PRACTICA DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES VARIABLES DISCRETAS DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: n es k es p es q es
el el la la
número de pruebas. número de éxitos. probabilidad de éxito. probabilidad de fracaso
número combinatorio 1 ) Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: 1
Las cinco personas (0,132)
2
Al menos tres personas (0,791)
3
Exactamente dos personas (0,164)
1
Las cinco personas
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2
Al menos tres personas
3
Exactamente dos personas
2 ) La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica
SOL:
3) Al inspeccionar 1520 inspeccionar 1520 soldaduras hechas por una misma máquina, resultó que 152 eran eran defectuosas. Admitimos que la producción sigue sigue en las misas misas
condiciones. Si se eligen 5 soldaduras hechas por esa máquina, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean defectuosas? 4) En un cargamento grande de llantas de automóviles, 5% tiene cierta imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. 5) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección? 6) ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga imperfección? 7) ¿Cuál es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfección?
Repuesta 8) P (X=0) =()
0.0625
9) P (X=1) =()
0.75
10) P (X=2) =()
0.25
5) Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos e) no más de tres estén con defectos. Solución usando tablas binomiales: a) P(x=0)=b(x=0;n=10,p=0.20)= 0.1074 b) P(x=1)=b(x=1;n=10,p=0.20)= 0.2684 c) P(x≥2)=1-P(x≤1)=1-B(x≤1;n=10,p=0.20)=1-[0.1074+0.2684]=1-0.3758=0.6242 d) P(x≥3)=1-P(x≤2)= 1-B(x≤2;n=10,p=0.20)= 1 - [0.1074+0.2684+0.3020]=10.6778=0.3222 e) P(x≤3)= B(x≤3;n=10,p=0.20)= 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0. 2013=0.8791
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 Ml. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine
a) P (x = 5) e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408 b) P (x = < 2) e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566 e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132 c) P (x > 1) e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566 2. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine a) P (X = 3) e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807 b) P (X < 2) e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807 e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075 c) P (1 < X <4) e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807 d) U MEDIA: 3 e) VARIANZA: 3 3. Si Poisson (3), calcule a) P (X = 2) e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240 b) P (X = 10) e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081 c) P (X = 0) e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498 4. Si X ~ Poisson (4). Calcule a) P (X < 2) E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111 b) P (X > 1) E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555
3) Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, 1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? SOL. A) 0.2707; B) 0.2381 ; C) 0.54207 4) Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro. (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.
(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 mm de alambre SOL. A) 0.2613 B) 0.1048. C) 0.9918. 5) La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurren en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. (a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio. (b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio. (a) 0.0948 (b) 0.000045 (c) 0.7916 6) Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, 1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? Para uso de Excel, Se ubica en una celda vacía y escribe =POISSON.DIST el software le mostrará las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo. Puede ver que entre paréntesis aparecen tres parámetros: lambda (λ) falso. ( si escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde x hasta cero; si escribe falso: la distribución Poisson solo calcula el valor puntal x).
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
1) En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
¿Qué probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas? Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20 n=tamaño de muestra=12 A=éxitos en la población=rosas=8 k=éxitos en la muestra=rosas=3 Sustituimos los valores en la fórmula original:
Luego realizamos los cálculos y obtenemos:
La probabilidad pedida es 0,0978; como siempre es un número que debe estar comprendido entre cero y uno. 2) Entre las 20 celdas solares que se presentan en una expresión comercial, 12 son celdas
planas y las otras son celdas de concentración. Si una persona que visita la exposición selecciona al azar 6 de las salas solares para revisarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas sean planas? 3) Para pasar una inspección de control de calidad, se seleccionan al azar 2 piezas de cada lote de 12 acumuladores para automóvil, y se acepta el lote solo si ningún acumulador tienen ningún defecto; de otra manera se revisan todos los acumuladores del lote. Si la selección de los acumuladores es aleatoria, obtenga las probabilidades de que un lote
a) Pase la instrucción con uno de los 12 acumuladores defectuoso b) No pase la inspección con 3 de los acumuladores con defectos c) No pase la inspección con 6 de los acumuladores con defectos 4) Entre 16 camiones de entrega de una tienda departamental, 5 emiten cantidades excesivas de contaminantes. Si se seleccionan al azar 8 de los camiones para una inspección ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra incluya por lo menos 3 de los camiones que emiten cantidades excesivas de contaminantes? 5) Un embarque de 200 alarmas contra robo contiene 10 piezas defectuosas. Se selecciona al azar 5 alarmas contra robo para enviarlas a un cliente. a) Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma contra robo defectuosa. b) Use la aproximación binomial para la distribución hipergeométrica para obtener la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma contra robo defectuosa. c) Encuentre el error de la aproximación.
Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, (a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? Sol. A) 0.0119 b) 0.408 c) 0.196 6)
