UNIDAD 4 PARTE 2
INTEGRANTES:
Juan Manuel Jaramillo Hdz
Valeria A. Salazar Salazar
Isay Alfaro Vera
Alejandro I. Mendo Dimas
Magaly Rosales Perez
Karely Garcia Mancillas
ING.INDUSTRIAL / GPO.A / 2DO.SEMESTRE
4.6 Distribución Gamma Erlang Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir decir,, variables que presentan una mayor mayor densidad de sucesos a la la izquierda de la media que a la derecha. En su su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.
Los parámetros de la distribución *El primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial.
* Es el segundo parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano.
Relación con otras distribuciones Si se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gamma converge con la distribución normal. De media , y varianza . Cuando y β la distribución Gamma es exactamente la distribución exponencial con parámetro (α=1).
¿Donde puede ser aplicada esta distribución? - -Número de individuos involucrados en accidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den la proporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores. - - Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma más habitual precipitaciones iniciadas a una altura baja, que iniciadas a gran altitud. - - Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribución de Poisson. Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoría presentan una menor finura que unas pocas fibras más gruesas.
Ejemplos de distribución Gamma Ejemplo 1. En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para modelizar el número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la proporción de 1 ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5 ocupantes por vehículo siniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el número de víctimas por accidente de tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la proporción 1 accidentado por accidente, el 36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1. La media del modelo es 1,5 víctimas por accidente, pero no indican el valor de los parámetros α y β tomados en cuenta.
4.7 Distribución Normal Se le llama distribución normal o distribución de Gauss,a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su FUNCION DE DENSIDAD.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ 2 es la varianza). Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Algunas PROPIEDADES de la distribución normal son:
Es simétrica respecto de su media, μ; Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N( μ, σ). La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ; Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
Una distribución binomial variable discreta la podemos aproximar a una normal, variable continua cuando n es grande.
Ejemplo…
En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n∞→ y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,
Donde:
x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros
m = np = media de la distribución Binomial
s= = desviación estándar de la distribución Binomial
Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.
En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.
Nota: Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal.
4.8 Teorema de Chebyshev
Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media.
Para cualquier variable aleatoria X con media µ y desviación estándar ó, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera es cuando menos 1 - 1/k²
La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continúas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.
En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que están o no "en medio".
Bibliografía www.mitutor.com
