DISTRIBUCIONES DE LOS ESTIMADORES
Sea X una población de distribución normal, N(µ,σ) de la cual se extrae una muestra de n elementos {x 1,x2, …, xn} ada obser!ación muestral x i, tendr" tambi#n la misma distribución N(µ,σ) $or lo tanto si X =
x1 + x2
+ ... + xn n
x1 + x2 + ... + xn ÷ n
E ( X ) = E
=
1 n 1
E ( x1 + x2 + ... + xn )
= [ E ( x1 ) + E ( x2 ) + ... + E ( xn ) ] n
E ( X ) =
µ
+ µ + ... + µ n
%eco %ecord rdem emos os &ue &ue consecuencia X =
= µ las las
obse obser! r!ac acio ione nes s
mues muestr tral ales es
son son
inde indepe pend ndie ient ntes es,,
x1 + x2 + ... + xn n
x1 + x2 + ... + xn ÷ n
Var ( X ) = Var
= =
1 2
Var ( x1 + x2 + ... + xn )
2
[ Var ( x1 ) + Var ( x2 ) + ... + Var ( xn ) ]
n 1 n
Var( X ) =
σ
2
+ σ 2 + ... + σ 2 n
2
=
nσ n
2
2
=
σ
2
n
'ueda demostrado &ue la distribución de la media muestral es X − µ σ
→ N (0,1)
n
Nótese &ue esta ormula puede usarse solo si σ es conocido istribución de la !arian*a muestral
en
2
S
=
( x1 − X )2 + ( x2 − X ) 2 + ... + ( xn − X ) 2 n −1
(n − 1) S 2 σ
2
2
x − X = 1 ÷ + σ
x2
2
2
xn − X − X ... + + ÷ ÷ σ σ
omo la parte derec+a de la ecuación es una suma de cuadrados de !ariables aleatorias independientes, con distribución normal estandari*ada, se tiene (n − 1) S 2 σ
2
→ χ 2 (n − 1)
$or lo tanto X − µ σ
n
(n − 1) S 2 σ
2
*( n − 1)
=
X − µ → t (n − 1) S n
inalmente la distribución de la media muestral es X − µ σ
→ N (0,1)
n
1. Si conocemos σ X − µ → t (n − 1) S n
2. Si no conocemos σ (n − 1) S
2
σ
2
→ χ 2 (n − 1)
/a distribución de la !arian*a muestral es
/a distribución de la proporción muestral , cuando la muestra es suicientemente 0rande para aplicar el eorema entral del /mite,
p − π π
*(1 − π ) n
→ N (0,1)
Comparación de proporciones y comparación de medias 3samos la si0uiente propiedad de las distribuciones normales 1. $ropiedad de la normal- si X e 4 son independientes X → N ( µ x ,σ x ) Y → N ( µ y ,σ y ) X ± Y → N ( µ x
± µ y ,
2
σ x
+ σ y2 )
2. 5xtensión de la propiedad Si sumamos X16X26…6Xn 7 todas las !ariables spn independientes 7 con la misma distribución N(µ,σ) entonces N ( n * µ ,σ n )
X16X26…6Xn si0ue una istribuciones de la proporción ( p1 − p2 ) − (π 1 − π 2 ) p1 (1 − p1 ) n1
+
p2 (1 − p2 )
→ N (0,1)
n2
La distribución del estimador es:
aso de medias 8a7 tres sub casos i.
onocemos las des!iaciones est"ndar poblacionales σ1 7 σ2 entonces la distribución del estimador es( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2
σ 1
n1
ii.
+
2
→ N (0,1)
σ 2
n2
Si no conocemos σ 1 ni σ29 7 n1 : ;< n 2 : ;< 7 entonces la ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) 2
S1
n1
distribución es-
+
2
S 2 n2
→ N (0,1)
Si no conocemos σ 1 ni σ29 7 n1 = ;< ó n 2 = ;< 7 entonces la distribución del estimador es
iii.
( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) (n1 − 1) S 12
+ (n2 − 1) S 22 n1 + n2 − 2
1 n1
+
1
→ t (n1 + n2 − 2)
n2
Siempre &ue σ1 > σ2 aso de !arian*as 2
σ 1 2
σ 2
2
(n − 1)
χ
2
(m − 1)
F ( n −1),( m −1)
χ
2
σ 1
n −1 2
σ 2
m −1
/as aplicaciones de estas distribuciones son principalmente1. /a estimación por inter!alos de conian*a 2. /a prueba de +ipótesis param#trica 3. /a deducción de las distribuciones de otros estimadores como en el caso de los estimadores de la re0resion
