45461_Paper Dinstruk 1B Kelompok 4

TUGAS AKHIR SEMESTER DINAMIKA STRUKTUR 1 “SDOF dan Undamped Free Vibration”

KEOM!OK NOMOR " Achmad Syachowi Ahmad Renaldy Jurais Rezki Fauziansyah Fauzan Adhitya Pratama "o#aldy Sena$utra

4314100031 4314100054 4314100059 43141000! 4314100100

 Jurusan %eknik %eknik &elautan &elautan Fakultas %eknolo'i &elautan (nstitut %eknolo'i Se$uluh "o$em)er Sura)aya *01

BAB I PENDAHULUAN

Derajat kebebasan (degree (degree of freedom) freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu tertentu baik bertanda negative negative ataupun bertanda bertanda positif. Pada kondisi kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa pada saatt dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal tunggal yaitu Y(t). truktur truktur seperti itu dinamakan dinamakan struktur struktur dengan derajat kebebasan kebebasan tunggal ! D"# ( Single Degree of Freedom ) Freedom ) system.

Dalam Dalam model model system system D"# D"# atau atau berdera berderajat jat kebeba kebebasan san tungga tunggal, l, setiap setiap massa massa m, kekaku kekakuan an k, mekani mekanisme sme kehilan kehilangan gan atau redaman redaman $, dan gaya luar luar yang yang diangg dianggap ap tertumpu pada elemen fisik tunggal.truktur yang mempunyai n%derjat kebebasan atau struktu strukturr dengan dengan derajat derajat kebeba kebebasan san banyak banyak disebu disebutt multi multi degre degreee of freedo freedom m (&D"#). 'khirnya dapat disimpulkan baha jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Differensial Pada Struktur SDO

ystem derajat kebebasan tunggal (D"#) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. angunan satu tingkat adalah salah satu $ontoh bangunan derajat kebebasan tunggal. erdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,  p(t) – fS – fD * mÿ atau mÿ + fD + fS = p(t)

( 2.4.1 )

dimana +  fD * c.  fS = !.y

( 2.4.2 )

'pabila persamaan .-. disubtitusikan ke persamaan .-. , maka akan diperoleh + mÿ+ c+ !y = p(t)

Dimana+

( 2.4." )

/u

* 0aya 1ksistasi

fD

* 0aya Damping

f

* 0aya pring

m

* &assa

$

* Konstanta Damping

k

* Konstanta pring

y

* Deformasi

Persamaan (.-.) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur D"# yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik. Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam  persamaaan tersebut adalah y(t).

. Persamaan Differensial Struktur SDO aki!at Base "#ti#n

eban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin adalah beban gempa. 0empa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi  bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. 2anah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar termasuk  struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan baha antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak se$ara bersama%sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. 'nggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah  bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah baha antara tanah dan fondasi tidak  akan bergerak se$ara bersamaan. #ondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini $ukup rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil%stru$ture intera$tion analysis. 3ntuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu se$ara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung baahnya. Pada kondisi tersebut ujung baah kolom dan tanah dasar bergerak se$ara bersamaan. Persamaan difrensial gerakan massa struktur D"# akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar +

( 0ambar 4. truktur D"# 'kibat ase &otion ) erdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah +  yt t  (t ) * y(t ) 5 yg (t )

( .-.- )

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f4 tampak baha persamaan kesetimbangannya menjadi  f# 5 fD + fS * 6

( .-.7 )

dimana inersia adalah,

 f# = my t 

( .-.8 )

Dengan mensubstisusikan persamaan (.-.) dan (.-.8) ke (.-.-) dan (.-.8), sehingga diperoleh persamaaannya sebagai berikut, my + cy + !y= – mÿ g  (t)

( .-.9 )

Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga : tiganya timbul akibat adanya simpangan relative. ;uas kanan pada persamaan (.-.9) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. ;uas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang

 bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa +  $ eef (t ) : mÿ g  (t).

( .-.< )

BAB III SOAL DAN PE"BAHASAN

P+

Py

,

L

L

2entukan + 4. . . -.

entuk Persamaan dari gambar tersebut. =ilai Persamaan dari gambar tersebut. #rekuensi =atural (>n) yang diperoleh gambar. 3(t) ( memakai free vibration).

?aaban + 4. entuk Persamaan + #ree body Diagram + Pj

Ps

Ps

Py

Ps Ps

Ps

%u(t) – fS – fD * m& atau m& + fD + fS = % u(t) dimana +  fD * c.'

............

( 2.4.1 )

 fS = !.u

............

( 2.4.2 )

'pabila persamaan .-. disubtitusikan ke persamaan .-. , maka akan diperoleh + m&+ c'+ !u = % u(t)

............

( 2.4." )

*- "ilainya  L

∫  ρA

m.

/* d,   ms / *s 2,s

− L

&arena  disini tidak ada massa ter$usat maka

+ cos  π  ((¿  x )/ 2 )  L 1

.

*

 L

d,  0

m∫ ¿ − L

 1

1

4

2

¿ +

cos

1  π   x + cos  L 4

¿

.

*

 L

m

∫¿

π   x ¿ dx  L

− L

 1

1

4

2

¿ +

cos

 π  1 1  2 π   x +( + cos x ) dx 4 8  L  L

¿

.

 L

m

∫¿

− L

1

¿m

 L  2 π  sin  L  ,  16 π  1

4

 ,  L  π   x + sin  x +¿  L 4 2 π  1

6

6

− L ¿m

 L  L L +  x x 2  L L   2 π   0  4 16 π   0  L L +  x 0 + + x 0 ¿−¿ 4 2 π  4 16 π  4

 L

2

 L ¿

2

4

 

¿ m¿

4

¿mL

 L

∫ c( x )

c .

/* d,   c r /*r 

− L

&arena  disini tidak ada te'an'an dam$in' maka

+ cos  π  ((¿  x )/ 2 )  L 1

.

*

 L

d,  0

c ( x ) ∫ ¿ − L

 1

1

4

2

¿ + .

 π  +  1  x cos  L 4 ¿

cos

 L

*

c ( x ) ∫ ¿

π  ¿  x dx  L

− L

 1

1

4

2

¿ +

cos

 π  1 1  2 π   x +( + cos x ) dx  L  L 4 8

¿

.

 L

c ( x )

∫¿ − L

1  2 π   L sin  L  ,  16 π  1

4

c ( x )

¿

 ,  L  π   x + sin  x +¿ 4 2 π   L 1

6

6

− L

¿ c ( x )

4

2  L 4

 L

2

4

¿ c ( x )¿

+

  L  L L x 0+ + x 0 ¿−¿ 2 π  4 16 π 

 L

2

 

4

¿

 L  x  0  2 π 

 L + L  x  0 4 16 π 

¿ c ( x ) L  L

 L

K*

•

∫ E I dx − L

' Diketahui +

∫ K  ( t ) dx

 Σ Ki 5

 5

− L



@

 π  ( 1 + cos  x ) A*  L

− π  BC *

2 L

sin

 π   x  L

− π 2  π  + cos  x B * 2 L  L Perhitungan + '

− π  2 L ¿ ¿

2

2

∫ A ( x ) dx

*

 L

 E I ∫ ¿ − L

4

π 

4 L

4

6

¿

*

π   x  L

¿

 L

 E I 

∫¿

− L

4

 E I  *

π   x 4 L

4

2

+

sin 2 π  4 π 

 L

 L

x

6

π   E I  * 4 L 4

4

[(

)(

− L L  L + L +  . 0  . 0 − 2 4 π  2 4 π 

)]

π  2 L  E I  * 4 L 2 4

4

4

 E I 

*

π 

3

4 L

1

*E* 1

4. Ki (

4 1

. Ki (

4 1

. Ki (

4 1

-. Ki (

4 1

7. Ki (

4

+ + + + +

θ

$os :

3

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

 π 

cos

cos

3 2

1

 * $os

+ co s

2

 π 

4

π 

3

3

1

2

4

1

1

¿

2

+ co s

* Ki (

π 

3

¿  * Ki (

cos

cos

4 3 5 3

* Ki (

4

1 π + co s

2

4

1 4

4 3

2

π + co s

 5 3

π ¿

20 16

 Ki

@ 1  L

∫ K  ( t ) dx − L

 π   L

+ cos  x 2

*

 K ( t ) ¿  L

∫¿ − L

1 4

2

¿ dx

4

1

1

4

16

 1

1

4

16

1

 1

2

4

+ + − +

* Ki ( 1

* Ki (

4

¿ ¿

− + ¿ 1

π ¿

ehingga dapat dipersingkat + FKi *

4

1

2

+ co s π ¿

cos π 

θ

4

1

1

4

16

+ +

 1

1

4

16

− + ¿

¿

 L

*  K ( t )

 π  1 x + cos  x dx ∫ 14 + 12 cos π   L  L 4 2

6

− L

L  π  1 1 1  2 π  + sin  x +  x + sin  K   x x ( ) t  * 4 2 π   L 4 16  L  K (t ) ( * *

6

 L + 2 L )

2

4

4

 K (t ) . L

ehingga dari semua persamaan sebelumnya dapat diakumulasikan menjadi, K * '5  5 @

π  + 20 +  E I   Ki  K (t ) . L * 16 4 L 4

3

 L

∫ Py ( x ,t )

/v(t) *

/ d,   P+ / 2,i

− L

+ cos π  (¿  x )/ 2  L 1

.

π   x ¿/ 2 ¿  L

d,   P+ 21  cos

 L

 Py ( x , t ) ∫ ¿ − L

 Jika ,+ . 7 6

 Py ( x ,t  ) .

2

 L  π  sin  x  2 ,  π   L

 Py ( x , t ) . L + Pj . 1

( )

¿ Py ( x,t ) . L +  Pj 2

 1

4

+

1 4

1 6 6

  P+ 2

2

2

+

1 2

2

cos

*

π   x ¿  L

Persamaan men+adi 8

Mü+ ců+ (k-kG)u = Qv (t) 2m - 6  ü +

( c ( x ) . L ) ů  +

(

4

 E I 

π 

4 L

3

+

20 16

)

1

 Ki + K ( t ) . L u= Py ( x , t ) . L+  Pj 2

Diketahui : m

.

0051* 

$ )a+a 6

. .

! 140

#

.

< = . ( .

.

':;cm 'r;cm 3 cm

&i

.

4

Py2,t P+

. .

*3 10

5 cm;s 9!1 *0000 10

Tabel Perhitungan dengan Inersia tidak berubah D

#$%&

K$t&

m%

#$%& % 

K tota'

*

0

0

1!

0

1

 33!*045 *9  134*!1! 1*  30313!40  

190*54 55

1!

3!0509 09

+

,

"

$n

()$t&

1345*3 !3 1345*3 !3

3**5

 4154!341

13345=1 3 13345=1 3

1!

 1!!19453

13345=1 3

1345*3 !3

3**5

503 4

1!

 4*43930

13345=1 3

1345*3 !3

3**5

101!

1!



13345=1

1345*3

3**5

3**5

-

.

/

0



1 * 1 1 1 + 1 , 1 " 1 -

53!91** 4  !4*05113 *3  1*1*553 3  1504*0* 19  *15550! 99  **!*45 9  33!*045 *9  4055*4 !  4!50*145 **  59**5 54  01!0!   5!401 91

1!

544!145

3

!3

951** 3

1!

 11!!15!5

13345=1 3

1345*3 !3

3**5

11415* 3

1!

 19550!3

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

1331! 1!

1!

 *3105!!30

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

15**03 4

1!

 301911*5!

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

11**9 09

1!

 3!1954393

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

190*54 55

1!

 4154!341

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

*09*!

1!

 5053!4*

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

**!305 45

1!

 90300331

13345=1 3

1345*3 !31

3**5

*4330 91

1!

 991191

13345=1 3

1345*3 !3*

3**5

*35 3

1!

 9*4*353**!

13345=1 3

1345*3 !3*

3**5

*!53!1 !*

1!

 1009!44*

13345=1 3

1345*3 !3*

3**5

2ra34 56b6n2an diameter den2an 4on7tanta dampin2 0 0

*

4



!

10 1* 14 1

5*0000 540000  konstanta da m$in'

50000 5!0000 5100000 51*0000 diameter 2cm3

grafik hubungan diameter dengan konstanta spring 13345=0! 13345=0! 13345=0! 13345=0!

 konstanta s$rin' 13345=0! 13345=0! 13345=0! 13345=0! 13345=0!

0

*

4



!

diameter 2cm

10

1*

14

1

Tabe' !er5it6n2an !er7amaan Da7ar den2an Iner7ia 7e'a'6 ber6ba5

= *00 00

(

=(

>

*0

40000 0

1 0

30

0000 0

1 0

40

!0000 0

1 0

50

10000 00

1 0

0

1*000 00

1 0

0

14000 00

1 0

!0

1000 00

1 0

*00 00

90

1!000 00

1 0

*00 00

10 0

*0000 00

1 0

*00 00

11 0

**000 00

1 0

*00 00

1* 0

*4000 00

1 0

*00 00

13 0

*000 00

1 0

*00 00

14 0

*!000 00

1 0

*00 00

15 0

30000 00

1 0

*00 00

1 0

3*000 00

1 0

*00 00

1 0

34000 00

1 0

*00 00 *00 00 *00 00 *00 00 *00 00 *00 00

c2,  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9  33!*04 5*9

&2t

m, 6

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

190*5 45

1 !

c2, , 6  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9  4154 9

& 

>n

?#2 t

**91= 13

19*9 *!

3** 5

40093= 13

*334 *5

3** 5

5345!1= 13

**90 4!

3** 5

!**= 13

30511 !

3** 5

!01!*= 13

334*3 !

3** 5

93551= 13

3101 91

3** 5

1091= 14

3!594 5

3** 5

1*0*!1= 14

40935 1

3** 5

13345= 14

43150 03

3** 5

14010= 14

45*5 14

3** 5

1034= 14

4*! 49

3** 5

1339= 14

4919! 1

3** 5

1!103= 14

51055 !1

3** 5

*004!= 14

5*!4 !

3** 5

*13!3*= 14

545!0 95

3** 5

**19= 14

5*0 

3** 5

2ra34 56b6n2an iner7ia den2an 4on7tanta dampin2 300000=09 *00000=09

4on7tanta 7prin2

100000=09 000000=05 0

50

100 1 50 *00

iner7ia

3- Frekuensi "atural

>n

*

√

k  mtot 

√

π  20  E I   +  Ki + K ( t ) . L 16 4 L m. L

.

4

3

4- @2t

Mü+ku = Po cos Ω t  General equations dari (t)

Uo @ . 1 −r ¿ ů=(

2

cos  t  A1 cos n t + 2 *in  n t 

−Uo Ω ) sin  t A1   sin  t + 2   co*  t  n n n n n 1 −r 2

 $(t) = %, co* (-) t ($erumpamaan Ω) Seingga

 Po Qv o =  K  =  K 

r=

Ω ω

Uo 1

!

−r

2

Qv

=

( )

2

Ω )  K  (1− ω

"nisial #ondition $% dan $&

Uo + A (') ='= 1 −r 2

Uo  $% =- 1 −r

2

(') = ' =$ & n  $& = ' ehina

Uo (t) = 1 −r ¿

2

cos  t 

Uo 1 −r

2

 cos n t

Tabel Perhitungan U(t) t 0

1 * 3

4 5

  !

@o *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310= 10 *41310=

1rB* 1

1 1 1

1 1

1 1 1

A *4131= 10  *0*4!= 10 9!445 =11 3***5 =11  1094= 10 *3*!5 =10  **9!3= 10 15*!* =10 

C *4131=10

53305=11 *15041=10 1553=10

14*15=10 ***!5=10

3!35*=11 *40*=10 *!013=11

@2t 4!**1= 10 *5!!0= 10 115= 10 193!= 10 1!44= 11 10111= 11 *!5*= 10 393499= 10 9943!9=

*3!= 11  10!1*= 10 *0!0! =10  *410= 10 194= 10  !!31= 11  434= 11 1!3 =10

10

9 10

*41310= 10 *41310= 10

1*

*41310= 10 *41310= 10

13

*41310= 10

11

14 15

1 1

1 1

1

*41310= 10 *41310= 10

1 1

11

*09!=10 1!514=10

315111= 10 301= 10

**!115=10

111905= 10 31449= 11

*4019=11

11*93= 10

1*91=10

*39*05=10 !59095=11

19141= 10 !*!*1= 11

Gra34 H6b6n2an antara 8a4t6 $7& den2an U$t& $m97& 0 0 0

U$t& $m97& 0 0

*

4



!

10

1*

14

1

0 0

8a4t6 $7&

BAB III %ESI"PULAN

4. erdasarkan hasil yang didapat dari perhitungan persamaan dengan a. elalu mengubah Diameter (D) dari pipa diketahui baha semakin besar diameter pipa maka akan semakin besar pula konstanta spring! stiffeness atau  berbanding lurus dengan fungsi linier (dengan grafik beraal dari sumbu E*6 dan y * 4, E 46 4)  b. Gnersia selalu berubah di dapatkan funsi linear atau inersia berbanding lurus dengan konstanta spring dari persamaan (dengan grafik beraal dari sumbu E* 6 dan y*6)

+: erdasarkan hasil yang didapat dari perhitungan 3(t) ! ke$epatan menggunakan  prinsip undamped free ,ibration!gerak bebas tanpa terendam dengan menggunakan t (aktu ) sebagai fa$tor pengubah (aktu selalu berubah) diketahui baha hasil  perhitungannya menghasilkan fungsi non%linier artinya disini t(aktu) hanya mempengaruhi 3(t)! ke$epatan pada saat%saat tertentu saja