Distribucion Gamma

Distribución Gamma Historia Su aparición se debe cuando Leonard Euler (1707-1783) escribió una carta a !ristian Goldbac! en el a"o de 17#$ en la %ue !acia !acia re&erencia a una &unción' &unción' osteriormente osteriormente  drian *aria *aria Le+endre Le+endre (17#,-1833) (17#,-1833) propuso propuso llamar llamar esta &unción &unción +amma' +amma' De&inicion uncion Gamma Es una &unción &unción %ue e.tiende e.tiende el concepto concepto de &actoria &actoriall a los n/meros compleos' compleos' ue presentada en primera instancia por Leonard Euler entre los a"os 1730 2 1731' La &unción +amma se de&ine Sea Γ  (0,∞)

 R donde:



∞

( α )=∫  x α − e− x dx 1

0

para α>0 

on el &in de obserar al+unos resultados o propiedades de esta &unción procederemos a inte+rar por partes' 4omando

( α )=[ e  x − x

− x ¿ u= x ¿

 obtenemos

∞

∫ e− ( α −1 ) x − dx

 I ] 0, ∞+

α −1

 x

α  2

0

∞

¿ ( α −1 )∫ x α − e− x dx 2

0

ara 56 1 lo cual ocasiona la &ormula

( α )=( α −1 ) ( α −1 )

 l aplicar reiteradame reiteradamente nte la &órmula &órmula anterior anterior tendramos tendramos

( α )=¿

( α −1 ) ( α − 2 ) ( α −2 ) =( α −1 ) ( α −2 ) ( α −3 ) ( α −3 )

α    n   n    donde n es un entero positio

2 as sucesiamente' Se eidencia %ue cuando

( α )=( n −1 ) ( n −2 ) … (1 ) ∞

Sin embar+o por de&inición de

( α )

 

( 1 )=∫ e− x dx =1 0

 2 de a%u

( n )= ( n−1 ) !

 l+unas propiedad propiedades es adicionales adicionales de  •

•

•

( n + 1 )= ( n ) !

 son9

 si n es un entero positio

( n + 1 )= n ( n ) ( 1 / 2 )=√ π 

( α )

 si n 60 '

Distribución Gamma Se le conoce tambi:n como una +enerali;ación de la distribución e.ponencial adem8?' Es una distribució distribución n de probabilidad continua adecuada para modeli;ar el comportamiento de ariables aleatorias con asimetra positia 2@o los e.perimentos en donde est< inolucrado el tiempo' De&inicion Ana ariab ariable le aleat aleatori oria a B tiene tiene una una distr distribu ibució ción n +amma +amma 2 se cono conoce ce como como ariab ariable le aleatoria +amma si 2 solo si su &unción de densidad esta dada por9

ropiedades omo se mencionó mencionó anteriormen anteriormente te es una distribución distribución adecua adecuada da para modeli;ar modeli;ar el comporta comportamien miento to de ariable ariables s aleatori aleatorias as continu continuas as con asimetr asimetra a positia positia'' Es decir decir ariables %ue presentan una ma2or densidad de sucesos a la i;%uierda de la media %ue a la derec!a' En su e.presión se encuentran dos par
( α )

 

responsable de la coner+encia de la distribución' odemos presentar las si+uientes propiedades9  Los alores de la esperan;a E ( X )  2 arian;a ∼

∼

Var ( x )  se determinan mediante

E ( X )= αβ

Var ( X )=α β

2

La eri&icación 2@o demostración de estas &órmulas se presentan m
Los &actores de &orma de la distribución +amma son9 2 ∼

oe&iciente de asimetra9

∼

urtosis relatia9

3 (1 +

α  √ α  2

α 

)

on lo anterior se puede obserar %ue la distribución +amma es leptoc/rtica 2 tiene un ses+o positio' 4ambi:n 4ambi:n obseramos %ue con&orme el par
La &unción +eneradora de momentos de la ariable aleatoria +amma −α 

m x =( 1− βt ) ¿   con

0 ≤t ≤

 X   est< dada por 

 1

 β

El primer par
 β  es el %ue determina la &orma o alcance de la asimetra

positia despla;ando despla;ando la densidad densidad de probabilidad probabilidad en la cola de la derec!a' ara alores elead eleados os de

 β la distribución acumula m
derec!o de la cola alar+ando muc!o su dibuo 2 dispersando la probabilidad a lo lar+o del plano' l dispersar la probabilidad la altura m<.ima de densidad de probabilidad se a reduci reducien endo do de a%u a%u %ue %ue se le deno denomin mine e escal escala' a' Falores lores mas pe%u pe%ue" e"os os de

 β

condu conduce cen n a una una &i+ura &i+ura m
 β

es tiempo tiempo promedio promedio entre entre

ocurrencia de un suceso' De manera resumida9El par
Atilidad Es una distribución adecuada para modeli;ar el comportamiento de ariables aleatorias continuas con asimetra positia' Es decir ariables %ue presentan una ma2or densidad de sucesos a la i;%uierda de la media %ue a la derec!a' En su e.presión e.presión se encuentran encuentran los par
Este tipo de distribu distribución ción nos sire de modelo modelo para numerosos numerosos e.perime e.perimentos ntos donde interiene el tiempo' omo sucede9 •

• •

Ie+is Ie+istro tro de la lle+a lle+ada da de los aione aiones s de un aerop aeropue uerto rto 2 en +ene +eneral ral a los problemas de teora de colas 1' roblemas de tra&ico en lneas tele&ónicas 4iempo de &alla de un sistema de componentes cada uno &alla con &recuencia roblemas de con&iabilidad

Eemplo 1 En cie cierta rta ciu ciudad el consum sumo dia diario rio de a+ua (en (en mil millon lones de litr litro os ) si+ si+ue apro.imadamente apro.imadamente una distribución +amma con 5# 2 C 3 2 la capacidad capacidad diaria de dic!a ciudad es $ millones de litros d a+ua' Ju
( α )=∫  x α − e− x dx 1

0

Sustitu2endo alores

 P > 9 =

1

∞

− /  x ∫ 9

 x 3

dx

0

(

− x 3

− x

e −e 3

− x 3

Esto es i+ual a

)

esto ealuado de $ a  −3

4e

=0.1992

Eemplo # Supon+a %ue el tiempo de sobreiencia B en semanas de un raton mac!o seleccionado al a;ar e.puesto a #M0 rads de radiación +amma tiene una distribución +amma con 5 8 2 C1,' Datos en Surial Distributions:Reliability Applications in the Biomedical Serices su+iere 58', 2 C13'3' El tiempo de superiencia esta dado por 

 E ( x )=( α )( β )

V  ( ( x  x ) =(α )( β )

2

Sustitu2endo

 E ( x )=( 8 ) ( 15 )=120 semanas V  ( ( x  x ) =( 8 ) ( 15 ) =1800 2

N

dx =√ 1800 1800= 42.43 semanas

La probabilidad de %ue un ratón sobreia entre O0 2 1#0 semanas es9

 P (60 ≤ x ≤ 120 )= P ( x ≤ 120 )− P ( x ≤ 60)

( )( )

¿ F 

120

15 ; 8

−

60

15 ; 8

¿ F ( 8 ; 8 )− ( 4 ; 8 )=.547 −.051=0.496

La probabilidad de %ue un raton sobreia por lo menos 30 semanas es9

 P ( x  x ≥ 30 )=1− P ( x < 30 )=1 − P ( x ≤ 30 )

¿ 1− P

( )= 30

15 ; 8

.999

Eercicio 3 En cierta ciudad el consumo diario de ener+ia electrica en millones de Pilioatios por !ora puede considerarse como una ariable aleatoria con distribucion +amma de parametros 53 2 C0',' La planta de ener+ia de esta ciudad tiene una capacidad de 10 millones de Q@!' Ju
a) ∞

( 1 )=∫ e− x dx =1 0

1

 P ( x  x ≥ 30 )=1− P ( x ≤ 30 )=  Г ( 3 )

10

∫ ( 0.5 )  x 3

2

−0.5 x

e

dx = 0.124652

0

b)  0.5

3

 P (3 < x < 8 )=  Г ( 3 )

8

∫ ( 0.5 )  x e− 3

2

0.5 x

dx =0.571

0

c)

a 3 a 3  E ( x )= = , V  ( ( x  x )= 2 = 2 =12= ¿ ∂=3.46 b 0.5 b 0.5