DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Un experimento Binomial se caracteriza por ser un experimento aleatorio que: -
Consiste de n pruebas o ensayos independientes donde sólo puede haber dos resultados mutuamente excluyentes llamados éxito y fracaso.
-
La probabilidad de éxito pruebas.
p permanece constante en cada una de las n
Ejemplos: -
Lanzar una moneda dos o más veces para observar el número de caras. Seleccionar dos o más diskettes de un lote que contiene un % de defectuosos para verificar cuántos diskettes defectuosos contiene la muestra.
Función de Cuantía:
Cnx
px q n x
si x : 0 ,1 , 2 , ....., n
f (x ) P(Xx )
0
en otro lugar
x n p q
: : : :
Número de éxitos. x : 0 , 1 , 2 , ... , n Número de ensayos o pruebas. Probabilidad de éxito. Probabilidad de fracaso. q = 1 - p
Función de Distribución: 0
si x 0
f (0)
0 x 1
f (0) f (1)
1 x 2
F(x )
f (0) f (1) f (2)
2x3
.......... .......... ..
.......... .
1
xn
Valor Esperado:
Varianza:
E( x ) np
V(x ) npq
Uso de Tabla: Tabla de Términos Individuales: Lectura directa.
Si p > 0,50:
1
P ( X x ) b( x ,n, p )
P ( X x ) b( n x , n, q )
Tabla de Términos Acumulativos: P ( X x ) B( x ,n, p )
Lectura directa.
Ejemplos: 1.-
Un Ingeniero de Sistemas, planea un estudio piloto para su disertación doctoral. Como parte de su estudio, planea enviar cuestionarios a 20 contadores públicos seleccionados en forma aleatoria. Sabe que el índice de respuesta para este grupo de personas es de 30%, y espera que al menos once de los cuestionarios estén completos y le sean regresados. ¿Cuál es la probabilidad de que en realidad el número de cuestionarios completos que reciba sea: a) exactamente doce. n = 20
p = 0,30
P x 12 b 12 ; 20 ; 0,30 0,004 b)
al menos once.
P x 11 B 11; 20 ; 0,30 c)
0,017
entre once y quince inclusive.
P 11 x 15 P x 11 P x 16 0,017 0,00 0,017 2.-
Se envían invitaciones para cenar a los 20 delegados que asisten a una convención, y se cree que para cada delegado invitado, la probabilidad de que acepte es 0,9. Si se asume que toman la decisión de aceptar la invitación independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho 17 delegados acepten la invitación? n = 20 P ( A ) = 0,90 P ( x 17 ) 1 P ( x 18 )
1 b (18 ; 20 ; 0,90 ) b (19 ; 20 ; 0,90 ) b ( 20 ; 20 ; 0,90 ) 1 b ( 2 ; 20 ; 0,10 ) b (1 ; 20 ; 0,10 ) b ( 0 ; 20 ; 0,10 ) 1 0,285 0,270 0,122 1 P ( x 18 ) P ( x 19 ) P ( x 20 )
0,323 3.-
Suponga que el 5% de cierto modelo de calculadoras de bolsillo fallan durante los primeros 60 días y son regresadas a la tienda para ser reparadas. Si una compañía compra 25 calculadoras: a)
Aproximadamente, ¿cuántas espera que fallen en el lapso de 60 días?. P ( F ) = 0,05 = p E ( x ) = n p = 25
n = 25
0,05 = 1,25 = 1
2
b)
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle? P ( x = 0 ) = b ( 0 ; 25 ; 0,05 ) = 0,277
c)
Calcular la probabilidad de que fallen tres o más. P ( x 3 ) = B ( 3 ; 25 ; 0,05 ) = 0,127
d)
Hallar la probabilidad de que como máximo fallen 4. P ( x 4 ) = 1 – P ( x 5 ) = 1 – 0,007 = 0,993
3
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson cuando el fenómeno se presenta aleatoria o independientemente en el tiempo o espacio en el cual sólo interesa la ocurrencia del fenómeno un número determinado de veces y no interesa la no ocurrencia del fenómeno. La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce, el número de errores tipográficos por página en un libro, el número de fallas de una computadora durante una semana de operación. Función de Cuantía:
eλ λ x
f (x ) P(X x )
0
si x : 0 , 1 , 2 , .....
x!
en otro caso
Valor Esperado:
Varianza:
E( x ) λ
V(x ) λ
Aplicaciones: La distribución de Poisson tiene aplicaciones en Control de Calidad y muestreo de aceptación. Además, ciertas distribuciones continuas importantes utilizadas en teoría de confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de Poisson. Uso de Tabla: P(x x ) F(x )
Lectura directa.
Ejemplo: Se supone que el número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson con una media de 0,1 defectos por metro cuadrado. ¿Cuál es la probabilidad de : a)
Tener dos defectos en un metro cuadrado de tela. 0,1 defectos
P x 2 b)
e
λ 0,1
---- 1 m2
0,1
2 . 0,1
2!
0, 005
Tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela,. 0,1 defectos
----
1 m2
----
10 m2
λ 1
4
P x 1 c)
e
1 1 .1 1!
0, 368
Que no hayan defectos en 20 metros cuadrados de tela. λ2
P x 0 0,135
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
La distribución normal o de Gauss es la distribución de probabilidad continua más importante y la de mayor uso. En la práctica es frecuente observar que la mayoría de las distribuciones para un número grande de casos, se distribuyen como una curva normal. Su apariencia gráfica es una curva simétrica en forma de campana. 2 El modelo de probabilidad normal de parámetros y , N ( , ) , siendo y constantes,
con > 0, cumple un papel fundamental en estadística, ya que todas las técnicas o procedimientos inferenciales dependen directa o indirectamente de esta variable aleatoria
Notación:
2 X N ( , )
Su función de densidad es: f ( X ) f ( X, μ , σ )
1 σ
2π
e
1 Xμ 2 σ
2
Donde:
X
: Media poblacional : Desviación estándar
0 e 2,7182
= 3,1416
Efectos de y 2 en la función de densidad de una variable aleatoria normal.
Funciones de densidad de dos distribuciones normales con medias 5 y 6; ambas distribuciones tienen varianza 1.
5
Funciones de densidad de dos distribuciones normales con varianzas 1/4 y 1; ambas distribuciones tienen media 10.
Como función de probabilidad se asume que el área encerrada por la curva y el eje X es igual a 1.
P( a X b ) = área entre a y b a
b
Función de Distribución Acumulada: Supongamos que X es una variable aleatoria normal con media y varianza 2. 2 Es decir, X N ( , ) . Entonces su distribución de probabilidad acumulada es:
F ( x0 ) P ( X x0 ) 0 F ( x 0 ) x
1 σ
2π
e
2 1 x 0 μ dx 0 σ 2
x0 Para una variable aleatoria continua X, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x0 está determinada por el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas desde - hasta x0.
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARIZADA
La distribución Normal puede simplificarse, haciendo un cambio de variable; es decir transformando la variable original X en una nueva variable aleatoria Z mediante la relación: Z
Xμ σ
Es decir:
6
X N ( X , , 2 )
ZN(Z,0,1)
0
=0
2
2 = 1
>0
Esta transformación constituye la estandarización de la curva normal, cuya función de probabilidad es:
f(z)
1 2π
e
z
2
2
La gráfica de la función densidad, conocida como campana de Gauss, para la variable normal tipificada o estándar, definida para 0 y 1 es:
USO LA TABLA N ( 0,1) : La tabla de la distribución normal N(0,1) permite calcular probabilidades relativas a
cualquier distribución N , . Para ello basta con tipificar o estandarizar la variable es decir calcular el valor z correspondiente a los valores x indicados, mediante la operación:
z
x
En la tabla N(0,1) aparece directamente la P (Z z ) para valores de z entre -4 y 4.
Para valores mayores que 4 la probabilidad es prácticamente igual a 1.
Para valores menores que –4 la probabilidad es cero.
a) P( Z z1 ) = F( z1 )
Lectura directa. z1
7
b) P( Z > z1 ) = 1 - P( Z z1 ) z1
c) P( z1 Z z2 ) = P( Z z2 ) - P( Z z1 )
z1
z2
d) P ( X x ) P ( x 0,5 X x 0,5 )
Ejemplos: 1.-
2.-
3.-
Determinar las siguientes probabilidades: a)
P(z 1,72) = 0,95728
c)
P(z > -0,73) = 1 - P(Z -0,73) = 1 - 0,23270 = 0,7673
d)
P(-1,52 z 2,64) = P(Z 2,64) - P(Z -1,52) = 0,99585 - 0,06426 = 0,93159
Sea X N ( 50,102 ), determinar las siguientes probabilidades: a)
P(X < 40) = P(Z -1) = 0,15866
b)
P(38 X 62) = P(-1,2 Z 1,2) = P(Z 1,2) - P(Z -1,2) = 0,88493 - 0,11507 = 0,76986
c)
P(X > 55) = 1 - P(X 55) = 1 - P(Z 0,5) = 1 - 0,69146 = 0,30854
Sea X N(-25,102) , probabilidad:
encontrar el valor de x que corresponde a la siguiente
8
P(X < x) = 0,1251 P(Z
x + 25 10
-1,15 = z
) = 0,1251
x + 25 10
F(z)
= - 1,15
x = -36,5 4.-
Se desea contratar un Contador para que realice una auditoría en 45 días como máximo. Si se sabe que el tiempo que demoran los Contadores A y B en realizar una auditoría, está normalmente distribuido, Contador A N( 40 , 62 )
Contador B N( 45 , 32 )
¿Cuál Contador debería contratarse? ¿Por qué? CONTADOR A N( 40 , 62 ) P(X 45) = P(Z 0,83) = 0,79673
CONTADOR B N( 45 , 32 ) P(X 45) = P(Z 0) = 0,5
Se debe contratar al Contador A porque su probabilidad de realizar una auditoría en como máximo 45 días es mayor.
DISTRIBUCIONES: BINOMIAL-POISSON-NORMAL
1.-
El diámetro del punto producido por una impresora tiene una distribución normal con media de 0,002 pulgadas y desviación estándar de 0,0004 pulgadas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto sea mayor que 0,0026 pulgadas? 0,06681 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto esté entre 0,0014 y 0,0026 pulgadas? 0,86638 c) ¿Qué valor debe tener la desviación estándar del diámetro para que la probabilidad del inciso b) sea 0,995? 0,000214
2.-
El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico es una variable aleatoria con una media de cinco mensajes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba: a) Cinco mensajes en una hora. 0,176 b) Diez mensajes en una hora y media. 0,086
9
c) d)
Menos de dos mensajes en media hora. Quince mensajes en dos horas.
0,287 0,034
3.-
Las visitas recibidas diariamente a una Web son inferiores a 3500 el 22% de los días, y entre 3500 y 6440 visitas se producen el 55%. El 23% restante son días con afluencia superior a 6440 visitas. Admitiendo que el número de visitas por día se distribuye normalmente, estime qué valore corresponden a la esperanza y a la desviación estándar de esta variable. 5029 1960
4.-
Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de articulo que ofrece a sus clientes dos formas de pago: “al contado” o “a crédito”, sabe que el 20% de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de “pago al contado”. Si en un periodo de tiempo determinado se han adquirido diez unidades, determinar la probabilidad que: a) b) c) d) e)
Menos de dos unidades hayan sido bajo la forma de “al contado” 0.376 No más de dos unidades hayan sido bajo la forma “a crédito”. 0.000078 Más de uno y menos de cinco hayan sido bajo la forma “al contado”. 0.591 Sólo tres hayan sido bajo la forma de “al contado”. 0.2013 ¿Cuántas unidades se espera hayan sido bajo la forma “a crédito”? 8
5.-
Un método para hacer predicciones económicas es mediante una aproximación por consenso. Se obtiene un pronóstico de cada uno de un gran número de analistas; el promedio de estos pronósticos individuales es el pronóstico general. Suponga que los pronósticos individuales de enero de 1998 con respecto a la tasa de interés mínima de todos los analistas económicos tiene aproximadamente una distribución normal con una media igual a 14% y una desviación estándar de 2,6%. Si se selecciona al azar a un solo analista de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que el pronóstico de la tasa de interés mínima del analista sea: a) mayor que 18% 0,06178 b) menor que 16% 0,77935
6.-
Si la vida media de cierta marca de batería es de 30 meses, con una desviación estándar de 6 meses, ¿qué porcentaje de estas baterías puede esperarse que tengan una duración de 24 a 36 meses? Se supone que su duración sigue una distribución normal. 68.26%
7.-
En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto se encuentran demasiado nudosas para ser usadas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas no más de cuatro estén demasiado nudosas? 0,9873
8.-
El número de defectos por yarda cuadrada de un cierto tipo de tela manufacturada por una fábrica es medido como 0,1,2,... defectos. En promedio, el número de defectos es 0,5. Hallar la probabilidad de que una yarda cuadrada tenga: a) Dos defectos. 0,076 b) Dos defectos como máximo. 0,986
9.-
Los puntajes finales en un concurso de admisión a una universidad están distribuidos normalmente con media 60 y varianza 100. a) Si el puntaje mínimo para ingresar es 72; ¿cuál es el porcentaje de fracasos?
10
88,5% b)
Si han de aprobar el 20% de los postulantes; ¿cuál debe ser el puntaje mínimo aprobatorio? 68,4
c)
Si han de aprobar el 80% de los postulantes; ¿cuál debe ser el puntaje mínimo aprobatorio? 51,5
d)
Si se desea desaprobar al 30% de los postulantes; ¿cuál debe ser la calificación máxima desaprobatoria? 54,7
10.-
La vida útil de cierta marca de llanta de automóvil se admite como de distribución aproximadamente normal con media y desviación típica iguales a 32 000 y 1000 millas respectivamente. Si esta llanta se garantiza por 30000 millas, ¿qué porcentaje de las ventas necesitará ser reemplazado? 2,28%
11.-
Un libro de 400 páginas tiene 400 errores de impresión distribuidos aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una página observada contenga por lo menos dos errores? 0,264
12.-
Sara coge un examen de múltiples alternativas el cual contiene 8 preguntas, cada una con cuatro respuestas alternativas. Suponga que ella responde adivinando cada pregunta. Entonces la probabilidad que responda una respuesta correcta es 1/4 para cada pregunta. ¿cuál es la probabilidad que ella: a) no acierte ninguna de ellas. 0,0039 b) acierte no más de la mitad. 0,973
13.-
Los puntajes de un examen en el curso de Lenguaje de Programación distribuidos normalmente de manera que el 93,32% de los alumnos tienen menos 45 puntos y el 91,93% tienen entre 45 y 82 puntos. a) calcular la media. b) calcular la varianza. c) si el 12,3% de los alumnos con mayor puntaje reciben el calificativo 20% de los alumnos con menor nota reciben el calificativo F, calcular: el mínimo puntaje que debe tener para recibir una A. el máximo puntaje que debe tener para recibir una F.
están por lo 60 100 A y el 71,6 51,6
14.-
Una compañía recibe un gran cargamento de artículos y decide aceptar el envío si en una muestra aleatoria de 20 artículos no hay más de un defectuoso. Si se sabe que la proporción de artículos defectuosos en el cargamento es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía acepte el envío? 0,3918
15.-
Dado que X está normalmente distribuida con una media de 10 y P(X>12)=0,1587 ¿cuál es la probabilidad de que X esté en el intervalo <9,11> 0,3829
16.-
El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y varianza 900, ¿qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? 30,85%
11
17.-
Suponiendo que la probabilidad de que un niño que nace sea varón es 0,51, hallar la probabilidad de que en una familia de seis hijos, tenga: a) Por lo menos una niña. 0,9824 b) Por lo menos un niño. 0,9862 c) Por lo menos dos niños y una niña. 0,0912
18.-
El número promedio de interrupciones de trabajo por hora en un proceso de producción es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier hora, el número de interrupciones sea: a) Exactamente dos. 0,144 b) A lo más dos. 0,953
19.-
Las ventas de una determinada revista en un kiosko tienen de media 190 y una desviación típica de 25. ¿Cuántos ejemplares de la revista deben encargar para atender al 80 % de los clientes? 211,25 rev.
20.-
Existe un 80% de probabilidad de que un tipo determinado de componentes se comporte adecuadamente bajo las condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestión tiene cuatro de tales componentes, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes eventos: a) Todos los componentes se comportan adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional. 0,410 b) El dispositivo no es operacional porque falla uno de los cuatro componentes. 0,410 c) El dispositivo no es operacional porque falla al menos uno de los componentes. 0,590
21.-
En un examen de matemáticas, la media de las calificaciones fue 82 y la desviación estándar 5. Todos los estudiantes con calificaciones desde 88 hasta 94 obtuvieron B. Si las calificaciones tienen aproximadamente una distribución normal y ocho estudiantes obtuvieron B, ¿cuántos estudiantes presentaron el examen? 75
22.-
Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente a una tasa de 300 autos por hora. Calcular la probabilidad que: a) Un auto llegue durante un periodo de un minuto. 0,0337 b) Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo de un minuto. 0,9596
23.-
Se puede ajustar una máquina de refrescos de tal manera que llene los vasos con un promedio de onzas por vaso. Si el número de onzas por vaso tiene una distribución normal con una desviación estándar igual a 0,3 onzas. Encontrar el valor de de tal manera que los vasos de 8 onzas solamente se derramarán el 1% del tiempo. 7,301
24.-
Una linterna grande es alimentada por cinco pilas Supóngase que la vida de una pila está normalmente distribuida con media 120 horas y varianza 100 horas 2. La linterna cesará de funcionar si se agota una o más de sus pilas. Suponiendo que las vidas de las pilas son independientes. Hallar la probabilidad de que la linterna funcione más de 100 horas. 0,9773
12
25.-
La computadora que controla los cajeros automáticos de un banco queda fuera de servicio en ocasiones. El tiempo medio entre dos fallas es de 5 días. Defina Y como el tiempo que espera hasta que sucede la siguiente falla. Hallar la probabilidad de que el sistema no falle en una semana. 0,061
26.-
Un profesor de cómputo afirma que en la primera lección de "Introducción a la computación como procesadores de texto", para secretarias sin conocimientos previos en la materia, se da un 80% de asimilación (teórico - práctica). Calcule las probabilidades de que si este curso se da a 7 secretarias:
27.-
a)
tres ó más asimilen el curso.
0.995
b)
dos ó menos no asimilen el curso.
0.852
c)
todos asimilen el curso.
0.2097
d)
entre 2 y 6 (inclusive) asimilen el curso.
0.7899
Las puntuaciones de un test de aptitudes aplicado cada año a millares de estudiantes universitarios, se distribuyen en forma aproximadamente normal con media 500 y desviación estándar 100. a) ¿qué porcentaje de estudiantes universitarios de la población puede esperarse que obtenga puntuaciones: - entre 500 y 675. 45,99 - entre 367 y 540. 56,37 - superiores a 725. 1,22 - igual a 600. 0,24 b) ¿cuál es la probabilidad de que una persona de la población arbitrariamente elegida obtenga una puntuación inferior a 700? 0,97725 c)
Un individuo muy exigente desea invitar para formar parte de un club que está formando, sólo al 10% más inteligente de los individuos que se han sometido al test. ¿Qué puntuación será el límite para aceptar o rechazar candidatos? 628
d)
¿Qué línea divisoria deja a su derecha el 60% de la población?
474
28.-
En promedio, cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le presentan; para aprobar es necesario solucionar 7 de 10 problemas de un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen? 0,1719
29.-
El diámetro de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con una media de 950 milímetros y una desviación estándar de 10 milímetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diámetro entre 947 y 958 milímetros? 0,406 b) ¿Cuál es el valor apropiado para C tal que un perno escogido al azar tenga un diámetro menor que C con una probabilidad de 0,8531? 960,5
13
30.-
El promedio de accidentes en una planta industrial es de 2 por semana. ¿Cuál es la probabilidad que en una semana determinada: a) Ocurran exactamente dos accidentes. 0,271 b) No ocurra accidente alguno. 0,135
31.-
La vida útil de cierta marca de baterías para automóvil presenta distribución aproximadamente normal con media 38 meses y desviación típica 2 meses. Si la compañía no desea reemplazar más del 5% de las baterías vendidas, ¿qué tiempo de garantía debe dar? 34,7 meses
32.-
Una universidad espera recibir, para el siguiente año académico, 1600 solicitudes de ingreso. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes en el examen de ingreso se pueden calcular, de manera adecuada, por una distribución normal con media 950 y desviación estándar 100. Si la universidad desea admitir al 25% de todos los postulantes que obtengan las calificaciones más altas, ¿cuál es la mínima calificación que es necesario obtener en este examen, para ser admitido por la universidad? 1018
33.-
En una ciudad, cada tres meses ocurren en promedio 12 muertos por accidentes de tránsito, ¿cuál es la probabilidad de que haya como mínimo 4 muertos por accidentes de tránsito en cualquier mes? 0,567
34.-
Un equipo de fútbol tiene 4/5 de probabilidad de ganar cuando juega. Si juega diez partidos y además se sabe que no se aceptará un empate, hallar la probabilidad que: a) Gane por lo menos un partido. 0.9999 b) Gane más de la mitad de los partidos. 0.967 c) Gane al menos cinco y como máximo siete partidos. 0.315 d) Pierda no más de tres partidos 0.879 e) ¿Cuántos partidos se espera que pierda? 2
35.-
Defectos de cierta clase de tejidos de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por 100 pies cuadrados. Hallar la probabilidad de que una pieza que mida 50 por 10 pies, a) No tenga defectos. 0,007 b) Presente un defecto como máximo. 0,040
36.-
Una compañía se dedica a la instalación de nuevos sistemas de calefacción central. Se ha comprobado que en el 15% de las instalaciones es necesario volver para revisar algunas modificaciones. En una semana determinada se realizaron seis instalaciones. Asumir independencia en los resultados de esas instalaciones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos los casos? 0,000011 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de los casos? 0,3771 c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno? 0,2235
37.-
Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N(65; 182). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de
14
baja cultura general, de cultura general aceptable y de excelente cultura general) de modo que haya en el primero un 20 % de la población, un 65 % en el segundo y un 15 % en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? 50 y 84 38.-
Los empleados de cierta oficina llegan al reloj marcador a una tasa media de 1,5 por minuto. Hallar la probabilidad que: a) A lo más 4 lleguen en un minuto cualquiera. 0,981 b) Al menos 3 lleguen durante un intervalo de dos minutos. 0,577 c) A lo más 15 lleguen durante un intervalo de seis minutos. 0,978 d) Exactamente tres lleguen en un intervalo de 6 minutos. 0,015
39.-
Un estudio realizado en cierta universidad muestra que el 60% de los graduados obtienen empleo en su área de elección después de un año de su graduación. Hallar la probabilidad de que, después de un año de su graduación, entre 14 graduados de esa universidad seleccionados al azar, encontrarán trabajo relacionado con su profesión: a) cuando menos seis. 0,941 b) cuando mucho tres. 0,004 c) de cinco a ocho. 0,497
40.-
En un examen la calificación promedio fue 74 y la desviación estándar fue 7. Si 2% de la clase recibió una A, y las calificaciones siguen una curva de distribución normal; a)
¿Cuál es la posible B más alta?
88,35
b)
Encontrar el sexto decil.
75,75
41.-
Un banco recibe un promedio de tres cheques sin fondos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en cierto día reciba cuatro o cinco cheques sin fondos? 0,269
42.-
Las estadísticas sobre las aplicaciones de normas de seguridad en una fábrica indican que, en promedio, se presentan 10 accidentes cada trimestre. Hallar la probabilidad de que no haya más de doce accidentes de trabajo en cada trimestre. 0,792
43.-
Se encontró que un conjunto de calificaciones de exámenes en un curso de estadística y probabilidad se distribuía normalmente con una media de 73 y una varianza de 64. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más una calificación de 91 en este examen? 0,98778 b) ¿Qué porcentaje de estudiantes sacaron una calificación entre 65 y 89? 81,86% c) ¿Cuál es la calificación del examen final si sólo 5% de los estudiantes que hicieron la prueba tuvieron una calificación superior? 86,12 d)
Si el profesor califica aplicando la curva (otorga Aes al 10% superior de la clase sin importar la calificación, ¿se contentaría usted con una calificación de 81 en este examen o con una calificación de 68 en otro examen en el que la media es 62 y la desviación estándar es 3? 68 10% superior
15
44.-
Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Hallar la probabilidad que: a) En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes. 0,853 b) En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente. 0,183
45.-
Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cuatro artículos contenga: a) Ninguno defectuoso. 0,6561 b) Exactamente dos defectuosos. 0,0486 c) No más de dos defectuosos. 0,9963
46.-
Un telar experimenta una rotura aproximadamente cada diez horas. Se está produciendo un estilo particular de tela que requiere 25 horas de trabajo. Si con tres o más roturas el producto no es satisfactorio, encontrar la probabilidad de que la tela se termine con calidad aceptable. 0,544
47.-
Entre los 2400 empleados de una fábrica, el cociente intelectual está distribuido aproximadamente en forma normal con media 112 y varianza 144. Se sabe por experiencia que solamente las personas con un CI de 105 por lo menos son suficientemente inteligentes para una tarea particular y que las personas con un CI superior a 125 pronto se cansan y se aburren con dicha tarea. Basándose en el CI solamente, ¿cuántos empleados de dicha fábrica serán idóneos para la tarea? 1390
48.-
El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio es de tres por día, ¿cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera: a) No se presente ninguna demanda. 0,050 b) Por lo menos se presenten dos demandas. 0,801
49.-
Sabemos, por la experiencia pasada, que el fax de un departamento universitario tiene una probabilidad de fallo en la transmisión de 0,1. Si realizamos una inspección durante un mes a 10 transmisiones seleccionadas al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que funcione correctamente como máximo 9 veces. 0,6513 b) ¿En cuántas ocasiones se espera que funcione correctamente el fax en las 10 inspecciones realizadas? 9
50.-
Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes cuyas dimensiones no se encuentran dentro de la especificación 1,50 d . Se sabe que esta dimensión es normalmente distribuida con una media de 1,50 y una desviación estándar de 0,2. Determinar el valor de d para que la especificación "cubra" el 95% de las mediciones. 0,392
51.-
En promedio, doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. ¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo de diez minutos:
16
a) b)
Por lo menos dos se acerquen al especialista. No más de dos se acerquen al especialista.
0,594 0,677
52.-
Una fábrica manufacturera utiliza 3000 focos que tienen una duración que presenta distribución normal con una media de 500 horas y una desviación estándar de 50 horas. Para minimizar el número de focos que se funden durante las horas de trabajo, se reemplazan después de cierto periodo de operación. ¿Con que frecuencia deben reemplazarse los focos si no se desea que se fundan más del 1% de ellos entre los periodos de reemplazo? 383,65
53.-
Los resultados de una prueba objetiva de selección pasada a 200 personas indicaron que la distribución de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviación típica de 6 puntos. Cada prueba se puntuó con 0 ó 1 puntos. ¿Cuál es la mínima puntuación por debajo de la cual están el 75 % de los examinados?
64
54.-
El número medio de automóviles que llegan a una estación de suministro de gasolina es de 240 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de ocho automóviles por minuto, determine la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender. 0,02134
55.-
Supóngase que en la detección de una señal digital, el ruido de fondo tiene una distribución normal con media de 0 volts y desviación estándar de 0,45 volts. Si el sistema supone que se ha transmitido un uno digital cuando el voltaje es mayor que 0,9 volts, ¿cuál es la probabilidad de detectar uno digital cuando en realidad no se ha enviado ninguno? 0,02275
56.-
Un libro contiene 100 erratas distribuidas aleatoriamente en sus 100 páginas. Suponiendo una distribución de Poisson, determinar la probabilidad de que una página observada en forma aleatoria contenga por lo menos dos erratas? 0,264
57.-
Se sabe que la duración media de los tubos de los receptores de televisión es de 3 años, con una desviación estándar de 1,5 años. Los tubos que duran menos de un año se reemplazan sin costo. Por cada 100 receptores vendidos (un tubo por receptor), ¿cuántos tubos deberán reemplazarse gratis? 9
58.-
Si la central telefónica de la Universidad Alas Peruanas recibe en promedio, en un día congestionado, 180 llamadas por hora y puede hacer un máximo de 6 conexiones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad que la central quede saturada en un periodo de un minuto?
0,034
59.-
En una distribución normal que tiene una desviación estándar de 2, la probabilidad de que el valor de una variable al azar sea mayor de 30 es 0,05. a) Calcular la media de la distribución. 26,7 b) ¿Qué valor es superado por el 95% de los valores. 23,4
60.-
Un fabricante de juguetes considera que el lanzamiento de un nuevo juguete para navidad producirá una venta promedio de 80 000 unidades, si además piensa que
17
las ventas están distribuidas normalmente y que existe una probabilidad del 25% de vender más de 100 000 unidades, ¿cuál es la desviación estándar?
29 850,75
61.-
Se sabe que una emisora transmite un promedio de 8 avisos comerciales por hora para todas las horas del día. Un oyente sintoniza dicha emisora; ¿cuál es la probabilidad que escuche: a) Cuando más tres avisos en media hora. 0.433 b) Exactamente diez avisos en hora y media. 0.105 c) Al menos tres y como máximo quince avisos en una hora. 0.978 d) Más de cinco pero menos de diecisiete avisos en dos horas. 0.565 e) No más de nueve avisos en cuarenta minutos. 0.956
62.-
Suponga que aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto según un proceso de Poisson, con tasa =8 aviones por hora, de modo que el número de llegadas durante un periodo de t horas es una variable aleatoria de Poisson con parámetro =8t. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco aviones pequeños lleguen durante un periodo de una hora?¿Por lo menos cinco? ¿Por lo menos diez? 0,091 0,900 0,283 b)
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequeños lleguen durante un periodo de 2 1/2 horas? ¿De que a lo sumo diez lleguen durante ese periodo? 0,530 0,011
63.-
Una distribución normal tiene promedio 21,2 y desviación estándar 3,1; encontrar la probabilidad de que una variable, seleccionada al azar, sea mayor de 30 o menor de 15. 0,0251
64.-
Se sabe que diez es el número promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por día a cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones-tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los camiones-tanque?
65.-
0,049
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan, ¿qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores siguen una distribución normal.
6,24 años
66.-
Se sabe que la media de defectos por unidad de alfombras de una cierta marca es dos. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier unidad de alfombra contenga más de dos defectos? 0,3233
67.-
Los puntajes de una prueba de aptitud, de quinientos alumnos, están normalmente distribuidos con una media de 600 y una varianza de 10 000. a) b)
¿Qué proporción de los encuestados tiene un puntaje por debajo de 450? 0.06681 Una persona va a presentar la prueba. ¿Qué probabilidad tiene de obtener un puntaje de 750 o más? 0.06681
18
0.77453
c)
¿Qué proporción de puntajes estará entre 450 y 700?
d)
¿Cuántos alumnos obtuvieron un puntaje de 680?
e)
Hallar la nota mínima y el número de alumnos que se encuentran ubicados en el quinto superior. 684 y 100
f)
El 10% de alumnos que no logró aprobar dicha prueba de aptitud, deberá seguir un curso de capacitación. José, obtuvo un puntaje de 430, ¿deberá entrar en la capacitación? Sí 471
1
68.-
Se ha descubierto que el 13,5% de los ordenadores vendidos por una empresa multinacional no contiene ningún sector defectuoso en su disco duro. Si suponemos que el número de sectores defectuosos por disco duro es una variable aleatoria de Poisson, determine el porcentaje de ordenadores vendidos que contienen un sector defectuoso en su disco duro. 0,27
69.-
El número de fallas de un instrumento de prueba debido a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0,02 fallas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El instrumento no falle en una jornada de ocho horas. 0,852 b) Se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas. 0,381
70.-
Un fabricante de una cera para abrillantar metales quiere disponer su maquinaria envasadora de manera que en la producción sólo 3 botes de 1000 contengan menos del llenado neto mínimo de 31,4 onzas. Se sabe que los pesos del llenado se distribuyen aproximadamente, según la curva normal con desviación estándar de 0,2 onzas. ¿En dónde habrá que situar la media del llenado para cumplir este requisito? 31,95
71.-
Supóngase que la resistencia a romperse de un género de algodón (en libras), denotada por X, está distribuida normalmente con E(X)=165 y V(X)=9. Suponiendo además que una muestra de este género se considera defectuosa si X<162. ¿Cuál es la probabilidad de que un género elegido al azar sea defectuoso? 0,1587
72.-
En determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que ocurren en forma independiente. ¿Cuál es el número esperado de accidentes al año? 6 ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año? 2,45 ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en determinado mes? 0,607 Un profesor de gimnasia anuncia que califica los eventos atléticos individuales por resultados relativos a todas sus clases. Si da 20% de A´s y si la experiencia ha demostrado que la media es 1,42 m. y que la desviación estándar es 10 cm. para el salto de altura, ¿qué tan alto debe prepararse a saltar un estudiante si pretende obtener A? 1,50
a) b) c) 73.-
74.-
El promedio de llamadas telefónicas por hora es 27. Hallar la probabilidad de que el número de llamadas sea: a) No más de doce en media hora. 0.409 b) Más de tres y como máximo catorce en quince minutos. 0.903 c) Al menos siete en doce minutos. 0.298
19
d)
Veinticinco en cuarenta minutos.
0.024
75.-
Un industrial produce cojinetes con un diámetro medio de 0,750 de pulgada. Hay una cierta cantidad de variabilidad asociada con el proceso de manufactura; esto es, no todos los cojinetes tienen, exactamente 0,750 de pulgada en el diámetro, hay una desviación estándar de 0,002 de pulgada. Suponga que el control de calidad exige que los cojinetes tengan diámetro entre 0,745 y 0,755. Cualquier cantidad fuera de este rango debe ser desechada, elaborada de nuevo o vendida como desperdicio. ¿Qué proporción de cojinetes serán desechados si suponemos que los diámetros de los cojinetes están normalmente distribuidos. 0,01242
76.-
La computadora de marca ABC se descompone a razón de 0,05 veces por hora de operación, siendo necesario darle servicio especializado de reparación. Suponiendo que las descomposturas ocurren según la distribución de Poisson, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran descomposturas en un periodo de trabajo de ocho horas? 0,670 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran en una semana de 40 horas? 0,135
77.-
El tiempo empleado en minutos por un ingeniero en ir de su casa al trabajo por la ruta 1 se distribuye normalmente con media 27 y desviación estándar 5; mientras que por la ruta 2 su distribución es normal con media 30 y varianza 4. ¿Qué ruta le conviene utilizar si dispone de 34 minutos? 2
78.-
Un examen en la administración pública está diseñado en forma tal que el 70% de las personas con un CI de 90 lo aprueben. Hallar la probabilidad que entre 15 personas con un CI de 90 que se presenten al examen, lo aprueben: a) al menos doce. 0,298 b) a lo más seis. 0,016 c) exactamente diez. 0,206 d) entre siete y nueve inclusive 0,263 e) más de seis y como máximo doce. 0,858
79.-
Para cierta prueba, la calificación media es 500 y la desviación estándar 100. Se desea aprobar al 75% de los candidatos que toman esta prueba. ¿Cuál debe ser la calificación media aprobatoria? 433
80.-
Sea X el número de automóviles de un año y modelo particular que en algún momento en el futuro sufrirán una falla grave en el mecanismo de dirección, que ocasionará pérdida completa de control a alta velocidad. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con parámetro =10. ¿Cuál es la probabilidad de que sufran dicha falla: a) a lo sumo diez automóviles. 0,583 b) Entre diez y quince automóviles inclusive. 0,493
81.-
Un político cree que el 25% de los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyará una propuesta que quiere presentar. Supongamos que esta creencia es correcta y que se eligen cinco altos cargos aleatoriamente.
20
a)
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco apoye la propuesta? 0,763
b)
¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de ellos apoye la propuesta? 0,104
82.-
El ingeniero Mendoza, va a su trabajo todos los días en su automóvil. El tiempo de viaje entre su departamento y el trabajo puede aproximarse mediante una distribución normal con una media de 20 minutos y una desviación estándar de 5 minutos. ¿A qué hora debe salir de su departamento para tener una probabilidad de 0,95 de estar en el trabajo a las 9 AM? 8,31 AM
83.-
Un banco tiene cuatro ventanillas para atención a los clientes. Tras estudiar el tiempo de espera de estos, se sabe que el tiempo medio de espera es de 3,8 min. con una desviación típica de 1,5 min. y que se distribuyen normalmente. Por experiencia se sabe que los clientes se irritan si el tiempo excede de 5 min.
84.-
a)
¿Qué porcentaje de los clientes estarán irritados con el actual sistema?
b)
Añadiendo una ventanilla se reduciría el tiempo medio de espera a 3 min. con desviación típica 1,5 min. También sabemos que se pierde tiempo porque todas las ventanillas comparten el mismo monitor. Si se pusiera un monitor por ventanilla se reduciría el tiempo medio a 3,7 min con una desviación típica de 0,8 min. Calcular el porcentaje de insatisfechos con cada uno de los sistemas, y decidir cuál de las dos soluciones es más adecuada.
Se están considerando las dos reglas siguientes para decidir si aceptar un gran cargamento: I : Se analiza una muestra aleatoria de diez piezas, y sólo se acepta el cargamento si no hay ninguna defectuosa. II : Se analiza una muestra aleatoria de veinte piezas, y sólo se acepta el envío si no hay más de una defectuosa. ¿Cuál de estas reglas tiene una probabilidad menor de aceptar un cargamento que contenga un 20% de piezas defectuosas? La 2da. 0,069
85.-
El promedio de clientes que van a una ventanilla de un Banco por minuto durante horas hábiles es uno. Hallar la probabilidad de que durante un minuto dado. a) No aparezcan clientes. 0,3679 b) Haya tres o más clientes. 0,0803 c) Haya no más de tres clientes. 0,9810
86.-
El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada dos minutos, ¿cuál es la probabilidad de que lleguen: a) Exactamente cuatro llamadas en un periodo de 30 segundos. 0,175 b) Como máximo dos llamadas en un periodo de 15 segundos. 0,544
87.-
Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de dieciséis artículos, y se acepta el pedido si menos de dos resultan defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un envío que contenga: a) Un 5% de artículos defectuosos. 0,81 b) Un 15% de artículos defectuosos. 0,28 c) Un 25% de artículos defectuosos. 0,06
21
88.-
Las puntuaciones obtenidas en un examen de cierto curso tienen distribución normal con una media de 80 puntos. Si el 95% de los examinados obtuvieron puntajes entre 60,4 y 99,6. a) hallar la desviación estándar de la distribución. 10 b) ¿qué porcentaje de examinados obtuvieron entre 55 y 98 puntos? 0,9579
89.-
La llegada de mensajes por correo electrónico durante el periodo de 9 horas a 18 horas es un proceso de Poisson. Si se tiene en un ordenador un programa que en periodos de 12 minutos rastrea cuántos mensajes han llegado y además en promedio se reciben 5 mensajes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir siete o menos mensajes en una hora?
90.-
Un ingeniero se traslada diariamente de su casa a su trabajo en el centro de la ciudad. El promedio de viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuida. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos media hora? 0,05705 b) Si la compañía abre a las 8 a.m. y él sale de su casa a las 7,45 a.m. diariamente; ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo? 99,11% c)
Si deja su casa a las 7,35 a.m. y en la oficina se sirve un café entre las 7,50 y las 8,00; ¿cuál es la probabilidad de que se pierda el café? 0,3974
d)
Hallar el periodo sobre el cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos? 27,914
e)
Hallar la probabilidad de que dos de los siguientes tres traslados tomarán al menos media hora. 0,0092
91.-
Encontrar la probabilidad de que de las cinco primeras personas que se encuentren cierto día, por lo menos 3 hayan nacido en domingo. 0,0233
92.-
El operario de una macrocomputadora recibe peticiones imprevistas para montar cintas de datos en el sistema. Como política, estas solicitudes deben ser atendidas a la brevedad posible; debido a ello, se tiene que interrumpir el flujo del trabajo programado. Los datos indican que la tasa de tales peticiones durante el turno de 9 a.m. a 5 p.m. es alrededor de 1,5 por hora. Sea Y el número de solicitudes recibidas en un turno de 9 a.m. a 5 p.m. Hallar P(Y>8). 0,845
93.-
Una empresa aplica una prueba a todos sus empleados; la puntuación media es de 500 y la desviación estándar es de 100. Si los trabajadores con el 25% de puntuación más alta han de recibir capacitación especial, a) ¿Cuál es la puntuación más baja aceptable para entrar en el programa de capacitación? 567 b)
Si el tiempo promedio requerido para terminar la prueba es de 60 minutos, con una desviación estándar de 12, ¿cuándo debe terminarse el examen de modo que el 95% de los trabajadores hayan terminado toda la prueba? 79,68
22
94.-
Un modem es un aparato que permite que dos computadoras se comuniquen entre sí. Las especificaciones para estos dispositivos electrónicos exigen que el número medio de errores en la transmisión sea de 1 por cada 5000 palabras. Se pondrá a prueba un modem particular efectuando una transmisión de 25 000 palabras. Si ocurren ocho errores o más en la transmisión, el dispositivo será rechazado. Suponga que las probabilidades de Poisson son aplicables y que el modem justo alcanza el estándar de 1 por 5000. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato sea aceptado?
95.-
En la facultad de Ingeniería de Sistemas se encuentra que en 45 alumnos del tercer ciclo, la nota promedio en estadística fue 12 con una varianza de 16. Si se supone que las notas se distribuyen como una normal.
96.-
a)
¿cuál es la probabilidad que un alumno elegido al azar tenga una nota: - como máximo 14. 0,69146 - al menos 16. 0,15866 - entre 15 y 17 inclusive. 0,12098
b)
Si la nota mínima para aprobar el curso es 11; ¿cuál es el porcentaje de desaprobados? 40,13%
c)
Si se desea aprobar al 55% de los alumnos; ¿cuál debe ser la nota mínima aprobatoria? 11,48
d)
Si se desea desaprobar al 35% de los alumnos; ¿cuál debe ser la nota máxima desaprobatoria? 10,44
e)
¿cuántos alumnos desaprobados habrán?
18
Los tiempos de vida de los chips de computadoras interactivas, fabricados por un productor de semiconductores tienen una distribución normal con media 4,4 106 horas y desviación estándar de 3 105 horas. Si un fabricante de computadoras necesita que por lo menos 90% de los chips de un lote grande tengan un tiempo de vida de por lo menos 4 106 horas, a) ¿debería contratar a la empresa de semiconductores? b)
Cuál es la probabilidad de que un lote de 100 chips contenga por lo menos 4, cuyos tiempos de vida sean de menos de 3,8 106 horas?
97.-
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un cruce muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. La división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de que haya exactamente 3 accidentes en un mes determinado.
98.-
Un laboratorio descubre que en una población hay un 5% de probabilidad de padecer cierta enfermedad. Si se seleccionan aleatoriamente ocho miembros de esta población; ¿cuál es la probabilidad de que: a) No más de dos padezcan esta enfermedad. b) No hay ningún miembro en la muestra seleccionada que padezca la enfermedad.
23
99.-
Berferd, un conocido hacker de redes, ha diseñado un nuevo programa “crakeador” de passwords, el cual está todavía en periodo de prueba. Actualmente el programa tiene la capacidad de descifrar, en promedio, cuatro passwords cada 20 minutos (sólo lo ha ejecutado en su computador personal). Berferd desea conocer cierta información que le permita reconocer la calidad de su crackeador. a) Si Berferd dispone de sólo 8 minutos para descifrar un archivo de password que logró robarse, ¿cuál es la probabilidad de que el crakeador pueda descifrar por lo menos tres passwords? 0,217 b) ¿De cuánto tiempo debería disponer Berferd, para que su crackeador descifre al menos un password, con 99% de certeza? 23’
100.- Supongamos que X tiene una distribución normal con media 3 y varianza 4. Hallar el número C tal que: P ( X C ) 2 P ( X C ) 2,14 101.- En una distribución normal hay 47% de valores inferiores a 47 y 28% superiores a 70. Calcular la proporción de valores entre 57 y 76. 0,1902 102.- Todos los días se seleccionan de manera aleatoria doce unidades de un proceso de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base a informaciones anteriores se sabe que la probabilidad de tener una pieza defectuosa es 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de doce unidades tenga dos o más defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) En cualquier día la producción se detenga. b) Haya exactamente dos defectuosas. c) El número de defectuosas sea superior a dos pero como máximo nueve. d) Haya no menos de cinco unidades no defectuosas. 103.- El número medio de automóviles que llega a una gasolinera es de 210 por hora. Si dicha gasolinera sólo puede atender a un máximo de diez automóviles por minuto, a) Determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la gasolinera más automóviles de los que puede atender. 0.0010194 b) Hallar la probabilidad de que entre las 10:14 y las 10:15 lleguen diez automóviles, y al minuto siguiente ninguno. 0.0000693 104.- Las notas obtenidas en un examen por un grupo de estudiantes se distribuyen según una normal con media 700 y desviación estándar 120. a) Se obtiene una A con una nota mayor que 820. ¿Qué proporción de estudiantes reciben una A? 0.15866
105.-
b)
Se obtiene una B con una nota entre 730 y 820. Un profesor tiene un grupo de cien estudiantes que puede verse como una muestra aleatoria del total de los estudiantes. Hallar el número de estudiantes de esta clase que obtendrán una B. 24
c)
Si se decide reprobar al 5% de estudiantes, ¿cuál es la nota mínima necesaria para no reprobar? 502
Una gran compañía industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el descuento. En una
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auditoría de la compañía se seleccionó aleatoriamente doce facturas. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de facturas que tengan descuento sean: a) Menos de cuatro. 0.974 b) Más de una. 0.341 c) Más de dos y como máximo nueve. 0.11093 d) ¿Cuántas facturas con descuento se esperaría encontrar? 1.2
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