Analisis-Economico

ESCUELA DE I NGE NIER ÍA COMER CIAL P O N T I F I C I A U N I V E R S I D A D C A T Ó L I C A D E V A L P A R A Í S O

DOCUME NTO DOCE NTE MICR OECO NOMÍA 1 EJER CICIOS DE MICR OECO NOMÍA I NTER MEDIA MATIAS BER THELO N 2007

Documento de uso exclusivo p  pa par a la Escuela de Ingenier ía Comer cial de la PUCV

PRÓLOGO El presente documento de trabajo recopila ejercicios de microeconomía intermedia discutidos entre los años 2004 a 2007 en la clase de Microeconomía 1 de la Escuela de Ingeniería Ingeniería Comercial de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Los ejercicios han formado parte de las discusiones desarrolladas durante las ayudantías, asignados en las guías de ejercicios, tareas, controles y pruebas durante estos años. Por esto, conforman una parte esencial del contenido del curso, completando y complementando y reforzando las exposiciones teóricas de clases y las discusiones de ayudantías. La resolución de ejercicios forma parte central del proceso de aprendizaje de la economía, pues  permite la aplicación “practica” de conceptos muchas veces considerados como “teóricos” por los alumnos. Sin “ensuciarse las manos” es difícil lograr niveles de compresión de lo conceptos que les  permitan a Uds., como alumnos, aplicarlos en situaciones distintas a las vistas en clases. Es por esto que todos los alumnos del curso requieren prestar atención y dedicación (en términos de tiempo y esfuerzo) a su resolución y discusión. Además, la capacidad de entender, analizar, plantear y resolver problemas y ejercicios es parte integral del proceso de aprendizaje y evaluación del curso. Un elemento adicional a tener en cuenta es que al haber sido estos ejercicios tomados de distintos tipos de evaluaciones, les  permitirá acostumbrarse al estilo y nivel de exigencia del curso. Les recomiendo primero intentar  resolver los ejercicios sin mirar la solución, luego compararlos con los resultados propuestos en este documento. El documento esta dividido tres secciones: la sección I contiene ejercicios de repaso matemático, fundamentalmente de optimización con y sin restricciones. La sección II incorpora los ejercicios referidos a la Teoría del Consumidor y la sección III incluye aquellos ejercicios dedicados a la Teoría de la Firma y a la organización de mercados perfectamente competitivos y monopólicos. Finalmente quisiera agradecer a los ayudantes del curso durante estos años—Andres Alcayaga, Francisco Mansilla, Sergio Avalos, Claudio Poloni, Maritza Cardenas y Martin Medo— y a todos los alumnos que anónima y generosamente han contribuido con comentarios y correcciones al mejoramiento de este documento, y recordarles que este es un trabajo en progreso, por lo que cualquier  sugerencia para perfeccionar el documento es bienvenida.

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

EPASO MATEMÁTICO I. R EPASO

1. Grafique las siguientes funciones: a)  f ( x ) = 0,5 x + 1

 x 2  para 0 ≤  x ≤ 1 f)  f ( x) =   x  para  x > 1  x  para  x < 0 g)  f ( x) =  2 x  para  x ≥ 0 2  para  x ≠ 1 h)  f ( x) =   3  para  x = 1

 b)  f ( x ) =  x 2 c)  f ( x ) =  x 2 − 1 d)  f ( x ) =  x e)  f ( x ) = 1 − x 2

Solución: (b) (c)

-2

(g) (a)

(f)

2

2

1

1

-1

1

2

-2

-1

-1

1

2

-1

●

(h)

2

2

(d) (e) -2

1

-1

1

1 -1

2

-2

-1

1

2

-1

1

Microeconomía 1

Repaso Matemático

2. Grafique las siguientes funciones en el cuadrante de valores positivos de la variable x, especificando las intersecciones de la función con los ejes y la pendiente. En estas funciones α ,  β , δ , γ , y λ  son  parámetros positivos. a)  y = α  x +  β  ,  y = α  x −  β  ,  y =  β  − α  x  b) γ  x + λ  y = δ  , γ  x − λ  y − δ  = 0

c)  β  x − α  y − λ  = 0 ,  β  x − α  y − 2 λ  = 0

Solución: (a)

(b)

(c)

δ  / λ 

γ  / λ   β 

λ  /  β 

δ  / γ  -λ  / α 

λ  / δ  -α 

-2λ  / α 

α   β  / α 

3. Encuentre  f ' ( x ) y  f ' ' ( x ) : a)  f ( x) = 5 x − 3

f)  f ( x) = ln(1 + x 2 )

 b)  f ( x) = ( x + 1) ( x − 1)

g)  f ( x) = 0,1 x 3 − x + 4

c)  f ( x) = ax − n

h)  f ( x) = 1  x

d)  f ( x) = e e)  f ( x) = ln x

i)

 f ( x) = ln x  x

f)

 f ' ( x) =

1  x

Solución: a)  f ' ( x) = 5  f " ( x) = 0  b)  f ' ( x) = − 2 ( x − 1) 2  f " ( x) = 4 ( x − 1)

3

c)  f ' ( x) = −anx − n −1  f " ( x) = an(n + 1) x − n − 2

d)  f ' ( x) = −  f " ( x) =

e1  x

 x 2 e1  x (1 + 2 x)  x 4

e)  f ' ( x) = 1  x  f ( x) = −1  x 2

2

 f " ( x) =

2 x 1 + x 2 2(1 − x 2 ) (1 + x 2 ) 2

g)  f ' ( x) = 0,3 x 2 − 1  f " ( x) = 0,6 x 1 h)  f ' ( x) = − 3 2 2 x 3  f " ( x) = 5 2 4 x 1 − ln x i)  f ' ( x) =  x 2 2 x(ln x − 1) − x  f " ( x) =  x 4

2λ  /  β 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 4. Grafique las siguientes funciones y su primera derivada (para la obtención del puntaje total se debe incluir no solo el grafico de la función sino también toda aquella información relevante que describa la función) a.  y = 3 x  b. c. d. e.

∀ x ≥ 0  y = x 2 + 2 ∀ x ≥ 0  y = −α  +  β  x ∀ x ≥ 0 con α  < 0 y β  > 0  y =  f ( x) > 0 ∀ x > 0;  f ( x) = 0 ∀ x = 0;  f ' ( x) > 0 ∀ x ≥ 0;  f ' ' ( x) < 0 ∀ x ≥ 0  y =  f ( x) > 0 ∀ x  f ' ( x) < 0 ∀ x < 0;  f ' ( x) > 0 ∀ x > 0;  f ' ( x) = 0 ∀ x = 0;  f ' ' ( x) > 0 ∀ x

Solución: (a)

y  f’ ( x)

 y  f’ ( x)

 y= f ( x)

3

(b)

y  f’ ( x)

y=f ( x) f’ ( x)=2 x

 f’ ( x)

(c) y=f ( x)  f’ ( x)= β 

2 -α 

1

1+α / β 

 x

 x (d)

(e)  y  f’ ( x)

f’ ( x)

 y  y= f ( x)  f’ ( x)

 f’ ( x)

 f’ ( x)

x

x

 f ( x) f’ ( x)

 x

 x

3

Microeconomía 1

Repaso Matemático

5. Para los tramos indicados de la siguiente función señale si esta, su primera derivada y su segunda derivada son mayores (>), menores (<) o iguales a cero (=). Utilice el espacio otorgado en el grafico  para ello.  f ( x) F   B E   A

C

D

 x

 f(x)  f’(x)  f”(x)

Solución:  f(x)

<

>

>

0

>

>

>

 f’(x)

>

>

<

0

>

>

<

 f”(x)

0

<

0

− 

0

>

>

6. Encuentre la diferencial total de las siguientes funciones: a)  f ( x, y) = 3 x 3 + x 2 y +  y + 17

c)  f ( x, y, z ) =  z 2 1 + x 2 +  y 2

 b)  f ( x, y ) = ( x 2 −  y 2 )

d)  f ( x, y, z ) = ln( x 3 y 2 z ) + 2 z 

Solución: a)

df ( x, y ) =  f  x dx +  f  y dy

 b)

df ( x, y ) = (9 x 2 + 2 xy) dx + ( x 2 + 1) dy df ( x, y ) = 2 xdx − 2 ydy

c)

∗

dx +

 yz 2

∗

dy + 2 z  ∗dz 

∗ = 1 + x 2 +  y 2 d)

4

df ( x, y, z ) =

 xz 2

df ( x, y, z ) =

3  x

dx +

2

1 dy + ( + 2) dz   y  z 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 7. Use el teorema de la función implícita para encontrar la derivada de  y con respecto a  x en las siguientes funciones: a)  x 2 +  y 2 =  y  b)  xy = 2

d)  x 2 + x  y + 2 = 0 e) (  x + 1)(  y + 2 ) = 8

c)  x + 2 xy = 5 2

Solución: a)  b) c)

dy dx dy dx dy dx

=− =− =−

 F  x

=−

 F  y

2 x 2 y − 1

d)

dy dx

=−

 y  x  x +  y  x

e)

dy dx

=−

2 x + 1  y (2 xy + 1) y =  x  x − 2  y  y + 2

)

2  x

(  x + 1)

) = −  y + 2

 x +  x

2(  y + 2 )

8. Encuentre los máximos y mínimos de la siguiente función:  z  = 8 x 3 + 2 xy − 3 x 2 +  y 2 + 1. Verifique las condiciones de segundo orden. Las condiciones de primer orden de las cuales obtenemos los óptimos de la función son:  f  x =  f  y = 0 .  f  x = 0 ⇒ 24 x 2 + 2 y − 6 x = 0  2 2  y = − x ⇒ 24 x + 2(− x) − 6 x = 24 x − 8 x = 0  f  y = 0 ⇒ 2 x + 2 y = 0 

 x = 0 ⇒  y1 = 0 , son los candidatos a extremos. ⇒  x(24 x − 8) = 0 ⇒  1 1 / 3 1 / 3  x  y = ⇒ = − 2  2  f  xx < 0  y  f  xx f  yy >  f  xy2 ⇒ max Las condiciones de segundo orden son:  2  f  xx > 0  y  f  xx f  yy >  f  xy ⇒ min Tomando ( x1 = 0; y1 = 0 ) . Reemplazando en  f  xx = (48 x − 6)  x =0; y =0 = −6 < 0  f  xx f  yy >  f  xy2 ⇒ ( 48 x − 6)(2)  x =0, y =0 > (2) 2 ⇒ − 12 < 4

Las CSO no se cumplen con ( x1 = 0; y1 = 0 ) . Este es un punto de inflexión. Tomando ( x2 = 1 / 3; y2 = −1 / 3) . Reemplazando en  f  xx = (48 x − 6)  x =1/ 3; y = −1/ 3 = 48(1 / 3) − 6 = 10 > 0  f  xx f  yy >  f  xy2 ⇒ ( 48 x − 6)(2)  x =1/ 3; y =−1/ 3 > (2) 2 ⇒ 20 > 4

Ambas CSO se cumplen. Así, ( x* , y * ) = (1 / 3;−1 / 3) es el arg min{ z =  f ( x, y )} 5

Microeconomía 1

Repaso Matemático

9. La compañía  Invermil  planea invertir en acciones petroleras. La inversión deberá ser vendida al final del cuarto año como máximo. De acuerdo con el análisis de los cerebros de  Invermil , el  beneficio neto de vender la acción en el periodo t esta dado por:  P (t ) = 2(20 − t ) 3 t  , para 0 ≤ t ≤ 10 . Determine cuanto tiempo se deberían mantener las acciones petroleras antes de venderlas (Ayuda: si lo desea aplique una transformación monotónica creciente, por ejemplo logaritmo natural, para simplificar su análisis) La función de beneficio neto alcanza su punto máximo donde la primera derivada es igual a cero: dP  dt 

= 2[− 3(20 − t ) 2 t + (20 − t ) 3 ] = 16000 − 4800t + 360t 2 − 8t 3 = 0 ⇒ t * = 5

La compañía debería mantener la acción por 5 años. Alternativamente, el máximo de la función de beneficio puede ser obtenido de una manera más sencilla aplicando una transformación monotónica creciente a la función de beneficio y después derivando para encontrar el máximo de la función transformada. Aplicando una transformación igual al logaritmo natural:  F ( P ) = ln P (t ) = ln 2(20 − t ) 3 t  = ln 2 + 3 ln(20 − t ) + ln t 

Cuyo máximo se encuentra en: dF  dt 

=−

3 1 + = 0 ⇒ t * = 5 20 − t  t 

Para asegurarnos que el punto corresponde a un máximo:

d 2 F  dt 2

Efectivamente es un máximo.

6

=−

3 (20 − t ) 2

−

1 t 2

< 0  para todo t  > 0

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 10. La empresa de computación Computin S.A. tiene un costo fijo diario de $5.000. Si la firma produce  x unidades diarias, el costo en salarios y materiales es de 3 x. El costo de mantención diario ha sido estimado en ( x 2 4) . a) Determine el nivel de producción diario que minimiza el costo total diario por unidad de  producción. (Ayuda: el costo unitario es el costo total C ( x) dividido por  x)  b) Verifique las condiciones de segundo orden. Solución: a) La función de costo total de la empresa Computin tiene tres componentes, un costo fijo, un costo en salarios y materiales, y el costo de mantención. Podemos expresar los costos totales de la empresa en función del nivel de producción x, de la siguiente forma: C ( x) = 5000 + 3 x +

 x 2

4

Los costos unitarios están dados por: c( x) =

C ( x)  x

=

5000  x +3+ 4  x

El nivel de producción que minimiza los costos unitarios es: dc( x) dx

=−

5000 2

+

1 4

= 0 ⇒  x = 20.000

 x* = 141,4

 b) Queremos verificar si en ese punto los costos efectivamente se minimizan. Para ello encontramos la segunda derivada de la función de costos unitario: d 2 c( x) dx 2

=

10.000  x 3

> 0,

que es positiva para cualquier valor de x mayor a cero, lo cual indica que efectivamente encontramos un mínimo.

7

Microeconomía 1

Repaso Matemático

11. De acuerdo con un modelo de la tos, el flujo  F  (volumen por unidad de tiempo) de aire que pasa a través de la garganta es una función del radio r  de la garganta (asumiendo que esta es circular) que toma la siguiente forma:  F  = k ( r 0 − r ) r 4 con

1 2

r 0 < r < r 0

donde k es una constante positiva y r 0 es el radio normal de la garganta (cuando no hay tos). a) Encuentre el valor del radio r que maximiza el flujo de aire F .  b) Encuentre las condiciones para las cuales se cumple que el radio encontrado en (a) es efectivamente un máximo. Solución: a) Para encontrar el radio r que maximiza el flujo debemos encontrar el valor de r tal que

∂ F  = 0. ∂r 

∂ F  = −kr 4 + 4k (r 0 − r )r 3 = 0 ⇒ 4kr 0 r 3 − 5kr 4 = 0 ∂r  r * = 0 ó r ** =

4r 0 5

Si r * = 0 entonces  F  = 0 . 4r  4 Si r ** = 0 entonces  F  = k (r 0 − r )r 4 > 0 . 5 5 Entonces el radio r que maximiza el flujo es r ** =

4r 0 5

∂ 2 F   b) Para asegurarnos de que estamos encontrando un máximo se debe cumplir que <0 ∂r 2 ∂ 2 F  = 12kr 0 r 2 − 20kr 3 < 0 2 ∂r  Para que dicha condición se cumpla se debe dar que: 12kr 0 r 2 < 20kr 3 ⇒

Del enunciado sabemos que

1 2

5

< r 

r 0 < r < r 0 , por que entonces tendremos que se debe cumplir que:

3 5

8

3r 0

r 0 < r < r 0

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 12. La Plata Bank esta pagando una tasa de interés anual de 5% a sus depositantes. Según el departamento de estudios de La Plata Bank, el monto de dinero que el banco puede prestar es inversamente proporcional al cuadrado de la tasa de interés (r ) que cobraría en los prestamos. a) Plantee el problema de maximización de beneficios de La Plata Bank . (Ayuda: los beneficios por   peso prestado están dados por la diferencia (spread) entre la tasa pagada a los depositantes y aquella  pagada por los prestatarios)  b) Determine la tasa de interés que maximiza los beneficios de La Plata Bank . c) ¿El nivel de tasa de interés encontrado asegura que los beneficios son máximos? d) ¿Cambian las respuestas anteriores si el banco tiene que pagar anualmente una patente de $10.000? Solución: a) Sea i=5% la tasa que paga el banco a sus depositantes, y r la tasa que el banco cobra en sus créditos. El banco busca maximizar sus beneficios, los cuales están dados por la diferencia entre sus ingresos y sus costos, por lo que el problema de maximización de beneficios de  La Plata Bank  se puede expresar como:  Max  B ( r ) = Ingresos − Costos = rM  − iM  r 

sujeto a

(i ) i = 5 y (ii )  M  =

1 r 2

Donde M es la cantidad de dinero que los clientes del banco depositan (y que dispone para prestar), que es una función de la tasa de interés cobrada por el banco (r ). Reemplazado las restricciones en la función objetivo obtenemos que la función de beneficios que el banco maximiza es: (r − 5)  Max  B (r ) = r  r 2  b) La tasa de interés que maximiza los beneficios de La Plata Bank es: dB dr 

=

10r − r 2 4

r 

= 0 ⇒ r * = 10

c) Para establecerlo debemos analizar la segunda derivada de los beneficios con respecto a la tasa de interés: d 2 B

=

(10 − 2r )r 4 − (10r − r 2 )

dr 2 r 8  beneficios son máximos.

< 0 , para r =10, por lo tanto la tasa de interés encontrada asegura que los

d) Con el pago de la patente la función de beneficio cambia a:  Max  B (r ) = Ingresos − Costos = rM  − iM  − 10.000 = r 

(r − 5) r 2

− 10.000

La condición de primer orden del problema es la misma que inicialmente por lo que el óptimo no cambia. En conclusión, el pago de un costo fijo no cambia la tasa de interés óptima que debería cobrar  el banco. 9

Microeconomía 1

Repaso Matemático

13. Don Florencio desea plantar un rectángulo de lechugas en su jardín. Uno de los lados del rectángulo es la pared que cierra su jardín. Para los otros tres lados dispone de 32 metros de malla. ¿Cuál es el largo (l ) y el ancho (a) del rectángulo que le permitiría maximizar el area de sembrado? ¿Cómo se asegura de que es la mayor area posible y no la menor? El área de sembrado esta definida como  A = l × a . Las restricciones al área se pueden representar como: l + 2a = 32 ⇒ l  = 32 − 2a .

Entonces, el área esta dada por:  A(a ) = l (a ) × a = (32 − 2a ) a = 32a − 2a 2

La maximización del área de sembrado implica que:  f a = 32 − 4a = 0 ⇒ a * = 8 ⇒ l * = 16 ⇒  A* = 128  f aa = −4 < 0 ⇒ las dimensiones encontradas dan como resultado un área máxima.

14. En una entrevista realizada por el Mercurio de Valparaíso el día 28 de Diciembre recién pasado el famoso economista Octavio Opinión dio su opinión acerca de la cual seria la evolución del crecimiento económico para los próximos dos años. Ese día el citado economista señaló: “las cifras son categóricas, no podemos esperar sino que el crecimiento económico se acelere en los próximos meses y salga del estancamiento en que se encuentra, de alrededor de un 3%, hasta alcanzar un nivel relativamente estable de un 6% para todo el próximo año”. Realice un grafico de la trayectoria del crecimiento para este y el próximo año según lo aseverado por OO. Es importante indicar que Octavio Opinión no da información acerca de cómo se acelera el crecimiento durante el año 2005, por lo que se asume una aceleración decreciente que hace que la tasa de crecimiento converja suavemente al 6% hacia finales del año 2005. Sin embargo, también podrían haberse supuesto aceleraciones constantes o crecientes (líneas punteadas en el grafico).

g 

6

3

Dic

10

t 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 15. Sea T  = ( x ) una función total (por ejemplo, producción total, ventas totales o costos totales). a) Escriba la expresión para la función marginal  (M ) y la función media ( A).  b) Muestre que cuando A alcanza un extremo local, M y A tienen que alcanzar el mismo valor. c) ¿Cuál es el principio general que se puede inferir que sirve para dibujar la curva marginal y media en el mismo grafico? d) ¿Qué se puede concluir acerca de la elasticidad de la función total T , en el punto donde A alcanza un extremo local? Solución: a)  M ( x) =

( x) ∂ ( x) = ϕ ' ( x) y  A( x) = ∂ x

 b)  A alcanza un extremo local si  A' ( x) =

∂ ( x) ϕ ' ( x) x − ϕ ( x) = = 0 ⇒ ϕ ' ( x) x − ϕ ( x) = 0  x 2 ∂ x ( x)

⇒ ϕ ' ( x) = 1 2 3

 M ( x )

 x

⇒  M ( x) =  A( x)

{

 A ( x )

c) El principio general es que para cualquier función total, sus funciones media y marginal se intersectan en el extremo (mínimo o máximo) de la función media.  ,M 

( x) ( x)

 A( x)  A( x)

d) En cualquier punto de la función la elasticidad esta definida como: eT , x =

' ( x) x ∂T  x = ∂ x T  ϕ ( x)

En el punto donde A alcanza un extremo local se cumple que ' ( x) x = ( x ) , por lo que eT , x = 1

11

Microeconomía 1

Repaso Matemático

16. Se le encarga construir una caja rectangular por un valor de $ D. Los materiales de la caja son tales que la base de la caja cuestan el doble por metro cuadrado de lo que cuestan los lados y la tapa. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja [base(b), altura(a) y largo(l )] que maximizan el volúmen contenido en ella? a) Plantee el problema (Lagragiano) a maximizar.  b) Obtenga las medidas optimas de la base, altura y largo de la caja.

Solución: a) Sea p el costo por metro cuadrado de los lados y tapa, entonces el costo por metro cuadrado de la  base de la caja es igual a 2 p. Así, el costo total de la caja esta dado por la siguiente función:  D = 2 p(lb) +  p(lb) +  p( 2al ) +  p( 2ab) =  p(3lb + 2al + 2ab) 1 2 3

1 2 3

144  244  3

base

tapa

lados

Para maximizar el volumen sujeto a la restricción de costos se plantea el siguiente lagrangeano:  Max  L = alb + λ [ D −  p(3lb + 2al + 2ab)] a ,l ,b

 b) El lagrangeano da origen a las siguientes condiciones de primer orden:

∂ L  = lb − λ  p(2l + 2b) = 0  ∂a  ∂ L  (ii ) = al − λ  p(3l + 2a ) = 0  ⇒ ∂b  ∂ L  (iii ) = ab − λ  p(3b + 2a) = 0  ∂l   ∂ L (iv) = D −  p(3lb + 2al + 2ab) = 0 ∂λ  (i)

Reemplazando l = b , y a =

3 2

3 2  ( ) ( ) i  y ii a b b a ⇒ = ⇔ =  2 3  3 2  (i )  y (iii ) ⇒ a = l  ⇔ l  = a 2 3  (ii )  y (iii ) ⇒ l = b  

l  en (iv):

3  D =  p(3lb + 2al + 2ab) =  p(3l 2 + 4al ) =  p[3l 2 + 4l ( l )] 2

⇒ l * = b* =

12

 D

9 p

⇒ a* =

3  D 2

9 p

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 17. Una compañía de Televisión por cable desea instalar una estación de amplificación en una calle con tres casas, para que los cable vayan de la estación a estas. Una casa esta adyacente a calle y las otras dos están a 50 metros de la calle (ver dibujo). a) Plantee el problema a resolver por la Compañía en términos de la distancia a la que debería estar la estación de la Casa 1 (llame a esta distancia a)  b) ¿Encuentre donde se debería ubicar la estación de tal manera de que se minimice la cantidad de cable a ser usada para conectar a las tres casas? c) Determine si la ubicación encontrada efectivamente minimiza la cantidad de cable.

Casa 2 Casa 1 Estación

50 mts

50 mts

Casa 3

200 mts

Solución: a) La compañía minimizará la cantidad de cable  (L) que equivale a la suma de las distancias entre la Casa 1 y la estación (a), la Casa 2 y la estación (b) y la Casa 3 y la estación (c):  Min L = a + b + c . Sabemos que las distancias entre las Casas 2 y 3 y la estación son las mismas, por lo que b y c son iguales. Así, nuestro problema se puede reexpresar como  Min L = a + 2b . Además, podemos expresar las distancias entre las casas 2 y 3 y la estación de la siguiente forma b = 50 2 + ( 200 − a ) 2 . Por lo que el problema se puede plantear (en términos de la distancia desde

la casa 1 a la estación) como:  Min L = a + 2 50 2 + (200 − a ) 2  b)

a=

2(200 − a ) ∂ L = 1− = 0 ⇒ 3a 2 − 1200a + 117.500 = 0 ⇒ ∂a 50 2 + (200 − a ) 2 1.200 ± 30.000 6

a = 228,9 ⇒  1 ⇒ La estación debería estar ubicada a 171,1 metros de la casa 1. 171 , 1 a =  2

2 2(200 − a ) 2 ∂ 2 L c) = − >0 ∂a 2 (50 2 + (200 − a) 2 )1/ 2 (50 2 + (200 − a ) 2 )3 / 2 2

⇒

(50 ⇒ (50

2 2

(50

+ (200 − a) 2 )

2

+ (200 − a) 2 )

1/ 2

>

2(200 − a) 2

(50

2

+ (200 − a) 2 )

3/ 2

3/ 2

+ (200 − a)

)

2 1/ 2

> (200 − a) 2 ⇒ 50 2 + (200 − a) 2 > (200 − a) 2 ⇒ 50 2 > 0 .

Lo cual se cumple en cualquier punto, por lo que la ubicación encontrada efectivamente minimiza el uso de cable. 13

Microeconomía 1

Repaso Matemático

1 18. Considere la función  f ( x) =  x 3 − 3 x . Encuentre los óptimos de esta función y señale si estos son 4 máximos o mínimos. 1 ∂ f ( x) Con  f ( x) =  x3 − 3 x , la condición de primer orden para encontrar un optimo no señale que = 0. 4 ∂ x Entonces:

∂ f ( x) 3 2 =  x − 3 = 0 4 ∂ x

⇒

 x1* = 2  *  x2 = −2

⇒  f ( x) = −4 ⇒  f ( x) = 4

Los óptimos posibles son ( x1* , y1* ) = (2,−4) y ( x2* , y2* ) = (−2,4) . Para determinar si corresponden a máximos mínimos se requiere verificar las condiciones de segundo orden:

∂  f ( x) 6 =  x 4 ∂ x 2 2

⇒

 ∂ 2 f ( x) =3>0  2  x ∂  ( x , y )  2  ∂  f ( x) = −3 < 0  ∂ x 2 ( x , y )  * 1

* 1

* 2

* 2

⇒ Min ⇒ Max

Las CSO indican que ( x1* , y1* ) = (2,−4 ) es un mínimo y que ( x2* , y2* ) = (−2,4 ) es un máximo.

2

19. Suponga que tiene la siguiente función objetivo:  f ( x, y) = ( x − 4 ) − y , con  x, y ≥ 0 . a) Plantee el problema de optimización de la función objetivo (Lagrangiano) si se tiene la siguiente restricción: 7 x + y = 15  b) Encuentre él o los puntos óptimos del problema de optimización, y el va lor de la función objetivo en el óptimo. c) ¿Son estos unos mínimos o máximos? ¿Cómo se relaciona esto con el valor óptimo del multiplicador? Solución: a) El Lagrangeano se puede expresar de la siguiente forma:  Max  L = ( x − 4) 2 − y + λ (15 − 7 x − y )  x , y

 b) Las condiciones de primer orden del problema de optimización son:

14

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

∂ L = 2( x − 4) − 7λ  = 0 ∂ x ∂ L (ii ) = −1 − λ  = 0 ∂ y

 (ii) ⇒ λ  = −1   1  ⇒   (i)  y (ii) ⇒  x = 2 

(i )

(iii )

Reemplazando  x* =

1

∂L = 15 − 7 x − y = 0 ∂λ 

en (iii), se obtiene  y* = 11,5 . Para encontrar el valor de la función objetivo en el

2 optimo se reemplazan los valores 2  f ( x* , y * ) = (0,5 − 4 ) + 11,5 = 0,75

óptimos

de  x

y  y

en

la

función

objetivo.

Así,

c) En este caso necesitamos verificar las condiciones de segundo orden. Para eso debemos encontrar el Hesiano orlado. Dado que tenemos una restricción, si el determinante del Hesiano orlado es positivo entonces estamos en presencia de un máximo. Si el determinante del Hesiano orlado es negativo entonces es un mínimo. El Hesiano orlado esta definido como:

 0  g  x  g  y     H  =  g  x  f  xx  f  xy   g  y  f  yx  f  yy    donde g  x y g  y son las derivas de la restricción presupuestaria con respecto a x y  y; y  f ij son las derivadas  parciales de segundo orden de la función objetivo con respecto a las variables i y j, todas ellas evaluadas en el punto óptimo. En el ejercicio tenemos que:  g  x = 7 ,  g  y = 1 ,  f  x = 2( x − 4) ,  f  y = −1 ,  f  xx = 2 ,  f  yy = 0 ,  f  xy =  f  yx = 0 . Entonces el determinante del Hesiano orlado es:

0

 g  x

 g  y

 H 2 =  g  x

 f  xx

 f  xy = ( f  xy g  x g  y +  f  yx g  x g  y ) − ( f  xx g  x g  y +  f  yy g  x g  y )

 g  y

 f  yx

 f  yy

0 7 1  H 2 = 7

1

2 0 = −2 < 0 0 0

Dado que  H 2 < 0 estamos en presencia de un mínimo. Note que esto es coincidente con que el valor  optimo del multiplicador de Lagrange es –1, lo cual significa que al relajar la restricción en una unidad el nuevo optimo reducirá el valor de la función objetivo en 1. Para comprobar esto podemos determinar  el valor de la función objetivo si la restricción cambia a 7 x + y = 16 . Con esta restricción obtenemos 1 que  x* = ,  y * = 12,5 , y  f ( x* , y * ) = −0, 25 . 2

15

Microeconomía 1

Repaso Matemático

20. Encuentre los puntos óptimos de la siguiente función:  y = 8 x 3 − 4 x 2 + 1 . Verifique las condiciones de segundo orden y señale que tipo de óptimos son. Para encontrar los óptimos de la función se debe cumplir la siguiente condición de primer orden:

 x1* = 0 ⇒  y1* = 1 ∂ y 2 = 24 x − 8 x = 0 ⇒  * ∂ x  x2 = 1 / 3 ⇒  y2* = 23 / 27 Los posibles óptimos son { x1* , y1* } = {0,1} , y segundo orden obtenemos:

{ x , y } = {1 / 3,23 / 27}. * 2

* 2

Verificando las condiciones de

∂ 2 y = 48 x − 8 ∂ x 2 Evaluadas en los posibles óptimos obtenemos:

∂ 2 y = 48(0) − 8 = −8 < 0 ⇒ { x1* , y1* } = {0,1} es un máximo 2 ∂ x { x , y } * 1

∂ 2 y ∂ x 2 { x

* 1

= 48(1 / 3) − 8 = 8 > 0 ⇒ { x2* , y2* } = {1 / 3,23 / 27} es un mínimo. * * 2 , y 2 }

Gráficamente:

1 23/27

-1

1/3

-1

16

1

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 21. ¿Qué sucede si la función anterior cambia a  y = 8 x 3 − 4 x 2 + z 2 + z + 1? Como ahora tenemos tres variables, las condiciones de primer orden son:

 x1* = 0 ∂ y 2 = 24 x − 8 x = 0 ⇒  * ∂ x  x2 = 1 / 3 ∂ y = 2 z + 1 = 0 ⇒ z * = −1 / 2 ∂ z  Los posibles óptimos son { x1* , z * , y1* } = {0,−1 / 2,3 / 4} , y { x2* , z * , y 2* } = {1 / 3,−1 / 2,65 / 108}. Verificando las condiciones de segundo orden obtenemos:

∂ 2 y = 48 x − 8 ∂ x 2

∂ 2 y =2 ∂ z 2

∂ 2 y =0 ∂ x∂ z 

Para un máximo necesitamos que  f  xx < 0 y  f  xx f  yy >  f  xy2 . Para un mínimo se necesita que  f  xx > 0 y  f  xx f  yy >  f  xy2 .

En { x1* , z * , y1* } = {0,−1 / 2,3 / 4} :

∂ 2 y =  f  xx = 48(0) − 8 = −8 < 0 ∂ x 2  f  xx f  yy = (48(0) − 8)(2 ) = −16 < 0 =  f  xy2

Las CSO no se cumplen en este punto. No es ni un máximo ni un mínimo. En { x2* , z * , y 2* } = {1 / 3,−1 / 2,65 / 108}:

∂ 2 y =  f  xx = 48(1 / 3) − 8 = 8 > 0 ∂ x 2  f  xx f  yy = (48(1 / 3) − 8)(2 ) = 16 > 0 =  f  xy2

Las CSO para un mínimo se cumplen en este punto.

17

Microeconomía 1

Repaso Matemático

22. Encuentre las segundas derivadas parciales de la siguiente función:  z = x 2 e y

∂ z  = 2 xe − y ∂ x

∂ z  = − x 2 e − y ∂ y

∂ 2 z  − y 2 = 2e ∂ x

∂2 z  2 − y 2 =  x e ∂ y

∂2 z  ∂2 z  = = − 2 xe − y ∂ x∂ y ∂ y∂ x 23. Dada  z = x 3 + 5 xy − y 2 , hallar  dz  y d 2 z  Recuerde que:

dz =  f  x dx +  f  y dy y

 ∂(dz ) ∂(dz )   dx + dy ∂ ∂  x  y    

d 2 z = d (dz ) = 

∂( f  x dx +  f  y dy)    ∂( f  x dx +  f  y dy) dx + dy ∂ x ∂ y    

d (dz ) = 

 f  xxdx2 + f  yxdydx+  f  xydxdy+  f  yydy2 ⇒  f  xxdx2 + 2 f  xydydx+  f  yydy2

∂ z  = 3 x2 + 5 y ∂ x

∂ z  = 5 x − 2 y ∂ y

dz = (3 x2 + 5 y)dz + (5 x − 2 y)dy

∂2 z  =  f  xx = 6 x ∂ x2

∂2 z  =  f  yy = −2 ∂ y2

∂2 z  ∂2 z  =  f  yx = −5 =  f  xy = ∂ x∂ y ∂ y∂ x

d 2 z = 6 xdx 2 + 2(5 x) dydx − 2dy 2 d 2 z = 6 xdx 2 + 10 xdydx − 2dy 2

18

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 24. Considere el problema:  Max y = x 3 z  4 / 3 − z 2 − x 2 a)  b) c) d)

Plantee las condiciones de primer orden. Encuentre los puntos que las satisfacen. Utilice las condiciones de segundo orden para escoger el Máximo. ¿Es el Máximo encontrado uno global, uno local o un punto de inflexión?

Solución: a) (i )

∂ y ∂ y = 3 x 2 z  4 / 3 − 2 x = 0 y (ii) = x 3 4 / 3 − 2 z = 0 ∂ x ∂ z 

 b) De (ii):

 z =

  x 3 4 / 3   4 / 3 − 2 x = 0 ⇒  x* = 4 1 reemplazando en (i): 3 x     2    * 4/3  z 1 = *   x1 = 1  2 y  z * =   x* =  *  x2 = −1  z * = − 4 / 3  2 2

 x 3 4 / 3

2

2

c) Condiciones de segundo orden (para 2 variables):

 f  xx = 6 xz  4 / 3 − 2 < 0 ; 2

 f  zz  = −2 < 0 ;

∂2 y ∂2 y   ∂2 y   2   ( ) 6 4 / 3 2 2 3 4/ 3 > 0 − = − − −  xz   x ∂ x2 ∂ y 2  ∂ z ∂ x  Caso 1:

 x = 1; z =

(

)

(

)

4/3 6 4/3 4/3 ⇒  f  xx = −2 = 2>0 2 2

Dado que  f  xx > 0 y  f  zz  < 0 , este punto no representa ni un máximo ni un mínimo.

Caso 2:

 x = −1; z = −

4/3 2

∂ 2 y 6(−1)(− 4 / 3 )( 4 / 3 ) ⇒ = − 2 = 2 > 0 no es máximo 2 ∂ x 2

 Nuevamente, dado que  f  xx > 0 y  f  zz  < 0 , este punto no representa ni un máximo ni un mínimo. d) En esta función no se encuentran máximos ni mínimos, sólo puntos de inflexión.

19

Microeconomía 1

Repaso Matemático

25. Resuelva el siguiente problema:  Max y =  x1  x2 , sujeto a  x1 + x2 = 4 . Podemos escribir el lagrangeano de este problema como:  Max  L =  x1  x2 + λ ( 4 − x1 − x2)  x1 , x2

     x1 ∂ L  (ii ) = − λ  = 0  ⇒ ∂ x2 2  x 2   ∂ L (iii ) = 4 − x1 − x2 = 0  ∂λ    (i )

 x2 ∂ L = − λ  = 0 ∂ x1 2  x1

(i ) y (ii) ⇒ λ  = λ    x2  x  = 1   x1  x 2    x1 − x2 = 0   (iii ) ⇒ 4 − x1 − x2 = 0

⇒ x1* = x2* = 2 Se deben verificar las condiciones de segundo orden: 1 1   0  g 1  g 2  0     H  =  g 1  f 11  f 12 = 1 − 1 / 8 1 / 8  = 4/8 = 0,5 > 0      g 2  f 21  f 22  1 1 / 8 − 1 / 8

A partir de este resultado se concluye que es un máximo.

20

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 26. Resuelva:  Max y = 50 x1 − 5 x12 + 100 x2 − 10 x22 sujeto a 20 − 2 x1 − x2 = 0

Para resolver el problema de maximización planteamos el siguiente Lagrangeano:  Max  L = 50 x1 − 5 x12 + 100 x2 − 10 x22 + λ (20 − 2 x1 − x2 )  x1 , x2

∂ L = 50 − 10 x1 − 2λ  = 0 ∂ x1 ∂ L (ii ) = 100 − 20 x2 − λ  = 0 ∂ x2 ∂ L (iii ) = 20 − 2 x1 − x2 = 0 ∂λ  (i)

despejando λ  de (i) y (ii ) e igualando 25 − 5 x1 = 100 − 20 x2 4 x2 − x1 − 15 = 0 (iii ) ⇒ 20 − 2 x1 − x2 = 0 20 − 2(4 x2 − 15) − x2 = 0

⇒ x2* = 50 / 9 y  x1* = 65 / 9 Se deben verificar las condiciones de segundo orden: 1   0  g 1  g 2  0 2  H  =  g 1  f 11  f 12  = 2 − 10 0  = 90 > 0      g 2  f 21  f 22  1 0 − 20

A partir de este resultado se concluye que es un máximo.

21

Microeconomía 1

Repaso Matemático

27. Una persona tiene la siguiente función de utilidad para los bienes  x e  y: U ( x, y ) = 2 xy − 3 x + 2 . Posee un ingreso de $500. Determine la combinación óptima de x e  y de acuerdo a la restricción  presupuestaria si se sabe que el precio de x es $10 y el de y es $5  L = 2 xy − 3 x + 2 + λ (500 − 10 x − 5 y )

∂ L = 2 y − 3 − 5λ  = 0 ∂ x1 ∂ L (ii ) = 2 x − 5λ  = 0 ∂ x2 ∂ L (iii ) = 500 − 10 x − 5 y = 0 ∂λ  (i )

    ⇒    

λ  = λ  (i )  y (ii ) ⇒  (2 y − 3) 2 x  = 10 5   20 x − 10 y + 15 = 0   (iii ) ⇒ 500 − 10 x − 5 y = 0

⇒ x* = 24,625  y * = 50,75 28. Suponga que los factores más importantes que determinan las ventas anuales de una empresa (y) son una función del numero de vendedores ( x1) y la cantidad de avisos en la radio ( x2). Suponga que esta relación se puede describir de la siguiente forma:  y = x1 + 5 ln( x2 )

Donde el número de vendedores mas el número de avisos debe ser igual a una constante K . La empresa  busca maximizar sus ventas durante el año. a) Escriba en forma algebraica la restricción de contratación de vendedores y avisos a la que se ve enfrentada la empresa  b) Plantee el problema de maximización de ventas de esta empresa usando el método de Lagrang e. c) Encuentre las cantidades optimas de vendedores y avisos. d) ¿Cuál serán las cantidades contratadas si K=15? ¿Y si K=20? ¿Puede dar alguna explicación a estos resultados? e) ¿Aseguran estas condiciones unas ventas máximas? Solución: a) La restricción de contratación es:  K  =  x1 + x2  b) El problema de maximización de ventas se puede plantear como:  L =  x1 + 5 ln( x2 ) + λ ( K  − x1 − x2 )

c) La cantidades óptimas de vendedores y avisos son:

22

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

∂ L = 1 − λ  = 0 ∂ x1 ∂ L 5 = − λ  = 0 ∂ x2  x2

 ⇒ λ  = 1   *   x2 = 5  

∂ L = K  − x1 − x2 = 0 ∂λ 

    *   x1 = K  − 5    

La cantidad optima de vendedores es  x1* = K  − 5 y la de avisos es  x2* = 5 . d) Si  K =15, entonces se contratan 10 vendedores y 5 avisos. Si  K =20, entonces se contratan 15 vendedores y 5 avisos. La cantidad de avisos no cambia (con el cambio en la restricción) porque a  partir de 5 avisos la contribución adicional de cada aviso es menor a la contribución adicional (en ventas) de un vendedor. La contribución adicional a la ventas de un vendedor es de $1: ventas de un aviso disminuye con el numero de avisos:

∂ y = 1, y la contribución adicional a la ∂ x1

5 ∂ y = . Es claro que la empresa contratara ∂ x2  x2

aquel recurso (vendedor o aviso) que incremente mas las ventas. Así, contratará avisos solamente si: Contribución Marginal a las Ventas Vendedor  ≤ Contribución Marginal a las Ventas Aviso 1≤

5  x2

 x2 ≤ 5

O sea que contratara avisos hasta un número de 5 y a partir de ese punto solo contratará vendedores. e) Para determinar si estas contrataciones generan un máximo (y no un mínimo en las ventas), debemos revisar las condiciones de segundo orden, que en este caso se obtienen a partir del Hesiano Orlado. 1  0 1  0   H  = 1 0   2 1 0 − 5  x2  El segundo determinante menor es: 0 1  H 2 = 1

0

1

= 5 52 = 1 5 > 0

0

1 0 − 5  x22 ( x* , x* ) =(10,5) 1

2

 por lo tanto es efectivamente un máximo. 23

Microeconomía 1

24

Teoría del Consumidor 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

II. TEORÍA DEL CONSUMIDOR  29. Laura tiene las siguientes alternativas disponibles para usar su tiempo los días martes y jueves a las 8:15 A.M.: jugar tenis (T ), conversar con sus amigas (C ), fumar un cigarrillo ( F ), dormir ( D), ir a clases de microeconomía ( M ), o salir a trotar (S ). Ud. recuerda que alguna vez Laura le señalo que tenia las siguientes preferencias: T  p S ,  F  ≈ C , S  p M , C  p D, S f D, C ≈ T 

a) ¿Son estas preferencias completas?  b) Según este mapa de preferencias y suponiendo que sus preferencias son transitivas, ¿qué prefiere Laura? ¿Ir a clases de microeconomía o dormir? c) ¿Dormir o jugar tenis? d) ¿Jugar tenis o fumar un cigarrillo? Solución: a) Las preferencias de Laura son completas pues abarcar todas las posibles combinaciones de f T  ≈ F 

alternativas. Ordenándolas de las mas preferidas a menos tenemos que  M  f S 

f D f C ≈ F 

 b) Prefiere ir a clases de Microeconomía ( M  f S  f D ) c) Dado que esta indiferente entre jugar tenis y conversar con las amigas, y dado que prefiere dormir a conversar, entonces prefiere dormir a jugar tenis (T  ≈ C  y  D f C  ⇒ D f T  ). d) Dado que es indiferente entre jugar tenis y conversar, y conversar a fumar, entonces indiferente entre jugar tenis y fumar ( T  ≈ C ≈ F  )

25

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

30. Iván es un asiduo futbolista dominguero, tan fanático que en lo único que gasta es en zapatos de fútbol y pelotas. Además, con su buen estado físico es capaz de correr los noventa minutos del  partido sin parar. A ese ritmo desgasta los zapatos rápidamente por lo que necesita comprar dos  pares de zapatos cada mes y una pelota. a) Después de un desgarro muscular Iván puede correr solo la mitad de lo que corría antes, por lo que el desgaste de sus zapatos se reduce considerablemente, de tal forma que ahora solo necesita un par  de zapatos y una pelota al mes. Grafique las curvas de indiferencia de Ivan de Zapatos ( Z ) y pelotas ( P ) antes y después del desgarro.  b) Iván gasta $6.000 anuales en zapatos y pelotas de fútbol. Sabemos que después de su desgarro ha usado una pelota de fútbol por cada par de zapatos. Obtenga la restricción presupuestaria y los consumos óptimos de Iván si cada par de zapatos y cada pelota cuestan $500. Grafique. c) ¿Qué pasa si el precio de los zapatos de fútbol sube a $1.000 con el consumo optimo? d) ¿Cuál es el efecto sustitución y cual el efecto ingreso de este cambio en el precio? e) ¿Plantee una posible función de utilidad que describa las preferencias de Iván por zapatos y pelotas? Encuentre la función de demanda de zapatos que se deriva de ella. (para cualquier combinación de ingreso y precios) Solución: a)

Antes del Desgarro

Después del Desgarro

 Z 

 Z  U2

U1

2

U2 U1

1

1

 P 

1

 P 

 b) Restricción presupuestaria: 6.000 = 500 Z  + 500 P . Si por cada pelota usa un par de zapatos entonces tenemos que Z=P , entonces: 6.000 = 500 Z + 500 Z  ⇒ 6.000 = 1.000 Z  ⇒  Z * = 6 y P * = 6

26

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) Restricción presupuestaria: 6.000 = 1.000 Z + 500 P  y  Z  = P 

 Z 

12

 P=Z 

6.000 = 1.500 Z   Z * = 4 y  P * = 4

U0

6 4

U1

RP1

RP0 4

6

12

 P 

d) A los precios  p z =$1000 y  p p=$500 Iván necesita gastar  E = 1.000 × 6 + 500 × 6 = 9. 000 para situarse sobre la misma curva de indiferencia (U0 en el grafico). Con $9.000 Iván compraría: 9.000 = 1.000 Z + 500 P  y  Z  = P   Z  *

12

*

 Z  = 6 y P  = 6

P=Z

Es decir, Iván compraría lo mismo que inicialmente a los nuevos precios. Dado que los zapatos y pelotas son complementos perfectos Iván, un cambio en los precios relativos no altera el consumo de ambos bienes, sin embargo, el cambio en los precios modifica el poder adquisitivo de Iván, alterando la cantidad consumida de ambos bienes. En conclusión, en el caso de bienes perfectamente complementarios el efecto sustitución es cero y todo el cambio en el consumo se deba al efecto ingreso.

6

12

U0

U1

4

4

6

 P 

e) Podemos postular la siguiente función de utilidad: U ( Z , P ) = Min( Z , P )

En el óptima Iván siempre consumirá donde  Z  = P . Sustituyendo, esta relación óptima entre zapatos y  pelotas en la restricción presupuestaria, obtenemos:  I  =  p Z  Z +  p P  P =  p Z  Z +  p P ( Z ) = Z ( p Z  + pP )  Z * ( p Z  , p P , I ) =

 I   p Z  +  p P 

27

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

31. A Ana Maria le gusta leer los domingos en la tarde. A ella le gusta Neruda pero le es indiferente Borges. Si Ana Maria dispone de $5.000 paga gastar en libros, y un libro cuesta $1.000 (no importa el autor), grafique las curvas de indiferencia de Ana Maria por libros de Borges y Neruda durante el fin de semana y determine la cantidad de libros que comprará.

U4 U3

5

U2 U1

Ana Maria comprará 5 libros de Neruda y ninguno de Borges.

5

B

32. A Roberto le gusta el té bien dulce. A cada taza de té que toma le pone 10 cucharadas de azúcar. Roberto tiene 400 pesos semanales para tomar té (con azúcar). El precio del té es de 30 pesos por   bolsita (usa una por cada taza) y el del azúcar es de 5 pesos por cuchada. a) Exprese la restricción presupuestaria de Roberto.  b) Cuantas tazas de te tomara a la semana. Grafique. c) ¿Que sucede con el consumo de té y azúcar si el doctor de Roberto lo manda a reducir el azúcar a la mitad en cada taza de té? Solución: a) La restricción presupuestaria de Roberto esta dada por:  I  =  pT T  +  p A A

⇒

400 = 30T  + 5 A ⇒ T  =

40 1 +  A 3 6

Además, sabemos que por cada taza de se té usan 10 cucharadas de azúcar por lo que el cuociente de uso de azúcar y té esta dado por  10 =

 A T 

⇒ 10T  =  A

 b) Reemplazando 10T  =  A en la restricción presupuestaria obtenemos que 40 1 40 1 +  A = + (10T ) 3 6 3 6 T * = 5  y  A* = 50

T  13,3

T  =

10T=A 5

50

80

c) En ese caso 5T=A. Reemplazando en la restricción T   presupuestaria se obtienen 7,27 tazas de té y 36,36 13,3 cucharadas de azúcar (asumiendo que se pueden adquirir  cantidades no enteras). 5T=A

7,27

28

36,36

80

 I 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 33. Elisa considera que el té y el café son sustitutos perfectos. A ella le da lo mismo tomar una taza de café y una de té. Semanalmente dispone de $1.000 para gastar en té o café. La taza de café cuesta $100 y la de té cuesta $200. a) ¿Cuántas tazas de té y/o café consumirá semanalmente? Muestre gráficamente.  b) ¿Qué sucede si el precio del té cae a $100? c) Partiendo de la información inicial ( pT =200 y pC =100) ¿Cuál sería el efecto ingreso y cuál el efecto sustitución de un cambio en el precio del café a $250? Solución:

C 

a) Restricción presupuestaria:

10

1.000 = 100C + 200T  Ya que el té y el café reportan la misma utilidad la curva (U 0 muestra el máximo nivel de utilidad posible de alcanzar con la restricción presupuestaria existente), Elisa consumirá solamente de aquel bien que tiene un menor precio, es decir  consumirá 10 tazas de café semanalmente.

U0 5

 b) La restricción presupuestaria coincide con la curva de indiferencia. Elisa esta indiferente entre consumir té o café, entonces podría comprar cero de café y 10 de te, o 10 de café y cero de te, o cualquier combinación de te y café que cumpla con la restricción presupuestaria.

10

T 

C  10

RP U0 10

T 

c) Inicialmente Elisa se sitúa en el punto A obteniendo un C  nivel de utilidad U0. Con el precio del a café a $250, Elisa 10 A solo consume 5 tazas de té (punto B). Además, con esos  precios relativos Elisa necesitaría consumir 10 tazas de té  para alcanzar el nivel de utilidad U0. El nivel de ingreso U0 mínimo para consumir 10 tazas de té a un precio de $200 U1 cada una es de $2.000. El efecto sustitución es el 4 movimiento desde el punto A al punto C, y el efecto RP0 RP1 ingreso es el paso desde el punto C al punto B. Se puede ver que en el caso de sustitutos perfectos el efecto B C sustitución puede ser muy grande, lo suficientemente 5 10 T  grande para reducir totalmente el consumo de un bien por  el consumo de otro de menor precio. A su vez, dado que el precio del café subió, entonces se  produce una caída en el ingreso real, con lo cual el efecto ingreso genera una disminución en el consumo (movimiento de C a B) 29

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

34. Carlos tiene 40 duraznos y 5 pasteles. Su función de utilidad esta dada por  U (d , p) = dp . a) Encuentre la curva de indiferencia de Carlos en su canasta de consumo. Grafique.  b) Ximena le ofrece a Carlos 15 pasteles a cambio de 25 duraznos. ¿Aceptará Carlos este intercambio? ¿Por qué? c) ¿Cuál es el mayor numero de duraznos que Ximena pediría a Carlos a cambio de los 15 pasteles? Solución: a) La utilidad de consumir 40 duraznos y 5 pasteles es:

 D 40

U ( 40,5) = 40 * 5 = 200

30

La curva de indiferencia que pasa por (d , p) = (40,5 ) esta dada por: 200 = dp ⇒ d  =

20

200

10

 p

5

U (d , p)=200 5 10

Carlos se mantendrá consumiendo en el punto C.  b) Si Carlos consume los 15 pasteles adicionales su consumo total de pasteles será de 20 (5+15). Entonces estaría indiferente (comparado con el punto C) si consumiera 20 pasteles y 10 duraznos 200 200 ( d  = = = 10 ). Entonces podemos ver que  p 20 Carlos aceptará porque estaría dispuesto a sacrificar 30 duraznos para obtener 15 pasteles más (ver curva de indiferencia), lo cual es mas de lo que Ximena le ofrece. El intercambio que le propone Ximena lo dejaría en un  punto a la derecha (o arriba) de la actual curva de indiferencia por lo que su bienestar aumenta (punto E).

C

20

30

40

 P 

 D 40

C

30 20

E

15 10

U (d  ,p)=200

5 5 10

20

30

40

 P 

c) Ximena podría pedir hasta 30 duraznos por los 15 pasteles y Carlos aceptaría (asumiendo que también acepta cuando esta completamente indiferente)

30

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 35. Suponga que la función de utilidad de un consumidor se puede representar de la siguiente forma: 3 U ( X , Y ) = −( X  − 3) Y 4 + 27 X  , donde X y Y son dos bienes, con precios dados a niveles de p X  y pY . a) Grafique la función de utilidad marginal de  X  (para valores de  X  positivos) suponiendo que la cantidad consumida de Y se mantiene constante en una unidad (explicite claramente todos los puntos relevantes del grafico). Explique que significa la utilidad marginal.  b) Determine cual será el rango relevante de consumo de este individuo. Justifique. Solución: a) La función de utilidad marginal es: UMg  X  = El máximo (con Y = 1) se obtiene cuando :

∂U ( X , Y ) = −3( X  − 3)2 Y 4 + 27 ∂ X 

∂UMg  X  = 0 ⇒ − 6( X  − 3)2 = 0 ⇒ X * = 3 ∂ X   X 1 = 6  X 2 = 0

La utilidad marginal es cero cuando: UMg  X  = −3( X  − 3)2 + 27 = 0 ⇒ 

La utilidad marginal es creciente si: y es decreciente si:

∂UMg  X  > 0 ⇒ − 6( X  − 3)2 > 0 ⇒ X  < 3 ∂ X 

∂UMg  X  < 0 ⇒ − 6( X  − 3)2 < 0 ⇒ X  > 3 ∂ X 

La utilidad marginal es el cambio en la utilidad total de un consumidor cuando la cantidad consumida de dicho bien varia en una unidad. Gráficamente: UMg  X 

0

3

6

 b) El rango relevante para el consumo será entre 0 y 6 unidades. Esto porque solo para cantidades menores o iguales a seis la utilidad marginal del consumo de  X  es positiva. Cuando la utilidad marginal se vuelve negativa entonces el individuo decidirá dejar de comprar (sin importar el precio del bien) ya que por cada unidad adicional que consuma de este bien, su utilidad será menor. Por lo tanto, si este es un individuo maximizador de utilidad, entonces no comprará más de seis unidades.

31

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

36. Juan tiene la siguiente función de utilidad que representa sus preferencias por Flores y Chocolates en el día de la Madre: U ( F , C ) =  FC + β C . Juan esta dispuesto a gastar $ I  en chocolates y flores a los precios establecidos en el mercado. a) Plantee el Lagrangeano que representa el problema de maximización de utilidad de Juan en el consumo de flores y chocolates.  b) Obtenga las funciones demanda ordinaria de flores y chocolates. ¿A partir de que precio se consumirán flores? c) ¿Son las flores y los chocolates sustitutos o complementos brutos? Explique. d) ¿Son las flores bienes normales o inferiores? e) ¿Aumenta la participación de las flores en el gasto total cuando sube el ingreso? f) Encuentre la elasticidad precio de la demanda por flores. ¿Es la demanda elástica o inelástica si Solución: a) El Lagrangeano es:  L = FC + β C + λ [ I −  p F  F −  pC C ]

 b) Las condiciones de primer orden (CPO) son: ∂ L  = C −  p F λ  = 0  F + β  C   p ∂ F  = ⇒ C =  F  ( F + β )  ∂ L  p  p F   pC  = F + β  −  pC λ  = 0 C  ∂C    p  ∂ L = I −  p F  F −  pC C  = 0 ⇒  I  =  p F  F  +  pC    F  ( F + β ) ∂λ   pC   ⇒ F * =

 I − β  p F 

2 p F 

, con  I − β  p F  > 0 ⇒

 I   β 

>  p F  , es el precio a partir del cual se consumen flores.

 I − β  p F   ⇒ I  =  p F    −  pC C  2  p  F     I + β  p F  ⇒ C * =

2 pC 

c) De las funciones de demanda ordinaria podemos encontrar si las flores y los chocolates son sustitutos o complementos brutos. En el caso de las flores podemos ver como cambia la demanda de flores cuando cambia el precio de los chocolates:

∂ F  = 0 . Esto nos indica que las flores y los ∂ pC 

chocolates son bienes independientes. Sin embargo, desde el punto de vista de los chocolates, un aumento en el precio de las flores aumenta la demanda de chocolates:

∂C  β  = > 0, por lo que ∂ p F  2 pC 

los chocolates y las flores son sustitutos brutos. Encontramos así una contradicción que se debe al efecto ingreso. 32

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d)

∂ F  1 = > 0 . Las flores son bienes normales. ∂ I  2 p F 

e) El gasto en flores esta dado por  s F  =

 p F  F   I − β  pF   I 

=

2 I 

, por lo que la participación de las flores en el

gasto total cambia de la siguiente forma con un cambio en el ingreso:

∂ s F  2 β  p F  β  p F  = = > 0. ∂ I  (2 I ) 2 2 I 2

f) Tenemos que:  I  ∂ F  =− 2 ∂ p F  2 p F   I   p F   I  ∂ F   p F  ε  F , p = =− 2 =− 2 p F   I − β  p F    I − β  p F  ∂ p F   F   2 p   F     F 

Entonces ε  F , p = −  F 

10.000 = −1. 016 . La demanda de flores es elástica. 10.000 − 0.8(200)

33

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 X δ  Y δ  +  β  37. Considere la siguiente función de utilidad CES : U ( X , Y ) = α  δ  δ 

a) ¿Demuestre que la función es homotética? ¿Cómo depende la TMS del cuociente Y / X ?  b) Demuestre que la TMS es estrictamente decreciente pata todos los valores de δ <1. c) Demuestre que si X =Y  la TMS  de esta función de utilidad sólo depende de las magnitudes relativas de α  y  β . d) Calcule la TMS  de esta función cuando Y / X  =0,9; Y / X  =1 y Y / X  =1,1 en los casos en que δ  = {−1;−0,5;0;0,5;1} . ¿Qué conclusiones puede extraer sobre el grado en que varia la TMS  en las cercanías de X =Y ? ¿Cómo interpretaría este resultado gráficamente? ¿Qué tipos de bienes serán X y Y si δ  = 1 ? Solución: a) La TMS es: ∂U  α  δ −1 δ  −1 1−δ  δ  X  = α  X δ −1 dX  UMg  X  ∂ X  δ  α    X   α   Y   TMS  = − = = = =   =   dY  UMg Y  ∂U   β  δ −1  β   Y    β    X   δ −1 δ Y  =  β Y  ∂Y  δ 

La función es homotética pues la TMS depende del cuociente Y / X .  b) Si la TMS es estrictamente decreciente esto significa que

∂TMS  <0 ∂ X 

∂TMS  α  1−δ  = Y  (δ  − 1) X δ − 2 ∂ X   β  (+) 123

{

(+)

Si (δ  − 1) < 0 ⇒ δ  < 1 , entonces

∂TMS  < 0. ∂ X 

Por lo tanto la TMS es estrictamente decreciente. c) Si X =Y , entonces: 1−δ 

TMS  =

α   Y  

si  X  = Y  ⇒ TMS  =

   β    X  

α   β 

1−δ 

d) Con

TMS  =

α   Y  





tenemos

 β    X   Y  α  α  = 0.9 ⇒ TMS  = 0,9 2 = 0,81 ,  X   β   β  Y  α  α  = 1.1⇒ TMS  = 1,12 = 1,21 .  X   β   β 

34

que

si

δ

con

=

-1, Y   X 

entonces = 1⇒ TMS  =

TMS  = α   β 

,

α   Y  



2

 .

 β    X  

y

Con con

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Podemos sintetizar los resultados de cada una de las posibles combinaciones de Y / X  y δ  en la siguiente tabla:

δ 

(a)

Y / X  (b)

(c)

0,9

1

1,1

α 

α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β  α 

 β 

 β 

-1

0,81

-0,5

0,85

0

0,90

0,5

0,95

1

1,21 1,15 1,10 1,05

α   β  α   β  α   β  α 

 β  α 

 β 

De la tabla podemos ver que si δ  = 1 la TMS  Y  Y / X = 1.1 es la misma sin importar la tasa de uso de  X  e Y  (Y / X ). En este caso los bienes son sustitutos Y / X = 1  perfectos. En términos gráficos la curva de indiferencia es una línea recta que posee la C misma TMS  en todo sus puntos. También  podemos ver que si Y = X  la TMS  es siempre Y / X = 0.9 igual a 1. Ahora, a medida que δ  disminuye  podemos ver que la diferencias en la TMS  U3 (δ  = 1) entre la columnas (a) y (c) van aumentando, lo U2 (δ  = 0.5) cual indica que la TMS  es cada vez mas diferente (en una misma curva de U1 (δ  = -1) indiferencia). Gráficamente, esto significa que a medida que δ  disminuye la curvatura de la curva de indiferencia aumenta (se hacen mas convexas hacia el origen), es decir, cada vez es más difícil sustituir un bien por el otro. En el caso opuesto, a medida que δ  aumenta (hasta llegar a 1) las curvas de indiferencia se aplanan. En el caso extremo, cuando δ =1, las curvas de indiferencia son líneas rectas, reflejando el caso de bienes sustitutos  perfectos.

35

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

38. Durante las vacaciones a la familia Travel le gusta viajar frecuentemente realizando turismo gastronómico. Los Travel tienen preferencias por viajes (V ) y alimentos ( A) que pueden ser  representadas por la siguiente función de utilidad: U ( A,V ) = VA +  A . La familia posee un ingreso monetario de I y los precios de los viajes y alimentos son p A y pV  respectivamente. a) Encuentre la función de demanda de por alimentos en esta familia.  b) Plantee el problema de minimización del gasto de los Travel durante las vacaciones c) Encuentre las funciones de demanda que se derivan del problema de minimización del gasto. ¿En qué se diferencian de las demandas encontradas anteriormente? d) ¿Son los alimentos un bien normal? e) ¿Cuál es la participación en el gasto de los alimentos? ¿Como cambia la participación en el gastos de los alimentos a medida que esta familia mejora su situación económica? f) ¿Cuál sería la mínima participación que podrían tener los alimentos en el gasto total de esta familia? g) Si el ingreso de los Travel durante las vacaciones es de $10, el precio de los viajes asciende a $2 y el de los alimentos es $1. Indique cuantos viajes realizará y cuantos alimentos consumirá la familia. ¿Cuál es la participación de cada bien en el gasto total de la familia Travel? ¿Cuál es nivel de felicidad que alcanzarán? h) Producto de una inesperada sequía el precio de los alimentos suben a $2. Encuentre las cantidades consumidas de viajes y alimentos si asumimos que se produce un cambio puro en el precio. Muestre en un gráfico (en el eje de las abscisas coloque alimentos y en el eje de las ordenadas los viajes) los cambios en la restricción presupuestaria que genera el cambio en el precio, los consumos iniciales y el consumo final solicitado (Ayuda: no incluya el efecto ingreso) i) El gobierno desea compensar a las familias que han sufrido por el incremento de los precios de los alimentos, entre otras a los Travel. Indique cuanto debería ser la compensación monetaria que el gobierno debería entregar a los Travel de tal forma que ellos continuaran obteniendo el mismo  bienestar que antes del cambio del precio (encuentre la variación compensatoria)  j) Encuentre la elasticidad ingreso de los viajes. ¿Son los viajes un bien normal (de lujo o necesario) o inferior? Solución: a) Si la función de utilidad es U ( A,V ) = VA + A , consumidor maximiza su utilidad en aquel punto donde: UMg V   pV 

=

UMg  A  p A

UMg V  =  A , y UMg  A = V  + 1 , por lo que: UMg V   pV 

=

UMg  A  p A

⇒

 A  pV 

=

V  + 1  p A

⇒  pV V  =  p A A −  pV 

Reemplazando en la restricción presupuestaria:  I  = pV V  +  p A A =  p A A −  pV  +  p A A ⇒  A* =

36

 I +  pV 

2 p A

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  b) El problema de minimización del gasto de los Travel durante las vacaciones es:  Min E =  p A A +  pV V 

U  = VA + A

sujeto a

{ A,V }

El Lagrangeano correspondiente se puede expresar de la siguiente forma:  Min L =  p A A +  pV V  + λ (U  − VA − A) { A,V ,λ }

c) Las condiciones de primer orden del problema son: ∂ L =  p A + λ (− V  − 1) = 0 ∂ A ∂ L =  pV  + λ (−  A) = 0 ∂V 

⇒ λ  =

 pV  (V  + 1)  ( 1 )  A =   p A V  + 1 ⇒  p  A  p (2) V  =  A − 1 ⇒ λ  = V    pV   A    p A

Reemplazando (2) en la restricción:  p A A   p A A2 − 1 A + A = U  = VA + A =   pV    pV   U  pV 

h A ( p A , pV  , U ) =

 p A

Reemplazando (1) en la restricción:  p (V  + 1) )  pV  (V  + 1) ) 1 [ pV V 2 + 2 pV V  +  pV  ] U  = VA + A = V  V  + =   p A    p A   p A  pV V 2 + 2 pV V  + ( pV  −  p AU ) = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática usando  x =

− b ± b 2 − 4ac

2a

hV  ( pV  , p A , U ) = −1 ±

:

U  p A  pV 

Dado que la raíz en la cual se resta el termino de la derecha de la solución es siempre negativa para todos los precios y niveles de utilidad obtenemos que la función de demanda compensada de viajes es: hV  ( pV  , p A , U ) =

U  p A  pV 

−1

37

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

La diferencia entre las funciones de demanda compensada y las funciones de demanda ordinaria  presentadas en el enunciado del problema es que las primeras incluyen, frente a cambios en los precios, sólo el efecto sustitución. Las demandas ordinarias en cambio incluyen el efecto sustitución y el efecto ingreso. d) ¿Son los alimentos un bien normal? 1 ∂ A = > 0 . Sí, los alimentos son un bien normal. ∂ I  2 p A e) La participación en el gasto de los alimentos es:  s A =

 p A A  I 

=

 p A ( I +  pV  )

2 p A I 

=

1  pV  + 2 2 I 

 p ∂ s A = − V 2 < 0 2 I  ∂ I 

La participación en el gasto de alimentos disminuye a medida que la familia mejora su situación económica. f) El limite inferior de la participación en el gasto, que es de un 50%, puede ser encontrado de dos formas distintas: •

La proporción gastada en alimentos depende del ingreso. Si el nivel de ingresos fuera  1  p   extremadamente alto entonces: lim s A = lim + V   = 0. 5 . Por más alto que sea el ingreso de  I →∞  I →∞ 2 2 I     esta familia (ceteris paribus), la participación en el gasto no sobrepasara la mitad del gasto total.

•

La proporción gastada en alimentos también cae si el precio de los viajes cae (se sustituye  1  p   alimentos por viajes). Entonces, lim  s A = lim  + V   = 0. 5  p →0  p →0 2 2 I     V 

V 

Es interesante notar que los alimentos también pueden ocupar todo el gasto de las familia (especialización en el consumo). Esto podría ocurrir si el precio de los viajes sube hasta el punto que la familia no hace ningún viaje (V * = 0 ). De la función de demanda de viajes, V * =

 I −  pV 

, se observa 2 pV  que la cantidad adquirida de viajes es positiva solo si el precio de los viajes es menor al ingreso.  1  p    1 1  Entonces, lim  s A = lim  + V   =  +  = 1. La familia no hace viajes y sólo gasta en comida.  p → I   p → I  2 2 I    2 2    V 

g)  A* =

 I +  pV 

2 p A

V 

=

10 + 2  I −  pV  10 − 2  p V  4  p  A 6 = 6 ; V * = = = 2 ;  s A = A = = 0,6 ;  sV  = V  = = 0,4 ; y 2(1) 2 pV  2(2 )  I  10  I  10 U * = VA + A = 2(6 ) + 6 = 18

38

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV h) Para obtener los cambios en el consumo tenemos que usar las demandas compensadas: h A1 =

U  pV   p A

V

18(2 ) = 4,24 2

=

3,2 hV 1 =

U  p A  pV 

−1 =

18(2) − 1 = 3,24 2

2 U=18 3 4,2 6 

A

i) La variación compensatoria se define como: Variación Compensatoria = Gasto Mínimo − Ingreso VC = E * ( p A1 , pV  , U ) − I  VC = ( p A1 A +  pV V ) − I  = ((2 )4,24 + (2 )3,24 ) − 10 = 14.96 − 10 = 4,96

 j) Elasticidad ingreso: η V  =

1  I   I  10 ∂V   I  = = = = 1,25 ∂ I  V  2 pV  ( I −  pV  ) ( I −  pV  ) 10 − 2 2 pV 

Los viajes son bienes de lujo ya que la elasticidad ingreso de la demanda es mayor a uno (para todos los niveles de ingreso tales que el ingreso es mayor que el precio de los viajes). Note que esto es consistente con una participación en el gasto creciente con el ingreso:

 sV  =

 pV V   I 

=

  I −  pV     pV   2  p   V     I 

=

 I −  pV 

2 I 

∂ sV  2 I − 2( I −  pV  )  pV  = = 2 >0 4 I 2 2 I  ∂ I 

39

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

39. Un consumidor posee la siguiente función de utilidad por los bienes  X  , Y  y  Z : U ( X , Y , Z ) =  X 1/ 2Y 1/ 2 (1 + Z )1/ 2 . Los precios de los bienes son  p X  ,  pY  y  p Z  , y el ingreso monetario del individuo es  I  . a) Plantee el problema de maximización de utilidad del consumidor.  b) Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución de Y  por   X  (ceteris paribus). ¿Son estas preferencias homotéticas? c) Encuentre la función de demanda por  Z . d) Determine las condiciones para que la demanda por  Z exista, interprétalas y de un ejemplo lo más realista posible. e) ¿Es  Z un bien normal o un bien inferior? Grafique la curva de Engel. Solución: a) Problema de maximización de utilidad del consumidor:  Max U ( X , Y , Z ) =  X 1 / 2Y 1 / 2 (1 + Z )1 / 2 sujeto a  I  =  p X  X  +  pY Y  +  p Z  Z 

 b) Para encontrar la TMS  de Y  por  X  (ceteris paribus) debemos encontrar 

dY  dX  U =U 

. Tomando la

 Z = Z 

diferencial total de la función de utilidad podemos obtener  d U  =

∂U  ∂U  ∂U  dX  + dY  dZ  . Con ∂ X  ∂Y  ∂ Z 

d U  = dZ  = 0 (por construcción de la curva de indiferencia) tenemos que:

dY  dX  U =U   Z = Z 

∂U  Y 1/ 2 ( 1 + Z )1/ 2 1 / 2 UMg  X  2 X  Y  = ∂ X  = = 1/ 2 = ∂U  UMg Y   X   X  (1 + Z )1/ 2 1 / 2 ∂Y  2Y 

Efectivamente las preferencias por  X y Y , dado un nivel de Z constante son homotéticas debido a que la TMS es una función del ratio Y / X . c) Para obtener la función de demanda de  Z  resolvemos el siguiente problema de maximización (asumiendo que las condiciones de segundo orden se cumplen)  L =  X 1/ 2Y 1/ 2 (1 + Z )1/ 2 + λ [ I −  p X  X  −  pY Y −  p Z  Z ]

Las condiciones de primer orden son:

(1)

(2) 40

dL dX  dL dY 

=

=

Y 1/ 2 1/ 2

2 X 

 X 1/ 2 1/ 2

2Y 

(1 + Z )1/ 2 − λ  p X  = 0 (1 + Z )1/ 2 − λ  pY  = 0

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV (3)

(4)

dL dZ 

dL d λ 

=

 X 1/ 2Y 1/ 2

2(1 + Z )1/ 2

− λ  pZ  = 0

= I −  p X  X  −  pY Y −  p Z Z  = 0

Igualando (1) y (2) se obtiene que  p X  X  =  pY Y . Igualando (2) y (3) se obtiene que  pY Y  =  p Z  (1 + Z ) . Reemplazado ambos resultados en (4) se obtiene:  I  =  p X  X  +  pY Y +  p Z  Z  = 2 p Z  (1 + Z ) +  p Z  Z  = 2 p Z  + 3 p Z  Z   Z * =

 I − 2 p Z 

3 p Z 

d) Para que la demanda por  Z exista se requiere que  Z * =

 I − 2 p Z  > 0 ⇒

 I − 2 p Z 

 I 

2

3 p Z 

> 0 , ó:

> p Z 

Esto significa que el individuo consumirá en la medida de que el precio de Z  sea menos de la mitad de su ingreso. Esta situación podría representar por ejemplo la demanda por vivienda, donde un consumidor estará dispuesto a arrendar un departamento en la medida que el arriendo no supere la mitad de su ingreso. ∂ Z * e) Para determinar si es un bien normal debemos obtener  . ∂ I 

1 ∂ Z * En este caso, = > 0 , por lo que se trata de un bien normal. ∂ I  3 p Z   Z 

 Z = f ( I )

1/3 p Z  2 p Z 

 I 

41

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

40. Diego colecciona estampillas y llaveros, los cuales le proporcionan un bienestar que puede ser  representado por la siguiente función de utilidad: U ( E , L) = ln(1 + E ) + ln(1 + L)

Diego recibe un ingreso mensual de  K  pesos. Las estampillas y los llaveros se transan en mercados  perfectamente competitivos a los precios p E  y p L. a) Encuentre las familias de curvas de indiferencia de Diego y muestre que son convexas con respecto al origen. De no existir una restricción de recursos, ¿se podría especializar en el consumo de estampillas? ¿Cuál seria su consumo de estampillas?  b) ¿Preferiría Diego coleccionar ambos bienes o solamente uno? Discuta. c) ¿Son estas preferencias homotéticas? d) Encuentre las funciones de demanda ordinaria de Diego por Estampillas e) Existe alguna relación de precios relativos p E / p L a la cual Diego no comprara Estampillas. f) Usando la ecuación de Slutzky encuentre el efecto sustitución entre estampillas y llaveros. ¿Qué sucede por efecto sustitución si el precio de las estampillas cae? g) Encuentre la participación de Estampillas en el gasto total. ¿Se incrementa el gasto en estampillas cuando sube el ingreso? ¿Son las estampillas un bien normal o inferior? Solución: a) Para obtener la familia de curvas de indiferencia de Diego necesitamos encontrar una expresión que relaciones los niveles consumidos de un bien con el consumo del otro bien y los niveles de utilidad. U  = ln(1 + E ) + ln(1 + L) ⇒ eU  = (1 + E )(1 + L) ⇒ 1 + L = eU  (1 + E ) −1  L =

e U 

(1 + E )

−1

Si fijamos la utilidad de Diego en un nivel dado, por ejemplo U  = U 0 , entonces tendremos que la curva de indiferencia de Diego que refleja las cantidades de llaveros y estampillas que le reportan un nivel de  bienestar igual a U 0 están dadas por:  L =

U 0

e

(1 + E )

−1

Si las curvas de indiferencia son convexas entonces la segunda derivada es positiva. En este caso tenemos que las curvas de indiferencia son convexas: ∂ L ∂ 2 L U 0 −2  L = e (1 + E ) − 1 ⇒ = −e (1 + E ) < 0 ⇒ = −eU 0 (−2)(1 + E ) −3 = 2eU 0 (1 + E ) −3 > 0 2 ∂ E  ∂ E  U 0

−1

Efectivamente Diego se podría especializar en el consumo de estampillas. Podemos ver de la función de utilidad que el consumo de ambos bienes simultáneamente no es necesario para obtener algún nivel de utilidad, es decir si no consume de uno de los bienes todavía pude obtener utilidad del consumo del otro. Usando la curva de indiferencia podemos encontrar el consumo de estampillas si no colecciona llaveros, es decir, si  L = 0 : 42

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  L =

U 0

e

(1 + E )

−1 ⇒ 0 =

U 0

e

(1 + E )

− 1 ⇒  E * = eU 0 − 1

 E  Uo

e -1

Por lo tanto de no consumir un bien el consumo del otro esta determinado por el nivel de utilidad que se desee alcanzar  (asumiendo que no hay restricción de recursos) U 0

 L

 b) En general los individuos prefieren la variedad si las curvas de indiferencia son convexas (TMS  decreciente), lo cual ya fue  E   probado en el apartado anterior. La convexidad de la curva muestra que Diego prefiere mantener  ambos pasatiempos a la vez, coleccionar estampillas y llaveros. En C  el caso extremo de que las estampillas y llaveros fueran sustitutos  perfectos sabemos que las curvas de indiferencia deberían ser  U 1  B líneas rectas. Las curvas de indiferencia en ese caso no serian U 0  L estrictamente convexas. También sabemos que el caso de sustitutos perfectos un consumidor racional comprará sólo de aquel bien más barato, es decir concentrará su consumo. En este caso, para determinados precios relativos podría ocurrir que Diego se especialice en el consumo de uno de los bienes. Sin embargo, en términos generales, cuando las curvas de indiferencia son convexas los consumidores prefieren la variedad. Gráficamente el punto C (con más variedad) proporciona mayor utilidad que los puntos A y B: U 1 > U 0 . c) Estas preferencias no son homotéticas ya que la TMS no depende del cuociente entre L y E . TMS  L , E  =

UM  E  UM  L

=

1 / 1 + E  1 + L = 1 / 1 + L 1 + E 

 E 

 L

d) Para una solución interior (no una solución esquina), sabemos que se tiene que cumplir que laTMS  es igual a la relación de precios y además Diego se encuentra gastando todo su ingreso en llaveros y estampillas: TMS  L , E  =

UM  E  UM  L

=

 p E   p L

=

1 + L  p 1 + L ⇒  E  = ⇒  p E (1 + E ) =  p L (1 + L) ⇒  p L L =  p E  −  p L +  p E  E  1 + E   p L 1 + E  43

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Además la restricción presupuestaria de Diego es:  K  =  p E  E +  p L L , por lo que podemos reemplazar en la restricción presupuestaria:  K  =  p E  E +  p L L ⇒  K  =  p E  E +  p E  −  p L +  p E  E = 2 p E  E +  p E  − p L  E ( p E , p L , K ) =

 K −  p E  +  p L

2 p E 

Para determinados precios de las estampillas la demanda de podría ser en teoría negativa. Entonces:  E  =

 K −  p E  +  p L

2 p E 

 K −  p E  +  p L  2 p E  ≥ 0 si  K +  p L ≥ p E  , por lo que  E * =  0 

si  K +  p L ≥  p E  si  K +  p L <  p E 

e) De la respuesta anterior podemos obtener que  E * = 0 ⇒  K +  p L <  p E  ⇒

 K   p L

+1 <

 p E   p L

f) En la ecuación de Slutzky: ∂ E  ∂ E  ∂ E  ∂ E  ∂ E  ∂ E  = − E  , entonces = + E  , donde ∂ p E  ∂ p E  U =U  ∂ K  ∂ p E  U =U  ∂ p E  ∂ K  ∂ E   K +  p L ∂ E  1 =− <0 y = > 0 , así 2 ∂ p E  ∂ K  2 p E  2 p E  ∂ E  ∂ E  ∂ E   K +  p L  K −  p E  +  p L = + E  =− + 2 p E 2 2 p E  ∂ p E  U =U  ∂ p E  ∂ K 

 1   K +  p E  +  p L  = −    <0 2 2  p 4 p   E   144 2E 44   3 (+)

El efecto indica que si cae el precio relativo de las estampillas entonces aumentara el consumo de estas. g) La  s E  =

participación

de

las

estampillas

 p E  E   p E   K −  p E  +  p L   K −  p E  +  pL

=



=

 2 p E   demanda para ser mayor a cero.  K 

 K  

2 K 

en

el

gasto

total

esta

dada

por 

. La cual requiere de las mismas condiciones de la

∂ s E   p E  −  p L . Entonces la participación de las = 2 K 2 ∂ K  estampillas en el gasto crece con un cambio en el ingreso si  p E  − pL > 0.

El cambio en la participación del gasto esta dado por:

Las estampillas son un bien normal ya que 44

∂ E  1 = > 0. ∂ K  2 p E 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 41. Juan Internetico compra toda su música (discos compactos) y libros en Amazon.com. Su función de utilidad por música y libros comprados en Internet es U ( M , L) = α  M  − M 2 + β  L − L2 . Todos los discos y libros que JI compra son enviados por correo. a) Grafique las utilidades marginales de música y libros de JI. ¿Qué puede decir acerca del consumo de música y libros sólo con analizar sus utilidades marginales?  b) ¿Cuántos libros y música (discos compactos) comprara JI si el presupuesto no es un problema ni tampoco las restricciones de envío por correo? c) Suponga que por restricciones en la Aduana cada pedido de JI solo puede pesar como máximo 10 kilos. Si el peso de un libro es de 2 kilos y el de un disco compacto es de 0,5 kilos ¿cuántos libros y CD’s comprara JI? d) ¿Cómo sería su respuesta anterior si α  = 10 y  β  = 20 ? ¿Estará JI mejor o peor con las restricciones impuestas por la Aduana? Justifique su respuesta. e) ¿Cómo cambiaran sus respuestas en a) y b) si la función de utilidad por libros y música esta dada  por  U ( M , L) = α  M  + M 2 + β  L − L2 ? Solución: a) Las utilidades marginales de Música y Libros son: UMg  M  =

UMg  L =

UM  gM 

UM  gL

α

∂U  = α  − 2 M  ∂ M 

UM  gM 

∂U  = β  − 2 L ∂ L

UM  gL

 M 

α/2

/2

 L

Se puede afirmar con certeza que JI consumirá como máximo hasta aquel punto en cual la utilidad marginal de la ultimas unidades compradas de Disco Compactos y Libros sea igual a cero. Así,  podemos decir que como máximo JI compraría

α 

2

y

 β 

2

unidades de Discos Compactos y Libros,

respectivamente.  b) En línea con la respuesta anterior si JI no tiene restricciones presupuestarias ni logísticas, entonces consumirá hasta su punto de saciedad, es decir, comprara

α 

2

y

 β 

2

unidades de Discos Compactos y

Libros, respectivamente. Formalmente el problema de JI puede ser descrito como:  Max U ( M , L) = α  M  − M 2 + β  L − L2 { M , L}

Las CPO son:

45

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor  ∂U   α  = α  − 2 M  = 0  M * =  ∂ M  2  ⇒  β  ∂U   L* = =  β  − 2 L = 0  UMg  L = 2 ∂ L  UMg  M  =

Las CSO son:  ∂ 2U  = − U  ML = 2  ∂ M 2  2 U  MM  U  ML  − 2 0   ∂ U  2 = − ⇒ = U  LL =  H   U   =  0 − 2 ⇒  H  = 4 > 0 U  ∂ L2  LL    LM     2  ∂ U  = 0 U  LM  = ∂ L∂ M  

Por lo tanto el consumo de JI es un máximo. c) En este caso la restricción logística impuesta por Aduanas se puede escribir como: 10 = 0,5  M  + {

Kilos

{

{

Kilos

CD

CD

2 {

Kilos

Libro

L

{

Libro

Así, el problema de decisión de JI se puede expresar como:  Max U ( M , L) = α  M  − M 2 + β  L − L2

sujeto a

{ M , L}

10 = 0,5 M  + 2 L 1 Despejando  L de la restricción logística tenemos que  L = 5 −  M  . Reemplazando en la función de 4 utilidad (se pueden usar otros métodos para resolver este problema) obtenemos:   1     1    Max U ( M , L) = α  M  − M  + β  5 −  M  −  5 − M  { M }   4     4   2

La CPO y el óptimo del consumo son: β  ∂U    1    1  = α  − 2 M  − − 2 5 −  M  −  = 0 4   4    4  ∂ M  α  −

 M * =

46

β 

4

+

5 1 = 2 M  +  M  2 8

2 1 (4α  − β  + 10 ) y  L* = 5 − (4α  − β  + 10) 17 34

2

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d) Si α  = 10 y  β  = 20 , entonces:  M * =

 L* = 5 −

2 2 2 60 (4α  − β  + 10) = (4 *10 − 20 + 10 ) = (30 ) = = 3,53 17 17 17 17

1 1 30 140 (4α  − β  + 10 ) = 5 − (4 *10 − 20 + 10 ) = 5 − = = 4,12 34 34 34 34

El consumo de JI inicialmente seria:  M * =

α 

2

= 5 y  L* =

β 

2

= 10

En términos de su bienestar: U ( M , L)Sin Restricciones = α  M  − M 2 + β  L − L2 = 10 * 5 − 25 + 20 *10 − 100 = 25 + 100 = 125 U ( M , L) Con Restricciones = α  M  − M 2 + β  L − L2 = 10 * (3,53) − (3,53) 2 + 20 * ( 4,12) − ( 4,12) 2 = 86,11

Es claro entonces que JI estará mejor sin las restricciones impuestas por la Aduana. e) Las utilidades marginales de Música y Libros serán: UMg  M  =

UMg  L =

∂U  = α  + 2 M  ∂ M  ∂U  = β  − 2 L ∂ L

UM  gM 

UM  gM 

UM  gL

α

UM  gL

 M 

/2

 L

Al igual que en el caso anterior y dado que JI no tiene restricciones se puede afirmar con certeza consumirá hasta aquel punto en cual la utilidad marginal de la ultimas unidades compradas de Disco Compactos y Libros sea igual a cero. Para el caso de los libros, igual que antes, JI comprara

 β 

2 unidades. Sin embargo, en los Discos Compactos no ocurrirá lo mismo. Podemos ver que la utilidad marginal de los CDs es siempre positiva (y creciente) lo cual significa que a medida que compra más música más utilidad adicional esta reporta. Esto significa que JI no llega a un punto de saciedad en el consumo de música por lo que comprará cantidades infinitas de CDs (recuerde que estamos en un mundo hipotético donde JI no tiene restricciones).

47

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

42. Don Juan Golazo consume maní y cerveza durante los partidos de fútbol de las eliminatorias. Su función de utilidad (sin considerar el resultado del partido) es igual a U ( M , C ) = M 2 C 2 . El ingreso nominal disponible de Don Juan para cada partido es de $1.000. El precio de cada bolsa de maní es de $10 y el de las cervezas de $20. a) Encuentre la cantidad que Don Juan consumió durante el partido Chile-Brasil.  b) ¿Pueden las preferencias de Don Juan ser representadas de otra forma? c) Si el precio de las bolsas de maní disminuye en un 50%, ¿qué sucederá con su consumo de maní y cervezas en la nueva situación de equilibrio? Muestre gráficamente el cambio en la restricción  presupuestaria ¿Qué sucede con el ingreso real de Don Juan? d) Determine el efecto ingreso. ¿Qué tipo de bien es el maní en términos del efecto ingreso? Solución: a) El problema de maximización de beneficios se puede plantear de la siguiente forma:  L = M 2C 2 + λ [1.000 − 10 M  − 20C ] CPO :

∂ L  = 2 MC 2 − 10λ  = 0  2 MC 2 2 M 2C  ∂ M  = ⇒ 2C = M   ∂ L 10 20 2 = 2 M  C − 20λ  = 0  ∂C   ∂ L = 1.000 − 10 M  − 20C = 0 ∂λ 

Reemplazando 2C = M  en la tercera CPO obtenemos que C * = 25 y  M * = 50  b) El mapa de preferencias de un individuo puede ser representado por infinitas funciones de utilidad con la condición de que ellas expresen el mismo ordenamiento relativo de las preferencias. Para ello se requiere que las funciones de utilidad sean transformaciones monotónicas crecientes de una función de utilidad que representa las preferencias de Don Juan. Formalmente sabemos que  F (U ) es una transformación monotónica creciente de la función de utilidad si  F ' (U ) > 0 . Así, por ejemplo la transformación  F (U ) = U 2 ⇒  F ' (U ) = 2U  > 0 , genera la siguiente función de utilidad: U 2 ( M , C ) = M 4C 4 . El mapa de preferencias de Don Juan puede ser representado tanto por la función U ( M , C ) = M 2C 2 como por la transformación  F (U ) = M 4C 4 . Ambas funciones dan como resultado el mismo equilibrio maximizador de utilidad. c) Sabemos que Don Juan consumirá maní y cervezas hasta que: UMg  M   p M 

=

UMg C   pC 

2 MC 2 2 M 2C  ⇒ = ⇒ 4C  = M  5 20

Reemplazando 4C = M  en la restricción presupuestaria obtenemos que C * = 25 y  M * = 100 48

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV El ingreso real de Don Juan aumenta ya que el numero de canastas de consumo de maní y cerveza disponibles para comprar aumenta. Gráficamente estas están representadas por el área en gris. Por  ejemplo, sólo en términos de maní Don Juan ahora seria capaz de compra 200 bolsas en vez de las 100 que podía comprar antes.  M 

200

100 50 25

50

C 

d) El efecto total, que es el cambio total cantidad consumida, puede ser descompuesto en una parte que  proviene del efecto ingreso y otra del efecto sustitución. Para descomponer el efecto total es necesario obtener la cantidad que Don Juan consumiría a los nuevos precios relativos si se mantuviera constante el nivel de utilidad que obtenía con los precios originales. Con los precios originales, y sus respectivos niveles de consumo en cerveza y maní, Don Juan obtenía un nivel de utilidad igual a: U ( M , C ) = M 2C 2 = (50 2 )(252 ) = 1.562.500

Así, el cálculo del efecto sustitución requiere resolver el problema de minimización del gasto necesario  para obtener un determinado nivel de utilidad:  Min ( p M  M  +  pC C ) sujeto a U  = U ( M , C ) ó  Min (5 M  + 20C ) sujeto a 1.562.500 = M 2C 2  M ,C 

 M ,C 

Lo cual da origen al siguiente lagrangeano:  L = 5 M  + 20C + λ  1.562.500 = M 2C 2 Sabemos que óptimamente Don Juan comprará cervezas y maní con siguiente relación: 4C = M  . ˆ = 17, 67 y  M  ˆ = 70,71 . Reemplazando esta relación en la restricción presupuestaria se obtiene que C  Así, el efecto total puede ser descompuesto de la siguiente forma:  M 

 ET  = ES + EI 

(100 − 50) = (70,71 − 50) + (100 − 70,71) = 29,29 El efecto ingreso es 29,29. Es decir, la cantidad demanda de maní aumenta en 29,29 bolsas producto del efecto ingreso. Dado que el movimiento del ingreso real indica que este aumentó, es claro que el maní es un bien normal ya que el ingreso y el consumo de maní se mueven en la misma dirección.

200

Efecto Ingreso Efecto Sustitución

100 70 50 17 25

50

C 

49

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

43. Perico consume de los bienes  X  y Y . Las preferencias de Perico se pueden representar por la 1/ ρ  siguiente función de utilidad: U ( X , Y ) = ( X  ρ  + Y  ρ  ) , donde  ρ  = 2 . El ingreso monetario de Perico es $ I por mes y los precios de X y Y son p X  y pY . Responda las siguientes preguntas: a) Encuentra las funciones de demanda por  X y Y .  b) ¿Bajo qué condiciones Perico cumple con la ley de la demanda en el bien X ? c) Encuentre la elasticidad precio de la demanda si el precio de Y es de $1 y el ingreso de Perico es de $5.000 mensuales. ¿Bajo qué condiciones dicha elasticidad cumple con la ley de la demanda? ¿Cuál es la elasticidad ingreso de X ? Interprete. d) ¿Cual es el participación que tiene el gasto en  X  sobre el gasto total? ¿Cómo cambia esta  participación con cambios en el precio? e) ¿Qué puede inferir sobre el valor de la elasticidad precio de demanda de  X ? Demuéstrelo analíticamente. Solución: 1/ 2

a)  L = ( X 2 + Y 2 )

+ λ [ I  −  p X  X  −  pY Y ]

−1 / 2 ∂ L 1 2  = ( X  + Y 2 ) (2 X ) −  p X λ  = 0 Y    X  ∂ X  2 = ⇒  pY  X  =  p X Y   ∂ L 1 2  p  p 2 −1 / 2  X  Y  = ( X  + Y  ) (2Y ) −  pY λ  = 0  ∂C  2  ∂ L =  I  −  p X  X  −  pY Y  = 0 ∂λ 

  p X      p X 2 +  pY 2       I  =  p X  X  +  pY Y  ⇒  I  =  p X   Y  +  pY Y  ⇒  I  = Y  2   pY       pY    Y * ( p X  , pY  , I ) =

 pY  I  2

2

 p X  +  pY 

y

 X * ( p X  , pY  , I ) =

 b) Necesitamos analizar las condiciones bajo las cuales se cumple que:

 p X  I  2  p X  +  pY 2

∂ X * ( p X  , pY , I ) <0 ∂ p X 

2 ( ∂ X * +  pY 2 ) −  p X  (2 p X  )  p X 2 +  pY 2 − 2 p X 2  I ( pY 2 −  p X 2 )  p X  = I  = I  = ∂ p X  ( p X 2 +  pY 2 )2 ( p X 2 +  pY 2 )2 ( p X 2 + pY 2 )2

que es menor que cero si y sólo si:  pY 2 <  p X 2 ⇒  pY  < p X  . Para que se cumpla la ley de la demanda el  precio de el bien X tiene que ser mayor al precio del bien Y . c) Elasticidad precio de la demanda:

50

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV e X , p X 

∂ X   p X   I ( pY 2 −  p X 2 ) = = ∂ p X   X  ( p X 2 +  pY 2 )2

 p X   p X  I 

Y 

( p X  +  pY 2 ) 2

(  p 2 −  p 2 ) = 2 ( p +  p 2 )  X 

 X 

⇒ e X , p

 X 

Y 

( 1 −  p 2 ) = (1 +  p 2 )  X 

 X 

Si se cumple con la ley de la demanda entonces la elasticidad es negativa. Para ello se necesita que el numerador de la expresión que representa la elasticidad sea negativo (el denominador es siempre  positivo): 1 −  p X 2 < 0 ⇔ p X  > 1 La elasticidad ingreso es: e X , I  =

 p ∂ X   I  = 2  X  2 ∂ I   X  ( p X  +  pY  )

 I   p X  I 

=1

( p 2 +  p 2 )  X 

Y 

Que significa que si el ingreso varía en un 1% la cantidad demandada varia en un 1% en la misma dirección, por lo que X es un bien normal. d) Participación en el gasto de X :  s X  =

 p X  X   I 

=

 p X 

 p X  I 

2 +  pY 2 )  I  ( p X 

=

2  p X  2 +  pY 2  p X  (+)

678

2 p X  pY 2 ∂ s X  2 p X  ( p X 2 +  pY 2 ) −  p X 2 (2 p X  ) = = >0 2 2 2 2 2 2 ∂ p X  ( p X  +  pY  ) ( p X  +  pY  ) 1424 3 (+)

A medida que aumenta el precio de X aumenta el gasto de X y por lo tanto la participación del gasto de  X en el gasto total e) Dado que el gasto aumenta con aumentos en el precio de  X  entonces podemos inferir que la demanda es inelástica. Además, esto ocurre para cualquier valor de los precios de X  por lo que la curva de demanda de X  es siempre inelástica (si se cumplen las condiciones para que la elasticidad sea negativa). Formalmente, podemos demostrar que la demanda será siempre inelástica de la siguiente forma: e X , p X 

( 1 −  p 2 ) = <0 (1 +  p 2 )  X 

si p X  > 1

 X 

e X , p X 

( 1 −  p 2 ) = > −1 ⇒ 1 −  p 2 2 (1 +  p )  X 

 X 

> −1 − p X 2 ⇒ 2 > 0

 X 

Lo cual se cumple siempre por lo que la demanda por  X es siempre inelástica.

51

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

44. Considere la siguiente función de utilidad directa: U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2 a) Suponiendo que el consumidor posee un ingreso igual a W , los precios de  X 1 y  X 2 son  p1 y  p2 respectivamente, plantee el problema de maximización de utilidad del consumidor usando el método de Langrange.  b) Obtenga las condiciones de primer orden y las funciones de demanda ordinaria (marshallianas) de  X 1 y X 2. c) Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución (TMS ) del consumidor. ¿Es la TMS decreciente? ¿Son las  preferencias de este consumidor homotéticas? d) Muestre que las funciones de demanda ordinaria (marshallianas) (i) son homogéneas de grado 0 en  precios e ingreso y (ii) tienen pendiente negativa (la ley de la demanda se cumple). e) Verifique las condiciones de segundo orden (Ayuda: Plantee el Hesiano orlado y demuestre que su determinante es siempre positivo) f) Obtenga la función de utilidad indirecta. g) Muestre: (i) que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado cero en los precios y el ingreso. (ii) es una función decreciente en los precios y creciente en el ingreso. Explique por que es así. h) Derive las funciones de demanda compensada si el consumidor esta obteniendo un nivel de utilidad U  . (Ayuda: Plantee el problema de minimización del gasto sujeto a que la utilidad alcanzada por el individuo es igual a U  y obtenga una expresión para las demandas de X 1 y X 2) i) Muestre que las funciones de demanda compensada son (i) homogéneas de grado cero en precios; (ii) tienen pendiente negativa  j) Encuentre la función de gasto. Muestre que es homogénea de grado 1 en precios y creciente en ambos precios. Solución: a) Problema de maximización de utilidad del consumidor:  Max  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2  X 1 , X 2

sujeto a  p1 X 1 +  p2 X 2 = W 

 L =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2 + λ [W  −  p1 X 1 −  p2 X 2 ]

 b) Condiciones de primer orden: ∂ L  β  = −  p1λ  = 0 ∂ X 1  X 1 ∂ L (1 − β ) (ii) = −  p2λ  = 0  X 2 ∂ X 2 ∂ L (iii ) =  p1 X 1 +  p2 X 2 = W  ∂λ 

(i)

52

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Despejando λ  de (i) y (ii) e igualándolas se obtiene que  X 2 =

(1 − β ) p1 X 1  β  p2

 β   X 1 p1

=

(1 − β )  X 2 p2

. Lo que significa que

. Reemplazando en (iii) obtenemos la demanda ordinaria de X 1:  X 1* =

β W   p1

Reemplazando en la expresión anterior que relaciona X 1 y X 2 se obtiene:  X 2* = c) Tasa Marginal de Sustitución: U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2

TMS  =

UM  X 1 UM  X 2

=

 β   X 1

1 − β   X 2

=

 β   X 2

1 − β   X 1

y

⇒ UM  X 1 =

(1 − β )W   p2

 β 

y UM  X 2 =

 X 1

1 − β   X 2

∂TMS   β   X 2 =− <0 1 − β   X 12 ∂ X 1 1 424 3 (+)

Efectivamente la TMS es decreciente. Esto se explica porque las utilidades marginales son decrecientes (

∂UM  X 

i

∂ X i

< 0 ), entonces a medida aumenta el consumo de un bien el beneficio reportado por el mayor 

consumo sube pero a una tasa decreciente. Es decir, la primera unidad consumida de cada bien reporta una utilidad adicional mayor que la segunda, y esta genera una utilidad mayor que la tercera y así sucesivamente. Entonces, por ejemplo, al aumentar la cantidad consumida de X 1 —dado que el aumento en la utilidad disminuye—el consumidor debería estar dispuesto a sacrificar cada vez menos de X 2, para obtener mas X 1. Las preferencias representadas por esta función de utilidad son homotéticas ya que la TMS  depende del cuociente de las cantidades consumidas de  X 1 y  X 2. Con  preferencias homotéticas la TMS  es la misma a cada nivel de utilidad siempre y cuando el individuo mantenga fija las  proporciones consumidas de cada bien. Otra forma de ver las preferencias homotéticas nos señala que cambios en el ingreso monetario del consumidor  manteniendo los precios constantes genera cambios proporcionales en el consumo de  X 1 y X 2 de tal manera que las proporciones gastadas en ambos bienes se mantienen constantes.

TMS 1

2

B TMS 2

A D

U1

C U0 1

Así, a lo largo de las líneas TMS 1 y TMS 2, las rectas que son tangentes a las curvas de indiferencia tiene la misma pendiente (puntos A con B y C con D) 53

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

d) Homogeneidad y Ley de la Demanda: (i) Homogeneidad:  X 1 ( p1 , p2 ,W ) =

 β W 

 X 1 (tp1 , tp2 , tW ) =

entonces

 p1

β tW  tp1

 β W   0  = t  X 1 ( p1 , p2 , W )    p1  

 X 1 (tp1 , tp2 , tW ) = t 0 

La función de demanda ordinaria de X 1 es homogénea de grado cero. El mismo método puede ser usado  para demostrar la homogeneidad de la función de demanda ordinaria de X 2. (ii) Ley de la Demanda: Queremos obtener 

∂ X 1 ∂ X  β W  , entonces: 1 = − 2 < 0  p1 ∂ p1 ∂ p1

Dado que  β , W , y p1 son siempre positivos.  0  g 1  g 2  e) Condiciones de Segundo Orden: El Hesiano orlado esta definido como: H  =  g 1  f 11  f 12  .  g 2  f 21  f 22 

Donde  g 1 y  g 2 son las derivas de la restricción presupuestaria con respecto a los bienes  X 1 y  X 2, respectivamente; y  f ij son las derivadas parciales de segundo orden de la función de utilidad con respecto a los bienes i y j. Tenemos que:  g 1 =  p1 ,  f 1 =

 β   X 1

 f 11 = −

 g 2 = p2  f 2 =

,  β 

, 2

 X 1

(1 − β )  X 2

 f 22 = −

,

(1 − β )  X 22

,

 f 12 = f 21 = 0

y 0

 g 1

 g 2

El determinante del Hesiano Orlado es:  H  =  g 1  f 11  f 12 = ( f 12 g 1 g 2 +  f 21 g 1 g 2 ) − ( f 11 g 1 g 2 +  f 22 g 1 g 2 )  g 2

54

 f 21

 f 22

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 0

 p1  β 

 H  =  p1

−



0

 X 12

0

 p2

 p2

−

(1 − β )  X 22

  − β   2  − (1 − β )  2    β    2  (1 − β )        >0  p  p  p + = +  1 2 1 2  2    X 2    X 2   X   X    1         1     1   1

 H  = 0 −  p22 



   β    >0 2   X    1  

dado que  p22 

 y

 (1 − β )  >0 2   X    1  

 p12 

Por lo tanto nos aseguramos que estamos obteniendo un máximo. f) La función de Utilidad Indirecta nos indica el nivel de utilidad máximo que se puede obtener dados los precios y el nivel de ingreso del consumidor. Es decir: V ( p1 , p2 , W ) = L = Max U ( X 1 , X 2 ) sujeto a  p1 X 1 +  p2 X 2 = W   X 1 , X 2

V ( p1 , p2 , W ) = Max β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2  X 1 , X 2

sujeto a  p1 X 1 +  p2 X 2 = W 

Es decir, el problema de maximización de la utilidad del consumidor evaluada en el óptimo del consumo: V ( p1 , p2 , W ) = U ( X 1* , X 2* ) V ( p1 , p2 , W ) = U ( X 1* ( p1 , p2 , W ), X 2* ( p1 , p2 , W ) ) V ( p1 , p2 , W ) = β  ln ( X 1* ) + (1 − β ) ln (X 2* )

  β W    (1 − β )W    + (1 − β ) ln   p  p 2   1      

V ( p1 , p2 , W ) = β  ln

V ( p1 , p2 ,W ) = β [ln β  + ln W  − ln  p1 ] + (1 − β )[ln(1 − β ) + ln W  − ln p2 ] V ( p1 , p2 , W ) = ln W  − β  ln  p1 − (1 − β ) ln  p2 + K  , donde  K  =  β  ln β  + (1 − β ) ln(1 − β )

55

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

g) Propiedades de la función de utilidad indirecta: (i) Homogénea de grado cero en precios e ingreso:   β W    (1 − β )W    + (1 − β ) ln  , entonces  p  p 2   1      

V ( p1 , p2 ,W ) = β  ln

  β tW    (1 − β )tW    + (1 − β ) ln  , por lo que podemos escribir    tp1     tp2  

V (tp1 , tp2 , tW ) = β  ln



  β W    (1 − β )W    + (1 − β ) ln   p  p   1       2

V (tp1 , tp2 , tW ) = t 0  β  ln



Es decir, si suben los precios y el ingreso en la misma proporción, la máxima utilidad posible de este consumidor se mantiene constante. (ii) La Utilidad Indirecta es decreciente en los precios y creciente en el ingreso   β W    (1 − β )W    + (1 − β ) ln   p  p 2   1      

V ( p1 , p2 , W ) = β  ln

 β  ∂V  =− <0 ∂ p1  p1 ∂V  (1 − β ) =− <0 ∂ p2  p2 ∂V  1 = >0 ∂W  W 

Intuitivamente, un incremento en los precios hace que los consumidores consuman menos del mismo  bien por lo que la canasta de bienes consumidos se reduce. Dado que estamos asumiendo que este es un consumidor racional, que prefiere más de cada bien, el incremento en los precios necesariamente reducirá el nivel de bienestar que el consumidor puede alcanzar. Similar razonamiento puede ser usado  para el caso del ingreso. Una reducción (incremento) del ingreso reduce (aumenta) las posibilidades de consumo de todos y cada uno de los bienes a disposición del consumidor, disminuyendo (aumentando) el nivel de bienestar máximo que es es capaz de alcanzar. h) Problema de minimización del gasto:  Min  p1 X 1 +  p2 X 2  X 1 , X 2

 Min  p1 X 1 +  p2 X 2  X 1 , X 2

sujeto a

sujeto a

U  = U ( X 1 , X 2 )

U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2

 L =  p1 X 1 +  p2 X 2 + λ [U  − β  ln X 1 − (1 − β ) ln X 2 ]

56

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Las condiciones de primer orden (CPO) son:  β  ∂ L =  p1 − λ  = 0  X 1 ∂ X 1 ∂ L (1 − β ) (ii) =  p2 − λ  = 0 ∂ X 2  X 2 ∂ L (iii ) = U  − β  ln X 1 − (1 − β ) ln X 2 = 0 ∂λ 

(i )

De (i) y (ii) obtenemos  p1 X 1 =

 β 

(1 − β )

 p2 X 2 = 0

(iv) X 2 =

⇒  X 1 =

(1 − β )  p1  β 

 p2

 β 

 p2

(1 − β )  p1

X 2 = 0

⇒

X 1 = 0

reemplazando (iv) en (iii):    β   p2    X 2  + (1 − β ) ln X 2 − ( 1  β  )  p 1    

U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2 =  β  ln U  =  β  ln

 β 

 p2

(1 − β )  p1

ln X 2 = U  − β  ln U  − β  ln

 X 2 = e

+ ln X 2

 β 

 p2

(1 − β )  p1

 β   p 2

(1− β )  p1

eU 

= e

   β   p2   β   ln   (1− β )  p1  

=

eU     β   p2   β     (1− β )  p1  

 β 

 (1 − β )  p1    (Función de Demanda Compensada de X 2) ya que en el optimo X *=h*: (v) h2* = eU    β   p 2     1− β 

reemplazando (v) en (iv): (vi)

h1*

   β   p2   = e  ( 1  β  )  p − 1     U 

(Función de Demanda Compensada de X 1)

57

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

i) Propiedades de las funciones de demanda compensada: (i) Homogeneidad: 1− β 

   β   p2   h1* ( p1 , p2 ,U ) = eU   ( 1  β  )  p − 1     1− β 

   β  tp2   h1 (tp1 , tp2 , U ) = e  − ( 1  β  ) tp 1    

0  

1− β 

 p2 

 β 

 = e t   − ( 1  β  )  p 1    

U 

U 

= t 0 h1 ( p1 , p2 , U )

Por lo tanto la función de demanda compensada es homogénea de grado cero en precios. Esto se debe a que la función de demanda compensada solo incorpora el efecto sustitución, es decir el efecto de un cambio en los precios relativos sobre la cantidad consumida. Al multiplicar ambos precios por un factor  t , estamos manteniendo los precios relativos constantes por lo tanto no debería tener ningún efecto sobre las cantidades consumidas (en la demanda compensada). (ii) Ley de la Demanda 1− β 

  1    1    − 2  < 0  p 1    p1   144  4  244  4  3 142  43 123

   β    ∂h1 = eU    p2  ∂ p1  (1 − β )  

(1 − β )

(+)

(+)

(−)

 j) Podemos encontrar la función de gasto reemplazando las funciones de demanda compensada en la función de gasto. La función de gasto esta dada por:  E ( p1 , p2 , U ) =  p1h1 +  p2 h2 1− β 

   β   p2    E ( p1 , p2 , U ) =  p1 eU   ( 1 ) −  β   p 1    

 β 

U   β  − β  e  p1 p12 U   (1 − β )  p1    = +  p2 e  (1 − β )1− β  β  β   β   p 2    

Homogeneidad:  E (tp1 , tp2 , U ) =

eU  (tp1 ) β  (tp2 )1− β  1− β 

(1 − β )  β 

 β 

=

eU  ( p1 ) β  ( p2 )1− β  1− β 

(1 − β )  β 

 β 

t  β t 1− β  = t  E ( p1 , p2 , U )

La función de gasto es homogénea de grado 1. Esto se explica porque si por ejemplo duplicamos los  precios de todos los bienes, necesitaremos gastar el doble de dinero para estar en el mismo nivel de utilidad (y consumo) existente antes del cambio en los precios. Función de gasto es creciente en precios: eU  p12− β  eU  p1 β  ∂ E ( p1 , p2 , U ) ∂ E ( p1 , p2 , U )  β −1 = =  β  p1 > 0 y (1 − β ) p2− β  > 0  β   β  − 1− β   β  1 1 3 4 3 ∂ p1 ∂ p2 (1 − β )  β  2 (1 − β )  β  142 (+) (+) 142 4  43 4  (+)

58

142 4  43 4  (+)

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 45. Supongamos que la utilidad de Carlos por Café  (X 1) y Libros ( X 2), durante la semana anterior a sus  pruebas y exámenes de microeconomía puede ser representada por la función de utilidad U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2 . Además, según la información que Ud. dispone acerca de Carlos  podemos asumir el valor que toma el parámetro de preferencias por café es de 0.4. También sabemos que Carlos dispone de $10.000 para gastar durante la semana previa a cada prueba en café y libros; que en la Cafeta una taza de café cuesta $100; y que Carlos puede conseguir cada libro de economía por $1.000 (fotocopiado por supuesto!). Asuma que es posible adquirir café y libros en fracciones (puede comprar el café en sorbos y los libros por pagina). a) Determine el consumo optimo de tazas de café y libros de economía para la primera prueba de microeconomía.  b) Muestre que el nivel de utilidad alcanzado por Carlos durante la semana (antes de la prueba!) es igual al nivel de utilidad que arroja la función de utilidad indirecta. (Ayuda: Obtenga el nivel de utilidad directamente reemplazando los consumos óptimos en la función de utilidad y compárelos con el valor que obtiene al reemplazar los precios y el ingreso en la función de utilidad indirecta) c) Muestre que los consumos de café y libros son los mismos en las curvas de demanda ordinaria y compensada. d) Debido a problemas con la generación de energía en Brasil (usaban gas argentino), el costo de secado del café aumento en un 200%, haciendo que el precio internacional del café subiera en un 100%. Con estos precios internacionales del café, la Cafeta se ve obligada a subir el precio de la taza de café en un 50%. Que hará Carlos durante la semana anterior a la segunda prueba? e) La ONG (Organización No Gubernamental), “Viva la Micro” tiene un programa para ayudar a estudiantes destacados cursando Microeconomía intermedia con problemas económicos. Carlos decide postular a una beca alimenticia, pues a raíz del reciente aumento del precio del Café no esta obteniendo la dosis mínima diaria de cafeína que el considera necesaria para aprobar el curso. La asistente social de la ONG le solicita a Ud. que estime la cantidad de dinero que debería ser  entregado a Carlos (beca), de tal manera que el bienestar de Carlos se fuera el mismo que el que tenia antes de la crisis en Brasil. f) Debido a que Carlos no estudió continuamente durante el semestre, la semana anterior al exámen se da cuenta de que tendrá que dedicarle mucho mas tiempo al estudio de Microeconomía. Según sus cálculos deberá dedicar ya no solo el día sino también varias noches de la semana, lo cual significa que necesitará más café para mantenerse despierto. ¿Cómo representaría Ud. el cambio en el requerimiento de café de Carlos para la siguiente semana?. Encuentre una expresión que muestre el cambio en la cantidad consumida producto del cambio en su necesidad de café. Solución: a) Usando las funciones de demanda ordinarias (obtenidas previamente), tenemos que Carlos debería comprar:  X 1* =

β W   p1

=

0.4 *10000 (1 − β )W  0.6 *10000 = 40 y  X 2* = = =6 100  p2 1000

Carlos consume 40 tazas de café y 6 libros durante la semana.  b) La función de utilidad directa es U  =  β  ln X 1 + (1 − β ) ln X 2 , entonces: U * = 0.4 ln(40) + 0.6 ln(6) = 2,5506

59

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

La función de utilidad indirecta es: V ( p1 , p2 ,W ) = ln W  − β  ln  p1 − (1 − β ) ln p2 + β  ln β  + (1 − β ) ln(1 − β )

Entonces: V ( p1 , p2 , W ) = ln(10.000) − 0.4 ln(100) − (0.6) ln(1.000) + 0.4 ln(0.4) + 0.6 ln(0.6) = 2,5506

c) En las curvas de demanda compensada: 1− β 

h1*

   β   p2   = e  ( 1 ) −  β   p 1    

=e

U 

0.6

0.4 *1000    = 40   0.6 *100  

2 , 5506  

 β 

 (1 − β )  p1   0.6 *100    = e 2,5506   h2* = eU      0.4 *1000     β   p2 

0.4

=6

d) De las funciones de demanda ordinarias, obtenemos que Carlos deberá comprar durante la semana  X 1* =

β W   p1

=

0.4 *10000 = 26, 6 150

Carlos comprara 26,6 tazas de café, es decir 13,4 tazas menos. Dado que la cantidad consumida de libros no depende del precio del café Carlos seguirá comprando 6 libros. e) Para obtener el monto de la beca a entregar, de tal manera que Carlos mantenga su nivel de utilidad debemos encontrar las demandas compensadas. Con las cantidades (compensadas) consumidas de café y libros podemos obtener el gasto mínimo que Carlos debería incurrir para mantener su nivel de utilidad constante a los niveles pre-crisis cafetalera. Compensación = Gasto Mínimo – Ingreso Compensación =  E ( p1' , p2 ,U ) − W  =  p1' h1 +  p2 h2 − W  1− β 

h1*

   β   p2   = e  ( 1 ) −  β   p 1    

=e

U 

 β 

 (1 − β )  p1  0.6 *150    = e 2,5506   h2* = eU      0.4 *1000     β   p2 

Gasto Mínimo = 31,362*150 + 7,056*1000 = 11.760,7 La Beca a entregar por “Viva la Micro” debería ser de $1.760,7

60

0.6

0.4 *1000    = 31,362   0.6 *150  

2 , 5506  

0.4

= 7,056

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV f) Este cambio puede ser representado por un aumento en el parámetro de preferencias por café, es decir en  β . Sin importar la magnitud del cambio en  β , su impacto sobre la cantidad consumida de café y libros puede ser estimada tomando la derivada parcial de la función de demanda ordinaria con respecto al parámetro, es decir:  X 1* =

 X 2*

=

 β W   p1

(1 − β )W   p2

⇒

∂ X 1* W  10000 = = = 100 100 ∂ β   p1

W  10000 ∂ X 2* ⇒ = = = 10 ∂ (1 − β )  p2 1000

Es decir si  β  se incrementa en 0.1 la cantidad consumida de café sube en 10 tazas y la cantidad consumida de libros cae en 1 libro.

61

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

46. Alberto consume dos bienes  X  e Y . También sabemos que la función de utilidad que genera el consumo de estos dos bienes para Alberto se puede describir como: U ( X , Y ) = ( X  − 2)Y  + 10 X 

Si su ingreso disponible es  I  y los precios de los bienes son  p X  y  pY  . Responda las siguientes  preguntas. a) Encuentre las funciones de utilidad marginal para cada uno de los bienes. Grafíquelas y explique que información nos entregan.  b) Encuentre la ecuación que representa el mapa de curvas de indiferencia y determine la tasa marginal de sustitución (TMS ). ¿Qué información entrega la TMS ? c) Encuentre la función de demanda del bien  X  de Alberto. d) Determine si Alberto se comporta como un consumidor racional en el sentido de que cumple con la ley de la demanda. e) ¿Es el bien  X  un bien normal o inferior para Alberto? Explique. Si es un bien normal determine si es un bien necesario o un bien de lujo. Explique. f) ¿Son los bienes  X  e Y  sustitutos o complementos brutos? g) Si el ingreso disponible de Alberto es de $100, el precio de  X  es de $5 y el precio de Y  es de $5. Determine el consumo de ambos bienes. h) Encuentre la elasticidad-precio de la demanda, la elasticidad-precio cruzada de la demanda y la elasticidad-ingreso (de la demanda del bien X  ). ¿Determine si se cumple con la homogeneidad de la demanda? (Ayuda: realice las estimaciones de las elasticidades en el punto de consumo de equilibrio) i) Demuestre que Alberto esta efectivamente maximizando su utilidad (Ayuda: determine que en el  punto de consumo se cumplen las condiciones de segundo orden para la obtención de un máximo) Solución: a) Funciones de utilidad marginal: UMg  X  =

UMg Y  =

∂U ( X , Y ) = Y  + 10 ∂ X  ∂U ( X , Y ) = X  + 2 ∂Y 

UMg 

UMg Y 

+2 Y +10

Y 

Las funciones de utilidad marginal muestran como cambia la utilidad adicional aportada por una unidad extra de consumo a medida que cambia el consumo de dicho bien. En este caso ambas son constantes, lo que indica que cada unidad adicional consumida genera el mismo incremento en el bienestar del individuo (aun cuando el nivel efectivo de dicha utilidad marginal depende del consumo del otro bien).  b) El mapa de isocuantas esta dado por el conjunto de curvas de nivel (curvas de indiferencias) que se generan para cada uno de los posibles valores de la utilidad de un individuo. Para la presente función de utilidad, la ecuación que representa la curva de indiferencia del nivel de utilidad U  se obtiene despejando Y  de la siguiente ecuación: 62

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV U  = ( X  − 2)Y  + 10 X 

La TMS de Alberto se define como: TMS YX  =

UMg  X  UMg Y 

⇒ Y  =

=

U  − 10 X 

( X  − 2)

Y + 10  X  − 2

La TMS indica cuantas unidades del bien Y Alberto está dispuesto a sacrificar por una unidad adicional de X de forma tal que la utilidad o bienestar del individuo se mantiene constante. c) Sabemos que Alberto consumirá en un punto donde se cumpla que: TMS YX  =

UMg  X  UMg Y 

=

 p X   pY 

Y  + 10

⇒

 X  − 2

=

 p X   pY 

 pY  (Y + 10 ) =  p X  ( X  − 2 ) ⇒  pY Y  =  p X  ( X  − 2 ) − 10 pY 

Reemplazando  pY Y  en la restricción presupuestaria:  I  =  p X  X  +  pY Y  =  p X  X  +  p X  ( X  − 2 ) − 10 pY  = 2 p X  X  − 2 p X  − 10 pY   I  = 2 p X  X  − 2( p X  + 5 pY  )  X ( p X  , pY  , I ) =

 I + 2( p X  + 5 pY  )

2 p X 

=

 I 

2 p X 

+1+ 5

 pY   p X 

d) Para determinar si la demanda de X de Alberto cumple con la ley de la demanda debemos encontrar  el signo de: ∂ X ( p X  , pY , I ) 4 p X  − 2[ I + 2( p X  + 5 pY  )] 4 p X  − 2 I − 4 p X  − 20 pY  − 2 I − 20 pY  = = = ∂ p X  4 p X 2 4 p X 2 4 p X 2  I + 10 pY  ∂ X ( p X  , pY , I ) =− <0 ∂ p X  2 p X 2

∀ p X  , pY , I 

En la demanda de X de Alberto se presenta una relación inversa entre precio y cantidad demandada para cualquier nivel de ingreso, precio de X y precio de Y . Por lo tanto se cumple con la ley de la demanda. e) Para determinar si X es un bien normal tenemos que encontrar como responde el consumo a cambios en el ingreso: ∂ X ( p X  , pY , I ) 1 = >0 2 p X  ∂ I 

∀ p X 

En este caso la relación es directa para cualquier nivel del precio de X , lo cual significa que si aumenta el ingreso del bien aumenta el consumo, por lo tanto el bien es normal. 63

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Para determinar si es un bien necesario o de lujo, se debe estudiar el comportamiento de la participación del en el gasto del bien  X  frente a cambios en el ingreso. Si la participación en el gasto aumenta con incrementos en el ingreso el bienes es de lujo, si disminuye es necesario. Alternativamente podríamos estudiar la elasticidad ingreso de la demanda. Si la elasticidad ingreso fuese mayor a uno el bien es de lujo, y si fuese menor a uno (y mayor que cero) entonces el bien es necesario.  s X  =

 p X  X ( p X  , pY  , I )  I 

=

 p X   I + 2( p X  + 5 pY  )  I + 2( p X  + 5 pY  )

2 p X 

 I 

=

2 I 

∂ s X   p + 5 p = −  X  2 Y  < 0 ∂ I   I 

Por lo tanto este es un bien necesario, ya que al aumentar el ingreso aumenta la cantidad demandada del  bien pero disminuye la proporción gastada en dicho bien, lo cual refleja que estamos en presencia de un  bien necesario. f) Para determinar si  X  e Y  sustitutos o complementos brutos tenemos que encontrar como responde el consumo X frente a un cambio en el precio de Y : ∂ X ( p X  , pY , I ) 5 = >0  p X  ∂ pY 

∀ p X 

Por lo tanto  X  e Y  sustitutos brutos. g) Consumo de ambos bienes:  X * =

Y  =

 I + 2( p X  + 5 pY  )

2 p X 

 p X  ( X  − 2) − 10 pY   pY 

=

100 + 2(5 + 5(5)) = 16 2(5)

=

5(16 − 2) − 10(5 ) =4 5

h) Elasticidades: eq X  p X  =

100 + 10(5) 5 15 ∂ X   p X   I + 10 pY   p X  =− = − = − = −0,9375 2 p X 2  X  16 ∂ p X   X  2(5)2 16 eq X  pY  =

eq X  I  =

∂ X   pY  5  pY  5 5 5 = = = = 0,3125 ∂ pY   X   p X   X  5 16 16

1  I  1 100 10 ∂ X   I  = = = = 0,625 ∂ I   X  2 p X   X  2(5) 16 16

La propiedad de homogeneidad de la demanda en precios e ingreso estableces que: 64

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV eq X  p X  + eq X  pY  + eq X I  = 0

En este caso se cumple con la homogeneidad de la función de demanda del bien X . i) Dado que estamos en presencia de un problema de maximización de una función con una restricción, entonces las condiciones de segundo orden para la obtención de un máximo se pueden representar como:  H  > 0

0

 g 1

 H  =  g 1

 f 11

 f 12 = 2 f 12 g 1 g 2 − ( f 11 g 22 +  f 22 g 12 ) > 0

 g 2

 f 21

 f 22

 g 2

En el caso de Alberto dicha condición se expresa como: 0 5 5  H  = 5 0 1 = (0 + 25 + 25) − (0 + 0 + 0 ) = 50 > 0 5 1 0 Por lo tanto el optimo encontrado si representa en máximo.

65

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

47. Ante la eventual crisis del gas que enfrenta Chile, el gobierno esta planeando regular los precios del gas domiciliario. En la actualidad el precio del metro cúbico es de $200. El plan de precios en la  propuesta inicial del gobierno contempla fijar el precio del metro cúbico de gas en $200 para los  primero 10 metros cúbicos y elevar el precio a $300 para los siguientes metros consumidos. Grafique la restricción presupuestaria del consumidor promedio, cuyo ingreso mensual es de $5.000, con el sistema de precios actual y bajo la propuesta del gobierno. Analice los casos en los que el mayor precio del gas aplica para las unidades consumidas por sobre los 10 metros cúbicos y también para el caso en el que el sobreprecio se aplica a todos los metros consumidos si el cliente consume mas de 10 metros cúbicos. Explique bajo que condiciones de demanda seria más probable que el gobierno lograra reducir la cantidad demanda de gas con esta propuesta. En el caso en que el incremento en el precio del gas es para los metros cúbicos adicionales, el menú de precios es el siguiente: 0 < G ≤ 10 200 si  pG =  si 10 < G 300 Con un ingreso mensual es de $5.000, la restricción  presupuestaria se puede describir como: 5.000 − 200G 6.000 − 300G

Y  = 

Y  5.000

3.000

 para 0 < G ≤ 10  para 10 < G

10

20

Gas

Donde G es el gasto en otros bienes. En el caso en que el incremento en el precio del gas aplica para todos los metros cúbicos consumidos, de alcanzar el consumo un valor mayor a 10 metros cúbicos, la restricción presupuestaria es la misma que el grafico anterior (Y =5.000-200G) para los primero 10 metros cúbicos. Sin embrago cuando el consumo sobrepasa 10, el costo total de los 10 primeros metros cúbicos alcanza a 3.000, lo cual deja solo $2.000 libres para consumir mas gas a un costo de $300 el metro cúbico adicional. La restricción presupuestaria entonces tiene un salto al nivel de G=10, desde 3.000 a 2.000.

Y  5.000

3.000 2.000

La propuesta del gobierno reducirá la cantidad demandada de gas 10 20 Gas solo si el consumo de las familias es mayor a 10 metros cúbicos. De ser menor la propuesta no modificar el consumo familiar. Además, podemos observar que la propuesta de cobrar todos los metros cúbicos a un precio superior si se pasa un nivel de consumo determinado tendrá un mayor efecto sobre los niveles consumo de gas.

66

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 48. El gobierno desea implementar un plan de asistencia alimenticia para familias viviendo en la extrema pobreza. El Ministerio de la Pobreza estima que la función de utilidad de la familia  promedio en condiciones de extrema pobreza esta dada por U  =  β  AY  + α  A . Donde A es el consumo de alimentos y Y es gasto efectuado en todos los otros bienes. a) El Ministerio le solicita encontrar las funciones de demanda (ordinarias) de A y Y . (Ayuda: plantee la restricción presupuestaria en términos del gasto en  A y el gasto en Y  de la siguiente forma:  p A A + Y  = I  )  b) Estimaciones realizadas por expertos del Ministerio sugieren que los parámetros de la función de utilidad toman los siguientes valores  β  = − 1 y α  = 2.000 . El ingreso producto del trabajo familiar  ( I  L)es de $10.000 semanales y el precio unitario de los alimentos de $200. Encuentre las cantidades consumidas de alimentos y el gasto en todos los otros bienes. Grafique la restricción presupuestaria y muestre el punto óptimo de consumo (coloque el eje horizontal las cantidades de alimentos y en eje vertical el gasto en otros bienes) c) Bajo el marco del plan de ayuda alimenticia a las familias en extrema pobreza el gobierno maneja distintas alternativas de asistencia. Por una parte el Ministerio de Economía postula la que la mejor  manera de ayudar a estas familias es a través de un subsidio directo ( s), es decir, una transferencia directa de dinero a las familias. El monto estimado a transferir es de $4.000 semanales. La gente del Ministerio de la Pobreza señala que la mejor alternativa es un cupón (c) canjeable solamente por  alimentos en cualquier supermercado por el mismo monto (el gobierno se encargaría de constituir  una red de supermercado adheridos al programa y se encargaría de pagarles los cupones). (i) Como se representarían las restricciones presupuestarias de las familias bajo las propuesta de transferencias en efectivo? Determine el nivel de consumo de alimentos y el gasto en los otros  bienes. Grafique y muestre la función que representaría la restricción. (ii) Repita para el programa de cupones. (iii) Compare ambos programas. ¿Por qué se observan esos niveles de consumo? Explique. (iv) Bajo que condiciones el programa de alimentación con cupones sería preferible al  programa de transferencias en dinero si lo que se desea es asegurar un consumo mínimo de alimentos de $4.000 en las familias? ¿Cuándo sería preferible el de transferencias en dinero? Discuta. Solución: a) Funciones de demanda (ordinarias) de A y Y :  Max U  =  β  AY  + α  A sujeto a  p A A + Y  = I   A,Y 

De la restricción presupuestaria podemos expresar el gasto en otros bienes en términos del gasto en alimentos:  p A A + Y  = I  ⇒ {

Y  = I − p A A

Gasto en Alimentos

reemplazando en la función de utilidad  Max U  =  β  A( I −  p A A) + α  A  A

67

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

La condición de primer orden que permite encontrar el punto optimo (máximo) de la función es: ∂U  =  β ( I −  p A A) + β  A(− p A ) + α  = 0 ∂ A ∂U  =  β  I − β  p A A − β  p A A + α  = 0 ∂ A  A* =

 β  I + α 

2 β  p A

⇒

 β  I + α  = 2 β  p A A

⇒   β  I + α     β  I + α   2 β  I − β  I − α   = I −   = 2  β   p 2  β  2 β       A    

Y * = I −  p A A* = I −  p A  Y * =

 β  I − α 

2 β  Y 

 b) La cantidad consumida de alimentos es:  A* =

 β  I  L + α 

2 β  p A

=

(−1) *10.000 + 2000 = 20 2 * (−1) * 200

10.000

lo que significa un gasto total en alimentos de $4.000 (20*$200). El gasto en otros bienes es de: 6.000 Y * =

 β  I  L − α 

2 β 

=

(−1) *10.000 − 2000 = 6.000 2 * (−1) 20

50 Alimentos

c) Alternativas de asistencia. (i) Si el Gobierno entrega $4.000 en efectivo a cada familia, el consumo máximo posible de alimentos y de otros bienes sube. El ingreso total de las familias esta dado ahora por   I T  = I  L + s . Así, el consumo máximo de cada bien estaría dado por:  A Max =

 I   p A

=

 I  L + s  p A

14.000 = = 70 200

Y  14.000

10.000

8.000 6.000

Y  Max = I  = I  L + s = 10.000 + 4.000 = 14.000

La restricción presupuestaria esta dada por  20

68

30

50

70

A

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  I  = I  L + s =  p A A + Y  ⇒ Y  = 14.000 − 200 A

y los consumos óptimos serían:  A* =

Y * =

 β  I  L + α 

=

(−1) *14.000 + 2000 − 12000 = = 30 − 400 2 * (−1) * 200

=

(−1) *14.000 − 2000 − 16000 = = 8000 2 * (−1) −2

2 β  p A  β  I  L − α 

2 β 

(ii) Si el Gobierno entrega un cupón con un valor de $4.000 a cada familia. En este caso el consumo máximo de alimentos sube pues se pueden dedicar hasta $14.000 en alimentos, por lo que el consumo máximo de alimentos es igual al anterior (70). En el caso de los otros bienes, el consumo máximo no se incrementa ya que el cupón sólo puede ser usado en alimentos. Así, si las familias sólo dedican el valor  del cupón a alimentos, pueden gastar $10.000 en otros bienes. Si el consumo de alimentos es superior al valor del cupón entonces las familias sustituirán otros bien por alimentos. Para consumos menores al valor del cupón, no hay sustitución de otros bienes por alimentos. La pendiente de la restricción  presupuestaria es entonces igual a cero para cantidades de alimentos menores a 20 (asumiendo el precio de los alimentos constante en $200). La restricción presupuestaria se puede expresar como:  I  L Y  =  ( I  L + c) −  p A A

donde c es el valor del cupón, es decir: 10.000

Y  = 

14.000 − 200 A

 para 0 <  A < 20  para 20 ≤  A < 70

 para 0 <  A < 20  para 0 ≤  A < 70 Y  14.000

10.000

Gráficamente la restricción presupuestaria es la línea quebrada ABC : Dado que sabemos que óptimamente las familias con un ingreso de $14.000 consumirán $6.000 en alimentos, podemos deducir que la canasta optima de consumo de las familias bajo el programa de cupones será la misma que bajo el programa de transferencias directas.

8.000 6.000

C 

20

30

50

70

A

(iii) En ambos programas se observan los mismos niveles de consumo porque el subsidio y el cupón son iguales al gasto mínimo que realizarían estas familias de no existir el subsidio. Sin subsidio las familias gastaran $4.000 en alimentos. Ambos programas permiten dedicar al menos $4.000 al consumo de alimentos y alcanzar un mayor consumo de todos los bienes (incluyendo alimentos) con el ingreso restante. 69

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

(iv) El programa de transferencias directas es mejor si el consumo mínimo de alimentos es siempre inferior al monto de la transferencia, si lo que se desea es aumentar el bienestar general de las familias (nivel de utilidad). En ese caso, el gobierno se podría ahorrar el costo de mantener una red de supermercados afiliados al programa y los costos asociados con el sistema de pago a los supermercados. Sin embargo, si el consumo optimo de alimentos en las familias es inferior al valor de la transferencia, y lo que se busca es maximizar el consumo de alimentos (y no necesariamente obtener mayores niveles de utilidad), entonces el programa de cupones es mejor. Para mostrar esto supongamos que las familias consumieran de acuerdo con la curva de indiferencia U 1 en el grafico. La canasta optima de las familias estará situada en el punto C . Con el programa de transferencias en efectivo las familias se ubicaran en el  punto D alcanzando un nivel de utilidad U 3. En el punto de D, el gasto en alimentos es menor a $4.000,  por lo que las familias están dedicando parte de la transferencia a la compra de otros bienes. Sin embargo con el programa de cupones están obligadas a gastar al menos los $4.000 en alimentos. Ya que voluntariamente estas familias no gastarían $4.000 en alimentos (ver punto  D), el nivel de utilidad alcanzado (U 2) al consumir $4.000 en alimentos y $10.000 en otros bienes es menor al generado con la transferencia. Es claro que para evaluar la conveniencia de un programa sobre el otro tenemos que saber primero que tan probable es que las familias destinen parte del subsidio a otros bienes. Si el objetivo del programa es mejorar la alimentación y sólo la alimentación en las familias, es mejor usar el sistema de cupones. Así, el gobierno se asegurar que no habrá desviaciones de recursos a otros sectores, particularmente en aquellas familias con baja propensión marginal a consumir alimentos. Ahora, si lo que se desea es aumentar el bienestar general de las familias, seria entonces recomendable el programa de transferencias de dinero, pues permitirá a familias con bajo consumo de alimentos elegir  la canasta de consumo óptimamente sin restricciones externas. Y  14.000  D

12.000

U 3

10.000 9.000

U 2

C 

U 1

5 10

70

20

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 49. La Gerencia de Desarrollo de la empresa de telecomunicaciones “Marcando Ocupado” esta estudiando un nuevo plan tarifario que podría ser aplicado durante la navidad. En la actualidad “Marcando Ocupado” cobra $20 el minuto en llamadas telefónicas de larga distancia nacional. El nuevo plan, denominado muy creativamente “Plan 1” tiene la siguiente estructura: un cargo fijo mensual de $500 y un valor por minuto de $10 por los primeros 100 minutos y $5 por todos los minutos adicionales. a) Encuentre una expresión para la restricción presupuestaria del cliente promedio cuyo ingreso mensual es de $2.000 en ambos planes. Grafique las restricciones presupuestarias. Explique. (Ayuda: suponga que todos los otros bienes consumidos por el pueden ser agrupados en un bien denominados “Otros Productos”. Coloque en el eje Y los “Otros productos” usando su valor  monetario, y en el eje X los minutos de teléfono)  b) ¿Que tipo de clientes contratarían el plan 1 de la compañía “marcado Ocupado”? Explique. c) ¿Que plan elegiría un consumidor cuya función de utilidad es U (Y , T ) = Y  +

T 2

? ¿Por que? ¿Le 4 conviene a la empresa ofrecer los dos planes a este consumidor si lo que quiere es maximizar las ventas? Explique. d) ¿Seria posible encontrar consumidores que estuvieran indiferentes entre ambos planes? ¿Podría un consumidor estar indiferente entre hacer muchas llamadas y hacer pocas llamadas bajo el mismo  plan? Explique y muestre gráficamente. Solución: a) Con el plan tarifario actual la restricción presupuestaria esta dada por:  I  =  pT T  + Y  ⇒ 2.000 = 20T  + Y  ⇒ Y  = 2000 − 20T 

10 Con el plan 1 el menú de precios es el siguiente:  pT  =  5

si si

0 < T  ≤ 100 100 < T 

Si el ingreso mensual es de $2.000, el costo fijo del plan de $500, entonces la restricción presupuestaria se puede describir como: 1.500 − 10T  1.000 − 5T 

Y  = 

 para 0 ≤ T  ≤ 100  para 100 < T 

Gráficamente: un cliente promedio que contrata el  plan 1 y no hace llamadas telefónicas podrá gastar  $1.500 en otros bienes. Por los siguientes 100 minutos debe pagar $10 por minuto. Al hablar los  primero 100 minutos habrá gastado $1.000, por lo que le quedaran $500. A partir del minuto 101  pagara solo $5 por minuto por lo que la pendiente de la restricción presupuestaria cae desde 10 a 5. Con los siguientes $500 que dispone para hablar puede hablar 100 minutos por lo que su consumo máximo total seria de 200 minutos.

Y  2.000 Plan Actual 1.500 1.000

Plan 1

500

100

200

Teléfono

71

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 b) De las restricciones presupuestarias (o de consumo) generadas por el plan actual y el plan 1 se  puede observar que en general los consumidores que tienen altos volúmenes de tráfico (hacen muchas llamadas) deberían preferir el plan 1. De hecho podemos encontrar el punto (numero de minutos) que hace que los clientes estén indiferentes entre un plan y otro (el gasto total en llamadas es el mismo). Dicho punto se encuentra en la intersección de las restricciones presupuestarias de ambos planes: Y  = 2.000 − 20T  (plan actual) y Y  = 1.500 − 10T  (plan 1): 2.000 − 20T  = 1.500 − 10T  ⇒ T  = 50

Si el número de minutos consumidos es menos que 50, entonces el cliente promedio debería elegir el  plan actual. Si en cambio consume más de 50 minutos en teléfono elegirá el plan 1. c) Plan Actual: se puede plantear el siguiente lagrangeano:  L = Y +

T 2

4

+ λ [2.000 − 20T − Y ]

Las condiciones de primer orden son: ∂ L 2  = T − 20λ  = 0 T   ∂T  4 λ  = 1 ⇒ = 20 ∂ L 2  = 1 − λ  = 0  ∂Y  ∂ L = 2.000 − 20T  − Y  = 0 ⇒ T  = 40 ⇒  pT T  = 20 * 40 = 800 ⇒ Y  = 1.200 ⇒ U  = 1.600 ∂λ 

Plan 1: se puede plantear el siguiente lagrangeano (con T <100):  L = Y +

T 2

4

+ λ [1.500 − 10T − Y ]

∂ L 2  = T  − 10λ  = 0 T   ∂T  4 λ  = 1 ⇒ = 10 ∂ L 2  = 1 − λ  = 0  ∂Y  ∂ L = 1.500 − 10T  − Y  = 0 ⇒ T  = 20 ⇒  pT T  + CF  = 10 * 20 + 500 = 700 ⇒ Y  = 1.300 ⇒ U  = 1.400 ∂λ 

Dado que efectivamente T =20<100, entonces T =20 seria el optimo de llamadas con el plan 1 para este consumidor. Un consumidor con esta función de utilidad elegirá el plan actual ya que su nivel de utilidad es mayor. En términos de la empresa si los consumidores tienen esta función de utilidad la empresa maximizara las ventas también con el plan actual, ya que el consumidor gasta $800 en vez de $700. En conclusión, tanto la empresa como el consumidor estarán mejor con el plan actual.

72

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d) Efectivamente un consumidor podría estar indiferente entre los dos planes si sus preferencias fueran representadas por la curva de indiferencia U0 en el gráfico 1. En ese caso la canasta A y la canasta B generan el mismo nivel de satisfacción y ambas son alcanzables con distintos planes. También es  posible que un consumidor este indiferente entre hablar mucho y a hablar poco con el mismo plan. Eso ocurre solo son el plan 1. Para un consumidor como el descrito en el grafico 1, bajos niveles de uso (punto A) son equivalentes a altos niveles de uso (punto B) por que puede llamar mas barato. En términos de la utilidad marginal del ultimo peso gastado ocurre que: UM T   pT  T <100

=

UM T   pT  T >100

Al aumentar  T  disminuye la utilidad marginal, pero también disminuye el precio promedio (es un  promedio ponderado entre $10 y $5), por lo que la igualdad se mantiene. Y 

Y 

Gráfico 1

2.000

2.000 1.500 1.000

Gráfico 2

1.500

A

1.000

B

500

B

500

U 0

100

A

200

Teléfono

100

U 1 200

Teléfono

73

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

50. El consumo de electricidad y otros bienes en los meses de verano genera bienestar en la familia Electrocuta de acuerdo con la siguiente función de utilidad: U ( K ,Y ) =  K α Y  β  . Donde  K  es el consumo de kilowatts y Y es el gasto en otros bienes. Asuma que el precio de la electricidad tiene un valor de  p K  por kilowatt. a) Encuentre la función de demanda de electricidad de la familia Electrocuta.  b) ¿Se cumple la ley de la demanda por electricidad en esta familia? ¿Cuál es la elasticidad-precio de la demanda por electricidad de los Electrocuta? Interprete. c) Como interpreta los parámetros alfa (α  ) y beta ( β  )¿Qué sucede si ellos cambian? d) ¿Cómo responde la demanda por electricidad a cambios en el ingreso? ¿y el gasto? ¿Es este un  bien normal, inferior, necesario o de lujo? e) Encuentre la elasticidad de sustitución (elasticidad-precio de la demanda compensada) de electricidad. Interprete. Solución: a) Si los Electrocuta se comportan racionalmente, entonces resolverán el siguiente problema de maximización de bienestar:  Max U ( K , Y ) = K α Y  β 

sujeto a

{ K ,Y }

 I  = Y +  p K  K 

Dado que una familia que se comporte racionalmente gastara en cada bien hasta que la utilidad marginal de cada peso gastado en los distintos bienes sea la misma, entonces: UMg  K   p K 

=

UMg Y   pY 

⇒

α  K α −1Y  β   p K 

=  β  K α Y β −1 ⇒

 β  α 

 p K  K  = Y 

Reemplazando en la restricción presupuestaria encontramos la función de demanda por electricidad de los Electrocuta  I  = Y  +  p K  K  =

 β  α 

  β      β  + α   + 1 =  p K  K    α      α   

 p K  K  +  p K  K  =  p K  K 

 K * ( p K , I ,α , β ) =

α  I 

(α  +  β ) p K 

 b) Para verificar si se cumple la ley de la demanda debemos comprobar si existe una relación inversa entre precio y cantidad demandada de electricidad: ∂ K ( p K , I ,α , β ) α  I  =− <0 (α  +  β ) p K 2 ∂ p K 

Por lo tanto si se cumple la ley de la demanda en el caso de los Electrocuta. Ahora, la elasticidad de la demanda es: 74

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV e K , p K  =

∂ K ( p K , I ,α , β )  p K  α  I  =− (α  +  β ) p K 2 ∂ p K   K ( p K , I ,α , β )

 p K  α  I 

= −1

(α  +  β ) p K 

Esto significa que si el precio de la electricidad aumenta un 1% entonces la cantidad demandada de electricidad cae en un 1%. En términos generales significa que si el precio de la electricidad varían en un 1% entonces la cantidad demandad varía en un 1% en la dirección opuesta. c) Los parámetros alfa (α  ) y beta ( β  ) representan las preferencias o dicho de otra forma, los gustos de los Electrocuta por electricidad y otros bienes, respectivamente. Nos indican cuan  preferidos son estos bienes. Cambios en los gustos o preferencias tendrán efectos sobre las demandas de electricidad y otros bienes. Por ejemplo, un aumento en alfa (α  ), es decir un aumento en el gusto por electricidad, causado por ejemplo por un cambio en los aparatos electrónicos de esta familia hacia modelos que consumen mayor electricidad, significara un aumento de la demanda por electricidad y una disminución de la demanda por otros bienes. Esto  puede mostrarse analíticamente de la siguiente forma: ∂ K ( p K , I ,α , β )    I    I (α  +  β ) − α  I     I     β I    =  =  >0 2 2  p ( α   β  )  p ( α   β  ) ∂α  + +    K      K  

También podemos ver que un aumento de beta ( β  ), es decir un aumento en las preferencias por otros  bienes, y por lo tanto una disminución relativa de las preferencias por electricidad, reducirá la demanda  por este bien:  α  I   1 ∂ K ( p K , I , α , β )  = − 2 <0  p ( α   β  ) ∂ β  +    K  

d) La electricidad es un bien normal por que cambios en el ingreso generan cambios en la demanda en la misma dirección: α  ∂ K ( p K , I , α , β ) = >0 (α  +  β ) p K  ∂ I 

Con respecto al gasto en electricidad, podemos ver que el gasto esta dado por: G K  =  p K  K  =  p K 

α  I 

(α  +  β ) p K 

=

α I 

(α  + β )

Por lo que cambios en el ingreso incrementan el gasto en electricidad dado que: α  ∂G K  = >0 ∂ I  (α  +  β )

Para analizar si la electricidad es un bien normal, inferior, necesario o de lujo, debemos estudiar que  pasa con la elasticidad-ingreso: 75

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor  e K , I  =

∂ K ( p K , I , α , β )  I  α  =  K ( p K , I ,α , β ) (α  +  β ) p K  ∂ I 

 I  α  I 

=1

(α  +  β ) p K 

Esto indica que la electricidad es un bien normal con elasticidad ingreso igual a 1, por lo que no es un  bien necesario ni uno lujo. e) Sabemos que: S  e K , p K  = e K  , p K  − s K e K , I 

Entonces podemos obtener la elasticidad de sustitución como: S  e K  , p K  = e K , p K  + s K e K , I 

Dado que la participación de la electricidad en el gasto es:

 s K  =

 p K  K   I 

 p K 

=

α  I 

(α  +  β ) pK   I 

=

α 

(α  +  β )

La elasticidad de sustitución es: e K , p K  = −1 + S 

S  e K  , p K  = −

α 

α  +  β   β 

α  +  β 

Esto significa que un cambio puro en el precio de la electricidad de un 1% (es decir, un cambio en los  precios relativos de la electricidad y los otros bienes, o lo que es lo mismo un cambio en los precios neto del efecto ingreso) genera un variación de la cantidad demanda de

76

 β  α  +  β 

% (en sentido contrario).

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 51. Durante los meses de invierno la familia Electrocuta cambia sus preferencias por electricidad y otros  bienes a U ( K , Y ) =  KY . Además del costo por kilowatt ( p K  ) que es de $100, la cuenta durante los meses de invierno incluye un cargo fijo (CF ) de $5.000. a) Grafique la restricción presupuestaria si el ingreso durante los meses de invierno es de $25.000 y encuentre el consumo optimo de electricidad, el gasto en otros bienes y el nivel de utilidad de los Electrocuta (Ayuda: Inicialmente defina el ingreso disponible como el ingreso después del pago del cargo fijo).  b) El gobierno desea reducir el consumo residencial de electricidad en los meses de invierno (incluido el de los Electrocuta). Para ello se decide mantener el precio original para los primero 60 kilowatts y subir el precio a $200 para todos los kilowatts consumidos adicionalmente. Grafique y explicite la restricción presupuestaria de los Electrocuta. c) Evalué el resultado del plan del gobierno en términos de sus efectos sobre los Electrocuta (Verifique si se reduce el consumo o no) ¿Estarán de acuerdo los Electrocuta con este cambio tarifario? Justifique. d) Encuentre la cantidad de dinero que el gobierno tendrá que dar a los Electrocuta para compensarlos  por este cambio en las tarifas (encuentre la Variación Compensatoria) e) Encuentre la cantidad máxima de dinero los Electrocuta estarían dispuestos a pagar para que el gobierno no cambiara las tarifas (encuentre la Variación Equivalente) f) ¿Cómo podría compensar el gobierno a los Electrocuta sin que le significara desembolso alguno al Estado pero redujera el consumo de electricidad en alguna medida? ¿En cuanto se reduciría el consumo si el gobierno aplicara la compensación? g) Si Ud. fuera un productor de otros bienes ¿estaría de acuerdo con el alza de tarifas? ¿Y con la compensación? Justifique. Solución: a) Definamos primero el ingreso disponible como el ingreso monetario menos el cargo fijo:  I d  = I  − CF  = 25.000 − 5.000 = 20.000

Usando los resultados de la pregunta anterior, podemos obtener la demanda por electricidad de los Electrocuta, sabiendo que α  = 1,  β  = 1 y  p K  = 100 . α  I 

*

 K  ( p K , I ,α , β ) =

(α  +  β ) p K 

Sabemos que óptimamente

 β  α 

=

 I d 

2 p K 

=

20.000 = 100 200

 p K  K  = Y  ⇒  p K  K  = Y  , por lo que

Y 

20.000

10.000 U0=1.000.000

el gasto en otros bienes (Y ) es: 100

200

 K 

Y * = 100 * 100 = 10.000

Así, la utilidad obtenida por los Electrocuta es U ( K , Y ) = KY  = 100 *10.000 = 1.000. 000

77

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 b) El gasto en otros bienes esta definido como:

Y 

Y  = I − CF −  p K  K  = I d  −  p K  K 

Para los primeros 60 kw el precio es de $100 por kw. Entonces, si los Electrocuta consumen 60 kw, el gasto en otros bienes deberá ser de: Y  = I d  −  p K K  = 20.000 − 100 * 60 = 14.000 . Para los siguientes kw se paga $200, lo cual significa que los Electrocuta  podrían consumir como máximo 70 kw adicionales ( ∆ K max = 14.000 / 200 = 70 ). La cantidad máxima de kw que  pueden consumir los Electrocuta con este esquema de precios es 130 kw al mes.

20.000 14.000 10.000 U0=1.000.000

60

100 130

200

Analíticamente podemos representar la restricción presupuestaria de los Electrocuta como: 20.000 = Y  + 100 K  26.000 = Y  + 200 K 

 RP = 

si  K  ≤ 60 si  K  > 60

c) Con este plan tarifario los Electrocuta reducirán su consumo a 65 kw por mes haciendo que el plan del gobierno sea exitoso. Para obtener el consumo de Electrocuta debemos usar la función de demanda y las restricciones presupuestaria para verificar si los consumos óptimos cumplen con estas ultimas. Usando el primer tramo de la restricción presupuestaria 20.000 = Y  + 100 K  , sabemos que el consumo optimo es 100 kw, lo cual no cumple con la restricción de que el consumo debe ser  menor a 60 kw. Usando el segundo tramo de la función de demanda obtenemos que:  K * ( p K , I ) =

26.000 = 65 2 * 200

El cual cumple con la restricción de que el consumo sea mayor a 60 kw. Con este consumo de electricidad, el gasto en otros bienes alcanza a: Y * = I − CF − G K  Y * = 25.000 − 5.000 − 100 * 60 + 5 * 200 = 13.000

nivel de bienestar de los Electrocuta será de U ( K , Y ) = KY  = 65 *13.000 = 845.000 , por lo que los Electrocuta no estarán de acuerdo con el cambio tarifario.

Y 

20.000 14.000 13.000 10.000 U0=1.000.000 U1=845.000

El

78

60

100 130

200

 K 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d) La variación compensatoria (VC) se puede obtener encontrando primero el nivel de ingreso que genera un nivel de utilidad igual al que los Electrocuta tenían antes del cambio tarifario, con el nuevo sistema de precios. Y 

Partiendo de la función de utilidad U ( K , Y ) = KY  , podemos reemplazar  Y  y  K , por las funciones de demanda respectivas. Sabemos que óptimamente  p K  K  = Y  y que la restricción  presupuestaria se puede escribir como  I d  = Y  +  p K  K . Entonces, podemos obtener las funciones de demanda: *

 K  =

 I d 

2 p K 

*

y Y  =

 I d 

28.284

VC 26.000 20.000 14.000

.

2

U0=1.000.000

60

130

 K 

Reemplazando en la función de utilidad para un nivel de utilidad dado (al nivel obtenido por los Electrocuta inicialmente):    I ˆ    I ˆ    U 0 =    2  p    K   2 

1.000.000 =

ˆ2  I  4 * 200

Despejando  I ˆ y obtenemos que  I ˆ = 1.000.000 * 800 = 28.284,3 . La VC es igual a: ~

ˆ − I  = 28.284,3 − 26.000 = 2.284,3 VC = I  e) La variación equivalente (VE) se puede obtener encontrando primero el nivel de ingreso que genera un nivel de utilidad igual al que los Electrocuta tedrian después del cambio tarifario, con el antiguo sistema de precios. Y 

Sabemos que las funciones de demanda por electricidad y *

otros bienes son:  K  =

 I d 

*

y Y  =

 I d 

. Reemplazando en la

2 p K  2 función de utilidad para el nivel de utilidad que obtendrían los Electrocuta (con el cambio de sistema tarifario), pero sin que los precios cambien: ~   ~    ~   ~     I   I   I   I    =    U 1 =        2 p K   2   2(100)  2 

⇒

845.000 =

VE

20.000 18.385

ˆ2  I 

U0=1.000.000 U1=845.000 130

 K 

400

~ ~ Despejando  I  y obtenemos que  I  = 845.000 * 400 = 18.385 . La VE es igual a: ~

VE = I d  − I  = 20.000 − 18.385 = 1.615

79

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

f) El gobierno podría reducir el cargo fijo. De esta forma podría compensar a los consumidores sin tener que desembolsar recursos. Para compensar a los Electrocuta tendría que reducir el cargo fijo en un monto igual a la variación compensatoria, es decir, dejar el cargo fijo en $2.716 (5.0002.284). Con esta compensación los Electrocuta consumirán de la siguiente forma:  K * =

28.284 = 70,71 2 * 200

Y * =

28.284 = 14.142 2

Que también se puede obtener como: Y * = I − CF + VC − GK  = 25.000 − 5.000 + 2.284 − 100 * 60 + 10.71* 200 = 14.142 Y  28.284

VC 26.000 20.000 14.142 14.000

U0=1.000.000

60

130

 K 

g) En general los productores de otros bienes deberían estar de acuerdo con el alza de tarifas pues los Electrocuta gastaran más en otros bienes con el nuevo plan de tarifas (13.000 vs. 10.000), lo cual significa que debería aumentar la demanda de otros bienes. Además, los productores deberían estar  de acuerdo con la compensación pues incrementaría aun mas el gasto en otros bienes (14.142).

80

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 52. El día viernes 6 de Septiembre de 2006 El Mercurio de Santiago publico un artículo en el cual se explicaba una nueva forma de tarificación de la electricidad que está ofreciendo Chilectra en Santiago (a través de un plan piloto). La idea es ofrecer tarifas diferenciadas según el horario de consumo en contraposición con el actual sistema en el cual el costo por kilowatt es el mismo en cualquier horario. El plan es ofrecido por la compañía sin que exista la obligación, de parte del cliente, de aceptarlo. La información de la alternativa tarifaria se presenta en la tabla adjunta. a) Suponiendo que los consumos de electricidad en cada horario—noche (n), día (d ) y punta( p)—pueden ser  considerados como bienes separados, compare gráficamente las restricciones presupuestarias de un consumidor racional antes y después de haber aceptado la nueva tarificación, durante el periodo de verano. ¿Estará mejor el consumidor con el nuevo sistema?  b) ¿Estarán todos los consumidores dispuestos a aceptar el  plan de Chilectra? Explique que factores determinarán la disposición a aceptar el cambio al nuevo sistema tarifario. c) Suponga que un consumidor promedio tiene una función de utilidad por electricidad en horario de día ( E d  ), electricidad en horario de punta ( E  p ) y otros bienes (Y ) que puede ser representada de la siguiente forma: U ( E d , E  p , Y ) = E d α  E  p β Y  . Además, se sabe que bajo el sistema actual el precio del kilowatt es igual en ambos horarios  pd  =  p p =  p . Si el consumidor contrata el nuevo plan entonces enfrentara una situación donde  p d  en el horario de dia,  p p en el horario de  punta y  pd  <  p < p p (Asuma que existen sólo eso dos horarios). Determine la ecuación que indicará bajo que condiciones el consumidor estará dispuesto a contratar el plan de tarifas diferenciadas. (Ayuda: Recuerde que el consumidor decidirá aceptar un plan si le reporta mayor  utilidad que el otro). d) Suponga que la diferenciación de precios por horarios es simétrica (como en el caso presentado en la tabla), es decir, el porcentaje aplicado de rebaja del precio durante el día es igual al porcentaje de alza en horario punta. Si inicialmente (tarifa plana) el precio del kilowatt es igual a 1 y el porcentaje de diferenciación de precios es igual a θ  (con 0 < θ  < 1 ), muestre bajo que condiciones el consumidor aceptará el plan. Discuta como afectan las preferencias a la decisión. Solución: a) Un consumidor que haya aceptado el plan tendra las siguientes restricciones presupuestarias. Como puede observarse, durante el verano el consumidor estará mejor con el plan nuevo pues los precios de la electricidad más bajos durante la noche mejoran sus oportunidades de consumo, es decir, su ingreso real.

Ed ntes  Después

En 81

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 b) No todos los consumidores estarán dispuestos a aceptar el plan de Chilecttra. Esto porque a pesar de el plan ofrece precios más bajos durante ciertos periodos, también eleva los precios en otros  periodos (en días de semana de invierno entre las 18:00 y 22:00). En general habrá dos tipos de consumidores que podrían aceptar el plan. Primero, aquellos que no realizan parte significativa de su consumo durante el horario de punta pero sí durante el horario nocturno. Estos consumidores, sin cambiar su patrón de consumo (entre horarios) se beneficiaran del plan al obtener una rebaja en la cuenta total. Un segundo grupo de consumidores que aceptarán el plan, serán aquellos que pueden cambiar su patrón de consumo. Es decir, aquellos que pueden reducir su consumo en horario de  punta y traspasarlo a un horario de noche (con tarifas mas bajas). Así, en general los dos factores fundamentales que explicarían la disposición a aceptar el cambio de plan son la estructura de consumo horario de los consumidores y la capacidad de sustituir consumo entre horarios. c) En términos generales un consumidor elegirá el plan que le reporte un mayor nivel satisfacción. Para observar el nivel de satisfacción podemos usar la función de utilidad indirecta. Ella nos muestra los niveles de utilidad que gozará un individuo dado los precios y el ingreso disponible. Para encontrar la función de utilidad indirecta necesitamos evaluar las funciones de demanda de los  bienes en la función de utilidad (directa) Dadas las preferencias de este consumidor que se expresan en la función de utilidad U ( E d , E  p , Y ) = E d α  E  p β Y  , podemos demostrar que las funciones de demanda de los tres bienes son:  E d  ( pd , p p , I ) =

α  I 

 E  p ( pd , p p , I ) =

(1 + α  + β ) pd 

 β  I 

Y ( pd , p p , I ) =

(1 + α  + β ) p p

I 

(1 + α  + β )

Reemplazando en la función de utilidad (directa):     α  I   V ( E d , E  p , Y ) =  1  ( + α  + β ) pd  

α 

 β 

     β  I     (1 + α  + β ) p p     

    I     (1 + α  + β ) 

Así la utilidad del nuevo plan V   pd , p p , I  es mayor a la obtenida con el plan inicial V ( p, I ) si: V ( p d  , p p , I ) > V ( p, I ) α 

    α  I    ( ) 1 + + α   β   p d    

 β 

     β  I     (1 + α  + β ) p p     

α 

     I      α  I     >   (1 + α  + β )   (1 + α  + β ) p  α 

  1       pd  

 β 

  1    1    >    p p    p      α   β  α   β   pd  p p < p +

82

α 

 β 

 1      p 

 β 

     β  I    ( ) 1 + + α   β   p    

   I       (1 + α  + β ) 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Esta condición señala que los consumidores estarán dispuesto a contratar el plan si los precios  ponderados de con el nuevo plan son menores a los precios ponderados del plan antiguo, donde los  ponderadores son los indicadores de preferencias por electricidad en los distintos horarios (α , β ) . d) Del enunciado tenemos que:  p = 1 ,  pd  = (1 − θ ) p = (1 − θ )

y  p p = (1 + θ ) p = (1 + θ )

Sabemos, además, que los consumidores estarán dispuesto a contratar el plan nuevo si se cumple que:  pd α  p p β  < pα + β 

(1 − θ )α  (1 + θ )β  < 1 La preferencias afectan la decisión del consumidor en el sentido de que a mayor preferencia por  electricidad de día mayor es la probabilidad de que se acepte el plan. Esto porque: ∂(1 − θ )α  (1 + θ ) β  ∂α 

(1 −3 = (1 + θ ) β  (1 − θ )α  ln θ ) < 0 1 424 123 123 +

+

−

Así, un incremento de las preferencias por electricidad en el día disminuye el lado izquierdo de la desigualdad, aumentando la probabilidad de aceptar el plan (ceteris paribus). Por otro lado, a mayores  preferencias por electricidad en el horario de punta aumenta el lado izquierdo de la desigualdad disminuyendo la probabilidad de aceptar el plan dado que: ∂(1 − θ ) (1 + θ ) α   β  (1 +3 = (1 − θ ) (1 + θ ) ln θ ) > 0 424 123 123 1 ∂ β  + α 

 β 

+

+

83

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

53. Suponga que existen dos tipos de familias representativas en el país. Cada familia representativa deriva utilidad del consumo de educación y alimentación a través de la siguiente función de utilidad: U ( A, E ) i = ( Ai − α i ) E i . Con i = 1,2 . Si el ingreso monetario de cada tipo de familia es  I i y los  precios son  p A y  p E  , responda: a) Encuentre las funciones de demanda de alimentos y educación para cada familia representativa.  b) Encuentre la función de demanda del mercado por educación si existen ni familias de cada tipo. Exprese la función de demanda en términos del ingreso nacional total. c) Determine que sucede con la demanda por educación si aumenta el número de familias en cualquiera de los dos grupos. Explique y grafique. d) Indique que debería pasar con la demanda por educación de cada grupo y la demanda total de educación del país si el gobierno coloca un impuesto a la renta al grupo de mayores ingresos (grupo 1) y se lo traspasa al de menores ingresos (grupo 2). (Por simplicidad asuma que el número de familias en ambos grupos es el mismo y que el gobierno usa sólo los recursos recaudados para subsidiar al grupo de menores ingresos) e) Determine que tipo de bienes son la educación y los alimentos (normal o inferior). f) Determine la elasticidad-ingreso de la educación y los alimentos. ¿Qué tipo de bienes son? Solución: a) Encuentre las funciones de demanda de alimentos y educación para cada familia representativa. UMg  A,i UMg  E ,i

=

 p A  p E 

⇒

 E i  Ai − α i

=

 p A  p E 

⇒  p E  E i =  p A ( Ai − α i )

 I i =  p A Ai +  p E  E i =  p A Ai +  p A ( Ai − α i ) =  p A (2 Ai − α i )  Ai* ( p E , p A , I i , α i ) =

 I i + α i p A

2 p A

y  E i* ( p E , p A , I i , α i ) =

 I i − α i p A

2 p E 

 b) Encuentre la función de demanda del mercado por educación si existen ni familias de cada tipo. Exprese la función de demanda en términos del ingreso nacional total. El ingreso nacional se define como la suma del ingreso de todos los individuos de la economía:  I T  = n1 I 1 + n2 I 2

La función de demanda del mercado por educación es la suma de las demandas individuales de todos los consumidores: *

 E  ( p E , p A , I 1 , I 2 , n1 , n2 ) =

n1

∑1

 E 1*

n2

( p E , p A , I 1 )+∑ E 2* ( p E , p A , I 2 ) = n1 E 1* ( p E , p A , I 1 )+ n2 E 2* ( p E , p A , I 2 )

i=

 E * ( p E , p A , I 1 , I 2 , n1 , n2 ) = n1

84

i =1

 I 1 − α 1 p A

2 p E 

+ n2

 I 2 − α 2 p A

2 p E 

=

(n1 I 1 + n2 I 2 ) 2 p E 

−

n1α 1 p A

2 p E 

−

n2α 2 p A

2 p E 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  E * ( p E , p A , I 1 , I 2 , n1 , n2 ) =

(n1 I 1 + n2 I 2 ) 2 p E 

*

 E  ( p E , p A , I , n1 , n2 ) =

− (n1α 1 + n2α 2 )  I T 

2 p E 

 p A

2 p E 

− (n1α 1 + n2α 2 )

con  I T  = n1 I 1 + n2 I 2  p A

2 p E 

c) Determine que sucede con la demanda por educación si aumenta el número de familias en cualquiera de los dos grupos. Explique y grafique. p

∂ E *  I i α  p = − i  A = E i* > 0 ∂ni 2 p E  2 p E 

El aumento del número de familias incrementa la demanda total  por educación en el país.

 E 1  E 0

 E 

d) Indique que debería pasar con la demanda por educación de cada grupo y la demanda total de educación del país si el gobierno coloca un impuesto a la renta al grupo de mayores ingresos (grupo 1) y se lo traspasa al de menores ingresos (grupo 2). (Por simplicidad asume que el número de familias en ambos grupos es el mismo y que el gobierno usa sólo los recursos recaudados para subsidiar al grupo de menores ingresos) Supongamos que  I 1 > I 2 . Entonces colocaremos un impuesto al grupo 1 y un subsidio al grupo 2. El monto recaudado tiene que ser igual al monto traspasado: T  = S 

Donde la recaudación total del gobierno es T  = n1t  y el monto total de subsidios entregados es S  = n2 s . Por lo tanto: n1t  = n2 s ⇒  s =

n1 n2

t  si n1 = n2

⇒  s = t 

Incorporando el impuesto ( t ) y el subsidio ( s ) individual en las funciones de demanda, encontramos que:  E 1* ( p E , p A , I i , α 1 , t ) =

( I 1 − t ) − α 1 p A 2 p E 

y  E 2* ( p E , p A , I 2 , α 2 , s ) =

( I 2 + s ) − α 2 p A 2 p E 

Inmediatamente se puede observar que la demanda por educación caerá en el grupo 1 y aumentara en el grupo 2. En términos de mercado total necesitamos generar la función de demanda del mercado.

85

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 E * ( p E , p A , I 1 , I 2 , n1 , n2 , t 1 , s2 ) =

(n1 [ I 1 − t ] + n2 [ I 2 + s]) (n1α 1 + n2α 2 ) p A −

2 p E 

=

2 p E 

(n1 I 1 + n2 I 2 − n1t + n2 s ) (n1α 1 + n2α 2 ) p A 2 p E 

−

2 p E 

Con  s = t   E * ( p E , p A , I 1 , I 2 , n1 , n2 ) =

(n1 I 1 + n2 I 2 ) (n1α 1 + n2α 2 ) p A 2 p E 

−

2 p E 

Por lo tanto encontramos que la introducción del impuesto y del subsidio no alteran la función de demanda del mercado por educación. Esto se debe a que la caída en la demanda por educación del grupo 1 es compensada en exactamente la misma magnitud por un aumento de la demanda del grupo 2. Análogamente, y dado que la función de demanda del mercado depende del ingreso total de la economía y no de su distribución se podría haber demostrado que la incorporación de un impuesto, en el que se transfiere de regreso a los consumidores un monto igual de recursos al recaudado, no altera el ingreso nacional por lo que no alterará la demanda del mercado:  I T  = n1 ( I 1 − t ) + n2 ( I 2 + s ) = n1 I 1 + n2 I 2 − n1t + n2 s = n1 I 1 + n2 I 2 *

 E  ( p E , p A , I , n1 , n2 ) =

 I T 

2 p E 

− (n1α 1 + n2α 2 )

 p A

2 p E 

e) Determine que tipo de bienes son la educación y los alimentos (normal o inferior). ∂ E i* ∂ Ai* 1 1 = >0 y = >0 ∂ I i 2 p E  ∂ I i 2 p A

Ambos bienes son bienes normales. f) Determine la elasticidad-ingreso de la educación y los alimentos. ¿Qué tipo de bienes son?  I i  I i ∂ E i*  I i 1 = = >1 η  E ,i = * ∂ I i  E i 2 p E   I i − α i p A  I i − α i p A

2 p E 

∂ Ai*  I i 1  I i  I i η  A,i = = = <1 * ∂ I i  Ai 2 p A  I i + α i p A  I i + α i p A

2 p A

La educación es un bien de lujo y los alimentos son un bien necesario.

86

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 54. “Bailongo” es el pub más reciente (y de moda) de Pelotillehue. Condorito decide llevar a Yayita el  próximo sábado al Bailongo para festejar su enésimo aniversario de pololeo (algunos opinólogos de la farándula especulan que también podría ser por el día de la madre, pero quien sabe). Condorito decide hacer un gasto extraordinario dicho fin de semana, destinando $10.000 para la especial ocasión. El día Sábado, al llegar al Bailongo Condorito se encuentra con que el pub ofrece dos distintos opciones de entrada: la primer consiste en pagar $2.500 por pareja (que por cierto es un  precio elevado en Pelotillehue) con un cobro de $1.500 por cada trago consumido. La segunda opción consiste en pagar $4.000 por la entrada (por pareja), $1.000 por los primeros 5 tragos y $500  por cada trago adicional (sin limite). Tenga en cuenta que Yayita no consume ninguna bebida alcohólica. a) Encuentre restricción presupuestaria que enfrenta Condorito con la primer opción de cobro.  b) Encuentre restricción presupuestaria pre supuestaria que enfrenta enfre nta Condorito con la segunda opción de cobro. c) Encuentre restricción presupuestaria que enfrenta Condorito con ambas opciones simultáneamente. Grafíquela. d) Condorito le pide a Ud. que le ayude a decidir ¿qué le aconsejaría? Solución: a) En general la restricción presupuestaria de Condorito debe mostrar que el gasto total de la salida de ser igual al presupuesto de la salida: 10.000 = Cargo Fijo Entrada +  pT T + Y  donde pT  es precio de cada trago, T es la cantidad de tragos que Condorito consumirá, y Y es el gasto en otros bienes como podrían ser bebidas o jugos para Yayita, comida, etc. Bajo el primer esquema de cobro la restricción es: 10.000 = 2.500 + 1.500T  + Y  Y  = 7.500 − 1.500T   para T  > 0

 b) En este caso el precio de los tragos depende de la cantidad consumida por lo que si el número de tragos adquiridos por Condorito es menor o igual a cinco, entonces tendremos la siguiente restricción presupuestaria: 10.000 = 4.000 + 1.000T  + Y  si 0 < T  ≤ 5 Y  = 6.000 - 1.000T  si 0 < T  ≤ 5

Cuando el número de tragos adquiridos por Condorito es mayor a cinco, entonces sabemos, por un a  parte la pendiente de la restricción presupuestaria ser igual a –500, y que además, la restricción debe  pasar por po r el punto de consumo C (T , Y ) = (5 , 1.000 ) . ¿Por qué? Porque si Condorito consume 5 tragos a un costo cada uno de $1.000, entonces habrá gastado $5.000 mas los $9.000 de la entrada, quedándole $1.000 para gastar en otros bienes. Así, la nueva restricción presupuestaria, para consumos mayores a cinco tragos debe cumplir con lo siguiente: Y  = α  − 500T  y C (T , Y ) = (5 , 1.000 ) 87

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor  α  = 3.500 Y  = 3.500 - 500T  si 5 < T 

Entonces, la restricción presupuestaria de Condorito sera: Y  = 6.000 - 1.000T  si 0 < T  ≤ 5  RP =  Y  = 3.500 - 500T  si 5 < T 

c) Gráficamente encontramos que la restricción presupuestaria global de Condorito, enfrentado a los distintos sistemas de pago será la envolvente de las tres rectas en el grafico. Es decir, la que le  permitiría alcanzar los mayores niveles de consumo de tragos y otros bienes. Para encontrar la restricción analíticamente lo único que nos falta es encontrar el punto a partir del cual Condorito  preferirá usar la segunda s egunda opción, es decir: Y  = 7.500 − 1.500T 

 ⇒ T  = 3

Y  = 6.000 − 1.000T 

Entonces la restricción global de Condorito es presupuestaria es: Y  = 7.500 - 1.500T  si 0 < T  ≤ 3   RP = Y  = 6.000 - 1.000T  si 3 < T  ≤ 5 Y  = 3.500 - 500T  si 5 < T  

Y 

7500 6000

3500 3000 1000 3

5

6

7

T 

d) Aun cuando no conocemos las preferencias exactas de Condorito, sí le podemos decir que si quiere consumir hasta tres tragos entonces le conviene la primera opción de pago, si lo que el quiere es consumir más de 3 tragos entonces debería elegir la segunda opción de pago.

88

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 55. Mr. Chanco Tinto es un turista Ingles que vine a pasar el verano a Chile. A Mr. Tinto le encantan los vinos y el queso y desea aprovisionarse de estos para los meses de su estadía. Con anticipación decide que va a gastar US$3.000 en queso y vino en cada mes de su estadía. Supongamos que el  precio promedio de una botella de 750cc es de US$3 y el de un kilo de queso es de US$6. Si las  preferencias de este “gringo” pueden ser especificadas con la siguiente función de utilidad U (v, q ) = Min(2v,4q ) , donde v es el numero de botellas de vino y q son kilos de queso, entonces responda las siguientes preguntas: a) Determine y grafique la restricción presupuestaria de Mr. Tinto y grafique una curva de indiferencia. Para Mr. Tinto, ¿qué tipo de bienes son el vino y el queso?  b) Encuentre el consumo optimo de vinos y queso que so de Mr. Tinto el primer mes. c) Si el precio de los vinos sube (producto de las mayores exportaciones de Chile, precisamente al Reino Unido, durante este verano) a US$6 por botella, ¿cuál será el consumo de Mr. Tinto el segundo mes? d) Determine el efecto ingreso y el efecto sustitución generado por este cambio en el precio el vino. Solución: a) La restricción presupuestaria de Mr. Tinto puede ser descrita como:

v

Restricción Presupuestaria

1000

3.000 = 3v + 6q v = 1.000 − 2q Para Mr. Tinto el vino y el queso son bienes perfectamente complementarios. Para graficar una curva de indiferencia necesitamos encontrar el ratio de vino y queso que refleja los puntos donde no hay ni vino ni queso en exceso (no dan utilidad adicional). De la función de utilidad sabemos que para obtener un determinado nivel de utilidad se deben consumir vino y quesos en las siguientes proporciones:

q

500

v

Curvas de Indiferencia v=2q

2v = 4q v = 2q

U 1

Por lo tanto óptimamente Mr. Tinto consumirá 2 botellas de vino por  cada kilo de queso.

U 0

q

 b) Si óptimamente,  presupuestaria:

v = 2q ,

reemplazando en la restricción

v = 1.000 − 2q

⇒ 2q = 1.000 − 2q

q* = 250 ⇒ * v = 500

89

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

c) Óptimamente Mr. Tinto siempre consume donde v = 2q . Entonces, nuevamente debemos reemplazar en la nueva restricción presupuestaria: 3.000 = 6v − 6q ⇒ v = 500 − q ⇒ 2q = 500 − q

q * = 166, 6 ⇒ * v = 333, 3

d) Dado que el vino y el queso son complementos perfectos son consumidos óptimamente en  proporciones fijas por lo que los precios no determinan la combinación relativa de dichos bienes sino tan solo la cantidad de estos (a través de su impacto sobre el ingreso real), por lo que cambios en el precio del vino o el queso no generan efecto sustitución, solo efecto ingreso. En conclusión, el cambio observado puede ser atribuido completamente al efecto ingreso. v 1000 v=2q

500

U 1

333

U 0

166 250

90

500

q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 56. Para Felipe no hay ida al cine sin bebidas y palomitas. Además, él tiene muy claro sus preferencias, y al ser encuestado responde rápidamente que sus preferencias por bebidas  B  (B) y paquetes de  palomitas ( P   P ) en el cine se pueden representar por:   P      3 

U ( B, P ) = Min B,

a) ¿Qué tipo de bienes son las bebidas y las palomitas palomitas para Felipe? Dibuje una curva de indiferencia entre bebidas y palomitas?  b) Si el ingreso nominal que Felipe dedica a ir al Cine es  I  pesos y los precios de las bebidas y  palomitas son  pb y  p p , respectivamente, encuentre las funciones de demanda de ambos bienes cuando Felipe va al Cine. c) Obtenga la función de utilidad indirecta indirecta de Felipe y determine si Felipe estará más o menos contento si el precio de las palomitas cae. d) Determine el grado de homogeneidad de la función de demanda de bebidas. Solución: a) Las bebidas y las palomitas son complementos perfectos para Felipe. Esto porque de su función de utilidad se desprende que debe comprar al menos tres paquetes de palomitas por cada bebida. Así, en forma optima siempre consumirá donde 3 B = P.  B

 B=P /3 U 1

U 0

 P 

 b) Sabemos que óptimamente Felipe siempre consumirá donde 3 B  B =  P , entonces, podemos sustituir  esta relación óptima entre bebidas y palomitas en la restricción presupuestaria, obteniendo:  I  =  pb B +  p p P =  pb B +  p p (3 B ) = B( pb + 3 p p )  B * ( pb , p p , I ) =

 I   pb + 3 p p

De la misma forma,   pb + 3 p p     P     I  =  pb B +  p p P =  pb   +  p p P = P ( pb / 3 +  p p ) = P    3 

 

3

 

91

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor   P * ( pb , p p , I ) =

3 I   pb + 3 p p

c) La función de utilidad indirecta esta dada por  *

*

*

V ( pb , p p , I ) = U ( B , P  ) = B =

V ( pb , p p , I ) =

P *

3

 I   pb + 3 p p

Podemos ver el cambio en la felicidad de Felipe frente a un cambio en el precio a través de: 3 I  ∂V  =− <0 ∂ p p ( pb + 3 p p )2 Es decir, una subida en el precio de las palomitas reducirá el bienestar o felicidad de Felipe. d) Homogeneidad de la función de demanda de bebidas:  B * ( pb , p p , I ) =

 B * (tpb , tp p , tI ) =

tI  tpb + 3(tp p )

=

 I   pb + 3 p p

tI  t ( pb + 3(tp p )

=

t 

 I 

t  ( pb + 3(tp p )

La función de demanda de palomitas es homogénea de grado cero.

92

= t 0

 I 

( p

b

+ 3(tp p )

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 57. Supongamos que las preferencias de Don José, que es un jubilado, pueden ser representadas de la siguiente forma: U  = M 1 / 2Y 1 / 2 , donde  M  representa los viajes en micro que Don José realiza mensualmente y Y es la cantidad de dinero gastado en otros bienes. Si la jubilación mensual de Don José es de $10.000 mensuales y el precio de cada pasaje de micro es de $400, responda las siguientes preguntas: a) Escriba la restricción presupuestaria de Don José. Determine la cantidad de viajes en micro realizados mensualmente, su gasto total en movilización colectiva y el gasto en otros bienes.  b) Si el precio de la movilización colectiva se duplica, ¿qué sucederá con Don José en términos de la cantidad de viajes en micro que realizara? ¿En términos del gasto en movilización colectiva? c) El gobierno desea compensar a los jubilados por incremento en precio de transporte colectivo. ¿Cuál debería ser el monto de la compensación monetaria para que Don José estuviera igual de feliz que antes de la subida en el precio? d) Alternativamente, el gobierno podría implementar un sistema de bonificación directa al transporte, entregando cupones o vales Don José que le permiten viajar gratis. ¿Cuántos cupones debería entregar el gobierno a Don José de tal forma que pudiera consumir la misma canasta que compraba antes del alza en los precios? Describa y grafique la restricción presupuestaria de Don José en este caso ¿Cuál será el consumo final de Don José y cómo se descompone? ¿Cuál su gasto en micros y en otros bienes? ¿Cuál será el costo para el gobierno de este programa? e) ¿Cuál de las alternativas preferiría Don José? ¿Por qué? Grafique ambas alternativas. Solución: a) La restricción presupuestaria de Don José es:  I  =  p M  M  + Y  10.000 = 400 M  + Y  ⇒ Y  = 10.000 − 400 M  Sabemos que Don José consumirá en el punto en que: UMg  M   p M 

=

UMg Y   pY 

⇒

1 M −1/ 2Y 1 / 2 2

400

=

1 M 1/ 2Y −1 / 2 2

1

⇒

Y  = 400 M 

Reemplazando en la restricción presupuestaria: 400 M  = 10.000 − 400 M  ⇒  M * = 12,5 ⇒ G M  =  p M  M  = 5.000 ⇒ Y * = 5.000  b) La demanda de viajes en micro esta dada por:  M ( p M  , I ) =

 I 

2 p M 

, por lo al subir el precio consumirá

y gastara de la siguiente forma:  M ** =

10.000 = 6,25 y G ** =  p M M  = 800 × 6,25 = 5.000 2(800)

c) Antes de la subida en el precio Don José obtenía una utilidad de: U * = M 1/ 2Y 1/ 2 = (12,5)1/ 2 (5.000)1/ 2 = 3.54 × 70.71 = 250

93

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

A través de la función de utilidad indirecta podemos encontrar el nivel de ingreso que requeriría Don José para que con los nuevos precios obtuviera este mismo nivel de satisfacción. Sabemos que las funciones de demanda de micros y otros bienes son:  M ( p M  , I ) =

 I 

2 p M 

I 

y Y ( p M  , I ) =

2

 por lo que podemos encontrar la función indirecta como 1/ 2

* 1/ 2

V ( p M  , I ) = ( M 

* 1/ 2

) (Y  )

1/ 2

   I      I      =  2  p  M       2 

=

 I  1/ 2 2 p M 

 por lo que el nivel de ingreso que genera un determinado nivel de utilidad U * , dados los precios de mercado es: 1/ 2  I  = 2 p M  V ( p M  , I )

ˆ = 2(800)1 / 2 250 = 14.142  I  Entonces, la compensación del gobierno, variación compensatoria, debería ser de $4.142: ˆ − I  = 14.142 - 10.000 = 4.142 VC  = I  d) Don José consumía 12,5 pasajes al mes, por lo que requerirá de 6,25 pasajes mensuales en cupones. La restricción presupuestaria de Don José se puede expresar  como: Y  = 10.000  RP =  Y  = 15.000 − 800 M 

si  M  ≤ 6,25 si  M  > 6,25

Y  15.000

10.000

Si consideramos el segundo tramo de la restricción  presupuestaria y lo usamos para estimar el consumo de Don José obtenemos:  M ( p M  , I ) =

15.000 = 9,375 2(800)

18.75

Don José usara los 6,25 cupones, pagara de su bolsillo 3,125 cupones. Su gasto en micros será de G *** =  p M  M C  = 800 × 3,125 = 2.500

y su gasto en otros bienes de $7.500. 94

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV El costo para el gobierno, asumiendo que el gobierno no puede negociar una rebaja del precio (para el gobierno) con los microbuseros será de: C C  = 6.25 × 800 = 5.000

e) Don José preferirá la alternativa de los cupones, pues esta alternativa, al permitir la posibilidad de consumir en la canasta inicial de consumo, no lo obliga a sustituir viajes en micro por otros bienes. Dado que de todas maneras el precio de los viajes en micro se encarece en términos relativos (con respeto a todos los otros bienes), Don José, al ser un consumidor racional, voluntariamente sustituirá  parte de su viajes por otros bienes, esta reducción en su consumo le permite liberar recursos para el consumo adicional de otros bienes, por lo que Don José podrá alcanzar niveles de bienestar  (utilidad) mayores con los cupones. Y  14.142 VC 

10.000

5.000

U **  U * =250

6,25

12,5

25

95

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

58. Ud. es contratado por una empresa productora de cereales para una asesoría económica. La empresa cuenta con estimaciones de elasticidad-precio de la demanda por cereales, la cual se estima que es igual a 3 (en valor absoluto). Suponga que la leche y los cereales son los únicos bienes que una familia consume. La leche representa el 95% del gasto en una familia típica. La elasticidad-ingreso de la leche es de 0,88. a) ¿Puede Ud. estimar la elasticidad-ingreso de la demanda por cereales? Interprete. Son los cereales un bien normal o inferior.  b) Un antiguo consultor en la empresa había dicho que una subida en el precio de la leche debería  beneficiar a la empresa pues la cantidad demandada de cereales subiría fuertemente ¿Qué opina Ud.? Explique. c) El mismo consultor dijo que la elasticidad de sustitución de cereales (elasticidad-precio de la demanda compensada de cereales) tenia que ser muy distinta a la elasticida-precio de la demanda de cereales porque los cereales son bienes de lujo con una elasticidad ingreso extremadamente alta. ¿Qué opina Ud.? Explique. Solución: a) Sabemos que por la ley de engel podemos escribir:  sC eC , I  + s L e L , I  = 1 Entonces tenemos que eC , I  = (1 − s L e L , I  ) / sC  = (1 − 0,95 * 0,88) / 0,05 = 3, 28 . Significa que por cada 1% que sube el ingreso la demanda por cereales aumenta en un 3,28%, por lo que los cereales son un bien normal.  b) Sabemos por la homogeneidad de las funciones de demanda: eC , P  + eC , P  + eC , I  = 0 C 

 L

Por lo que eC , P  = −eC , P  − eC , I  = −(−3) − 3,28 = −0, 28 . Lo cual significa que por cada 1% que sube el  precio de la leche la cantidad demandada de cereales cae en un 0,28%. El antiguo consultar estaba equivocado, al subir el precio de la leche la cantidad demandada cae, aunque en una menor proporción.  L

C 

c) Por la ecuación de Slutsky en elasticidades tenemos que: eC , P  = e sC , P  − sC eC , I  C 

C 

Entonces podemos escribir la elasticidad de sustitución como: e sC , P C  = eC , P C  + sC eC , I  = ( −3) + 0,05 * 3,28 = −2,84

En realidad dado que la los cereales tienen una baja participación en el gasto total (5%), el efecto ingreso es muy pequeño, por lo que la elasticidad-precio y la elasticidad de sustitución tienden a ser   parecidas. En el limite, cuando la participación en el gasto tiende a cero la elasticidad-precio y la elasticidad de sustitución tienden a ser iguales. Es cierto que mayores elasticidades ingreso hacer que la elasticidad-precio y la elasticidad de sustitución sean distintas, pero para un valor cualquiera de la elasticidad ingreso lo importante es la participación en el gasto de los cereales.

96

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 59. Como parte de un trabajo en el curso de econometría (curso que Ud. también tendrá en un futuro cercano) los alumnos están tratando de estimar la función de demanda de empanadas de una familia  promedio durante el año. El profesor del curso les indica que la función de demanda toma la siguiente forma: qe =  β 0 − β 1 pe − β 2 pe pb + β 3 I − β 4 I 2

con β k  > 0 ∀k 

Donde qe es la cantidad demandada de empandas al año por la familia promedio, pe es el precio en  pesos de las empanadas,  pb es el precio en pesos del litro de bebidas e  I  es el ingreso anual de la familia en millones de pesos. Sin embargo, ya que ha pasado tiempo desde que los estudiantes de econometría estuvieron en el curso de microeconomía le piden ayuda a Ud. para responder las siguientes preguntas: a)  b) c) d)

¿Para que rangos de los precios se cumple con la ley de la demanda? ¿Por qué? ¿Qué tipo de relación existe entre las empanadas y las bebidas? Explique y analice. ¿Qué tipo de bien es? ¿Normal o inferior? Explique. Grafique la curva de Engel. Mediante estimaciones econométricas, los estudiantes obtienen los siguientes valores para los  parámetros de la ecuación:  β 0 = 7. 000 ;  β 1 = 1,5 ;  β 2 = 0,04 ; β 3 = 2 ;  β 4 = 0,5 . Además, se sabe el  precio de las empanadas es $500, el del litro de bebidas es de $300 y el ingreso promedio de una familia es de $1 millón. Con los datos obtenidos por los estudiantes encuentre la elasticidad precio de la demanda por empanadas, la elasticidad precio cruzada, y la elasticidad ingreso. Interprételas. e) El profesor del curso de econometría les coloca un 1,0 en el trabajo. Desconcertados, los alumnos le  preguntan a Ud. que podría haber pasado. ¿Por qué cree Ud. que el profesor les colocó esa nota? (Pista: mire atentamente su respuesta del apartado anterior) Solución: a) La ley de la demanda se puede expresar como:  profesor:

∂q( p) < 0 . En el caso de la función entregada por el ∂ p

∂qe = − β 1 − β 2 pb . Así, dado que los coeficientes (betas) y los precios son positivos ∂ pe

entonces efectivamente se cumple con la ley de la demanda para cualquier rango de los precios.  b) Para determinar la relación entre empanadas y bebidas se debe encontrar:

∂qe . En este caso: ∂ pb

∂qe = − β 2 pe < 0 . Por lo tanto las bebidas y las empanadas son bienes complementarios, es decir, si ∂ pb

sube el precio de las bebidas cae la cantidad demandada de empanadas. Además, se puede ver que esta se hace mas fuerte a medida que el precio de las empanadas sube. c) Para determinar si el bien es normal o inferior se debe encontrar:

∂qe . En este caso: ∂ I 

∂qe =  β 3 − 2 β 4 I . Que puede ser positivo o negativo, por lo que el bien es un bien normal o inferior  ∂ pb

dependiendo del nivel de ingreso de la familia promedio. La curva de Engel muestra la relación entre cantidad demandad e ingreso, ceteris paribus. Entonces debemos asumir que los precios no 97

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

decir: qe =  β  + β 3 I − β 4 I 2 , donde  β  =  β 0 − β 1 pe − β 2 pe pb . Asumiendo que  β  < 0 (no necesariamente tiene que ser así), el nivel de ingreso a partir del cual el bien cambia de ser un bien normal a uno inferior se obtiene de la siguiente forma: cambian

es

qe

∂qe  β  =  β 3 − 2 β 4 I  = 0 ⇒  I ' = 3 . 2 β 4 ∂ I 

 I’= β 3/2 β 4  Normal 

 I 

 Inferior 

d) Con los información generada por los estudiantes se puede estimar la cantidad consumida de empanadas por una familia promedio es: qe =  β 0 − β 1 pe − β 2 pe pb + β 3 I − β 4 I 2 = 7.000 − (1,5 × 500 ) − (0,04 × 500 × 300 ) + (2 × 1) − (0,5 ×12 ) = 251,5

Con esto podemos estimar las elasticidades solicitadas: Elasticidad precio: eq , p = e

e

∂qe  pe  p 500 = (− β 1 − β 2 pb ) e = (− 1,5 − 0,04 × 300 ) = −26,8 . 251,5 ∂ pe qe qe

Esto significa que por cada 1% que varia el precio de las empanadas la cantidad demandada de empanadas varia un 26,8% en sentido opuesto. Elasticidad precio cruzada: eq , p = e

b

 p 300 ∂qe  pb = (− β 2 pe ) b = −(0,04 × 500 ) = −23,9 qe 251,5 ∂ pb qe

Esto significa que por cada 1% que varia el precio de las bebidas la cantidad demandada de empanadas varia un 23,9% en sentido opuesto. Elasticidad Ingreso: eq , I  = e

1 ∂qe  I   I  = ( β 3 I − β 4 I 2 ) = (2 ×1 − 0,5) = 0,004 qe 251,5 ∂ I  qe

Esto significa que por cada 1% que varia el ingreso de la familia promedio la cantidad demandada de empanadas varia un 0,004% en la misma dirección del cambio del ingreso. e) Claramente el profesor tenia toda la razón en colocar un uno los estudiantes del curso de econometria, ya que por la propiedad de homogeneidad de grado cero (en precios e ingreso) de las funciones de demanda se debe cumplir que: eqe , pe + eqe , pb + eqe , I  = 0

De los resultados del aparado anterior es evidente que la suma de las elasticidades es distinta de cero,  por lo que esto explica la nota obtenida por los estudiantes.

98

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 60. La empresa consultora Kronos realizó un estudio sobre la penetración de seguros de distinto tipo en Chile. La tabla adjunta muestra los resultados de dicho estudio, indicando el porcentaje de personas en cada grupo que tienen seguros de diversos tipos. Los seguros incluidos son de vida, automotriz, salud, para el hogar, y robo. El estudio se realizó entre personas de los estratos socioeconómicos ABC1, C2 y C3. Además, se descompuso la muestra por sexo y por tramos de edad (si Ud. no conoce las caracterizaciones socioeconómicas aquí usadas la información relevante para efectos de este análisis es que una persona del estrato ABC1 tiene un mayor ingreso que otra en el estrato C2, y a su vez mayor aún que una del grupo C3). Con la información contenida en la tabla responda las siguientes preguntas. Explicite los supuestos usados en sus respuestas. a) Plantee y encuentre cual sería elasticidad-edad de la probabilidad de demanda de los seguros de vida y automóviles entre los 18 y los 44 años de edad. Ayuda: esto significa estimar dos elasticidades-edad por  cada tipo de seguro.  b) ¿En cuál de los dos seguros antes mencionados la penetración responde más a los cambios en la edad? c) ¿Cómo es la elasticidad ingreso de la penetración de seguros? (Elasticidad de la probabilidad de compra frente a cambios en el ingreso) ¿Es la cobertura o penetración de los seguros un bien “normal” o “inferior”. Explique. ¿Cómo es la elasticidad ingreso de la penetración de no tener un seguro? Solución: a) La elasticidad edad de la probabilidad de demanda de los seguros se define como: ε  prob ,edad  =

∆ % Probabilidad de Demanda ∆ % Edad

La probabilidad de demanda en un grupo etario es la penetración porcentual del seguro en dicho grupo  por lo que el cambio en la probabilidad es el cambio en porcentaje de la población que tiene el seguro respectivo. Para obtener el cambio en la edad usaremos el punto medio del intervalo de edad: 24 + 18 = 21. El punto medio intervalo 25-34 es: 2 34 + 25 44 + 35 = 29,5 . Y el punto medio intervalo 35-44 es: e35− 44 = = 39, 5 e25−34 = 2 2

El punto medio intervalo 18-24es: e18− 24 =

99

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Así, las elasticidades son: Cambio de Edad 18-24 a 25-34

25-34 a 35-44

Seguros de Vida

Automóviles

20 − 10 1 1 10 = = 2,47 ε  pSV  ,e = (29,5 − 21) 0,4048 21 23 − 13 0,769 13 = = 1,9 ε  p A,1e = (29,5 − 21) 0,4048 21

34 − 20 0,7 2 20 = = 2,06 ε  pSV  ,e = (39,5 − 29,5) 0,339 29,5 30 − 23 0,304 23 ε  p A,2e = = = 0,9 (39,5 − 29,5) 0,339 29,5

 b) Los seguros de vida responden mas fuertemente a cambios en la edad, aumentando su penetración mas rápidamente que la de seguros automotrices en cualquiera de los niveles etarios considerados,  por lo que se puede decir que la gente, a medida que envejece tiende a comprar más (en términos relativos) seguros de vida que seguros para el automóvil. c) En general la elasticidad ingreso de la penetración de seguros se define como: ε  prob , I  =

∆ % Probabilidad de Demanda ∂ Prob  I  = ∆ % Ingreso ∂ I   Prob

Para todos los seguros (la excepción de los seguros de salud al movernos del estrato C3 al C2 y viceversa), el cambio en la probabilidad a medida que aumenta el ingreso es positivo ( lo que: ε  prob , I  =

∂ Prob > 0) por  ∂ I 

∂ Prob  I  > 0 . Entonces, todos los seguros son bienes “normales” en términos de su ∂  I  Prob 123 1 2 3 (+)

(+)

 penetración el mercado. A su vez, no tener seguro es un bien “inferior”, toda vez que a medida que aumenta el ingreso la  proporción de personas que no tiene seguro disminuye:ε  prob, I  =

∂ Prob  I  <0  I  Prob ∂ 123 1 2 3 (−)

100

(+)

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 61. El día Lunes 30 de mayo el Diario Estrategia publicó un artículo sobre la penetración de servicios de telecomunicaciones en el mercado chileno. El cuadro adjunto (reproducido del Diario) muestra la tasa de penetración (% de hogares en cada segmento) para tres servicios: telefonía fija, móvil e Internet. También se entrega información acerca del numero de compañías que proveen el servicio en telefonía fija. En base a esta información responda las siguientes preguntas explicitando los supuestos de su análisis: Penetración de Servicio Telecomunicaciones a) Encuentre la elasticidad de la Ingresos Penetración (%)  participación de mercado de la telefonía Compañías Hogar  Hogares Línea Línea móvil a cambio en el ingreso cuando Quintil (US$ mes) (miles) (1) Fijas Móvil Fija Internet nos movemos de estratos bajo a medios 10 3473 845 97 100 39 6 (2) y de medios a altos. Interprete. 9 1293  b) Indique si Internet es un bien normal o 8 906 7 698 inferior. Justifique. 1698 59 73 16 5 (2) 6 555 c) Utilizando el herramental de oferta y 5 466 demanda (y mostrándolo gráficamente), 4 399 intente explicar como es que se podrían 3 306 1689 28 10 1 1 2 230 explicar las diferencias en la 1 102  penetración de la telefonía fija entre los Total 4232 53 52 14 6 estratos de ingresos altos y bajos Reproducido de Estrategia, Lunes 30 de mayo, 2005. (1): Incluye conexiones de banda (presente un grafico para cada uno). ancha y estrecha. No incluyen accesos a través de infocentros y cibercafes. (2):

Solución:

Focalizado en algunos sectores geográficos. Fuente: Estructura de ingresos según encuesta CASEN 2003. Penetración por hogares asimilada a diferencias socioeconómicas por comunas del Censo 2002 y proyecciones de mercado a dic. 2003 en base a datos de Subtel y CTC

a) Encuentre la elasticidad de la participación de mercado de la telefonía móvil a cambio en el ingreso cuando nos movemos de estratos bajo a medios y de medios a altos. Interprete. La elasticidad-ingreso de la participación se define como: ε  Partcipación, Ingreso =

∆ % Partcipación ∆ % Ingreso

La participación es la penetración porcentual del servicio en cada grupo de ingresos. El cambio en la  participación es el cambio en porcentaje de la población que accede al servicio. Para obtener el cambio en el ingreso obtendremos el ingreso promedio de cada estrato: Ingreso promedio estrato Ingreso Alto:  I  A = 0,5(3.473) + 0,5(1.293) = 2. 383 Ingreso promedio estrato Ingreso Medio:  I  M  = 0,25(906) + 0,25(698) + 0,25(555) + 0,25(466) = 656, 25 Ingreso promedio estrato Ingreso Bajo:  I  B = 0,25(399) + 0,25(306) + 0,25(230) + 0,25(102) = 259, 25 Esto significa que al movernos del estrato de ingresos bajos al medio, por cada 1% que aumenta el ingreso del estrato, la penetración del servicio crece en un 0,72%. A su vez, al movernos del estrato de ingresos medios al de ingresos altos, por cada 1% que aumenta el ingreso del estrato, la penetración del servicio crece en un 0,24% (No es extraño que la elasticidad de penetración decaiga. Esto se debe a que la penetración tiene un techo, que es igual a 100%, por tanto llegará un punto en el cual no importa cuanto crezca el ingreso, la penetración del servicio no aumentará)

101

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Cambio de Ingreso Medio a Alto Bajo a Medio

Elasticidad-Ingreso Participación Telefonía Movil (97 − 590 59 0,64  MA = = 0,24 ε  P , I  = (2.383 − 656,25) 656,25 2,63 (59 − 28) 28 1,11  BM  ε  P  = = 0,72 , I  = (656,25 − 259,25) 259,25 1,53

 b) Indique si Internet es un bien normal o inferior. Justifique. Para que un bien sea normal se requiere que su elasticidad ingreso se positiva, es decir: η q , I  = Por lo tanto se requiere que

dq dI 

dq  I  dI  q

> 0.

> 0 , es decir, que la cantidad demandada de Internet aumente a medida

que aumenta el ingreso. De la Tabla podemos ver que a medida que aumenta el ingreso la penetración de Internet aumenta, es decir, un porcentaje mas alto de personas adquieren el servicio, esto quiere decir  que a mediad que el ingreso aumenta la cantidad demandada también lo hace, por lo tanto Internet es un  bien normal. c) Utilizando el herramental de oferta y demanda (y mostrándolo gráficamente), intente explicar como es que se podrían explicar las diferencias en la penetración de la telefonía fija entre los estratos de ingresos altos y bajos (presente un grafico para cada uno). Mercado Ingresos Altos

Mercado Ingresos Bajos

Para simplificar el análisis  p asumiéremos que ambos mercados  p  S  se comportan competitivamente y que todas las compañías que  participan en este mercado son relativamente similares en términos de tamaño y tecnologías. Como se observa en el grafico, el  S  mercado de ingresos altos esta  D  D caracterizado por una fuerte Q Q Q A Q B competencia (6 compañías), lo que hace que la función de oferta de servicios de telefonía fija sea más elástica que la existente en el mercado de ingresos bajos, donde sólo hay una compañía. Esto hace que la cantidad de equilibrio que se provee en el mercado de ingresos altos sea mucho más alta que la del mercado de ingresos bajos (a precios más bajos también),  justificando así la alta participación de este servicio.1 En el mercado de ingresos bajos, al existir una sola compañía, la oferta es mucho mas restringida, generando altos precios a los consumidores, con lo que se alcanzan bajas tasas de participación (existe una gran demanda insatisfecha).2  B

 A

 B

 A

 A

1

 B

Note que en el grafico del mercado de ingresos altos parecería que la participación no es 100%, ya que hay demanda insatisfecha, sin embargo no es así, ya que la curva de demanda muestra la demanda total de los hogares, y habrá hogares que tengan una demanda de más de una línea telefónica (por ejemplo, línea adicional para los hijos adolescentes y/o estudiantes), por lo que aun cuando la demanda total no esta siendo satisfecha, se puede estar alcanzando una penetración del 100%, ya que todos los hogares podrían tener al menos un teléfono funcionando. 2 La situación puede ser peor aun si asumimos que la única compañía que provee servicios en este segmento se comporta monopolicamente (sin regulación). En ese caso proveerá de menos líneas a precios más altos, con lo que se obtendrían  participaciones aun más bajas que las indicadas por el gráfico.

102

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 62. El siguiente articulo fue publicado en el Diario Financiero el día 10 de abril de 2006: a) Estime la elasticidad precio de la demanda  por pantallas plasma explicitando el o los supuestos se deben realizar para su estimación y las consideraciones adicionales que se deben tener para realizarla de la manera mas apropiada y  precisa posible. Interprete el resultado.  b) En base al resultado antes obtenido, ¿qué seria lo conveniente  para una empresa, subir o bajar el precio? Explique por qué. c) ¿Como puede explicar  Ud. el comportamiento de la cantidad de televisores LCD vendidos en relación al  precio? Señale al menos dos posibles causas. Muestre gráficamente.

Solución: a) Estime la elasticidad-precio de la demanda por pantallas plasma explicitando el o los supuestos se deben realizar para su estimación y las consideraciones adicionales que se deben tener para realizarla de la manera mas apropiada y precisa posible. Interprete el resultado. Para determinar la elasticidad-precio de la demanda debemos asumir el único elemento que esta cambiando en el análisis es el precio. Es decir, que los otros determinantes de la demanda por pantallas 103

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

 plasma se mantienen constantes, por ejemplo, ingreso, precio de los bienes sustitutos tales como LCD,  preferencias y expectativas. Para minimizar este efecto por ejemplo se comparan los datos de precios y ventas entre los meses de enero del 2005 y enero 2006, pues si se usará la información del mes de diciembre se estaría incorporando el efecto del cambio en las preferencias que ocurre durante la  Navidad. Entonces supuesto podemos calcular la elasticidad-precio de la demanda en el mes de enero de 2006 como: Elasticidad precio: eq , p =

∆ %q (q f  − qi ) qi (612 − 155) 155 3,013 = = = = −14,3 . (1,5 − 1,9) 1,9 ∆% p ( p f  −  pi )  pi − 0,21

Esto significa que por cada 1% que varia el precio de los televisores con pantalla de plasma la cantidad consumida varia en un 14% en sentido inverso.  b) En base al resultado antes obtenido, ¿qué seria lo conveniente para una empresa, subir o bajar el  precio? Explique por qué. Para una empresa en particular seria conveniente bajar el precio, pues la cantidad demandada responde mas que proporcionalmente al cambio en dicho precio, con lo cual se incrementan las ventas totales (en unidades y en valor). Esto se debe a que existe la relación entre cambios en el precio de un bien y el gasto que realizan los consumidores por él, está determinada por la elasticidad-precio de la demanda: ∂Gasto ∂( pq( p) ) ∂q = = q +  p = q(1 + eq , p ) ∂ p ∂ p ∂ p

En este caso, y dado que la elasticidad-precio de la demanda es –14,3, entonces existe una relación inversa entre gasto y precio, por lo que disminuir el precio significara que la empresa obtiene mayores ventas. c) ¿Como puede explicar Ud. el comportamiento de la cantidad de televisores LCD vendidos en relación al precio? Señale al menos dos posibles causas. Muestre gráficamente. De la información se desprende que durante enero el precio  promedio era de $728.000 y se vendieron 131 unidades. En agosto el precio promedió los $ 990.000 en agosto con ventas de 641 unidades (en general los precios en la segunda mitad del año fueron superiores, así como las cantidades vendidas). La explicación de esto se puede debe a cambios en la demanda del producto. Específicamente se debe haber   producido un incremento en la demanda por televisores LCD. Algunos factores que podrían estar determinando este incremento en la demanda son: •

 p LCD  D1

(M$)  D0

S 

990 728

131

641

Q

Un incremento en el ingreso disponible de los individuos (asumiendo que los televisores LCD son  bienes normales) • Un cambio en las preferencias por este tipo de televisores en vez de televisores convencionales. • Un cambio temporal en las preferencias de los individuos producto de la mayor demanda por  televisores este año para ver el mundial. 104

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 63. En base al siguiente artículo publicado en El Mercurio de Santiago, responda las siguientes  preguntas: a) Muestre gráficamente la situación del mercado de bienes durables de telecomunicaciones producto de la baja del dólar. Describa explicitando los supuestos del análisis.  b) Establezca como se puede determinar la variación de los precios de los bienes durables y obtenga su cambio para los bienes durables de telecomunicaciones. (Ayuda: enfoque en la relación que hay entre variaciones en el gasto, precio y cantidad) c) Indique como es la demanda de bienes durables en términos de su elasticidad e indique porque cree Ud. que es así.

Solución: a) Muestre gráficamente la situación del mercado de bienes durables de telecomunicaciones producto de la baja del dólar. Describa explicitando los supuestos del análisis.

105

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Asumiendo que no hay cambio en la demanda por bienes durables, que no hay oferta domestica de bienes durables de telecomunicaciones (todas las ventas son productos importados) y el mercado es perfectamente competitivo, entonces las bajas en el tipo de cambio ( E ) deben ser  traspasadas a los consumidores. Con ello las empresas bajan los precios y la cantidad demandada aumenta en un 60,5%. Al mismo tiempo las ventas totales (en $) aumentan en 38,1%.

 p

 p0

p0 = pw

E 0

 p1

 p1 = pw

E 1

∆G = 38,1

 DT (Q)

Q0

Q1

Q

60,5%

 b) Establezca como se puede determinar la variación de los  precios de los bienes durables y obtenga su cambio para los bienes durables de telecomunicaciones. (Ayuda: enfoque en la relación que hay entre variaciones en el gasto, precio y cantidad) La relación entre variaciones porcentuales en precio, cantidad y gasto se pueden establecer de la siguiente forma: G ( p, q ) =  pq dG =

∂G ∂G dp + dq ∂ p ∂q

⇒

dG = qdp +  pdq

∆%G = ∆% p + ∆ %q

⇒

⇒

dG G

=

qdp  pq

+

 pdq  pq

=

dp  p

+

dq q

∆ % p = ∆ %G − ∆ %q

Para el caso de los bienes durables de telecomunicaciones obtenemos que los precios promedio han caído un 22,4%: ∆% p = ∆ %G − ∆%q = 38,1 − 60,5 = −22,4 c) Indique como es la demanda de bienes durables en términos de su elasticidad e indique porque cree Ud. que es así. Sabemos que existe una relación entre cambios en los precios y gasto de los consumidores. Esta relación es función de la elasticidad precio de la demanda y se puede expresar como: ∂G = q (1 + ε qp ) ∂ p

En términos generales se observa que en los bienes durables existe una relación inversa entre precio y gasto. Al caer los precios aumenta el gasto en bienes durables. Para la expresión antes descrita tenemos: ∂G = q (1 + ε qp ) < 0 ⇒ ∂ p

(1 + ε  ) < 0 qp

⇒ ε qp > 1

Por lo tanto se requiere que la demanda por bienes durables tenga una demanda relativamente elástica. Una razón importante para que los consumidores posean demandas elásticas en los bienes durables es que dichos bienes tienden a tener precios que representan una parte importante del ingreso del 106

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV consumidor (piense en un refrigerador o un automóvil), esta hace que los consumidores sean muy sensibles al precio de dichos productos. 64. El día miércoles 2 de Octubre de 2006 fue publicado Gasto el artículo adjunto en el Diario Financiero. El Salsa de Ingreso artículo entrega información sobre el consumo de Tomates Promedio % de Salsas de Tomate por grupo socioeconómico (GSE) GSE (Anual) (Mensual) Hogares (Ver Tabla adjunta). Se sabe además que en la ABC1 66.653 30.828.000 5.9 clasificación socioeconómica allí usada los ingresos C2 53.400 11.712.000 14.9  promedio de cada grupo (aproximados) y el C3 53.200 5.904.000 20.8  porcentaje de la población en cada grupo son los D 58.000 3.336.000 34.3 siguientes (la tabla incorpora además los valores E 58.000 1.452.000 24.1 aproximados del gasto en salsa de tomates Fuente: LatinPanel, AIM. reportados por el articulo): g) Encuentre la participación del gasto de Salsa de Tomates por GSE. Grafique la relación entre participación e Ingreso. h) Con la información disponible indique que tipo de bien es la Salsa de Tomate. Grafique la curva de Engel (relación consumo-ingreso) i) ¿Qué puede decir de la elasticidad ingreso (η ) ?

Solución: a) Encuentre la participación del gasto de Salsa de Tomates por GSE. Grafique la relación entre  participación e Ingreso. GSE ABC1 C1 C3 D E

Gasto 66.653 53.400 53.200 58.000 58.000

Ingreso Participación 30.828.000 0.22% 11.712.000 0.46% 5.904.000 0.90% 3.336.000 1.74% 1.452.000 3.99%

Participacion Salsa de Tomates en el Gasto (%) 4.0% 3.0% 2.0% 1.0% 0.0% 0

4

8 12 16 20 24 28 32 Ingreso ($Millones/Año)

 b) Con la información disponible indique que tipo de bien es la Salsa de Tomate. Grafique la curva de Engel (relación consumo-ingreso)

107

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Para determinar si la salsa de tomates es un bien inferior o normal, debemos establecer la relación entre consumo e ingreso. Asumiendo que el precio pagado por cada GSE es el mismo, entonces tenemos que: ∂GST  ∂ ( pX ST  ) ∂ X  ∂ X ST  1 ∂GST  = =  p ST  ⇒ = ∂ I  ∂ I  ∂ I  ∂ I   p ∂ I 

Así, la relación entre ingreso y consumo puede ser  deducida (en su dirección pero no en su magnitud) de la relación entre ingreso y gasto. En este caso se  puede observar que un movimiento del ingreso que signifique pasar del GSE E al D no altera el consumo (el bien es neutro en relación al ingreso). Con aumentos del ingreso que nos muevan del GSE D al C3 el consumo cae, por lo que en dicho tramo del ingreso el bien es inferior. Incrementos adicionales del ingreso hacen que el consumo aumente mínimamente, por lo que el bien es levemente normal entre los GSE C3 y C2. Finalmente para ingresos superiores a $5,9 millones al año ($492.000 mensuales) la salsa de tomates se comporta como un bien normal.

Curva de Engel Salsa de Tomates 68 66    )   s   e 64    l    i   m62    (   o   m60   u   s 58   n   o    C 56 54 52 0

4

8 12 16 20 24 Ingreso ($Millones/Año)

28

32

c) ¿Qué puede decir de la elasticidad ingreso (η ) ? Sabemos que la elasticidad ingreso está definida como: η ST  =

∂ X ST   I  . ∂ I   pST 

Delos datos sabemos que hay una relación inversa entre participación en el gasto de la salsa e ingreso, es decir: ∂ sST  ∂( pST  X ST  ) = = ∂ I  ∂ I 

 pST 

∂ X ST   I −  pST  X ST   p  I  ∂ X ST   pST  X ST  ∂ I  = ST 2 − <0 2  I   I   I 2 ∂ I 

∂ sST   pST  X ST     I  ∂ X ST     = − 1 < 0 ∂ I   I 2   X ST  ∂ I   

Por lo tanto:  I  ∂ X ST   X ST  ∂ I 

−1 < 0 ⇒

 I  ∂ X ST   X ST  ∂I 

< 1 ⇒ η ST  < 1

Por lo tanto podemos decir que la elasticidad ingreso de la salsa de tomates es menor a uno. Por lo que la salsa de tomates es un bien necesario o inferior (esto confirma los resultados obtenidos arriba) 108

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 65. El día miércoles 9 de Mayo de 2007 El Mercurio de Santiago  publico un artículo acerca de la evolución del consumo de un grupo seleccionado de bienes durables. La tabla adjunta  presenta información sobre la variación (porcentual) de las ventas y precios durante el primer  trimestre de 2007. En base a esta información y utilizando los supuestos apropiados (u otra información complementaria que considere relevante) responda las siguientes preguntas: a) Estime la elasticidad-precio (ε qp ) de la demanda por televisores LCD-Plasma, explicando los supuestos necesarios para realizar  su estimación.  b) En base a los resultados obtenidos en el apartado anterior, ¿qué debería haber sucedido con el gasto de los consumidores en TV LCD-Plasma en el primer trimestre de 2007? c) Discuta si es posible que los supuestos necesarios para determinar la elasticidad-precio de la demanda se cumplan. d) En base a los datos presentados, indique si se cumple la ley de la demanda en el mercado de impresoras. Muestre gráficamente lo que podría estar ocurriendo en este mercado de acuerdo con dicha información. Justifique. Solución: a) Estime la elasticidad-precio (ε qp ) de la demanda por televisores LCD-Plasma, explicando los supuestos necesarios para realizar su estimación. Al calcular la elasticidad-precio de la demanda estamos p estimando cuanto cambia la cantidad demandada frente a una variación en el precio, ceteris paribus. Esto significa que estamos asumiendo una situación donde lo único que está cambiando es el precio. Por lo tanto para poder estimar la  p0  S 0 elasticidad-precio de la demanda debemos asumir que los  S 1 cambios en los precios son exógenos y que no hay cambios en  p1 otros determinantes de la demanda. Esto podría ocurrir si  D asumimos que la oferta de TV plasma es perfectamente elástica (dado que es un bien importado), y que esta experimenta una Q0 Q1 Q caída igual a la caída en el precio de mercado indicada en la tabla, al mismo tiempo que los precios de los bienes sustitutos y complementos, así como las preferencia y el ingreso de los consumidores no cambia. La elasticidad precio de la demanda seria igual a: 109

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor  ε qp =

∆ %q D 186,6 = = −4,16 ∆% p − 44,8

 b) En base a los resultados obtenidos en el apartado anterior, ¿qué debería haber sucedido con el gasto de los consumidores en TV LCD-Plasma en el primer trimestre de 2007? Sabemos que podemos relacionar el cambio en el gasto de los consumidores con la elasticidad-precio de la demanda (ceteris paribus) a través de la siguiente relación: ∂Gasto ∂( pq( p) ) ∂q = = q +  p = q(1 + eq , p ) ∂ p ∂ p ∂ p

Asumiendo que la elasticidad-precio de la demanda es efectivamente –4,16, entonces podemos establecer que existirá una relación inversa entre gasto y precio. Por lo que en el primer trimestre de 2007 al caer el precio de los TV LCD-Plasma debería haber subido el gasto en dichos bienes. c) Discuta si es posible que los supuestos necesarios para determinar la elasticidad-precio de la demanda se cumplan. Los supuestos necesarios para estimar la elasticidad-precio de la demanda no se cumplen con la información entregada, al no cumplirse el supuesto de ceteris paribus. De la tabla se observa que al mismo tiempo que está cambiando el precio de los TV LCD-Plasma, también cambian los precios de  bienes sustitutos y complementos (por ejemplo, televisores análogos y reproductores/grabadores DVD). Estos cambios, por si mismos impiden el correcto calculo de la elasticidad-precio de la demanda al invalidar el supuesto de ceteris paribus. Además, no tenemos claridad respecto a que está pasando con el número de consumidores en el mercado, así como sus preferencias y sus ingresos. Todas estas son variables que determinan la demanda del mercado, por lo que no podemos establecer a priori que no están cambiando. De hecho los mas probable es que todas ellas estén variando en el periodo analizado. Finalmente, tampoco tenemos información acerca de lo que está ocurriendo con la función de oferta de dichos bienes, por lo que nuevamente no podemos usar la información presentada para estimar  correctamente la elasticidad-precio de la demanda. d) En base a los datos presentados, indique si se cumple la ley de la demanda en el mercado de impresoras. Muestre gráficamente lo que podría estar ocurriendo en este mercado de acuerdo con dicha información. Justifique. La información entregada señala que se observó una caída en el  precio de las impresoras de 25,1% al mismo tiempo que se observó una disminución de las ventas físicas de un 14,9%. Aparentemente esto podría indicar que no se cumple la ley de la demanda en las impresoras, sin embargo no podemos llegar a dicha conclusión pues detrás de la ley de la demanda esta el supuesto de ceteris paribus. Por lo expresado en el apartado anterior con la información entregada no podemos asumir que dicho supuesto se está cumpliendo. Lo que puede estar ocurriendo  para observar las variaciones aquí descritas de los precios y las cantidades de equilibrio en el mercado de las impresoras es que está disminuyendo la demanda de estas, lo cual presiona a la baja 110

p  S   p0  p1  D0  D1 Q1

Q0

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV tanto el precio como la cantidad demandada. 66. La existencia de mercados de capitales con altas tasa de interés a los créditos perjudica a los consumidores. Comente. Grafique para justificar su respuesta. Falso. La existencia de mercados de capitales con altas tasa de interés a los créditos no perjudica a los consumidores, pues estos estarán mejor que sin la existencia de un mercado de capitales. Por supuesto que los consumidores, particularmente los que piden prestados, estarán mejor con tasas de interés más  bajas, pero sin importar cuan altas estén las tasas esta situación es preferible a la no existencia de un mercado de capitales. Gráficamente, los consumidores dispondrán de una restricción presupuestaria intertemporal superior con la existencia de un mercado de capitales, por lo sin importar su decisión final respecto a la participación en dicho mercado como ahorrante (panel izquierdo) o prestatario (panel derecho), nunca podrán estar peor (independientemente de la tasa de interés) que sin la existencia de dicho mercado.

A

C F 

 D

B

C F 

U 1 U 0

 D U  U 

C  P 

C  P 

67. En la actualidad Domingo recibe una mensualidad de $150.000. El papá de Domingo le ofrece darle $50.000 este mes y $260.000 el siguiente. Si Domingo puede prestar y pedir prestado a la tasa r, ¿bajo qué condiciones estar de acuerdo con el cambio que le propone su padre? Explique claramente estas condiciones. Domingo aceptara la formula de pago que genere el mayor presente (o valor actual) pues aquella formula asegura que el conjunto de posibilidades de consumo (restricción presupuestaria intertemporal) es el más grande, por lo que el consumo pede ser mayor en ambos periodos. El valor presente de la 150.000 formula de pago actual se puede representar como: VA1 = 150.000 + . 1 + r  El valor actual de la formula propuesta por el padre de Domingo es: VA2 = 50.000 +

260.000 . 1 + r 

Domingo elegirá seguir con el sistema actual solo si: VA1 > VA2 ⇒ 150.000 +

150.000 260.000 > 50.000 + ⇒ 1 + r  > 1.1 ⇒ r > 0.1 1 + r  1 + r 

Si la tasa de interés es mayor al 10% mensual entonces Domingo preferirá mantener el sistema actual. Si la tasa de interés fuera menor al 10% mensual entonces elegiría el cambio.

111

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

68. Perico tiene una dotación de 20 pesos en cada uno de los dos periodos. Puede pedir prestado a una tasa de interés del 100% y puede prestar dinero a una tasa del 0% (Nota: si la tasa de interés es de 0% por cada peso que ahorra en el primer periodo obtiene 1 peso en el segundo. Si la tasa de interés es de 100% por cada peso que pide prestado tiene que pagar 2) a) Grafique la restricción presupuestaria intertemporal de Perico.  b) Perico podría invertir su dinero en un proyecto que le proporcionaría m1 = 30 y m2 = 15 . Además de invertir en este proyecto, todavía puede pedir prestado al 100% de interés o prestarlo al 0%. Represente gráficamente (en el mismo grafico que el anterior) su nueva restricción presupuestaria intertemporal. ¿Estará Perico mas o menos satisfecho si invierte su dinero en este proyecto dadas las condiciones en las cuales puede pedir prestado? ¿O no hay posibilidades de establecerlo sin disponer de alguna información acerca de sus preferencias? c) Considere el proyecto alternativo (y excluyente) que le genera el siguiente flujo a Perico: m1 = 15 y m2 = 30 . Grafique su nueva restricción presupuestaria intertemporal asumiendo que se mantienen las tasas de interés. ¿Estará Perico mas o menos satisfecho si invierte su dinero en este proyecto dadas las condiciones en las cuales puede pedir prestado? Solución: a) Grafique la restricción presupuestaria intertemporal de Perico. El punto D representa la dotación inicial de Perico. Si sólo quiere consumir en el periodo 1 entonces podrá consumir su dotación inicial del periodo 1 (20) y 10 que podría pedir   prestado (tiene que devolver 20 en el segundo periodo, que es igual a su dotación es ese momento). Si sólo quisiera consumir  en el periodo 2 puede ahorrar los 20 del primer periodo (obtiene 20 en el segundo periodo por dichos ahorros) mas su dotación en el segundo periodo (en total 40).

c2 50

40

30

D

20

10

0

10

20

30

40

50

c1

 b) Perico podría invertir su dinero en un proyecto que le proporcionaría m1 = 30 y m2 = 15 . Además de invertir en este proyecto, todavía puede pedir prestado al 100% de interés o prestarlo al 0%. Represente gráficamente (en el mismo grafico que el anterior) su nueva restricción presupuestaria intertemporal. ¿Estará Perico mas o menos satisfecho si invierte su dinero en este proyecto dadas las condiciones en c502 las cuales puede pedir prestado? ¿O no hay posibilidades de establecerlo sin disponer de alguna información acerca de 40 sus preferencias? En este caso se puede decir sin ambigüedad que la alternativa de inversión es mejor que la dotación inicial ya que el conjunto de oportunidades de consumo que se generan incluye un número

30

20

10

112 0

10

20

30

40

50

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV mayor canastas (de consumo presente y futuro) que la restricción inicial. c) Considere el proyecto alternativo (y excluyente) que le genera el siguiente flujo a Perico: m1 = 15 y m2 = 30 . Grafique su nueva restricción presupuestaria intertemporal asumiendo que se mantienen las tasas de interés. ¿Estará Perico mas o menos satisfecho si invierte su dinero en este proyecto dadas las condiciones en las cuales puede pedir prestado? Al comparar este proyecto de inversión (proyecto 2) con el anterior (proyecto 1) es claro que Perico podría estar indiferente o peor con el proyecto 2 pero nunca mejor. Si Perico consume menos de $15 en el periodo 1 entonces va estar indiferente entre ambos proyectos, pero si consume mas de $15 entonces debería  preferir el proyecto 2. Ahora, si lo compramos con la dotación inicial vemos que Perico siempre podrá estar igual o mejor con el proyecto 2.  Nota sobre las Restricciones Presupuestarias Intertemporales ( RPI ): Sabemos que en términos generales la  RPI  en valor   presente se puede escribir como: m1 +

m2

1 + r 

= c1 +

c2

1 + r 

c2 50

 Restricción Inicial 

40

 Proyecto 2

30

 Proyecto 1

20

10

0

.

10

20

30

40

50

c1

En el caso inicial, letra (a), se puede escribir de la siguiente forma: 20 c = c1 + 2 ⇒ c2 = 40 − c1 . 1+ 0 1+ 0 20 c • Si el individuo pide prestado durante el primer periodo: 20 + = c1 + 2 ⇒ c2 = 60 − 2c1 . 1+1 1+1 •

Si el individuo ahorra durante el primer periodo: 20 +

Entonces: c2 = 40 − c1  RPI  =  c2 = 60 − 2c1

si c1 ≤ 20 si c1 > 20

113

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

69. Natalia esta tratando de decidir como distribuir el tiempo que dedica a estudiar microeconomía. El curso consta dos exámenes y su nota final será la correspondiente a la nota mínima de las obtenidas en los exámenes. Natalia decide dedicar 1000 minutos al estudio y desea obtener la mejor nota final  posible. Por cada 10 minutos de estudio dedicados a la preparación del primer examen obtendrá un  punto (nota máxima 100). Por cada 20 minutos de estudio dedicados a la preparación del segundo examen obtendrá un punto (si no estudia obtiene nota igual cero en cada una). a) Muestre la ecuación de la “restricción presupuestaria” de Natalia. Grafique. (Ayuda: grafique en el eje vertical la nota en la primera prueba y en el eje horizontal la nota de la segunda prueba)  b) Grafique al menos dos curvas de indiferencia de Natalia c) Encuentre la dedicación óptima de tiempo a cada examen y la nota final de Natalia en microeconomía Solución: a) Muestre la ecuación de la “restricción presupuestaria” de Natalia. Grafique. (Ayuda: grafique en el eje vertical la nota en la primera prueba y en el eje horizontal la nota de la segunda prueba) La “restricción presupuestaria” estará dada por:

ota 1 100

1000 = 10n1 + 20n2

75

 b) Grafique al menos dos curvas de indiferencia de  Natalia

 NF=min( N 1, N 2)

50 25

Ver gráfico.

25

50

75

100

ota 2

c) Encuentre la dedicación óptima de tiempo a cada examen y la nota final de Natalia en microeconomía Dado que las notas son complementos perfectos, la ecuación que describe la relación optima entre ambas notas esta dada por  n1 = n2 (la ecuación de la recta que une los vértices de la curva de indiferencia). Entonces sabemos que para obtener la nota mas alta posible se debe satisfacer  simultáneamente la “restricción presupuestaria” y la relación optima entre ambas notas. 1000 = 10n1 + 20n2  n1 = n2

n1 = 33,3 ⇒  n = 33,3   2

La nota final de Natalia es 33,3 de 100. Para obtener esta nota deberá dedicar 333,3 minutos de estudio al primer examen y 666.6 al segundo.

114

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 70. Al comienzo de septiembre el guatón Loyola debe decidir como se a comportará (no en términos de  peleas) durante el fin de semana del 18 de septiembre y el siguiente (el 18 chico). El guatón tiene una función de utilidad del consumo intertemporal que en cada periodo toma la siguiente forma: U (ci ) = ln ci . Donde i se refiere a una unidad de tiempo y c es el consumo de dicho periodo. Se sabe también que los bancos comerciales están prestando dinero a la tasa r  (la misma que pagan a sus depositantes), que la utilidad intertemporal del guatón Loyola es separable, que este tiene una tasa de impaciencia intertemporal igual a δ  , y que tendrá ingresos de m1 y m2 en ambas semanas. a) Plantee el problema de maximización de consumo intertemporal que enfrentara el guatón Loyola durante los dos fines de semana en cuestión. Explicite el o los supuestos (adicionales) requeridos  para realizar el análisis.  b) Encuentre los consumos óptimos durante ambos fines de semana. c) ¿Qué sucedería con el consumo durante el fin de semana del 18 si la tasa de interés sube? Demuestre y explique la intuición del resultado. ¿Encuentre una expresión para el ahorro ( s ) del guatón Loyola durante el primer periodo? ¿Qué le pasa al ahorro si tasa de impaciencia intertemporal igual ( δ  ) disminuye? Explique d) Determine el gasto del guatón Loyola el 18 de Septiembre si en cada semana el recibe un ingreso de $100 cada semana, la tasa de interés ( r ) es de 10% y su tasa de impaciencia intertemporal ( δ  ) es igual a 0.2. ¿Cuanto ahorra durante el primer fin de semana? Solución: a) Plantee el problema de maximización de consumo intertemporal que enfrentara el guatón Loyola durante los dos fines de semana en cuestión. Explicite el o los supuestos (adicionales) requeridos  para realizar el análisis. Suponiendo que el guatón Loyola muere inmediatamente después del 18 chico, o lo que es lo mismo, que al pedir prestado debe devolver el crédito en el segundo fin de semana, y que además el guatón no tiene ahorros previos, entonces su problema de maximización durante los dos fines de semana en 1 m c   cuestión es:  Max  L = ln c1 + ln c2 + λ m1 + 2 − c1 − 2  123 1 + δ  1 + r  1 + r   {c , c } 1

2

 b) Encuentre los consumos óptimos durante ambos fines de semana. ∂ L 1  = − λ  = 0  ∂c1 c1 (1 + r )  Las CPO del problema son: c1  ⇒ c2 = 1 λ  ∂ L ( 1 ) + δ  = − = 0 ∂c2 (1 + δ )c2 1 + r  

Reemplazando en la restricción presupuestaria intertemporal: m1 +

m2

(1 + r )

c1* =

= c1 +

c2

(1 + r )

⇒  M  = c1 +

 (1 + r )  c (1 + r )  (1 + δ ) 1 

1

(1 + δ )  m2  (1 + r )  m2  m1 + y c2* = m1 +    (2 + δ )  (1 + r )  (2 + δ )  (1 + r )  115

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

c) ¿Qué sucedería con el consumo durante el fin de semana del 18 si la tasa de interés sube? Demuestre y explique la intuición del resultado. ∂c1* (1 + δ ) m2 ∂c1*  Nos interesa encontrar  . Así, =− < 0 . Lo cual significa que si la tasa de interés ∂r  ∂r  (2 + δ ) (1 + r ) 2

sube el consumo del guatón Loyola disminuirá en el primer fin de semana. Esto se debe a que, el costo de oportunidad de consumir en el dicho periodo se incrementa (sin importar si el guatón Loyola es un  prestamista o prestatario) haciendo que sea más caro consumir en el primer fin de semana en relación al consumo del segundo fin de semana. Esto hace que todo consumidor racional sustituya consumo intertemporalmente, disminuyéndolo para el 18 y aumentándolo en el 18 chico. d) ¿Encuentre una expresión para el ahorro ( s ) del guatón Loyola durante el primer periodo? ¿Qué le  pasa al ahorro si tasa de impaciencia intertemporal igual (δ  ) disminuye? Explique El ahorro en el primer periodo se define como la diferencia entre el ingreso y el consumo (ambos en el  primer período):  s = m1 − c1  s = m1 −

 (1 + δ )  (1 + δ ) m2 (1 + δ )  m2  + = m m 1 1 − − (2 + δ )  1 (1 + r )   (2 + δ )  (2 + δ ) (1 + r )  s* =

(1 + δ ) m2 (2 + δ ) (2 + δ ) (1 + r ) m1

−

Frente a cambios en la tasa de impaciencia intertemporal igual ( δ  ) queremos determinar:  m1  m1 m2  ( 2 + δ ) − (1 + δ )  m2 ∂ s * =− − = − +   (1 + δ ) 2 (1 + r )(2 + δ ) 2  < 0 (1 + δ ) 2 (1 + r )  (2 + δ ) 2 ∂δ    

Esto significa que una disminución en la tasa de impaciencia intertemporal incrementa el ahorro en el  primer periodo. Esto porque el guatón Loyola es más paciente y por lo tanto (descuenta menos el consumo futuro), por lo que estará más dispuesto a consumir menos hoy (ahorra) para consumir más el mañana.

e) Determine el gasto del guatón Loyola el 18 de Septiembre si en cada semana el recibe un ingreso de $100 cada semana, la tasa de interés ( r ) es de 10% y su tasa de impaciencia intertemporal ( δ  ) es igual a 0.2. ¿Cuanto ahorra durante el primer fin de semana? 116

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c1* =

(1 + δ )  m2  (1,2)  100  m1 + 100 + = = (0,54 )190,9 = 104.13    (2 + δ )  (1 + r )  (2,2)  (1,1) 

c2* =

(1 + r )  m2  (1,1)  100  m1 + 100 + = = (0,5)190,9 = 95,45    (2 + δ )  (1 + r )  (2,2)  (1,1)   s = m1 − c1 = 100 − 104,13 = −4,13

Durante el primer fin de semana el ahorro es de $− 4,1. Esto quiere decir que Loyola se endeuda en $4,1 el primer fin de semana, lo cuales debe cancelar el segundo fin de semana. El desembolso efectivo que realizara la segunda semana será de: d  = s(1 + r ) = m2 − c2 = 4,13(1,1) = 4,54

117

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

Comente (use gráficos si es necesario para explicar su respuesta) 71. Considere las siguientes preferencias para dos canastas de consumo  A = ( X 1 A , X  A2 ) y  B = ( X 1 B , X  B2 ) , compuestas de los bienes  X 1 B y  X  B2 . Si las preferencias de un consumidor estas reprensadas por:  A f  B  si { X 1 A >  X 1 B } ó { X 1 A =  X 1 B  y  X  A2 >  X  B2 }  B f  A si { X  B >  X  A} 1 1  Grafique la familia de curvas de indiferencia del consumidor. ¿Dado qué tipo de consumidores o  bienes podríamos observar estas preferencias? Consumidores que solo valoran  X 1 y que no valoran  X 2 tendrán este tipo de preferencias y por lo tanto estas curvas de indiferencia. En general esto ocurrirá si el bien X 2 es un  bien inútil, es decir no proporciona utilidad alguna. No importa cuanto se disponga de él la utilidad es siempre la misma. Por ejemplo, para alguien que no disfruta de la opera, poseer entradas (aunque sean gratis) para escuchar  a Placido Domingo no significará un mayor bienestar, incluso si recibiera un pase liberado para toda temporada.

2

U 1

U 2

U 3

U 4

1

72. ¿Por qué los consumidores racionales eligen determinadas canastas de bienes habiendo otras que los  proporcionarían mayores niveles de bienestar? Los individuos eligen canastas que les proporcionan menores niveles de utilidad porque están restringidos a consumir donde sus medios les permiten, es decir, están limitados por el ingreso disponible. El ingreso disponible y los precios de los bienes (asumiendo que cada individuo es tomador de precios) determinan el conjunto de canastas que el individuo puede elegir. Por supuesto siempre existirán canastas que  proporcionan mayores niveles de utilidad o bienestar pero que están fuera del alcance del consumidor. En el grafico la canasta  B proporciona mayores niveles de utilidad por lo tanto siempre será preferida a la canasta  A, sin embargo este individuo es incapaz de adquirir la canasta B dado su ingreso y los precios.

Y 

 B U 1 U 0

73. Anita está analizando las curvas de indiferencia y las restricciones de presupuesto y tiene algunas dudas que necesita que usted, su mejor amigo(a), le responda: Ella cree que la tangencia entre las curvas de indiferencia y la restricción es condición necesaria y suficiente para alcanzar un máximo. ¿Qué opina usted al respecto? Para obtener la máxima utilidad hay que gastar toda la renta y la TMS  debe ser igual a la relación de  precios de los bienes (condiciones de primer orden). La tangencia es condición necesaria para un máximo pero no suficiente, esto puede apreciarse en el caso de los bienes sustitutos. Bajo el supuesto de TMS  decreciente la tangencia es condición necesaria y suficiente para alcanzar un máximo. Cuando no existe el supuesto de TMS decreciente las condiciones de primer orden no son suficientes y se requieren las de segundo orden. 118

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 74. Suponga que existen dos bienes, alimentos ( A) y basura tóxica ( BT ). Dibuje el mapa de curvas de indiferencia que reflejaría las preferencias de un individuo promedio por alimentos y basura tóxica. Explique porque toma esa determinada forma. Para un consumidor promedio la basura tóxica no proporciona  A U 3 U 2 U 1 un bienestar positivo, sino más bien reduce el bienestar. En economía se denomina a los productos que tiene esta característica como males (en vez de bienes). Para un determinado nivel de utilidad, por ejemplo U 1, un individuo  promedio para el cual la basura tóxica es un mal estará dispuesto a mantener más basura tóxica sólo si aumenta su  A2 consumo de alimentos de tal manera que el aumento en su  bienestar producto del mayor consumo de alimentos compensa  A1 la caída en su bienestar debido a la mayor cantidad de basura tóxica. Como resultado las curvas de indiferencia tienen  B1  B2 BT   pendiente positiva (pueden ser líneas rectas, cóncavas o convexas dependiendo cuanto le gustan los alimentos y cuanto rechaza la basura toxica). Para un nivel dado de alimentos, mayores niveles de basura tóxica reducen el  bienestar del consumidor promedio por lo que las curvas de indiferencia reflejan mayores niveles utilidad mientras más cerca están del eje que representa los alimentos (la utilidad en U 3 es mayor que en U 1) 75. Alicia consume solo chocolates y chicles. Alicia esta en el óptimo de su consumo cuando esta indiferente entre consumir un chocolate o un chicle más. Alicia (o cualquier consumidor racional) se encontrara en un optimo cuando este indiferente entre gastar  un peso adicional en chocolates o chicles, es decir cuando la utilidad marginal del ingreso es la misma  UM 

UM 

 

CHO CHI   y no cuando se esta indiferente entre un chocolate o un en cada uno de los bienes  =  P   P  CHI      CHO chicle ( UM CHO = UM CHI  ).

76. Cecilia esta consumiendo en un punto tal que su Tasa Marginal de Sustitución (TMS ) (de chocolates y agua mineral) es 2:1. Es decir, ella está dispuesta a sacrificar 2 botellas de agua mineral por un chocolate extra. Si el precio de los chocolates es $4 y una botella de agua mineral es de $1, Cecilia está en equilibrio. Sabemos que para que un consumidor este en equilibrio se tiene que cumplir que: TMS C , A = TMS C , A =

UMg  A UMg C  UMg  A UMg C 

=

 p A  pC 

=2>

. En el caso de Cecilia ella se encuentra consumiendo de tal forma que 1  p A = , por lo tanto no esta en una situación de equilibrio. Reordenando se 4  pC 

 puede ver que para Cecilia

UMg  A  p A

>

UMg C   pC 

, lo que significa que el último peso gastado en agua le esta

reportando una mayor utilidad que el último peso gastado en chocolates. Para que Cecilia se encuentre en un equilibrio debería aumentar el consumo de agua y disminuir el chocolates.

119

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

77. Un consumidor racional que tiene la posibilidad de consumir dos bienes,  A y  B, presenta una situación de equilibrio cuando consume 80 unidades de  A y 100 unidades de  B, dado un ingreso monetario  I . Se plantea que si el precio de  A bajara en 15%, la cantidad demandada aumentaría en un 18% ¿Cuál es la elasticidad de la demanda de A? ¿Aumenta o disminuye el gasto en A? Además, se plantea que el efecto sustitución resultante es una caída en el consumo de A de 5%. ¿Es posible una situación como esta? La elasticidad de la demanda se define como: eQ

 A , p A

=

∆ porcentual en Q A ∆ porcentual en  p A

Dado que el precio de A aumenta en un 15% y la cantidad demandada disminuye en un 18% entonces: eQ A , p A =

∆ porcentual en Q A − 18 = = −1,2 ∆ porcentual en  p A 15

La elasticidad de la demanda es 1,2, es decir, si disminuye el precio en un 1% la cantidad demandada aumenta en un 1,2%. En términos del gasto sabemos que: ∂ Gasto en A ∂( p AQ A ) = = Q A (1 + eQ ∂ p A ∂ p A

 A

, p A

)<0

Dado que eQ , p = −1, 2 . Entonces el gasto en A aumenta cuando el precio de A cae. En cuanto a que el efecto sustitución resultante es una caída en el consumo de A de 5%. Sabemos que:  A

 A

Efecto Total = Efecto Sustitución + Efecto Ingreso El efecto sustitución es siempre de signo opuesto al cambio en el precio, pues los individuos sustituyen los bienes más caros (relativamente) por bienes más baratos (relativamente). Por lo tanto, si el enunciado dice que al bajar el precio en un 15% se produce una caída en el consumo de  A de 5% entonces se esta señalando el efecto sustitución que debe ser positivo. En este caso, si el efecto sustitución fuera de positivo se estaría incurriendo en una contradicción teórica, por lo que esto no es  posible. 78. Los individuos cuya TMS es decreciente prefieren concentrar su consumo en vez de diversificarlo. Falso. Los individuos que cuya TMS  es decreciente  poseen curvas de indiferencia estrictamente convexas. Para ellos canastas más equilibradas generan niveles de utilidad superiores que los obtenidos por canastas concentradas. En el grafico podemos ver que cualquier  canasta que es una combinación convexa de las canastas  A y B (por ejemplo la canasta C ), es decir, canastas más  balanceadas que  A y  B, generarán niveles de utilidad mayores que aquellos que generan A y B.

Y  Y1

 B [X1,Y1]

αY0 + (1-α)Y1

C [αX0+(1-α)X1, αY0+(1-α)Y1]

U1>U0 U1  A [X0,Y0]

Y0

U0 X1

120

X0+(1-α)X1

α

X0

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 79. Para Elisa Coca-Cola y Pepsi son perfectos sustitutos. Además, lo siguiente ocurre para ella: UMg Coca − Cola  pCoca − Cola

=

UMg  Pepsi  p Pepsi

. Entonces la cantidad consumida de Coca-Cola y Pepsi está

indeterminada. Verdadero. Si el cuociente entre utilidades marginal y precios es el mismo para la Coca-Cola y la Pepsi entonces, eso significa CC  que por cada peso gastado a Elisa le da lo mismo que comprar, Coca-Cola o Pepsi, por lo que la cantidad definitiva de ambas  bebidas dependerá de elementos aleatorios como por ejemplo cual encuentre primero, o simplemente la primera que se le venga a la mente al momento de pedir la bebida. Gráficamente, la pendiente de la restricción presupuestaria coincide con la TMS  y que

UMg  Pepsi UMg Coca −Cola

=

 p Pepsi pCoca −Cola  pCoca −Cola

Sustitutos Perfectos  RP 

U 0

.  P 

80. El efecto ingreso y el efecto sustitución siempre actúan en la misma dirección. Falso, el efecto ingreso y el efecto sustitución pueden operar un la misma dirección pero también lo hacen en sentidos opuestos dependiendo de si el bien es normal o inferior. Sabemos que el efecto sustitución es siempre negativo, es decir, movimientos en el precio en un sentido van acompañados por  cambios en el precio en el sentido contrario. Lo que nos queda es discutir la dirección del efecto ingreso. En el caso de los bienes normales el efecto ingreso también es negativo. Esto quiere decir que un cambio en precio de un bien genera un efecto ingreso en sentido opuesto (por ejemplo un aumento en el precio reduce el ingreso real de los consumidores por lo que disminuye el consumo de mismo  bien) el cual se suma al efecto sustitución. Usando la ecuación de Slutzky podemos ver que en el caso de un bien normal se cumple que: (−)

64748 (−)

Bien  Normal (+)

}

}

∂d  X  ∂h X  ∂d  X  = − X  < 0  I 3 ∂ p X  ∂ p X  142∂4 {

Efecto Sustitución

Efecto Ingreso

Para el caso de un bien inferior el efecto ingreso es positivo. Esto quiere decir que un cambio en precio de un bien, genera un efecto ingreso en el mismo sentido que el movimiento del precio (por ejemplo un aumento en el precio reduce el ingreso real de los consumidores por lo que aumenta el consumo de mismo bien) que se contrapone al efecto sustitución. Usando la ecuación de Slutzky podemos ver que en el caso de un bien inferior se cumple que:

121

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor  (+)

64748 ( −)

Bien Inferior  ( −)

}

}

> ∂d  X  ∂h X  ∂d  X  = − X  = 0  I 3 ∂ p X  ∂ p X  142∂4 < Efecto Efecto {

Sustitución

Ingreso

Por lo que concluimos que el efecto ingreso y el efecto sustitución no siempre actúan en la misma dirección. 81. Muestre y explique gráficamente los efectos sustitución e ingreso para el caso de un bien inferior  que no es Giffen. Asumiendo que el precio de Y  no cambia y es igual a 1, un cambio en el precio de X (en el grafico una caída) la canasta optima de consumo se moverá desde A a  B. En este caso una caída en el precio de X   produce un aumento en la cantidad demandada de este por el consumidor. El efecto ingreso y el efecto sustitución se pueden descomponer de la siguiente forma: Efecto Sustitución: Movimiento de  A a C . Y  Cambio de la cantidad demanda de  X  debido a un cambio en los precios relativos. Al caer el  precio relativo de  X  el consumidor sustituye Y   por  X :  X 1 − X 0

U 1

U 2

 B  A

Efecto Ingreso: Movimiento de C  a  B. Cambio de la cantidad demanda de  X  debido a un aumento en el ingreso real producto de la caída en el precio de  X . Al ser un bien inferior la cantidad consumida de  X  tiene que caer al disminuir el ingreso:  X 2 − X 1 .

C 

 p0x  X 0

 X 2

 p1x  X 1

82. Muestre gráficamente el efecto ingreso y el efecto sustitución en un bien inferior frente a la caída del precio en el mismo bien. Explique la relación entre ambos efectos. Loa efectos sustitución e ingreso operan en sentido opuesto. Al caer el precio del bien por efecto sustitución el consumidor aumenta su consumo (paso de  A a  B). Debido a la caída del precio el ingreso real del consumidor aumenta (desplazamiento del la restricción  presupuestaria) por lo que el consumo cae dado que es un  bien inferior (movimiento de  B a C ). Este es el efecto ingreso.

Y 

C 

U 1

 B U 0  X 1  X 0 h X 

122

 X 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 83. Los efectos ingreso y sustitución están siempre presentes cuando hay cambios en el precio de un  bien. Falso. Para bienes complementarios el efecto total de un cambio en el precio se deriva por completo del efecto ingreso. Por el contrario, para  bienes sustitutos perfectos el efecto total es sólo resultado de la sustitución producto del cambio en los precios relativos. En el gráfico podemos ver el efecto total para bienes complementos  perfectos y sustitutos perfectos si el precio de X baja.

Y 

Complementos Perfectos

Y 

Sustitutos Perfectos

U 1

U 1 U 0 0  p X 

1  p X 

 pY 

 pY 

 ET = EI 

U 0  ET = ES 

84. Un bien inferior necesariamente tiene que ser un bien Giffen. Falso. De hecho lo que se debe cumplir es que un bien Giffen es necesariamente inferior pero no necesariamente un bien inferior es Giffen. Un bien Giffen es aquel en que las cantidades demandadas responden en la misma dirección que los movimientos en los precios. Esto se debe a que el bien es inferior y además a que el Efecto Ingreso (EI) generado por cambios en los precios es mas fuerte que el Efecto Sustitución (ES). Por ejemplo, si el precio de un bien Giffen sube por ES se debería consumir  menos. Sin embargo, la subida del precio reduce el ingreso real y si el bien es inferior debería aumentar  su consumo. Los dos efectos operan en dirección opuesta pero al ser un bien Giffen necesariamente tiene que ocurrir que el EI domina al de sustitución y la cantidad demandada cae. Sin embargo, no siempre tiene que ocurrir que el EI domina al ES, así un bien inferior no necesariamente es Giffen. 85. No tiene sentido preocuparse por la utilidad marginal si al final lo que importa es ser lo más feliz  posible, es decir la utilidad total. Falso. Aun cuando la utilidad total es lo más importante para un consumidor racional que busca maximizar su bienestar total, la forma para alcanzarlo implica tener en consideración la utilidad marginal del consumo de cada bien. Esto significa que dicho consumidor alcanzara su máximo  bienestar si consume de cada bien en un punto tal que la utilidad marginal del último peso gastado en cada bien es la misma (

UMg i  pi

=

UMg  j  p j

, para todo i, j). En dicho punto, el consumir no puede aumentar 

su utilidad total con ninguna reasignación del gasto, por lo que el logro del objetivo de maximización de  bienestar o felicidad necesariamente involucra considerar la utilidad marginal del consumo de cada  bien.

123

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

86. “Es evidente que el consumo de un producto genera una mayor utilidad marginal debe ser preferido a aquellos que generan una menor utilidad marginal. Entonces es claro que el primero debe ser  siempre el único que se consuma”. Comente. Si un producto presenta una mayor utilidad marginal que otro es claro que un consumidor enfrentado a la decisión de consumir uno u otro (y sin una restricción presupuestaria) elegiría siempre consumir  aquel bien que reporta una utilidad marginal mayor. Sin embargo, un consumidor que puede optar entre ambos bienes y que enfrenta una restricción presupuestaria deberá decidir no sólo en función de la utilidad marginal, sino que en función de la relación entre la utilidad marginal de la unidad consumida y su precio. Es decir, el factor de decisión será la utilidad marginal por peso gastado en el bien. Así, es  posible que un consumidor consuma ambos bienes, aun de aquel que otorga menor utilidad marginal. 87. Las curvas de Engel correspondientes a un mapa de curvas de indiferencia homotéticas son líneas rectas. Cuando las CI son homotéticas la TMS depende del cuociente entre las cantidades de los dos bienes, lo cual significa que para distintos niveles de ingreso y por lo tanto para distintos niveles de utilidad máxima a alcanzar, la relación de consumo entre los dos bienes no cambia (si no hay un cambio en los  precios relativos). El cambio proporcional en el consumo de ambos bienes se traduce en que las curvas de Engel son líneas rectas. 88. De acuerdo a la ley de Engel, Pancho plantea que para distintos niveles de ingreso nunca puede repetirse la cantidad consumida de un bien. Comente esta afirmación usando gráficos para confirmar  o no la afirmación. Pancho esta equivocado. El mismo bien puede ser consumido en las mismas cantidades a distintos niveles de ingreso. En el grafico, para niveles de ingreso menores a I d, el bien X es un  bien normal, por lo que a medida de crece el ingreso crece el consumo hasta alcanzar un máximo de  X d. Cuando el ingreso sigue aumentando el consumo puede empezar a caer, normalmente esto sucede porque los consumidores se cambian a bienes de mayor calidad o simplemente dejan de usar el bien. Así, a medida que el ingreso crece y el consumo cae se pueden alcanzar los mismos niveles de consumo que se observaban con ingresos menores.

Xd X0

I0

Id

I1

 I 

89. Una subida en el precio de un bien necesariamente disminuye la demanda del mismo y aumenta la de otros bienes. La afirmación es falsa en varios sentidos. Primero, un aumento en el precio de un bien no siempre disminuye la demanda del mismo bien. Aun cuando en la mayoría de los casos esto es cierto, podría ocurrir que el bien es Giffen. En ese caso el efecto ingreso (siendo un bien inferior) es tan fuerte que domina al efecto sustitución haciendo aumentar la demanda del mismo. En cuanto al impacto que el cambio en el precio del bien tiene sobre la demanda de otros bienes, esto dependerá de la relación de sustitución o complementariedad de los bienes. Si los bienes son sustitutos (como por ejemplo las gasolinas COPEC y ESSO) una subida en el precio de hará crecer la demanda de la otra. Por el contrario si los bienes son complementos (como por ejemplo la electricidad y las estufas eléctricas) entonces la subida en el precio de uno ellos disminuirá la demanda del otro. 124

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 90. Normalmente la demanda de productos asociados a una marca son más inelásticos que la demanda del producto en general. Por ejemplo, la demanda por “Leche Nido” es más inelástica que la de leche. Indique su acuerdo o desacuerdo con la afirmación, justifique en forma clara y completa. Desacuerdo con la afirmación. Esto se puede justificar con la capacidad de sustitución del producto. En condiciones normales cualquier producto especifico (por ejemplo al nivel de marcas) posee más sustitutos perfectos que el producto en general. Por ejemplo la leche Nido posee más sustitutos que la leche, esto provoca que ante un pequeño aumento en el precio de la leche Nido, los consumidores no solo tienen la opción de sustituir leche por otros bienes (te o café por ejemplo) sino también la pueden sustituir por otra marca, por ejemplo Lonco Leche. Así, las variaciones de la cantidad demandad de leche Nido son mayores que las de la demanda de leche (como producto genérico por lo tanto su demanda es más elástica.

125

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

91. La encuesta de presupuestos familiares realizada por Instituto Nacional de Estadísticas (INE) en 1996-1997 arroja la siguiente estructura de gastos (en porcentaje) por quintiles (el primer quintil incluye al 20% más pobre y el quintil 5 al 20% más rico de la población): Rubro Alimentos y Bebidas Transporte y Comunicaciones Equipamiento y Cuidado del Hogar

1 43,6 11,9 7,1

2 39,5 12,2 7,8

Quintil 3 35,6 13,8 8,1

4 29,6 14,5 9,3

5 18,4 17,8 10,4

¿Puede decir algo, a partir de estos datos, sobre la elasticidad ingreso de cada uno de estos rubros? Suponiendo que los bienes consumidos dentro de cada grupo y que los precios que los individuos de cada grupo enfrentan son los mismos, los datos de la tabla indican que Transporte y Comunicaciones y Equipamiento son bienes normales. Por otra parte, nada se puede decir de los Alimentos y Bebidas La elasticidad ingreso esta definida como: η  X , I  = De la tabla es claro que

∂ X   I  . ∂ I   X 

∂ X  > 0 , ya que a medida que aumenta el ingreso (nos movemos del quintil 1 al ∂ I 

5) aumenta la cantidad consumida de eso bienes. Esto se sabe porque la tabla entrega información sobre  participación en el gasto, es decir  s X  =

 p X  X   I 

.

Asumiendo que los precios están constantes a través de los estratos, la proporción gastada en el bien X  ( s x) aumenta si:  X   ds X  dX   I  1  1 dX   X    1 dX   X   ds X  =  p X   dX  − 2 dI  ⇒ =  p X   − 2>0 ⇒  − 2>0 ⇒ >1  I   I  dI   I  dI   I   I  dI   I  dI   X       

⇒ η  X , I  > 1 > 0 . Lo cual indica que la proporción gastada en el bien se incrementa sólo si este es un bien

normal y más específicamente un bien superior o de lujo. En el caso de los alimentos observamos que su participación en el gasto cae, es decir:  1 dX   X    1 dX   X   =  p X   − 2<0 ⇒  − 2 <0 dI   I  dI   I    I  dI   I  

ds X 

 dX 

dX   I 

< 1 ⇒ η  X , I  < 1 , es decir  Lo cual puede ocurrir si   < 0 , es decir si el bien es inferior, o si dI  dI   X    si el bien es normal pero con una elasticidad ingreso menor a uno. Por esto no se puede decir si los Alimentos y Bebidas son bienes normales o inferiores.

126

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 92. Si la demanda de un bien es elástica cuando el precio del bien sube el gasto se mantiene constante  pero cae la cantidad demandada del bien. Falso, si la demanda de un bien es elástica cuando el precio del bien sube el gasto y la cantidad demandada del bien caen. Para probar esto podemos relacionar cambios en el gasto de un bien con la elasticidad: ∂Gasto ∂( pq( p) ) ∂q = = q +  p = q(1 + eq , p ) ∂ p ∂ p ∂ p

Así, si la demanda es elástica (eq , p < −1), entonces

∂Gasto < 0 . Por lo que si sube el precio cae el gasto ∂ p

de los consumidores. 93. Un empresario tiene dos alternativas para determinar el precio del menú de su restaurante. La  primera incluye la colocación de un precio por cada plato y la segunda es aplicar un sistema “All you can eat” o “Tenedor Libre”, es decir, el cobro de un cargo único con el cual el cliente puede comer todo lo que quiera. a) Plantee las restricciones presupuestarias de un cliente promedio frente a ambos esquemas de  precios. Grafíquelas.  b) Explique, desde el punto de vista de los consumidores, cual alternativa es mejor. Discuta. (Ayuda:  para simplificar el análisis puede asumir que la comida y los otros bienes son bienes perfectamente complementarios). Solución: a) Para el esquema con precios  (pc), asumiendo que existe un solo  plato y que el individuo posee un ingreso  I  que distribuye entre comida y otros bienes (Y ):  I  =  pC C + Y .

Y 

Para el esquema de tenedor libre (All you can eat), con un valor T ,  bajo los mismos supuestos anteriores, la restricción presupuestaria toma la siguiente forma:  I  = T + Y .

 I -T 

 I 

Y = I - pcC 

Y = I -T 

 pc

C 

 b) Para clientes que tienen marcadas preferencias hacia la comida Y  U 1 entonces la alternativa de Tenedor Libre es mejor que la de pagar   I   por cada plato consumido. Al contrario para aquellos que U 0  prefieren privilegiar relativamente más el consumo de otros  bienes entonces es preferible la alternativa de pagar por el  I -T  consumo de cada plato.

U 1 U 0

 pc

C 

127

Microeconomía 1

Teoría del Consumidor 

94. Mensualmente Patricio gasta su ingreso disponible en gasolina (para salir a pasear en su auto) y otros bienes. Producto de las continuas alzas en el precio de la gasolina el gobierno decide entregar  un subsidio que rebaja el precio de esta (para dejar contentos a los sufridos automovilistas). Sin embargo, el gobierno decide que para financiar dicho subsidio incrementará el impuesto a la renta (incluyendo el de Patricio). El nuevo impuesto es tal que Patricio puede comprar la canasta inicial de consumo. Indique si Patricio terminará comprando más o menos gasolina que antes. ¿Por qué? (Ayuda: Muestre en un gráfico la restricción presupuestaria inicial con su canasta de consumo y la restricción presupuestaria con subsidio a la gasolina e impuesto a la renta) Patricio consumirá más gasolina. En el gráfico podemos ver  Y  que inicialmente consume G0 litros de bencina al mes a un U 0 U 1  precio  pG (punto de equilibrio e0 ). Al colocar el subsidio el T  gobierno lo que hace (asumiendo la efectividad del subsidio) es bajar el precio de la gasolina a un nivel  pGS  (gráficamente e la pendiente de la restricción presupuestaria disminuye). e Simultáneamente, la aplicación del impuesto a la renta disminuye el ingreso disponible de Patricio (supongamos en un monto T , el cual no tiene que ser el mismo para todos los  pG  pGS  contribuyentes). Según la información entregada la G1 G0 G combinación de subsidio e impuesto deja a Patricio con la  posibilidad de comprar la canasta inicial. Gráficamente la nueva restricción presupuestaria pasa por el punto e0 y tiene una pendiente  pGS  (asumiendo que no hay cambios en el nivel de precios de los otros bienes). Enfrentado a la nueva restricción presupuestaria Patricio consumirá más gasolina. Es decir, Patricio no consumirá en la porción de la RP que esta a la izquierda del punto inicial de consumo. Esto porque todas esas canastas estaban a disposición de Patricio inicialmente y no fueron elegidas (prefirió la canasta e0 ). Por lo tanto Patricio consumirá en la  porción de la RP que esta a derecha del punto e0 . Lo cual significa que consumirá mas gasolina y menos de otros bienes (el efecto sustitución producto del subsidio es más fuerte que el efecto ingreso del impuesto) 95. Los bancos y el sistema financiero son un mal necesario pues a pesar de que la gente pide prestado y ahorra la sociedad no se beneficia. Falso. Independientemente de las percepciones y apreciaciones personales, sabemos, a través de la teoría Microeconómica que la existencia de un sistema financiero que canaliza recursos entre ahorrantes y prestatarios incrementa el bienestar de la sociedad por dos razones: primero, permite transferir  consumo futuro a consumo presente, permitiendo que aquellos interesados en consumir hoy mas de lo que tienen, puedan hacerlo. Segundo, otorga un premio (la tasa de interés) a aquellos que desean ahorrar, es decir transferir consumo presente por consumo futuro. Ambas situaciones pueden mejorar el  bienestar de la sociedad por lo que la sociedad como un todo siempre esta mejor con un sistema financiero que sin él.

128

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 96. En base al articulo “Choose Choose Choose: the Toxic Effects of too many choices” analice como se relaciona con el supuesto de insaciabilidad (prefiere más que menos) del consumidor racional. El articulo señala como los consumidores se pueden ver perjudicados por una excesiva variedad de  productos (y como los distintos actores del sistema del retail pueden adaptar sus decisiones en diversas áreas para considerar dicho comportamiento). A primera vista esto puede parece contradictorio con el supuesto de insaciabilidad de los consumidores. Esto porque un mayor número de variedades aumentaría la probabilidad de que los consumidores se cansen en el proceso de búsqueda, se frustren y sufran de arrepentimiento post compra (post-purchase regret). Sin embargo, una lectura más detallada del artículo nos muestra que este se refiere al número de variedades (o bienes en el modelo) y no a el número de unidades de cada bien o variedad. El modelo comportamiento racional del consumidor se refiere a que el individuo prefiere más cantidad (no más variedades) dentro de cada producto consumido (variedad), por lo que no entra en conflicto con el articulo. En realidad, cada uno analiza distintas dimensiones de un fenómeno más general, el comportamiento del consumidor.

129

Microeconomía 1

130

Teoría de la Firma

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

III. TEORÍA DE LA FIRMA 97. Para buscar almejas a mano en la Bahía del Atardecer solo se necesita trabajo. El número total de almejas obtenidas por hora (q) viene dado por  q = 100  L , donde  L es la cantidad de trabajo por  hora. a) Represente gráficamente la relación entre q y L.  b) ¿Cuál es la productividad media del trabajo en la Bahía del Atardecer? Represente Gráficamente esta relación y muestre que  PMe L disminuye cuando aumenta la cantidad de trabajo. c) Demuestre que la productividad marginal del trabajo en la Bahía del Atardecer viene dada  por  PMg  L = 50 /  L . Represente gráficamente esta relación y demuestre que  PMg  L < PMe L  para todos los valores de L. Explique por qué. Solución: a) Represente gráficamente la relación entre q y L. El siguiente grafico muestra la relación entre producción y trabajo: q

140 120 100 80 60 40 20 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Trabajo ( L )

 b) ¿Cuál es la productividad media del trabajo en la Bahía del Atardecer? Represente Gráficamente esta relación y muestre que  PMe L disminuye cuando aumenta la cantidad de trabajo.  PMe L =

q  L

=

100  L  L

=

100  L

131

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 PMe  PMg 

700 600 500 400 300

 PMe

200 100

 PMg 

0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Trabajo ( L )

Para mostrar que el producto medio disminuye con la cantidad de trabajo, encontramos el cambio en el 50 ∂ PMe L = − 3 2 < 0. Al ser esta derivada siempre  producto medio cuando cambia el nivel de trabajo: ∂ L  L negativa nos indica que el producto medio siempre disminuye a medida que aumenta el trabajo c) Demuestre que la productividad marginal del trabajo en la Bahía del Atardecer viene dada por   PMg  L = 50 /  L . Represente gráficamente esta relación y demuestre que  PMg  L < PMe L para todos los valores de L. Explique por qué. El producto marginal se obtiene de la siguiente forma (ver grafico arriba):  PMg  L =

∂q 1 50 = 100  L−1 2 = 2 ∂ L  L

¿Bajo que condiciones el producto medio es siempre mayor que el producto marginal?  PMe L > PMg  L

100  L

>

50  L

100 > 50 Por lo tanto el producto medio es siempre mayor que el producto marginal (para cualquier nivel de trabajo). Para que el producto medio disminuya el producto marginal tiene que disminuir y además tiene que ser menor que el medio. Esto es así porque por definición el promedio incluye todas las observaciones. Al agregar una nueva observación (o unidad de trabajo), la única forma de que el  promedio de todas las unidades caiga (incluida la última), es que la ultima unidad incluida tenga un valor por debajo del promedio. Ejemplo: en el exámen final del curso la única forma de bajar el  promedio final es obteniendo una nota por debajo del promedio de presentación al examen.

132

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 98. La empresa Césped Elegante utiliza dos tamaños de cortacésped. Los más pequeños tienen una hoja de 24 pulgadas y se utilizan en el césped que tiene muchos árboles y obstáculos. Los mayores son exactamente el doble de los pequeños y se utilizan en los espacios abiertos en los que no es tan difícil maniobrar. Las dos funciones de producción de esta empresa son: Producción por  hora (m2) 8.000 5.000

Cortacéspedes Grandes Cortacéspedes Pequeños

Capital (cortacéspedes de 24 pulg.) 2 1

Trabajo 1 1

a) Represente gráficamente la isocuanta q = 40. 000 m2 correspondientes a la primera función de  producción. ¿Qué cantidad de  K  y  L se utilizaría de estos factores se combinaran sin despilfarro alguno?  b) Responda a la primera pregunta utilizando la segunda función. c) ¿Qué cantidad de K  y  L se utilizaría sin despilfarro alguno si la mitad del césped de 40.000 m2 se cortara por medio del método de la primera función de producción y la mitad por medio del método de la segunda? ¿Qué cantidad de K  y  L se utilizaría si tres cuartas partes del césped se cortaran con el primer método y una cuarta parte con el segundo método? ¿Qué significa hablar de fracciones de  K y L? d) Partiendo de las observaciones de la parte c) trace una isocuanta q = 40. 000 correspondiente a las funciones combinadas de producción. Solución: a) Represente gráficamente la isocuanta q = 40. 000 m2 correspondientes a la primera función de  producción. ¿Qué cantidad de  K  y  L se utilizaría de estos factores se combinaran sin despilfarro alguno? De la tabla inferimos que por la tecnología de producción las cortadoras de pasto y los trabajadores son factores de producción perfectamente complementarios. En general, las funciones de producción con este tipo de factores de producción se pueden escribir de la siguiente forma: q = min(α  K , β L ) , donde α  y β  son parámetros que me indican la productividad de los factores (sin despilfarro). Por ejemplo, de la tabla sabemos que para producir (cortar) 8.000 m2 con la primera función de producción se deben usar al menos 2 unidades de capital y un trabajador. Por lo tanto las productividades de los factores  pueden ser obtenidas de la siguiente forma: Cortacéspedes Grandes 8.000 q  K  = = 4.000 y q = α G K G ⇒ α G =  K=2L 2  K G q =  β G LG ⇒ β G =

q  LG

=

8.000 = 8.000 1

Con esta información podemos escribir la primera función de  producción de la siguiente forma:

q=40.000

10

5

q = min(4.000 K ,8.000 L) 5 2

Para producir sin despilfarro 40.000 m se requieren:

10

 L

133

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

q = α G K G ⇒  K G =

q =  β G LG ⇒  LG =

q α G q  β G

=

40.000

=

40.000 =5 8.000

4.000

= 10

Se puede observar del grafico que para producir óptimamente (sin despilfarro) se deben usar el capital y el trabajo en la siguiente proporción: α G K G =  β G LG ⇒  K G =

 β G α G

 LG =

8.000

 LG ⇒  K G = 2 LG 4.000

 b) Responda a la primera pregunta utilizando la segunda función. Siguiendo el mismo procedimiento que en a) podemos obtener los parámetros de productividad de los factores (sin despilfarro): q = α  P  K  P  ⇒ α  P  =

q  K  P 

=

5.000 5.000 q = 5.000 y q =  β  P  L P  ⇒ β  P  = = = 5.000 1 1  L P 

Con esta información podemos escribir la primera función de  producción de la siguiente forma:

Cortacéspedes Pequeños  K 

q = min(5.000 K ,5.000 L)

Para producir sin despilfarro 40.000 m2 se requieren:

 K=L

10

q=40.000

8

q = α  P  K  P  ⇒  K  P  =

q =  β  P  L P  ⇒  L P  =

q α  P  q

 β  P 

=

40.000 =8 5.000

=

40.000 5.000

=8

5

5

8

10

 L

Se puede observar del grafico que para producir óptimamente (sin despilfarro) se deben usar el capital y el trabajo en la siguiente proporción: α  P  K  P  =  β  P  L P  ⇒  K  P  =

5.000  β  P   L P  =  L P  ⇒  K  P  = L P  5.000 α  P 

c) ¿Qué cantidad de K  y  L se utilizaría sin despilfarro alguno si la mitad del césped de 40.000 m2 se cortara por medio del método de la primera función de producción y la mitad por medio del método de la segunda? ¿Qué cantidad de K  y  L se utilizaría si tres cuartas partes del césped se cortaran con el primer método y una cuarta parte con el segundo método? ¿Qué significa hablar de fracciones de  K y L? 134

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Tenemos que vamos a producir de la siguiente manera:

qG = 20.000 usando CG q P  = 20.000 usando CP

qT  = 40.000 = 

Usando las Cortadoras Grandes:  K G =

qG α G

=

20.000 4.000

= 5 y  LG =

qG  β G

=

20.000 8.000

= 2,5

Usando las Cortadoras Pequeñas:  K  P  =

q P  α  P 

=

20.000 5.000

= 4 y  L P  =

q P   β  P 

=

20.000

=4

5.000

Entonces para cortar 40.000 m2 sin despilfarro se utilizaran:  K T  = K G + K P  = 5 + 4 = 9 y  LT  = LG + LP  = 2,5 + 4 = 6,5

Ahora si queremos producir de la siguiente manera:

qG = 30.000 usando CG q P  = 10.000 usando CP

qT  = 40.000 = 

Usando las Cortadoras Grandes:  K G =

qG α G

=

30.000 4.000

= 7,5 y  LG =

qG  β G

=

30.000 8.000

= 3,75

Usando las Cortadoras Pequeñas:  K  P  =

q P  α  P 

=

10.000 10.000 q = 2 y  L P  =  P  = =2 5.000  β  P  5.000

Entonces para cortar 40.000 m2 sin despilfarro se utilizaran:  K T  = K G + K P  = 7,5 + 2 = 9,5 y  LT  = LG + LP  = 3,75 + 2 = 5,75

La divisibilidad del trabajo y el capital es un supuesto que usamos para poder aplicar el instrumental matemático en el análisis del problema. En realidad sabemos que muchos factores no son perfectamente divisibles, por ejemplo, un edificio o un camión. También tenemos factores que son divisibles (en teoría), por ejemplo la Tierra. Sin embargo, podemos pensar que las unidades de medida son las nos están obligando al uso de decimales. Por ejemplo, si tomamos los requerimientos en miles de unidades, una buena parte de los decimales se podría eliminar (en este caso todos). En resumen, el usar fracciones no invalida las conclusiones del modelo aun cuando en algunos casos este supuesto puede que no sea muy realista. 135

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

d) Partiendo P artiendo de las observaciones de la parte c) trace una isocuanta q = 40. 000 correspondiente a las funciones combinadas de producción. Para trazar la isocuanta (sin despilfarro) debemos darnos cuanto que podemos cortar esa cantidad de  pasto con infinitas combinaciones de las técnicas de producción. En general podremos escribir la función de producción que combina las dos técnicas a través de una combinación convexa de ellas: q = δ  min(4.000 K ,8.000 L) + (1 − δ ) min(5.000 K ,5.000 L)

0 < δ  < 1

El parámetro delta ( δ  ) muestra en que proporción se usa cada técnica. En la letra b) estos fueron un medio y tres cuartos. Así, la cantidad total de capital y trabajo a usar para cualquier valor  δ  es:  K T  = δ  K G + (1 − δ ) K  P  = δ   K T  = δ   K T  =

q

4.000 q

+

+ (1 − δ ) δ q

5.000 20.000  K T  = 8 + 2δ 

q α G

q

+ (1 − δ )

α  P 

=

5.000 40.000

=

q

5.000

+

δ 40.000

20.000

= 8 + 2δ 

Análogamente:  LT  = δ  LG + (1 − δ ) L P  = δ 

q  β G

+ (1 − δ )

q  β  P 

40.000 40.000 + (1 − δ ) = 5δ  + 8 − 8δ  8.000 5.000  LT  = 8 − 3δ   LT  = δ 

Por ejemplo, si δ  = 0,5 , entonces:  K T  = 9 y  LT  = 6,5 . Lo que coincide con el resultado obtenido anteriormente. Gráficamente:

 K=2L

 K 

 K=L

10 8

Isocuanta con  producción combinada sin despilfarro (q=40.000)

5

5

8

10

 L

La ecuación de la isocuanta es:  K  =

136

40 2 −  L 3 3

 para 5 ≤ L ≤ 8

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 99. Una empresa de jardinería opera con un factor productivo, trabajo ( L  L), y un insumo, agua ( A  A). El trabajo esta medido en horas hombre y el agua en metros cúbicos. La función de producción de metros cuadrados que la empresa riega esta dado por  q ( A, L) = 2 AL − 4 A . a) Determine la combinación optima de insumos, insumos, si la empresa cuenta con un presupuesto de $40, el salario de los trabajadores es de $4 por hora y el costo del agua de $8 por metro cúbico.  b) Un cambio tecnológico permite que la función de producción sea q ( A, L) = 2 A 2 L − 4 A . ¿Qué sucede con la productividad del factor y que con la del insumo? ¿Aumentan o disminuyen? c) Operando en condiciones de corto plazo luego del cambio tecnológico, L  L=6, determine las funciones de PMe y PMg en los rangos de A económicamente relevantes. Muestre gráficamente. d) Partiendo de su respuesta en a) señale en cuanto aumentaría la producción si se usara un metro metro cúbico adicional de agua una vez que se produce el cambio tecnológico. Solución: a) Determine la combinación optima de insumos, insumos, si la empresa cuenta con un presupuesto de $40, el salario de los trabajadores es de $4 por hora y el costo del agua de $8 por metro cúbico. En estas condiciones la empresa buscar maximizar el producto que puede obtener dada su restricción de costos. Sabemos que óptimamente la empresa elegirá las cantidades del insumo y del factor de tal manera que: TMST  A, L =

 PMg  L  PMg  A

=

 p L  p A

Dada la tecnología de la firma tenemos que,

∂q  = 2 L − 4  PMg  A 2 L − 4 8  ∂ A = =  ⇒ TMST  A, L = ∂q 2 4  PMg   A  L  PMg  L = = 2 A  ∂ L   PMg  A =

Obtenemos entonces que  L = 2 A + 2 . Reemplazando en la restricción de costos, CT ( L, A) =  p L L +  p A A

40 = 4 L + 8 A 40 = (2 A + 2) + 8 A  A* = 2  L* = 6

 b) Un cambio tecnológico permite que la función de producción sea q ( A, L) = 2 A 2 L − 4 A . ¿Qué sucede con la productividad del factor y que con la del insumo? ¿Aumentan o disminuyen? Con q ( A, L) = 2 A2 L − 4 A , tenemos que la productividades marginales son:  PMg  A1 = 4 AL − 4 y  PMg  L1 = 2 A2 . Para estudiar si aumentaron o disminuyeron debemos compararlas con las

137

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 productividades iniciales. En particular, analizaremos bajo que condiciones las productividades del factor y el insumo aumentaran:  PMg  L1 > PMg  L0  PMg  A1 > PMg  A0

⇒ 2 A2 > 2 A ⇒ A > 1

⇒ 4 AL − 4 > 2 L − 4 ⇒ A > 0,5

En ambos casos, las condiciones están referidas al valor del insumo. Si el uso del insumo es mayor a 1 metro cúbico, el cambio tecnológico aumenta las productividades de ambos. Si el uso del insumo esta entre 0,5 y 1 metro cúbico, entonces el cambio tecnológico beneficia al insumo y no al factor. Finalmente, si el uso de agua es inferior a 0,5 metros cúbicos entonces ninguno de ellos ve aumentada su productividad marginal. c) Operando en condiciones de corto plazo luego del cambio tecnológico, L  L=6, determine las funciones de PMe y PMg en los rangos de A económicamente relevantes. Muestre gráficamente. Con q( A, L) = 2 A2 L − 4 A y  L=6, tenemos que las funciones de  producto medio y marginal son:

 PMe  PMg 

 PMg   PMe

 PMe A = 12 A − 4 y  PMg  A = 24 A − 4

Los rangos del  PMe y  PMg  económicamente relevantes son aquellos en que ambos cumplen la siguiente condición:  PMe A ∧ PMeA > 0 1/6 1/3

q

d) Partiendo de su respuesta en a) señale en cuanto aumentaría la producción si se usara un metro metro cúbico adicional de agua una vez que se produce el cambio tecnológico. Inicialmente se ocupan 6 trabajadores y dos metros cúbicos de agua. Con el cambio tecnológico el  producto marginal del agua es  PMg  A ( L = 6) = 24 A − 4 . Así, el producto marginal del agua en el punto optimo inicial es  PMg  A ( L = 6, A = 2) = 44 . Es decir, con un metro cúbico adicional de agua se podrían regar 44 metros cuadrados en estas condiciones tecnológicas y de producción.

138

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 100. Una empresa empresa produce Remolinos Remolinos de Papel con la la siguiente siguiente función de producción mensual: mensual: 1/ 2 1/ 2 q ( K , L) = 2 K  L . A corto plazo, la cantidad de equipo de capital que la empresa usa esta fija e igual a  K  = 100 . En el mercado existen inicialmente 5 empresas de remolinos idénticas, que conforman un mercado perfectamente competitivo. La demanda por remolinos de papel se puede expresar con la función Q D ( p) = 800 − 200 p . Asimismo, las empresas operan en un ambiente donde los mercados de factores también son perfectamente competitivos, y donde en la actualidad el costo de arriendo de cada unidad de capital es de $1 y el de salario por trabajador es de $4. a) Encuentre la función de costo total (de corto plazo CT (q)) que relaciona el nivel de producción y el costo total si la empresa no puede deshacerse de las unidades de capital que posee. Grafique indicando el valor de los costos totales cuando q={0,10, 100, 200}.  b) Encuentre las funciones de costo medio y marginal de corto plazo (CMeCP y CMgCP ). ). Encuentre el nivel de producción para el cual el costo medio es mínimo. ¿Es realmente un mínimo? Demuestre. Grafique. c) Muestre las funciones de costo fijo y variable de corto plazo. d) ¿En el largo plazo que tipo de rendimientos rendimientos tiene esta firma? firma? ¿y en el corto plazo? e) Encuentre la función de oferta de corto plazo de la la firma, la función de oferta del mercado, precio y las cantidades de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los beneficios que obtendría. f) Indique que debería suceder en este mercado en el largo largo plazo en términos de entrada o salida de firmas. g) Se sabe que el salario de mercado depende de la demanda de trabajo. Estimaciones Estimaciones realizadas por la AREPACH (Asociación de Remolineros de Papel de Chile) el salario fluctuará con el número de empresas en el mercado de la siguiente forma: Empresas (n) 1-2 3-4 5 6-7 7-10

Salario (w) 1 2 4 6 8

Usando la información información proporcionada por la la AREPACH determine que debería suceder en este mercado el próximo mes, en términos de la oferta de corto plazo de cada firma, la función de oferta del mercado, el precio y la cantidad de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los  beneficios de cada firma (Ayuda: suponga que cada mes se produce la salida/entrada de una sola firma). ¿Estará en equilibrio el mercado? Solución: a) Encuentre la función de costo total (de corto plazo CT (q)) que relaciona el nivel de producción y el costo total si la empresa no puede deshacerse de las unidades de capital que posee. Grafique indicando el valor de los costos totales cuando q={0,10, 100, 200}. Sabemos que la función de costos totales, se puede representar como CT ( K , L) = rK + wL . Dado que =100, entonces tenemos que:  K =100, CT ( K , L) = rK + wL = 1(100) + 4( L) = 100 + 4 L

139

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

De la función de producción sabemos que existe una relación entre uso de factores y producto (y viceversa) que se expresa de la siguiente forma cuando K =100: =100: q ( K , L) = 2 K 1/ 2 L1/ 2 = 2(100)1/ 2 L1/ 2 = ( 2 *10) L1/ 2 = 20 L1/ 2 CT 

CT 

 L1/ 2 =

q

20

⇒  L =

q

2 500

400

Reemplazando esta relación en la función de costos totales:

200 101 100

  q 2    CT (q) = 100 + 4 400     CT (q ) = 100 +

q

0

10

100

200

2

100

 b) Encuentre las funciones de costo medio y marginal de corto plazo (CMeCP y CMgCP ). ). Encuentre el nivel de producción para el cual el costo medio es mínimo. ¿Es realmente un mínimo? Demuestre. Grafique. CMe(q ) =

CMg (q ) =

CT  q

=

100 q

+

q

100

CMe CMg 

,y

CMg 

∂CT  q = ∂q 50

CMe

2

Para encontrar el punto donde el CMe es mínimo tenemos que encontrar el punto donde la pendiente del costo medio es cero.

100

100 1 ∂CMe(q) =0 ⇒ − 2 + = 0 ⇒ q = 100 ∂q 100 q Para estar seguros que el punto encontrado representa un mínimo (y no un máximo) tenemos que evaluar la segunda derivada de la función de costo medio en ese punto y encontrar que es positiva ∂ 2CMe(q) 200 (necesitamos que el costo medio sea creciente): = 3 , que es positiva para cualquier valor  q ∂q 2 de q > 0. Así, cuando q=100 el costo medio es realmente mínimo. c) Muestre las funciones de costo costo fijo y variable de corto plazo. La función de Costo Total de Corto Plazo esta dada por: CT (q ) = 100 +  por lo que CF  = 100 , y CV (q ) =

140

q2

100

q2

100

. Sabemos que CT =CF +CV ,

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d) ¿En el largo plazo que tipo de rendimientos tiene esta firma? ¿y en el corto plazo? En el largo plazo la función de producción esta dada por  q ( K , L) = 2 K 1/ 2 L1/ 2 . Los rendimientos a escala son: q ( mK , mL) = 2( mK )1/ 2 ( mL)1/ 2 = 2m1/ 2 K 1/ 2 m1/ 2 L1/ 2 = m( 2 K 1/ 2 L1/ 2 ) = m1q ( K , L) .

Por lo que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala en el largo plazo. En el corto  plazo la función de producción esta dada por  q (100, L) = 20 L1/ 2 . Los rendimientos a escala son: q (10, mL) = 20(mL)1/ 2 = m1/ 2 ( 20 L1/ 2 ) = m1/ 2 q (10, L) .

La función de producción en el corto plazo tiene rendimientos decrecientes a escala. e) Encuentre la función de oferta de corto plazo de la firma, la función de oferta del mercado, precio y las cantidades de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los beneficios que obtendría. La función de oferta de la firma es la función de costos marginal desde el punto donde el costo variable medio es mínimo: CMg (q ) =

q ∂CT  q y CVMe(q ) = = 50 100 ∂q

Claramente la función de costo variable medio no posee mínimo por lo que la función de oferta es la función de costos marginal para cualquier precio:  p = CMg ( q ) ⇒  p =

q

50

La función de oferta del mercado es: QS ( p, w = 4, n = 5) =

⇒ q( p) = 50 p 5

5

∑ q ( p) = ∑ 50 p = 5(50 p) = 250 p i

i =1

i =1

Equilibrio del Mercado: Q D ( p) = 800 − 200 p = 250 p = QS ( p )  p = 1, 7 , Q = 444, 4 y q = *

*

* i

Q* n

= 88, 8

Beneficios:

  (88, 8 ) 2    = 158,02 − 179,01 = −21 π  =  pq − CT  = 1,7 (88, 8 ) − 100 − 100     f) Indique que debería suceder en este mercado en el largo plazo en términos de entrada o salida de firmas. Dado los beneficios subnormales observados por las firmas deberían salir alguna(s) del mercado. 141

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

g) Se sabe que el salario de mercado depende de la demanda de trabajo. Estimaciones realizadas por la AREPACH (Asociación de Remolineros de Papel de Chile) el salario fluctuará con el número de empresas en el mercado de la siguiente forma: Empresas (n) 1-2 3-4 5 6-7 7-10

Salario (w) 1 2 4 6 8

Usando la información proporcionada por la AREPACH determine que debería suceder en este mercado el próximo mes, en términos de la oferta de corto plazo de cada firma, la función de oferta del mercado, el precio y la cantidad de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los  beneficios de cada firma (Ayuda: suponga que cada mes se produce la salida/entrada de una sola firma). ¿Estará en equilibrio el mercado? Suponiendo la salida de una firma podemos reestimar las funciones de costos de la cada una de las firmas de la industria: CT ( K , L) = rK + wL = 1(100) + 2( L) = 100 + 2 L

Reemplazando

 L =

q2

400

en

la

función

de

costos

totales

obtenemos

que:

  q 2   q2  = 100 + CT (q, w = 2) = 100 + 2 400 200     La función de oferta:  p = CMg (q ) ⇒  p =

q

100

⇒ q( p ) = 100 p

La función de oferta del mercado es: QS ( p, w = 2, n = 4) =

4

4

∑ q ( p) = ∑100 p = 4(100 p) = 400 p i

i =1

i =1

Equilibrio del Mercado: Q D ( p) = 800 − 200 p = 400 p = QS ( p )  p = 1, 3 , Q = 533, 3 y q = *

*

* i

Q* n

= 133, 3

Beneficios:

  (133, 3 ) 2    = 177, 7 − 188, 8 = −11, 1 π  =  pq − CT  = 1, 3(133, 3 ) − 100 − 100     En este mes el mercado no estará en equilibrio por lo que debería salir al menos una firma más el siguiente mes.

142

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 101. El laboratorio “Insano” planea fabricar una vacuna para erradicar a nivel mundial la desatada  pandemia de calvicie masculina. Los estudios farmacológicos y técnicos señalan que la producción de la vacuna tendría la siguiente función de producción: q ( K , L) = 10 K 1 / 2 L + L , donde  K  es el número de laboratorios (plantas) dedicados a la producción de la vacuna y  L es la cantidad de científicos trabajando en ellos. Asumiendo un costo de capital (laboratorios) igual a r  por cada  planta ( K ) y un salario por científico ( L) de w, responda las siguientes preguntas. a) Determine el tipo de rendimientos a escala que existe en la producción de vacunas para la calvicie.  b) Encuentre el producto marginal y medio de los laboratorios ( K ) y de los científicos ( L). Grafíquelos. c) Plantee el problema de minimización de costos del Laboratorio. Indique una situación en la cual dicho problema podría ser relevante. d) El laboratorio decide iniciar la producción instalando un primer laboratorio (planta). Encuentre la función de costos totales que existiría bajo estas condiciones. e) Encuentre el costo de adicional de una vacuna. De que depende este? f) Encuentre el costo de medio de la producción de vacunas. g) Describa e indique como cree que se organizará este mercado? Solución: a) Determine el tipo de rendimientos a escala que existe en la producción de vacunas para la calvicie. Para determinar los rendimientos a escala: q (mK , mL) = 10(mK )

1/ 2

(mL ) + (mL )

q ( mK , mL) = 10m1/ 2 K 1/ 2 mL + mL = m 3 / 210 K 1/ 2 L + mL

= m[m1/ 210 K 1/ 2 L + L] Claramente, para valores de m>1 (y  K , L ≥ 1 ) ocurre que: q ( mK , mL) = m(m1/ 210 K 1/ 2 L + L ) > m(10 K 1/ 2 L + L ) = mq( K , L)

Por lo tanto la producción de vacunas tiene rendimientos crecientes a escala.  b) Encuentre el producto marginal y medio de los laboratorios ( K ) y de los científicos ( L). Grafíquelos.  PMg  K  =

 PMg  L =

∂q( K , L) 5 L q ( K , L) 10 L  L = 1/ 2 y  PMe K  = = 1/ 2 +  K   K   K   K  ∂ K 

∂q( K , L) q ( K , L) = 10 K 1/ 2 + 1 y  PMe L = = 10 K 1/ 2 + 1  L ∂ L

143

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 PMe K   PMg  K 

 PMe L  PMg  L

 PMe L=PMg  L

 PMe K   PMg  K 

 K 

 L

c) Plantee el problema de minimización de costos del Laboratorio. Indique una situación en la cual dicho problema podría ser relevante.  Min CT ( K , L) = rK + wL sujeto a q ( K , L) = 10 K 1/ 2 L + L

Usando el método del multiplicador de Lagrange el problema se puede plantear formalmente como:  Min L = rK + wL + λ (q − 10 K 1/ 2 L + L ) { K , L }

Este problema se podría dar por ejemplo si el laboratorio tuviera que decidir como producir una partida de vacunas de un volumen determinado. Por ejemplo, el gobierno podría licitar la adquisición de un numero de vacunas. Si el laboratorio participa en la licitación debería entonces plantear el problema de la manera aquí descrita. d) El laboratorio decide iniciar la producción instalando un primer laboratorio (planta). Encuentre la función de costos totales que existiría bajo estas condiciones. Si el laboratorio decide partir la producción con una planta de producción el problema de minimización de costos (del cual se deriva la función de costos) es el siguiente:  Min L = r + wL + λ (q − [10 L + L]) { L }

 No necesitamos resolver este problema usando el método del multiplicador de Lagrange ya que tenemos un problema con una incógnita y una restricción (podemos usar el método de sustitución): q ( K  = 1, L) = 10 L + L ⇒

q ( L) = 11 L ⇒  L( q ) =

Reemplazando en la función de costos totales: CT (q, r , w) = rK + wL = r +

q

11

wq

11

e) Encuentre el costo de adicional de una vacuna. De que depende este? CMg (q, w, r ) =

144

w

11

⇒ El costo marginal depende de los salarios de los científicos.

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV f) Encuentre el costo de medio de la producción de vacunas. CMe( q, w, r ) =

r  q

+

w

11

⇒ El costo medio es decreciente en el nivel de producción.

g) Describa e indique como cree que se organizará este mercado? Suponiendo que otros laboratorios también son capaces de producir con la misma tecnología (función de producción), y dado que existen costos marginales constantes y costos medios decrecientes, entonces el mercado se organizara de manera monopólica ya que todas la empresas estarán dispuestas a vender al mismo precio cualquier volumen. Entonces quien producirá será una sola empresa, probablemente la que desarrolle primero la vacuna.

102. La empresa minera Pepitas de Oro produce pirita (también conocida como el Oro de los tontos) con una función de producción que puede ser representada de la siguiente forma: q ( L, M ) =  L + aM 1 / 2 . Donde q es la cantidad de toneladas producidas de pirita,  L es el número de trabajadores en la mina, a es un parámetro tecnológico y es la cantidad de molinos usados para moler el mineral. a) Determine los rendimientos a escala que tiene Pepitas de Oro.  b) Plantee el problema de minimización de costos de la firma. c) Encuentra la función de costos totales de la empresa (expresada en términos del nivel de  producción) y determine el nivel mínimo de producción factible. Solución: a) Determine los rendimientos a escala que tiene Pepitas de Oro. q (mL, mM ) = mL + a (mM )

1/ 2

= mL + m1 / 2 (aM 1 / 2 )

Podemos demostrar que q (mL, mM ) < mq( L, M ) por lo que Pepitas de Oro tiene rendimientos decrecientes a escala: q(mL, mM ) < mq ( L, M ) mL + m1 / 2 (aM 1 / 2 ) < m( L + aM 1 / 2 ) m1 / 2 < m ∀m > 1

Por lo tanto queda demostrado que Pepitas de Oro tiene rendimientos decrecientes a escala.  b) Plantee el problema de minimización de costos de la firma.  Min CT  = wL + rM 

 s.a.

q ( L, M ) = L + aM 1 / 2

{ L , M }

145

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

c) Encuentra la función de costos totales de la empresa (expresada en términos del nivel de  producción) y determine el nivel mínimo de producción factible. Para encontrar la función de costos totales de la empresa se debe resolver el problema de minimización de costos. Sabemos que en todo problema de minimización de costos se debe cumplir que el producto marginal del último peso gastado en cada factor debe ser el mismo, por lo que podemos obtener el número óptimo de molinos de la siguiente forma:

 PMg  L w

=

a −1 / 2  M  1 2 ⇒ = w r 

 PMg  M  r 

 aw  ⇒  M  =     2r  

2

*

Se puede observar que la cantidad optima de molinos no depende del nivel de producción pero sí del costo relativo de los factores. Usando la función de producción podemos obtener una expresión para la contratación de trabajo. q( L, M ) = L + aM 1 / 2 1/ 2

 L = q − aM 1 / 2

 aw  2  = q − a      2r     L = q − *

 aw  = q − a    2r  

a 2w

2r 

Reemplazando ambas expresiones en la función de costos: 2

  a 2 w   aw  a 2 w 2 a 2 w2  + r   = wq − CT ( q, w, r , a ) = wL + rM  = w q − + 2 2 2 4r  r  r  r          CT ( q, w, r , a ) = wq −

a 2 w2

4r 

El nivel mínimo de producción factible es aquel para el cual se generan costos de producción positivos  para los distintos valores de los parámetros: CT ( q, w, r , a ) = wq −

146

a 2 w2

4r 

> 0 ⇒ wq >

a 2 w2

4r 

⇒ qˆ >

a2w

4r 

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 103. El estado de la tecnología actual permite que una firma que abastece a los pescadores artesanales de botes pueda producirlos usando madera y trabajo con la siguiente función de producción: q = M 1 / 4 L1 / 4 . Los precios de los factores están dados por  p M  y p L. a) ¿Cuáles son las condiciones óptimas de producción para una firma que desea minimizar costos de  producir un bote? Encuentre la cantidad óptima a usar de madera y trabajo. ¿Cuáles son los costos de producir un bote?.  b) ¿Cuál es el costo de producción de un bote si p M =2 y p L=8? ¿Cuál la contratación optima de madera y trabajo? ¿Qué tipo de rendimientos tiene la firma? ¿ Qué implica esto para la firma si deseara  producir 3 botes en términos de contratación de factores, costo total y costo medio?. c) Si los precios de los factores se mantienen en  p M =2 y  p L=8, obtenga las funciones de costo total, medio y marginal de la firma. ¿Existe algún nivel de producción para el cual el costo medio sea igual al costo marginal? d) ¿Cuál es la curva de oferta de corto plazo de la firma? Suponiendo que hay 10 firmas productoras de  botes cuál es la curva de oferta del mercado? Si la demanda total de botes es de 30 unidades, ¿cuál será el precio de equilibrio del mercado? ¿Cuánto los beneficios de cada firma? ¿Cuánto cree que  producirá cada firma en el largo plazo (se permite la entrada y salida de firmas)? Solución: a) ¿Cuáles son las condiciones óptimas de producción para una firma que desea minimizar costos de  producir un bote? Encuentre la cantidad óptima a usar de madera y trabajo. ¿Cuáles son los costos de producir un bote?. La firma resuelve el siguiente problema de minimización de costos sujeto a que debe cumplir con un nivel de producción determinado:  Min CT  =  p M  M  + wL  M , L

 sujeto a

q ( = 1) = M 1/ 4 L1/ 4

Sabemos que óptimamente los productores contrataran M y L donde: TMST  M , L = −

 PMg  L  PMg  M 

=−

w  p M 

En este caso tenemos que,

∂q 1 −3 / 4 1/ 4  1 1/ 4 −3 / 4 =  M   L   M   L  PMg  L  M   ∂ M  4 4 = =  ⇒ TMST  M , L = ∂q 1 1/ 4 −3 / 4   PMg  M  1 −3 / 4 1/ 4  L  M   L =  M   L  PMg  L =  4 ∂ L 4   PMg  M  =

Entonces:

TMST  M , L =

 M   L

=

w  p M 

wL   ( 1 )  M  =   p M    ⇒  ⇒ Refleja las condiciones producción óptima.  p  M  (2)  L =  M    w  

Si la producción es igual a un bote, entonces, las cantidades optimas a usar de madera y trabajo son: 147

Microeconomía 1

Teoría de la Firma q =1

1 = M   L

1/ 4 1/ 4

(3)  M  = L−1 ⇒ (4)  L = M −1

reemplazando la ecuación (1) en (4) y la ecuación (2) en (3) se obtiene  M * =

w  p M 

 y  L* =

 pM  w

Reemplazando las cantidades optimas a usar de madera y trabajo en la función de costo total: CT ( M , L, q = 1) =  p M  M * + wL* =  p M  M * + wL* M * =  p M   p M w + wp M  1/ 2

 p M  w1/ 2

=

2 p M w ( p M w)1/ 2

w  p M 

+w

 pM  w

= 2  p M w

CT ( M , L, q = 1) = 2  p M w

 b) ¿Cuál es el costo de producción de un bote si p M =2 y  p L=8? ¿Cuál la contratación optima de madera y trabajo? ¿Qué tipo de rendimientos tiene la firma? ¿ Qué implica esto para la firma si deseara  producir 3 botes en términos de contratación de factores, costo total y costo medio?. El costo de producción de un bote es: CT ( M , L, q = 1) = 2  p M w = 2 * 2 * 8 = 2 * 4 = 8

Las contrataciones optimas de madera y trabajo son:  M * =

w  p M 

=

8 =2 2

 y

 L* =

 pM  w

=

2 1 = 8 2

Los rendimientos a escala son: q ( mM , mL) = ( mM )1/ 4 ( mL)1/ 4 = m1/ 4 M 1/ 4 m1/ 4 L1/ 4 = m1/ 2 ( M 1/ 4 L1/ 4 ) = m1/ 2 q ( M , L) .

Por lo que la firma tiene rendimientos decrecientes a escala. Si inicialmente el nivel de producción es 1, y de los rendimientos a escala se sabe que multiplicando los factores de producción por un factor m se obtiene m1/ 2 veces el nivel de producción inicial, podemos deducir cuantas veces se necesita aumentar la contratación de madera y trabajo para producir 3 botes: 148

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV q0 ( M , L) = 3 = m1/ 2 q1 ( M , L) con q0 ( M , L) = 1

⇒

3 = m1/ 2 ⇒ m = 9

Por lo que para producir 3 botes se requieren:  M * (q = 3) = 9 * 2 = 18

 y

 L* ( q = 3) = 9 *

1 2

= 4,5

Con un costo de producción de: CT ( M , L, q = 3) =  p M  M  + wL = 2 *18 + 8 * 4,5 = 72

El costo unitario de cada bote es de $72. c) Si los precios de los factores se mantienen en  p M =2 y  p L=8, obtenga las funciones de costo total, medio y marginal de la firma. ¿Existe algún nivel de producción para el cual el costo medio sea igual al costo marginal? La función de costo total esta dada por: CT ( M , L) =  p M  M  + wL

(1' )  M  = 4 L Sabemos que la relación de contratación optima de M y Y esta dada por:  (2' )  L = 1 / 4 M  Reemplazando (1’) en la función de producción: q ( M , L) = M   L

1/ 4 1/ 4

= (4 L)  L 1/ 4

1/ 4

= 4  L 1/ 4

1/ 2

⇒ (5)  L(q ) =

q2

2

Reemplazando (2’) en la función de producción: q ( M , L) = M 1/ 4 L1/ 4 = M 1/ 4 (1 / 4 M )1/ 4 = (1 / 4)1/ 4 M 1/ 2 ⇒ (6)  M ( q) = 2q 2

Reemplazando (5) y (6) en la función de costo total:

 q 2   CT ( q ) =  p M  M (q ) + wL( q ) = 2(2q ) + 8  = 4q 2 + 4q 2   2   2

CT (q ) = 8q 2

La función de costo medio es: CMe =

CT  q

La función de costo marginal es: CMg  =

=

8q 2 q

= 8q

∂CT  = 16q ∂q 149

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Dada las características de las funciones de costo medio y marginal no existe ningún punto de  producción (positiva) en el cual estos sean iguales d) ¿Cuál es la curva de oferta de corto plazo de la firma? Suponiendo que hay 10 firmas productoras de  botes cuál es la curva de oferta del mercado? Si la demanda total de botes es de 30 unidades, ¿cuál será el precio de equilibrio del mercado? ¿Cuánto los beneficios de cada firma? ¿Cuánto cree que  producirá cada firma en el largo plazo (se permite la entrada y salida de firmas)? La curva de oferta de corto plazo se obtiene de la condición de maximización de beneficios de la firma:  p = CMg 

con  p > CVMemin

En este caso: qi ( p) =

La curva de oferta del mercado es:

QS ( p) =

 p

con

16 10

p>0  p

∑ q ( p) = 10 16 = i

i =1

5 p 8

Si la demanda total es de 30 unidades, el precio de equilibrio en el mercado es: 30 =

5 p 8

El nivel de producción de cada firma es: qi =

QS  n

⇒ p* = 48 =

30 10

=3

Los costos medios asociados a ese nivel de producción son: CMei = 8qi = 24 Los beneficios de la firma están dados por: π i = qi ( p − CMei ) = 3(48 − 24) = 72 En el largo plazo deberían ingresar firmas dada la existencia de beneficios económicos mayores a cero. Dada la tecnología en esta industria (rendimientos decrecientes), a medida ingresan firmas y cada una de ellas vende menos unidades los costos unitarios caen, sin embargo las firmas siguen obteniendo  beneficios (el costo marginal esta siempre sobre el costo medio). En el largo plazo entraran firmas hasta que cada una de ellas produzca solo un bote.

150

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 104.

Suponga que una fabrica de pasteles en la Ligua tiene la siguiente función de producción:  L q ( H , L) = + H 1 / 2 . Donde q es la cantidad producida de pasteles (en miles),  H  son las materias 2  primas usadas en los pasteles y L son las horas hombre.

a) Si la cantidad de materias primas disponible es de 4, encuentre las funciones de producto medio y marginal del trabajo. Grafique la función de producción con trabajo variable (grafique en el espacio  producción y trabajo), y las funciones de producto medio y marginal del trabajo.  b) Suponga ahora que por un cambio tecnológico la función de producción de la empresa pasa a ser   L1 / 2 q ( H , L) = + H 1 / 2 . Encuentre la función de producto marginal del trabajo. Grafíquela y 2 determine si el trabajo se vuelve más ó menos productivo con este cambio tecnológico. c) Suponga que el precio de los pasteles es p, que el costo unitario de las materias primas es a y que el costo de la hora hombre es w, describa la función de beneficios de la firma y encuentre las funciones de demanda de materias primas ( H ) y trabajo ( L). ¿Cómo cambia la demanda de trabajo si aumenta el salario por hora? d) Encuentre la función de oferta de la firma si el costo por hora hombre (w) es de $1 y el costo de las materias primas (a) es de $2 por unidad. Solución: a) Si la cantidad de materias primas disponible es de 4, encuentre las funciones de producto medio y marginal del trabajo. Grafique la función de producción con trabajo variable (grafique en el espacio  producción y trabajo), y las funciones de producto medio y marginal del trabajo. La función de producto marginal es:

La función de producto medio es: q

∂q( H , L) 1 = . 2 ∂ L

q ( H , L)  L q ( L) =

=

 L

2 L

+

 H 1/ 2  L

=

1 2 + . 2  L

L

+ 2  PMg   PMe 2

0,5

2

 L

 PMe L  PMg  L

 L

 b) Suponga ahora que por un cambio tecnológico la función de producción de la empresa pasa a ser   L1 / 2 q ( H , L) = + H 1 / 2 . Encuentre la función de producto marginal del trabajo. Grafíquela y 2 determine si el trabajo se vuelve más ó menos productivo con este cambio tecnológico.

151

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

La función de producto marginal es:

∂q( H , L) 1 = 1/ 2 . 4 L ∂ L

 PMg 

Como el producto marginal es decreciente a mediada que ∂ PMg  L 1 aumenta la cantidad de trabajo ( = − 3 / 2 < 0 ∀ L ), 8 L ∂ L entonces podemos encontrar un rango para el cual el trabajo es más productivo con el cambio tecnológico y otro rango para el cual el trabajo era más productivo sin el cambio tecnológico:  PMg  LCon ∆ Tecnológico =

1 4 L1/ 2

>

1 2

= PMg  LSin ∆ Tecnológico ⇒

1 4

 PMg  L0

0,5

 PMg  L1

0,25

> L

 L

Por lo tanto para niveles de trabajo menores a 0,25 el trabajo es más productivo con la nueva función de  producción. Para niveles superiores a 0,25 el trabajo es menos productivo con la nue va tecnología. c) Suponga que el precio de los pasteles es p, que el costo unitario de las materias primas es a y que el costo de la hora hombre es w, describa la función de beneficios de la firma y encuentre las funciones de demanda de materias primas ( H   H ) y trabajo ( L). ¿Cómo cambia la demanda de trabajo si aumenta el salario por hora? La función de beneficios es: π  =  pq( H , L) − CT ( H , L) ⇒

 L1/ 2  + H 1/ 2  − [aH  + wL] π  =  p   2 

Para encontrar las demandas de materias primas y trabajo se deben maximizar los beneficios eligiendo óptimamente las cantidades de insumos y factores fac tores productivos ( H   H y L):

 L1/ 2   Max π  =  p  + H 1/ 2  − [aH  + wL ] { L , H }  2  Las condiciones de primer orden son:

∂π   1  =  p  1 / 2  − w = 0 ∂ L  4 L 

⇒  L ( p, w) =

∂π   1  =  p  1 / 2  − a = 0 ∂ H   2 H  

⇒  H  ( p, a) =

 p 2

*

*

16 w 2  p 2

16a 2

El cambio en la demanda de trabajo se puede mostrar de la siguiente forma:

∂ L*  p 2 =− 3 < 0 8w ∂w

Esto significa que un alza en el salario disminuye la cantidad demandada de trabajo.

152

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV d) Encuentre la función de oferta de la firma si el costo por hora hombre (w) es de $1 y el costo de las materias primas (a) es de $2 por unidad. La función de oferta de la firma se puede encontrar reemplazando las demandas de trabajo y materia  primas en la función de producción: 1/ 2

q ( H * , L* ) =

1/ 2

 L

2

+ H 1/ 2

   p 2     2  16 w   =   2

1/ 2

   p   +  2   4a   2

q ( p, w, a ) =

Con w igual a $1 y a igual a $2 por unidad: q( p ) =

   p     4w     p      p      p     = +  =  +  2  2a   8w   2a 

 p   1

1  +   2  4 w a 

 p   1

1   3   =  p + 2  4(1) (2)  8

153

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

105. La Viña Viña francesa-chilena francesa-chilena “Les Trois Tiritones” ha decidido comenzar un proceso de crecimiento en el Valle de Casablanca con el objetivo de expandir su afamada producción de vinos Chardonnay. La viña ha decidido arrendar inicialmente un viñedo de 500 metros cuadrados pagando un valor por  metro cuadrado al año (m) de M$1,4 (todos los valores monetarios están expresados en miles de  pesos). Para simplificar el análisis asumamos que la viña requiere sólo de terrenos, barricas y trabajo para producir vino. La función de producción de Chardonnay (en litros) de Trois Tiritones es: q ( M , B, L) =  M   B + L . Donde  M  es el número de metros cuadrados de terreno,  B es el número de barricas para la guarda del vino y L es el numero de trabajadores. a) En términos de plazo, ¿en cuál se encuentra trabajando esta firma y por qué?  b) Determine la producción y la contratación optima de trabajo y barricas, si la empresa desea maximizar la producción y decide gastar M$1.000 en el primer año. Además, el salario de un trabajador (w) es de M$3 y el costo de arrendar una barrica (b) es de M$2. c) La empresa desea saber cual sería el incremento de la producción que se generaría si si se gastase un  peso adicional en producir vino. ¿Puede Ud. indicárselo a la empresa? e mpresa? d) Muestre la ecuación que representa al mapa mapa de isocuantas de Trois Tiritones cuando la cantidad de terreno arrendado es 500 metros cuadrados. Grafique la isocuanta que representa la producción de 10.000 litros de vino. e) ¿Cuál es la TMST en la producción de vinos? Es la función de producción homotética? ¿Es la TMST  decreciente? f) ¿Encuentre la contratación de factores y producción si en el segundo año la viña esta dispuesta a gastar M$2.000 en la producción de vinos? ¿Por qué cree Ud. que se obtienen estos resultados en relación a la contratación de factores? ¿Qué puede decir acerca de los costos medios de la viña? Justifique. Solución: a) En términos de plazo, ¿en cuál se encuentra trabajando esta firma y por qué? La firma esta trabajando en el corto plazo, puesto que ya ha decidido adquirir un terreno de 500 metros cuadrados, lo cual le significará mantener fijo el factor terreno hasta un momento en que decida modificar dicha opción. Esto significará que su función de costos totales incluirá un componente de costo fijo.  b) Determine la producción y la contratación optima de trabajo y barricas, si la empresa desea maximizar la producción y decide gastar M$1.000 en el primer año. Además, el salario de un trabajador (w) es de M$3 y el costo de arrendar una barrica (b) es de M$2. La viña resuelve el siguiente problema de maximización de la producción:

 CT  = mM  + wL + bB   Max q ( M , B, L) sujeto a CT  = 1.000  B , L  M  = 500  donde: CT  = 1.000 = 1,4(500) + 3 L + 2 B ⇒ 300 = 3 L + 2 B

154

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  Max

l

 B , L

= 500  B + L )+ λ [300 − 3 L − 2 B ]

∂l 500 −1/ 2   B = − 2λ  = 0  500 −1/ 2 500 500 −1/ 2 ∂ K  2 ⇒ 2 =  B  B  ⇒ 2λ  = ∂l 500  2 3 2 = 500 − 3λ  = 0 ⇒ λ  = ∂ L 3   ∂l = 300 − 3 L − 2 B = 0 ∂λ  2

9 2  3  = 0,5625 ⇒  L* = 100 − B = 99,625  B =   = 3  4  16 *

Con estos resultados el número de botellas de vino vendidas es:

(

)

(

)

q ( M , B, L) = M   B + L = 500 0,5625 + 99,625 = 50.187,5

c) La empresa desea saber cual sería el incremento de la la producción que se generaría si se gastase un  peso adicional en producir vino. ¿Puede Ud. indicárselo a la empresa? Para determinar el incremento de la producción que se obtiene al aumentar el gasto en producción de vino sólo tenemos que ver el valor del multiplicador de Lagrange (evaluado en el punto óptimo). Ya que en este problema estamos maximizando la producción sujetos a una restricción de costo, el multiplicador nos dirá en cuanto se modifica la producción cuando modificamos la restricción de costo. En este caso, el valor del multiplicador es de 166,6. Esto significa que por cada peso adicional gastado en producir vinos se obtiene un aumento de la producción de 166,6 litros. d) Muestre la ecuación que representa al mapa mapa de isocuantas de Trois Tiritones cuando la cantidad de terreno arrendado es 500 metros cuadrados. Grafique la isocuanta que representa la producción de 10.000 litros de vino. De la función de producción podemos obtener la isocuanta en el espacio trabajo y barricas:

(

)

q (500, B, L) = 500  B + L = 500  B + 500 L  L =

q

500

−  B

 L 20 q =10.000

Si queremos graficar la isocuanta que representa la producción de 10.000 litros de vino, entonces tenemos que:  L =

10.000 500

−  B ⇒  L = 20 −  B

 B

e) ¿Cuál es la TMST en la producción de vinos? Es la función de producción homotética? ¿Es la TMST  decreciente? 155

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

TMST  L , B

250 1 dL  PMg  B  B1/ 2 =− = = = 1/ 2 500 2 B dB  PMg  L

La función de producción no es homotética, es decir la TMST no depende del cuociente de L y B. Para determinar TMST si la es decreciente:

∂TMST  1 = − 3/ 2 < 0 4 B ∂ B La TMST es decreciente. f) ¿Encuentre la contratación de factores y producción si en el segundo año la viña esta dispuesta a gastar M$2.000 en la producción de vinos? ¿Por qué cree Ud. que se obtienen estos resultados en relación a la contratación de factores? ¿Qué puede decir acerca de los costos medios de la viña? Justifique. Si la viña desea gastar M$2.000 entonces: CT  = 2.000 = 1,4(500) + 3 L + 2 B ⇒ 1. 300 = 3 L + 2 B

De los resultados anteriores se desprende que: 2

9 2  3   B =   = = 0,5625 ⇒  L* = 433, 3 − B = 432,958 3 3  4  16 *

Con estos resultados el número de botellas de vino vendidas es:

)

)

q (500, B, L) = 500  B + L = 500 0,5625 + 432,96 = 216.854,1 6

Se obtiene estos resultados porque el producto marginal del trabajo es constante (500 litros) y al mismo 250    tiempo el producto marginal de las barricas es decreciente  PMg  B = 1/ 2  . Entonces, al aumentar la  B     contratación de ambos factores, a partir de la situación óptima, ocurre que:  PMg  B b

<

 PMg  L w

Si esto ocurre, entonces la empresa debe contratar más trabajo y menos barricas. En el límite la empresa sólo contratará más trabajadores. Al duplicar la cantidad usada en la producción (costo total) desde M$1.000 a M$2.000 pasamos de una  producción de 50.187,5 litros a 216.854,17 litros, es decir, al duplicarse los costos la producción producc ión crece más del doble. Esto hace que los costos medio de la viña sean decrecientes.

156

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 106. Una firma distribuidora de gas natural opera usando capital  (K ) (tubería e instalaciones) y un insumo ( X ). La función de producción es q ( K , X ) = 60 KX  . Los precios (en pesos) del capital y el trabajo son r =30 y  p X  =50. La firma dispone de $15.000 para producir. a) Determine cuanto está produciendo la firma, ¿es un mínimo o un máximo y porqué? Explique usando gráficos.  b) Bajo que condiciones de plazo esta operando la firma. ¿Cuáles son los rendimientos a escala? ¿A que tipo de organización industrial conduce una firma de estas características? Explique y grafique. c) Encuentre la función de costo total de largo plazo para esta firma (costo total en función del nivel de  producción). Muestre las funciones de costo medio y marginal correspondientes. d) Si se tiene la intención de aumentar la producción en un 20% ¿en cuanto tendrá que aumentar el  presupuesto para que el producto medio fuese máximo? e) Suponga que los propietarios de esta firma adquieren otra cuya función de costos medio es CMe 2 = q 2 − 10q + 35 y que están estudiando ampliarla, en cuyo caso los costos medios serian CMe 2 A = q 2 − 14q + 55 . ¿Para que niveles esperados de producción en esta nueva empresa le convendría hacer la ampliación y para cuales no? Determínelo y haga uso de gráficos para explicar.

Solución: a) Determine cuanto está produciendo la firma, ¿es un mínimo o un máximo y porqué? Explique usando gráficos. La función de producción de la firma es: q ( K , X ) = 60 KX  (ec. 1), con r =30 y p X =50. La restricción presupuestaria (RP) asociada a esta firma es: 15.000 = rK +  p X  X  (ec. 2) La firma produce óptimamente cuando TMST  K , X  =

 PMg  X 

Donde  PMg  X  = 60 K  y  PMg  K  = 60 X  , por lo que:

60 K 

 PMg  K 

60 X 

=

=

 p X 

50 30

r 

.

5

⇒ 5 X  = 3 K  ⇒ K  =  X  (ec. 3) 3

  5   *  + 50 X  = 100 X ⇒ X  = 150  3 X  

Sustituyendo en la RP: 15.000 = rK +  p X  X  = 30 Usando la eq. 3 obtenemos:  K * = 250

Podemos comprobar que el costo total con ese uso del factor y el insumo es CT  = 30(250) + 50(150) = 7.500 + 7.500 = 15.000 . El nivel de producción asociado es: q * = q * ( K * , X * ) = 60( 250)(150) = 2.250.000 unidades de  producto.

Los resultados anteriores provienen de un proceso de optimización. Para este tipo de problema en que la restricción es

 K 

250

q1 q0

q*

150

157

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

el presupuesto la solución obtenida es un máximo: la producción máxima dado un nivel de costos de la restricción presupuestaria. Gráficamente: q ( K , X ) = 60 KX  genera un mapa de isocuantas, donde q* es el máximo posible a obtener dada la restricción presupuestaria de la firma (isocosto)  b) Bajo que condiciones de plazo esta operando la firma. ¿Cuáles son los rendimientos a escala? ¿A que tipo de organización industrial conduce una firma de estas características? Explique y grafique. Dadas las características de la producción la firma esta operando en términos de largo plazo, pues puede elegir óptimamente tanto las cantidades de capital y del insumo. La firma maximiza la producción de q ( K , X ) = 60 KX  sujeto a la restricción presupuestaria dada. Rendimientos a escala: en la medida que la escala aumenta (contratación de factores e insumos) la firma aumenta su rendimiento. Analíticamente podemos mostrar que si la firma aumenta la contratación de capital y la compra de insumos por un factor  δ  , y se comprueba que la producción crece mas que δ  , entonces estamos en presencia de una firma con rendimientos crecientes a escala. Si  K 1 = δ K 0 y  X 1 = δ X 0 , con δ  > 1 ⇒ q1 ( K 1 , X 1 ) = 60(δ  K 0 )(δ  X 0 ) = δ 2 60 K 0 X 0 = δ 2 q0 Es decir, aumentar la contratación de factores e insumos por un factor  δ  , genera una producción igual a δ 2 q0 . Claramente, δ 2 q0 > δ q0 , es decir, la producción obtenida es mayor que δ 

veces la producción inicial. Por ejemplo, si δ  =2, duplicar la contratación de factores e insumos genera un nivel de  producción 4 veces mayor que el inicial, que es mayor que dos veces la producción inicial. Conclusión: La firma tiene rendimientos crecientes a escala.

 K 

Rendimientos Crecientes a Escala

K 0 K 0

q1 > q0 q0 X0

X0

Una firma que presenta rendimientos crecientes a escala tiene funciones de costo medio y marginal decrecientes, lo cual significa que a medida que la firma crece en tamaño (escala) se hace más competitiva pues sus costos medios y marginales caen. Las firmas con mayores tamaños de planta (costos mas bajos) desplazaran a las de menor tamaño (mayores costos) a hasta que en el limite, un mercado bajo CMe  D estas condiciones tecnológicas estará dominado por una CMg  sola firma. Cuando la tecnología genera rendimientos crecientes a escala el mercado se organizara alrededor de una sola firma productora. La firma podrá satisfacer la demanda del mercado por si sola al menor costo de CMe  producción posible pero no necesariamente al menor  CMg   precio (ver capítulos referentes a monopolio). Esto es lo q que se denomina como monopolio natural.

158

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) Encuentre la función de costo total de largo plazo para esta firma (costo total en función del nivel de  producción). Muestre las funciones de costo medio y marginal correspondientes. La función de costo total de largo plazo nos relaciona la cantidad producida con el costo mínimo al cual  puede ser generado ese nivel de producto, por lo que queremos una función del tipo CT (q). La función de producción es q ( K , X ) = 60 KX  y la restricción presupuestaria correspondiente es CT  = rK +  p X  X  . De la letra (a) sabemos que óptimamente la firma elige  K  y  X  con la siguiente relación 5 X  = 3 K  (necesitamos usar esta condición pues la función de costos de largo plazo me muestra siempre el costo mínimo de producir una cantidad por lo que tiene implícita la minimización de costos de la firma que esta representada por la ecuación 3 en la letra (a)). Despejando  K  obtenemos que  K  = 5 / 3 X  , reemplazando en la función de producción obtenemos q = 60(5 / 3 X ) X  = 100 X 2 , con cual podemos obtener una expresión para la cantidad demandada del insumo en función del nivel de producción:  X  =

q1/ 2

10

.

Análogamente podemos obtener que  X  = 3 / 5 K  y reemplazar en la función de producción obteniendo q1 / 2 que  K  = . 6 La función de costo total esta dada por  CT ( K , X ) = 30 K + 50 X  . Reemplazando las expresiones obtenidas de K y X , se tiene que la función de costo total de largo plazo es:

 q1/ 2    q1/ 2    + 50  = 5q1/ 2 + 5q1/ 2 = 10q1/ 2 CT ( q ) = 30   6     10   La función de costo medio asociada es: CMe =

10q1/ 2 q

=

La función de costo marginal de largo plazo es : CMg  = Gráficamente:

10 q1 / 2

5 q1 / 2

Costo Total

Costos Medio y Marginal

40,0

16,0

35,0

14,0

30,0

12,0

25,0

10,0

20,0

8,0

15,0

6,0

10,0

4,0

5,0

2,0

0,0

CMe

CMg

0,0 0

2

4

6

8

10

12

14

0

2

4

6

8

10

12

14

159

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

d) Si se tiene la intención de aumentar la producción en un 20% ¿en cuanto tendrá que aumentar el  presupuesto para que el producto medio fuese máximo? La pregunta tiene dos partes, una parte referida al costo asociado a una mayor producción en un (∆+ q = 20%) . Si se quiere aumentar la producción un 20%, entonces se quiere producir  q1 = 1.2q0 = 1.2 * 2.250.000 = 2.700.000 unidades. Dado que la firma presenta rendimientos crecientes a

escala entonces los costos crecerán menos de un 20%. La función de producción nos señala que 2.700.000 = 60 KX  ⇒ 45.000 = KX  . 5 Sabemos que óptimamente se tiene que cumplir  5 X  = 3 K  ⇒ K  =  X  . Reemplazando en la función de 3  producción (o viceversa) tenemos que:

 5   45.000 =   X  X  ⇒  X 2 = 27.000 ⇒  X  = 164,3 ⇒ K  = 273,8  3   El costo total asociado es: CT  = 30 * 273,8 + 50 *164,3 = 16.431,7 . La variación porcentual en el costo total es de 9,54%. Otra forma mas directa seria usando la función de costo total de largo plazo obtenida en el la letra (c). CT  = 10q1/ 2 = 10(2.700.000)1/ 2 = 10 *1.643,17 = 16.431,7

La otra parte de la pregunta tiene que ver con que el producto medio sea máximo en ese punto. En términos generales existe una conexión entre el producto medio y el costo medio, y entre el producto marginal y el costo marginal. El costo total en el corto plazo esta definido como CT =CF +CV , así el costo marginal es: CMg (q ) =

dCT  dq

=

dCV  dq

.

Si asumimos que en el corto plazo el capital esta fijo, el costo variable esta dado por CV  =  p X  X (q ) , por  lo que dCV  = d ( p X  X (q )) =  p X dX (q ) (asumiendo que la firma no afecta el costo de los insumos), entonces podemos rescribir el costo marginal en términos del producto marginal como: CMg ( q ) =

dCV  dq

=

 p X dX  dq

  1    dX    p  =  X   =  p X   =  p X     dq     PMg  X    PMg  X 

CMg  =

 p X   PMg  X 

Es claro que cuando el producto marginal alcanza su máximo el costo marginal es mínimo.

160

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV De la misma forma, partiendo del costo total CT =CF +CV , podemos definir el costo variable medio CV  como CVMe = . q En el corto plazo CV  =  p X  X (q ) , por lo que: CVMe =

 p X  X  q

  X    p =  p X    =  X    q    PMe X 

Aquí también se ve que cuando el producto medio es máximo entonces el costo variable medio el mínimo. Gráficamente (en el corto plazo): En el ejercicio la firma no operará donde el producto medio es máximo  porque de las letras (b) y (c) se observa que el costo medio es siempre decreciente lo cual significa que el  producto medio es siempre creciente. Por lo que aun cuando es posible aumentar la producción en un 20% no se producirá donde el producto medio es máximo.

 PMg   PMe

 PMe  PMg 

CMg  CMe

L

L1 CMg  CVMe

L q0

L1 q1

= * 

e) Suponga que los propietarios de esta firma adquieren otra cuya función de costos medio es CMe 2 = q 2 − 10q + 35 y que están estudiando ampliarla, en cuyo caso los costos medios serian CMe 2 A = q 2 − 14q + 55 . ¿Para que niveles esperados de producción en esta nueva empresa le convendría hacer la ampliación y para cuales no? Determínelo y haga uso de gráficos para explicar.

Lo que se busca es encontrar el rango de producción par el cual la planta sin ampliar es más eficiente que la ampliada. Esto significa encontrar el rango de producción para el cual los costos medios son más  bajos en la planta sin ampliar y el rango de producción (si es que existe) para el cual la planta ampliada tiene menores costos medios. La firma estará indiferente entre producir con cualquier planta si CMe 2 = CMe 2 A ⇒ q = 5 q 2 − 10q + 35 = q 2 − 14q + 55 q =5 La firma preferirá producir con la planta sin ampliar si CMe 2 < CMe 2 A ⇒ q < 5 La firma preferirá producir con la planta ampliada si CMe 2 > CMe 2 A ⇒ q > 5

CMe

CM e2 CMe2A

10 6

5

CMe2

7

CMe2 A

q

161

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

107. Una empresa que produce un bien tiene la siguiente función de producción q = 100YX  . Se sabe que el precio de Y es de 120 por día y que el de X es de 30 por día. El gerente de la empresa decide  producir 1.000 unidades diarias. a) ¿Cuál es el costo total involucrado para alcanzar dicho nivel de producción? ¿Es un mínimo o un máximo? ¿Por qué? ¿Se trata de corto o largo plazo? Explique.  b) ¿Cuál es la función de costo total? ¿Cuáles las de costo medio y marginal? c) ¿Qué rendimientos a escala presenta esta firma y porque? Grafique como serian las curvas de costo medio y marginal. d) En el caso de que solo X  fuera variable, la función de producción pasaría a ser  q = 200 X  . ¿Cuáles serian las funciones de costo total, medio y marginal? ¿A cuanto asciende el costo fijo? ¿A que atribuye las características resultantes del costo marginal y medio? e) Si en la situación anterior se resuelve continuar produciendo 1.000 unidades y el precio de venta de cada unidad es de 1, ¿cuál es el nivel de los benéficos netos de la firma? ¿Es máximo? ¿Puede  producir más? ¿Cuánto producirá en el caso que el benéfico neto fue ra iguala a cero? f) Determine el excedente del productor alcanzado por esta empresa en las condiciones iniciales del  punto anterior. ¿Tiene diferencia con los beneficios netos? ¿Por qué? Solución: a) ¿Cuál es el costo total involucrado para alcanzar dicho nivel de producción? ¿Es un mínimo o un máximo? ¿Por qué? ¿Se trata de corto o largo plazo? Explique. Para obtener el costo total mínimo el productor debe cumplir las condiciones de optimización, es decir, debe producir en el punto donde: TMST  X ,Y  =

 PMg Y   PMg  X 

=

 pY   p X 

.

En otras palabras cuando el producto marginal de un peso gastado en cada factor es el mismo. De la función de producción se obtiene que los productos marginales son:  PMg  X  =

∂q ∂q = 100Y  , y  PMg Y  = = 100 X  . ∂ X  ∂Y 

Luego:  PMg Y   PMg  X 

=

 pY   p X 

⇒

100 X  120 = ⇒ 4Y  =  X  (ec. 1). 100Y  30

Reemplazando la ecuación 1 en la función de producción con el nivel de producción dado: q = 1.000 = 100YX  = 100Y (4Y ) ⇒ Y  = 2,51/ 2 .

Reemplazando en la ecuación 1 se obtiene la cantidad optima del factor  X :  X  = 4( 2,51/ 2 ) .

162

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Con las cantidades optimas de ambos factores que permiten producir 1.000 unidades a un costo mínimo,  podemos obtener los costos totales asociados a esos niveles de contratación de factores: CT  =  p X  X  +  pY Y  = 30 * 4( 2,51/ 2 ) + 120 * ( 2,51/ 2 ) = 379,47

El optimo encontrado aquí es un mínimo, porque responde al proceso de minimización de costos sujeto a la obtención de un nivel dado de producto. La firma esta operando en el largo plazo porque le es  posible modificar ambos factores de producción.  b) ¿Cuál es la función de costo total? ¿Cuáles las de costo medio y marginal? La función de producción es q = 100YX  . La restricción presupuestaria correspondiente es CT  =  p X  X  +  pY Y  . La relación de contratación optima de X y Y esta dada por  4Y  =  X  . Reemplazando  X  en la función de producción obtenemos una expresión que relaciona óptimamente la contratación de Y y el nivel de producción. q = 100YX  = 100Y ( 4Y ) = 400Y  ⇒ Y  = 2

Entonces usando 4Y  =  X  obtenemos que  X  =

q1 / 2

5

q1/ 2

20

.

.

Reemplazando en la función de costo total tenemos que:

 q1/ 2    q1/ 2    + 120  = 6q1/ 2 + 6q1/ 2 = 12q1/ 2 CT  =  p X  X  +  pY Y  = 30   5     20   La función de costo medio asociada es: CMe =

CT  q

=

12q1/ 2

La función de costo marginal de largo plazo es: CMg  =

=

12

q q1/ 2 ∂CT  12

∂q

=

q1 / 2

c) ¿Qué rendimientos a escala presenta esta firma y porque? Grafique como serian las curvas de costo medio y marginal. q = 100YX  presenta rendimientos crecientes a escala porque cuando cada variable aumenta en λ  > 1, la

 producción se incrementa en λ 2 que es mayor que λ  . Analíticamente: q ( X , Y ) = 100YX  q(λ  X , λ Y ) = 100(λ Y )(λ  X ) = λ 2 (100 XY ) = λ 2 q

163

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Con rendimientos constantes a escala se obtienen curvas de costo medio y marginal decrecientes. Esto ocurre  porque a medida que la firma aumenta su tamaño (λ  crece) la producción aumenta mas rápido que los costos (los costos crecen a una tasa igual a λ  ) lo cual hace disminuir los costos medios y marginales. Esto ocurrirá en la medida que la firma produzca en una región con rendimientos crecientes a escala. En el caso de esta función de producción esto ocurre en todo su dominio, es decir, para cualquier nivel producción la firma se enfrenta con rendimientos crecientes.

CMe CMg 

CMe CMg 

q

d) En el caso de que solo X  fuera variable, la función de producción pasaría a ser  q = 200 X  . ¿Cuáles serian las funciones de costo total, medio y marginal? ¿A cuanto asciende el costo fijo? ¿A que atribuye las características resultantes del costo marginal y medio? Si la función de producción es q = 100YX  , y en el corto plazo se transforma en q = 200 X  , se deduce que el factor fijo es Y , y su nivel de contratación es Y =2. La restricción presupuestaria correspondiente es CTCP = 120 * 2 + 30 X  = 240 + 30 X  . Despejando X de la función de producción de corto plazo q = 200 X  , se obtiene que  X  =

q

200

.

3q   q    = 240 + . 20  200 

Reemplazado en la función de costos: CTCP = 240 + 30 La

función de costo medio CTCP  240 3 CMeCP = = + . 20 q q

asociada

es:

La función de costo marginal de largo plazo es: ∂CTCP  3 = . CMgCP = ∂q 20

2,5

Costo Medio, Variable Medio y Marginal

2,0

1,5

` 1,0

CFMe 0,5

El costo fijo es 240. La forma de las funciones de costo medio y marginal depende de la tecnología utilizada que se expresa a través de la función de producción.

CMe

CMg=CVMe 0,0 0

500

1000

1500

2000

2 500

3000

q

En este caso dado que hay rendimientos constantes a escala en el corto plazo, los costos marginal y variable medio son constantes. Al existir costos fijos en el corto plazo el costo fijo medio decrece con el nivel de producción, por lo que el costo medio también decrece con el nivel de producción. 164

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV e) Si en la situación anterior se resuelve continuar produciendo 1.000 unidades y el precio de venta de cada unidad es de 1, ¿cuál es el nivel de los benéficos netos de la firma? ¿Es máximo? ¿Puede  producir más? ¿Cuánto producirá en el caso que el benéfico neto fuera igua la a cero? En el corto plazo se produce 1.000. La firma obtiene beneficios netos si:  p > CMeCP .

El precio es 1 y el costo medio es: CMeCP =

240 3 240 3 + = + = 0,39 . 20 1.000 20 q

Entonces la firma esta obteniendo beneficios, los cuales alcanzan a: π  = q ( p − CMeCP ) = 1000(1 − 0,39) = 610

Dado que los costos medio son siempre decrecientes, si el  precio se mantiene igual a 1 (demanda infinitamente elástica), a medida que la cantidad producida y vendida aumenta los beneficios aumentaran. Por lo tanto el punto de producción q = 1. 000 no es un punto de máximos  beneficios. Para que el beneficio sea igual a cero la firma tiene que  producir donde  p = CMeCP . Si el precio se mantiene en 1, la cantidad a producir debería ser:

2,5

2,0

1,5

 p

` 1,0

CMe

0,5

CMg  0,0 0

250

500

7 50

1000

1250

q

 p = CMeCP ⇒ 1 =

240 3 17 + ⇒ q = 240 ⇒ 20 20 q

q = 282,4 .

f) Determine el excedente del productor alcanzado por esta empresa en las condiciones iniciales del  punto anterior. ¿Tiene diferencia con los beneficios netos? ¿Por qué? Por definición el excedente del productor es la contribución al bienestar cuando la firma ofrece el nivel de producción con el cual maximiza beneficios. Esto no ocurre en este caso pues la firma no maximiza  beneficios cuando q = 1. 000 . En consecuencia, no se puede calcular el excedente del productor. En cambio si se puede calcular el beneficio neto porque este tiene una definición distinta, que no implica necesariamente una exigencia maximizadora.

165

Microeconomía 1 108.

Teoría de la Firma

En un mercado competitivo la función de demanda es Q D = 412 − 2 p . La demanda es

abastecida por 100 firmas iguales. La estructura de costos de cada firma es CT i (qi ) = qi2 − 2qi + 10. a) ¿Están las firmas produciendo en el corto o largo plazo? ¿Por qué? Asumiendo que las firmas son maximizadoras de beneficios, encuentre la función de oferta para una de ellas.  b) Encuentre las condiciones de equilibrio del mercado. Encuentre el ex cedente del consumidor. c) Obtenga los beneficios y el excedente del productor que percibiría cada firma individual. Explique a partir de ello que debería suceder con el tamaño de la industria y que con el tamaño de la firma. Ilustre su respuesta con un gráfico del mercado y uno de una firma representativa. Solución: a) ¿Están las firmas produciendo en el corto o largo plazo? ¿Por qué? Asumiendo que las firmas son maximizadoras de beneficios, encuentre la función de oferta para una de ellas. Las firmas están funcionando en el corto plazo pues existe un componente de costos fijo en su función de costos (CF =10). En condiciones de competencia perfecta la oferta de cada firma es igual al costo marginal a partir del  punto en el cual el costo variable medio es mínimo:  p = CMg i (q)

con  p > CVMemin ⇒  p = 2qi − 2 ⇒ qi = 0,5 p + 1

La función de costo variable medio es CVMei (qi ) = qi − 2 . La cual encuentra su mínimo donde qi = 0 . La función de oferta de cada firma es: qi = 0,5 p + 1

 si p > 0

 b) Encuentre las condiciones de equilibrio del mercado. Encuentre el ex cedente del consumidor. Oferta de mercado: QS ( p) =

100

∑q

i

= 100(0,5 p + 1) = 50 p + 100

i =1

El equilibrio de mercado se obtiene cuando: Q D = QS ( p) ⇒ 412 − 2 p = 50 p + 100 ⇒  p* = 6  y Q* = 400

El excedente del consumidor es el área bajo la curva de demanda por sobre el precio de mercado: Q*

∫

 EC  =  p(q)dq −  pq = 0

166

400

1

1

∫ [206 − 2 q]dq −  pq = 206q − 4 q 0

400

− (6 * 400) = 40.000

2 0

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) Obtenga los beneficios y el excedente del productor que percibiría cada firma individual. Explique a partir de ello que debería suceder con el tamaño de la industria y que con el tamaño de la firma. Ilustre su respuesta con un gráfico del mercado y uno de una firma representativa. Cuando  p* = 6 ⇒ qi = 4 , los costos medios son: CMei = qi − 2 +

10 qi

= 4 − 2 + 2,5 = 4,5 . Los beneficios

son: π i

= qi ( p − CMei ) = 4(6 − 4,5) = 4 *1,5 = 6

Es decir cada firma tiene beneficios sobrenormales ( π i > 0 ).

El excedente del productor es:  EP = π i + CF i = 6 + 10 = 16

Si suponemos que la tecnología no cambia entonces tenemos un doble proceso de ajuste en el largo  plazo. Por un lado, las firmas ya existentes en la industria buscaran modificar su contratación de insumos de tal manera de minimizar sus costos de largo plazo (recordemos que en el corto plazo esta  pagando costos fijos que deberían ser capaces de eliminar en el largo plazo). Las firmas deberían alcanzar un punto en el cual CMei , min = CMeCP i ,min = CMg =  p . Por otro lado, en el largo plazo nuevas firmas deberían ingresar al mercado, lo que hará que la oferta de la industria se incremente. Asumiendo que estamos en una industria con costos constantes (no hay deseconomías externas a la firma), el equilibrio de mercado de largo plazo se obtiene cuando:  p = CMei ,min = CMeCP i , min = CMg 

Gráficamente: p

CMg  CMe

Mercado

Firma CMgCP 1 CMeCP  1

CMe CMeCP 2

6

 S  L D 400

q

q0=4

q1

Q

167

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

109. Suponga un mercado en el que operan 50 empresas idénticas precio-aceptantes, cuyos costos de  producción a corto plazo vienen dados por la función CT (qi ) = qi2 + qi + 16, donde qi es la  producción de cada firma. a) Obtenga la curva de oferta de cada empresa.  b) Obtenga la curva de oferta de la industria competitiva. c) Si la curva de demanda de la industria es Q D ( p ) = 235 −  p , siendo  p el precio del bien , calcule el equilibrio de mercado. d) Calcule el beneficio de cada empresa y compárelo con el excedente del productor. Explique  porque son iguales o diferentes. Solución: a) Obtenga la curva de oferta de cada empresa.

qiS ( p) = 0 A corto plazo curva de oferta de una firma es: q ( p) ⇒   p = CMg (qi ) S  i

 si  p < CVMemin  si  p ≥ CVMemin

En el problema tenemos que el costo variable medio es: CVMe(qi ) = qi + 1 y alcanza su mínimo cuando qi = 0 ⇒ CVMemin = 1 . El costo marginal esta dado por CMg (qi ) = 2qi + 1. Igualando al costo

marginal y despejando la cantidad producida obtenemos que la función de oferta es:

qiS ( p) = 0  qiS ( p) ⇒  S   p − 1 ( ) = q  p  i 2 

 si  p < 1  si  p ≥ 1

Gráficamente:  p CMe CMg 

qi (p)

CMe 9 CVMe

1

4

 b) Obtenga la curva de oferta de la industria competitiva.

QS ( p) = 0  50 QS ( p)   p − 1  = = Q  p q  p ( ) ( ) 50   = 25( p − 1) ∑ S  i  2     i =1  168

 si  p < 1  si  p ≥ 1

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) Si la curva de demanda de la industria es Q D ( p ) = 235 −  p , siendo p el precio del bien , calcule el equilibrio de mercado. Q D ( p) = QS ( p)

235 −  p = 25( p − 1)  p* = 10

⇒ Q* = 225

d) Calcule el beneficio de cada empresa y compárelo con el excedente del productor. Explique  porque son iguales o diferentes. Cada firma produce: q = *

Q*

=

n π 

*

225 50

= 4,5 . El beneficio de cada firma es:

=  pq* − CT (q * ) = 10 * 4,5 − (4,52 + 4,5 + 16) = 4,25

El excedente del productor se define como el cambio en los beneficios económicos del productor  cuando este pasa de una situación de producción nula a otra en la cual esta produciendo una cantidad  positiva. Si el productor no produce (en el corto plazo) estará perdiendo el valor de los costos fijo (beneficios negativos), por lo que el excedente del productor es igual a los beneficios que obtiene  produciendo más los costos fijos:  EP = π  q = q* − π  q =0 = π * − (−CF ) = π * + CF  = 4,25 + 16 = 20,25 i

i

i

169

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

110. Suponga que para proveer televisión por cable hay solo dos tecnologías posibles. Por casualidad, en la zona de Viña del Mar y Valparaíso hay solo dos firmas de TV cable autorizadas para funcionar, cada una con tecnologías distintas. La empresa 1 es capaz de conectar clientes (la  producción en miles de unidades es el número de clientes o líneas) con la siguiente función de costos: CT 1 (q1 ) = q13 − 2q12 + 5q1 . La empresa 2 tiene la siguiente función de costos: CT 2 ( q 2 ) = 5q 2 . La función de demanda por televisión por cable es Q D = 7 −  p . a) Obtenga la función de oferta de cada empresa. Grafique ambas funciones separadamente.  b) Determine la curva de oferta agregada. Muestre gráficamente. c) ¿Cuál es el equilibrio del mercado si no es posible la entrada de nuevas firmas en el mercado? ¿Cuáles son los niveles de producción de la cada una de las empresas? d) Si existe libertad de entrada en el mercado, ¿cuál será el equilibrio? ¿Cuántas empresas entraran y de que tipo? Solución: a) Obtenga la función de oferta de cada empresa. Grafique ambas funciones separadamente.

qiS ( p ) = 0 La curva de oferta de largo plazo esta dada por  q ( p ) ⇒   p = CMg  S  i

 si  p < CMemin  si  p ≥ CMemin

Empresa 1: CT 1 (q1 ) = q13 − 2q12 + 5q1 CMg 1 =

∂CT 1 CT  = 3q12 − 4q1 + 5 , además CMe1 = 1 = q12 − 2q1 + 5 . ∂q1 q1

La producción que minimiza el costo medio es:

∂CMe1 ∂ (q12 − 2q1 + 5) =0 ⇒ = 2q1 − 2 = 0 ⇒ q1 = 1 ∂q1 ∂q1 El costo medio mínimo de largo plazo en la empresa 1 es:  Min CMe1 = CMe1 (q1 = 1) =12 − 2 *1 + 5 = 4 q1 > 0

Al igualar el precio al costo marginal se obtiene la curva inversa de oferta que expresa el precio en función del nivel de producción:  p = 3q12 − 4q1 + 5 ,

q1 > 1

La curva de oferta se obtiene despejando el nivel de producción en función del precio:

170

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV q1 =

4 ± 16 − 4 * 3 * (5 −  p) 2 *3

=

4 ± 4[4 − 3(5 −  p )] 2*3 q1 =

=

4 ± 2 4 − 15 + 3 p 2*3

=

2 ± 3 p − 11 3

2 + 3 p − 11 3

(Se elige la raíz mayor pues corresponde al tramo del costo marginal creciente).

q1S  ( p ) = 0  si  p < 4  q1S  ( p) ⇒  2 + 3 p − 11 S   si  p ≥ 4 q1 ( p ) = 3  Empresa 2: CT 2 (q2 ) = 5q2 CMg 2 =

∂CT 2 CT  = 5 , además CMe2 = 2 = 5 . En el largo plazo la firma opera con rendimientos ∂q2 q2

constantes a escala porque sus costos marginales son iguales a sus costos medios. En particular son iguales cinco. La función inversa de oferta es:  p = 5 ,

q1 ≥ 0

La firma esta dispuesta a ofrecer cualquier cantidad si el precio es igual a cinco, es decir:

q2S ( p) = 0 q ( p ) ⇒  S  q1 ( p) = cualquier cantidad positiva S  2

Gráficamente:

 p CMg  CMe

Empresa 1

 p CM G CMe

q1(p)

 si  p < 5  si  p ≥ 5

Empresa 2

CMe

5

q2(p)

4

1

q1

q1

171

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) Determine la curva de oferta agregada. Muestre gráficamente. La curva de oferta agregada sin libertad de entrada se obtiene como la suma horizontal de las curvas de oferta individuales: QS ( p) =

n

∑q

S  i

( p)

i =1

Dado que las firmas son tecnológicamente distintas cada una tiene un precio mínimo al cual esta dispuesta a producir. Si el precio es inferior a cuatro ninguna de las dos empresas querrá producir, si el  precio esta entre cuatro y cinco solo la empresa 1 produce y finalmente si el precio es superior a cinco ambas producirán. Gráficamente:

 p CMg  CMe

Empresa 1

Empresa 2

Mercado

 p

q1(p) CMe

QS (p)

q2(p)

5 4

4

1

q1

1 1,3

q2

La función de oferta agregada en el largo plazo sin entrada de firmas es:  si p < 4 Q s ( p) = 0  2 + 3 p − 11  QS ( p) = Q s ( p) =  si 4 ≤  p < 5 3  Q s ( p) = q1S ( p) + q2S ( p) > 1, 3  si p = 5 

Si el precio es igual a cinco la firma 1 produce: q1 =

172

2 + 3 * 5 − 11 3

=

2+2 3

= 1, 3

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) ¿Cuál es el equilibrio del mercado si no es posible la entrada de nuevas firmas en el mercado? ¿Cuáles son los niveles de producción de la cada una de las empresas? El precio de equilibrio de la industria es aquel para el que la cantidad demandad es igual a la ofrecida: Q D ( p ) = QS ( p ) . Dada la

 p

Mercado

7

función de demanda: Q D = 7 −  p gráficamente tenemos que: En este caso particular el equilibrio se encuentra cuando la función de oferta agregada incluye ambas firmas, es decir cuando el precio es cinco.

QS (p)

4

Q (p)

 p* = 5

⇒ Q* = 7 − p = 7 − 5 = 2 1

La firma 1 produce: q1* =

2 + 3(5) − 11 3

1,3

2

7

Q

= 1, 3 .

La firma 2 produce la diferencia: q2* = Q * ( p ) − q1* = 2 − 1, 3 = 0, 6 d) Si existe libertad de entrada en el mercado, ¿cuál será el equilibrio? ¿Cuántas empresas entraran y de que tipo? Si existe libertad de entrada en el mercado, se dice que la industria se encuentra en equilibrio de largo  plazo cuando las firmas no tienen incentivos para entrar o salir de ella. Esto significa que en el equilibrio de mercado de largo plazo las firmas tendrán benéficos económicos nulos, lo cual se observa cuando el precio es igual coste medio mínimo (en el largo plazo no hay costo fijos por lo que le costo variable medio es igual al costo medio). Dado que las dos firmas tienen costos medios mínimos diferentes entonces prevalecerá como precio de equilibrio menor costo medio mínimo. En este caso la empresa 1 tiene la tecnología que le permite alcanzar el menor costo medio mínimo ($4). Si las empresas son agentes racionales, mientras se observen benéficos positivos entraran empresas replicando la tecnología que permite vender a un precio menor, es decir ingresaran solo firmas del tipo 1. La empresa 2 tendrá que salir del mercado pues posee una tecnología que le genera costos mas elevados. El * = CMemin = 4 . Al precio de $4, la equilibrio del mercado en el largo plazo esta definido por:  p LP  * cantidad demanda (y vendida) es: Q LP  = Q D = 7 − p = 7 − 4 = 3 . Además, cada firma tipo 1 producirá

q ( p = 4) = 1 . El número de empresa tipo 1 que participara del mercado es: n * i

*  LP 

=

* Q LP 

qi*

=

3 1

= 3.

173

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

111. En el mercado de producción de jugos de fruta en caja hay dos firmas. Cada una de ellas tiene la siguiente estructura de costos: CT 1 = 4 + q + 5q 2 y CT 2 = 5 + 5q + q 2 . Donde q está expresado en millones de litros. a) Indique que factores podrían hacer que este mercado se comportara como un mercado  perfectamente competitivo.  b) Determine la función de oferta de cada una de estas firmas asumiendo que el mercado de jugos fruta en caja es un mercado perfectamente competitivo. Grafíquelas. c) Determine la función de oferta del mercado. d) Estimaciones realizadas por una empresa consultora indican que el precio de mercado es igual a 3 durante la temporada otoño-invierno y de 10 durante la temporada primavera-verano. Encuentre el equilibrio del mercado durante la temporada otoño-invierno. Determine cuanto  produce cada firma y sus beneficios económicos. e) Suponga que ambas firmas deben incurrir en costos fijos permanentemente, determine cual debería ser el precio mínimo en el largo plazo para que exista producción (para que estén dispuestas a participar en el mercado). f) Encuentre el equilibrio del mercado durante la temporada primavera-verano. Determine cuanto  produce cada firma y sus beneficios. Solución: a) Indique que factores podrían hacer que este mercado se comportara como un mercado  perfectamente competitivo. El mercado de jugos de fruta en caja se comportaría como un mercado perfectamente competitivo si hubiesen bajas o nulas barreras a la entrada de firmas, o si existiese competencia internacional (importaciones de jugo de fruta).  b) Determine la función de oferta de cada una de estas firmas asumiendo que el mercado de jugos fruta en caja es un mercado perfectamente competitivo. Grafíquelas. Las firmas que participan de mercados perfectamente competitivos maximizan beneficios donde el  precio es igual al costo marginal. Así, la función de oferta es la función de costo marginal a partir un  precio igual al costo variable medio mínimo: CMg 1 = 1 + 10q ⇒  p = CMg  ⇒  p = 1 + 10q ⇒ q( p) =

CMg 2 = 5 + 2q ⇒  p = CMg  ⇒  p = 5 + 2q ⇒ q( p) =

174

p −1

10 p−5 2

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Dado que las funciones de costo variable medio de ambas firmas alcanzan su mínimo (relevante) para niveles de producción igual a cero las funciones de oferta de las firmas son:

q1 ( p ) =

 p − 1 con p ≥ 1 10

q2 ( p ) =

 p − 5 con p ≥ 5 2

 S 1(q1 )

 p

 S 2(q2 )

5

1

Q

c) Determine la función de oferta del mercado. La función de oferta del mercado es la suma de las oferta individuales: Q( p ) = q1 ( p ) + q2 ( p)

 Q( p) = 0   p − 1  Q( p) = q1 ( p) + q2 ( p) = Q( p) = 10  6 p − 26  = Q  p ( )  10

con 0 ≤  p < 1 con 1 ≤  p < 5 con 5 ≤  p

d) Estimaciones realizadas por una empresa consultora indican que el precio de mercado es igual a 3 durante la temporada otoño-invierno y de 10 durante la temporada primavera-verano. Encuentre el equilibrio del mercado durante la temporada otoño-invierno. Determine cuanto  produce cada firma y sus beneficios económicos. Con un precio igual a 3 la única firma que produce es la firma 1. Así, la producción del mercado es: Q( p = 3) = q1 ( p = 3) =

p −1

10

=

3 −1 10

= 0,2 y q2 ( p = 3) = 0

Los beneficios de cada firma son: π 1 (q )

2 = IT 1 (q) − CT 1 (q) =  pq − CT 1 (q) = 3(0,2) − 4 + 0,2 + 5(0,2 ) ) = 0,6 − 4,4 = −3,8

π 2 ( q

= 0) = −CT 2 (q = 0) = −5

Para la firma 1 los beneficios económicos son iguales a –3,8 y para la firma 2 son de –5.

175

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

e) Suponga que ambas firmas deben incurrir en costos fijos permanentemente, determine cual debería ser el precio mínimo en el largo plazo para que exista producción (para que estén dispuestas a participar en el mercado). Aun cuando en el corto plazo las firmas están dispuestas a soportar beneficios económicos negativos (subnormales), en el largo plazo las firmas producirán sólo si observan beneficios económicos iguales a cero como mínimo. Así, el precio mínimo que debería existir para que estén dispuestas a participar en el mercado debería ser igual a su costo medio mínimo. Asumiendo que la estructura de costos se mantiene, los costos medios mínimos de ambas firmas son: CMe1 =

4 4 2 5 2 ∂CMe1 + 1 + 5q ⇒ =− 2 +5=0 ⇒q = ⇒ CMe1, min = 4 +1+ 5 = 9,94 2 ∂q q q 5 5

CMe2 =

5 5 5 ∂CMe1 +5+q ⇒ = − 2 + 1 = 0 ⇒ q = 5 ⇒ CMe1, min = + 5 + 5 = 9,47 ∂q q q 5

Por lo tanto en el largo plazo el precio se debe situar en un nivel de al menos 9,47 para que exista  producción en el mercado.  Nota: Otra alternativa es que se mantengan precios distintos durante ambas temporadas pero a niveles tales que las pérdidas que las firmas del mercado puedan enfrentar en alguna temporada se vea compensada con ganancias en la otra (de igual magnitud). f) Encuentre el equilibrio del mercado durante la temporada primavera-verano. Determine cuanto  produce cada firma y sus beneficios. Con un precio igual a 10 ambas firmas producen. La producción del mercado es: Q( p = 10) =

6 p − 26 6(10 ) − 26 60 − 26 = = = 3,4 10 10 10

La producción y los beneficios de cada firma son: q1 ( p = 10) = π 1 ( q )

=  pq − CT (q) = 10(0,9) − (4 + 0,9 + 5(0,9 ) ) = 9 − 8,95 = 0,05 2

q2 ( p = 10) = π 2 ( q )

176

p − 1 10 − 1 = = 0,9 10 10

p − 5 10 − 5 = = 2,5 2 2

2 =  pq − CT (q) = 10(2,5) − 5 + 5(2,5) + (2,5) ) = 25 − 23,75 = 1,25

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 112.

Colóquese en la situación de estar a cargo de una empresa que produce en un mercado 100 competitivo. El costo unitario de producción de dicha empresa es + q. q

a) ¿En qué horizonte de tiempo esta trabajando su empresa? Explique.  b) ¿A partir de que precio producirá esta empresa una cantidad positiva? Grafique. c) ¿Cuál es la función de oferta resultante? Grafique. ¿Cuánto producirá si el precio es de 60  pesos? d) Presente como sería el excedente del productor de esta empresa y determine cuanto sería dicho excedente bajo las condiciones de precio y producción anteriores. e) Si en el mercado hay operando cien empresas iguales a la que Ud. dirige, ¿cuál seria la función de oferta de la industria? f) Suponiendo que la demanda de mercado es infinitamente elástica y que el precio es de 60 pesos ¿a cuanto ascendería el excedente de los productores y de los consumidores? Explique usando gráficos. Solución: a) ¿En qué horizonte de tiempo esta trabajando su empresa? Explique. Si la función de costos medios esta dada por  CMe =

CMe =

CT  q

100 q

+ q y sabemos que:

⇒ CT  = CMe * q

⇒ CT  = 100 + q 2 . Es decir la función de CT  tiene un componente fijo (100) independiente de cualquier nivel de  producción y un componente variable ( q 2 ). Solo en el corto plazo se cumple que CT  = CF + CV (q ) . Por esto la firma se encuentra operando en el corto plazo.  b) ¿A partir de que precio producirá esta empresa una cantidad positiva? Grafique. En el corto plazo para  p ≥ CMemin se tiene que q > 0 . En este caso CVMe = q , función que no tiene un mínimo en el nivel de producción por lo que la firma produce q > 0 para cualquier nivel de  p ≥ 0 .

177

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

c) ¿Cuál es la función de oferta resultante? Grafique. ¿Cuánto producirá si el precio es de 60  pesos? La función de oferta se obtiene de la condición  p = CMg  si  p ≥ 0 Donde CMg =

∂CT  = 2q . Por lo que  p = 2q genera la función de oferta de la firma: ∂q q=

 p

2

si  p ≥ 0

Si  p = 60 ⇒ q* = 30 . Gráficamente:

Costo Total y Costo Variable

Costos Medio, Marginal, Fijo Medio y Variable Medio

3000

100,0

CMg 

CT 

2500

80,0

CV  2000

60,0

CMe

1500

CVMe

40,0 1000 20,0

500

CFMe 0

0,0 0

20

40

60

q 0

10

20

30

40

50

60

d) Presente como sería el excedente del productor de esta empresa y determine cuanto sería dicho excedente bajo las condiciones de precio y producción anteriores. Una de las definiciones del excedente del productor nos dice que es el área entre el precio de equilibrio y la función de oferta. Algebraicamente el excedente es: qe

∫

qe

∫

30

∫

 ExcP = [ p − CMg ]dq =  pq − [CMg ]dq =  pq − [ 2q ]dq =  pq − q 2 0

178

0

0

]

30 0

= 60 * 30 − 900 = 900

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV También lo podemos expresar como la suma de los beneficios que obtiene la firma con ese nivel de  producción más los costos fijos: 2

 ExcP = π * + CF  = [ pq* − CT ] + CF  = [ pq* − 100 − q * ] + 100 = 60 * 30 − 100 − 900 + 100 = 900

Finalmente se puede obtener de la diferencia entre el precio y el costo variable medio:  ExcP = q * ( p − CVMe) = q* ( p − q* ) = 30(60 − 30) = 900

Gráficamente:  p CMg  CMg 

60

30

q

e) Si en el mercado hay operando cien empresas iguales a la que Ud. dirige, ¿cuál seria la función de oferta de la industria? La función de oferta de la industria esta dada por: Qs =

100

n

∑ CMg  =∑ q ( p) . i

i =1

i

i =1

Donde la función de oferta de cada una de las firmas es: qi ( p) = p / 2 .

Reemplazando en Qs encontramos que: Qs =

100

100

 p

 p

∑ q ( p) = ∑ 2 = 100( 2 ) = 50 p i

i =1

i =1

La función de oferta de la industria es: Qs = 50 p si  p ≥ 0

179

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

f) Suponiendo que la demanda de mercado es infinitamente elástica y que el precio es de 60 pesos ¿a cuanto ascendería el excedente de los productores y de los consumidores? Explique usando gráficos. Si la función de demanda es perfectamente elástica tenemos el precio es constante:  p = 60. La cantidad de equilibrio del mercado es Qs = 50 p = 50 * 60 = 3. 000 El excedente del productor es la suma de todos los excedentes de los productores individuales. Para calcular el excedente del productor podemos hacer uso del hecho que todas las firmas son iguales por lo que todas tendrán el mismo excedente del productor, así:  ExcP   IND =

100

∑ ExcP  = 100 * 900 = 90.000 i

i =1

También se puede calcular directamente el área entre el precio y la función de oferta (SIND) como: qe

3000

∫

 ExcP   IND = [ p − S   IND ]dq =  pq − 0

q

q2 

∫ [ 50 ]dq =  pq − 100  0

3000

= 60 * 3.000 − 90.000 = 90.000 0

Dado que la función de demanda es perfectamente elástica entonces no hay excedente del consumidor, solo hay excedente del productor. Gráficamente:  p

Exc. Prod.  S  IND

60

 p

3.000

180

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 113. Una refinería de petróleo transforma petrolero crudo en gasolina. Para producir un barril de gasolina se necesita un barril de petróleo crudo. Además de los costos del petróleo existen otros costos de refinamiento. Los costos totales de producir q barriles de gasolina están dados por la función CT (q ) = q 2 +  p p q , donde p p es el precio del barril de petróleo. a) Obtenga las funciones de costo medio y marginal en la producción de gasolina.  b) ¿En que horizonte de plazo esta funcionando esta refinería? ¿Qué tipo de rendimientos a escala cree que presenta esta refinería? c) Encuentre la función de oferta de la firma. Grafíquela. Discuta los efectos que tiene sobre la función de oferta de gasolina los cambios en el precio del petróleo crudo. d) La refinería puede comprar 20 barriles de crudo a $5 cada uno, pero si adquiere más de 20  barriles, entonces cada barril adicional cuesta $15. Encuentre la función inversa de oferta de gasolina y la correspondiente función de oferta de la refinería. Grafique esta ultima. e) Como se relacionan los beneficios con el excedente del productor en el caso de esta refinería. Muestre gráficamente usando la función de oferta. f) Determine la cantidad que produciría la refinería y los beneficios que obtendría si los precios del  barril de gasolina fueran $35, $50 y $65. (Ayuda: primero apóyese con el gráfico anterior para señalar el area que representa a los beneficios, luego calcúlelos) g) La refinería puede adquirir todos los barriles de crudo a un costo de $10 por barril. Encuentre la función de oferta de la refinería. ¿Cómo cambia su respuesta de la letra f) bajo estas condiciones? h) Suponga que el gobierno introduce un programa bajo el cual las refinerías pueden adquirir por  cada barril comprado a $15 otro por el precio de $5 (Ayuda: suponga que se pueden adquirir  fracciones de barril por el mismo procedimiento). Encuentre la función de oferta de la refinería. ¿Cómo cambia su respuesta de la letra f) bajo estas condiciones? Solución: a) Obtenga las funciones de costo medio y marginal en la producción de gasolina. La función de costo total es: CT (q ) = q 2 +  p p q . La función de costo medio es: CMe(q ) =

CT (q)

La función de costo marginal es: CMg (q) =

q

= q +  p p

∂CT (q) = 2q +  p p ∂q

181

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) ¿En que horizonte de plazo esta funcionando esta refinería? ¿Qué tipo de rendimientos a escala cree que presenta esta refinería? CMg=2

Dado que la función de costos totales no presenta costos fijos podemos deducir que la refinería se encuentra trabajando en un horizonte de largo  plazo.

CMe=q

Por la forma de las curvas de costo medio y marginal, las cuales crecientes, con el costo marginal siempre por encima del costo medio, podemos deducir que la refinería tiene rendimientos decrecientes a escala.

c) Encuentre la función de oferta de la firma. Grafíquela. Discuta los efectos que tiene sobre la función de oferta de gasolina los cambios en el precio del petróleo crudo. La función de oferta de la firma es la función de costo marginal desde el punto donde el costo variable medio es mínimo. En este caso el costo total es igual al costo variable total, por lo que el costo medio es igual al costo variable medio. CT (q) = CV (q) ⇒ CMe(q) = CVMe(q)

 p CMg 

 p p

El costo variable medio está dado por: CVMe(q ) =

CV (q) q

= q +  p p

q

Por observación podemos decir que el costo variable medio encuentra su mínimo cuando no hay  producción. Para encontrar la función de oferta de la firma sabemos que una empresa maximizadora de  beneficios producirá donde el precio es igual al costo marginal, en este caso:  p = CMg 

Dado que conocemos la función de costo marginal podemos obtener la Función Inversa de Oferta:  p(q ) = 2q +  p p

si q > 0

Con esta información podemos construir la Función de Oferta de la firma de la siguiente:

 0  q( p ) =  p −  p p   2

si  p ≤  p p si  p p <  p

Dado que el petróleo crudo es un insumo en la producción de gasolina, su precio debe afectar la estructura de costos de la refinería. En nuestro caso, del grafico y de la función de oferta se observa que cambios en el precio del crudo afectarán la función de oferta de gasolina. En particular, un aumento del 182

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  precio crudo eleva el precio mínimo a partir del cual la refinería estaría dispuesta a producir gasolina,  por lo que se produce un desplazamiento hacia arriba de la curva de oferta, es decir, la curva de oferta de la refinería se contrae. Lo contrario ocurre con bajas en el precio del crudo. También en este caso  particular es importante notar que el impacto del precio del crudo esta dado solo en el precio mínimo al cual la empresa esta dispuesta a vender, es decir la posición de la curva de oferta, no afectando la forma (pendiente) de esta. d) La refinería puede comprar 20 barriles de crudo a $5 cada uno, pero si adquiere más de 20  barriles, entonces cada barril adicional cuesta $15. Encuentre la función inversa de oferta de gasolina y la correspondiente función de oferta de la refinería. Grafique esta ultima.  p

La función inversa de oferta esta dada por:

2 q + 5 2q + 15

 p(q ) = 

q(p)

si q ≤ 20 55

si 20 < q

45

5

La respectiva función de oferta es:

20

 0  p − 5   2 q( p ) =   20  p − 15   2

q

si  p < 5 si 5 ≤  p < 45 si 45 ≤  p < 55 si 55 <  p

e) Como se relacionan los beneficios con el excedente del productor en el caso de esta refinería. Muestre gráficamente usando la función de oferta. Usando la definición de excedente del productor y la información que conocemos acerca del horizonte de tiempo de la firma podemos representar gráficamente a los beneficios como el área entre la curva de demanda (o el precio en este caso) y la curva de oferta. Esto es así, por que sabemos que el excedente del productor se puede definir  como:

 p

q(p)

p

 EP (q* ) = Π (q* ) + CF   EP=Beneficios

Como estamos en un horizonte de largo plazo donde no hay costos fijos entonces encontramos que los beneficios de la firma son iguales al excedente del productor.

q

183

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

f) Determine la cantidad que produciría la refinería y los beneficios que obtendría si los precios del  barril de gasolina fueran $35, $50 y $65. (Ayuda: primero apóyese con el gráfico anterior para señalar el area que representa a los beneficios, luego calcúlelos)  p

 p

q(p)

 p

q(p)

65 55 35

q(p)

p

p eneficios

 p eneficios eneficios

20

q

Precio 35

Cantidad Refinada q( p) q( p ) =

2

=

35 − 5 2

Beneficios Π (q ) =  pq − CT (q)

= 15

q( p) =

p − 15

2

=

Π (q ) = 35 *15 − (15) 2 − 5 *15 = 325 − 225 − 75 = 225 Π (q) = 50 * 20 − (20) 2 − 5 * 20 = 1000 − 400 − 100 = 500

q( p) = 20

50

65

p−5

q

q

65 − 15 = 25 2

Π (q ) =  p * q − CT  = 825

Para el caso de los beneficios cuando el precio es $65, es importante tener en cuenta que la función de oferta es discontinua. Sabemos que los beneficios son la diferencia entre los ingresos y los costos totales. Estos últimos, pueden ser representados como el área bajo la curva de oferta (o costos marginales) debido a la inexistencia de costos fijos. Recuerde que: CT (q ) = CF + CV ( q ) ⇒ CMg ( q) =

⇒

∂CT (q ) ∂CV (q ) = ∂q ∂q  ∂CV (q )  dq ∂q  

∫ CMg (q)dq = ∫  

∫ CMg (q)dq = c + CV (q)

184

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Donde c es igual al costo fijo. Gráficamente tenemos que:

 p

q(p)

B

C

p

D E

G O

F

A

q

En el grafico podemos ver los costos totales estarán dados por las áreas: CT  = OFEG + FABD

Entonces, podemos obtener el costo total usando las funciones de costo existentes de la siguiente forma:

Π (q) =  p * q − CT  =  p * q − [OFEG + FABD]

[

q = 20

=  p * q − CT  0

q = 25

+ CT  q =20

]

q = 20  − q 2 +  p q q =25  =  p * q − q 2 +  p p q  p q =    0 20   q = 20  − q 2 + 15q q =25  =  p * q − q 2 + 5q   q = 20  0   = 65 * 25 − [202 + 5 * 20] − [(252 + 15 * 25) − (20 2 + 15 * 20)] = 1625 − [500] − [1000 − 700] Π (q) = 825

g) La refinería puede adquirir todos los barriles de crudo a un costo de $10 por barril. Encuentre la función de oferta de la refinería. ¿Cómo cambia su respuesta de la letra f) bajo estas condiciones? Dado que  p p = 10 para cualquier nivel de compras de barriles de crudo, la función inversa de oferta esta dada por:  p (q) = 2q + 10

si q ≥ 0

A su vez, la correspondiente función de oferta es:

 0  q( p) p − 10  2

si  p ≤ 0 si 10 <  p

185

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Gráficamente:  p

q(p) q=(p-10)/2

55 45

10 5 20

Precio 35

50

65

q

Cantidad Refinada q( p) p −5

q( p) =

2

q( p) = q( p ) =

=

p −5

2

p − 15

2

35 − 10

=

2

Π (q) = 35 *12,5 − (12,5) 2 − 10 *12,5 = 156,25

= 12,5

50 − 10 2

Beneficios Π (q) =  pq − CT (q)

Π (q ) = 50 * 20 − (20) 2 − 10 * 20 = 400

= 20

65 − 10 = = 27,5 2

Π (q) = 65 * 27,5 − (27,5) 2 − 10 * 27,5 = 756,25

h) Suponga que el gobierno introduce un programa bajo el cual las refinerías pueden adquirir por  cada barril comprado a $15 otro por el precio de $5 (Ayuda: suponga que se pueden adquirir  fracciones de barril por el mismo procedimiento). Encuentre la función de oferta de la refinería. ¿Cómo cambia su respuesta de la letra f) bajo estas condiciones? Haciendo uso del supuesto de que podemos comprar fracciones de barril bajo este esquema de precios, en el limite, el precio por barril será el promedio entre estos dos precios, es decir $10. Esto porque cualquier cantidad de petróleo crudo puede ser adquirida a un precio promedio de $10. Por ejemplo, si quisiéramos comprar 1,6 barriles adquiriríamos 0,8 barriles a $15 el barril y pagaríamos $5 por barril  por los otros 0,8 barriles. El precio promedio final sería:  p =

15 * 0,8 + 5 * 0,8 1,6

=

16 1,6

= 10

En general podemos mostrar que para cualquier cantidad a comprar basta con comprar la mitad al  precio de $15 para recibir la otra mitad al precio de $5, obteniend o así un precio promedio de $10:

 q   q   q  15  + 5   (15 + 5) 2 2 2  p (q ) =         =     = q q

 q   20  2  = 20 = 10 q

2

Por lo tanto las respuestas de la letra f) son iguales a las obtenidas en la letra g). 186

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 114. La función de costos de largo plazo de una empresa que opera en un mercado competitivo es: CT (q) = 0,5q 3 − 4,1q 2 + 20q . La firma utiliza dos factores productivos, trabajo ( L) y capital ( K ). Su función de costos de corto plazo para cada nivel de K (siendo K el factor fijo) es: CT CP (q, K ) = 0,5q 3 − 4q 2 + (20 − K )q + 2,5 K 2

a) Si la firma maximiza el beneficios a corto plazo cuando K =4 y el precio del producto es p=16, ¿estará la firma dispuesta a producir? De estarlo cuanto producirá y que beneficios obtendrá? Solución: a) Si la firma maximiza el beneficios a corto plazo cuando K =4 y el precio del producto es p=16, ¿estará la firma dispuesta a producir? De estarlo cuanto producirá y que beneficios obtendrá? A corto plazo la empresa esta dispuesta producir siempre que el precio sea mayor que su costo variable medio mínimo. La condición de primer orden del problema de maximización de beneficio a corto plazo de una empresa competitiva implica que la curva de oferta de corto plazo esta dada por 

q S ( p) = 0 q ( p ) ⇒   p = CMgCP  S 

 si  p < CVMemin  si  p ≥ CVMemin

Las funciones de costos de corto plazo, costo variable medio y costo marginal cuando K =4 son: CT CP (q,4) = 0,5q 3 − 4q 2 + 16q + 40

0,5q 3 − 4q 2 + 16q CVMe = = 0,5q 2 − 4q + 16 q CMg = 1,5q 2 − 8q + 16

La producción que minimiza el CVMe es:

∂CVMe = q−4 = 0 ∂q

⇒ q=4

⇒ CVMemin = 0,5(4 2 ) − 4(4) + 16 = 8

Por lo tanto la curva de oferta de corto plazo es:

q S ( p) = 0  si  p < 8 q ( p) ⇒   p = 1,5q 2 − 8q + 16  si  p ≥ CVMemin S 

187

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Para encontrar la producción que maximiza los beneficios de la firma cuando p=16 se tiene que:

qS (p)

 p CMg  CMe

CMe CVMe

 p = CMg 

⇒ 16 = 1,5q 2 − 8q + 16 ⇒ q(1,5q − 8) = 0 ⇒ q* =

16 3

CMg 

8

= 5, 3

El nivel de beneficios sera: π 

*

p

16

4

q

= IT (q* ) − CT (q* ) =  pq* − CT (q* ) = −2,07  b) Determine el equilibrio de largo plazo en este mercado. Explique como se llega a él.

Para que el mercado se encuentre en equilibrio de largo plazo las firmas no tienen que tener incentivos  para entrar o salir del mercado. Esto ocurre cuando los beneficios económicos son nulos, es decir, cuando el precio es igual al costo medio. Adicionalmente, la condición de primer orden del problema de maximización de beneficios de la empresa implica que el precio sea igual al costo marginal. Ambas condiciones se cumplen únicamente en el mínimo de la curva de costos medios a largo plazo de cada empresa. Por consiguiente, el precio del producto para el que la elección optima de la empresa a largo  plazo conlleva un beneficio nulo será:  Max

 LP 

π i

qi  LP 

π i

=0

⇒  p = CMg i    p = Min CMei ⇒  p = CMei 

Los costos medios de largo plazo son CMe(q ) = 0,5q 2 − 4,1q 2 + 20 . Estos encuentran su mínimo en:

∂CMe = q − 4,1 = 0 ∂q

⇒ q = 4,1

⇒ CMemin = 0,5(4,12 ) − 4(4,1) + 20 = 12,005

El precio de equilibrio en el largo plazo es de $12,005 y la cantidad producida por la firma a ese precio es de 4,1 unidades.

188

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 115. Maria Magnolia quiere abrir una floristería en la nueva feria de las pulgas. Maria puede elegir  entre dos tipos de locales, cuyas superficies son de 200 y 500 metros cuadrados respectivamente. El arriendo mensual de los locales es de $1 por metro cuadrado. Maria ha estimado que si dispone de  F  metros cuadrados y vende q ramos de flores al mes, sus costos variables mensuales serán: q2 CV (q) =  F  . a) Si dispone del local de 200 metros cuadrados, ¿cuáles son sus funciones de costo total, medio y marginal? ¿En que nivel de producción (ventas) se minimiza el costo medio? ¿Cuál es el costo medio mínimo?  b) Si dispone del local de 500 metros cuadrados, ¿cuáles son sus funciones de costo total, medio y marginal? ¿En que nivel de producción (ventas) se minimiza el costo medio? ¿Cuál es el costo medio mínimo? c) Dibuje las curvas de costo medio de corto plazo para cada una de las posible alternativas de locales. d) ¿Cómo cree Ud. que seria la curva de costo medio de largo plazo si hubiesen infinitos tipos de locales, es decir, si Maria pudiera arrendar locales de cualquier tamaño en la feria? e) Dibuje la curva de costo medio de largo plazo. Explique. Solución: a) Si dispone del local de 200 metros cuadrados, ¿cuáles son sus funciones de costo total, medio y marginal? ¿En que nivel de producción (ventas) se minimiza el costo medio? ¿Cuál es el costo medio mínimo? La curva de costo total de corto plazo esta dada por: CT  = CF + CV (q) = 200 +

CMe =

CT  q

=

200 q

+

q

200

q2

200

y CMg =

∂CT  q = ∂q 100

Para encontrar el costo medio mínimo: CMemin ⇒

∂CMe =0 ∂q

⇒

200 1 ∂CMe =− 2 + =0 200 ∂q q

⇒ qˆ = 200 ⇒ CMe(qˆ ) = 2

El costo medio mínimo se alcanza cuando Maria vende 200 ramos y es de $2.  b) Si dispone del local de 500 metros cuadrados, ¿cuáles son sus funciones de costo total, medio y marginal? ¿En que nivel de producción (ventas) se minimiza el costo medio? ¿Cuál es el costo medio mínimo? CT  = 500 +

q2

500

, CMe =

500 q

+

q

500

y CMg =

q

250

189

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Para encontrar el costo medio mínimo:

∂CMe 500 1 =− 2 + =0 ∂q q 500

CMemin ⇒

⇒ qˆ = 500 ⇒ CMe(qˆ ) = 2

El costo medio mínimo se alcanza cuando Maria vende 500 ramos y es de $2. c) Dibuje las curvas de costo medio de corto plazo para cada una de las posible alternativas de locales. Costos ($) CMe(L=200mt  ) 2

4

CMe(L=500mt 2 )

3

2

1

0

200

600

400

800

1000

1200

 Ramos

d) Dibuje la curva de costo medio de largo plazo. Explique. Costos ($) 4

CMeLP 

3

2

1

0

200

400

600

800

1000

1200

La curva de costos medios de largo plazo muestra los costos medios mínimos a los cuales es posible producir las distintas cantidades de producto en el largo plazo, por  lo que incorpora las porciones de las curvas de costo medio de corto plazo que reflejan los menores costos posibles para cada nivel de producto.

 Ramos

e) ¿Cómo cree Ud. que seria la curva de costo medio de largo plazo si hubiesen infinitos tipos de locales, es decir, si Maria pudiera arrendar locales de cualquier tamaño en la feria? En este caso la curva de costos medios de largo plazo seria iguala a CMeLP = 2. Es decir una línea recta horizontal. Esto es así porque para cualquier tamaño del local la especificación de los costos q2  F  q totales es CT  = F + , por lo que los costos medios son CMe = + . Así, el costo medio mínimo se  F  q  F  alcanza cuando: ∂CMe  F  1  F   F  = − 2 + = 0 ⇒ qˆ = F  ⇒ CMe(qˆ = F ) = + = 2 ∂q q  F   F   F  Eso significa que en el largo plazo Maria puede ajustar el tamaño de local de tal manera que siempre  podría vender la cantidad de ramos que minimiza el costo medio. 190

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 116. El mercado de juegos de loza es un mercado altamente competitivo. En la actualidad la función de costos de una empresa representativa se puede describir con la siguiente función: CT i = 5qi2 + 50qi n . Donde q i es la cantidad de juegos producidos por la empresa y n es el número de empresas del mercado. Suponiendo que la demanda por juegos de loza se puede representar por  la función: Q D ( p ) = 2.000 −  p , y que en hay 10 empresas funcionando en el mercado, responda las siguientes preguntas a) En base a la estructura de costos de la empresa señale que tipo de industria es el mercado de  juegos de loza. Señale y explique brevemente qué podría explicar dicho tipo de industria.  b) Encuentre y describa la función de oferta de una firma. Explique por que esa es la función de oferta. c) Encuentre el equilibrio del mercado (precio y cantidad) así como la producción y los beneficios de cada firma si el mercado se organiza competitivamente. d) Indique que debería ocurrir en el largo plazo en este mercado. Describa y explique las distintas fuerzas que afectarán al mercado. e) Suponga que ahora ingresan 4 firmas al mercado, cada una de ellas con la siguiente función de costos: CT i = 2qi2 + 50qi n . Encuentre la función de oferta del mercado e indique cual será el equilibrio de este y la producción y beneficios de cada firma. Solución: a) En base a la estructura de costos de la empresa señale que tipo de industria es el mercado de  juegos de loza. Señale y explique brevemente qué podría explicar dicho tipo de industria. Para determinar el tipo de industria debemos observar que sucede con los costos de producción de la empresa frente a cambios en el número de firmas en el mercado. En particular tenemos:

∂CT i = 50qi > 0 ∂n

∀qi > 0

De la estructura de costos de la empresa podemos observar que los costos totales de cualquier empresa,  para cualquier nivel de producción dado, se incrementan si el número de firmas en el mercado crece. Por esto, podemos señalar que esta es una industria de costos crecientes. En general, hay diversas razones que pueden generar deseconomías externas a la firma (netas) de tal manera que se genere un industria de costos crecientes. La más importante esta relacionada con la demanda de factores e insumos, los cuales pueden ver alterado su precio en directa relación con el número de firmas en el mercado, alterado a su vez los costos de estas.  b) Encuentre y describa la función de oferta de una firma. Explique por que esa es la función de oferta. Si el mercado se organiza competitivamente una firma maximizadora de beneficios debe producir (para maximizar beneficios) hasta el punto donde el precio es igual al costo marginal. Así, la función de oferta de la firma es la función de costo marginal (desde el punto el que donde el costo variable medio es mínimo). Esto ocurre porque si la firma produce en un punto donde precio es mayor al costo marginal la firma podría incrementar sus beneficios aumentando la producción (y las ventas) en una unidad adicional. De forma similar, si la empresa produce en un punto donde el costo marginal es superior al precio, entonces la empresa no estará maximizando beneficios, pues la ultima unidad 191

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 producida tiene un costo superior al ingreso que ella genera. Por lo tanto podría aumentar sus beneficios no produciendo dicha unidad. En conclusión, la producción optima (que maximiza beneficios) ocurre donde el precio es igual al costo marginal, constituyéndose entonces en la función de oferta de la firma. En el caso del mercado de juegos de loza, una firma maximizadora de beneficios (con 10 firmas en el mercado) produce donde:  p = CMg i (q, n) ⇒  p = 10qi + 500 ⇒ qi =

p − 500

10

Al mismo tiempo la función de costo variable medio es: CVMei = 5qi + 500 . Dicha función alcanza su valor mínimo cuando no existe producción: CVMei (qi = 0 ) = 500 . Además, la función es siempre

 ∂CVMei   = 5  . Por lo tanto la función de oferta de la firma es: q ∂ i      p − 500 qi =  para p > 500

creciente 

10

c) Encuentre el equilibrio del mercado (precio y cantidad) así como la producción y los beneficios de cada firma si el mercado se organiza competitivamente. Si el mercado se organiza competitivamente cada firma produce done el precio es igual al costo marginal. El precio a su vez se determina de la interacción de la oferta y la demanda del mercado. Entonces tenemos que la función de oferta del mercado es: QS  =

  p − 500    p − 500   =10  10     10   i =1

10

10

∑ q = ∑   i

i =1

QS  = p − 500

El equilibrio del mercado es: Q D = QS 

⇒

2.000 −  p = p − 500

 p * = 1.250 y Q* = 750

Dado que todas las firmas son iguales, la producción de cada firmas es: q = * i

Q* n

=

750 10

= 75

Los beneficios de cada firmas son: π i

= IT i − CT i = ((1.250)75) − (5(75) 2 + 500(75) ) = 93.750 − 65.625 = 28.125

d) Indique que debería ocurrir en el largo plazo en este mercado. Describa y explique las distintas fuerzas que afectarán al mercado. 192

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Al existir beneficios positivos en este mercado, en el largo plazo, habrá un incentivo a la entrada de nuevas firmas. Por un lado, el ingreso de las nuevas firmas aumentará los costos de producción de las firmas actuales y entrantes (ceteris paribus ), incluyendo los costos marginales, por lo que las firmas estarán dispuestas a vender las mismas cantidades que antes sólo a precios más altos. Es decir, el ingreso de nuevas firmas producirá una contracción de la función de oferta de cada firma y del mercado. Esta contracción de la oferta se generará por un aumento en costos y por lo tanto en el mercado tenderán a haber precios más altos. Al mismo tiempo, existe otra fuerza que afecta el equilibrio del mercado. El ingreso de nuevas firmas (ceteris paribus ) aumentará la oferta del mercado, por lo que los  precios tenderán a caer. El efecto final sobre la función de oferta (y los precios) estará dado por cual de los dos efectos es más fuerte. e) Suponga que ahora ingresan 4 firmas al mercado, cada una de ellas con la siguiente función de costos: CT i = 2qi2 + 50qi n . Encuentre la función de oferta del mercado e indique cual será el equilibrio de este y la producción y beneficios de cada firma. Al ingresar las nuevas firmas al mercado las funciones de costo marginal de las firmas actuales ( A) y las entrantes ( E ) son las siguientes:  E  CMg  A i = 10qi + 700 y CMg i = 4 qi + 700

La función de oferta del mercado es:

  p − 700  4   p − 700  QS ( p) = ∑   + ∑  = ( p − 700) + ( p − 700 ) 10 4         i =1  j =1 10

QS ( p) = 2 p − 1.400

Equilibrio del mercado:

QS ( p) = 2 p − 1.400 = 2.000 −  p = Q D ( p )  p* = 1.133, 3 y Q* = 866, 6

Dado que existen dos grupos de distintos tipos de firmas, las producciones de ambos grupos son distintas pero iguales dentro de cada grupo. Asimismo, sabemos que sabemos que una firma competitiva produce hasta que el precio es igual al costo marginal, y dado que conocemos el precio de equilibrio del mercado, podemos determinar el nivel de producción de cada tipo de firmas:  p = CMg  A i

⇒ 1.133, 3 = 10q Ai + 700 ⇒ qiA = 43, 3

⇒ 1.133, 3 = 4q E  ⇒ qiE  = 108, 3  p = CMg  E  i i + 700 Los beneficios de cada firma serán los siguientes:  A

π i  E 

π i

= IT i A − CT i A = ((1.133, 3)43, 3 ) − (5(43, 3) 2 + 700(43, 3) ) = 49.111,1 − 39.722,2 = 9.388,9

= IT i E  − CT i E  = ((1.133, 3)108, 3 ) − (2(108, 3) 2 + 700(108, 3) ) = 122.777,8 − 99.305,6 = 23.472,2 193

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

117. El Parque Industrial de Curauma está intentado atraer a firmas que desarrollen tecnologías de la información, y particularmente de desarrollo de software. La Gerencia de Estudios del parque estima que una empresa promedio del rubro debería tener la siguiente estructura de costos totales 100 10qi2 + una vez instalada en el parque: CT (qi ) = . Donde q i es la cantidad de productos n n desarrollados por cada empresa y n es número de firmas en el mercado. Los estudios de la Gerencia también señalan que en el mercado existe una demanda por desarrollo de productos igual a: Q D ( p ) = 100 −  p . Suponiendo la industria esta compuesto sólo por las firmas que se instalan en el  parque, responda las siguientes preguntas. a) Determine el horizonte de plazo de análisis que está desarrollando la Gerencia de Estudios. Explique.  b) Determine si esta es una industria de costos constantes, crecientes o decrecientes. Explique y de una razón que podría explicar esta situación. c) De acuerdo con las estimaciones de la Gerencia el mercado da para que se instalen 10 empresas. Asumiendo que esto ocurre, encuentre las funciones de costo medio y marginal una empresa  promedio. Grafíquelas. d) Determine la oferta de mercado bajo las condiciones en (c) y establezca el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. e) Determine los beneficios de la empresa promedio y señale que debería ocurrir en este mercado en el largo plazo. f) Plantee el problema general que permitiría obtener la cantidad de equilibrio de firmas en el largo  plazo. Solución: a) Determine el horizonte de plazo de análisis que está desarrollando la Gerencia de Estudios. Explique. El análisis de la Gerencia de Estudios es de corto plazo ya que incorpora un componente de costos fijos el cual depende del número de empresas en el parque.  b) Determine si esta es una industria de costos constantes, crecientes o decrecientes. Explique y de una razón que podría explicar esta situación. La industria presenta costos decrecientes, ya que según la información de la Gerencia de Estudios, para cualquier nivel dado de producción los costos de la empresa promedio disminuyen con la entrada de nuevas firmas. 100 10qi2 ∂CT (qi ) =− 2 − 2 <0 ∂n n n Un razón que podría explicar esta disminución es que, por ejemplo, el costo de los servicios que la empresa utiliza, tales como telefonía, seguridad, Internet, u otros, podrían disminuir en precio a medida que hay un número mayor de empresas instaladas en el parque.

194

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) De acuerdo con las estimaciones de la Gerencia el mercado da para que se instalen 10 empresas. Asumiendo que esto ocurre, encuentre las funciones de costo medio y marginal una empresa  promedio. Grafíquelas. Con 10 empresas la función de costo total de la firma promedio es: CT (qi , n = 10) =

100 (10)

+

10qi2 (10)

CMg  CMe

= 10 + qi2

CMg  CMe

La respectiva función de costo medio es: 10 + qi . CMe(qi , n = 10) = qi

qi

La función de costos marginal es: CMg (qi , n = 10) = 2qi

d) Determine la oferta de mercado bajo las condiciones en (c) y establezca el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. Asumiendo que este mercado se comporta de manera perfectamente competitiva, la función de oferta del mercado es la suma de la funciones de oferta de cada firma. Dado que cada una de ellas es tomadora de precios, entonces producirán donde el precio es igual costo marginal:  p = CMg (qi , n = 10) ⇒  p = 2qi

La función de oferta de la firma promedio es: qi ( p, n) =

La función de oferta del mercado es: QS ( p, n = 10) =

n

∑ i =1

p

2

.

qi ( p) =

10

 p

  p 

∑ 2 =10 2  = 5 p i =1

Q D ( p ) = QS ( p )

Equilibrio del mercado:

100 −  p = 5 p ⇒ 100 = 6 p ⇒  p* = 16, 6 ⇒ Q* = 83, 3 e) Determine los beneficios de la empresa promedio y señale que debería ocurrir en este mercado en el largo plazo. π i

π i

= IT i − CT (qi ) =  pqi − (10 + qi2 )

2   83 , 3  83,3         = 16, 6 − +  10    = 138, 8 - (10 + 69,4 ) = 59, 4 10 10            

195

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Dado que hay beneficios sobrenormales en el corto plazo entonces se debería observar un ingreso de firmas a la industria en el corto plazo. Esto generará disminuciones en los costos de todas las firmas en el corto plazo, un incremento de la oferta y disminuciones en el precio de equilibrio de mercado. f) Plantee el problema general que permitiría obtener la cantidad de equilibrio de firmas en el largo  plazo. Para que una industria esté en equilibrio de largo plazo primero debe ocurrir que cada empresa se encuentre en una situación de equilibrio de corto plazo, es decir, que la empresa promedio este maximizando beneficios. Para esto deberá producir donde el precio es igual al costo marginal. Además, se requiere que no existan incentivos a la entrada o salida de firmas al mercado, es decir, que el precio de mercado sea igual al costo medio mínimo de la firma promedio. Analíticamente la solución a este  problema proviene de resolver el siguiente sistema de ecuaciones: Firma Maximiza Beneficios en el corto plazo:  p = CMg (qi , n ) Equilibrio de Mercado Competitivo: Q D ( p) = QS ( p, n) =

n

∑ q ( p) i

i =1

Beneficios Normales para cada firma (π  = 0 ):  p = CMe(qi , n)

Dada la función de costo total CT (qi , n) = ( CMe(qi , n) =

100 nqi

+

10qi n

100 n

+

10qi2

, y sus respectivas funciones de costo medio

n

) y costo marginal ( CMg (qi , n) =

Firma Maximiza Beneficios en el corto plazo:  p =

20qi n

qi ( p, n) =

20qi n

), tendremos que:

. Con una función de oferta de corto plazo: np

20

Equilibrio de Mercado Competitivo: Q D ( p ) = QS ( p, n) ⇒ 100 −  p =

n

∑ 20 i =1

Beneficios Normales para cada firma (π  = 0 ):  p =

100 nqi

+

np

⇒ 100 −  p =

n 2 p

20

10q n

El sistema queda compuesto por tres ecuaciones, que permiten encontrar los valores de las tres variables endógenas (precio, número de firmas y cantidad producida): (i)

196

 p =

20qi n

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV (ii)

100 −  p =

(iii)

 p =

100 nqi

+

n 2 p

20 10qi n

De (i) podemos usar la expresión para la función de oferta ( qi ( p, n) =

 p =

100 10  np  2.000  p +  = + 2  np  n  20   pn 2 n   20 

⇒

 p

2

=

2.000 ⇒  pn 2

np

20

) y reemplazarla en (iii).

n=

4.000  p 2

(Ecuación A)

Esta ecuación refleja la relación entre el número de firmas y el precio de mercado (para un nivel de  producción), e indica que a medida que el número de firmas aumenta el precio tiende a caer debido a que los costos medios disminuyen con el incremento del número de firmas. De (ii) obtenemos otra relación entre el número de firmas y el precio de mercado. Despejando n obtenemos: 100 −  p =

n 2 p

20

⇒ n2 =

20(100 −  p )  p

⇒

n=

2.000  p

− 20 (Ecuación B)

Esta relación proviene del equilibrio del mercado y nos dice que a medida que aumenta el número de firmas cae el precio de equilibrio en el mercado debido a que existe una mayor oferta. Para encontrar la solución al problema igualamos las ecuaciones A y B obteniendo el precio de equilibrio de mercado: n=

4.000  p 2

=

2.000  p

− 20 = n ⇒

4.000  p 2

=

2.000  p

 p1* = 97,95 − 20 ⇒  *  p2 = 2,04

A partir de dichos precios, encontramos que:

 p1* = 98 ⇒ *  p2 = 2,04

⇒ n1* = 0,65 ⇒ Q1* = 2,04 ⇒ q1* = 3,16 ⇒ n2* = 31

⇒ Q2* = 98

Hay dos escenarios de equilibrio posibles en el largo plazo. Uno en el cual hay pocas empresas (0,65) con altos costos medios (98) y  por lo tanto altos precios y bajo consumo en el mercado (2,04). En el otro hay un alto número de empresas (31), por lo que los costos y los precios son bajos (2,04), lo que genera un alto consumo en le mercado (98). Gráficamente observamos las relaciones y los equilibrios establecidos por las curvas ( A) y ( B) de la siguiente forma:

⇒ q2* = 3,16 n (A)

31

(B)

0,65 2,04

98

 p

197

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

118. Beach Paradise (BP) es el único hotel de en una hermosa y solitaria isla situada en la mitad del océano pacifico. Se sabe que el hotel posee una estructura de costos caracterizada por la siguiente función: CT (Q) = 10Q . Donde Q es el número de habitaciones ocupadas por día. El gerente del hotel estima que la demanda por alojamiento durante la semana puede ser descrita por la función Q D, S  = 50 −  p y la demanda durante los fines de semana se puede aproximar a la función Q D, F  = 100 −  p .

a) El gerente decide cobrar precios diferenciados entre los días de semana y el fin de semana. Encuentre el precio a cobrar durante los días de semana, y la cantidad de habitaciones que ofrecerá para ser ocupadas, si BP desea maximizar beneficios.  b) Manteniendo la política de precios diferenciados encuentre el precio a cobrar durante los fines de semana, y la cantidad de habitaciones que ofrecerá para ser ocupadas, si BP desea maximizar   beneficios. c) Determine si la política de precios instaurada es consistente con lo que la teoría predice respecto al precio a cobrar en ambos periodos. d) En la industria hotelera es común encontrar precios diferenciados según el día de la semana en el cual se desea alojar. Para ilustrar esta política se presenta información sobre el precio diario de habitación doble para una estadía de una semana entre los días 25 de junio al 2 de julio de 2007 (en US$), en dos ubicaciones distintas: el Hotel Hyatt Regency cercano al centro financiero de Londres y el hotel Bali Hyatt en la turística isla de Bali.

Hyatt Regency London—London, UK Bali Hyatt—Bali, Indonesia

Lu 25 950 205

Ma 26 950 205

Mi 27 950 205

Ju 28 950 205

Vi 29 790 255

Sa 30 790 255

Do 1 790 255

Indique que factores (y muestre gráficamente) podrían determinar que en estos hoteles se establezcan dichas políticas de precios (Ayuda: explique las diferencias de precios en cada hotel durante la semana, no las diferencias entre hoteles) Solución: a) El gerente decide cobrar precios diferenciados entre los días de semana y el fin de semana. Encuentre el precio a cobrar durante los días de semana, y la cantidad de habitaciones que ofrecerá para ser ocupadas, si BP desea maximizar beneficios.  IT S  =  pS QS  = (50 − QS  )QS  = 50QS  − QS 2 ⇒  IMg S  = 50 − 2QS   IMg S  = CMg S 

50 − 2QS  = 10 ⇒ QS * = 20 y  pS * = 30  b) Manteniendo la política de precios diferenciados encuentre el precio a cobrar durante los fines de semana, y la cantidad de habitaciones que ofrecerá para ser ocupadas, si BP desea maximizar   beneficios.  IT  F  =  p F Q F  = (100 − Q F  )Q F  = 100Q F  − Q F 2 ⇒  IMg  F  = 100 − 2QF 

198

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  IMg  F  = CMg  F  * 100 − 2Q F  = 10 ⇒ QF  = 45 y  p F * = 55

c) Determine si la política de precios instaurada es consistente con lo que la teoría predice respecto al precio a cobrar en ambos periodos. La teoría indica que la empresa debe cobrar el precio mas alto en el mercado con demanda mas inelástica. ε S 

=

∂QS   pS  30 = − = −1,5 y ∂ pS  QS  20

ε  F 

=

55 ∂Q F   p F  = − = −1, 2 ∂ p F  Q F  45

Efectivamente se cumple que el precio mas alto se cobra durante los fines de semana, periodo en el cual la demanda es mas inelástica. d) En la industria hotelera es común encontrar precios diferenciados según el día de la semana en el cual se desea alojar. Para ilustrar esta política se presenta información sobre el precio diario de habitación doble para una estadía de una semana entre los días 25 de junio al 2 de julio de 2007 (en US$), en dos ubicaciones distintas: el Hotel Hyatt Regency cercano al centro financiero de Londres y el hotel Bali Hyatt en la turística isla de Bali.

Hyatt Regency London—London, UK Bali Hyatt—Bali, Indonesia

Lu 25 950 205

Ma 26 950 205

Mi 27 950 205

Ju 28 950 205

Vi 29 790 255

Sa 30 790 255

Do 1 790 255

Indique que factores (y muestre gráficamente) podrían determinar que en estos hoteles se establezcan dichas políticas de precios (Ayuda: explique las diferencias de precios en cada hotel durante la semana, no las diferencias entre hoteles) La explicación se podría encontrar en las diferencias en la demanda durante la semana en cada ciudad. Dado que Bali se encuentra ubicado en una isla tropical es probable que la mayor demanda se concentre durante los fines de semana, periodo en el cual la gente demanda hoteles por razones de esparcimiento. Por ello el hotel cobra precio mas altos desde viernes a domingo. En el caso del hotel en Londres, es muy probable que la mayor demanda ocurra en días de semana si es que sus clientes se alojan por  razones de trabajo. Así, la mayor parte de los viajeros por trabajo volverán a sus hogares de residencia habitual durante los fines de semana, por lo que la demanda en esos días caerá y se cobraran precio más  bajos.

199

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

119. En la desértica y aislada localidad de Lluviasmil existe una empresa productora y distribuidora de agua mineral llamada Porllegar. En el pueblo no existe agua potable y Porllegar es la única empresa que vende agua. La empresa estima que la demanda total de por agua mineral al día se 400  puede representar por la función Q D ( p ) = 2 , y que su función de costos es CT (q) = 5q .  p a) Indique que tipo de rendimientos a escala posee Porllegar. Justifique.  b) Determine el equilibrio del mercado asumiendo que Porllegar actúa como monopolista en el  pueblo de Lluviasmil. Encuentre los beneficios del monopolista. c) El gobierno está preocupado por las consecuencias sobre el bienestar de la población de la conducta monopólica de Porllegar. Para reducir los efectos negativos planea entregar un subsidio (fijo) por unidad producida, con el objetivo de que la producción ofrecida por el monopolista coincida con la que habría en un equilibrio competitivo. Muestre en un grafico cual debería ser el subsidio por unidad producida, la cantidad producida y el precio que cobraría el monopolista, y el costo total del subsidio para el gobierno. d) Encuentre el subsidio por unidad producida, la cantidad producida y el precio que cobraría el monopolista, y el costo total del subsidio para el gobierno. (Ayuda: use el gráfico construir en el apartado anterior para guiar su respuesta) e) Suponga que Ud. es un habitante de Lluviasmil indignado por la conducta de Porllegar, que desea acabar con su monopolio. Para ello hace una denuncia ante las autoridades competentes que regulan la competencia. ¿Qué argumentos e información usaría Ud. para probar la posición monopólica de Porllegar en Lluviasmil? Solución: a) Indique que tipo de rendimientos a escala posee Porllegar. Justifique. Dado que la función de costos totales es lineal en el nivel de producción se puede establecer que hay rendimientos constantes a escala. Esto porque cambios en el nivel producción generarán cambios igualmente proporcionales en los costos de producción. Por ejemplo, al duplicar los niveles producción se duplicarán los costos totales de producción.  b) Determine el equilibrio del mercado asumiendo que Porllegar actúa como monopolista en el  pueblo de Lluviasmil. Encuentre los beneficios del monopolista. Sabemos que un monopolista maximiza beneficios cuando produce en un punto tal que el beneficio marginal es igual al costo marginal:  IMg (q) = CMg (q)

Donde:

  20   ∂ IT (q) 10 1/ 2  20 ( ) = ⇒ = = 1/ 2 q q  IMg  q 1/ 2  ∂q q  q  

 IT (q) =  pq = 

CT (q) = 5q ⇒ CMg (q) = 5

200

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  IMg (q) = CMg (q) ⇒

10 q

1/ 2

= 5 ⇒ q* = 4

La cantidad que producirá el monopolista es 4. El precio de mercado y beneficios serán:  p* =

π 

400 q

=

400 4

= 10

= IT (q) − CT (q) =  pq − 5q = (10)4 − 5(4) = 40 − 20 = 20

c) El gobierno está preocupado por las consecuencias sobre el bienestar de la población de la conducta monopólica de Porllegar. Para reducir los efectos negativos planea entregar un subsidio (fijo) por unidad producida, con el objetivo de que la producción ofrecida por el monopolista coincida con la que habría en un equilibrio competitivo. Muestre en un grafico cual debería ser el subsidio por unidad producida, la cantidad producida y el precio que cobraría el monopolista, y el costo total del subsidio para el gobierno.

 p

 D  IMg 

Costo Subsidio

10 CMg 

 pCP   s

CMg - s

4

QCP 

Q

d) Encuentre el subsidio por unidad producida, la cantidad producida y el precio que cobraría el monopolista, y el costo total del subsidio para el gobierno. (Ayuda: use el gráfico construir en el apartado anterior para guiar su respuesta) Bajo una situación de mercado perfectamente competitiva la producción ocurriría donde el precio es igual al costo marginal:  p(q) = CMg (q)

20 1/ 2

q

* = 5 ⇒ qCP  = 16

Si el gobierno entrega un subsidio por unidad producida podemos representar la funciones de costo total y marginal del monopolista con subsidio ( s) de la siguiente forma: CT (q) = (5 − s)q ⇒ CMg (q) = 5 − s

201

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Dado que el gobierno desea que la producción ofrecida por el monopolista coincida con la que habría en un equilibrio competitivo entonces lo que debería ocurrir es que el monopolista produciría donde el ingreso marginal es igual al costo marginal con subsidio, pero en un punto tal que la cantidad producida fue igual a 16 unidades. Asi, el subsidio se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:  IMg (q = 16) = CMg S (q = 16, s)

10 1/ 2

16

= 5 − s ⇒ s* = 2,5

El costo total del subsidio para el gobierno es: * = (2,5)16 = 40 T  = sqCP 

Así, el subsidio por unidad producida debería ser de $2,5, la cantidad producida sería de 16 unidades, el  precio que cobraría el monopolista sería de $5, y el costo total del subsidio para el gobierno sería de $40. e) Suponga que Ud. es un habitante de Lluviasmil indignado por la conducta de Porllegar, que desea acabar con su monopolio. Para ello hace una denuncia ante las autoridades competentes que regulan la competencia. ¿Qué argumentos e información usaría Ud. para probar la posición monopólica de Porllegar en Lluviasmil? Existen distintas formas de probar o aportar información que identifique la posición dominante o monopólica de una empresa. En primer lugar se encuentra el hecho de que no existe ninguna otra empresa que produce agua, lo cual entrega una participación de mercado del 100% a Porllegar. Sin embargo, la participación de mercado del 100% no asegura necesariamente un posición monopólica si el mercado es fácilmente disputable. Por ejemplo, si es relativamente barato traer agua de localidades cercanas. Por esto, una alternativa sería el comparar el precio al cual se vende el agua en Lluviasmil con el precio cobrado en una ciudad similar (incorporando costos adicionales como el de transporte). Esto permitiría efectivamente determinar si la empresa esta usando su poder  monopólico para cobrar precios por encima del costo marginal. Finalmente, de existir la información se le podría mostrar a la autoridad económica la diferencia entre el precio cobrado por  la empresa y el costo marginal. Dicha diferencia es una clara indicación del poder monopólico de la empresa.

202

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 120. Tranquilandia es la ciudad del descanso. Como tal en ella existe un solo cine “El Tranquilón”. La función de demanda por películas de los habitantes de Tranquilandia se puede representar como d  Q N  ( p) = 300 −  p . El Tranquilón tiene una función de costos igual a CT (Q) = 40Q . a) Si El Tranquilón es capaz de maximizar benéficos netos ¿cuántas entradas venderá y que precio cobrara? ¿Cuáles serán sus beneficios?  b) Un programa de gobierno desea aprovechar la tranquilidad de Tranquilandia incentivado a que  personas jubiladas se vayan a vivir a esa ciudad. El programa es todo un éxito y como resultado de él la población de Tranquilandia se incrementa significativamente. El nuevo grupo de habitantes de la ciudad tiene la siguiente función de demanda por películas de cine: Q Rd ( p) = 180 −  p . Determine el equilibrio del mercado de películas en Tranquilandia si El Tranquilón no esta autorizado para discriminar precios. ¿Cuántas entradas se venderán en cada grupo? ¿Cuáles serán los benéficos del monopolista? Muestre gráficamente. (Pista: primero encuentre las funciones de demanda total y de ingreso marginal del mercado ayudándose con gráficos para ello) c) Describa el problema de maximización de benéficos al que se enfrentaría El Tranquilón si  pudiera discriminar precios entre ambos grupos de consumidores. ¿Cuál seria la situación de equilibrio? ¿De qué depende su capacidad para discriminar en este caso? ¿Cree usted que seria factible? Solución: a) Si El Tranquilón es capaz de maximizar benéficos netos ¿cuántas entradas venderá y que precio cobrara? ¿Cuáles serán sus beneficios? El monopolista maximiza benéficos netos donde  IMg = CMg , donde  IMg =

∂ IT  ∂CT  y CMg = . ∂Q ∂Q

Q d  ( p) = 300 −  p ⇒  p(Q) = 300 − Q  IT  =  pQ = 300Q − Q 2 ⇒ IMg  = 300 − 2Q  * *  IMg  = CMg  ⇒ 300 − 2Q = 40 ⇒ Q = 130 y  p = 170 CT  = 40Q ⇒ CMg  = 40  π 

*

= IT (Q* ) − CT (Q* ) =  p*Q* − 40Q* = 170 *130 − 40 *130 = 16.900

 b) Un programa de gobierno desea aprovechar la tranquilidad de Tranquilandia incentivado a que  personas jubiladas se vayan a vivir a esa ciudad. El programa es todo un éxito y como resultado de él la población de Tranquilandia se incrementa significativamente. El nuevo grupo de habitantes de la ciudad tiene la siguiente función de demanda por películas de cine: Q Rd ( p) = 180 −  p . Determine el equilibrio del mercado de películas en Tranquilandia si El Tranquilón no esta autorizado para discriminar precios. ¿Cuántas entradas se venderán en cada grupo? ¿Cuáles serán los benéficos del monopolista? Muestre gráficamente. (Pista: primero encuentre las funciones de demanda total y de ingreso marginal del mercado ayudándose con gráficos para ello)

203

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Dado que el ingreso marginal relevante para un monopolista no discriminador de precios es el asociado a la curva de demanda total del mercado necesitamos encontrar la curva de demanda por películas en Tranquilandia. Gráficamente podemos mostrar las funciones de demanda de los dos grupos de demandantes, los “nativos” ( N ) y a los recién llegados ( R), con sus respectivas curvas de ingreso marginal así como la función de demanda del mercado y su función de costo marginal asociado.  p

 p

“Nativos”

 p

“Recien Llegados”

Tranquilandia

300

300

180

180

 p(QT  )  IMg  N 

 p(Q N  ) 300

 IMg  R

Q N 

 p(Q R )

 IMg T 

180

Q R

120

480

QT 

Para construir la curva de demanda tenemos que tener en cuenta que para precios superiores a 180 sólo los nativos irán al cine por lo que la función de demanda del mercado es igual a la función de demanda de los nativos. A partir de precios por debajo de 180 los recién llegados empiezan a ir al cine, por lo que la función de demanda del mercado será la suma de las demandas de ambos grupos. Formalmente:

QT  ( p ) = Q N ( p ) = 300 −  p QT  ( p )  QT  ( p ) = Q N ( p ) + Q R ( p ) = (300 −  p ) + (180 −  p ) = 480 − 2 p  p(Q) = 300 − Q  O en términos inversos:  p(QT  ) Q ( ) 240 = −  p Q  2

 si 180 ≤  p ≤ 300  si 0 ≤  p < 180

 si 0 ≤ Q ≤ 120  si Q > 120

Para encontrar el punto de quiebre de la cantidad demandada obtenemos la cantidad de los Nativos al  precio de 180: Q N  = 300 − p = 300 − 180 = 120 . El ingreso marginal asociado en cada tramo de la curva de demanda es:

 IMg (Q) = 300 − 2Q  IMg (Q)  IMg (Q) = 240 − Q

 si 0 ≤ Q ≤ 120  si Q > 120

El equilibrio del monopolista que no discrimina se alcanza donde  IMg = CMg . Dado que el ingreso marginal es una función en dos partes hay que aplicar la condición de equilibrio en los dos tramos y comprobar que el equilibrio corresponde al tramo apropiado: Primer tramo:  IMg = CMg  ⇒ 300 − 2Q = 40 ⇒ Q* = 130 > 120 . La producción es mayor a 120 entradas, que representa el limite de este tramo, por lo que el resultado no es valido.

204

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Segundo tramo:  IMg = CMg  ⇒ 240 − Q = 40 ⇒ Q* = 200 . La producción es mayor a 120 entradas,  por lo que el resultado es valido. Con esta cantidad ofertada el precio de mercado es:

 p * = 240 −

Q

2

= 240 − 100 = 140

* Q N  ( p* ) = 300 −  p* = 300 − 140 = 160 La cantidad de entradas vendidas en cada grupo es:  * * Q R ( p ) = 180 −  p* = 180 − 140 = 40

Los beneficios son:

π 

*

= IT (Q* ) − CT (Q* ) =  pQ − 40Q = 140 * 200 − 40 * 200 = 20.000

Gráficamente:  p

 p

“Nativos”

“Recien Llegados”

140

 p

Tranquilandia

140  p(QT  )  p(Q N  )  IMg  R

 IMg  N  160

300

Q N 

40

 p(Q R ) 180

CMg 

40

Q R

 IMg T  200

480

QT 

c) Describa el problema de maximización de benéficos al que se enfrentaría El Tranquilón si  pudiera discriminar precios entre ambos grupos de consumidores. ¿Cuál seria la situación de equilibrio? ¿De qué depende su capacidad para discriminar en este caso? ¿Cree usted que seria factible? Asumiendo que el monopolista puede discriminar precios entre los dos grupos el problema de maximización de benéficos al que se enfrenta es:  Max Q N  ,Q R

π 

= IT (Q N ) + IT (Q R ) − CT (QT  ) =  p (Q N )Q N  +  p (Q R )Q R − CT (QT  ) donde QT  = Q N  + Q R

Sabemos que los condiciones de primer orden de este problema implican que el monopolista produce donde el ingreso marginal en cada mercado es igual al costo marginal:  IMg  N  = IMg  R = CMg 

En el mercado de los nativos:  IMg  N  = CMg  ⇒ 300 − 2Q N  = 40 ⇒ Q N Disc = 130 En el mercado de los recién llegados:  IMg  R = CMg  ⇒ 180 − 2Q R = 40 ⇒ Q RDisc = 70  Disc  p(Q N  ) = 300 − Q N  = 300 − 130 = 170 Los precios cobrados son:   p(Q R ) = 180 − Q R Disc = 180 − 70 = 110

205

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Los beneficios obtenidos por El Tranquilon son:  Disc

π 

 p

= IT (Q N ) + IT (Q R ) − CT (QT  ) = 170 *130 + 110 * 70 − 40 * 200 = 21.800

 p

“Nativos”

“Recien Llegados”

 p

Tranquilandia

170 110  p(Q N  ) 40

CMg 

 IMg  R

 IMg  N  130

 p(QT  )

p(Q R )

300

Q N 

70

 IMg T  180

Q R

200

480

QT 

La capacidad de discriminar del cine esta dada por su habilidad para identificar claramente a ambos tipos de clientes y de evitar la reventa de entradas. En condiciones normales El Tranquilón no será capaz de identificar o diferenciar a los nativos de los “afuerinos” siéndole imposible la discriminación de precios en la practica. En conclusión este tipo de discriminación no seria factible de realizar.

206

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 121. La cooperativa agrícola “La Flor de la Vida” es la única productora de claveles en el valle de Quillota y tiene dos grupos de consumidores potenciales. El primer grupo son las florerías del cementerio local, cuya función de demanda es Q1 D = 100 − 2 p . El segundo grupo esta formado por  todos los demás comerciantes de flores de la zona, con una función de demanda igual a Q D 2 = 100 −  p . La función de costos del monopolista es CT (Q) = 5q + 1. 500 . Entre ambos grupos no hay posibilidad de reventa. La cooperativa vende el ramo de claveles a $30 a las florerías del cementerio y a $50 a todos los demás comerciantes. a) ¿Tiene la cooperativa un comportamiento maximizador del beneficio? Si no es así, ¿cuáles serian los precios a los que debería vender a cada grupo para maximizar beneficios? ¿Cuál seria su ganancia adicional?  b) El director de la cooperativa quiere aumentar la cifra de beneficios. Analice si realizar una subasta en la que cada consumidor paga un precio distinto por el ramo de flores consigue dicho objetivo. Solución: a) ¿Tiene la cooperativa un comportamiento maximizador del beneficio? Si no es así, ¿cuáles serian los precios a los que debería vender a cada grupo para maximizar beneficios? ¿Cuál seria su ganancia adicional? El problema plantea una situación donde la cooperativa puede realizar una discriminación de precios de tercer grado, ya que vende a grupos de individuos (mercados separados) entre los cuales no hay  posibilidad de reventa. El monopolista maximizador de beneficios resuelve el siguiente problema:  Max Q1 ,Q2

π 

= IT (Q1 ) + IT (Q2 ) − CT (QT  ) =  p (Q1 )Q1 +  p (Q2 )Q2 − CT (QT  ) donde QT  = Q1 + Q2 .

Las condiciones de primer orden de este problema se reducen a:  IMg 1 = IMg 2 = CMg  En el mercado 1:  IMg 1 = CMg  En el mercado 2:  IMg 2 = CMg 

⇒ 50 − Q1 = 5 ⇒ 100 − 2Q2 = 5

⇒ Q1* = 45 ⇒ Q2* = 47,5

 p1* = 50 − 0,5Q1* = 27,5 Los precios de equilibrio están dados por las demandas en cada mercado:  *  p2 = 100 − Q2* = 52,5 El monopolista no esta maximizando beneficios al vender a $30 y $50 los ramos en los mercados 1 y 2, respectivamente. Inicialmente el monopolista gana: π 

= IT (Q) − CT (Q) = 30Q1 + 50Q2 − CT (Q1 + Q2 )

donde Q1 ( p1 = 30) = 100 − 2 p1 = 40 y Q2 ( p2 = 50) = 100 − p2 = 50 , entonces: π 

= 30 * 40 + 50 * 50 − 5 * 90 − 1.500 = 1.750

Si la cooperativa discrimina precios 207

Microeconomía 1

Teoría de la Firma π 

*

= (27,5 * 45) + (52,5 * 47,5) − 5 * 92,5 − 1.500 = 1.768,75

Claramente el beneficios es mayor cuando la cooperativa discrimina precios.  b) El director de la cooperativa quiere aumentar la cifra de beneficios. Analice si realizar una subasta en la que cada consumidor paga un precio distinto por el ramo de flores consigue dicho objetivo. Si la cooperativa realiza una subasta cada consumidor va a pagar un precio distinto por cada ramo de flores. Dicho precio coincide con su máxima disponibilidad a pagar, por lo que el monopolista hará una discriminación de primer grado o discriminación perfecta. El precio que cada consumidor esta dispuesto a pagar esta dado por su curva de demanda, por consiguiente el monopolista se apropia del excedente de los consumidores. Asumiendo que el monopolista realiza una discriminación perfecta en ambos mercados, entonces resolverá el siguiente problema:  Max

π 

Q1 ,Q2

Q1

Q2

0

0

= IT (Q1 ) + IT (Q2 ) − CT (QT  ) = ∫  p(Q1 )dQ1 + ∫  p(Q2 )dQ2 − CT (QT  )

∂π   =  p(Q1 ) − CMg (QT  ) = 0  ∂Q1  Las condiciones de primer orden son:  ⇒  p(Q1 ) =  p(Q2 ) = CMg (QT  ) ∂π  =  p(Q2 ) − CMg (QT  ) = 0  ∂Q2 Es decir, el monopolista de primer grado vende hasta que el precio de la ultima unidad vendida en cada mercado es igual al costo marginal. En nuestro problema:  Max

π 

Q1 ,Q2

Q1

Q2

0

0

= ∫ (50 − 0,5Q1 )dQ1 + ∫ (100 − Q2 )dQ2 − (5QT  + 1.500)

Las condiciones de primer orden son:

∂π   = 50 − 0,5Q1 − 5 = 0 ~ ∂Q1 ~  Q1 = 90  ⇒ ~  ⇒ QT  = 185 ∂π  Q2 = 95 = 100 − Q2 − 5 = 0   ∂Q2 Los beneficios serán:

π 

π 

90

95

0

0

= ∫ (50 − 0,5Q1 )dQ1 + ∫ (100 − Q2 )dQ2 − (5QT  + 1.500 ) = [50Q1 − 0,25Q12 ]0 + [100Q2 − 0,5Q22 ]0 − (5 *185 + 1.500) 90

95

~ = 5.037,5

π 

Alternativamente se podría resolver el problema de este monopolista que discrimina perfectamente asumiendo que enfrenta la demanda completa del mercado. Entonces resolverá el siguiente problema: 208

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  Max

QT 

= IT (Q) − CT (QT  ) = ∫  p(QT  )dQT  − CT (QT  )

π 

0

QT 

La condición de primer orden es:

∂π  =  p(QT  ) − CMg (QT  ) = 0 ⇒  p(QT  ) = CMg (QT  ) ∂QT 

Como siempre, el monopolista de primer grado vende hasta que el precio de la ultima unidad vendida en cada mercado es igual al costo marginal. Para resolver este problema necesitamos encontrar la función de demanda del mercado, reconociendo que esta debe ser obtenida por partes:  si 50 ≤  p ≤ 100 QT  ( p ) = Q2 ( p ) = 100 −  p QT  ( p )  QT  ( p ) = Q1 ( p ) + Q2 ( p ) = (100 − 2 p ) + (100 −  p ) = 200 − 3 p  si 0 ≤  p < 50

Cuando el precio es 50 la cantidad comprada en el mercado 2 es 50, por lo que la función inversa de demanda correspondiente es:

 p(Q) = 100 − Q   p(QT  ) Q = −  p Q ( ) 66 , 6  3

 si 0 ≤ Q ≤ 50  si Q > 50

El equilibrio del monopolista que discrimina perfectamente se alcanza donde  p(Q) = CMg . Dado que la función de demanda es una función en dos partes hay que aplicar la condición de equilibrio en los dos tramos y comprobar que el equilibrio corresponde al tramo apropiado: Primer tramo:  p = CMg  ⇒ 100 − Q = 5 ⇒ Q = 95 > 50 . La producción es mayor a 50, que representa el limite de este tramo, por lo que el resultado no es valido. Segundo tramo:  p = CMg  ⇒ 66, 6 − Q / 3 = 5 ⇒ Q* = 185 . La producción es mayor a 50, por lo que el resultado es valido. Los beneficios del monopolista están dados por: π 

50

185

0

50

= ∫ (50 − Q )dQ + ∫

(66,6 − Q / 3)dQ − (5Q + 1.500) = [50Q − 0,5Q ]

2 50 0

+ [66,6Q − Q 2 / 6]50 − (5 *185 + 1.500) 185

~ = 5.037,5

π 

Gráficamente:  p

“Mercado 1”

 p 100

 p

“Mercado 2”

 p(Q2 )

 B2=Ben.

ercado

100  Ben. Totales = B1+B2

 B1=Ben. Mercado 1

 p(Q1 ) 50

50  p(QT  ) CMg 

5 90 100

Q1

95

Q2

50

185 200

QT 

209

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

122. La empresa de cementos “Duro de Matar” (DDM) es un monopolio en la región. Los clientes de DDM en general son de dos tipos: hogares que realizan sus propias construcciones (aquí se incluyen los maestros “chasquillas” que prestan servicios a los hogares) y las empresas constructoras. El  primer grupo tiene una función de demanda igual a q1 ( p ) = 200 −  p . La función de demanda de las empresas

constructoras

q 2 ( p ) = 300 −  p .

es

La

función

de

costo

total

de

DDM

es

CT (Q) = CT (q1 + q2 ) = (Q) 2 = (q1 + q2 ) 2 .

a) Si DDM no puede discriminar precios entre estos dos grupos, ¿cuál es la función de demanda que enfrentará? Grafique la demanda de cada mercado y la demanda total.  b) Si la empresa no es capaz de discriminar precios entre estos dos grupos, ¿cuál será la cantidad que venderá? ¿Cuál el precio que cobrara? ¿Cuáles los beneficios? c) Bajo que condiciones generales DDM seria capaz de discriminar entre estos dos grupos. d) Plantee claramente el problema de maximización de beneficios de DDM si es capaz de discriminar entre estos dos grupos (Ayuda: haga un esfuerzo en explicitar lo más posible el  problema de maximización, sin resolverlo todavía). e) SI DDM es capaz de discriminar entre estos dos grupos, ¿cuál será la cantidad que venderá a cada grupo? ¿Cuál el precio que cobrará en cada grupo? ¿Cuáles serán sus beneficios totales? f) ¿Debería la empresa discriminar entre estos dos grupos si al hacerlo incurre en un costo de $1.000? ¿Cómo cree Ud. que se podría originar este costo adicional por la discriminación de  precios? g) ¿Cómo afecta el bienestar de los consumidores el que DDM discrimine precios? (Ayuda: encuentro los excedentes del consumidor con y sin discriminación y compárelos) h) Considerando los efectos que la discriminación de precios de DDM tiene sobre el bienestar de la sociedad y los niveles de producción ¿es beneficioso para la sociedad que DDM discrimine  precios? Discuta. Solución: a) Si DDM no puede discriminar precios entre estos dos grupos, ¿cuál es la función de demanda que enfrentará? Grafique la demanda de cada mercado y la demanda total.  p

 p

“Mercado 1”

 p

“Mercado 2”

300

Mercado Total

300

200

200

200

q1

300

q2

100

500

Q

Es claro del grafico que la función de demanda del mercado es sólo la función de las empresas constructoras para precios por arriba de $200 y es la suma de la demanda de los dos grupos si el precios está por debajo de $200. Analíticamente, la función de demanda es:

210

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV

 0  q( p ) = 300 −  p 500 − 2 p 

 si

300 ≤  p

 si

200 ≤  p < 300

 si

0 ≤  p < 200

 b) Si la empresa no es capaz de discriminar precios entre estos dos grupos, ¿cuál será la cantidad que venderá? ¿Cuál el precio que cobrara? ¿Cuáles los beneficios? La empresa produce donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Como la función de demanda no es continua la función de ingreso marginal tampoco lo será. Podemos describir la función ingreso marginal como:

300 − 2q  IMg (q) =  250 − q

si

0 ≤ q < 100

si

100 ≤ q

 p  IMg 

Dado que la firma esta produciendo para un sólo mercado podemos escribir las funciones de costo total y marginal como:

ercado

300

CMg(Q)

200

 DT (Q)  IMg(Q)

CT (q1 + q2 ) = CT (q) = q 2 y CMg (q) = 2q

100

250

500

Q

Para obtener la cantidad producida debemos igualar el ingreso marginal al costo marginal en cada uno de los tramos de la función de demanda:  IMg  = 300 − 2q = 2q = CMg (q )

⇒ q * = 75

 IMg  = 250 − q = 2q = CMg ( q)

⇒ q * = 83,3

Es claro que solo la primera cantidad cumple con las restricciones impuestas por la función de ingreso marginal por lo que la cantidad producida por DDM es 75. Esto significa que sólo las empresas constructoras compran cemento. El precio que cobrará es aquel al cual están dispuesto a pagar las empresas constructoras:  p(q ) = 300 − q = 300 − 75 ⇒

Los beneficios que obtendrá son:

π ( q )

p* = 225

= IT (q) − CT (q) = (225 * 75) − (75) 2 = 16.875 − 5.625 = 11. 250

c) Bajo que condiciones generales DDM seria capaz de discriminar entre estos dos grupos. En general, DDM será capaz de realizar una discriminación de precios de tercer grado solo si pudiera distinguir claramente a que grupo pertenece cada comprador y si no existiese posibilidad de reventa de un grupo al otro (arbitraje). La primera condición podría ser factible ya que la DDM debe emitir una factura cuando vende cemento, entonces conoce el nombre del comprador pudiendo distinguir si es una empresa constructora o no. En cuanto a la posibilidad de reventa entre empresas constructoras y hogares, en teoría esta podría ocurrir. En la practica esto será un poco difícil por diversos factores. Por  ejemplo, las familias generalmente compran en pequeños volúmenes porque no tienen capital o simplemente no tiene donde almacenarlo. Estas bajas cantidades pueden hacer que las empresas constructoras no se interesen en comprarle a los hogares. También podría ocurrir el caso inverso, es 211

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

decir, las empresas pueden no estar interesadas en vender a los hogares simplemente porque los volúmenes son muy pequeños. Sin embargo, en teoría nada impide la reventa de cemento de un grupo al otro. Estos u otros factores de la realidad son los que determinaran si efectivamente se produce o no la reventa. d) Plantee claramente el problema de maximización de beneficios de DDM si es capaz de discriminar entre estos dos grupos (Ayuda: haga un esfuerzo en explicitar lo más posible el  problema de maximización, sin resolverlo todavía). El problema de maximización de beneficios del monopolista discriminador de precios de tercer grados  puede ser planteado de la siguiente forma:  Max q1 , q2

 Max q1 , q 2

 Max

π 

q1 , q 2

π 

π 

= IT (q1 ) + IT (q2 ) − CT (q1 + q2 )

=  p1 (q1 )q1 +  p2 (q2 )q2 − CT (q1 + q2 )

= (200 − q1 )q1 + (300 − q2 )q2 − (q1 + q2 ) 2

e) SI DDM es capaz de discriminar entre estos dos grupos, ¿cuál será la cantidad que venderá a cada grupo? ¿Cuál el precio que cobrará en cada grupo? ¿Cuáles serán sus beneficios totales?  Max q1 , q 2

π 

= (200 − q1 )q1 + (300 − q2 )q2 − (q1 + q2 ) 2

Las condiciones de primer orden asociadas al problema de maximización del monopolista son:

∂π  = IMg (q1 ) − CMg (q1 , q2 ) = 200 − 2q1 − 2(q1 + q2 ) = 0 ∂q1 ∂π  = IMq(q2 ) − CMg (q1 , q2 ) = 300 − 2q2 − 2(q1 + q2 ) = 0 ∂q2 Estas dos condiciones de primer orden conforman un sistema de ecuaciones bajo el cual se determina la  producción óptima del monopolista y cómo se distribuye en cada mercado. Resolviendo este sistema obtenemos que: q1* = 16, 6

y q2* = 66, 6

DDM venderá a los hogares al siguiente precio:  p1 (q1 ) = 200 − q1 = 200 − 16, 6 = 183, 3 DDM venderá a las empresas constructoras al siguiente precio:  p2 (q2 ) = 300 − q2 = 300 − 66, 6 = 233, 3 Los beneficios totales serán: π 

212

= IT (q1 ) + IT (q2 ) − CT (q1 + q2 ) = (183, 3 *16, 6 ) + (233, 3 * 66,6 ) − (66, 6 + 16, 6 ) 2 = 11.666,6

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV f) ¿Debería la empresa discriminar entre estos dos grupos si al hacerlo incurre en un costo de $1.000? ¿Cómo cree Ud. que se podría originar este costo adicional por la discriminación de  precios? En este caso particular, DDM no debería discriminar porque sus beneficios en realidad serán de $10.666, los cuales son menores a los que obtendría si no discriminara. Este tipo de costos adicionales  por discriminación podría generase si es que la empresa debe gastar recursos en un sistema que le  permita discriminar a sus clientes e impedir la reventa entre ellos. Por ejemplo, se podrían genera si es que DDM requiere mantener un listado de las empresas constructoras para poder identificarlas, o  porque debe realizar gastos de publicidad adicionales al tener que publicitar dos precios distintos (por  ejemplo, un folleto para los hogares y otro para las empresas). g) ¿Cómo afecta el bienestar de los consumidores el que DDM discrimine precios? (Ayuda: encuentro los excedentes del consumidor con y sin discriminación y compárelos) En el caso sin discriminación de precios, el bienestar de los consumidores está representado por el excedente del consumidor del grupo de las empresas, pues los hogares no comprarán al precio de mercado:  p Max

300

2  p  SD  EC  = EC 2 = ∫ q2 ( p ) dp = ∫ (300 −  p )dp = 300 p −  = 45.000 − 42.187,5 = 2.812,5 2  p* 225   225 300

Con discriminación de precios ambos grupos consumen por lo que el bienestar de los consumidores está representado por ambos excedentes del consumidor:  p Max 1

200

2  p  = 20.000 − 19.861,1 = 138,9  EC 1 = ∫ q1 ( p1 )dp1 = ∫ (200 −  p1 )dp1 = 200 p −  2  p 183, 3   183, 3 200

1

 p Max 2

300

2  p  = 45.000 − 42.777,8 = 2.222,2  EC 2 = ∫ q2 ( p2 )dp2 = ∫ (300 −  p2 )dp2 = 300 p −  2  p 233, 3   233, 3 300

2

 EC CD = EC 1 + EC 1 = 138,9 + 2.222,2 = 2.361,1

∆ EC = EC CD − EC SD = 2.361,1 − 2.812,5 = −451,4 La discriminación produce una caída del bienestar general del los consumidores al disminuir el excedente del consumidor (total) una vez que DDM realiza la discriminación de precios. Sin embargo, es interesante mencionar que existen algunos efectos redristibutivos del bienestar, en el sentido que con discriminación los hogares están mejor, pues pueden consumir con lo que se genera un excedente del consumidor para ese grupo. Al mismo tiempo la empresas disminuyen su excedente, al enfrentar precios más altos. En conclusión, la sociedad como un todo esta mejor sin discriminación de precios pero de  producirse esta, algunos grupos de consumidores ganarían y otros perderían (las perdidas de bienestar  serán mayores que las ganancias).

213

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

h) Considerando los efectos que la discriminación de precios de DDM tiene sobre el bienestar de la sociedad y los niveles de producción ¿es beneficioso para la sociedad que DDM discrimine  precios? Discuta. El bienestar de la sociedad incluye los excedentes del consumidor y del productor. Estos últimos sabemos que corresponden (en el corto plazo) a los beneficios de la empresa (más los costos fijos, que no existen en este caso). Así, el bienestar de la sociedad sin discriminación de precios es:  B SD = EC SD + EP SD = EC SD + π  SD = 2.812,5 + 11.250 = 14.062,5

El bienestar de la sociedad con discriminación de precios es:  B CD = EC CD + EP CD = EC CD + π  CD = 2.361,1 + 11.666,6 = 14.027,8

El bienestar total de la sociedad es mayor sin discriminación de precios ($14.063) que con discriminación ($14.028). Por lo tanto, desde una perspectiva estricta de la economía del bienestar a la sociedad como un todo no le conviene la discriminación de precios. Sin embargo, pueden haber otras consideraciones que hagan necesaria o aceptable la discriminación. Debemos recordar que el monopolista discriminador producirá un nivel de producto superior que el monopolista clásico (16, 6 + 66, 6 = 83, 3 ) y venderá a precios tales que un grupo de la sociedad podrá acceder a su producto, por lo que aun cuando la valoración de dicho grupo no alcanza a compensar  (económicamente) el costo de la discriminación, podría ser discutible la conveniencia social (no económica) de la discriminación de precios. Es decir, aunque no sea económicamente eficiente la discriminación de precios, puede ser socialmente positiva al permitir el ingreso de algunos grupos de consumidores al mercado. También es posible que la discriminación de precios sea aceptable cuando analizamos el problema desde una perspectiva dinámica (y no tan sólo estática como en este caso). Por ejemplo, los mayores  beneficios que tendrá el monopolista discriminador, podrían permitirle contar con mayores recursos  para invertir, por lo que también podría ser socialmente deseable que durante un tiempo el monopolista discrimine precios, con los cuales podría reinvertir, por ejemplo, en mejoras productiva, que en el largo  plazo podrían aumentar su eficiencia y con ello eventualmente podrían generarse precios más bajos para todos los consumidores.

214

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 123. El Club de Deportes “La Galleta” tiene la exclusividad en los derechos de importación de  pelotas de fútbol cuadradas (fabricadas solamente en Japón) y, además, posee las únicas instalaciones aptas para jugar fútbol con esta clase de balón. Debido a la dificultad en la práctica del fútbol con pelota cuadrada (y a lo reciente de su introducción en el país) hay sólo dos interesados en  pertenecer al club. El Club sabe que el primer candidato a miembro tiene una función de demanda de horas de arriendo de la cancha de fútbol (por año) igual: q1 ( p ) = 100 −  p (al arrendar la cancha el Club presta la pelota cuadrada). Para el segundo candidato su función demanda es: q 2 ( p ) = 50 − 0,5 p . El club esta interesado en determinar su política de precios y le solicita a Ud. que revise las proposiciones que otro consultor acaba de hacer (el Club le ofrece membresía vitalicia, pero sólo si les da la respuesta correcta). a) Encuentre la demanda de mercado de canchas de fútbol con pelotas cuadradas.  b) Una de las alternativas propuestas por el consultor es que se permita el libre acceso a las instalaciones, cobrando sólo una tarifa única por hora por el uso de las canchas. Determine el cobro por hora que debería hacerse de tal manera de que el club maximice beneficios económicos si los costos totales del Club son: CT (Q) = 20 + 20Q + 0,5Q 2 . ¿Cuál será la cantidad demandada de horas? ¿Cuáles serán los beneficios del Club? c) a próxima semana el Directorio se reunirá con los representantes de la empresa japonesa que  produce las pelotas cuadradas para renegociar la licencia de importación, así es que le pide a Ud. que le ayude a determinar cuanto se debería pagar por dicha licencia. Emita una recomendación (recuerde que de la calidad de esta depende su membresía, entre otras cosas). d) El consultor también propuso la alternativa de discriminar precios entre ambos interesados. Encuentre cuanto habría que venderle, y a que precio, a cada interesado en estas condiciones. ¿Cuáles serán los beneficios? ¿Tiene sentido esta propuesta? ¿por qué? (Ayuda: primero plantee el problema de maximización de beneficios del monopolista discriminador de precios de tercer  grado, luego resuelva) e) El consultor también propuso el siguiente esquema de precios: cobrar una cuota de incorporación igual a $750 y precio por hora de $60. ¿Estarán dispuestos ambos interesados en hacerse miembros del club? ¿Determine los beneficios del Club con esta política de precios? La recomendaría Ud.? Solución: a) Encuentre la demanda de mercado de canchas de fútbol con pelotas cuadradas. Q ( p ) = q1 ( p) + q2 ( p ) = (100 −  p ) + (50 − 0,5 p )

3 Q( p) = 150 −  p 2  p

 p

“Interesado 1”

100

“Interesado

 p

2”

100

100

q1

“Mercado”

100

50

q2

150

Q

215

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) Una de las alternativas propuestas por el consultor es que se permita el libre acceso a las instalaciones, cobrando sólo una tarifa única por hora por el uso de las canchas. Determine el cobro por hora que debería hacerse de tal manera de que el club maximice beneficios económicos si los costos totales del Club son: CT (Q) = 20 + 20Q + 0,5Q 2 . ¿Cuál será la cantidad demandada de horas? ¿Cuáles serán los beneficios del Club? Como el Club es un monopolista en el arriendo de canchas para jugar fútbol con pelota cuadrada, entonces ofrecerá una cantidad de horas de uso hasta que el ingreso marginal de dichos arriendos es igual al costo marginal. Dado que ofrece una tarifa única, el monopolista se enfrenta a la curva de demanda del mercado, así tenemos que:  IT (Q) =  p(Q)Q

Para encontrar la función de ingreso total debemos encontrar la función inversa de demanda ( p (Q) ) : 3 2 Q( p) = 150 −  p ⇒  p(Q) = 100 − Q 2 3 Por lo que:

   

 IT (Q) =  p(Q)Q = 100 −

 IMg (Q) =

2   2 Q Q = 100Q − Q 2 3   3

4 ∂ IT  = 100 − Q ∂Q 3

De la función de costos totales encontramos la función de costo marginal: CMg (Q) =

∂CT (Q) = 20 + Q ∂Q

Igualando ingreso marginal a costo marginal:  IMg (Q) = 100 −

4 3

Q = 20 + Q = CMg (Q) ⇒ Q M  =

240 7

= 34,3

El Club pondrá en arriendo las instalaciones por 34,3 horas al año y cobrará por hora:  p(Q) = 100 −

2 3

(34,3) = 77,14

Los beneficios del Club serán: π (Q )

= IT (Q) − CT (Q) =  pQ − (20 + 20Q + 0,5Q 2 ) π (Q)

216

= 2.644,9 − 1.293,5 = 1.351,4

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV c) La próxima semana el Directorio se reunirá con los representantes de la empresa japonesa que  produce las pelotas cuadradas para renegociar la licencia lice ncia de importación, así es que le pide a Ud. que le ayude a determinar cuanto se debería pagar por dicha licencia. Emita una recomendación (recuerde que de la calidad de esta depende su membresía, entre otras cosas). En términos generales el Directorio debería pagar hasta el monto de los beneficios económicos que le genera la posesión de la licencia. En el caso de llevar una política de precio único, el valor máximo a  pagar debería ser de $1.351. El valor real dependerá de la política de precios y de la capacidad de negociación con la firma japonesa. d) El consultor también propuso la alternativa de discriminar discriminar precios entre ambos interesados. interesados. Encuentre cuanto habría que venderle, y a que precio, a cada interesado en estas condiciones. ¿Cuáles serán los beneficios? ¿Tiene sentido esta propuesta? ¿por qué? (Ayuda: primero plantee el problema de maximización de beneficios del monopolista discriminador de precios de tercer  grado, luego resuelva) Bajo discriminación de precios de tercer grado este Club (monopolista) deberá resolver el siguiente  problema:  Max q1 , q2

π 

= IT (q1 ) + IT (q2 ) − CT (Q)

 Max

π 

q1 , q 2

 Max q1 , q2

π 

con

Q = q1 + q2

=  p1 (q1 )q1 +  p2 (q2 )q2 − CT (q1 + q2 )

= (100 − q1 )q1 + (100 − 2q2 )q2 − (20 + 20(q1 + q2 ) + 0,5(q1 + q2 ) 2 )

Las condiciones de primer orden son:

∂π  = IMg (q1 ) − CMg (q1 , q2 ) = 100 − 2q1 − 20 − (q1 + q2 ) = 0 ∂q1 ∂π  = IMq(q2 ) − CMg (q1 , q2 ) = 100 − 4q2 − 20 − (q1 + q2 ) = 0 ∂q2

⇒

80 − 3q1 − q2 = 0

⇒ 80 − 5 q2 − q1 = 0

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos que: q1* = 22,9 y q2* = 11,4  p1* = 77,14 y

p2* = 77,14

Los beneficios de esta estrategia de precios son: π ( q1 + q2 ) π ( q1 + q2 )

= IT 1 (q1 ) + IT 2 (q2 ) − CT (q1 + q2 )

= (22,9)77,14 + (11,4)77,14 − (20 + 20(33,4) + 0,5(33,4) 2 )

217

Microeconomía 1

Teoría de la Firma π (q1

+ q2 ) = 2.644,9 − 1.293,5 = 1.351,4

Esta propuesta no genera resultados distintos a la política de no discriminación de precios, por lo que no tiene sentido. Esto se explica porque las elasticidades-precio de las demandas de ambos interesados son las mismas, por lo que los precios a cobrar deben ser los mismos. Así, no tiene sentido realizar ninguna discriminación de precios. Recuerde que los ratios de precios están relacionados con las elasticidades precio de la demanda de la siguiente forma: 1  p1 e2 = 1  p2 1+ e1 1+

e) El consultor también propuso el siguiente esquema de precios: cobrar una cuota de incorporación igual a $750 y precio por hora de $60. ¿Estarán dispuestos ambos interesados en hacerse miembros del club? ¿Determine los beneficios del Club con esta política de precios? La recomendaría Ud.? Con esta política de precios tenemos que determinar la cantidad consumida por cada interesado, dado el  precio por hora, y luego determinar si es que existe el suficiente excedente d el consumidor para que esté dispuesto a para la cuota de incorporación. Interesado 1: con  p = 60 ⇒ q1 = 100 −  p = 100 − 60 ⇒ q1* = 40

Su excedente sería: q*

 E C 1 =

40

∫ [ p(q ) − p ]dq = ∫ [(100 − q ) − 60]dq = (100q − 0,5q *

1

1

0

2 1

1

) − 60q1

]

40

0

= 4.000 − 800 − 2.400 = 800

0

Por lo tanto el interesado 1 estaría dispuesto a pagar la cuota de incorporación y consumiría 40 horas anuales. Interesado 2: con  p = 60 ⇒ q2 = 50 − 0,5 p = 50 − 30 ⇒ q2* = 20

El excedente del consumidor es: q2*

 E C 2 =

30

∫ [ p(q ) −  p ]dq = ∫ [(100 − 2q ) − 60]dq = (100q 2

0

2

− q22 ) − 60q2 ]0 = 2.000 − 400 − 1.200 = 400 20

*

2

0

Por lo tanto el interesado 2 no estaría dispuesto a pagar la cuota de incorporación ya que al consumir 20 horas anuales solo tendrá un excedente de 400. De pagar la cuota perdería bienestar por lo que no se hace socio del Club. El Club, por lo tanto solo tiene un nuevo socio. Sus beneficios serán:

218

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV π ( q1 π ( q1 )

+ q2 ) = IT 1 (q1 ) + IT 2 (q2 ) − CT (q1 + q2 )

= (750 + 60q1 ) − (20 + 20q1 + 0,5q12 ) = (750 + 60(40) ) − (20 + 20(40) + 0,5(40) 2 ) π ( q1 )

= 3.150 − 1.620 = 1.530

Aun cuando el Club sólo incorporara un nuevo socio, desde el punto de vista de sus beneficios económicos si le conviene esta estrategia de precios (aun cuando no necesariamente es la que maximiza  beneficios, es la de mayor beneficios entre las propuestas). Ahora, Ah ora, si al Club también le importa tener  más socios, entonces la respuesta no es clara porque se dejaría a uno de los interesados sin participar. En este caso el Directorio tendría que decidir si la diferencia en los beneficios económicos compensa la menor cantidad de miembros en el Club.

219

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

124. La Republica de la Zuciedad esta compuesta de dos islas. islas. En ellas existe existe un sólo fabricante fabricante de lavadoras, la empresa “Kitamanchas”. La firma ha determinado que cada una de las islas tiene demandas distintas por lavadoras. De hecho la isla grande tiene una función inversa de demanda por  lavadoras que puede ser representada por la siguiente función:  p g  = 250 − 50q g  . En la isla isla pequeña la función inversa de demanda es:  p p = 200 − 20q p . La producción de quitamanchas se hace a través de un proceso de producción que presenta rendimientos constantes a escala, y se sabe que cuesta $10.000 producir 100 lavadoras. Con esta información responda las siguientes preguntas: a) Determine que condiciones deberían darse para que Kitamanchas operara como monopolista monopolista en cada una de las islas por separado.  b) Encuentre las funciones de costo medio y costo marginal de la empresa. Explique. c) Plantee el problema de maximización de benéficos de Kitamanchas si se asume que efectivamente opera como un monopolista. d) Determine la producción total, cuanto venderá en cada isla, a que precios, y los beneficios de Kitamanchas. e) Grafique (en un solo gráfico) gráfico) las funciones de demanda de ambas islas. islas. f) Tomando en cuenta el precio y la cantidad demandada en cada isla, isla, encuentre la elasticidadelasticidad precio de la demanda de cada una de ellas. ¿Es la demanda más o menos elástica en el mercado donde se cobra más barato? Solución: a) Determine que condiciones deberían darse para que Kitamanchas operara como monopolista monopolista en cada una de las islas por separado. Dado que las lavadoras son un bien transable, es decir, susceptible de ser comerciado internacionalmente, para que Kitamanchas pueda operar como monopolista en cada una de las islas se deben cumplir las siguientes condiciones dos: i. Para poder operar como monopolista en el país debe haber alguna restricción que impida el comercio internacional de lavadoras. ii. Para poder operar como monopolista que discrimina discrimina o separa mercados mercados (islas) debe ser  imposible que los habitantes de cada una las islas puedan comprar lavadoras en la otra, es decir, no debe existir posibilidad de arbitraje.  b) Encuentre las funciones de costo medio y costo marginal de la empresa. Explique. Sabemos que:

CT (q = 100) = 10.000

Dado que hay rendimientos constantes a escala podemos establecer que los costos serán proporcionales al nivel de producción, por lo que podemos determinar que el costo unitario promedio y el costo marginal serán: 10.000 = 100 = CMe = CMg  CT (q = 1) = 100 c) Plantee el problema de maximización de benéficos de Kitamanchas si se asume que efectivamente opera como un monopolista. 220

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  Max π  = IT (q g ) + IT (q p ) − CT (q g  + q p ) q g  , q p

d) Determine la producción total, cuanto venderá en cada isla, a que precios, y los beneficios de Kitamanchas.  Max π  =  p(q g )q g  +  p(q p )q p − CT (q g  + q p ) = 250 − 50q g  q g  + 200 − 20q p q p − 100 q g  + q p q g  , q p

 Max π  = (250q g  − 50qq2 ) + (200q p − 20q p2 ) − (100(q g  + q p )) q g  , q p

Las condiciones de primer orden son:

∂π   = 250 − 100q g  − 100 = 0 * ∂q g  ⇒ q g  = 1,5 * * *   ⇒ Q = q g  + q p = 4 * ⇒ q p = 2,5 ∂π  = 200 − 40q p − 100 = 0   ∂q p Los precios a los que se venderán estas cantidades en cada isla son:  p g * = 250 − 50q *g  = 250 − 50(1,5) = 175  p p* = 200 − 20q *p = 200 − 20( 2,5) = 150

e) Grafique (en un solo gráfico) las funciones de demanda de ambas islas.  p 250

200

 p(q g  ) 5

 p(q p ) 10

Q

f) Tomando en cuenta el precio y la cantidad demandada en cada isla, isla, encuentre la elasticidadelasticidad precio de la demanda de cada una de ellas. ¿Es la demanda más o menos elástica en el mercado donde se cobra más barato? e g  =

∂q g   p g  ∂q  p 1 175 1 150 =− = −2, 3 y e p =  p  p = − = −3 50 1,5 20 2,5 ∂ p g  q g  ∂ p p q p

Kitamanchas cobra más barato (caro) en el mercado que tiene una demanda más (menos) elástica. 221

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

125. Usted es un prestigioso consultor de empresas que recibe un pedido de la afamada empresa de antivirus E-Tanax para desarrollar una política de precios para los productos estrella de la compañía: el  Mata-Troyanos y  Mata-Gusanos. En la actualidad  E-Tanax posee una política de precios diferenciados para cada uno de sus dos productos, vendiendo el  Mata-Troyanos a $200 ( pT  ) y el  Mata-Gusanos a $250 ( pG ). Después de un chispazo de iluminación, al Gerente Comercial se le

ocurre que podrían ofrecer un paquete que incluya ambos productos a un precio único (brillante no?). Después de su arrebato creativo el Gerente encargó una encuesta para conocer la disposición del mercado a aceptar su brillante idea. La encuesta fue realizada a 100 usuarios en el mes pasado y arrojó los siguientes resultados: (i) 20 personas compraron los dos productos (ii) 40 personas compraron el  Mata-Troyanos. Estas personas estarían dispuestas a gastar hasta $120 más por el Mata-Gusanos. (iii) 40 personas compraron el  Mata-Gusanos. Estas personas estarían dispuestas a gastar hasta $100 más por el Mata-Troyanos. Con esta información el Gerente lo contrata a Ud. para que le ayude a diseñar la nueva política de  precios. Para realizar la asesoría suponga que: (i) Los nuevos compradores de productos de  E-Tanax tendrán las mismas características que el grupo encuestado. (ii) El costo marginal de cada software y del paquete es cero. (iii) Los productos pueden ser ofrecido por separado o empaquetados a) La venta de un paquete corresponde a un esquema de discriminación de precios. Señale que a tipo de discriminación corresponde y porque la empresa querría aplicarla.  b) ¿Cuál es el precio máximo que se podría cobrar por el paquete ( pTG ) a los compradores de  Mata-Troyanos? Explique. c) ¿Cuál es el precio máximo que se podría cobrar por el paquete ( pTG ) a los compradores de  Mata-Gusanos? Explique. d) ¿Qué beneficios obtendría  E-Tanax si ofreciera, además de los programas por separado, el  paquete conjunto a un grupo de 100 usuarios y cobrara un precio ( pTG ) de $320?

e) ¿Qué beneficios obtendría si ofreciera, además de los programas por separado, el paquete conjunto a un grupo de 100 usuarios y cobrara un precio ( pTG ) de $350? f) Si E-Tanax ofreciera el paquete ¿cuál de los dos precios debería escoger? g) ¿Qué beneficios obtendría si no ofreciera el paquete conjunto (a un grupo de 100 usuarios)? h) ¿Qué valores debería tener n para que no fuera rentable la venta del paquete? Solución: a) La venta de un paquete corresponde a un esquema de discriminación de precios. Señale que a tipo de discriminación corresponde y porque la empresa querría aplicarla. Este tipo de política de precios corresponde a una estrategia de discriminación de precios de segundo grado. La empresa querría aplicarla para incrementar los beneficios netos al discriminar de precios entre clientes sin tener un parámetro identificable de estos que permita la discriminación (discriminación de

222

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV  precios de 3er grado). Así, entregará un menú de precios frente al cual cada consumidor elegirá el que más le conviene.  b) ¿Cuál es el precio máximo que se podría cobrar por el paquete ( pTG ) a los compradores de  Mata-Troyanos? Explique.

Usando la información de la encuesta podemos decir que los comprados de  Mata-Troyanos estarán dispuesto a pagar como máximo precio del paquete la suma de lo que actualmente pagan por el MataTroyanos más el adicional de $120 por el Mata-Gusanos: 1 = 200 + 120 = 320  pTG

c) ¿Cuál es el precio máximo que se podría cobrar por el paquete ( pTG ) a los compradores de  Mata-Gusanos? Explique.

Con el mismo análisis podemos decir que los comprados de  Mata-Gusanos estarán dispuesto a pagar  como máximo precio del paquete la suma de lo que actualmente pagan por el  Mata-Gusanos más el adicional de $120 por el Mata-Troyanos: 2 = 250 + 100 = 350  pTG

d) ¿Qué beneficios obtendría  E-Tanax si ofreciera, además de los programas por separado, el  paquete conjunto a un grupo de 100 usuarios y cobrara un precio ( pTG ) de $320? Ya que el costo marginal de ambos software y del paquete es cero, los beneficios adicionales de vender  a 100 clientes estarán dados por el ingreso que generen dichas ventas. Si se ofrecen los programas por  separado y el paquete, este último a un precio de $320, los tres grupos de consumidores comprarán de la siguiente forma: (i) (ii) (iii)

Las 20 personas que compraron los dos productos pagaron un total de $450, por lo que si comprarán el paquete al precio de $320. Las 40 personas que compraron el  Mata-Troyanos estarían dispuestas a pagar $320 por el  paquete, por lo que lo comprarían a dicho precio. Las 40 personas que compraron el  Mata-Gusanos estarían dispuestas a pagar $350 por el  paquete, por lo que también comprarán a dicho precio.

Así, los beneficios totales con este menú de precios son: π 

1 1 1 ) + (40 pTG ) + (40 pTG1 ) = (100 pTG ) = (100 × 320) = 32.000 = (20 pTG

e) ¿Qué beneficios obtendría si ofreciera, además de los programas por separado, el paquete conjunto a un grupo de 100 usuarios y cobrara un precio ( pTG ) de $350? Con el mismo razonamiento, usando este precio las ventas serán: (i)

Las 20 personas que compraron los dos productos pagaron un total de $450, por lo que si comprarán el paquete al precio de $350. 223

Microeconomía 1 (ii)

(iii)

Teoría de la Firma

Las 40 personas que compraron el  Mata-Troyanos estarían dispuestas a pagar $320 por el  paquete, por lo que lo no comprarán el paquete a dicho precio, sin embargo, comprarán el  Mata-Troyanos. Las 40 personas que compraron el  Mata-Gusanos estarían dispuestas a pagar $350 por el  paquete, por lo que si comprarán a dicho precio.

Entonces, los beneficios totales con este menú de precios son: π 

2 2 2 ) + (40 pT  ) + (40 pTH  ) = (40 pT ) + (60 pTH  ) = (40 × 200) + (60 × 350 ) = 29.000 = (20 pTH 

f) Si E-Tanax ofreciera el paquete ¿cuál de los dos precios debería escoger? Debería escoger el precio de $320 ya que con él se obtienen mayores beneficios. g) ¿Qué beneficios obtendría si no ofreciera el paquete conjunto (a un grupo de 100 usuarios)? Usando la información de la encuesta podemos determinar que los beneficios serian iguales a: π 

= (20( pT  +  pG ) + (40 pT ) + (40 pG ) = (20(200 + 250) + (40(200) ) + (40(250) ) = 9.000 + 8.00 + 10.000 = 27.000 h) (10 puntos) Después de mirar la encuesta en detalle Ud. se da cuenta que esta no es muy confiable. Ud. cree que si no se ofrece el paquete ocurrirá lo siguiente: (i) n de las 100 personas comprarán ambos productos. (ii) (100 − n) / 2 comprarán el Mata-Troyanos solamente. (iii) (100 − n) / 2 comparan el Mata-Gusanos solamente. Obtenga la función de beneficios de la empresa en función de n, si no se vende el paquete. Con esta información podemos expresar la función de beneficios como:

  100 − n      100 − n    = (n( pT  +  pG ) ) +    pT   +    pG     2        2      100 − n   100 − n  π  = 450n + 200  + 250    2     2    100 − n    100 − n  π  = 450n + 450  = 450 n +  2     2     π  = 225(100 + n ) π 

i) ¿Qué valores debería tener n para que no fuera rentable la venta del paquete? Para que no fuera rentable vender el paquete debemos encontrar un n tal que los beneficios de no ofrecer el paquete son mayores a aquellos con el paquete. Para cualquier n los beneficios son: Beneficios sin ofrecer el paquete: π SP  =

224

225(100 + n )

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Beneficios ofreciendo el paquete (a un precio de $320): π CP  =

(n( p )) +     100 − n  p 1 TG

  

 

2

 

    100 − n  1    +    pTG       2    

1 TG

 100 − n   100 − n   1 +   =  pTG (100) = 320(100 )   2     2   

π CP  =  pTG  n + 1

 

π CP  = 32.000

Es decir, para cualquier  n si se ofrece el paquete conjunto los beneficios son los mismos. Así, el n tal que los beneficios de no ofrecer el paquete son mayores a aquellos con el paquete es: π SP  =

225(100 + n ) > 32.000 = π CP  n > 42, 2

225

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

126. En Pueblo Escondido el mercado de servicios de radiotaxis es completamente libre. Cualquier   persona o empresa puede ofrecer estos servicios siempre que cumpla, por supuestos, con las regulaciones básicas de la actividad. Suponga que el costo marginal de una “carrera” es constante e igual a $5 (en miles de pesos) y que un taxi puede realizar en promedio 20 “carreras” diarias. Se estima que la función de demanda diaria de viajes en taxis es Q( p) = 1.200 − 20 p . Suponga además, que la industria es perfectamente competitiva. a) Determine el precio de equilibrio del mercado, el número de “carreras” realizadas y el número de taxis de la industria? Grafique el mercado.  b) Las autoridades de transporte planean implantar un sistema de licencias de taxis, concediendo una licencia (gratis el primer año) sólo a los taxistas ya establecidos. Grafique la función de oferta de la industria que resultaría de aplicar un sistema de licencias (el primer año). c) Las autoridades no están seguras del impacto de este sistema y recurren a Ud. para que los asesore (ellos saben de sus acabados conocimientos en teoría económica). ¿Puede Ud. indicarles que pasara con el precio y el número de viajes en este mercado si se implanta este sistema de licencias? d) Si la demanda por radio taxis se desplaza a Q( p) = 1.400 − 20 p , ¿qué pasara con el precio y el número de viajes en este mercado? ¿Cuáles serán los beneficios diarios que obtendría un taxista con licencia? e) Suponiendo que la demanda por radio taxis no cambia (con respecto a letra anterior), ¿cuál sería el valor (diario) que las autoridades deberían cobrar por cada licencia? ¿Cuánto podrían recaudar? f) ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar cada taxista a las autoridades para que no se vendieran una licencia más? ¿Cuánto pagaría el gremio de los taxistas? ¿Cuánto estarían dispuestos a pagar  los consumidores con tal que se eliminara el sistema de licencias? (Ayuda: use gráficos para guiar su respuesta) g) Suponga que Pepe, uno de los taxistas más antiguos de Pueblo Escondido se gana la Lotería. Con parte del premio decide llevar un paso delante su actividad como empresario y compra todos los taxis de la ciudad. Señale que es lo ocurriría en este mercado, indicando las consecuencias económicas de la decisión de Pepe sobre el precio la cantidad de equilibrio de mercado y los beneficios económicos. (Asuma que estamos en la situación en la cual no hay licencias y que la demanda es la señalada en el enunciado del problema). h) ¿Qué sucede con los excedentes del consumidor y del productor? ¿Cuál es el impacto sobre el  bienestar que tiene la decisión de Pepe? Interprete. (Ayuda: compare los excedentes bajo la situación en la cual Pepe adquiere todos los taxis versus la situación inicial en el mercado, es decir, competencia perfecta) Solución: a) Determine el precio de equilibrio del mercado, el número de “carreras” realizadas y el número de taxis de la industria? Grafique el mercado.  p

Dado que esta es una industria perfectamente competitiva y que los costos marginales son constantes entonces el precio de equilibrio tendrá que ser igual a los costos marginales:

60

DT (Q)

 p* = 5

CMg(Q) 5

226

1100

1200

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV A dicho precio la cantidad de “carreras” realizadas es: Q( p) = 1.200 − 20 p = 1.200 − 100 Q* = 1.100

El numero de taxis del mercado será igual al número total de “carreras” dividido por el número de “carreras” por taxi, el que sabemos que es de 20 (como máximo por taxi). Asumiendo que cada taxi realiza el máximo de carreras, entonces tendremos que el número de taxis en Pueblo Escondido será de: n = *

Q* qi*

=

1.100 20

= 55

 b) Las autoridades de transporte planean implantar un sistema de licencias de taxis, concediendo una licencia (gratis el primer año) sólo a los taxistas ya establecidos. Grafique la función de oferta de la industria que resultaría de aplicar un sistema de licencias (el primer año). Dado que el sistema autoriza la existencia de los 55 taxis actuales, y que cada taxi realiza como máximo solo 20 viajes, entonces sin importar el precio de la “carrera” la cantidad máxima de viajes que se podrán realizar en un día será de 1.100. Ya que el mercado es perfectamente competitivo las cantidades inferiores al máximo de “carreras” se venderán cada una a $5.

 p

 S(Q)

5

1100

Q

c) Las autoridades no están seguras del impacto de este sistema y recurren a Ud. para que los asesore (ellos saben de sus acabados conocimientos en teoría económica). ¿Puede Ud. indicarles que pasara con el precio y el número de viajes en este mercado si se implanta este sistema de licencias? Ya que la cantidad actual demandada de viajes, al precio de $5 es de 1.100 “carreras” y que esa es la cantidad máxima que los taxistas estarán dispuestos a vender a ese precio, entonces la introducción de un sistema de licencias no tiene impacto alguno. d) Si la demanda por radio taxis se desplaza a Q( p) = 1.400 − 20 p , ¿qué pasara con el precio y el número de viajes en este mercado? ¿Cuáles serán los beneficios diarios que obtendría un taxista con licencia? El desplazamiento de la demanda significa un aumento de esta. Dado que la cantidad máxima de viajes esta fija, el ajuste del mercado se efectuara vía cambios en el precio de mercado. Con Q( p) = 1.400 − 20 p , tenemos que:  p* = 70 −

Q

20

= 70 −

1.100 20

= 70 − 55 = 15

227

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

Los taxistas obtendrán beneficios iguales $10 por cada carrera (precio menos costo). Considerando que cada taxista realiza 20 viajes al día los beneficios totales diarios serán de $200  p 70

 D’ T (Q) S(Q)

15 5

1100

1400

Q

e) Suponiendo que la demanda por radio taxis no cambia (con respecto a letra anterior), ¿cuál sería el valor (diario) que las autoridades deberían cobrar por cada licencia? ¿Cuánto podrían recaudar? Las autoridades podrían cobrar hasta $200 por la licencia y los taxistas estarían dispuestos a pagar por  ella. Las autoridades podrían obtener $11.000 (200*55) con las licencias. f) ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar cada taxista a las autoridades para que no se vendieran una licencia más? ¿Cuánto pagaría el gremio de los taxistas? ¿Cuánto estarían dispuestos a pagar  los consumidores con tal que se eliminara el sistema de licencias? (Ayuda: use gráficos para guiar su respuesta) Si las autoridades otorgan una licencia mas la cantidad ofertada de viajes subirá en 20. Lo cual reducirá el precio de equilibrio en $1:  p = 70 −

Q

20

= 70 −

1.120 = 70 − 56 = 14 20

p

 S(Q)  S’(Q)  D’ T(Q)  

Así, el beneficio de cada taxista disminuirá a $180 [(14-5)*20], por  lo que cada taxista debería estar dispuesto a pagar hasta $20 a la autoridad para que no se vendiera una licencia más. El gremio como un todo, conformado por 55 taxistas, estará dispuesto a pagar  $1.100 (20*55).

15 14

5 1100 1120

Los consumidores estarían dispuestos a pagar el valor del excedente que pierden con la existencia de la licencia. Sin la licencia el precio de mercado seria de $5 y el número de “carreras” de equilibrio seria 1.300. Gráficamente el excedente del consumidor seria igual las áreas A,  B, y C . Con la licencia el excedente del consumidor es sólo el área  A, por lo que la  perdida de excedente debido a la licencia corresponde a las áreas  B y C . Entonces podemos calcular la perdida de excedente del consumidor de las siguiente forma:

 p 70

 D’ T (Q)  SQ)  A

15  B 5

C 

1100 1300

228

Q

1400

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 15

∆ Exc. Cons. = ∫ (1.400 − 20 p)dp = [1.400 p − 10 p 2 ] = 12.000 15 5

5

 Nota: Los taxistas estarán dispuestos a pagar $11.000 a la autoridad con tal de que no elimine el sistema. Este monto es equivalente a los beneficios obtenidos por los taxistas con la licencia (gráficamente es el área  B), el cual es menor al de los consumidores porque los consumidores sufren una pérdida irrecuperable (área C ) producto del menor consumo. g) Suponga que Pepe, uno de los taxistas más antiguos de Pueblo Escondido se gana la Lotería. Con parte del premio decide llevar un paso delante su actividad como empresario y compra todos los taxis de la ciudad. Señale que es lo ocurriría en este mercado, indicando las consecuencias económicas de la decisión de Pepe sobre el precio la cantidad de equilibrio de mercado y los beneficios económicos. (Asuma que estamos en la situación en la cual no hay licencias y que la demanda es la señalada en el enunciado del problema). Lo que ocurre en este mercado es que Pepe se convierte en un monopolista, y por lo tanto el mercado deja de ser competitivo. Como monopolista Pepe maximizará sus beneficios produciendo donde el ingreso marginal es igual al costo marginal: 2

Q   Q    IT  =  p (Q)Q =  60 − Q = 60Q − 20  20  

 IMg  = 60 −

Q = 5 = CMg  10

* = 550 Q M 

El precio que cobrará será:  p(Q) = 60 −

Q 550 = 60 − = 32,5 20 20

Con esto obtendrá beneficios iguales a: π  M  ( q )

= IT  − CT  = 32,5(550) − (550(5) ) = 15.125

 p

60

 DT (Q)

32,5 CMg(Q) 5  IMg  550

1100

1200

Q

229

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

h) ¿Qué sucede con los excedentes del consumidor y del productor? ¿Cuál es el impacto sobre el  bienestar que tiene la decisión de Pepe? Interprete. (Ayuda: compare los excedentes bajo la situación en la cual Pepe adquiere todos los taxis versus la situación inicial en el mercado, es decir, competencia perfecta) Bajo el monopolio de Pepe el excedente del consumidor se ve reducido Podemos calcula el cambio en el excedente del consumidor como:  p C 

∆ Exc.Consumidor  =

∫

5

q ( p )dp =

 p M 

2 ∫ (1.200 − 20 p )dp = [1.200 p − 10 p ]32,5 = 5.750 − 28.437,5 = −22.687,5 5

32, 5

Lo que significa una perdida de bienestar de los consumidor que puede ser avaluada en $22.687,5. Además, dado que el excedente del productor es igual a la suma del beneficio y los costos fijos  podemos determinar que el excedente del productor es igual a $15.125. El cambio en el excedente del  productor es la diferencia entre el excedente del productor en la situación monopólica menos el excedente bajo competencia perfecta. * * ∆ Exc. Productor  = EP   Monopolio − EP  CP  = (π  M  + CF ) − (π CP  + CF ) = (15.125 + 0 ) − (0 + 0 ) = 15.125

El cambio en el excedente del productor es una transferencia de los consumidores a Pepe el monopolista. El efecto neto para la sociedad es una perdida de bienestar de $7.562,5, que se produce  por el menor consumo debido al mayor precio cobrado.  p

60

 DT (Q)

32,5 CMg(Q) 5  IMg  550

230

1100

1200

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 127. El preuniversitario “Súper PSU” tiene una función de costos totales CT (q) = q 2 + 6q + 16 . Además, se sabe que este preuniversitario es tomador de precios y que el precio por alumno es de $14. a) Si el preuniversitario es maximizado de beneficios, ¿cuál seria su función de oferta? Grafique.  b) En términos del plazo ¿qué concluye al respecto en este preuniversitario? ¿Cuáles son las condiciones de cierre de este preuniversitario? c) Cómo cambia su respuesta anterior si el precio del factor fijo disminuye a la mitad? ¿Cómo representaría este cambio en la función de costo total? d) ¿Cuál es el ingreso marginal asociado a la función de demanda de “Super PSU? ¿Por qué? ¿Cuál es el excedente del productor? e) Algunos “expertos” señalan que el mercado de los preuniversitarios en la zona no es competitivo. Indique su acuerdo o desacuerdo con la afirmación y justifique claramente su razonamiento. Solución: a) Si el preuniversitario es maximizado de beneficios, ¿cuál seria su función de oferta? Grafique. La función de oferta es la función de costo marginal a partir costo variable medio mínimo. Con la función de costos total obtenemos: CMg (q ) = 2q + 6  p = CMg (q)

⇒  p = 2q + 6 ⇒ q( p) =

CVMe(q ) =

CVT (q) q

p−6

q(p)

2 CVMe

= q+6

Cuyo mínimo se obtiene cuando el nivel de producción es cero, y es igual a 6. Así, la función de oferta es:

 0  q( p ) =  p − 6  2

CMe CMg 

 si  p ≤ 6

6

q

 si 6 <  p

 b) En términos del plazo ¿qué concluye al respecto en este preuniversitario? ¿Cuáles son las condiciones de cierre de este preuniversitario? La función de costo total es de corto plazo ya que contiene un costo fijo que no puede ser eliminado al detener la producción. Las condiciones de cierre de la firma requieren que el precio caiga por debajo del costo variable medio mínimo, es decir, que el precio baje de $6. En ese caso la firma detiene la  producción y cierra.

231

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

c) ¿Cómo cambia su respuesta anterior si el precio del factor fijo disminuye a la mitad? ¿Cómo representaría este cambio en la función de costo total? La nueva función de costos totales puede ser expresada de la siguiente forma: CT (q) = q 2 + 6q + 8. Sin embargo las condiciones de cierre no cambian pues estas dependen de los costos variables y no de los costos fijos. d) ¿Cuál es el ingreso marginal asociado a la función de demanda de “Super PSU? ¿Por qué? ¿Cuál es el excedente del productor?

    

En términos generales la función de ingreso marginal de una firma es:  IMg =  p1 −

1   ε q , p

.  

Como esta firma participa de un mercado competitivo donde es tomadora de precios la elasticidad de la demanda de esta firma es infinita, por lo que la función de ingreso marginal queda en:  IMg  = p = 14

El excedente del productor se define como:  EP (q* ) = Π (q* ) + CF  En este caso, dado un precio de $14, la cantidad producida, los beneficios y el excedente del producto son: q( p) =

p − 6 14 − 6 = =4 2 2

Π (q) =  pq − CT (q) = 14 * 4 − 42 − 6 * 4 + 16 = 56 − 8 = 48  EP (q* ) = Π (q* ) + CF  = 48 + 16 = 64

e) Algunos “expertos” señalan que el mercado de los preuniversitarios en la zona no es competitivo. Indique su acuerdo o desacuerdo con la afirmación y justifique claramente su razonamiento. El mercado de preuniversitario podría ser considerado como un mercado competitivo por las siguientes razones:

• Alto numero de oferentes: existe una variada oferta de empresas que ofrecen este tipo de •

• •

232

servicios. Existencia de sustitutos: los preuniversitarios tiene buenos sustitutos, como por ejemplo los mismo preuniversitarios ofrecidos al interior de los colegios, clases particulares, cursos por  internet, además del material que los mismos alumnos pueden preparar individualmente y que puede ser obtenido en librerías especializadas. Barreras a la entrada: no existen barreras a la entrada para este tipo de establecimientos. Información: en general existe o es relativamente barato conseguir información acerca de los servicios y la calidad de los preuniversitarios.

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 128. El diario El Mercurio de Santiago publicó el día Martes 9 de noviembre de 2004 un artículo acerca de la penetración de telefonía celular en Chile y en la Latinoamérica. Básicamente, el artículo señala que Chile es el país con mayor frecuencia de uso de celulares, particularmente entre jóvenes. Los resultados del estudio realizado por Latin Panel se resumen en la figura adjunta. Usando sus acabados conocimientos en teoría económica y otros acerca de la realidad actual, responda y comente las siguientes preguntas. Explicite claramente los supuestos de su análisis. a) Indique y discuta dos factores relacionados con la demanda por celulares que podrían estar  explicando la mayor penetración de los celulares en Chile.  b) Indique y discuta dos factores relacionados con la oferta de celulares que podrían estar  explicando la mayor penetración de los celulares en Chile. c) Si sabemos que la elasticidad-ingreso de todos los bienes que consume un joven (distintos de los celulares) es de 0.7 y que el gasto en celulares representa un 20% del ingreso de los jóvenes, ¿cuál es la elasticidad-ingreso de la demanda por celulares? d) En la práctica las empresas proveedoras de celulares ofrecen planes con variadas estructuras tarifarias: por ejemplo planes de prepago sin cargo fijo, planes individuales y familiares con cargo fijo, planes con descuento por volumen, etc. Sabemos que estos menús de precios son formas de discriminación. ¿Por qué cree Ud. que estas empresas son capaces de realizar esta forma de discriminación si la industria no es monopólica? Solución: a) Indique y discuta dos factores relacionados con la demanda por celulares que podrían estar  explicando la mayor penetración de los celulares en Chile.

• Precio: la mayor penetración de los celulares puede deberse a que el precio de los celulares • • •

(aparato + plan de llamadas) es mas barato en Chile que en Brasil o Argentina. Un precio mas bajo generaría una mayor demanda y por lo tanto mayor penetración (ceteris paribus ). Ingreso: Si los celulares son un bien normal, el mayor ingreso per capita de Chile debería generar un mayor uso (consumo) de celulares que en Brasil y Argentina (ceteris paribus ) Preferencias: la mayor penetración de los celulares en Chile podría deberse a un fenómeno de preferencias o gustos de los consumidores chilenos (ceteris paribus ). Podría ser que a los chilenos nos gusta hablar mas por teléfono en general, o específicamente por celular. Precio Bienes Sustitutos: podría ser que los bienes sustitutos (telefonía fija) son más caros que en los otros países por lo que los chilenos sustituyen teléfonos de red fija por celular más que en otros países (ceteris paribus ).

233

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) Indique y discuta dos factores relacionados con la oferta de celulares que podrían estar  explicando la mayor penetración de los celulares en Chile.

•

Tecnología: si en Chile hay mejor tecnología de telecomunicaciones entonces los costos serán menores lo que generaría precios mas bajos y por lo tanto mayor penetración (ceteris  paribus). • Costos de Producción: si los costos de producción son mas bajos en Chile, por ejemplo por  menores costos laborales, menores costos de capital u otros, el precio al cual estarían dispuestas a vender las empresas sería menor (ceteris paribus ). •  Nivel de competitividad del mercado: si el número de firmas es alto o el mercado se organiza competitivamente (aún con un número relativamente pequeño de firmas) en Chile,  pero no en Brasil y Argentina, entonces los precios deberían ser más bajos (ceteris paribus ) c) Si sabemos que la elasticidad-ingreso de todos los bienes que consume un joven (distintos de los celulares) es de 0.7 y que el gasto en celulares representa un 20% del ingreso de los jóvenes, ¿cuál es la elasticidad-ingreso de la demanda por celulares? 1=

La ecuación de Engel en elasticidades es:

n

∑α  e i =1

Donde

α i

i qi , I 

es la participación en el gasto del bien i y eqi , I  es la elasticidad-ingreso del mismo bien. En el

caso de dos bienes, y en particular de celulares y otros bienes, la ecuación queda: 1 = α cel eqcel  , I  + α OBeqOB , I  Por lo tanto la elasticidad-ingreso de la demanda por celulares se puede expresar como: eq cel  , I  =

1 − (α OBeqOB , I  ) α cel 

=

1 − (0,8 * 0,7) = 2,2 0,2

La elasticidad-ingreso de la demanda es 2,2. d) En la práctica las empresas proveedoras de celulares ofrecen planes con variadas estructuras tarifarias: por ejemplo planes de prepago sin cargo fijo, planes individuales y familiares con cargo fijo, planes con descuento por volumen, etc. Sabemos que estos menús de precios son formas de discriminación. ¿Por qué cree Ud. que estas empresas son capaces de realizar esta forma de discriminación si la industria no es monopólica? Las empresas de telefonía móvil son capaces de discriminar precios básicamente porque existen grupos diferenciados con distintas elasticidades-precio de la demanda. Por ejemplo, están los jóvenes, las familias, y los ejecutivos o personal de empresas, entre otros. Cada uno de ellos tiene distintas elasticidades de demanda. Los ejecutivos (una parte de ellos, aunque no todos) tienen demandas más inelásticas pues ellos deben manejar teléfonos móviles como parte fundamental de su trabajo. Los estudiantes tienen una demanda más elástica, ya que por sus menores ingresos a ellos les importa mucho el precio. Estas diferencias en las elasticidades de la demanda permiten a las empresas (a todas ellas) segmentar el mercado aun cuando este no sea dominado por una sóla (monopolio). 234

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 129. Según los expertos en el sector gastronómico una de las claves para iniciar un nuevo restaurante es no iniciar actividades con un nivel de deuda alto y preparase financieramente (y  psicológicamente) para perder dinero durante los primeros meses. La sabiduría popular (de los expertos) señala que si un producto de la carta se vende en promedio en cien, los insumos que ocupe  para elaborarlo no deben superar los treinta. Los sueldos no pueden exceder los treinta y, como máximo, tiene que contemplar treinta más para arriendo, patente y derechos. En la zona comprendida entre Con-Con y Valparaíso la oferta de locales es amplia y variada, contándose mas de 150 locales. Sin embargo no es fácil mantenerse en este rubro, produciéndose con alta frecuencia el cierre de locales que alcanzan a funcionar por poco tiempo así como el de otros mas conocidos. Apoyándose en la teoría económica y ocupando (necesariamente) el análisis grafico, responda: a) Clasifique los costos involucrados en el funcionamiento del restaurante, bajo el supuesto de estar  funcionando en el corto plazo. Explicite claramente los supuestos adicionales que guían su análisis.  b) Clasifique los costos involucrados en el funcionamiento del restaurante, bajo el supuesto de estar  funcionando en el corto plazo. Explicite claramente los supuestos adicionales que guían su análisis. c) Represente gráficamente la situación un restaurante que permanece indefinidamente en el mercado, así como de otro que se ha visto obligado a abandonar el rubro. Explique. d) ¿Cómo cree Ud. que esta organizada esta la industria gastronómica de la zona? Grafique la función de oferta de la industria y discuta como seria la elasticidad de la oferta. Solución: a) Clasifique los costos involucrados en el funcionamiento del restaurante, bajo el supuesto de estar  funcionando en el corto plazo. Explicite claramente los supuestos adicionales que guían su análisis. Los costos de corto plazo involucrados en la operación de un restaurante son: Insumos para la elaboración de alimentos: estos pueden ser considerados como costos variables, asumiendo que no necesito mantener ningún stock (inventario) de ellos, es decir, asumiendo que puedo comprarlos justo en el momento en son necesitados (en la practica el stock requerido no tiene que ser  muy grande por lo que podemos asumir sin problemas que estos son costos variables). Remuneraciones de trabajadores: Dependiendo de cuan fácil sea despedir (y contratar) trabajadores los costos laborales pueden ser considerados variables o fijos. Arriendo, patentes y derechos: Claramente estos costos deben ser considerados fijos pues no pueden ser  reducidos una vez que se incurre en ellos.

235

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) Clasifique los costos involucrados en el funcionamiento del restaurante, bajo el supuesto de estar  funcionando en el corto plazo. Explicite claramente los supuestos adicionales que guían su análisis. Segun los expertos los restaurantes nuevos deben estar  dispuesto a soprtar algun periodo de perdidas es decir deberian estar vendiendo a un precio mayor que el costo medio minimo  pero inferior al costo medio minimo. El gráfico muestra que  perdidas a traves del area sombreada.

 p CMg  CMe

CM  CMe CV 

 p

q0

q

c) Represente gráficamente la situación un restaurante que permanece indefinidamente en el mercado, así como de otro que se ha visto obligado a abandonar el rubro. Explique. Permanece

 p CMg  CMe

Abandona

 p CMg  CMe

CM 

CMe CVMe

CM  CMe

 p

 Pérdidas

CVMe

Utilidad 

q0

q

q0

q

d) ¿Cómo cree Ud. que esta organizada esta la industria gastronómica de la zona? Grafique la función de oferta de la industria y discuta como seria la elasticidad de la oferta. Suponiendo que los establecimientos de la zona proporcionan un servicio de similar calidad (atención, ambiente, platos, bebidas, etc.), entonces podemos asumir que dicho servicio es homogéneo. Además, dado que existe un gran numero de oferentes es altamente probable que la industria este organizada competitivamente. Sin embargo, el que la industria sea competitiva depende también de la existencia de  buenos sustitutos y que no existan barreras a la entrada entre otras. Esta ultima es evidente ya que no existen regulaciones especiales que impidan o dificulten fuertemente la entrada de nuevos restaurantes.  p Sabemos que en una organización competitiva de mercado en la que cada firma esta maximizando sus beneficios, la oferta es el resultado de la suma de las funciones de costo marginal de cada empresa (en el tramo relevante, es decir, donde el precio es mayor al costo variable medio mínimo). A raíz del numero de firmas y de la sustitutabilidad del servicio que producen, la función de oferta debería ser bastante elástica. 236

Qs(p)

q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 130. En el Diario Financiero del día 8 de septiembre apareció el artículo titulado “Precios De Las Carnes Aumentaran Solo 3% En Fiestas Patrias”. En el artículo se señalaba, entre otras cosas, como los precios no deberían subir durante las fiestas patrias en más de un 2 o 3%, al mismo tiempo que el volumen vendido debería incrementarse en un 6,5%. Con esta información pareciera que al subir los precios los consumidores chilenos compran más carne, es decir, que en la carne no se cumple ley de la demanda. Usando todos sus conocimientos de la realidad cultural y económica nacional, así como de la Teoría Económica, responda las siguientes preguntas. a) ¿Cree Ud. que la carne es un bien Giffen? ¿Cuál es el problema con el análisis recién expuesto?  b) ¿Qué factores, tanto de demanda como de oferta cree Ud. que pueden estar explicando las cifras arriba descritas? c) Muestre gráficamente que estaría pasando en el mercado de las carnes durante fiestas patrias. Solución: a) ¿Cree Ud. que la carne es un bien Giffen? ¿Cuál es el problema con el análisis recién expuesto?  No, la carne no es un bien Giffen. Incrementos en el precio efectivamente reducen la cantidad consumida de carne, ceteris paribus. Lo que sucede la noticia plantea una situación donde no se esta cumpliendo el supuesto de ceteris  paribus, es decir, hay otros factores que están variando simultáneamente con el precio, por lo que establecer que a medida que sube el precio aumenta la cantidad consumida de carne es incorrecto.  b) ¿Qué factores, tanto de demanda como de oferta cree Ud. que pueden estar explicando las cifras arriba descritas? Durante las fiestas patrias hay cambios en diversos factores que alteran tanto la oferta como la demanda  por carne: Demanda:

•

Aumento en el ingreso disponible de las personas debido a los aguinaldos. Si la carne es un  bien normal esto hace que la demanda por carne aumente. • Cambios en las preferencias por carne. Las tradiciones de asados y otros hacen que la demanda por carne aumente. Oferta:

• •

Debido a que la carne es un bien transable se puede importar carne fácilmente de países como Argentina, Brasil, Paraguay o Uruguay, haciendo que la oferta de carne sea bastante elástica. Por efectos de las fiestas patrias los productores domésticos aumentan los niveles de faenamiento aumentando la oferta durante el periodo.

237

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

c) Muestre gráficamente que estaría pasando en el mercado de las carnes durante fiestas patrias. Debido a los factores antes mencionados los aumentos tanto de la oferta como de la demanda resultan en un incremento del precio de 3% y un aumento de la cantidad consumida de un 6,5%  P 

Q D1

Q D2 QS1 QS2

∆+ P = 3%

∆+Q = 6,5%

238

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 131. En base al siguiente artículo publicado en el Diario Estrategia responda las siguientes preguntas:

a) Cada año, una vez terminado el ciclo de cosecha y producción de azúcar la oferta global de azúcar en el mundo esta dada. Muestre gráficamente la función de oferta en el mercado en el muy corto plazo. ¿Es la función de oferta perfectamente inelástica? Explique.  b) En la noticia se señala que algunos especuladores estarían difundiendo el rumor de que los  países productores de caña (una de las materias primas con las cuales se puede producir azúcar) destinarían una gran parte de sus cosechas a la producción de biocombustibles. Si el rumor es verdadero ¿qué debería ocurrir en el mercado del azúcar? Muestre gráficamente y explique. c) Muestre gráficamente y explique como se relacionaría en el largo plazo el mercado del petróleo con el mercado de la caña de azúcar (o cualquier otro producto vegetal usado como insumo en la  producción de azúcar) frente a una contracción en la oferta de petróleo. Solución: a) Cada año, una vez terminado el ciclo de cosecha y producción de azúcar la oferta global de azúcar en el mundo esta dada. Muestre gráficamente la función de oferta en el mercado en el muy corto plazo. ¿Es la función de oferta perfectamente inelástica? Explique.  p

 No, en general, la función de oferta no es perfectamente inelástica  pues existe capacidad para almacenar azúcar por lo que toda la  producción no debe ser vendida en cada momento. Sin embargo, en un año, dado los niveles de cosecha y producción la cantidad máxima a ofertar está fija. Es por esto que cuando la demanda se acerca a los volúmenes de máxima disponibilidad los precios se elevan fuertemente.

QS 

Q Max

Q

239

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

 b) En la noticia se señala que algunos especuladores estarían difundiendo el rumor de que los  países productores de caña (una de las materias primas con las cuales se puede producir azúcar) destinarían una gran parte de sus cosechas a la producción de biocombustibles. Si el rumor es verdadero ¿qué debería ocurrir en el mercado del azúcar? Muestre gráficamente y explique. Si parte de la producción de caña de azúcar es destinada a la producción de biocumbustible lo que ocurrirá es una contracción en la oferta de azúcar. La menor disponibilidad de caña impactará en el  precio de esta, haciéndolo subir, con el consecuente impacto en la estructura de costos de producción de azúcar. El resultado final será un incremento en el precio del azúcar.  p

 p1 p0

S’   D

S 

Q1 Q0 Q Max

Q

c) Muestre gráficamente y explique como se relacionaría en el largo plazo el mercado del petróleo con el mercado de la caña de azúcar (o cualquier otro producto vegetal usado como insumo en la  producción de azúcar) frente a una contracción en la oferta de petróleo. La contracción en la oferta de petróleo hará que el precio de este aumente, con lo cual se incrementara la demanda por caña de azúcar para la producción de biocombustibles (los biocombustible y el petroleo son bienes sustitutos). El aumento de la demanda de azúcar para biocumbustibles generará un incremento en el precio de la caña y un eventual aumento de la producción de caña en el mundo.  p

 Petróleo S’ 

 p

Caña S 

S 

p1

 p1

p0

 p0

 D

 D

Q1 Q0

240

Q

Q0 Q1

Q

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 132. En el Diario Financiero del dia martes 15 de mayo de 2007 se publicó el siguiente articulo:

Suponga adicionalmente que no hay producción domestica de sillas para bebe y que la estructura de costos de una firma importadora representativa está constituida por un costo fijo de $1.000 y por una función de costos de variables (CV i ) que toma la siguiente forma: CV i (qi , pw , α ) =  pw qi + α qi2

Donde  pw es el precio internacional de una silla para bebe y

α 

es un costo asociado a la venta del

 producto. El precio internacional de una silla es de $100 y el parámetro α  tiene un valor de $0,5. Además, suponga que la demanda del mercado por sillas tiene la siguiente forma: Q( p ) = 1.000 − p . Con la información disponible responda las siguientes preguntas. a) Muestre las funciones de costo total, costo medio y marginal de una firma importadora representativa.  b) Si existe una sola importadora en el mercado, encuentre la cantidad producida, el precio cobrado y los beneficios de la firma. (Ayuda, grafique, ojalá lo más a escala posible, las funciones de costo de la firma y la función de demanda) c) Si existe una sola importadora en el mercado, muestre gráficamente y explique lo que debería ocurrir (en el escenario más probable) con la cantidad producida, el precio y los beneficios en el mercado con la nueva Ley de Tránsito. d) Indique que podría estar ocurriendo que en esta industria que pueda explicar lo señalado en el artículo en relación a una disminución de la competencia. e) Usando la información disponible y asumiendo que el mercado fuera perfectamente competitivo, y se permitiera la entrada de nuevas firmas, indique el precio que se establecería en el mercado. ¿Hasta cuantas firmas podrían existir? (con la estructura de costos arriba descrita) 241

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

f) En base al número de firmas arriba mencionado (y aproximando al entero más bajo) estime la función de oferta del mercado, la cantidad y el precio de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los beneficios de estas, asumiendo que el mercado se comporta en forma competitiva. Solución: a) Muestre las funciones de costo total, costo medio y marginal de una firma importadora representativa. CT i = CF i + CV i = 1.000 + CV i (qi , pw , α ) = 1.000 +  pw qi + α qi2 CMei =

1.000 qi

+  pw + α qi

CMg i =  pw + 2α qi

 b) Si existe una sola importadora en el mercado, encuentre la cantidad producida, el precio cobrado y los beneficios de la firma. (Ayuda, grafique, ojalá lo más a escala posible, las funciones de costo de la firma y la función de demanda)  IMg i = CMg i  IT i =  pi Qi = (1.000 − Qi )Qi = 1.000Qi − Qi2

⇒  IMg i =

 IT i

∂Qi

= 1.000 − 2Qi

 IMg i = 1.000 − 2Qi =  pw + 2α Qi = CMg i Qi* =

π i

1.000 −  pw 2(1 + α i )

=

1.000 − 100 2(1 + 0,5)

=

900 3

= 300 y  p * = 700

= IT i − CT i =  pQi − (1.000 + 100Qi + 0,5Qi2 ) = 210.000 − 76.000 = 134.000

c) Si existe una sola importadora en el mercado, muestre gráficamente y explique lo que debería ocurrir (en el escenario más probable) con la cantidad producida, el precio y los beneficios en el mercado con la nueva Ley de Tránsito. Lo que debería ocurrir es un aumento de la demanda por sillas. Lo mas probable es que esto genere un desplazamiento de la curva de ingreso marginal que haga que la empresa monopólica aumente las ventas de sillas pero a la vez con un aumento del precio de estas. Para la empresa monopólica, en general esto debería significar un aumento de los beneficios.

242

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV p

 p

p1 CMg 

CMg 

CMe

 IMg 0

CMe

D0

 IMg 1

q

q0

q1

D1

q

d) Indique que podría estar ocurriendo que en esta industria que pueda explicar lo señalado en el artículo en relación a una disminución de la competencia. Lo que puede estar ocurriendo es que la empresa dominante esta adquiriendo a la competencia o la está desplazando. Esto ultimo podría ocurrir si la empresa es capaz de bajar sus costos (tanto fijos como variables) de tal manera que la escala optima de la empresa aumenta. e) Usando la información disponible y asumiendo que el mercado fuera perfectamente competitivo, y se permitiera la entrada de nuevas firmas, indique el precio que se establecería en el mercado. ¿Hasta cuantas firmas podrían existir? (con la estructura de costos arriba descrita) Si el mercado fuera perfectamente competitivo se establecería en el largo plazo un precio igual al costo medio mínimo. Asumiendo que la industria tiene costos constantes, dicho precio sería:

∂CMei 1.000 = − 2 + α  = 0 ⇒ ∂qi qi

qi =

1.000 α 

= 2.000 = 44,7 ⇒ CMeimin = 144,7

El precio que se establecería seria de $144,7. A dicho precio la cantidad demandada seria de: Q D = 1.000 − 144,7 = 855,3

Por lo tanto el número de firmas máximo que podría haber en este mercado sería: n=

Q D qi

= 19,12

f) En base al número de firmas arriba mencionado (y aproximando al entero más bajo) estime la función de oferta del mercado, la cantidad y el precio de equilibrio del mercado, la producción de cada firma y los beneficios de estas, asumiendo que el mercado se comporta en forma competitiva. En un mercado competitivo la función de oferta de la firma se obtiene a partir de la condición de maximización de beneficios ( p = CMg ) y corresponde a la función de costo marginal desde su punto donde el costo variable medio es mínimo: 243

Microeconomía 1

Teoría de la Firma  p = CMg i ⇒  p = 100 + qi qi ( p) =  p − 100 con p > 100

Función de oferta del mercado: QS  =

19

∑ ( p − 100) = 19 p − 1.900

con  p > 100

i =1

Q D = 1.000 −  p = 19 p − 1.900 = QS   p* = 145 , Q* = 855 , qi* =

855 19

= 45 ,

π i

=  pqi − (1.000 + 100qi + 0,5qi2 ) = 6.525 − 6.512,5 = 12,5

133. La existencia de funciones de producción en las cuales los factores de producción son complementos perfectos es solo una posibilidad teórica sin aplicación practica alguna. Falso. La vida real esta llena de funciones de producción en la cual los factores de producción son complementos perfectos. Por ejemplo, la empresas de transporte deben combinar un bus con al menos un chofer para poder realizar un recorrido. Sin embargo, si agregan mas choferes el recorrido también se realiza. Otro ejemplo, en el caso de la función de producción de una nota en una prueba se requiere la  presencia de al menos un estudiante, un lápiz, y una prueba. Si falta alguno de ellos no se puede obtener  nota alguna (evidentemente si agregamos mas lápices también podemos obtener el mismo resultado). En general muchos factores de producción, y en particular aquellos relacionados con el capital (por  ejemplo maquinarias y herramientas) están diseñados para ser usados en proporciones fijas con el trabajo (la mayoría de las maquinas no funcionan solas). Por ejemplo, una picota, un tractor, una retroexcavadora, un serrucho, una tijera, un computador, etc. Esto hace que en la practica muchas funciones de producción que utilizan este tipo de factores sean representadas por la perfecta complementariedad entre estos.

244

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV 134. Demuestre analíticamente que las condiciones para la contratación optima de factores productivos cuando la empresa minimiza costos en el largo plazo dado un nivel de producción son las mismas que cuando la empresa maximiza la producción dado un nivel de costos. El problema de minimización de costos sujeto a un nivel de producción puede ser planteado de la siguiente forma:  Min rK  + wL sujeto a  f ( K , L) = q0 .  K , L

El cual da origen al siguiente Lagrangeano y sus correspondientes condiciones de primer orden: l = rK + wL + λ [q0 −  f ( K , L)]

∂l r   = r − λ  f  K  = 0 ⇒ λ  =  ∂ K   f  K   w  f  L  = ∂l w  r   f  K  = w − λ  f  L = 0 ⇒ λ  = ∂ L  f  L   De las condiciones de primer orden se desprende que en el óptimo la TMST tiene que ser igual a los  precios relativos de los factores. Por otro parte, el problema de maximización de la producción sujeta a un nivel determinado de costos puede ser planteado de la siguiente forma:  Max  f ( K , L ) sujeto a CT  = rK + wL  K , L

El cual da origen al siguiente Lagrangeano y sus correspondientes condiciones de primer orden: l =  f ( K , L) + λ [CT  − rK − wL]

∂l  f   =  f  K  − λ r  = 0 ⇒ λ  =  K   ∂ K  r    f  L w =  ∂l  f  L   f  K  r  =  f  L − λ w = 0 ⇒ λ  = ∂ L w   De las condiciones de primer orden se desprende que al igual que la minimización de costos, en el óptimo de la contratación de factores productivos la TMST tiene que ser igual a los precios relativos de los factores. Como puede observarse las condiciones de optimalidad para contracción de factores  productivos son las mismas en el problema de maximización de la producción que en el problema de minimización de costos. En ambas situaciones se requiere: TMST  K , L =

 f  L  f  K 

=

w r 

245

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

135. Una firma para maximizar beneficios debe buscar contratar de aquellos factores más baratos, así  puede disminuir sus costos y mejorar sus beneficios. Falso. Para maximizar sus beneficios la firma debe contratar no los factores más baratos si no aquellos más baratos en relación su productividad. Sabemos que la firma maximiza beneficios si contrata factores casta el punto donde:

=

 pPMg i 123

⇒

ci

{

Valor del  Producto  Marginal del  factor i

Costo Marginal  del  factor i

 f i ( K , L) ci =  f  j ( K , L) c j

Por lo tanto para la firma no tiene sentido contratar el factor más barato, pero si aquel relativamente más  barato en relación a su propia productividad y a la relación costo-productividad de los otros factores. Por ejemplo, si el factor  i es el doble de caro que el factor   j , pero el 8 veces más productivo, a la empresa le convendría contratar más del factor  i , a pesar de que el factor   j es más barato. 136. Para producir lechugas se necesitan trabajo y tierra. El salario de un trabajador que puede trabajar  en el cultivo de lechugas es de $200.000 mensuales. El costo de arriendo de una hectárea de tierra cultivable es de $600.000 mensuales y el costo de arriendo de un furgón para transportar las lechugas es de $250.000 por mes. Con los niveles de contratación actuales de trabajo y tierra se observa que contratar un trabajador adicional incrementa la producción en 1 tonelada de lechugas al mes y agregar una hectárea de tierra a la producción de lechugas la incrementa en 2 toneladas mensuales. ¿Con las productividades observadas se puede afirmar que la empresa esta minimizando costos? De no estarlo describa las acciones a seguir si se deseara minimizar los costos de producción manteniendo constante el nivel de producción de lechugas. De ser necesario explicite los supuestos apropiados para justificar su respuesta. Llamemos a al costo de arriendo de una hectárea de tierra. Sabemos que para que una firma minimice costos se tiene que cumplir que la Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST ) debe ser igual al ratio w de los precios de los factores: TMST T , L = . a Sabemos además que la TMST  se puede representar por el cuociente de los productos  PMgL w marginales: TMST T , L = = . De la información en el problema inferimos que  PMgT  a  PMgL = 1 ton / mes ,  PMgT  = 2 ton / mes , w = 200.000 $ / mes y a = 600.000 $ / mes . Entonces: TMST T , L =

 PMgL  PMgT 

=

1 ton / mes 2 ton / mes

=

1 2

≠

200.000 $ / mes 600.000 $ / mes

=

1 3

=

w a

Por lo que la empresa no esta cumpliendo con la condición minimizadora de costos. Esto se puede ver  también al analizar el producto marginal por peso gastado en cada factor:  PMgL w

246

=

1.000 kg / mes  PMgT  2.000 kg / mes = 0.005 kg / $ > = = 0.00 3 kg / $ 200.000 $ / mes 600.000 $ / mes a

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV El producto marginal por peso gastado en trabajo es mas alto que el obtenido en cada peso gastado en tierra. T  Para minimizar costos la firma tiene que aumentar la contratación de trabajadores y disminuir la contratación de tierra. Asumiendo que los productos marginales son T0 decrecientes y que además disminuyen lo suficiente para compensar efectos (positivos) cruzados en la productividad  B del otro factor (lo que significa que la TMST  es T1 q0 decreciente) el  PMgL debería caer y el  PMgT  debería w/a  L aumentar. El aumento de la contratación de trabajadores y L0 L1 la disminución en el arriendo de tierra hace que la TMST  caiga. El proceso debería continuar hasta que la TMST iguale a los precios relativos de los factores. Gráficamente: la firma se encuentra en un punto como  A, donde la TMST  es mayor que el precio relativo de los factores. Para minimizar costo la empresa tiene que situarse en el punto  B, por lo que debe incrementar la contratación de trabajo y disminuir el arriendo de tierra, si desea mantener  constante la producción a un nivel q0. 137. Una empresa tiene una función de producción donde los insumos de producción son sustitutos  perfectos entre si. Muestre la senda de expansión de la empresa ¿De que depende la senda de expansión? Si la firma cambia de tecnología a una en la cual los insumos son perfectamente complementarios, ¿de qué depende la senda de expansión? Grafique. En el caso de los insumos perfectamente sustitutos, la senda de expansión depende de la relación entre el nivel de sustitutabilidad de los insumos, es decir la pendiente de las isocuantas (en rojo) y la  pendiente de las líneas de isocosto (líneas punteadas en azul y verde), es decir el precio relativo de los insumos. La pendiente de las isocuantas refleja las productividades marginales relativas de los insumos.  PMgY  Si la productividad marginal relativa del insumo Y ( ) es mayor que el precio relativo del insumo  PMgX   P  ( Y  ) (pendiente de la línea de isocosto) entonces la empresa contratara solo del insumo Y . La senda de  P   X  expansión estará situada sobre el eje horizontal. (Similar análisis puede hacerse para el caso en el que las productividad marginal (relativa) del insumo Y es menor que su precio relativo). Cuando los insumos son complementos perfectos entonces la senda de expansión no depende de los  precios relativos de los insumos sino de la relación de complementariedad entre ambos insumos. La senda de expansión es la recta que va desde el origen y que pasa por el Sustitutos Perfectos Complementos Perfectos vértice de las isocuantas. En esos  puntos los factores son usados en una combinación igual a la tasa optima. La senda de expansión tendrá una  pendiente igual a 1 si los factores se usan en igual proporción. Mayor a 1 si se usa mas  X  que Y  y menor a 1 si se Y usa mas Y que X .

247

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

138. Una firma maximizadora de beneficios siempre opera donde la Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST ) entre factores es igual al precio relativo de los factores. La afirmación no es correcta. En el largo plazo una firma  K  maximizadora sí operará donde la TMST  es igual al precio relativo de los factores productivos pues en el largo plazo la CT1 empresa puede elegir óptimamente las cantidades de todos sus factores e insumos. Esto ocurrirá siempre que la TMST sea igual B  K = K 1 a la pendiente de la curva de isocostos (punto A).  K 1 Sin embargo, en el corto plazo cuando uno o más factores y/o insumos están fijos la firma no operara bajo las condiciones  K* A antes descritas. Si suponemos que la firma usa solo dos factores q0 CT0  productivos ( K y  L), esto ocurrirá porque teniendo un factor fijo ( K = K 1), la elección del otro ( L) esta necesariamente  L1  L*  L determinada por el nivel de producción que se desea alcanzar. Si la firma desea alcanzar el nivel de producción q0, la firma no elegirá óptimamente el factor variable, solo lo elegirá de tal forma que le permita alcanzar el nivel de producción dado (punto B). En ese punto no se da que la TMST  es igual al precio relativo de los factores. Esto tendrá como efecto adicional que los costos en el corto plazo (con un factor fijo) serán mayores que los de largo plazo (CT1>CT0) aun cuando en ambas situaciones la firma esta maximizando beneficios. (Para mayor información ver   Nicholson, pagina 239). 139. Plantee el problema de maximización de beneficios de la firma. Muestre y explique donde  producirá la firma. El objetivo de las firmas es la maximización de beneficios. La función de beneficios se puede describir  como:  Beneficios = Ingreso Total  – Costos Totales

Así, el problema de maximización de beneficios de la firma se puede plantear como la elección del nivel de producción que maximiza la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales:  Max π  =  IT ( q ) − CT (q ) {q}

La condición de primer orden correspondiente a este problema es:

∂π  ∂ IT (q) ∂CT (q) = π ' (q) = − =0 ∂q ∂q ∂q ∂ IT (q) ∂CT (q) = ∂q ∂q Asumiendo que se cumple la condición de segundo orden de este problema de maximización, la condición de maximización de beneficios impone que la firma producirá donde:  IMg (q) = CMg (q)

248

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Es decir, la firma produce hasta que el ingreso adicional de la ultima unidad producida (y vendida) es igual al costo adicional que se genera por el incremento de la producción en esa unidad. Si por alguna razón la empresa estuviese produciendo donde  IMg (q) < CMg (q ) , no se maximizarían beneficios ya que la firma podría reducir su producción (en al menos una unidad) generando una reducción en los costos que sería mayor a la reducción en los ingresos por lo que aumentarían sus beneficios. El argumento inverso se puede usar para mostrar que la firma tampoco maximiza beneficios si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal. 140. En el caso de una firma que produce en un mercado competitivo, ¿cuál es la condición de maximización de beneficios? ¿Cómo se relaciona esta con la elasticidad de la demanda? En general la función de ingresos de la firma se puede expresar como:  IT (q) =  p(q) × q

 por lo que en términos generales la función de ingreso marginal es:  IMg =

∂ IT (q) ∂[ p(q)q] ∂ p(q) = =  p + q ∂q ∂q ∂q

En el caso de una firma que produce en un mercado competitivo la función de demanda relevante es ∂q  p  perfectamente elástica ( eq , p = = ∞ ). En el gráfico podemos ver que en un mercado perfectamente ∂ p q competitivo el precio es determinado en el mercado y cada firma toma el precio de mercado como dado y por lo tanto como su función de demanda. Es, decir la firma puede vender la cantidad que desee a ese  precio (la cantidad que desee dependerá por supuesto de su función de costos).

∂ p(q) En este caso = 0 , por lo que la función de ∂q ingreso marginal se convierte en:  IMg =  p Finalmente, la condición de maximización de  beneficios de la firma estará dada por:  p = CMg 

 p

ercado

 p

 Firma

Qs(p)

* 

* 

 p

 p Qd(p)

Qi 

Q

qi 

q

141. En el corto plazo las firmas que participan de mercados perfectamente competitivos producen siempre y cuando el precio compensa los costos fijos medios. Falso. En el corto plazo las firmas producen solo si el precio compensa el costo variable medio. Esto es así porque si el precio es menor al costo variable medio la firma pierde dinero por cada unidad  producida. En ese caso la firma pierde no solo el costo fijo sino también la diferencia entre el precio y el costo variable medio. En el peor de los casos la firma podría perder el costo fijo (irrecuperable en el corto plazo) si decidiera no producir, por lo enfrentada a la decisión de producir y perder un monto mayor al costo fijo o no producir y perder un monto igual al costo fijo, entonces la firma maximizadora de beneficios debería decidir no producir. 249

Microeconomía 1

Teoría de la Firma

142. Una función de oferta competitiva con elasticidad-precio positiva es representativa solamente de un comportamiento de corto plazo La afirmación es falsa. Una función de oferta competitiva con elasticidad precio positiva se puede originar también en una industria perfectamente competitiva en el largo plazo si en la industria se observan costos crecientes (deseconomías externas). En este caso a medida que ingresan firmas al mercado los costos de las firmas existentes y de las que ingresan se incrementan, afectando tanto a los costos medios como los marginales. En el largo plazo la industria esa dispuesta a ofrecer mas del  producto solo a un precio mayor que compense la elevación de los costos provocada por el aumento de la producción. Esto genera una curva de oferta de largo plazo con pendiente positiva. 143. Si la producción de la firma es invariable entonces tiene que ocurrir que la función de oferta es  perfectamente inelástica. Depende. La afirmación es verdadera si asumimos que no hay capacidad para guardar o inventariar la  producción. En ese caso la producción debe ser igual a oferta. Sin embargo, cuando permitimos las existencia de inventarios puede ocurrir que un cuando la producción sea inflexible, la cantidad oferta responda a las variaciones en el precio. En ese caso los productores venderían una mayor proporción de su stock a medida que el precio aumenta (por ejemplo en el mercado accionario).

144. Los rendimientos a la escala no tienen incidencia en como se organiza una industria ni el numero de firmas que potencialmente la pueden integrar. La afirmación es falsa. Cuando se observan rendimientos decrecientes y constantes a escala los mercados se organizan competitivamente: muchas firmas participan del mercado, ninguna de ellas con capacidad ara afectar significativamente el precio de equilibrio de mercado. En ambos casos, aunque  por distintas razones, el número de firmas a largo plazo esta indeterminado, no así en el corto plazo. Cuando la industria observa rendimientos crecientes a escala el mercado se organizara en torno a una única firma (monopolio) que saca ventajas de los menores costos asociados con niveles de producción más altos. En conclusión, los rendimientos a escala si influyen en la organización del mercado y el número de firmas participantes. 145. La demanda no tiene ningún rol en la forma en que se organizan los mercados (perfectamente competitivos y monopólicos) La demanda tiene un rol fundamental en la forma como se organizan los mercados, pues la relación relativa entre la estructura de costos del mercado y el tamaño de la demanda determina el nivel de competitividad de este. Para entender la importancia de la demanda asumamos que la estructura de costos de las firmas en el mercado es la misma para cada firma. En el grafico (panel (a)) observamos una industria en la cual la demanda es grande con relación al punto donde el costo medio es mínimo (qi)en una firma representativa. Cualquier empresa que trate de aumentar la producción por encima de ese punto observara que sus costos aumentan rápidamente. En este caso la industria puede soportar un gran numero de firmas eficientes por lo que el mercado se organizara competitivamente. En el panel (b) se analiza el caso extremo en el que solo una firma puede producir eficientemente cuando la tecnología muestra economías de escala en el intervalo de producción equivalente al rango de la demanda del mercado. A medida que crece la producción los costos caen por lo que la empresa puede cobrar precios más bajos. En este mercado no podrán coexistir varias firmas, permaneciendo en él aquella que sea capaz de producir una mayor cantidad. El mercado entonces se organiza como un monopolio natural. 250

Escuela de Ingeniería Comercial—PUCV Estos dos casos demuestran que el tamaño de la demanda (relativo a la estructura de costos) tiene un rol fundamental en la organización del mercado. (b) Monopolio Natural 

(a) Competencia Perfecta

 p

 p

CMg 

CMg  CMe

CMe

Qd (p)

qi 

Qd (p)

Q

qi 

Q

146. Sólo los productores con ventajas absolutas en costos pueden convertirse en monopolistas. Hay distintos factores que en conjunto o separadamente confieren a los productores un poder de mercado que en el limite se puede transformar en la creación de un monopolio. Algunos de estos factores, entre los que se incluyen las ventajas absolutas en costos generadas por economías de escala, son las fusiones y adquisiciones, la capacidad de generar conocimientos específicos, ventajas en costos (distintas de las originadas por economías a escala), por ejemplo por la propiedad de un factor o recurso específico, el estatus de estándar del producto o simplemente por la intervención de los poderes  públicos a través de concesiones, patentes o registros de marcas. Es claro entonces que no sólo las economías de escala generan situaciones en las cuales un productor puede convertirse en monopolista. 147. Demuestre que un monopolista produce donde la demanda es elástica. La firma monopolista maximizadora de beneficios se ve enfrentada al siguiente problema:  Max Q

π 

= IT (Q) − CT (Q) =  p (Q)Q − CT (Q)

Es decir la firma maximiza la diferencia entre sus ingresos y sus costos. A diferencia de las firmas que  participan de mercados competitivos el monopolista enfrenta completamente la curva de demanda, por  lo que el precio final es una función de su propia producción. De las condiciones de primer orden del  problema anterior se desprende que la firma producirá en el punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. En el caso del monopolista el ingreso marginal esta dado por:  IMg =  p (Q) + Q

    Q ∂ p   ∂ p 1    =  p1 + =  p1 +  eQ, p  ∂Q    p ∂Q     

Claramente solo si eQ , p < −1 (demanda elástica) el ingreso marginal es mayor a cero. Una empresa que maximiza beneficios producirá solo si su ingreso marginal es positivo, por lo que la empresa producirá donde la demanda es elástica.

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Microeconomía 1

Teoría de la Firma

148. Muestre gráficamente las diferencias entre las curvas de demanda a las que se enfrentan las empresas perfectamente competitivas y las empresas monopólicas. Explique porque la diferencia. ¿Cómo se relacionan estas diferencias con la elasticidad-precio de la demanda? En el grafico se representan las curvas de demanda de la firma competitiva (panel (a)) y de la firma monopólica (panel (b)). Las firmas que participan de mercados perfectamente competitivos no  pueden alterar al precio de mercado con sus decisiones de producción ya que este esta dado por la interacción de toda la oferta del mercado y la demanda. Por esto dichas firmas enfrentan el precio del producto como un parámetro, es decir, para ellas el precio esta fijo y es igual al  precio del mercado. Ya que con sus decisiones de producción no alteran el precio del producto ellas pueden producir distintas cantidades al precio de mercado, por lo que enfrentan una demanda  perfectamente elástica. Si recordamos la elasticidad precio de la dQ  p demanda es eQ , p = , y observamos que la pendiente de la dp Q demanda que enfrenta la firma en un mercado perfectamente competitivo es cero entonces obtenemos que la demanda es  perfectamente elástica ( eQ , p = −∞ ).

 p

(a) Firma Perfectamente Competitiva

q (b) Firma Monopólica

 p

q(p)

q

En el caso de la firma monopólica, sin importar las razones por las cuales ella se convierte en un monopolio, esta siempre enfrentara a la curva de demanda del mercado. Sabemos por la teoría del consumidor que en general la demanda del mercado tiene pendiente negativa, es decir existe una relación inversa entre precio y cantidad por lo que el monopolista se enfrentara con una curva de demanda cuya elasticidad puede variar entre menos infinito y cero. 149. Para que una firma no pueda tener control sobre el precio al cual vende su producto se requiere que dicho producto sea percibido como diferente a cualquier otro por los consumidores. La afirmación es falsa. Existen diversas formas a través de las cuales una empresa puede y tener la capacidad para controlar el precio al cual vende su producto. Una posibilidad bajo la cual la empresa tiene control sobre el precio ocurre si la empresa es el único productor del bien (definiendo al bien como aquel que no tiene sustitutos cercanos), su por ejemplo, en el caso de la producción de agua  potable. En este caso estamos en presencia de un monopolio. La clave esta en que mientras mas bienes sustitutos tenga un producto o mientras mas fácil sea sustituirlo por otros, la demanda que enfrentara la firma será más elástica, y por lo tanto la firma tendrá menos capacidad para determinar el precio por si sola. A su vez, el grado de sustitutabilidad de un producto esta dado por nivel de diferenciación que logra alcanzar la empresa. Sin embrago, la diferenciación del producto puede ser real o imaginaria (de hecho es mas importante la diferenciación en la mente del consumidor, ya que es el quien decide la compra). Por lo tanto, para que una empresa pueda tener la capacidad de afectar al precio del producto que vende, este debería ser percibido como diferente por los consumidores.

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