Distribuciones Esféricas de Masa

Distribuciones esféricas de masa Hemos usado, sin demostrarla, la afirmación de que la interacción gravitacional gravitacional entre dos distribuciones de masa esféricamente simétricas es la misma que sería si la masa de cada una estuviera concentrada en su centro. Ya estamos en condiciones de demostrarlo. Newton buscó varios años una demostración, y aplaó la publicación de la ley de la gravitación !asta que la encontró. "eamos lo que !aremos. #n ve de comenar con dos masas esféricamente simétricas, atacaremos el problema m$s sencillo de una masa puntual m que interact%a con un cascarón esférico delgado con masa total &. 'emostraremos que, si m est$ fuera de la esfera, la energía potencial asociada a esta interacción gravitacional es la que sería si & estuviera concentrada en el centro de la esfera. (e sabe que la fuera es la derivada negativa de la energía potencial, así que la fuera que act%a sobre m es la misma que para una masa puntual &. )oda distribución esféricamente simétrica de masa puede considerarse formada por muc!os cascarones esféricos concéntricos, así que nuestro resultado ser$ v$lido para cualquier & esféricamente simétrica.

Una masa puntual afuera de un cascarón esférico *om *omenam amos por con conside iderar rar un anillo illo en la superficie del cascarón +figura, centrado en la línea del centro del cascarón a m. Hacemos esto porque todas todas las partí partícul culas as del del anillo anillo est$n est$n a la misma misma distancia s de la masa puntual m. -or la ecuación +/.0, la energía potencial de la interacción entre la )ierra +masa m# y una masa puntual m separada una una dist distan anci cia a r es 12/3 12/3m# m#m4 m4r. r. *amb *ambia iand ndo o la nota notaci ción ón en esta esta e5pr e5pres esió ión n vemo vemos s que, que, en la situ situac ació ión n de la figu figura ra la ener energí gía a pote potenc ncia iall de interacción entre m y una partícula de masa mi del anillo est$ dada por 

La fuerza gravitacional entre distribuciones esféricas de masa *ualquier distribución esféricamente simétrica de masa puede considerarse como una combinación de cascarones esféricos concéntricos. -or el principio de superposición de las fueras, lo que es v$lido para un cascarón es v$lido para la combinación. -or lo tanto, !emos demostrado la mitad de lo que nos propusimos6 que la interacción gravitacional entre una distribución esféricamente simétrica de masa y una masa puntual es la misma que sería si toda la masa de la distribución estuviera concentrada en su centro. 7a otra mitad consiste en demostrar que dos distribuciones esféricamente simétricas de masa interact%an como si fueran puntos. #sto es m$s f$cil. #n la figura anterior, las fueras que los dos cuerpos e8ercen entre sí son un par acción9reacción, y obedecen la tercera ley de Newton. 'e esta manera, !emos demostrado que la fuera que m e8erce sobre la esfera & es la que e8ercería si & fuera un punto. -ero si a!ora sustituimos m por  una distribución esféricamente simétrica de masa centrada en la posición de m, la fuera gravitacional que act%a sobre cualquier parte de & es la misma que antes, y lo mismo se cumple para la fuera total. #sto completa la demostración.