GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física física.. Medida de la inclinación de una curva (con frecuencia una línea recta). Se define como la relación del cambio vertical (elevación) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una línea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razón a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x. Para una línea como y = 3x + 1, el gradiente es +3 porque y aumenta en 3 por cada incremento unitario en x. Para una curva, el gradiente cambia de punto a punto. Se puede obtener utilizando derivadas. El gradiente de una función de Rn en R es el vector de sus derivadas parciales:
TEOREMA DEL GRADIENTE Sea f una f una función de dos variables que es diferenciable en el punto p( x, y) a) El valor máximo de Du f ( x, y) en p( x, y) es ∇ f ( x, y ) r
b) La tasa de crecimiento máxima f ( x, y ) en p( x, y) se alcanza en la dirección de ∇ f ( x, y ) Nota: La derivada direccional Du f ( x, y ) es la razón de cambio de f ( x, y) con respecto a r
la distancia en p( x, y) y en la dirección determinada por el vector unitario
.
COROLARIO: Sea f una f una función de dos variables que es diferenciable en el punto p( x, y) a) El valor mínimo de Du f ( x, y) en p( x, y) es − ∇ f ( x , y ) r
b) La tasa de crecimiento mínima de f ( x, y) en p( x, y) se alcanza en la dirección de −∇ f ( x y)
Aplicaciones del gradiente Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f ( x, y ) denota la altitud del esquiador, entonces ∇ f ( x, y ) indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano x y, y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña). Como ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura T ( x, y ) en un punto ( x, y ) cualquiera de una placa metálica plana. En este caso, grad T da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto ( x, y ) , como se señala en el siguiente ejemplo.
4. f ( x, y ) = x 2 y cos y
( 2 xy cos y, x ( cos y − y sen ) ) 2
2
5. f ( x, y ) = x ( x + y )
−2
x y
( x + y )
( y ( x + 2) , x ) 2
6. f ( x, y ) = sen3 ( x 2 y )
(
)
∇ f ( x, y ) = 3 ⎡⎣sen ( x 2 y )⎤⎦ ⎡⎣ cos ( x 2 y )⎤⎦ ( 2xy ) , 3 ⎡⎣ sen ( x 2 y )⎤⎦ ⎡⎣ cos ( x 2 y )⎤⎦ ( x 2 ) = 3x sen 2 (x 2y ) cos (x 2y ) (2 y , x ) 7. f ( x, y ) =
( x
2
+y +z 2
2
x2 + y2 + z 2 −
1
) ( x, y , z ) 2
⎛ π xy ⎞ 14. f ( x, y ) = sen ⎜ ⎟ ; P ( 3, −1) 4 ⎝ ⎠ ∇ f ( x, y ) =
1
π
4
1 3 ⎛ π xy ⎞ 1 ⎛ π xy ⎞ π x cos π π 2 . , 3 , 1 2 , ⇒ ∇ − = − f ( ) ⎟ ⎜ 4 ⎟ 8 8 ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ ⎠
y cos ⎜
15. f ( x, y , z ) = y 2 − z 2 ; P (17,3,2 )
∇ f ( x, y , z ) = 0, 2 y , − 2z ⇒ ∇ f (17, 3, 3, 2 ) = 0, 6, 6, − 4 . 16. f ( x, y , z ) =
∇ f ( x, y , z ) =
(
)
x 2 + y 2 + z 2 ; P (12,3,4 )
x x + y + z 2
2
2
,
y x +y +z 2
2
2
,
(
z x +y +z 2
2
)
2
⇒ ∇ f (12, 3, 4 ) =
12 3 4 , , 13 13 13
⎛ 1⎞ 23. f ( x, y ) = cos π x sen π y + sen 2π y , p = ⎜ − 1, ⎟ 2⎠ ⎝ ∇ f ( x, y ) = ( −π sen (π x ) sen (π y ) , π cos (π x ) cos (π y ) + 2π cos ( 2π y ) ) 1⎞ ⎛ ∇ f ⎜ −1, ⎟ = ( 0, −2π ) 2⎠ ⎝
24. f ( x, y ) =
x 2 y
, p = ( 2, −1)
⎛ 2 x x 2 ⎞ ∇ f ( x, y ) = ⎜ , − 2 ⎟ ⇒ ∇f ( 2, − 1) = ( − 4, 4, − 1) y y ⎝ ⎠
⎛ f ⎞ g∇f − f ∇g ⎟= 2 g ⎝g⎠
25. Demuestre que ∇ ⎜
∇ f ( x, y) = e xseny,e x cos y ,asi ∇f ( P) =
1
2,
2
1 2
2 ⇒ Du f ( P ) = ( ∇f ( P ) ) .u = 0.
2, 3 29. f ( x, y ) = x 3 − x 2 y + xy 2 + y 3 , P (1, − 1) , v = 2,3 r
u=
u u
=
2 13
13,
3 13
13 .
∇ f ( x, y ) = 3x 2 − 2 xy + y 2 , 3y 2 + 2xy − x 2 , asi ∇f ( P ) = 6, 0 ⇒ Du f ( P ) = ( ∇f ( P ) ) .u = 6, 0 .
2 13
13 ,
3 13
13 =
12 13
13.
2 ⎞ ⎛1 π,− π , y el vector v = 4, −3 ⎟ 3 ⎠ ⎝3
30. f ( x, y ) = senx cos y En el punto P ⎜
r
2 x
∇ f ( x, y, z ) =
,
2y
1 + x 2 + y 2 − z 2 1 + x 2 + y 2 − z 2
,−
∇ f ( P ) = 1, −1, −1 ⇒ Du f ( P ) = ( ∇f ( P ) ) .u =
2z 1+ x 2 + y 2 − z 2 7 17
,
.
34. f ( x, y , z ) = exp ( xyz ) , el punto P ( 4,0, −3) , y el vector v = 0,1− 1 r
u=
v v
= 0,
2 2
,−
2 2
.
∇ f ( x, y , z ) = exp ( xyz ) yz , xz , xy ⇒ ∇ f ( P ) = 0, −12, 12, 0 ⇒ Du f ( P ) = ( ∇f ( P ) ) ⋅ u = −6 2.
35. f ( x, y , z ) = 10 10 − x 2 − y 2 − z 2 , el punto P (1,1, ,1, −2 ) , y el vector v = 3, 4, −12 r
39. f ( x, y ) = x 2 − 3xy + 2 y 2 ; p = ( −1, 2 ) , a = 2i − j
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ 27 ≈ −12.0748 ⎟ ( 2, −1) ⎥ ⇒ Du f ( −1, 2) = − 2 5 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Du f ( x, y ) = ( 2 x − 3 y , −3x + 4 y ) ⎢⎜
⎛ ⎝
40. f ( x, y ) = e x sen y ; p = ⎜ 0,
⎞ ⎟ ,a = i + 3 j 4⎠
π
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ π ⎞ Du f ( x, y ) = e ( sen y , cos y ) ⎢⎜ ⎟ 1, 3 ⎥ ⇒ Du f ⎜ 0, ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
(
x
)
(
2+ 6 4
) ≈ 0.9659
41. f ( x, y ) = e − xy ; p = (1, −1) , a = −i + 3 j
Du f ( x, y ) = ( − ye f
(
)
3
− xy
− xe 2
− xy
2
)
(1, 3 ) ⇒ D
1, 1 , u f ( − ) = ( e −e )
2
(
2 1 3)
i
2j
2k
( −1, 3 ) = −e − e 2
2
3
≈ − 3.7132
b) i)
∇ f [ f + g ] = +... +
∂ ( f + g ) ∂( f + g) ∂( f + g) ∂f ∂g ∂f ∂g i1 + i2 + ... + in = i1 + i1 + i2 + i2 + ∂ x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x1 ∂x 2 ∂x 2
∂ f ∂g ∂f ∂f ∂f ∂g ∂g ∂g in + in = i1 + i2 + − − − + in + i1 + i2 + − − − + in = ∇ f + ∇ g ∂ xn ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
ii)
∇ [α f ] =
∂ [α f ] ∂ [α f ] ∂ [α f ] ∂[ f ] ∂[ f ] ∂ [ f ] i1 + i2 + ... + in = α i1 + α i 2 + ... + α in = α∇ f ∂ x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
iii)
∇ [ fg ] =
∂ ( fg ) ∂ ( fg ) ∂ ( fg ) ∂f ⎞ ⎛ ∂g ∂f ⎞ ⎛ ∂g ∂f ⎞ ⎛ ∂g + g ⎟i + ⎜ f + g ⎟ j+⎜ f + g ⎟ k = i+ j+ k =⎜ f ∂ x ∂y ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂z ∂z ⎠ ⎝ ∂x
⎛ ∂g ∂g ⎛ ∂f ∂g ⎞ ∂f ∂f ⎞ = f ⎜ i + j+ k⎟+ g⎜ i+ j+ k ⎟ = f Δg + g∇f
La tasa de cambio en esa dirección es
21 ≈ 4.58 4.5826 26
48. f ( x, y, z ) = xe yz ; p ( 2, 2, 0, − 4) f Aumenta más rápidamente en la dirección del gradiente
∇ f ( x, y , z ) = ( e yz , xze yz , xye yz ) ⇒ ∇f ( 2, 0, − 4) = (1, − 8, 0) Du f =
(1, −8,0 ) 65
es un vector unitario en la dirección (1, −8, 0) = 65 ≈ 8.0623 es la tasa
de cambio de f ( x, y, z ) en esa dirección en ese momento.
49. ¿En qué dirección u ocurre que f ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 decrece más rápido en p = ( −1, 2 ) ?
−∇ f ( x, y ) = 2 ( x, y ) ⇒ −∇f ( −1, 2) = 2 ( −1, 2) es la dirección de disminución más rápida.
⎛1⎞ ∇ f ( x, y ) = ( 2 x , 8 y ) ⇒ ∇f ( 2,1) = 4 (1, 2) es = ⎜ ⎟ ( 2,1) o, el uso ( 2,1) la curva de nivel, ⎝4⎠ que es perpendicular a la curva de nivel en el ( 2,1)
c) ¿A punta el vector de la parte b) hacia el origen? a) Más caliente si el denominador es el más pequeño; i.e., en el origen. −2 0 0( 2 x , 2y , 2 z ) ⎛ 25 ⎞ 1 , 1 , 1 T b) ∇T ( x, y , z ) = ⇒ ∇ − = ( ) ⎜ − 4 ⎟ (1, − 1,1) 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ( 5 + x + y + z )
(1, −1,1) es un vector en la dirección de un mayor incremento c) Si 56. La temperatura en ( x, y , z ) de una bola con centro en el origen es T ( x, y , z ) = 100e
(
− x2 + y 2 + z 2
)
. Observe que esta bola está más caliente en el origen.
Demuestre que la dirección de mayor incremento en la temperatura es siempre un vector que apunta hacia afuera del origen. −∇V ( x, y , z ) = −100e
(
− x 2 + y 2 + z 2
)
( −2x , −2 y , − 2z ) = 200e
(
)
(
− x2 + y 2 +z 2
)
(x, y,z )
59. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en el punto ( x, y ) es f ( x, y ) . Un montañista en p nota que la pendiente en la dirección este es −
1 2
y la pendiente en la
dirección 1
norte es − . ¿En qué dirección debe moverse para el más rápido descenso? 4
⎛1⎞ Se debe avanzar en la dirección de −∇ f ( p ) = − ( fx ( p ) , f y ( p ) ) = − ( − ) = ⎜ ⎟ ( 2,1) o, usa ⎝4⎠
( 2,1) ⎛1⎞ El ángulo α formado con el Oriente es tan −1 ⎜ ⎟ ≈ 26.57° ( N 63.43° E ) ⎝2⎠
62. Si la temperatura de una placa en el punto ( x, y ) es T ( x, y ) = 10 + x 2 − y 2 , determine la trayectoria que seguiría una partícula, la cual siempre se mueve en la dirección de mayor incremento en la temperatura, que busca calor, si parte de ( −2,1) . Sugerencia: la partícula se mueve en la dirección del gradiente ∇T = 2 xi − 2 yj . Podemos escribir la trayectoria en forma paramétrica como r ( t ) = x ( t ) i + y (t ) j y queremos x ( 0 ) = − 2 y y ( 0 ) = 1 . Moverse en la dirección requerida significa que r ′ ( t ) debe ser paralelo a ∇T . Esto se satisface si x′ ( t )
2 x ( t )
=−
y′ ( t )
2 y ( t )
junto con las condiciones x ( 0 ) = − 2 y y y ( 0 ) = 1 . Ahora resuelva esta
ecuación diferencial y evalúe la constante de integración arbitraria. dx
dy
dx
dy
dt = dt = tiene solución x = 2 y 2 . Puesto que la partícula se inicia en −2,1 , esto se ( ) −4 x −2 y
simplifica a x = − 2 y 2 64. El punto P (1, −1, −10) está sobre la superficie z = − 10 xy (véase la figura 1 de la sección 12.4). Partiendo de P , ¿en qué dirección u = u1i + u2 j debe uno moverse en cada caso? a) Para subir más rápidamente. b) Para permanecer en el mismo nivel. c) Para subir con pendiente 1. f (1, −1) = 5 ( −1,1) D u1 ,u2 f (1, −1) = ( u1 , u2 ) ( −5, 5) = 5u1 + 5u 2
⎛ 1 ⎞ a) ( −1,1) (en la dirección del gradiente) u = ⎜ ⎟ ( −1,1) ⎝ 2⎠
r ′ ( t ) = ( cos π t − π t sen π t , sen π t + π t cos π t ,1 ) , así r ' (1) = ( −1, −π ,1) .
u=
r ' (1) r ' (1)
=
( −1, −
,1)
π
2 + π 2
es el vector unitario tangente en ( −1,0,1) .
DuT ( −1, 0,1) = u.∇T ( −1, 0,1) =
( −1, −
,1) ( 5, 0, 0, − 5)
π
2+π
=−
2
10 2 + π
2
≈ − 2.9026
Por lo tanto, la temperatura disminuye aproximadamente 2.9 °C por metro recorrido, cuando la abeja se encuentra en ( −1,0,1) ;i .e. cuando t = 1s b) Método 1: (En primer lugar expresar T en términos de t ) T =
10 x 2 + y 2 + z 2
=
10 2
2
2
( t cos π t ) + ( t sen π t ) + (t ) T ( t ) = 5t −2 ; T ' (t ) = −10t −3 ;t ' ( 1) = − 10
Método 2: (Use la regla de la cadena)
=
10 2t 2
=
5 t 2
67. Hallar la dirección en la cual f crece más rápidamente en P0 , y la razón de cambio de f en esa dirección: f ( x, y, z ) = e xy + z 2 , P0 ( 0, 2, 3 )
Recordemos que la dirección en la cual f crece más rápidamente es la dada por el vector
∇ f , y además, la tasa de cambio en esa dirección es ∇ f . xy xy D1 f ( x, y, z ) = ye ⇒ D2 f ( x, y, z ) = xe ⇒ D3 f ( x, y, z ) = 2 z ⇒ ∇f ( 0, 2, 3 ) = ( 2, 0, 6 )
Si u es el vector unitario en la dirección del gradiente, la tasa de cambio en esta dirección es: Du f (1, −1, 2) = ∇f (1, −1, 2) = 40 = 2 10 68. En los siguientes apartados, hallar la dirección en la cual f decrece más rápidamente en P0 , y la razón de cambio de f en esa dirección: Recordemos
la dirección
la cual f decrece más rápidamente
la dada
el
Hallamos en primer lugar el vector gradiente en el punto: D1 f ( x, y ) =
D2 f ( x, y ) =
2 x ( x 2 + y 2 ) − 2 x ( x2 − y2 )
( x
2
+y
2
)
2
=
−2 y ( x 2 + y 2 ) − 2 y ( x2 − y2 )
( x + y 2
2
)
2
4 xy 2
(x =
2
+ y2 )
2
−2 ( x3 + y3 )
(x + y 2
2
)
2
2
∇ f (1,1) = (1, −1) Para encontrar las direcciones en las que se anula la derivada basta buscar un vector v tal que (1, −1) u = 0 ; las direcciones buscadas serán u y −u . En este caso las direcciones se calculan fácilmente y son (1,1) y ( −1, −1) . 70. En los siguientes apartados, esbozar la curva de nivel de f ( x, y ) que pasa por el
b) f ( x, y ) = x2 − y , P0 (1, 0 ) D1 f ( x, y ) =
x x − y 2
⇒ D2 f ( x, y ) =
−1
1⎞ ⎛ ⇒ ∇f (1, 0 ) = ⎜1, − ⎟ 2 2⎠ ⎝ x −y
