de R resecto a T y la velocidad relativa de P resecto de Q. El disco W de la Fgura P3.14 gira alrededor del centro o O. Si la velocidad relatva del unto A resecto de B 12,5 cm/s, hallar la velocidad angular de W y la velocidad de B a manivela OL gira en sentido de las aguas de un relo alrededor de un ee o O a 1 O rad mi LR es una barra rígida artculada a un bloque en R, e =
=
=
=
I
4 c :1
w
<1 �
8c
Figa P3.4
6 cm
c
1
1
L
l,o2c = ga P3.5
f
101
VELOCIDA
cual se desliza en una guía vertical fja. PK es una barra gida articulada a RL en M y a la manivela horizontal JK en K. K gira alrededor del eje fjo . OL 3,75 cm, LM 10 cm, MR 2,5 cm PM 5 cm MK 0 cm y KJ 7 cm En la Figura P3.15 se ven las otras dimensiones y los ángulos Determinar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de PK uando la manivela OL está en la posición vertical mostrada En la Figura P316, la manivela vertical AB gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fjo Á a rad/ s La biela BC está articulada a AB en B y desliza libremene a través de un agujero en el cilindro E. D es el eje fjo de E que gira libremente en los apoyos jos señalados AB = 7 cm y BC 17 8 cm as otras dimensiones se dan d an en el dibujo. Determinar la velocidad lineal del punto C y la velocidad angular de la biela BC. =
3.16
=
=
=
=
B
Figura P3.16
El tren de discos que se ve en la Figura P317 es un prototipo de un tren de engranajes Todos los discos están montados sobre ejes fjos Hay rodadura si deslizamiento entre A y B y entre C y E. y C están unidos, as ue giran con la misma velocidad os diámetros de los discos son los siguientes: A 225 cm, 7,5 cm, C 17,5 cm y E= 5 cm Si A es el conductor y E conducid B ¿cuál es l relación de wE a (llamada razón de velocida)? Si A gira 00 rpm a derechas, cuál es la velocidad angular angular y el sentido de E (dar a respuesta en rpm)? =
=
A
igua P37
En la gura P3.1 se ve un tr de scos epcodal. El disco W y el brazo A giran independientemente alrededor del eje O, situado en el centro del anillo
102
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MEANSMOS
E
Figura P3.19
Fgura P3.18
fjo R. El diámetro nterior de R es 20 cm, el dámetro de W es 1,5 cm y el diámetro de N es 3,75 cm. El dsco N rueda sn deslizar sobre W y R. Si W gira a 100 rpm, a derechas, determinar la velocidad angular en módulo y sentdo del brazo A (dar la respuesta en rpm) La excéntrca E, de 15 cm de diámetro con centro en O gira alrededor del eje jo A ,5 rad/ s, en sentido contraro al de las agujas de un reloj. El E l rodi llo R de 10 cm de diámetro gira libremente alrededor del pasador P en e bloque B eñalado de puntos en la Fgura P319 Se mantiene la rodaura pura entre E y R medante un muelle no representado. El bloque B desliza en la guía ja vertical de puntos) cuya lnea central pasa por A Determnar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de R cuando está en la posción señalada 3.20. La biela AB de 1125 cm de largo está articulada a los centros de dos dscos de diámetro 10 cm W y M, los cuales ruedan sn deslzar sobre una suerce F
-�
7,6 cm
Fgura P320
VE[CIDA
3.21
103
fja S. La barra EF (longtud 18,75 cm) está artculada a W en E. EG tene 156 cm de longitud La barra CG está artculada a M en C y a EF en G como se ve en a Fgura P32O i la veocdad angular de W es ,5 rad/s a zquerdas determnar a velocdad nea del pasador F. En la Fgura P321, M es un membro rígdo que gra lbremente arededor del eje jo O. La manvela AB (5 cm de longtud gra arededor del eje jo A a 5 radmn a zuerdas CD (9 m de ongtud gra alrededor del ee jo D Los mangutos que deslzan lbremente sobre M están artculados a AB y CD en B y C. Determnar las velocdades angulares de M y CD para a oscón ndcada.
E
5 \ � .
�'
A
Figura P3.21 322.
323
324
gua P22
La excéntrca E, de 1 cm de dámetro gra alrededor de un eje jo A a rads en sentdo contraro de as agujas de un reloj E está en contacto con a arma dura F en R y P, como se ve en a Fgura P322 F desza en os apoyos vert cales ue se ndcan Determnar a velocdad de F y a veocdad de deslza mento ente E y F en os puntos de contacto R y P La eva C gra en sentdo de las agujas de un reoj arededor de eje jo O a rads El segudor puntual deslza en unas guas vertcaes jas y se mantene en contacto con a eva medante un u n muelle no n o representado · Determnar a veocdad de en la poscón señalada en a Fgura P33 y a veocdad de eszamento entre F y C Los dscos W y X tenen rodadura pura W gra a radmn, a zquerdas, al rededor de eje jo O X gra arededor de eje jo R La barra acanaada M está artcuada a W en A. El boue W gra lbremente sobre el pasador P de X y deslza en la acanaladura en M Determnar la veocdad anguar de a barra M y la veocdad nea de punto pra la poscón señalada en la Fgu ra P324. S= 0
104
ANÁLSS Y PROYECTO DE LOS MCANISMOS
Figura P3.23
X
p 12,7 cm diá
w
T
Fgua P3.24 3.25
326
Fgura P3.25
En el mecanismo de balancín deizante, que se ve en la Figura P3.25, la manivela BC tiene 10 cm de longitud y gira alrededor del eje fo B a 1 rad/s E asador C lleva un bloque que desliza libremente en la acanaladura el balan cín RT = 2125 cm Las guías fjas de los bloques R y T son erendiculares a) Determinar las velocidade de R y T cuando BC esá en la sición señalada b) Determinar las velocidades de R y T cuando R está en la osición señalada ero BC está en la otra osición En la igura P26 se muesra un mecanismo de velidad varibe acionado por roamieno. El ee de entrada gira con velocidad constane de 1725 rm accionando el cono 1 La rueda intermedia enre los conos tiene rodadura ura
�·
-
VELOCIDAD
105
en todas las posiciones con ambos conos. Puede ajustarse a diferentes posiciones a lo largo de un eje mediante el tornillo y cabeza de control (La rueda intermedia gira libremente sobre un soporte que está roscado internamente e impo sibilitado de girar po·r una palanca no señalada en a Figura) El eje de saida gira con el cono 2 Determinar a velocidad del ee de salida cuando la rueda intermedia está en as posiciones A, B y C ue se ven en el diuo Estabecer la dirección de a rotación de salida relativa al eje de entrada
E
ü
r_ 0
Salida
Cabeza e control
Figura P3.26
·-
4 Aceleración
Para e proyectista de máquinas, a aceeración es una propiedad mu importante de movimiento. Una fórmua básica de la dinámica expresa que fuerza es igua a masa por aceeración (F ma). Aún cuando a Cineática no se ocupe de as fueras e estudio de a aceeración adquiere una importancia vita en e panteo de os probemas de Dnámica. L aceleración es la variación de la velocidad pr unidad de tiempo. La va riación de veocidad dividida por e tiempo necesario para hacer dicha variación es a aceeración. a disminución de de veocidad por unidad de tiempo se ama técnicamente deceleracón Es una aceeración negativa por o que no es necesario estabecer una distinción estricta entre os términos "aceeración "deceeración. Es más difíci de visuaizar predecir a aceeración que a veocidad Exige esa discpna menta estricta una conanza en e raonamento anaítico tan típicas de a fomación de ingeniero =
4.1 Aceleración lineal
(Símboo: a).
a variación de a veocidad inea por unidad de tempo se ama aceleración ineal Es una propiedad de movimiento de un punto de un cuerpo que tiene movimiento de trasación as unidades corrientes de a aceeración inea son centímetro por segundo por segundo o metro por segundo por segundo Como te agtud dirección es una cantidad vectoria; por o que se pueden utiiar remente os vectores para denir as aceeraciones evitar os cácuos dema siado argos 106
�
ACELRACIÓN
107
4.2. Aceleracón linea uniforme.
Si un punto se mueve sobre una trayectoria recta, de manera que su veloci dad vríe en la misma cantidad en sucesivos intervalos de tiempo iguales se dice que tiene aceleración uniforme o constate. Por ejemplo la caída libre de un cuer po tiene aceleracin onstante. La celeración es igual a la variación de velocidad ( V) dividida por el intervlo de tiempo durante el cual tiene lugar ese cam bio T):
Si designamos la velocidad al principio de ese intervalo como Vº y la velocidad al fnal del mismo V entonces AV Vf - Vº º = r AV v V y
-
a
=
AT
=
AT
Si abandonamos un cuerpo partiendo del reposo, adquirirá una velocidad de 4, 9 m/s l fnl del primer 1/2 s y una velocidad de 9, 8 m/s después del si guiente /2 s, etc la aceleración es iual - AV vr - V 9 , 8 4, 9 9 8 m/s 2 2 ' a AT AT 1/2 º
Cando la aceleración lineal es constante, podemos obener las ecuciones para la velocidad y desplazamiento que son muy útiles en el análisis de los me canismos. Puesto que a= (V1 Vº)/ 6T, podemos obtener la velocidad fnal (V1), que alcanzará cuando un punto con una velocidad inicial (Vº) se desplaza con una aceleración constante dada durante el tiempo 6T: V1 Vº + aT despendo 1 en la ecuación anterior) El desplaamiento de un punto durante un intervalo de tiemo 6T es igua la veocidad media multiplicada por el tiempo 6T -
=
S
=
vm 6T
a velocidad media, sin embro es igual a la suma de la velocidad al comienzo del intervalo (Vº) y la velocida al fnal del mismo (VI) dividida por dos º V + Vf = v
2
Si sustituimos V1
Vº + a 6T Vº + (V + a lT) v V o + a lT 2 2
º
Pero
m 6T as s
=
(v + a � TAr º
º
V
AT a( T)
Z
-
,
t 108
ANÁSIS Y PROYCTO DE LOS MCANSMOS
La velocidad nal también puede expresarse en función de la aceleración y e desplazamiento sin utilizar el factor de tiempo T: V' = V + a /T (de antes) (V (V ) 2V (a /T) (a l) (elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación S V + a(lT) (de antes 2 º
1 2
º 2
º
2
2
º
(2 a a))S (2 a a))V /T + (2 a a)) a a i lT)
2
º
=
(multiplicando por 2a)
2aS 2V a /T + (a lT) o s e a, Nótese que los dos últimos términos de la ecuación cuadrática anterior son igua a 2; i sustituimos estos dos últimos érminos de la ecuación por 2 º
2
(Vf)2 = Vº)2 + 2aS
4.3. Aceleración lineal variable
i la variación de velocidad de un punto en moimiento no es la misma en los sucesivos intervalos de iempo iguales, la aceleración es variable y endrá un valor diferente para cada instante. i un punto recorre una raectoria recta, partiendo del reposo de manera que su velocidad sea m/s al nal d s 5 m/s al nal del segundo inervalo de s y 30 m/s al nal del terce } s obseramos que tiene aceleración variable. En el primer interalo, la acleación media es m _ V _ V V O a 0 m/s /T /T � En el segundo intervalo la aceleración media es 0
1 0
º
1
i -
a z
m
_
-
V1 - V º _
/T
15 - 5 _ 0 0 m/s2 0
�
En el tercer intervalo m
a
3
-
3 1 0 m/s
-
2
1
Estas aceleraciones medias son, en ran manera, de interés estadístico a que la aceleración real varía continuamente a lo largo e cada intervalo. En el estu dio d un proyecto suele necesitarse la aceleración ral en un instante dado.
f
ACELERACIÓN
109
El método de estudio de las aceleraciones instantáneas sigue la misma puta, excepto que se usan muy pequeños intervalos de tiempo (iT) y la correspondien te ariación de velocidad (� V). Cuando estos pequeños incremntos de tiempo tiendan a cero obtenemos la aceleración instantánea. a=
!i (cuando iT tiende a ce)
En lenguaje de cálculo, esta denición pasa a ser a = dV/dT, la prmera de ada de la elocidad con respecto al tiempo. (Como V dS/dT la aceleración también se puede expresar en la forma a= d S/dT o sea, la deriada segunda del desplazamiento respecto del tiempo. Cuando un punto recorre una trayectoria recta, su elocidad está dirigida en todo momento a lo largo de esa trayectoria Los cambos en la elocidad, lo son en magnitud y posiblemente en sentido pero la inclinación permanece consante. Las diferencias de velocidad son por tanto, algebra algebraicas, icas, y no se necesitan usar los ectores Como todas las elocidades son de la misma inclinación, todas las ace leraciones estarán igualmente dirigidas sobre la trayectoria recta del moimiento. =
2
,
44. Aceleración lineal sobre trayectoras cuvas
Si un punto recorre una trayectoria cura, su velocidad cambia de dirección así como d magnitud El mio de elocidad AV es, por tanto, la diferencia vec torial entre la velocidad original (V y la na (V') para el principio y el nal del interalo de tiempo iT: º
ª
= LT =
1 - º
T
En la Figura 4 (a el punto A recorre la traectoria curva que se muestra Al principio del intervao de tiempo .iT, el punto está en y tiene una eocidad para ese instante V , dirigida a lo largo o tangente a la curva en Para el nal del interalo de tiempo LT el punto ha alcanzado la posición 1 y ha adquirido una velocidad incrementada V también tangente a la cua en El cambio de veoidad (iV) durante el tiempo �T es por tanto la diferencia vectoria (VI - V en e diagrama de vectores lbres de la Figura 4 (b Al hace esto se tiene en cuenta todo el cambio de magnitud, como el de dirección º
º
º
º
v
A
-o
o
=•
-
( o) o)
.
At
�
6V� -v
º
(b )
Figura 4. - Vcón de velodd de n pnto de n tyecto cv ,
110
NALISIS Y PROYECTO DE OS MECNISMOS
La dirección de la aceleración lineal será en todos los casos la misma que la dirección en la cual vara la velocidad, o sea, la del vector ! V. Un cuerpo en movimiento de traslación puede cosiderarse que tiene acele ración lineal Como las velocidades de todos los puntos del cuerpo son igales para cualquier instante dado, las variaciones de velocidad de esos puntos serán iuales para cualquier intervalo dado. La aceleración lineal del cuerpo en con junto será, por tanto, iual a la de uno cualquiera de sus puntos
45 Aceleración angular
(Símbolo: [alfa]).
La variación de velocidad anular por unidad de tiempo se llama aceleracón angula Es una propiedad del movimiento de cuerpos o lneas y no puede apli carse a puntos, puesto que su movimiento angular no tiene sincado Las uni dades corrientes de aceleración anular son radianes por seundo por seundo 4.6 Aceleración angular uniforme
Si un cuerpo ira de tal manera que su velocidad anula vare la misma can tidad en iuales intervalos de tiempo se dice qe su aceleración anular es constante o unifom. Lo mismo que con la aceleración lineal, la variación de veloci dad anular (w) que tiene lugar en un intervalo de tiempo dado dividido por dicho intervalo de tiempo es ial a la acleración anular (): ! -AT Si desinamos la velocidad anlar al principio del intervalo por w º y la del na por (-
Esta ecuación dará una expresión para la velocidad anular nal () ote nida por una lnea que tiene una velocidad anular oriinal de w 0 y que ira du rante un tiempo !T, con una aceleración anular constante r =
+
(despejando / en la ecuación anterior)
El desplazamiento anlar (0) de una lnea durante cualquier intervalo d tiempo !T es iual a la velocidad anlar media durante ese intervalo, multipli cada por el tiempo !T 0
=
wm X !T
-
-
�
ACELERACIÓN
1
Esta velocidad angular media es igua a a suma de as eocidades inicia y na, diididas por dos. m
ú
º 1 = + -2
f =º+ T: º+ (º+ JT) w = =º+ JT
y sustituyendo
2
Ya que 0
=
2
m X T,
La eocidad anguar na puede expresarse en unción de a aceeración y despazamiento anguares eiminando e actor tiempo Como «/ º + lT, eleando a cuadrado ambos miembos (1)2 =(º )2+ 2º JT+ ( JT
2
0 º JT+ JT de antes 2 2
y mutipicando por 2
20 =2 JT JT+ + T 0
2
En a ecuación de 2 sustituimos por os dos útimos términos y ,
) + 20 f =( 2
2
Nótese que estas ecuaciones son simiares a as de a aceleración inea uniome de artícuo 42 excepto que se ha sustituido a po V por y S por e. 4.7 Aceleración angular variable
Si as ariaciones de eocidad anguar de una ínea en rotación en intera os de tiempo sucesios iguaes no ueran iguaes a aceeración anguar sea ariabe y tendría un aor dierente para cada instante En un interao de tiem po dado tT á aceeración anguar media ser igua a cambio de a eocidad anguar durante ese interao diidido por e tiempo T:
Este aor medio no ser a aceeración correcta a o argo de todo e inte ao ya que a aceeración cambiar continuamente
ANSIS Y PROYECTO DE LOS MECANMOS
• 12
Com antes, nos acercamos al valor verdadero de la aceleración instantánea usando un intervalo de tiempo /T muy pequeño y la variación correspon diente, /w. Cuando este incremento de tiempo tiende a O obtenemos el valo instantneo de la aceleración angular = IT ! (cuando /T tiende a ceo) En e lenguaje del clculo esta denición pasa a ser: dT la derivada primera de la velocidad angular con respecto al tiempo o ya que w = d0/dT
la derivada segunda del desplazamiento angula respecto del tiempo. Como estamos limitando nuestro estudio al movimiento en un pano uco o en planos planos paralelos paralelos los los cambios de las velocidades velocidades angular angulares es sólo afectan a la magnitud y posiblemente al sentido por lo qu las diferncias de velocidad son algebraicas y no vectoriales.* 4.8. Aceleraciones en cuepos en taslación.
Los cuerpos en traslación se mueven sin girar Hemos observado que las ve locidades de todos los puntos en cuerpos en traslación son iguales artículo 31 para cualquier instante dado Si estas velocidades cambian de un instante al s guiente, todas deben cambiar en la misma medida o no podran mantener la igual dad en todo momento. ,�
-
/ -,�e .
'
I
{
,"
/
/
- --� ._
1
I
\
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I
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I
I
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I
I
\
_
.
/
Figura 4.2. - Acelecones sobe n cepo en tscó L vodd d t tomt y o t o do o j d ot o o o, o tmo t to át . *
ACELRACIÓN
13
Ya u la aclracón s gual a la varac10n d vlocdad por unidad de tmpo y todos los puntos dl curpo tnn la misma varación d vlocdad por undad d timpo; s dduc u todos los puntos sobre un cuero con movimiento de traslaión, tienen aceleraiones iguales en un instante dado cualquiera La dirccón d stas aclracons srá la msma _qu la drccón -dl movminto, o sa, drigdas sgún las trayctoras d los puntos parallas), como s v n la Figura 4.2. 4.9 Aceleraciones lineales en cuepos que gan a velocidad constante
Consdrmos prmro l caso d un curpo n rotacón pura con elocidad angular constante. Cualur punto sobr tal curpo tndrá una vlocdad gual a la vlocdad angular multplcada por su dstanca al j d rotacón (V= w·r) prpncular a la lína radal d unón d punto y l j Como w y r prmancn constants tambén prmancrá constant n magntud su vlocdad lnal, pro cambará n nclnacón cuando l curpo gra. Así, pus, habrá una varacón d vlocdad y por tanto, aclracón. El dsco W, n la Fgura .3 (a) gra n l sntdo d las agujas d un lo con vlocdad anular constant w alrddor dl j jo O u pasa por su cn tro. Un punto cualura d W, tal como l A, stuado a la dstanca d O, tn una vlocdad lnal V ·r prpndcular a OA Supongamos u, n un puño ntrvalo d tmpo !D la lína OA gra un ánglo puño M} cuan do s muv d a ' a u !T s un ntrvalo d tpo muy puño, podmos consdrar u l aclracón s unform n l ntrvalo sn ntroduc un rror aprcabl. A
º
e
(b}
w
p� (e}
(a}
Variaciones iones de velocidad velocidad de un cuerpo qe gia a eocidad eocidad cntae en mag Figura 4.3. - Variac
14
ANÁLSIS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS
Esta diferencia vectoria se muestra en e diagrama . ectores ibres de la Figura 43 (b) Ya que VI se dibuja perpendicuarmente a OA1 y V es perpe dicuar a OA , e ánguo entre V' y V será igua a ánguo entre CA y CA que es e ánguo 0 Hemos demostrado (en e artícuo 23) que a ongitud de arco (P) subtendida por un ánguo (0) es igua a radio de arco (r) mutipicado por e ánguo en radianes: (P r0). uando e ánguo es muy pequeño como en a igura 43 (c) e arco subtendido y su cuerda (C) son prácticamente iguaes por o que a cuerda será esencia esenciamente mente igua a radio mutip mutipicado icado por e ánguo expresado en radianes (= r0) n a igura 43 (b) es igua a V por o que V puede considerarse a cuerda de círcuo de radio V subtendida por un ánguo de 0 omo 0 es muy pequeño podemos stabecer que V= V 0 cuando 0 tiende a cero Entonces a aceeración de A será ªA dT = dT Si sustituimos 0/!T: º
º
º
º
=
º
=
A
=
y sustituyendo
VA
w a, (cw)Zr*
como 0 estaba en radianes en a ecuación !V= V0; de a ecuación ante rior debe estar en radianes por unidad de tiempo. La dirección de esta aceeración será a misma que a de V uando ua ndo ee ánguo 0 tienda a cero e ánguo V y V tenderá a 9 en cuyo caso V sería paraea a OA y estaría drigido hacia e eje O omo y son constan es a magnitud de permanecerá constane cuando e cuerpo gire En concusión la aceleración de un punto cualquiera de un cuerpo que gira
°
con velocidad constante es igual al cuadrado de la elocidad angular del cuer po (en radianes por unidad de tiempo) multiplicada por la distancia del punto al eje de rotacón
(dirigida hacia e ee de rotación) omo esta aceeración es norma (perpendicuar) a a trayectoria de punto en todo momento y por tanto radia con respecto a eje se e ama aceeración normal o radial a o a sta aceeración es debida sóo a cambio de incina a= ür
z
R
* Esta ecua ecuació ción n puede puede adopa adoparr ora form forma: a:
A i uiumo w =- en la ecuación A VA· . vece ea forma e má conveniene r
ACELRACIÓN
15
ción de la velocidad, puesto que la magnitud permanece constante cuando el cuerpo tiene velocidad angular uniforme. 4.10. Aceleraciones lineales en uerpos que giran con velocidad angular variable
Cuando varía la velocidad angular angular de un cuerpo la velocidad lineal de un punto sobre el cuerpo variará en magnitud y en dirección Consideremos la aceleración debida al cambio en magnitud de la velocidad separadamente e ignorando por el momento el cambio de dirección En la Figura 44 (a), el disco W gira alrededor del eje jo O con velocidad angular variable En la posición A º , el punto A tiene una veocidad Vº como se indica tras gira W un pequeño ángulo 60, el punto A se mueve sobre un arco hasta A1 y tiene una velocidad VI (mayor ue Vº). Como esamos ignorando los cambios de dirección de la velocidad, a trayectoria circular A ºA' puede con siderarse recta como se ve en la Figura 44 (b) La aceleración de A debida al cambio sólo en la magnitud de la veloidad debe ser: A =
!�
usando la ecuación para movimieno rectilíneo de artículo 43) AV= V
-
Vº
diferencia algebraica)
Como la velocidad angular varía, w º de la línea OA º diferirá de w' de la OA stiuyendo
Aº vº t ' I
v1
/'1t H
1/ I¡ V
w
(al
(b)
Figura 4.4 - Cmbos de velocdd debdos ceecón l
ANÁSS Y PROVECTO D LOS MECANISMOS
116
pro
variación ón de ) w1 - wº = w variaci
r tanto
r w
a= T
w/T T y como w/ a rt
Esta aceleración será constante, sólo si lo es la aceleración angular e caso contrario sera un valor instantáneo correspondiente tan sólo a la posició Aº . La dirección de esta aceleración es la isma que la de �V, la cual (como sólo estaos considerando variaciones de atud es tangente a la trayectori (perpendicular a OA) y se le llama lógicamente aceleaión tangencial (a ). El punto A también tiene una aceleración debida al cambio de inclinación de V . En el artículo 4.9 vimos ya �sta aceleraión normal a 2r. Coo est ecuación no comprende la aceleración anular es permisible considerar por se parado la aceleración debida a los cambios de diección de la velocidad y l debida a los cambios de magnitud a no es constante en este caso Coo cambia continuamente, la acelerción noral es un valor instantá neo y el término utiliza la w de la línea OA . La aceleación esultante de A es la resultante de dos coponentes: a , dirigida hacia O y a perpendcular a OA Esta aceleración resultante se puede encontrar gráfcaente (Figura 45 coo la suma de dos vectores, y coo a y a son perpendicuares, podeos calcularla ediante el torea de Pitágoras Puesto que N + 7 2 T
N
,
=
N
N
T
N
T
=
2 + r2
El ánulo entre la aceleración resultante A y la línea raial OA se deter ina por el cociente entre a y a o sea /w ue es (siplifcando T
2
N
w
Figura 4.5 - Resultante de as aceeraiones nrma y tangeia.
2
17
ACELERACIÓN
En trigometía, la �· ánguo es gual a /w y puede ecotae e abla. S pede sñala aquí, que como paa caquer nsant cr o en c jo te a msma vocda agular y l msm acelraó gulr e á e a poscó dad a glo s el mm para ds los pos de e quiera s e ls e a Figu 46. 2
Figura 4.6 - Inclinac Inclinacón ón de as aceerac aceeracones ones con las líneas adales.
Ejemplo 1
En la posición señld, l paanc codda de la Figua 4.7, gir lredeor del eje fjo A con u_ velocidd ngulr de 2 rd/min y una aceleración ngular de 3 rad/min bas en sentido de las agujas de un eloj AB 5 cm 75 cm y AD 10 cm Se iden las aceleraciones lineles de los pun AC tos B, C y D. La componente normal de la acelerción de B es igul w : 2
=
,
=
2
x 5 0 cmmin2, (hcia A) La componente tngencil de la ceeración de B es igual a N
= 3 5 = 15 cm/min (perpendiculr AB, en el mismo sentdo que ) L celerción resultnte de B es· l sum vectorial de y y y que el ángulo entre ellos es 9 er el digrm pequeño de la Figur 47) T
N
T
º
* En términos términos trigon trigonométr ométricos, icos, la tangente tangente _de un ángulo agudo de un riángulo rectángulo es gual al cateto opuesto dvddo po el cateto adyacente del ánguo.
18
NALISIS Y PROECTO DE OS MECNSMOS
8 15
20�
� e
Figura Figu ra 4.7 - Acele Acelecó cón n de pnt pntos os de n ceo e otcn
aB -(a') + ( a a) -20+ = = 25 cm/min E ángulo , que formn a y A tiene un tngente igu w ¾· En e triánguo rectánguo de dos 3 4 y 5 uniddes es e ánguo opuesto do de 3 uniddes. náogmente a 4 X 75 30 a 3 X 7 5 225 a y3 225 375 cm/mi E ánguo que formn y AC es igu ánguo que formn y AB. a 4 X 1 a 3 X 10 30 aD \0 + 3 50 cmmn E mismo ánguo o formn a y AD. 2
2
=
2
B
2
=
=
=
=
=
=
=
=
a0
=
aB
=
=
=
=
=
D
4.11. Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido.
La aceleración relativa de un punto de un cuerpo rígdo especto a oto del mismo cuerpo, es muy útil para el análisis de la aceleración de cuepos e movimiento compuesto. El cuepo rígido impone estcciones a las aceleacones lo msmo que a las velocidades.
ACELERACIÓN
19
La Figra 4.8 muestra dos puntos, A, B, del msmo cuerpo rígido. Cons deremos primero el movimento relativo de B respecto de A. Podemos vsuali zarlo magnándonos en A y observando el movmiento de B. Desde ese punto ventajoso el movmento que observamos será el movmento relatvo de de B res pecto de A
Figura 4.8. - Aceler Aceleracione acioness cuepo ígdo.
etvs
en
un
El concepto de cuerpo rígdo garant�a ue, cualquera que sea el mov mento del cuerpo B nunca se acercará o alejará de A Entonces, el único mo vimiento relatvo que B puede tener respecto de A es que se mueva sobre una trayectora circular (de radio AB) alrededor de A Con relación a A la línea AB está pues en rotacón alrededor de A. a aceleración relatva de B respecto de A, debe ser entonces la aceleración de un punto del cuerpo en rotación pua alrededor de un eje fjo que pas por A ya que cuando estamos en A desde nuestro punto de vsta, A no se mueve. Ya hemos estudiado las aceleracones de los puntos de los cueros que tie nen roación pura y hemos encontrado que tales puntos tienen dos componentes d la aceleracón: una componente normal w2r (dirgda haca el eje) y una tan gencial (perpendicular a la línea de unón con el eje En estos térmnos, y son la velocdad angular y la aceleración angulr de la línea de unón del punto con el eje de rotación rotación.. Como el movmiento relativo de B respecto de A es el de un punto que ra alreddor de A podemos establecer que la aceleracón relativa de B res ecto de A tiene ds componentes semejantes: la aceleracón aceleracón elativa normal de B respecto de A N a B !A
=
(cAB)2 x (haca A)
y la aceleracón relat relativa iva tangencal de B respecto de A T a BA
=
AB x perpendcular a AB)
.
120
ANÁISIS Y PROYECTO DE OS MEANISMOS
Para un instante inst ante dado, dado, un cuerpo rígido sólo puede tener un vaor de w y . Estos valores son los mismos idependientemente de qué punto hayamos seleccionado como eje de referencia. Por tanto los valores absolutos de w y son los mismos valores que empleamos en la aceleración relativa La aceleración total relativa de B respecto de A es la suma vectorial de estas dos componentes y B no puede tener ota aceleración relativa respecto de A. Nótese que, en este estudio no hemos especicado la clase de movimiento que tenía el cuerpo así los resultados obtenidos son ciertos cualquiera que sea la clase de movimieno Si el cuerpo tiene movimiento de traslación no gira y w y son ero. Porr lo tanto r O y a O y no hay aceleración relativa de un punto del Po cuerpo respecto de otros Esto verica lo dicho en el artculo 4.3 de ·que todos 2
=
los puntos de un cuerpo con movimiento de tasación tienen aceleaciones guales. Cualquier aceleración relativa de un punto punto respecto de otro sólo es debido
a la rotación del cuerpo Si el cuerpo tiene movimiento de rotación, o movimiento compueso para obtener la aceleración relativa de un punto respecto de otro se s e utilizarán 1os va lores absolutos de y . Como en el caso de las velocidades si se conocen las aceleraciones abso lutas de dos puntos de un cuerpo la aceleración relativa de uno respecto de otro es la diferencia de sus aceleraciones absolutas En la Figura 4.9 se conocen las aceleraciones de los puntos E y F (E y F) y se pide a aceleración relativa de F respecto de E Esta diferencia vectorial se forma de la misma manera que con las veloci dades, añadiendo el opuest de E al F dado. J es la resultante de esta ope ración Hemos señalado antes que esta aceleración relativa se debe a la rotación del cuerpo Ello proporciona un medio de calcular la w y la del cuerpo Sa bemos que la aceleración relativa de F respecto E es la resultante de dos com-
aceleración ón eatva es gua Figura 4.9 - La aceleraci a a dfeeca de as aceleacoes absouas. absouas .
•
ACELRACIÓN
121
ponentes: r, sobe FE, y r pependicula a FE. Descompongamos F;E n os componentes sobe FE y sobe su pependicula como se ve en la Figua 4.10 a'1E = O2
x
así
y
N W2 = aFIE F
w=/ as
T
( = aF F
Figura 4.1 O. - Comp Component onentes es ormal y agen agen cial de l aceleraió eaiva.
4.12 Aceler�ciones en cuerpos en movimiento compuesto
n el análiss de la velocdad hemos usado el concepto de velocidade_s velocidade_ s elativas sobe n cuepo gdo como heamienta básca Indicábamos que en la diección que une dos puntos de un cuepo no haba velocidad elatva. sto fue la base paa sostene que las componentes útiles ean guales a lo lago de la lnea ente dos puntos (Si no hay velocidad elativa entonces las veloc dades deben se iguales) n el análisis de la aceleacón empleamos de igual manea el concepto de aceleacón elatva de un cuepo gdo La única dfeencia es que excepto en un cuepo en taslacón las aceleaciones elativas son un poco más com plejas. Hemos obsevado en la Fgua 49 anteio que la aceleación elativa de F especto de es gual a la difeencia ente sus aceleaciones absolutas aF/ = O p
-
-a
S despejamos en esta ecuación O OF + - Q
sta ecuación popocona un medio de detemna la aceleación de F cuando se conoce la aceleación de oto punto y puede halase la acelea ción elatva de F especto de E.
122
ANLISIS Y PROYECTO DE OS MCANISMOS
Por ejemplo, en la Figura 4.11 pueden verse dos puntos C y D, sobre un cuerp M. Se conocen la velocidad y aceleración angulares de M y la aceleración lineal absoluta de D Se pide la acleración de C. Siguiendo la ecuación anterior de la aceleración relativa:
=
¡
+ -
La aceleración relativa de C respecto de se compone de dos partes �/
=
X
C
Y
f
=
M x
C
omo se ve, están calculadas y trazadas desde . El sentido de la compo nente está de acuerdo con e sentido de 'ªM (sentido contrario de las aguas de un reloj con respecto a A). Después determinamos la resultante de estas dos componentes la cual es 0ID como se ve. Nuestra órmula establece que debemos sumar la aceleración de a esta 0ID para obtener 0• Est se muestra en la Figura 4.11 en la que se ha añadido v al na de 0v y se ha dibujado la resultante 0. a magnitud y dirección de este vector son correctas puesto que son deteminadas por sus compoentes v y v.
Figura 4.1 - Aceler Aceleración ación de un pnto pnto en n cuero en movmiento compuesto.
4.13. Componentes úles de la aceleración.
Apliquemos este métod e la aceleración elaiva a un mcanismo. El sis tema articulado de manivela y corredera de la Figura 4.12 es un caso típico. a manivela AB gira en sentido contrario de las agujas de un reo areded del eje jo con w y dadas Halemos la aceleración de C AB está en rtación pura, por lo que n tiene dos componentes
ACELERACIÓN
Figura nvel.
123
- Acele Acelecó có de de botó de m
4.12.
Su resultante es, como se ve ª · BC tiene movimiento compuesto por lo que utilizaremos la ecuación de la aceleración relativa para : B
0
=
/B + -;
Podemos predecir que a está dirigida según la línea central de las guas. Como V siempre está sobre esta lnea central cualquier cambio de velocidad tendrá la misma dirección De nuevo la aceleración relativa de respecto de B tiene dos componentes: 0
O
c/B = (cn) 2 X CB + > 08 X CB
Se da la longitud de CB, y podemos encontrar WOB, pero 0B no se obtiene fáilmnte por lo que intntaremos otro método fáilmnte En la Figura 413 se muestra el vector resultante R suma de dos compo nentes J y K. Hallemos las componentes útiles de J, K y R según una lnea cual quiera, tal como la SS. Trazando perpendiculares a SS determinamos OM J
P =
K
OP =
Observamos: OP OM +- MP
o sea
=
+- K
Entonces en cualquier dirección dada la componente útil de un vector re sultante es igal a la suma de las componentes útiles de sus vectores compo nentes
-
R J I� ¡ --
/1
s - -(_� s
o
Fgura
4.3.
C.UJ� c uK__P UR-
Sm de compoe compoetes tes útes útes
124
ANÁLISIS Y PROECTO D LOS MECANSMOS
Aplicando esto a la ecuación de la aceleración relativa ( ; + � ), deduciéndose que en cualquier dirección: . =. B + �.B En el problema de la Figura 4.12 como conocemos la dirección de , sóo necesitamos una componente útil de la aceleración de C para determinar la mag de . (Una perpendicular desde esta .. a la línea central de las guas denirá a). Encontremos una componente útil de la aceleración de C según BC. Según C . . . B + -. La . ; según C es igual a ( X C porque la componente siendo perpendicular a C no tiene efecto según C. Encontramos locali zando I como se ve en la Figura 4.14. omo I tine la misma que C (ambas líneas son del mismo cuerpo 0
c
=
a
c
0
0
0
B
c
e
a
a
2
a
a
VB
Pero ya que V
AB x
I
=
(BC
AB, (BC
AB
(B
I Después elevamos al cuadrado esta y la multiplicamos por C y te nemos la . ; según C representada en la Figura 4.4. Necesitamos luego la . según C la cual se obtiene con facilidad en B. Esta .. se representa añadida a .. ; en la Figura 4.14. Estas dos compo nentes útiles forman juntas la .. según C
a
a
a0
C .¡ -
· <
/
--
A
e
Figura 4.14. Acelecones sob n mnve oede.
125
ACELERACIÓN
Una perpendiculr a esta e.u. a po d, coa a la líea cental de las gía m f, defnien C coo aceleció absoluta de C. Las coponntes útiles de l celeacón pueden, tnto utlzas para )btene aceeacioe esutates d l isa aera qu epábos l co oents útiles de la veocidad para obeer velocdades slates. ad copoete útil d celeació según un ne d un e ds punts de n cuep do st opuesa d dos ptes: 0
a coponent coponent de acleracón acleracón elativa elativa de pier puno puno respecto respecto de gun (Eo s dee a la rotcn del uerp, hiendo que e per uno se eva e tono a seguno y pr tato e ua opene ü 2 La conete conete de de la acla aclacón cón el el seguo. seguo. (Dbida (Dbida a la tascón tascón de cuepo y or tanto la isa paa abos punt 14 Determinación de las direcciones de las aceleaciones lineaes.
uado o está dfda la deci u aceeció por guas ects plos dos nente úiles o so qu hco on la vlcidades En el ista atculao de la Figura 4.5 la anvea coductoa OM, gia setido e las gujs de u eloj lededo de je fjo O n una elocidd gulr co tat tat w L s un eje fjo y l baa MKP n co rígido ple pide las aceleacioes K P. Peo hallaos a acelerció e M. Ls punos sb un urp en otcón t coo e OM tien dos copents de la aceleación: ú y ar. n ete aso s ego OM iee una cstne y por tanto e igua a O 2
Figura 4.15 - Aceleco Acelecones nes sobe sobe cd láteo ldo.
126
ANSIS Y PROECTO D LOS MCANSMOS
La acleración resultante de M es igual a a�= (w0M) X OM y está dirigi hacia O. Segundo consideremos la aceleración de K Podemos encontrar una com ponente útil de la aceleración de K según MK: . K=. K + (todas en la dirección M) 2
M
.. K;
(ya que , componente de ; no tiene efecto sobre MK por ser pependicular a M. La velocidad angular de MK puede calcularse localizando I como en el artículo 413 o si I es inaccesible puede determinarse V ; y W V ; M Ello eig un estudio aparte de la velocidad el cual se mues tra separadamente en la Figura 416 La . total según MK se ve en la Fi gura 415 siendo la suma de . ; y ª· M
=
( ) x
2
K
x M
x
MK
x M
x
=
x M
K
x M
Figura be.
4.16
- Velocddes etvs sobe l l
Como no se conoce la dirección de en este problema debemos encon trar otra K para determinar por completo Podemos hallar otra . en la dirección KL. Aplicando la ecuación segú� KL: . ;+ - Aqu ( (de nuevo la componente de ; no tiene ) x efectos según ) / (La Figura 41 muestra V ) , O en este caso ya que L es un eje o y no tiene aceleración La com ponente útil tota de seún KL es simplemente: ! ( ) x (como se e en la l a Fgura 41) x
x
x
=
IL
=
2
x
L
L
=
x
¡
x
=
2
ACELRACIÓN
127
Ahora tenemos dos componentes útiles de aK, una según MK y otra segn KL. Las perpendiculares desde los extremos de estos vectores se cortarán para determinar la resultante aK en magnitud y dirección, según se ilustra en la Fi gura 4.15 Encontremos aora la aceleración de P. Nuestra ecuación básica establece: ap
apM OMP
=
apM + - aM (wMP)2 x MP MP O ¡,¡,
=
x
MP
(lo cual ya se eterminó)
Podeos determinar aora 'ªMP puesto que ya conocemos las aceleraciones resultantes de dos puntos y K, señaladas en la Figura 4.17. La aceleración relativa de K respecto de M es igual a a diferencia de sus aceleraciones ab solutas En la Figura 4.17 podemos ver esta difrencia vectorial dando aK/M· Como K se mueve en una trayectoria relativa circular respecto de M la aceleración re lativa de K respecto de M tiene dos componentes na componente normal (>) y una tangencial () o más especícamente aK!M
(OMx2
X
MK + - MK
X
MK
Sólo nos interesa la componente tangencial producida por ªMK Ésta es una componente útil de a ; perpendicular a K, según se ve en la Figura 4.17 Como esta componente es igal a ªMK X K MK es igual a esta componente dividda por MK •
Como
MK
es igual a apM
MP
ªMK
_ -
aK M MK
podemos escribir
(wMP2
x
MP
MP
x
MP
Esto se muestra en la Figura 4.17 Si sumamos a a a ; tenemos a ya que según se ha visto Esta suma vectorial que nos da a se ve en la Figura 417 La ecuación de la aceleración relativa puede adaptarse para determinar las aceleraciones lineas de cualquier punto de un cuerpo en movimiento copuesto El procedimento descrito en el ejemplo anterior es típico. Las compoentes útiles pueden usarse para obtener aceleraciones absolutas de dos puntos del cuerpo luego puede allarse la aceleración angular y aplicar la ecuación a las aceleraciones resultantes para estudiar otros_ puntos
128
ANISIS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS
Op/M
Figura 4.17 -Aceleaciones sobre una ea.
4.15 Aceleraciones por el método del polígono vectoal.
En e estudio de a veocidad, e método de poígono vectoria se ha propuesto como una aternaiva a a técnica de a componente úti. Puede utiizarse n sistema simiar de anáisis en e estudo de as aceeraciones que proporciona las mismas ventajas de economía de iempo e trazado y una mayor exactitud en as souciones grácas. La utiización de poígonos de vectores ibres aparte de dibujo de mecanismo permite e uso de escaas más grandes de vector ace leración y trazados menos compcados mejorando ambos a exactitud de as souciones En e caso de anáiss de aceeraciones e concepto de aceeración reativa es e principio que sirve de guía para as técncas de a componene úti y de poígono con o que se tiene una transición más simpe de un método a otro La simpicación de trabao gráco y e sr un método de ataque más directo induce a autr a recomendar e sistema de poígono sobre a técnica de a componente úti especiaente para as aceeraciones de os cuerpos en movimento movime nto compuesto. E ector puede hacer su propi propiaa eección 416 Construccón de un polígono polígono de de aceleraciones
Como se han presentado as propiedades fundamentaes de a aceeración y de a aceeración reativa de os puntos de un cuerpo rígido podemos expicar meor e método de poígono apcando esta técnica paso a paso a un probema típico En a Figura 418 se muestra un cadriátero articuado Los puntos A y D son ejes os cn e acopador BC aargado por hasta e punto F y un
• ACELRAIÓN
129 129
A
uadiláte ilátero ro atculado atculado con la Figura 4.18 - uad bela poongada.
puntal en saiente que nos eva a punto E con o que BCFE es un cuerpo ígdo. Suongamos que AB tiene ua aceeación anguar (a) e 0,4 adianes/2 en snido conrario de as agujs de un eo y" una veocidad angua (w) de 0,6 adaness en senido de as aas de reo cuando se encuentra en a osicón
130
ANLSIS Y PROECTO DE LOS MCANSMOS
Polígono vectoria
Mecanismo •equematizado
Figura 4.19 - Poígon Poígono o de aceleaciones aceleaciones.. Etapa 1
2. Aceleración de C El pasador C es un punt de la biela BC y de la manivela CD. Se puede encntrar su aceleación bservand el mvimient relativ de ls punts B yD. Una aceeración relativa es la diferencia vectrial de ds ace leracines abslutas. Pr ejempl, la aceleración relativa de C respect a B, es igual a la aceleracón absluta de C mens (vectrialmente) la absluta de B, l cual puede expresarse en la rma simbólica:
m ests buscand a, se puede cambiar el rden_ rden _ de esta ecua ción ª
=
a / / + - ªº
Ls pasadres C y B están en el mism cuerp rígid pr l que el · nic mvimient reativ del pasadr C que puede tener respect de B será que recrra una trayectria circular de radi BC alrededr de B. Si se imaginara e lectr situad en B, bservand el mvmient de la biela BC pdría ver a BC girand alrededr de él cm centr de rúión cm si B uera un punt j. Tds ls puns de la biela recrrerían arcs de círcul alrededr de su psición respect de B (Fi ga 420) Si se supne j un punt de un curp rígid el nic m vimient relatv que puede tener el cuerp respect del eje j es una rtación pura. Así, si BC gira alrededr de B la aceleración relativa de C respect de B será la de un punt de un cuerp en rtación reativa pura respect de un eje j. Respect de B tendrá C pues, una cmp nente !rmal de la aceleración igual a w r y una tangencial or, dnde w 2
13
ACELRACIÓN
-
--
"
"
Figura 4.20 - Movimiento relatvo de la bea especto de
'
\
\
B.
es la velocidad angular de BC (en la posición dada), es la longitud de BC y · s aceleración angular. En forma simbólica: !B
=
1 1
X
C
+
X
C
El vector [w� a X BC] será paralelo a BC con sentido desde C ha cia B. El vector [B X BC] será perpendiclar a BC) Siguiendo la ecuación anterior Puesto que ya hemos trazado el vector B debemos sumar los dos vectores de a01s al diagrama vectorial para calcular su magnitud. Para calcular la componente normal wB X BC, debemos determinar w cuando está en la posición dada. Puede encontrarse a partir de las velo cidades de los pntos B y C como sigue VB
AB
AB
Situemos el centro instantáneo / de BC como se ve en la Figura 4.2 Por tanto sobre el cuerpo rígido IBC todas las líneas tienen la misma ve locidad angular:
BC
- V B B
-
1B
IB -
AB
IB
sí pes, podemos medr AB e B y calcular wB Después eleva mos al cuadrado y mltiplicaos por BC y tenemos el valor de la com ponente normal de ;B Este vector se trazará desde el punto sobre
132
ANISIS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS o
\ �
I� /
/ /
/
"
8
\
/
�- \
"C
\ \
si
/
'
-J
l punto est esta ínea
V obre
A
olgon gono o de Fgu 4.22 ol
entro ro instantáneo instantáneo de la bela. Figura 4.21 - ent
aceleacones tapa
el polígono, paralelo a BC con sentido C hacia B sobre el trazado del mecanismo. (Ver línea El en la Figura 4.22) La componente tangecial de ;B o sea B X BC no puede clcularse tan fácilmente ya que no podemos tener fácilmente B · Sin em bargo sabemos que es perpendicular a BC, así ues podemos dibujar una línea en esta dirección que pase por el punto 1 Solamente sabemos que el punto C que designa el extremo del vector aceleración del pador C deberá estar en algún lugar de esta línea (ver Figura 422). Par determnar completamente la aceleracón del pasador pasado r C podemos consderar su aceleracón relativa respecto de otro punto tal como e D. omo C y D están sobre la manivela CD se deduce que: c
c
ªe= ªCID+ -aD
a aceleración d D es nula (es un punt jo) por lo que solamente necesitamos traar ;D desde el origen O. Ésta como la de todos los puntos de cuerpos en rotación pura tiene dos componentes Oc;o (wio X ) + - aco X CD) c
=
i
i
(11 a CD)
(_
a
)
a velocdad angular de la manivela CD puede encontrarse hallan do V0, uando el centro stantáneo / de BC, de la mera siguente V 8 V
=
=
n x A B W vi X B
=
·
W Á Á A B X B
13
ACELERACJóN
Entonces, sabemos que: OcD
_ V _ CD - 0,n e
X
AB
IC
CD X /B
Puede calcularse este valor, elevarlo al cuadrado, y multiplicarlo por para obtener la componente normal. Se puede trazar la magnitud de ste vector a escla desde O sobre el polígono vectorial, para lelo a CD, y con sentido de C haca D sobre el dibujo del mecanismo. (Ver línea 02 en la Figura 4.23) on éste debemos sumar la otra componente de c/ que es en X . De nuevo aquí no odemos obtener fácilmente c ero po demos predecir que la dirección de este vector es perpendicular a C. Si trazamos una línea con esta incinación por el punto 2 podemos pre decir que el punto C que designa el extremo del vector acleración resul tante del pasador C debe estar en algún lugar de esta perpendicular Ahora tenemos dos líneas que contienen el punto C la componente de c;B (que pasa por el punto 1 y la componente de c ; (que pasa por el punto 2. La intersección de estas líneas es el punto pedido C y puede dibujarse el vector OC determinando así la aceeracón absoluta del pasador C. Por convenio, este vector se dirige desde O hacia C sbre el polígon (Figura 423. "
"
1
o
92
\ \ \ 1
/
/
/
/
/
/
/
/
e
Figura 4.23. - Aceleración de C. Etapa 3
3. Aceleració agular de La componente tangencial de la aceleracin relativa de C respecto de D (línea C está ahora deerminada anto en longiud como en drecc
134
ANÁLISIS Y PROYECTO D LOS MCANISMOS
y puede medirse paa la escala agnada. Ya que e vecto OC es a suma de los vectoes 02 y C, 02 se diige haca 2 y 2C se dirige haca C Est componente 2C es igual a X CD, po lo que cn podá halarse dvdiendo e vao medio de 2C por CD. Puede determinase el sentdo de ªen observando e sentido del vector 2C con respecto a CD sore e mecanismo En este caso en tene sentdo antihoaro 4 Aceleración anguar de cuerpo BCFE Paa un nstante dado cualquiera todas as íneas de un cuerpo rígdo tenen a msma veocidad angular y a misma aceleracón anguar. Por tanto BC BF y BE tendán todas a misma aceeación anguar Deter minemos a contnuación esta B · ya que seá út para haar a aceera cón de los puntos F y E Se puede deternar rápdamente a acelera cón angua de BC a patr de tazado prevo de a Fgura 43 n este poígono a ínea C s a componente tangenca de a;B, a cua e :�1 " w f°" ' BC. Podemos dvdr a ongtud medda de :
N CIÓ IÓN LRA RAC ACE CEL
135
1
30 -v 1
\ \ \ \
\ \
1
/
/
\ \ \ \
e
Figura 4.24 -Aceleración de F. Etapa 4.
El valor ya determinado de ª en el apartado 4, es igual a por o que podemos multiplicar este vaor por BF para obtner la componente tangencial relatva de F resecto de B. Ahor se suma esto a la componente normal (w X BF) trazad anteriormente. sta component debe ser perpendcular a BF y del mismo sentido de la componen te X BC (acia abajo desde 3 y paralea a C). El punto F caerá sobre el extremo de este vector (línea 3F) y la aceleración absoluta de F será gual al vector OF, dirigido de O hacia F. n
F
6
Aceleraión de E
Hallamos la aceeración de observando su aceleración relativa respec to de B. en la ue ya se conoce y
aEI
=
(w�
x
B)
+ -
(cE
B)
t
1/ a B hacia B )
(1
a
B)
136
ANÁISIS Y PROYECTO D. LOS MCANSMOS
Pero como E, B y C están todos sobre el mismo cuerpo rígido, dicho cerpo sólo tiene una y una en esta posición, por lo que W y · Ya emos calculdo estas w y . Por tanto, es fácil calclar la magnitud de la componente normal ( X EB) y la compo nente tangencil ( X EB) de la aceleración relativa de E respecto de B. Ya emos eterminado la aceeración de B de la línea OB, por lo que trazamos sobre el polígono, desde B la componente w (aceleración B
=
E
B
EB
EB
2
!�
/
;
/
/
/
" "
E " �
F
-
/ !/
B 1
O,AD
B
1 -/ ,'
\ r-v 4 1
\' \
1
\
I 1
'
' ',
' \\ , \ , 1 \ \ \ \ \ , 1 , e \
\
·
<2
/
,
F
Figura 4.25 (a)
-celeración de tapa 5
'
ACELERACIÓN
137
normal relativa de E respecto de B) paralela a EB y dirgida desde E hacia B sobre el mecanismo. (Ver línea B4 en la Figura 425 [a]) A ésta, sumamos ahora la componente (aceleración tangencial relativa de E respecto de B), perpendicular a EB (y a B4) y dirigida hacia abajo, de acuerdo con las otras componentes de las aceleraciones relativas res pecto de B. (Ver línea 4E) Se a llamado al extremo de este vector E y la línea OE es el vector de la aceleración del pasador E, con sentido de O hacia E. En el proceso de este estudio el polígono vectorial ha ido crecendo en la serie de etapas sucesivas. En la práctica para la investigación com pleta sólo se necesita trazar desde luego, un slo polígno añadiendo cada nuvo vector al sistema ya ya trazado. Esta técnica de economía de trabajo da por resultado un diagrama compacto, que ilustra grácamente los va· lores relativos 4.17
Lectura de las aceleraciones relativas.
El punto O del polgono vectorial también puede llamarse A o D ya· que éstos son puntos os del mecanismo (El punto O puede considerarse como un vector aceleración de longtud nula) El vector BO (o el BA) es la aceleración absoluta de B o la aceleración relativa de B respecto de A que no tiene movi miento. De la misa manera, podemos leer otras aceleraciones relativas directa mente desde· desde· el polígono vectorial ya trazado. Por ejemplo el vector CF repre senta la aceleración relativa del pasador C respecto del pasador F dirigida de F hacia C en el polígono vectorial. Análogamente el vector E es la aceleració relativa del pasador F respecto del E (dirgida hacia F. Estos vectores se han representado a trazos en la Figura 425 (a) 418
Utilización del vector imagen
Si comparamos la geométrica del triángulo BEF de la biela con el triángulo vectoria BE veremos que estos dos triángulos son semeantes (El triángulo vec torial está girado hacia la derecha un ángulo que es aproximadamente de 107 ) También veremos que el punto C ca sobre la línea BF en cada triángulo (ver Fi gura 425 b]). Esta relación es debida al hecho de que las aceleraciones relativas de los puntos de un msmo cuerpo rígido (ú> + � ) varían con las distancias entre ellos y por tanto todas dichas aceleraciones forman el mismo ángulo con su línea de unón en el mecanismo. Esto revela una forma rápida de encontrar las ace leraciones de otros puntos de la biela una vez que se hayan determinado las ace eraciones de dos puntos cualesquiera de dicho cuerpo Primero, localizamos los °
138
ANISIS Y PROVECTO DE LOS MECANSMOS
O,AD ' '
/
Figura 4.25 (b). - Vecto men de ls ele cone de l e
nuevos puntos sobre el vector imagen e las poscones que corresponden a llos trazados sobre el mecansmo; después dbujaos los vectores peddos estos puntos al orgen y fnalmente, medmos la magntud a escala. Este es normalmente más corto que el proceso de la l a aceleracón relatva relat va ya q1 mna todos los cálculos. 4.19. Acelerac Aceleraciones iones sobe cuerpos en rodaura rodaura
Cuando dos cuerpos están está n undos undo s por un pasador pasad or la l a acelercón aceler cón defne la aceleracón aceleracón de un punto de cada cuerpo Determ Determnando nando la ace de cada pasador sucesvamete podemos hacer un análss del sstema do compleo. S e movmento se trnsmte de un membro a otro por otros medí centrareos nuestra atencón en las aceleracones de los puntos de conta de r procedendo de un membro a otro
ACELERACIÓN
139
Consideremos las aceleraciones de los cuerpos en rodadura pura. El disco D (Figura 4.26) gira alrededor del eje fjo A con una velocidad angular dada w y una aceleración angular , ambas en sentido de las agujas de un reloj en la posición señalada D conduce al disco F, el cual gira alrededor del eje fjo B con rodadura pura en el punto P. Se piden la aceleración angular de F y la aceleración lneal del punto P sobre el cuerpo D Como D gira alrededor de un eje fjo D
D
a wt
x
AP +
-
n
x
AP
Como se conocen w y AP pueden calcularse estas componentes y trazar su esultante (a), como se ve en la Figura 426. D
D
� Y
w5xAP
@- ,-_ 1
A
1
la 0
D
F
1 p
Aceler leracio aciones nes en Figura 4.26. - Ace odadua pua.
Pasemos ahora al puto de contacto del cuerpo F ( ) Sabemos que V�= vi en todo momento Si cambia esta velocidad el cambio de la magnitud de la velocidad durante cualquier intervalo de tiempo debe ser igual para ambos cuerpos: F
=
VJ = Vi
Las componentes de la aceleracin de ambos puntos P deben permanecer siempre las mismas en esta dirección tangente y e consecuencia perpendicular a B: sobre D
=
VD _V a sobre F
.T .
Por anto son iguales estas compoetes tagecales de la aceleracón de los dos puntos P Como F tiene movimiento de rotación pura cualquier puto de F tiene dos componentes de la aceleración una normal hacia B, igual a r, y otra tangencial perpendicular a B igal a r. La aceleración resultante de P sobre F es la suma d estas dos 2
a� w}
x
BP
F
x
BP
140
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MCANISMOS
La componente tangencial de la aceeración de
te
P
sobre
F
es a compoe
r:
�= x
BP
p
y despejando F
aT
BP El sentido es contrario al de as agujas de un reoj, de acuerdo con e vec tor � referido al disco F. Nótese que en e caso de clindros que uedan como os D y F: =
AP .=-
o sea,
radio de D
radio de F Así, a igua que las veocidades anguares, las aceeraciones anguares d dos ciindros en rodadura son inversamente proporcionaes a sus radios. a aceeración linea de C (como a de todos los l os puntos de F) tiene dos componentes: W X BC + /X BC D
BP
->
e
A partir del anáisis de a velocidad (artículo (artículo 3 26) D radio de wF _ w radio de de Despejando W1,<
Wp WD
AP BP
Pueden calcuarse ahora as dos componentes de 0 y denir a resutante a como se ve en a gura 426 En la gra 427 puede verse otro ejempo que contiene rodadura pura E dsco W reda sin desizar sobre a supercie ja S. Se dan la velocidad anguar y la aceeración anglar de W en la posición que se indica Ambas en sentido de las agjas de un relo Se pden as aceleraciones angulares de cento A y del punto de contacto B en Consideremos primero e movimiento de W. E disco gira alrededor de A mentras se trasada, por lo qe W tiene movimiento compuesto Además se conoce a trayectora de A que e una lnea reca horizontal paraela a S. Sabe mos por e estdio de la veocdad que B en W es el centro instantáneo de rota ción del dsco W Esto signica que B tiene velocidad nula pero no que tenga aceleracón nula Como ndica el nombre, todos los centros instantáneos son lo ,
,
X
ACELERACIÓN·· ACELERACIÓN
141
A B axA ax <-lw2 X B
t
B
(o)
= axB
w
y-� ?
Se nu ¡ o
6=w� x s
Figr .27 ceec ceecnes nes sbe n cd cd qe ed
calizaciones de un centro de rotación, bien que sólo para un instante o una posicón del cuepo. Un instante más tarde el centro tiene una posición diferene. Independienemente de la posición que ocupe no hará más que cambiar dicha posición o adquirir una velocidad. Este inminente cambio de la velcidad demuestra que el centro instantáneo iene aceleración En este caso podemos predecir qe B sobe W sólo puede tener aceleración en direccón vertical dirigida hacia A. Ambos puntos B sobre W y S tienen ve locidades iguales sobre la supecie S porque no hay deslizamiento. Como B 8 tiene velocidad nula w también la tiene. La supercie S impone una restricción completa a n w en cualquier dirección excepto verticalmente y acia arriba Por tanto cuando gira W cuaquer velocidad que adquiera w debe estar irigida se gún esta dirección vertical La aceleración la produce un cambio de la velocidad de w desde O al valor real con lo que se deduce que la aceleración de w en la posición de contacto solamente puede dirigirse hacia A. La ecuación de la aceleración relativa dice ue: aA = A/B + - al
142
ANISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
y como a,/B
r¡
=
X
AB + !w
X
AB
de aquí se deduce ue a,
=
r¡
X
AB + !w
X
AB + aB
La componente r¡ AB está dirigida haca B mienras que sabemos qu la resultante A es horizontal. Como se sabe que la componente AB es ho zonta, a únca coonente ue puede anuar la coponente w? v AB es a • Po consguente deb tene una coonente aca A, gual a w¡t AB. Heos vsto anteorente ue n es vetca, sin comonente orizontal sobre a suerfce S. Esto ueba ue: a r¡ x diigida hacia A [Figura 4.27 {a)] S sustituimos este valor en la ecuación de A 1
B
=
X AB + (+r¡ X AB) a componente r¡ AB de A!B está diigida hacia abajo hacia B mien tras que r¡ AB a está drgida hacia arriba hacia A por lo que la com ponente de a1 1 tendrá signo menos en la ecuación anteror* stas dos compo nentes se anularán quedando AB paralela a S haca la derecha (Fi gua 42 [b Se puede compobar ahoa B ya que B B; + a,
=
(-r¡
=
X
AB) + !w
=
=
·
=
r
X
AB +
-! X
AB) + ( +!w
"
X
AB)
De acuerdo con la componente AB de B/A está dirigida hacia J izquierda y po lo anteror negatva mientras que a es positia. stas se an larán quedando B AB (Figura 4.2 c). n la Figura 48 puede verse un ten de discos epiccloidal l brazo y el disco D giran ndependientemente alrededor de un eje jo O n disco impulsado por el pasador M de A rueda sin deslzar sobre D y el anillo jo < Se conocen la velocdad y aceleación angulares de A ambas en sentido contr ro de las agujas de un reloj Se pde la aceleración angular de D l pasador el cuerpo que gra A, tiene una componente tangencial de la aceleracón (a y na componente normal ( uesto que aqu buscamos D nos interesan pr cipalmente las componentes 'tangenciales que son las que dependen de a' !, x O Figura 4.28)
=
=
.
143
ACELERACIÓN
D
celeraciones ciones sobe sobe .cid .cidros ros Figura 4.28 - celera epcicloaes que rueda
Esta aceleración tangencial de M sobre A también es igual a la aceleración tangencial de M sobe B. El punto J (centro instantáneo de rotación) del disco B, no tiene aceleración tangencal respecto del anillo fjo C, como hemos visto en l ejemplo anterior (af O. =
ro como a
O ;
T T T ( _ QM/1 _ aM - l¡ I I B-
N
-
aT M
�B I
componente tangencial de la aceleración de La componente La
P
es igual a:
�= B x IP mostrada en la Figura 428) Esta aceleración tangencal de P es la misma para ambos cuerpos puesto puest o que no ay deslzamiento en P.
pero
O, por tanto
_
T
a¡0
aTp
D - O
-
B
y
D
aT 0
O
a aceleración 4.20 Elec Elección ción de métodos para el estudio de lla
El método de las aceleraciones acele raciones relativas, realizado unas veces por las com ponentes útiles y otras por los polígonos vectoriales vectoriales es tan analtico como grá-
ACELERACIÓN
145
rac1on de velocidad) por tT, la denición puede expresase como el lmite del ciente de V a T cuando T tiende a cero V es la diferencia entre la veidad al nal del ntevalo de tiempo y la velocidad inicial: ÁV
V - V0 Así, para deteminar la aceleración media en el ntervalo T debemos en ontrar este V y dividirlo por tT en el que se produce la variación de veloc ad En los ejemplos que siguen podremos ve aplicaciones de este método. =
Ejemplo 1
m u Fu 429 mv AB u u A v / S � ñ C
A
Figura 4.29. - Manive Manivela la y corred corredea. ea.
Dm m VO u uñ v m !T. mñ !T v mm u má ám u zm u AB, u u · úAB· L mu u m u u AB á á mm u v z v u uz 6T. (m v Fu 43 u z u áu / á m u u m u u O m m P /2 /2 á u u u /2 m mm Má u u !T u u u v u zm u P ÁT = ÁO (
LENT · 10
146
ANISIS Y PROECTO DE LOS MECANISMOS
-Trazado do de 1 / O Figura 4.30 -Traza
de radián.
La aceleración obtenida por este método es una media para el e de tiempo utiizado Para obtener resutados precisos de a aceeración e posiión dada, consideremos esta posición en a mitad de as posicion cial y fnal del sistema articulado para e principio y e na de tiempo �T. La posición inicial de AB será entonces AB 1/20 radián a derechas dde posición dada AB que se muestra en a Figura 429 La posició na AB será /20 de radián en sentido contrario d las la s agujas de un relo desde a sición dada AB. La Figura 431 muestra estos desplazamientos de la maniYe 0,
8I t
/ / / / / / /
.B
�- = =t t
V
.
,
V º
t
V -V 1
Dferencas de ve locdad en manve edera. Figra 4.31.
147
ACELERACIÓN
Para determinar �V , trazamos primero el sistema articuado en a po sición AB0C0 y halamos la veocidad de C por os métodos usuales; utiizan do el centro instantáneo 1 e
0:
(sustituyendo V = OA x
AB)
Después trazamos el sistema articulado en a posición AB1C con A des pazado / de radián a partir de AB0 C0) y determinamos V et· I1C v OA X AB X ¡B La diferencia de veocidad �V V - V Nótese que esto es nor malmente una diferencia vectorial pero en este caso donde ambas velocidades tienen a misma incinación también es correcta una diferencia agebraica. a aceeración de C en la posición dada de a Figura 429 será: 1
e
a
e
=
v
e
v e
=
=
e
Co·
V e x OAB = v e X l = V x 10 e
T 0AWA 0A r El senido de ª es e mismo que e de vector �V puesto que �V se obtiene restando V de · Nótese qu este método sóo impica deniciones y aprovecamiento de análisis de a velocidad No se empean técnicas especiaes de aceeración. e
C
e
e
e
4.22. Aceleraciones que comprenden deslizamiento sobre guías móviles
Las complicaciones que normalmente acompañan los análisis de los mecanismos con deslizamiento (Corolis) no se encuentan cuando se utiliza el método de la diferenca de veoidades según se ilusta en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2
a manivea AB gira en sentido contrario de as agujas de un reoj alrede dor del eje jo A con una veocidad constante de radianes por segundo. B está articulado a un manguito que desliza libremente sobre e brazo CD. El brazo CD oscia arededor de ee jo D Halar la aceeración angular de CD cuando e mecanismo está en a posi ción de a igura 432. omo en e ejempo anterior
-
--
148
ANLISIS Y PROYECTO D LOS MCAISMOS
e
A
Figura
4.32
- Mnvel y coede con con be poond.
Seleccionando un !0AB 1/ 10 radián, dibujamos primero e mecanismo en a posición B 0C 0D en la que B está despazado 20 radián a derechas desde a posción dada. Eso se ve e a Figura 433 eterminamos ahora V0 en esa posción por e méodo norma del vector veocidad espués, tracemos e mecanismo en a posición B 1C ¡D ¡D en a que B está despazado 10 radián rad ián desde B , en senido conrario de as aguas de un reoj, y haemos V01 en esa posición (Figura 433). V0 y V0 dieren en este caso en magniu e inclinación, por lo que V debe obtenerse mediante una dierencia vecoria: VO = V0 - � V0 , como se ve en e diagrama vecoria de a Figu ra 4.34 Como ese VO es pequeño la escala para este diagrama deberá ser mucho mayor que a uiizada para e análisis de la veocidad. Como ourre en todas las soluciones grácas ese méodo pide precisión de dibujo de alta caidad si se quieren comparar favorablemente os resultados con os métodos anaíticos La aceeración de C en a osición dada de a Figura 432 será: V c x ( x V c x 0 La incinacón y senido de a son os mismos que os de vector diferen cia VO en a Figura 43. La aceeración angula de C D es, por dención =
0
_AWcv �CD - N
Cuando e mecanismo esá en a posición inicia B C D se ha deermi nado . Pueso que por denición ·w a veocidad angular de D en esa posición, será V CoD _ - CD 0
0
0
ACELERACIÓN
¡Radián
I
I
I
149
I I
/
/
' / 1 /
r /
/
/
/
Estudio io Figura 4.33. - Estud
posioes.
•
de la velocid velocidad ad en dos
Análogamente, podemos derminar la velocidad angular de el mecanismo esé en la posición nal B¡D la cual ser: Wc'D
=
C1D
cuando
Ve¡ C
La variación de wan dane e iempo !T (miemras B gira 110 de radián) es la diferencia de las velocidades anglares
F 434 La difereca difereca vecoria idca a
variacó de vecdad
150
ANISIS Y PROYECTO D LOS MCANSMOS
Esta dierencia es algebraica pueso que odas las velocdades angulares están en el mismo plano. La aceleración angular de para la posición dada señalada en la Fgu ra 432, será pues CD
r
_
CD -
fO c cDD cDD _ W c
-
X
0AB 0AB
cDD OAs O c
�
10 _ fr
X
0 0 0
El senido de D es conrario al de las agujas de un relo el mismo qu de w (w es levógira aquí pueso que es mayor que W y ambs son dexrógiras). En cada uno de los eemplos aneriores el miembro conducor gra con elocidad angular consa _ consa _ ne ne Esa condción es normal pueso que muchos me canismos esán impulsados por moores de velocidad cnsane Hay excepco nes en disposiivos acconados por la gravedad ec. en los que la manivela con ducora iene aceleración angular c
D
cr
0
Ejemplo 3
La manivela AB gira alrededor del eje o A con aceleración angular cons tnte de JO radianes derecas. En la osición señalada en la Figura .35 la velocdad angular de B es de rad/s a derechas Se pide la aceleración del puno en la posición dada Como anes ,V M w ya que no s consane para pero no se puede expresar T como T odas las posiciones de AB. Sin embargo como se conoce A podemos exresar T en función de y • Por denición: 2,
E
¡
Enonces E
Figura 4.35 - Cd Cdláte láteo o cdo. cdo.
=
15
ACELRACIÓN
Tomando como tiempo en el que B se desplaza 0 de radián, di bujamos en primer lugar el mecanismo en la posición B D con B gi rando /2 de radián en sentido contrario de las aguas de un relo desde a posición dada (ver Figura 4.36) ebemos encontrar ahora WABo• la que de bido a 'ª B B es algo menor que W en la posición dada señalda en la Figu ra 43 0
Figura 4.36. 4.36. - Estdo de l veocdd en dos poscoes
0
0
Para hacer esto, podemos aplicar la fórmula conocida de la aceleración constante (del artículo 46 } � + que aqu dice as: =
= A
A
2
=radián
d donde = - = X X = w = - = 49 2
A
2
2
152
ANLSI� Y PROECTO DE OS MECANSMOS
Utilizando este vaor de WAno determnamos ahora usuales: E E V,= VB X J0 AB, X A X ]
VEo
por los métodos
=
Después dbemos hallar V81, para lo cua dujaremos el mecansmo en a poscón A C1DE en la que A está desplazado 1/2 radán a derechas de la poscón dada A Se ha señaado anteriormente ue con un desplazamiento de A de 12 radán a varacón de w. era de 1 rads (5 - 49 1) Como es constante podemos predecr que gi�ando desde A a A1 a va racón de An tamién será de 1 rad po segundo Por tanto e vaor de n f será =
5 utilzando este valor de VE,
=
WB!•
+
1
5 radiáns
haamos
1 E O J JA n x AB x r r
Figura 36
¡
1
hora VE VE V n e diagraa de la Fgura 37 se muestra medante una escala grande e dagrama de vector diferencia en magnitud nclinación y sentdo
A OB B o 1 a partr partr de de os valores valores otendos otendo s anteriorme anteriormente nte -
Por tanto sta aE tene la msma nclnación y sentido que e vector VE de a Fi gura 37
Figura 4.37 - Dfenc vcto vctol l veloc des
ACELRACIÓN
153
Aunque los mecaismos qu aquí se han tilizdo son btnt simple, st méto n nunca ás copj qu ás d l vlocdd dl qu pnd. Para a xact son senial tzads pcs y las scalas gand n dagramas ctoas cmo or n toos os étodos gáos En o as que a dfrenca d vloiddes es eeña est mtodo ee batant prcso. Tine una precsó aonabl uando a deenca d vocads a mportante ( dcr cando as acelracoes ean su cntemnt gandes). Debio a que as dnicnes utlzadas y a q el anáisis de a vodad sn d gan nciez ent a la técncas spales y cocadas d estd a e racón s sa q ondemo el méodo d la difeca d vlocidades omo hramient muy aloa* 4.23. Aceleración de Coiis
E médo d la dnc velocdad ofrce una expsi claa d as acons báa nt a vlida y aceacón as qu ha dsizamient sobr gía móvie. C sa todccón odmos sgur ahoa un anáss más goso q es más clcdo n icpo pe que tene a ntaja d dar ciones má xacas. t Empamo con e mecansmo snio de a Fiua 4.38 Un dsco circu ar M gira con na velocdad agula cosat w aldedor d e o n s ro O. S ha eco una analadr rec di n a c dsc E acanadra hay u bloq q ez ralmn haa f Cnd dos nos oncdns A y B dtanca d O. E punt A á l d c M, iamn dbajo puto B, u tá ob bou sz pd u dermnemo la acraón absot d B. La e elo loi ida dadd de A e M) es igal a V w es enda a A a aclacón d A igl a did dialmete hacia O A =
=
2
* Refer Referencia encia:: JoHN A ONES ONES,, "A ob ho hopp Approach to Mechanis Mechanism m Analysis, Machine Dsign, febrero 1954. i el estudiante ha dominado el método de la diferencia de velocidades tiene a su disposición una herramienta con la que determinar las aceleraciones los mecanismos en los que haya contactos deslizantes en guías móviles. ste método es general y puede aplicarse a todos los mecanismos Por esta razón, el uso de la aceleración de Coriolis no es asolutamente esencial para resolver los problemas especiales descrits anteriormente s atractivo educacionalmente y proporciona un gado de precisión necesario en ciertos casos pero puede omitirse si el tiempo es limitado Aun cuando es necesario para el estudio de las aceleracio nes instantáneas cuando los mecanismos están en una posición daa, en la práctica, se pide normalmente hacer un estudio amplio del mecanismo a lo largo de un ciclo móvil completo er coetentes en esto, es nuestro objetivo práctko undamental.
154
ANLSIS Y PROYECTO DE LOS MANSMOS
A en M B en el boqe
M
Figura 4.38 - Dsc Dsco o
con
boqe
deszte. deszte.
2. Ahora, Ahora, sup suponi oniend endo o qu quee B (sobre el boque) se mueve radiamente hacia afuera en la acanaladura con veocidad relatva respecto de A de VB/A, VA + �. V/ /A, A, siguiendo el princpo de la velocdad la absoua VB reava =
M
Acelecoes
Veocddes
Figura 439 Aceecón ncompe de boqe
B.
155
ACELERACIÓN
3. Si esta V1_4 no es constante, entonces B tiene una aceeración reativa respecto de A y a absouta 1 A + �n;A (Figura 4.39). En un principio podra pensarse que ésta es una expresión correcta y competa para la aceeración absouta de B. =
Esto sin embargo, no es cierto, porque esta ecuación aa a no tener en cuenta otros dos cambios que tienen ugar en a eocidad de punto B: primero e cambio de dirección de VB/A debido a a rotación de disco M, y segundo, e cambio camb io en magnitud de a a eocidad tangencia de B (V) debido a a ariación de su distancia a O. (V = wr, y aumenta.) La ecuación competa para a aceerción absouta a1 debe contener téminos que expreen estas dos ariaciones de eocidad. Consideremos primeramente tan sóo e primer cambio. giar M, a di rección de V1 ¡.{ cambia con a ínea que gira OA a a posición OA' (er Fig ra 440 [a]) . Puesto Pu esto que B en este caso, no se muee radiamen radiamente te sobre OA os putos A y B son os mismos y también coinciden os A y B. En un pequeño incremento de tempo fT, este cambio de dirección será t0 y a trayectoria S desde A a A' será igua r0. Para ánguos pequeos, puede considerarse este arco r0 igua a a cuerda AA En este mismo interao de tiempo /T e ec tor 1¡{ también girará un ánguo 0 E cambio de nA debido a esta rotación está representado en a diferencia ectoria de a Figura 440 (b por e ector
2 / / /
/ -VBA
M
3
(b)
(a) Figur 4.0. - Vc Vcón ón de l velod boqe dedo l tn.
156
ANLISIS Y PROYECTO D LOS MCANSMO MCANSMOS S
V. El trángulo OAA' de la Fgura 440 (a) es semejante al a l tráng trángulo ulo vecto ral 123 (los lados correspondentes son paralelos), por lo que se deduce que: V r vB/
-
de donde donde.. ¡A MJ La aceeracón de B debda a este cambio de dreccón será _V_ VB! B - T; pero 10 =w =
AT
sí pues an V¡AW debdo al prmer cambo La dreccón de esta aceeracón es perpendcular a OA (paralela a ) ) o sea, tangente y compatble con el sentdo de Consderemos ahora el segundo cambo solamente Como B se mueve haca afuera radalmente desde O el rado OB aumenta aum enta a OB y como la n¡ tangenca amentará (Fgra 44) En un pequeño ncremento de tem po T el rado OB varará una cantdad gual a ! y la varacón de será La aceleracón de B debda a esta varacón de será
Ar . (T
AS
galmente T
v) =
Esta aceleracón tambén es perpendcular a OA o sea, tangente y compa tble con el sentdo de B'
M
6V = Vs• - Vs
Figura 441 4 41 - Vcón de l velocdd velocdd de n bloqe debdo deslzmento.
ACELERACIÓN
157
Como estos dos términos adicionales de la aceleración relativa de B respec to de A son iguales y en la misma dirección, se pued�n reunir en un sólo término: 2V1Aw. A este témno se le llama aceeación de Coriois, en honor a su descu bridor Este veco es siempe pependicula a V 1 diigido como si hubiea gi1 ,
ado aededo de su oigen un ánguo de 90 que w.
°
con V1;A en a misma diección
Este término de Coriolis 2V¡W 2V¡W debe añadirse a la ecuación incomplea del número 3 anterior para dar la aceleración absoluta de B: ª1 =ª+ - ªB/A + - 2VBO
En esta ecuacón B es un punto del bloque deslizante A es un punto del disco M, coincidente con B. El término a ; se refere a la aceleración relativ de B, respecto del punto A en la dirección radial sobre la acanaladura (Podra describirse como "la aceleración de B cuando el disco M está quieto) El tér mino de Coriolis 2V J;W es perpendicular a la acanaladura y es debido a la ve locidad angular de M y al cambio de posción del bloque en la anacaladura Se muestra· en la Figra 442 un diagrama del sistema de vectores qe determinan la aceleración absolta de B el polígono vectorial) El tamaño relativo de los vectores es arbitrario)
M
Figura
4.42
- cele celeón ón to del bqe bqe B
En el ejemplo anterior, el disco M gira con una velocidad angular constan e i M iea aién aceeacin angar Fia 43 segirán siendo váli das las mimas consideraciones, excepto que el primer término A) tendra com ponentes de la aceleración, tangencial y normal y la aceleración de A sera + - o sea (r 2
158
ANÁLISIS Y PROYECTO D LOS MCANSMOS
_,
M
r_
Figura
4.43
- Dsco con celecón celecón n. n.
Los otros otros términos de la- ecuacón permanecerán invariables invariables por lo que la ecuación corecta para estas condiciones sería: = +�+ 81
2V8 Los dos ejemplos anterores se aplican a puntos como el B, que se mueven sobre líneas rectas en cuerpos que giran. Si la acanaladura que guía B es curva con ctro de curvatura en C (Figura 4.44) y el disco tiene w y la ecuación básica seguá siendo verdadera verdadera con las modifcaciones siguentes: siguentes: A
+
El pr prim imer er tér térmn mnoo ( A se convertiría en � por causa de a aceleración angular . segundo do térm términ inoo ;A, se describe ahora evidentemente como ¡M 2 El segun e inclurá una componente normal y una tangencial ya que la acanala dura curva cambia la dirección de 81M así como su magnitud La n; tendría entonces dos componentes:
8
(En este caso w y son las w y de la línea BC del disco ) 3 La componen componente te de orio oriolis lis permanece permanece invaria invariable ble por lo que la 8 en este caso general sería =
-
0� + - /
2VB /
Tratemos un problema que lleve consio aceleración de oriolis En la Fi gura 4.45 la manivela acanalada M gira alededor del ee o O con velocidad
L
ACELRACIÓN
159
�a
w
Figura
4.44.
qe e cd cv. - Dsco celedo con bo
brrazo DB s de u reloj. El b a j u g a s a l e d o d i t n e s l e n e , s / d a r ngular constante de 5 n la acanaladura e M está e a l s e d e u q e u q o l bl b U . D o j f e ira alrededor del ej blloque y de DB) El pudel b o t n u p n u s e B e u q o l r o p ( B rtculado a DB e brrazo DB tiee B. E l b r o d a s a p e d o j a ba b e d e t n e o A es u punto de M directam tán a 4 cm de O . s e B A s o t n u p s o l a d a l a ñ e s cm de largo En la posición a línea central DO tiene 2½ cm.
A sobe M B sobre el bloque
4 cm 3 c
01
\z½ cm- .\.
nvel cnld m o e m d s c e M . 5 5 a r u Fig
-
=
ANÁLISS Y PROYCTO DE OS MCANSMOS
160
Se pide hallar la aceleración absoluta del pasador B y la aceleración an gular del brazo DB. La ecuación de la aceleración de B es: ª · º
=
a + - ªo/ 2V, 2V,
Podemos calcular aA � X OA 100 cm/s, y sabemos que 52 4 está dirigida de A hacia O Solamente se conoce la dirección de aB/· Como el pasador B, relativo a M, sólo puede moverse sobre la acanaladura, su acelera ción relativa respecto de M debe ser en la dirección OB Podemos calcular la componente de Corolis si hallamos primero VB/· Esto se determina gráfca mente como se ve en la Figura 446, donde se ha restad V V de VB, VB, encontrand VB/A 16 3 cm/s (la cual inidentalmente es la velocidad de deslizamiento). =
=
=
=
2VBirM
=
2 X 163 X 5 16 3 cm/s
Sabemos la dirección de este vector está girado 9 respecto a VB/ (l cual está dirigido según OA) a parir de su origen en a dirección de rM (a de rechas) Si determinamos la velocidad angular de DB podemos calcular la compo nente normal de la aceleración de B (WEB X DB) n
=
VB DB
y dirgdo de
B
=
258 -
-
3
hacia
=
86 rad/s
aB
así
=
862 X 3
D.
M "
Vs
=
(25.8) " / �\
o
o
Velocidd Fgura 4.46 - eod eodd d etv de boqe boqe B espeo de A en M.
=
222 cm/s
ACELERACIÓN
161
Como sólo conoceos a dirección de ;A, volvamo a escribir a ecuación de manera que podamos despejar dicho término: ªB/ = ªB - ª 2 2VVB/ M (en que w1B x DB + - x DB) n
(
B
=
B
Podemos ahora trazar un poígono de aceleraciones ya que se conocen com petamente 3 de os 5 vectores en magnitud y dirección y también se conocen as direcciones de los otros dos. d os. En a a Figura 4.4 7 podemos ver este polígono. Partiendo de d e origen O trazamos (de sentido opuesto a + después 2 ; después+ a;, después una ínea en a dirección de()y f namente una ínea que pase por O en a dirección de A ( a OA). Estas lí neas de y ;A se cortan en el punto , determinando así la ongitud de estos vectores E vector ;A se cortan en el punto B, determinando así la on gitud de estos vectores. El vector ;A es e resutante de los otros (ver ecuación aerior por o ue estará dirigdo hacia auera a partir de origen hacia a in tersección B. Si examnamos este polígono, notaremos que y on do vectore adyacentes (y Como BD es un cuerpo que gira se pueden uma vectoralmene estas dos componentes para consegur a reuane En a Figura 4.47 odeo ver este vector Mide 225 cs y está dirigido hacia abajo y a la zquerda de] brazo B A
n
n
n
n
n
n
2
0�=
-OA (100) o 0B/A
_
66 Aceleración Figura 47. - Píg Pígo o vcta vcta de la ace cón bqu B.
NT NT-- 1
�
- -
ANÁLSIS Y PROECTO D LOS MECANISMOS
162
La compoete tagecal de a aceeració de B, (�) es ga a que es 36,6 cm/s2• Por tato T 366 12,2 rad/s2 ªn = DB - 3
aBD
X BD
=
a aceeracó de Coros o está mtada a sstemas artcuados co des zameto e guas móvies. Se apca a todos os mecasmos e os que u puto sgue ua trayectora recta o cura sobre u cuerpo que gra
PROBLEMAS 41
4.2 43
4.4
45
E u ru r rr r u h rrr r r 80 kh 10 ¿ r r ? r h fr fr ¿é rrrr r 80 mh? U rrr rr 00 10 r r ufr ¿ f mx ? U ur r r r r 98 2 . Drr rrr r rí 4 ¿ r r r rr r r rr r? E · r r r r r u r r r r r fr h r 00 r. 0 r rr 1000 r. ¿ r r r r ré? E rr r Fr 4.5 m LM r rr j j L r 100 r LM TR 0 ; MR 5 MS 875 X 5 Drr r S X ñ =
=
=
=
S
---
Figura P4.5
R
1
ACELRACIÓN
163
.6 enEl dientdo co degraa alagujrededor del ej e j o con una vel o cdad angul a de 3 rad/ a de un rel o j y con una acel e rac_ ó n angul a r de 12 rads' enFiguraentidoP4contraro al de l a aguj a de un rel o j , en fa poción eña a da en a Determinar l a ace e racone neal e de o punto y del dico W
O
A, B
C
°
45
F 6
e
·- s .
'
�l_f
0
O, 2 cm 1
90
°
A� 7 Laquerda aceeracón abol u ta de · p paador aador de l a banda e 5 cm haca l a z a acel e rac ó n angul a r de e 3 rad en entido contrario contra rio al de llaa poci agujaóndeeñalun areldaoHaly llaar ellaoacel cdaderacón angulaabol r deua dee 1 rad a derecha en (Fgura P4 ) 8 nado En la porFiguraunaPcorredera gra alquerededor del ej e j o l mecanmo etá accio e ene ne una el o cidad conante de derecha a zquerda de 5 cm 5 cm y 0 cm Deermiar l a acel e ració neal de y a aceleración angular de en la pocón eñalada Fgua P4.7
Figura P4.6
E
EF
2
EF
EF
F.
AB
A.
AB
B
=
BC
AB
A
Figua P48
Figua P49
e
164 4.9.
ANLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Las partes AB, BC y CD del sistema artculado de la Figura P4.9 tenen cada una 7,5 cm de longtud. A y D son ejes fjos. AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj con una velocdad anguar constante de 2 rad/s Determinar la aceleración del punto C. oB
Figura Fig ura P4.1 O
En a Figura P4.0 la manivea DA gra arededor de eje fjo D con una ve ocidad anguar de rad/s a izquierdas y una ceeración anguar de 4 rad/s a derechas DA AB BC CA 7, cm Determnar a aceleración de la corredera C la aceeracón anguar del cuerpo F y a aceleracón de punto B La manivea DE de la igura P4. tene una veocdad anguar constante de 1 rads D= 5 cm; EG 10 cm FG 65 cm_ y DF cm H es e punto mediQ de G D y F son ejes fjos Econtrar la aceeración absoluta de G y H y la aceeracón angular de FG 4.10
2
=
=
L
D
Fgura P41 4.12
Fgua P4.12
Las partes OM y OP de sistema articuado de la Figura P gran inde pendientemente arededor de eje jo O. La barra rígida ML está aricuada en S a boue desante en las guías as OM O 5 cm ML PL 0 cm y MS cm La manvela conductora OM tiene una veocidad an guar de 1 ads Y una aceeración angular de rad/s� ambas n sentido de las agujas de un reoj Determinar la aceleración de en a poscón señaada El torno para levantar pesos de la Fgura P4.3 está compuesto de dos cin dros A y E y dos engranajes B y C (que actúan como discos que giran uno
4.13.
ACELERACIÓN
165
sobre oro sin deszar). El engranaje B esá fjo a A, de manra que gran jun tos, y el C, esá jo a E de la misma maera A y B giran sobre e ee o G C y E gran sobre el _eje o H. E peso W esá undo a un cabe enroado arededor de cilindro E y a uerza evanadora esá apcada (haca abajo en P; e nal del segundo cable esá enrolado alrededor de clindro A Los diá meros son os que sguen: A 30 cm; B 10 cm C 25 cm y E= 15 cm S la aceeracón lneal de P es 5 cm/s� allar la aceleracón neal de W =
=
w s
Figura P4.13 4.4
Fgua P44
El dsco rueda sin desizar sobre a supercie a S con una veocdad angu- a de 1 rad s y una aceleracón angular de rads2, abas en senido con rao a las aguas de un relo (Fgura P414 a biea AB esá arcuada a W en y a bloque deszane en las guías oionales as, en B. W ene 10 cm de dáero A ene una longud de 15 c OA 45 cm Deerminar as aceleracones lneales de os punos y B en la posición señalada Un ren epéicoidal de dscos se ve en a Fgura 4.15. E brazo A gra are dedor del ee o O con una veocidad anguar de d e 10 rad rad s y una un a aceeracón =
415
E
gua P4.5
166
4.16
ANLISS Y PROYECTO DE LOS MECANSMOS
angular de 5 rad/s2. El disco B está jo y tiene 1 cm de diámeto E disco C está conducido por el pasador en A y tiene 5 cm de diámetro. E anilo E gira libremente alrededor de centro O, guiado or los rodios L M Q y R. No ha desizamiento entre B, C y E Determinar a aceeración angular del anio E dispositivo de a Figura P416 está accionado or a manivea AB de 5 cm de longitud, a cua gira en sentido contrario de las aguas de un reo arededo de ee o A con una velocidad angular angular constante de 5 rad/s Determinar a aceeración de a horquila C en la posición señalada ¡08 1
1
7 Figura P4.16
Fgur P4.17
En a Figura P4. el disco W tiene 5 cm de diámetro y gira en sentido de as aguas de un relo con velocidad constante de 3 rad/min arededor del ee o O. Una acanaladura circuar se ha echo en una cara de W como se muestra. El brao NS gira alrededor del ee o N evando un bloque sobre el pa ador S que deslia en a acanaladura de W N 35 cm; NS= 1125 cm TR tiene ,1 cm de longitud y está unido a bloque R or e pasador Est boque deslia en as guías as situadas como se muestra Determinar a ace leración absoluta de pasador S del boque curvado y la aceeración de asa dor del bloque rectangular 418 En a Figura P4 OP gira en sentido de las aguas de un relo rededor de ee o O con una vecidad anguar constante de 2 rads rad s manguito S gir ibremente sobre e pasador P y desiza sobre a biea R M es e ee o de R La distancia MO = 5 cm ML 225 cm Halar a aceeración inea de L y la aceleración angular de 419 La excéntrica circular C gira en entido contrario de las aguas de un reo arededor del ee o O con una velocidad anguar constante de 2 radianesmin. El diámetro de C 15 cm La excentricidad OP 5 cm. E radio de a super cie de contacto del seguidor F 25 cm Halar a aceeración lineal de segui dor en forma de ongo F de a Figura _ P49 417
=
=
ACELRACIÓN
167
L
�90
e
°
_ o
igua P.9
Figura P4.18 4.20.
En la Figura P4.20, e boque D tiene una veocidad nea de 25 cm/s y una aceeración inea constante de 50 cm/s 2 sobre as guas fjas de izquierda a derecha en cada caso. AC es una barra rígida de 125 cm de ongiud. AB 75 cm; BD 20 cm y CE= 75 cm. E está articuada manguito que desiza ibremente sobre BD. Deerminar a aceeración inea de punto E sobre C en a posición señaada =
e
A
igua P420