DINÂMICA II - APOSTILA

Dinâmica II

Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 1

Dinâmica II Prof. DSc. Valtency F. Guimarães

Bibliografia Recomendada Bibliografia Bá sica: HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia Editora Pearson. Pearson. 2010 2010.. Engenharia , 12º ed. Editora BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica , 7 ed., Mc Graw Hill, 2006. MERIAM, J. L. Dinâmica . 2ª Edição. Traduzido por Frederico Frederico Felgueiras Gonçalves e José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. Bibliografia Complementar: Com plementar:: Complementar: Complementar SHAME SHAMES, S, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia . 4 ed. Prentice Hall, 2003. GIACAGLIA , GIACAGLIA , G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânic Livros Técnicos Técnicos e Mecânicaa - Dinâmica Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Científicos, 2003. 496p. NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas Máquinas – Uma abordagem abordagem integrada integrada . Traduzido por João Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Alegre: Bookman, 2004. 887p. ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 2 Traduzido por Arlete Arlete Simille Marques. Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Janeiro: Campus, 2007. 900p.

Introdução Introdução - Dinâmica Dinâmica

Dinâmica II Cinemática plana de corpos rígidos 1. Introdução 2. Corpos Rígidos 2.1 - Movimento Movimento de transla translação ção 2.2 - Moviment Movimentoo de rotação rotação breve revisão revisão - Rotações Rotações e Velocid Velocidade ade Angula Angular r i - breve Aceleração ão Angula Angular r i i - Aceleraç com Aceleração Aceleração Angular Angular Constante Constante i i i - Rotação com Velocidade e Aceleração, Aceleração, Lineares Lineares e Angulares Angulares iv - Relação entre Velocidade 3. Atividades Introdutórias 3


1 - Introdução O fenômeno fenômeno mais mais óbvio óbvio e fundamental fundamental que observamo observamoss à nossa volta é o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à absorção e à emissão emissão da luz luz e, no no interior interior de de um metal, metal, produzem produzem corrente elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à pressão e aos processos processos de difusão. difusão. Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por exemplo, e xemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 4 imagem na tela.


Dinâmica II Cinemática plana de corpos rígidos 1. Introdução 2. Corpos Rígidos 2.1 - Movimento Movimento de transla translação ção 2.2 - Moviment Movimentoo de rotação rotação breve revisão revisão - Rotações Rotações e Velocid Velocidade ade Angula Angular r i - breve Aceleração ão Angula Angular r i i - Aceleraç com Aceleração Aceleração Angular Angular Constante Constante i i i - Rotação com Velocidade e Aceleração, Aceleração, Lineares Lineares e Angulares Angulares iv - Relação entre Velocidade 3. Atividades Introdutórias 3


1 - Introdução O fenômeno fenômeno mais mais óbvio óbvio e fundamental fundamental que observamo observamoss à nossa volta é o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à absorção e à emissão emissão da luz luz e, no no interior interior de de um metal, metal, produzem produzem corrente elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à pressão e aos processos processos de difusão. difusão. Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por exemplo, e xemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 4 imagem na tela.


Introdução Um dos objeti objetivos vos dos físico físicoss e dos engenheiros engenheiros é descobrir descobrir a relação relação existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor as coisas de modo a produzir movimentos úteis. Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressálo em termos destes conceitos.

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2 - Corpos Rígidos A mecânica mecânica de Newto Newtonn é uma mecâni mecânica ca voltad voltadaa para o estudo estudo do movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é a mecânica do ponto. ponto. Mas os casos casos de maior interesse interesse são aqueles aqueles em que estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de partículas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um sistema constituído de partículas culas (átomo (átomos, s, por exemplo exemplo)) agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo corpo (ou (ou o sist sistem ema) a) não varia varia com o tempo tempo (não mudam), mudam), ou seja, seja, as distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são 6 rigorosamente constantes.

Introdução - Dinâmica

Corpos Rígidos Pode-se dizer então que um Corpo R ígido pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, mesmo sob aplicação de um esforço externo. Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos percorrem trajetórias circulares, como em (B).

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Corpos Rígidos Destaca-se, porém, que o caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no exemplo (C); ou seja, uma combinação de translação e rotação.

A figura abaixo mostra o movimento parabólico do centro de massa de um objeto lançado ao ar, enquanto o objeto gira em torno do seu centro de massa.

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2.1 - Movimento de translação O movimento de translação pode ser analisado observando-se exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado ao movimento do centro de massa. O que provoca o movimento de translação são as forças externas agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro de massa. “Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a conservação da quantidade de movimento”. 9


Movimento de translação Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se:

Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 10 mesma aceleração.


Movimento de translação Para um corpo que se move uma distância Δ s durante um intervalo de tempo Δt sua velocidade média é definida como: vm = Δ s Δt

A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta razão quando Δt se aproxima de zero: Δ s ds v = lim

Δt →0

Δt

=

dt

Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt , ele tem uma aceleração média definida como: am = v2 − v1 = Δv t 2 − t 1

Δt

e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt Δv dv tende a zero: a = lim = Δt →0

Δt

dt

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2.2 - Movimento de rotação O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente se vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos na horizontal.

Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 12 afeta a rotação.


Movimento de rotação No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se acelerações angulares diferentes. Então, não é a massa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a distribuição da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa através de uma quantidade denominada momento de inércia.

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i - breve revisão

- Rotações e Velocidade Angular

Vamos relembrar o movimento dos corpos extensos (corpos sólidos), aqueles corpos que não podem ser tratados como tendo toda a massa concentrada em ponto. Que pode mudar tanto a sua posição quanto a sua direção. Objetos que apresentem movimento de rotação em torno de um eixo próprio. A descrição do movimento de um corpo extenso requer, em geral, três ângulos de orientação assim como as três coordenadas do seu centro de massa. zˆ

yˆ

xˆ

φ

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i - breve revisão


Quando um corpo sólido gira em torno de um eixo próprio, as coordenadas x, y e z de cada ponto no corpo aumentam e diminuem continuamente à medida que o objeto percorre uma trajetória circular. zˆ

r r yˆ

ϕ 1 xˆ

ϕ 2

Δ ϕ

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i - breve revisão


Como o uso de coordenadas x, y e z é, em geral, uma forma sofisticada de descrever as rotações, zˆ ≡ nˆ e sendo elas confinadas em um único ω ρ plano facilmente descritas por um r ângulo, isto será considerado nesta r revisão.

ϕ (t ) xˆ

(t + Δ t )

yˆ

Δ ϕ (t )

Lembrando que nos é familiar a utilização de medidas envolvendo ângulos (graus e radianos). 16


i - breve revisão


Considere o comprimento S do segmento de um círculo contido em um ângulo θ, como indicado na figura (a). Se o círculo tem um raio r , o comprimento de sua circunferência é dado por C = 2π r

Então, s =

θ

360°

2π r , com θ em graus.

Vemos que, para um dado ângulo θ, s e r são proporcionais. Devido ao frequente uso da relação de proporcionalidade entre r e s na dinâmica das 17 rotações, é bastante conveniente definir: S = r θ , com θ em radianos.


i - breve revisão


Na figura (b), a linha de referência OP de um corpo em rotação faz um ângulo θ1 com a linha de referência fixa OX, em um instante t 1. Num instante posterior t 2 o ângulo cresceu para θ2. A velocidade angular média (ϖ ) do corpo, no intervalo entre t 1 e t 2, é definida como a razão entre o deslocamento angular Δθ = θ2-θ1 e o intervalo de tempo Δt = t 2 - t 1: ϖ =

Δθ Δt

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i - breve revisão


A velocidade angular instantânea é definida como o limite para o qual tende esta razão quando Δt aproxima de zero:

Como o corpo rígido, a velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de uma linha nele situada. Se o ângulo for medido em radianos, a unidade de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Outras unidades como, por exemplo, rotações por minuto (r.p.m.), são de uso comum. 19


i i - Aceleração Angular

Se a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma aceleração. Se ω1 e ω2 forem as velocidades angulares instantâneas, no tempo t 1 e t 2 a aceleração angular média é definida como:

e a aceleração angular instantânea α é definida como limite desta razão quando Δt tende a zero: A unidade de aceleração angular é o rad/s2 = 1/s2. A velocidade angular e a aceleração angular são exatamente análogas à velocidade e à aceleração lineares. Sendo ω = d θ/dt , a aceleração pode ser escrita como: 20


i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante

O caso mais simples de movimento de rotação acelerado é aquele no qual a aceleração é constante. Neste caso, as expressões da velocidade e do deslocamento angulares são facilmente encontradas por integração. Tem-se: → → Se ωo é a velocidade angular quando t = 0, segue-se que C1 = ωo e podese escrever : Como ω = d θ/dt , temos: cuja solução é Ou, de outra forma:

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i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante

A Tabela mostra a analogia entre as equações do movimento com aceleração angular constante e as do movimento com aceleração linear constante. constante Movimento com aceleração linear constante

Movimento com aceleração angular constante

a = constante

α = constante

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iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares

Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos.

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Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre uma circunferência de raio “r ”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o eixo de referência, a distância “ s” percorrida pelo ponto P é s = r θ Derivando ambos os membros desta equação em relação a t e tendo em ds d θ v = r ω vista que r é constante, vem: ds = rd θ = r dt

dt

Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo temos: a = dv = r d ω = r α , onde r é constante. dt

dt

A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser expressa em termos da velocidade angular: 24



Isto é verdade mesmo quando ω e v não são constantes. As equações radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de um corpo em movimento de rotação são representadas na figura a seguir. α zˆ ω ρ

θ ϕ

xˆ

s

a N

a t

v

r yˆ 25


3. Atividades Introdut órias o Rotação 1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É possível que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos. 2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com velocidade angular constante? Tem aceleração tangencial? 3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas, de raios diferentes? 26


o As variáveis de Rotação 4. Uma roda gira com uma aceleração angular α dada por: α = 4at3 – 3bt2, onde t é o tempo, e a e b são constantes. Se ω0 é a velocidade angular inicial e θ0 a posição angular inicial da roda, deduza as equações para: (a) a velocidade angular, e (b) o deslocamento angular em função do tempo.

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5. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os raios sejam muito finos; veja a figura.

(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? (b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda, 28 tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?


6. Um pino rosqueado com 12 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a figura. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?

29


7. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com aceleração angular constante até alcançar a rotação de 10 rev/s. Depois de completar 60 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule: (a) a aceleração angular, (b) o tempo necessário para completar as 60 revoluções; (c) o tempo necessário para alcançar a velocidade angular de 10 rev/s; (d) o número de revoluções desde o repouso ate a velocidade de10 rev/s.

30


o As variáveis Lineares e Angulares 8. Uma turbina com 1,20 m de diâmetro está girando a 200 rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que aceleração angular constante (rev/min2) aumentará a sua velocidade para 1000 rev/min em 60 s? (d) Quantas revoluções completará durante esse intervalo de 60 s? 31


9. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na figura, propaga-se até um espelho distante e retorna à roda no tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0.105 Km/s.

(a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda? (b) Qual era o módulo da velocidade linear em um ponto em sua borda? 32


10. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com aceleração angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa até que um ponto da lâmina assuma os mesmo valores para os módulos da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial?

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11. Um corpo rígido se move no plano de xy de forma que x = R.cosωt e y = R.senωt , sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes. (a) Elimine t entre estas equações para encontre a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante ω? (b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o módulo, a direção e o sentido de v.Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relação ao tempo para obter o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante. 34

Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica

Dinâmica Cinemática plana de corpos rígidos Movimento de Corpos Rígidos 1 - Movimento Absoluto 2 - Movimento Relativo: Velocidade 2.1 - Posição 2.2 – Deslocamento 2.3 – Velocidade 3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula 3.1 – Definição 3.2 - Localização 4 - Movimento Relativo: Aceleração 35


Movimento de Corpos Rígidos Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. Como veremos, os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser relacionados:

1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante o movimento. Pode-se observar também que na translação todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se segundo trajetórias paralelas. Se estas trajetórias são retas, diz-se que o movimento é uma translação retilínea; se as trajetórias são curvas, o movimento uma translação curvilínea. 36


2. Rotação em torno de um Eixo Fixo.

Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa, como mostrado na figura abaixo. Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas.

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Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na Figura (a) está em translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais deslocando-se segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa ilustrada na Figura (b) está em rotação, já que todos os pontos materiais descrevem circunferências concêntricas. No primeiro caso, qualquer reta da placa conserva a mesma orientação, enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo.

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3. Movimento Plano Geral . Há outros tipos de movimento plano, isto é, movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na Figura abaixo.

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4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo típico é o movimento de um pião sobre o solo.

5. Movimento Geral . Qualquer movimento de um corpo rígido que não esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado movimento geral. 40


Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo com seu vetor de posição e as quantidades angulares mencionadas. Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e articulações; bem como o método de análise das velocidades no movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de rotação. 41


MOVIMENTO ABSOLUTO “O movimento absoluto é completamente definido pelo conhecimento da rotação de uma linha fixa do corpo e do movimento de um ponto desse corpo”. Uma maneira de definir esses movimentos é utilizar uma coordenada de posição retilínea s para situar o ponto em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θ para especificar a rotação da linha. A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de uma linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações diferenciais: ds dv d ω d θ v = a = α = ω =

dt

dt

dt

dt

“relacionar o movimento de um corpo com o de outro a ele conectado; e estudar o movimento de um corpo sujeito a 42 uma rotação em torno de um eixo fixo.”


MOVIMENTO ABSOLUTO Exemplo 1:

A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a aceleração da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente.

B

43


MOVIMENTO ABSOLUTO Solução: Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y podemos escrever: y = lsen θ ⇒ y& = v y = l cos θ .θ & ⇒ y&& = a y = l (cos θ .θ && − senθ .θ & 2 ) Como v AB = v y , a AB = a y , θ & = ω e Temos: v = l cos θ .ω = ω .l . cos θ y

&& θ

= α = 0; . θ a y = −ω 2 .l sen

B

44


MOVIMENTO ABSOLUTO Exemplo 2:

O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos.

45


MOVIMENTO ABSOLUTO Solução: Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever: 3 x A − 2 x B = cte ⇒ 3

dx A dx 2v = 2 B ⇒ v A = B dt dt 3

Como v B = 300 mm/s → v A = 200 mm/s Para encontrar a velocidade do ponto C: 3 x A − xC = cte ⇒ 3

dx A dxC = ⇒ vC = 3v A dt dt

Como v A = 200 mm/s → vC = 600 mm/s Para o ponto D: dx dx x A + x D = cte ⇒ A = − D ⇒ v D = −v A dt dt Então → v D = - 200 mm/s 46


MOVIMENTO ABSOLUTO Atividades 1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar. Determinar (a) o movimento angular da roda, em função do movimento linear do seu centro O e (b) a aceleração de um ponto na extremidade da roda, quando o ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda rola. R: (a) s = r .θ ; v0 = r .ω ; a0 = r.α; (b) a y = r.ω2

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2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a superfície de acionamento da haste mostrada na figura, determine a aceleração da haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma velocidade angular de 2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa posição. R: -37,1 mm/s2

48


3. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a direita, partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a. R:

ω =

2ax 4b 2 − x 2

49


4. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva as expressões para a velocidade v B e para a aceleração a B do bloco deslizante em função de θ . R: v B = bω sec2 θ , a B = 2bω2 sec2 θ tg θ

50


5. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em contato com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular ω, determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma posição arbitrária θ . R: v R = -2r ωsen θ ; a R = -2r(αsen θ + ω2cos2 θ )

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6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com velocidade angular constante ω = 4 rad/s da barra AB, de comprimento l = 50 cm, em movimento de translação da barra CD. Determine a velocidade e a aceleração de CD para um ângulo θ = 45º. R: v x = - 4,41 m/s; a x = - 5,66 m/s2

52


7. A carga L é içada pela combinação polia-cabo. Se o sistema parte do repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com aceleração constante quando a carga está a 6 m acima da sua posição de partida, calcular a aceleração da carga e determinar a sua velocidade neste instante. R: a = 0,0208 m/s2

53


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos coordenados:

. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B por exemplo. . outro sistema x' , y' , z'; com origem fixada no ponto de referência A (que tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, 54 eles poderão apenas transladar em relação ao sistema fixo.


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade -

Posição

r A: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A. r B/A: posição relativa que localiza B em relação à A. A posição de B é escrita:

55


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade - Deslocamento Num pequeno intervalo de tempo dt , os pontos A e B se deslocam de dr A e dr B. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente transladar o corpo como um todo de uma quantidade dr A de modo que o ponto da base se move para posição final, e B se move para B' . O corpo então gira de um ângulo d θ em torno de A, de modo que B' sofre um deslocamento relativo dr B/A, movendo para sua posição final B.

O deslocamento se escreve:

56


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade -

Velocidade

Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se:

v B:

velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos fixos x, y, z). v A: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos fixos x, y, z). v B/A: Velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A. Devido a rotação em torno de A, escreve-se: 57


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade

A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o módulo da velocidade é v = ωr B/A e sua direção é perpendicular a r B/A. Uma vez que a velocidade relativa (v B/A) representa o efeito de um movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo produto vetorial: Então:

58


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade Exemplo 1

Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante mostrado.

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Resolução: A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de referência da equação: r r r onde v A / 0 = r 0ω v A = v0 + v A / 0 r r r r v A = v0 + ω × r A / 0 v A = v0 + ω .r 0

Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade nula no instante do contato com o solo e é, consequentemente, o centro instantâneo de velocidade nula. 60


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade Exemplo 2 A conectora OB do mecanismo oscila em torno de O formando um arco limitado, o que faz com que a conectora AC passe a oscilar em torno de C . Quando o mecanismo passa pela posição mostrada com OB normal ao eixo x e CA normal ao eixo y, a velocidade angular de OB é 2 rad/s no sentido horário e constante. Para este instante, calcular as velocidades angulares de CA e AB.

61


Resolução: Os movimentos das três barras podem ser descritos, igualando-se o movimento de A, em sua trajetória circular absoluta em torno de C , ao movimento de A determinado a partir do seu movimento relativo a B. A equação correspondente é: vr A = vr B + vr A / B Que pode ser escrita como: onde

r

r

r

r

r

r

r

r

ω CA × r A = ω OB × r B + ω AB × r A / B r

r

r

r

ˆ; ω OB = 2k ˆrad / s; ω AB = ω AB k ˆ; r A = 75iˆmm; r B = 100 jˆmm; r A / B = −175iˆ + 100 jˆmm ω CA = ω CA k

62


A substituição fornece:

(ω CA k × 75iˆ) = ( 2 k ˆ × 100 jˆ ) + ω AB k ˆ × ( − 175 iˆ + 100 jˆ ) 75ω CA jˆ = −200 iˆ − 175ω AB jˆ − 100 ω AB iˆ

Igualando-se os respectivos coeficientes dos termos i e j e temos: 0 = – 200 – 100 ω AB e 75 ωCA = – 175 ω AB Cujas soluções: ω AB = – 2 rad/s e ωCA = 4,67 rad/s Como o vetor unit ário aponta para dentro do papel na dire ção de z positivo, vê- se que a velocidade angular de AB é no sentido anti-hor ário e que a de 63 CA é no sentido hor ário.


MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade Atividades 1. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma correia transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A. O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário ω = 15 rad/s no instante mostrado. R: v = 12,5 m/s

64

Cinemática dos Corpos Corpos Rígidos - Dinâmica

2. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A centro A é 1,2 m/s m/s para para a dire direita ita e sua velocidade velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido sentido horário. horário. Determine Determine os módulos das velocidades da cremalheira superior R R e do ponto D da engrenagem. R: v R = 2 m/s; v D = 1,7 m/s

65


3. O carrinho mostrado na figura tem uma velocidade de 1,2 m/s para a direita. Determine a velocidade angular ω da roda de modo que o ponto A ponto A no topo de sua borda tenha uma velocidade (a) igual a 1,2 m/s para a esquerda, (b) igual a zero e (c) igual a 2,4 m/s para a direita. R: (a) 91,7 rpm, (b) 45,8 rpm, (c) 45,8 rpm

66


4. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o módulos das velocidades dos pontos A pontos A e B, B, mostrados na figura. R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s

67


5. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação específica é submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado instante, a velocidade do pino B pino B em relação ao pino A pino A tem um módulo de 0,926 m/s, m/s, qual qual é o módulo módulo correspond correspondente ente da velocidade velocidade do pino C relativamente ao pino D pino D?? R: vC/D = 0,579 m/s

68


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA - Definição A expressão da velocidade relativa permite calcular a velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto base. Esta determinação se simplifica quando a velocidade v elocidade do ponto base é nula. O ponto ponto base base se torna torna o Centro Centro Instantâneo Instantâneo de velocida velocidade de nula (CI) – Centro – Centro Instantâneo de Rotação (C.I.R.). (C.I.R.). Então:

O eixo de velocidade velocidade nula é perpendicular perpendicular ao plano plano do movimento. movimento. 69 ¾ Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI. ¾


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os pontos em contato c ontato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, este ponto ponto é o CI e todos todos os outros outros pontos pontos têm naquele instant instantee uma trajetória circular em relação ao CI.

Em geral, um novo centro centro instantâneo instantâneo CI existirá existirá para cada nova posição posição do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no espaço espaço é conh conheci ecido do como como centrodo espacial , e o lugar geométrico sobre o 70 corpo (ou prolongamen prolongamento to do corpo) é conhecido conhecido como centrodo de corpo. corpo.


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA - Localização Em função das grandezas conhecidas, podemos distinguir três casos: 1. A velocidade instantânea v A e a velocidade angular ω são conhecidas. Então r A/CI = v A / ω.

71


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA - Localização 2. As direções das velocidades de dois pontos A e B são conhecidas. Neste caso o CI localiza-se no ponto de encontro das perpendiculares às direções das velocidades nos pontos A e B.

72


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA - Localização 3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas.

Tem-se: r A/CI + r B/CI = d ou r B/CI – r A/CI = d Obs.: O CI só vale para um determinado instante. Não significa que a 73 aceleração é nula.


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA Exemplo

Para o mecanismo da conectora-manivela, a manivela OB tem uma velocidade angular constante, no sentido horário, de 1200 rpm. Para o instante no qual o ângulo da manivela é θ = 30º, determinar as velocidades do pistão A e do centro de massa G da barra conectora.

74


Resolução:

O centro instantâneo de velocidade nula C de AB está localizado na interseção das normais às direções conhecidas das velocidades de dois pontos A e B sobre a barra. As distâncias radiais A, G e B estão em escala. A velocidade de B em seu movimento circular em torno de O pode ser calculado: r r r (1200 ) 2π v B = r OB × ω OB ⇒ v B = 0,2 = 25,1m / s

60

75


A velocidade angular de AB é a mesma que a velocidade angular do triângulo CBA considerado como prolongamento do corpo rígido AB e pode ser determinada: ω AB = ω CB ⇒ ω CB = v B ⇒ ω CB = 25,1 = 44,4rad / s 0,566 r CB no sentido anti-horário.

As velocidades lineares de A e G são, então: r

r

v A = r AC × r

r

vG = r GC ×

r

AB

r AB

⇒ v A = (0,383).(44,4) = 17,0m / s ⇒ vG = (0,395).(44,4) = 17,5m / s

76


CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA Atividades 1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se v A = 2 m/s e v B = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante representado. R: v D = 3,16 m/s

77


2. O módulo da velocidade absoluta do ponto A sobre o pneu de um automóvel é de 12 m/s quando ocupa a posição mostrada. Quais são as correspondentes velocidades v0 do veículo e a velocidade angular ω da roda? (A roda rola sem deslizar) R: 8,49 m/s, 28,3 rad/s

78


3. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita. Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação. R: v R = 2 m/s; v D = 1,7 m/s

79


4. A extremidade A da barra possui uma velocidade v A = 2 m/s para baixo durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição em que θ = 30º, determine, pelo método do centro instantâneo de rotação, a velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do centróide G da barra. R: ω = 11,55 rad/s vG = 1,155 m/s,

80


5. O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades dos pontos A, B, C e D. R: v A = 4,8 m/s, v B = 3,2 m/s, vC = 4,08 m/s, v D = 3,92 m/s

81


6. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-horário a uma velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é um círculo com 0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira. R: 0,1414 m/s

82


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela derivação da equação de velocidade em relação ao tempo: e são acelerações coordenadas fixo.

absolutas

medidas no

sistema

de

é medido por um observador fixo ao sistema móvel em translação. O movimento relativo tem uma trajetória circular com raio r B/A. Então: 83


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Voltando à expressão da aceleração relativa: Pode-se escrever: Em que os módulos são: : com direção perpendicular a r B/A : com direção igual a BA e o sentido de B para A. Estas componentes representam um movimento circular observado num referencial em translação. Podemos escrever, utilizando a noção de produto vetorial:

Resultando:

84


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados: - pontos coincidentes na rótula têm a mesma aceleração. ão Descrevem a mesma trajetória; - se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a mesma aceleração tangencial (at ); porém as acelerações totais não serão iguais pois an é diferente para cada trajetória.

85


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Exemplo

No exemplo do cálculo da velocidade relativa, vimos a determinação das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que rola para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora determinar as acelerações destes mesmos pontos da roda no instante considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda.

86


Resolução: A aceleração de A é dada por: a A = aO + a A/O, onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(a A/O)n = r 0ω2, dirigida de A para O, e a componente (a A/O)t = r 0α dirigida ao longo de t . A adição dos vetores dá a A. A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C , considerado um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O, em que as componentes da aceleração relativa são: (aC/O)n = r ω2, dirigida de C para O, e (aC/O)t = r α, dirigida para a direita, para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de linha CO em torno de O. Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = r ω2.

87


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Então: a A = aO + a A/O a A = aO + (a A/O)t + (a A/O)n a A = aO + r 0α + r 0ω2 aC = aO + aC/O

aC = r ω2

Assim sendo, a aceleração de C é independente de α e é dirigida para o centro 88 do círculo. Essa conclusão é um resultado útil para se guardar.


MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração Atividades 1. O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na mesma direção e sentido. Determine: (a) a aceleração angular da engrenagem; (b) as acelerações dos pontos B, C e D da engrenagem. R: (a) α = -20 rad/s2; (b) a B = 8,1 m/s2 ac = 9,6 m/s2 a D = 13 m/s2

89


2. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm e gira aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que coincide com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por . Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração angular α do volante. R: 6 rad/s2; 4 rad/s2

90


3. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é aO = 3 m/s2. Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando (a) θ = 0º, (b) θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω influenciam o cálculo? R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2

91


4. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que possui uma aceleração aO = 8 m/s2 para a direita. Determine os módulos das acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, ω = 3 rad/s, α = - 8 rad/s2. R: a A = 12,8 m/s2, a B = 3,21 m/s2

92


5. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa retangular possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que diminui de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A nesse instante. R: a A = 11,18 m/s2

93


6. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da aceleração de B para esse instante. R: a B = 16,44 m/s2

94


7. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar. Determine as acelerações vetoriais dos pontos B e A. R: a A = ( –20 i + 2 j) m/s2; a B = ( –4 i – 18 j) m/s2

95

Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica

CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS Cinética Planar de Corpos Rígidos: Força e Aceleração 1. Introdução 2. Momento de inércia de uma massa 3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 4. Equação do movimento de translação 5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo 6. Equações do movimento: movimento plano geral 96


1. Introdução A cinética de corpos rígidos trata das relações entre as solicitações (forças e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento (translação e rotação) desse corpo. As relações cinemáticas para o movimento plano de corpos rígidos foram anteriormente desenvolvidas, sendo agora necessárias neste estudo do movimento planar de corpos rígidos. Este estudo é aplicado a movimentos planares de corpos rígidos que, tal como as solicitações aplicadas, são considerados simétricos relativamente a um plano de referência fixo. Este plano de referência contém o centro de massa e todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para esse plano de referência. 97


Introdução Um corpo que tenha dimensões apreciáveis na direção normal ao plano de referência pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas idealizações incluem claramente um vasto número de movimentos de corpo rígido. Uma forma básica de abordar a Cinética é pelo isolamento do corpo ou sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relações instantâneas entre força, massa e aceleração ou quantidade de movimento, o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo com o seu diagrama de corpo livre. 98


Introdução Quando forem empregados os princípios do trabalho e energia, um diagrama de forças que mostra somente aquelas forças externas que realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de corpo livre. Nenhuma solução de um problema deve ser tentada sem primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e identificar todas as forças externas que atuam sobre ele.

99


2. Momento de Inércia Uma vez que um corpo rígido tem uma forma e tamanho definidos, um sistema de forças aplicadas ao corpo poderá não ser concorrente, provocando momentos que irão resultar numa aceleração angular do corpo. O movimento de rotação é descrito por uma equação do tipo r

r

∑ M G = I G .α onde o termo I G é a quantidade designada por momento de inércia.

100


Momento de Inércia Por comparação, pode-se afirmar que o momento de inércia é uma medida da resistência do corpo à aceleração angular, da mesma forma que a massa é uma medida da resistência do corpo à aceleração, I

= m.r 2

“Propriedade de um objeto em resistir às mudanças no seu movimento angular”. É afetado pela massa do objeto e como esta está distribuída em relação ao eixo de rotação. Cada partícula fornece alguma resistência à mudança no movimento angular. Essa resistência é igual á massa da partícula vezes o quadrado da 101 distância da partícula ao eixo de rotação:


Momento de Inércia Como calcular o momento de inércia? Para o corpo representado na Figura 1 abaixo, o momento de inércia relativamente ao eixo z é definido como I = ∫ r 2 .dm m

A distância r é medida na perpendicular a partir do eixo z até ao elemento de massa dm.

102


Momento de Inércia No estudo da cinética planar, o eixo em torno do qual normalmente se calcula o momento de inércia passa no centro de massa G do corpo, sendo designado por I G . A unidade mais comum desta grandeza é kg.m2. Se o corpo for constituído por um material de massa volúmica variável, ρ= ρ( x, y, z), o elemento de massa elementar dm do corpo pode ser expresso em termos do seu volume e massa volúmica dm = ρ dV Substituindo dm, o momento de inércia do corpo pode ser calculado por integração usando elementos de volume, I = ∫ r 2 . ρ .dV V

No caso de ρ = Cte , este termo pode ser colocado fora do integral, sendo a integração função apenas da geometria do corpo, 103 I = ρ ∫ r 2 .dV V


Momento de Inércia Quando o elemento de volume escolhido para integração tem dimensões infinitesimais nas três direções, dV = dx.dy.dz, o momento de inércia tem de ser determinado por integração tripla (Figura A). Este processo de integração pode ser simplificado se o elemento de volume utilizado tiver dimensão ou espessura diferencial apenas numa direção. Elementos de volume do tipo casca (Figura B), ou do tipo disco (Figura C) são usados com frequência para este fim.

A

B

C

104


- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia

105


- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia

106


- Teorema dos eixos paralelos Desde que o momento de inércia do corpo calculado relativamente a um eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, então o momento de inércia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura:

107


- Teorema dos eixos paralelos O eixo z’ passa através do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se encontra afastado a uma distância d. Escolhendo o elemento de massa dm, localizado no ponto (x’, y’), e usando o teorema de Pitágoras, r 2 = (d + x’)2 + y’ 2 Podemos expressar o momento de inércia do corpo relativamente ao eixo z como

I = ∫ r 2 dm =∫ (d + x')2 + y'2 dm =∫ ( x'2 + y'2 )dm + 2d ∫ x' dm + d 2 ∫ dm m

m

m

m

m

108


- Teorema dos eixos paralelos

I = ∫ r 2dm =∫ (d + x')2 + y'2 dm =∫ ( x'2 + y'2 )dm + 2d ∫ x' dm + d 2 ∫ dm m

m

m

m

m

Como r’ 2 = x’ 2 + y’ 2, o primeiro integral representa I G . O segundo integral é nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, isto é, ∫ x' dm = x ' ∫ dm = 0 , uma vez que x' = 0. m

m

Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. Assim, o momento de inércia relativamente ao eixo z pode ser escrito como: 2

I = I G + md

Sendo: IG

-

m

-

d

momento de inércia relativamente ao eixo z´ que passa no centro de gravidade G. massa do corpo 109 distância medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos.


- Raio de giração O momento de inércia relativamente a um determinado eixo é frequentemente referido em termos do raio de giração, k . Esta grandeza tem unidades de comprimento, e quando é conhecida juntamente com a massa, o momento de inércia do corpo é determinado a partir da equação ou 2

I = md

k =

I m

Assim, k é uma medida da distribuição da massa de um corpo em torno do eixo em questão e a sua definição é análoga à definição de raio de giração para o momento de inércia de área. Se toda a massa m pudesse ser concentrada a uma distância k do eixo, o momento de inércia permaneceria inalterado. 110


- Definições Raio de giração É a distância teórica do eixo de rotação onde toda a massa do objeto deveria estar concentrada para criar a mesma resistência à mudança no movimento angular que o objeto oferece no seu formato original. I

= mh 2

Dependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de inércia varia, apesar da massa ser a mesma. O momento de inércia sempre é relativo a um eixo de rotação.

“A distribuição da massa de um objeto é mais significativa para o momento de inércia do que a própria massa”. Para uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotação ela estiver distribuída (ou concentrada), maior o momento de inércia. 111


- Corpos Compostos O momento de inércia de massa de um corpo composto é a soma dos momentos de inércia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inércia de cada uma das partes no seu centro de massa, I G , com o do momento de inércia no centro de massa do corpo. É muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de inércia de um elemento negativo, como o material que é removido para formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa.

112


- Corpos Compostos A tabela apresenta algumas das fórmulas mais úteis para os momentos de inércia de corpos com as formas mais comuns.

113


- Corpos Compostos

114


- Corpos Compostos

115


- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 1 ª LEI DE NEWTON

“Princípio da conservação do momento angular” O momento angular de um objeto permanece constante a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele. A 1ª lei de Newton não requer que a velocidade angular seja constante, mas sim que o produto do momento de inércia pela velocidade angular seja constante, se não houver torques externos atuando. ↑ momento de inércia ↓ velocidade angular

momento angular constante 116


- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 2 ª LEI DE NEWTON

“Mudança no momento angular” Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este irá sofrer uma aceleração angular no sentido deste torque e essa aceleração angular será diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao momento de inércia do objeto.

=T/I

ou

T

=I

- aumento ou diminuição da velocidade angular - mudança na direção do eixo de rotação - mudança no momento e inércia

Obs.: A aceleração angular do objeto ou uma mudança no seu momento de inércia não necessariamente indica a presença de um torque externo 117 resultante.


- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 3 ª LEI DE NEWTON Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto. Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inércia dos objetos.

118


3. Equações Cinéticas Planares do Movimento Devemos ter sempre em mente que este estudo é limitado a movimentos planares de corpos rígidos que são considerados simétricos relativamente a um plano de referência fixo. Neste caso a trajetória de cada partícula é uma curva plana paralela ao plano de referência. Uma vez que o movimento do corpo pode ser visto sob o plano de referência, todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para o plano de referência.

119


Equações Cinéticas Planares do Movimento Um exemplo do movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em que o sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente com o ponto arbitrário P do corpo. Por definição de sistema inercial, estes eixos não rodam e, ou estão fixos, ou transladam com velocidade constante.

120


4. Equação do movimento de translação As forças representadas na figura anterior são forças externas, que representam o efeito de forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de forças foi já estudado na análise de um sistema de partículas, a equação que daí resultou pode ser aqui usada: r

r

∑ F = m.a G Soma de todas as forças = massa do corpo externas que atuam no corpo

x aceleração do seu centro de massa

121


Equação do movimento de translação Para o movimento do corpo no plano x- y, a equação do movimento r

r

∑ F = m.a G pode ser escrita sob a forma de duas equações escalares independentes, uma vez que não existe nenhum movimento angular de translação do corpo; e assim, a aceleração angular é igual a zero. r

r

∑ M G = I G .α = 0 Então as equações do movimento que se aplicam neste caso são:

∑ F x = m(aG ) x ∑ F y = m(aG ) y ∑ M G =0

122


- Observação

Para a translação retilínea, se a direção de x é escolhida como sendo a da aceleração, então as duas equações escalares para as forças são: ∑ F x = m(aG ) x ∑ F y = m(aG ) y = 0 Para a translação curvilínea, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t , as duas equações escalares para as forças ficam: ∑ F n = m(aG )n Em ambos os casos:

∑ M G =0

∑ F t = m(aG )t

123


Pode-se empregar uma equação alternativa de momentos com o auxílio do diagrama cinético. Então, para a translação retilínea tem-se ∑ M P =mad ∑ M A =0 e para translação curvilínea o diagrama cinético permite escrever ∑ M A =man d A no sentido horário e ∑ M B =mat d B no sentido anti-horário.

“Assim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relação ao qual os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que for mais adequado”. 124


- Movimento de translação Exemplo 1 Uma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir do repouso, em uma distância de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de inclinação, com aceleração constante. Calcule a força normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a força de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista é de no mínimo 0,8, e que a aceleração gravitacional é 9,81 m/s 2.

125


Resolução: Admite-se que as massas das rodas sejam desprezíveis se comparadas com a massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um único corpo rígido em translação retilínea com uma aceleração de 2

2 0

v = v + 2 aΔS → a =

(50 / 3,6 )2 2.60

= 1,608 m / s 2

O diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as forças normais N 1 e N 2, a força de atrito F no sentido contrário ao deslizamento das rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes.

Com θ = tg-1 1/10 = 5,71º, essas componentes são: W.cos θ = 1500.9,81.cos 5,71º = 14,64.103 N W.sen θ = 1500.9,81.sen 5,71º = 1464 N

126


O diagrama cinético mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e possui a orientação da aceleração do veículo. Seu módulo é: F R = m.a = 1500.1,608 = 2410 N Aplicando as três equações de movimento para as três incógnitas, tem-se ∑ F x = ma x → F – 1464 = 2410 → F = 3880 N

∑ F y = ma y = 0 →

N 1 + N 2 – 14,64.103 = 0

∑ M G = I .α = 0 →

1,5 N 1 + 3880.0,6 – 1,5 N 2 = 0

Resolvendo as duas últimas equações simultaneamente, obtém-se N 1 = 6550 N N 2 = 8100 N Comentário:

Para suportar uma força de atrito de 3880 N é necessário um coeficiente de atrito de no mínimo F / N 2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o coeficiente de atrito é de pelo menos 0,8, as superfícies são suficientemente rugosas para suportar o valor calculado de F . 127


- Movimento de translação Exemplo 2 Para que aceleração a da estrutura a barra delgada uniforme mantém a orientação mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos roletes em A e B.

128

Cinética dos Corpos Rígidos Rígidos - Dinâmica

Resolução: Considerando as forças que agem na barra AB representadas na figura abaixo, pode-se escrever para as equações de movimento:

∑ F x = ma x

→ N A = ma

∑ F y = ma y = 0 → N B = mg

∑ M B =mad

sen 30º) - mg (l/2cos l/2cos 30º) = ma ma((l/2sen l/2sen 30º) → N A(l sen

Resolvendo a última expressão com as devidas substituições e simplificações, temos: a = g √3 129


Atividades 1. Observ Observa-se a-se que, que, quando quando engrena engrenadas das ainda ainda em repous repouso, o, as rodas rodas traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado são μe = 0,70 e μd = 0,50, determinar a aceleração a do cortador para a frente. frente. A massa massa do cortador cortador com o saco preso preso a ele é de 50 Kg com com o centro de massa em G. Admita que o operador não empurre a empunhadeira, de modo que P que P = = 0. R: a = 4,14 m/s2

130


2. Um caixote homogêneo de massa m é montad montadoo sobre sobre pequenas pequenas rodas rodas,, conforme mostrado na figura. Determinar a força máxima P máxima P que que pode ser aplicada sem tombar o caixote em relação (a (a) a seu bordo frontal mais baixo com h = b e (b (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0. R: (a (a) P = mg (c/b); c/b); (b) P = mg (c/b) c/b)

131


3. O carro mostrado mostrado na figura figura tem 2 t e centro centro de massa massa G. Determine a aceleração do carro se as rodas traseiras, de “tração”, estão deslizando, e as dianteiras estão livres. Despreze as massas das rodas. O coeficiente de atrito cinético entre as rodas e o pavimento é μc = 0,25. R: aG = 1,59 m/s2

132


4. A barr barraa unif uniform ormee OB, OB, de 30 Kg, é fixada a uma estrutura estrutura acelerada acelerada na na posição de 30º com a horizontal, através da rótula O e do rolete A rolete A.. Se a aceleração horizontal da estrutura é a = 20 m/s2, calcule a força F força F A sobre o rolete e as componentes x componentes x e y da força suportada pelo pino em O. R: F A = 1,11 kN; O X = 45 N; OY = 667 N

133


5. Um carro carro esporte esporte tem massa massa de de 1,5 t e centro de massa massa em G. Determine o tempo mínimo que ele leva para atingir uma velocidade de 80 Km/h, partindo partindo do repouso, repouso, se a tração é traseira traseira e as rodas dianteiras dianteiras rolam livremente. O coeficiente de atrito estático entre as rodas e o pavimento é µ é µe = 0,2. Despreze a massa das rodas. R: 17,5 s

134


6. O veículo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de massa é posicionado no ponto G. As massas das rodas são pequenas, se comparadas com a massa total do veículo. Considere o coeficiente de atrito estático entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. Calcule as forças normais N A e N B entre a pista e os pares de rodas dianteiras e traseiras na condição de aceleração máxima. R: N A = 6,85 kN; N B = 9,34 kN

135


7. Quando a velocidade do veículo de massa m = 1500 Kg mostrado na figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o módulo da força de atrito em cada roda enquanto o veículo derrapava. R: F A = 3,58 kN; F B = 6,54 kN

136


5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo Considere um corpo rígido que se desloca no plano vertical, em torno de um eixo fixo que passa no ponto O, sujeito à ação de forças e momentos.

Para esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem trajetórias circulares em torno do eixo de rotação, e todas as linhas traçadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, têm a mesma 137 velocidade angular ω e a mesma aceleração angular α.


Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo

As componentes da aceleração do centro de massa para o caso do movimento circular são mais facilmente expressas em termos das coordenadas n-t , e assim tem-se an = r ω2 e at = r α, para a rotação do corpo 138 rígido em relação ao eixo fixo que passa por O.


Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo Os diagramas de corpo livre e o correspondente diagrama cinético deste corpo estão representados na figura abaixo, e mostram a for ça resultante Σ F em função de suas componentes n e t, e também o momento resultante Σ M G.

As equações do movimento que se aplicam neste caso são: ∑ F n = m(aG )n = mω 2 r G ∑ F t = m(aG )t = mα .r G ∑ M G = I Gα

139


Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo Ao se aplicar a equação de momentos em relação a G deve-se considerar o momento da força aplicada ao corpo em O, logo essa força não deve ser omitida do diagrama de corpo livre. Para os problemas de rotação em relação a um eixo fixo, geralmente é interessante aplicar uma equação de momento diretamente em relação ao eixo de rotação O. Então, a equação resultante para os momentos pode ser escrita: M O = I Oα

∑

Com base no diagrama cinético pode-se obter a equação dos momentos das resultantes em relação a O, tomando que: M O =r G m ( aG ) t + I Gα

∑

Como (aG)t = r G.α, substituindo na equação anterior, obtém-se:

2 = + M ( I mr ∑ O G G )α 140


Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo Pelo teorema dos eixos paralelos, I O = I G + m r G2, conclui-se que:

∑ M O = I O .α Assim, as equações do movimento para o caso de rotação em torno de um eixo fixo que passe no ponto O podem-se também escrever da seguinte forma: F = m(a ) = mω 2 r

∑ n G n G ∑ F t = m(aG )t = mα .r G ∑ M O = I Oα

Observação: Para o caso comum de rota ção de um corpo r ígido em torno de r r

um eixo fixo rque rpassa pelo seu centro de massa G, evidentemente a = r0 e, portanto, F = 0. O resultado das for ças aplicadas é, então, o momento I α . 141

∑


- Movimento de rotação Exemplo 1 O bloco de concreto de 300 Kg é elevado pelo mecanismo de içamento mostrado na figura, onde os cabos são enrolados sem folga em torno dos respectivos tambores. Os tambores, que são unidos e giram como um conjunto único em torno do seu centro de massa em O, possuem uma massa combinada de 150 Kg e um raio de giração de 450 mm em relação a O. Se uma força de tração constante P de 1800 N é mantida pela unidade de potência em A, determine a aceleração vertical do bloco.

142


Resolução: Os diagramas de corpo livre e cinético dos tambores e do bloco de concreto são desenhados mostrando todas as forças atuantes, incluindo as componentes Ox e Oy da reação normal em O.

Como neste caso a rotação se faz em torno de um eixo fixo ( O) que passa pelo seu centro de massa, a resultante do sistema de forças sobre os tambores r é o momento I α = I Oα , e sendo I = r 2m faz-se: 143 I = (0,450)2.150 = 30,4 Kg.m 2


O cálculo dos momentos em relação ao centro de massa O da polia no sentido da aceleração angular α fornece:

∑ M O = I Oα

→ 1800.0,6 – T .0,3 = 30,4.α

A aceleração do bloco é descrita por:

∑ F y =ma y

→

T – 300.9,81 = 300. a y

Pela relação at = r α, tem-se a = 0,3.α. Com essa substituição, as equações anteriores combinadas fornecem: T = 3250 N

α = 3,44 rad/s2

a y = 1,031 m/s2

144


- Movimento de rotação Exemplo 2 A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura é pivotada em O, e oscila livremente no plano vertical. Se a barra é liberada a partir do repouso na posição horizontal, calcule o valor inicial da força exercida pelo mancal sobre a barra no instante imediatamente após ela ser liberada.

145


Resolução: Considerando as forças que agem sobre a barra, representadas na figura abaixo, podemos escrever as equações do momento em relação a O∑ M O = I O,α e sendo o momento de inércia da barra I O = 1/3ml 2, temos:

∑ M O = I Oα 1 2 mgr = ml α 3 20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6) 2α → α = 9,2 rad/s2

Utilizando a relação a = αr e a expressão da força resultante em y, calculamos R: ∑ F t = mat = mr α → 20.9,81 – R = 20.0,8.9,2 → R = 49 N 146


Atividades 1. Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio possui uma massa de 100 Kg e um raio de giração em relação a seu centro de 375 mm. Calcule a aceleração angular de cada tambor. O atrito em cada mancal é desprezível. R: αa = 3,20 rad/s2 ; αb = 3,49 rad/s2

147


2. Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular α adquirida pelo disco. O momento de inércia do disco em relação ao ponto A vale. R: 4,36 rad/s 2

148


3. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e oscila no plano vertical em torno do pivô A. Se ω = 2 rad/s quando θ = 30º, calcule a força suportada pelo pino em A nesse instante. R: F A = 56,3 N

149


4. A barra fina de 20 Kg mostrada na figura gira num plano vertical e, num dado instante, tem velocidade angular ω = 5 rad/s. Determine a aceleração angular da barra e os componentes horizontal e vertical da reação no pino nesse instante. R: α = 5,90 rad/s2; On = 750 N; Ot = 19 N

150


5. O disco uniforme de 30 Kg mostrado na figura é suportado por um pino em seu centro. Se ele parte do repouso, determine o número de voltas que ele deve dar para atingir uma velocidade angular de 20 rad/s. Qual é a reação no pino? O disco está sob a ação de uma força constante F = 10 N, que é aplicada a uma corda enrolada na sua borda, e um momento de binário M = 5 N.m. Despreze a massa da corda. R: θ = 2,73 rev; O X = 0 N; OY = 304 N

151


6. A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relação a um eixo horizontal que passa pelo mancal O. Ela é liberada da posição horizontal a partir do repouso. Determine a distância b do centro de massa até o mancal O para a qual se tem uma aceleração angular inicial de 16 rad/s 2, e obtenha a força R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante imediatamente após a barra ser liberada. Adote I O = (1/12)mL2 + mb2 R: b = 53,6 mm e R = 71,6 N

152


6. Equações do movimento: movimento plano geral A dinâmica de um corpo rígido em movimento plano geral combina os movimentos de translação e rotação. Como nos casos anteriores é necessário apenas estabelecer-se a equivalência entre o sistema de forças externas, como no diagrama de corpo livre, e as resultantes das forças para resolver-se o problema de movimento plano. Podemos considerar novamente um corpo rígido que se desloca no plano vertical, em movimento plano geral, sujeito à ação de forças e momentos.

153


Equações do movimento: movimento plano geral Os diagramas de corpo livre e diagrama cinético deste corpo estão representados nas figuras abaixo:

Para o movimento plano geral de um corpo simétrico rígido, podem-se escrever 3 equações escalares:

∑ F x = m(aG ) x

∑ F y = m(aG ) y

∑ M G = I G .α

154


Equações do movimento: movimento plano geral Para aplicação destas equações, deve-se sempre desenhar os diagramas de corpo livre e diagrama cinético, para o instante considerado. Diagrama de corpo livr e

Diagrama cinético

Representar graficamente os termos envolvendo

∑ F x , ∑ F y , ∑ M G Representar graficamente os termos envolvendo m(aG)x, m(aG)y, IG.α

Os dois diagramas são igualados, como na figura anterior, já que as forças e momentos no diagrama de corpo livre causam o movimento acelerado indicado pelos 3 vetores mostrados no diagrama cinético. 155


- Notas: -

∑ M G = I G .α aplica-se somente no ponto G.

- Para outros pontos, devem-se considerar também os momentos “cinéticos” provocados pelas componentes de m(aG) em relação a esse ponto e por I G.α. - I G.α tem as mesmas propriedades de um binário e pode atuar em qualquer ponto no diagrama cinético. - m(aG) x e m(aG) y são tratados da mesma maneira que uma força, isto é, podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ação.

156


- Equações do movimento: movimento plano geral

Especial atenção deve ser dada a certos casos do movimento plano; casos que ocorrem com frequência suficiente para precisarem atenção. O primeiro ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo ou da extensão deste, não tem aceleração! ão A equação de momentos em relação a O torna-se ∑ M O = I O .α , que satisfaz às mesmas condições que para um corpo que gira em relação a um eixo fixo em O. O ponto O não precisa necessariamente ser fixo; pode ter uma velocidade constante.

157


Equações do movimento: movimento plano geral O segundo caso de frequência corrente existe, quando o centro de momento O é escolhido de tal modo que tem uma aceleração dirigida diretamente para G, figura (a). A aceleração de G, escrita em função da aceleração O, tem as r componentes a0, r ω2 e r α de tal modo que a força resultante ma tenha as componentes ma0, mr ω2 e mr α, como é mostrado na parte (b) figura. A soma dos momentos em relação a O torna-se r

r

A substituição de I O = I + mr 2 , dá

r

r

∑ M P = I .α + mr 2α .

∑ M O = I O .α 158


A figura (c) mostra o exemplo frequentemente encontrado da situação descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no centro geométrico. O centro instantâneo de rotação C tem uma aceleração dirigida para o centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de massa não fosse o centro geométrico, então a aceleração do ponto de contato C não passaria em G.

159


Equações do movimento: movimento plano geral Observação:

Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua representação através de correto diagrama de corpo livre. Somente após esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a equivalência entre as forças externas e suas resultantes. De igual importância na análise do movimento plano, é a compreensão da Cinemática envolvida. Muito frequentemente as dificuldades experimentadas no estudo do movimento planar estão relacionadas diretamente com cinemática. Deve ser reconhecido, na formulação da solução de um problema, que as direções de certas forças ou acelerações não sejam conhecidas no começo; de tal modo que seja necessário fazer hipóteses iniciais cujas validades serão aprovadas ou desaprovadas, quando a solução é efetuada. 160


É essencial, entretanto, que todas as hipóteses feitas sejam coerentes com o princí pio pio da ação e reação e com quaisquer requisitos cinemáticos, que também são chamados de condições de construção. Assim, se uma roda está girando em superfície horizontal, seu centro está limitado a mover-se em linha horizontal. Além do mais, se a aceleração linear desconhecida a do centro da roda é suposta positiva para a direita, a aceleração angular desconhecida α deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que a = + r α, supondo-se que a roda não deslize. Deve ser notado também que para uma roda que gira sem deslizamento a = r α, a força de atrito F entre a roda e sua superfície de apoio é geralmente menor que o seu valor máximo, de modo que F ≠ fN . Se a roda desliza quando gira a ≠ r α, embora a força de atrito tenha atingido o seu valor limite, tem-se que F = fN . Pode ser necessário testar a validade de uma ou outra hipótese em dado problema. problema 161


Equações do movimento: movimento plano geral Exemplo 1

A bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de giração k G = 0,35 (SI). Se as cordas de massas desprezíveis estão enroladas no cilindro central e na periferia, como mostrado na figura, determine a aceleração angular da bobina.

162


Resolução: Analisando as forças que agem na bobina de acordo com a figura abaixo, pode-se perceber que a força de 100 N causa uma aceleração aG para cima. Além disso, α corresponde a um movimento de rotação no sentido horário, pois a bobina enrola a corda em sua periferia.

Há três incógnitas: T , aG e α. O momento de inércia da bobina em relação ao 163 seu centro de massa é: I G = m.k G2= 8Kg.(0,35m)2 = 0,980 Kg.m2


Aplicando as equações do Movimento:

∑ F y = m(aG ) y

→

T + 100 – 78.48 = 8.aG

∑ M G = I G .α

→

100.(0,2) – T .0,5 = (0,980).α

Utilizando a cinemática para relacionar as acelerações aG com α, uma vez que a bobina rola sem escorregar na corda em A: aG = 0,5.α

Resolvendo o sistema de equações, encontra-se: α = 10,3 rad/s2 aG = 5,16 m/s2 T = 19,8 N 164


Equações do movimento: movimento plano geral Exemplo 2

Um aro metálico com raio r = 150 mm é liberado do repouso sobre a ladeira com 20º de inclinação. Determine a aceleração angular α do aro e o tempo t para que ele se mova de uma distância de 3 m ladeira abaixo.

165


Resolução: O diagrama de corpo livre mostra o peso mg , a força normal N e a força de atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama cinético mostra a força resultante ma que passa por G no sentido de sua aceleração e o Momento I α. A aceleração angular no sentido anti-horário requer um momento também no sentido anti-horário em relação a G, logo a força F deve ser orientada ladeira acima.

Admitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = r α, e ainda que o momento de inércia do aro é I = mr 2. A aplicação das componentes das forças nas direções x e y fornece: 166


∑ F x = m(aG ) x ∑ F y = m(aG ) y ∑ M G = I G .α

→

→

m.g.sen

→

N – m.g.cos 20º = 0

20º - F = m.a

F.r = m.r 2.α

Eliminando F entre a primeira e a terceira equação e substituindo a hipótese cinemática a = r α encontra-se: a = ( g /2)sen 20º = 1,678 m/s2 → O tempo necessário para o centro G do aro mover-se 3 m a partir do repouso com aceleração constante é:

x = ½ a.t2 → t = 1,633 s

167


Equações do movimento: movimento plano geral Atividades 1. A roda de 10 Kg com raio de giração de 180 mm em relação ao seu centro O é liberada a partir do repouso sobre a rampa de 60º e desliza enquanto rola. Se o coeficiente de atrito dinâmico é μd = 0,30, calcule a aceleração aO do centro O da roda e sua aceleração angular α. R: aO = 7,02 m/s2; α = 9,08 rad/s2

168


2. Uma esfera homogênea de massa m e raio R é abandonada a partir do repouso sobre uma rampa que está inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal e, a partir desse instante, desce a rampa rolando sem deslizar como indica a figura. O momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é I = (2/5)mR2. Calcule o módulo da força de atrito que a superfície inclinada exerce sobre a esfera. R: f at = (2/7)m. g .senθ

169


3. O disco circular de massa m e raio r mostrado na figura está rolando ao longo da parte mais baixa da superfície circular de raio R. Se o disco possui uma velocidade angular ω, determine a força N exercida pela superfície sobre o disco. R: N = m.[ g + (r 2.ω2/ R – r )]

170


4. No sistema da figura os blocos A e B possuem massas 7,0 Kg e 5,0 Kg, respectivamente. A roldana é um disco homogêneo de raio r e massa 1,0 Kg e gira devido ao atrito com a corda. Considerando que o atrito entre o plano inclinado e o bloco A é desprezível, que não há deslizamento entre a corda e a roldana determine a aceleração do bloco A. Deixe claro se este bloco sobe ou desce a rampa. R: 1,177 m/s2

171


5. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de giração centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concêntrica de 75 mm de raio nele entalhada. Uma força estacionária T fazendo um ângulo θ com a horizontal é aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 30 N, θ = 0º, μe = 0,10 e μd = 0,08, determine a aceleração angular α do disco, a aceleração a do seu centro de massa G e a força de atrito F que a superfície exerce sobre o disco. R: 0,425 m/s2; - 2,13 rad/s2; 19,35 N

172


6. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de giração centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concêntrica de 75 mm de raio nele entalhada. Uma força estacionária T fazendo um ângulo θ com a horizontal é aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 50 N, θ = 30º, μe = 0,10 e μd = 0,08, determine a aceleração angular α do disco, a aceleração a do seu centro de massa G e a força de atrito F que a superfície exerce sobre o disco. R: α = 0,295 rad/s2; F = 17,62 N

173


7. Ao tambor A é imposta uma aceleração angular constante α0= 3 rad/s2, que faz com que o carretel B de 70 Kg role sobre a superfície horizontal. O tambor A aciona o carretel B por meio do cabo de conexão, que se enrola em volta do centro do carretel. O raio de giração k do carretel, em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa G, é de 250 mm, e o coeficiente de atrito estático entre o carretel e a superfície horizontal é de 0,25. Determine a força trativa T atuante no cabo e a força de atrito F exercida pela superfície horizontal sobre o carretel. R: T = 154,6 N

174


CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS Cinética Planar de Corpos Rígidos: Trabalho e Energia 1. Introdução 2. Energia Cinética 3. Trabalho de uma Força 4. Trabalho de um binário 5. Princípio do Trabalho e Energia 6. Conservação da Energia 7. Potência

175


1. Introdução Os princípios de trabalho e energia são especialmente úteis na descrição do movimento que resulta do efeito cumulativo de forças atuantes durante um deslocamento. Além disso, quando as forças são conservativas podese determinar as variações de velocidade pela análise das condições de energia no início e no final do intervalo do movimento. Para deslocamentos finitos, o método do trabalho-energia elimina a necessidade de determinar a aceleração e a posterior integração no intervalo de tempo para obter a variação da velocidade. Essas vantagens são obtidas ao se estender os princípios do trabalhoenergia para descrever o movimento de corpos rígidos. 176


2. Energia Cinética ( T ) Para que se possa aplicar o Método do Trabalho e Energia a problemas de cinética, é necessário desenvolver uma forma de calcular a energia cinética de um corpo quando este está sujeito a translação, rotação em torno de um eixo fixo ou movimento plano geral.

177


Energia Cinética

T

Considere o corpo rígido mostrado na figura abaixo, que se desloca num plano de referência x - y.

Uma partícula arbitrária de ordem i deste corpo, de massa dm , está localizada a uma distância r do ponto arbitrário P . Se para o instante representado a partícula i tiver velocidade vi, então a energia cinética é 1 dada por 178 T i = dmvi2 2


Energia Cinética A energia cinética do corpo é calculada escrevendo equações semelhantes 1 para cada partícula do corpo e integrando os resultados, isto é, T i = ∫ dmvi2 2m

Esta equação pode também ser expressa em termos da velocidade do r ponto P . Se o corpo tiver velocidade angular ω , r r r vi = v P + vi / P r vi = (v P ) x iˆ + (v P ) y jˆ + ω k ˆ × ( xiˆ + y jˆ) r vi = [(v P ) x − ω y ]iˆ + [(v P ) y + ω x] jˆ r r vi .vi = vi 2 = [(v P ) x − ω y ]2 + [(v P ) y + ω x]2

vi 2 = (v P ) x2 − 2(v P ) x ω y + ω 2 y 2 + (v P ) y2 + 2(v P ) y ω x + ω 2 x 2 vi 2 = v P 2 − 2(v P ) x ω y + 2(v P ) y ω x + ω 2 r 2 Substituindo na equação da energia cinética, obtém-se:

179


Energia Cinética Mas : localização da coordenada y do centro de massa G relativamente a P : localização da coordenada x do centro de massa G relativamente a P : Momento de inércia relativamente a um eixo z que passa em P Pode-se, portanto escrever:

1 1 T = mv P 2 − (v P ) x ω . y.m + (v P ) y ω . x.m + I P ω 2 2 2

Como caso especial, se o ponto P coincidir com o centro de massa G do corpo, temos y = x = 0, e portanto: 180


Energia Cinética Para se aplicar o Método do Trabalho e Energia a problemas de cinética é necessário calcular a energia cinética de um corpo quando este está sujeito a translação, a rotação em torno de um eixo fixo, ou movimento plano geral.

181


Energia Cinética Translação Se um corpo rígido de massa m descrever um movimento de translação retilínea ou de translação curvilínea, a energia cinética devido à rotação é nula, pois ω = 0. Então: T = 1 mvG2 2

Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo rígido que passa num ponto O, o corpo tem energia cinética de rotação: T = 1 ω 2 I 0 2 Movimento Plano Geral Quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano geral o corpo tem velocidade angular e o seu centro de massa tem velocidade: 1 1 T = mvG2 + I Gω 2 182 2 2


3. Trabalho de uma Força Se uma força atua num corpo rígido, o trabalho realizado à medida que se desloca ao longo do caminho s é definido por U F = ∫ F . cosθ .ds s

Para um sistema de forças externas a atuar num corpo rígido, o trabalho total realizado é simplesmente a soma algébrica do trabalho de cada força. 183


Trabalho de uma Força Trabalho de uma força constante U F = ∫ F . cosθ .ds s

Trabalho de um peso U W = W .( y 2 − y1 )

Trabalho da força de uma mola elástica 1 ⎤ ⎡1 U 1−2 = − ⎢ kx22 − kx12 ⎥ 2 ⎦ ⎣2 184


Trabalho de uma Força Forças que não realizam trabalho - Forças que atuam em pontos fixos do corpo; - Forças que atuam numa direção perpendicular às suas trajetórias de deslocamento; Exemplo de forças que não realizam trabalho: “Caso de rolamento sem escorregamento”

- Peso W - Reação normal N - Força de atrito F r , pois atua num ponto de velocidade nula 185


4. Trabalho de um binário Considere-se um corpo sujeito a um binário M = F .r

Quando o corpo está em translação, o trabalho de uma força anula o trabalho da outra.

um deslocamento diferencial = translação + rotação

186


Trabalho de um binário Quando o corpo tem uma rotação diferencial d θ, o trabalho realizado é:

dU M = Fds θ + Fds θ ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ dU M = F ⎜ ⎟ d θ + F ⎜ ⎟ d θ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ dU M = Frd θ dU M = Md θ Quando o corpo tem uma rotação diferencial d θ, o trabalho realizado é: θ 2

U M = M ∫ d θ θ 1

Para um binário constante, temos: U M = M (θ 2 – θ 1) 187


5. Princípio do Trabalho e Energia O Princípio do Trabalho e Energia aplicado a cada uma das partículas do corpo rígido, somando algebricamente obtém-se o Princípio do Trabalho e Energia para um Corpo Rígido:

T 1 + ∑ U 1−2 = T 2 →∑ U 1−2 = T 2 − T 1 T 1 = Energia Cinética inicial de translação e rotação T 2 = Energia Cinética final de translação e rotação ∑U 1−2 = Soma dos Trabalhos realizados por todas as forças externas e binários

188


- Energia Potencial Energia Potencial Gravitacional

V G = W . yG

Energia Potencial Elástica 1 V e = k . x 2 2 189


6. Conservação da Energia Quando um sistema de forças que atua num corpo rígido é constituído apenas por forças conservativas, pode também ser usado o Teorema da Conservação de Energia para resolver problemas que de outra forma seriam resolvidos por aplicação do Princípio do Trabalho e Energia. Este teorema é frequentemente mais fácil de aplicar, já que o trabalho de uma força conservativa é independente da trajetória e depende só da posição inicial e final do corpo.

190


Conservação da Energia Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido Aplicando-se o Teorema da Conservação de Energia a cada uma das partículas do corpo rígido e somando algebricamente os resultados, obtémse o Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido: T 1 + V 1 = T 2 + V 2

T 1 = Energia Cinética no instante 1 T 2 = Energia Cinética no instante 2 V 1 = Energia Potencial no instante 1 V 2 = Energia Potencial no instante 2 191


7. Potência A potência é a taxa de variação temporal com a qual o trabalho é realizado! Para uma força atuante sobre o corpo rígido em movimento plano, a potência desenvolvida pela força em um dado instante é a taxa com que ela r r está realizando trabalho dU F .d r r r P =

dt

=

dt

= F .v

r

onde d r e vr são, respectivamente, o deslocamento infinitesimal e a velocidade do ponto de aplicação da força.

192


Potência Analogamente, para um momento (ou binário) M atuante sobre o corpo, a potência desenvolvida em um dado instante é a taxa com que ele realiza trabalho, e é expressa por P =

dU Md θ = = M ω dt dt

onde d θ e ω são, respectivamente, o deslocamento angular infinitesimal e a velocidade angular do corpo.

Se os sentidos de M e ω forem os mesmos, a potência é positiva e a energia é fornecida para o corpo. Ao contrário, se M e ω apresentarem sentidos opostos, a potência é negativa e a energia é removida do corpo. Se a força F e o momento M atuarem simultaneamente, a potência r r 193 instantânea total será: P = F .v + M ω


Trabalho e Energia Exemplo 1 A roda rola rampa acima apoiada em seu eixo sem deslizar, e é puxada pela força de 100 N aplicada ao fio enrolado ao redor da sua borda exterior. Se a roda parte do repouso, calcule a sua velocidade angular ω após seu centro ter-se movido de uma distância de 3 m rampa acima. A roda possui uma massa de 40 Kg, com centro de massa em O e um raio de giração centroidal de 150 mm. Determine a potência fornecida pela força de 100 N ao final do percurso de 3 m do movimento da roda.

194


Resolução:

Das quatro forças mostradas no diagrama de corpo livre da roda, apenas a tração de 100 N e o peso de 40.9,81 = 392 N realizam trabalho. A força de atrito não realiza qualquer trabalho enquanto a roda não desliza. 195


Utilizando o conceito de centro instantâneo de velocidade nula C, verifica-se que um ponto A no fio ao qual a força de 100 N é aplicada tem uma velocidade v A = ω.r CA e vO = ω.r CO, então v A/r CA = vO /r CO Logo v A = r CA.vO /r CO, que dá: v A = [(200 + 100)/100]v → v A = 3v Assim o ponto A tem uma velocidade 3 vezes maior que o centro de massa da roda e se move de uma distância também 3 vezes maior do que o centro de O. O trabalho realizado sobre a roda fica: 196 U 1-2 = F.( s A2 - s A1) – P .sen 15º.( s2 - s1) = 100.9 – 392.sen 15º.3 = 595 J


A roda está sujeita a um movimento plano geral, de modo que a variação em sua energia cinética é: 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ΔT = ⎜ mv 2 + I ω 2 ⎟ − 0 ⇒ ΔT = ⎜ 40(0,10ω ) 2 + 40(0,15) 2 ω 2 ⎟ − 0 = 0,650ω 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Pelo princípio do Trabalho e Energia (equação trabalho-energia), tem-se: U 1-2 = ΔT → 595 = 0,650ω2 → ω = 30,3 rad/s 197


A potência fornecida à roda pela força de 100 N, quando ω = 30,3 rad/s, é igual: r r P = F .v → P 100 = F .r .ω → P 100 = 100.0,3.30,3 = 908 W Observação:

Uma vez que a velocidade do centro instantâneo C da roda é nula, a taxa com que a força de atrito realiza trabalho é constantemente nula. Assim, F não realiza trabalho enquanto a roda não deslizar. Entretanto, se a roda estivesse rolando sobre uma plataforma móvel a força de atrito realizaria trabalho, mesmo que não houvesse deslizamento. 198


Trabalho e Energia Exemplo 2 Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa até a altura máxima h. Se h = 3v2/4 g , que corpo deve ser esse?

Resolução: A estratégia para resolver este problema é descobrir o momento de inércia do corpo e compará-lo com o momento de inércia de corpos conhecidos. Como é um sistema conservativo, a energia total (mecânica) é conservada: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 → 1 mv 2 + 1 I ω 2 + 0 = 0 + mgh 2 2 aplicando-se a condição de rolamento v = ω R mR 2 3m I 1 2 1 v 2 3v 2 I = m+ 2 = mv + I 2 = mg 2 2 R 2 2 R 4 g Com este momento de inércia o corpo pode ser um disco ou um cilindro de 199 massa m e raio R.


Trabalho e Energia Exemplo 3 No mecanismo mostrado na figura, cada uma das duas rodas possui uma massa de 30 Kg e um raio de giração centroidal de 100 mm. Cada elemento de ligação OB tem uma massa de 10 Kg e pode ser tratado como uma barra esbelta. O colar de 7 Kg em B desliza sobre o eixo vertical fixo com atrito desprezível. A mola tem uma rigidez k = 30 kN/m e entra em contato com a parte inferior do colar quando as barras alcançam a posição horizontal. Se o colar é liberado a partir do repouso na posição θ = 45º e se o atrito é suficiente para prevenir o deslizamento das rodas, determine a velocidade v B do colar quando ele encosta na mola.

200


Resolução: O mecanismo executa um movimento plano e é conservativo, uma vez que as perdas por atrito dinâmico são desprezíveis. A referência para o cálculo da energia potencial gravitacional V g é, por conveniência, considerada como passando por O, conforme indicado. Para o intervalo de θ = 45º até θ = 0, nota-se que ΔT rodas é nula, uma vez que cada roda parte do repouso e retorna ao repouso em θ = 0º. Observa-se também, que para a posição mais baixa cada barra está simplesmente girando em torno de seu centro O, de modo que: ΔT = [2(½ I Oω2) – 0] barras + [½mv2 – 0]colar 2

1 1 2 2 ⎛ v B ⎞ 2 v v = + = .10.(0,375 ) . 7 6 , 83 ⎜ ⎟ B B ΔT 3 ⎝ 0,375 ⎠ 2 201


O colar em B desce de uma distância de 0,375.sen 45º = 0,265 m,e assim: ΔV = ΔV g = 0 – 2.10.9,81.(0,265/2) – 7.9,81.0,265 = - 44,2 J

A força de atrito atuante sob cada uma das rodas não realiza trabalho, uma vez que a roda não desliza e, naturalmente, a força normal também não realiza trabalho. Como o trabalho do peso do colar B foi incluído no termo ΔV g e não existem outras forças externas realizando trabalho no sistema, pode-se dizer que U 1-2 = 0. Logo:

U 1-2 = ΔT + ΔV 0 = 6,83v B2 – 44,2

→

v B = 2,54 m/s 202


Trabalho e Energia Atividades 1. A tora tora mostrada mostrada na figura é suspensa suspensa pelos pelos dois cabos cabos paralelos paralelos de de 5 m e é utilizada utilizada como como um aríete. aríete. Com que que ângulo ângulo θ ela deve ser liberada a partir do repouso para que atinja o objeto a ser esmagado com uma velocidade de 4 m/s? R: θ = 33,2º

203


2. A roda roda de 15 Kg Kg mostra mostrada da na figu figura ra é libera liberada da a partir partir do repous repousoo e rola sobre seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade v de seu centro O após ter se movido de uma distância x distância x = 3 m rampa abaixo. O raio de giração da roda em relação ao O é de 12 1255 mm. mm. R: v = 0,899 m/s

10

204


3. Um cilindro maciço de 10,4 cm de raio e massa 11,8 Kg parte do repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado de uma casa, que é inclinado inclinado de 27º. Qual a velocidade velocidade angular angular do cilindro cilindro em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado? R: ω ≈ 58 rad/s

205


4. As rodas representam duas condições extremas de distribuição de massa. Para o caso A caso A,, toda a massa m é considerada considerada concentr concentrada ada no centro geométrico do aro em uma barra axial de diâmetro desprezível. Para o B, toda a massa m é admiti caso B, admitida da como como conce concentr ntrada ada na perif periferi eria. a. Determine a velocidade do centro de cada aro após ele ter percorrido uma distância x distância x rampa abaixo a partir do repouso. Os aros rolam sem deslizar. R: v A = √2 gxsenθ ; v B = √ gxsenθ ;

206


5. A barra de 1200 mm tem uma massa massa de 20 Kg com centro de massa em B, e é liberada liberada a partir partir do repouso repouso na posição posição para para a qual qual o ângulo ângulo θ é praticamente nulo. O ponto B é confinado confinado a se mover mover na guia vertical vertical lisa, lisa, enquanto a extremidade A se move na guia horizontal lisa e comprime a mola quando a barra cai. Determine (a) a velocidade angular da barra ao passar pela posição θ = 30º 30º e (b) (b) a velo velocid cidade ade com que B atinge a superfície horizontal, considerando considerando que a rigidez da mola é de 5 kN/m. R: ω ≈ 2,74 rad/s; (b) v = 2,15 m/s

207


6. Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o mesmo raio R, R, são liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo que os momentos de inércia I dos corpos valem respectivamente (2/5)mR (2/5)mR2, (1/2)mR (1/2)mR2 e mR2, utilizando o teorema do trabalho-energia represente a velocidade de cada corpo após terem rolado uma distância h da altura inicial. R: vesf = 0,845√2 gh; gh; vcil = 0,816√2 gh; gh; vanel = 0,707√2 gh

208


7. Uma força estacionária de 22 N é aplicada perpendicularmente à manivela do rebolo manual. A engrenagem dentro da caixa, com o eixo e a manivela a ela ligados, tem uma massa de 1,8 Kg e um raio de giração em relação a seus eixos de 72 mm. A roda de amolar, junto com seu eixo e pinhão (dentro da caixa), apresenta uma massa combinada de 0,55 Kg e um raio de giração de 54 mm. Se a razão entre a engrenagem e o pinhão é de 4:1, calcule a velocidade de rotação N da roda de amolar após 6 voltas completas da manivela partindo do repouso. R: N = 3220 rev/min 209


8. Uma roda livre, com raio de giração de 400 mm, tem sua velocidade reduzida de 5000 para 3000 rpm durante um intervalo de 2 minutos. Calcule a potência média fornecida pela roda. Expresse a resposta tanto em quilowatts quanto em hp. R: P = 140,4 kW =188 hp

210


CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS Cinética Planar de Corpos Rígidos: Impulso e Quantidade de Movimento 1. Quantidade de movimento linear e angular 2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 3. Conservação da Quantidade de Movimento Linear 4. Conservação da Quantidade de Movimento Angular

211


1. Quantidade de movimento linear e angular - Quantidade de movimento linear A quantidade de movimento linear de um corpo rígido é determinada somando vetorialmente a quantidade de movimento linear de todas as partículas que compõem o corpo, isto é: Lr = m .vr

∑

Como

r

i

i

r

∑ mi .vi = mvG , pode-se escrever:

r

r

L = m .vG

Segundo esta equação, a quantidade de movimento linear de um corpo é uma quantidade vetorial de módulo m.vG e direção e sentido definidos pela velocidade do centro de massa, vG. 212


Quantidade de movimento linear e angular - Quantidade de movimento angular

Considere-se o corpo representado na figura acima, que descreve movimento plano geral. No instante representado na figura, o ponto arbitrário P tem velocidade e o corpo tem velocidade angular . A velocidade da partícula de ordem i pode ser determinada pela expressão r r r r seguinte: vi = v P + ω × r 213


Quantidade de movimento linear e angular A quantidade de movimento angular da partícula i é dada pelo “momento” da quantidade de movimento linear relativamente ao ponto P . r r Então: ( H P )i = r × mvi Exprimindo vr em função de vr P e usando vetores em coordenadas i ˆ = m ( xiˆ + y jˆ) × [(v ) iˆ + (v ) jˆ + ω k ˆ( xiˆ + y jˆ)] cartesianas: ( H P ) i k i P x P y Segundo a direção z fica: ( H P ) i = − mi y (v P ) x + mi x (v P ) y + miω r 2 Fazendo tender mi → dm e integrando ao longo de toda a massa m do corpo, obtém-se: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H P = −⎜ ∫ y.dm ⎟(v P ) x + ⎜ ∫ x.dm ⎟(v P ) y + ⎜⎜ ∫ r .dm ⎟⎟ω ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ em que H P é a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um 214 eixo z que passa no ponto P e é perpendicular ao plano do movimento.


Quantidade de movimento linear e angular O integral presente no 1º termo, ∫ y.dm , e o integral presente no 2º termo, m

∫m x.dm ,

são usadas para localizar a posição do centro de massa G relativamente a P , uma vez que

215


Quantidade de movimento linear e angular O integral presente no último termo,

2 r ∫ dm , representa o momento de m

inércia do corpo calculado relativamente ao eixo z que passa no ponto P , isto é, I P = ∫ r 2 dm . m

Obtém-se então: H P = − y m ( v P ) x + x m ( v P ) y + I P ω Quando P coincide com o centro de massa G, , obtendo-se uma expressão mais simples:

216


Quantidade de movimento linear e angular - Quantidade de movimento angular

217


- Podem-se considerar três tipos de movimento: - Translação Quando um corpo está sujeito a um movimento de translação retilínea ou r v de translação curvilínea o seu centro de massa tem velocidade G = v r r sendo ω = 0 . Assim, a quantidade de movimento linear e angular é dada por: L = m .vG

H G = 0

Se a quantidade de movimento angular for calculada relativamente a outro ponto A , mostrado na figura acima, o momento da quantidade de movimento linear tem de ser calculada relativamente a esse ponto. Como d é o “braço”, 218 então de tem-se: H A = mvG d


- Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo rígido roda em torno dum eixo fixo que passa num ponto O a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G são dadas por: L = m .vG

H G = I Gω

É por vezes conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um eixo que passa em O. Neste caso é necessário ter r r r r em conta o “momento” provocado por L e H Gem torno de O. Como L (ou vG ) r é sempre perpendicular a r G , temos: Esta equação pode ser simplificada, fazendo a substituição vG = r Gω e 219 notando que I 0 = I G +m , obtendo-se então: H = I ω O

O


- Movimento plano geral Quando um corpo rígido se desloca em movimento plano geral a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G são dadas por: L = m .vG

H G = I Gω

Se for conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um eixo que passa num ponto A, é necessário ter em conta r r o “momento” provocado por L e H G em torno de O. Teremos então: H A = d (mvG ) + I Gω 220


2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento “O método do Impulso e Quantidade de Movimento é particularmente útil à solução de problemas envolvendo tempo e velocidades.” - Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear: O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear para um corpo rígido pode ser obtido combinando a equação do movimento com a cinemática. A equação resultante permite obter uma solução direta parar r r d v problemas que envolvem força, velocidade e tempo: ∑ F = m.aG = m G dt r r d r . ( = F m a m v Como a massa do corpo é constante, obtém-se: ∑ G G) dt Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições: vG = vG1 para t = t 1 e vG = vG2 para t = t 2 , obtém-se o Princípio do t 2 r r r Impulso e Quantidade de Movimento Linear: F dt = m(v ) − m(v )

∑∫

G 2

221

G 1

t 1


Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento - Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular: Para um corpo rígido submetido a movimento plano geral temos:

∑ M G = I Gα =

d ( I Gω ) dt

Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições: ω = ω1 para t = t 1 e ω = ω2 para t = t 2 , obtém-se o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular: t 2

∑ ∫ M G dt = I Gω 2 − I Gω 1 t 1 222


Em resumo, para um corpo rígido em movimento plano geral, por aplicação do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento podem escrever-se três equações escalares:

223


As equações do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento podem também ser aplicadas a um sistema inteiro de corpos interligados. Desta forma elimina-se a necessidade de incluir os impulsos relativos que ocorrem nas ligações, já que são internos ao sistema. As equações resultantes ficariam então:

224


3. Conservação da Quantidade de Movimento Linear Se a soma de todos os impulsos lineares que atuam num sistema de corpos rígidos ligados é zero, então a quantidade de movimento linear é constante, ou conservada. Consequentemente:

Esta equação é designada por Conservação da Quantidade de Movimento Linear. 225


Conservação da Quantidade de Movimento Linear A quantidade de momento angular de um sistema de corpos rígidos ligados é conservada em torno de um ponto (centro de massa G ou um ponto fixo O), quando a soma de todos os impulsos angulares calculados relativamente a esse ponto pelas forças e momentos exteriores for zero. Consequentemente:

Esta condição é designada por Conservação da Quantidade de Movimento Angular. 226


Conservação da Quantidade de Movimento Linear Exemplo 1 O bloco de 6 kg mostrado na figura é preso a uma corda que é enrolada na periferia de um disco de 20 kg. Se o bloco inicialmente se desloca para baixo com uma velocidade de 2 m/s, determine a sua velocidade após 3 s. Considera-se que a massa da corda pode ser desprezada.

227


Resolução: Construindo os diagramas de impulso e quantidade de movimento para o bloco e o disco:

Momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação: Velocidade angular do disco: v B = ω.r = ω.0,2;

228


Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear ao bloco:

Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular ao disco, relativamente a A:

Resolvendo obtém-se 229


Conservação da Quantidade de Movimento Linear Exemplo 2 A força P , que é aplicada ao cabo enrolado ao redor do cubo central da roda simétrica, é aumentada lentamente obedecendo a relação P = 6,5t , onde P é expressa em Newtons e t é o tempo em segundos após P ter sido aplicada. Determinar a velocidade angular ω da roda 10 s após a aplicação de P se a roda está se movendo para a esquerda e a velocidade de seu centro geométrico é de 0,9 m/s no tempo t = 0. A roda, que possui uma massa de 60 Kg e um raio de giração de 250 mm em relação ao seu centro, rola sem deslizar.

230


Resolução: O diagrama de corpo livre da roda para uma posição qualquer no intervalo do movimento é mostrado na figura abaixo. Também estão indicadas as quantidades de movimento linear e angular no instante inicial t = 0 e as quantidades de movimento linear e angular no instante final t = 10 s. O sentido correto da força de atrito F é oposto ao deslizamento que ocorreria caso não houvesse atrito.

231


A aplicação da equação do impulso-quantidade de movimento linear e da equação do impulso-quantidade de movimento angular para todo o intervalo fornece: t 2

∫t ∑ F x dt =G x 1

10

2

− G x1 → ∫ (6,5t − F )d t = 60[0,450ω − (−0,9)] 0

t 2

10

⎡

t 1

0

⎣

0,9 ⎞⎤ ⎟⎥ 0 , 450 ⎝ ⎠⎦ ⎛

2 ∫ ∑ M G dt = H G2 − H G1 → ∫ [(0,450 F − 0,225(6,5t )]d t = 60(0,250) ⎢ω − ⎜ −

Uma vez que a força F é variável, ela deve permanecer dentro da integral. Elimina-se F entre as duas equações multiplicando a segunda equação por 0,450 e, em seguida, somando-se à primeira. Integrando e resolvendo para ω, obtém-se: ω = 2,60 rad/s; no sentido horário 232


Quantidade de movimento linear e angular Exemplo 3 O disco de 20 lb mostrado na figura é uniforme e está suportado por um pino em seu centro. Se o disco está submetido a um torque de binário de 4 lg.pés e a uma forma de 10 lb aplicada na corda enrolada em sua periferia, determine a sua velocidade angular dois segundos após a partida do repouso. Determine também quais são os componentes da força de reação no pino.

233


Resolução: O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação é:

Como velocidade angular, força e tempo estão envolvidos, aplicaremos os Princípios do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular.

Resolvendo o sistema:

234


Quantidade de movimento linear e angular Atividades 1. Uma pessoa que passa através de uma porta giratória exerce uma força horizontal de 90 N sobre um dos quatro paineis da porta e mantém um ângulo de 15º constante em relação à linha perpendicular ao painel. Se cada painel for modelado por uma placa retangular uniforme de 60 Kg com 1,2 m de comprimento, quando visto de cima, determine a velocidade angular final da porta se a pessoa exercer a força durante 3 segundos. A porta está, inicialmente, em repouso e o atrito pode ser desprezado. R: ω = 1,811 rad /s

235


2. A força constante de 40 N é aplicada a um cilindro de massa 36 Kg, conforme mostrado na figura. O raio de giração centroidal do cilindro é k = 200 mm, e ele rola sobre a ladeira sem deslizar. Se o cilindro está em repouso quando a força começa a ser aplicada, determine sua velocidade angular oito segundos mais tarde. R: ω = 24,2 rad /s

236


3. O projétil de 30 g possui uma velocidade horizontal de 500 m/s quando atinge a barra AO de 10 Kg, que é suspensa de um ponto O e está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade angular ω adquirida pela barra com o projétil nela alojado imediatamente após o impacto. R: ω = 2,81 rad /s

237


4. Imediatamente após deixar a plataforma, o corpo do mergulhador de 80 Kg, completamente estendido, tem uma velocidade de rotação de 0,3 rev/s (voltas por segundo) em torno de um eixo perpendicular ao plano da trajetória. Estime a velocidade angular N alguns instantes mais tarde, durante o salto, quando o corpo do mergulhador estiver na posição grupada. Obs.: Elabore a hipótese de que o corpo do mergulhador pode ser considerado uma barra homogênea ( I = 1/12.mL2) no primeiro instante, e uma esfera ( I = 2/5.mr 2) no segundo instante. R: N 2 = 2,04 rev/s

238


5. O bloco mostrado na figura tem massa de 6 Kg e está preso a uma corda enrolada na periferia de um disco de 20 Kg cujo momento de inércia é I A = 0,40 Kg.m2. Se o bloco se desloca inicialmente para baixo a uma velocidade de 2 m/s, determine sua velocidade após 3 s. Despreze a massa da corda. R: v2 = 13 m/s

239


6. A barra delgada de 5 Kg mostrada na figura está presa por um pino em O e está inicialmente em repouso. Se uma bala de 4 g é disparada contra a barra com velocidade de 400 m/s, como mostrado, determine a velocidade angular da barra imediatamente após a bala ficar encravada nela. R: ω2 = 0,623 rad/s

240


- Quantidade de movimento linear e angular

Observação: Muitos fenômenos interessantes podem entendidos usando a lei de conservação do momento angular. Considere, por exemplo, o caso de uma bailarina fazendo um movimento de rota ção em torno do seu corpo.

Se durante o movimento de rota ção os seus bra ços estão abertos a velocidade ser á menor do que quando os seus bra ços estiverem juntos ao corpo. Isto pode 241 ser explicado se usamos a defini ção de momento de in ércia I = mr 2.


- Quantidade de movimento linear e angular

É claro que quando os bra ços são puxados para pr óximo do corpo da bailarina, o eixo de rotação r é reduzido, consequentemente o momento de in ércia diminuir á. Desde que o momento angular permanece constante, se I decresce, então a velocidade angular tem que crescer para manter o momento angular constante ( M = I.ω = const . ). Se a bailarina reduz o seu momento de in ércia por fator 2, então ela rodar á com uma velocidade angular duas vezes maior. Um exemplo similar ocorre com atletas de saltos ornamentais. Ele s usam deste mesmo princí pio pio para girar mais ou menos r á pido em torno do seu centro de massa. Note que para o momento angular ser conservado é necessário que o torque resultante seja zero, mas a for ça resultante não necessariamente tem quer ser nula. Por exemplo, no caso da atletas de saltos ornamen tais o torque é igual a zero, mesmo tendo uma for ça gravitacional atuando sobre ela. 242


ATIVIDADES GERAIS - CINÉTICA PLANAR DOS CORPOS RÍGIDOS 1. Uma caminhonete de 1500 Kg carregando uma carga de 500 Kg atinge uma velocidade de 60 Km/h, a partir do repouso, em uma distância de 50 m subindo uma ladeira com 10 % de inclinação, com aceleração constante. Calcule a força normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a força de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista é de no mínimo 0,7 e que a aceleração gravitacional é 9,81 m/s2. Verifique se as superfícies são suficientemente rugosas para suportar o valor calculado da força de atrito F at .

243


2. Calcule a aceleração a de cima para baixo do cilindro maciço de 10 Kg. O tambor pode ser considerado um cilindro uniforme de momento de inércia I = ½mr 2, e o atrito no pivô é desprezível.

244


3. O cilindro maciço homogêneo ( I = ½mr 2) mostrado na figura é liberado a partir do repouso sobre a rampa. Se θ = 30º, determine a aceleração do centro de massa G e a força de atrito F exercida pela rampa sobre o cilindro.

245


4. Com base no exercício anterior, sabendo que os coeficientes de atrito estático e cinético valem respectivamente μe = 0,15 e μd = 0,10, verifique se com o valor de F encontrado é realmente possível que haja rolamento sem deslizamento.

246


5. Em um dado instante, a velocidade do cilindro de 8 Kg é de 0,3 m/s. qual é sua velocidade v após descer 1,5 m adicional? A massa do tambor é de 12 Kg, seu raio de giração centroidal é de k = 210 mm e o raio de seu núcleo é r i = 200 mm. O trabalho do momento devido ao atrito não pode ser desprezado, valendo U M = 22,5 J.

247


6. A barra esbelta AO de 15 Kg é liberada a partir do repouso na posição vertical e comprime a mola de rigidez k = 20000 N/m quando passa pela posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo a distância h, que resultará em uma velocidade para a barra ω = 4 rad/s quando ela cruzar a posição horizontal. Discuta qual é o efeito da dimensão x na dinâmica desse problema. Lembre-se que o centro de massa da barra encontra-se no seu centro (300 mm) e que seu momento de inércia em relação a esse ponto vale I G = (1/3)mL2.

248

DINÂMICA II - APOSTILA

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