Binomial Poisson Hipergeometrica

UNIFÉ

Administración de Negocios Internacionales

Estadística DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Si realizamos n ensayos o repeticiones independientes, es decir, en idénticas condiciones, y siempre centrados en el suceso A. La variable X que cuenta el número de veces que ha ocurrido el suceso A define un modelo binomial. Función de probabilidad o de Cuantía:

  f (x ) = P(X= x ) =  0 

C nx

x n p q

: : : :

p x q n− x

si x : 0 ,1, 2 , ....., n en otro lugar

Número de éxitos. x : 0 , 1 , 2 , ... , n Número de ensayos o pruebas. Probabilidad de éxito. Probabilidad de fracaso. q = 1 − p

Función de Distribución:

F ( x ) = P (X ≤ x ) =

x

∑

k =0

f(x) =

∑ ( nk )p k (1 − p )n − k x

k =0

Valor Esperado:

E(x ) = np Varianza:

V(x ) = npq

Características: Un experimento Binomial se caracteriza por ser un experimento aleatorio que: -

Consiste de n pruebas o ensayos idénticos e independientes. En cada uno de los ensayos sólo hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes llamados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito p permanece constante en cada uno de los diferentes ensayos. La variable aleatoria X se define como el número de éxitos en los n ensayos.

Ejemplos: -

Lanzar una moneda n ó más veces para observar el número de caras. Seleccionar n diskettes de un lote que contiene un % de defectuosos para verificar cuántos diskettes defectuosos contiene la muestra. Determinar en cada uno de n estudiantes si están aprobados o reprobados. Verificar si cada uno de n objetos son defectuosos.

Gladys Enríquez Mantilla

207

UNIFÉ


Estadística USO DE TABLA: Tabla de Términos Individuales:

Lectura directa:

Si p > 0,50:

P ( X = x ) = b( x ,n, p )

P ( X = x ) = b( n − x , n, q )

Ejemplos: Si n = 5 y p = 0.25 hallar:

P ( X = 3 ) = b ( 3 , 5 , 0.25 ) = 0.088

Si n = 5 y p = 0.60 hallar:

P ( X = 2 ) = b ( 2 , 5 , 0.60 ) = b ( 3 , 5 , 0.40 ) = 0.230

Tabla de Términos Acumulativos:

Lectura directa:

P ( X ≥ x ) = B( x ,n, p )

Ejemplos: Si n = 5 y p = 0.25 hallar: Si n = 5

y p = 0.60

P ( X ≤ 3 ) = B ( 3 , 5 , 0.25 ) = 0.104

hallar:

P ( X ≤ 2 ) = B ( 2 , 5 , 0.60 ) se debe descomponer, aplicar la

propiedad para p > 0.50 y luego aplicar la tabla de términos individuales. Gladys Enríquez Mantilla

208

UNIFÉ


Estadística Ejemplos: 1.-

Un Ingeniero de Sistemas, planea un estudio piloto para su disertación doctoral. Como parte de su estudio, planea enviar cuestionarios a 20 contadores públicos seleccionados en forma aleatoria. Sabe que el índice de respuesta para este grupo de personas es de 30%, y espera que al menos once de los cuestionarios estén completos y le sean regresados. Hallar la probabilidad de que en realidad el número de cuestionarios completos que reciba sea: a) exactamente doce. n = 20

p = 0,30

P ( x = 12 ) = b ( 12 ; 20 ; 0,30 ) = 0,004 b)

al menos once.

P ( x ≥ 11 ) = B ( 11; 20 ; 0,30 ) = 0,017 c)

entre once y quince inclusive.

P ( 11 ≤ x ≤ 15 ) = P ( x ≥ 11) − P ( x ≥ 16 ) = 0,017 − 0,00 2.-

= 0,017 Se envían invitaciones para cenar a los 20 delegados que asisten a una convención, y se cree que para cada delegado invitado, la probabilidad de que acepte es 0,9. Si se asume que toman la decisión de aceptar la invitación independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho 17 delegados acepten la invitación? n = 20

P ( A ) = 0,90

P ( x ≤ 17 ) = 1 − P ( x ≥ 18 )

[ ] = 1 − [ b (18 ; 20 ; 0,90 ) + b (19 ; 20 ; 0,90 ) + b ( 20 ; 20 ; 0,90 ) ] = 1 − [ b ( 2 ; 20 ; 0,10 ) + b (1 ; 20 ; 0,10 ) + b ( 0 ; 20 ; 0,10 ) ] = 1 − [ 0,285 + 0,270 + 0,122 ] = 1 − P ( x = 18 ) + P ( x = 19 ) + P ( x = 20 )

= 0,323 3.-

Suponga que el 5% de cierto modelo de calculadoras de bolsillo fallan durante los primeros 60 días y son regresadas a la tienda para ser reparadas. Si una compañía compra 25 calculadoras: a) Aproximadamente, ¿cuántas espera que fallen en el lapso de 60 días?. P ( F ) = 0,05 = p

n = 25

E ( x ) = n p = 25 × 0,05 = 1,25 = 1 b)

¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle? P ( x = 0 ) = b ( 0 ; 25 ; 0,05 ) = 0,277

c)

Calcular la probabilidad de que fallen tres o más. P ( x ≥ 3 ) = B ( 3 ; 25 ; 0,05 ) = 0,127

d)

Hallar la probabilidad de que como máximo fallen 4. P ( x ≤ 4 ) = 1 – P ( x ≥ 5 ) = 1 – 0,007 = 0,993


209

UNIFÉ


Estadística

Si n = 15 a)

y

p = 0.35

Calcular las siguientes probabilidades:

P ( X = 6)

Calc – Distribuciones de probabilidad – Binomial…

Clic en Aceptar

⇒ b)

P ( X = 6) = 0.190560

P(X<8)

Gráfica – Gráfica de distribución de probabilidad… Clic en Ver probabilidad

Clic en Aceptar.

Clic en Área sombreada.


210

UNIFÉ


Estadística

Gráfica de distribución Binomial; n=15; p=0,35

0,20

Probabilidad

0,887 0,15

0,10

0,05

0,00

7

11

X

Clic en Aceptar.

c)

P ( X < 8 ) = P ( X ≤ 7 ) = 0.887

⇒

P ( X ≥10 ) Gráfica de distribución Binomial; n=15; p=0,35

0,20

Probabilidad

0,15

0,10

0,05 0,0124 0,00

0

10 X

Clic en Aceptar.

⇒ P ( X ≥10 ) =0.0124

d)

P(2 ≤ X < 7 ) Gráfica de distribución Binomial; n=15; p=0,35

0,20

Probabilidad

0,741 0,15

0,10

0,05

0,00

0

2

6

11

X

Clic en Aceptar.


⇒ P ( 2 ≤ X < 7 ) = P ( 2 ≤ X ≤ 6 ) = 0.741

211

UNIFÉ


Estadística DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson cuando el fenómeno se presenta aleatoria o independientemente en el tiempo o espacio en el cual sólo interesa la ocurrencia del fenómeno un número determinado de veces y no interesa la no ocurrencia del fenómeno. Función de probabilidad o de Cuantía:

 e− λ λ x  f (x ) = P(X = x ) = x!  0

si x : 0 , 1 , 2 , ..... en otro caso

Función de Distribución: x

F ( x ) = P (X ≤ x ) =

∑

k =0

Valor Esperado:

E( x ) = λ

x

f (x ) =

∑

k =0

e − λ λx x! Varianza:

V(x ) = λ

Características: -

El experimento consiste en el conteo del número de veces que ocurre un evento en un lapso de tiempo o espacio. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo o espacio es independiente del número de eventos que ocurren en otras unidades. El promedio de sucesos por unidad de intervalo, es igual a λ .

Ejemplos: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidades de tiempo, área, pieza, etc. - Número de defectos por m 2 de una tela. - Número de faltas de ortografía por página. - Número de llamadas telefónicas recibidas en la central por minuto. - Número de visitas a un sitio Web en una hora. - Se quiere contabilizar el número de accidentes de carretera en un fin de semana. - El número de personas que llegan en el lapso de un minuto a la cola de un banco. - El número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, por hora o por minuto. Aplicaciones: La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos: la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce, el número de errores tipográficos por página en un libro, el número de fallas de una computadora durante una semana de operación. La distribución de Poisson tiene aplicaciones en Control de Calidad y muestreo de aceptación. Además, ciertas distribuciones continuas importantes utilizadas en teoría de confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de Poisson.


212

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Estadística Uso de Tabla:

P(x ≤ x ) = F( x )

Lectura directa.

Ejemplo: Si λ =1.4 Hallar: P ( X ≤ 5 ) = 0.997 Ejemplos: 1.-

Se supone que el número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson con una media de 0,1 defectos por metro cuadrado. Hallar la probabilidad de: a)

Tener dos defectos en un metro cuadrado de tela.

P (x = 2) = b)

e

-------

λ

2 . 0,1

2!

1 m2 10 m2

P (x =1) =

2.-

− 0,1

= 0, 005

Tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela,. 0,1 defectos

c)

λ = 0,1

⇒

---- 1 m2

0,1 defectos

e

λ =1

⇒

−1 1 .1 1!

= 0, 368

Que no hayan defectos en 20 metros cuadrados de tela. λ=2 ⇒ P ( x = 0 ) = 0,135

Un fabricante de tejidos de lana afirma que el promedio de defectos en sus productos es de uno por 2 yardas cuadradas. Una yarda cuadrada de muestra de su producto, escogida al azar, muestra 3 defectos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres o más defectos en cualquier yarda cuadrada?

1 defecto − 2 yardas λ

− 1 yarda

⇒

λ=

1 2

P ( X ≥ 3 ) = 1 − P ( X ≤ 2 ) = 1 − 0,986 = 0,0144


213

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Estadística 3.-

En una fábrica de equipos eléctricos, la orden de pedido llega completamente al azar a una razón promedio de 1,5 por día. En un periodo de una semana, ¿cuál es la probabilidad de que el número de órdenes que se reciban sea: a)

Exactamente dieciocho.

1,5 órdenes

−

1 día

λ

−

7 días

⇒ λ = 10,5

e −10,5 × 10,518 = 0,01035 18 ! Más de quince. P ( X = 18 ) =

b)

P ( X > 15 ) = 1 − P ( X ≤ 15 ) = 1 − 0,932 = 0,068 c)

No más de diez.

P ( X ≤ 10 ) = 0,521 d)

Entre nueve y dieciséis inclusive.

P ( 9 ≤ X ≤ 16 ) = P ( X ≤ 16 ) − P ( X ≤ 8 ) = 0,960 − 0,279 = 0,681 4.-

El director de un centro de cómputo encuentra que el número de solicitudes por hora para acceso a una computadora se puede describir mediante una distribución de Poisson. Si se sabe que en promedio se presentan 10 solicitudes por hora; ¿cuál es la probabilidad de que en una hora determinada el número de solicitudes que se presenten sea: a)

Exactamente siete.

10 solicitudes − 1 hora P(X = 7) =

e

−10

× 10 7!

7

⇒ λ = 10 = 0,090

b)

No más de dos.

c)

Entre tres y cinco inclusive. P(3 ≤ X ≤ 5 ) = P( X ≤ 5 ) − P( X ≤ 2)

P ( X ≤ 2 ) = 0,003

= 0,067 − 0,003 = 0,064 5.-

En la empresa Aerolíneas del Noroeste rara vez se pierde el equipaje. En la mayoría de los vuelos no se observa un mal manejo de las maletas; algunos reportan una valija perdida; unos cuantos tienen dos maletas extraviadas; rara vez un vuelo tiene tres; y así sucesivamente. Supóngase que una muestra aleatoria de 1000 viajes aéreos revela un total de 300 maletas perdidas. ¿Cuál es el porcentaje de vuelos en el que: a) No se registra equipaje perdido. 300 e −0.30 × 0.30 λ = = 0.3 ⇒ P(X = 0) = = 0.7408 = 74.08% 1000 0! b)

Hay exactamente una maleta perdida.

P ( X = 1) =


e −0.30 × 0.31 = 0.2222 = 22.22% 1! 214

UNIFÉ


Estadística

Si λ = 3.5 a)

y

Calcular las siguientes probabilidades:

P ( X = 6)

Calc – Distribuciones de probabilidad – Poisson…

Clic en Aceptar

⇒ b)

P ( X = 6) = 0.0770983

P(X<8)


Clic en Aceptar.



215

UNIFÉ


Estadística Gráfica de distribución Poisson; Media=3,5

Probabilidad

0,20

0,973

0,15

0,10

0,05

0,00

7

10

X

Clic en Aceptar. c)

P ( X < 8 ) = P ( X ≤ 7 ) = 0.973

⇒

P ( X ≥10 ) Gráfica de distribución Poisson; Media=3,5

Probabilidad

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

0,00331 0

10 X

Clic en Aceptar.

d)

⇒ P ( X ≥10 ) =0.00331

P(2 ≤ X < 7 ) Gráfica de distribución Poisson; Media=3,5

Probabilidad

0,20

0,799

0,15

0,10

0,05

0,00

0

2

6

10

X

Clic en Aceptar.


⇒ P ( 2 ≤ X < 7 ) = P ( 2 ≤ X ≤ 6 ) = 0.799

216

UNIFÉ


Estadística DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA Un conjunto de N objetos contiene k objetos clasificados como éxitos y N-k como fracasos. Se toma una muestra de tamaño n, al azar y (sin reemplazo) de entre los N objetos. La variable aleatoria hipergeométrica representa el número de éxitos en la muestra.

Ejemplo:

Función de probabilidad o de Cuantía:

f (x ) = P(X=x ) =

−k Ckx × CN n− x CN n

si x : 0 , 1 , 2 , ..... , n

Función de Distribución: x

F ( x ) = P (X ≤ x ) =

∑

k =0

Valor Esperado:

E( X ) = n

k N

f (x) =

x

−k C kx × C N n− x

k =0

CN n

∑

Varianza:

V( X ) = npq

N−n N −1

Características: a) b) c) d)

Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados: éxito y fracaso. La probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otro. Cada ensayo o repetición del experimento se consideran dependientes, esto se debe a que el experimento se realiza sin reposición. El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Aplicaciones: La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición. Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Gladys Enríquez Mantilla

217

UNIFÉ


Estadística Uso de Tabla:

P(X ≤ x ) = F(x )

Lectura directa.

P(X = x ) = f (x )

Lectura directa.

Ejemplos: 1.-

N =10

n=5

k =4

P ( X = 2 ) = f ( 2 ) = 0.476190

2.-

N =10

n=6

k =5

P ( X ≤ 4 ) = F ( 4 ) = 0.976190


218

UNIFÉ


Estadística Ejemplos: 1.-

Se embarcan abanicos en lotes de diez; antes de aceptar un lote, un inspector elige tres de esos abanicos y los inspecciona, si ninguno de los abanicos probados está defectuoso, el lote se acepta; si uno o más presentan defectos, revisan todo el lote. Suponga que hay dos abanicos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite inspeccionar todo el lote?

N = 10

n=3

k =2

P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) C 80 × C 83

= 1−

2.-

= 0.5333 C10 3 Una caja con 24 calculadoras contiene cuatro que están defectuosas; si se eligen cuatro al azar de esa caja, ¿cuál es la probabilidad de que: a)

tres estén defectuosas.

N = 24

n = 4

P(X = 3) = b)

C 34

k = 4

× C120 C 24 4

= 0.0075

a lo mucho una resulte defectuosa.

P ( X ≤ 1 ) = P ( X = 0 ) + P ( X =1 ) = c)

C 40 × C 20 4 C 24 4

C 44 × C 20 0 C 24 4

= 0.00009

Se tiene un lote industrial de 100 unidades, de las cuales 25 son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer 4 unidades defectuosas en una muestra de 10 si la extracción es sin reposición?

N = 100

n = 10

P(X = 4) =

4.-

= 0.8851

C 24 4

las cuatro estén defectuosas.

P(X = 4) =

3.-

C14 × C 20 3

+

75 C 25 4 × C6

C100 10

k = 25 = 0.1471

Se sabe que el 7% de los CDs en un lote de 125 no cumplen ciertas especificaciones de calidad. Tomada una muestra al azar de 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que no más de dos sean defectuosos.

N = 125 P( X ≤ 2) = =


n = 10 P(X =0) + C 90 × C116 10 C125 10

+

k =9

P ( X =1 ) + C19 × C116 9 C125 10

+

P(X =2) C 92 × C116 8 C125 10

= 0.9757

219

UNIFÉ


Estadística

Si N = 100 a)

n = 10

k = 25 , calcular las siguientes probabilidades:

P ( X = 6)

Calc – Distribuciones de probabilidad – Hipergeométrica…

Clic en Aceptar

⇒ b)

P ( X = 6) = 0.0124351

P( X<5)


Clic en Aceptar.



220

UNIFÉ


Estadística

Gráfica de distribución Hipergeométrico; N=100; M=25; n=10 0,933

0,30

Probabilidad

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

4

7

X

Clic en Aceptar. c)

⇒

P ( X < 5 ) = P ( X ≤ 4 ) = 0.933

P(X≥3) Gráfica de distribución Hipergeométrico; N=100; M=25; n=10 0,30

Probabilidad

0,25

0,20 0,15 0,10 0,478

0,05 0,00

0

3 X

Clic en Aceptar.

⇒ P ( X ≥ 3 ) =0.478

d)

P (1 < X < 6 ) Gráfica de distribución Hipergeométrico; N=100; M=25; n=10 0,30

Probabilidad

0,25 0,20 0,756

0,15 0,10 0,05 0,00

0

2

5

7

X

Clic en Aceptar.

⇒ P (1 < X < 6 ) = P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) = 0.756


221

UNIFÉ


Estadística EJERCICIOS PROPUESTOS Binomial – Poisson – Hipergeométrica

1.-

El 30% de las familias de un barrio de cierta ciudad son consideradas posibles clientes para comprar cierto producto. Se toma una muestra de ocho familias. ¿Cuál es la probabilidad que en la muestra tres o más no sean clientes? 0.988

2.-

Se sabe que diez es el número promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por día a cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones-tanque en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los camiones-tanque? 0.049

3-

En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto se encuentran demasiado nudosas para ser usadas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas no más de cuatro estén demasiado nudosas? 0.9873

4.-

Se sabe que la media de defectos por unidad de alfombras de una cierta marca es dos. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier unidad de alfombra contenga más de dos defectos? 0.3233

5.-

Si una central telefónica recibe en promedio, en un día congestionado, 180 llamadas por hora y puede hacer un máximo de 6 conexiones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad que la central quede saturada en un periodo de un minuto? 0.034

6.-

Claudia, que no se ha preparado absolutamente nada para un examen, ve que éste contiene 20 preguntas de Verdadero y Falso. Decide lanzar al aire una moneda para responder. Anota "Verdadero" si la moneda cae cara y "Falso" si cae sello. Hallar la probabilidad que: a) pase el examen si para hacerlo debe contestar correctamente el 70% de las preguntas. 0.058 b) conteste por lo menos la mitad de las preguntas correctamente. 0.588

7.-

Un inspector de control de calidad examina una muestra aleatoria de cinco baterías de cada caja con 24 piezas que sale de la línea de ensamble; si, de hecho, una caja contiene cuatro baterías defectuosas, encontrar la probabilidad de que en la muestra: a) ninguna esté defectuosa. 0.3648 b) hayan dos baterías en mal estado. 0.1609 c) haya al menos una pieza mala. 0.635

8.-

En promedio, doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de diez minutos, se acerquen al especialista: a) Por lo menos dos. 0.594 b) No más de dos. 0.677 c) Tres o cinco. d) Sólo cuatro. e) Por lo menos tres y como máximo siete.

9.-

Los empleados de cierta oficina llegan al reloj marcador a una tasa media de 1,5 por minuto. Hallar la probabilidad que: a) A lo más 4 lleguen en un minuto cualquiera. 0.981 b) Al menos 3 lleguen durante un intervalo de dos minutos. 0.577 c) A lo más 15 lleguen durante un intervalo de seis minutos. 0.978 d) Exactamente tres lleguen en un intervalo de 6 minutos. 0.015


222

UNIFÉ


Estadística 10.-

Un estudio realizado en cierta universidad muestra que el 60% de los graduados obtiene empleo en su área de elección después de un año de su graduación. Hallar la probabilidad de que, después de un año de su graduación, entre 14 graduados de esa universidad, seleccionados al azar, encontrarán trabajo relacionado con su profesión: a) cuando menos seis. 0.941 b) cuando mucho tres. 0.004 c) de cinco a ocho. 0.497

11.-

Una determinada empresa quiere aumentar su plantilla de vendedores en 20 personas, para lo que inserta un anuncio en prensa y se presentan 40 personas al proceso de selección. Determinar la probabilidad de que, después de realizar todas las pruebas psicotécnicas de selección y haber seleccionado, por diferentes mecanismos, a las 20 personas solicitadas, entre ellas se encuentren las 10 mejores de las 40 personas que se presentaron. 0.000218

12.-

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. Determinar la probabilidad de encontrar: a) dos imperfecciones en un milímetro de alambre. 0.265 b) diez imperfecciones en 5 milímetros de alambre. 0.113 c) al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre. 0.9899

13.-

Una compañía recibe un pedido de veinte artículos. Dado que la inspección de cada artículo es cara, se sigue la política de analizar una muestra aleatoria de seis artículos de cada envío, aceptando la remesa si no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artículos defectuosos? 0.5165

14.-

Se sabe que una emisora transmite un promedio de 8 avisos comerciales por hora para todas las horas del día. Un oyente sintoniza dicha emisora; ¿cuál es la probabilidad que escuche: a) Cuando más tres avisos en media hora. 0.433 b) Exactamente diez avisos en hora y media. 0.105 c) Al menos tres y como máximo quince avisos en una hora. 0.978 d) Más de cinco pero menos de diecisiete avisos en dos horas. 0.565 e) No más de nueve avisos en cuarenta minutos. 0.956

15.-

Un proceso de producción opera con una salida disconforme de 2%. Cada hora se toma una muestra de veinte unidades del producto y se cuenta el número de unidades disconformes. Si se encuentra una o más disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. Calcular la probabilidad de detener el proceso.

16.-

El número medio de automóviles que llegan a una estación de suministro de gasolina es de 240 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de ocho automóviles por minuto, determine la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender. 0.02134

17.-

Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso se regresa para verificación?


223

UNIFÉ


Estadística 18.-

El número de infracciones expedidas por el lector de un parquímetro, por violaciones de estacionamiento, puede moldearse mediante un proceso con una tasa de cinco infracciones por hora. Hallar la probabilidad que el número de infracciones que se expidan sean: a) b) c)

exactamente cinco durante una hora particular. por lo menos cinco en un periodo de 45 minutos. por lo menos ocho durante un periodo de hora y media.

19.-

Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 10%. Si se seleccionan en forma aleatoria diez tarjetas de circuito, hallar la probabilidad que: a) la mayoría estén en buenas condiciones. 0.998 b) Al menos tres estén defectuosas. 0.0702 c) Más de cuatro y como máximo ocho estén bien. 0.264 d) Ninguna esté defectuosa. 0.3487 e) no más de dos estén defectuosas. 0.930

20.-

En almacén se encuentran 25 centrales telefónicas que han sido retiradas de igual número de locales de diferentes ciudades del país. El administrador del almacén conoce que cinco centrales se encuentran fuera de servicio y requieren de cierta inversión para volver a ponerlas en funcionamiento. El administrador desea vender todas las centrales aplicando la regla “donde están y como están”. Suponga que usted es un comprador y decide aplicar la siguiente regla de compra: si en una muestra aleatoria de tamaño 4 encuentra al menos una central malograda, entonces decide no comprar el lote, calcular la probabilidad que: a) no compre el lote. 0.6170 b) encuentre dos centrales malogradas en la muestra de cuatro. 0.1502

21.-

Un examen consta de diez preguntas a las que hay que contestar Sí o No. Suponiendo que las personas que se les aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar. Hallar la probabilidad de obtener: a) cinco aciertos. 0.2461 b) algún acierto. 0.999 c) al menos cinco aciertos. 0.6231 d) más de dos y como máximo seis aciertos.

22.-

Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta ciudad, a una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente cinco representantes, ¿cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A?

23.-

En la transmisión de un mensaje, la probabilidad de que ocurra un error en un signo es 0.1. Calcular la probabilidad de que en un mensaje con ocho signos: a) b) c) d)

24.-

Se verifique un error. Se presente no menos de un error. El número de errores sea más de uno y como máximo siete. No hayan errores.

0.3826 0.5695 0.1869 0.4305

El examen de admisión en cierta universidad está diseñado de forma que el 35% de los postulantes logren aprobar. Hallar la probabilidad que entre 15 alumnos que postularon a dicha universidad no aprueben: a) b) c) d)

al menos doce. a lo más seis. entre siete y nueve inclusive más de seis y como máximo diez.


0.1727 0.0422 0.3935 0.6059

224

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Estadística 25.-

Un fabricante compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado? 0.6359

26.-

Un ingeniero en seguridad automotriz afirma que uno de cada diez accidentes automovilísticos son causados por fatiga del conductor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de cinco accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de tres o más de siete de un total de doce accidentes no se deban a la fatiga del conductor?

27.-

El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el periodo de garantía. En una muestra de diez unidades de disco; hallar la probabilidad de que: a) Exactamente una funciones mal durante su periodo de prueba. 0.167 b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba. 0.016

28.-

En una red de ordenadores, el acceso de los usuarios puede modelarse según un proceso de Poisson de media 25 accesos a la hora. Hallar la probabilidad de que: a) no hayan accesos en seis minutos. b) hayan cinco accesos en media hora. c) Se presenten ocho accesos en veinte minutos.

29.-

En el 15% de los hogares de una ciudad no hay nadie por la noche entre las 7:00 y la media noche. Una persona que está haciendo una encuesta telefónica selecciona al azar diez hogares de esa zona y los encuesta entre las 7:00 y la media noche. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona que está siendo encuestada no obtenga respuesta en: a) Todas las llamadas. b) Exactamente cinco llamadas. c) Tres llamadas o menos. d) obtenga una respuesta en cada una de las diez llamadas.

30.-

El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 12% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga: a) Dos pañuelos defectuosos. 0.287 b) No más de nueve no defectuosos. 0.0057 c) Al menos tres pañuelos defectuosos. 0.265 d) Como mínimo ocho pero menos de catorce no defectuosos. 0.552 e) Más de uno y como máximo cinco pañuelos defectuosos. 0.547 f) En una caja, ¿cuántos pañuelos defectuosos se espera encontrar. 1.8

31.-

Se ha descubierto que el 13,5% de los ordenadores vendidos por una empresa multinacional no contiene ningún sector defectuoso en su disco duro. Si suponemos que el número de sectores defectuosos por disco duro es una variable aleatoria de Poisson, determine el porcentaje de ordenadores vendidos que contienen un sector defectuoso en su disco duro. 0.27

32.-

Suponga que el 10% de las piezas que produce una máquina sean defectuosas. Si se extrae una muestra de 20 piezas seleccionadas en forma aleatoria. Calcular la probabilidad de que en la muestra en número de piezas defectuosas sea: a) sólo dos. 0.285 b) Como máximo tres. 0.867 c) Entre dos y cinco. 0.781 d) Como mínimo tres. 0.320


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Estadística 33.-

En un conocido centro comercial de la capital, diez comerciantes venden equipos de sonido legalmente ingresados al país, mientras que veinte comerciantes venden equipos de sonido de contrabando. Supóngase que en un operativo de represión contra el contrabando se decide elegir al azar a ocho comerciantes que venden equipos de sonido, determine la probabilidad de que: a) todos vendan equipos de sonido de contrabando. 0.0215226 b) todos vendan equipos de sonido legalmente ingresados al país. 0.0000077 c) la mayoría vendan equipos de contrabando. 0.7698 d) tres o cinco vendan equipos legales. 0.366955

34.-

Un libro contiene 100 erratas distribuidas aleatoriamente en sus 100 páginas. Suponiendo una distribución de Poisson, determinar la probabilidad de que una página observada en forma aleatoria contenga por lo menos dos erratas. 0.264

35.-

Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a seis clientes potenciales, calcular la probabilidad de que: a) Ninguno de los clientes haga una compra. 0.2621 b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra. 0.0154 c) A lo más tres prospectos realicen una compra. 0.9830 d) Al menos dos hagan una compra. 0.3446 e) Más de uno pero menos de cuatro realicen una compra. 0.3277

36.-

Se registra la llegada de mensajes por correo electrónico durante el periodo de 9 horas a 18 horas. Si se tiene en un ordenador un programa que rastrea cuántos mensajes han llegado y además en promedio se reciben 5 mensajes por hora. Hallar la probabilidad de recibir: a) Siete o menos mensajes en una hora. 0.867 b) Sólo dos mensajes en media hora. 0.257 c) Menos de seis mensajes en quince minutos. 0.998 d) Más de tres pero menos de nueve en dos horas. 0.323 e) No menos de cinco mensajes en una hora. 0.560 f) Como mínimo dos y como máximo siete mensajes en hora y media. 0.520

37.-

Según el Instituto Nacional de Estadística, el 40% de los hogares tiene conexión a Internet. Si se eligen diez hogares al azar, hallar la probabilidad de que el número de hogares con conexión a Internet sea: a) Como mínimo cinco pero menos de nueve. 0.3652 b) Más de tres y como máximo seis. 0.5630 c) Al menos seis. 0.1662 d) más de dos. 0.8327 e) sólo tres. 0.2150

38.-

Un auditor de recaudación de impuestos selecciona al azar cuatro solicitudes de devolución de impuestos de entre quince presentadas, si cinco solicitudes contienen deducciones ilegales, ¿cuál es la probabilidad de que el auditor examine: a) exactamente una solicitud legal. 0.0733 b) al menos dos solicitudes ilegales. 0.407 c) no más de cuatro solicitudes no válidas. 1

39.-

Un alumno de la facultad de Ingeniería de Sistemas tiene la certeza de aprobar una asignatura cualquiera con probabilidad 0.8. Si lleva seis asignaturas, ¿cuál es la probabilidad que: a) salga mal en todas las asignaturas. 0.00006 b) apruebe menos de dos cursos o más de cuatro. 0.657 c) apruebe exactamente dos cursos. 0.015 d) apruebe la mayoría de sus asignaturas. 0.9011 e) repruebe dos o tres asignaturas. 0.32768 f) apruebe al menos dos pero menos de cinco asignaturas. 0.3430


226

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Estadística 40.-

Un laboratorio descubre que en una población hay un 5% de probabilidad de padecer cierta enfermedad. Si se seleccionan aleatoriamente ocho miembros de esta población; hallar la probabilidad de que el número de miembros que padecen esta enfermedad sea: a) No más de dos. b) Ninguno.

41.-

Tres mujeres entablaron una demanda contra una empresa de servicios locales, por discriminación de sexos. De las nueve personas que eran elegibles para un ascenso, cuatro eran mujeres. Tres de las nueve personas recibieron en realidad el ascenso; pero sólo una de ellas era mujer. Las otras tres mujeres elegibles demandaron. Una consideración importante en el caso, unida con la probabilidad de que de las tres personas que recibieron ascenso sólo una mujer fuera seleccionada por casualidad. Es decir, si el género no era un factor, ¿cuál es la probabilidad de que no más que uno de los tres ascensos fuera asignado a una mujer? 0.5952

42.-

En determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que ocurren en forma independiente. a) ¿Cuál es el número esperado de accidentes al año? 6 b) ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año? 2.45 c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en determinado mes? 0.607

43.-

Se están considerando las dos reglas siguientes para decidir si aceptar un gran cargamento: I : Se analiza una muestra aleatoria de diez piezas, y sólo se acepta el cargamento si no hay ninguna defectuosa. II : Se analiza una muestra aleatoria de veinte piezas, y sólo se acepta el envío si no hay más de una defectuosa. ¿Cuál de estas reglas tiene una probabilidad menor de aceptar un cargamento que contenga un 20% de piezas defectuosas? La 2da. 0.069

44.-

Todos los días se seleccionan de manera aleatoria doce unidades de un proceso de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base a informaciones anteriores se sabe que la probabilidad de tener una pieza defectuosa es 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de doce unidades tenga dos o más defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) En cualquier día la producción se detenga. 0.1184 c) El número de defectuosas sea superior a dos pero como máximo nueve. 0.0196 d) Haya no menos de once unidades no defectuosas. 0.8816

45.-

Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería de la ciudad vecina. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, hallar la probabilidad de que el número de piezas del proveedor local sea: a) todas. 0.0119 b) Dos o más. 0.407 c) Al menos una. 0.804

46.-

El conmutador de una oficina recibe un promedio de 20 llamadas cada dos minutos; hallar la probabilidad que lleguen: a) Exactamente cuatro llamadas en un periodo de 30 segundos. 0.175 b) Como máximo dos llamadas en un periodo de 15 segundos. 0.544 c) Más de cinco pero menos de nueve llamadas en 1 minuto 0.266 d) Al menos seis llamadas en 25 segundos. 0.247


227

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Estadística 47.-

Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de dieciséis artículos, y se acepta el pedido si menos de dos resultan defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un envío que contenga: a) b) c)

Un 5% de artículos defectuosos. Un 15% de artículos defectuosos. Un 25% de artículos defectuosos.

0.81 0.28 0.06

48.-

El promedio de llamadas telefónicas por hora es 27. Hallar la probabilidad de que el número de llamadas sea: a) No más de doce en media hora. 0.409 b) Más de tres y como máximo catorce en quince minutos. 0.903 c) Al menos siete en doce minutos. 0.298 d) Veinticinco en cuarenta minutos. 0.024

49.-

La oficina de personal en una fábrica, indica que el 30% de los empleados de la línea de montaje se retiran durante los primeros tres años de haber sido contratados. Se acaban de contratar 12 empleados nuevos. ¿Cuál es la probabilidad que: a) Por lo menos nueve sigan trabajando después del tercer año. 0.493 c) Como mínimo tres se retiren antes del tercer año. 0.747

50.-

Suponga que en un almacén hay veinte llantas de las que tres están defectuosas. Si se toman aleatoriamente cinco llantas de ese almacén, ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos dos de ellas estén defectuosas. 0.140 b) Se elija una llanta en mal estado. 0.4605 c) Como máximo una esté en mal estado. 0.860

51.-

Se sabe que la impresora principal de un centro de cómputo opera adecuadamente 90% del tiempo. Si se tiene una muestra aleatoria de diez inspecciones; a) ¿Cuál es la probabilidad de que la impresora principal esté operando adecuadamente, • Exactamente nueve veces. • Al menos siete veces. • Más de ocho veces. b)

¿Cuántas veces adecuadamente?

puede

esperarse

0.387 0.987 0.736 que

la

impresora

principal

opere 9

52.-

El número de mensajes que se envían por computadora es una variable aleatoria con una media de cuatro mensajes por hora. Hallar la probabilidad de que se reciban: a) Tres mensajes en sesenta minutos 0.1954 b) Al menos siete mensajes en hora y media. 0.3937 c) Más de tres y como máximo ocho mensajes en media hora. 0.1426 d) No más de seis mensajes en dos horas. 0.3134 e) Más de dos pero menos de diez mensajes en hora y media. 0.8541 f) Sólo diez mensajes en tres horas. 0.1048

53.-

En una fiesta hay veinte personas, 14 casadas y 6 solteras. Se eligen tres personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres sean solteras? 0.0175

54.-

Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen no ha estudiado y por lo tanto responde al azar; hallar la probabilidad que: a) conteste correctamente no más de cuatro preguntas. 0.973 c) acierte la mayoría. 0.027 d) acierte más de dos y como máximo 7. 0.321


228

UNIFÉ


Estadística 55.-

Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo que ofrece a sus clientes dos formas de pago: “al contado” o “a crédito”, sabe que el 20% de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de “pago al contado”. Si en un periodo de tiempo determinado se han adquirido diez unidades, determinar la probabilidad que: a) Menos de dos unidades hayan sido bajo la forma de “al contado” 0.376 b) No más de dos unidades hayan sido bajo la forma “a crédito”. 0.000078 c) Más de uno y menos de cinco hayan sido bajo la forma “al contado”. 0.591 d) Sólo tres hayan sido bajo la forma de “al contado”. 0.2013 e) ¿Cuántas unidades se espera hayan sido bajo la forma “a crédito”? 8

56.-

En una tienda se acaba de recibir un embarque de 10 televisores. Poco después de haberse realizado la entrega, el fabricante llamó para informar que por error se habían enviado tres televisores defectuosos. El propietario de la empresa, decidió probar dos televisores de los 10 recibidos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos tenga defectos? 0.4667

57.-

El número de defectos por yarda cuadrada de un cierto tipo de tela manufacturada por una fábrica es medido como 0,1,2,... defectos. En promedio, el número de defectos es 0.5. Hallar la probabilidad de que una yarda cuadrada tenga: a) Dos defectos. 0.076 b) Dos defectos como máximo. 0.986

58.-

Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cuatro artículos contenga: a) Ninguno defectuoso. 0.6561 b) Exactamente dos defectuosos. 0.0486 c) No más de dos defectuosos. 0.9963

59.-

Un concesionario de cierta marca de frigoríficos ecológicos dispone de 8 unidades para la venta. De ellos 4 son del modelo A y los restantes del modelo B. Si se venden 3 frigoríficos de entre los disponibles, obtener la probabilidad de que a lo sumo dos sean del modelo A. 0.9286

60.-

Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una fábrica con 2000 empleados se puede representar por una distribución de Poisson con media 0.4. Hallar la probabilidad que: a) no haya huelga. 0.6703 b) hayan sólo dos huelgas. 0.0536 c) haya más de una huelga. 0.0616

61.-

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? 0.8154 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? 0.1846

62.-

El número promedio de interrupciones de trabajo por hora en un proceso de producción es de 0.8. Hallar la probabilidad de que en cualquier hora, el número de interrupciones sea: a) Exactamente dos. 0.144 b) A lo más dos. 0.953 c) Tres o cinco. d) Entre dos y cinco inclusive.


229

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Estadística 63.-

Existe un 80% de probabilidad de que un tipo determinado de componentes se comporte adecuadamente bajo las condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestión tiene cuatro de tales componentes, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes eventos: a) b) c)

Todos los componentes se comportan adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional. 0.410 El dispositivo no es operacional porque falla uno de los cuatro componentes. 0.410 El dispositivo no es operacional porque falla al menos uno de los componentes. 0.590

64.-

Una compañía recibe un gran cargamento de artículos y decide aceptar el envío si en una muestra aleatoria de 20 artículos no hay más de un defectuoso. Si se sabe que la proporción de artículos defectuosos en el cargamento es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía acepte el envío? 0.3918

65.-

Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente a una tasa de 300 autos por hora. Calcular la probabilidad que: a) b) c) d)

Un auto llegue durante un periodo de un minuto. Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo de un minuto. Tres o cinco autos lleguen en un minuto. Más de dos pero menos de siete autos lleguen en un minuto.

0.0337 0.9596

66.-

Entre 120 solicitantes para un trabajo están capacitados actualmente 80. Si 5 de estos solicitantes son escogidos al azar para una entrevista. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 2 de los 5 están actualmente capacitados para el trabajo? 0.1638

67.-

Defectos de cierta clase de tejidos de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por 100 pies cuadrados. Hallar la probabilidad de que una pieza que mida 50 por 10 pies, a) No tenga defectos. 0.007 b) Presente un defecto como máximo. 0.040 c) Tenga dos o tres defectos. d) Presente exactamente cuatro defectos.

68.-

Un profesor de cómputo afirma que en la primera lección de "Introducción a la computación como procesadores de texto", para secretarias sin conocimientos previos en la materia, se da un 80% de asimilación (teórico - práctica). Calcule las probabilidades de que si este curso se da a 7 secretarias: a) no menos de tres asimilen el curso. 0.9953 b) todas asimilen el curso. 0.2097 c) entre 2 y 6 (inclusive) asimilen el curso. 0.7899 d) menos de tres o más de cinco no asimilen el curso. e) dos o seis asimilen el curso.

69.-

De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, hallar la probabilidad de que, a) los cuatro exploten. 0.1667 b) al menos dos no exploten. 0.3333 c) la mayoría exploten. 0.6667

70.-

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6.8 clientes/hora. Hallar la probabilidad que: a) En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes. 0.853 b) En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente. 0.183 c) En los primeros diez minutos llegue sólo un cliente.


230

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Estadística 71.-

Un estudio reciente reveló que el 60% de los conductores de la ciudad A, se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se seleccionó una muestra de 10 automovilistas, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente siete llevarán fijo el cinturón. 0.2150 b) Siete o menos de los conductores lo lleven puesto. 0.8327 c) En promedio, ¿cuántos conductores se espera que estén usando el cinturón de seguridad? 6

72.-

Una distribuidora de bebidas tiene 15 camiones de reparto. Supóngase que 6 de los mismos tienen problemas con los frenos, si se seleccionan al azar cinco camiones para probarlos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los vehículos examinados tengan problemas con los frenos? 0.4196

73.-

Un telar experimenta una rotura aproximadamente cada diez horas. Se está produciendo un estilo particular de tela que requiere 25 horas de trabajo. Si con tres o más roturas el producto no es satisfactorio, encontrar la probabilidad de que la tela se termine con calidad aceptable. 0.544

74.-

En la recepción de un hotel hay veinte clientes de los cuales 15 están satisfechos por la atención recibida. Se elige una muestra sin reposición de cuatro clientes y se les pregunta su opinión sobre el servicio. Calcular la probabilidad de que el número de clientes que manifiestan estar insatisfechos sea: a) sólo tres. 0.4696 b) Por lo menos tres. 0.7513 c) Por lo menos uno. 0.9990

75.-

Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso se regresa para verificación?

76.-

El promedio de accidentes en una planta industrial es de 2 por semana. Hallar la probabilidad que en una semana determinada: a) Ocurran exactamente dos accidentes. 0.271 b) No ocurra accidente alguno. 0.135 c) Ocurran tres o cinco accidentes. d) Ocurran al menos dos accidentes.

77.-

Una compañía se dedica a la instalación de nuevos sistemas de calefacción central. Se ha comprobado que en el 15% de las instalaciones es necesario volver para revisar algunas modificaciones. En una semana determinada se realizaron seis instalaciones. Asumir independencia en los resultados de esas instalaciones. a) b) c)

78.-

¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos los casos? 0.000011 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de los casos? 0.3771 ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno? 0.2235

En una ciudad, cada tres meses ocurren en promedio 12 muertos por accidentes de tránsito, ¿cuál es la probabilidad de que haya como mínimo 4 muertos por accidentes de tránsito en cualquier mes? 0.567


231

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Estadística 79.-

Un equipo de fútbol tiene 4/5 de probabilidad de ganar cuando juega. Si juega diez partidos y además se sabe que no se aceptará un empate, hallar la probabilidad que: a) b) c) d) e)

Gane por lo menos un partido. Gane más de la mitad de los partidos. Gane al menos cinco y como máximo siete partidos. Pierda no más de tres partidos ¿Cuántos partidos se espera que pierda?

0.9999 0.967 0.315 0.879 2

80.-

Si se eligen al azar seis declaraciones de entre 20 pagos de impuestos de los cuales ocho contienen deducciones fraudulentas. a) Determinar la probabilidad de que la Sunat detectara tres pagos de impuestos con deducciones fraudulentas. 0.3178 b) ¿Cuál es la probabilidad de que detectara al menos tres pagos de impuestos con deducciones fraudulentas? 0.4551

81.-

El número medio de automóviles que llega a una gasolinera es de 210 por hora. Si dicha gasolinera sólo puede atender a un máximo de diez automóviles por minuto, a) Determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la gasolinera más automóviles de los que puede atender. 0.0010194 b) Hallar la probabilidad de que entre las 10:14 y las 10:15 lleguen diez automóviles, y al minuto siguiente ninguno. 0.0000693

82.-

Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de éstos, ¿cuál es la probabilidad que ninguno de los dos esté defectuoso? 0.4667

83.-

Suponiendo que la probabilidad de que un niño que nace sea varón es 0,51, hallar la probabilidad de que en una familia de seis hijos, tenga: a) Por lo menos una niña. 0.9824 b) Por lo menos un niño. 0.9862 c) Por lo menos dos niños y una niña. 0.0912

84.-

Suponga que durante una semana un pequeño taller de torneados en madera fabricó cincuenta juegos didácticos, cuarenta funcionaron sin problema y diez tuvieron al menos un defecto. Se selecciona una muestra al azar de cinco. Hallar la probabilidad de que: a) cuatro de los cinco funcionen perfectamente b) uno de los cinco funcionen perfectamente.

85.-

Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo que el número de cheques falsos sigue una distribución de Poisson, hallar la probabilidad de que se reciban: a) cuatro cheques falsos en un día. 0.133853 b) más de treinta cheques falsos en una semana (de lunes a sábado). 0.862 c) Al menos veinte cheques falsos en tres días. 0.349 d) Más de ocho o menos de tres cheques falsos en un día. 0.215

86.-

En promedio, cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le presentan; para aprobar es necesario solucionar 7 de 10 problemas de un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen? 0.1719

87.-

El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio es de tres por día, ¿cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera: a) No se presente ninguna demanda. 0.050 b) Por lo menos se presenten dos demandas. 0.801


232

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Estadística 88.-

El Sr. García es el responsable de la compra de cajas de vino para un restaurante. Periódicamente elige una caja de prueba (12 botellas por caja) para determinar si el proceso de sellado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar 4 botellas de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcule la probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del Sr. García. 0.485

89.-

Sabemos, por la experiencia pasada, que el fax de un departamento universitario tiene una probabilidad de fallo en la transmisión de 0,1. Si realizamos una inspección durante un mes a 10 transmisiones seleccionadas al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que funcione correctamente como máximo 9 veces. 0.6513 b) ¿En cuántas ocasiones se espera que funcione correctamente el fax en las 10 inspecciones realizadas? 9

90.-

La computadora de marca ABC se descompone a razón de 0,05 veces por hora de operación, siendo necesario darle servicio especializado de reparación. Suponiendo que las descomposturas ocurren según la distribución de Poisson, a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran descomposturas en un periodo de trabajo de ocho horas? 0.670 ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran en una semana de 40 horas? 0.135

91.-

El número de fallas de un instrumento de prueba debido a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0,02 fallas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El instrumento no falle en una jornada de ocho horas. 0.852 b) Se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas. 0.381

92.-

Un examen en la administración pública está diseñado en forma tal que el 70% de las personas con un CI de 90 lo aprueben. Hallar la probabilidad que entre 15 personas con un CI de 90 que se presenten al examen: a) aprueben al menos doce. 0.297 b) a lo más seis no aprueben. 0.869 c) exactamente diez aprueben. 0.206 d) más de siete y menos de diez reprueben 0.046 e) más de seis y como máximo doce aprueben. 0.858 f) ¿cuántas personas se espera que aprueben el examen. 11

93.-

Sea X el número de automóviles de un año y modelo particular que en algún momento en el futuro sufrirán una falla grave en el mecanismo de dirección, que ocasionará pérdida completa de control a alta velocidad. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ=10. Hallar la probabilidad de que sufran dicha falla: a) a lo sumo diez automóviles. 0.583 b) Entre diez y quince automóviles inclusive. 0.493 c) Al menos cuatro automóviles. d) No más de cinco automóviles.

94.-

Un político cree que el 25% de los economistas que ocupan altos cargos apoyará una propuesta que quiere presentar. Supongamos que esta creencia es correcta y que se eligen doce economistas que ocupan altos cargos aleatoriamente. Hallar la probabilidad de que: a) al menos tres apoyen la propuesta. 0.6093 b) la mayoría de ellos no apoyen la propuesta. 0.9456 c) menos de tres o más de ocho apoyen la propuesta. 0.3911 d) Como mínimo cuatro y menos de diez no apoyen la propuesta. 0.6089 e) Sólo la mitad apoyen la propuesta. 0.0401


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Estadística 95.-

Suponga que un usuario de computadoras está trabajando en una terminal de una red conectada a una central. El tiempo en segundos que le toma a la computadora central responder a una petición del usuario, tiene una distribución exponencial con un tiempo esperado de respuesta de 2 segundos. Determinar la probabilidad de que dicha respuesta demore: a) a lo más cuatro segundos. 0.8647 b) más de siete pero menos de doce segundos. 0.0277 c) no menos de cinco segundos. 0.0821 d) como mínimo seis pero menos de quince segundos. 0.0492

96.-

El promedio de clientes que van a una ventanilla de un Banco por minuto durante horas hábiles es uno. Hallar la probabilidad de que durante un minuto dado. a) No aparezcan clientes. 0.3679 b) Haya tres o más clientes. 0.0803 c) Haya no más de tres clientes. 0.9810

97.-

Supongamos que durante la semana se fabricaron 50 juegos Play Station. Operaron 40 sin problemas y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona una muestra al azar de cinco. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco funcionen perfectamente? 0.431

98.-

Una gran compañía industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el descuento. En una auditoría de la compañía se seleccionó aleatoriamente doce facturas. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de facturas que tengan descuento sean: a) b) c) d)

99.-

Menos de cuatro. Más de una. Más de dos y como máximo nueve. ¿Cuántas facturas con descuento se esperaría encontrar?

0.974 0.341 0.11093 1.2

Un estudiante compra una nueva computadora que se bloquea frecuentemente. El estudiante cree que el número de veces que se bloquea sigue un proceso de Poisson con una media de tres bloqueos por hora. Calcular la probabilidad de que la computadora siga funcionando sin bloquearse durante una hora después de encenderla. 0.0498

100.- El fabricante de las unidades de disco usadas en una de las conocidas marcas de microcomputadoras espera que 98% de las unidades de disco funcionen bien durante el periodo de garantía de las microcomputadoras. a) En una muestra de diez unidades de disco, ¿cuál es la probabilidad de que durante el periodo de garantía al menos dos funcionen mal. 0.016 b)

En una muestra de cincuenta unidades de disco, ¿cuál es la probabilidad de que durante el periodo de garantía al menos tres funcionen mal. 0.0784

101.- Sabemos que el número medio de programas que compila un ordenador es de 5 en 10 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que compile 25 en una hora? 0.0511 102.- En una reunión hay ocho personas de las cuales cuatro son miembros de un sindicato. Se seleccionan al azar tres personas para formar un comité. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de ellas sea miembro de un sindicato? 0.429 103.- Las estadísticas sobre las aplicaciones de normas de seguridad en una fábrica indican que, en promedio, se presentan 10 accidentes cada trimestre. Hallar la probabilidad de que: a) b) c) d)

no haya más de doce accidentes de trabajo en cada trimestre. el número de accidentes sea superior a 3 pero inferior a 6. hayan menos de dos o más de seis. exactamente siete.


0.792

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Estadística 104.- Un comprador de circuitos impresos ha decidido aceptar las partidas de circuitos si, al inspeccionar una muestra de 50 circuitos, encuentra menos de 3 defectuosos; en caso contrario la devuelve al productos. Se envía una partida con un 2% de circuitos defectuosos. Calcular la probabilidad de que sea aceptada. 105.- Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo, y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es de 0.4. Calcular: a) b)

la probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos. 0.6630 La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3 (ambos inclusive). 0.8352

106.- Se sabe que el número de llamadas telefónicas recibidas por minuto en una central telefónica se distribuye según una variable aleatoria de Poisson con un promedio de 1.8 llamadas. Calcular la probabilidad de que en un minuto se reciban: a) dos llamadas. 0.2678 b) Al menos dos llamadas. 05372 c) Más de dos llamadas. 0.2694 d) en cinco minutos no se reciba llamada alguna. 0.0001 107.-

Una analista financiera ha recibido una lista de los bonos de doce compañías. La analista selecciona tres empresas de la lista cuyos bonos cree que están en peligro de caer en el próximo año. En realidad, cuatro de las empresas de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Supongamos que la analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de las elegidas estén entre aquellas cuyos bonos bajarán en el próximo año?

108.-

Un proceso de producción opera con una salida disconforme de 2%. Cada hora se toma una muestra de 20 unidades del producto y se cuenta el número de unidades disconforme. Si se encuentra una o más disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. Calcular la probabilidad de detener el proceso.

109.- Suponga que 0.2 es la probabilidad de que una persona, que se conecta a un sitio específico en un centro comercial en la red Internet, compre un artículo. Si el sitio tiene en un momento determinado diez personas que se han conectado, hallar la probabilidad de que: a) exactamente dos personas compren un artículo. 0.30199 b) Más de siete no compren dicho artículo. 0.6778 c) Como mínimo tres pero menos de siete compren. 0.3213 d) No más de cuatro no compren. 0.00637 e) Menos de tres o más de cuatro compren. 0.7108 f) Al menos cinco no compren. 0.9936 g) ¿cuántas personas se espera que compren dicho artículo? 2 110.-

Una compañía telefónica observa que entran en promedio 3.2 llamadas por minuto en una línea determinada. Suponiendo que el número de llamadas se distribuye según un modelo de Poisson, calcular para el intervalo de un minuto la probabilidad que entren: a) exactamente dos llamadas. 0.2087 b) A lo sumo tres llamadas. 0.6025 c) Por lo menos tres llamadas. 0.6201 d) Entre dos y siete llamadas inclusive. 0.8120

111.- De los 68 clientes de una empresa se elegirá al azar una muestra de doce a los que se realizará una labor de seguimiento comercial. Sabiendo que entre esos clientes tres son de Huancayo, calcular la probabilidad de que los tres sean seleccionados. 0.0044


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Estadística 112.- El director de un banco está considerando la concesión de un préstamo a diez personas que lo han solicitado. El perfil de todos los solicitantes es similar, excepto en que cinco son menores de edad y el resto no. Al final, el director aprueba seis solicitudes. Si estas seis solicitudes han sido elegidas aleatoriamente del total, ¿cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las aprobadas sean solicitudes de menores de edad? 0.262

113.- El número de enfermos que solicitan atención de emergencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de 43.2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que colapse el servicio de emergencias del hospital? 0.1343 114.- Un agente de seguros vende pólizas a veinte individuos, todos de la misma edad. La probabilidad de que un individuo viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años: a) ocho individuos estén vivos. 0.0355 b) la mayoría no estén vivos; 0.1275 c) al menos doce individuos vivan. 0.5956 d) más de tres pero menos de quince individuos no estén vivos. 0.9824 115.- El número de llamadas que llegan a cierta Central Telefónica en determinado periodo de tiempo sigue un proceso de Poisson de tasa 180 llamadas la hora. La capacidad de la Central Telefónica permite atender un máximo de cinco llamadas por minuto. Calcular la probabilidad: a) de que en un minuto determinado se reciban más llamadas de las que se pueden atender. b) de que en un intervalo de cinco minutos se produzcan más de diez llamadas. c) de que en dos minutos se produzcan exactamente cuatro llamadas. d) De que en diez minutos se produzcan al menos veinte llamadas. 116.- En una tienda que vende computadoras, un promedio de doce personas por hora le hacen preguntas a un vendedor. Hallar la probabilidad de que tres o más personas se acerquen al vendedor para hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos. 0.3232 117.- Por parte de una compañía de seguros se sabe que en una población el número de individuos que fallece cada año de un determinado tipo de accidentes sigue una distribución de Poisson de parámetro 0.3. Si todos los individuos de esa población están asegurados en esa compañía, a) Determina la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres asegurados contra ese tipo de accidentes en un año determinado. 0.00027 b) Hallar el número esperado de accidentes en ese año. 0.3 118.- Se sabe que de un lote de 40 semillas no está en buenas condiciones la cuarta parte. Se toman al azar ocho semillas y se analizan en el laboratorio. Hallar la probabilidad de que: a) más de tres de las semillas analizadas estén en malas condiciones. 0.0894 b) mínimo quince y menos de veinte estén en buenas condiciones. 0.659 119.- A una hemeroteca científica van llegando usuarios de manera aleatoria e independiente en el tiempo. La media del número de usuarios que llegan en una hora es de 7. Calcular la probabilidad de que lleguen: a) exactamente 20 usuarios en hora y media. 0.0030 b) menos de 5 usuarios en media hora. 0.7254 c) al menos 12 usuarios en dos horas. 0.7400 d) más de 4 pero menos de 9 usuarios en 20 minutos. 0.0866


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Estadística 120.- De seis empleados, tres han permanecido en la compañía por cinco o más años. Si de este grupo de seis se eligen aleatoriamente a cuatro empleados, hallar la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de cinco a más años. 0.60 121.- La comisión de desarrollo económico de una ciudad ha determinado que el número de pequeños negocios que se declaran en quiebra al mes es un proceso de Poisson con promedio 2.6. Calcule la probabilidad de que: a) Ninguno se declare en quiebra el próximo mes 0.074 b) Al menos ocho se declaren en quiebra los próximos tres meses 0.519 c) Ocurran menos de tres quiebras en quince días. 0.857 d) Se declaren en quiebra más de dos pero menos de ocho en los dos meses siguientes. 0.736 122.-

Se dice que el 25% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 16 accidentes, determine la probabilidad de que; a) La mayoría no se atribuya a errores humanos. 0.9729 b) Al menos cuatro de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano. 0.5950 c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. 0.0000035 d) Menos de dos o más de siete no se atribuyan a errores humanos. 0.9925

123.- En un departamento de reparación de maquinaria se recibe un promedio llamadas de servicio por hora. Hallar la probabilidad de que se reciban: a) exactamente tres llamadas en una hora. b) al menos ocho llamadas en hora y media. c) menos de seis o más de diez en dos horas. d) más de siete y menos de quince en cuarenta minutos. e) no menos de dos en media hora.

de cinco 0.1404 0.4754 0.4841 0.0207 0.7127

124.- El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 12% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga: g) Dos pañuelos defectuosos. 0.2870 h) No más de nueve no defectuosos. 0.0057 i) Al menos tres pañuelos defectuosos. 0.2654 j) Como mínimo ocho pero menos de catorce no defectuosos. 0.5523 k) Más de uno y como máximo cinco pañuelos defectuosos. 0.5467 l) En una caja, ¿cuántos pañuelos defectuosos se espera encontrar. 1.8 125.- Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs. Operaron sin problemas 40 y 10 tuvieron al menos un defecto. Si se selecciona al azar una muestra de doce, hallar la probabilidad de que: a) seis operarán sin problemas. 0.0066 b) Más de dos y como máximo cuatro tendrán problemas. 0.403 c) Al menos siete no tendrán problemas. 0.993 d) Como mínimo tres pero menos de ocho no tendrán problemas. 0.0460 e) No más de cuatro tengan problemas. 0.954 f) Menos de dos o más de cuatro tengan problemas. 0.282 g) ¿Cuántos DVDs se espera que tengan problemas? 2.4 126.- Una compañía telefónica observa que entran en promedio 3.2 llamadas por minuto en una línea determinada. Hallar la probabilidad de que el número de llamadas que ingresan sea: a) No menos de doce en cinco minutos. 0.873 b) Al menos setenta en media hora. 0.998 c) Más de treinta pero menos de cuarenta en quince minutos. 0.104 d) No más de veinte en diez minutos. 0.0159 Gladys Enríquez Mantilla

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Estadística 127.- El señor Méndez, quien está a cargo de la sección de electrónica de un centro comercial, se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentra curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro personas que curiosean compren algo durante una hora dada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 personas que curiosean compren algo durante una hora dada? 128.- En una reunión hay quince personas de las cuales seis son miembros de un sindicato. Se seleccionan al azar a ocho personas para formar un comité. Hallar la probabilidad de que: a) Exactamente una de ellas sea miembro de un sindicato. 0.03357 b) La mayoría no sea miembro de sindicato. 0.622 c) Más de dos y como máximo cinco sean miembros de sindicato. 0.764 d) No más de tres no sean miembros de sindicato. 0.0839 e) Al menos seis sean miembros del sindicato. 0.00559 f) Como mínimo dos pero menos de siete no sean del sindicato. 0.965 g) ¿Cuántas personas se espera que sean del sindicato? 3.2 129.- De una población de pacientes con depresión, se sabe que el 30% sufre alteraciones somáticas; un psicólogo clínico extrae una muestra aleatoria simple de 16 sujetos, hallar la probabilidad que: a) no más de cinco sufra de alteraciones somáticas. 0.660 b) siete o diez no sufran de alteraciones somáticas. 0.1834 c) más de cuatro pero menos de nueve no sufran de alteraciones somáticas. 0.0741 d) menos de la mitad o más de doce tengan alteraciones somáticas. 0.9260 e) al menos siete pero menos de trece no sufran alteraciones somáticas. 0.747 f) tan sólo tres sufran de alteraciones somáticas. 0.1465 130.- Diez de los 80 trabajadores que laboran en una empresa, han tenido un ascenso en los últimos 5 años. Se seleccionan aleatoriamente 6 trabajadores. Hallar la probabilidad que: a) No más de dos hayan tenido un ascenso. 0.9764 b) La mayoría no fue ascendido. 0.9764 c) Tres o cinco hayan sido ascendidos. 0.0219183 d) Más de uno y como máximo cuatro no fueron ascendidos. 0.1609 e) ¿cuántos ascendidos se espera encontrar? 0.75 131.- Un almacén de juguetes recibe un embarque de 25 juegos de modelos de aviones, entre los cuales hay 4 incompletos. Si un comprador escoge aleatoriamente cuatro juegos de estos modelos sin derecho a cambio, hallar la probabilidad que: a) todos resulten incompletos. 0.0000791 b) la mayoría estén completos. 0.8937 c) al menos dos estén incompletos. 0.1063


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Binomial Poisson Hipergeometrica

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