Derivadas máximas, mínimas y nulas de un campo escalar
Sabemos que las derivadas direccionales de un campo escalar en un punto de su dominio indican la velocidad de crecimiento o decrecimiento de ese campo, en ese punto, en las distintas direcciones posibles. A veces interesa saber, en un determinado punto, cuáles son las direcciones en que el campo crece con más rapidez, cuáles las direcciones en que decrece más abruptamente, y cuáles son aquéllas en las que el campo tiene crecimiento o decrecimiento nulos, vale decir en qué direcciones no varía. I) Para el caso de un campo diferenciable determinar estas direcciones es muy sencillo: Si f : A ⊂ R n
un campo escalar diferenciable en x0 ∈ A o sabemos que las r
→ R es
derivadas direccionales en ese punto se calculan muy fácilmente: dado un versor cualquiera v , la derivada direccional en x0 en esa dirección es el r
(
resultado del producto escalar entre el gradiente y el versor: r
r
f ' ( x0 ; v ) = ∇ f ( x0 ) . v (
(
Ahora bien: hay dos modos de de calcular ese producto producto escalar. escalar. Uno es multiplicando las componentes respectivas entre sí y sumando esos productos. El otro modo es más ilustrativo en este caso: el producto escalar es también r
r
f ' ( x0 ; v ) = ∇ f ( x 0 ) . v
siendo
α
(
(
r
= ∇ f ( x 0 )
. v cos(α ) (
el ángulo que forman el vector gradiente y el versor v . (
r
∇ f ( x0 ) α
r
x0 •
v
(
Teniendo en cuenta que el versor tiene módulo unitario el resultado es, simplemente, r
f ' ( x 0 ; v ) = (
r
∇ f ( x 0 )
. cos(α )
r
Como en el punto x0 el gradiente es fijo, la derivada direccional sólo depende del coseno del ángulo que ángulo que forman el vector gradiente y el versor v , por lo tanto: (
•
la derivada será máxima si máxima si cos(α ) es máximo, vale decir si cos(α ) = 1 , esto es si
α =
0;
•
la derivada será mínima si cos(α ) es mínimo, vale decir si cos(α ) = −1 , esto es si
•
α = π
;
la derivada será nula si cos(α ) es nulo, vale decir si
α =
π
2
.
Entonces: •
•
•
la derivada será máxima si el versor es paralelo al gradiente, y con su mismo sentido; la derivada será mínima si el versor es paralelo al gradiente, y con sentido opuesto al mismo; la derivada será nula si el versor y el gradiente son perpendiculares entre sí.
Por lo tanto: r
•
∇ f ( x 0 )
la derivada será máxima para v
=
la derivada será mínima para v
= v mín = −
(
(
v máx
=
r
∇ f ( x 0 ) r
•
(
(
∇ f ( x 0 ) r
∇ f ( x 0 )
y los respectivos valores serán: ' f máx ( x 0 ) = ∇ f ( x0 ) . v máx r
r
(
' f mín ( x0 ) = ∇ f ( x 0 ) . v mín r
r
(
r
= ∇ f ( x 0 ) r
= − ∇ f ( x 0 )
En el caso de la derivada nula: •
para funciones definidas en R 2 , habrá dos versores para los cuales la derivada resulta nula: v1 (
r
∇ f ( x0 )
v2 (
Para encontrarlos bastará con intercambiar las componentes del gradiente, cambiar el signo de una de ellas y normalizar:
(
v1
•
=
1 r
∇ f ( x 0 )
( f y' ( x 0 ),− f x' ( x 0 )) r
r
y
(
v2
1
=
( − f y' ( x 0 ), f x' ( x 0 )) r
r
∇ f ( x 0 )
r
para funciones definidas en R 3 , habrá todo un plano perpendicular al gradiente, por lo que existen infinitos versores para los cuales la derivada resulta nula: todos los que se encuentran en ese plano normal a r
∇ f ( x0 ) � r
∇ f ( x0 )
En ambos casos, la variación de la función resulta nula en dirección perpendicular al gradiente, y es por ello que el gradiente es, en cada punto, perpendicular al conjunto de nivel que pasa por ese punto , ya que en el conjunto de nivel la función se mantiene constante, es decir, no varía.
II) Para el caso de un campo no diferenciable es necesario trabajar un poco más. Veamos un ejemplo. Consideremos el campo x 2 y f ( x, y ) = x 2 + y 2 0
si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) ≠ (0,0)
No es diferenciable en (0,0) (¿por qué?) pero allí existen todas las derivadas direccionales: (ha) 2 hb f ((0,0) + hv ) − f (0,0) (
f ' ((0,0); v ) = lím (
h→0
h
= lím h→0
f (ha, hb) − 0 h
= lím h→0
(ha) 2
+ (hb)
h
h3 a 2 b 2
= lím h→0
h 2 (a 2
+b
h
Esta derivada es nula si a = 0 o si b = 0 , vale decir para los versores (0,1), (0,−1), (1,0) y (−1,0) (cuatro direcciones de derivada nula: ésta es una de las razones que pueden invocarse para asegurar que la función no es diferenciable
2
)
=a
2
b
en (0,0) pues las funciones diferenciables de dos variables tienen direcciones de derivada nula).
sólo dos
Para encontrar las derivadas máxima y mínima es necesario escribir la derivada genérica f ' ((0,0); v ) = a 2 b en función de una sola variable, teniendo en cuenta que (
a
2
+b
2
=1
:
2
2
f ' ((0,0); v ) = a b = (1 − b )b (
A continuación se buscan los máximos y los mínimos de la función de una variable g (b) = (1 − b 2 )b con b ∈ [− 1,1] (por ser b la componente de un versor): g (b) = b − b 3 g ' (b) = 1 − 3b 2
=
0
g ' ' (b) = −6b ⇒ g ' ' (
∴
tiene un máximo relativo en
1 3
b=
⇔
1 3
1 3
)<0 y
1
ó b=−
g ' ' ( −
3
1 3
)>0
y un mínimo relativo en
Ahora comparamos con los extremos del intervalo: g (
1
y en
3
)=−
−
1 3
2 3 3
, g (1) = 0 y g (−1) = 0 , en
1 3
−
1 3
como g (
1 3
)=
2 3 3
,
se encuentra un máximo absoluto
un mínimo absoluto, por lo que
' f máx (0,0) =
2 3 3
' f mín (0,0) = −
para b =
2 3 3
1 3
para b = −
, o sea en direcciones ( 1 3
2 3
, o sea en direcciones (
,
1 3 2 3
) y (−
,−
1 3
2 3
) y ( −
,
1 3 2 3
)
,−
1 3
)
(aquí otro argumento para fundamentar la no diferenciabilidad de la función en (0,0): las funciones diferenciables tienen sólo una dirección de derivada máxima y una sola de derivada mínima; esta función tiene dos direcciones para cada una de ellas).
