Distribucion de Poisson
En el caso de la Distribución Binomial , la variable de interés era el nro de sucesos en un intervalo ………… (n pruebas). Muchas veces estamos interesados en el numero de s ucesos en un intervalo continuo que puede ser n intervalo de tiempo, espacio, superficie , volumen, etc. si por e!emplo supon"amos que un determinado proceso de fabricación de perfil de alumnos 1
apare#can en media media una falla cada $%% metros lo que equivale equivale a
400 & %.%%' fallas por
metro, esa es la frecuencia media de sucesos en el fenómeno que desi"naremos por
λ
µ =np =nλ =tλ
µ =np =nλ = tλ
o también es aplicable si se desea contar en nro de eventos de acuerdo al tipo que ocurren en un intervalo de tiempo, superfcie, volumen , sean los ejemplos: i) ii) ii) iii) iii)
Nume Numerro de de llam llamad adas as tele teleó óni nica cas s rec recib ibid ida as por por un un PBX PBX dur duran ante te cinco minutos. Nume Numerro de de al alla las s de de un comp comput utad ador or en un dia dia de oper operac ació ión. n. Nume Numerro de de acc accide ident ntes es en una una car carrreter etera a en en una una sema semana na
Defnicion: na v.a. λ =np =µ > 0
x
si!ue el modelo de Poisson Poisson de par"metro
si su unción de probabilidad es dada por:
k − µ
µ e P ( x x = k )= k!
samos la notación
# siendo X Poisson ( µ )
el par*metro
k =0,1,2, …
µ indica a tasa de ocurrencia por
unidad de medida. E!emplo. El nro de mensa!es electrónicos ( ) recibidos por un proveedor en horario comercial, fue modelado para una variable de +oisson con tasa de por dia. -as instalaciones despreciables pueden atender con un est*ndar de calidad deseado, hasta ' mil mensa!es diarios. d. Dira que ha tenido mucha reclamación por el servicio del proveedor. /amos /amos a evaluar la +012B2-2DD33DEBE + 012B2-2DD33DEBE 1E4 de ser recibidos mas de ' mil mensa!es diarios o '% centenas en la unidad establecida. 1i ella fuese alta tendremos una indicación de que el servicio debe estar perdiendo calidad, 5 por tanto siendo posible de reclamaciones de los usuarios. 6enemos 6enemos 0B7E6000033 20
P ( x x > 20 ) =1− P ( X ≤ 20 )= 1−
∑= k 0
− 15
e
15
k!
k
= 0.083
µ = λ =15 CADA DIA ? ? ? Esta probabilidad indica que un 8.9: de los das, el servicio estar* traba!ando deba!o de la calidad deseada debido al e;ceso de los mensa!es. De este modo los usuarios no deben estar contentos con el +40/EED0433 5 el ndice de reclamaciones debe ser alta.
Aplicación: -a posibilidad de que un remache particular en la superficie de ala de un avión nuevo este defectuoso es %.%%.
ual es la posibilidad de que se instalen no mas de ? remaches defectuosos3 Desarrollo:
i
+odemos utili#ar la Distribución Binomial
X β ( n , p )
n$%&&& p$&.&&' 6
P ( x ≤ 6 )=
( 0.001) ( 0.999) ∑= ( 4000 x ) x
4000− x
x 0
P ( x ≤ 6 ) $
( ) 4000 0
( 0.001 )0 ( 0.999 )4000+
( ) 4000 1
( )
( 0.001 )1 ( 0.999 )3999 +
4000 2
P ( x ≤ 6 ) $ &('**+--
Empleando la Aproximacion de Poisson µ =np =4000 ( 0.001 ) = 4
allamos
µ =4
/plicando 6
P ( x ≤ 6 )=
∑
−4
e
x !
x =0
¿
$
e
−4
( 4 ) x
( 4 )0 e−4 ( 4 )1 e−4 ( 4 )2 e−4 ( 4 )3 e−4 ( 4 )4 e−4 ( 4 )5 e−4 ( 4 )6 + + + + + +
0! −4
1!
−4
e +4 e +
2!
−4
2
4 e 2
3!
−4
+
32 e 3
4!
−4
+
32 e 3
5!
−4
+
128 e 15
6!
−4
0
256 e 45
( 0.001 )2 ( 0.999 )3998+
( ) 4000 3
( 0.001)3 ( 0
−4
$
e
$
e
(
1 + 4 +8 +
32
2185
−4
1
45
3
+
32 3
+
128
+
15
256 45
)
¿
$&.((*23 Distribucion Geometrica 4a 5istribución 6eométrica se relaciona también con una secuencia de ensa7os de Bernoulli con la dierencia de que el numero de ensa7os no es fjo 7, de 8ec8o la variable aleatoria de interés denotada por X 9/;<4// = 9>N;<4//////, se defne como el n?mero de ensa7os requeridos para alcan@ar el primer éAito. l espacio muestral 7 el espacio del ran!o para x se ilustra en la p"!ina que si!ue. l espacio del ran!o para x es R x ={ 1,2,3, … } 7 la distribución de x es dada por x− 1 P ( X = x )= q p x = 1,2, … ;CD/4 Eerifcar que esta es una distribución de Probabilidad dado que: ∞
pq ∑ =
x − 1
x 1
∞
= p ∑ q k = p k = 0
[−] 1
1
q
1
= p . = 1 p
P ( X = x ) ≥ 0 ∀ x
Parametros i ¿ E ( X ) =
1
p
ii ¿ VAR ( X )=
q 2
p
Aplicación ;e va a reali@ar cierto eAperimento 8asta que se obten!a un resultado eAitoso. 4os ensa7os son independientes 7 el costo de eectuar el eAperimento es de FG2,&&& dolares # sin embar!o, si se produce una alla , cuesta F2&&& dolares HiniciarI el si!uiente ensa7o. /l eAperimentador le !ustarJa determinar el costo esperado del PD=
C ( x )=25000 x + 5000 ( x −1 )
¿ 25000 x + 5000 x −5000
¿ 30000 x −5000 4ue!o E [ C ( x ) ] =30000 E ( x )− E (5000 )
¿ 30000
( )− 1
p
5000
;i la probabilidad de éAito en un solo ensa7o es por ejemplo &.G2, entonces la E [ C ( x ) ] =
30000 0.25
−5000 =115000
sto puede ser o no aceptable para el eAperimentador. 5ebe también reconocerse que es posible continuar indefnidamente sin que se lo!re un eAperimento eAitoso. ;upon!ase que el eAperimentador tiene un m"Aimo de F 2&&,&&&. Puede desear obtener la probabilidad de que el trabajo eAperimental costarJa mas de esta cantidad, esto es ¿ P ( 30000 x > 505000 ) P ( C ( x )> 500000 )= P ( 30000 x −5000 > 5000000 )
(
¿ P x >
)
16
505000 30000 16
¿ P ( x > 16.833 )
¿ 1− P ( x ≤ 16 )
¿ 1−∑ 0.25 ( 0.75 ) x −1 x= 1
¿ 1−0.25 ∑ ( 0.75 )
x − 1
¿ 0.01
x= 1
l eAperimentador puede no estar dispuesto a correr el ries!o 1probabilidad &.&' de !astar F2&& &&& disponibles sin obtener un resultado eAitoso . 4a distribución !eométrica decrece , esto es P ( x ) < P ( x −1 ) para x =2, … . 4a 5istribucion 6eometrica no tiene 99=D>///// =sea P ( X > x + s ∨ x > s ) = P ( x > s ) Presentar una curva de la tasa de allas en unción del tiempo deacuerdo con la f!ura que si!ue
/6D/////////////////////;
Podemos distin!uir tres re!iones:
>. >>. >>>.
Periodo de allas PD<=;;
Curvas de Vida 5e acuerdo con las condiciones particulares de abricación o utili@ación, los sistemas de componentes pueden tener sus curvas de vida representadas por particulares distribuciones de Probabilidad 5entro de las mas utili@adas en el estudio de confabilidad podemos citar: Distribucion Exponencial tili@ada cuando la tasa de allas es constante, o mejor cuando el des!aste en relación al tiempo uese despreciable o a causa de alla eAtrema en el componente se!?n una distribución de Poisson − λt − λt ( t )= λ f ( t )= λ e R ( t ) =e t≥0
Distribucion Hipergeometrica
