PROYECTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL: SOLUCION DE UN PÓRTICO PÓRT ICO TRIDIMENSIONAL
Presentado por: ALEXANDER BANDERA MORENO 2091144
Presentado a: ING. MYRIAM ROCÍO PALLARES
Universidad Santo Tomas Facultad De Ingeniería Civil Bogotá D.C.
Resolver la siguiente estructura tridimensional.
Pórticos de carga: ejes A y B Pórticos de riostra: ejes 1 y 2 Columnas pórtico eje A: carga de viento de 1,2 ton/m (X+) Cargas de sismo sobre la placa: 5 ton [repartir la carga proporcionalmente sobre cada nodo de la placa] (Y+) Par las vigas de los pórticos de carga asumir:
Carga viva: 1ton/m Carga muerta (sin contar peso propio): 0.8 ton/m Peso propio
Para las vigas de los pórticos de arriostramiento: peso propio.
Desprecie el peso de las columnas
Cargas puntuales en vigas de carga:
Dimensiones
Vigas de carga: 30X40 cm Vigas de riostra: 30X30 cm Columnas: 40X40 cm
Calcular G como:
SOLUCION 1. NUMERACION Y ORIENTACION.
ELEMENTO
TRAMO
I
J
VIGA DE CARGA
1-2
1
2
VIGA DE RIOSTRA
2-3
2
3
VIGA DE CARGA
4-3
4
3
VIGA DE RIOSTRA
1-4
1
4
COLUMNA
5-4
5
4
COLUMNA
6-3
6
3
COLUMNA
7-2
7
2
COLUMNA
8-1
8
1
2. REPRESENTACION GRAFICA DE LAS CARGAS IMPUESTAS SOBRE LOS ELEMENTOS.
3. CALCULO DE REACCIONES FIJAS DE EMPOTRAMIENTO. 3.1.
ELEMENTO 1-2 VIGA DE CARGA
Z
X
Y
Sobre el elemento tenemos aplicadas las cargas distribuidas de peso propio las cargas vías y las cargas muertas además de las cargas puntuales aplicadas. Es combeniente utilizar el principio de superpocicion para poder evaluar cada una de las reacciones fijas de empodarmiento que se dan por efecto de cada uno de las cargas Luego: 3.1.1. FF DEBIDAS A LA ACCION DEL PESO PROPIO El peso propio genera unos cortantes en el eje z y unos momentos alrededor del eje x, ya que el plano de cargas es el plano YZ y la orientacion es de 1-2, la carga distribuida del peso propio la obtenemos al multiplicar el peso especifico del meterial, en este caso concreto, por el area de la seccion transversal del elemento, luego tenemos
Asi:
3.1.2. FF DEBIDAS A LA CARGA VIVA
3.1.3. FF POR EFECTO DE LA CARGA MUERTA
3.1.4. FF POR EFECTO DE LAS CARGAS PUNTUALES Siendo
Haciendo momentos con respecto a 1:
Entonces Momentos debidos a P
Momentos debidos a Luego ahora hacemos una suma de los términos correspondientes y obtenemos las reacciones fijas de empotramiento:
3.2.
ELEMENTO 2-3 VIGA DE RIOSTRA
Z
Y
X
El plano de cargas del elemento 2-3 es el plano xz, la carga impuesta en el elemento es el peso propio que lo hayamos de la misma manera que para el elemento 1-2, e.d. , además aquí tenemos en consideración que el momento de 2-3 es un momento negativo que va en la dirección del eje y negativo y el momento de 3-2 es un momento positivo. Siendo la orientación de 2-3 se tiene que las F F de empotramiento son:
3.3.
ELEMENTO 4-3 VIGA DE CARGA Para este elemento tenemos cargas de la misma magnitud en el elemento 1-2 Verificamos y tenemos:
3.3.1. FF DEBIDAS A LA ACCION DEL PESO PROPIO
3.3.2. FF DEBIDAS A LA CARGA VIVA
3.3.3. FF POR EFECTO DE LA CARGA MUERTA
3.3.4. FF POR EFECTO DE LAS CARGAS PUNTUALES Siendo
Haciendo momentos con respecto a 1:
Entonces
Momentos debidos a P
Momentos debidos a
Luego ahora hacemos una suma de los términos correspondientes y obtenemos las reacciones fijas de empotramiento:
3.4.
ELEMENTO 1-4 VIGA DE RIOSTRA
3.5.
ELEMENTO 8-1 COLUMNA
Para este elemento, que se encuentra en el plano XZ, tenemos que: se producen momentos alrededor del eje Y por acción de la carga de viento, y se producen unos cortantes, por acción de esta misma carga, en el sentido X. la magnitud de estas F F es:
3.6.
Por analogía al elemento anterior y considerando que están en el mismo plano de cargas XZ, y tienen la misma orientación, de abajo hacia arriba, podemos decir que, las F F de empotramiento para el elemento 7-2 son::
Ya que los elementos 6-3 y 5-4 no tienen cargas impuestas sobre ellos no se generan reacciones fijas de empotramiento. Y las cargas de sismo son cargas impuestas sobre el sistema y no sobre los elementos, por tanto no se tienen en cuenta para el cálculo de las FF de empotramiento. 4. CUADROS DE RESUMENES CUADRO DE RESUMEN PROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y DE MATERIAL
E= γ=
G=
2400000 0,3 923076,9
ALTURA PERPENDICULAR AL EJE DE FLEXIÓN
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4 (X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
X
y
z
Área
Inercia
Ms
ms
ms
[m2]
Ix
Iy
0,3 Axial 0,3 Axial 0,4 0,4 0,4 0,4
axial 0,3 axial 0,3 0,4 0,4 0,4 0,4
0,4 0,3 0,4 0,3 axial axial axial axial
0,12 0,09 0,12 0,09 0,16 0,16 0,16 0,16
0,0016 --0,0016 --0,00213333 0,00213333 0,00213333 0,00213333
--0,000675 --0,000675 0,002133 0,002133 0,002133 0,002133
t b < > Iz dimensión dimensión 0,0009 0,3 0,4 0,000675 0,3 0,3 0,0009 0,3 0,4 0,000675 0,3 0,3 --0,4 0,4 --0,4 0,4 --0,4 0,4 --0,4 0,4
CUADROS RESUMEN FACTORES DE RIGIDEZ
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3(Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4 (X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z) Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4 (X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4 L ms 6 5 6 5 4 4 4 4 L
GJ
GJ/L
1794,324 1053 1794,324 1053 3328 3328 3328 3328
299,05394 210,6 299,05394 210,6 832 832 832 832
EIx 3840 --3840 --5120 5120 5120 5120
EI EIy --1620 --1620 5120 5120 5120 5120
AE/L 48000 43200 48000 43200 96000 96000 96000 96000 3
12/L
0,055556 0,096 0,055556 0,096 0,1875 0,1875 0,1875 0,1875
(12/L3)*(EIx) 213,33333 --213,33333 --960 960 960 960
12EI/L3 (12/L3)*(EIy) (12/L3)*(EIz) --120 155,52 155,52 --120 155,52 155,52 960 --960 --960 --960 --6EI/L2
EIz 2160 1620 2160 1620 ---------
C
t3b
J
0,179986 0,140833 0,179986 0,140833 0,140833 0,140833 0,140833 0,140833
0,0108 0,0081 0,0108 0,0081 0,0256 0,0256 0,0256 0,0256
0,001944 0,001141 0,001944 0,001141 0,003605 0,003605 0,003605 0,003605
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4 (X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z) Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4 (X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4 L ms 6 5 6 5 4 4 4 4
AE/L 48000 43200 48000 43200 96000 96000 96000 96000 3
12/L
0,055556 0,096 0,055556 0,096 0,1875 0,1875 0,1875 0,1875
(12/L3)*(EIx) 213,33333 --213,33333 --960 960 960 960
12EI/L3 (12/L3)*(EIy) (12/L3)*(EIz) --120 155,52 155,52 --120 155,52 155,52 960 --960 --960 --960 --6EI/L2 (6/L2)*(EIy) --388,8 --388,8 1920 1920
1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3(Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z)
L ms 6 5 6 5 4 4
0,166667 0,24 0,166667 0,24 0,375 0,375
(6/L2)*(EIx) 640 --640 --1920 1920
7-2(Z) 8-1(Z)
4 4
0,375 0,375
1920 1920
Tramo
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z)
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4 L ms 6 5 6 5 4
2
6/L
4/L 0,666667 0,8 0,666667 0,8 1 1 1 1
2/L 0,333333 0,4 0,333333 0,4 0,5
1920 1920
(6/L2)*(EIz) 360 388,8 360 388,8 -----
-----
(4/L)*(EIx) 2560 --2560 --5120 5120 5120 5120
4EI/L (4/L)*(EIy) --1296 --1296 5120 5120 5120 5120
(4/L)*(EIz) 1440 1296 1440 1296 ---------
(2/L)*(EIx) 1280 --1280 --2560
2EI/L (2/L)*(EIy) --648 --648 2560
(2/L)*(EIz) 720 648 720 648 ---
7-2(Z) 8-1(Z)
4 4
0,375 0,375
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
4/L 0,666667 0,8 0,666667 0,8 1 1 1 1
L ms 6 5 6 5 4 4 4 4
Tramo 1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
1920 1920
2/L 0,333333 0,4 0,333333 0,4 0,5 0,5 0,5 0,5
1920 1920
-----
(4/L)*(EIx) 2560 --2560 --5120 5120 5120 5120
4EI/L (4/L)*(EIy) --1296 --1296 5120 5120 5120 5120
(4/L)*(EIz) 1440 1296 1440 1296 ---------
(2/L)*(EIx) 1280 --1280 --2560 2560 2560 2560
2EI/L (2/L)*(EIy) --648 --648 2560 2560 2560 2560
(2/L)*(EIz) 720 648 720 648 ---------
CUADRO REACCIONES FIJAS DE EMPOTRAMIENTO
Tramo
I
J
1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
1 2 4 1 5 6 7 8
2 3 3 4 4 3 2 1
X I-J X J-I Y I-J Y J-I
-2,4 -2,4
-2,4 -2,4
Z I-J
Z J-I
MX I-J MX J-I MY I-J MY J-I MZ I-J
6,931 0,54 6,931 0,54
6,997 0,54 6,997 0,54
7,152 -7,241 -0,45
0,45
-0,45
0,45
-1,6 -1,6
1,6 1,6
7,152 -7,241
MZ J-I
CUADRO REACCIONES FIJAS DE EMPOTRAMIENTO
Tramo
I
J
1-2 (Y) 2-3 (X) 4-3 (Y) 1-4(X) 5-4(Z) 6-3(Z) 7-2(Z) 8-1(Z)
1 2 4 1 5 6 7 8
2 3 3 4 4 3 2 1
X I-J X J-I Y I-J Y J-I
-2,4 -2,4
Z I-J
Z J-I
MX I-J MX J-I MY I-J MY J-I MZ I-J
6,931 0,54 6,931 0,54
6,997 0,54 6,997 0,54
7,152 -7,241 -0,45
0,45
-0,45
0,45
-1,6 -1,6
1,6 1,6
MZ J-I
7,152 -7,241
-2,4 -2,4
5. FORMULACION MATRICIAL ELEMENTAL (G=L) La formulación matricial para cada elemento se encuentra en la hoja de calculo que se anexa al trabajo; en la misma se hallan hojas para cada formulación de cada elemento. No considero necesario escribir de nuevo cada formulación. PROYECTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL.xlsx 6. SOLUCION DE DESPLAZAMIENTOS Al tener la formulación matricial del sistema y viendo que afortunadamente no hubo necesidad de reordenar tenemos que nuestra matriz es la matriz de color
Sabemos que por condición de balance: X1=Z1=MX1=MY1=MZ1=X2=Z2=MX2=MY2=MZ2=X3=Z3=MX3=MY3=MZ3=X4=Z4=MX4=MY4=MZ4= 0
5. FORMULACION MATRICIAL ELEMENTAL (G=L) La formulación matricial para cada elemento se encuentra en la hoja de calculo que se anexa al trabajo; en la misma se hallan hojas para cada formulación de cada elemento. No considero necesario escribir de nuevo cada formulación. PROYECTO DE ANALISIS ESTRUCTURAL.xlsx 6. SOLUCION DE DESPLAZAMIENTOS Al tener la formulación matricial del sistema y viendo que afortunadamente no hubo necesidad de reordenar tenemos que nuestra matriz es la matriz de color
Sabemos que por condición de balance: X1=Z1=MX1=MY1=MZ1=X2=Z2=MX2=MY2=MZ2=X3=Z3=MX3=MY3=MZ3=X4=Z4=MX4=MY4=MZ4= 0
Además se tiene en cuenta que el sismo es una carga del sistema, es por ello que en la formulación matricial las fuerzas en Y deben ser iguales a 1,25 ton en cada nodo, luego haciendo las operaciones se tiene que el vector de deslazamientos es: Los grados de libertad conocidos son los de los empotramientos donde todos son cero e.d: U5=V5=W5=TX5=TY5=YZ5=U6=V6=W6=TX6=TY6=YZ6=U7=V7=W7=TX7=TY7=YZ7=U8=V8=W8=TX8=TY8=YZ8 =0
U1 V1 W1 TX1 TY1 TZ1 U2 V2 W2
0,002256986 0,002287028 -6,74212E-05 -0,001612446 0,000440726 -1,27055E-18 0,002256986 0,002242229 -8,08828E-05
M M M RAD RAD RAD M M M
0,0006499
TX2
0,000440726
TY2
-1,36542E-18
TZ2
0,002231998
U3
0,002242229
V3
-8,89122E-05
W3
0,0006499
TX3
0,000553767
TY3
-1,42979E-18
TZ3
0,002231998
U4
0,002287028
V4
-7,54506E-05
W4
-0,001612446
TX4
0,000553767
TY4
-1,38575E-18
TZ4
RAD RAD RAD M M M RAD RAD RAD M M M RAD RAD RAD
8. Reemplazando estos valores en la formulación matricial del sistema y resolviendo tenemos los siguientes valores de las reacciones: X 5 = X5-4
-1,079485959
ton
Y 5 = Y5-4
0,900348606
ton
Z 5 = Z5-4
7,243252886
ton
MX 5 = MX5-4
0,26323304
ton-m
MY 5= MY5-4
-2,867793584
ton-m
MZ 5= MZ5-4
1,15294E-15
ton-m
-1,079485959
ton
Y 6= Y6-3
-3,400348606
ton
Z 6= Z6-3
8,535566982
ton
MX 6= MX6-3
5,968824674
ton-m
MY 6= MY6-3
-2,867793584
ton-m
MZ 6= MZ6-3
1,18959E-15
ton-m
X 7= X7-2
-3,720514041
ton
X 6 = X6-3
=
Y 7= Y7-2
-3,400348606
ton
Z 7= Z7-2
7,764747114
ton
MX 7= MX7-2
5,968824674
ton-m
MY 7= MY7-2
-4,805156745
ton-m
MZ 7= MZ7-2
1,13603E-15
ton-m
X 8 = X8-1
-3,720514041
ton
Y 8 = Y8-1
0,900348606
ton
Z 8 = Z8-1
6,472433018
ton
MX 8 = MX8-1
0,26323304
ton-m
MY 8 = MY8-1
-4,805156745
ton-m
MZ 8 = MZ8-1
1,0571E-15
ton-m
Vemos como en los apoyos no se generan momentos sobre el eje Z, tienden a ser cero, lo que nos da cuenta de que en las condiciones de carga actuales no se genera sobre la estructura torsión. 9. FUERZAS INTERNAS X 1-2
-1,7458E-16
X 2-3
1,07948596
X 4-3
1,26147E-16
Y 1-2
2,15034861
Y 2-3
2,2125E-16
Y 4-3
2,150348606
Z 1-2
6,31784295
Z 2-3
0,15459007
Z 4-3
6,317842952
MX 1-2
3,86462746
MX 2-3
-3,0531E-16
MX 4-3
3,864627462
MY 1-2
-6,1062E-16
MY2-3
0,47689942
MY 4-3
-6,1062E-16
MZ 1-2
5,7121E-16
MZ 2-3
7,3883E-16
MZ 4-3
-1,4127E-16
X 2-1
1,7458E-16
X 3-2
-1,07948596
X 3-4
-1,2615E-16
Y 2-1
-2,15034861
Y 3-2
-2,2125E-16
Y 3-4
-2,15034861
Z 2-1
7,61015705
Z 3-2
0,92540993
Z3-4
7,610157048
MX 2-1
-7,63256975
MX 3-2
3,0531E-16
MX 3-4
-7,63256975
MY 2-1
6,1062E-16
MY 3-2
1,45015025
MY 3-4
6,10623E-16
MZ 2-1
4,7629E-16
MZ 3-2
7,005E-16
MZ 3-4
-1,7152E-16
X 1-4
1,07948596
X 5-4
-1,07948596
X 6-3
-1,07948596
Y 1-4
2,9389E-16
Y 5-4
0,90034861
Y6-3
-3,40034861
Z 1-4
0,15459007
Z 5-4
7,24325289
Z 6-3
8,53556698
MX 1-4
-3,8858E-16
MX5-4
0,26323304
MX6-3
5,96882467
MY 1-4
0,47689942
MY 5-4
-2,86779358
MY 6-3
-2,86779358
MZ 1-4
7,6737E-16
MZ 5-4
1,1529E-15
MZ 6-3
1,1896E-15
X 4-1
-1,07948596
X 4-5
1,07948596
X 3-6
1,07948596
Y 4-1
-2,9389E-16
Y 4-5
-0,90034861
Y 3-6
3,40034861
Z 4-1
0,92540993
Z 4-5
-7,24325289
Z 3-6
-8,53556698
MX 4-1
3,8858E-16
MX 4-5
-3,86462746
MX 3-6
7,63256975
MY 4-1
1,45015025
MY 4-5
-1,45015025
MY3-6
-1,45015025
MZ 4-1
7,5759E-16
MZ 4-5
-1,1529E-15
MZ 3-6
-1,1896E-15
X 7-2
-3,72051404
X 8-1
-3,72051404
Y 7-2
-3,40034861
Y 8-1
0,90034861
Z 7-2
7,76474711
Z 8-1
6,47243302
MX 7-2
5,96882467
MX 8-1
0,26323304
MY 7-2
-4,80515674
MY 8-1
-4,80515674
MZ 7-2
1,136E-15
MZ 8-1
1,0571E-15
X 2-7
-1,07948596
X 1-8
-1,07948596
Y 2-7
3,40034861
Y 1-8
-0,90034861
Z 2-7
-7,76474711
Z 1-8
-6,47243302
MX 2-7
7,63256975
MX 1-8
-3,86462746
MY 2-7
-0,47689942
MY1-8
-0,47689942
MZ 2-7
-1,136E-15
MZ 1-8
-1,0571E-15
10. VERIFICACIÓN DEL EQULIBRIO GENERAL EQUILIBRIO GENERAL SUMA DE FUERZAS EN X RACCIONES CARGAS DE VIENTO
9,6
EN SENTIDO X
SUMA DE FUERZAS EN SENTIDO Z
PESO PROPIO VIGS DE CARGA
-3,456
PESO PTOPIO VIGS DE RIOSTRA
-2,16
CARGAS VIVAS
-12
CARGAS MUERTAS
-9,6
APLICADAS
-1,2 REACCIONES -1,6
EN SENTIDO Z
-30,016
30,016
SUMA DE FUERZAS EN SENTIDO Y
CARGAS DE SISMO 5
REACCIONES EN Y -5
SUMA 0
-9,6
Graficando los resultados se tienen:
