Tema12 Limites y Derivadas

12

Límites y derivadas

1. Funciones especiales

PIENSA Y CALCULA Completa la tabla siguiente:

x

– 3,6

3,6

0,8

– 0,8

Ent(x) Dec(x) |x| Signo(x)

Solución: x

–3,6

3,6

0,8

–0,8

Ent(x)

–4

3

0

–1

Dec(x)

0,4

0,6

0,8

0,2

|x|

3,6

3,6

0,8

0,8

Signo(x)

–1

1

1

–1

APLICA LA TEORÍA 1

Representa las siguientes funciones: a) y = Ent(2x)

2

b) y = signo(x – 1)

Solución:

Representa las siguientes funciones: b) y = |– x2 + 4|

a) y = |x + 2| Solución:

a)

a)

Y

Y

y = Ent (2x) X

X

b)

b)

Y

Y

. L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

y = signo (x – 1) X

366

X

SOLUCIONARIO

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Representa las siguientes funciones:

3

a) y = |log2 x|

Solución:

b) y = |sen x|

Y

Solución:

a)

X

Y y = |log2 x| X

5

b)

y=

y = |sen x|

1 Y π

0

/2

1

π

2

3

Representa la siguiente función:

4

3π/2 5

2π 6 X

{

1/x

si x < 0

3x – 2

si x Ó 0

Solución: Y

–1 X


4

y=

{

x+4

si x Ì – 1

x2

si x > – 1

2. Límites

PIENSA Y CALCULA Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando x tiende al infinito: x

10

100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

x 8 +@ y 8

y = 1/x

Solución:

. L . S , o ñ u r B l a i r o t i

x

10

100 1000 10000 100000 1000000 …

y = 1/x

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

x 8 +@ y 8 0

APLICA LA TEORÍA 6

Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím

(x4 –

7x3

+ x – 5)

Solución:

a) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = + @













7

Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: correspondiente: a) lím

x82

x2 – 4 x–2

b) lím

x 8 – 4

x+4 x2 + 4x

8

Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím

5x3 + 4x 2x3 + 1

b) lím

c) lím

4n3 + 1 2n3 – 3

d) lím

e) lím

n2 + 5 4n3 – 3

f) lím

x8+@

n8+@

Solución:

[]

x2– 4 0 (x + 2)(x – 2) a) lím ——— = — — = lím ————— = x8 2 x – 2 x 8 2 0 x–2

n8+@

– x4 + 5x x 8 – @ 7x3 – 4 – x4 + 5x x 8 + @ 7x3 – 4

x 8 – @

5x3 + 4x 2x3 + 1

= lím (x + 2) = 4 x8 2

Solución:

Gráfica:

5x3 + 4x 5 a) lím ———— = — x 8 + @ 2x3 + 1 2

Y x2 – 4 y = ——— x–2 X

– x4 + 5x b) lím ———— = +@ x 8 – @ 7x3 – 4 4n3 + 1 c) lím ———— =2 n 8 + @ 2n3 – 3

[]

x+4 0 x+4 — = lím ——— = b) lím ——— = — x 8 – 4 x2 + 4x x 8 – 4 0 x (x + 4) 1 1 — = lím — = – — x 8 – 4 x 4

– x4 + 5x d) lím ———— = – @ x 8 + @ 7x3 – 4 n2 + 5 e) lím ———— =0 n 8 + @ 4n3 – 3 5x3 + 4x 5 f ) lím ———— = — x 8 – @ 2x3 + 1 2

Gráfica: Y x+4 y = ——— x2 + 4x X

3. La derivada

PIENSA Y CALCULA Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 800 km en 8 horas. ¿Cuál ¿ Cuál es su velocidad media? Solución:














APLICA LA TEORÍA Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9

f(x) = 3x + 1 en [2, 4]

Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 17

y=3

Solución:

Solución:

y’ = 0

f(4) – f(2) 13 – 7 TVM[2, TVM[2, 4] = ———— = ——— = 3 4–2 2

18

10

f(x) = x2 – 1 en [2, 3]

Solución:

f(3) – f(2) 8 – 3 TVM[2, TVM[2, 3] = ———— = ——— = 5 3–2 1

y=x

Solución:

y’ = 1 19

y = x2

Solución: 11

f(x) =

2 en [1, 3] x

y’ = 2x

Solución:

20

f(3) – f(1) 2/3 – 2 2 TVM[1, TVM[1, 3] = ———— = ——— = – — — 3–1 2 3

Solución:

12

y’ = 5x4

f(x) = √ x en [0, 4] 21

Solución:

f(4) – f(0) 2 – 0 1 TVM[0, TVM[0, 4] = ———— = ——— = — 4–0 4 2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 13

y = x5

f(x) = 2x + 3 en x = 1

Solución:

y’ = 5x4 + 2x + 1 22

y = 5x2 – 7x + 3

Solución:

y’ = 10x – 7

Solución:

f’(1) = 2

y = x 5 + x2 + x + 3

23

y = x3 + 3x2 – 4x + 2

Solución: 14

f(x) = – 3x + 1 en x = 2

y’ = 3x2 + 6x – 4

Solución:

f’(2) = – 3 15


f(x) = x2 en x = 3

24

y = (3x + 5)4

Solución:

y’ = 12(3x + 5) 3

Solución:

f’(3) = 6 16

f(x) = – x2 + 3 en x = 2

25

y = ex

Solución:

y’ = ex













32

Solución:

y’ = 3e3x – 5 27

Solución:

y’ = 1 + L x

y=Lx

33

Solución:

1 y’ = — x 28

y=xLx

y = ex L x

Solución:

y = L (3x – 1)

ex y’ = ex L x + — x ex x

Solución:

34

3 y’ = —— 3x – 1

Solución:

29

y=L

(x2

+ 5x – 6)

y=

(x – 1) ex y’ = ——— x2

Solución:

2x + 5 y’ = ———— x2 + 5x – 6

35

y=

2x + 3 x

Solución: 30

y = 7x

Solución:

3 y’ = – — x2

y’ = 7 36 31

y = x ex

y=

5x – 1 3x + 2

Solución: Solución:

y’ = (x +

1)ex

13 y’ = ——— (3x + 2)2

4. Aplicaciones de la derivada

PIENSA Y CALCULA Si la pendiente de una recta es m = 2, calcula la pendiente m 2 de cualquier recta perpendicular. Solución:














APLICA LA TEORÍA 37

Halla la recta tangente a la curva y = x2 + 2x para x = 1. Dibuja la función función y la recta tangente.

Solución:

y’ = 2x – 6

Solución:

2x – 6 = 0, 0, x = 3, 3, y = –4,A(3, –4,A(3, – 4)

Recta tangente: y = 4x – 1

y’’ = 2 f’’(2) = 2 > 0 ò A(3, – 4) mínimo mínimo relativo. relativo.

Y

Y

f(x) = x2 + 2x

P(1, 3)

f(x) = x2 – 6x + 5

X

X y = 4x – 1 A(3, – 4) 38

Calcula la recta normal a la curva y = x 2 – 5 para x = 2. Dibuja la función y la recta normal. normal.

41

Solución:

Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x2 + 4x. Dibuja la función.

Solución:

1 1 Recta norma normal:l: y = – — — x – — — 4 2

y’ = –2x + 4 – 2x + 4 = 0, 0, x = 2, 2, y = 4,A(2, 4,A(2, 4)

Y

y’’ = –2

f(x) = x2 – 5 X 1 1 y = – — — x – — — 4 2

f’’(2) = –2 < 0 ò A(2, 4) Máximo relativo. relativo. Y A(2, 4)

P(2, – 1)

X

39

Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2 para x = 2. Dibuja la función y las rectas rectas tangente y normal. 42

Solución:

Recta tangente: y = 4x – 4 1 9 Recta norma normal:l: y = – — — x + — 4 2 Y f(x) = x2


f(x) = –x2 + 4x

1 9 y = – — — x + — 4 2 P(2, 4) X y = 4x – 4

Calcula el crecimiento de la función y = x2 – 2x – 3. Dibuja la función.

Solución:

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y’ = 2x – 2 2x – 2 = 0, 0, x = 1, 1, y = –4,A(1, –4,A(1, – 4) y’’ = 2 f’’(1) = 2 > 0 ò A(1, – 4) mínimo mínimo relativo. relativo. Crecimiento:

Discontinuidades: Discontinuidades: no hay.















44

y’ = 2x – 2 f’(0) = – f ’(x)

–

x

Calcula el crecimiento crecimiento de la función y = 3x. Dibu ja la función.

Solución:

+

y’ = 3 > 0, es siempre creciente. creciente.

0 1

( 8) = (1, + @)

Y

(8 ) = (– @, 1) Y

X f(x) = 3x X

f(x) = x2 – 2x – 3 A(1, – 4)

43

Halla el crecimiento de la función y = – x2 + 6x – 4. Dibuja la función.

45

Solución:

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos:

Halla el crecimiento de la función y = – 2x. Dibuja Dibuja la función.

Solución:

y’ = – 2 < 0, es siempre siempre decreci decreciente. ente.

y’ = –2x + 6

Y

– 2x + 6 = 0, 0, x = 3, 3, y = 5,A(3, 5,A(3, 5) y’’ = – 2 f(x) = –2x

f’’(3) = –2 < 0 ò A(3, 5) Máximo relativo. relativo.

X

Crecimiento:

Discontinuidades: Discontinuidades: no hay. f’(x) x

0 1

3

y’ = –2x + 6 f’(0) = + f ’(x) x

( 8) = (– @, 3)

+ 0 1

– 3

46

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x3 – 3x

Solución:













Ejercicios y problemas 1. Funciones especiales 47

51


Represent Representaa la siguiente siguiente función: función: y = Ent(x/2)

y=

Solución:

2x

si x Ì 0

– – x2

si x > 0

{

Solución:

Y

Y X X

48

Representa la siguiente función: 52

y = Signo(x2 – 1)

Representa la siguiente función: y=

Solución: Y

{

–x

si x < 1 si x Ó 1

log1/2 x

Solución: Y X

X

49

Representa la siguiente función: y = |x2 – 2x – 3|

2. Límites

Solución: Y

53

Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím (– x3 + 5x – 3) x8 +@

X

b) lím (– x3 + 5x – 3) x 8 – @

y = |x2 – 2x – 3|

Solución:

a) lím (–x3 + 5x – 3) = –













Ejercicios y problemas Gráfica:

Solución:

5x4 – 1 a) lím ———— = – 5 x 8 + @ – x4 + 2x

Y 2x + 4 y = ——— x+2 X

5x4 – 1 b) lím ———— = – 5 x 8 – @ – x4 + 2x 58

55

Calcula el siguiente límite: lím x – 3 x 8 3 x2 – x – 6 Representa la función correspondiente. correspondiente.

Solución:

[]

x–3 0 x–3 lím ———— — = lím ————— = = — 2 x 8 3 x–x–6 0 (x + 2)(x – 3)

x8 3

1 1 = lím —— = — x8 3 x + 2 5

Solución:

3n2 – 5 a) lím ———— =0 n 8 + @ n4 + 2n n3 + n b) lím ———— = – 1 n 8 + @ – n3 – 2n 59

Gráfica: Y x–3 y = ——— x2 – x – 6 X

Calcula mentalmente los siguientes límites: 3n2 – 5 a) lím 4 n 8 + @ n + 2n n3 + n b) lím n 8 + @ – n3 – 2n

Calcula mentalmente los siguientes límites: – x5 + x2 x 8 + @ x2 – x – x5 + x2 b) lím x 8 – @ x2 – x

a) lím

Solución:

– x5 + x2 a) lím ———— = – @ x 8 + @ x2 – x 56

Calcula mentalmente los siguientes límites: a) lím – 2x + 7 x 8 + @ x2 + 1 b) lím – 2x + 7 x 8 – @ x2 + 1

– x5 + x2 b) lím ———— = +@ x 8 – @ x2 – x

3. La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:













62

6 en [2, [2, 3] x

f(x) =

Solución:

y’ = 7x6

Solución:

f(3) – f(2) 2 – 3 TVM[2, TVM[2, 3] = ———— = ——— = – 1 3–2 1

71

y = x7 – x3 + x + 9

Solución: 63

f(x) f(x) = √ x + 5 en [– 1, 4]

Solución:

y’ = 7x6 – 3x2 + 1 72

f(4) – f(– 1) 3 – 2 1 TVM[ TVM[–– 1, 4] = ———— = ——— = — 4+1 5 5

y = 3x2 – 4x + 1

Solución:

y’ = 6x – 4 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 64

f(x) = 3x + 1 en x = 2

Solución:

73

y = x3 – 5x2 + 3x – 8

Solución:

y’ = 3x2 – 10x + 3

f’(2) = 3 74 65

f(x) = – 2x + 3 en x = 1

Solución:

y = (2x – 3)5

Solución:

y’ = 10(2x 10 (2x – 3) 3)4

f’(1) = – 2 75 66

f(x) =

x2

en x = – 3

y = e – 2x + 3


f’(–3) = – 6 67

f(x) = – x2 + 5 en x = 1

Solución:

f’(1) = – 2 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:

y’ = – 2e –2x + 3 76

y = L (5x + 2)

Solución:

5 y’ = —— 5x + 2













Ejercicios y problemas Solución:

y’ = (x +

Y

2) 2) ex P(3, 3)

f(x) = x2 – 2x

X 80

y = x L (x – 5) y = 4x – 9

Solución:

x y’ = L (x – 55)) + —— x–5

81

y = e3x L x

Solución:

e3x y’ = 3e3x L x + — x

82

y=

86

Calcula la recta normal a la curva y = – x2 + 5 para x = 2. Dibuja la función y la recta normal. normal.

Solución:

1 1 Recta normal: normal:yy = — x + — 4 2 Y 1 x — 1 y = — + 4 2 P(2, 1) X

e2x x

Solución:

f(x) = –x2 + 5

(2x – 1)e 1) e2x y’ = ——— 2 x 87

83

y=

x x–1

Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2 para x = 1. Dibuja la función función y las rectas tangente y normal.

Solución:

Solución:


– 1 y’ = —— (x – 1)2

1 3 Recta norma normal:l: y = – — — x + — 2 2 Y f(x) = x2

84

y=

3x + 5 2x – 1

Solución:

P(1, 1)

X 1

3















Y

Y f(x) = x2 – 4x

f(x) = x2 – 6x + 4 X

X

A(2, – 4)

89

A(3, – 5)

Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x2 + 6x – 5. Dibuja la función. función.

91

Solución:

y’ = –2x + 6

Halla el crecimiento de la función siguiente: y = – x2 + 2x + 3. Dibuja la función. función.

Solución:

– 2x + 6 = 0, 0, x = 3, 3, y = 4,A(3, 4,A(3, 4) y’’ = – 2 f’’(3) = –2 < 0 ò P(3, 4) Máximo Máximo relativ relativo. o. Y

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y’ = –2x + 2 – 2x + 2 = 0, 0, x = 1, 1, y = 4,A(1, 4,A(1, 4)

A(3, 4)

y’’ = – 2 X

f’’(1) = –2 < 0 ò A(1, 4) Máximo relativo. relativo. Crecimiento:

f(x) = –x2 + 6x – 5

Discontinuidades: Discontinuidades: no hay. f’(x)

90

Calcula el crecimiento de la función siguiente: 2 – 6x + 4. Dibuja la funció

x

y’ = –2x + 2

0 1













Ejercicios y problemas 94

Y

X f(x) = 2x

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = – x3 + 3x

Solución:

y’ = – 3x2 + 3 –3x2 + 3 = 0, x2 – 1 = 0, x2 = 1, 1, x = 1, x = – 1 x = 1, 1, y = 2,A(1, 2,A(1, 2) x = –1,y = –2, B(–1,– 2)

93

Halla el crecimiento de la función y = – 3x. Dibuja Dibuja la función.

y’’ = – 6x f’’(1) = – 6 < 0 ò A(1, 2) Máximo relativo. relativo. f’’(– 1) = 6 > 0 ò B(–1, B(– 1, – 2) mínimo mínimo relati relativo vo..

Solución:

y’ = – 3 < 0, es siempre siempre decrecien decreciente. te. Y

f(x) = – 3x

X

Para ampliar 95


{

2x

si x Ì 1

¿Puede haber más de una ecuación? Solución:













Y

102

Calcula mentalmente los siguientes límites: 2n3 + 1 n 8 + @ 5n2 – 7n

a) lím X

b) lím

n8 +@

n2 + 5n n2 – 3n


y=

99

{

x2 + 2x – 3

si x Ì 1

– 3x + 5

si x > 1

Calcula mentalmente los siguientes límites:

2n3 + 1 a) lím ———— = +@ n 8 + @ 5n2 – 7n n2 + 5n b) lím ———— =1 n 8 + @ n2 – 3n 103

–6x3 + 9 x 8 + @ 2x3 – 3

a) lím (x3 – 5x2 – x + 7)

a) lím

x81

b) lím

x80

5x3 + x2 – 10x + 6 x3 + 2x2 – 3

Solución:

a) lím (x3 – 5x2 – x + 7) = 2 x8 1

5x3 + x2 – 10x + 6 b) lím ——————— = – 2 x80 x3 + 2x2 – 3

100



–6x3 + 9 x 8 – @ 2x3 – 3

b) lím

Solución:

–6x3 + 9 a) lím ———— = – 3 x 8 + @ 2x3 – 3 –6x3 + 9 b) lím ———— = – 3 x 8 – @ 2x3 – 3 104














Ejercicios y problemas 106

Calcula el siguiente límite: lím

x8 2

x2 – 4x + 4 x2 – 2x

Solución:

[]

x2– 4x + 4 0 (x – 2) 2 lím lím ———— —— ——— — = — — = lím ——— = 2 x8 2 x 8 2x (x – 2) x– 2x 0 x–2 lím —— = 0 x8 2 x 107

Calcula el siguiente límite: x3 – x2 lím 3 x 8 1 x + 2x2 – 3x

[]

x 1 = lím —— = — x8 1 x + 3 4

x 8 –2

Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: f(x) = 4x – 1 en x = 2

Solución:

f’(2) = 4 f(x) = – x2 + 5 en x = 3

Solución:

f’(3) = – 6 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:

Calcula el siguiente límite: lím

f(1) – f(– 11)) 1 – 1 TVM[ TVM[–– 1, 1] = ———— = ——— = 0 1+1 2

113

x3 – x2 0 x2 (x – 1) lím ———— lím — — ————— = = = x 8 1 x3 + 2x2– 3x x 8 1 x (x – 1)(x + 3) 0

f(x) = x2 en [– 1, 1]

Solución:

112

Solución:

108

111

x2 + 4x + 4 x2 + 3x + 2

114

y = 4x4 – 5x2 – 6x + 2

Solución:

y’ = 16x3 – 10x – 6

Solución:

[]

x2 + 4x + 4 0 (x + 2)2 — — ————— lím ———— lím = = = –2 2 + 3 + 2 –2 ( + 1)( + 2) 0

115

y = (5x + 1)4













Solución:

125

y’ = x ex

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x2. Dibuja la función. función.

Solución: 120

y = (2x + 1) L x

y’ = 2x

Solución:

2x = 0, x = 0, 0, y = 0,A(0, 0,A(0, 0)

2x + 1 y’ = 2 L x + —— x

y’’ = 2

121

f’’(0) = 2 > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo. relativo. Y

2x + 3 y= 4x – 5

f(x) = x2 X

Solución:

A(0, 0)

–22 y’ = —— (4x – 5)2 122

y=

– 2x + 1 3x + 4

Solución:

–11 y’ = —— (3x + 4)2 123

Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 1 para x = 2. Dibuja la función función y la recta tangente.

Solución:

126

Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = – x2. Dibuja la función. función.

Solución:

y’ = – 2x – 2x = 0, 0, x = 0, y = 0,A(0, 0,A(0, 0) y’’ = –2 f’’(0) = –2 < 0 ò A(0, 0) Máximo relativo. relativo. Y















Ejercicios y problemas Problemas 128

Representa la siguiente función: y=

{

Solución:

[]

()

si x Ì 0

x3– 3x + 2 0 lím ——— — = = — 4 x 8 1 x – 4x + 3 0

|log1/2 x|

si x > 0

(x – 1)(x2 + x – 2) 0 — = = lím ——————— = — x 8 1 (x – 1)(x3 + x2 + x – 3) 0

1 2

x

Solución:

[]

(x – 1)(x + 2) x+2 = lím —————— = lím ———— = 2 2 x 8 1 (x – 1)(x + 2x + 3) x 8 1 x + 2x + 3

Y

X

3 1 = — = — 6 2 132

Dibuja la siguiente función afín: y = 2x – 3 a) Halla mentalmente mentalmente la pendiente. pendiente.













a) m = – 2

Solución:

b) y’ = – 2


c) Como m = y’ y’ = – 2 < 0 siempre, siempre, la función función siemsiempre es decreciente.

1 5 Recta norma normal:l: y = – — — x – — — 2 2 Y

134

f(x) = x2 – 4x – 1

Dibuja la siguiente parábola: y = x2 – 4x + 1

X

a) Viendo la gráfica, gráfica, halla el máximo máximo o mínimo mínimo relativo.

y = 2x – 10 1 5 y = – — — x – — — 2 2

b) Viendo la gráfica, halla el crecimiento. crecimiento. c) Halla el máximo relativo o mínimo relativo relativo derivando. d) Halla el crecimiento crecimiento derivando. derivando.

136

Halla el crecimiento de la función: y = x2 + 6x + 5 Dibuja la función.

Solución: Y

P(3, – 4)













Ejercicios y problemas Solución:

Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de

6 — y’ = – — < 0, es siempre siempre negativa, decrecien decreciente. te. x2

la función.

x8 +@

x 8 – @

Discontinuidades: Discontinuidades: x = 0

Solución:

( 8) = Ö

Máximos y mínimos relativos:

y’ = x2 – 4

(8 ) = (– @, + @)

x2 – 4 = 0, x2 = 2, 2, x = 2, x = – 2

Y

x = 2, 2, y = –16/3,A(2, –16/3,A(2, – 16/ 16/3) 3) x = – 2, 2, y = 16/3, 16/3, B(–2, 16/ 16/3) 3) X

y’’ = 2x f’’(2) = 4 > 0 ò A(2, – 16/3) mínimo mínimo relativo. relativo.

f(x) = 6/x

f’’(–2) = –4 < 0 ò B(– 2, 16/3) Máximo relativo. relativo. Crecimiento:

138

Halla los máximos y mínimos relativos y el crecimiento de la función:

Discontinuidades: Discontinuidades: no hay. f’(x)













x = – 2, y = – 16 16/3 /3,, B(– B(– 2, – 16 16/3 /3))

Solución:

y’’ = – 2x

y’ = – 2x + 18

f’’(2) = –2 < 0 ò A(2, 16/3) Máximo relativo. relativo.

– 2x + 18 18 = 0, 2x – 18 = 0, 0, x = 9, 9, y = 61

f’’(–2) = 2 > 0 ò B(–2, B(– 2, – 16/3) mínimo mínimo relati relativo vo..

y’’ = – 2 f’’(9) = –2 < 0 ò A(9, 61) Máximo relativo. relativo.

Crecimiento:

Los máximos beneficios los alcanza en el 9º año y son 61 millones de euros.

Discontinuidades: Discontinuidades: no hay. f’(x) x

– 2

0

2

Para profundizar

y’ = x2 – 4

143

f’(1) = – f ’(x) – x

– 2

+ 0

– 2

( 8) = (–2, 2) ( ) = (– @, – 2 ) á (2, (2, + @) 8


{

2x2 + 8x + 3 y= x+3 x+1 Solución: Y

si x < 0 si x Ó 0













Ejercicios y problemas f’(x) + x

–

+

Y

– 1 0 1

( 8) = (– @, – 1 ) á (1, (1, + @)

X

(8 ) = (–1, 1)

f(x) = 2/x2

Límites:

lím x3 – 3x = + @

x8 +@

lím x3 – 3x = – @

x 8 – @

146

Y B(– 1, 2) X f(x) = x2 – 3x

A(1, – 2)

Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = – x2 + 8x donde x indica el número de años que lleva funcionando.¿Qué nando. ¿Qué año alcanza las máximas pérdidas?

Solución:

y’ = –2x + 8 2x + 8 = 0, x – 4 = 0, x = 4, y = 16















Aplica tus competencias 148

El espacio que recorre un móvil es e(t) = 3t2 + 2t + 5, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que lleva en el instante t = 4 s

149

El espacio que recorre un móvil es e(t) = 5t2 – 3t + 1, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = 2 s

Solución:

Solución:

v(t) = e’(t) = 6t + 2 v(4) = 6 · 4 + 2 = 24 + 2 = 26 m/s

v(t) = e’(t) = 10t – 3 a(t) = v’(t) = 10













Comprueba lo que sabes 1

Define función parte entera y represéntala.

Solución: La función parte entera de x asigna a cada x su

parte entera. Se representa por y = Ent(x) Y y = Ent(x)

b) lím

x8– 4

[]

x+4 = — 0 = lím —— x+4 = —— 2

x + 4x 0 1 = –— 1 = lím — x8– 4 x 4

x8 – 4

Gráfica: Y

x(x + 4)













Solución:

a) y’ = 12(3x – 5) 3 b) y’ = 5e5x + 1 7 c) y’ = ——— 7x – 2 d) y’ = 2x e x + x2ex = xex(2 + x) 1 1

2 f(x) = 4x – x 2 donde x se expresa en semanas, y f(x), en miles de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la 2 ª y la 4 ª semanas; y entre la 4 ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados.













Linux/Windows Paso a paso 150

lím (x3 – 2x2 – x + 3)

Representa la función parte decimal de x, indica si es periódica y halla el período.

Solución:

Resuelto en el libro del alumnado.

x8 +@

Solución:

Resuelto en el libro del alumnado.













Windows Derive Practica 155

Representa la función signo de x. Halla cuándo no es continua.

Solución:

Solución:















Linux/Windows













Windows Derive













Linux/Windows

Windows Derive

Tema12 Limites y Derivadas

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