ENTREGA N°2. DISEÑO A CORTANTE Y TORSIÓN ISOSTÁTICA E HIPERESTÁTICA DISEÑO ESTRUCTURAL AVANZADO – ORLANDO GIRALDO BOLÍVAR
21 DE MARZO DE 2017 JHAYRON STEVEN PÉREZ CARRASQUILLA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE MEDELLÍN – FACULTAD DE MINAS.
Contenido 1.
DIMENSIONAMIENTO DE LA VIGA Y SU RESPECTIVO REFUERZO POR FLEXIÓN. 3 1.1
Cálculo de cargas actuantes sobre la viga. .......................................................... 4
1.1.1 Carga muerta. ....................................................................................................... 4 1.1.2 Carga viva. ............................................................................................................ 6 1.1.3 Carga última. ......................................................................................................... 7 1.1.3 Carga de servicio. ................................................................................................. 7
2.
1.2
Cálculo de los momentos máximos. .................................................................... 7
1.3
Refuerzo por flexión............................................................................................. 9
DISEÑO A TORSIÓN ISOSTÁTICA Y CORTANTE. CORTANTE. ................................................. 11 2.1
Cálculo de los momentos torsores. .................................................................... 11
2.1.1
Puntos de aplicación de las cargas. ............................................................... 11
2.1.2
Momentos torsores unitarios. unitarios. ......................................................................... 12
2.1.3
Momento torsor de servicio. ........................................................................... 13
2.1.4
Momento torsor último.................................................................................... 14
2.2
Diagramas de momento torsor y cortante .......................................................... 14
2.2.1
Momento torsor total. ..................................................................................... 14
2.2.2
Cortante última............................................................................................... 14
2.2.3 Diagramas........................................................................................................... 15 2.3
Refuerzo a torsión isostática y cortante. cortante. ............................................................ 15
2.3.1 Verificación del momento torsor mínimo. ............................................................. 15 2.3.2 Determinación de los parámetros de la sección interna (encerrada por los estribos). ..................................................................................................................................... 16 2.3.3 Revisión de la fisuración por efecto de la combinación torsión-cortante. torsión-cortante. ............. 16 2.3.4 Refuerzo mínimo transversal por torsión. ............................................................ 17 2.3.5 Refuerzo mínimo transversal por cortante. cortante. .......................................................... 17 2.3.6 Separación entre estribos. ................................................................................... 18 2.3.7 Refuerzo longitudinal por torsión. ........................................................................ 18 3.
DISEÑO A TORSIÓN HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA Y CORTANTE........................................... 19 3.1
1
Cargas sobre la viga y momentos torsores unitarios.......................................... 19
3.1.1
Carga muerta. ................................................................................................ 19
3.1.2
Momento torsor unitario por carga muerta...................................................... 20
3.1.3
Carga viva. ..................................................................................................... 21
3.1.4
Momento torsor unitario por carga viva: ......................................................... 21
3.1.5
Carga última................................................................................................... 22
3.1.6
Momento torsor unitario último ....................................................................... 22
3.2
Diagramas de momento torsor y cortante .......................................................... 22
3.2.1
Momento torsor total. ..................................................................................... 22
3.2.2
Cortante última............................................................................................... 22
3.2.3
Diagramas...................................................................................................... 23
3.3
Reducción del momento torsor de la viga y momento torsor de diseño. ............ 23
3.4
Refuerzo a torsión hiperestática y cortante. ....................................................... 24
3.4.1 Verificación del momento torsor mínimo. ............................................................. 24 3.4.2 Determinación de los parámetros de la sección interna (encerrada por los estribos). ..................................................................................................................................... 24 3.4.3 Revisión de la fisuración por efecto de la combinación torsión-cortante. ............. 25 3.4.4 Refuerzo mínimo transversal por torsión. ............................................................ 25 3.4.5 Refuerzo mínimo transversal por cortante. .......................................................... 26 3.4.6 Separación entre estribos. ................................................................................... 26 3.4.7 Refuerzo longitudinal por torsión. ........................................................................ 27 4.
CONCLUSIONES. .................................................................................................... 28
5.
BIBLIOGRAFÍA. ........................................................................................................ 28
2
A continuación, se procede a diseñar la viga A-3-4 del siguiente esquema según sus requerimientos a torsión.
Figura 1. Vista en planta del edificio.
´ =28
=420 =0.4 ℎ=0.45
El edificio tiene una altura entre pisos de 2,5 m, se diseñará para un concreto con una resistencia de y acero con una resistencia de .
1. DIMENSIONAMIENTO DE LA VIGA Y SU RESPECTIVO REFUERZO POR FLEXIÓN. Se tiene inicialmente dimensionada, una viga de ancho como se muestra en la siguiente figura.
y altura
, tal y
Figura 2. Vista de la sección transversal de la viga inicialmente planteada.
Con el ánimo de comprobar el refuerzo a flexión adecuado para la viga en cuestión, se procede a calcular las cargas actuantes sobre la misma, como se detalla a continuación.
3
1.1 Cálcu lo de cargas actuantes sobre la viga. 1.1.1 Carga muerta. Para estimar la carga muerta actuante sobre la viga, se debe dimensionar la losa en cuestión, para esto, se deben tener en cuenta ciertas recomendaciones de diseño especificadas en la norma NSR-10, enumeradas a continuación: •
La altura mínima de la suma entre la losa y la viga es de la luz del voladizo entre ocho.
ℎ =0.4375
ℎ = 8 1
3.5 0.45
Se tiene para este caso, un voladizo en la cara interna de la viga de , con lo cual, , como se mencionó en la sección anterior, y se puede observar en la figura 2, la suma de alturas entre la viga y la losa es de , lo cual es mayor a lo recomendado, y se aplicará tanto para la cara interna como para la externa de la viga. Se contará con una losa aligerada, con nervaduras parabólicas, en donde se deben cumplir las siguientes condiciones. • •
0.12
ℎ 100 ℎ, =5∗ =500 2 ℎ =0.4 =400 ≤500
El ancho de los nervios debe ser mayor a . La altura inicial de los nervios debe ser menor a cinco veces el ancho de los mismos.
Para este caso, , y se toma un ancho de nervios , con el fin de cumplir las especificaciones mencionadas anteriormente.
=
A continuación, se ilustra la losa aligerada dimensionada anteriormente. Figura 3.1. Vistas de la losa aligerada que aporta cargas y momentos torsores a la viga en estudio.
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, y con el objetivo del acomodamiento geométrico, se distribuyen las nervaduras como se muestra en la siguiente figura, teniendo a lo largo de la luz 8 nervaduras de 120 mm de espesor, y espacios entre las mismas de 900 mm, los dos espacios entre las caras de las vigas y sus respectivas nervaduras contiguas son de 670 mm.
4
Figura 3.2. Losa aligerada y nervaduras correspondientes a la viga en estudio.
De esta manera, la carga muerta total, se calcula como el peso de la losa, sumado al peso de las viguetas, y al peso propio de la viga. A continuación, se muestra el procedimiento para calcular las cargas por metro lineal de la viga en cuestión. Para la losa interior, el peso de la losa se calcula cómo:
ó
ó =∗∗ 3 =3.5 ;=0.05 =24 ó , =4.2 1 ó , =1.2
Donde es el peso de la losa, es la longitud del voladizo, y es el peso específico del concreto, en este caso: . Se obtiene entonces:
De manera similar, se obtiene el peso de la losa exterior, con la diferencia de que, en este caso, la luz del voladizo es de . Se obtiene con la ecuación (3):
Luego se calcula el peso de las nervaduras en forma parabólica, para ello se debe estimar la ecuación de la parábola que se forma en ambos lados de la viga, ambas ecuaciones deben cumplir qué:
=∗ 4
Si se hace uso de las condiciones justo en las caras de la viga, se tiene: •
Para el lado interno de la viga:
=0.0367
=0.4 =3.3 =0.0367 4.1
En este caso, si se hace y , despejando la ecuación (4), se obtiene un valor , y por lo tanto la ecuación de la parábola es:
•
5
Para el lado externo de la viga:
=0. 4 =0. 8 =0.625 =0.625 4.2 =0 1 á =∫ = 3 5 3. 3 á, =0.0367 3 =0.44 0. 8 , =0.625 3 =0.107
En este caso, si se hace y , despejando la ecuación (4), se obtiene un valor , y por lo tanto la ecuación de la parábola es:
3.5
Nota: Se debe aclarar que las ecuaciones anteriores se cumplen poniendo como origen de la figura, es decir , el punto en el cuál termina el voladizo, en este caso, a desde el eje central de la viga en el lado interior, y desde el eje central de la viga en el lado exterior. El área de la parábola, se puede estimar a partir de la siguiente expresión:
Por lo tanto, para el lado interno de la viga, combinando la ecuación (4.1) y la (5), se tiene:
Y para el lado externo, combinando las ecuaciones (4.2) y la (5), se tiene:
Ahora, teniendo en cuenta que se tienen para ambos lados, 8 nervaduras, que llegan a toda la longitud de la viga en estudio, se calcula el peso por metro lineal de las viguetas cómo:
∗0. 1 2 ∗ = 8∗, =1. 1 264 9 ∗0. 1 2 ∗ = 8∗, =0. 2 731 9 , = ∗0.4∗0.4=3.84 = ,6 ó , ó , =10.64 0.5 4.5
Además, se debe tener en cuenta el peso propio de la viga, el cual se calcula cómo:
Luego, la carga muerta total actuando sobre la viga, será:
Se obtiene entonces, a partir de la ecuación (6):
1.1.2 Carga viva.
Se asume para el ejercicio, una carga viva de , ahora, se calcula la carga viva por unidad de longitud de viga, multiplicando por el ancho aferente a la viga, que tal y como se muestra en la Figura 1. es de . Teniendo en cuenta que los siguientes valores serán 6
usados para el diseño a torsión, se decide discretizar la carga viva para el lado interno y el lado externo de la viga, de manera que se obtiene:
, =0.5 ∗3.5 =1.75 , =0.5 ∗1 =0.5 =, , =2.25
Entonces, la carga viva total que actúa sobre la viga es:
1.1.3 Carga última.
La carga última, se estima a partir de la siguiente combinación de carga, obteniéndose:
=1. 2 ∗ 1. 6 ∗ =16.37
1.1.3 Carga de servi cio.
La carga de servicio en este caso es simplemente la suma algebraica de la carga viva la carga muerta .
1.2
= =12.89
y
Cálculo de los momentos máximos.
De acuerdo con el método de los coeficientes de la ACI, se pueden calcular los momentos máximos en la viga, por medio de la siguiente expresión.
=. ∗ ∗
Donde los coeficientes son extraídos de la siguiente tabla:
7
Tabla 1. Coeficientes para hallar los momentos máximos en la viga.
Para las condiciones en las que se encuentra la viga, se tienen los siguientes coeficientes, para el momento en los extremos, se tiene:
− = 111 ∗∗ 7.1 − = 111 ∗∗ 7.2 − = 111 ∗ ∗8.75 =89.72 . − = 111 ∗ ∗9.25 =100.26 . − = 1111 ∗ ∗8.5 =113.93 . − = 11 ∗ ∗9.5 =127.33 . + = 161 ∗∗ 7.3 + = 161 ∗ ∗ =65.26 . + = 161 ∗ ∗ =82.87 .
•
Por tanto, para el estudio de servicio, se tiene, a partir de las ecuaciones anteriores:
•
Y para el estudio con carga última:
Ahora, para el momento máximo en el centro de la viga, se tiene:
•
Para las condiciones de servicio:
•
Y para las condiciones últimas:
Y el diagrama de momentos, se comporta como se muestra en la siguiente figura: 8
Figura 4. Diagrama de momentos de la viga seleccionada.
1.3
Refuerzo por flexión.
A continuación, se calcula la capacidad de la sección propuesta de la viga, según las dimensiones propuestas anteriormente (ver Figura 2.)
=0,63∗√ 28=3,3 , , = 0,25∗ ´ ∗∗ ó 1. 4 ∗∗ 8 " " =0.450.05 38 ∗0.0254 78 ∗ 12 ∗0.0254 =0.38 =380 , =506.7 ≤0,30 9 = 0, 8 5∗´∗∗ 10
Se calcula el módulo de rotura del concreto
Ahora se calcula el área mínima de acero
.
.
En este caso se elige usar un recubrimiento de 5 cm, y asumiendo un diámetro de estribos de , y un diámetro de refuerzo longitudinal de , se obtiene:
Ahora, a partir de la ecuación (8):
Se debe cumplir según la NSR-10, que:
Y, por equilibrio de fuerzas sobre la sección transversal de la viga, se obtiene la siguiente ecuación:
Donde: 9
=0, 8 5∗ =0,3∗ , = 0,85∗28 ∗0,84205∗380∗0,3∗400 =2196.4 y
(Para el área de acero máxima)
Entonces:
Se propone entonces, poner un refuerzo longitudinal a flexión en los extremos de la viga para atender el momento negativo, que conste de 3 barras de acero N°7. Y para la parte central de la viga, para atender el momento positivo, se tienen 2 barras de acero N°7. Se verifica que el refuerzo de acero aplicado a la sección no exceda el área de acero máxima calculada anteriormente. Se tiene lo siguiente para la sección crítica: No
Diámetro (mm) Área de barra (mm2) Número de barras Área de acero (mm2) 7 22.225 387.9479137 2 1163.84 TOTAL 1163.84 Tabla 2. Área del acero de refuerzo para el momento positivo.
Por tanto,
Entonces:
=1163.84 <, ; 1163.84 < 2196.4
Por lo tanto, no se excede el área máxima de acero.
Ahora se calcula la resistencia nominal de la sección, con el fin de verificar si cumple la solicitación de resistencia. Se tiene la siguiente expresión:
=0, 9 ∗∗ ∗ 2 11 ∗ =51.35 12 = 0,8 5∗´∗ 35 =0,16<0,3 = 0,851.5∗380 − =156 . + =104 . − =156 . <− =134 . + =104 . <− =82.87 . Donde:
Entonces, a partir de la ecuación (11):
Se observa que:
10
Se cumplen los requerimientos de resistencia, por lo tanto, se acepta el diseño del refuerzo a flexión.
2. DISEÑO A TORSIÓN ISOSTÁTICA Y CORTANTE. 2.1 Cálculo de los momentos torso res. 2.1.1 Puntos de apli cación de las cargas. Inicialmente se debe calcular la longitud desde el eje central de la viga al punto de aplicación de cada una de las cargas. Para la carga muerta de las viguetas, se tiene la siguiente expresión para dicha distancia: •
Para las viguetas internas:
•
Para las viguetas externas:
, =0.2 (3.3 34 ∗3.3 )=1.025 , =0.2 (0.8 34 ∗0.8 )=0.4
Ahora para la losa, se tiene que la distancia al centroide está a la mitad de la distancia del voladizo, es decir: •
Para la losa correspondiente al sector interior:
•
Para la losa correspondiente al sector exterior:
, = 3.25 =1.75
, = 12 =0.5 , = 3.25 =1.75 , = 12 =0.5
La longitud al punto de aplicación de la carga para las losas es la misma que para la carga viva, por lo tanto:
11
En la siguiente figura se muestran los puntos de aplicación mencionados anteriormente:
Figura 5. Puntos de aplicación de la carga generadora de momento torsor.
2.1.2 Momentos tors ores unitarios. A continuación, se procede a calcular el momento torsor unitario para la viga, generado por cada una de las cargas mencionadas anteriormente, cabe recordar que en este análisis no es necesario tener en cuenta la carga muerta debida al peso propio de la viga, puesto que esta actúa sobre el eje de la misma, y por lo tanto no genera momento torsor. El momento torsor unitario generado por cada carga se calcula cómo:
= ∗ 13
Donde es la longitud desde el eje vertical de la viga hasta el punto de aplicación de la carga, y es la respectiva carga. Las cargas cuyo punto de aplicación se encuentra a la derecha del eje vertical de la viga (lado interior) generan momento torsor negativo, y las que se ubican a la izquierda (lado exterior), momento torsor positivo. De esta manera se tiene: •
Para la losa interior:
El momento torsor debido a la carga muerta de la losa interior, está dado por:
, =, , , =, ∗ , =(1.025 ∗1.13 )=1.15 =, ∗ó , , =(1.75 ∗4.2 )=7.35
Donde según la ecuación (13):
De esta manera, la suma de ambos momentos torsores unitarios es: 12
, =8.50 , = ∗, , =(1.75 ∗1.75 )=3.06
El momento torsor debido a la carga viva de la losa interior, está dado por:
•
Para la losa exterior:
El momento torsor debido a la carga muerta de la losa interior, está dado por:
, = , , =, ∗ , =(0.4 ∗0.27 )=0.11 =, ∗ó , , =(1.75 ∗4.2 )=0. 6 , =0.71 , = ∗, , =(0.5 ∗0.5 )=0.25
Y según la ecuación (13):
De esta manera, la suma de ambos momentos torsores unitarios es:
El momento torsor debido a la carga viva de la losa exterior, está dado por:
2.1.3 Momento tors or de servicio. Para el diseño, se debe considerar el caso más crítico, es por esto, que se debe variar el momento torsor causado por la carga viva para encontrar el valor máximo (o mínimo en caso de ser negativo, como en este ejercicio). En este caso se puede observar que los momentos torsores causados por la zona de losa interior son mucho mayores a los causados por la zona de losa exterior, por lo tanto, se puede predecir que el caso más crítico es aquel en el que el momento torsor causado por la losa exterior no ayuda a equilibrar, aun así, en la tabla mostrada a continuación se muestran las posibles combinaciones de momentos torsores debidos a la carga viva.
13
Combinación: Carga viva en ambos Carga viva sólo en losa interior Carga viva sól o en los a exterior
Momento torso r unitario por carga viva (kN m/m) -2.8125 -3.0625 0.25
Tabla 3. Combinaciones de momento torsor para la carga viva.
Teniendo en cuenta esta condición crítica, el momento torsor unitario de servicio es:
= 14 =8.500.713.06=10.86
2.1.4 Momento torsor últi mo.
El momento torsor último unitario se halla a partir de la siguiente combinación:
=1.2 1.6 15 =1.2∗7.81.6∗3.06=14.25
Se obtiene a partir de la ecuación anterior:
2.2 Diagramas de momento torsor y cortante 2.2.1 Momento torsor total.
El momento torsor total aplicado sobre la viga para la condición de análisis por resistencia última se halla multiplicando el momento torsor último unitario por la longitud total de la viga o luz en cuestión, en este caso, . Se obtiene entonces:
9 = ∗9 =14.25∗9=128
Seguidamente se hallan las reacciones de torsión en los apoyos de la viga, con el fin de hallar la torsión en los extremos del diagrama de momento torsor, ésta se obtiene por medio de la siguiente expresión:
= 2 =64.14
Se sabe entonces que la torsión en ambos extremos del diagrama es comporta como una línea recta.
y
, y éste se
2.2.2 Cortante última. Inicialmente se calculan las reacciones en los apoyos de la viga, que se obtienen cómo:
= ∗92 =73.65
Se sabe entonces que la cortante en los extremos del diagrama se es
14
y
.
=0.38 =380 = 4.5 ∗4.50.38=67.44
Para el diseño del refuerzo de acero a cortante, no se trabaja con , sino con , que es la cortante que se presenta a una distancia del apoyo de la viga, la cual se había mencionado anteriormente y es . De esta manera,
se calcula cómo:
2.2.3 Diagramas
A continuación, se presentan los diagramas de momento torsor y fuerza cortante calculados anteriormente:
Figura 6. Diagramas de momento torsor y fuerza cortante.
2.3 Refuerzo a torsi ón isostática y cortante. 2.3.1 Verific ación d el momento torsor mínimo.
∗ ´ ∗ , = 12∗ 16
A continuación, se verifica si debe ser considerada, para ello, debe ser mayor a valor que está dado por la siguiente expresión según la teoría de la cercha espacial:
Donde: •
15
es un factor de reducción de resistencia, en este caso,
=0.75
.
,
,
• •
•
´
´ =28 =400 ∗450 =180000 =2∗400 2∗450 =1700 0. 7 5∗√ 2 8∗180000 , =, = 12∗1800 ∗10− =6.3
es la resistencia del concreto, para este caso es es el área exterior de la sección.
es el perímetro exterior de la sección.
Se obtiene entonces, a partir de la ecuación (16):
2.3.2 Determinación de los parámetros de la sección interna (encerrada por los estribo s).
50
Teniendo en cuenta que se está diseñando la sección con un recubrimiento de , se calculan los parámetros y a partir de la siguiente figura:
=0.05 =
Figura 7. Sección interna de la viga.
= ∗ =105000 =2∗ 2∗ =1300
Se calcula
Y
cómo:
cómo:
2.3.3 Revisión de la fisuración por efecto de la combinación torsióncortante. Con el fin de evitar fallas en la sección transversal del elemento, se debe verificar que se cumpla la siguiente relación:
∗ ( ∗) 1.7∗ ≤∗ 2∗ 3´ 17 En donde: • •
16
es el ancho total de la viga, en este caso 400 mm. es la resistencia de la sección de concreto a cortante, esta se calcula según la siguiente expresión:
=0.17∗ ´ ∗ ∗=0. 1 7∗√ 28∗0.4∗0.38=136.5 18 Reemplazando los valores en los términos de la expresión (17), se obtiene:
Se observa que
67. 4 4∗10 64. 1 4∗1300 400∗380 (1.7∗105000) =0.44 5∗10 2∗ √ 328=3.32 0.75∗136.400∗380 0.44 ≪3.32
. Por lo tanto, la sección es adecuada para el diseño.
2.3.4 Refuerzo mínimo transversal por torsión.
Se calcula el refuerzo mínimo de la sección transversal por torsión, de acuerdo a la siguiente expresión:
= 2∗∗ ∗ ∗cot 19 =0.97
cot
Donde es el área de refuerzo mínima requerida para una rama del estribo, es la separación entre estribos, es la resistencia de acero, en este caso 420 MPa, y debido al ángulo de inclinación de la superficie de falla se iguala a 1. Se obtiene entonces, un refuerzo mínimo de:
2.3.5 Refuerzo mínimo transversal por cortante.
En este caso, la resistencia por cortante de la sección es mayor a la solicitación última de cortante, por lo tanto, se revisa si se cumple la siguiente condición:
2 ≤ ≤ 51.2 ≤67.44 ≤102.38 , =0.35∗ =0.33 =1.3 20
En este caso, reemplazando los valores, se obtiene:
Por lo tanto, se cumple la condición, y el refuerzo a cortante será el mínimo, dado por la siguiente expresión:
Ahora, el refuerzo transversal total está dado por la ecuación:
17
2.3.6 Separación entre estribos. La separación entre estribos máxima está dada tanto como para Torsión, como para cortante, por tanto, se elige la separación máxima entre estribos menor entre las siguientes condiciones: •
•
• •
== =190 =162.5 =300 =600
para torsión. para cortante.
=160 .
Se observa entonces que el espaciamiento máximo permisible es de 162.5 mm, por lo tanto, para facilidad de construcción se elige un espaciamiento Se propone entonces un refuerzo transversal con dos ramas, cada una de calibre El área de ambas ramas está dada por:
° 4 " o
.
25. 4 ,+ =∗( 2 ) ∗2=126.68 ,+ =1.58
Con una separación de 160 mm, se obtiene:
Lo cual es mayor al refuerzo mínimo calculado en la expresión (20), por lo tanto, el refuerzo colocado cumple satisfactoriamente los requisitos indicados.
2.3.7 Refuerzo long itudinal por torsión. El área de refuerzo longitudinal por torsión está dada por la siguiente expresión:
=( )∗ ∗∗cot 21
es igual a la unidad, al igual que el término cot por razones explicadas en la sección anterior, de manera que el área de refuerzo En la expresión anterior, la relación longitudinal requerida es:
=0.97 ∗1300=1260 1425
Se propone un refuerzo longitudinal a torsión compuesto por 5 barras de acero N°6, entre las cuáles, se suma un área de refuerzo de . Por lo tanto, se cumple el requerimiento de acero de refuerzo para torsión a lo largo de la viga. A continuación, se muestra un diagrama del refuerzo proporcionado a la viga.
18
Figura 8. Esquema del refuerzo de la sección transversal por cortante, flexión y torsión.
Figura 9. Esquema del refuerzo longitudinal de la viga.
3. DISEÑO A TORSIÓN HIPERESTÁTICA Y CORTANTE En el siguiente diseño, a diferencia de el de torsión isostática, se redistribuirán los momentos actuantes sobre la viga, provocando una reducción en el momento torsor que actúa sobre la misma. En la imagen mostrada a continuación, se observan los coeficientes de la ACI para cada uno de los tramos adyacentes a la viga en estudio, aplicados de acuerdo a la tabla 1.
Figura 10. Vista del área aferente de la viga de interés y los coeficientes de la ACI para calcular el momento en las vigas adyacentes.
3.1 Cargas sobre la viga y momentos torsores unitarios. 3.1.1 Carga muerta. Inicialmente, tal y como se calculó en el numeral 1.1.1, se encuentra que la carga muerta total aplicada sobre la viga es, según la ecuación (6): 19
=10.64
Se sabe que esta carga muerta actuante sobre la viga está compuesta por la carga muerta del lado interior de la viga y la carga muerta del lado exterior, con el fin de calcular los momentos adyacentes por medio de los coeficientes de la ACI, se presentan a continuación las correspondientes cargas: •
Para el lado interior de la viga:
ó , =4.2 ∗0. 1 2 ∗ = 8∗, =1. 1 264 9 , =5.33 0.2∗0.4∗24 =7.25 , = 7.23.5/ =2. 0 7 5 ∗0. 1 2 ∗ = 8∗, =0. 2 731 9 ó , =1.2 , =1.47 0.2∗0.4∗24 =3.4 , = 3.41/ =3. 4 , , , = 161 ∗2.07 ∗7 =6.34 , = 12 ∗0.97 ∗1 =1.69
Se halla la carga por metro cuadrado, dividiendo la carga muerta por la longitud de la luz para el análisis de momentos.
•
Para el lado exterior de la viga:
Se halla la carga por metro cuadrado, dividiendo la carga muerta por la longitud de la luz para el análisis de momentos.
3.1.2 Momento torsor uni tario por carga muerta.
A partir de las cargas calculadas anteriormente y , se calculan los momentos actuantes a partir de los coeficientes de la ACI mostrados en la Figura 10. Se obtiene:
De manera que el momento torsor unitario por carga muerta, se calcula cómo: 20
=, , =4.64
3.1.3 Carga viva.
De acuerdo con lo calculado en el numeral 1.1.2. la carga viva, está dada por:
En dónde: •
=, , =2.25
Para el lado interior de la viga:
, =0.5 ∗3.5 =1.75 , = 1.73.5 5/ =0. 5 , =0.5 ∗1 =0.5
Se halla la carga por metro cuadrado, dividiendo la carga muerta por la longitud de la luz para el análisis de momentos.
•
Para el lado exterior de la viga:
Se halla la carga por metro cuadrado, dividiendo la carga muerta por la longitud de la luz para el análisis de momentos.
, = 0.51/ =0.5 , , , = 161 ∗0.5 ∗7 =1.53 , = 12 ∗0.5 ∗1 =0.25
3.1.4 Momento torso r unitario por carga viva:
A partir de las cargas calculadas anteriormente y , se calculan los momentos actuantes a partir de los coeficientes de la ACI mostrados en la Figura 10. Se obtiene:
Para calcular el momento torsor unitario por carga viva, se debe tomar la combinación más crítica de carga viva, para este caso, como ya se vio en el numeral 2.1.2, es cuando no se tiene en cuenta el momento torsor dado por la carga viva del lado exterior de la viga, puesto que no se contrarrestan los momentos. De manera que el momento torsor unitario por carga viva, para este caso, se calcula cómo:
=, =1.53
21
3.1.5 Carga última. Para este caso, se usa la siguiente combinación de carga:
De donde se obtiene:
=1.2 1.6 22 =1.2∗10.641.6∗2.25=16.37
3.1.6 Momento torsor unitario último
Al igual que para la carga última, se usa la siguiente combinación:
De donde se obtiene:
=1.2 1.6 23 =1.2∗4.641.6∗1.53=8.02 23
3.2 Diagramas de momento torsor y cortante 3.2.1 Momento torsor total. El momento torsor total aplicado sobre la viga para la condición de análisis por resistencia última se halla multiplicando el momento torsor último unitario por la longitud total de la viga o luz en cuestión, en este caso, . Se obtiene entonces:
9 = ∗9 =8.02∗9=72.21
Seguidamente se hallan las reacciones de torsión en los apoyos de la viga, con el fin de hallar la torsión en los extremos del diagrama de momento torsor, ésta se obtiene por medio de la siguiente expresión:
= 2 =36.1
Se sabe entonces que la torsión en ambos extremos del diagrama es comporta como una línea recta.
y
, y éste se
3.2.2 Cortante última. Inicialmente se calculan las reacciones en los apoyos de la viga, que se obtienen cómo:
= ∗92 =73.65
Se sabe entonces que la cortante en los extremos del diagrama se es
=0.38 =380
y
.
Para el diseño del refuerzo de acero a cortante, no se trabaja con , sino con , que es la cortante que se presenta a una distancia del apoyo de la viga, la cual se había mencionado anteriormente y es . 22
De esta manera,
se calcula cómo:
3.2.3 Diagramas
= 4.5 ∗4.50.38=67.44
A continuación, se presentan los diagramas de momento torsor y fuerza cortante calculados anteriormente:
Figura 11. Diagramas de momento torsor y fuerza cortante.
Nota: El diagrama de momento flector es igual al presentado en la figura 4. Con los mismos valores que en la sección 1.2.
3.3 Reducci ón del momento torsor de la viga y momento torsor de diseño. Teniendo en cuenta la continuidad en la estructura, y los efectos de redistribución, se tiene la siguiente expresión para la reducción de momento torsor según la ACI.
= 3 ´ ∗ 24
=0.75 ´ =28 =400 ∗450 =180000 =2∗400 2∗450 =1700
Donde al igual que en el análisis por torsión isostática, •
•
23
es el área exterior de la sección.
es el perímetro exterior de la sección.
,
.
Se obtiene entonces:
∗ 0.18 =25.21 . = 0.75√28∗10 12 1.7
Según el valor calculado anteriormente, se puede revisar el valor del momento torsor transferido a las luces adyacentes a la viga, el cual es la diferencia entre el momento torsor estático y el reducido, como se muestra en la siguiente expresión:
∆2 = =36.125.21= 10.892∗ =5.45 25.21 . ∗ ´ ∗ , = 12∗ 25 ´ =0. 7 5 ´ =28 =400 ∗450 =180000 =2∗400 2∗450 =1700 0. 7 5∗ 2 8∗180000 √ , =, = 12∗1800 ∗10− =6.3
Y el momento torsor con el cual se diseñará el refuerzo, será entonces el torsor reducido, es decir .
3.4 Refuerzo a torsión hiperestática y cortante. 3.4.1 Verific ación d el momento torso r mínimo.
A continuación, se verifica si debe ser considerada, para ello, debe ser mayor a valor que está dado por la siguiente expresión según la teoría de la cercha espacial:
,
,
Donde: • • •
•
es un factor de reducción de resistencia, en este caso, es la resistencia del concreto, para este caso es es el área exterior de la sección.
.
es el perímetro exterior de la sección.
Se obtiene entonces, a partir de la ecuación (16):
3.4.2 Determinación de los parámetros de la sección interna (encerrada por los estribo s).
50
=0.05 =
Teniendo en cuenta que se está diseñando la sección con un recubrimiento de , se calculan los parámetros y a partir de la siguiente figura, al igual que en torsión isostática:
24
Figura 12. Sección interna de la viga.
= ∗ =105000 =2∗ 2∗ =1300
Se calcula
Y
cómo:
cómo:
3.4.3 Revisión de la fisuración por efecto de la combinación torsióncortante. Con el fin de evitar fallas en la sección transversal del elemento, se debe verificar que se cumpla la siguiente relación:
∗ ( ∗) 1.7∗ ≤∗ 2∗ 3´ 26 En donde: • •
es el ancho total de la viga, en este caso 400 mm. es la resistencia de la sección de concreto a cortante, esta se calcula según la siguiente expresión:
=0.17∗ ´ ∗ ∗=0. 1 7∗√ 28∗0.4∗0.38=136.5 27
Reemplazando los valores en los términos de la expresión (17), se obtiene:
Se observa que
67. 4 4∗10 21∗1300) =0.44 400∗380 (1.25.7∗105000 5∗10 2∗ √ 328=3.32 0.75∗136.400∗380 0.44 ≪3.32
. Por lo tanto, la sección es adecuada para el diseño.
3.4.4 Refuerzo mínimo transversal por torsión.
Se calcula el refuerzo mínimo de la sección transversal por torsión, de acuerdo a la siguiente expresión:
25
= 2∗∗ ∗ ∗cot 28
cot
Donde es el área de refuerzo mínima requerida para una rama del estribo, es la separación entre estribos, es la resistencia de acero, en este caso 420 MPa, y debido al ángulo de inclinación de la superficie de falla se iguala a 1. Se obtiene entonces, un refuerzo mínimo de:
=0.55
3.4.5 Refuerzo mínimo transversal por cortante. En este caso, la resistencia por cortante de la sección es mayor a la solicitación última de cortante, por lo tanto, se revisa si se cumple la siguiente condición:
2 ≤ ≤ 51.2 ≤67.44 ≤102.38 , =0.35∗ =0.33 =0.88 29
En este caso, reemplazando los valores, se obtiene:
Por lo tanto, se cumple la condición, y el refuerzo a cortante será el mínimo, dado por la siguiente expresión:
Ahora, el refuerzo transversal total está dado por la ecuación:
3.4.6 Separación entre estribos.
La separación entre estribos máxima está dada tanto como para Torsión, como para cortante, por tanto, se elige la separación máxima entre estribos menor entre las siguientes condiciones: •
•
• •
== =190 =162.5 =300 =600
para torsión. para cortante.
=160 .
Se observa entonces que el espaciamiento máximo permisible es de 162.5 mm, por lo tanto, para facilidad de construcción se elige un espaciamiento Se propone entonces un refuerzo transversal con dos ramas, cada una de calibre El área de ambas ramas está dada por:
3 25. 4 ,+ =∗(8 2 ) ∗2=71.26
Con una separación de 160 mm, se obtiene: 26
° 3 " o
.
,+ =0.89
Lo cual es mayor al refuerzo mínimo calculado en la expresión (29), por lo tanto, el refuerzo colocado cumple satisfactoriamente los requisitos indicados.
3.4.7 Refuerzo long itudi nal por torsión. El área de refuerzo longitudinal por torsión está dada por la siguiente expresión:
=( )∗ ∗∗cot 30
es igual a la unidad, al igual que el término cot por razones explicadas en la sección anterior, de manera que el área de refuerzo En la expresión anterior, la relación longitudinal requerida es:
=0.55 ∗1300=1260 1013.4
Se propone un refuerzo longitudinal a torsión compuesto por 2 barras de acero N°8, entre las cuáles, se suma un área de refuerzo de . Por lo tanto, se cumple el requerimiento de acero de refuerzo para torsión a lo largo de la viga. A continuación, se muestra un diagrama del refuerzo proporcionado a la viga.
Figura 13. Esquema del refuerzo de la sección transversal por cortante, flexión y torsión.
Figura 14. Esquema del refuerzo longitudinal de la viga.
27
4. CONCLUSIONES. A partir de la cantidad de refuerzo de acero requerido para atender las solicitaciones de torsión, se puede decir que los esfuerzos por torsión, muchas veces no se pueden despreciar, y aunque a veces puede ser suficiente con simplemente cerrar los estribos, el no dimensionamiento correcto de los mismos, o la falta de acero longitudinal para que el refuerzo desarrolle su resistencia puede terminar en graves fallas en la estructura. Es importante tener en cuenta la fisuración en la viga debida a los esfuerzos de torsióncompresión, puesto que estos pueden derivarse en un déficit del nivel de servicio de la estructura, aunque ésta cumpla sus requerimientos de resistencia. Después de comparar los análisis de torsión isostática e hiperestática, se puede llegar a la conclusión de que, con un análisis correcto de la distribución de esfuerzos en la estructura, se puede llegar a un ahorro considerable en el refuerzo requerido a tracción, puesto que se necesita menor cantidad de acero en los estribos y por lo tanto menor cantidad de refuerzo a lo largo de la viga (longitudinal). Una consideración incorrecta de las combinaciones en la carga viva, puede llevar a subestimar el momento torsor que actúa sobre el elemento estructural que está siendo analizado, por lo tanto, siempre se debe tener en cuenta para el diseño el caso más crítico de carga.
5. BIBLIOGRAFÍA. • •
•
28
Reglamento Colombiano de Construcción Sismo-Resistente NSR-10. Notas de clase del profesor Orlando Giraldo Bolivar – Estructuras de Hormigón 2. (Diseño a flexión, diseño a cortante, diseño a torsión). Diseño de concreto reforzado – Jack Mc.Cormac – Russel Brown, edición 2008.
