DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
Muchas situaciones reales pueden ser analizadas por variables aleatorias discretas. En esta lectura se estudian las distribuciones de probabilidad discretas, Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeométrica
Distribución Bernoulli Los nombres de las distribuciones de probabilidad llevan en su mayoría el nombre de quien las creó y dio a conocer. La distribución de Bernoulli se distingue porque es utilizada en contextos para los cuales tan sólo hay dos posibles resultados: ocurre o no ocurre, éxito o fracaso. De este modo cuando nos encontremos en un contexto como el mencionado asignaremos a la variable aleatoria los valores 1 y 0, con lo que indicaremos respectivamente ocurre, no ocurre o éxito y fracaso.
Sea
X una
variable aleatoria que sólo toma los valores 1 y 0, denotamos por p y 1 − p a la
probabilidad de éxito y fracaso respectivamente. La función de probabilidad de esta variable está dada de la siguiente manera
P( X 0) =
=
1− p
P( X 1) =
=
p
Por otra parte, el valor esperado o media y la varianza son
E( X) =
∑ xP( x)
=
0 ⋅ (1 − p) + 1( p) = p
x
Var ( X )
=
2
E( X ) − ( E( X ))
2
=
2
p− p
=
p(1 − p)
Se denotará por q al valor de 1 − p . No olvidemos que es importante conocer el valor esperado de una variable aleatoria porque éste nos dice según el contexto y las probabilidades dadas en él, lo que se espera de variable aleatoria o el resultado que se espera obtener. Adicionalmente la varianza nos permite calcular la desviación estándar que nos indica qué tan alejados están los datos del valor
promedio de los mismos, entonces con ello sabremos si los datos se agrupan o alejan del valor promedio, mostrando así la dispersión de los mencionados.
Un político cree que el 32% de los habitantes de cierta región apoyarán su campaña para el consejo. Determine la media y la varianza de la variable aleatoria que toma el valor 1 si el político es apoyado y 0 sino. Como X
=
0, 1 y
p
=
0.32 entonces 1 − p
=
0.68, luego el valor esperado o media de la variable
aleatoria es E ( X )
=
0(0.68) + 1(0.32) = 0.32
Lo que significa que se espera que un 32% de los habitantes apoyen la campaña del político.
Var ( X )
=
p(1 − p)
=
0.32(0.68)
=
0.2176
Dado que la raíz de la varianza mide qué tan dispersos están los datos de la media, si calculamos dicho valor obtenemos Var ( X )
=
0.2176
≈
0.4664
Distribución Binomial
Cuando un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados, éxito o fracaso, y se repite un número finito de veces nos encontramos en un experimento de tipo Binomial. Los criterios que nos permitirán utilizar esta distribución son: •
•
•
•
Debe existir un número fijo de pruebas repetidas o ensayos independientes, a este número lo denotamos con la letra n . Cada una n de las pruebas debe tener dos resultados, éxito o fracaso (favorable o desfavorable). La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fijo y se denota con la letra p . La variable aleatoria X cuenta el número de éxitos obtenidos en los n ensayos independientes.
Si una variable aleatoria X se distribuye Binomial entonces su función de probabilidad establece que la probabilidad de que X tome un valor x es
P( x)
Donde
n x
=
n x n− x x p q
es n combinado x o como lo hemos venido trabajando
n
C x .
Para esta variable aleatoria el valor esperado o media y varianza son:
E( X)
=
∑ xP( x)
=
np
x
Var ( X )
=
E( X 2 ) − ( E( X )) 2
=
np(1 − p)
De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que el 3% son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases:
a. Por los menos tres sean defectuosos? b. Como máximo tres sean buenos?
Comencemos por clasificar la información dada y distinguir si se cumplen o no los criterios de la distribución binomial. Un envase puede clasificarse en defectuoso o no defectuoso, luego ésta es la variable aleatoria para la cual tenemos éxito o fracaso. Como ser defectuoso representará el éxito tendremos que p
=
0.03 . Por otra parte, como se analizarán 7 envases es como si estuviésemos repitiendo el
mismo experimento 7 veces, luego
n
=
7 . De este modo observamos que todos los criterios son los
requeridos para utilizar una distribución binomial. Respondamos ahora la pregunta de cada literal.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases por los menos tres sean defectuosos?
Primero definimos la variable aleatoria
X: Número de envases defectuosos
Como por lo menos significa como mínimo debemos calcular la probabilidad de que como mínimo haya tres envases defectuosos.
P( x ≥ 3)
=
1 − P( x < 3)
=
1 − ( P( x = 0) + P( x = 1) + P( x = 2))
=
7 1 − p0 q7 −0 0
=
1 − q 7 − 7 pq 6 − 21 p 2 q 5
=
1 − 0.977 − 7(0.03)(0.97) 6 − 21(0.03) 2 (0.97 )5
+
7 1 7−1 7 2 7− 2 1 p q + 2 p q
≈ 1 − 0.99913 = 0.00087 Con lo cual notamos que es muy poco probable que haya más de tres envases defectuosos.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases como máximo tres sean buenos? Que máximo tres sean buenos significa que como mínimo hay cuatro defectuosos, luego la probabilidad solicitada es
P( x ≥ 4) = P( X
=
4) + P( X
=
5) + P( X
=
6) + P( X = 7)
=
7 4 7 − 4 7 5 7 − 5 7 6 7 −6 7 7 7 − 7 p q + p q + p q + p q 4 5 6 7
=
35(0.03) 4 (0.97)3
+
21(0.03) 5 (0.97) 2
+
7(0.03) 6 (0.97)1 + 1(0.03) 7 (0.97) 0
≈ 0.0000263593 Con base en lo anterior tendríamos que es muy poco probable que más de cuatro envases resulten defectuosos con lo cual es muy poco probable que máximo tres sean buenos. La distribución binomial de una variable aleatoria puede calcularse en programas con Excel, según la versión que se tenga; en mi caso tengo office 2007 y según este que es tan solo una versión mejorada respecto a las anteriores versiones de office les indicaré cómo utilizarla. Desarrollemos el anterior ejemplo con Excel: Abrimos una hoja de cálculo de Excel y escribimos los datos en columnas de la siguiente manera.
Como se observa los resultados son los mismos que obtuvimos realizando la operación manualmente. Debe resaltarse que si no se tiene office 2007 las anteriores versiones también realizan estos cálculos, tan solo hay que dar click en ayuda y escribir binomial o distribución binomial, esto los conducirá al procedimiento requerido en su versión. Otra observación es que Excel sólo calcula, somos nosotros quienes debemos indicarle correctamente qué calcular. También
podríamos
determinar
dicha
Y : número de envases no defectuosos
probabilidad
considerando
para la cual su probabilidad
p
la
variable
es de 0.97 y
aleatoria n
=
7 . De
igual manera esta es una variable con distribución binomial, por lo tanto estaríamos buscando
P( y ≤ 3) = P(Y
=
0) + P(Y
=
7 0 7 −0 0 p q
=
1(0.97) 0 (0.03) 7
+
=
1) + P(Y
=
2) + P(Y = 3)
7 1 7 −1 7 2 7 −2 7 3 7 −3 1 p q + 2 p q + 3 p q +
7(0.97)1 (0.03) 6
+
21(0.97) 2 (0.03) 5
+
35(0.97) 3 (0.03) 4
≈ 0.0000263590 Nuevamente confirmamos que es muy poco probable que menos de tres envases no sean defectuosos.
Distribución Poisson
En la distribución de Poisson la variable aleatoria cuenta el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio.
Sea X una variable aleatoria que se distribuye Poisson, entonces la expresión que permite calcular la probabilidad de un experimento aleatorio de este tipo es: x
P( x)
λ e =
− λ
x !
x = 0, 1, 2, 3,4,…………. y donde λ
es el valor promedio por unidad de tiempo y e = 2,718281828
Para dicha variable aleatoria la media y la varianza son respectivamente: E ( X )
=
λ
Var( X )
=
λ
Los clientes de una cafetería llegan a razón de nueve, en un período de 30 minutos.
a. Calcule la probabilidad de que en la primera media hora por lo menos lleguen 4 personas. Sea
X
λ
9 la media en 30 minutos, entonces la probabilidad solicitada es:
=
la variable aleatoria número de clientes que entran a la cafetería y, según los datos dados
P( x ≥
4) = 1 − P( x < 4) =
1 − ( P( x = 0) + P( x = 1) + P( x = 2) + P( x = 3))
λ 0 e− λ λ 1 e −λ λ 2 e −λ λ 3e −λ = 1− + + + 0! 1! 2! 3! 90 e−9 91 e−9 92 e−9 93 e−9 = 1− + + + 0! 1! 2! 3! =
0.9787
Esto significa que es muy probable o existe una posibilidad en un 97% de que entren más de cuatro clientes a la cafetería en un período de 30 minutos. La distribución Poisson de una variable aleatoria puede calcularse en programas con Excel, según la versión que se tenga; en mi caso tengo office 2007 y según este que es tan solo una versión mejorada respecto a las anteriores versiones de office les indicaré cómo utilizarla. Desarrollemos el anterior ejemplo con Excel: Abrimos una hoja de cálculo de Excel y escribimos los datos en columnas de la siguiente manera.
b. Calcule la probabilidad de que en los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente. Para resolver este ejercicio debe tenerse en cuenta que no tenemos la media o el número de personas promedio que ingresan en 10 minutos, como consecuencia debemos hallarla con una regla de tres: λ : número
Tiempo
de personas
en minutos
promedio ↓
Luego λ
( )
9 10 =
=
30
↓
9
→
30
?
→
10
3 , es decir que en 10 minutos ingresan alrededor de 3 personas. Ahora sí
podemos calcular la probabilidad solicitada:
0 − λ
P( x
=
0)
λ e =
0! 30 e−3
=
=
0! 0.0497
Lo que significa que es poco probable que ninguna persona ingrese en un período a la cafetería. Realizando el ejercicio en Excel tenemos:
En Bogotá sobre la carrera 7° con 53 se presentan en promedio 3 accidentes de tránsito determine la probabilidad de que:
por mes
a. No se presenten accidentes en un mes b. Se presenten más de 5 accidentes en un mes c. Se presenten 10 o más accidentes en un semestre Definimos la variable aleatoria X: Número de accidentes que ocurren en un mes. La función de probabilidad de la variable es:
a.
La probabilidad de que no se presenten accidentes en un mes es 0,0498 b. Más de 5 accidentes en un mes es:
c.
En este caso definimos nuevamente la variable X: Número de accidentes que ocurren en un
semestre y es necesario cambiar el valor promedio
λ
En un semestre se espera un promedio de λ= 18 accidentes, la probabilidad que se pide es:
Distribución Hipergeométrica
La distribución hipergeométrica es un tipo de distribución que se caracteriza porque la probabilidad no es fija o constante, a continuación expondremos los criterios bajos los cuales ésta debe utilizarse. •
• • •
La información de la muestra se toma sin reposición (es decir lo que se extrae no se retorna) de una población finita. La probabilidad de éxito no es constante, cambia con cada observación. El resultado de una prueba es dependiente de la prueba anterior. El tamaño de la población es pequeña.
Sea
X
una variable aleatoria que se distribuye Hipergeométrica, para la cual se toma
una muestra de tamaño
n
de N objetos de los cuales
A
son éxito para la variable
aleatoria, entonces la expresión que permite calcular la probabilidad de un experimento aleatorio de este tipo es:
P ( x )
=
A N − A x n− x N n
=
Un Jefe de almacén sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tenía conocimiento de lo anterior vendió en el día, 4 bicicletas, ¿cuál es la probabilidad de que vendiera dos que requerían ser ajustadas? Para resolver el ejercicio identifiquemos y clasifiquemos la información: Número de objetos o tamaño de la población N Tamaño de la muestra
n
=
=
25 .
4.
Número de objetos de la población que son casos favorables o exitosos A Número de objetos que se desea determinar que sean favorables
x
=
=
6.
2.
Con estos datos podemos calcular la probabilidad solicitada:
P ( x
=
2)
=
=
6 25 − 6 2 4 − 2 25 4 0.2027
La probabilidad de que las bicicletas vendidas requieran ser ajustadas es de 0,2027 Veamos cómo resolver el ejercicio en Excel:
Auto‐estudio
Llego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos es necesario practicar; por ello tal y como se indica en la guía de actividades semanal por favor revise el libro sugerido en el mapa conceptual de la unidad 2 (Estadística) en particular las páginas 73 a 102 ya que éstas contienen ejercicios de todas las distribuciones vistas en esta sección. Luego realice la guía práctica correspondiente a esta semana. Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra página de internet distinta a la del módulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuación; por favor sígalas y realice los ejercicios del libro, sólo aquellos que cubran los temas tratados hasta ahora. Para acceder al libro… En la unidad 2, aparece un mapa conceptual; en el espacio en el que se despliega la bibliografía accede al libro siguiendo los siguientes pasos: 1. en la página principal de campus virtual debajo del CAE dice biblioteca virtual, de click en este link. 2. Allí se abre la página de la biblioteca y debe escribir su usuario y contraseña. 3. Hagan click en libros electrónicos e ingrese el usuario y la contraseña. 4. Ahora de click en e-libro, vuelva a la página del mapa conceptual y de click sobre el libro que desean consultar. Si siguió correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.
Adicionalmente puede revisar el libro Estadística para Administración y Economía de Anderson que se encuentra en google (libros); busque en el índice los temas tratados: Distribución Binomial, Poisson, Hipergeométrica (páginas 175-206). Luego resuelva los ejercicios allí propuestos.
