DISTRIBUCION DE POISSON 1. HISTORIA: HISTORIA: La distrib distribuci ución ón de Poisson oisson fue deriva derivada da por por SIMEON SIMEON DENIS DENIS POISSO POISSON N !uien !uien en "#$% "#$% &citado en 'in( ")##* pub+icó un traba,o de Investi(ación en e+ !ue se presentaba una nueva distribución para e+ c-+cu+o de probabi+idades ap+icado a+ -.bito pena+/ Poisson encontró !ue cuando e+ ta.a0o de una .uestra es (rande 1 +a probabi+idad de ocurrencia de un evento es pe!ue0a e+ va+or esperado .2 np tiende a una constante/
2. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON: POISSON: Co.o 1a se .encionó anterior.ente un conteo es e+ n3.ero de veces en !ue cierto evento ocurre en una .is.a unidad de observación durante un deter.inado periodo de tie.po o espacio/ E,e.p+os de ta+es eventos o conteos pueden ser4 Conteos en e+ tie.po4 • • •
N3.ero de accidentes de tr-5co en un tra.o de cierta carretera en un .es/ N3.ero de+ re(istro re(istro de part6cu+as de una una desinte(ración radioactiva por se(undo/ N3.ero de .utaciones en una pob+ación de ani.a+es durante 7 a0os/
Conteos en e+ espacio4 • • •
• •
N3.ero de accidentes de tr-5co !ue se ori(inan en e+ cruce de 8 carreteras/ N3.ero de or(anis.os infecciosos propa(ados en una p+aca a(-rica/ N3.ero de c9+u+as san(u6neas en una .uestra de san(re &e+ espacio es i(ua+ a+ vo+u.en en cent6.etros c3bicos*/ N3.ero de -rbo+es infectados por :ect-rea en un bos!ue/ N3.ero de pasas en una .asa por ;(/
La +e1 +e1 de +os +os even evento tos s raro raros s esta estab+ b+ec ece e !ue !ue e+ n3.e n3.ero ro tota tota++ de even evento tos s se(u se(uirir- una una distribución de Poisson si un evento puede ocurrir en cua+!uier punto de+ tie.po o espacio ba,o observación pero +a probabi+idad de ocurrencia en un punto deter.inado es pe!ue0a &Ca.eron 1 Trivedi Trivedi "))#*/ De :ec:o ta+ co.o indica 'in( &")##* :abitua+.ente se asu.e !ue !ue e+ .eca .ecani nis. s.o o (ene (enera rado dorr de dato datos s !ue !ue prod produc uce e recu recuen ento to de even evento tos s es es con con independencia de su probabi+idad de ocurrencia Poisson/ Poisson/
3. IMPORTANCIA IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION DE POISSON: POISSON: La distribución Poisson es +a distribución !ue corresponde a datos de conteo en +a .is.a for.a en !ue +a Distribución Nor.a+ +o es para +os datos continuos/ En +a distribución Poisson se tiene un 3nico par-.etro !ue es +a .edia . e+ cua+ debe ser sie.pre positivo/ De esta .anera/ este 3nico par-.etro deter.ina +a distribución en su tota+idad/ Por otra
parte en +a Distribución Nor.a+ e
diferencia de +a distribución .u+tino.ia+ se asu.e una distribución de Poisson cuando e+ ta.a0o de .uestra n es a+eatorio +o cua+ ++eva a considerar !ue para todas +as ce+das de una tab+a de contin(encia +os conteos de cada ce+da & "8/// nii + 2 * son variab+es a+eatorias independientes con distribución de Poisson/ Es decir nin(3n tota+ es 5,ado previa.ente a+ estudio co.o s6 ocurre en e+ caso de una distribución .u+tino.ia+/ Cuando +os conteos tienen un +6.ite superior .u1 pe!ue0o &por e,e.p+o e+ n3.ero de ,u(adores +esionados en una escuadra de 8? es a +o .-s 8?* +os conteos de .uestra a .uestra var6an de acuerdo a +o !ue se conoce co.o una distribución bino.ia+/ En ca.bio cuando e+ +i.ite superior es .u1 (rande co.parado con +os va+ores observados de+ conteo &por e,e.p+o e+ nu.ero de +esiones espina+es en e+ @3tbo+ cada a0o* +os conteos tienen una distribución Poisson/ En todos +os casos de una re(resión de Poisson +os va+ores de +a variab+e son discretos di(a.os A"8 sin un +6.ite superior ses(ados :acia +a i=!uierda e intr6nseca.ente :eteroced-sticos es decir con una varian=a !ue se incre.enta para+e+a.ente con +a .edia/ De esta .anera e+ .ode+o de re(resión de Poisson tiene un i.portante pape+ en e+ an-+isis de datos de conteos 1 sus principa+es caracter6sticas son4 a* proporciona una descripción satisfactoria de datos cu1a varian=a es proporciona+ a su .edia b* es deducido teórica.ente de principios e+e.enta+es sin .uc:as restricciones 1 c* +os eventos o conteos ocurren independiente.ente 1 a+eatoria.ente en e+ tie.po con una tasa de ocurrencia constante e+ .ode+o deter.ina e+ n3.ero de eventos dentro de un interva+o especi5cado/
4. LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON: La distribución de Poisson es4
Esta distribución puede ser obtenida de +a si(uiente for.a4 Sea una variab+e a+eatoria con distribución Bino.ia+ con par-.etro n 1 p dada por .odo !ue np 2 . per.ane=ca constante e+ +6.ite de +a distribución es una Poisson con par-.etro . dado en +a distribución de Poisson de5nida anterior.ente/ La distribución de Poisson derivada es4
De esta se tiene
.anera :aciendo ! . 2 +n !ue4
siendo as6 &III/$* una distribución de fa.i+ia e
5. APROXIMACIÓN A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL: La distribución de Poisson tiende a una nor.a+ a .edida !ue au.enta su .edia/ Se puede .ostrar &McCu++a(: 1 Ne+der "))"* !ue cuando
La distribución es visua+i=ada (ra5cando
E,ercicios4
•
"
8
6. CONCLUSI ONES: +a distribución de Poisson es una distribución de probabi+idad discreta !ue e
7.
BIBLIOGRAFIA: !!":##$%&'(.)*3+.',#',"#P',/$%#"',/$,#$+$%/,#',"#T'+$3,%)*0/', ." - !!":##,".,'$,.',#A"%0E$!,#E"0$!#A)$#4-A)$2D0,!0()*0/', 2'2"($(0%0$." - !!":##,0,(0(.)/+,+.')."'#(0(80!)$%$!$#+/$9$,#($,0*#9)'$$#* $"3." - !!":##',.&0;0"'0$.#&0;0#D0,!0()*0C3B3/'P0,,/
