TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
CAPITULO 1 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El obje objetitivo vo de este este capi capitu tulo lo es sumi sumini nist sta a la tem temin inol olo! o!"a "a b#si b#sica ca de la in!e in!enie nie" "a a econ$mica % los conceptos &undamentales 'ue &oman la base del an#lisis econ$mico(
1.1 Interés ( I ) ) Es la mani&estaci$n del valo en el tiempo) el cual es una medida del aumento ente la suma oi!inal solicitada en p*stamo o invetida % la cantidad &inal acumulada o 'ue se adeuda( Si se +a invetido en el pasado se tiene 'ue,
=
I
Cantidad Total Acumulada Inversion
−
Inversion
Original
Original
1.2 Tasa de Interés ( i ) ) Es el inte*s de una unidad monetaia en la unidad del tiempo consideada % cu%a epesentaci$n es pocentual(
=
i
Interes
Acumulado
por Unidad
Inversion
de
Tiempo
x
100%
Original
Ejemplo, Si se inviete S( .00)000 al inicio de un a/o % se obtiene S( .0)000 al &inal de ese a/o( 1alcula el Inte*s % la tasa del Inte*s( Soluci$n , a2 1alc 1alculo ulo del del Int Inte e*s *s 3 I 2,
=
I
190,000
−
100,000
=
S / .90,000
b2 1alculo de la tasa de Inte*s Inte*s 3 i 2, 2, i
=
90,000 100,000
(
100%
)
=
90%
1.3 Tasa Mín!a Atra"t#a de $et%rn% (TMA$) Es la tasa de inte*s 'ue espean obtene los invesionistas po una invesi$n( Paa 'ue una invesi$n popuesta paeca 5entable5 a los ojos de los invesionista) estos deben espea espea ecibi ecibi mas dineo dineo 'ue el invetido( invetido( En otas palabas) palabas) los invesionist invesionistas as espean espean ecibi ecibi una tasa justa po la invesi$n( 1uando 1uando el pe"odo pe"odo de inte*s inte*s es i!ual o meno 'ue un a/o) la tasa de etono en pocentaje paa el pe"odo de inte*s es , TMAR
=
Cantidad Total de Dinero
Re cibido
Inversion
−
Original
.
Inversion
Original
(
100%)
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TMAR
=
Utilidad Inversion Inversion
(
100%)
Original
1.& E'#aen"a El valo del dineo en el tiempo % la tasa de inte*s utiliados simult#neamente) !enean el concepto de e'uivalencia) lo 'ue si!ni&ica 'ue sumas di&eentes de dineo a t*minos di&eentes de tiempo pueden se i!uales en valo econ$mico( Po ejemplo, ejemplo, Si la tasa de inte*s inte*s es de 67 anual) 8.00 de +o% 3es 3es deci actualment actualmente2 e2 e'uivald#n a 8.06 en un a/o( Po 'ue como sabemos , 1antidad Acumulada 9 .00 : .003. : 0(062 9 .003.(062 9 8.06(
1.* C%st% de Ca+ta Repes Repesent enta a el costo costo del dineo dineo obteni obtenido do acciones) bonos p*stamo diecto) etc( etc(
de dives divesas as &uentes &uentes tales tales como como venta venta de
1., Interés S!+e Es la !anancia !anancia del capital capital pincipal o stoc; de e&ectivo i!noando i!noando cual'uie inte*s inte*s 'ue se +alla acumulado en los pe"odos pe "odos anteioes, I
=
P .
i.
Donde,
Interés Simple
n
I 9 Inte*s) !anancia) c*dito o deven!ado( P 9 Pincipal) capital o stoc; inicial de e&ectivo( i 9 Tasa de inte*s po pe"odos pe"odos consideado( n 9 Numeo de pe"odos(
El tama/o tama/o del pe"odo pe"odo puede puede se, se, un d"a) d"a) una una semana) semana) un un mes( Si el inte* inte*ss a!e!a al pincipal 3 P 2 el esultado se denomina monto 3 < 2 o stoc; &inal( F
=
P
+
I
3 I 2 se
Monto o Stock Final Del Efectivo
Ejemplo, Detemina el inte*s sobe S( .)000 al .=7 de inte*s simple anual duante, a(- = a/os b(- > meses c(- .?0 d"as( Detemina adem#s el stoc; &inal paa 3c2( Soluci$n , a(- Para 2 a-%s , P 9 S( .)000 i 9 .=7 anual n9=
I9Pin I 9 3.)000 230(.= 23 =2 I 9 S( =40
b(- Para !eses, P 9 S( .)000
I 9 3.)000 23 0(0. 23 >2 I 9 S( >0 =
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TMAR
=
Utilidad Inversion Inversion
(
100%)
Original
1.& E'#aen"a El valo del dineo en el tiempo % la tasa de inte*s utiliados simult#neamente) !enean el concepto de e'uivalencia) lo 'ue si!ni&ica 'ue sumas di&eentes de dineo a t*minos di&eentes de tiempo pueden se i!uales en valo econ$mico( Po ejemplo, ejemplo, Si la tasa de inte*s inte*s es de 67 anual) 8.00 de +o% 3es 3es deci actualment actualmente2 e2 e'uivald#n a 8.06 en un a/o( Po 'ue como sabemos , 1antidad Acumulada 9 .00 : .003. : 0(062 9 .003.(062 9 8.06(
1.* C%st% de Ca+ta Repes Repesent enta a el costo costo del dineo dineo obteni obtenido do acciones) bonos p*stamo diecto) etc( etc(
de dives divesas as &uentes &uentes tales tales como como venta venta de
1., Interés S!+e Es la !anancia !anancia del capital capital pincipal o stoc; de e&ectivo i!noando i!noando cual'uie inte*s inte*s 'ue se +alla acumulado en los pe"odos pe "odos anteioes, I
=
P .
i.
Donde,
Interés Simple
n
I 9 Inte*s) !anancia) c*dito o deven!ado( P 9 Pincipal) capital o stoc; inicial de e&ectivo( i 9 Tasa de inte*s po pe"odos pe"odos consideado( n 9 Numeo de pe"odos(
El tama/o tama/o del pe"odo pe"odo puede puede se, se, un d"a) d"a) una una semana) semana) un un mes( Si el inte* inte*ss a!e!a al pincipal 3 P 2 el esultado se denomina monto 3 < 2 o stoc; &inal( F
=
P
+
I
3 I 2 se
Monto o Stock Final Del Efectivo
Ejemplo, Detemina el inte*s sobe S( .)000 al .=7 de inte*s simple anual duante, a(- = a/os b(- > meses c(- .?0 d"as( Detemina adem#s el stoc; &inal paa 3c2( Soluci$n , a(- Para 2 a-%s , P 9 S( .)000 i 9 .=7 anual n9=
I9Pin I 9 3.)000 230(.= 23 =2 I 9 S( =40
b(- Para !eses, P 9 S( .)000
I 9 3.)000 23 0(0. 23 >2 I 9 S( >0 =
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im 9 3.=72.= 9 .7 3tasa popocional mensual2 n 9 > c(- Para 1*/ días, P 9 S( .)000 id 9 .=7 .=760 60 3tas 3tasa a popo popocio cional nal dia diaia2 ia2 n 9 .?0
I 9 .)000 @ .=60 @ .?0 I 9 S ?0 < 9 P :I < 9 .)000 : ?0 < 9 S( .)0?0
1.0 Interés C%!+est% Es la suma de la !anancia del capital % de los inteeses acumulados en pe"odos anteioes( En el inte*s compuesto) el inte*s del pe"odos se incementa al capital 3capitaliaci$n de inteeses2( Ejemplo, 1alcula el monto total adeudado al cabo de a/os si se solicita un p*stamo de S( .)000 al B07 de inte*s compuesto anual( Soluci$n ,
Para e a-% 1, Inte*s a/o . 9 3.)000 3.)000 23 0(B0 2 9 S( B00 Conto total adeudado al &inal del a/o . 9 .)000 : B 00 9 S( .)B00( Para e a-% 2, Inte*s a/o = 9 3.)B00 3.)B00 23 0(B0 29 S( .).0 Conto total adeudado al &inal del a/o = 9 .)B00 : . ).0 9 S( =)>0 Para e a-% 3, Inte*s a/o 9 3=)>023 3=)>023 0(B02 9 S( =)0= =)0= Conto total adeudado al cabo del a/o 9 =)>0 : =)0= 9 S( 4).
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CAPITULO 2 2. FACTO$ES SU EMPLEO: 2.1 Sí!%%s De4n"%nes a. Sí!%%s s S5n4"ad% P 9 valo o suma de dineo en un tiempo se/alado como el pesente( < 9 Valo o suma de dineo en al!n tiempo &utuo( A 9 n pa!o simple en una seie de 5n5 pa!os i!uales +ec+os al &inal de este pe"odo( N 9 Numeo de pe"odos de pa!os de inte*s( i 9 Tasa de Inte*s(
. F6% de Ca6a Al esultado de in!esos % desembolsos se le denomina &lujo de caja( Fluo
de
Caa
=
−
Entradas
Desembolso s
Ejemplo, Si se comp$ un televiso en .)= po S( 00 % los costos de mantenimiento anuales &ueon de S( 40 duante a/os) % lue!o se vendi$ po S( ?00( F 1u#l es el &lujo de caja G Soluci$n, A/o .= . .4 .?
Entada 0 0 0 ?00
Desembolso 00 40 40 40
Es impotante tene pesente 'ue todas las entadas % desembolsos) % po lo tanto los valoes de &lujo de caja) se considean cantidades de &in de pe"odo(
". Da5ra!a de 46% de "a6a Es la epesentaci$n !#&ica del &lujo de caja en una escala de tiempo) en donde el tiempo ceo epesenta el pesente as" po ejemplo) el tiempo tes epesenta el &inal del pe"odo de tiempo tes( En la escala de tiempo) de la si!uiente &i!ua) las &lec+as +acia aiba indican un &lujo de caja positivo) % +acia abajo un &lujo de caja ne!ativo(
0
.0
0
.
=
.00
4
?
6
? Ota manea de epesenta lo anteio es como si!ue,
4
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.0
0
-?
.00
.
=
4
0
?
6
Ejemplo, Supon!amos 'ue usted desea deposita en su cuenta de a+oo) a pati del si!uiente a/o) una cantidad anual de S( =0)000 duante los pimeos a/os % lue!o) una cantidad anual de S( ?0)000 duante los dos a/os si!uientes( F 1omo esulta# su &lujo de cajaG( Soluci$n, 1olocando las ci&as en miles de soles se tiene,
0
=0
=0
=0
?0
?0
.
=
4
?
P9G
i 9 B07
o tambi*n , =0
=0
=0
?0
?0
.
=
4
?
0
2.2 Ded""7n de F7r!as Fa"t%res: a. Fa"t%r de "a+ta8a"7n de n s%% +a5% % !+%s"7n 1#lculo de un valo &utuo 3<2 dado un valo pesente 3P2 a una tasa de inte*s 5i5 en 5n5 pe"odos( H#&ico,
P 0
F9 .
=
n-.
Deducci$n, Al &inal del pime pe"odo se tiene, <. 9 P : P(i <. 9 P 3 . : i 2 Al &inal del se!undo pe"odo se tiene, <= 9 <. : <.(i <= 9 <. 3 . : i 2 9 P 3 . : i 2 3 . : i 2 <= 9 P 3 . : i 2 = Al &inal del tece pe"odo se tiene, < 9 <= : <= i < 9 <= 3 . : i 2 9 P 3 . : i 2 = 3 . : i 2 < 9 P 3 . : i 2
?
n
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Al &inal de n pe"odos po inducci$n matem#tica se tiene, F
= (1 + i )
n
A la e@pesi$n (1 +i ) n se le denomina &acto de capitaliaci$n de un sola imposici$n o pa!o % se le desi!na como 3<P i) n2 entonces) el valo &utuo de una imposici$n se e@pesa como, < 9 P 3 < P) i) n 2 En las tablas de inte*s se dan los valoes de los &actoes paa cada pe"odo( Ejemplo, Si se inviete S( .)000 a+oa al 67 de inte*s anual capitaliable anualmente ( F 1u#l es el monto al &inal del cuato a/oG < 9 .)000 3 . : 0(06 2 < 9 S( .)=6=
4
. Fa"t%r de #a%r a"ta de na !+%s"7n 1alculo de P dado <) i % n Despejando P en la elaci$n 'ue calcula el monto de una imposici$n o pa!o nico( P
El &acto :
=
F
1
(1 + i ) n 3P<) i) n2 entonces,
1 n (1 + i )
es el llamado,
P 9 < 3 P <) i) n 2 Ejemplo, Si dento de cuato a/os se va a ecibi S( .)=6= entonces su valo actual al 67 anual capitaliable anualmente es, P
=
1 (1,262). (1 +0.06 )4
=
S
/ .1,000
O bien) utiliando la notaci$n del &acto % las tablas de inteeses, P 9 .)=6= 3 P <) 67) 4 2 9 .)=6= @ 0(B=. 9 S( .)000
". Fa"t%r de "a+ta8a"7n de na sere de !+%s"%nes 5aes: 1#lculo de un valo &utuo o stoc; &inal 3<2 dada una seie de imposiciones i!uales 3A2 depositados al &inal de cada uno de los 5n5 pe"odos a una tasa de inte*s 5i5(
H#&ico,
6
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A
A
A
0
.
=
A n-.
<9G
n
Aplicando la &omula < 9 P 3 . : i 2 n ) deteminada en 3a2) paa cada pa!o 3A2 se tiene, <9A3.:i2
: A 3 . : i 2
n-.
n-=
: ((((((: A 3 . : i 2 : A
Cultiplicando esta i!ualdad po 3.:i2 se tiene, < 3 . : i 2 9 A 3 . : i 2 n : A 3 . : i 2
n-.
: (((((( : A 3 . : i 2 = : A 3 . : i 2
estando la pimea i!ualdad a esta ltima) esulta, =
F
El &acto )
A
(1 + i ) n − i
(1 + i ) n −
1
1
se denomina
i
imposiciones i!ualesJ) % se le denota como
3 <A) i) n 2)entonces,
F 9 A ( F A; ; n ) Ejemplo, 1alcula el monto de una seie de ? pa!os de S( .00 de cada a/o al 67 de inte*s compuesto anual, .00 0 . i 9 67 anual(
.00
.00
< 9G .00 .00
=
4
+ec+os al &inal
?
El punto macado con 0 3ceo2 es el pesente o inicio del a/o . % el macado con . es el &inal del a/o . % comieno del a/o =( El valo &utuo se puede calcula po pates aplicando la &$mula <9 P3<P) i) n2 paa cada valo A) peo es mas &#cil aplicando la &$mula encontada en 3c2 as" se tiene, F
(1 + 0.06) 5 − = (100 ). 0.06
1
=
S / . 563.7
An m#s sencillo esulta con la notaci$n del &acto( < 9 .00 3 < A) 67) ? 2 9 .00 3 ?(6B 2 9 S( ?6(B
d. Fa"t%r de a!%rt8a"7n "%nstante % 4a"t%r de "a+ta8a"7n en sere de +a5%s 5aes: Despejando A en la &$mula +allada en 3c2 se tiene,
B
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=
A
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i (1 + i ) n −
F
el &acto 'ue esulta)
i n
(1 + i ) −
1 1
se denomina &acto de amotiaci$n constante o
&acto de amotiaci$n en seie de pa!os i!uales5) entonces,
A 9 F ( A F; ; n ) Ejemplo, Si se desea acumula S( ?6(B mediante cinco ente!as anuales al 67 de inte*s compuestos capitaliable anualmente el valo de cada pa!o +a de se, A
=
(563.7 ).
= ) − 1
0.06 5 1 +0.06
(
S / .100
e. Fa"t%r de re"+era"7n de "a+ta: 1#lculo de A dado un valo pesente P) i % n( De las elaciones anteiomente encontadas tenemos , A
=
i (1 + i ) n −
F
1
F
= (1 + i )
n
Reemplaando el valo de < se obtiene A
=
n i.(1 + i ) n (1 + i ) −
P
n i. 1 + i n 1 +i − 1
(
El &acto
(
)
1 se denomina ,
)
3AP) i) n2 entonces,
A 9 P ( A P; ; n ) Ejemplo, S( .00)000 invetidos al ?07 de inte*s compuesto capitaliable anualmente) suminista#n > pa!os de &in de a/o de, Soluci$n , H#&ico, - .00000 0
A
A( .
A
A A -------------------------- ------ = B >
0.5.(1 + 0.5) 8 = (100,000). (1 + 0.5) 8 − 1 =
sando la notaci$n del &acto % las tablas,
>
S / . 52, 032
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A 9 .00)000 3 A P) ?07) > 2 9 .00)000 @ 0(?=00 9 S( ?=)00
4. Fa"t%r de #a%r a"ta de na sere de +a5%s 5aes En la &$mula anteio se puede despeja P , P = A
(1 + i ) n − n i.(1 + i )
1
n
(1 + i ) − 1 El &acto 'ue esulta) se denomina, &acto del valo actual de una seie de n i.(1 + i ) pa!os i!uales,) se le simbolia con 3PA) i) n2) entonces, P 9 A ( P A; ; n ) Ejemplo, El valo actual de una seie de > pa!os anuales i!uales de S( ?=(0 al ?07 de inte*s compuesto anual se#, P
(1 + 0.5) 8 − 1 = = ( 52.37 ). 0.5.(1 + 0.5) 8
S / . 52,032
sando la &$mula encontada , 3 P A) ?07) > 2 9 ?=)00 @ .)==0 9 S(.00)00= Se obseva eo no si!ni&icativo de = unidades) motivado po el uso de las tablas(
5.
CUAD$O DE $ESUMEN
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NL
EMPRESION CATECATI1A
.
= P (1 + i )n 1 P = F n (1 + i ) (1 + i ) n F = A i i A = F n (1 + i ) (1 + i) n − 1 P = A n i (1 + i) i (1 + i )n A = P n (1 + i ) − 1
= 4 ? 6
NOTA1ION SANDO EK SIHKAS EN
F
.0
< 9 P 3<P) i) n2
<11P
P 9 < 3P<) i) n2
< 9 A 3<A) i) n2
<11S
A 9 < 3A<) i) n2
<
P 9 A 3PA) i) n2
A 9 P 3AP) i) n2
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P$O=LEMAS: .(- Si una pesona deposita S( 600 +o%) S( 00 dos a/os mas tade % S( 400 de a'u" a cinco a/os( F1u#nto tend# en su cuenta dento de die a/os si la tasa de inte*s es del ?7 G( Soluci$n, El valo &utuo es i!ual a la suma de los pa!os nicos individuales en el a/o .0 de esta manea, <9 600 3 < P) ?7) .0 2: 00 3 < P) ?7) > 2: 400 3 < P) ?7) ? 2 9 600 3.(6=>2 : 00 3.(4BB42 : 400 3.(=B62( 9 S( .).(. =(- F1u#nto dineo esta# dispuesto a pa!a a+oa po un pa!a* 'ue poduci# S(600 anuales duante nueve a/os a pati del a /o entante) si la tasa de inte*s es del B7G( Soluci$n, P 9 600 3 P A) B7) 2 9 600 36(?.?=2 9 S( )0(. (- Detemina el valo pesente a la tasa del .07 anual) de las si!uientes cantidades S( 00 a comieno del a/o ) S( 400 al &inal del a/o ?) % S( =00 al &inal del a/o 6( Soluci$n,
P9> 0
00 .
=
4
400
=00
?
6
P 9 00 3 P <) .07) = 2 : 400 3 P <) .07) ? 2 : =00 3 P <) .07) 6 2 9 00 @ 0(>=64 : 400 @ 0(6=0 : =00 @ 0(?64? 9 S( 60(= 4(- F 1u#l es el &lujo uni&ome e'uivalente del poblema anteio G( Soluci$n , A
A
A
A
A
..
A
TEORIA DE INVERSIONES 0 P
.
=
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4
?
6
A 9 60(= 3 A P) .07) 6 2 9 S( .(>B ?(- 1alcule el valo pesente al .07 de las cantidades colocadas en la si!uiente escala de tiempo, 3P2 .00
.00
.00
0
.
=
.00
.00
4
?
.00 6 a/os
Soluci$n, A continuaci$n se pesenta dos m*todos de soluci$n, Pime C*todo, a2 Se calcula el valo pesente de las cantidades consideadas +asta el a/o =( b2 Se calcula el valo &utuo de las tes ultimas cantidades % se taslada al a/o ceo( c2 Se suman los esultados( a2( P. 9 .00 3 P A) .07) = 2 : .00 9 =B(6 b2( P= 9 .00 3 < A) .07) 2 3 P <) .07) 6 2 9 .>6(> c2( P 9 P. : P= 9 S( 460(4 Se!undo C*todo, a2 Se adiciona S( .00 en el a/o paa completa la seie) se taslada al pesente % se disminu%e la cantidad e'uivalente sumada anteiomente( H#&icamente se tiene, .00
.00
.00
0
.
=
.00
.00
.00
4
?
6
.00 P 9 .00 3PA) .07) 62 : .00 - .003P<) .07) 2 9 S( 460(4 6(- Si una pesona puede +ace +o% una invesi$n 'ue e'uiee un !asto de S( )000 paa ecibi S( ?)000 dento de ? a/os(F1u#l se# la tasa de etono sobe la invesi$n G( Soluci$n , ?)000
.=
TEORIA DE INVERSIONES 0
.
=
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4
?
)000 P 9 < 3P<) i) n2 )000 9 ?)000 . 3.:i2? 3.:i2? 9 ?
i 9 .0(B67
B(- na epaaci$n e&ectuada en la actualidad evita# otas epaaciones) si la epaaci$n actual cuesta ?)000 d$laes % el valo conol$!ico del dineo es =07( F A cu#nto debe"a elevase el costo de las epaaciones al a/o si!uiente) paa justi&ica 'ue se e&ecte dic+a epaaci$n en el momento actualG( T$mese en cuenta tambi*n una p*dida po poducci$n de 400 d$laes +asta el &inal del a/o si!uiente, Soluci$n , -?000 0
<9G -400 . A/o
?000 9 3< - 40023P<) =07) .2 < 9 8 6 400( Repaaci$n de &in de a/o debe# se ma%o 'ue 6)400 d$laes paa 'ue se justi&i'ue el costo de epaaci$n actual(
.
TEORIA DE INVERSIONES
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.4
TEORIA DE INVERSIONES
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CAPITULO
3
3. TIPOS DE TASAS DE INTE$ES: 3.1 Tasa de Interés N%!na ( n) Ka tasa de inte*s nominal viene a se una tasa anual de inte*s donde tambi*n se especi&ica la &ecuencia de convesi$n 3o nmeo de peiodo de convesi$n 2 % a pati de esta in&omaci$n se detemina la tasa de inte*s del peiodo ( 3.2 Tasa de Interés Pr%+%r"%na % de Per%d% ( +)
Es el inte*s 'ue !ana la unidad monetaia en un peiodo po lo !eneal meno de un a/o( Ka tasa de inte*s popocional se calcula dividiendo la tasa nominal ente el nmeo de pe"odos 3m2 consideados( Ejemplo, Ka tasa de inte*s nominal 3i n2 es 607 capitaliable timestalmente( Se pide calcula la tasa de inte*s popocional del peiodo 3i p2( m
= 12meses
i p
=
3meses
in
m ip 9 .?7
Ejemplos de tasa de inte*s nominal con sus espectivos peiodo de convesi$n as" como su coespondiente tasa de inte*s del peiodo,
Tasa n%!na de nterés .=7 convetible anual .=7 convetible semestal .=7 convetible timestal .=7 convetible mensual
Per%d% de "%n#ers7n P%r a-% ( !) . = 4 .=
Tasa de nterés de +er%d% (+) .=7 67 7 .7
3.3 Tasa de Interés E4e"t#a ( e)
Es el inte*s 'ue !ana la unidad monetaia en un a/o) dependiendo de una tasa de inte*s nominal % el nmeo de peiodos de capitaliaci$n( Deducci$n de la &$mula, P 9 na cantidad pesente .?
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
< 9 na cantidad &utua 3 al cabo de un a/o2 in 9 Tasa de inte*s nominal m 9 Nmeo de pe"odos en el a/o( ie 9 Tasa de inte*s e&ectiva ip 9 Tasa de inte*s del pe"odo( ie
= (1 + i p ) m − 1
F = P (1 + i p ) m
En un a/o se tiene 'ue < 9 P3.:ie2 ) eemplaando el valo < en la e@pesi$n anteio se obtiene ,
P = (1 + ie) = P(1+ i p) m ie
in (1 + ) m m
=
ie =(1 +i p) m
1
−
1
−
Ejemplo, Si un banco pa!$ .=7 de inte*s anual capitaliando timestalmente F1u#l es el valo &utuo en un a/o de S( .00( Soluci$n, P 9 .00 in 9 .=7 m
=
12 3
=4
.00 0
<9G 3un a/o o 4 timestes2
4
< 9 P3 . : i p 2m < 9 .003.:0(024 9 .00 3<P) 7) 42 < 9 ..=(?? De la e@pesi$n < 9 P3.:i n2n ) donde 3i n2 es el inte*s nominal anual % n el nmeo de a/os 'ue se deduce) en el Ane@o ) las &$mulas de inte*s compuesto continuamente( Ka tabla si!uiente nos muesta el e&ecto de la &ecuencia de capitaliaci$n,
Tasa de Interés N%!na "%n "a+ta8a"7n
Tasa de Interés E4e"t#a
.6
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
?7 anual ?7 semestal ?7 timestal ?7 mensual
?(0000 7 ?(06=? 7 ?(040 7 ?(..60 7
3.& Tasa de Interés ?en"da ( ) Es la tasa de inte*s 'ue se aplica como &acto al capital inicial 3P2) paa obtene un inte*s 3 I 2 en la unidad de tiempo( Si se desea conoce el inte*s !anado en la unidad de tiempo se +ace uso de la &$mula si!uiente, I9Pi Ka cantidad acumulada al &inal del pe"odo se obtiene de, <9P:I Kas deducciones de las &$mulas e&ectuadas en 3=(=2 se +icieon aplicando el concepto de tasa de inte*s vencida(
3.* Tasa de Interés Adeantad% % Tasa de Des"ent% (d) Es la tasa de inte*s 'ue se aplica como &acto al valo &inal 3<2) paa obtene un inte*s 3D2) denominado descuento o inte*s adelantado( Si se desea conoce el descuento en la unidad de tiempo se +ace uso de la si!uiente &$mula, D9d< 1omo se obseva la tasa de descuento es e&eida a una cantidad &utua % la tasa de inte*s a una cantidad pesente( En consecuencia la cantidad pesente se calcula mediante, P9<-D Relaci$n ente la Tasa de Inte*s 3i2 % Descuento 3d2 Se puede calcula el descuento 3o inte*s2 en una unidad de tiempo) usando la tasa de descuento o la tasa de inte*s( En el pime caso En el se!undo casa
D 9 < d (((3a2 I 9 P i (((3b2
Paa D 9 I) po tanto se i!uale 3a2 con 3b2
Paa un pe"odo se tiene ,
P i
(((
F
< 9 P3. : i2
.B
3c2
((( 3d2
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
eemplaando el valo < de 3d2 en 3c2( d
=
Pi P(1 +i)
=
i 1 +i
En esta &$mula se obseva 'ue la tasa de descuento es meno 'ue la tasa d e inte*s( Ka &$mula tambi*n se puede pesenta de la si!uien te manea, i =
d 1- d
3.,Tasa de Interés a $eatr: Es una tasa de inte*s 'ue se coba sobe los saldos de la deuda pendiente( Po ejemplo Si tenemos una deuda de S( .00)000 al 607 pa!adea en cuato cuotas semestales( En el pime semeste el pa!o po concepto de inte*s asciende a S( 0)000( 607 3S(.00(0002 = En el se!undo) la deuda pendiente es S( B?)000 3se amoti$ la cuata pate de la deuda2) los inteeses son S( ==)?00( 607 3S( B?)0002 % as" sucesivamente( =
Pr%e!as: 1.@ F1u#l es el inte*s e&ica de un invesionista 'ue pa!a po un bono la cantidad de S( >)000 el cual tiene una anti!edad de > meses ) siendo el valo nominal de S(=)?00 con un inte*s nominal de =07 capitaliable timestalmente % con un tiempo de etenci$n de . a/o ( G Soluci$n, -?00
<
0 ip
=
20% 4
. a/o = 5% = it
Qallando el < , < 9 )?00 3 <P ) ?7 ) 4 2 < 9 4)=B? >000 0
.
< 9 4)=B?
>
.=
< 9 >)000 3 <P ) i n ) 4 2
4)=B? 9 >)000 3 < P ) i n ) 4 2
3 . : i e2 9 3 . : i n 2.=
0(? 9 3 <P ) i n ) 4 2
ie 9 3 . : i n 2.= - .9?B.(67
.>
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
2.@ na empesa constuctoa ecibi$ en calidad de p*stamo ) la cantidad de S( .0)000 a pa!ase en meses ( Ka tasa de inte*s timestal es de .07 ( 1alcula el inte*s ) el monto total % la tasa de descuento si en lu!a de p*stamo se ealia una opeaci$n de descuento ( Soluci$n, 1omo I 9 D
I9<-P
< 9 P 3 .: i 2 < 9 .0)0003 . : 0(. 2 I 9 .)000 D 9 I 9 .)000 9
d
d
= =
D F
=
13,000
x100
143,000
0.1 0.1 +1
= 9.09%
3.@ Se necesita S( >00 paa compa unas computadoas en los p$@imos a/os ) se desea sabe cu#nto se debe de&lacta mensualmente a un inte*s nominal anual de .=7 capitaliable semestalmente ( Soluci$n, A
0
A
.
m9=
A < 9 >)000
= in m
6
meses
= is = 6%
3 . : i s 2 9 3 . : i m 26
3 . : i s 2.6 - . 9 i m
En los a/os se tend# , A 9 < 3A< ) im ) 6 2 A 9 >)000 3A<)0(B7)62 A 9 .>6(?
&.@ F1u#nto dineo +ab# 'ue etia de una cuenta de a+oos si estos etios se ealian semestalmente ) debido a invesiones 'ue se ealian en la compa de bonos( G Al cabo de = a/os se posee en la cuenta de a+oos S( .?0)000( Paa no a&ecta dic+o saldo se deposita mensualmente una pe'ue/a suma de S( .00 a la tasa de inte*s de .= 7 capitaliable timestalmente ( Soluci$n, m94 im m
= it =
P 12% 4
<
= 3%
.
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
0
it 9 7
0 3 . : i n 2 9 3 . : i t 2
. timestes
.
=
meses
in 9 3 . : it 2. . in 9 0( 7 Analiando los dep$sitos , < 9 A 3 <A ) i n ) =4 2 9 A 3 <A ) i ) n 2 <. 9 .00 3 <A ) i n ) =4 2 Analiando los etios , < 9 A 3 <A ) i n )n2 <= 9 - A 3 <A ) i s ) 4 2 De < 9 .?0)000 .?0)000 9 .00 3 <A ) i n ) =4 2 - A 3<A ) i s ) 4 2 Qallando is , 3 . : i s 2 9 3 . : i t 2= is 9 3 . : it 2= - . is 9 6(0 7
Del H#&ico, -A 0
-A
.00
.00
.00
.00
.00
.
=
6
.=
=4 meses
−150,000
A
=
100( F / A, in,24)
A
=
100( F / A,0.99%,24)
( F / A, is, 4)
−150,000
( F / A,6.09%,4)
A 9 -)6=B(6
*.@ Se tiene un bono con un valo nominal de S( .)000 ) con una vida de = a/os % con un inte*s mensual del = 7 ( 1u#nto esta"a dispuesto a pa!a po el bono este invesionista si +an tanscuido . meses desde la vi!encia ( El inte*s e&ica es del 6 7 ( Soluci$n, Pinv 9 G =0
=0
=0
.)000 =0
TEORIA DE INVERSIONES 0
.
=
PA-440 .
.4
.?
=4
Inte*s Censual 3 I 2 , I 9 Vn ip 9 3.)000230(0=2 9 =0 ie9 0(6 .: ie 9 3 . : i n 2.= Invesionista , iinv 9 3.(62..= - . Pinv 9 =0 3 PA ) i inv ) .. 2 : .)000 3 P< )
iinv )
.. 2
Pinv 9.>(= : B?4(>= 9 44(.4
,.@ Si una pesona deposita S(.)000 +o%) )000 dento de cuato a/os % .)?00 de 6 a/os) a una tasa de inte*s del 67 anual capitaliada semestalmente F1u#nto dineo tend# en su cuenta dento de .0 a/osG( Soluci$n, .000 0 0
000 . =
= 4
6
.?00
<9G
4 ? 6 B > .0 P(anuales > .0 .= .4 .6 .> =0 P(semestales
Pime C*todo, 1onsiste en calcula el inte*s e&ectivo anual % lue!o utiliase paa enconta < en el a/o .0( ie 9 3 . : 0(06=2= -. 9 6(07 Entonces, < 9 .)0003<P)6(07).02 : 0003<P)6(07)62 : ?003<P)6(07)42 < 9 S( B)>(B Se!undo C*todo, 1omo la capitaliaci$n es semestal a un inte*s del 7 po pe"odo se calcula# el valo &utuo consideado los pe"odos semestales( < 9 .)000 3<P)7)=02 : 0003<P)7).=2 : .?00 3<P)7)>2 < 9 S( B)>(B
0(- 1alcula el dep$sito mensual necesaio paa acumula S(?)000 en ? a/os a un 67 nominal anual capitaliado diaiamente(
=.
TEORIA DE INVERSIONES
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Soluci$n, ?)000 A
A
A
A
0
.
=
?
A9G 60 meses
El inte*s e&ectivo mensual se calcula de la manea si!uiente, Inter!s. Diario
= id =
0.06 360
Se considea como 0 el nmeo de d"as po mes) po consi!uiente e@isten 0 pe"odos de capitaliaci$n en el mes( Inte*s e&ectivo del pe"odo, im 9 0(?0.7 En los cinco a/os +a# un total de 607 dep$sitos( im
= (1 +
0,06 360
)
30
−1
A 9 <3A<)0(?0.7)602 A 9 ?)000 30(0.442 A 9 S( B.(B mensual( 1aso de onos(El bono es un documento valoado emitido po una instituci$n con el pop$sito de &inancia po%ectos) en este documento consta el tiempo de vi!encia % el inte*s 'ue se +a de pa!a pei$dicamente al tenedo del bono) en otos tipos de bonos el inte*s se capitalia % al vencimiento de *ste el tenedo del bono ecibe el valo nominal m#s los inteeses acumulados(
.@ na pesona tiene un bono de Reconstucci$n con un valo nominal de S( .00)000 al ?67 capitaliable timestalmente % con peiodo de vi!encia de = a/os (F1uanto esta"a dispuesto a pa!a po el bono un invesionista 'ue desea !ana el 07 capitaliable timestalmente G( Soluci$n, .00)000 0 0 .
<9G =
. 4
?
6
B
= >
a/os timestes
El poseedo del bono ecibi"a al cabo de dos a/os la si!uiente cantidad( < 9 .00)0003<P)?647) >2 < 9 S( =>?)?= El invesionista de acuedo a lo 'ue el desea !ana) esta"a dispuesto a pa!a en el pesente, P 9 =>?)=? 3P<) 047) >2 P 9 S( ?6=?4
.@ na pesona tiene bonos de S(.)000 cu al 607( El inte*s se pa!a# timestalmente siendo el ==
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
tiempo de vi!encia de ? a/os( Si un invesionista desea !ana el 07 capitaliable mensualmente( F1u#nto esta"a dispuesto a pa!a po cada bono G( Soluci$n, .?0 .?0 0 0
. .
=
.?0 .?0
4
.)000 ? a/os =0 Timestes
Datos del ono, Valo Nominal 9 S( .)000 Duaci$n 3n2 9 ? a/os o =0 3timestes2 Tasa nominal Anual 9 607 Tasa timestal 9 i Inte*s Timestal 9 .?7 @ .)000 9 S( .?0 Datos del Invesionista, Tasa Nominal Anual 9 07 Tasa Censual i m 9 B(?7 El invesionista al ad'uii el bono en el pesente 3t902 ecibi# en el tanscuso de los ? a/os) las cantidades 'ue se muestan en el !#&ico peo como *l desea obtene el 07 capitaliable mensualmente debe# +ace los si!uientes c#lculos paa detemina la cantidad e'uivalente a pa!a po el bono( Pocedimiento, a2 1alcula la tasa e&ectiva timestal %a 'ue el invesionista desea una capitaliaci$n mensual( b2 1alcula el valo pesente de las cantidades del !#&ico) con la tasa deteminada en 3a2( a2( 3.:2 9 3.:i m2 9 3.)0B?2 - . 9 0(=4= b2(
1antidad dispuesta a pa!a po cada bono 3VP 9 Valo pesente2 VP 9 .?0 3PA) =4(=7) =02 : .000 3P<) =4(=7) =02 VP 9 S( 6=4
1/(- Die compa/eos de tabajo de una empesa deciden con&oma una junta en las si!uientes condiciones, •
El Apote acodado de cada paticipante 'ue no +a obtenido la unta debe# se de S( .00)000 mensuales(
•
Ka cantidad total ecaudada al &inal de cada mes se +a de sotea ente los paticipantes 'ue an no +an obtenido el monto(
•
El &avoecido en el soteo del monto) ad'uiee el compomiso de devolve en los meses =
TEORIA DE INVERSIONES
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estantes) la cantidad adeudada en cuotas mensuales i!uales consideando paa dic+o c#lculo una tasa del ?7 de inte*s mensual a &in de compensa el e&ecto de la in&laci$n( Se pide constui unta tabla donde se se/ale los apotes mensuales de cada paticipante( Soluci$n, Pime Ces, Ka cantidad total ecaudada en el p ime mes en miles de soles) es, P 9 .00 @ .0 9 S(.000 Si el pime paticipante obtiene la unta) entonces su deuda es, D 9 .)000 - .00 9 S( 00 Po consi!uiente el pa!o mensual 3cuota2 duante los meses si!uientes es, A 9 00 3AP) ?7) 2 A 9 S( .=6(
.000 3.002 .
A
A
=
A .0
Se!undo Ces, 1antidad Recaudada, P 9 3.002 @ : .=6( 9 .)0=6( Si el se!undo paticipante obtiene la unta se deuda es, D 9 .)0=6( - .00 3<A) ?7) =2 D 9 S( >=.( Ka cuota mensual es, A 9 >=.( 3AP) ?7) >2 A 9 S( .=B(.
.)0=6( 3.002 .
3.002 =
A
A
A
.0
En !eneal se puede aplica la si!uiente &$mula paa enconta la cuota mensual de cada paticipante 'ue +a obtenido la unta( A 9 P - .00 3<A) ?7n2 3AP) ?7 .0 - n2 n, .)=(((((().0 Aplicando esta &$mula se obtiene la si!uiente tabla,
=4
TEORIA DE INVERSIONES
Patic Ces . = 4 ? 6 B > .0
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.
=
.00(0 .=6( -
.00(0 .=B( -
.00(0 .=B(6 -
(((((((((((( ( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( (((((((((((( ((((((((((((
6
B
>
.00(0 .=(. -
.00(0 .=(6 -
.00(0 .0(. -
11(- 1alcula la tasa de inte*s vencida % e&ectiva de S( .000 a 0 d"as si el descuento es de S( .0 Soluci$n , D9d< d 9 3.0.)0002 0(. i 9 .4(47 i
=
d 1 − d
ie 9 3.:i2n
n 9 600
ie 9 .B4(??7 En consecuencia las tasas de inte*s vencida % e&ectiva son .4(47 % .B4(??7 espectivamente(
12.@ Si la tasa e&ectiva anual 3i e2 es 407 F1u#l es el descuento 3D2 de un leta po S(.00 'ue vence dento de 0 d"as( Soluci$n, < 9 S(.00 ie 9 407 Pe"odo 3p2 9 0 d"as Nmeo de pe"odos en el a/o 3n2 9 600 9 4 1#lculo del inte*s del pe"odo 3ip2 ie 9 3.:ip2n - . 1#lculo de la tasa de descuento 3d2 d =
ip 1 + ip
((((((((((3=2
=?
TEORIA DE INVERSIONES
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1#lculo del descuento D D9d < D 9 S( >(0B Adicionalmente con la in&omaci$n anteio) anteio) se calcula el inte*s del pe"odo( pe"odo( P ip 9 < d 9 D ip
=
ip
=
ip
D p
d F − D
=
8.07 100 − 8.07
ip 9 >(B>7
P9<-D
P
<
0
0 d"as
13.@ 1on una tasa del .?7 tans&$mese la si!uiente seie no uni&ome en una seie uni&ome, una suma de S( =0)000 se pesenta al comieno del pime a/o) en los die a/os si!uientes) se pesentan sumas de S( >)000 al &inal de cada a/o duante los pimeos 4 a/os % .0)000 al &inal de cada a/o duante los 6 a/os estantes( Se pesentan sumas complementaias de S( 6)000 al pincipio del teceo % el se@to a/o( Soluci$n, 3en miles de nuevos soles2 El dia!ama de &lujo se# el si!uiente, 6 =0 0
> .
>
6 >
>
.0
.0
.0
.0
.0
=
4
?
6
B
>
.0 .0 .0
1#lculo de la seie anual, A 9 =0 : >3PA) .?7) 42 : .0 3PA) .?7) .?7) 623P<) .?7) 42 : 6 3P<) .?7) =2 : 63P<) .?7) ?2 3AP) .?7) .02 A 9 S( .44?6
1&.@ 1&.@ Detemina el valo de una cantidad M de Soles) sabiendo 'ue se e&ecta los si!uientes dep$sitos, M
al inicio del a/o .
=6
TEORIA DE INVERSIONES M : S(.00
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al &inal del a/o
A un inte*s del .=7 capitaliado mensualmente( Estos dep$sitos +an de cubi 6 pa!os timestales de s(00 a pati del 'uinto a/o( Soluci$n, M A
A
0
.
A
M:.00 A
A
A
4
?
=
A 9 00 6
Valo Pesente de los Dep$sitos, P 9 M : 3M:.002 3P<) .7) 62 (((((((((((((((((3.2 (((((((((((((((((3.2 Valo Pesente de los Pa!os Timestales, P 9 00 : 003PA) i p) ?2U 3P<) .7) 4>2((((((3=2 4>2((((((3=2 = 1 +
ip
0.03
3
3 −1 = 3.0301%
I!ualando 3.2 % 3=2 se tiene, x
=
x
+100
(1.01) 36
=
1.786.5
(1.01) 48
M 9 S( B>6(B
1*.@ na pesona tiene un bono de S( .)000 al B07( El inte*s se pa!a# timestalmente siendo el tiempo de vi!encia de 6 a/os( Si un invesionistas desea !ana el .007 capitaliable cada dos meses F1u#nto esta"a dispuesto a pa!a po el bono G Soluci$n , ono,
= (70 / 4)%
i p
I 9 S( .)000@0(.B? n 9 =4 pe"odos
P 9 .B?3PA)=67)=42 : .)0003P<)=67)=42 P 9 S( 6B4(4
Invesionista i p
= (100 / 6)%
$"s"s de inte!#s t!imest!" (i $ )
1.5 1
iT = 1 +
6
−1 = 26%
1,.@ na pesona tiene un bono de Reconstucci$n con las si!uientes
=B
caacte"sticas ,
TEORIA DE INVERSIONES • • • •
PA-440
Valo nominal de S( .00 Tasa de inte*s , ?67 capitaliable timestalmente Vi!encia del bono , dos a/os Ceses 'ue &altan paa su edenci$n , . F 1u#nto esta"a dispuesto a pa!a po el bono un invesionista 'ue desea un endimiento e&ectivo de .>.7 G
Soluci$n , .00
Pi 9 G
0
.. i =
56
< =4 meses
% = 14%
4
Valo del bono al cabo de dos a/os 3<2 < 9 .00 3<P).47) >2 < 9 S( =>?)=?
$"s" de inte!#s de pe!'&d& i p p"!" e ine!si&nist". = 8.99%
i p
Conto 'ue puede pa!a el invesionista 3P .2 p
,
=
F
(1 + i ) n
=
285.259
(1.0899) n
P. 9 S( (.?6
pesona 'ue dep$sito dep$sito en una entidad &inanciea &inanciea una suma A) +ace +ace tes a/os) desea 10.@ na pesona detemina la cantidad de dineo 'ue tiene en el pesente) cuenta paa ello con la si!uiente in&omaci$n, A/o
Tasa de Inte*s
. =
60 B0 0
1apitaliaci$n mensual 'uincenal diaio
a2 F1u#nto dineo posee al cabo de a/osG b2 F1u#l es la tasa e&ectiva % la tasa nominal e'uivalente de una capitaliaci$n timestalG Soluci$n , =>
TEORIA DE INVERSIONES
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A 0
.
=
Valo en el a/o 3A 2 3 * (1
0.6 12
12
)
(1
0.7 24
)
24
(1
0.9 360
)
360
A 9 >(BB A Tasa e&ectiva e'uivalente 3i e2 A3. : ie2 9 >(BB A ie 9 .06(47 Tasa nominal e'uivalente 3i n2 in ie
= (4 2.0643 − 1) x 4
4
4 i
= 1 + − 1
in 9 B(467
1.@ na impotante compa/"a manu&actuea comp$ una ma'uina semiautom#tica po un valo de S(.)000( Su mantenimiento anual % el costo de opeaci$n ascendieon a S( .)B00( 1inco a/os despu*s de la ad'uisici$n inicial) la compa/"a decidi$ compa una unidad adicional paa 'ue la ma'uina &uea totalmente autom#tica( Ka unidad adicional tuvo un costo oi!inal de S(B).00( El costo de opeaci$n de la ma'uina en condiciones totalmente autom#ticas &ue de S(00 anuales( Si la compa/"a uso la ma'uina duante .6 a/os % despu*s vendi$ la unidad autom#tica adicional en S(.)>00F1ual &ue el costo anual uni&ome e'uivalente de la ma'uina a una tasa de inte*s de 7 G( Soluci$n , B).00 .)000 .)B00 ((( .)B00 0
.
(((
?
.)>00 3venta2 ((( 00
00 6
(((
.6
Valo pesente de las ad'uisiciones % la venta (((((((((((((((((((((((3P .2 P. 9 .)000 :B).00 3P<) 7) ?2 - .)>00 3P<) 7) .62 Valo pesente del costo de opeaci$n ((((((((((((((((((((((((((((((((((3P =2 P= 9 .)B00 3PA) 7) ?2 - 00 3PA) 7) ..23P<) 7) ?2 1osto anual uni&ome 3A2
=
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
A 9 3P. : P=23AP)7).62 9 S( )
1.@ Al inicio del pime a/o) la pesona A +ace un dep$sito de S(.00 en una entidad &inanciea( Ka tasa de inte*s es del >07 capitaliable timestalmente) al t*mino del pime semeste del pime a/o) ota pesona +ace un dep$sito de S( .00 en ota entidad &inanciea a una tasa del 07 de capitaliaci$n continua( F 1uanto tiempo +a de tanscui paa 'ue la pesona ten!a ?07 m#s 'ue A G( Soluci$n, A , .00 0 . >07 cap( timestal
=
(((((((((((((((((((((((((((((((((
a/os
=
((((((((((((((((((((((((((((((((((
a/os
, .00 (
0
.
07 cap( continuo 1#lculo del valo &utuo de A3< A2 < A 9 P3<P) =07) n2 9 .00 3. : 0(=02 4Un 9 .00 @ 3=(0B62n 1#lculo del valo pesente 3P2 " p
=
100 m e
100
= e
( 0.9 x0.5)
& de " t"s" de inte!#s "n" (i
i "
+
)
= e 0.9 − 1 = 155.96% ⇒ 146%
1alculo del valo &utuo de 3<2 < 9 6(B6=>3. : .(462n < 9 .(? <
n 9 =(6 a/os(
2/.@ n se/o tiene s =0000 'uiee deposita el dineo su&iciente con el &in de obtene s ?0000 paa educa a su +ijo si el +ijo tiene ? a/os % comiena sus estudios a los .> a/os F 1u#nto debe# deposita el se/o con el &in de pode !ana un >7 de inte*s con capitaliaci$n timestal( Soluci$n , P9G ? 6
< 9 ?0000 B
.>
0
TEORIA DE INVERSIONES
0
.
PA-440
=
.
in 9 >7 capitaliable timestalmente tenemos 'ue m 9 4 entonces , i p =
in m
=
8%
= 2%
4
ie 9 3.:ip24 - . ie 9 >(=47 P 9 <3P<)i e)n2 P 9 ?00003P<) >(=47).2 P 9 .B>6.(4 RTA .B>6.(4
21.- F1u#nto dineo podemos etia timestalmente duante .? a/os de un &ondo de etio 'ue poduce >7 de inte*s anual capitaliable semestalmente ( Se tiene actualmente 40000( Soluci$n , P 9 4000
A
0
.
in
A 4
A .?
= 8% "n" "pit"i" e semest!"mente i p =
in m
=
8
=4
2
it 9 3.:0(042.= -. it 9 .(>7 A 9 P3PA)it)n2 A 9 400003PA).(>7)602 A 9 ..4?(.? RTA ..4?(.?
22(-F1u#ntos dep$sitos mensuales de 84? debe e&ectua una pesona con el objeto de acumula 8.0000 si la tasa de inte*s es del .07 anual capitaliable semestalmente G Soluci$n,
.
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
4? 4? 0
.
4?
4?
n
=
in 9 .07 anual capitaliable semestalmente ip 9
in 2
9
10
9 ?
2
im 9 3.:0(0?2.6 - . im 9 0(>=7 Sabemos , < 9 A 3<A)im)n2 .0000 9 4? 3<A)0(00>=)n2
(1 + 0.0082) n − 1 10000 = 45 0.0082 1.182
= (1.0082)
n
lo!.(.>= 9 n lo!.(00>= n 9 =0 RTA 9 =0
23.@ Die paticipantes en una unta 3.00 8 cu2( Ka modalidad paa obtene la junta es al emate( El pime mes sali$ con El se!undo mes sali$ con El tece mes sali$ con
8 .?0( 8 .60( 8 .B?(
Al &inal del cuato mes un paticipante po motivo de viaje se etia de la unta( Se pide detemina la cantidad 'ue se le debe# ente!a( Soluci$n, Paa el .e mes , Recibe , 8 .000 Deuda , 8 00 1uota , 8 .?0 W de 1uotas , 1#lculo del inte*s , P 9 D3PA)i)2 009.?03PA)i)2 I 9 >(>7 apo@imando , i 9 (007
Peiodo = 4 ? 6 B > .0
Deuda 00 >B. B??(> 6B(> ?>4(4 4>B(0 >0(> =6?(. .(0
Inte*s 1uota Amot( >(. .?0 6 B4(> .?0 B?(= 6>(0 .?0 >=(0 60(6 .?0 >(4 ?=(6 .?0 B(4 4(> .?0 .06(= 4( .?0 ..?(B =( .?0 .=6(. .=(? .?0 .B(?
Paa el =do mes ,
=
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Recibe 9 .?0 : @.00 Peiodo Deuda 9 .0?0 >4. Deuda 9 .0?0 4 B6>(? 3.00:300:>.22 ? 6>>(4 9 >4.( 6 600 1uota 9 .60 B ?0=(4 W de 1uotas 9 > > =4(6 1#lculo del inte*s , =B?(6 P 9 D3PA)i)>2 .0 .44( >4.9.603PA)i)>2 i 9 .0(4 7 Paa el e mes , Recibe 9 .?0 : .60 : >@.00 9 ...0 Peiodo Deuda , B>0(B 4 1uota , .B? ? W de 1uotas , B 6 1#lculo del inte*s , B P 9 D3PA)i)B2 > (B>0(B 9 .B?3PA)i)B2 i 9 .=(B 7 .0
Deuda B>0(B B04(> 6.( ?= 4.4(4 == .?4(.
Inte*s >B(? B( B.(6 6=(4 ?=(= 4.( =>(B .?
1uota .60 .60 .60 .60 .60 .60 .60 .60
Inte*s (. >(? B>(B 66(4 ?=(6 B(. .(6
1uota .B? .B? .B? .B? .B? .B? .B?
Amot( B=(? >0(. >>(4 B(6 .0B(> .. ..( .4?
Amot( B?( >?(? 6( .0>(6 .==(4 .B( .??(4
Paa el 4to mes , Recibe 9 .?0 : .60 : .B? : [email protected] 9 ..>? Deuda 9 ..>? 33B??(>:6>2B :3B6>(?:B(2B :3B>0(B:(.2B :.002 9 ..>? 464(6 9 B=0(4 Se le ente!a 9 ..>? B=0(4 9 464(6
2&.@ Se tata de un p*stamo bancaio de 40 millones de soles a una tasa de inte*s e&ectiva de =B7) peo el anco coba el inte*s po adelantado( Se debe +alla la Tasa de Descuento e'uivalente % los cuados de epa!o de la deuda a lo la!o de 4 meses 3a cuotas dececientes) constantes % cecientes2 Soluci$n , Siendo ,
i 9 0(=B 1 − d =
Entonces ,
1 1+i
d 9 0(=.=6
d 9 =.(=67(
.(-1OTAS DE1RE1IENTES .0>00
>.00 .=B00
?400 .=B00
=B00 .=B00
.=B00
TEORIA DE INVERSIONES
0 ?0>00
PA-440
.
=
4
Impote Inicial 9 40 000 0003.-d2 9 ?0 >00(
No 0 . = 4
SAKDO
ACORTIXA1ION
?0>00 ?0>00 >.00 =?400 .=B00
.=B00 .=B00 .=B00 .=B00 ?0>00
INTERES SaldoY0(=.=6 .0>00 >.00 ?400 =B00 =B000
=(- 1OTAS 1ONSTANTES
.0>00 0 ?0>00
A. 1. I.
A= 1= I=
A 1
.
=
I
A4 14
I4
4
A. : A= : A : A4 9 ?0>00 3?0>00 A.2@d : A. 9 1. ?0>00@d : A.3.-d2 9 1. 3?0>00 A. A=2@d : A= 9 1= ?0>00Yd : A=3.-d2 A.@d 9 1= 3?0>00 A.- A= - A2@d : A 9 1 ?0>00d : A3.-d2 A=d A.d 9 1 3?0>00 A. A= A A42@d : A4 9 14 ?0>00@d : A43.-d2- Ad- A=d- A.d 9 14 1. 9 1=
?0>00@d : A. 3.-d2 9 ?0>00@d : A=3.-d2 A.d A. 9 A= 3.-d2 9 A 3.-d2= 9 A4 3.-d2 A= 9 A 3.-d2 9 A4 3.-d2= A 9 A4 3.-d2
A. : A= : A : A4 9 ?0>00 9 A4 33.-d2 :3.-d2= :3.-d2. :.2 d 9 0(=.=6
A4 9 .B?4(0 9 1
No
SAKDO
ACORTIXA1ION
0 . =
?0>00(00 ?0>00(00 4==?(0
?64(B0 .0>BB(=0
INTERES SaldoY0(=.=6 .0>00(00 >B(=0 6666(B0
4
1OTA .0>00(00 .B?4(0 .B?4(0
1OTA .0>00 =0>00 .>.00 .?400 .=B00
TEORIA DE INVERSIONES 4
.?>(.0 .B?44(00
PA-440 .>.4(.0 .B?44(00 ?0>00(00
B=(>0 0.B?(B0
.B?4(0 .B?44(00
(- 1OTAS 1RE1IENTES .0>00 0 ?0>00
?0>00 .
No
SAKDO
0 . = 4
?0>00 ?0>00 4?B=0 ??60 =0=0
.0.60 =
.?=40
=0=0
0 =.0 .0.60 .0 .?=40 4.0 =0=0 ?0>00
?
4
INTERES SaldoY0(=.=6 .0>00 B=0 B?60 4=0 =400
1OTA .0>00 .4>00 .BB=0 .?60 =0=0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
P$O=LEMAS P$OPUESTOS 1.@ na instituci$n bancaia anuncia 'ue oto!a una tasa del ?)=?7 con capitaliaci$n diaia) 'ue se!n dic+o anuncio es e'uivalente a una tasa e&ectiva del ?(7( n invesionista tiene depositado su dineo en una cuenta 'ue o pa!a el ?7 capitaliable timestalmente( Si esta pesona tans&iee .0000 de su cuenta al banco )F Zu* inte*s adicional ecibi# al a/o( RTA :
30%
2.@ na compa/"a madeea e'uiee incementa su capital en = millones paa &inancia una pe'ue/a e@pansi$n( F1u#l debe"a se el valo nominal de sus bonos si los mismos pa!a"an un inte*s del .=7 anual capitaliable timestalmente % vencimiento en =0 a/os G( Supon!a 'ue los invesionistas e'uiean una tasa de etono del .67 anual capitaliable timestalmente( RTA :
2!2"#$"
3.@ n invesionista comp$ un bono de .)000 d$laes al ?7 en >=?( El inte*s se pa!a semestalmente % el bono vence en = a/os( El bono se consev$ duante > a/os % se vendi$ en >00 inmediatamente despu*s del pa!o NL .6 de inte*s( FZu* tasa de etono anual n ominal se consi!ui$ con esta invesi$n G( RTA :
6
$&"%
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Ca+t% & &. INFLACIBN DE?ALUACION: Tataemos a'u" este poblema) 'ue es mu% comn paa las pesonas de todo el mundo) 'ue es el cambio constante de los pecios los cuales les cean un poblema a a'uellas 'ue tienen in!eso &ijo( En este cap"tulo apendeemos como da cuenta de los e&ectos de la in&laci$n % la escalaci$n de costos cuando est* manej#ndose un an#lisis econ$mico de altenativas(
&.1 De4n"%nes Ka in&laci$n 3&2 se descibe m#s comnmente en t*minos de un pocentaje anual 'ue epesenta la tasa a la cual los pecios del a/o en e&eencia +an aumentado en elaci$n con los pecios del a/o anteio( Ejemplo, Si la tasa de in&laci$n anual &ue de .=?7 detemina la in&laci$n pomedio mensual( In&laci$n en el a/o & 9 .=?7 In&laci$n pomedio mensual & m 9 G n 9. a/o 9 .= meses Aplicando la &$mula deteminada en el cap"tulo 5Tasa de Inte*s E&ectiva5) se obtiene,
*
m
12
1 - 1
= 12 1 + 1,25
m
=
-1
7%
Ka p*dida del valo ad'uisitivo de la moneda puede e@pesase matem#ticamente utiliando el &acto .3.:i2 n(
De4a"t%r El de&lacto es un "ndice de pecios con el 'ue se conviete una cantidad [nominal en ota [eal( Num*icamente es el cociente ente el PI nominal % el PI eal e@pesado en &oma de "ndice ( De acuedo al si!uiente cuado
AO . >> . > . 0 . .
P=I NOMINAL 40 .64)0 4? 0=4) ?0 0B4). ?4 BB?)=
P=I $EAL ? ..)> B 6==). > >0)? 0).
DEFLACTO$ P=I ...)> ..)B .=>)? .B)
B
TASA INFLACIBN ?)B B)0 B)4 6)
TEORIA DE INVERSIONES . =
?> ..)6
PA-440 40 B>).
.4?)
=
De%lactor$ del$P"I $1991
De%lactor .delP"I .1992
=
Tasa$ in lacion$1992
39903 #1
x100
= 137 #27
P+ − !e" − 1992
=
=
=
54775 #2
P+ − n&min" − 1992
De%lactor$ del$P"I$1992
Tasa de in lacion$1992
P"I & nominal&1991 x100 P"I − real −1991
=
De%lactor$del$P +.1991
6)
58911 #6 40378 #1
x100
x100
=
145 #9
De%lactar $1992&De%lactar $1991 x100 De%l actar$1991 145 #9
x100
137 #3
=
6 #3
E'emplo () *
n empleado ecibe actualmente S( .4? como sueldo) consideando una tasa de inte*s eal de =07 anual con una in&laci$n anual estimada de .(=7 ( Se pide el valo &inal del sueldo al cabo de a/os( Sol+ci,n :
.4? 0
<9G .
=
i 9 =07 & anual 9 .)=7 usando ,
i! =
i′n
− 1 +
⇒
i n 9 i 3 .:& 2 :&
\ eemplaando los datos tenemos i]n 9 =.)447
< 9 P 3 . : i] n 2 9 .4? 3 . : i] n 2 9 =60 < 9 =60
Ejemplo N^ = Se espea 'ue la in&laci$n aumente a a$n de .?7 duante > a/os ( Se pide el valo &utuo
>
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
de la invesi$n actual de S( = 000 en una cuenta de a+oo ) con un endimiento del .07 de inte*s ( Sol+ci,n :
Se calcula el valo &utuo de S = 000 sin desconta la in&laci$n 3 2 B).> El valo &utuo en unidades monetaias del mismo pode ad'uisitivo 3<2 se obtiene de&lactando B).>3.:0).?2 > < 9 . 40.)4 Ejemplo N^ 1ual es la in&laci$n mensual e'uivalente 3
P 0
< .
=
P3. : & m 2 9 P3. : & . 23. : & = 23. : & 2 3 . : & m 2 9 3 . :& . 23 .: & = 23 .: & 2 3 . : & m2 9 3.: 0).=23 . : 0).23 . : 0).4 2 & m 9 .=)7
Ejemplo N^ 4 Si un tabajado ten"a +ace un a/o un +abe mensual de S( 4>0 % en la actualidad pecibe S( B?0) consideando 'ue la tasa de in&laci$n anual es de .=?7( Detemina el pode ad'uisitivo del +abe actual con especto al a/o anteio( Sol+ci,n:
P_ 9 S( 4>0 P 9 B?0 P. 9 G Pode ad'uisitivo del dineo al cabo de un a/o( & 9 .=?7 n 9 .
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
P_ 9 4>0
<. 9 B?0
-.
0
De&lactando se tiene, F
F1 (1 ) 750
F=
(1 + 1,25)
1
= 333,33
1#lculo de la p*dida del pode de ad'uisici$n 4>0
)
-.
0
P*dida del pode ad'uisitivo,
480
=
333,333 1+i
i 9 - 0)?67 Kos S( ) tienen un pode ad'uisitivo de 6)447 con especto al a/o anteio) o sea 'ue +a pedido el 0)?67 del pode ad'uisitivo( Kos tipos de tasas de inte*s estudiados en el cap"tulo ) tienen una caacte"stica en comn, i!noan la e@istencia de la in&laci$n po eso en el len!uaje de in&laci$n se dice 'ue todas a'uellas tasas de inte*s son NOCINAKES( Al concepto de tasa de inte*s nominal) 'ue es el 'ue i!noa la e@istencia de la in&laci$n se opone la noci$n de inte*s REAK) 'ue es la 'ue pecisamente la tiene en cuenta( ajo estas denominaciones se tiene lo si!uiente, in 9 tasa de inte*s nominal i 9 tasa de inte*s eal Se sabe 'ue, F1 =P(1 +in)((((((((((((((((( 3.2
Si se toma en cuenta la in&laci$n se tiene, F1 F= 1+
((((((((((((((((( 3=2
Remplaando 3.2 en 3=2 se tiene, 40
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
F =P
(1 + in) (1 + )
Po esta consideada la in&laci$n) entonces, F =P(1 + i! )
P(1 + i! ) = P
i! =
(1 + in) (1 + )
in - 1 +
```(((((((((((32
Ka &$mula N^ 32 tambi*n se acostumba a se pesentada de la &oma si!uiente,
3.:in2 9 3.:i 2 3.:&2
El poblema anteio 3ejemplo 42 se esuelve de la si!uiente manea, De 3.2,
750 − 1 100 480
in =
in = 56,25%
& 9 .=?7
Aplicando 32 se tiene,
i! =
i!
(0,5625 - 1,25) 100 2,25
= - 30,56%
Ka tasa de inte*s eal es ne!ativa) lo 'ue si!ni&ica 'ue el +abe mensual del tabajado +a pedido pode ad'uisitivo( Obsevando el numeado de la &omula i − i ! = n 1 +
Se apeciaa de inmediato 'ue se tend# una tasa de inte*s eal positiva si el inte*s nominal es ma%o 'ue la in&laci$n(
4.
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
E'emplo () $:
Si una pesona deposita una cantidad P en soles con un inte*s bancaio de .. 7 anual % la misma cantidad en d$laes con un inte*s de 6 7 anual % una devaluaci$n anual de .07 ( F 1u#l opci$n le convend# G Sol+ci,n:
Coneda Nacional , P
<
0
i. 9 .. 7
.
<. 9 P 3. : 0)..2 9 .)..P Coneda E@tanjea , P
<
0
i= 9 6 7
.
sea M 9 cantidad de soles po d$la
F =
P
(1 + 0,06)
1onvitiendo los d$laes a soles) aplicando la tasa de devaluaci$n del .07) se tiene, F (1,1) =
P
(1,06)(1,1) = F2
<=9.).66P Ka mejo opci$n es deposita en d$laes E'emplo ( ! :
n empleado ecibe de sueldo en la actualidad .= 000 soles % al cabo de ? meses ecibe . 000) asumiendo una in&laci$n mensual del .)?7 se pide la tasa de inte*s eal(
4=
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Sol+ci,n :
P 9 .= 000 0
< 9 . 000 .
=
(((((((((((((((((((((((((((( ? meses
< 9 P3.: in2? . 000 9 .= 0003 .: in2 ? 5
19 12
− 1 = in i! =
De ,
in− 1 +
Tenemos ,
i −0,015 i ! = n = 0,08 1,015
i 9 >7
E'emplo () -:
Se pide estima la in&laci$n anual ) si las in&laciones en los tes pimeos meses son , & . 9 .)7 & = 9 .)=7 & 9 .)47 1u#l es la in&laci$n anualG Sol+ci,n :
0
0
& .9.)7 .
& =9.)=7 =
& 9.)47
meses
. timeste
4
TEORIA DE INVERSIONES
m
=
3
PA-440
1,04
−1 =0,013
& anual 9 3.:& t24 . 9 0).B
E'emplo () ":
Si se espea 'ue la in&laci$n aumente a a$n de .=?7 anual) comp#ese la invesi$n actual de S( .0 000 000 en una cuenta de a+oo po a/os con un endimiento del >07 de inte*s e&ectivo anual) con la invesi$n a ctual de .0 000 000 en una m#'uina 'ue se necesita# dento de a/os( Sol+ci,n:
Si la m#'uina aumenta de pecio con&ome a la in&laci$n) como esultado de *sta) S( .0 000 000 dento de a/os) no pemiti# ad'uiila) puesto 'ue se tiene a una tasa in&lacionaia del .=?7) los S( .0 000 000 se convieten en, < 9 .0 000 000 3.:.)=?2 9 S( .. 06 =?0 Esta cantidad tend# i!ual pode ad'uisitivo 'ue los .0 000 000 actuales mientas 'ue el dep$sito en el banco acumula# s$lo, < 9 .0 000 000 3.: 0)>2 9 S( ?> =0 000 1antidad 'ue no pemite ad'uii la m#'uina) %a 'ue epesenta s$lo el ?.)=7 del valo de ese monto( Paa calcula el valo ad'uisitivo puede utiliase tambi*n el cuado de 5NDI1E HENERAK DE PRE1IOS AK 1ONSCIDOR5( Ejemplo N^ Si al . de abil de . >= una pesona !anaba S( =?0 000 % al . de abil de .> !ana S( 400 000) calcula el valo eal del dineo al .04>( ndice Heneal de Pecios al 1onsumido Io 9 =?4)0 3"ndice al .(04(>=2 I. 9 40>)6 3"ndice al .(04(>2
Sol+ci,n:
Kos "ndices se pueden tata como cantidades e'uivalentes en el tiempo( =?4)0
40>)6
44
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
0 Ka tasa de in&laci$n es,
.
< 9 P 3.:&2. 40>)6 9 =?4 3.:&2 1 + =
408,6 254
.: & 9 .)60>B & 9 60)>B 7 Po consi!uiente) el valo ad'uisitivo de 400 000 3<2 es de, Valo con especto al .(04(>=, F
=
(1 + )
400 000 (1 + 0,6087 )
=248 654
Esta cantidad epesenta) especto a lo 'ue !anaba al .(4(>= - el )467 C*todo sual del 1#lculo, En la p#ctica se opea de la si!uiente manea, DE
=
408,6
=
254
=1,6087
400 000 1,6087
=/ 248 650
e iene " se! e 99,46%
4(= De4n"7n de E#aa"7n A+"a"%nes El t*mino de evaluaci$n si!ni&ica simplemente el econocimiento de 'ue la unidad monetaia +a pedido pate de su valo ad'uisitivo % 'ue en consecuencia est# siendo ajustada a &in de e&leja dic+a p* dida( Ka devaluaci$n est# e&eida a 'ue la moneda +a pedido su valo ad'uisitivo al compaalo con ota moneda de valo m#s estable( Ejemplo N^ . Se puede ad'uii bonos de Reconstucci$n de los tenedoes pimaios pa!ando el >7 del valo nominal( Estos bonos inden un inte*s nominal del ?67 capitaliable timestalmente) siendo edimibles a los = a/os( Se puede ad'uii tambi*n 1eti&icados ancaios en moneda e@tanjea al .67 anual a 0 d"as enovables 3capitaliaci$n mensual2) asumiendo una tasa mensual de pobable devaluaci$n del 4)?=7 se pide, a2 1u#l es el endimiento anual e&ectivo paa los bonos de econstucci$nG b2 1u#l es el endimiento anual del ceti&icado bancaio en moneda e@tanjeaG c2 1u#l es la mejo altenativaG Sol+ci,n :
4?
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
a2 Sea el valo nominal del bono % 0)> lo 'ue se pa!$ po *ste) entonces al cabo de dos a/os ecibe < 9 3<P)?647)>2 a/os Timestes
0
. 4
= >
1omo s$lo se conviti$ 0(> el endimiento o inte*s anual es, 0(> 9 3<P)?647)>2 3P<)i7)=2 1on las &$mulas se tend"a, 0)> 9 3.:0).42 >Y i 9 .B)7
1
=
(1 + i)
b2 Ka invesi$n en ceti&icado bancaio en moneda e@tanjea es 0(>) entonces el endimiento anual e&ectivo de la invesi$n consideando la devaluaci$n e&ectiva anual es, 0)> a/os meses
0
. .=
Rendimient& "n"
= =4
=
Rendimient& "n" =
nte!es ne!si;n :0,38+(1 +
100
0,16 12
)12 (1 + 0,0452)12 0,38+
− 0,38+ 100
i 9 )=67 El &acto 3.:0).6.=2.= se aplica paa detemina el inte*s de la moneda e@tanjea en un a/o % el &acto 3.:0)04?=2 .=se utilia paa conveti la moneda e@tanjea en nacional %a 'ue como se menciona) en el enunciado) la devaluaci$n es 4)?=7 mensual( El endimiento se puede calcula tambi*n de la si!uiente manea, 3.:i2 9 3.:0).6.=2 .=3.:0)04?=2.= i 9 )=67 c2 Ka mejo soluci$n altenativa es 3a2(
Ejemplo N^ = 46
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
na compa/"a inviete S( 000)00 anualmente duante > a/os comenando dento de un a/o en un nuevo poceso de poducci$n F1u#nto dineo debe# ecibi al &inal del a/o > en moneda coiente en ese entonces paa 'ue la compa/"a ecupee su invesi$n a una tasa de inte*s del .7 anual % a una tasa de in&laci$n del .07G Sol+ci,n :
Sabemos
i& 9 i : i& : &
i& 90).:30).230).02:0). i& 9 0)=4
0
A
A
.
=
A i& 9 0)=4
B
< 9G >
<9 A3<A) i& )n2 < 9 0003<A)=4)7)>2 < 9 ?> 00B Ejemplo N^ 1alcula cuanto dineo se debe a+oa anualmente duante .= a/os una &#bica empacadoa de cane a tav*s de la ecupeaci$n de esiduos paa justi&ica un desembolso de ? 000 si la tasa de inte*s es del =07 anual % la tasa de in&laci$n del B7 anual( Sol+ci,n
:
P 9 ? 000 0
A
A
A
.
=
..
i 9 =07 anual +allaemos la tasa de inte*s in&lada i& 9 i : & : i& i& 9 0(= : 0)0B :0)=@0)0B i& 9 =>)47 sabemos A 9 P 3AP)i& )n2 4B
A .=
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
A 9 ? 000 3AP)=>)47) .=2 A 9 .0 46.
Ejemplo N^4 Qalla la cantidad de moneda de +o% % moneda coiente en el a/o .0 'ue se# e'uivalente a una invesi$n actual de S( 000 a una tasa de inte*s anual del .?7 % una tasa de in&laci$n del .07( Sol+ci,n :
a2 P 9 000 0
<9 G
.
=
.0
i9 .?7 Sabemos < 9 P3<P) i )n2 < 9 000 3<P).?7).02 < 9 . ?0)4 b2 P 9 000
0
.
<9G
=
i& 9 i :&:i& i& 9 0).? :0). :0).?@0). i& 9 =6)?7 Sabemos < 9 P3<P i& )n2 < 9 000 3<P)=6)?7).02 < 9 46 =B 4>
.0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Pr%e!as $eset%s 1.
El !eente de la tienda de alimentos Spe #pidoJ est# tatando de detemina cuanto debe# !asta a+oa paa evita el !asto de 8.0 000 dento de dos a/os) en un e'uipo de e&i!eaci$n( Si la tasa de inte*s es de =7 mensual % la tasa de in&laci$n es de .7 tambi*n mensual( F 1u#l es la m#@ima cantidad de dineo de la 'ue puede dispone el !eente paa !asta G S./1I.(:
P 9 <3P<) i n7) =4 2 P=
F (1 + i n )
(((
24
3.2
in 9 3.:&23.:i 2-. 3.: in2=4 9 3.: &2=43.:i 2=4 (((((((((((((((((((((((((((((3=2 3=2 en 3.2 , P=
P=
F (1 + )
24
(1 + i!)
24
10 000 (1 + 0,01)
24
(1 + 0,015)
24
P9 ? ?0 2.
A una c+ica con suete le acaban de in&oma 'ue su abuelo mui$ % le dej$ una cuenta de a+oo de 8 000 000( Si el abuelo abi$ la cuenta +ace ?0 a/os) con un dep$sito nico % nunca deposit$ oto d$la a la cuenta oi!inal) F 1u#nto deposit$ G Supon!a 'ue la cuenta !ana inteeses a una tasa de =07 anual % la tasa de in&laci$n &ue de ?7 duante ese pe"odo(
Sol+ci,n
Al i!ual 'ue el poblema anteio( P=
P=
F (1 + )
50
(1 + i ! )
50
3 000 000 (1 + 0,05)
50
(1 + 0,2)
50
4
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
P9 =>)B4 1.
F 1u#nto dineo pod# !asta la compa/"a HROZ +o% paa evita !asta 8? 000 anuales po seis a/os a la tasa de inte*s de .?7 % la tasa de in&laci$n del .07 anual G(
Sol+ci,n
Sabemos 'ue, P=
P=
F 6
(1 + ) (1 + i ! )
6
5000
6 6 P9 . ==0).>( (1 + 0,1) (1 + 0,15)
CAPITULO * *. P$INCIPALES MODALIDADES DE OPE$ACIONES FINANCIE$AS *.1 O+era"%nes A"t#as Presta!%s Kos p*stamos de ma%o inte*s son los 'ue se oto!an a mediano % la!o plao( Ka devoluci$n !adual de un p*stamo se denomina amotiaci$n) la ma%o"a de las veces se e&ecta pa!os pei$dicos 'ue inclu%en adem#s los inteeses) comisiones) costos de opea el ?0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
c*dito) etc( se denomina 1osto de 1apital del invesionista( Ka descomposici$n de los pa!os en pe"odos se llama po!ama de amotiaci$n( • • • • •
Kas &omas usuales de pa!o son, Plan de cuotas dececientes( Plan de cuotas constantes( Plan de cuotas cecientes( Sistema de eajuste de deudas(
Pan de C%tas De"re"entes Tambi*n llamado 5 PKAN DE ACORTIXA1IONES 1ONSTANTES 5) bajo esta modalidad 'uien ecibe un p*stamo lo tiene 'ue amotia en pates i!uales adicionando adem#s los inteeses a ebati o sobe el saldo pendiente de cada pe"odo %a 'ue los inteeses disminu%en al disminui el saldo de la deuda( o
En el cuado N ?). se muesta un po!ama de amotiaci$n paa un p*stamo obtenido bajo esta modalidad de pa!o(
o
1uado N ?).,
Po!ama de Amotiaci$n Plan de 1uotas Dececientes
Conto Plao Inte*s Inte*s timestal Amotiaci$n
, , ,
Pe!'&d &
, ,
S(.0 000 000 = a/os 9 > cuotas timestales .= : 9 .?7 anual .? 9 (B?7 timestal .0 000 000 > 9 . =?0 000
De d "
m&!ti"i;n
$!imest!"
n te!#s <
"d &
&misi;n
$&t" " P"="!
1
10 000,00
1 250,00
375,00
8 750,00
1 625,00
2
8 750,00
1 250,00
328,13
7 500,00
1 578,13
3
7 500,00
1 250,00
281,25
6 250,00
1 531,25
4
6 250,00
1 250,00
234,38
5 000,00
1 484,38
5
5 000,00
1 250,00
187,50
3 750,00
1 437,50
6
3 750,00
1 250,00
140,63
2 500,00
1 390,63
7
2 500,00
1 250,00
93,75
1 250,00
1 343,75
8
1 250,00
1 250,00
46,88
0,00
1 296,88
10 000,00
1 687,50
$>$?
11 687,50
Pan de C%tas C%nstantes Cediante este sistema va"a tanto las amotiaciones como los inteeses) peo la suma de ambos) o sea la cuota) 'ue se +a de pa!a en cada pe"odo es constante) *sta se obtiene aplicando la si!uiente &$mula, A 9 P 3A P) i) n2 A P
, ,
1uota o amada constante Pincipal o p*stamo ?.
TEORIA DE INVERSIONES I n
, ,
PA-440
Tasa de inte*s popocional Nmeo de pe"odos
1alculada la cuota) se detemina los inteeses del pe"odo % po di&eencia se obtiene la amotiaci$n del p*stamo en cada pe"odo( En el cuado N^ ?)= se muesta un po!ama de amotiaci$n paa un p*stamo obtenido bajo esta modalidad( 1uado N^ ?)=,
Po!ama de Amotiaci$n Plan de cuotas 1onstantes
Conto Plao Inte*s
, , ,
S(.0 000 000 = a/os - > cuotas timestales .= : 9 .?7
n te!#s p &! p e!'&d &
3,75%
@ A me!& d e pe !'&d &s B" &! P!in ip " Pe!'&d &
8 t!im est !es 10 000,00
De d "
m&!ti"i;n
$!imest!"
n te!#s <
"d &
&misi;n
$&t" " P"="!
1
10 000,00
1 094,98
375,00
8 905,02
1 469,98
2
8 905,02
1 136.05
333,94
7 768,97
1 469,98
3
7 768,97
1 178,65
291,34
6 590,32
1 469,98
4
6 590,32
1 222,85
247,14
5 367,48
1 469,98
5
5 367,48
1 268,70
201,28
4 098,77
1 469,98
6
4 098,77
1 316,28
153,70
2 782,49
1 469,98
7
2 782,49
1 365,64
104,34
1 416,85
1 469,98
8
1 416,85
1 416,85
53,13
0,00
1 469,98
36 929,90
11 759,87
$>$?
10 000,00
Pan de C%tas Cre"entes En este plan las cuotas aumentan en &oma sucesiva a tav*s del tiempo) esto se consi!ue de la manea si!uiente, Se suma los d"!itos de los pe"odos( • Se divide el p*stamo ente la suma de los d"!itos )% • • Ka amotiaci$n se calcula aplicando la si!uiente &$mula,
m s
Amorti)aci(n = ( P )
P m S
, , ,
Conto Inicial D"!ito del pe"odo Suma de d"!itos de los pe"odos
El sistema de cuotas cecientes es utiliado pincipalmente en el secto vivienda %a 'ue pemite un ma%o acceso de viviendas a las &amilias de menoes ecusos( En el 1uado N^ ?) se muesta un po!ama de amotiaci$n paa un p*stamo obtenido bajo esta modalidad( 1uado N^ ?),
Po!ama de Amotiaci$n
?=
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Conto Plao Inte*s
Plan de 1uotas 1ecientes , S( .0 000 , = a/os 9 > cuotas timestales , .= : 9 .? 7
n te!#s p &! p e!'&d &
3,75%
@A me!& d e pe! '&d &s
8 t!im est !es
B"&! P!in ip " Pe!'&d &
10 000,00 De d "
P!&p &!i;n
$!imest!"
m&!ti" i;n
m&!ti "i;n
n te!#s <
" d &
&misi;n
$&t" " P"=" !
1
10 000,00
0,0278
277,78
375,00
9 722,22
652,78
2
9 722,22
0,0556
555,56
364,58
9 166,67
920,14
3
9 166,67
0,0833
833,33
343,75
8 333,33
1 177,08
4
8 333,33
0,1111
1 111,11
312,50
7 222,22
1 423,61
5
7 222,22
0,1389
1 388,89
270,83
5 833,33
1 659,72
6
5 833,33
0,1667
1 666,67
218,75
4 166,67
1 885,42
7
4 166,67
0,1944
1 944,44
156,25
2 222,22
2100,69
8
2 222,22
0,2222
2 222,22
83,33
0,00
1,000
10 000,00
$>$?
2305,56 12 125,00
O+era"%nes de des"ent% "%n !s de na a!%rt8a"7n Plan de cuotas Dececientes Ejemplo, Se tiene la si!uiente in&omaci$n, P 9 S( .00 3cantidad ecibida2 P9C-D 0
60
Pe"odo de descuento ie Plao
9 9 9
.=0 60 d"as 407 anual .>0 d"as
Soluci$n, 1#lculo de la tasa de descuento, n
=
360 60
d = 1 −
=6
1 6
1 + ie
d = 5.45%
?
.>0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
1#lculo del monto total del p*stamo 3C2, P = M − D P = M (1 − d ) M =
100 P = 1 − d 1 − 0.0545
M = 105.76
1#lculo del monto a amotia cada 60 d"as , n
= 180 = 3
A
=
60 M
= 105.76
* A = 35.25
3
Pr%5ra!a de A!%rt8a"7n Pan de C%tas De"re"entes I n t e r é s p o r p e r í o d o m e r o e p e r o o s V a l o r P r i n c i p a l P e r í o d T r i m e s t r a l
D e u d
1 5 , 7 5 t r m e s t r e s 1 0 0 0 0 , 0 A m o r t i z a c i ó
1 0 5 , 7 1, 7 0 , 5 1 3 5 , 2 T O T
0 , 0 , 3 5 , 2 3 5 , 2
I n t e r é s C o m i s i ó 5 , 7 , 1 , 9 0 , 0
S a l d 1 0 5 , 7 , 3 5 , 2 0 , 0
7 0 , 5
T o t a l P a g a r 5 , , 3 7 , 1 3 5 , 8 2 ,
Pan de C%tas C%nstantes Sea, A 9 1uota constante 1j 9 Amotiaci$n en el pe"odo j) j , .)=) ) ) n D 9 Tasa de descuento C 9 Conto total del p*stamo P 9 1antidad neta ecibida en el pe"odo ceo n 9 Nmeo de pe"odo de amotiaci$n(
Paa n 9. P9 C-D
A
0
.
P 9 C-D C 9 1. C 9 1. 9 A
?4
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Paa n 9=
0 C A A 1. C
9 9 9 9 9 9
A
A
.
=
1. : 1= 1= 1. : 1=d A - 1=d A - Ad A . : 3.-d2 U
Paa n 9
0 C 1 A 1= A 1. A C
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
A
A
A
.
=
1. : 1= : 1 A A 9 1 = : 1d 1 A 9 1.:31= : 12(d A - 1d A - Ad 1= : 1d A - 31= : 12d A - 3A- Ad :A2d 1. : 31= : 12d A : A - Ad :A3A - Ad : A2d A : A - Ad : AU3.-d2 A : A. : 3.-d2U3.-d2 A. :3.-d2 : 3.-d2=U
A 9 1
Paa el pe"odo n) se tiene, C 9 A . : 3. d2 : 3 . d2 = : ((( 3. d2n-. U
(((3.2
Cultiplicando 3.2 po 3.-d2, C 9 A 3. d2 : 3. d2 = : ((( :3. - d2 n U
(((3=2
3.2 - 3=2 , Md = A 1 − (1 − d ) A
= M
n
d 1 − (1 − d )
n
E&ectua el po!ama de amotiaci$n bajo de cuotas constantes paa la si!uiente in&omaci$n, ??
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
P Pe"odo de descuento ie Plao
9 9 9 9
S( .00 000 0 d"as 407 anual .=0 d"as
1#lculo de la tasa de descuento, n
=
360 30
d = 1 −
1 12
1 + 0.4
= 2.765%
1#lculo del monto del p*stamo 3en miles de Soles2 C C
9 9
.00 3.- 0)0=B6?2 .0=)>4
1#lculo de la cuota constante, n 9 .=0 9 4 A
9 C
d . 3.-d2n
A
9
=6)>0
Po!ama de Amotiaci$n Plan de cuotas constantes Pe"odo Censual 0 . = 4
Deuda
Amotiaci$n
.0=)>4 .0=)>4 B>)=0 ?=)>6 =6)>
0)00 =4)64 =?)4 =6)06 =6)>0
Dscto( =)>4 =).6= .)46= 0)B4. 0)000
Saldo .0=)>4 B>)=0 ?=)>6 =6)>0 0)00
Total a pa!a =(>4 =6(>0 =6(>0 =6(>0 =6(>0
Esta tabla se constu%e patiendo del ltimo pe"odo) puesto 'ue en *l la amotiaci$n es i!ual a la cuota(
Sste!a de rea6ste de dedas El sistema de eajuste de deudas o de inde@aci$n de capital est# de&inida como el eajuste pei$dico % autom#tico de deteminados valoes con "ndices 'ue e&lejan la in&laci$n( Del cap"tulo anteio se tiene,
?6
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
3. : in2 9 3. : i 2 3. : &2 & i
, epesenta la tasa de eajuste de la deuda) , epesenta la tasa de inte*s b#sica
Pr%5ra!a de A!%rt8a"7n Sste!a de $ea6ste de Dedas Conto Total Plao Inte*s Descuento
, , , , ,
S( .00 000 a/os .=7 3i 9 7 timestal2 0 d"as 407 anual 3& 9 3.)42 0)? - . 9 >)BB?B= 7 timestal2
Ciles de Soles Pe"odo Timestal 0 . = 4 ?
Deuda .00)000 .0>)BB6 4)60> BB).. ??)4? 0)B
Amotiaci$n 0)000 =.)>00 =)B00 =?)B00 =>)000 0)B
Dscto( )000 )=6 =)>> =).4 .)6B> 0)000
Saldo .00)000 >6)B6 B0)0> ?.)4. =B)4? 0)000
Total a Pa!a )000 =?)06 =6)?> =>)0.4 =)6B> 0)B
na modalidad de c#lculo mu% usada en el medio comecial paa la ad'uisici$n de ate&actos el*cticos) muebles) etc() es la aplicaci$n de la tasa de inte*s &lat(
Tasa de Interés Fat % Dre"t% Sea una tasa de inte*s mensual 3i2) e l inte*s 3I2 se calcula de la manea si!uiente, 1 n I
, , ,
1antidad a pa!a 3deuda total2 Nmeo de pe"odos 3meses2 1(i(n
El monto a pa!a es, C 9 1 : 1( i ( n Ka cuota mensual 3A2 'ued$ deteminada po, A 9 Cn 9 3 1 : 1 ( i ( n2 n Esta modalidad de pa!o !enea un ma%o pa!o de inteeses 'ue los anteioes %a 'ue el c#lculo del total de estos es sobe la base de la deuda conta"da inicialmente(
E6e!+% n compado ad'uii$ una e&i!eadoa al pecio de S(= 000 % dio una cuota de S( =00 como inicial( Paa el saldo se compometi$ a pa!a .= cuotas de S( =40 cu) el vendedo le dijo 'ue la tasa mensual ea de s$lo ?7( El c#lculo de la cuota mensual le demost$ 'ue se obten"a del si!uiente modo, 9 =40 FEs ?7 la tasa eal mensualG( Detemine la tasa e&ectiva anual( Soluci$n ,
?B
TEORIA DE INVERSIONES
.>00
0
PA-440
=40
=40
.
=
=40
(((
.=
. >00 9 =403PA )i ) .=2 3PA) i).=2 9 . >00=40 9 B)? DATOS DE TAKA Inte*s >7 i7 7
Intepolando , Ka tasa de inte*s mensual es , i 9 >).7 Ka tasa e&ectiva anual es , ie& 9 3.:0)0>.2 .= - . 9 .?4)67
*.2 O+era"%nes Pas#as Dep$sitos de a+oo % plao &ijo( El anco 1ental de Reseva con &ec+a .40. > uni&ic$ la tasa m#@ima de inte*s 'ue las instituciones de c*dito) est#n autoiadas a pa!a po cual'uie tipo de opeaci$n pasiva( En el mecado &inancieo la capitaliaci$n de los inteeses 'ued$ libe lo cual conviti$ el tope m#@imo de 607 en una simple e&eencia paa el c#lculo de endimiento e&ectivo( As" se tuvo 'ue paa una tasa del 607 capitaliable diaiamente) el inte*s e&ectivo &ue de, ie
= (1 +
0.6
365 ie = 82.12%
)365
−1
Se!n la ltima cicula del anco 1ental de Reseva al Sistema &inancieo se tiene po ejemplo 'ue las tasas de inte*s pasivo paa dep$sito de a+oo es de .07 etc( en moneda nacional( En cuanto a la tasa de inte*s activa) la e&ectiva m#@ima anual po todo concepto se# de 07 anual paa cada a/o % de .?7 paa c*ditos a plao ma%o de un a/o(
E6e!+% Se &om$ una junta con 6 paticipantes) la cuota mensual se# de S(.00 paa todos a'uello 'ue no +an obtenido la unta( Ka &oma de obtene la junta es bajo la modalidad de emate) es deci el monto total se ente!a# a a'uel paticipante 'ue pesent$ la mejo o&eta o cuota 'ue +a de pa!a en cada uno de los meses estantes( Kos !anadoes de los tes pimeos meses se compometieon con cuotas de =00) =?0 % ?0 soles mensuales( En el cuato mes uno de los paticipantes) 'ue an no +a obtenido la junta) decide etiase( Se pide calcula la cantidad de dineo 'ue le coesponde( Soluci$n, CES .
?>
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
El pime !anado obtiene un monto de S(600 peo le petenecen S(.00 po consi!uiente ad'uiee una deuda de S(?00 'ue devolve# en cinco cuotas constantes de S(=00 . =00 i
=
9 9
Deuda ?0 i
4
?
6
INTERES .4).? .=6)>B .0?)4 B)0. 44)B
ACORT) ?6)>? B). 4)06 .=0) .??)6
1OTA =00 =00 =00 =00 =00
?00 3AP) i ) ?2 =>)67 CES = 4 ? 6
CES =, Conto
9 9 9 9 9 9
DEDA ?00)00 44).? B0)0= =B?)6 .?4)B
43.002 : =00 : =?0 S( >?0 >?0 344).? : .=6)>B24 : 34B.)B : .>=)4B24 :.00U S( 444 444 3 AP) i ) 2 ?)7
CES 4 ? 6
DEDA 444)00 ?>).> ==.)0
INTERES =64).> =.).= ..)6B
ACORT) >?)>= .6)>> =.>)
1OTA ?0 ?0 ?0
CES 4, Ka cantidad 'ue le coesponde al paticipante 'ue se va a etia es, 1antidad
9 3B0)0= : .0?)42 : 340)>4 : .?6)2 : 3444 : =64).2 9 S( ?>.)44
CAPITULO , ,. =ASES PA$A LA COMPA$ACION DE ALTE$NATI?AS: En el pesente cap"tulo) se mosta# tes m*todos b#sicos paa la evaluaci$n de altenativas,
,.1 ?a%r Presente E#aa"7n de C%st% Ca+ta8ad% a2 ?a%r Presente(?P) El objetivo de este m*todo es compaa el valo pesente de cada una de las altenativas(
?
TEORIA DE INVERSIONES
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E6e!+% 1ompaa el valo pesente de las m#'uinas de i!ual sevicio) i 9.07 31ostos con si!no positivo % bene&icios con si!no ne!ativo2 dado en miles soles( C#'uina A C#'uina 1osto inicial 3P2 1osto anual de opeaci$n 31AO2 Valo de Salvamentos 3VS2 Vida til) a/os
.00 40 .0 ?
.0 0 . ?
Nota, El valo de salvamento es el valo 'ue an posee el activo al &inal de su vida til(
Soluci$n, VP A 9 G
.00
40
0 C#'uina A
40
40
.
=
-.0 40
40
4
?
VP A 9 .00 : 40 3PA) .0) ?2 - .03P<) .0 )?2 9 S( =4? 400 VP 9 G
.0
0
0
0
0
0
.
=
4
-. 0 ?
C#'uina VP
9 .0 : 0 3PA).07) ?2 - .3P<).07 )?2 9 S( =? B00
Se debe selecciona la m#'uina puesto 'ue VP VP A En el ejemplo pecedente la vida til de las altenativas es la misma) cuando esto no ocue) se pocede como en el si!uiente ejemplo, Ejemplo 6)= 1ompaa el valo pesente de las m#'uinas de i!ual sevicio) i 9.07 C#'uina A 1osto inicial 3P2 1osto Anual de opeaci$n 31AO2 Valo de Salvamento 3VS2 Vida til
.00 40 .0 =
C#'uina .0 4= .
Sol+ci,n:
1$mo las m#'uinas tienen distintas vidas tiles) deben compaase sobe la base del 60
TEORIA DE INVERSIONES
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m"nimo comn mltiplo de los a/os) es d eci en este caso 6 a/os( CZINA A VP A 9 G
.00
40
0
.
.003P2 -.03VS2 40 40 =
.003P2 -.03VS2 40 40 4
-.0 40
?
6
C#'uina A VP A 9 .00:403PA).07)62:3.00-.023P<).07)=2 :3.00-.023P<).07)42 .03P<) .07) 62 9404)4 CZINA ,
.0
4=
0
.
VP 9
4= =
-.3VS2 .03P2 4=
4=
4=
4
?
-.3VS2 4= 6
9 .0:4=3PA).07)62:3.0-.23P<).07 )2 -.3P<).07) 62 )?
Se debe selecciona la m#'uina ) puesto 'ue VP VP A b2 C%st% Ca+ta8ad%: Est# e&eido al valo pesente de un po%ecto 'ue se supone tend# una vida til pepetua( K"mite del &acto de ecupeaci$n de capital 3AP) i) n 2 Entonces si A 9 P 3AP) i) n2) cuando n tiende a in&inito se tiene 'ue, A 9 P i
Ejemplo 6) 1alcula el costo capitaliado de un po%ecto 'ue tiene un costo inicial de S( .00 000 % un costo de invesi$n adicional de S(0 000 despu*s de ? a/os) el costo anual de opeaci$n es S( 000 paa los pimeos 4 a/os % S(? 000 de a+" en adelante( Adem#s se espea un costo ecuente de mantenimiento !eneal de S(.= 000 cada .= a/os) supone 'ue i 9 .07( Soluci$n, Po conveniencia se supone a los costos con si!no positivo % en miles de soles(
6.
TEORIA DE INVERSIONES
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.00 0
.
=
0 ?
?
.= ?
.= ?
?
?
6
.=
=4
=?
4
.( Qallamos el valo pesente del costo inicial % de la invesi$n adicional, P. 9 .00 : 0 3P<) .07)?2 9 ..>)6 =( Qallamos el valo pesente del costo ecuente de mantenimiento, P= 9 .=3A<) .07).=2 U 0).0 9 ?)6 ( 1alculamos el costo capitaliado paa la seie de +asta el in&inito P 9 0).0 9 0 4( 1alculamos el valo pesente de la seie de ?- 9 = del a/o ? en adelante P4 9 =0).0U 3P<) .0)42 9 .)B ?( Kue!o) el costo total capitaliado se obtiene de la suma, PT 9 P. : P= : P : P4 9 ..>)6 : ?)6 : 0 : .)B 9 .6B)
,.2 ?a%r Anna E'#aente Es ota base de compaaci$n la cual consiste en enconta una cantidad anual e'uivalente) % a di&eencia del m*todo de valo pesente no inteesa uni&oma el nmeo de a/os paa evalua altenativas( Ejemplo 6)4 1ompaa el costo anual % uni&ome e'uivalente 31AE2 de las m#'uinas de i!ual sevicio) i9.07) en miles de soles(
C#'uina A 1osto inicial 3P2 1osto Anual de opeaci$n 31AO2 Valo de Salvamento 3VS2 Vida til
C#'uina
.00 40 .0 =
.0 4= .
Sol+ci,n:
1AE A 9 .00 3AP) .07) =2 : 40 .0 3A<) .07 ) =2 9 ?=) 1AE 9 .0 3AP) .07) 2 : 4= . 3A<) .07 ) 29 0) Se debe selecciona la C#'uina A puesto 'ue 1AE A 1AE
,.3 Tasa De $et%rn% De4n"7n.@ Tasa de etono o tasa de endimiento) es un "ndice de entabilidad ampliamente aceptado( Est# de&inido como la tasa de inte*s 'ue educe a ceo el valo pesente de una seie de in!esos % e!esos( En t*minos econ$micos la tasa de endimiento epesenta el pocentaje o tasa de inte*s) !anado sobe el saldo no ecupeado de una invesi$n( Se puede considea el saldo no ecupeado de una invesi$n como a'uella pate de la invesi$n inicial 'ue 'ueda po ecupea despu*s de +abe sumado % deducido los pa!os de inte*s % los in!esos espectivamente causados +asta 'ue se +a!a el an#lisis(
6=
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C"% de a Tasa de $et%rn%.@ El c#lculo de la tasa de etono e'uiee po lo !eneal una soluci$n de ensa%o % eo( E'emplo !#$
1alcula la tasa de etono paa el &lujo de e&ectivo pesentado a continuaci$n, 00 = ?00 ?00 4 ?00 ? . =00 Es deci encu*ntese el valo de i 'ue satis&a!a la ecuaci$n n
∑ F ( P / F , i, t ) 9 0 t
t 90 donde n es el ltimo a/o del &lujo de e&ectivo( Soluci$n, Aplicando la &$mula se tiene, 0 9 -. 000 - >00 3P<) i ) .2 : ?003PA) i ) .2 3P<) i ) .2 : B00 3P<) i )?2 Se puede esolve el poblema aplicando el Mét%d%s de tante%s: Paa i 9 07) el valo pesente VP es, VP 3 i 9072 9 -. 000 - >00 : ?00 @ 4 : B00 9 00 Puesto 'ue el valo pesente paa i907 es positivo) la tasa es ma%o 'ue 0( Si se toma oto valo po ejemplo i9.=7) se tiene, VP3 i9.=72
9 -. 000 - >003P<).=7).2 : ?003PA).=7)423P<).=7).2 : B00 3P<).=7)?2 9 =
Puesto 'ue VP 3 i 9.=72 si!ue siendo ma%o 'ue ceo se debe ensa%a una tasa supeio de inte*s( 1on i9.?7 se tiene 'ue, VP3 i9.?72 9 - . 000 - >00 3P<).?7).2 :?003PA).?)42 :3P<).?).2 : B00 3P<).?7).2 9 -..6 En esta &oma se sabe entonces 'ue la tasa de endimiento est# ente el .=7 % e l .?7( Ha&icando las dos ltimas se tiene, C (12;32)
6
TEORIA DE INVERSIONES
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=
D
A
E(1*;@11,)
Po semejana de ti#n!ulos se calcula la tasa 'ue +ace VP3i2 90 A191 AE D D 9 0)64 Ka tasa de etono 9 .=: 0)6 9 .=)67 Ejemplo, 1ompaa mediante el m*todo de la tasa de etono de ma'uinas de i!ual sevicio si se tiene 'ue la TCAR) paa una invesi$n adicional es del .07( 3miles de soles2 CAZINA A CAZINA 1osto inicial -.00 -.0 1osto anual de opeaci$n -40 -0 Valo de salvamento .0 . Vida til = Soluci$n, A'u" inteesa avei!ua si las 0 unidades adicionales 'ue cuesta la m#'uina con especto a la m#'uina A tiene un etono ma%o al .07(
-.0
-0
-0
-.0 :. -0
.
=
-0 4
:. -0
-0
-.00 -.00
-40
:.0 -40
.
=
?
-.00 -40
:.0 -40
-40
:.0 -40
4
?
6
64
TEORIA DE INVERSIONES
-0
.0
0
PA-440
0 .0
.
-..B .0
=
0 .0
.0
.0
4
?
6
Valo pesente a la tasa del .07 de 3-A2, VP3-A2 9 -0:.03PA).07)62 : 03P<).07)=2 ..B3P<).07)2 : 03P<).07)42 : 3P<).07)62 VP3-A2 9 6(= \a 'ue el valo pesente esult$ positivo a la tasa del .07 se conclu%e 'ue la tasa de etono paa 3-A2 es ma%o 'ue el .07 % se eli!e la ma'uina (
3En miles de soles2
-.000 ?00
6?
TEORIA DE INVERSIONES = 4 ?
400 00 00 .00
Posible W m#@( de a"ces eales positivas
.
PA-440 -=00 -00 =?00 4000
.?000 0 0 000
-6B00 600 0 0
.
=
.
Es de nota cuando e@isten ceos en los &lujos de e&ectivo 1 % D) pueden se consideados caentes de si!no al aplica la e!la de los si!nos(
,.&
Tasa Interna De $et%rn%(Tasa De $et%rn%) En In4a"7n.@
1uando e@iste in&laci$n es necesaio e@pesa los &lujos de e&ectivo a pecios constantes o del mismo pode ad'uisitivo( De la e@pesi$n , VP3i2 9 0 9
3b2
Si no se decuenta la in&laci$n de cada &lujo la tasa esultante es una tasa nominal( i 9 Tasa de inte*s nominal 3. : i2 93.:i23.:&2 i 9 Tasa de inte*s eal( & 9 Tasa de in&laci$n(
(((
3c2
Se!n la e@pesi$n 3c2 se tiene 'ue , .:i 9 3.:i23.:&2 i 9 i - & .: & <$mula til paa calcula la tasa de etono eal 3a pecios constantes2 ) cuando se a deteminado la TIR de un &lujo con in&laci$n( Analiando las e@pesiones anteioes) se obseva 'ue es lo mismo evalua un &lujo a pecios coientes) es deci inclu%endo la in&laci$n) % lue!o obtene el TIR eal mediante 3d2 o evalua el &lujo a pecios constantes 3de&lacionados2 obteniendo as" la TIR eal del po%ecto diectamente(
PROKECAS .21alcula la tasa de etono del si!uiente &lujo de e&ectivo ,
66
TEORIA DE INVERSIONES
-60000
=?000
0
.
PA-440
=000
4000
=
Soluci$n, Pobando con i 9 =?7 VP3=?2 9 -60000 : =?0003P<)=?7).2 : =0003P<)=?7)=2 : :40003P<)=?7)2 9??6> 1omo el VP es positivo se pueba con una tasa ma%o i9 07 VP302 9 -60000 : =?0003P<)07).2 : =0003P<)07)=2 : :40003P<)07)2 946>(>= 1omo an se si!ue teniendo un valo positivo se continua incementando i) paa i 9 .7 VP3.2 9 -60000 : =?0003P<).7).2 : =0003P<).7)=2 : :40003P<).7)2 9 -4B=(>= 1omo se tiene un valo ne!ativo % el anteio positivo po intepolaci$n esulta 'ue , i 9 0: 46>(>= @ . 46>(>=:4B=(>= i 9 0(?07 .2 Si en el anteio poblema se nos dice 'ue es un &lujo con in&laci$n donde &9.7( 1ual es la tasa de etono ealG( Soluci$n i 9 0(?7 & 9 .7
i 9 i- & .:& i 9 .?(4>7
=2
1alcula la tasa de etono eal del si!uiente &lujo de e&ectivo(
A/os 0 . =
0000 60000 0000 .?0000
Tasa de in&laci$n372 0 40 B0
Soluci$n ,
6B
TEORIA DE INVERSIONES ->0000
PA-440 60000
0 VP3i2 VP3i2 9 ->0000 ->0000 : :
0000
.
.?0000
=
60000 60000 : 3.:i23.:0(2
0000 0000 3.:.2=3.:0(23.:0(42
:
.?0000 3.:i23.:0(23.:0(423.:0(B2
Si se de&laciona esta e@pesi$n se tiene, VP3 VP3i2 i2 9 ->00 >0000 :
46. 46.?4 3.:i2
:
44? 44?. . 3.:.2=
Pimea pueba i 9 07
VP302 9 6>0
Se!unda pueba i 9 407
VP3402 9 -4.?
TASA DE RETORNO3TR2 9 9
:
4>4>. >4>. 3.:i2
0 : .0 (6>0 6>0:4.?
6(=7
2 Se est est# # cons consiide deando ando dos dos m#' m#'ui uina nass 'ue 'ue tie tienen nen los los si!u si!uie ient ntes es cos costtos pa paa a un poceso de poducci$n continua , 1osto inicial 1osto anual de opeaci$n Valo de salvamento Vida til) a/os
CAZINA H 6=000 .?000 >000 4
CAZINA Q BB000 =.000 .0000 6
tiliando una tasa de inte*s del .?7 detemine 'ue altenativa debe seleccionase con base a un an#lisis de valo pesente( Soluci$n , Ma'na < VP 9 6=000 : 36=000->00023P<).?7)42 : 36=000->0002 23P<).?7)>2 >0003P<).?7).=2 : .?00023PA).?7).=2 VP 9 .044
Ma'na VP 9 BB000 : 3BB000-.000023P<).?7)62 3BB000-.000023P<).?7)62 .00003P<).?7).=2 : =.0 003PA).?7).=2 VP 9 =.B=>
6>
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Po consi!uiente se debe ele!i la m#'uina H dado 'ue su valo pesente p esente es ma%o( 42Se +an pesentado al administado de una planta de poducci$n dos popuestas paa automatia automatia un poceso poceso de ensamble( ensamble( Ka popuesta popuesta A inclu%e inclu%e un costo inicial inicial de 8 .?000 % un costo anual de opeaci$n de 8 =000 al a/o paa los cuato a/os si!uientes( De a+" en adelante se supone 'ue el costo de opeaci$n aumenta en 8 .00 al a/o( Se espea tambi*n 'ue la vida til del e'uipo sea de .0 a/os sin valo de salvamento( salvamento( Ka popuesta popuesta inclu%e inclu%e una invesi$n inicial de 8 =>000 % un costo anual de opeaci$n de 8 .=00 paa los tes pimeos a/os( Posteiomente se pev* 'ue el costo de opeaci$n aumente en 8 .=0 al a/o( Se espea 'ue el e'uipo ten!a una vida til de =0 a/os % un valo de salvamento de 8 =000( Si la tasa m"nima m"nima atactiv atactiva a de etono etono es del .07) ( 'ue popuest popuesta a se debe acepta acepta con con base en el an#lisis del valo pesenteG( Soluci$n, Popuesta A, VP 9 .?000 : =0003PA).07).02 : .003PH).07)B2 3P<).07)2 VP 9 =>=4> Popuesta , VP 9 =>000 : .=003PA).07)=02 .=003PA).07)=02 : .=03PH).07).>2 .=03PH).07).>2 3P<).07)=2 =0003P<).07)=02 VP 9 4=>4= El VP A VP po consi!uiente se eli!e la popuesta A( ?2n alumno adineado de una pe'ue/a nivesidad 'uiee establece u &ondo pemanente de becas( Desea Desea a%uda a tes estudiant estudiantes) es) duante duante los cinco pimeos a/os) a/os) despu*s de 'ue se +a%a establecido el &ondo % a cinco estudiantes de a+" en adelante( Suponiendo 'ue los deec+os de mat"cula tiene un valo de 8 400 al a/o) cuanto dineo debe dona el estudiante +o% si la univesidad puede obtene un 67 sobe el &ondoG Soluci$n , P 9 .=003PA)67)?2 : =000 ( . 3P<)67)?2 0(6 P 9 =6? Ka donaci$n en el pesente es de 8 =6?( 621ompae las si!uientes m#'uinas en base a su costo anual uni&ome e'uivalente( tilice i 9 >7( 1osto inicial 1osto anual de opeaci$n 1osto anual de epaaci$n Repaaci$n cada dos a/os Repaaci$n cada cinco a/os Valo de salvamento Vida til) a/os
CAZ(N AZ(NE EVA VA 44000 B000 =.0 =?00 4000 .?
CAZ CAZ(SA (SADA DA =000 000 ?0 .00 000 >
Soluci$n
Ma'na ne#a 1AE 9 440003AP)>7).?2 : B=.0 : =?003A<)>7)?2 - 40003A<)>7).?2
6
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1AE 9 .=6=(4
Ma'na sada 1AE 9 =0003AP)>7)>2 : ?0 : .003A<)>7)=2 - 0003A<)>7)>2 1AE 9 .> Se eli!e la ma'uina nueva po tene meno 1AE( B2El administado de una planta de consevaci$n de cane 'uiee decidi ente dos cuatos &"os( El m*todo de ociado atomia a!ua sobe los jamones +asta 'ue la tempeatua se educe a ?0<( 1on este m*todo se e'uieen apo@imadamente =0 !alones de a!ua po jam$n( Po ota pate pod"a se til un m*todo de inmesi$n % s$lo se necesita"an cuato !alones de a!ua po jam$n( Sin emba!o) este m*todo e'uei"a una invesi$n inicial adicional de 8 =000 con !atos de epaaci$n adicionales de 8 .00 al a/o % el e'uipo tiene una vida til de .0 a/os( Ka compa/"a compa/"a cocina .0 millones millones de jamones al a/o % pa!a 8 0(=? po .000 !alones de a!ua( Ka compa/"a tambi*n debe pa!a 8 0(0 po cada .000 !alones paa la eliminaci$n de a!uas ne!as( Si la tasa m"nima atactiva de etono de la compa/"a es del .?7( Zue m*todo de en&iamiento debe utiliaG Soluci$n
$%"ad% 1AE 9 .0000 @ =030(0=? : 0(02 1AE 9 6>000 In!ers7n 1AE 9 .0000 @ 430(=?:0(02:=0003AP).?7 4 30(=?:0(02:=0003AP).?7).02 ).02 : .00 1AE 9 .4= 1onviene el m*todo de inmesi$n >2 na ciudad ciudad va a constui constui un estadio estadio a un costo de 8 .= millones millones con el &in de tae tae un e'uipo de &tbol po&esional( Se espea 'ue el mantenimiento sea de 8 =?000 anuales % adem#s) adem#s) 'ue el c*sped c*sped ati&ici ati&icial al tend"a tend"a 'ue eempla eemplaase ase cada cada .0 a/os a un costo costo de 8 .?0000( Ka pintua del estadio cada ? a/os costa"a 8 6?000( Si la ciudad espea mantene el sevicio inde&inidamente( F1ual se"a el costo anual uni&ome e'uivalente si i 9 67 G Soluci(n
1AE 9 .=000000 @ 0 (06 :=?000 : 6?0003A<)67)?2 : .?00003A<)67).02 1AE 9 8 B=4B.. 2n invesionista comp$ tes clases de acciones 3identi&icadas a'u" como A) % 12( El invesionista comp$ =00 acciones de A) a 8 . cada una) 400 de ) a 8 4 cada una % .00 de 1 a 8 .> cada una( Kos dividendos &ueon de 8 0(?0 po acci$n de A duante tes a/os % lue!o la acci$n se vendi$ en 8 .?( Ka acci$n no podujo dividendos peo se vendi$ en 8 ?(?0) dos a/os despu*s de su compa( Ka acci$n 1 dio dividendos de 8 =(.0 duante .0 a/os) peo peo debido a una depesi$n depesi$n del mecado mecado de valoes en el momento momento 'ue se vendi$) &ue vendida po s$lo 8 .= la unidad( F1alcule la tasa de etono sobe cada !upo de acciones) as" como la tasa de etono total sobe l a invesi$n en accionesG Soluci$n, Acci$n A
B0
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=600 9 .003PA)i)2 : 0003P<)i)2 i 9 >(?67 Acci(n "
.600 9 ==003P<)i)=2 i 9 .B(=B7 Acci(n C
.>00 9 =.03PA)i).02 : .=003P<)i).02 i 9 (67 Tasa de inversi(n total
6000 9 .003PA)i)2 : 0003P<)i)2 : ==003P<)i)=2 : =.03PA)i).02 : .=003P<)i).02 i 9 .0(47 .02 El in!enieo de una compa/"a de ci!aillos 'uiee e&ectua un an#lisis de tasa de etono utiliando los costos anuales de dos m#'uinas empacadoas( Kos detalles se pesentan a continuaci$n sin emba!o) el in!enieo no sabe 'ue valo de TCAR utilia) dado 'ue al!unos po%ectos se evalan al >7 % oto al .07( Detemine si esta di&eencia en la TCAR cambia"a la decisi$n sobe la compa de la m#'uina( tilice el m*todo de tasa de etono sobe la invesi$n incemental( CAZINA A CAZINA C 1osto inicial .0000 000 1osto de mano de oba anual ?000 ?000 1osto anual de mantenimiento ?00 00 Valo de salvamento .000 .000 Vida til) a/os 6 4 Soluci(n Ma+uina A
1AE 9 .0003AP)i)62 : ??00 - .0003A<)i)62
Ma+uina M
1AE 9 0003AP)i)42 : ?00 - .0003A<)i)42 C,lculo de la tasa de retorno
1AE A - 1AEC 9 0 Esta i!ualdad se cumple paa la tasa del >7( Puesto 'ue el >7 .07 >7 se eli!e la m#'uina A .=2 Se desea decidi ente dos popuestas de invesi$n ec"pocamente e@clu%entes) la TCAR es de .07 % los &lujos de caja son ,
PRO\E1TO A 3.602 =0 0 =?0
PRO\E1TO 3.602 =00 0 =0
S%"7n El camino coecto paa decidi ente los dos po%ectos es calculando el valo pesente de
B.
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los dos po%ectos , VP A 9 -.60 : =03P<).07).2 : =?03P<).07)2 VP A 9 46 millones VP 9 -.60 : =003P<).07).2 : =03P<).07)2 VP 9 6(> millones Po consi!uiente el po%ecto A es mejo 'ue ( El sustento del m*todo de calculo se puede e@tae del si!uiente !#&ico
VP 46
A .
PRO\ A TIR =0(47 VP3.072 46
=0(4
(>
TIR
PRO\ (>7 6(>
1omo se obseva en el !#&ico) la decisi$n de la elecci$n est# en &unci$n de la TCAR( Si la TCAR est# ente 0 % .7 se eli!e el po%ecto A Si la TCAR es.7 es indi&eente la elecci$n Si la TCAR es ma%o 'ue .7 +asta (>7 se eli!e el po%ecto Ele!i el po%ecto 'ue ten!a la ma%o TIR cuando se tata de po%ectos e@clu%entes) es un eo) %a 'ue esto implica 'ue los &ondos libeados !anen al se einvetidos la misma tasa 'ue inde el po%ecto( Po ejemplo paa el po%ecto se pate del supuesto de 'ue pueden einvetise los =00 millones de soles obtenidos al &inal del pime a/o) !anando en esa einvesi$n el (>7 anual cuando solamente la empesa est# en capacidad de einveti !anando el .07(
B=
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B
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CAPITULO 0 0.$ELACION =ENEFICIO COSTO PE$IODO DE $ECUPE$ACION DE CAPITAL 0.1 $ea"7n =ene4"% C%st% El c#lculo de la a$n bene&icio-costo es un m*todo paa decidi la justi&icaci$n econ$mica de un po%ecto 'ue petenece !enealmente al secto pblico( Esta a$n se puede e@pesa como, R";n +/ =
+eneii&s - deseneii&s &st&s
n po%ecto se# aceptado su 1. Kos bene&icios son ventajas e@pesadas en t*minos monetaios 'ue ecibe al popietaio como po ejemplo, los bene&icios 'ue se obtienen po la constucci$n de una caetea o una +idoel*ctica( Se pesentan desbene&icios cuando el po%ecto involuca desventajas como po ejemplo inundaciones de teenos de cultivo o pa!os po deec+o de v"a de una caetea(
3millones de soles2 .4)00 =)000 400
Cediante la aplicaci$n del m*todo de bene&icio % costo) detemine si es aceptable o no este po%ecto si i9.07( Soluci$n, ene&icio 9 1ostos 9 1
=)000 .4)00 @ 0). : 40c 9 .)00 9 =)000 .)>00 9 .(..
1 . po tanto) al po%ecto es aceptable( Si se tiene dos o m#s altenativas mutuamente e@clu%entes el ma%o valo del 1 no es un indicado coecto paa ele!i la mejo altenativa) po ello es conveniente utilia el pincipio del endimiento incemental( Ejemplo, Se tiene identi&icadas tes altenativas) mutuamente e@clu%entes) la si!uiente,
B4
in&omaci$n es la
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3miles de soles2 ene&icios anuales .>?)00 .B0)00 ..?)00
Altenativa A 1
1ostos anuales =)000 >0)000 >)000
1 =(0. =(. .(=
F1u#l de las altenativas se debe ele!iG Soluci$n, 1ompaando la altenativa A con 1 se tiene, ene&icios anuales 1ostos anuales
Altenativa A
Altenativa
Di&eencias
.>?)000
..?)000
B0)000
=)000
>)000
)000
Ka a$n 1 de las di&eencias es, +/
=
70,000 9,000
= 23.33
Ko 'ue indica 'ue po un costo incementa de )000 3miles de soles2 de A) se obtiene un ma%o bene&icio en con!uencia altenativa A es mejo 'ue la 1( 1ompaando la altenativa A con se tiene, ene&icios anuales 1ostos anuales +/
=
11,000 12,000
Altenativa A
Altenativa
Di&eencias
.>?)000
.B0)000
.?)000
=)000
>0)000
.=)000
= 1.25
El esultado indica 'ue la altenativa A es mejo 'ue ) pese a 'ue la a$n 1 de la altenativa ) dada en la in&omaci$n inicial) es ma%o 'ue la obtenida en A % 1( Respuesta, Se eli!e la altenativa A( ene&icio 1osto Empesaial El coe&iciente de ene&icio 1osto de una empesa esulta de dividi el valo actual de los &utuos in!esos netos descontados a la TCAR) po la invesi$n e'ueida( Ejemplo, Ka invesi$n necesaia paa un po%ecto es de .00 millones de soles) los in!esos anuales se muestan en el si!uiente &lujo de caja(
B?
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3.00]2 0
0]
40]
40]
40]
40]
.
=
4
?
Si la TCAR es 07) calcula el 1( Soluci$n, 1osto ene&icio
9 9 9
1 9 9
.00 >0]3P<) 07) .2 : 40]3PA) 07) 42 3P<) 07) .2( >(B 89.7 100
0(>B
El Po%ectoJ no es aceptable po 'ue la elaci$n 1 es meno 'ue la unidad(
0.2 Per%d% de $e"+era"7n de Ca+ta (P$O) Klamado tambi*n peiodo de epa!o( Es el lapso en el 'ue la sumatoia de los valoes actualiados de los bene&icios i!uala a la de los costos del po%ecto( Dic+o de oto modo) mide al tiempo necesaio paa 'ue al invesionista ecupee su invesi$n % como es de supone) mientas m#s coto sea el peiodo de ecupeaci$n) su e&ecto a la vida estimada del po%ecto) es ma%o el atactivo paa inveti( Ejemplo, Sea el si!uiente &lujo, 3millones de soles2 AO
1OSTOS DE 1ONSTR11ION
0 . = 4 ? 6 B > .0
INHRESOS NETOS
.)000 )000 >00 .)?00 =)000 =)000 =)000 =)?00 =)?00 =)?00
Si i9.07) detemine el peiodo de ecupeaci$n de capital( Soluci$n, VP 9 0 9 -.)000 3P<).07).2-)000 3P<).07)=2 : >00 3P<).07)2 : .?00 3P<).07)42 ```````` El valo pesente inclu%endo el costo del a/o ? es VO ? 9 -?=.((
B6
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Paa el a/o 6 VP6 9 60B(B Po consi!uiente se obtiene 'ue el peiodo de ecupeaci$n es ?(? a/os( Poblemas .2Est#n bajo consideaci$n dos utas paa una caetea intedepatamental( Ka caetea la!a tend"a una lon!itud de .4 ;il$metos % un costo inicial de ?(=. millones( Ka uta a tav*s de la monta/a tend"a una lon!itud de ;il$metos % un costo inicial de S8 4? millones( Se calculan 400)00 ve+"culos al a/o( Si los !astos de opeaci$n po ve+"culo son de S8 0).= po ;il$meto) detemine 'u* uta se debe selecciona po 3a2 an#lisis 1 % 3b2 an#lisis -1( Supon!amos una vida til de =0 a/os paa cada caetea % una tasa de inte*s del 67 anual( SOK1ION, A+oo 3ben*&ico2 po utilia caetea 'ue cua las monta/as, 9 3.4-?2 @ 0(.= @ 400)00 9 =40)00 Incemento anual en costo de la caetea 'ue cua las monta/as con especto a la caetea la!a( 1aetea la!a 3A2 DE = 21C000,000 3AP) 67)=02
-
1aetea 'ue cua las monta/as 32 DE+ = 45C000,000 3AP) 67)=02 Incemento anual en costo -
= E+
= −E
9 =]..B)=0 Relaci$n 1 +/
=
240.00 2C117,320
= 0.11
1omo 1.) conviene la constucci$n de la caetea la!a( Relaci$n -1 - 1 9 =40)000 =]..B)=0 9 .]>BB)=0 =2Ka A!encia de Restauaci$n est# consideando el evestimiento de los canales pincipales de sus sistemas de Ii!aci$n( Se espea 'ue el costo inicial del evestimiento sea de S8 4 millones) m#s de S8 =?(000 de mantenimiento anual( Si los canales no se ecuben) se tend# 'ue lleva a cabo una opeaci$n de contol de maleas % sedimentos 'ue tend"a un costo inicial de S8 B00(00 % un costo de S8 ?0(000 el pime a/o) S8 ?=(000 el se!undo % cantidades 'ue aumentan en S8 =(000 al a/o duante =? a/os( Si los canales no se ecuben) e pede# menos a!ua po in&iltaci$n dando como esultado tieas adicionales 'ue se pod"an utilia paa la a!icultua( Se espea 'ue el in!eso a!"cola obtenido con la tiea adicional sea de S8 .=0)000 anuales( tilice a2 el m*todo 1 % b2 el -1 paa detemina si los canales se deben evesti( Supon!amos 'ue la vida til del po%ecto es de =? a/os % la tasa de inte*s del 67 anual(
BB
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SOK1ION, 1anal con evestimiento 3R2 9 4]000)000 3AP)67) =?2 : =?)000 9 B)=0 ene&icio 9 .=0)000 -
1AER
-
1anal sin evestimiento 3SR2 9 B00)000 3AP)67) =?2 : ?0)000 : =)000 3AH) 67) =?2
1AESR 9 .==)0? 1osto 9 1AER 1AESR 9 =.?)0.? a2
+/
=
120,000 215,015
= 0.56
1.) entonces no se ecube( b2
-19.=0000-=.?0.?9-?0.? -10) entonces no se ecube(
2El costo del al'uile de camiones es de S8 =B? po cami$n al mes( 1omo altenativa) el pecio de compa po cami$n es de S8 B00 al mes con un pa!o mensual de S8 00 duante cuato a/os( n cami$n se puede vende en pomedio po S8 .)=00 independientemente del tiempo de popiedad( na do!ue"a debe pa!a el mantenimiento) la opeaci$n % el se!uo de los camiones) sean compados o al'uilados) este costo es i!ual) % po lo tanto) no se tiene en cuenta 3a2 FDuante cuantos a/os se debe# lleva a cabo el plan paa 'ue la compa o el al'uile sean i!ualesG 3b2 Si un cami$n compado tiene una vida til espeada de 6 a/os) Fse deben compa o al'uila los camionesG SOK1ION, Tiempo paa 'ue sea indi&eente compa 312 c al'uila 3A2, 1AE A 1AE1 1AE A N
9 9 9 9
=B? B00 3AP) .7) n2 : 00 - .)=00 3A<) .7) n2 1AE1 .4)6 meses
Si la vida til es seis a/os Fconviene compaG, 1AE A 1AE1 1AE1
9 9 9
=B? B00 3AP) .7) B=2 : 00 3PA) .7) 4>2 3AP) .7) B=2 ==? 1AE A po consi!uiente conviene compa(
B>
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CAPITULO
. $EEMPLAO; $ETI$O; ANGLISIS EHUILI=$IO
.1 O6et#% El objetivo de este cap"tulo es compaa econ$micamente dos activos) el popio % oto 'ue puede eemplaalo( El activo popio se le denomina De&enso % el 'ue puede eemplaalo se denomina Retado( Paa e&ecto de evaluaci$n se pate del supuesto de 'ue el activo 'ue posee no es popio % po consi!uiente se tiene, -Pecio del de&enso, Pecio actual del mecado o valo comecial del activo usado( -Valo de salvamento % vida til estante, Son estimados a pati de las condiciones actuales del activo( Ejemplo, Qace cuato a/os) se comp$ una m#'uina po S( .00)000) la vida til estimada &ue de .0 a/os) el valo de salvamento de S( .0)000 % un costo anual de opeaci$n de S( 4)000 A+oa se o&ece una m#'uina) paa eemplaa a la anteio po S( ?0)000) la vida til estimada es de .0 a/os) valo de salvamento de )000 % costos anuales de opeaci$n de =)00( Se +ace nuevos c#lculos po la m#'uina usada, valo comecial S( B0)000) valo de salvamento S( ?)000) vida til estante ? a/os % los mismos costos de opeaci$n( Si I 9 .07) F1u#l de los activos convieneG
SOK1ION, DE
Pecio del activo 1osto anual de opeaci$n Valo de salvamento Vida til 3a/os2
RETADOR 0)000 =)?00 )000 .0
1AE 3De&enso2 9 B0)000 3AP) .07) ?2:4)000-?)0003A<) .07) ?2 9 =.)64B 1AE 3Retado2
9 0)000 3AP) .07) .02:=)?00-?)0003A<) .07) .02 9 .6)?>=(>
1onviene la m#'uina nueva 3Retado2 po tene 1AE meno 'ue la m#'uina no anti!ua( En el an#lisis de eemplao se debe da un adecuado tatamiento al costo amotiado paa el caso de 'ue *ste se pesente( 1osto amotiado 9 valo actual en libos valo actual de salvamento lo!able( El valo actual de salvamento lo!able es el valo comecial del activo( Si el costo amotiado es positivo al!unos analistas tatan de ecupealo sum#ndolo al costo inicial del etado con lo cual se petende cubi el posible eo de la decisi$n de compa anteio( El costo amotiado debe"a se ca!ado a una cuenta de tal &oma 'ue se e&leja en el estado de !anancias % p*didas( Desde el punto de vista tibutaio) el valo de este costo es impotante po cuanto involuca una !anancia o p*dida de capital( En el an#lisis de eemplao el costo amotiado no debe incluise en la compaaci$n
B
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econ$mica(
.2.Per%d% de estd% en e anss de ree!+a8% Paa el peiodo de estudio se pesenta uno de estos costos, -Vida til estante del de&enso i!ual a la vida til del etado( -Vida til estante del de&enso meno 'ue la del etado( Paa el pime caso se utilia cual'uie m*todo de evaluaci$n( Ejemplo, El valo comecial de un ve+"culo con dos a/os de uso es de S( .>0)000 los costos de mantenimiento) combustible) impuestos) etc) son de S( =0)000 al a/o( Ka vida til % el valo esidual estimados paa el ve+"culo usado son de .0 a/os % S( .?)000( Se tiene la opci$n de al'uila un ve+"culo a un costo de S( =?)000 po a/o % S( .>)000 de costo anual de opeaci$n 31AO2( Si se e'uiee una tasa de etono del .07 F1onviene al'uila el ve+"culoG( SOK1ION, De&enso P 9 1AO 9 VS 9 n 9
Retado 1osto de al'uile9 1AO 9 n 9
S(.>0)000 =0)000 .?)000 .0 a/os
S(=?)000 .>)000 .0 a/os
El costo anual uni&ome e'uivalente del de&enso 31E02 es, 1AED
9 P3AP) .7) n2 VS 3A<) .7) n2 : 1AO 9 .>0)000 3AP) .0) .02 .?)000 3A<) .0).02:=0)0000 9 S( 4>)?(>
El costo anual uni&ome e'uivalente del etado 31AER2 es, 1AER
9 =?)000 : .>)000 9 S( 4)000
1onviene al'uila el ve+"culo( Pa el caso en 'ue la vida til del de&enso sea meno 'ue la del etado el m*todo adecuado de an#lisis es el 1AE( Ejemplo, na m#'uina ad'uiida +ace tes a/os tiene un 1AE de S( ?0)000 al a/o % una vida til anticipada estante de cinco a/os( El posible eemplao del activo tiene un costo inicial de S( =?0)000 un valo de salvamento de S( 40)000 una vida til de .0 a/os % un costo anual de opeaci$n de S( .0)000( Si la compa/"a utilia una tasa de etono m"nima de .0f FDebe eemplaa el activoG SOK1ION, 1AED
9 S( ?0)000 9 =?0)000 3AP) .0) .02 40)000 3A<) .0).02 : .0)0000 9 4>).BB(?
Se debe eemplaa el activo( Ocue a veces 'ue la administaci$n es esc*ptica en lo 'ue se e&iee al &utuo lo 'ue la
>0
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induce a toma peiodos cotos de tiempo paa el +oionte de plani&icaci$n) es deci) 'ue los valoes de n en los c#lculos e&leja#n el +oionte acotado( Ejemplo, 1on la in&omaci$n del poblema anteio) e@cepto 'ue se utilia un +oionte de plani&icaci$n de cinco a/os) %a 'ue la administaci$n tiene ecelo ante el po!eso tecnol$!ico en este campo( FSe debe eemplaa el activoG El peiodo de ecupeaci$n del activo es de cinco a/os( 1AED 1AER
9 9 9
S( ?0)000 =?0)000 3AP) .0) ?2 - 40)000 3A<) .0)?2 : .0)000 S( 6)>
A+oa la etenci$n del de&enso es menos costosa) cambiando de esta manea la decisi$n adoptada con un +oionte de die a/os( En el ejemplo anteio se obseva 'ue se +a mantenido el mismo valo esidual 'ue paa el caso de 'ue este activo due .0 a/os) esto se debe a 'ue a veces no es posible pedeci el valo esidual del activo(
.3 C"% de #a%r de ree!+a8% +ara n de4ens%r 1uando se tiene de&inido un etado) el valo de eemplao del de&enso se puede calcula a pati de, C = CAUE D − CAUE R
Si con este c#lculo se tiene 'ue el valo de eemplao del de&enso es ma%o 'ue el valo comecial el activo no se eemplaa( Ejemplo, n activo compado +ace cuato a/os tiene un 1AO de S( 4)000 % una vida til de 6 a/os m#s) el etado seleccionado cuesta S( 0)000) tiene una vida til de .= a/os) un valo de salvamento de S( 6)000 % costos anuales de opeaci$n de S( B)000( Si la tasa de inte*s es i9.?7 F'u* valo comecial justi&ica el eemplaoG SOK1ION, VA 1AED 1AER 1AED VR
, 9 9 9 9 9 9
El valo de eemplao VP VR 3AP).?)62 -4)000 3A<) .?) 62 : .0)000 VR ( 0(=64=4 : )?4 0)000 3AP) .?) .=2- 6)0003A<) .?) .=2 : B)000 .=)=B(? 1AER S( .0)?B(>
Si el valo comecial del activo es ma%o 'ue S( .0)?B(> entonces se eemplaa(
.& Deter!na"7n de te!+% de reten"7n de n a"t#% Se pesentan situaciones donde se +ace necesaio calcula el tiempo 'ue +a de pemanece un activo) antes de se eemplaado) la caacte"stica &undamental es 'ue en ese tiempo el costo anual uni&ome e'uivalente es m"nimo( Ejemplo Establece el tiempo de cambio de un cami$n 'ue cuesta S( .60)000( Se +a e&ectuado un >.
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estimado de costos anuales de opeaci$n % pecios de venta paa cada uno de los a/os si!uientes, A/o . = 4 ? 6 B >
1ostos de Opeaci$n =6)>00 ?)000 46)000 6?)000 0)000 .=0)000 .6=)000 =.0)000
Pecio de Venta .=0)000 0)000 6)000 6?)000 6)000 60)000 ?0)000 40)000
Si la tasa de endimiento espeaba es .07 detemine en 'u* a/o se debe e&ectua el eemplao( SOK1ION, Paa el pime a/o se tiene, 1AE. 9 .60)000-.=0)0003P<) .0) .2U 3AP) .0).2:=6)>00 9 S( >=)B Paa el se!undo a/o se tiene, 1AE= 9 .60)000-0)0003P<).0)=2U:3AP).0)=2: =6)>003P<).0).2 ?)000 3P<).0)=2U 3AP) .0) =2 9 S( >=)B Kos costos anuales se pueden pesenta en una tabla de la si!uiente manea, 1OSTO DE OPERA1ION A/o
Valo Actual
Valo actual acumulado
1osto Anual
.
=4)64
=4)64
=6)>00
=
=>)=4
?)=>>
0)B04
4)?60
>B)>4>
?)=?
4
44)?
.=)=4
4.)B.
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.>>).=4
4)6=B
6
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=??)>64
?>)B4
B
>).>
)00=
6)64
>
B)6?
46)6B
>.)0?
1OSTO DE 1APITAK >=
:
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El meno costo anual obtenido es S( B>).> 'ue coesponde al cuato a/o de opeaci$n) entonces &inaliado este conviene cambia el cami$n( E@isten casos en 'ue la decisi$n paa la compa de un activo est# tambi*n en &unci$n de la capacidad de poducci$n % la cantidad de unidades e'ueidas po la empesa( Paa e&ectua el an#lisis de las altenativas) es conveniente enconta el punto de e'uilibio de *stas( Ejemplo, na compa/"a est# consideando la compa de una m#'uina autom#tica( Ka m#'uina tiene un costo inicial de S( =?0)000) un valo de salvamento de S( =?)000 % una vida til de die a/os( Si se compa la m#'uina e'uei# un opeado a un costo de S( =0 po +oa( Ka poducci$n de este e'uipo se"a de .0 toneladas po +oa( Se espea 'ue los costos anuales de mantenimiento % opeaci$n sean de I( 0)000( Ota altenativa es 'ue la compa/"a compe una m#'uina simple po S( 0)000 con valo de salvamento de S( .0)000) con vida til de cinco a/os( 1on esta altenativa se e'uei# tes opeadoes a un costo de S( .? po +oa( El costo de opeaci$n % mantenimiento anual est# estimado en S( .)000) se espea obtene una poducci$n de B toneladas po +oa( Se espea 'ue la tasa de etono del capital sea de .007( a(-F1u#ntas toneladas anuales debe poduci la m#'uina autom#tica paa justi&ica su compaG b(- Si la administaci$n e@i!e) =000 toneladas anuales acabadas F'u* m#'uina se debe ad'uiiG SOK1ION, a(- Sea M el nmeo de unidades anuales en el punto de e'uilibio( El costo vaiable anual paa la m#'uina autom#tica es,
S / .20 1/ora -ton = 2 - /ora 10ton. a.o
&st& B"!i"e n" =
El costo anual uni&ome e'uivalente de la m#'uina autom#tica 31AE A2es, 1AES 9 =?0)000 3AP).0) .02 =?)000 3A<) .0) .02 : 0)000 : =M 9 6).. : =M El 1AE de la m#'uina simple es, 1AES 9 0)000 3AP) .0) ?2 .0)000 3A<) .0) ?2 : .)000 : 9 ?).04 : 6(4=6 M( I!ualando los dos costos % despejando M se tiene, 1AE A 9 1AE 6).. : =@ 9 ?).04 : 6)4=>6 M M 9 B)6>. >
3(15) 2
M
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Entonces la poducci$n de la m#'uina autom#tica debe# se B)6>. toneladas( Si la administaci$n e@i!e =)000 toneladas debe# ad'uii la m#'uina simple(
>4
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Pr%e!as .2 Ka m#'uina A compada +ace dos a/os se est# a!otando m#s #pidamente de lo espeado( Tiene una vida til estante de dos a/os) un costo anual de opeaci$n de 8(000 % no tiene valo de salvamento( Paa continua la &unci$n de este activo se puede compa la m#'uina % se pemiti# un valo de ne!ociaci$n de 8(000 Paa la m#'uina A . Ka m#'uina tiene P9 8=?)(000) n9.= a/os) 1AO 9 84(000 % VS 9 8l(000 1omo la altenativa se puede compa la m#'uina 1 paa eemplaa la m#'uina A la cual se pod"a vende po 8 B(000 ( Este nuevo activo tend"a P 9 8>(00) n 9 =0 a/os) 1AO 9 8=(?00 % VS 9 8.(000( Si la etenci$n de A se denomina plan A) el plan es la ad'uisici$n de la m#'uina % el plan 1 es la compa del activo 1) utilice un pe"odo de =0 a/os % una TCAR 9 >7 paa detemina el plan m#s econ$mico(
S%"7n: 1ompaaci$n de costos, C#'uina A con C#'uina CAUE A
= 9,000( A / P ,8%,2) + 3,000 = 8,047
CAUE "
= 25,000( A / P ,8%,12 ) + 4,000 −1,000( A / F ,8%,12 ) = 7,265
C#'uina A con m#'uina 1 CAUE A
= 7,000( A / P ,8%,2) + 3,000 = 6,925
CAUE "
= 38,000( A / P ,8%,20 ) + 2,500 −1,000( A / F ,8%,20) = 6,348
Se eli!e la m#'uina 1( =2Ka compa/"a Soto esta consideando dos popuestas paa mejoa el pa'ueadeo de los tabajadoes( Ka popuesta A) inclu%e elleno) nivelaci6n % una supe&icie bituminosa po un costo inicial de 8?(000( Se espea 'ue la vida til del pa'ueadeo sea de cuato a/os con costos anuales de mantenimiento de 8.(000( De manea altena) el pa'ueadeo se pavimenta"a bajo la popuesta ) en cu%o caso la vida til se e@tende"a a .6 a/os( El costo anual de mantenimiento se"a insi!ni&icante paa el pa'ueadeo pavimentado) peo las macas tend"an 'ue pintase de nuevo cada dos a/os a un costo de 8?00( Si la tasa m"nima atactiva de etono es .=7 al a/o( Fde cu#nto dineo pod"a dispone la compa/"a paa pavimenta el pa'ueadeo paa 'ue las dos popuestas est*n a la paG( Soluci$n Popuesta A CAUE A
= 5,000( A / P ,12%,4) +1,000 = 2,646
Popuesta CAUE " = - ( A / P ,12%,16) + 500( A / P ,12%,2) 1osto de la Popuesta
= CAUE " - = 16,809
CAUE A
Debe# dispone de 8.6)>0 paa pavimenta el pa'ueadeo 2na compa/"a de con&ecciones considea la compa de una cotadoa autom#tica la cual tend"a
>?
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
un costo inicial de 8==(000) una vida til de die a/os % un valo de salvamento de 8?00( Se espea 'ue el costo anual de mantenimiento sea de 8=(000 al a/o( Ka cotadoa e'uiee un opeado de costo de 8=4 al d"a( 1on esta cotadoa se pueden cota apo@imadamente .(?00 %adas po +oa( De manea altena) si se utilia la mano de oba) cinco tabajadoes a 8.> diaios cada uno pueden cota .(000 %adas po +oa ( Si la tasa m"nima atactiva de etono de la compa/"a es del >7 anual) Fcuantas %adas de mateial se deben cota cada a/o paa justi&ica la compa de la cotadoa autom#ticaG
S%"7n: 22,000( A / P ,8%,10) + 2,000 − 500( A / F ,8%,10 ) +
24
( 8)(1500)
=
( 5)(18) (1,000)( 8)
El nmeo de %adas a cota paa justi&ica la compa de la cotadoa autom#tica debe# se de @ 9 ?66)?( 42 na cutiembe est# consideando el aspecto econ$mico de monta un laboatoio en su planta paa evita tene 'ue manda muestas paa an#lisis independientes( Si el laboatoio se monta de tal manea 'ue todos los an#lisis puedan llevase a cabo en *l) el costo inicial se"a de 8=?)000( Se e'uei# un t*cnico a costo de S .(000 al a/o( El costo de ene!"a) poductos 'u"micos) etc( son de 8? po muesta( Si el laboatoio se monta s$lo pacialmente) el costo inicial se# de S .0(000 % se e'uei# un t*cnico de medio tiempo con un salaio de 8 ?(000 anual( El costo de la muesta analiada en este laboatoio seia de 8) peo como no todos los an#lisis se pueden ealia dento del laboatoio) se necesita"an los sevicios de un laboatoio e@teio a un costo de 8=0 la muesta( S" la compa/"a pe&iee continua con el sistema actual de an#lisis) cada muesta le costa# 8 ??( Si el e'uipo de laboatoio tiene una vida til de .= a/os % la TCAR de la compa/"a es .07 anual Fcuantas muestas se deben analia cada a/o paa justi&ica) a2 el laboatoio completo % b2 pate del laboatoioG c2 si la compa/"a espea analia .B? muestas al a/o) Fcu#l de las tes altenativas se debe# seleccionaG
S%"7n: Kaboatoio 1ompleto 312, CAUE C
= 25,000( A / P ,10%,12) + 13,000 + 5%
Sistema Actual 3A2 CAUE A
= 55 -
Nmeo de Cuestas paa usti&ica la Instalaci$n del Kaboatoio 1ompleto CAUE A -
= CAUE C
= 333
Kaboatoio Pacial 3P2 CAUE P
= 10,000( A / P ,10%,12) + 5,000 + 3% + 20%
Nmeo de muestas paa justi&ica la instalaci$n del laboatoio pacial, CAUE A -
= CAUE P
= 202
>6
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
CAPITULO . DEP$ECIACION A
De+re"a"7n.@ De4n"%nes
a) De+re"a"7n (D).@ Se puede de&ini como la disminuci$n del valo de un Activo <"sico poducido po el uso) deteioo % la ca"da en desuso( Ka depeciaci$n es necesaia en el estudio de altenativas po el e&ecto 'ue tiene sobe el c#lculo de impuestos a la enta) esto es) a ma%o depeciaci$n) lleva como e&ecto un meno pa!o de impuestos( ) ?a%r en r%s de n a"t#% (?L).@ Ka di&eencia ente el costo oi!inal del activo con la depeciaci$n ca!ada +asta la &ec+a se denomina valo en libos del activo( ") ?da des+re"ae es+erada % #da t de a"t#% (n).@ Es el nmeo de a/os 'ue se estima la opeatividad del activo( d) ?a%r de sa#a!ent% (?S).@ Es el valo 'ue se le asi!na al activo al &inal de su vida til( e) ?a%r "%!er"a.@ Es la cantidad de dineo 'ue puede obtene po el activo si &uese vendido en el mecado( Paa el e&ecto de evaluaci$n de altenativas el valo 'ue se le debe tene en cuenta es el valo comecial( .2 Mét%d%s de De+re"a"7n Kos m*todos de depeciaci$n m#s conocidos son,
De+re"a"7n +%r F%nd% de A!%rt8a"7n.@ Cediante la aplicaci$n de este m*todo solo es posible cubi el capital inicial de all" se deiva su nombe( D 9 3P-VS2 3A<) i) n2 D, Depeciaci$n i , Tasa de inte*s del &ondo( P, 1apital inicial N , Vida despeciable espeada VS , Valo de salvamento( Ejemplo, P 9 i 9 n 9 VS 9
S( .0)000 ? 7 6 a/os S( .)000
A 9 3.0)000-.)0002 @ 0(06=6 9 S( 6=(4 A/o
Dep$sito al
TAKA DE DEPRE1IA1ION Inte*s Incemento Impote sobe el Anual al Acumulado
>B
Valo en libos
TEORIA DE INVERSIONES
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Dep( 0 . 6=(4 = 6=(4 6=(4 4 6=(4 ? 6=(4 6 6=(4 Este m*todo est# en desuso(
(B ?.=(B .0(. .44B(0 =.B.(B4
4.(?. .).6(04 .)?(6? =)0B0(4 =)B?(0>
6=(=4 .)464(? =)600(> 4).4(?4 6)=04(B )000
.0)000 )B6(66 >)??(.? B)(.. ?)>6?(4? )B?(0 .)000
De+re"a"7n en Línea $e"ta.@ En este m*todo el valo en libos disminu%e linealmente con el tiempo( D
=
P − 0S n
El valo en libos despu*s de m a/os 3VKm2 es , VKm 9 P - mD Ejemplo, P 9 S( .00)000 D
=
P − 0S n
VS
9 S( =0)000
n
9 ? a/os
D =
VK=
9 G
D 9 S( .6)000
100,000 − 20,000
VK= 9 P - =D 9 .00)000 - =)000
5
⇒
VK= 9 S( 6>)000
De+re"a"7n s!a de dí5t%s de %s a-%s.@ Cediante la aplicaci$n de este m*todo) la ma%o pate del valo del activo diminu%e en el pime tecio de la vida til del activo( 1osto de depeciaci$n en el a/o m Dm
= n − m +1 x ( P −0S )
SD
=(
SD 1+ n 2
)
n
SD 9 Suma de los d"!itos de los a/os( Ejemplo, P 9 S( ?00)000 VS 9 S( ?0)000 n 9 > a/os m 9 a/os Dm 9 G
>>
TEORIA DE INVERSIONES
Dm
=
PA-440
n − m +1 ( P −0S ) SD
8 −3 +1 (500,000 −50,000) 1 +8 .8 2 D3 = 75,000
D3 =
Valo en libos en el a/o m Deducci$n de la &$mula, 02m
m
∑ D1
= P −
1 =1
Depeciaci$n en el pime a/o, D1
n −1+1
=
( P −0S )
SD
=
Depeciaci$n en el se!undo a/o, D1
n −1 + 2
=
SD
( P − 0S )
=
n SD
n −1
Depeciaci$n en el a/o m, n − m+1
Dm =
SD
( P − 0S )
Sumando las depeciaciones Se tiene, D1
+ D 2 + ... + D m =
( P − 0S )
=
SD
( P − 0S )
n − (m − 1) SD
( P − 0S )
n + ( n + 1) + ... + n − ( m − 1) SD
( P − 0S )
1 + ( m − 1) (m − 1) 2 ( P − 0S )
mn − m
∑ D 1 =1
02m
1
=
SD mn − m ( m − 1) / 2
=
( P − 0S ) SD m[ n − (m − 1) / 2] P − ( P − 0S ) SD
Del ejemplo anteio) el valo en libos paa el tece a/o es, 023
= 500,000 −
3(8 − 1) 36
x 450000 9
S( =B)?00
De+re"a"7n sad% de"re"ente % +%r"enta6e 46%.@ 1on este m*todo los ca!os de depeciaci$n se compotan en sentido dececiente la depeciaci$n paa el a/o m se calcula as", Dm 9 d @ VK m-. d 9 Tasa de depeciaci$n Valo en libos en el a/o m, m
02m =
P − ∑ D1 1 = 1
Deducci$n de la &$mula, En el pime a/o, D. 9 Pd
VK. 9 P - Pd 9 P3.-d2
>
TEORIA DE INVERSIONES
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En el se!undo a/o,
D= 9 VK. D= 9 Pd 3.-d2 VK= 9 P3.-d2-Pd3.-d29P3.-d2 =
En el tece a/o,
D 9 VK= d D 9 Pd 3.-d2= Vl 9P3.-d2=- Pd3.-d2= 9 P3.-d2
En el a/o m,
Dm 9 Pd3.-d2m-. De+re"a"7n sad% de"re"ente d%e.
VKm 9 P3.-d2m
Ka di&eencia con el m*todo anteio es 'ue se asi!na un valo a d) este es, d =
2
n
n 9 nmeo de a/os de vida del activo Ejemplo, P 9 S(?00)000 n 9 > m 9 a/os Dm 9 G VKm 9 G
De+re"a"7n "%n nterés en a n#ers7n.@ Dm = Px
2 n
(1 −
D3 =500,000 x
2 n 2 8
)
m −1
(1 −
0l 3 =50,000(1 − 2 / 8)
Si se tiene, P
Vs Tasa anual 9 i
Ka depeciaci$n se calcula de la si!uiente manea, Dm 9 P3<P) i) n2 - VS U 3A<) i) n2 1on la elaci$n, 3A<) i) n2 : i 9 3<P) i) n2 3A<) i) n2 Se tiene 'ue, Dm 9 P3<P) i) n23A<) i) n2 - VS3A<) i) n2 9 P3A<) i) n2 : iU - VS 3A<) i) n2 9 3P-VS23A<) i) n2 : Pi donde, 3P - VS23A<) i) n2 9 Reembolso de la invesi$n pi 9 Povee un endimiento
.3 A5%ta!ent% Cediante la depeciaci$n se ecupea) al &inal de la vida til) el valo inicial del activo( El a!otamiento es an#lo!o a la depeciaci$n peo se aplica a los ecusos natuales no
0
TEORIA DE INVERSIONES
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enovables) los 'ue al se e@ta"dos no es posible epone(
.& Mét%d%s de A5%ta!ent% Ente los m#s conocidos se tiene, a2
a) Fa"t%r % "%st% de a5%ta!ent% (d!). @ El &acto de a!otamiento paa el a/o m es, Dm 9 Invesi$n Inicial 1apacidad del ecuso % el costo anual po a!otamiento es, 1(A(9 dm @ 1E( 1A 91osto anual 1E 91antidad e@ta"da en el a/o Ejemplo, Invesi$n Inicial 1apacidad del ecuso 1ant( e@ta"da en el .e( a/o 1osto anual 31A2
9 8 .)00000 9 B?0)000 TC 9 .B0)000 TC 9 G
Dm 9 .00)000 9 .(B B?0)000 1A 9 .(B M .B0)000 9 8=4)6.0 Estos descuentos se e&ectan +asta ecupea la invesi$n inicial( El &acto de a!otamiento se modi&ica paa el caso de un incemento en la invesi$n o capacidad del ecuso(
) Des"ent% +%r a5%ta!ent%.@ Po este m*todo) un pocentaje neto de los in!esos butos de los ecusos puede a!otase anualmente siempe 'ue no e@ceda el ?07 del in!eso !avable( E@isten pocentajes a aplicase al in!eso buto po la e@plotaci$n de deteminados ecusos( E6e!+% Ka compa de una mina de oo po 8 .000)000 tiene un in!eso anticipado de 8.400)000 anuales duante los dos pimeos a/os % 800)000 despu*s del se!undo a/o( Si el pocentaje po a!otamiento es .?7 del in!eso) calcula los costos de a!otamiento de la mina( Sol+ci,n:
Si los costos de a5%ta!ent% no e@ceden el ?07 del in!eso !avable se tiene, Descuento po a!otamiento @ cu de los = a/os es, 0(.? @ .400)000 9 8 =.0)000 Descuento po a!otamiento @ cu de los a/os si!uientes, 0(.? @ 00)000 9 8 .?)000
") Interés ree!%s% de a n#ers7n.@ 1on este m*todo se calcula el endimiento % el eembolso de la invesi$n) mediante la aplicaci$n de la &omula, A 9 P : 3P - VS23A<) i) n2
.
TEORIA DE INVERSIONES
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A, Poducto anual del ecuso P, Valo Pesente 3pecio de compa2 , Tasa de endimiento de la invesi$n( i , Tasa de inte*s del &ondo de eembolso Henealmente i
E6e!+% : Se estima 'ue una mina o&ece# un poducto anual de 8 .000)000 duante =? a/os 'uedando sin valo al cabo de ese tiempo( Si el &ondo de eembolso de la invesi$n !ana ?7( 1alcula el pecio de compa 'ue popocione un endimiento del B07 Sol+ci,n:
P9 A 9 n9 i 9 9
Pecio de compa .000)000 =? ? B0 VS 9 0
.000)000 9 P @ 0(B : 3P-O23A<) ?)=?2 P 9 8 .4=>).BB
P$O=LEMA El Cinisteio de A!icultua este analiando un po%ecto pa e@tende canales de ii!aci$n a sus #eas des*ticas( El costo inicial del po%ecto se calcula en 8( .(? millones % los costos de mantenimiento anuales se"an de 8 =?)000( Si la enta poveniente de la a!icultua se estima en 8 .B?)000 anuales) +a% un an#lisis 1 paa detemina si se debe adelanta el po%ecto utiliando un peiodo de estudio de =0 a/os % una tasa de inte*s de 67 anual( Sol+ci,n
ene&icio, 8 .B?)000 anuales 1osto , 8 3=?)000:.)?00000 3AP)67) =02 9 8 .??)BB0 anuales tiliando el an#lisis) mediante la elaci$n 1 El po%ecto se debe adelanta) puesto 'ue 1 .(0 3
a)
costo de E 9 000 3.=72 : ?0 9 4.0 ene&icio 9 ?00 costo de g 9 B0003.=72 : 6? 9 0? enecicio9=?:B009B=?
V( 9 In&inita E 1osto inicial 3miles2 84.0 bene&icio anual ?00 bene&icio anual 0
TCAR 9 .=7 anual h 8 0? compaaci$n g con E B=? a costo 4? 40 a bene&icio ==?
compaaci$n E con nadie g con nadie A costo 4.0 0? A bene&icio ?00 B=? A desb( 0 40 A1 .(.? o(B6 sitio seleccionado E Nin!uno
=
a desb( .0 A 1 0(4 sitio selecc( E
TEORIA DE INVERSIONES
b)
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-1 paa E -1 9 ?00)- 0) -4.0(9 60) 0 -1 0 la invesi$n es justi&icada -1 paa g -1 B=?) -40) -0? 9 -==00 -10 la invesi$n no es econ$micamente justi&icable
P$O=LEMA De las si!uientes altenativas mutuamente e@clu%entes seleccione la mejo utiliando la elaci$n 1) si TCAR es de .07 anual % los po%ectos tiene til de .? a/os suponiendo 'ue el costo de la tiea se ecupea# cuando el po%ecto +a%a &inaliado tate los costos de mantenimiento como del bene&icios PROPESTA .
1osto de tiea costo de const( manten( Anual in!eso anual
=
8 ?0)000 8=00)000 .?)000 8 ?=)000
4 ? 6 40)000 B0)000 >0)000 .?0)000 .B0)000 .>?)000 .6)000 .4)000 .B)000 4)000 6>)000 ?0)000
B 0)000 6?)000 .6?)000 .B?)000 .>)000 .)000 >.)000 BB)000
Sol+ci,n:
1AE, 31osto tiea : 1onstuc(23AP).07).?2 : m#s mantenimiento anual( PROPESTA ene&( Anual ?=)000 4)000 6>)000 ?0)000 >.)000 BB)000 4?)000 1osto Anual 4B)>6>(=? 40)B(>B 4?)??(?= ?.)>40(4 ?.)?=?(6. 44)??(?= 46)>40(4 1 .)0> .(. .(4 Descatamos 4 % B po tene 1. En&entamos costo incemental( bene&( Incemental 1
0(6
.(?6
. con = ? con 6>>>(> ?B=(0 000 .)000 0(4 =(.B se pe&iee = se pe&iee ?
En&entamos costo incemental bene&( Incemental 1
? con = .0)?4?(B? =)000 (0 se pe&iee ?
En&entamos ene&( Incemental 1osto incemental 1
? con 6 4)000 6B=(0 0)?B se pe&iee 6
RPTA, Se apueba 6
.(B=
0(6
B?)000 0)000 .=)000 4?)000
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CAPITULO 1/ 1/. LOS IMPUETOS SO=$E LA $ENTA EN EL ANGLISIS ECONOMICO 1/.1.De4n"%nes In5res% =rt% (I=).@ Es el total de todos los in!esos povenientes de &uente poductoas de in!esos(
Ca"% de !+est%s.@ Si la tasa de impuestos es T) entonces, Impuestos 9 3in!eso buto !astos depeciaci$n2 T Ejemplo, Enconta el &lujo de caja despu*s de impuestos) si se inviete I( 400)000 en una m#'uina 'ue tiene una vida til de ? a/os % valo esidual ceo( Invesi$n In!eso Hastos Depeciaci$n In!eso Havable Impuestos 3407 IHV2 tilidad Neta Depeciaci$n % Amoti(
.
=
4
?
B0 =0 =0 0 .= . =0
B0 =0 =0 0 .= . =0
B0 =0 =0 0 .= . =0
B0 =0 =0 0 .= . =0
B0 =0 =0 0 .= . =0
>
>
>
>
>
1/.2.E +rn"+% de Es"d% Fs"a 1uando una empesa ecibe un p*stamos) los inteeses o costo de la deuda es deducible paa &ines impositivos lo cual conlleva un bene&icio a la empesa( Paa +ace evidente este bene&icio se pesenta los si!uientes casos, Cas% 1: Ka empesa no tiene deuda) po lo tanto el pa!o de inteeses es ceo( Cas% 2: Ka empesa tiene deuda) po tanto est# sujeta a un pa!o po inteeses(
4
TEORIA DE INVERSIONES
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3en miles de soles2 tilidad antes de inteeses a impuestos( Inteeses tilidad antes de impuestos Impuestos 3407 de ut( Antes de impuestos2 tilidad neta
1aso I .0 0 .00 40 ?0
1aso II .00 =0 >0 = 4>
1ompaando la utilidad neta es obseva 'ue e@iste una di&eencia de .= mil soles) los oc+o mil estantes de los inteeses en el caso dos) lo asume el &isco 3=0@1(u2 lo cual si!ni&ica un a+oo paa la empesa( 1osto e&ectivo 9 costo antes de impuestos 3.-tasa de ICP2( En la compaaci$n) .= es el costo e&ectivo) =0 costo antes de impuestos % 407 es la tasa de impuesto( El pincipio del Escudo
C%!+ra: El costo del e'uipo es S( .00)00) la cuota inicial es S( 40)000 % cinco pa!os anuales con amotiaci$n constante a una tasa de inte*s del =07 anual) el valo de salvamento del activo al cabo del se@to a/o es S( .0)000( A'er: El al'uile anual del e'uipo es S( 0)000( Si la tasa de impuestos es 407 % la tasa m"nima atactiva de etono es de =?7 F1u#l es la decisi$nG SOK1ION, Amotiaci$n e inteeses 3en miles de soles2 A/o . = 4 ?
Depeciaci$n,
=
Deuda 60 4 6 =4 .=
100 − 10 6
=
90 6
Amotiaci$n .= .= .= .= .=
= 15
A+oo anual po depeciaciones 9 .?3 0)4 29 6
?
Inteeses .=(0 (6 B(= 4(> =(4
TEORIA DE INVERSIONES
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Esta cantidad es un bene&icio( 1alculo de la eo!aci$n neta anual 1uota inicial Amotiaci$n Inteeses @3.-0(42 A+oo anual po depeciaciones Valo de Salvamento Eo!aci$n neta
0 40
.
=
4
?
.= B(= 362
.= ?(? 362
.= 4( 362
.= =( 362
.= .(4 362
6 36 3.02
40
.(= ..(>
.0(
>(
B(4
3.62
1omo se sabe po contabilidad) la depeciaci$n no es un desembolso de e&ectivo) po consi!uiente solo se considea el bene&icio po un meno pa!o de impuestos( El valo pesente al =?7 es, VP 3compa2 9 40:.(= 3P<) =?).2 : ..(> 3P<) =?) =2 : .0( 3P<) =?)2 : >( 3P<) =?)42 : B(4 3P<) =?) ?2 .6 3P<) =?) 62( 9 6?(7 Al'uile, El al'uile tambi*n es un costo po tanto el a+oo po el al'uile es, 0(4 @ 0 9 .= El valo pesente al =>7 es, VP 9 0 3.-0(42 3PA) =?7) 62 9 ?(. Po consi!uiente conviene al'uila el e'uipo(
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CAPITULO 11 11. EFECTO DE LA DEUDA SO=$E LA EMP$ESA Ka deuda de la empesa tiene un e&ecto positivo cuando aumenta el bene&icio de los accionistas o un e&ecto ne!ativo cuando los disminu%e( El e&ecto de la deuda sobe la empesa se denomina palan'ueo &inancieo o levea!e &inancieo( Si se denomina a ,
A 9 Activo total del la empesa( P 9 Pasivo total de la empesa( PAT 9 Patimonio de la empesa( UA Int. 9 tilidad antes de desconta inteeses( UAI 9 tilidad antes de deduci impuestos( r 9 Rentabilidad del capital( Int. 9 Inteeses o pa!os &inancieos de la empesa( Ka entabilidad del capital se e@pesas de la si!uiente manea, AI PAT
A Int( @ A Int( @ P A P PAT
Reemplaando en el numeado A 9 P : PAT
A Int( 3P : PAT2 Int( @ P A P PAT
A Int( 3PAT2 : P A Int( Int( A A P PAT
9
A Int( : P A Int( Int( A PAT A P
En la medida en 'ue la empesa emplee capitales tomados a p*stamo donde las entabilidad de los activos 3A Int( A2 sea ma%o 'ue el costo medio del pasivo o taa de Int( del pasivo 3Int( P2) esultaa un aumento de bene&icios o disposici$n de los accionistas 3Palan'ueo positivo2(Po otas pate si se une a la anteio un alto atio de endeudamiento 3P PAT2 se lo!a como consecuencia ma%o entabilidad del capital 32( Paa mosta lo mencionado anteiomente se pesenta a continuaci$n el si!uiente ejemplo,
B
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1alcula la entabilidad del capital de las si!uientes altenativas ,
ALTE$NASTI?A I ALTE$NASTI?A II (!es de d7ares) .00 .00 B0 0 0 B0 407 407 .= => 60 60
A PAT P Taa de Int( del P*stamo Int( 3P @ Taa de Int(2 A Int(
9
A Int( : A
P A Int( Int(Y PAT A P
YInt( 9 Taa de Int( del p*stamo( P
ALTE$NATI?A I 3Pasivo , 07 del activo total2 9 60 : 0 60 - .= .00 B0 .00 0 9 0(6 : 0(430(6 0(42 9 6>(67
ALTE$NATI?A II 3Pasivo , B07 del activo total2 9 60 : B0 60 - => .00 0 .00 B0 9 0(6 : =(30(6 0(42 9 .06(B7 Ka entabilidad de la se!unda altenativa es ma%o) %a 'ue el atio de endeudamiento es mas alto 'ue el de la pimea altenativa, 3=( 0(42 En esumen se puede indica 'ue) si se tiene una deuda con costo bajo 3meno 'ue la entabilidad del activo2) la entabilidad del patimonio 32 cece a medida 'ue se +a!a ma%o el p*stamo paa ad'uii el ac+ivo(
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CAPITULO 12 12. COSTO DE CAPITAL El costo de capital 3;2) desde el punto de vista de la empesa pivada) esta de&inido como la taa de endimiento 'ue se debe !anase de tal modo 'ue el valo de la empesa % el pecio del mecado de sus acciones comunes no disminu%a ( El costo de capital es entonces meno o !enealmente i!ual a la taa m"nima atactiva de etono3TCAR2 de una empesa( El costo de capital se calculaa descontando el e&ecto de los impuestos) como se +a visto anteiomente los impuestos a&ectan a los inteeses povenientes de las deudas( 12.1 C%st%s de %s C%!+%nentes de a Estr"tra de Ca+ta En !eneal el costo antes delos impuestos de una deteminada &uente de &inanciamiento puede +allase calculando de la si!uiente ecuaci$n , n
I( 9 1. : 1= : 1 = . : 3. :2 3. :2
I. Ct J
(((((((:
1n 3. :2n
9
∑ t9.
1t 3. :2t
9 Conto neto de los &ondos ecibidos en el tiempo ceo 9 E!eso en el tiempo t 9 1osto de la deuda
Kas &uentes de &inanciamiento son, Pasivo coiente Pasivo no coiente Acciones pe&eentes Acciones comunes tilidades etenidas Paa el estudio del costo del capital se considean las &uentes de &ondo de la!o plao) esto es a pati del pasivo no coiente 3deudas a la!o plao2( a21osto del pasivo no coiente 3i2 El costo neto de estas deudas puede +allase mediante la si!uiente ecuaci$n, i 9 3. - T2 i 9 1osto neto de la deuda despu*s de impuestos( 9 Taa de inte*s de la deuda o costo de la deuda antes de impuestos( T 9 Taa ma!inal del impuesto a las !anancias(
E6e!+%: Si una empesa e&ecta un p*stamo po =0 millones de d$laes) pa!adeos en ? a/os con amotiaciones constantes a una taa de 07 anual( 1alcula el costo neto de la deuda si la taa ma!inal del impuesto es 407( S%"7n: i 9 3.-T2 9 0 3.-0(42 9 .>7 El costo neto es .>7(
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b21osto de las acciones pe&eidas3p2 El costo de las acciones pe&eidas implica) al i!ual 'ue las deudas un compomiso &ijo po pate de la empesa paa se pa!os pei$dicos) tienen pioidad sobe las acciones comunes) sin emba!o) deja de +ace el pa!o de los dividendos pe&eentes no da lu!a a la banca ota( Si las acciones pe&eidas no tienen &ec+a de escate peestablecida su costo neto 3p2 puede se epesentado del si!uiente modo, p 9 d I 0
d 9 Dividendo &ijado( I/ 9 Poducido neto de la colocaci$n( E6e!+%: El costo de venta o de &lotaci$n es de d$laes po acci$n pe&eente) esto es el compado pa!a po ejemplo .00 d$laes) la empesa ecibe B d$laes % el coedo ca!a una comisi$n de venta de d$laes( Si la empesa ase!ua un dividendo de 0 d$laes anuales F1u#l es el costo de la acci$n pe&eente G S%"7n: p 9 d I 0 9 0 .00- 9 0(7 c21osto de las acciones comunes3c2 En el caso de las acciones comunes) el ponostico de las !anancias &utuas) los dividendos % los pecios de las acciones es di&"cil de obtene) adem#s) los accionistas espean 'ue los dividendos povenientes de acciones comunes se incementan( Si los invesionistas espean a mantene la acci$n duante un a/o % si espea 'ue el pecio de la acci$n ceca ala taa ! la ecuaci$n de la tasaci$n sea, P0 9 Dividendo : Pecio espeado 3.: taa de endimiento e'ueida2 P0 0
d. : P. i 9 c
.
P0 9 d. : P. 9 d. : Po3. : !2 .: c .: c Simpli&icando la ecuaci$n se tiene P0 9 d. c ! Esta ecuaci$n obtenida paa un peiodo de un a/o) se cumple paa un ma%o numeo de peiodos tal como se demuesta a continuaci$n(
.00
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P0 9 d0
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3. : !2 : 3. : !2= : 3. : !2 . : c 3. : c2 = 3. : c2
(((((((
: 3. : !2n 3. : c2n
``````````3.2
P0 . : c 9 d0 . : 3. : !2 : 3. : !2= : 3. : !2 .:! . : c 3. : c2 = 3. : c2 3=2-3.2,
(((((((
: 3. : !2n-. 3. : c2n-.
``(3=2
. : c . P0 9 d0 . 3. : !2n .:! 3. : c2 n ajo el supuesto 'ue c !) cuando n→∝ ) 3. : !2n 3. : c2n ) tiende a ceo lo cual +ace 'ue, . : c . ! P0 9 d0 .:! 3c - !2 P0 9 d03. : !2 9 d . P0 9
d. c - !
E6e!+%: El pecio de mecado de una acci$n comn es de .000 d$laes) si la empesa acaba de pa!a >0 d$laes en dividendos) consideando 'ue el pecio delas acciones % los dividendos +an estado elev#ndose en ?7 al a/o duante los ltimos a/os) calcula la taa de endimiento o costo de la acci$n( S%"7n: P0 9 .000
P. 9 .0003.(062 D. 9 >03.(062 0
.
de la &omula , P0 9
d. c - ! Se tiene 'ue la taa de endimiento3c2 es , c 9 d. : ! P0
c 9 >03.(062 : 0(06 .000 9 46(7
la taa de endimiento es 46(7 d21osto de las utilidades etenidas 32 Es la taa de endimiento 'ue e'uieen los accionistas sobe el capital comn de la empesa %a 'ue si se invieten a una taa meno) el pecio de mecado de las acciones de la
.0.
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empesas declinaa( En e'uilibio la taa espeada % la taa e'ueida de endimiento 32 deben se i!uales( 9 d. : ! P0
E6e!+%: na empesa espea !ana 840 po acci$n % pa!a un dividendo de 8? en el a/o si!uiente( Kas !anancias) los dividendos % el pecio de las acciones se +an elevado apo@imadamente ?7 al a/o % se espea 'ue esta taa de cecimiento continu* po tiempo inde&inido( Kas acciones se venden en la actualidad a 8..0 cada una( 1alcula la taa e'ueida de endimiento( S%"7n: 9 d. : ! P0 9 ? : ?7 ..0 9 6(>7 e21osto de nuevas acciones comunes) o de capital e@teno3n2 El costo de nuevo capital comn) es ma%o 'ue las utilidades etenidas debido a los costos de &lotaci$n 'ue implica la venta de nuevas acciones( El costo el nuevo capital se calcula aplicando la si!uiente &omula, n 9
d. : ! P03. - &2
4 9 costo de &lotaci$n E6e!+% : Al enunciado del poblema anteio se a/ade 'ue el costo de &lotaci$n es de 7 S%"7n: n 9
d. : ! P03. - &2 9
? ..03. 0(02
:
?7
9 B(>7 Kos invesionistas e'uieen un endimiento de 6(>7) sin emba!o) debido a los costos de &lotaci$n el endimiento espeado del nuevo capital debe# se del B(>7( En cuanto al compomiso 'ue la empesa contae con las divesas &uentes de &inanciamiento) en esumen) se puede se/ala el si!uiente oden de pioidades( - Pasivos no coiente 3deudas a la!o plao2 - Acciones pe&eentes - Acciones comunes El ejemplo si!uiente ilusta lo mencionado l"neas aiba(
E6e!+%: Kas utilidades antes de impuestos de una empesa es de .00 millones de d$laes) los inteeses de la deuda .0 millones de d$laes) los impuestos a las utilidades es de 407 % los dividendos pe&eentes es de .? millones de d$laes( 1alcula el monto disponible pa a los
.0=
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dividendos comunes(
S%"7n: Cillones de d$laes - tilidades antes de inteeses e impuestos - Inteeses - tilidades antes de impuestos - Impuestos34072 - Dividendos pe&eentes - Conto disponible paa los dividendos comunes
.00 .0 0 -6 -.?
Paa calcula el costo de capital de una empesa) consideando las divesas &uentes de &inanciamiento se pocede como el si!uiente ejemplo(
E6e!+%: 1alcula el costo de capital de una empesa 'ue tiene la si!uiente estuctua de &inanciamiento,
1antidad 3miles de d$laes2 4? .? 0 60 .?0
Popoci$n 372 0 .0 =0 40 .00
Ka empesa +a calculado el si!uiente costo) despu*s de impuestos, Acciones comunes .. Hanancias etenidas .0 El costo de capital o costo medio pondeado de capital se obtiene de la manea si!uiente ,
1osto anual 32 4 > .. .0
1osto pondeado 3A(2.00 .(= 0(> =(= 4(0 >(=
Po consi!uiente el costo de capital es i!ual al >(=7 anual(
CAPITULO 13 13. E?ALUACIBN EMP$ESA$IAL Ka evaluaci$n empesaial es un poceso de medici$n del valo econ$mico o &inancieo a base de la compaaci$n de in!esos % e!esos del po%ecto(
.0
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13.1 E#aa"7n e"%n7!"a Es a'uella 'ue identi&ica el meito int"nseco del po%ecto) po esta a$n se supone como popios los ecusos 'ue se necesita el po%ecto paa su opeaci$n( El indicado se sintetia el meito del po%ecto es la tasa intena de etono econ$mica3TIRE2( Kas +eamientas paa e&ectua la evaluaci$n econ$mica son ,po!amas de invesi$n ) cuado de in!esos % costos) estados de !anancias % pedidas) &lujo de caja econ$mica) etc( 1on las 'ue se elaboa el estado de &lujos netos econ$micos( El estado de &lujos netos econ$micos esta compuesto po los !astos de invesi$n) los in!esos) los costos de opeaci$n % el valo esidual(
E6e!+%: 1alcula la TIRE de una invesi$n de .00 millones de d$laes) la vida util es de ? a/os con valo esidual de .0 millones de d$laes la taa de impuestos es 07 FLUKO ECONOMICO(!%nes de d7ares) A/os 0 . = 3:2 In!esos B0 B0 B0 3 -2 1osto de opeaci$n == == == 3 -2 Depeciaci$n .> .> .> In!eso Havable 0 0 0 3 -2 Impuesto307 del In!( H2 tilidad distibuible =. =. =. 3:2 Depeciaci$n .> .> .> 3 -2 Invesi$n .00 3:2 Valo esidual
4 B0 == .> 0 =. .>
? B0 == .> 0 =. .>
.0 4
DEPRE1IA1IkN 9 .00 .0 9 .> ? Si se +ace TIR< 9 i) se tiene , •
.00 9
: 3. : i2. i 9 =>(7
: 3. : i2=
: : 4 3. : i2 3. : i24 3. : i2?
Si la taa m"nima atactiva de etono 3TCAR2 es =?7 ) entonces el po%ecto es econ$micamente entable) %a 'ue la TIRE 9 =>(7( El valo pesente neto econ$mico 3VPNE2 a la taa de =?7 es, VPNE 9 3.002 : 3PA) =?)?2 : .03P<) =?) ? 2 9 >(= millones de d$laes(
13.2 E#aa"7n Fnan"era Se denomina as" a la evaluaci$n 'ue cuanti&ica la entabilidad del capital popio) lo cual implica considea a los pestamos como bene&icio % ala amotiaci$n % pa!o de inteeses como costos del po%ecto( Ka &inanciaci$n de la invesi$n poduce el e&ecto de palanca 3capitulo anteio2 % se espea 'ue este sea positivo) lo cual se taduce en el +ec+o de 'ue la taa de endimiento debe se ma%o 'ue la TIRE( Ka taa de endimiento &inanciea se denomina comnmente) taa intena de etono &inanciea 3TIR<2 % es la 'ue sintetia el meito del po%ecto desde el punto de vista del apote popio de la empesa(
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