Fracciones continuas Entre Entre los m´ etodos etodos conocidos conocidos a finales finales del siglo siglo XVII para resolve resolverr ciertas ciertas ecuaciones diof´anticas anticas se encuentran ciertos algoritmos algoritmo s que q ue en e n t´erminos erminos modermode rnos lo que hacen es calcular unidades fundamentales de cuerpos cuadr´aticos, de forma mucho m´as as sencilla y r´apida apida que con los m´ etodos etodos generales generales que explicamos plicamos en el cap´ cap´ıtulo anterior. anterior. La forma forma m´as as elegante y refinada de estos algoritmos algorit mos se expresa en t´ erminos erminos de fracciones fraccion es continuas. En este cap´ cap´ıtulo expondremos los resultados b´asicos asicos entorno a ellas y su aplicaci´on o n al c´alculo alculo de unidades fundamentales cuadr´aticas. aticas. En el siguiente veremos que tambi´en en simplifican considerablemente la determinaci´on on de si dos m´odulos odulos (y en particular dos ideales) son o no similares, con la consiguiente ventaja a la hora de calcular los n´ umeros umeros de clases.
5.1
Propiedades b´ asicas asicas
on de enteros racionales a0 , a1 , a2 , . . . on Definici´ on on 5.1 Partamos de una sucesi´
La sucesi´on on rn se llama fracci´ on continua determinada por la sucesi´on on an . Los n´ umeros umeros racionales rn se llaman convergentes de la fracci´on on continua. Demostraremos que los convergentes realmente convergen a un cierto n´umero umero real. Para ello comenzamos comenzamos obteniendo obteniendo una relaci´ relaci´on on recurrente para los numeradores y los denominadores pn y q n . on anterior: Teorema 5.2 Con la notaci´ p0 = a0 ,
q 0 = 1,
p1 = a0 a1 + 1, 1,
pn = an pn−1 + pn−2 ,
q 1 = a1 ,
q n = an q n−1 + q n−2 .
´ n: Demostracion: o
Los casos n = 0, 1, 2 se comprueb comprueban an directam directamen ente. te. Ha Hay y que probar que los valores dados por las f´ormulas ormulas (en estos tres casos) son realmente realmente primos entre s´ı, pero esto se ve f´acilmente acilmente por los m´ etodos eto dos usuales. Supong´amoslo amoslo cierto para n 1 2 y prob´ pro b´emoslo emos lo para par a n. Defin Definim imos os los los enteros racionales raciona les primos entre s´ı
− ≥
pj = [a1 , . . . , aj +1 ], q j
j = 0 , 1 , 2, . . .
Por la hip´otesis otesis de inducci´on on aplicada a n
− 1 se cumplen las f´ormulas ormulas
´ n: Demostracion: o
pn q n+1
y como p0 q 1
Claramente
− pn+1q n
= pn (an+1 q n + q n−1 ) (an+1 pn + pn−1 )q n = pn q n−1 pn−1 q n = ( pn−1 q n pn q n−1 ),
−
− −
−
− p1q 0 = a0a1 − (a0a1 + 1) = −1, se cumple el teorema.
Con esto estamos en condiciones de demostrar la convergencia de las fracciones continuas. Teorema 5.4 Con la notaci´ on anterior, existe un ´ unico n´ umero real α tal que
r0 < r2 < r4 < r6 <
· · · α · · · < r7 < r5 < r3 < r1.
Escribiremos α = [a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ]. ´ n: Demostracion: o
rn+2
Los convergentes est´an an ordenados como se indica, pues
− rn = rn+2 − rn+1 + rn+1 − rn = (−1)n+1/q n+1q n+2 + (−1)n+1/q nq n+1 ,
luego la sucesi´on on de los convergentes pares es creciente y la de los impares decreciente. El teorema anterior nos da que cualquier convergente par es menor
´ n: Demostracion: o
Definimos a0 = E (α) (la parte entera de α). Si α = [a0 ], entonces podemos escribir α = a0 + 1/α1 para un cierto n´ umero umero real positivo α1 . Tom omam amos os a1 = E (α1 ). Si a1 = α1 entonces α = [a0 , a1 ]. En otro otro ca caso α1 = a1 + 1/α 1/α2 para cierto n´ umero umero real positivo α2 . Si el proceso termina es que α es un n´ umer umeroo raci racion onal al.. Vea eamo moss que que si no termina obtenemos una fracci´on on continua que converge a α.
Por construcci´on o n se tiene que α = [a0 , . . . , an , αn+1 ] (notar que el ultimo u ´ ltimo t´ermino ermi no no es un n´umero umero natural, pero la definici´on on vale igualmente). Es f´acil acil ver que la funci´on on [a0 , . . . , an , x] es mon´otona otona creciente cuando n es impar y mon´otona otona decreciente cuando n es par. Como an+1 = E (αn+1 ) < αn+1 , se cumple que α es mayor que todos los convergentes pares y menor que todos los impares. Esto prueba que la fracci´on on continua converge a α. Para probar la unicidad supongamos que tenemos dos fracciones continuas infinitas, tales que [a [a0 , a1 , . . . ] = [b0 , b1 , . . . ]. Ento Entonc nces es a0 [a0 , a1 , . . . ] a0 + 1 e igualmente con la otra fracci´on. on. Como el l´ımite es irracional no se dan las igualdades, luego a0 = E [a0 , a1 , . . . ] = E [b0 , b1 , . . . ] = b0 . Restando a0 de ambas y tomando inversos resulta [a [ a1 , a2 , . . . ] = [b1 , b2 , . . . ]. Siguiendo as´ as´ı llegamos a que todos los coeficientes coinciden.
≤
≤
Los n´ umeros racionales admiten dos desarrollos en fracci´on umeros on continua, por ejemplo, [2, [2, 3, 1] = [2, [2, 4].
En efecto, la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones p = upn + vp n+1 q = uq n + vq n+1 tiene determinante 1, luego tiene una soluci´on on entera (u, (u, v ). Por la hip´ hip´ otesis otesis se ha de cumplir u = 0 y en el caso en que v = 0 entonces u y v tienen signos opue opuest stos os,, y as´ as´ı
±
|qα − p|
= =
|(uq n + vq n+1)α − (upn + vpn+1)| |u(q n α − pn) + v(q n+1α − pn+1)| ≥ |q n α − pn|. Ahora, en las hip´otesis otesis del teorema, tomamos un n tal que q n ≤ q < q n+1 .
Entonces
p q
− pq nn
Como q
≤ − α
−
p + α q
pn αq p αq n pn = + q n q q n
| − | |
≥ q n y |αq − p| < 1/2q , concluimos que pq n − qp n | 1 | pq < , qq
qq
−
|≤
1 1 + q q n
|
αq p .
− |
5.2
Desarrollos de irracionales irracionales cuadr´ aticos aticos
La relaci´on on de las fracciones continuas con los cuerpos cuadr´aticos aticos se basa en que los desarrollos de los irracionales cuadr´aticos aticos son peri´odicos, odicos, tal y como probamos a continuaci´on. on. umero irracional α es cuadr´ atico si y s´ olo si los coeficientes Teorema 5.9 Un n´ de su fracci´ on continua se repiten peri´ odicamente a partir de un cierto t´ ermino. ermino. ´ n: Demostracion: o
Supongamos que los coeficientes de la fracci´on on continua de α se repiten a partir de un cierto t´ ermino. ermino. Puesto que [a [a0 , a1 , a2 , . . . ] = a0 + 1/[a1 , a2 , . . . ], es claro que uno es cuadr´ atico atico si y s´ olo olo si lo es el otro, luego podemos suponer suponer que los coeficient coeficientes es de α se repiten desde el primero (sin anteper´ anteper´ıodo), o sea, α = [a0 , . . . an , a0 , . . . an , a0 , . . . an , . . . ]. El teorema anterior nos da entonces que α=
αpn + pn−1 . αq n + q n−1
Operando obtenemos un polinomio de segundo grado del cual es ra´ ra´ız α.
o sea, f n (αn+1 , 1) = 0. Tam ambi bi´´en en se cumple cumple que an = f n (1, (1, 0) = f ( f ( pn , q n ), cn = f n (0, (0, 1) = f ( f ( pn−1 , q n−1 ) = an−1 y b2n 4an cn = d.
−
De f ( f (α, 1) = 0 se sigue
−
an pn q n = f , q n2 q n q n
f ( f (α, 1) = a
− pn q n
2
2
α
pn +b q n
−
α .
| − pn/q n| < 1/q n2 , luego |α2 − ( pn/q n )2| < |α + q p2n /q n| < 2|αq |2+ 1 . n n Todo esto implica que |an | < |a|(2|α| + 1 ) + |b|, o sea, |an | satisface una cota independiente de n. Las relaciones que hemos obtenido prueban que |bn | y |cn | Sabemos que α
tamb ta mbi´ i´en est´ es t´an an acotad ot adaas. Por lo tanto los polinomios f n (x, 1) var´ ar´ıan en un conjunto finito, al igual que sus ra´ ra´ıces, entre las que se encuentran los n´umeros umeros αn . En consecuencia existen naturales n y k tales que αn = αn+k , y es claro que esto implica que am+k = am para todo m n, o sea, los coeficientes de α se repiten peri´odicamente. odicamente.
≥
Ejemplo 2
Consideremos el n´ umero umero α = 2
√ 1 + 5 /2, que es ra´ ra´ız del polinomio poli nomio
´ n: Demostracion: o
Recordemos que el desarrollo en fracci´on on continua se calcula partiendo de α0 = α y de aqu´ı an = E (αn ), αn+1 = 1/(αn an ).
−
Por inducci´ on on es claro que 1 < α ¯ n < 0. En efec efectto, α ¯ n+1 = 1/(α ¯ n an ) y admitiendo 1 < α ¯ n < 0, tenemos 1 an < α ¯ n an < an , con lo que 1 < 1/(an + 1) < α ¯ n+1 < 1/an < 0. Ahora, despejando en αn+1 = 1/(αn an ), tenemos que 1/α ¯ n+1 = an α ¯n , y como 0 < α ¯ n < 1, concluimos que an = E (an α ¯ n ) = E ( 1/α ¯ n+1 ).
−
−
−
−
−
−
− − −
−
−
−
−
−
−
−
Por el teorema anterior sabemos que αm = αn para ciertos m < n, luego tambi´ mbi´en 1/α ¯ m = 1/α ¯ n , y as´ı am−1 = an−1 . Por lo tanto αm−1 = am−1 + 1/α 1/αm = an−1 + 1/α 1/αn = αn−1 . Repitiendo el argumento llegamos a que α0 = αn−m , luego la fracci´on o n es peri´ odica odica pura. Ahora supongamos que la fracci´on on es peri´odica odica pura. pura. Entonce Entoncess a0 coincide con un coeficiente posterior, luego α a0 1. Por el teorema 5.8 resulta que
≥ ≥
pn α + pn−1 α= , q n α + q n−1 luego
´ del olinomio olin omio f ( f ( )
2
+(
)
modulares . La Lass inv inversa ersass y la compos composic ici´ i´ on de transformaciones modulares son on de nuevo transformaciones modulares, por lo que la equivalencia de n´umeros umeros irracionales (y en general la de n´ umeros reales) es una relaci´on umeros on de equivalencia. Los teoremas 5.3 y 5.8 nos dan que la transformaci´on on α = [a0 , . . . , an , β ] es modular, dada concretamente por α=
β pn + pn−1 . β q n + q n−1
El teorema siguiente caracteriza las transformaciones modulares que se pueden expresar de esta forma. on modular ( 5.3) 5.3) cumple c > d > 0 enTeorema 5.12 Si una transformaci´ tonces se puede expresar de la forma α = [a0 , . . . , an , β ] para ciertos enteros racionales a0 , . . . , an , todos positivos salvo quiz´ a el primero. ´ n: Demostracion: o
Hay que probar que existen a0 , . . . , an tales que
pn = a,
pn−1 = b,
q n = c,
q n−1 = d.
(5.4)
Lo probaremos por inducci´on on sobre d. Si d = 1 tenemos que a = bc 1. En el caso a = bc + 1 sirve α = [b,c,β ]. ] . Si se cumple a = bc 1, entonces α = [b 1, 1, c 1, β ]. ].
−
±
−
−
1. Aplicando el teorema 5.2, las ecuaciones (5.4)
Componiendo las transformaciones modulares obtenemos que P β k + R α= , Qβ k + S donde P R Q S
= = = =
apk−1 + bq k−1 , apk−2 + bq k−2 , cpk−1 + dq k−1 , cpk−2 + dq k−2 ,
que son enteros racionales y cumplen P S
− QR = ±1.
Por el teorema 5.3 y puesto que β se encuentra entre dos convergentes consecutivos cualesquiera, p pk−1 β q k−1 < 1/q k . pk−1 /q k−1 β < 1/q k−1 q k , o sea, p Por lo tanto pk−1 = β q k−1 + δ/q k−1 , e igualmente pk−2 = β q k−2 + δ /q k−2 , con δ , δ < 1. De aqu´ aqu´ı result res ultaa que
|
− |
|
−
||| |
cδ Q = (cβ + cβ + d)q k−1 + , q k 1
cδ S = (cβ + cβ + d)q k−2 + . q k 2
|
Hemos concluido que la unidad fundamental de Om es = x + ymω con x, y > 0 salvo si d = 5, m = 1. En tal caso no es dif´ dif´ıcil comprobar que la unidad fundamental es ω (o sea, x = 0, y = 1). Ahora es f´acil acil ver que n = x + y mω, mω , con x > x e y > y. Por lo tanto la unidad fundamental est´a caracterizada por que es de la forma = x + ymω con x, y > 0 m´ m´ınimos entre los coeficientes coe ficientes de las unidades un idades (salvo el caso exceptuado). exceptuad o). Puesto que N() = (x + ymω)( ymω )(x x + ym ω ¯ ) = 1, resulta
±
≡ √ − √ − − √ √ ≤ √ √ −
En el caso d
1 (m´od od 4) (salvo el caso exceptuado)
x y
pues m
√
d+1 2
x y
x 1 + mω ¯ = . y y (x + ymω) ymω )
d 1 m = 2
y
2
x d+1 +m 2 y
−1
1 < 2, 2y
> 2. En el caso restante, m d =
1 y x + ym d
donde hemos usado que N()
x2 y 2 m2 d
y2
1 d 1+
d
<
1 , 2 2y
±1, luego x2 ≥ dy2 1 ≥ y2(d
1),
es un cuadrado perfecto, una soluci´on on entera (x, (x, y ) de la ecuaci´on o n de Pell se corresponde con una unidad x + y d del orden Z d . En el caso en que d < 0 el n´ umero de unidades (de soluciones) es finito, y umero es igual a 2 (las correspondientes a 1, esto es ( 1, 0)) salvo si d = 1, 3, en cuyo caso hay 4 y 6 soluciones respectivamente. Si d > 0 entonces hay infinitas soluciones (x, ( x, y), que son de la forma
√
√
±
√
x+y d=
±
±
√
u+v d
n
,
− −
para n
∈ Z, √ √ donde u + v d es la unidad fundamental del orden Z d .
La sol soluc uci´ i´ on on (u, v )
se llama soluci´ on fundamental. Finalmente Finalmente si d = k 2 entonces la ecuaci´on on factoriza como (x (x+ky)( ky )(x x ky) ky ) = 1, lo que implica x + ky = x ky = 1, o bien x + ky = x ky = 1, lo que lleva a las soluciones triviales ( 1, 0) (salvo si d = 0, en cuyo caso ( 1, y ) es siempre soluci´on). on). Seg´ un u n los c´alculo alculoss anter anterior iores, es, la soluci soluci´´on on fundamen fundamental, tal, o sea, la m´ınima soluci´on on no trivial, de la ecuaci´on on x2 54 54yy 2 = 1 es (485, (485, 66).
− ±
−
− ±
−
−
Si O es el orden maximal de un cuerpo cuadr´atico atico real K y es su unidad fundamental, es f´acil acil comprobar que la unidad fundamental de un orden cualquiera Om es k , donde k es el menor n´ umero natural no nulo tal que k Om . umero De aqu´ aqu´ı se deduce dedu ce que el ´ındice ınd ice em del grupo de unidades de Om en el grupo de
∈
Ninguno de los resultados de esta secci´on on ser´a necesario en los cap´ cap´ıtulos siguientes. Fijemos un n´ umero umero natural m no nulo y para cada n
≥ 0 definamos
∞
2r + 2n 2n + 1 2r + 2 1 ψn = . 2r 1 3 5 (2r (2 r + 2n 2 n + 1) 2 4 6 (2r (2 r + 2) m r =0
· · ···
· · ···
En primer lugar observamos que ψ0
=
∞
r =0
ψ1
=
∞
r =0
1 1 1 1/m −1/m , = e + e (2r (2r )! m2r 2
1 1 m 1/m = e (2r (2r + 1)! m2r 2
−
e−1/m .
Comprobemos adem´as as que se cumple la relaci´on on (2n + 1)m 1)m2 ψn+1 + ψn+2 , m2 ψn = (2n
n = 0, 1, 2, . . .
de donde se sigue en particular que todas las series convergen. En efecto:
(5.6)
Puesto que las fracciones continuas continuas (infinitas) representan n´ n umeros u ´ meros irracionales, esto prueba que el n´umero umero e no es racional. M´as as a´ un, que no es un irracional un, cuadr´ atico, atico, pues la fracci´on on continua que nos ha aparecido no es peri´odica. odica. Sea ahora
e2/m + 1 1 ξ = = 1+ . 2 ω0 1
−
Es inmediato que ξ = [1, [1, m
− 1, 3m, 5m , . . . ].
Para obtener el desarrollo en fracci´on on continua de e necesitamos eliminar el 2 del denominador de ξ . Ll Llam amem emos os η = e2/m = 2ξ 1. Vam amos os a expon exponer er un m´etodo etodo general general que permite calcular calcular en much muchos os casos casos la fracci´ fracci´on on continua de un n´ umero umero η a partir de la fracci´on on continua de un n´ umero umero ξ cuando entre ellos se da una relaci´on on del tipo uξ + uξ + v η= , w
−
donde u y w son n´ umeros naturales no nulos y v es un n´ umeros umero umero entero. Antes de enunciar el resultado principal hemos de observar que si a > 1 entonces [ . . . , a] a] = [ . . . , a 1, 1], 1],
−
´ n: Demostraci on: o
La ecuaci ecuaci´´on on ma matr tric icia iall equiv equival alee al sigu siguie ien nte sist sistem emaa de
ecuaciones: upn−1 + vq n−1 wq n−1 upn−2 + vq n−2 wq n−2
= = = =
rm−1 u , sm−1 u , rm−1 v + rm−2 w , sm−1 v + sm−2 w .
(5.8) (5.9) (5.10) (5.11)
Como rm−1 y sm−1 son enter enteros os primos primos entre entre s´ı, de (5.7) (5.7) se sigue sigue que los cocientes upn−1 + vq n−1 wq n−1 = rm−1 sm−1 son un mismo n´ umero umero entero u que que sati satisf sfac acee (5.8 (5.8)) y (5.9 (5.9). ). Cons Consid ider eran ando do el segundo cociente concluimos que u > 0. Las ecuaciones (5.10) y (5.11) forman un sistema de ecuaciones lineales de determinante 1, luego tiene soluci´on on entera v , w . Tomando determinantes en la ecuaci´on on matricial llegamos a que
±
uw( uw( 1)n−1 = ( 1)m−1 u w ,
−
y puesto que m
−
od 2), podemos concluir que D = uw = u w . ≡ n (m´od
De aq aqu u´ı
Ahora observamos que en las hip´otesis otesis del teorema anterior se cumple ηm = (u ξ n + v )/w > v /w M´ as a s a´ un, un, si an hecho
≥ D, teniendo en cuenta que an es la parte entera de ξ n, de
ηm = (u ξ n + v )/w > (u D + v )/w y si an
≥ −1.
≥ (u2w − w)/w = u2 − 1 ≥ 0,
≥ 2D entonces ηm = (u ξ n + v )/w > (u 2D + v )/w
≥ 2u2 − 1 ≥ 1.
Esto es importante porque cuando ηm > 1, la relaci´on on η = [b0 , b1 , . . . , bm−1 , ηm ] indica que los coeficientes de la fracci´on on continua de ηm son la prolongaci´on on del desarrollo de η en fracci´on on continua, que comienza con [b [b0 , b1 , . . . , bm−1 , . . . ]. Es f´acil acil ver que esto sigue siendo cierto cuando ηm
≥ 0 si convenimos en que
[ . . . , a , 0, b , c , . . . ] = [ . . . , a + b , c , . . . ]. Nuestra intenci´on on es partir de un n´umero umero irracional ξ 0 y dividir su fracci´on on continua en secciones
otesis del teorema 5.14, si sustituimos a0 por otro Teorema 5.15 En las hip´ n´ umero congruente m´ odulo D, digamos a0 + Dg (pero mantenemos los mismos a1 , . . . , an−1 ) entonces se obtienen los mismos n´ umeros u , v , w , as´ as´ı como los lo s mismos m y b1 , . . . , bm−1 . El n´ umero b0 se transforma en b0 + u2 g . ´ n: Demostracion: o
Claramente
u[a0 + Dg,a1 , . . . , an−1 ] + v w
= =
u[a0 , a1 , . . . , an−1 ] + v uDg + w w u[a0 , a1 , . . . , an−1 ] + v + u2 g. w
Seg´ un el teorema 5.14 el desarrollo de este n´ un umero umero es [b [b0 , b1 , . . . , bm−1 ], luego es inmediato que con el cambio todos los coeficientes quedan igual salvo el primero que se incrementa en u2 g . Las relaciones recurrentes que determinan los denominadores de los convergen vergentes tes no dependen del primer primer t´ ermino ermino de la fracci´ fracci´ on on contin continua, ua, luego luego los n´umeros umeros q i y si permanecen invariantes. La f´ormula ormula (5.9) nos da que u tamp tam poco var´ var´ıa. Como Como u w = D, tambi´ mbi´en w permanece inalterado. Por ultimo, ´ultimo, la ecuaci´on on (5.11) garantiza la conservaci´on on de v . Con esto tenemos en realidad un m´ etodo etodo general para calcular las fracciones
los que buscamos salvo el primero. A estos primeros coeficientes tendremos que sumarles las cantidades 0, u21 (t 1), u22 3t, u23 5t, . . . Aplicamos el teorema 5.14 al primer segmento:
−
1[1] 1 = 1 = [1] = [b [b0 ], 1
−
p0 q 0
p−1 q −1
1 1
=
u0 0
1 0
,
v0 w0
=
r0 s0 2 0
m = 1. r −1 s−1
−1 1
La ecuaci´on on matricial es
2 0
y la soluci´on: on:
−1 1
=
1 1
=
u1 0
v1 w1
2 0
=
=
1 0
1 1
0 2
1 0
.
Ahora aplicamos el teorema al segundo segmento [1]: 1[1] + 0
1
1 0
,
.
1 1 1 0
1 1
u1 0
v1 w1
,
−1 + u22 3t = 3t − 1 ≥ 0. Tenemos, pues, que η0 = [1 | t − 1, 1, 1 | 3t − 1, 1, 1 |. . . ].
El valor corregido de b5 es b5 =
Ahora bien, para los c´alculos alculos relativos al cuarto segmento partimos exactamente de los mismos datos que para el tercero (la fracci´on o n [0] y la terna (u3 , v3 , w3 ) = (1, (1, 1, 2)), luego llegaremos exactamente a los mismos coeficientes [ 1, 1, 1], y otra vez a la misma terna. Lo unico u ´ nico que cam cambia biar´ r´ a ser´a la correcci´on on del primer coeficiente, que ahora ser´a 5t, y despu´ despu´es es 7t, etc., dando lugar siempre a coeficientes mayores que 0. Consecuentemente Consecu entemente tenemos la fracci´on on continua de η0 , que no es sino
−
−
η0 = [1, [1, t
− 1, 1, 1, 3t − 1, 1, 1, 5t − 1, 1, 1, 7t − 1, 1, 1, . . . ],
o m´as as breve br eveme mente nte::
√ e = η t
0
= [1, [1, (2k (2k + 1)t 1)t
− 1, 1]∞k=0.
En el caso t = 1 aparece un cero que debe ser cancelado: e = [1, [1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . . ] = [2, [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . . ], as´ı, e = [2, [2, 1, 2k, 1]∞ k=0 .
Para corregir los primeros coeficientes observamos que al pasar de ξ 0 a ξ 0∗ hemos restado 2 0, 2t, 2(t 2(t + 1), 1), 2(5 2(5t + 2), 2), 2(7 2(7t +3), . . . as´ as´ı com comoo que los valores de ui son 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, . . . Por lo tanto ahora hemos de sumar
·
0, t, 4(t 4(t + 1), 1), 5t + 2, 2, 7t + 3, 3, 4(9t 4(9t + 5), 5), 11 11tt + 7, 7, 13 13tt + 9, 9, 4(15t 4(15t + 11), 11), . . . Omitimos Omitimos los detalles, detalles, pero no es dif´ dif´ıcil llegar a que la expresi´ expresi´on on final es (2t+1) e2/(2t = [1, [1, (1 + 6k 6k)t + 3k, 3k, (12 + 24k 24k)t + 6 + 12k, 12k, (5 + 6k 6k)t + 2 + 3k, 3k, 1, 1]
= [1, [1, (1 + 6k 6k)t + 3k, 3k, (12 + 24k 24k )t + 6 + 12k, 12k, (5 + 6k 6k)t + 2 + 3k, 3k, 1]∞ k=0 . La f´ormula ormula se simplifica bastante en el caso t = 0, que nos da e2
= [1, [1, 3k, 6 + 12k, 12k, 2 + 3k, 1]∞ [1, 0, 6, 2 + 3k, 1, 1, 3 + 3k, 18 + 12k 12k ]∞ k=0 = [1, k=0 = [7, [7, 2 + 3k, 1, 1, 3 + 3k, 18 + 12k 12k]∞ k=0
Expl´ Ex pl´ıcit ıc itam amen ente te:: e2 = [7, [7, 2, 1, 1, 3, 18 18,, 5, 1, 1, 6, 30 30,, 8, 1, 1, 9, 42 42,, 11 11,, 1, 1, 12 12,, 54 54,, . . . ].
