Archivo: Clase25 Autor: M.Sc. Jorge Hernández Fecha: 05/05/06
Clase # 25.
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Fecha: 30/05/2000
Continuación Unidad II: Funciones. Límites. Continuidad. Objetivo # 7:
-
Introducción. Continuidad en un punto. Continuidad en un intervalo. Funciones continuas. Ejemplos.
Contenido. 1.
Introducción.
La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel. Esta idea se traspone al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función. Observemos los siguientes gráfic os.
Estos gráficos muestran lo que es trazo continuo y trazo no continuo. De acuerdo a esto definimos entonces lo que es una función continua.
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2. Continuidad en un punto. Definición: Decimos Decimos que una función función f es continua en un punto x cumplen las siguientes condiciones:
a)
=
a si se
f ( a ) existe
b)
Lim f ( x) existe
c)
Lim f ( x) = f ( a ).
x → a
x →a
La primera de estas condiciones nos dice que la función debe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir, en = a , dicho de otro modo, f ( a ) debe ser un número real. La segunda condición condición nos habla acerca de la aproximación de la función a un valor numérico por el lado izquierdo y por el lado derecho, valor numérico que debe ser el mismo. Recordemos que la existencia del límite depende de la igualdad de los límites laterales. La tercera condición condiciona la continuidad a la igualdad del valor de la función en = a, es decir, f ( a ) con el valor numérico obtenido en el límite. Definición: Una función función f no es continua en un punto si deja de cumplir alguna de estas condiciones. Ejemplo: una función continua.
La función f ( x ) = x 2 es continua en x a) f (3) = 3 2
=
=
3. En efecto,
9 , es decir, f (3) existe ya que que 9 es un número real.
9 una función polinómica Lim x 2 b) = , ya que es x →3
c) De las anteriores, anteriores, la condición condición es obvia.
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Ejemplo: una función discontinua en x
3
= 1.
La función f ( x ) = 1 /( x − 1) es discontinua en x
= 1.
En efecto,
a) f (1) no existe como valor numérico ya que al sustituir 1 en la función, el denominador se anula, y la división entre cero no está definida. Tan solo el hecho de la función no cumpla esta condición basta para concluir que la función no es continua.
3. Continuidad en un intervalo. Definición: Una función f es continua en un intervalo (a, b ) si es continua en
todos los puntos x = c ∈ (a, b ) . En el ejemplo b) la función es continua en los intervalos (− 2,−1) y (1,2) pero es discontinua en cualquier intervalo que contenga a x = −1 o x = 1. 4. Función continua . Definición: una función función f es continua continua si es continua continua en todos los puntos puntos de su dominio.
En el caso de la función cuadrática f ( x ) = x 2 , decimos que f es continua ya que para cualquier punto x punto x en R la función es continua. Caso contrario, la función f ( x ) = 1 /( x − 1) no es continua en R ya que la función no es continua en x = 1.
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5. Ejemplos. 5.1 Determinar si la función f ( x) = 3 x 3 5.2 Determinar si la función
+
5 es continua.
x 2 , x ≤ 2 es una función continua. f ( x ) = 3 5 , 2 + > x x si
si
Solución de 5.1.
Queremos probar que f es continua en cualquier punto de
R.
Sea x = a cualquier
número en R. Probaremos la continuidad de la función en este punto. Primero, notemos que la función f ( x ) = 3 x 3 + 5 tiene como dominio a todos los números reales, por tanto, f ( a ) existe, y tiene como valor a f ( a ) = 3a 3 Por otra parte, se tiene que
Lim 3 x 3 x → a
+5=
3a 3
+ 5.
+5
Lo que nos indica que el límite existe. Por último, es obvio, de los resultados obtenidos, que el límite y el valor de la función en el punto son iguales. Concluimos entonces que la función es continua en el punto = a, y como a fue escogido en forma arbitraria, sigue que la función función es continua en cualquier valor valor numérico para x para x..
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Solución de 5.2.
Según la definición de la función, vemos que en x = 2 hay un cambio en la forma de obtener los valores de f , por lo que vamos a analizar la continuidad de esta función en ese preciso valor. Es claro que cuando x = 2 la función toma el valor de f ( 2) = 2 2 primera de las condiciones de continuidad es satisfecha. Ahora,
Lim f ( x ) = Lim x 2 x →2 −
x → 2 −
=
=
4 , por lo tanto la
4
y Lim f ( x ) = Lim 3 x + 5 = 11 x → 2 +
x → 2 −
Se deduce que el límite de la función no existe, por lo tanto la función no es continua en x = 2, en consecuencia, no es continua.
