FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto la gráfica se rompe.
!a co estudi dia a en dife difere rent ntes es cont ntin inui uida dad d de un una a fu func nció ión n se estu sectores de la función"
Continuidad en un punto
Continuidad lateral
Continuidad en un intervalo
Continuidad en un punto Una función f es continua en un punto x # # a si cumple las tres condiciones siguientes"
1.
La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
2.
Existe el límite de f en f en el punto x punto x = = a:
3.
La imagen de
a
y el límite de la función en a coinciden.
$n el caso de que en un punto x # # a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinuaen a.
Continuidad en un punto Una función f es continua en un punto x # # a si cumple las tres condiciones siguientes"
1.
La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
2.
Existe el límite de f en f en el punto x punto x = = a:
3.
La imagen de
a
y el límite de la función en a coinciden.
$n el caso de que en un punto x # # a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinuaen a.
Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráca.
Ver eemplo de continuidad en un punto Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. $n particular particular,, una función f es es continua en un punto x # # a si cumple las siguientes condiciones"
1.
La función f existe en a, es decir, existe la imagen imagen de de a.
2.
Existe el límite de f en en el punto x punto x = = a:
3.
La imagen de
a y
el límite de la función función en en a coinciden.
$n el caso de que en un punto x # # a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinuaen a.
Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráca.
$jemplo $stud $studiar iar la con contin tinuid uidad ad o dis discon contin tinuid uidad ad en x #% x #& de la siguiente función denida a trozos"
'eamos primero si es continua en x =1, (iendo que se cumplen las tres condiciones"
La función f existe en 1 y su imagen es:
!xiste el l"mite de f en el punto x = 1:
La imagen de 1 y el l"mite de la función en 1 coinciden:
Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x =1. )hora (eamos si es continua en el punto x =4
La función f existe en # y su imagen es:
Veamos $ue no existe el l"mite de f en el punto x = #:
*omo
la función no
tiene
límite
en
&,
podemos
decir
que f es discontinua en x =4. +or
lo
tanto,
pero discontinua en x #&.
la función f es continua en x #%
Continuidad lateral !a continuidad
lateral de una función f estudia si sta es continua en los laterales de un punto x #a. +or lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.
Continuidad lateral por la izquierda: %na función f es continua por la i&$uierda en a si:
!s decir, si la función se aproxima por el lateral de la i&$uierda a la imagen de a.
Continuidad lateral por la derecha: %na función f es continua por la derec'a en a si:
!s decir, si la función se aproxima por el lateral de la derec'a a la imagen de a.
Ver eemplo de continuidad lateral
CONTINUIDAD LATERAL
!a continuidad lateral de una función f estudia si sta es continua en los laterales de un punto x #a. +or lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.
Continuidad lateral por la izquierda: %na función f es continua por la i&$uierda en a si:
!s decir, si la función se aproxima por el lateral de la i&$uierda a la imagen de a.
Continuidad lateral por la derecha: %na función f es continua por la derec'a en a si:
!s decir, si la función se aproxima por el lateral de la derec'a a la imagen de a.
$jemplo Sea f una función tal que"
$studiar la continuidad lateral por la izquierda en el punto x # % la continuidad lateral por la derecha en el x #&.
!studiamos la continuidad lateral por la izquierda
en x =1. (ara ello, f )1* y el l"mite lateral por la i&$uierda en 1 de+en ser iguales.
Vemos $ue f )1* y el l"mite lateral por la i&$uierda en 1 son iguales, por lo $ue f es continua por la izquierda en x =1.
'ora veamos la continuidad lateral por la derecha
en x =4. !s decir, si f )#* y el l"mite lateral por la derec'a en # son iguales.
La imagen de # es f )#*=2 y el l"mite lateral por la derec'a en # es 1. l ser diferentes, f no es continua por la derecha en x =4.
Continuidad en un intervalo Una función es continua en un intervalo -a,b si es continua en todos sus puntos. $n caso contrario, se dice que la función es discontinua en - a,b.
Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el inter(alo es abierto /no inclue a b0, cerrado /inlcue a b0, abierto por la izquierda /no inclue a0 o abierto por la derecha /no inclue b0.
ntervalo a!ierto -a,b.
La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
ntervalo cerrado a,b-. La función es continua si:
f es continua en todos los puntos interiores )el intervalo a+ierto -a,b*.
f es continua en a por la derec'a:
f es continua en b por la i&$uierda:
ntervalo a!ierto por la izquierda -a,b- )no incluye a*. La función es continua si:
f es continua en todos los puntos interiores )el intervalo a+ierto -a,b*.
f es continua en b por la i&$uierda:
ntervalo a!ierto por la derecha a,b )no incluye b*.
La función es continua si:
f es continua en todos los puntos interiores )el intervalo a+ierto -a,b*. f es continua en a por la derec'a:
Ver eemplo de continuidad en un intervalo Una función es continua
en
un
intervalo -a,b
si
es continua en todos sus puntos. $n caso contrario, se dice que lafunción es discontinua en - a,b.
Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el inter(alo es abierto /no inclue a b0, cerrado /inlcue a b0, abierto por la izquierda /no inclue a0 o abierto por la derecha /no inclue b0.
ntervalo a!ierto -a,b. %n intervalo a+ierto es a$uel $ue
contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y +. /e representa entre corc'etes invertidos a,b o con dos par0ntesis )a,b*. La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
ntervalo cerrado a,b-. %n intervalo cerrado es a$uel
$ue contiene los puntos interiores pero tam+i0n a los dos extremos a y +. /e representa entre corc'etes. La función es continua si:
f es continua en todos los puntos interiores )el intervalo a+ierto -a,b*.
f es continua por la derec'a en a:
f es continua por la i&$uierda en b:
ntervalo a!ierto por la izquierda -a,b- )no incluye a*.
La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores )el
intervalo a+ierto -a,b*. f es continua por la i&$uierda en b:
ntervalo a!ierto por la derecha a,b )no incluye b*.
La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores )el
intervalo a+ierto -a,b*. f es continua por la derec'a en a:
$jemplo $studiar la continuidad de
la función f en el intervalo -%,&,
siendo f "
f es continua en todos los puntos interiores -1,#. La función denida en este intervalo es f ) x *=1, $ue al tratarse de una función constante es continua.
'ora veamos si f es continua por la derec'a en 1, es decir, si f)1* y el l"mite por la derec'a en 1 coinciden:
(or ltimo, vemos si f es continua por la i&$uierda en #, viendo si f)#* y el l"mite por la i&$uierda en # coinciden:
*omo f es continua dentro del inter(alo en los extremos, (emos como la función es continua en el intervalo "1#4$
*ontinuidad de funciones por partes !as funciones
denidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir" La función es continua en los tro&os donde est denida.
La función es continua en los puntos de división de los tro&os.
Ver eemplo de continuidad de funciones por partes Una función es una función denida a trozos /o función
por partes0 si tiene distintas expresiones o f1rmulas dependiendo del inter(alo /o trozo0 en el que se encuentra la (ariable independiente / x 0. +or ejemplo"
!a imagen de un (alor x se calcula según en que inter(alo se encuentra x . +or ejemplo, el 2 se encuentra en el inter(alo 34,%-, por lo que su imagen es f /20#2. $l (alor 5 está en el inter(alo -%,&, entonces su imagen es f /50#6.
*ontinuidad de funciones por partes !as funciones
denidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir"
La función es continua en los tro&os donde est denida.
La función es continua en los puntos de división de los tro&os.
$jemplo $studiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función
denida a trozos"
+ara ello, debemos estudiar la continuidad en los tres trozos /en los inter(alos 34,%- , -%,& &,74- 0 en los puntos de di(isi1n x #% x #&.
!a función es continua en
todos
sus trozos,
a
que f / x 0#3
x 76, f / x 0 #% f / x 0# x 36 son funciones lineales, que son continuas en todo su dominio. 'eamos ahora que es continua en el punto x =1, (iendo que se cumplen las tres condiciones"
La función f existe en 1 y su imagen es:
!xiste el l"mite de f en el punto x = 1:
La imagen de 1 y el l"mite de la función en 1 coinciden:
Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x =1. )hora (eamos si es continua en el punto x =4
La función f existe en # y su imagen es:
Veamos $ue no existe el l"mite de f en el punto x = #:
*omo
la función no
tiene
límite
en
&,
podemos
decir
que f es discontinua en x =4. +or lo tanto, la función f es continua en todo su dominio menos en x #&.
+ropiedades de las funciones continuas Sean f g dos funciones continuas en el punto x # a, entonces"
f 4 g es continua en x = a.
f 5 g es continua en x = a.
f 6 g es continua en x = a, siempre $ue g)a* 7 8.
f o g es continua en x = a.
9 5 f es continua en x = a, siendo 9 un nmero real.
iscontinuidad de funciones Una función f es discontinua en a si se cumplen al menos una de estas tres condiciones"
1.
;o existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
2.
;o existe el l"mite de f en el punto x = a:
3.
La imagen de a y el l"mite de la función en a son diferentes.
*uando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades"
iscontinuidad evita+le
Una función f tiene
una discontinuidad
cumplen las dos condiciones siguientes"
!xiste el l"mite en a y 0ste es nito.
evita!le en a si
se
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su l"mite.
Se dice que la discontinuidad es evita!le porque se podría e(itar definiendo la imagen de a como el (alor de su límite en este punto.
$jemplo Sea la función f definida como"
$studiar la discontinuidad en el punto x #6 (er si dicha discontuinidad es e(itable.
!l l"mite en x =2 es igual a 2, siendo nito.
!n este caso, la imagen existe y es igual a #.
'eamos su gráfica"
*omo el límite en x #6 existe es finito, siendo ste diferente de la imagen f /60,
podemos
decir
que
existe
una discontinuidad
evita!le en 6. Dicha
discontinuidad
la imagen en x #6
la
es
e(itable
hicisemos
porque ser
6,
si
cambiásemos
la f / 60#6,
entonces
dicha función f sería continua en 6, evitando la discontinuidad.
iscontinuidad inevita+le
Una función f tiene una discontinuidad inevita!le en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir"
Se dice que la discontinuidad es inevita!le porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos. Definiremos como el salto a la diferencia en (alor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad ine(itable en"
%iscontinuidad inevita!le de salto nito !l salto $ue se produce entre l"mites laterales es un nmero real nito.
%iscontinuidad inevita!le de salto innito !l salto $ue se produce entre l"mites laterales es innito.
!n este caso, inevita!le innita.
tam+i0n
se
llama discontinuidad
$jemplo de discontinuidad ine(itable de salto finito 8enemos una función f definida como"
'amos a estudiar como en x #6 se produce una discontinuidad sta es ine(itable de salto finito.
$l límite por la izquierda de f en x #6 es 5 por la derecha es %. +or lo tanto,
los
límites
laterales
son
diferentes
se
produce
una discontinuidad inevita!le.
'eamos que el salto que se produce es finito"
$n efecte, el salto es de 6 unidades, por lo que en x #6 existe una discontinuidad inevita!le de salto nito.
$jemplo de discontinuidad ine(itable de salto infinito Sea la función f definida por"
$studiar la continuidad de
la función en x #%,
en
caso
de
discontinuidad, clasificarla. !os límites laterales de la función en % son"
$l límite lateral por la derecha es % el límite por la izquierda es infinito. !os límites son diferentes uno de ellos es infinito, por lo que se produce
una discontinuidad
innito en x #%.
inevita!le
de
salto
iscontinuidad esencial Una función f tiene una discontinuidad
existe un límite lateral o no existen ambos"
esencial en a si no
+or ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x #%.
$jemplo Sea la función f definida por"
$studiar la continuidad de la función en x #6. +ara ello calculamos sus límites laterales.
'emos que no existe el límite lateral por la derecha en x #6, por lo que existe una discontinuidad esencial en &.
iscontinuidad evita+le Una función f tiene
una discontinuidad
cumplen las dos condiciones siguientes"
evita!le en a si
se
!xiste el l"mite en a y 0ste es nito.
La imagen de a no existe o si existe no coincide con su l"mite.
Se dice que la discontinuidad es evita!le porque se podría e(itar definiendo la imagen de a como el (alor de su límite en este punto.
Ver eemplo de discontinuidad evita+le
iscontinuidad inevita+le Una función f tiene una discontinuidad inevita!le en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir"
Se dice que la discontinuidad es inevita!le porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos. Definiremos como el salto a la diferencia en (alor absoluto de los límites laterales.
Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad ine(itable en"
%iscontinuidad inevita!le de salto nito !l salto $ue se produce entre l"mites laterales es un nmero real nito.
%iscontinuidad inevita!le de salto innito !l salto $ue se produce entre l"mites laterales es innito.
!n este caso, inevita!le innita.
tam+i0n
se
llama discontinuidad
Ver eemplo de discontinuidad inevita+le de salto nito Ver eemplo de discontinuidad inevita+le de salto innito
iscontinuidad esencial Una función f tiene
una discontinuidad
existe un límite lateral o no existen ambos"
esencial en a si no
+or ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x #%.
Ver eemplo de discontinuidad esencial Una función f tiene una discontinuidad existe un límite lateral o no existen ambos"
esencial en a si no
+or ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x #%.
$jemplo Sea la función f definida por"
