Estimación de Parámetros(media y proporción de la población) y Tamaño de Muestra Estimación Puntual Problema 1. Una muestra aleatoria simple de datos de cinco días de asistencia a una escuela da la siguiente
información: unes
Día: % estudiantes &ue asistieron:
''
Martes '' ''
Mi!rcoles '*+
"ue#es
$iernes
'*,
''-
a. b. c.
¿Cuál ¿Cuál es el estima estimador dor puntua puntuall de de llaa medi mediaa pobl poblaci aciona onall del del número número de alumno alumnoss que que asiste asistenn diar diariam iament ente? e? R R:: 44 ¿Cuál ¿Cuál es es el estima estimador dor puntua puntuall de la des! des!iac iación ión estánd estándar ar pobl poblaci aciona onall del del númer númeroo de alumnos alumnos que asiste asistenn diari diariame amente nte?? R: " ¿Cuá ¿Cuáll es es el el est estim imad ador or punt puntua uall de de la la pro propo porci rción ón pobl poblac acio iona nall de alum alumno noss que que asis asiste tenn el lunes? R: 44#$##4" ó %.&'
d.
¿Cuá ¿Cuáll es es el el est estim imad ador or punt puntua uall de de la la pro propo porci rción ón pobl poblac acio iona nall de alum alumno noss que que asis asiste tenn el mi(rcoles? R: 4"'$##4" ó %.#%)&
Estimación de .nter#alo :
*edia +oblacional. ,es!iación estándar de la población conocida. Usar -abla ormal /stándar 0. Problema . 1os gastos de los alumnos de la escuela 2ecundaria *anuel 3!ila Camaco5 tienen un comportamiento normal con una des!iación estándar de &%. 2e toma una muestra a 4 alumnos 6 la media de la muestra muestra es de "". ,etermine el inter!alo de confian7a de 8 para la media poblacional. /: *1 *1.0 .01' 1' y *-. *-.++-+ + &u &uee se se det deter ermi mina na med media iant ntee **2 **2. .**-(1 (1,3 ,3
)
Problema Problema 0. Una empresa de in!estigación lle!o a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. 1a empresa encontró que la distribución de las cantidades gastadas por semana tendía a seguir la
distribución normal5 con una des!iación des!iación estándar de 9". Una muestra de 4 fumadores re!eló que
9#%
a.
¿Cuál es el estimador estimador de de la media de la población? población? /;plique /;plique lo lo que indica. indica. 4, Es el #alor de la nuestra la me5or estimación
b.
Con ni!el ni!el de confian7a confian7a de de "85 determin determinee el inter!alo inter!alo de confian7 confian7aa para <. /;pliq /;plique ue lo que signif significa. ica. 41-.+ y 41.', &ue
de la media de la población
se det deter ermi mina na por por medio medio de de , 2 1.+ 1.+ ( *3
. 6erc 6ercaa de *7 *7 de los los inte inter# r#al alos os cons constr trui uido doss de mane manera ra simi simila larr
incluirán la media de la población.
Problema '. =ob ale es propietario de ale>s -e;aco aos-o@n. A =ob le gustaría estimar la cantidad de galones de gasolina !endidos a sus clientes. clientes. 2uponga 2uponga que la cantidad de galones !endidos !endidos tiende a seguir seguir una distribución distribución normal5 con una des!iación des!iación estándar estándar de #.)% galones. ,e acuerdo con los registros5 selecciona una muestra aleatoria de '% !entas 6 descubre que la cantidad media de galones !endidos es de B.' a. ¿Cuál ¿Cuál es el estima estimador dor punt puntual ual de de la media media pobl poblaci aciona onal? l? -.+ 8alones b. /stabl /stable7c e7caa un inter!a inter!alo lo de confia confian7a n7a de 8 8 para la media media pobl poblaci aciona onall 9.-0 y .09 &ue se determina por medio de -.+,2.*-(.03
.
Problema *. 2e selecciona una muestra de &% estudiantes estudiantes del curso de estadísti estadística5 ca5 de una población población normal para la cual la des!iación des!iación estándar poblacional se sabe que es de ". 1a media de la muestra es #% a. ,eterm ,etermine ine el inter! inter!alo alo de confia confian7a n7a de "8 para para la la medi mediaa de de llaa pobl poblaci ación ón 1+.,1 y 0., &ue se determina mediante ,20.,
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Estimación de .nter#alo:
*edia +oblacional. ,es!iación +oblacional ,esconocida. Usar -abla t de 2tudent. Problema +. 2e plantó un tipo especial de maí7 íbrido en B parcelas diferentes: la producción5 en fanegas 5 de estas
parcelas fue de &4%5 %5 )5 &&%5 &)"5 &%45 &%% 6 &#". /ncuentra los inter!alos de confian7a del %85 "8 6 8 para la producción promedio de este maí7 íbrido. nterpreta cada inter#alo. /espuesta: ( x ;1,0 s ;0')< B% a &#' D/#)E usando t %.%"&.B"5 " a &)& D/#BE usando t %.%#"#.)'" 5 '& a &4" D/4#E usando t%.%%").4 6omo dato cultural: una fanega5 como unidad de !olumen5 equi!ale a %.%%B metros cúbicos.
Problema 9. *erril 16nc 2ecurities 6 Fealt Care Retirement5 Gnc.5 son dos grandes empresas ubicadas en el centro de -oledo5 Hio. Contemplan ofrecer una de forma conIunta ser!icio de guardería para sus empleados. Como parte del estudio de !iabilidad de pro6ecto5 desean calcular el costo medio semanal por el cuidado de niJos de los empleados. Una muestra de &% empleados que recurren al ser!icio de guardería re!ela las siguientes cantidades gastadas la semana pasada.
&%
#
"
&%"
&%&
&
"
&%4
Constru6a un inter!alo de confian7a de %8 para la media poblacional. Gnterprete el resultado. /: Entre *.0 y 1,1.-1 &ue se determina por medio de -.+21.-00(*.*'3
Problema -. Un e;amen de abilidades matemáticas presentado por &# estudiantes de octa!o grado seleccionados al a7ar5
dio una calificación promedio de .B 6 una des!iación estándar de &&.#. Calcula un inter!alo de confian7a del "8 para la media de la calificación de abilidades matemáticas de los estudiantes de octa!o grado. nterpreta el inter#alo /espuesta: %.'B a B4.# D/.&E Problema . 1os ingresos semanales promedio de las personas que trabaIan en !arias industrias aparecieron en el -4e .e@
&BB Almanac . /sos ingresos para quienes trabaIan en los ser!icios fueron de 9)' dólares. 2upón que este resultado se basó en una muestra de #"% personas dedicadas a los ser!icios5 6 que la des!iación estándar de la muestra fue 9"%. Calcula el inter#alo de con=ian>a de %8 para la población de ingresos semanales de personas que trabaIan en los ser!icios. KorL -imes
nterpreta el inter#alo. /espuesta: )').B a )4.# D/".#E Estimación de .nter#alo :
+roporción +oblacional. *uestra rande DnM)%E. Usar -abla ormal /stándar 0. Problema 1,. 1a empresa =ureau of ational Affairs5 Gnc.5 seleccionó una muestra de '& empresas 6 encontró que "' de
ellas pedían a sus empleados cederles los premios que ganaran en los programas de !iaIeros frecuentes ofrecidos por las aerolíneas5 cuando las distancias recorridas se debieran a !iaIes de negocios D-e Nall 2treet Oournal5 #B de mar7o de &4E ,etermina un estimado de inter#alo de con=ian>a de 8 de la proporción poblacional.
nterpreta el inter#alo. /espuesta:
%.%' a %.&# Problema 11. /l propietario de Nest /nd P@icL Qill as 2tation desea determinar la proporción de clientes que utili7an tarIeta de cr(dito o d(bito para pagar la gasolina en el área de las bombas. /ntre!istó a &%% clientes 6 descubre que B% pagaron en el área de las bombas. a. Calcule el !alor de la proporción de la población ,.- &ue se determina mediante -,31,,
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b.
Constru6a un inter!alo de confian7a de "8 para la proporción poblacional Entre ,.9 y ,.-- &ue se determina mediante
,.-21.+
c. Gnterprete sus conclusiones ?ay se8uridad ra>onable de &ue la proporción de la población se encuentre entre 9 y --7 Problema 1. 1a red QH -S considera rempla7ar uno de sus programas de in!estigación de crímenes5 que se trasmite durante las oras de ma6or audiencia5 con una nue!a comedia orientada a la familia. Antes de tomar una decisión definiti!a5 los eIecuti!os estudian una muestra de 4%% telespectadores. ,espu(s de !er la comedia5 #"% afirmaron que la !erían 6 sugirieron rempla7ar el programa de in!estigación de crímenes. a. Calcule el !alor de la proporción de la población ,.+* &ue se determina mediante *,3',, b. Constru6a un inter!alo de confian7a de 8 para la proporción poblacional ,.,' &ue se determina mediante ,.+*2.*-
c.
Gnterprete sus resultados ?ay se8uridad ra>onable de &ue la proporción de l a población sen encuentra entre *+ y +7
Problema 10. /n un estudio de )%% accidentes de automó!il en una ciudad específica5 '% tu!ieron consecuencias fatales.
=asados en esta muestra5 constru6e un inter!alo de confian7a del %8 para apro;imar la proporción de todos los accidentes automo!ilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. nterpreta el inter#alo. /espuesta: %.&' a %.#4 D/%.%4E
Tamaño de Muestra /n tamaJo de muestra sólo se usa la -abla ormal /stándar 0. Problema 1'. 2e quiere estimar el número promedio de oras trabaIadas semanalmente por los doctores en medicina de
Cicago. Un estudio anterior indicó que una muestra aleatoria de " doctores trabaIan un promedio de "&.# oras por semana5 con una des!iación estándar de '.. ¿Cuántos doctores se requiere muestrear si queremos un %8 de confian7a 6 un margen de error de %." oras semanales? /espuesta: '-+ doctores. Problema 1*. Una aseguradora /statal usó una muestra aleatoria simple de )' asegurados para estimar la media de la población de las
edades de los asegurados. Con una probabilidad de "85 el margen de error fue de #.)" aJos. /ste resultado se basó en una des!iación estándar poblacional de .# aJos. ¿Tu( tamaJo debe tener una muestra aleatoria simple para reducir el margen de error a # aJos? ¿a &." aJos? ¿a & aJo? /espuesta: *, - ,, ase8urados. Problema 1+. Una encuesta entre muIeres eIecuti!as5 lle!ada a cabo por 1ouis Farris Associates indicó que el ))8 de las encuestadas
e!aluaba a su propia empresa como un lugar e;celente para el trabaIo de las muIeres eIecuti!as D NorLing Noman 5 no!iembre de &4E. 2i la re!ista NorLing Noman desea lle!ar a cabo una encuesta anual para dar seguimiento a esa proporción5 ¿cuántas muIeres eIecuti!as debe muestrear para tener un margen de error del &%85 "8 6 #8. /n general5 ¿qu( sucede con el tamaJo de muestra al disminuir el margen de error? /espuesta: -* 0', 1' mu5eres aumenta el tamaño de la muestra Problema 19. /n un área en la cual el agua no contiene flúor5 se !a a estudiar una muestra aleatoria de
ciudadanos para estimar el porcenta5e de quienes están a fa!or de que el agua contenga flúor. 2i un estudio anterior mostró que el B"8 de los ciudadanos estaban a fa!or5 ¿qu( tan grande debe ser la muestra para tener un margen de error del &8? Usa un ni!el de confian7a del %8 /espuesta: 0'*1 ciudadanos 3/4
+Ejercicios de Estimación de la media de la Población 1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tienen una duración promedio de !0 horas" encuentre el intervalo de confian#a de $%& para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. '. ( muchos pacientes con problemas cardiacos se les implantó un marcapasos para controlar su ritmo cardiaco. Se monta un módulo conector de plástico sobre e la parte superior del marcapasos. Supon)a una desviación estándar de 0.001* + una distribución de aproximadamente normal" encuentre un intervalo de confian#a de $*& para la media de todos los módulos conectores que fabrica cierta compa,-a. Una muestra aleatoria de * módulos tiene un promedio de 0.310 pul)adas. 3. as estaturas de una muestra aleatoria de *0 estudiantes universitarios muestra una media de 14.* cm + una desviación estándar de %.$ cm. /a onstru+a un intervalo de confian#a de $!& para la estructura media de todos los estudiantes de la universidad. /b 2ué podemos afirmar con $!& de confian#a sobre el tama,o posible de nuestro error si estimamos que la estatura medio de todos los estudiantes de la universidad es 14.* cm 4. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóviles muestra " en el estado de 5ir)inia" un automóvil se mane6a" en promedio" '3"*00 7ilómetros por a,o con una desviación estándar de 3$007m /a onstru+a un intervalo de confian#a de $$& para el n8mero promedio de 7ilómetros que se mane6a un automóvil anualmente en 5ir)inia /b 2ué se puede afirmar con $$& de confian#a sobre el tama,o posible de nuestro error si estimamos que el n8mero promedio de 7ilómetros mane6ados por los propietarios de automóviles en 5ir)inia es '3"*00 7ilómetros por a,o *.2 9e qué tama,o se necesita una muestra en el e6ercicio 1 si deseamos tener un $%& de confian#a que nuestra media muestral esté dentro de 10 horas de la media real %. 29e qué tama,o se necesita una muestra en el e6ercicio ' si deseamos tener $*& de confian#a de que nuestra media muestral esté dentro de 0.00* pul)adas de la media real . Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma perforar tres ho+os en cierta placa metálica 29e qué tama,o se necesitará una muestra para tener $*& de confian#a de que esta media muestral esté dentro de 1* se)undos de la media real Supon)a que se sabe de estudios previos que :40 se)undos. ;< '! !. Un investi)ador de la U( afirma que la vida de los ratones se puede extender en '*& cuando se reducen las calor-as en su alimento en aproximadamente 40& desde el momento en que se les desteta. as dietas restrin)idas se enriquecen a niveles normales con vitaminas + prote-nas. Supon)a que se sabe de estudios previos que :*.! meses. 2uántos ratones se deben incluir en nuestra muestra si deseamos tener un $$& dentro de dos meses de la media de la población para todos los ratones su6etos a esa dieta reducida $. =l consumo re)ular de cereales pre endul#ados contribu+e a la ca-da de los dientes" enfermedades de)enerativas de acuerdo con estudios a cabo por el doctor >.?. @oAen del Bnstituto Cacional de Salud + el doctor D. Eudben" profesor de nutrición + dietética de la Universidad de ondres. =n una muestra alrededor de '0 porciones sencillas similares al cereal (lphaF@its" el contenido de a#8car está distribuido normalmente" constru+a un intervalo de confian#a del $*& para el contenido medio de a#8car para porciones sencillas de cereal (lphaF@its. 10. Una máquina produce pie#as metálicas de forma cil-ndrica. Se toma una muestra de las pie#as + los diámetros son 1.01" 0.$" 1.03" 1.04" 0.$$" 0.$!" 0.$$" 1.01 + 1.03 cent-metros. =ncuentre un intervalo de confian#a de $$& para el contenido medio de las pie#as de esta máquina" supon)a una distribución aproximadamente normal. 11. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate ener)ético de cierta marca tiene" en promedio '30 calor-as con una
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desviación estándar de 1* calor-as. onstru+a un intervalo de confian#a de $$& para el contenido medio real de calor-as de esta marca de las barras de chocolate ener)ético. Supon)a que la distribución de calor-as es aproximadamente normal. 1'. Se toma una muestra aleatoria de 1' a)u6as en un estudio de prueba de dure#a por el método de ;oc7Aell de la cabe#a de las a)u6as. Se reali#aron mediciones de la dure#a ;oc7Aell para cada una de las 1'" lo que dio un valor promedio de 4!.* con una desviación estándar de 1.*. Supon)a que las mediciones se distribu+en de forma normal" constru+a un intervalo de confian#a de $0& para la dure#a media ;oc7Aell media. 13. Una muestra aleatoria de 1' )raduadas de cierta escuela secretarial escriben a máquina un promedio de $.3 palabras por minuto con una desviación estándar de .! palabras por minuto. Supon)a que una distribución normal para el n8mero de palabras que se escribe por minuto" encuentre el intervalo de confian#a de $*& para el n8mero promedio de palabras escritas por todas las )raduadas de esta escuela.
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