CAPÍTULO 11 ESTIMADORES DE RAZÓN _____________________ ________________________________________________________ ____________________________ ______________________________________________ __________________
11..1 11
RAZ RAZON ONES ES PAR PARA A CONS CONSID IDER ERAR AR EL EL USO USO DE EST ESTIM IMAD ADOR ORES ES DE RAZON.
En los capítulos anteriores tratamos el problema de cómo c ómo diseñar la muestra más eficiente (desde el punto de vista de minimizar el error) usando toda la información relevante que se pueda obtener de la población. Hemos visto cómo usar información información para la estratificación, ya ya sea con asignación proporcional o asignación óptima, cómo tomar en cuenta los costos unitarios, y cómo escoger entre diferentes clases de unidades de muestreo. Hemos visto cómo usar cualquier conocimiento que tengamos sobre los costos y las varianzas de diferentes métodos d e muestreo a fin de producir la cantidad máxima de información con los recursos que tenemos disponibles. Todo este aná análisis ha sido en términos de estimaci aciones bastante nte simple ples como
en las
cuales las estimaciones fueron elaboradas usando solamente los datos de la muestra, el número N ) de la población y las probabilidades de selección. Así, para el muestreo total de unidades ( N aleatorio simple,
Para el muestreo estratificado
Existen fórmulas similares para el muestreo por conglomerados, o para la estimación de proporciones Pero hay métodos más complejos para estimar estas estadísticas que, bajo ciertas circunstancias, pueden proporcionar grandes reducciones en los errores. Además, hay otros tipos de estadísticas de gran interés, tales como el cociente entre dos
165 variables, cambios cronológicos en una sola característica, etc. Por ejemplo, podemos obtener información sobre sueldos y sobre el número de horas trabajadas, pero tal vez nos interese más estimar los ingresos promedios por hora, en vez del total de sueldos o el total de horas trabajadas. De las encuestas que cubren dos períodos diferentes de tiempo, tal vez nos interese más saber si los sueldos totales han aumentado o disminuido, que saber el nivel de los mismos. El análisis de los errores de las razones estimadas también ayuda con el problema de producir estimaciones más eficientes de las medias y los totales. Investigaremos el método más simple y más comúnmente usado para mejorar la confiabilidad de una media o un total estimado, mediante el uso de una técnica especial de estimación que produce el llamado "estimador de razón." Hay otras técnicas poderosas que son muy útiles en situaciones particulares; por ejemplo, estimaciones por diferencia y estimaciones por regresión, muestreo doble (en el que la muestra final se extrae de una muestra más grande previamente seleccionada que provee información para mejorar la selección final o el procedimiento de estimación), y métodos especiales para la estimación de series cronológicas. Sin embargo, en este capítulo hablaremos solamente de los estimadores de razón.
11.2
ESTIMADORES DE RAZÓN DE TOTALES
El estimador de razón es uno de los estimadores complejos más usados en la práctica. También es uno de los más fáciles de aplicar. Es apropiado siempre y cuando las unidades poblacionales posean dos características que estén positivamente correlacionadas –mientras más alta la correlación, mayor el beneficio de esta técnica. El tipo más simple de estimador de razón de la forma
que viene dado por la ecuación (11.1), es una estimación de un total poblacional Y . Un
total poblacional también se conoce con el nombre de “valor agregado.” (11.1)
En la fórmula anterior,
y
son las estimaciones comunes de totales de dos características (Y
y X ); se debe conocer el valor de X para poder estimar el valor de Y . El estimador de razón de una media
(como estimación de
se obtiene dividiendo
coeficiente de variación que la estimación. Para calcular puesto que, para una muestra autoponderada,
por N ; tiene el mismo
no es necesario calcular
166
Pero, la fórmula en (11.1) es útil en la derivación de la varianza de Los estimadores de razón de agregados se aplican comúnmente en las tres situaciones descritas en las secciones 11.2.1 a 11.2.3 a continuación.
11.2.1
Razón Entre la Misma Característica o Entre Una Característica y Otra Afín en un Período de Tiempo Anterior
X es el mismo tipo de característica que Y , pero X se refiere a un período de tiempo durante el cual se realizó un censo completo. Por ejemplo, podría haberse levantado un censo completo de fabricantes en un año, y deseamos levantar una encuesta por muestreo el año siguiente. Digamos que lo que deseamos estimar es el valor total de los envíos. Para cada establecimiento de la muestra, obtenemos no solamente yi, el valor de los envíos en el año de la encuesta, sino también
xi, el valor durante el año precedente (es decir, el año del censo). Entonces
serían
estimaciones (provenientes de la muestra) del total de envíos para los dos años, obtenidas por los métodos discutidos anteriormente. X es el valor total de los envíos obtenido del censo. En esta aplicación, la encuesta en realidad se usa para medir la tasa de cambio entre los dos años, usando la muestra idéntica de establecimientos. La tasa de cambio entonce s se multiplica por el total censal del año anterior.
11.2.2
Razón Entre Dos Características Afines en el Mismo Período de Tiempo
Y y X son dos características diferentes para el mismo período de tiempo, y se sabe que están positivamente correlacionadas. El verdadero valor del agregado X es conocido. Por ejemplo, para la iésima explotación en una muestra, xi puede ser el total de hectáreas en las explotaciones, e yi los pagos por concepto de mano de obra; el número total de hectáreas en todas las explotaciones X, es conocido a partir de una fuente distinta. Si, en general, las explotaciones más grandes pagan más en sueldos totales por mano de obra que las más pequeñas, el estimador de razón puede reducir drásticamente el error muestral. En esta aplicación, la encuesta se usa para medir una tasa (tal como el pago promedio por hectárea) que se multiplica por el número
167 conocido de hectáreas.
11.2.3
Razón Entre una Parte de un Total y el Total
La característica Y es una parte (o subconjunto) de X , variando aproximadamente en proporción a
X . Por ejemplo, xi puede ser el total de acres en la iésima explotación de la muestra, e yi el número de acres sembrados con un cultivo particular en esa explotación. Otra aplicación es el caso en que X es el número total de unidades de análisis e Y es el número de estas que poseen un atributo particular. Por ejemplo, yi podría ser el número de personas en la fuerza de trabajo en el iésimo conglomerado; xi es el número total de personas en este conglomerado; y X es el total conocido del número de personas en la población. En estos casos, la encuesta se usa para medir una razón ,la cual se multiplica por la población total ( X ) para la característica en el denominador de la razón.
11.3
VARIANZA Y SESGO DE UN ESTIMADOR DE RAZÓN
Al examinar
estimación
es claro que X no se deriva de una muestra. El error muestral en la
depende, por lo tanto, del error muestral de la razón
donde X es
una constante cuyo valor se conoce para toda la población. Por lo tanto, un análisis del error muestral de
está estrechamente relacionado al de la razón
La forma matemática de la distribución de la razón de dos variables aleatorias de muestra a muestra es mucho más complicada que la de las estimaciones más simples discutidas anteriormente. Involucra la relación de dos variables que tienen sus respectivos errores. Por lo tanto, se requiere más cuidado al decidir cuándo usar dichas razones. Los hechos siguientes acerca de la varianza de las razones indicarán cuándo usar un estimador de razón para estimar una media o una agregación. También nos dicen qué error esperar cuando se usa esta estimación.
11.3.1
Varianza de Razones y de Estimaciones por Razón
La varianza de una razón estimada
es aproximadamente
168
(11.2)
donde R es la razón poblacional
(una razón de agregaciones), y
que se calcula en la práctica de la siguiente manera:
(11.2a)
Similarmente, la varianza del estimador de razón de un total ,
(11.3)
es
=
La forma alternativa de esta ecuación es
(11.3a)
y es estimada por medio de,
(11.3b)
Las ecuaciones (11.2) y (11.3) son algo más sencillas si se expresan en términos del coeficiente de variación, CV. El cuadrado del coeficiente de variación (esto es, la varianza relativa)
169 de
es el mismo que el de
y se puede expresar como
(11.4) En las fórmulas precedentes, ñ es el coeficiente de correlación entre las variables Y y X . Representa la correlación de Y y X , no para las unidades elementales de análisis sino para las unidades usadas en el muestreo. Por ejemplo, si Y y X representan los ingresos de personas en dos años diferentes, pero la muestra es una muestra por conglomerados, el coeficiente de correlación ñ será la correlación entre los valores Y i y X i donde Y i es la suma de ingresos para todas las personas en el iésimo conglomerado en el año de la estimación y X i es la suma correspondiente en el año base. Frecuentemente, se denomina a la covarianza muestral entre
y
y se usa el símbolo
para representarla. Puede ser calculado exactamente como la
varianza, pero con el producto cruzado
reemplazando el cuadrado
dondequiera que ocurra. Por lo tanto, para el muestreo aleatorio simple tenemos
(11.5)
donde
(11.6)
y se puede hacer una estimación de S YX a partir de la muestra usando
(11.7)
La estimación correspondiente de ñ, designada por ñ’, se obtiene colocando los valores muestrales de
y
en lugar de los valores poblacionales, en la ecuación (11.5), y
despejando ñ, el cual se convierte entonces en ñ’ . Los
ñ’
también se pueden calcular
170 directamente de
(11.8)
Para una muestra estratificada, con las estimaciones de totales dadas por
y
(11.9)
donde
son covarianzas intra-estratos y se calculan de la misma manera, pero están
restringidas a los valores dentro de cada estrato.
11.3.2
Ventajas de un Estimador de Razón
Si examinamos la ecuación (11.4), la fórmula para la varianza relativa de una estimación de total, (11.4)
vemos que el CV² del estimador de razón estimación más simple término
se puede expresar como CV² de la
más el término
menos el
La ventaja o desventaja en el uso del estimador de razón, comparado
con la estimación más simple
depende de si
que cero. Otra manera de expresar esto es la siguiente:
(1) Si
el estimador de razón es más eficiente
es menor o mayor
171 (2) Si
el estimador de razón es menos eficiente
(3) Si
las dos estimaciones tienen el mismo error .
11.3.2.1
Correlación Alta.
Para ver la implicación de estos hechos en algunas situaciones comunes, consideremos el ejemplo de un censo de fabricantes que se condujo en un año, seguido de una muestra al año siguiente. Digamos que yi y xi representan los valores de los envíos para la misma firma en muestra en dos años consecutivos. En este caso y
y
son casi iguales,
es aproximadamente igual a 1.
Además, habrá una correlación muy alta entre Y y X, probablemente alrededor de 0,90 o 0,95. Consecuentemente, el uso de un estimador de razón resultará en un beneficio substancial en la exactitud. La cantidad del beneficio puede conseguirse como sigue: si
la
ecuación (10.4) se convierte en
y si
ñ
= 0,90, tenemos
Dicho de otra forma, el uso del estimador de razón logra una reducción de 80 porciento en la varianza. Si ñ = 0,95,
es igual a
y la reducción es de un 90
porciento. Viendo el resultado de otra manera, el estimador de razón es tan efectivo como el usar una muestra 5 veces (o 10 veces) más grande. 11.3.2.2
Correlación Baja.
Considere ahora la situación descrita in la sección 11.2.3 en la cual Y es un subconjunto de X . En
172 dichos casos, la correlación es probablemente bastante baja, a no ser que
grande--por ejemplo, mayor que ½. En la práctica, si
sea bastante
es menor que 20 porciento, el uso del
estimador de razón puede aumentar el error muestral aunque, generalmente, no mucho. Si
es mayor que 40 o 50 porciento, el estimador de razón comúnmente mejorará la
eficiencia; mientras más cercana a 100 porciento, mayor la mejora. Entre 20 y 40 porciento, las diferencias entre los dos tipos de estimaciones serán pequeñas. Entonces, por ejemplo, en una encuesta de fuerza de trabajo, el uso de estimadores de razón probablemente ofrece una mejora importante en la estimación del número de empleados (el cual comprende una proporción bastante alta de la población adulta) pero probablemente resulta en un leve aumento en el error estándar de la estimación de los desempleados.
11.3.3
Sesgo del Estimador de Razón
El estimador de razón nos da una estimación sesgada. Esto se puede demostrar fácilmente construyendo una población pequeña con los valores Y i y X i para cada elemento, tomando todas las muestras posibles de dos o tres elementos, y calculando
para cada muestra. Se notará
que el promedio de las razones no es el verdadero promedio. Sin embargo, el sesgo tiende a ser despreciable para muestras moderadamente grandes. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, el sesgo es tan pequeño comparado con la ventaja obtenida en la reducción del error muestral, que el estimador de razón es preferible a la estimación insesgada.
11.3.4
Estimaciones Consistentes
Un estimador de razón, aunque sesgado, es una estimación consistente. Esto significa que, si usamos una muestra suficientemente grande, podemos estar seguros de que la estimación estará tan cercana al valor verdadero como lo deseamos. No sólo disminuye el error al aumentar el tamaño de muestra, sino que también se reduce el sesgo.
11.3.5
Límites de Confianza
Para muestras razonablemente grandes, los estimadores de razón siguen una distribución normal (para los tipos de poblaciones que se encuentran en la práctica). Por consiguiente, si calculamos el error del estimador de razón, podemos construir el mismo tipo de límites de confianza para
173
y
que para
y
esto es, podemos decir que tenemos una posibilidad de 68
porciento de que un intervalo en torno a la estimación de más y menos un error estándar cubrirá la verdadera cifra, una posibilidad de 95 porciento de que un intervalo de más y menos dos errores estándar cubrirá la verdadera cifra, etc.
11.3.6
Tamaño de Muestra Mínimo Requerido
Las secciones 11.3.3 a 11.3.5 se refieren al hecho de que se necesitan muestras moderadamente grandes para que el sesgo sea despreciable, y para que las estimaciones muestrales sigan una distribución razonablemente normal. ¿Cuándo es suficientemente grande la muestra? La siguiente regla ha sido sugerida: si el tamaño de muestra sobrepasa 30 y si los coeficientes de variación de
y
son ambos menos del 10 porciento, entonces el sesgo es despreciable y
podemos suponer que se cumplen los requisitos de la teoría de la distribución normal. La primera condición no significa que un estimador de razón sea necesariamente mejor que una estimación simple insesgada siempre que n > 30; significa que este tamaño de muestra es requerido antes de que las fórmulas para el error muestral puedan tener el significado habitual en términos de intervalos de confianza.
11.3.7
Fórmula para Sesgo
Una aproximación al sesgo de un estimador de razón de dos variables
es
donde ñ y R se definen según la sección 3.1. Para la estimación de un total,
el
sesgo es
Aun con valores bajos de ñ esto será pequeño comparado con el error estándar de cuando la muestra sea razonablemente grande para que
siempre y
sea pequeño.
Estas fórmulas de sesgo se presentan para fines de análisis. Nunca se usan para ajustar las estimaciones. En las situaciones donde se espera que el sesgo sear significativamente grande, se
174 aumentaría el tamaño de muestra o se usaría un método de estimación diferente.1
11.3.8
Situaciones de Extremo Cuidado en el Uso del Estimador de Razón
Si los estimadores de razón se aplican separadamente para un número grande de subgrupos de la población, con una muestra pequeña en cada subgrupo, el sesgo en el subgrupo puede acumularse y volverse demasiado grande para que pueda ser ignorado. Por ejemplo, supongamos que una muestra relativamente pequeña de personas está clasificada por grupos de edad-sexo separados-300 personas divididas en grupos quinquenales de edad por sexo. Habría alrededor de 30 grupos semejantes. Digamos que conocemos el verdadero total poblacional en cada uno de estos 30 grupos. Para cualquier estadística que nos interese, calcularíamos el estimador de razón separadamente para las personas en cada uno de los 30 grupos, y entonces obtendríamos una estimación final sumando los 30 resultados. El tamaño promedio de muestra en cada grupo sería 10. Ya que habría una muestra pequeña en cada uno de los grupos de edad para los cuales se usaría el estimador de razón, la acumulación de los resultados de 30 estimadores de razón diferentes podría resultar en un sesgo serio. En dicho caso, el uso del estimador de razón separadamente para cada grupo no es recomendable.
11.3.9
Ilustración
Supongamos que un censo completo del valor de envíos se realizó en 1981. El cuadro siguiente muestra el valor de cada envío en una muestra aleatoria simple del valor de 10 envíos extraída de los valores de 30 envíos. El problema es estimar el valor total de envíos en 1982. Se conoce el verdadero total de 1981 total, X , y este valor asciende a $19,5 mil millones.
Valor de los cargamentos en 1981 ( x ) i
0
1.1
0.5
0.4
1
0.7
0.2
0.3
2.4
0
Valor de los cargamentos en 1982 ( yi)
0
0.6
0.8
0.6
1
0.8
0.9
0.8
2.7
0
Tenemos,
N = 30, n = 10
1
Para otros métodos de estimación, véase la sección 2 del capítulo 11 de Métodos y Teoría de Encuestas por Muestra (referido en la nota de pié del capítulo 8).
175
Calcule la estimación del total y la varianza, el coeficiente de variación de la estimación, y el intervalo de confianza para Y usando (a) muestreo aleatorio simple y (b) estimadores de razón. (a) Muestreo aleatorio simple
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) Un intervalo de confianza de 95% para Y es
(b) Estimador de razón
176
(1)
=
Usando la ecuación (11.3b),
(2)
=
=
(3)
(4) (5) Un intervalo de confianza de 95% para Y es ($16,46, $30,90) mil millones
177
Trabajo Práctico - 11 Problema A:
Una muestra aleatoria simple de 10 porciento de las unidades de vivienda de una aldea ha sido seleccionada produciendo las 12 unidades de vivienda listadas a continuación. De cada unidad muestral, se obtuvo información sobre el número de personas en el hogar y el total anual de ingresos; los resultados aparecen a continuación. También se sabe de fuentes independientes que la población total de todos los hogares de la aldea es de 600 personas.
Unidad muestral
Total de personas
Total de ingresos
1
6
$ 7.000
2
6
8000
3
5
3000
4
8
10000
5
4
2000
6
2
1000
7
4
2000
8
5
3000
9
1
1000
10
7
8000
11
4
1000
12
5
6000
Total
57
$52.000
Ejercicio 1.
Estime los ingresos totales de todos los hogares de la aldea usando un factor de expansión directo.
Ejercicio 2.
Estime los ingresos totales de todos los hogares de la aldea usando un estimador de razón.
Ejercicio 3.
Use los resultados muestrales para estimar el coeficiente de variación para cada una de las estimaciones precedentes.
Problema B: El cuadro siguiente muestra el total de hectáreas en tres explotaciones junto con los pagos por concepto de mano de obra, extraído de 30 explotaciones. Se supone que el verdadero valor del total de hectáreas de todas las explotaciones, X, sea 800.
178 Explotación (i)
Hectáreas (x )i
Pagos (y )i
1
5
382
2
8
467
3
10
701
Ejercicio 4.
Estime los pagos totales
para todas las explotaciones Y.
Ejercicio 5.
Estime la varianza de
Ejercicio 6:
Calcule el coeficiente de variación de
Ejercicio 7:
Consiga el intervalo de confianza de 95% para Y.
.
179 Estimador de Razón 1. Un agente forestal está interesado en estimar el volumen total de arboles en una venta de madera. El agente registra el volumen de cada arbol tomando una muestra aleatoria simple. Además, mide el área de la base de cada árbol marcado para la venta. Luego, utiliza un estimador de razón para el volumen total. El agente decide tomar una muestra aleatoria simple de n = 12 a partir de N = 250 árboles marcados para la venta. Que x denote el área de la base e y volumen en pies cúbicos del árbol. El área total de las bases de los 250 árboles, T x, es 75 piés cuadrados. Utilice los datos más abajo para estimar T y, el volumen total en piés cúbicos para los árboles marcados para la venta y encuentre el error. Arbol en muestra
Area de la base (x)
Volumen en piés cúbicos (y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
.3 .5 .4 .9 .7 .2 .6 .5 .8 .4 .8 .6
6 9 7 19 15 5 12 9 20 9 18 13
2. Utilice los datos del ejercicio 1 para calcular la estimación de T y usando el estimador . Encuentre el error y compare los resultados con los del ejercicio anterior. 3. Se llevó a cabo una encuesta de consumidores para determinar el cociente entre el dinero que se gastó en comida y el ingreso total de los hogares de una cierta comunidad pequeña. Se seleccionó una muestra aleatoria simple de 14 hogares a partir de los 150 hogares de la comunidad. Los datos de la muestra se presentan más abajo. Estimar la razón poblacional R, y encontrar el error. Hogar
Ingreso Total (xi)
Gastos en comida (yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5,010 12,240 9,600 15,600 14,400 6,500 8,700 8,200 14,600 12,700 11,500 10,600 7,700 8,500
990 2,524 1,935 3,123 2,760 1,337 1,756 2,132 3,504 2,286 2,875 2,226 1,463 1,905
∑=145,850
∑= 30,816
180 4. Una corporación está interesada en estimar los ingresos totales de las ventas de televisores a color al fin de un período trimestral. Se tienen los ingresos disponibles para todos los distritos dentro de la corporación para el período trimestral correspondiente al año anterior. Se saca una muestra aleatoria simple de 13 oficinas de distrito a partir de las 123 oficinas dentro de la corporación. Usando el estimador de razón, estimar Ty y encontrar el error. Utilice los datos de la tabla más abajo y suponga que T x = 128,200. Oficin a
Datos trimestrales del año anterior (xi)
Datos trimestrales del año actual (yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
550 720 1,500 1,020 620 980 928 1,200 1,350 1,750 670 729 1,530
610 780 1,600 1,030 600 1,050 977 1,440 1,570 2,210 980 865 1,710
5. Utilice los datos del ejercicio anterior para estimar el promedio de ingresos para las oficinas dentro de la corporación. Encuentre el error de estimación. 6. Un investigador tiene una colonia de N = 763 ratas que han sido sometidas a una cierta droga. El tiempo promedio para llegar de la entrada a la salida del laberinto correctamente bajo la inf luencia de la droga estándar es de ìx = 17.2 segundos. El investigador ahora quiere tomar una muestra de 11 ratas y someterlas a una nueva droga. Estimar el tiempo promedio para cruzar el laberinto bajo la influencia de la nueva droga. Encuentre el error de estimación. (Ayudita: es razonable usar el estimador de razón para la media si se supone que las ratas reaccionarán a la nueva droga de la misma manera que reaccionaron a la droga estándar). Rat a
Droga Estándar (xi)
Droga Nueva (yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14.3 15.7 17.8 17.5 13.2 18.8 17.6 14.3 14.9 17.9 19.2
15.2 16.1 18.1 17.6 14.5 19.4 17.5 14.1 15.2 18.1 19.5
7. Un grupo de 100 conejos se está utilizando para llevar a cabo un estudio de nutrición. Se toma el peso de cada conejo antes del estudio. El promedio de estos pesos es 3.1 libras. Después de dos meses, el investigador quiere obtener el peso promedio aproximado de los conejos. Selecciona n = 10 conejos aleatoriamente y los pesa. El peso original y el actual se presentan más abajo:
181 Conejo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Peso Original
3.2
3.0
2.9
2.8
2.8
3.1
3.0
3.2
2.9
2.8
Peso Actual
4.1
4.0
4.1
3.9
3.7
4.1
4.2
4.1
3.9
3.8
Estimar el peso promedio actual y encontrar el error. 8. Un trabajador social quiere estimar la razón entre el número promedio de cuartos por apartamento y el número promedio de personas por apartamento dentro de un barrio urbano. Selecciona una muestra aleatoria simple de 25 apartamentos a partir de los 275 en el barrio urbano. Que x i denote el número de personas en el apartamento i y que y i denote el número de cuartos en el apartamento i. De un recuento del número de cuartos y del número de personas en cada apar tamento, se obtuvieron los siguientes datos:
Estimar la razón entre el número promedio de cuartos y el número promedio de personas en el barrio urbano y encontrar el error de estimación. 9. Un gerente de recursos forestales está interesado en estimar el número de árboles de cedro muertos en una área de 300 acres de infección severa. Usando fotografía aérea, divide el área en 200 parcelas de 1.5 acres. Que x denote el recuento fotográfico de los cedros muertos y que y denote el recuento en tierra actual para una muestra aleatoria simple de 10 parcelas. El número total de cedros muertos obtenido por fotografía aérea es Tx = 4,200. Use los datos de la muestra más abajo para estimar T y, el número total de cedros muetos en el área de 300 acres. Encuentre el error de estimación. Parcela en muestra
Recuento fotográfico (xi)
Recuento en la tierra (yi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 30 24 24 18 30 12 6 36 42
18 42 24 36 24 36 14 10 48 54
182 10.
Los miembros de una asociación de maestros están preocupados por el aumento de salarios que se les otorgó a los maestros de escuela secundaria de un cierto sistema escolar. Se saca una muestra aleatoria simple de 15 maestros a partir de una lista alfabética de todos los maestros de escuela secundaria en el sistema. Se entrevistan a los 15 maestros para determinar sus salarios para este año y el anterior. Use estos datos para determinar R, la tasa de cambio, para los 750 maestros de escuela secundaria en el sistema escolar. Encuentre el error de estimación. Maestro
Salario año anterior
Salario este año
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5,400 6,700 7,792 9,956 6,355 5,108 7,891 5,216 5,416 5,397 8,152 6,436 9,192 7,006 7,311
5,600 6,940 8,084 10,275 6,596 5,322 8,167 5,425 5,622 5,597 8,437 6,700 9,523 7,279 7,582
